Upload
others
View
12
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Xavier Rabasa 1
Xavier Rabasa 2
INTRODUCCIÓ Llibre d’exercicis adreçat als alumnes de Batxillerat Tecnològic per millorar el seu nivell de coneixements i procediments en l’àrea de Matemàtiques
Xavier Rabasa Arévalo Professor de Matemàtiques
Xavier Rabasa 3
ÍNDEX 1. INTEGRAL INDEFINIDA - CALCUL DE PRIMITIVES
1.1 Immediates
4
1.2 Quasi_Immediates
5
1.3 Per Parts
16
1.4 Racionals
22
1.5 Altres
26
2. INTEGRAL DEFINIDA
2.1 Àrea d’un recinte
34
Xavier Rabasa 4
INTEGRAL INDEFINIDA - CALCUL DE PRIMITIVES 1. IMMEDIATES 2. QUASI IMMEDIATES 3. INTEGRACIÓ PER PARTS 4. RACIONALS 5. ALTRES
IMMEDIATES 1.1
c + 1+n
x = dx x1+n
n∫
1.2
c + 1+n)(x f = dx (x)f )(x f
+1nn ′∫
1.3
c + x L = dx x1∫
1.4
c + (x) f L = dx (x)f f(x)1 ′∫
1.5 c + e = dx e xx∫
1.6 c + e = dx (x)f e (x) f(x) f ′∫
1.7
c + a L
a = dx ax
x∫
1.8
c + aL
a = dx (x)f a(x) f
(x) f ′∫
1.9 c + x - = dx x sin cos∫
1.10 c + (x) f - = dx (x)f (x) f sin cos′∫
1.11 c + x sin= dx x cos∫
1.12 c + (x) f sin= dx (x)f (x) f ′∫cos
1.13
c + x tg = dx x
12cos
∫
1.14
c + (x) f tg = dx (x)f (x) f
12
′∫cos
1.15
c + x cotg- = dx xsin
12
∫
1.16
c + (x) f cotg- = dx (x)f (x) fsin
12
′∫
1.17 1.18
1
Xavier Rabasa 5
c + x tg = dx x + 1
12
arc∫ c + (x) f tg = dx (x)f )(x f + 1
12 arc′∫
1.19
c + x sin = dx x - 1
12
arc∫
1.20
c + (x) f sin = dx (x)f )(x f - 1
12
arc′∫
QUASI IMMEDIATES 2.1.
dx x3∫
Sol.
c + 4x4
2.2.
dx 3x3
∫
Sol.
c + 12x4
2.3.
dx 6x4
∫
Sol.
c + 30x5
2.4. dx 3) + x( 3∫
Sol.
c + 3x + 4x4
2.5.
dx )x1 - 2x + x( 2∫
Sol.
c + x - x + 3x 2
3
ln
RAONAMENT
dx )x1 - 2x + x( 2∫ = ∫ ∫ ∫ =−+ dx
xxdxdxx 122 c + x - x +
3x 2
3
ln
2.6. Sol.
2
Xavier Rabasa 6
dx x
1 + x - x 23
∫ c + x + 2x +
3x 23
ln
2.7.
xdx
2∫
Sol.
c + x1-
2.8.
xdx
5∫
Sol.
c + x 4
1-4
2.9.
dx x
3 + 2x - x6
4
∫
Sol.
c + x 5
3 - x 2
1 + x1-
54
2.10.
dx 3
x 4 3
∫
Sol. c + x3 4
RAONAMENT
=∫ dx 3
x 4 3
=+=∫ = cxxdxx 343
4
3/1
343
434 c + x3 4
2.11.
4 xdx∫
Sol.
c + 3
x 4 4 3
2.12.
dx x 3 + x 38 3 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∫
Sol. c + x 2 + x 2 33 4
2.13. dx 1) + x( x3∫
Sol.
c + x43 + x11
63 46 11
2.14. dx cosx) 8 + sinx2 - x( 2∫
Sol.
c + x sin8 + x 2 + 3x3
cos
2.15. Sol.
Xavier Rabasa 7
dx x1 + ex ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∫
c + x + ex ln
RAONAMENT
∫ ∫ =+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫ dx
xdxedx
x1 + e xx 1 c + x + ex ln
2.16.
x xdx
∫
Sol.
c + x2−
2.17.
dx x
3) + x( 1) + (x3
2
∫
Sol.
c + x 2
3 - x3 - x + x
2ln
2.18. dx x) + cosx + x( 2sec∫
Sol.
c + 2x + x sin+ x tg
2
2.19. dx xtg2∫
Sol. c + x - xtg
2. 20.
dx x
1 + x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
Sol.
c + x 2 + 3
x 2 3
RAONAMENT
∫ ∫ =++=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫ − cxxdxxdxxdx
x1 + x
21
23
2/12/32/12/1
c + x 2 + 3
x 2 3
2.21.
dx x xsinxsin - x
22
22
coscos∫
Sol. c + xtg - xcotg-
2.22. Sol. c + x + ex ln
Xavier Rabasa 8
dx xe + 1 e
-xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∫
2.23. dx 3 5 xx∫
Sol.
c + 15
15x
ln
2.24.
dx x + 1
3 - x - 1
122∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Sol. c + xarctg3 - xarcsin
2.25.
x xsindx
22 cos∫
Sol. c + xcotg - xtg
RAONAMENT
∫ ∫ ++−=+=∫ ctgxgxdxx
dxxxx
dx cotcos
1sin
1cossin 2222
2.26.
dx xsin
xsin - 22
3
∫
Sol. c + x + xcotg 2- cos
2.27.
∫ 2 + 3xdx
Sol.
c + 2 + 3x 31 ln
2.28.
x - 3dx
∫
Sol. c + x - 3 - ln
2.29.
x + 2dx x
2∫
Sol.
c + x + 2 21 2ln
2.30.
)1 + (xdx 2
3∫
Sol.
c + )1+(x
1-2
RAONAMENT
Xavier Rabasa 9
=+−∫ =+−
==∫−
− ct
ctdtt)1 + (x
dx 23 2
23 1
222 c +
)1+(x1-
2
dxdtxt =+= 1 2.31.
x + 1dx x
3
2
∫
Sol.
c + x+1 31 3ln
2.32.
xsin + 3dx sin2x
2∫
Sol. c + x sin+3 2ln
2.33.
1 + 6x - xdx 3) - (x
2∫
Sol. c + 1+6x-x2
2.34. dx e + 2 e xx∫
Sol.
c + 3
)e+(2 2 3x
2.35.
dx x
x ln∫
Sol.
c + 2
x2ln
RAONAMENT
=+=∫=∫ cttdtdx x
x 2
ln 2
c + 2
x 2ln
dxx
dtxt 1ln ==
2.36.
dx 1 + x x 32∫ Sol.
c + 9
)1+x( 2 33
2.37. dx 5x sin∫
Sol.
c + 5x 51- cos
2.38. Sol.
Xavier Rabasa 10
dx x 6x 2cos∫ cx +2sin3
2.39.
xsin + 1dx x
2
cos∫
Sol. c + x)(sinarctg
2.40.
xtg - 1 xdx
22cos∫
Sol. c + x)(tgsinarc
RAONAMENT
∫ =+=−
=∫ ctt
dtxtg - 1 x
dx22
arcsin1cos 2
c + x)(tgsinarc
dxx
dttgxt2cos
1== t
2.41.
dx e x x4 5∫ Sol.
c + 5ex5
2.42.
x + 1dx )x (48
3
∫
Sol. c + x tg 4arc
2.43. dx 2x∫
Sol.
c + 2
2x
ln
2.44.
9 + xdx
2∫
Sol.
c + 3x tg
31 arc
2.45. dx e7x∫
Sol.
c + 7e7x
RAONAMENT
∫ =+==∫ ce
dtedx et
t7x
771
c + 7e7x
Xavier Rabasa 11
dxdtxt 77 == 2.46.
dx )e + e( x-x∫ Sol.
c + e - e -xx
2.47.
xe x
∫
Sol. c + e x2
2.48.
dx e
x x sin
cos∫
Sol. c + e- x -sin
2.49.
x - 25dx
2∫
Sol.
c + 5x sin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛arc
2.50.
9 + x2dx2
∫
Sol.
c + 3
x 2 tg 2 3
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛arc
RAONAMENT
∫ =+
∫ ∫ =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∫
222 1231
321
32
231
1329
1t
dt
x
dx
x
dx9 + x2
dx2
=+ carctgt23
1 c + 3
x 2 tg 2 3
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛arc
dxdtxt32
32
==
2.51. dx )5 + (2x 9∫
Sol.
c + 20
)5+(2x 10
2.52. Sol.
Xavier Rabasa 12
x + 1dx )(arctgx
2
3
∫ c + 4
)x tg ( 4arc
2.53. dx x xsin5 cos∫
Sol.
c + 6
xsin6
2.54.
dx xsinx
3 2
cos∫
Sol. c + x sin 3 3
2.55.
x xdxln
∫
Sol. c + x lnln
RAONAMENT
∫ =+=∫ cttdt
x xdx lnln
c + x lnln
xdxdtxt == ln
2.56.
dx x
x cos∫
Sol. c + x sin2
2.57. dx )e + e( 2x-x∫
Sol.
c + 2e - 2x +
2e -2x2x
2.58.
x - 1 )x (dx
23arccos∫
Sol.
c + 2
)x ( -2cosarc
2.59.
dx x x + 5
x + 1ln
ln∫
Sol. c + x x + 5 lnln
2.60.
dx xtgx + xtg
2
2
cos∫
Sol.
c + 2
xtg + 3
xtg 23
Xavier Rabasa 13
RAONAMENT
∫ =++=+=∫ cttdtttdx xtgx + xtg
2
2
23)(
cos
232 c +
2xtg +
3xtg 23
xdxdttgxt
2cos==
2.61.
dx sinxcosx∫ Sol.
c + 3
)x ( 2- 3cos
2.62. dx e e xex∫
Sol. c + eex
2.63. dx e e xx cos∫
Sol. c + e sin x
2.64.
1 + )1 + (xdx
2∫
Sol. c + 1)+(x tgarc
2.65.
dx cosx
xsin3
∫
Sol.
c + 5
)x ( 2 + x 2-5coscos
RAONAMENT
=++−=∫ −−=−
∫=∫ cttdttdxx
xxdx cosx
xsin3
522)1(2
cos2sin)cos1(2
54
2
c + 5
)x ( 2 + x 2-5coscos
xxdtxt
cos2sincos −
==
2.66.
xdx sinlnx∫
Sol. c + x)(- lncos
Xavier Rabasa 14
2.67.
x + 2dx x
6
2
∫
Sol.
c + 2
x tg 2 3
1 3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛arc
2.68.
dx x - 1 x
dx2ln
∫
Sol. c + x)(sin lnarc
2.69.
dx x
x + 3∫
Sol.
c + 3
)x + (3 4 3
2.70.
dx xsinx
3
3cos∫
Sol.
c + x sin - xsin 2
1-2
ln
RAONAMENT
=+−∫−
=−=∫−
=∫−
−− cttdtttx
xdxxdx xsinx
3
3
ln2
)(sin
cos)sin1(cos 213
3
2
c + x sin - xsin 2
1-2
ln
xdxdtxt cossin == 2.71.
dx e x x-3 4∫ Sol.
c + e 41- x- 4
2.72.
dx 1 + e2 - e
ex2x
x
∫
Sol.
c + 1 - e
1-x
2.73.
x - 1dx x
4∫
Sol.
c + x sin 21 2arc
2.74. dx x + 1 x 2∫
Sol.
c + )x+(1 31 32
Xavier Rabasa 15
2.75. dx tgx x) ( cosln∫
Sol.
c + 2
x)(-2 cosln
RAONAMENT
=+∫ −=−=∫ cttdtdx tgx x) ( 2
cosln2
c + 2
x)(-2 cosln
tgxdtxt −== )ln(cos 2.76.
dx x ln xx) ln( ln
∫
Sol.
c + 2
x) ln(ln2
2.77.
dx x
e2
x tg 2
cos∫
Sol.
c + e21 x tg 2
2.78.
dx x
sinx2cos
∫
Sol.
c + x
1cos
2.79.
dx 2x - 2
xsin2cos
∫
Sol. c + 2x -2 - cos
2.80. dx x xsin 23 cos∫
Sol.
c + 5
x + 3
x-53 coscos
RAONAMENT
∫ ∫ +−=−=−=∫ cttdtttxdxxxdx x xsin 23
53)1(sincos)cos1(cos
532222
= c + 5
x + 3
x-53 coscos
xdxdtxt sincos −==
Xavier Rabasa 16
INTEGRACIÓ PER PARTS ∫ ∫−= vduuvudv 3.1.
dx sinxx∫
Sol. c + x sin+ x x- cos
3.2. dx 3x x cos∫
Sol.
c + 9
3x + 3
3x sinx cos
3.3. dx x x2 ln∫
Sol.
c + 9x -
3x x 33 ln
3.4. dx e x x3∫
Sol. c + e 6 + e 6x + e x3 - e x xxx2x3
3.5.
dx e x 3x2∫ Sol.
c + e 272 + e x
92 -
3e x 3x3x
3x2
RAONAMENT
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∫−−=∫−=∫ dxexeexdxxeexdx e x xxx
xx
3x2 3332
332
31
332
332
3
c + e 272 + e x
92 -
3e x 3x3x
3x2
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==xx evedv
xdxduxu33
2
312
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==xx evedv
dxduxu33
31
3.6.
dx e x x∫ Sol.
c + e - e x xx
3.7. dx arcsinx∫
Sol. c + x-1 + x sin x 2arc
3
Xavier Rabasa 17
3.8. dx 2x + 1 x∫
Sol.
c + )2x+(1 151 -
3)2x+(1 x 5
3
3.9. dx arctgx x∫
Sol.
c + 2
xtg + 2x -
2xtg x2 arcarc
3.10. dx sinxx2∫
Sol. c + x 2 + x sin2x + x x- 2 coscos
RAONAMENT
( ) =∫−+−∫ =+−=∫ xdxxxxxxdxxxxdx sinxx2 sinsin2coscos2cos 22 c + x 2 + x sin2x + x x- 2 coscos
⎩⎨⎧
====
⎩⎨⎧
−====
xvxdxdvdxduxu
xvxdxdvxdxduxu
sincoscossin22
3.11.
dx )x ( 2ln∫ Sol.
c + 2x + x 2x - )x ( x 2 lnln
3.12. dx )x ( lnsin∫
Sol. c + e - e x2 xx 2
3.13.
dx x x ln∫ Sol.
c + 9
x 4 - 3
x x 2 33 ln
3.14. dx arctgx∫
Sol.
c + x+1 21 - x tg x 2lnarc
3.15. dx x x2 cos∫
Sol.. c + x sin2 - x 2x + x sinx2 cos
RAONAMENT
( ) =∫+−−=∫−=∫ xdxxxxxxdxxxxdx x x2 coscos2sinsin2sincos 22
Xavier Rabasa 18
c + x sin2 - x 2x + x sinx2 cos
⎩⎨⎧
−====
⎩⎨⎧
====
xvxdxdvdxduxu
xvxdxdvxdxduxu
cossinsincos22
3.16.
x + 1dx x
∫
Sol.
c + 3
)x+(1 4 - x+1 2x3
3.17. dx x) sin( ln∫
Sol.
c + 2
x)( x - x) sin(x lncosln
3.18.
xdx x2cos
2∫
Sol. c + x 2 + x tg 2x cosln
3.19.
dx xx ln
∫
Sol. c + x4 - x x2 ln
3.20. dx e x)-x( x-2∫
Sol. c + e 2 - 1)-(2x e - x)-x( e- -x-x2-x
RAONAMENT
ceexexxdxeexexxdxexexxdx e x)-x(
xxxx
xxxx-x2
+−−−−−∫ =+−−−−∫ =−+−−=∫
−−−−
−−−−
2)12()(2)12()()12()(
2
22
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
−===−=
−==−=−=
−−−− xxxx evdxedvdxduxu
evdxedvxduxxu 212122
3.21.
dx e x x3 2∫ Sol.
c + 2e -
2e x
xx2
22
3.22. dx x ln∫
Sol. c + x - x x ln
3.23. Sol.
Xavier Rabasa 19
dx x ex cos∫ c + 2
x sine + x e xx cos
3.24. dx x sinex∫
Sol.
c + 2
x e - x sine xx cos
3.25. dx e x 3x-∫
Sol.
c + 9e -
3e x-
-3x-3x
RAONAMENT
∫ =+−
=∫ −
−
dxexedx e x xx
3x- 33
31
3c +
9e -
3e x-
-3x-3x
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
==−
−
3
33
xx evedv
dxduxu
3.26.
xdx x
2cos∫
Sol. c + x + x tg x cosln
3.27. dx cosx x∫
Sol. c + x + x sinx cos
3.28.
dx x
x 3
ln∫
Sol.
c + x41 -
x2x-
22
ln
3.29. dx sinxx2∫
Sol. c + x 2 + x sin2x + x x- 2 coscos
3.30.
dx x e 3x- cos∫ Sol.
c + 10
x e3 - 10
x sine -3x-3x cos
RAONAMENT ( )Ixexexdxexedx x eI xxxx-3x 3cos3sinsin3sincos 3333 −−+∫ =+=∫= −−−−
Xavier Rabasa 20
=−= −− IxexeI xx cos3sin10 33 c + 10
x e3 - 10
x sine -3x-3x cos
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
−==−==
==−== −−−−
xvxdxdvdxedueu
xvxdxdvdxedueu xxxx
cossin3
sincos3 3333
3.31.
dx )x ( x 2ln∫ Sol.
c + 4x + x
2x - )x (
2x 22
22
lnln
3.32. dx x x3 ln∫
Sol.
c + 16x - x
4x 44
ln
3.33.
dx x
x) ( lnln∫
Sol. c + x - )x ( . x lnlnlnln
3.34.
x - 1dx x
∫
Sol.
c + 3
)x-(14 - x-1 2x-3
3.35. dx 3)sinx - (x∫
Sol. c + x sin+ x 3) - (x- cos
RAONAMENT
∫ =+−−=∫ xdxxxdx 3)sinx - (x coscos)3( c + x sin+ x 3) - (x- cos
⎩⎨⎧
−===−=
xvxdxdvdxduxu
cossin3
3.36.
dx )x + 1 + (x 2ln∫ Sol.
c + x+1 - x+1 + x x 22ln 3.37.
dx x - 1
arcsinx x2
∫
Sol. c + x + x arcsin x-1 - 2
3.38. Sol.
Xavier Rabasa 21
dx arcsinx x 2∫ c + x-1 21 + x arcsin
2x 42
2
3.39. dx )(lnx x 2∫
Sol.
c + x 2716 + x) ( x
98 - )x ( x
32 3323 lnln
INTEGRACIÓ DE FUNCIONS RACIONALS 4.1.
dx x x232
+−
∫
Sol. c + 2+x 7 - 2x ln
4.2.
4 - xdx
2∫
Sol.
c + 2+x2-x
41 ln
4.3.
dx 6 - x + x
1 - x2
∫
Sol.
c + 2-x 51 + 3+x
54 lnln
4.4.
6 + 5x + xdx 2
2∫
Sol. c + 3+x 2 - 2+x 2 lnln
4.5.
dx )1 - (x x
1 + x2∫
Sol.
c + 1-x
- 1-x + x 2lnln
RAONAMENT
4
Xavier Rabasa 22
cx
xxdxx
dxx
dxx
CBAxAxCx
CxxBxxAx
xxCxxBxxA
xC
xB
xA
xxx
+−
−−+∫ =−
+∫ ∫−
+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=====
+−+−=+
−+−+−
=−
+−
+=−+
121lnln
)1(2
111
32221021
)1()1(1
)1()1()1(
)1(1)1(1
2
2
2
2
22
4.6.
2x + xdx
2∫
Sol.
c + 2+x 21 - x
21 lnln
4.7.
dx 6 - x + x
1 + x2
2
∫
Sol. c + 3+x 2 - 2-x + x lnln
4.8.
dx x + x1 - x
2
3
∫
Sol.
c + 1 + x 2 + x - x - 2x2
lnln
4.9.
dx 1 - x1 + x
2
2
∫
Sol. c + 1-x + 1+x - x lnln
4.10.
1) + (x xdx
2∫
Sol.
c + x1 -
x1+x ln
RAONAMENT
Xavier Rabasa 23
cxx
x
cx
xxdxx
dxx
dxxxx
CBAxCxAx
xCxBxAx
xxxCxBxAx
xC
xB
xA
xx
+−+
=+−−+=∫+−
∫++
∫=+
∫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++====−=
=++++
+++++
=+++
=+
11ln
1ln1ln111
1)1(
11221
1011
1)1()1(
)1()1()1(
1)1(1
22
2
2
2
22
4.11.
9 - xdx
2∫
Sol.
c + 3+x3-x
61 ln
4.12.
1) + (x )1 - (xdx x
2∫
Sol.
c + 1-x
1/2 - 1x1x
41
−+ln
4.13.
2) + (x 1) - (x xdx 6
∫
Sol. c + 2+x + 1-x 2 + x 3- lnlnln
4.14.
dx x + x2 - x
1 + x - x23
2
∫
Sol.
c + 1-x
1 - x ln
4.15.
dx 1 + x
1 - 2x + x2 2
∫
Sol. c + 1+x - x2 ln
RAONAMENT
=+
∫−∫=+
−+∫ dx
xxdxdx
xxx
112
1122 2
c + 1+x - x2 ln
4.16. Sol.
Xavier Rabasa 24
4 + x3 - xdx 7x) - x(2
23
2
∫ c + 2-x
2 + 2-x + 1+x lnln
4.17.
3 - 2x + xdx 4) + (2x
2∫
Sol.
c + 1-x 23 + 3+x
21 lnln
4.18.
3) + (x)2 - 1)(x + (xdx
2∫
Sol.
c + +x - 2-x
1+x 2ln23ln −
4.19.
x + xdx
23∫
Sol.
c + 1+x + x1 - x - lnln
4.20.
)1 + (x )2 - (xdx 5) + 2x + x(3
22
2
∫
Sol.
c + 1)+(x 3
2 - 2)-(x 3
7-
RAONAMENT
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==+++−===+++−=
==−=
===
+−−+−+++++−
=+
++
+−
+−
=+−++
010244105442032691372192
)1()2()2()2)(1()1()1)(2(
)1(1)2(2)1()2(523
22
2222
2222
2
CDCBAxADCBAx
DDx
BBx
xxxDxxCxBxxA
xD
xC
xB
xA
xxxx
)1 + (x )2 - (xdx 5) + 2x + x(3
22
2
∫ c + 1)+(x 3
2 - 2)-(x 3
7-=
4.21. Sol.
Xavier Rabasa 25
dx 4x - x
8 - x + x3
45
∫ c + )2+(x)2-(x x + 4x +
2x +
3x
3
5223
ln
4.22.
dx 1 + x1 - x
2
2
∫
Sol. c + xarctg 2 - x
4.23.
4x + x4 - xdx 8) - (x
23∫
Sol.
c + 2-x
3 + x
2-x 2 ln
4.24.
dx 2 - x 5 + x 4 - x
1 + x23
∫
Sol.
c + 2-x 3 + 1-x
2 + 1-x 3- lnln
4.25.
4 + xdx
2∫
Sol.
c + 2x arctg
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
RAONAMENT
∫ ∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=∫ 22
21
21
21
214
1x
dx
xdx
4 + xdx
2c +
2x arctg
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4.26.
x + x + xdx
23∫
Sol.
c + 31+2x arctg
33 - 1+x+x
21 - x 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛lnln
4.27.
5 + 2x - xdx
2∫
Sol.
c + 2
1-x arctg 21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4.28.
1 - xdx 3
3∫
Sol.
c + 3
1+2x arctg - 1+x+x
1-x 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛3ln
4.29. Sol.
Xavier Rabasa 26
dx 25x + x6 - x25 + 2x - x5
23
2
∫ c + 43-x arctg 4 + 25+6x-x 2 + x 2lnln
4.30.
1) + x()1 - (xdx 2x -
22∫
Sol.
c + x arctg + 1-x
1
ALTRES 5.1. dx 3) - 2x + x3 + x( 23∫
Sol.
c + 3x - x + x + 4x 23
4
5.2.
dx 3) + e( x∫ Sol.
c + 3x + ex
5.3 dx x1 +
2x1 - x + e 23
3x- ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
Sol.
c + x1 - )(2x
43 -
4x 3 + e- 3
23 4
x-
5.4. dx e x x2∫
Sol. c + e 2 + e 2x - e x xxx2
5.5.
)1 + (3xdx
4∫
Sol.
c + )1+(3x 9
1-3
RAONAMENT
c)1x3(9
13
t·31dtt
31
)1 + (3xdx
3
34
4 ++
−=
−==∫
−−∫
1x3t += dx3dt = 5.6. Sol.
5
Xavier Rabasa 27
dx )x 2/3 + (3x + 5
x2 + 33
2
∫ c + x 32 + 3x + 5 3ln
5.7.
)x + x(dx 1) + (2x
32∫
Sol.
c + )x+x( 2
1-22
5.8.
dx x
x2cos
∫
Sol. c + x + x tg x cosln
5.9.
e + edx 5
x-x∫
Sol. c + e arctg 5 x
5.10. dx x )xtag + (1 22∫
Sol.
c + x tg 21 2
RAONAMENT
∫ +=+==∫ ctgx21c
2tdt
21dx x )xtag + (1 222
2tgxt = xdx2)xtg1(dt 22+= 5.11.
dx xsin2∫ Sol.
c + 22x sin - x
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
5.12.
dx xtag2∫ Sol.
c + x - xtg
5.13. dx x)tag + (3 2∫
Sol. c + xtg + x2
5.14.
dx xx
−
+∫
11
Sol. c + x-1 - x arcsin 2
5.15. Sol.
Xavier Rabasa 28
dx x x + 2 2∫ c +
3)x+(2 32
RAONAMENT
c)x2(31c
23t
21dtt
21dx x x + 2 32
23
21
2 ++=+==∫ ∫
2x2t += xdx2dt = 5.16.
dx senx+ 1
cosx 5∫
Sol. c + x sin+ 1 10
5.17.
dx e
1 + e + ex
x3x
∫
Sol.
c + e - x + 2e x-
2x
5.18.
x - 9dx
2∫
Sol.
c + 3x arc ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛sin
5.19.
1 + xdx x3
2
3
∫
Sol. ( ) c + 1+x 2 - 1+x x 3 2 322
5.20.
dx 35
x
x
∫
Sol.
c + (5/3) 1 .
35
x
ln⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
RAONAMENT
∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∫ dx
35dx
35
x
x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=∫
35
35 ln
1cct
35ln
1dt
35ln
1 x
x
35t ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= dx
35ln
35dt
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
5.21. Sol.
c + x1 -
xx - ln
Xavier Rabasa 29
dx x
x 2
ln∫
5.22.
dx 4x
4 + xsin
x6232
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∫
cos
Sol. c + (4x) tg + )x(cotg2- 3 1
5.23.
edx
1 + 2x∫
Sol.
c + e 21- 1-2x-
5.24.
4 + xdx
2∫
Sol.
c + 2x arctg
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
5.25.
4 + xdx x
3
2
∫
Sol.
c + 4+x 31 3ln
RAONAMENT
c4xln31ctl
31
tdt
31
4 + xdx x 3
3
2
++=+==∫ ∫
4xt 3 += dxx3dt 2= 5.26.
dx e + 1
e6x
3x
∫
Sol.
c + ) e ( arctg 31 3x
5.27. dx (-5x) e x5- 2∫
Sol.
c + e 21 x5- 2
5.28.
dx x
tgx2cos
∫
Sol.
c + 2
xtg2
5.29. dx tgx∫
Sol. c + x - cosln
5.30.
dx sin2x)3 - 5x( cos∫ Sol.
Xavier Rabasa 30
c + 2
2x 3 + 55xsin cos
RAONAMENT
∫ ∫ ++=−=∫ cx2cos23x5sin
51dx·sin2x3dx·5xcosdx sin2x)3 - 5xcos(
5.31.
)3 + x( + 1dx x
22∫
Sol.
c + 3)+xarctg( 21 2
5.32.
dx x
x ln∫
Sol.
c + 2
x 2ln
5.33. dx cosx) e - (x x∫
Sol.
c + 2
sinxe + cosx e - 2x xx2
5.34.
sinx- 1dx
∫
Sol.
c + tg(x/2) - 1
2
5.35. dx cosx esinx∫
Sol. c + e x sin
RAONAMENT
∫ +=+==∫ cecedtedx cosx e xsinttsinx xsint = xdxcosdt =
5.36. dx x xsin 33 cos∫
Sol.
c + 6
xsin - 4
xsin 64
5.37. dx )x + (1 x 2cos∫
Sol.
c + )x sin(121 2+
5.38.
)x + (1 xdx
∫
Sol. c + x+1 2 ln
5.39. Sol.
Xavier Rabasa 31
dx 9 - x9 + x
2∫ c + 3+x - 3-x 2 lnln
5.40.
dx e + 2
e 5x
x
∫
Sol. c + e+2 5 xln
RAONAMENT
∫ ++=++=+
=∫ ce2ln5ct2ln5t2
dt5dx e + 2
e 5 x
x
x
xet = dxedt x=
5.41.
dx x - x
x - x3
∫
Sol.
c + 7
x 6 + 4
x 3 + 3
x 2 6 73 46 9
5.42.
xsin - 1dx
2∫
Sol. c + tg(x)
5.43.
x + xdx x
∫
Sol. c + 1+x 2 - x x ln−
5.44.
dx x
xtg2
3
cos∫
Sol.
c + 4
x tg4
5.45.
dx x
e2
tgx
cos∫
Sol. c + e x tg
RAONAMENT
cecedtedx xcos
e tgxtt
2
tgx
+=+==∫ ∫
tgxt = dxxcos
1dt2
=
5.46. Sol.
Xavier Rabasa 32
dx x5 + 9
2x2
∫ c + x5+9 2ln51
5.47.
dx 1 + x
1 + 3x + x + x2 23
∫
Sol.
c + 1+x - x + x 3x2 3
ln342
2
−
5.48.
dx cosx sinx
xsin + 1 2
∫
Sol. c + x 2 - x sin coslnln
5.49.
dx xsin
cosx3
∫
Sol.
c + x sin 2
1-2
5.50.
dx x - 1
dx 2x4
∫
Sol. c + )x(arcsin 2
RAONAMENT
∫ +=+=−
=∫ cxarcsinctarcsint1
dtdx x - 1
dx 2x 2
24
2xt = xdx2dt =
Xavier Rabasa 33
INTEGRAL DEFINIDA .CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN RECINTE INTEGRAL DE RIEMANN ∫
b
a
dx)x(f
Suma dels rectangles positius i negatius d’a fins b fent que l’amplitud dels rectangles tendeixi a zero.
REGLA DE BARROW
Si ∫ dx)x(f =F(x)+c aleshores ∫b
a
dx)x(f =F(b)-F(a)
ÀREA DEL RECINTE TANCAT PER DUES FUNCIONS:
∫b
a
(f(x)-g(x))dx ∫−
0
2
(f(x)-g(x))dx- ∫2
0
(f(x)-g(x))dx
+
+
+
_ a
b
Xavier Rabasa 34
∫b
a
(f(x)-g(x))dx ∫d
c
(f(y)-g(y))dy
EXEMPLES Calculeu l’àrea que tanquen les dues funcions a)
a) raonament
⎩⎨⎧
+−==
2)1x()x(gx2)x(f
2
∫=
=
−=3x
1x
dx))x(g)x(f(A =
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
=−+−∫3
1
3
1
23
2 x3x23xdx)3x4x(
.a.u34)
34(0 =−−
b)
b) raonament
⎩⎨⎧
−−==
4)2x()x(g0)x(f
2
.a.u3
32323
64x23x
dx)x4x(dx))x(g)x(f(A4
0
23
4
0
24x
0x
=+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
=
+−=−= ∫∫=
=
Xavier Rabasa 35
c) raonament
c) raonament
⎩⎨⎧
+−====
4x)x(fyx3)x(gy 2
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−==
==
4y)y(fx3y)y(gx
∫ ∫∫
∫∫
=
=
=
+−+=
+=−=
1
0x
4
1
24
1
1
0
3y
0y
dx)4x(dxx3dx)x(f
dx)x(gdy))y(g)y(f(A
.a.u211
291 =+=
d) raonament
d) raonament
⎩⎨⎧
==
x)x(gx2)x(f
380
38x
21x
34
dx)xx2(dx))x(g)x(f(A4
0
223
4
0
4x
0x
=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
=−=−= ∫∫=
=
e) e) raonament
⎩⎨⎧
==+==
⎩⎨⎧
±=
−==2y)y(gx2y)y(fx
xy
2x)x(fy
⎩⎨⎧
=−=
⇒+=2y
1y2yy2
.a.u627)
67
310(
3yy2
2ydy))y(g)y(f(A
2
1
322y
1y
=+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=−=
−
=
−=∫
f) f) raonament
Xavier Rabasa 36
Punts de tall (0,0) i (5,2)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−=
)4x(x52)x(g
)6x(x52)x(f
∫∫ ==−==
=
5
0
5x
0x
xdx54dx))x(g)x(f(A
[ ] .a.u10)025(52x
52 5
02 =−==
EXERCICIS
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: 23xxf(x) 2 +−= l’eix OX, (y = 0) i les rectes (x=0) i ( x=3). RAONAMENT
Punts de tal amb l’eix horitzontal(y=0)
x2-3x+2=0 ⇒ ⎩⎨⎧
⇒⎩⎨⎧
==
)0,2()0,1(
2x1x
contínua i definida positiva a l’interval ),2()1,( ∞∪−∞ contínua i definida negativa a l’interval (1,2)
⇒+−== ∫ x22x3
3xf(x)dx)x(F
23
⎩⎨⎧
====
2/3)3(F3/2)2(F6/5)1(F0)0(F
A = ∫ ∫ ∫+−1
0
2
1
3
2
f(x)dxf(x)dxf(x)dx = F(1)-F(0)-F(2)+F(1)+F(3)-F(2)=
2F(1)-2F(2)+F(3)-F(0)=6110
23
34
35
=−+− u.a.
1
f(x)=x^2-3x+2
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x
y
Xavier Rabasa 37
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció xcos)x(f = , l’eix OX (y=0) i les rectes (x=0) i (x=π ). RAONAMENT
∫ ∫ == sinxcosxdxf(x)dx
A= ∫∫∫ =−==−2/
02/
2/
0
2]01[2xdxcos2dx)x(fdx)x(fππ
π
π
u.a.
Calculeu l’àrea del recinte limitat per les rectes (x=0) i (x=1) i la
funció )3x)(1x(
1y++
= .
RAONAMENT
f(x) contínua, derivable i definida positiva a l’interval [0,1].
3
2
f(x)=1/(x^2+4x+3)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x
y
f(x)=cos(x)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x
y
Xavier Rabasa 38
=+−+=
⇒−=
=⇒
=−=
⇒−=−=
⎩⎨⎧
⇒=+++⇒+
++
=++
∫ )3x(ln21)1xln(
21dx)x(f
21B
21A
1B21A2
3x1x
sisi
1)1x(B)3x(A)3x(
B)1x(
A)3x)(1x(
1
3x1xln
++
= A=23ln
3010ln
3111lndx)x(f
1
0
=++
−++
=∫
Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: y = ln x, y = 0 i x = e. RAONAMENT Si y = 0, x = 1
xxlnxlnxdx −=∫
A = ∫ =e
1
lnxdx (e - e)- (-1)=1 u. a.
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: y = ln(x+3), l’eix OX´(y=0) i les rectes (x=0) i (x=1). RAONAMENT
5
4
f(x)=ln(x)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
f(x)=ln(x+3)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
1 e
Xavier Rabasa 39
f(x)=ln(x+3) contínua i definida positiva en [0,1].
xvdxdv3x
dxdu)3xln(u
x)3xln()3x(dx3x
x)3xln(xdx)3xln(
==+
=+=
−++=+
−+=+∫ ∫
A= 13ln34ln4)03ln3()14ln4(dx)3xln(1
0
−−=−−−=+∫
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: 2xsin)x(f = , l’eix
OX (y=0) i les rectes (x=0) i (x=π ). RAONAMENT
f(x)=sin(x/2)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
La funció f(x) és contínua i definida positiva a l’interval (0, π )
∫ ∫ ∫ −===2x2cosdx
2xsin
212dx
2xsinf(x)dx +c
A = ∫ −−=π
0
)2()0(dx)x(f = 2 u.a.
Calculeu l’àrea del recinte limitat per les funcions: 2xx4)x(f −= i x2x)x(g 2 += .
7
6
Xavier Rabasa 40
RAONAMENT Punts de tall d’ambdues funcions:
⎩⎨⎧
⇒==
⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
+=−=
)3,1()0,0(
3y0y
1x0x
x2xyxx4y
2
2
interval [0,1] f(x) i g(x) són contínues i positives a l’interval [0,1] amb f(x)>g(x)
A=311
32dx]x2x2[dx)]x(g)x(f[
1
0
1
0
1
0
2 23
x3x2
=+−
==+−=−∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−∫
A=1/3 u.a.
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció: x3x4x)x(f 23 +−= i l’eix OX . RAONAMENT
Punts de tall amb l’eix OX ⇒⎩⎨⎧
=+−=
0yx3x4xy 23
x=0, x=1, x=3
interval )3,1()1,0( ∪ en (0,1) f(x)>0 i en (1,3) f(x)<0
F(x)=2x3
3x4
4xdx)x3x4x(
23423 +−=+−∫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−===
→4/9)3(F
12/5)1(F0)0(F
A= =− ∫∫3
1
1
0
)x(f)x(f 2F(1)-F(3)=1237
8
f(x)=4x-x^2
f(x)=x^2+2x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
f(x)=x^3-4x^2+3x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Xavier Rabasa 41
Àrea que delimita la funció y= tg (x), amb l’eix OX i la recta x=π/4. RAONAMENT
f(x)=tan(x)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
y
ln(cosx)tgxdx −=∫ si x = 0 tg x = 0 punt de tall ( 0 , 0 )
A = 2ln)2
1ln(lncos(0)/4)lncos(tgxdxπ/4
0
=−=+−=∫ π u. a.
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la funció
2
2
x1x)x(f+
= , l’eix OX (y=0) i les rectes verticals (x=-1) i (x=1).
RAONAMENT
f(x)=x^2/(1+x^2)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
f(x) contínua a tot R i toca a l’eix horitzontal en x=0, i en tot x≠ 0 f(x) és positiva.
∫ ∫ −=+
−= arctgxxdx)x1
11(dx)x(f2
10
9
Xavier Rabasa 42
A= ∫−
=+
1
12
2
dxx1
x2
2)4
1()4
1( πππ−=+−−− u.a.
Calcular el valor d’m per tal que l’àrea del recinte limitat per la
corba 2x)x(f = i la recta g(x)=m x sigui 29 u. a.
RAONAMENT
Punts de tall d’ambdues funcions,
2
2
my0y
mx0x
mxyxy
==
⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
==
Si m>0 interval (0,m) amb g(x)>f(x) aleshores:
A= 0)3
m2
m(dx)xmx(dx))x(f)x(g(33m
0
2m
0
−−=−=− ∫∫
Si 3m27m29
6m 3
3
=⇒=⇒=
Si m<0 interval (m,0) amb g(x)>f(x) aleshores:
A= )3
m2
m(0dx)xmx(dx))x(f)x(g(330
m
20
m
−−=−=− ∫∫
Si 3m27m29
6m 3
3
−=⇒−=⇒=−
Solucions m=± 3
Calculeu l’àrea compresa per la funció xlny = , l’eix OX (y=0) i la recta tangent a la funció en el punt d’abscissa x=e.
12
11
f(x)=x^2
f(x)=3x
f(x)=-3x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Xavier Rabasa 43
RAONAMENT
Punt de tangència ( e , 1 ) m = y’(e)=1/e recta tangent y=(1/e)x( 0 , 0 ) punt de tall de la tangent i l’eix horitzontal xxxxdx −=∫ lnln
A = e/2 - 12e1)]([0
2elnxdx
2e e
1
−=−−−=− ∫ u. a.
Àrea limitada per x
x
exxe)x(f == − i les rectes (x=0) i
(y= l’ordenada en el seu punt màxim). RAONAMENT
ordenada del punt màxim:
)e1,1(P
e1y
1x0e
x1e
)x1(e)x('fxx2
x
⇒=⇒
=⇒=−
=−
=
∫ ∫ −−−− +−=+−= xxxx 1)e(xdxexedxxe
A= 1e3
e1x
e1f(x)dx
e1 1
0
1
0x
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+=− ∫ u. a.
Àrea limitada per la funció xey = , la seva recta tangent en el punt d’abscissa x=1 i l’eix vertical (x=0).
14
13
f(x)=x*e^(-x)
f(x)=1/e
Graph Limited School Edition
-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
f(x)=ln(x)
f(x)=x/e
Graph Limited School Edition
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x
y
Xavier Rabasa 44
RAONAMENT
Punt de tangència, x = 1 ⇒ y = e punt A(1,e) Equació de la recta tangent: m=y’(1)=e i passa pel punt A(1,e) aleshores y – e = e ( x – 1 ) ⇒ y = ex
A= ∫ −=−−=−1
0
01x 12e
2e)ee(
2edxe u.a.
Àrea limitada per la corba xxey = , l’eix OY(x=0) i la recta (y=l’ordenada corresponent al punt mínim de la funció). RAONAMENT
punt mínim y’=ex(1+x)=0 ⇒ x=-1 punt A )e1,1( −
−
recinte⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
=
xxeye1y
0x F(x)= )1x(edxxe xx −=∫
A= [ ] 1e3)e2()1(
e1dxxe
e1 1
0
1
x −=−−−+=+ −
−∫ u.a.
15
f(x)=(e^x)x
f(x)=-1/e
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
f(x)=e^x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Xavier Rabasa 45
Àrea limitada per la corba: 3x2xy 2 +−−= i la recta (y=3). RAONAMENT Punts de tall:
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
===−=
=+−−=
3y0x3y2x
3y32xxy 2
c3xx3xdx)3x2x(ydx 2
32 ++−
−=+−−=∫ ∫
A = 6ydx0
2
−∫−
= (22/3)-6 = 4/3 u. a.
Trobeu l’àrea que delimita la funció f(x)=x2+1 amb la seva recta normal en x=1 i els eixos de coordenades. RAONAMENT
Punt de contacte (1,2) pendent de la
normal m =21
)1('y1
−=−
Equació de la recte normal 25x
21y +−=
Punt de tall de la normal amb l’eix horitzontal (5,0)
cx3xdx)1(xf(x)dx
32 ++=+=∫ ∫ A = 4
34
24·2f(x)dx
1
0
+=+∫ u. a.
Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: f(x) = - x4 + 2x2 i g(x) = 1.
18
17
16
f(x)=-x^2-2x+3
f(x)=3
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x
y
2− 0
f(x)=x^2+1
f(x)=(-x+5)/2
Graph Limited School Edition
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
Xavier Rabasa 46
RAONAMENT
Punts de tall d’ambdues funcions,
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
=±=
⇒+−=
=1y1x
x2xy1y
24
c3
2x5xf(x)dx
35
++−
=∫
B=21514)
32
512(ydx
1
0
=+−=∫ u. a. A=2-B=1516
15142 =− u. a.
Trobeu l’àrea compresa entre la funció 2x2
x)x(f2
−= i les rectes:
x=3 i g(x)=2. RAONAMENT
Punts de tall entre f(x) i g(x),
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎩⎨⎧
==
⇒=−
=2y2x
2y2x2
xy2
punt (2,2)
1)]ln(xx/2[x21f(x)dx 2 −++=∫
A= ln221
412(4)]ln2)3[(9/2
212f(x)dx
3
2
+−=−−++=−∫ u. a.
Àrea que tanquen les corbes: f(x)=-x2+2x i g(x)=x3(x - 2). RAONAMENT
20
19
f(x)=(x^2)/(2x-2)
f(x)=2
x(t )=3 , y(t )=t
Graph Limited School Edition
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
x
3
f(x)=-x^4+2x^2
f(x)=1
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
Xavier Rabasa 47
f(x)=-x^2+2x
f(x)=x^4-2x^3
Graph Limited School Edition
-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
punts de tall: x=0 x=2
2345
x3x
2x
5xf)dx(g −+−=−∫ A= 4
388
532f)dx(g
2
0−+−=∫ −
Àrea que tanca la funció: x
x
e1xe)1x()x(f −
=−= − i els eixos de
coordenades, (y=0) i (x=0) RAONAMENT
f(x)=(x-1)/e^x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
1x01x0y =⇒=−⇒= =−−=−
−= ∫ ))0(F)1(F(dxe
1xA1
0x
.a.ue1
∫∫ −−−−− −=−−−=+−−=−= xxxxxx xeee)1x(dxee)1x(dxe)1x()x(F
⎩⎨⎧
−===−=
−− xx evdxedvdxdu1xu
22
21
Xavier Rabasa 48
Trobeu l’àrea que determinen les funcions xlny = , 3y = i els eixos de coordenades ( x=0 ,y=0 ). RAONAMENT
f(x)=ln(x)
f(x)=3
Relleno 1
Graph Limited School Edition
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
y
⎩⎨⎧
==
xln)x(g3)x(f
punts de tall 3ex3xln =⇒=
[ ] =−−=−=−=−= ∫∫ 0)e3e4(xlnxx4dx)xln3()x(g)x(fA 33e
0
e
0
e
0
33
3
3e
∫∫ −=−== xxlnxdx1xlnxxdxln)x(F
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==
xvdxdv
dxx1duxlnu
Trobeu el valor d’a per tal que l’àrea que delimita la corba
axy 2 +−= amb l’eix OX (y=0), sigui igual a: 18 u.a. RAONAMENT
f(x)=-x^2+9
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Tall amb l’eix OX ax0y
axy 2
±=⇒⎩⎨⎧
=+−=
23
Xavier Rabasa 49
∫ =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−
=+−=a
0
a
0
32 aa
320aa
3aaax
3x2dx)ax(2A
Si 9a27aa18aa32
=⇒=⇒=
Calculeu l’àrea compresa per les corbes 2xy = , x1y = i la recta
x=2. RAONAMENT
f(x)=x^2
Relleno 1
f(x)=1/x
x(t )=2 , y(t)=t
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Punt de tall d’ambdues funcions 1x1xx1y
xy3
2
=⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫ 0
312ln
38xln
3xdx
x1xA
2
1
32
1
2 2ln37− u.a.
Trobeu l’àrea que delimita 1xy 2 += , la seva tangent en x=1 i l’eix vertical (x=0). RAONAMENT
25
24
Xavier Rabasa 50
f(x)=x^2+1
f(x)=2x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Recta tangent en el punt (1,2)
⎩⎨⎧
===−=−
2)1(2)1('ym)1x(m2y
⇒ x2y =
( )[ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−=−+= ∫ 3
1238xx
3xdxx21xA
2
1
231
0
2
31 u.a.
Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: 24 x4xy −= i 4xy 2 −= . RAONAMENT
f(x)=x^2-4
f(x)=x^4-4x^2
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Punts de tall entre les dues funcions
⎩⎨⎧
±==±==
⇒=+−⇒⎩⎨⎧
−=−=
2x4x1x1x
04x5x4xy
x4xy2
2
24
2
24
( ) ( )( )∫ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
=−−−=2
1
2
1
35242 x4
3x5
5x2dxx4x4x2A
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+− 4
335
53124
35
518
340
5322 =
1544 u.a.
26
Xavier Rabasa 51
Trobeu l’àrea que tanquen les corbes: xxy 3 −= , x3y = . RAONAMENT
f(x)=x^3-x
Relleno 1
f(x)=3x
Graph Limited School Edition
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Punts de tall entre les dues funcions
⎩⎨⎧
±==
⇒⎩⎨⎧
==
⇒=−⇒⎩⎨⎧
=−=
2x0x
4x0x
x3xxx3y
xxy2
3
3
( ) ( )[ ] ( )∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=−−=
2
0
2
1
23 241842x2
4x2dxxxx32A
4
=29 u.a.
Àrea compresa entre 23 xxy −= i l’eix OX. RAONAMENT
f(x)=x^3-x^2
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x
y
Punts de tall amb l’eix d’abscisses ⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−=
1x0x
1x0x
0yxxy 223
28
27
Xavier Rabasa 52
∫ =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
=−−=1
0
1
0
3423 0
31
41
3x
4xdx)xx(A
121 u.a.
Trobeu l’àrea compresa entre la funció 4x5x
xy2 +−
= i les rectes:
x = 5 i x = 7. RAONAMENT
f(x)=x/(x^2-5x+4)
Relleno 1
x(t)=5 , y(t)=t
x(t)=7 , y(t)=t
Graph Limited School Edition
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5
x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=⇒
=+−==+=
⇒=−+−⇒−
+−
=−−
31A
34B
10A31x4B304x
x)1x(B)4x(A4x
B1x
A)4x)(1x(
x
∫ −+−=−−
= )4xln(B)1xln(Adx)4x)(1x(
x)x(F =
= 4xln341xln
31
−+−−
04ln313ln
346ln
31)5(F)7(Fdx
4x5xxA
7
52
−++−
=−=+−
= ∫ u.a.
29
Xavier Rabasa 53
Àrea que tanquen les corbes: )1xln(y 2 += i 5lny = * )(arctg)(arctg αα −=− . RAONAMENT
f(x)=ln(x^2+1)
Relleno 1
f(x)=ln(5)
Graph Limited School Edition
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
Punts de tall entre les funcions 2x4x5lny
)1xln(y 2
2
±=⇒=⇒⎩⎨⎧
=+=
( ) [ ]∫ ∫ +−=+−=2
0
2
0
22
02 dx)1xln(25lnx2dx)1xln(5ln2A
=−+− 2arctg485ln45ln4 2arctg48 − u.a.
2arctg245ln20)2arctg245ln2()0(F)2(Fxvdxdv
dx1x
x2du)1xln(u
c)x(arctg2x2)1xln(x
dx1x
x2)1xln(xdx)1xln()x(F
*
2
2
2
2
222
+−=−+−=−
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
==+
=+=
++−+=
=+
−+=+= ∫ ∫
EXERCICIS PROPOSATS
Àrea que tanquen les corbes 1xy −= i 2y = .
31
30
Xavier Rabasa 54
f(x)=abs(x-1)
f(x)=2
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Sol. A = 4 u.a.
Àrea que tanquen les corbes: x2xy 2 −= i )2x(xy 3 −=
f(x)=x^2-2x
Relleno 1
f(x)=(x-2)(x^3)
Graph Limited School Edition
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Sol.
A = .a.u154
Àrea que tanquen les corbes: 24 x2xy +−= , 2xy += , 2xy +−= .
f(x)=2-abs(x)
f(x)=-x^4+2x^2
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
Sol.
A = .a.u1531
Àrea que tanquen les funcions: 2x2y −= i xy = .
f(x)=2-x^2
f(x)=abs(x)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
Sol.
A = .a.u37
34
33
32
Xavier Rabasa 55
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba x3xy 2 −= i l’eix OX
f(x)=x^2-3x
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Sol.
A = .a.u29
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba )3x)(1x(xy −−= i l’eix OX .
f(x)=(x)(x-1)(x-3)
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Sol.
A = .a.u1237
Calculeu l’àrea del recinte limitat per la corba x8x6xy 23 +−= i l’eix OX.
37
36
35
Xavier Rabasa 56
f(x)=x^3-6x^2+8x
Relleno 1
Graph Limited School Edition
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Sol. A = .a.u8