Xavier Rabasa 1

Xavier Rabasa 2

ÍNDEX Vectors Bidimensionals fórmules 3 exercicis 5 Punts i Rectes fórmules 17 exercicis 22

Xavier Rabasa Arévalo Professor de Matemàtiques

Xavier Rabasa 3

VECTORS EN EL PLA EINES OPERACIONS AMB VECTORS

)12,7()84,52()8,5()4,2(

=++=+

)4,3(

)84,52()8,5()4,2(−−=

−−=−

)28,14()4·7,2·7()4,2(7 == )8,6()4·3,2·3()4,2(3 −−=−−=−

IDENTITAT DE DOS VECTORS

( )⎩⎨⎧

==

⇔=b)x(ga)x(f

)b,a()x(g),x(f

MÒDUL D’UN VECTOR =v (a,b) =v (a,b) 22 bav +=→

VECTOR UNITARI D’UN VECTOR =v (a,b)

)b,a(ba

1vvu

22 +==

VECTORS PERPENDICULARS A UN VECTOR =v (a,b)

)a,b(wG)a,b(wG

2º90

1º90

−=−=

−

PRODUCTE ESCALAR DE VECTORS )b,a(v i )d,c(w = que formen un angle α entre ells.

Xavier Rabasa 4

Forma cartesiana bdac + Forma polar αcos·dc·ba 2222 ++ CONDICIÓ DE PARAL·LELISME I PERPENDICULARITAT dels vectors )b,a(v i )d,c(w =

lelisme·paraldb

ca=

⇔= 0w·vlaritatperpendicu 0bdac =+ ANGLE ENTRE DOS VECTORS )b,a(v i )d,c(w =

a c + b d = 22 ba + · →+ αcos·dc 22

·dc·babdaccos

2222 +++

=α

VECTOR QUE UNEIX DOS PUNTS A(a,b) i B(c,d)

)bd,ac(ABAB −−=−= PUNT MIG M ENTRE DOS PUNTS A i B

2BAM +

= ⇒ AM2BBM2A

−=−=

PUNTS ( P 1 , .... , P N - 1 ) QUE DIVIDEIXEN UN SEGMENT AB EN n PARTS IGUALS

nkBA)kn()AB(

nkAPk

+−=−+=

RELACIÓ ENTRE ELS VÈRTEXS D’UN PARAL·LELOGRAM ABCDA + C = B + D

Xavier Rabasa 5

BARICENTRE D’UN TRIANGLE A B C

3CBAG ++

=

Calculeu x per tal que el vector ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= x,

31u sigui unitari.

RAONAMENT

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+=⇒=⇔=+⇔=

322x

322x

98x1x

911u 22

Donats els vectors )1,2(u = i )2,0(v = , calculeu el mòdul del vector vu + RAONAMENT

1332vu)3,2()21,02()2,0()1,2(vu 22 =+=+=++=+=+

Trobeu un vector ortogonal al vector )4,3(v = que sigui unitari. RAONAMENT Mòdul de )4,3(v = 5169v =+==

1

2

3

Xavier Rabasa 6

vectors ortogonals de )4,3(v = ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=

−=−=

)3,4()a,b(w

)3,4()a,b(w

2

1

vectors ortogonals unitaris de )4,3(v =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−==

−=−==

)53,

54()3,4(

51

5wu

)53,

54()3,4(

51

5wu

22

11

Calcula x de manera que els vectors )x,3(u −= i )2,4(v −= siguin ortogonals. RAONAMENT Vectors perpendiculars 6x02)·x()4·(30v·u −=⇔=−+−⇔=⇔

Si )1,3(v −= i )2,2(u −= calcula: a) uv + b) u2v +

RAONAMENT a) )1,1()21,23(uv =+−−=+ b) 1091)3,1(u2v =+=−=+

Els punts )2,1(A −− , )1,1(B i )0,4(C són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram, calculeu les coordenades del quart vèrtex. RAONAMENT

)3,2()1,1()0,4()2,1(BCADDBCA −=−+−=−+=⇒+=+

4

5

6

Xavier Rabasa 7

Digues si són o no unitaris els següents vectors: a) )1,0(u −= b) )

22,

22(v −

= c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21,

21w

RAONAMENT

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+=

=+=

=+=

no21

41

41w)c

si142

42v)b

si110u)a

Completeu els vectors unitaris següents: a) )x,6'0(u = b) )21,y(v =

RAONAMENT

⎪⎩

⎪⎨

⎧

±=⇒=+⇒=

±=⇒=+⇒=

23y1

41y1v

8'0x1x36'01u

2

2

Trobeu els dos vectors unitaris amb direcció del vector )12,5(v −= . RAONAMENT

)12,5(v −= 1314425 =+=v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±=±=1312,

135

vvu

7

8

9

Xavier Rabasa 8

Trobeu un vector unitari en la mateixa direcció i sentit del )2,4(v = . RAONAMENT

)5

1,5

2()2,4(52

1416)2,4(

vvu ==

+==

Trobeu un vector ortogonal al vector )1,3(v −= que compleix: a) la seva primera component és 2. b) la seva segona component és 4. c) vector unitari. RAONAMENT Tots els vectors ortogonals són de la forma : ( ) )t3,t(3,1tw ==

)103,

101(w

101t1t9t)c

)4,34(w

34t4t3)b

)6,2(w2t)a

22 ±=±==+

===

==

Donats els vectors )1,3(v −= i )k,6(w = , calcula el valor de k per tal que: a) siguin paral·lels, b) siguin perpendiculars. RAONAMENT a)

condició de paral·lelisme 2k6k31k

36

−=⇒=−⇒=−

b)

10

11

12

Xavier Rabasa 9

condició de perpendicularitat 18k0k·16)·3(0w·v −=⇒=+−⇒=

Trobeu un vector u perpendicular al vector )6,3(v −= complint: a) la seva primera component és 2, b) el seu mòdul és 1. RAONAMENT els vectors perpendiculars a )6,3(v −= són: )t,t2()1,2(t)3,6( =≈λa) primera component 2 )1,2(u1t2t2 =⇒=⇒=⇒ b)

de mòdul 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=⇒±=⇒=⇒=+⇒

51,

52u

51t

51t1tt4 2222

Trobeu un vector w paral·lel al )3,4(v −= de mòdul 10. RAONAMENT Tot vector paral·lel a )3,4(v −= és de la forma )t3,t4()3,4(t −=−

Si el mòdul és 10 2t4t25

100t10t9t16 2222 ±=⇒±=⇒=⇒=+⇒

)6,8(w −±=⇒

Trobeu les coordenades del vector AB en funció de les coordenades dels punts A i B. RAONAMENT

13

14

15

Xavier Rabasa 10

ABOAOBAB −=−=

Trobeu les coordenades del punt mig M del segment AB en funció de les coordenades dels extrems A i B. RAONAMENT

2BA

2ABAM

2ABAMAB

21AM +

=−

+=⇒−

=−⇒=

Trobeu les coordenades dels punts P i Q, en funció de A i B, que divideixen el segment AB en tres parts iguals. RAONAMENT

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=

−+=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−=−

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

3B2AQ

3BA2P

3A2B2AQ

3ABAP

3A2B2AQ

3ABAP

AB32AQ

AB31AP

Trobeu el centre M i el radi R, d’una circumferència que té per diàmetre els punts A i B. RAONAMENT

Centre és el punt mig del segment AB ⇒ 2

BAM +=

El radi R= AB21

16

17

18

Xavier Rabasa 11

Donat el vector ),( yxa = calculeu: a) el vector que resulta de girar el vector a un angle de 90º, b) el vector que resulta de girar el vector a un angle de -90º, c) tots els vectors paral·lels al vector a en funció d’un paràmetre t, d) tots els vectors perpendiculars al vector a en funció d’un paràmetre t. RAONAMENT a) efectuar un gir º90G sobre ),( yxa = resulta )x,y(w1 −= b) efectuar un gir º90G− sobre ),( yxa = resulta )x,y(w2 −= c) vectors paral·les a ),( yxa = són )ty,tx()y,x(ta·t == d) vectors perpendiculars a ),( yxa = són ))x,y(tw·t −±=

Simplifiqueu, si es possible, les operacions següents: a) BCAB + b) BAAB + c) CAAB +

d) CDBCAB ++ e) CBAB − f) MMMN +

RAONAMENT

ACACBCABBCAB =−=−+−=+ 0BAABBAAB =−+−=+

CBCBCAABCAAB =−=−+−=+ ADADCDBCABCDBCAB =−=−+−+−=++

ACAC)CB(ABCBAB =−=−−−=− MNMMMNMMMN =−+−=+

19

20

Xavier Rabasa 12

Si coneixem els punts mitjans A’ B’ C’ d’un triangle, calculeu els seus vèrtexs ABC en funció dels punts mitjans. RAONMENT

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−+=−+=

→−+−+−+

→=+=+=+

'C'B'AC'B'C'AB'A'C'BA

FFFFFFFFF

'B2CAF'C2BAF'A2CBF

231

321

132

3

2

1

Trobeu les components d’un vector v de mòdul 4 i argument 30º. RAONMENT

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

===

2214º30sin4y

32234º30cos4x

⇒ ( )2,32v =

Calculeu el mòdul i el argument del vector: )3,1(v = . RAONMENT

º602vº60

13arctg

231v=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=+=

α

21

22

23

24

Xavier Rabasa 13

Trobeu l’angle que formen els vectors: )1,3(u −= )3,4(v −= . RAONAMENT

º3'152103cosar

103

5·10312

·dc·babdaccos

2222=

−=⇒

−=

−−=

+++

= αα

Trobeu el producte escalar de b·a on se sap que )2,1(a −= , 4b = i l’angle format pels dos vectors és de 60º. RAONAMENT

Si 52b·a54b·a

21

4·5b·aº60cos)y,x(b =⇒

⎩⎨⎧

=⇒⎩⎨⎧

=⇒=

Trobeu la projecció del vector )2,3(v = sobre el vector )1,5(w −= . RAONAMENT Si p és la projecció del vector v sobre w,

226

2613

26)1(25·3pw·pw·v ==

−+=⇒=

Un gos vol creuar un riu que té una corrent en sentit de l’eix horitzontal positiu i una velocitat de 3 m/s i ho vol fer perpendicularment amb una velocitat de 6m/s. Calculeu la velocitat resultant i el seu angle de desviació. RAONAMENT Si )6,0()0,3( == yx vv vector velocitat

25

26

27

Xavier Rabasa 14

)6,3()6,0()0,3(v =+=

velocitat sm5345369v ==+=

angle respecte de l’eix OX: º8'622arctg36tg ==⇒= αα

Escriu el vector )1,5(c −= com a combinació lineal dels vectors

)1,2(a = i )3,1(b −= . RAONAMENT

ba2c1

213

52)3,1()1,2()1,5( −=⇒

⎩⎨⎧

−==

⇒⎩⎨⎧

−=+=−

⇒−+=−µλ

µλµλ

µλ

Esbrina: a) si els vectors )2,3(a −= i )1,1(b = són linealment dependents. b) si els vectors )6,3(a −= i )4,2(b −= són linealment dependents. RAONAMENT

a) ⇒≠− 2

13

1 són linealment independents

b) ⇒−

=− 6

43

2 són linealment dependents

Són linealment independents els vectors )1,0(u = i )2,1(v −= ? expressa els vectors )2,3(a = i )1,2(b −= com a combinació lineal de u i v .

28

29

30

Xavier Rabasa 15

RAONAMENT

a) ⇒−

≠2

110 linealment independents

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−=⇒⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎩⎨⎧

=−−=

⇒−+=−

+=⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=−=

⇒−+=

v2u3b32

122

)2,1()1,0()1,2(

v3u8a83

223

)2,1()1,0()2,3(

αβ

βαβ

βα

αβ

βαβ

βα

Calculeu l’angle que formen els vectors següents: a) ( 3,2) i (4,-6) b) (2,1) i (3,-2) c) (1,0 ) i (1,1)

RAONAMENT

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒−

=

=⇒−

=

=⇒=−

=

º452·1

01cos)c

ºº15'605·13

26cos)b

º90052·13

1212cos)a

αα

αα

αα

Calculeu el valor d’x per tal que l’angle que formen els vectors

)33,3(a = i )2,x(b = sigui de 60º. RAONAMENT

332

348x12x34x4x

32x4x4x·636x3

21

4x·636x3º60cos

22

2

22

−=

−=⇒++=+

⇒+=+⇒+

+=⇒

++

=

31

32

Xavier Rabasa 16

Donat els punts A (2,1); B (6,3); C (7,1) i D (3,-1). Demostreu que el polígon A B C D és rectangle i calculeu el seu perímetre i la seva àrea.RAONAMENT

)2,1()2,4()2,1()2,4( −−=−−=−== DACDBCABDABCiCDAB −=−= formen paral·lelogram

BCAB· = 4 – 4 = 0 formen rectangle Perímetre 56)520(222 =+=+ BCAB u. l.

Àrea 105·20· ==BCAB u. a.

33

Xavier Rabasa 17

PUNTS I RECTES EN EL PLA EINES EQUACIONS DE LA RECTA QUE PASSA PER UN PUNT

)y,x(A 00 I PORTA LA DIRECCIÓ D’UN VECTOR )b,a(v = vectorial )b,a()y,x()y,x( 00 λ+=

paramètrica ⎩⎨⎧

+=+=

byyaxx

0

0

λλ

contínua b

yya

xx 00 −=

−

explícita 00 y)xx(aby +−= pendent m =

ab

implícita 0)aybx(aybx 00 =−−− DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS )b,a(A i )d,c(B .

22 )bd()ac(AB −+−= POSICIÓ RELATIVA D’UN PUNT )y,x(A 00 I UNA RECTA { 0cbyax =++ }.

⎩⎨⎧

≠++=++

recta_la_a_ytanper_no_punt_el0cbyaxrecta_la_a_ytanper_punt_el0cbyax

00

00 el

Xavier Rabasa 18

CERCAR UN PUNT )y,x(A 00 DE LA RECTA { 0cbyax =++ } Fixar un valor de 0xx = i substituir a l’equació de la recta per tal de calcular el valor de 0yy = ,

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

=

bcaxy

xx

00

0

punt )b

cax,x( 00

−−

DISTÀNCIA ENTRE PUNT )y,x(A 00 I RECTA { 0cbyax =++ }

22

00

bacbyax

d+

++=

ANGLE FORMAT PER DUES RECTES:

Forma explícita⎩⎨⎧

+=+=

22

11

nxmynxmy

21

21

mm1mmtag

+−

=α

Forma implícita⎩⎨⎧

=++=++

0'cy'bx'a0cbyax

2222 'b'aba

'bb'aacos

++

+=α

FEIX DE RECTES PARAL·LELES A LA RECTA { 0cbyax =++ }

0?byax =++ PARAL·LELA A { 0cbyax =++ } QUE PASSA PER )y,x(P 00 1. feix de rectes paral·leles 0?byax =++ 2. la que passa per P 0)byax(byax 00 =+−+

Xavier Rabasa 19

FEIX DE RECTES PERPENDICULARS A { 0cbyax =++ }

0?aybx =+− PERPENDICULAR A { 0cbyax =++ } QUE PASSA PER )y,x(P 00

1. feix de rectes perpendiculars 0?aybx =+− 2. la que passa per P 0)aybx(aybx 00 =−−− FEIX DE RECTES QUE PASSEN PER UN PUNT )b,a(P

b)ax(my +−= BISECTRIUS DE LES DUES RECTES { 0cbyax =++ } i { 0'cy'bx'a =++ }

2222 'b'a'cy'bx'a

bacbyax

+++

±=+++

ESTRATÈGIES PROBLEMES DE DISTÀNCIES Distància entre dos punts

1. mòdul del vector que uneix els dos punts (única solució)

Distància entre un punt i una recta

1. aplicar la fórmula de la distància entre un punt i una recta. (única solució)

Distància entre dues rectes paral·leles

Xavier Rabasa 20

1. triar un punt de la primera recta 2. calcular la distància del punt a la segona recta (única solució)

DETERMINACIÓ D’UN PUNT Punt P simètric del punt A respecte del punt B

1. B és el punt mig entre P i A ⇒ P = 2 B – A (única solució)

Punt P simètric del punt A respecte de la recta ®

1. equació de la recta perpendicular a ® que passa per A 2. punt M intersecció d’ambdues rectes 3. M és el punt mig entre P i A ⇒ P = 2M – A (única solució)

Punt que pertany a una recta ( r ) i té una certa distància respecte d’un punt A.

1. punt P genèric de la recta en funció d’un paràmetre. 2. imposar que la distància entre P i A sigui la desitjada per calcular el valor del paràmetre i substituir al punt genèric. (dues solucions)

DETERMINACIÓ D’UNA RECTA Recta que passa per un punt P i és paral·lela a una altra recta r

1. feix de rectes paral·leles a la recta r. 2. d’aquest feix determinar la que passa pel punt P. (única solució)

Recta que passa per un punt P i és perpendicular a una altra recta r

1. feix de rectes perpendiculars a la recta r. 2. d’aquest feix determinar la que passa pel punt P. (única solució)

Recta que és paral·lela a una altra recta r i té una certa distància d entre

Xavier Rabasa 21

les dues rectes. 1. feix de rectes paral·leles a la recta 2. imposar que la distància entre la recta i el feix sigui d i determinar els dos valors del paràmetre 3. substituir els paràmetres al feix de rectes paral·leles. ( surten dues solucions )

Recta que passa per un punt A i forma un cert angle α amb una altra recta r.

1. feix de rectes que passen per A en funció del paràmetre m, pendent de la recta.

2. imposar la condició que el vector director del feix (1,m) i el vector director de la recta donada r formin l’angle α per determinar els dos valors del paràmetre m.

3. substituir al feix els valors de m per determinar les dues rectes.(dues solucions)

Recta simètrica d’una altra recta r respecte del punt A

1. triar un punt B de la recta r. 2. punt P simètric del punt B respecte de A 3. recta paral·lela a la recta r que passa per P. (única solució)

Recta simètrica d’una recta r respecte d’una recta s 1. punt de tall A de les rectes r i s. 2. triar un punt de la recta r i trobar el seu simètric B respecte de la recta s. 3. recta que passa per A i B POSICIÓ RELATIVA ENTRE DUES RECTES

1. rectes en forma explícita⎩⎨⎧

+=+=

22

11

nxmynxmy

Xavier Rabasa 22

2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

=≠

⇒=

≠

erposadessupnnleles·paralnn

mm

punt_un_en_tallen_esmm

21

21

21

21

ANGLE ENTRE DUES RECTES

1. determinar els vectors direccionals de les dues rectes 2. determinar l’angle entre els dos vectors

1 EQUACIONS DE LA RECTA

Trobeu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que passa pels punts )2,3(A i )1,1(B − . RAONAMENT

Vectorial )3,2(t)2,3()y,x(vtOAOP

)3,2(ABv−−+=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−−==

Paramètrica ⎩⎨⎧

−=−=

⇒−−+=t32yt23x

)3,2(t)2,3()y,x(

Contínua 32y

23x

−−

=−−

Calculeu la pendent de la recta que passa per A(2,2) i B(0,4). Trobeu les equacions implícita i explícita de la recta que passa per P(1,4) i Q(2,3). RAONAMENT

1.1

1.2

Xavier Rabasa 23

a) recta ABr y=mx+n 12

2m)2,2(AB −=−

=⇒−=

b) recta PQr 14y

11x

−−

=−

⎩⎨⎧

+−==−+

⇒5xylícitaexp05yximplícita

Escriu l’equació de la recta que talla als eixos de coordenades en els punts A(6,0) i B(0,-2) . RAONAMENT

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=

=−−⇒

−−

=−−

⇒−−= lícitaexp2x31

36xy

implícita06y3x

20y

66x)2,6(AB

Escriu les equacions implícita i paramètrica dels eixos de coordenades RAONAMENT

Eix d’abscisses OX ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒⎩⎨⎧

==

=++

genèric_punt)0,t(0ytx

00y1x0

Eix d’ordenades OY ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒⎩⎨⎧

==

=++

genèric_punt)t,0(ty0x

00y0x1

Escriu l’equació explícita de la bisectriu del primer i tercer quadrant. i la del segon i quart quadrant.

1.3

1.4

1.5

Xavier Rabasa 24

RAONAMENT

a) xy0x11y

)0,0(P)1,1(v

=⇒+=⇒⎩⎨⎧ =

b) xy0x11y

)0,0(P)1,1(v

−=⇒+−

=⇒⎩⎨⎧ −=

Escriu en forma explícita i contínua la recta { 6y3x2 =+ }. RAONAMENT

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+

=−

+−

=+−

=⇒

⎩⎨⎧ −=

⇒=+

22y

30x

2x32

36x2y

)2,0(A)2,3(v6y3x2

Trobeu la recta perpendicular a r: { }01yx =−+ que passa pel punt

)1,2(A . RAONAMENT

1. feix de perpendiculars 0?yx =+−

2. la que passa per A 01yx0?yx0?12

=−−⇒⎩⎨⎧

=+−=+−

Digues si P(3,3) pertany a la recta que passa pels punts A(1,-1) i B(5,7).

1.6

1.7

1.8

Xavier Rabasa 25

RAONAMENT 1. equació de la recta que passa per A i B

03yx28

1y4

1x)1,1(A

)8,4(AB=−−⇒

+=

−⇒

⎩⎨⎧

−=

2. el punt P pertany a la recta donat que compleix la seva equació 03)3()3(2 =−−

Donada l’equació implícita de la recta r{ }02y3x =++ escriu-la en forma: explícita, contínua i vectorial. RAONAMENT

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=−−

=

−−

=+

−+−=

⇒⎩⎨⎧

−−=

lícitaexp32x

31

32xy

contínua10y

32x

vectorial)1,3(t)0,2()y,x(

)0,2(A)1,3(vr

Escriu en forma canònica r: 010y3x4 =−+ i s: 04yx3 =+− RAONAMENT Recta r: x = 0 → y = 10/3 y = 0 → x = 5/2

13/102/5=+

yx

Recta r’: x = 0 → y = 4 y = 0 → x = -4/ 3

143/4=+

−yx

1.9

1.10

Xavier Rabasa 26

RAONAMENT

r: 1

310y

25x

0y25x

310y0x

=+⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

== s: 1

4y

34

x0y

34x

4y0x==

−⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=

==

Trobeu l’equació del feix de rectes que passen pel punt intersecció de les rectes r:{ }01yx =−+ i s: 04yx3 =++ , trobeu aquella que compleix:a) passa pel punt )2,1(A , b) és paral·lela a la recta s: 02yx =−− , c) és perpendicular a la recta r: 01y2x =+− . RAONAMENT feix de rectes combinació lineal de les dues rectes, { } { }0)1t4(y)t1(x)1t3(0)4yx3(t)1yx( =−++++⇔=+++−+

a) per passar per )2,1(A ⇒ 92t0)423(t)121( −

=⇒=+++−+

017y7x3 =−+⇒

b) igualant la pendent 21t

t1)1t3(1m −

=⇒++−

== ⇒ 06yx =+−

c) igualant la pendent 03y2x41tt1

)1t3(2m =++⇒=⇒++−

=−=

Quina és la pendent de la recta que passa pels punts )2,0(A i )4,3(B ? RAONAMENT

32m)2,3(ABAB =⇒=−=

1.11

1.12

Xavier Rabasa 27

Calculeu un vector director i el pendent de les rectes següents:

a) 2x3y −= , b)4

2y2

1x +=

−

RAONAMENT

a)⎩⎨⎧

===

3m)3,1()m,1(v b)

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

224m

)4,2(v

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,3(B i és paral·lela a la recta que passa per els punts )0,2(A i )1,2(C − . RAONAMENT

)1,0(ACAC −=−=

recta 3x03x11y

03x

)1,0(ACv

)1,3(B=⇒=+−⇒

−−

=−

⇒⎩⎨⎧

−==

Cerqueu: a) el feix de rectes que passen pel punt )1,2(A − , b) aquella que passa pel punt )3,0(B , c) aquella que és paral·lela a la recta { }5y2x =+ .

1.13

1.14

1.15

Xavier Rabasa 28

RAONAMENT a) )1m2(mxy)2x(m)1(y +−=⇒−=−−

b) 3x2y2m)1m2(03)1m2(mxy

)3,0(B+−=⇒−=⇒+−=⇒

⎩⎨⎧

+−=

c) x21y0x

21y

)1m2(mxy21m)1,2(v

−=⇒+−

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=⇒−=

Trobeu l’equació de la perpendicular a r:{ }01yx =−+ que passa pel punt )1,2(A . RAONAMENT Feix de perpendiculars a r: 0?yx =+−

01yx1?0?120?yx

)1,2(A=−−⇒−=⇒=+−⇒

⎩⎨⎧

=+−

Trobeu: a) el feix de rectes que passa pel punt )1,3(A − en forma explícita, b) aquella que és paral·lela a la recta 2yx3 =− , c) aquella que passa pel punt mig del segment d’extrems )1,4(A − i )5,0(B − . RAONAMENT a) el feix de rectes que passa pel punt )1,3(A − )1m3(mxy1)3x(my +−=⇒−−=

b) 10x3y)1m3(mxy

3m−=⇒

⎩⎨⎧

+−==

1.16

1.17

Xavier Rabasa 29

c)

7x2y

2m)1m3()2(m3)1m3(mxy

)3,2(2

BAM

−=

⇒=⇒+−=−⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=+

=

Trobeu l’equació de la perpendicular a la recta { }01yx =−+ i que la talla en un punt d’abscissa x=3. RAONAMENT Punt de tall )2,3(A21xy3x −⇒−=+−=⇒= Feix de perpendiculars 0?yx =+−

recta 05yx5?0?230?yx

)2,3(A=−−⇒−=⇒=++⇒

⎩⎨⎧

=+−−

Trobeu l’equació de la recta perpendicular al vector )1,2(w = i que talla a la recta 2xy −= en el punt P d’ordenada y=3. RAONAMENT

Punt P )3,5(P3y5x

3y2xy

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=−=

Recta 13x2y3)5x(2y)2,1(v

)3,5(P+−=⇒+−−=⇒

⎩⎨⎧

−=

1.18

1.19

Xavier Rabasa 30

Equació de la recta que passa pel punt d’intersecció de les rectes { }01y3x2 =++ , { }02yx =−− i és perpendicular a la recta r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =+ 1

3y

5x .

RAONAMENT Feix de rectes que passen pel punt d’intersecció,

0)t21(y)t3(x)t2(0)2yx(t)1y3x2( =−+−++⇒=−−+++

Pendent t2

t3m−−−

=

Recta r ⇒=+⇒=+ 15y5x313y

5x vector perpendicular

35m =

⇒ 2

19tt3910t5t2

t335

t2t3m

35m

−=⇒−=−−⇒−−−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−

=

=

08y5x3040y25x15020y2

25x215

=−−⇒=++−⇒=++−

Donades les rectes r:⎩⎨⎧

=+=t2y

t1x i s:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=+

11y

31x a)punt P d’intersecció

d’ambdues rectes. b) recta paral·lela a: 3xy −= que passa per P, c) recta perpendicular a: 05yx =++ que passa per P. RAONAMENT

a) punt d’intersecció )2,2(P2y2x

1t1

1t23

t2⇒

⎩⎨⎧

==

⇒=⇒−

=+

1.20

1.21

Xavier Rabasa 31

b) xy0??22?xy

)2,2(P=⇒=⇒+=⇒

⎩⎨⎧

+=

c) xy0yx0?0?220?yx

)2,2(P=⇒=−⇒=⇒=+−⇒

⎩⎨⎧

=+−

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(P − i és paral·lela al segment d’extrems: )0,2(A i )3,1(B . RAONAMENT

05yx33

1y12x

)3,1(ABAB

)1,2(P=−+⇒

+=

−−

⇒⎩⎨⎧

−=−=

−

Digues si són o no paral·leles les següents rectes:

a) r⎩⎨⎧

+−=+=

t21yt2x

s⎩⎨⎧

=+=t2y

t3x b) r{ }01yx =++ s{ }02yx2 =+−

c)r{ }01yx3 =+− s{ }x3y = . RAONAMENT

a) si

12m

12m

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

= b) no

2m1m

⎩⎨⎧

=−=

c) si3m3m

⎩⎨⎧

==

1.22

1.23

1.24

Xavier Rabasa 32

Digues si passen o no pel punt )3,1(P les següents rectes: a){ }02y2x =+− b){ }05yx2 =−+ c){ }3x2y −= .

RAONAMENT

a) ⎩⎨⎧ ≠+−

NO02)3(21

b)⎩⎨⎧ =−+

SI053)1(2

c)⎩⎨⎧ −≠

NO3)1(23

Calcula l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(A i el punt B

d’intersecció de les rectes: r:{ }2x2y += i s:⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

13y

11x .

RAONAMENT

Punt B )2,0(B22)0(2y

0x1

1x21

1x⇒

⎩⎨⎧

=+==

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

recta 04y2x1

1y22x

)1,2(ABAB

)1,2(A=−+⇒

−=

−−

⇒⎩⎨⎧

−=−=

2.SEGMENTS. PUNT MIG. PUNTS DE TALL. PUNT SIMÈTRIC.

Cerqueu un punt P situat en el segment AB, d’extrems )2,1(A i

)1,4(B − que dista de A el doble que de B. RAONAMENT

)0,3(3

B2APB2AP3P2B2APPB2AP =+

=⇒+=⇒−=−⇒=

1.25

2.1

2.2

Xavier Rabasa 33

Trobeu els punts de tall amb els eixos de coordenades de la recta:

22y

22x −=

+ .

RAONAMENT

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧−

⇒−====

)0,4()4,0(

4x0y4y0x

Trobeu un punt de la recta r: { }06yx2 =−− que dista 2 unitats de la recta s:{ }01y4x3 =+− . RAONAMENT

Punt genèric de la recta r )6t2,t(6t2y

tx−⇒

⎩⎨⎧

−==

Condició de distància:

⎩⎨⎧==

⇒±=⇒+−

=±⇒+

+−−=

3t7t

1025t55

25t52169

1)6t2(4)t(32

⎩⎨⎧

⇒)0,3(B)8,7(A dues solucions

Trobeu el simètric del punt )1,2(P − respecte de la recta r:{ }03yx2 =−+ . RAONAMENT 1. recta perpendicular que passa per P

{ }04y2x4?0?220?y2x =−−⇒−=⇒=++⇒=+− 2. punt M d’intersecció de les dues rectes,

)1,2(M2x1y

4)x23(2xx23y

4y2x3yx2

M −⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−−

−=⇒

=−=+

2.3

2.4

Xavier Rabasa 34

3. punt Q simètric de P, ⇒ )1,2(PM2Q −=−= ⇒ QP = El punt P pertany a la recta r.

Cerqueu un punt P de la recta r{ }01y4x3 =++ tal que: la recta PO (O= origen de coordenades) passi pel punt mig del segment AB, d’extrems )1,2(A i )1,1(B . RAONAMENT

1.punt mig del segment AB, )1,23(

2BAM =

+=

2.recta s que passa per O i M, x32y =

3.punt P d’intersecció de les dues rectes,

)2,3(P3x2y

01y4x3

x32y

⇒⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=

Donats els punts )6,3(A , )0,1(B i la recta r:{ }01yx =+− . Trobeu:a) el punt simètric de A respecte de B. b) el simètric de B respecte de r. c)l’equació de la recta simètrica d’aquella que passa per A i B, respecte de la recta r. RAONAMENT a) )6,1(AB2'A −−=−= b) recta s perpendicular a r que passa per B s

s { }01yx0?010?yx

=−+⇒⎩⎨⎧

=++=++

2.5

2.6

Xavier Rabasa 35

punt M d’intersecció de r i s, )1,0(M1y0x

01yx01yx

M ⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=−+=+−

punt B’ simètric )2,1(BM2'B −=−=

c) recta AB 03yx3)0,1(B

)3,1(2)6,2(AB=−−⇒

⎩⎨⎧ −=−−=

punt P intersecció de les dues rectes r i AB,

)3,2(P3y2x

03yx301yx

P ⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=−−=+−

La recta simètrica passa per P i B,

Recta PB 03yx30?3

0?yx3)0,1(B

)3,1(PB=−−⇒

⎩⎨⎧

=+=+−

⇒⎩⎨⎧ =

Trobeu: a) les coordenades del punt P' simètric del )1,2(P respecte del punt )0,2(M , b) les coordenades del punt A', simètric del )1,2(A − respecte de la recta k: { }02yx2 =−+ , c)l’equació de la recta r', simètrica de la r: { }03y2x =−+ respecte de la recta s: { }4yx =+ . RAONAMENT a) )1,2(PM2'P −=−=

b) punt B genèric de la recta k )t22,t(Bt22y

tx−⇒

⎩⎨⎧

−==

, del vector

)t21,2t(AB −+= ens interesa el punt B amb AB perpendicular al vector director de la recta )2,1(v −= ⇒ 0)t21(2)2t(1 =−−+ 0t0 =⇒ )2,0(B⇒ , punt simètric )3,2(AB2'A =−= c) punt P’intersecció de les rectes r i s,

)1,5(P1y

5x4yx

3y2xP −⇒

⎩⎨⎧

−==

⇒⎩⎨⎧

=+=+

Fixem un punt Q de r )0,3(Q0y

3y2x⇒

⎩⎨⎧

==+

2.7

Xavier Rabasa 36

Recerca del punt Q’ simètric de Q,

Punt genèric de s C )t4,t(C4yx

tx−⇒

⎩⎨⎧

=+=

vector director de la recta s, )1,1(v −=

)1,4(QC2'Q)21,

27(C

27t0v·QC =−=⇒⇒=⇒=

Recta PQ’ 09yx2)2,1('PQ

)1,5(P=−+⇒

⎩⎨⎧

−=

−

Donats els punts )4,2(A i )0,6(C . Trobeu les coordenades d’un punt B

tal que: CB41CA =

RAONAMENT

)16,10(C3A4BCB)CA(4CB41CA −=−=⇒−=−⇒=

Trobeu l’equació de la recta s que passa pel punt P d’intersecció de la recta r, { }02y2x =+− amb l’eix OX, { }0y = i que és paral·lela a la recta que uneix el punt )1,2(Q amb el punt mig M del segment d’extrems

)4,0(A i )2,2(B − . RAONAMENT

)0,2(P0y

02y2xP −⇒⎩⎨⎧

==+−

; )1,1(2

BAM =+

= ; )0,1(QM −=

Recta s 0y00y·1x·0)0,1(QMv

)0,2(P=⇒=++⇒

⎩⎨⎧

−==

−

2.8

2.9

Xavier Rabasa 37

Trobeu les coordenades del punt Q simètric del punt )1,1(P −− respecte de la recta r{ }06y3x =−+ . RAONAMENT 1.recta s perpendicular a r que passa per P,

{ }02yx30?yx3

)1,1(P=+−⇒

⎩⎨⎧

=+−−−

2.punt M de tall entre r i s, )2,0(M2yx3

6y3xM ⇒⎩⎨⎧

−=−=+

)5,1(PM2Q =−=

Trobeu: a) l’equació de la mediatriu r del segment AB d’extrems )2,1(A i )4,3(B , b) l’angle que determina la mediatriu r amb l’eix d’abscisses OX. RAONAMENT

1.mediatriu 05yx0?64

0?y2x2

)2,2(ABv

)3,2(2

BAM=−+⇒

⎩⎨⎧

=++=++

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⊥

=+

=

2.vectors directors de les rectes

º452·101

cos)1,1()2,2(v

)0,1(w=⇒

+=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≈−=

=αα

Trobeu: a) la paral·lela r i la perpendicular s de la recta { }01yx2 =+− que passen pel punt )2,3(P , b) les dues rectes de l’apartat anterior

2.10

2.11

2.12

Xavier Rabasa 38

tallen a l’eix d’abscisses en els punts A i B respectivament, calculeu la mediatriu k del segment AB. RAONAMENT a)

1.paral·lela 04yx20?26

0?yx20?yx2

)2,3(P=−−⇒

⎩⎨⎧

=+−=+−

⇒⎜⎜⎝

⎛=+−

2.perpendicular 07y2x0?43

0?y2x0?y2x

)2,3(P=−+⇒

⎩⎨⎧

=++=++

⇒⎩⎨⎧

=++

b)

)0,2(A0y2x

0y04yx2

⇒⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==−−

)0,7(B0y7x

0y07y2x

⇒⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==−+

1.mediatriu k29x

)1,0(v

)0,29(

2BAM

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

=

Equació de la mediatriu del segment determinat pels punts A i B de tall entre la recta { }4yx2 =+ i els eixos de coordenades. RAONAMENT

1.punt A de tall amb l’eix d’abscisses )0,2(A0y2x

0y4yx2

⇒⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==+

2.punt B de tall amb l’eix d’ordenades )4,0(B4y0x

4yx20x

⇒⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=+=

3.mediatriu

03y2x0?41

0?y2x

)2,1(k)4,2(AB

)2,1(2

BAM=+−⇒

⎩⎨⎧

=+−=+−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=

=+

=

3.DISTÀNCIES

2.13

Xavier Rabasa 39

Trobeu la mediatriu del segment d’extrems )4,3(A i )2,1(B com a lloc geomètric dels punts P(x,y)equidistants dels extrems A i B. RAONAMENT 1.càlcul de les dues distàncies

22 )4y()3x()4y,3x(AP)A,P(d −+−=−−== 22 )2y()1x()2y,1x(BP)B,P(d −+−=−−==

2.igualació de les distàncies al quadrat, 4y4y1x2x16y8y9x6x 2222 +−++−=+−++− ⇒

05yx020y4x45y4x225y8x6 =−+⇒=−+⇒+−−=+−−

Calculeu la distància del punt )1,1(P − a cadascuna de les següents rectes: a) { }02y3x =++

b) 1x2y −= c)

32y

21x −=

+ RAONAMENT a)

010

0

91

231d

02y3x)1,1(P

==+

+−=⇒

⎩⎨⎧

=++−

u.l.

b)

5

2

14

112d

01yx2)1,1(P

=+

−+=⇒

⎩⎨⎧

=−−−

u.l.

c)

13

12

49

723d

07y2x3)1,1(P

=+

++=⇒

⎩⎨⎧

=+−−

u.l.

3.1

3.2

Xavier Rabasa 40

Calculeu la distància entre les dues rectes paral·leles, { }015y4x3r =−+ i { }040y4x3s =−+ . RAONAMENT

1.triem un punt A de r )0,5(A0y5x

15y4x30y

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=+=

2.distància de A a s, 5525

16940015

d ==+−+

= u.l.

Mesureu les tres altures del triangle ABC de vèrtexs )1,1(A , )3,1(B i

)2,3(C . RAONAMENT

54

5721

h07y2x:r

)1,1(A)1,2(BC

)1,1(AA

BC

=−+

=⇒⎩⎨⎧

=−+⇒

⎩⎨⎧

−=

102

10233

h02yx3:r

)3,1(B)1,2(AC

)3,1(BB

AC

=−−

=⇒⎩⎨⎧

=−−⇒

⎩⎨⎧

=

224

426

h02x2:r

)2,3(C)2,0(AB

)2,3(CC

AB

==−

=⇒⎩⎨⎧

=−⇒

⎩⎨⎧

=

Cerqueu un punt P equidistant de )1,3(A i )5,3(B on la seva distància a l’eix d’abscisses és triple que la distància a l’eix d’ordenades . RAONAMENT

3.3

3.4

3.5

Xavier Rabasa 41

1.mediatriu 3y012y4x0)4,0(AB

)3,3(2

BAM=⇒=−+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

=

2.punt genèric )3,t(Q 3. condició: )3,1('iP)3,1(P1tt33 −⇒±=⇒±= dues solucions.

Donats els punts )4,1(A − , )3,2(B − trobeu un punt de la recta r: { }01y2x =−− equidistant de A i B. RAONAMENT

1.punt genèric de la recta r )t,1t2(Pty

1t2x+⇒

⎩⎨⎧

=+=

2.igualació de distàncies, 18t616t8)3t()3t2()4t(t4BPAP 2222

22

+=+⇒−++=++⇒= 1t =⇒ ⇒ )1,3(P

Trobeu la distància entre les dues rectes paral·leles: { }02y5x12r =+−i { }05y5x12s =+− . RAONAMENT

2.triar un punt A de r )2,1(A2y1x

02y5x121x

−−⇒⎩⎨⎧

−=−=

⇒⎩⎨⎧

=+−−=

3.distància del punt A fins a la recta s, 133

16951012

d =++−

=

3.6

3.7

3.8

Xavier Rabasa 42

Trobeu un punt C de la recta r: { }02yx =−+ que equidista dels punts )3,1(A i )1,1(B . RAONAMENT

1.punt P genèric de la recta )t2,t(Pt2y

tx−⇒

⎩⎨⎧

−==

2.condició d’igualtat de les distàncies al quadrat, 2222

22

)1t()1t()1t()1t(BPAP +−+−=−−+−⇒= ⇒ 0t1t21t2 =⇒+−=+ ⇒ )2,0(P

Donada la recta r: { }02yx =+− , trobeu les dues rectes paral·leles que disten 2 unitats de la recta r. RAONAMENT

1.fixar un punt A de la recta r, )2,0(A2y0x

02yx0x

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=+−=

2.feix de rectes paral·leles 0?yx =+− condició de que la distància de A al feix sigui d=2,

222?22

?)20(±=⇒±=

+− les dues rectes paral·leles

són:⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++

=+++

0)222(yx

0)222(yx

Trobeu les coordenades d’un punt A de la recta r:{ }01yx =−− que dista una unitat de la recta s:{ }02y4x3 =+− . RAONAMENT

1.punt genèric P de la recta r, )1t,t(P1ty

tx−⇒

⎩⎨⎧

−==

3.9

3.10

Xavier Rabasa 43

2.imposar la condició d(P,s)=1 ⇒ 5

]2)1t(4t3[1 +−−±=

⇒ ⎩⎨⎧

⇒⎩⎨⎧==

⇒±=⇒+−

=±)0,1(B

)10,11(A1t11t

56t5

6t1 dues solucions.

Trobeu les coordenades del circumcentre del triangle de vèrtexs, A(4,4)

)3,5(B i )3,1(C − . RAONAMENT 1.mediatriu del segment AB i del segmentBC,

01yx0?

27

29

0?yx

)1,1(AB

)27,

29(

2BAM

=−−⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+−⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=+

=

2x0?020?0x

)0,1(6)0,6(BC

)3,2(2

CBM=⇒

⎩⎨⎧

=++=++

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=

=+

=

2.punt dintersecció,circumcentre )1,2(P1y2x

01yx2x

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=−−=

Equació de les rectes que passen pel punt )3,2(A i disten 2 unitats de l’origen de coordenades. RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, { }3)2x(my +−= en forma implícita { }0)m23(ymx =−+− 2.condició de distància entre el punt O(0,0) i una recta del feix,

125m

m19m12m44

m1)]m23(00[2

2

2

2=⇒

++−

=⇒+−+−

±=

3.11

3.12

Xavier Rabasa 44

3.recta solució: 026y12x53)2x(125y =+−⇒+−=

4.ANGLES I BISECTRIUS.

Trobeu l’equació de la recta r que passa pel punt )1,2(A i forma amb la recta s: { }1x2y −= un angle de 45º. RAONAMENT 1.feix de rectes de pendent m que passen per A, { }1)2x(my +−= 2. condició angular,

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒=−−⇒

+++

=⇒

⇒++

±=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒−=

=⇒+−=

31m

3m03m8m3

5m51m4m4

21

5·m1m21º45cos

)2,1(v1x2y

)m,1(v1)2x(my

2

2

2

2

2

1

3.les dues rectes del feix són:⎩⎨⎧

=−+=−−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

=

+−=

05y3x05yx3

1)2x(31y

1)2x(3y

Trobeu l’angle que formen les rectes r i s, en els següents casos. a) r:{ })3,1(t)3,1()y,x( −+=

⎩⎨⎧

=+=t3y

t72x:s

b) { }2x3y:r −= { }03y5x2:s =+− c) { }01y2x3:r =+− { }03y5x2:s =+− d) { }03yx2:r =−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=+

41y

71x:s

4.1

4.2

Xavier Rabasa 45

e) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=2

3y1x:r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−−

51y

12x:s

f) { }2x4y:r −= { }0y3x5:s =+ RAONAMENT 1.vectors directors de les rectes r i s, a) r: =v (1,-3) s: =w (7,3) b) r: =v (1,3) s: =w (5,2) c) r: =v (2,3) s: =w (5,2) d) r: =v (1,-2) s: =w (7,4) e) r: =v (1,2) s: =w (-1,5) f) r: =v (1,4) s: =w (3,-5)

2.angle dels vectors direccionals de les rectes, a)

=αcos5810

2− arccos=α5810

2−

b) =αcos

291011 arccos=α

291011

c) =αcos

291311 arccos=α

291311

d) =αcos

6551− arccos=α

6551−

e) =αcos

2659 arccos=α

2659

f) =αcos

341717− arccos=α

341717−

Determineu l’equació de la recta que passa pel punt )3,1(A − i forma un angle de 45º amb la recta r:{ }02yx3 =++ . RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, s:{ }3)1x(my −−=

4.3

Xavier Rabasa 46

2.vectors directors de les rectes r i s,⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

)3,1(v

)m,1(v

2

1

3.condició angular,

08m12m810m10

1m6m921

10·m1m31º45cos 2

2

2

2=−−⇒

++−

=⇒+−

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒=−−⇒

21m

2m02m3m2 2

4.dues solucions,⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=

−−=

3)1x(21y

3)1x(2y

Trobeu les bisectrius de les rectes r:{ }0y4x3 =− i s:{ }03y6x8 =++ .RAONAMENT 1.condició de equidistància d’un punt P(x,y) de la bisectriu.

10368

543 ++

=− yxyx

⇒ ⎩⎨⎧

++−=−+++=−

)368()43(2)368()43(2

yxyxyxyx

2.dues solucions, ⎩⎨⎧

=+−=++

0321403142

yxyx

Trobeu les equacions de les dues rectes que passen pel punt d’intersecció de les rectes: { }2xyr += i { }2yx3s =+ que formen un angle de 45º amb la recta, s. RAONAMENT

1.punt d’intersecció, )2,0(P2y0x

2yx32xy

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=++=

4.4

4.5

Xavier Rabasa 47

2.feix de rectes que passen per P, { }2)0x(my +−=

3.vectors directors de les rectes,⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

)3,1(v

)m,1(v

2

1

4.condició angular, 10m10

1m6m921

10·m1m31º45cos

2

2

2 ++−

=⇒+−

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=⇒=−−⇒=−−⇒

2m21m

02m3m208m12m8 22

5.dues solucions, ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−−=

2)0x(2y

2)0x(21y

Trobeu el valor d’a per tal que les rectes: { }03y3x2 =−+ i { }05yax =−+ formen un angle de π/6 radians. RAONAMENT

1.vectors directors, ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

)a,1(v

)2,3(v

2

1

2.condició angular, 13a13

9a12a443

a1·13a23º30cos

2

2

2 +++

=⇒+

+=

46206848a03a48a23 2 ±

=⇒=+−⇒

Donades les rectes r{ }02y2x3 =−+ i s{ }01y3x2 =+− , trobeu: a) l’angle que formen. b) les equacions de les seves bisectrius. RAONAMENT

4.6

4.7

Xavier Rabasa 48

a)

1.vectors direccionals de r i s, ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

)2,3(v

)3,2(v

2

1

2.angle, º90013·13

66cos =⇒=−

= αα

b) condició de equidistància a r i s d’un punt de la bisectriu,

⇒+−

±=−+

131y3x2

132y2x3

⎩⎨⎧

=−−=−+

015035

yxyx

Trobeu la recta que passa pel punt )2,0(A i forma angles iguals amb les rectes: r: { }03y2x =−+ i s: { }02yx2 =++ . RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, k:{ }2)ox(my +−=

2.vectors directors,2

2

s

k

r

m15m21cosm15

m2cos

)2,1(vs

)m,1(vk

)1,2(vr

+−

=⇒

+−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

−=

α

α

3.condició angular, ⎩⎨⎧

+=+−=

⇒⎩⎨⎧

=−=

⇒−±=−2xy

2xy1m

1m)m21(m2

(dues solucions).

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(A − i forma angles iguals amb les rectes r:{ }02y4x3 =−+ i s:{ }0y3x4 =+ . RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, k:{ }1)2x(my −−=

4.8

4.9

Xavier Rabasa 49

2.vectors directors,2

2

s

k

r

m1·5m43cosm1·5m34cos

)4,3(vs

)m,1(vk

)3,4(vr

+−

=⇒

+−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

−=

α

α

3.condició angular,

⎩⎨⎧

−−=−−−=

⇒⎩⎨⎧

=−=

⇒−±=−1)2x(y

1)2x(y1m

1m)m43(m34

(dues solucions).

Trobeu l’equació de la recta que forma angles iguals amb les rectes r:{ }02yx =−+ , s:{ }0y2x2 =− , i que talla a l’eix vertical a una altura de 3 unitats. RAONAMENT 1. punt A de tall amb l’eix vertical )3,0(A 2.feix de rectes que passen per A, k:{ }3)0x(my +−=

3.vectors directors,2

2

s

k

r

m1·2m1cos

m1·2m1cos

)1,1(vs

)m,1(vk

)1,1(vr

++

=⇒

+−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

−=

α

α

4.condició angular, ⎩⎨⎧ =

⇒⎩⎨⎧

==

⇒+±=−cap

3ycapm0m

)m1(m1

(única solució).

Determineu analíticament l’angle que formen: a)les bisectrius del primer i segon quadrant. b)l’eix d’abscisses amb la recta { }02yx2 =+− ,

4.10

4.11

Xavier Rabasa 50

c)l’eix d’ordenades amb la recta { }04yx3 =++ , d) les rectes: { }2xy −= i { }3xy +−= . RAONAMENT a) vector primera ( 1 , 1 ) vector segona ( 1 , -1 ) producte escalar 0 = 2 cos xº cos xº = 0 xº = 90º b)vector primera recta ( 1 , 0 ) vector segona ( 1 , 2 ) producte escalar: 1 = 5 cos xº cos xº = 1/ 5 xº = 63º26' c)vector primera ( 0 , 1 ) vector segona ( 1 , -3 ) producte escalar: -3 = 10 cos yº cos xº = 3/ 10 xº = 18º26 d) vector primera ( 1 , 1 ) vector segona ( 1 , -1 ) rectes perpendiculars xº = 90º RAONAMENT

a)⎩⎨⎧

=⇒=−

=⇒−=−=

== º9001·111cos

)1,1(vxy)1,1(vxy

2

1 αα

b) ⎩⎨⎧

=⇒+

=⇒=+===

51arccos

5·101cos

)2,1(v2x2y)0,1(v0y

2

1 αα

c) ⎩⎨⎧ −

=⇒−

=⇒−=−−=

==103arccos

10·130cos

)3,1(v4x3y)1,0(v0x

2

1 αα

d) ⎩⎨⎧

==⇒−

=⇒−=+−=

=−= º900arccos2·2

11cos)1,1(v3xy

)1,1(v2xy

2

1 αα

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(A − i que forma un

angle de 60º amb la recta: r:⎩⎨⎧

=−=t2y

t1x.

4.12

Xavier Rabasa 51

RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, s:{ }1)2x(my −−=

2.vectors directors de les rectes r i s,⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

)m,1(v

)2,1(v

k

r

3.condició angular,

01m16m115m5

1m4m441

5·m1m21º60cos 2

2

2

2=−−⇒

++−

=⇒++−

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−

=

−−+

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+=

⇒

1)2x(11

358y

1)2x(11

358y

11358m

11358m

dues solucions.

Estudieu la posició relativa de les rectes r i s: a) { }3yx:r =+ { }2yx:s =− b) { }03y2x:r =+−

⎩⎨⎧

=+=

tyt21x

:s RAONAMENT

a) ⇒⎩⎨⎧ ≠

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

−==

⇒−=

⎩⎨⎧

=−=

⇒+−=sr

s

s

r

r

mm

2n1m

2xy:s

3n1m

3xy:rrectes incidents

4.13

Xavier Rabasa 52

b) ⇒⎩⎨⎧

≠=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=⇒−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇒+=

sr

sr

s

s

r

r

nnmm

21n

21m

21x

21y:s

23n

21m

23x

21y:r

rectes paral·leles

5.DETERMINACIÓ DE PARÀMETRES

Determineu el valor de k per tal que els punts )1,2(A − , )4,1(B i

)9,k(C estiguin afilerats. RAONAMENT

1.pendent dels vectors ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

−=−=

1k5m)5,1k(BC15m)5,1(AB

2

1

2.condició d’afilerats, 0k1k

515mmACAB 21 =⇒

−=

−⇒=⇒

Calculeu el valor d’a i b per tal que les rectes { }02yax:r =+− i

{ }09y6bx:s =−+ siguin perpendiculars i que la segona passi pel punt ).1,1(P

RAONAMENT 1.si la recta s passa per P,

5.1

5.2

Xavier Rabasa 53

{ }09y6x3:s3b

09y6bx096b

09y6bx=−+⇒

⎩⎨⎧

==−+

⇒⎩⎨⎧

=−+=−+

i 3b =

.2condició de perpendicularitat,

⇒=−⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=0a360v·v

)3,6(v

)a,1(vsr

s

r 2a =

Calculeu el valor d’m per tal que les rectes, { }06y2mx:r =++ ,

{ }01yx2:s =−+ , { }5yx:t =− t: passin pel mateix punt i determineu aquest punt. RAONAMENT

1.punt d’intersecció de s i t, )3,2(A3y

2x5yx

1yx2A −⇒

⎩⎨⎧

−==

⇒⎩⎨⎧

=−=+

2.si r passa pel punt A, ⇒⎩⎨⎧

=+−=++066m2

06y2mx 0m =

Trobeu els valors de m i n de manera que la recta { }0nyx2:r =+ passi pel punt )2,1(A i sigui paral·lela a la recta { }03y2mx:s =+− . RAONAMENT

1.si la recta r passa per A, { }

⎩⎨⎧

−==−

⇒⎩⎨⎧

=+=+

1n0yx2:r

0n220nyx2

2.condició de paral·lelisme 2m22m

23x

2my:s

x2y:r=⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

3. solució ⎩⎨⎧

=−=2m1n

5.3

5.4

Xavier Rabasa 54

Donades les rectes { }3yx3:r =+ i { }8ayx2:s =+− , determineu el valor d’a per tal que formin un angle de 45º. RAONAMENT

1.vectors directors de les rectes, ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

)2,a(v

)3,1(v

s

r

2.condició angular, 40a10

36a12a21

a4·106aº45cos

2

2

2 ++−

=⇒+

−±=

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−+⇒=−+1a

4a04a3a032a24a8 22 dues solucions.

Trobeu el valor d’a per tal que la distància de l’origen a la recta

{ }04ayx2:r =−+ sigui igual a 2 unitats. RAONAMENT

1.condició de distància, 0a0a4a

1644a400

2 2

22=⇒=⇒

+=⇒

+−+

=

Trobeu l’equació de la recta r, que pertany al feix format per les rectes s:{ }011yx2 =−− i t:{ }01yx =−+ de manera que la distància del punt )1,2(P a la recta r sigui de 2 unitats. RAONAMENT 1.la recta t no dista 2 unitats. 2.tota altra recta del feix és: { }0)1yx(t11yx2 =−++−−

{ }0)11t(y)1t(x)t2( =+−−++⇒

5.5

5.6

5.7

Xavier Rabasa 55

3.condició de distància,

⎩⎨⎧=−=

⇒+++−

=⇒−++

+−−++=

1t11t

5t2t2)16t8t(44

)1t()t2()11t()1t(1)t2(2

22

2

22

4. dues solucions, ⎩⎨⎧

==+

⇒⎩⎨⎧

=−=−−

4x0y4x3

012x30y12x9

Donada la recta { }04my3mx:r =−+− , calculeu el valor d’m per tal que: a) passi pel punt )2,1(A − , b) sigui paral·lela a la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

22y

31x:s .

RAONAMENT

a)1.per passar pel punt A, ⎩⎨⎧

−==−−−

⇒⎩⎨⎧

=−++=−+−

1m05y3x

04m6m04my3mx

Solució 1m −=

b)1.vectors direccionals de r i s ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

)2,3(v

)m,3(v

s

r

2.condició de paral·llelisme, 2m32

3m

=⇒= 2m =

Trobeu el valor d’a i b per tal que les rectes: { }08y2ax:r =−+ i

{ }3byx2:s =+ es tallin en el punt )1,2(A . RAONAMENT 1.si les rectes r i s passen pel punt A,

⎩⎨⎧

−==

⇒⎩⎨⎧

=+=−+

1b3a

3b4082a2

solució 1b

3a−=

=

5.8

5.9

Xavier Rabasa 56

Trobeu els valors d’m per tal que les rectes { }03y2mx:r =−+ i

{ }01yx2:s =++ passin per un mateix punt. RAONAMENT

1.rectes de diferent pendent, ⇒≠⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

22m

2m2mm

s

r 4m ≠

Valor d’m i n per tal que la recta { }0myx3:r =+ passi pel punt

)3,1(A i sigui paral·lela a la recta { }02ynx:s =−+ . RAONAMENT 1.si la recta r passa per A, ⇒=+ 0m33 1m −= 2.si la recta r és paral·lela a la recta s,

3nnm3

nmm3m

s

r −=⇒−=−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

⇒ 3n −=

Valor d’a i b per tal que les rectes { }05y3ax:r =+− i

{ }01y2bx:s =−+ siguin perpendiculars i que la segona passi pel punt ).2,1(A −

RAONAMENT

1.vectors direccionals de r i s, ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

)b,2(v

)a,3(v

s

r

2.perpendicularitat, 6ab0ab60v·v sr =⇒=−⇒=

5.10

5.11

5.12

Xavier Rabasa 57

3.si la recta s passa per A, ⎩⎨⎧

==−+

⇒⎩⎨⎧

=−+−=−+

3b01y2x3

014b01y2bx

4.solucions, ⇒⎩⎨⎧

==

6ab3b

2a3b

==

Les rectes { }02yx2:r =−+ i { }01yax:s =++ , formen un angle de π/3 radians, calculeu el valor d’a. RAONAMENT

1.vectors directors de les dues rectes, ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

)a,1(v

)2,1(v

s

r

2.condició angular, 5a5

1a4a441

1a·5a21º60cos

2

2

2 +++

=⇒+

+±=

11358a01a16a11 2 ±−

=⇒=−+⇒ 11

358a ±−=

La recta { }03x:r =− talla en un punt A, a la recta que passa pels punts: )3,2(C i )3,1(D −− i en un punt B a la bisectriu del primer quadrant, trobeu els punts A i B i l’equació de la mediatriu del segment AB. RAONAMENT 1.recta s que passa pels punts C i D,

01yx20?34

0?yx2

)3,2(C)2,1()6,3(CD

=−−⇒⎩⎨⎧

=+−=+−

⇒⎩⎨⎧ −−=

.

2.coordenades desl puns A i B,

)5,3(A5y3x

3x01yx2

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==−−

; )3,3(B3y3x

xy03x

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==−

.

3.mediatriudel segment AB,

5.13

5.14

Xavier Rabasa 58

4y08y20?80

0?y20

)4,3(2

BAM

)2,0(AB=⇒=+−⇒

⎩⎨⎧

=+−=+−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

−=

Donades les rectes, { }012ayx2:r =++ i { }10y3x6:s =− , a) valor d’a per tal que r i s siguin paral·leles i calculeu la distància que les separa, b) valor d’a per tal que r i s siguin perpendiculars. RAONAMENT

1.condició de paral·lelisme, 1aa3

26

−=⇒−

=

2.distància entre r i s,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=⇒=−−

∈⇒

⎩⎨⎧

=−−=+−

5326

451036

d010y3x6

r)0,6(A

010y3x6:s012yx2:r

3.condició de perpendicularitat,

4a012a30v·v)6,3(v

)2,a(vsr

s

r =⇒=−⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

Demostreu que totes les rectes de la forma:{ }aaxy −= , passen per un mateix punt P i determineu aquest punt. RAONAMENT y = a ( x – 1 ) x = 1 y = 0 totes passen pel punt ( 1 , 0 ) RAONAMENT

⇒+−=⇒−= 0)1x(ayaaxy feix de rectes que passen pel punt ).0,1(P

5.15

5.16

Xavier Rabasa 59

Determineu el valor d’a per que les tres rectes: { }3y2x:r =− ,

{ }2yx3:s =+ i { })1axy:t += formin part del mateix feix . RAONAMENT

1.punt A de tall entre r i s, )1,1(A1y

1x2yx33y2x

−⇒⎩⎨⎧

−==

⇒⎩⎨⎧

=+=−

2.la recta t passa per A, ⎩⎨⎧

−=+−=

⇒⎩⎨⎧

+=−+=

⇒⎩⎨⎧

−+=

2a1x2y

1a11axy

)1,1(A1axy

Trobeu el valor d’m per tal que les rectes { }01y3x:r =+− ,

{ }03yx:s =−+ i { }03ymx:t =−− passin per un mateix punt A i determineu aquest punt. RAONAMENT

1.punt de tall entre r i s, )1,2(A1y2x

3yx1y3x

⇒⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=+−=−

2.la recta t passa per A, ⇒ ⎩⎨⎧

==−−

⇒⎩⎨⎧

=−−=−−

2m03yx2

031m203ymx

Determineu el valor d’a per tal que cada parell de rectes r i s siguin paral·leles. a) { }1yx:r =+ { }ayx2:s =− b) { }1y2x)2a(:r =−+ { }ay)3a(ax3:s =−+

RAONAMENT

5.17

5.18

5.19

Xavier Rabasa 60

a) impossible12

11

)2,1(v

)1,1(v

s

r ⇒=−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

b) ⎩⎨⎧

−==

⇒=−+⇒−

−=

+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

+=6a

1a06a5a

3aa3

22a

)a3,3a(v

)2a,2(v2

s

r

Trobeu els valor d’a per tal que les rectes: { }5axy:r += i

{ }2x)1a(y:s −−= a) siguin paral·leles b) siguin perpendiculars. RAONAMENT a) paral·leles: a=a -1 implica 0 = 1 impossible b) perpendiculars a (a -1) = - 1, a 2–a+1=0 no té solucions reals RAONAMENT

a) impossible111

1a1a

)1a,1(v

)a,1(v

s

r ⇒−=⇒−

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

b)

impossible2

31a

01aa0)1a(a10v·v)1a,1(v

)a,1(v2

sr

s

r

⇒−±

=⇒

⇒=+−⇒=−+⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

Donada la recta: { }0)m5(y)m3(mx:r =−+−− , a) valor d’m per tal que la recta passi pel punt ( )1,2(A − , b) valor d’m per tal que la recta r

sigui paral·lela a la recta:⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

24y

42x:s .

RAONAMENT a) si la recta r passa per A,

5.20

5.21

Xavier Rabasa 61

1m02m20)m5()m3(m2 =⇒=+−⇒=−+−−−

b) 1m6m642

m3m

)2,4(v

)m,m3(visr

s

r =⇒=⇒=−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=KK

Determineu el valor d’m i d’n per tal que la recta { }4nyx6:r =+ passi pel punt )1,2(A − i sigui paral·lela a la recta { }02y4mx:s =−+ . RAONAMENT 1.per passar pel punt A, 8n4n12 =⇒=− 2.condició de paral·lelisme de r i s,

3m24m84m

86

)m,4(v

)6,8(visr

s

r =⇒−=−⇒−

=−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=KK

5.22