x y z x y x y x y x y rz z y z s t x y z s t x y z s t x jesusr/pdfs/AL/zzz/rm.pdf · Hallar los gramos

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  • Algebra Lineal y GeometraGrupo A

    Curso 2009/10

    Sistemas de ecuaciones lineales

    NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad.

    1) Resolver los tres sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en R siguientes:

    3x 2y = 66x + 6y = 102

    x + y 2z = 92x y + 4z = 42x y + 6z = 1

    2x 4y + 7z = 312x + 3y + 5z = 11x 5y + 6z = 29

    2)(*) Discutir los dos sistemas siguientes en funcion del parametro m y de los parame-tros r y s respectivamente:

    x + 2y + z = 1x + 2z = 3

    3x + 2y + mz = 1

    3x + y + rz = 0x y z = 0

    sx + y + z = 0x + sy z = 0

    3)Resolver, si es posible, los sistemas lineales siguientes:

    x + 2y + 2z s + 3t = 0x + 2y + 3z + s + t = 0

    3x + 6y + 8z + s + 5t = 0

    3x2 6x3 4x4 3x5 = 5x1 + 3x2 10x3 4x4 4x5 = 22x1 6x2 + 20x3 + 2x4 + 8x5 = 8

    Problemas relacionados con la vida cotidiana y las ciencias:

    3) Hieron, rey de Siracusa, haba dado a un platero 7465 gramos de oro para haceruna corona que quera ofrecer a Jupiter. Para conocer si el orfebre haba reemplazado oropor plata le pidio a Arqumedes que lo averiguara sin estropear la corona. Arqumedesmetio la corona en agua y perdio 467 gramos de su peso (es decir, el agua desalojadapeso 467 gramos). Se sabe que el oro pierde en el agua 52 milesimas de su peso y que laplata pierde 95 milesimas. Hallar los gramos de oro y plata de la corona real.

  • 4)Podemos mezclar, bajo condiciones controladas, tolueno C7H8 y acido ntricoHNO3 para producir trinitolueno (TNT) C7H5O6N3 y agua. Determinar en que pro-porcion deben mezclarse estos componentes, es decir, ajustar la correspondiente reacconqumica:

    C7H8 + HNO3 C7H5O6N3 + H2O

    Indicar que ocurre si reemplazamos el agua, H2O por agua oxigenada, H2O2.

    5)Un excursionista comprueba, tras recorrer 7 km en la primera hora, que mante-niendo ese ritmo, llegara con una hora de retraso al tren que pretende tomar. Acelera elpaso y durante el resto del camino recorre 10 km cada hora, por lo que llega con mediahora de adelanto a la estacion. Cuanto tiempo estuvo andando? Que distancia recorrio?

    Problemas que relacionan Algebra y Geometra

    6)Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuacion del plano de R3 que pasa por los puntos(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0). Calcular el valor de A,B,C, D.

    7) Resolver el sistema de ecuaciones siguiente e interpretarlo como la interseccionde dos rectas en el plano R2:

    x + y = 23x y = 2

    8) La misma cuestion del problema 6) para la circunferencia de R2, x2 + y2 +2ax+2by = c, que pasa por los puntos (0, 0), (2, 0), (1, 1). Calcular el valor de a, b, c.

    Otros problemas

    9)(*) Si la suma de tres numeros reales es el doble de la suma del primero y eltercero y el primero menos el segundo es el triple del tercero, probar que alguno de lostres numeros tiene que ser cero. Cuantas ternas de numeros hay que cumplan estascondiciones?

    10)(*) Sean x, y dos numeros reales. Si verifican las dos condiciones

    x2 + y2 = 9;x2 8y2 = 1

    , utilizar ecuaciones lineales para calcular los valores que pueden tomar x e y.

  • Algebra Lineal y GeometraGrupo A

    Curso 2009/10

    Matrices. Transformaciones elementales

    NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad.

    12) Identificar las transformaciones elementales aplicadas a la matriz identidad parallegar a las matrices siguientes:

    1 0 00 1 02 0 1

    ; 0 0 10 1 0

    1 0 0

    ; 1 0 00 2 0

    0 0 1

    13) Para las siguientes matrices se pide: calcular su forma normal de Hermite por

    filas y su rango:

    A =

    1 2 34 5 67 8 9

    ;B = 0 1 21 0 32 3 0

    ;C = 0 1 21 0 3

    2 3 0

    D =

    2 1 3 22 1 5 21 1 1 1

    ;E =

    1 2 3 3 10 62 1 0 0 2 32 2 2 1 5 51 1 3 2 5 2

    14) Discutir y resolver, utilizando matrices, los sistemas siguientes:

    x + z = 22x y + z = 1

    3x + 2y 2z = 1x 2y + 3z = 2

    5x + 2y + 6z = 1

    x2 + 2x3 x4 = 1x1 + 2x3 2x4 = 1x1 + x2 + x4 = 2

    x y + z = 13x + z = 3

    5x 2y + 3z = 5

    15) Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace14 anos la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel

  • momento, que dentro de 10 anos la edad de la madre sera la suma de las edades que loshijos tendran entonces y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, elhijo menor tendra 42 anos.

    16) (*) Un comerciante de telas vende cada metro un 30, 2% mas caro que el precioal que lo compra. Desea aumentar sus ganacias sin incrementar los precios para lo cualdecide emplear un falso metro para medir la tela delante de sus clientes. Indicar cuantoha de medir este falso metro para que sus ganancias pasen a ser del 40%

    17) Sea un triangulo del plano R2 cuyos vertices son los puntos (1, 2), (0, 0), (3, 0).Encontrar tres sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas cuya solucion sea unicay coincida en cada uno de ellos con uno de los vertices del triangulo.

    18) (*) Aplicar el Teorema de Rouche - Frobenius para discutir los sistemas:

    x + my + z = 1mx + y + (m 1)z = m

    x + y + z = m + 1

    x + y z = 12x + 3y + az = 3x + ay + 3z = 2

  • Algebra Lineal y GeometraGrupo A

    Curso 2009/10

    Operaciones con matrices

    NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad.

    19) Resolver la ecuacion matricial:

    (1 13 3

    ) (xy

    )=

    (1 xy 1

    ) (32

    )

    20) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

    2A + B =(

    1 2 22 1 0

    );

    A 3B =(4 3 21 0 1

    )

    21) Calcular el rango de la matriz

    1 i 12i (1 + i) (i)0 (3 + i) 3i

    22) Explicar por que en general (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 y (A B)(A + B) 6=A2 B2

    23) Una matriz se llama idempotente si A2 = A. Probar que la matriz siguiente esidempotente:

  • A =

    2 2 41 3 41 2 3

    24) Calcular A2, A3, A4, siendo

    A =

    1 1 10 1 10 0 1

    Lo mismo para

    B =

    1 0 01 1 01 1 1

    25) Probar que la suma de matrices simetricas es simetrica. Demostrar que el

    producto no lo es en general.

    26)(*) Dada una matriz cuadrada A, demostrar que A+At es una matriz simetrica.Probar que toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matrizsimetrica y otra antisimetrica.

    27) Para la matriz cuadrada de orden 3 de numeros complejos

    A =

    4 2 2i2 1 i2i i 1

    pruebese por induccion que Ak = 4k1A

    28) Consideramos las matrices

    A =(

    1 1 22 1 3

    )y

    B =

    1 00 12 1

    Averiguar si existe alguna matriz no nula, X, tal que XA = BXt

  • Algebra Lineal y GeometraGrupo A

    Curso 2009/10

    Matrices regulares

    NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad.

    29) Demostrar que la matriz inversa de A es B:

    A =

    1 2 32 3 43 4 6

    ;B =2 0 10 3 2

    1 2 1

    30) Calcular el cuadrado de:

    A =13

    1 2 22 2 12 1 2

    Indicar cual es la inversa de A

    31) Probar que si A es una matriz idempotente (A2 = A) entonces tambien lo esB = I A y ademas AB = BA = 0

    32) Demostrar que la matriz A =(

    2 11 2

    )verifica una ecuacion del tipo A2 +A+

    I = 0 calculando para ello los valores de y . Utilizar este resultado para calcular lainversa de A.

    33) Determinar cuales de las matrices siguientes son regulares y calcular la inversade las que lo sean:

    1 0 0 10 1 1 00 0 1 00 1 0 1

    ;

    1 2 3 45 6 7 81 2 3 45 6 7 8

  • 2 2 41 3 41 2 3

    34) Dadas las matrices A,B y C, comprobar que AB = AC y concluir que dichaigualdad no implica necesariamente que B = C. Razonar por que A tiene que ser singular.

    A =

    1 3 22 1 34 3 1

    B = 1 4 1 02 1 1 1

    1 2 1 2

    C = 2 1 1 23 2 1 1

    2 5 1 0

    35) (*) Demostrar las siguientes propiedades para una matriz regular A de orden ny elementos reales:

    1. (A1)1) = A2. (rA)1 = 1r A

    1 para cada r 6= 0, numero real3. (Ap)1 = (A1)p, siendo p un numero entero positivo

    36) Una matriz cuadrada A, de orden n, es idempotente si verifica A2 = A. Razonarque una matriz idempotente que no sea la identidad no puede ser regular.

    37) (*) Sean las matrices

    A =

    1 0 10 2 03 0 3

    ;B =1 0 10 2 03 0 3

    Se pide

    a ) Calcular la forma de Hermite por columnas de Bb ) Encontrar una matriz regular Q tal que

    QA =

    1 0 10 1 00 0 0

    c ) Indicar razonadamente si A y B son equivalentes

  • Algebra Lineal y GeometraGrupo A

    Curso 2009/10

    Determinantes

    NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad.

    38) Calcular los determinantes siguientes:

    4 2 5 14 1 0 12 1 1 11 0 1 2

    1 12 123 12342 23 234 23413 34 341 34124 41 412 4123

    39)(*) Calcular los determinantes de Vandermonde:

    V3 =

    1 1 1a b ca2 b2 c2

    Vn =

    1 1 1 1a1 a2 a3 ana1

    2 a22 a3

    2 an2...

    ......

    . . ....

    a1n1 a2

    n1 a3n1 ann1

    (Indicacion: resolver el primer caso y luego aplicar induccion).

    40) Calcular el determinante de la matriz

    An =

    1 n n n nn 2 n n nn n 3 n n...

    ......

    . . ....

    ...n n n n 1 nn n n n n

  • 41) Calcular, utilizando determinantes, el rango de la matriz siguiente en funcionde los valores del parametro a: a 1 1 22 a a2 1

    2 1 1 2

    42) Resolver los sistemas siguientes mediante la regla de Cramer o la regla de Cramergeneralizada :

    a) = 3x +4y = 6x +7y = 0

    b) =x +y +z = 6x +y z = 02x y +z = 0

    c) =x1 x2 +x3 +4x4 = 62x1 +3x2 x3 11x4 = 7

    x2 +x3 +x4 = 1

    d) =x +y +z = 3x y +z = 12x +az = b

    43) Calcular para cada x C e