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1
在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数
的分布，现在我们进一步讨论:
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn),
i=1,2,…,m 的分布?
§3.5 多维随机变量函数的分布
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2
一、离散型分布的情形
例 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,
求Z=X+Y的概率函数. 解: )()( rYXPrZP =+==
∑=
−===r
iirYPiXP
0
)()(
=a0br+a1br-1+…+arb0
∑=
−===r
iirYiXP
0
),( 由独立性 此即离散 卷积公式
r=0,1,2, …
和的分布：Z = X + Y
-
3
例 已知随机变量(X, Y)的联合分布列为
X Y 1 2 3
1 1/5 0 1/5
2 1/5 1/5 1/5
求 1 2, max{ , }Z X Y Z X Y= + = 的分布列.
-
4
解：依题意
∑=
−====r
iirYiXPrZP
0
),()(
例 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为
1 2,λ λ1 2λ λ+ 的泊松分布
由卷积公式
i=0,1,2,…
j=0,1,2,…
!)(
ieiXP
i1
1λλ−==
!)(
jejYP
j2
2λλ−==
-
5
∑=
−====r
iirYiXPrZP
0
),()(由卷积公式
1 2
i r-i- -1 2
0e e
i! (r - i)!
r
i
λ λλ λ=
= ⋅∑
∑=
+−
=r
ire
0
i-r2
i1
)(
i)!-(ri!r!
!
21
λλλλ
,)(! 21
)( 21r
re λλ
λλ
+=+−
即Z服从参数为 的泊松分布. 1 2λ λ+
r=0,1，…
-
6
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立，
具有可加性的两个离散分布
设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立，
则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
则 X + Y ~ P(λ1+ λ2)
-
7
例 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
( , )D
f x y dxdy= ∫∫这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z}
是直线x+y =z 左下方的半平面.
二、连续型分布的情形
(1) 和的分布：Z = X + Y
• z
• z
-
8
化成累次积分,得
( ) ( , )Zx y z
F z f x y dxdy+ ≤
= ∫∫
( ) [ ( , ) ]z y
ZF z f x y dx dy∞ −
−∞ −∞= ∫ ∫
[ ( , ) ]z y
f x y dy dx− ∞
−∞ −∞= ∫ ∫
( ) ( ) ( , )Z Zf z F z f z y y dy∞
−∞′= = −∫
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
( ) ( ) ( , )Z Zf z F z f x z x dx∞
−∞′= = −∫
以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
-
9
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y dy∞
−∞= −∫
这两个公式称为卷积公式 . 记为
( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x dx∞
−∞= −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X Y Y Xf z f z f z f z f z= ∗ = ∗
-
10
例 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为
-
11
∫∞+
∞−−= dxxzfxfzf YXZ )()()(
∫ −=1
0)( dxxzfY
-
12
-
13
当0 ≤ z < 1 时，
∫∫−
=xzz
Z dydxzF 00 1)(
∫ −=z
dxxz0
)(
2/2z=zzfZ =)(
y
x 1
1
• z • z
-
14
当1≤ z < 2 时，
∫∫−
−+
xz
zdydx
0
1
11
∫ − −+−=1
1)(1
zdxxzz
12/2 2 −−= zz
zzfZ −= 2)(
z-1
1
y
x 1 • z
• z )1()( −= zzFZ
-
15
1
y
x
1
2
2 当2 ≤ z 时，
1)( =zFZ0)( =zfZ
-
16
正态随机变量的结论
若X ,Y 相互独立, ),(~),,(~ 222211 σµσµ NYNX
则 2 21 2 1 2~ ( , )X Y N µ µ σ σ± ± +
niNX iii ,,2,1),,(~2
=σµ 若 nXXX ,,, 21 相互独立
则 ),(~1
2
11∑∑∑===
n
ii
n
ii
n
ii NX σµ
推广
-
17
例如 已知(X ,Y )的联合d.f. f (x,y)， Z = X / Y , 求 f Z (z) 令
(2) 商的分布： Z = X / Y
0
0
( ) ( ) ( )
( , )
( ( , ) ) ( ( , ) )
Z
x zy
yz
yz
Yf z P Z z P ZX
f x y dxdy
f x y dx dy f x y dx dy
≤
+∞ +∞
−∞ −∞
= ≤ = ≤
=
= +
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
-
18
0
0
( ) ( )
( , ) ( , )
Zdf z F zdz
f zy y yd y f zy y yd y+∞
−∞
=
= −∫ ∫( , ) | |f zy y y dy
+∞
−∞= ∫
X与Y相互独立时
( ) ( ) ( ) | |Z X Yf z f zy f y y d y+∞
−∞= ∫
-
19
例 已知( X, Y ) 的联合分布函数为
>>+−−
=+−−−
其他,00,0,1
),()( yxeee
yxFyxyx
求Z = X / Y 的 p.d.f.
解 >>
=+−
其他,00,0,
),()( yxe
yxfyx
∫∞+
∞−= dvvvzvfzfZ ||),()(
( ) , 0, 0( , )
0,
zv ve z vf zv v
− + > >=
其中其他
-
20
( ) 0,Zf z =( 1)
0( ) z yZf z ye dy
+∞ − += ∫ ( 1)01
1z yyde
z+∞ − += −
+ ∫0z > 时 0z ≤当 时
( 1)
0)z ye dy
+∞ − +∫( 1) 01 (
1z yye
z− + +∞= − −
+( 1)
0
11
z ye dyz
+∞ − +=+ ∫ 2
1( 1)z
=+
21/( 1) , 0( )
0,Zz z
f z + >
= ≤ z 0
所以
-
21
(3) 平方和的分布: Z = X 2+Y 2
设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)， 则 )()( 22 zYXPzFZ ≤+=
≥<
=∫∫ ≤+ ,0),(
,0,0
22 zdxdyyxfz
zyx
≥<
=∫∫ ,0,)sin,cos(
,0,0
0
2
0zrdrrrfdz
zθθθ
π
-
22
例如，X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相 互独立， Z = X 2+Y 2 , 则
≥⋅
<=
∫−−
,0,21
21
21
,0,0)( 2
02
sin2
cos 22
zdee
zzf zzZ π θθ θ
ππ
≥
<= −
,0,21
,0,0)( 2 ze
zzf zZ
自由度为2 的χ 2分布 称为
≥
<=
∫ ,0,)sin,cos(21
,0,0)( 2
0zdzzf
zzfZ π θθθ
-
23
(4) 极值分布：即极大(小)值的分布
离散随机变量的极值分布 可直接计算
仅就独立情形讨论极值分布
-
24
设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x),
Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y },
求 M ,N 的分布函数.
)},(max{)( uYXPuFM ≤=),( uYuXP ≤≤=
)()( uYPuXP ≤≤=)()( uFuF YX=
-
25
)},(min{)( vYXPvFN ≤=)},(min{1 vYXP >−=
),(1 vYvXP >>−=)()(1 vYPvXP >>−=
.)](1)][(1[1 vFvF YX −−−=
-
26
推广 nXXX ,,, 21 相互独立，且
nixFX iii ,,2,1),(~ =
设
},,,min{},,,max{
21
21
n
n
XXXNXXXM
==
则
∏
∏
=
=
−−=
=
n
iiN
n
iiM
vFvF
uFuF
1
1
))(1(1)(
)()(
-
27
例 系统 L 由相互独立的 n 个元件组 成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联；
若 n 个元件寿命分别为 nXXX ,,, 21
~ ( ), 1, 2, ,iX Exp i nλ =
且
求在以上 两 种组成方式下, 系统 L 的 寿命 X 的 d.f.
-
28
解
>
=−
其它,00,
)( ix
iXxe
xfi
i
λλ
>−
=−
其它,00,1
)( ix
iXxe
xFi
i
λ
-
29
(1) },,,min{ 21 nXXXX =
∏=
−−=n
iXX xFxF i
1))(1(1)(
≤>
=−
0,00,
)(xxen
xfxn
X
λλ
≤>
=−−
0,1,0,
)(1xxe
xFx
Xi
λ
-
30
(2) },,,max{ 21 nXXXX =
∏=
=n
iXX xFxF i
1)()(
1(1 ) , 0( )
0, 0
x x n
Xn e e x
f xx
λ λλ − − − − >=
≤
≤>−
=−
0,0,0,)1(
xxe nxλ
幻灯片编号 1幻灯片编号 2幻灯片编号 3幻灯片编号 4幻灯片编号 5幻灯片编号 6幻灯片编号 7幻灯片编号 8幻灯片编号
9幻灯片编号 10幻灯片编号 11幻灯片编号 12幻灯片编号 13幻灯片编号 14幻灯片编号 15幻灯片编号 16幻灯片编号
17幻灯片编号 18幻灯片编号 19幻灯片编号 20幻灯片编号 21幻灯片编号 22幻灯片编号 23幻灯片编号 24幻灯片编号
25幻灯片编号 26幻灯片编号 27幻灯片编号 28幻灯片编号 29幻灯片编号 30
![学术论文中引言与讨论的核心内容及其对应关系标题在形式上结构化，认为其有助于作者写好讨论 部分的内容。但并未提出具体的结构式讨论内容。王应宽[12]结合自己多年的工作经验，总结出写作“讨](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5fd6d8b766c9201a7e0202a3/oeeeeecfc-eoecoeioeeoeoeeee.jpg?t=1674769449)
