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1 在第二章中,我们讨论了一维随机变量函数 的分布,现在我们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题, 然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X 1 , X 2 , …,X n 的联合分布已知时, 如何求出它们的函数 Y=g(X 1 , X 2 , …,X n ), i=1,2,…,m 的分布? §3.5 多维随机变量函数的分布

X1 X2, …,Xn - math.sjtu.edu.cnmath.sjtu.edu.cn/upload/teachers/10034/ch3.5.pdf · 1 在第二章中,我们讨论了一维随机变量函数 的分布,现在我们进一步讨论:

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  • 1

    在第二章中,我们讨论了一维随机变量函数

    的分布,现在我们进一步讨论:

    我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题, 然后将其推广到多个随机变量的情形.

    当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时, 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布?

    §3.5 多维随机变量函数的分布

  • 2

    一、离散型分布的情形

    例 若X、Y独立,P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 求Z=X+Y的概率函数. 解: )()( rYXPrZP =+==

    ∑=

    −===r

    iirYPiXP

    0

    )()(

    =a0br+a1br-1+…+arb0

    ∑=

    −===r

    iirYiXP

    0

    ),( 由独立性 此即离散 卷积公式

    r=0,1,2, …

    和的分布:Z = X + Y

  • 3

    例 已知随机变量(X, Y)的联合分布列为

    X Y 1 2 3

    1 1/5 0 1/5

    2 1/5 1/5 1/5

    求 1 2, max{ , }Z X Y Z X Y= + = 的分布列.

  • 4

    解:依题意

    ∑=

    −====r

    iirYiXPrZP

    0

    ),()(

    例 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为

    1 2,λ λ1 2λ λ+ 的泊松分布

    由卷积公式

    i=0,1,2,…

    j=0,1,2,…

    !)(

    ieiXP

    i1

    1λλ−==

    !)(

    jejYP

    j2

    2λλ−==

  • 5

    ∑=

    −====r

    iirYiXPrZP

    0

    ),()(由卷积公式

    1 2

    i r-i- -1 2

    0e e

    i! (r - i)!

    r

    i

    λ λλ λ=

    = ⋅∑

    ∑=

    +−

    =r

    ire

    0

    i-r2

    i1

    )(

    i)!-(ri!r!

    !

    21

    λλλλ

    ,)(! 21

    )( 21r

    re λλ

    λλ

    +=+−

    即Z服从参数为 的泊松分布. 1 2λ λ+

    r=0,1,…

  • 6

    设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立,

    具有可加性的两个离散分布

    设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立,

    则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)

    则 X + Y ~ P(λ1+ λ2)

  • 7

    例 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度

    解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)

    ( , )D

    f x y dxdy= ∫∫这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}

    是直线x+y =z 左下方的半平面.

    二、连续型分布的情形

    (1) 和的分布:Z = X + Y

    • z

    • z

  • 8

    化成累次积分,得

    ( ) ( , )Zx y z

    F z f x y dxdy+ ≤

    = ∫∫

    ( ) [ ( , ) ]z y

    ZF z f x y dx dy∞ −

    −∞ −∞= ∫ ∫

    [ ( , ) ]z y

    f x y dy dx− ∞

    −∞ −∞= ∫ ∫

    ( ) ( ) ( , )Z Zf z F z f z y y dy∞

    −∞′= = −∫

    由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成

    ( ) ( ) ( , )Z Zf z F z f x z x dx∞

    −∞′= = −∫

    以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.

  • 9

    特别,当X和Y独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:

    ( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y dy∞

    −∞= −∫

    这两个公式称为卷积公式 . 记为

    ( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x dx∞

    −∞= −∫

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X Y Y Xf z f z f z f z f z= ∗ = ∗

  • 10

    例 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为

  • 11

    ∫∞+

    ∞−−= dxxzfxfzf YXZ )()()(

    ∫ −=1

    0)( dxxzfY

  • 12

  • 13

    当0 ≤ z < 1 时,

    ∫∫−

    =xzz

    Z dydxzF 00 1)(

    ∫ −=z

    dxxz0

    )(

    2/2z=zzfZ =)(

    y

    x 1

    1

    • z • z

  • 14

    当1≤ z < 2 时,

    ∫∫−

    −+

    xz

    zdydx

    0

    1

    11

    ∫ − −+−=1

    1)(1

    zdxxzz

    12/2 2 −−= zz

    zzfZ −= 2)(

    z-1

    1

    y

    x 1 • z

    • z )1()( −= zzFZ

  • 15

    1

    y

    x

    1

    2

    2 当2 ≤ z 时,

    1)( =zFZ0)( =zfZ

  • 16

    正态随机变量的结论

    若X ,Y 相互独立, ),(~),,(~ 222211 σµσµ NYNX

    则 2 21 2 1 2~ ( , )X Y N µ µ σ σ± ± +

    niNX iii ,,2,1),,(~2

    =σµ 若 nXXX ,,, 21 相互独立

    则 ),(~1

    2

    11∑∑∑===

    n

    ii

    n

    ii

    n

    ii NX σµ

    推广

  • 17

    例如 已知(X ,Y )的联合d.f. f (x,y), Z = X / Y , 求 f Z (z) 令

    (2) 商的分布: Z = X / Y

    0

    0

    ( ) ( ) ( )

    ( , )

    ( ( , ) ) ( ( , ) )

    Z

    x zy

    yz

    yz

    Yf z P Z z P ZX

    f x y dxdy

    f x y dx dy f x y dx dy

    +∞ +∞

    −∞ −∞

    = ≤ = ≤

    =

    = +

    ∫∫

    ∫ ∫ ∫ ∫

  • 18

    0

    0

    ( ) ( )

    ( , ) ( , )

    Zdf z F zdz

    f zy y yd y f zy y yd y+∞

    −∞

    =

    = −∫ ∫( , ) | |f zy y y dy

    +∞

    −∞= ∫

    X与Y相互独立时

    ( ) ( ) ( ) | |Z X Yf z f zy f y y d y+∞

    −∞= ∫

  • 19

    例 已知( X, Y ) 的联合分布函数为

    >>+−−

    =+−−−

    其他,00,0,1

    ),()( yxeee

    yxFyxyx

    求Z = X / Y 的 p.d.f.

    解 >>

    =+−

    其他,00,0,

    ),()( yxe

    yxfyx

    ∫∞+

    ∞−= dvvvzvfzfZ ||),()(

    ( ) , 0, 0( , )

    0,

    zv ve z vf zv v

    − + > >=

    其中其他

  • 20

    ( ) 0,Zf z =( 1)

    0( ) z yZf z ye dy

    +∞ − += ∫ ( 1)01

    1z yyde

    z+∞ − += −

    + ∫0z > 时 0z ≤当 时

    ( 1)

    0)z ye dy

    +∞ − +∫( 1) 01 (

    1z yye

    z− + +∞= − −

    +( 1)

    0

    11

    z ye dyz

    +∞ − +=+ ∫ 2

    1( 1)z

    =+

    21/( 1) , 0( )

    0,Zz z

    f z + >

    = ≤ z 0

    所以

  • 21

    (3) 平方和的分布: Z = X 2+Y 2

    设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y), 则 )()( 22 zYXPzFZ ≤+=

    ≥<

    =∫∫ ≤+ ,0),(

    ,0,0

    22 zdxdyyxfz

    zyx

    ≥<

    =∫∫ ,0,)sin,cos(

    ,0,0

    0

    2

    0zrdrrrfdz

    zθθθ

    π

  • 22

    例如,X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相 互独立, Z = X 2+Y 2 , 则

    ≥⋅

    <=

    ∫−−

    ,0,21

    21

    21

    ,0,0)( 2

    02

    sin2

    cos 22

    zdee

    zzf zzZ π θθ θ

    ππ

    <= −

    ,0,21

    ,0,0)( 2 ze

    zzf zZ

    自由度为2 的χ 2分布 称为

    <=

    ∫ ,0,)sin,cos(21

    ,0,0)( 2

    0zdzzf

    zzfZ π θθθ

  • 23

    (4) 极值分布:即极大(小)值的分布

    离散随机变量的极值分布 可直接计算

    仅就独立情形讨论极值分布

  • 24

    设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x),

    Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y },

    求 M ,N 的分布函数.

    )},(max{)( uYXPuFM ≤=),( uYuXP ≤≤=

    )()( uYPuXP ≤≤=)()( uFuF YX=

  • 25

    )},(min{)( vYXPvFN ≤=)},(min{1 vYXP >−=

    ),(1 vYvXP >>−=)()(1 vYPvXP >>−=

    .)](1)][(1[1 vFvF YX −−−=

  • 26

    推广 nXXX ,,, 21 相互独立,且

    nixFX iii ,,2,1),(~ =

    },,,min{},,,max{

    21

    21

    n

    n

    XXXNXXXM

    ==

    =

    =

    −−=

    =

    n

    iiN

    n

    iiM

    vFvF

    uFuF

    1

    1

    ))(1(1)(

    )()(

  • 27

    例 系统 L 由相互独立的 n 个元件组 成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联;

    若 n 个元件寿命分别为 nXXX ,,, 21

    ~ ( ), 1, 2, ,iX Exp i nλ =

    求在以上 两 种组成方式下, 系统 L 的 寿命 X 的 d.f.

  • 28

    >

    =−

    其它,00,

    )( ix

    iXxe

    xfi

    i

    λλ

    >−

    =−

    其它,00,1

    )( ix

    iXxe

    xFi

    i

    λ

  • 29

    (1) },,,min{ 21 nXXXX =

    ∏=

    −−=n

    iXX xFxF i

    1))(1(1)(

    ≤>

    =−

    0,00,

    )(xxen

    xfxn

    X

    λλ

    ≤>

    =−−

    0,1,0,

    )(1xxe

    xFx

    Xi

    λ

  • 30

    (2) },,,max{ 21 nXXXX =

    ∏=

    =n

    iXX xFxF i

    1)()(

    1(1 ) , 0( )

    0, 0

    x x n

    Xn e e x

    f xx

    λ λλ − − − − >=

    ≤>−

    =−

    0,0,0,)1(

    xxe nxλ

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