Xavier Rabasa...5 2.6 Biga de secció triangular i tronc cilíndric 39 2.7 Triangle d’àrea màxima 40 2.8 Corral de( nx1) rectangles i superfície constant 41 2.9 Una corda i dues

1

Xavier Rabasa Professor de Matemàtiques

2

Introducció: Si es tracta d’optimitzar-ho tot començaré per minimitzar aquesta introducció. Té un contingut de cent problemes amb valors paramètrics desenvolupats per diferents mètodes que fa d’aquest llibre una bona eina de consulta per alumnes i professors. Està encaminat a l’estudi del problemes d’optimització o més coneguts com,” màxims i mínims”. Dividit en cinc capítols segons les eines emprades de la següent manera: Capítol primer, Les eines són: equilibri de forces, lleis de la reflexió i refracció de la llum, propietats de la circumferència i dels polígons regulars. Capítol segon, Les eines són: dues propietats que resulten d’aplicar la desigualtat entre la mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica. Capítol tercer, Les eines són: propietats del vèrtex i el seu entorn aplicades a funcions parabòliques. Capítol quart, Les eines són: les clàssiques per funcions derivables d’una variable on s’aplicarà la recerca dels extrems relatius i absoluts. Capítol cinquè, Les eines utilitzades són les dels capítols anteriors, i com a mínim dues en cada exercici. Observació: En tots els exercicis desenvolupats les dades venen donades mitjançant paràmetres que ens permeten generar exercicis amb valors numèrics.

3

El mon real amb multitud de colors als ulls d’un matemàtic, es converteix en un espai abstracte en blanc i negre, on el gris no hi te cabuda. Xavier Rabasa.

4

ÍNDEX

Capítol 1 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT UNA RESOLUCIÓ GRÀFICA

pàgina1.0 Introducció teòrica 7 1.1 Canal de dues parets inclinades sense base 12 1.2 Canal de dues parets perpendiculars 13 1.3 Canal de dues parets inclinades 14 1.4 Canal de quatre parets amb dues inclinades 15 1.5 La formiga 16 1.6 El pont i el canal 17 1.7 La canonada1 18 1.8 La canonada2 19 1.9 Trajecte per l’interior d’un triangle 20 1.10 La capsa de bombons 22 1.11 Un camp de rugbi 23 1.12 La paràbola i el raig de llum 23 1.13 L’el·lipse i el raig de llum 24 1.14 La hipèrbola i el raig de llum 25 1.15 El punt de Fermat 25 1.16 La corda al voltant d’una columna quadrada 27 1.17 La corda al voltant d’una columna rectangular 27 1.18 La corda al voltant d’una columna rodona 28 1.19 La corda al voltant d’una columna semi el·líptica 29 1.20 La cicloide 29 Capítol 2 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT UNA DESIGUALTAT NOTABLE 2.0 Introducció 32 2.1 Rectangle sota una recta 35 2.2 Recta tangent a una hipèrbola 36 2.3 Triangle inscrit en un cercle 36 2.4 Rectangle inscrit en una el·lipse 37 2.5 Biga de secció rectangular i tronc de secció el·líptica 38

5

2.6 Biga de secció triangular i tronc cilíndric 39 2.7 Triangle d’àrea màxima 40 2.8 Corral de( nx1) rectangles i superfície constant 41 2.9 Una corda i dues figures semblants 41 2.10 Marc d’una finestra coronada amb un semicercle 43 2.11 Marc d’una finestra coronada amb una semi_el·lipse 44 2.12 Full de paper amb marges 45 2.13 Les trajectòries de dos vaixells 46 2.14 L’arcada d’una bodega 47 2.15 Una cartolina quadrada i una caixa oberta 48 2.16 Caixa oberta de volum fix amb base rectangular 49 2.17 Dipòsit cilíndric tancat amb volum constant 50 2.18 Un con inscrit en una esfera 51 2.19 Velocitat de circulació en cas de retenció 52 2.20 Un dau trucat 53 Capítol 3 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT EL VÈRTEX D’UNA FUNCIÓ PARABÒLICA. 3.0 Introducció 54 3.1 Maximitzar un rectangle de perímetre fix 55 3.2 Un corral rectangular adossat a una paret 56 3.3 Una catifa quadrada 57 3.4 Una corda i dues figures 57 3.5 Una finestra normanda de perímetre fix 58 3.6 Una finestra coronada amb un triangle equilàter 59 3.7 Una finestra coronada amb un triangle rectangle 60 3.8 Un moble llibreria 61 3.9 Un mirall trencat 62 3.10 Un triangle inscrit en un altre triangle 64 3.11 Triangles semblants 64 3.12 El tir parabòlic 65 3.13 Una pista d’atletisme 67 3.14 El creixement d’una població 68 3.15 Suma de quadrats 68 3.16 El lloguer d’un edifici 69 3.17 Marc coronat amb un arc parabòlic 69

6

3.18 Un magatzem de fruita 70 3.19 Corral de (nx1) rectangles amb perímetre fix 71 3.20 Un planeta del sistema solar 72 Capítol 4 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT LA DERIVADA 4.0 Introducció 73 4.1 Una cartolina rectangular i una caixa oberta 74 4.2 Dos canals i un vaixell 75 4.3 Un got de vidre 76 4.4 La secció d’un canal rectangular 77 4.5 Un focus de llum i l seva altura 78 4.6 Dos focus de llum 79 4.7 Concentració d’alcohol en la sang 80 4.8 Una recta i un punt 81 4.9 Una recta i una hipèrbola 82 4.10 Una recta i una paràbola 82 4.11 La diagonal d’un rectangle 83 4.12 Un jardí en forma de sector circular 84 4.13 Quatre pobles 85 4.14 Recta que talla als eixos de coordenades 86 4.15 Una fàbrica 87 4.16 El combustible d’un vaixell 87 4.17 Temperatura del cos per ingestió d’un medicament 88 4.18 El creixement d’un arbre 89 4.19 Un cilindre inscrit en un con 90 4.20 Un sector circular que genera un con 91 Capítol 5 APLICACIÓ DELS DIFERENTS MÈTODES 5.0 Introducció 93 5.1 Descomposició d’un nombre en dos sumands 93 5.2 Descomposició d’un nombre en dos factors 94 5.3 Un rectangle inscrit en un cercle 95 5.4 Una el·lipse circumscrita a un rectangle 96 5.5 Un tronc de secció circular i una biga rectangular 98

7

5.6 Un corral de (m x n) rectangles amb perímetre fix 99 5.7 Un corral de (m x n)rectangles amb superfície fixa 1015.8 Un corral de (n x1)rectangles adossada a una paret 1035.9 Partició d’una corda en dues figures 1045.10 Marc rectangular coronat amb un triangle equilàter 1065.11 Marc rectangular coronat amb un triangle rectangle 1075.12 Àrea d’un triangle sota una recta 1095.13 Punt i paràbola 1115.14 Una caixa oberta amb base quadrada i volum fix 1125.15 Una caixa oberta amb base quadrada i superfície fixa 1135.16 Un dipòsit cilíndric tancat amb superfície fixa 1145.17 Un dipòsit cilíndric obert amb volum fix 1165.18 Un dipòsit cilíndric obert amb superfície fixa 1175.19 Un cilindre inscrit en una esfera 1195.20 Una gota de pluja 120 Capítol 1 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT UNA RESOLUCIÓ GRÀFICA INTRODUCCIÓ Demostrarem que: “de tots els polígons d’n costats amb perímetre fix P, el que té l’àrea màxima és el polígon regular”. Primera part: De totes les poligonals triangulars de perímetre fix P i base fixa a, la que tanca l’àrea màxima és: el triangle isòsceles

Raonament:

x y

a

A

8

La suma dels altres costats ( x + y ) és una constant de valor (P–a), aleshores el vèrtex A es troba sobre una el·lipse i el triangle d’àrea màxima és aquell que té màxima altura i en conseqüència el triangle isòsceles.

Segona part: ”de totes les poligonals d’n costats i perímetre fix P la que tanca una àrea màxima és aquella que té els costats iguals. Raonament:

Si la solució òptima fos la indicada a la figura de sota: Aleshores triant tres vèrtex consecutius, el polígon d’n costats queda dividit en dues parts, un triangle i un polígon de n - 1 costats. Fixat el polígon de n - 1 costats, el

triangle A per donar la màxima àrea amb base fixa, ha de ser isòsceles i aleshores els costats x i y han de ser iguals. Si es repeteix el raonament per qualsevol dels altres tres vèrtexs consecutius la solució és: una poligonal amb els costats iguals. Tercera part: Fixats dos punts A i B amb una separació d, de totes les poligonals de tres costats iguals i longitud P major que d, la que dóna l’àrea màxima és el trapezi equilàter. Raonament: Com es veu a la figura: un altra trajectòria com ara la vermella perd més àrea que no pas en guanya aleshores la més adient és la que té forma de trapezi equilàter que ens facilita la solució de:

angles iguals entre costats iguals.

a

A

A

B

y

A B

x

9

Quarta part : De totes les poligonals de n costats iguals i perímetre fix P, la que tanca l’àrea màxima és aquella que té els angles iguals. Raonament: Finalment, triant quatre vèrtexs consecutius la poligonal de n costats queda dividida en un trapezi de tres costats iguals amb base fixa, i una poligonal de (n-2) costats. Fixat el polígon de (n-2) costats, el trapezi ha de tenir àrea màxima per tant ha de ser equilàter. Reiterant el procediment ens indica que:els angles interns del polígon han de ser iguals. La conclusió final De totes les poligonals de n costats amb perímetre fix P, la que tanca l’àrea màxima és: “ el polígon regular “. Observació: En augmentar els costats del polígon amb un mateix perímetre l’àrea augmenta i el seu límit és: una circumferència. Trajectòria mínima De totes les trajectòries que uneixen dos punts d’una superfície plana, la més curta és la línia recta. Propietat: Llei de la reflexió

Demostrarem que:”si un raig de llum incideix en un punt d’una superfície i es reflecteix en un mateix medi, l’angle d’incidència i és igual

a l’angle de reflexió r “. Raonament:

De tots els trajectes que surten d’un punt A, incideixen en una superfície i reboten passant per un punt B, la més adient és la que minimitza el camí AHB, que és igual al trajecte AHC i on C és el simètric de B

Solució: De totes les trajectòries AHC la més curta és la línia recta que fa que

i r A

B

C

H

i r A B

C

H

i r

10

l’angle d’incidència (i) sigui igual a l’angle de reflexió (r). Equilibri de forces Un punt queda en equilibri si la resultant de totes les forces aplicades a l’esmentat punt és zero. Propietat: Llei de la refracció Demostrarem que: “tot raig de llum que surt d’un punt A en un medi a velocitat 1v incideix en una superfície amb un angle de incidència i, penetra en un altre medi amb velocitat 2v i surt amb un angle de refracció r fins arribar a un punt B, ho fa de tal

manera que compleix la llei : 2

1

sinsin

vv

ri= .

Raonament: Considerarem el pla A B B’ horitzontal i considerarem la

superfície d’incidència com una barnilla de filferro on lligarem un nus corredor que pugui lliscar per la barnilla. D’aquest nus en lligarem dues cordes que penjaran dels punts A i B’ simètric de B, amb dos pesos inversament proporcionals a les velocitats 1v ,

2v i deixarem que el nus quedi en equilibri. Es complirà:

A

B

i

r

a

x

xc −

b

22 xa +

22 )( xcb −+

i

r

'B

N

1

1v

2

1v

i r

11

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

rv

iv

N

rv

iv

cos1cos1

sin1sin1

21

21 ⇒ rv

iv

·sin1·sin1

21

= .

Solució: Ja que:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−

=

+=

22

22

)(sin

sin

xcbxcrxa

xi ⇒

222

221 )(

·1·1xcb

xcvxa

xv −+

−=

+

La projecció horitzontal de l’invers de la velocitat es manté constant en cada medi. EINES 1. De tots els polígons de n costats i perímetre fix, el que té

l’àrea màxima és el polígon regular que té els costats iguals i els angles iguals. Fixat el perímetre, l’àrea augmenta a mesura que augmenta el nombre de costats fins arribar a la circumferència.

2. De totes les corbes tancades de perímetre fix, la que té l’àrea màxima és la circumferència..

3. Un raig de llum es mou en un medi per una trajectòria que

minimitza el temps del trajecte. Dintre d’un mateix medi la trajectòria és la més curta per tant és la línia recta.

4. Un raig de llum que porta una velocitat 1v incideix en una

superfície amb un angle d’incidència i , penetra en un altre medi amb un angle de refracció r portant una velocitat 2v , i ho fa de manera que les projeccions horitzontals dels inversos de les seves velocitats són iguals en tots els medis.

krv

iv

== sin1sin1

21

12

5. Un raig de llum que porta una velocitat 1v incideix en una

superfície amb un angle de incidència i, es reflecteix amb un angle de reflexió r; ho fa de manera que les projeccions horitzontals dels inversos de les seves velocitats són iguals i ja que la velocitat és la mateixa l’angle d’incidència és igual a l’angle de reflexió.

rirv

iv

=⇒= sin1sin1

11

APLICACIONS:

Una làmina rectangular d’amplada fixa P i llargada L, es vol doblegar en forma de V per tal de construir un canaló per la recollida d’aigua de manera que sigui el més eficient possible. Trobeu la manera de fer-ho Raonament:

1.1

i

1

1v

2

1v

r

ri

i 1

1v

1

1v

rr i

13

Fixat el perímetre

Duplicant el canal

En duplicar el canal resulta un polígon de quatre costats amb el perímetre constant 2P i l’àrea màxima la dóna el polígon regular: el de quatre costats, que és el quadrat, és més favorable que el triangle equilàter, aleshores el canal té dues parets iguals de longitud

2P formant entre si un angle de 90º.

Solució. dues parets iguals de longitud

2P formant entre si un angle de

90º.

Una làmina rectangular d’amplada fixa P es vol doblegar en forma de ∪ amb dues parets verticals i el terra horitzontal com indica la figura, per tal de construir un canaló per la recollida d’aigua de manera que sigui el més eficient possible. Trobeu la manera de fer-ho.

Raonament: Fixat el perímetre P

Duplicant el canal

2P

2P

1.2

14

En duplicar el canal amb el perímetre constant 2P l’àrea màxima la dóna el quadrat, aleshores el canal té les parets laterals de longitud

4P i longitud de la base

2P .

Solució: El canal té les parets laterals de longitud

4P i longitud de la base

2P

Es vol construir un canal de rec amb base horitzontal i dues parets laterals i el perímetre fix P, de manera que sigui el més eficient possible. Trobeu la manera de fer-ho Raonament: Fixat el perímetre P

Duplicant el canal :

En duplicar el canal resulta un polígon de cinc o de sis costats amb el perímetre fix 2P de manera que la solució òptima serà el polígon regular de major nombre de costats:l’hexàgon regular, en conseqüència: la màxima capacitat és aquella que té els tres costats iguals de longitud

3P i formant un angle de 120º entre el

1.3

2P

4P

4P

15

terra i les parets laterals. Solució:

Tres costats iguals de longitud 3P i

formen un angle de 120º entre el terra i les parets laterals.

Es vol construir un canal de rec amb base horitzontal seguit de dues parets a cada costat, una inclinada i l’altra vertical de perímetre fix P, com indica la figura de manera que sigui el més eficient possible. Trobeu la manera de fer-ho Raonament: Fixat el perímetre P

Duplicant el canal :

En duplicar el canal resulta un polígon de vuit costats amb el perímetre fix 2P de manera que la solució òptima serà el polígon regular de vuit costats, en conseqüència: la màxima capacitat és

aquella que té els tres costats iguals inferiors de longitud 4P i les

parets verticals de longitud 8P formant dues consecutives un

angle de 135º . Solució:

1.4

3P

3P

3P

16

Tres parets iguals inferiors de

longitud 4P i les verticals de longitud

8P formant dues consecutives un angle

de 135º .

En un got cilíndric, en la circumferència de la base i, per la part, exterior F, s’hi troba una formiga. A l’interior del got i en el punt diametralment oposat M s’hi troba una gota de mel. Indica la longitud del recorregut més curt que ha de fer la formiga per arribar a la gota de mel i el pendent de pujada i baixada. Raonament: Desenvolupant l’interior i l’exterior del cilindre, la trajectòria més curta és la línia recta que va de F a M :

8P

4P

4P

4P

1.5

h

M F

Pr

8P

17

Solució:

El desenvolupament de la superfície lateral del cilindre ens porta a la línea recta de manera que sobre el cilindre suposa una hèlice on el creixement en cada punt és constant. La longitud del trajecte mínim és :

22 )()2( RHL π+= El pendent de pujada és

rhmπ

=2 i el de baixada

rhmπ

−=2

Es vol construir un pont per travessar un canal d’amplitud k per tal de connectar dos pobles A i B, com indica la figura, de manera que el trajecte entre les seves poblacions sigui mínima. Raonament:

F

P

M

H2

Rπ2

Cara Exterior

Cara Interior

L = 22 )()2( RH π+

Q

1.6

a

b

c k

A

B

M F

P Q

18

Ja que la longitud del pont és la mateixa independentment on el situem, es pot analitzar el problema suprimint l’amplada del canal de manera que la trajectòria més curta és en línea recta.

Solució: Aplicant el teorema de Pitàgores resulta que la longitud mínima és: 22)( cbaL ++= + k

La distància x resulta: ba

acxxc

bxa

+=⇒

−=

Es vol instal·lar una canonada des del punt A al costat de la platja fins al punt B d’una plataforma marítima on la situació de B respecte d’A ve determinada en la figura següent. Si cada metre terrestre de canonada costa C € i cada metre marítim D €, Trobeu el trajecte més econòmic. Raonament: Això ho podem analitzar com el trajecte d’un raig de llum per

dos medis diferents l’horitzontal on avancem a velocitat C1 i el

1.7

a

b x

A

B

xc −

A

B

x

Cv=

1

1

b

a

Dv=

2

1

xa −

19

superior a velocitatD1 . La trajectòria òptima es aquella en la

qual la projecció de l’invers de la segona velocitat D sobre el medi horitzontal coincideix amb l’invers de la velocitat d’aquest medi C.

⇒−

=−α

=α⇒=αC

CDtgDC 22

21

cos1cos

xab

CCD

−=

− 22

22 CD

bCax−

−=

Solució:

Cost total 22

2222)()( CDbaC

CDbDD

CDbCaC −+=

−+

−−

Es vol instal·lar una canonada des del punt A d’una plataforma marítima fins al punt B al interior de terra on la situació de B respecte d’A bé determinada en la figura següent. Si cada metre marítim de canonada costa p € i cada metre terrestre p €, Trobeu el trajecte més econòmic.

1.8

22 CDbC−

b

22 CDbCa−

−

22 CDbD−

20

Raonament: Això ho podem analitzar com el trajecte d’un raig de llum per dos medis diferents el marítim i el terrestre on avancem a

velocitat p1 i

q1 respectivament . La trajectòria òptima es

aquella en la qual la projecció de l’invers de les velocitats sobre la línia de terra coincideix.

2222

21 )(sin1sin1

xcbxcq

xaxpr

vi

v −+−

=+

⇔= efectuant el

canvi: t

cxct

tcxxctx+

=−→+

=→−=11

)( resulta l’equació

biquadrada : ( ) 022222222222422 =−−−+− qatpcbpqcqatbp

Amb solució: t

ctx+

=1

on

ibp

bpqasst22

22222

24++

= ( )22222222 pcbpqcqas −−+=

Solució: Es calcula primerament,

( )22222222 pcbpqcqas −−+= i 22

22222

24bp

bpqasst ++=

I aleshores podem calcular:

tctx+

=1

t

cxc+

=−1

txc

x=

−

i

x

p

b

r

ri xc −

a

q

A

B

21

En un triangle isòsceles la seva base mesura L unitats de longitud i els seus angles adjacents són iguals a:

ºα . Si un raig de llum surt d’un punt A de la base reflectint-se en els altres dos costats segons la trajectòria ABCA trobeu la seva trajectòria mínima i la seva longitud.

Raonament: Fent la simetria del triangle respecte dels costats laterals resulta:

La trajectòria triangular A B C A és equivalent en longitud a la trajectòria A’ B C A’’. El camí A’ B C A’’ és mínim si la trajectòria és lineal; aleshores la solució òptima és:

Per calcular la longitud de la trajectòria calculem les seves components: Component horitzontal:

)2cos1()2º180cos()()2º180cos( α−=α−−++α−= LxLLxSx Component vertical:

A

C

B 'A

''A

x

x

x

xL −

xL −

A

C B

'A

''A

x

x

x

LxL −

xL −

1.9

C

B

α α

A

22

α−=α−−α−−= 2sin)2()2º180sin()2º180sin()( xLxxLSy

Longitud de la trajectòria : 22

yx SSS += Solució: Longitud de la trajectòria és :

22

yx SSS += on ⎩⎨⎧

α−=α−=2sin)2()2cos1(

xLSLS

y

x

La component horitzontal és constant i la vertical és funció lineal de x. La mínima trajectòria serà aquella que fa zero la component vertical que resulta ser, la que surt del punt mig amb valor )2cos1( α−== LSS x

Una capsa de bombons de llargada a, amplada b i alçada c, es vol subjectar per una goma circular com indica la figura, trobeu la longitud que pren la goma.

Raonament: Fent el desenvolupament de la capsa la trajectòria més curta és en línea recta de manera que la goma segueix el camí rectilini, ABCDEFGHA :

1.10

A

B C

D E

F

G H

23

Solució: El desenvolupament de la trajectòria és lineal essent la seva longitud mínima: 22 )()(2 cbcad +++=

En un camp de rugby es vol col·locar la pilota en un punt A de la línia vertical (r) a la porteria i a una distància y del primer pal . Calculeu la posició x que dóna el màxim angle visual entre els dos pals que tenen entre ells una separació 2a.

Raonament:

x A

a2

yα β

1.11

x

x

B C

D E

F G

H A

A

A

d

ca 22 +

cb 22 +

A

24

Fixada una circumferència que passa pels dos pals, de qualsevol dels seus punts situats a la part esquerra, l’angle de visualització és el mateix. A mesura que augmenta el radi l’angle de visualització disminueix. De totes les circumferències que passen pels dos pals i toquen o tallen la línia vertical a la porteria (r), la que dóna màxima

visualització és la circumferència tangent. La posició òptima serà la següent: La distància més òptima és

)2()( 22 ayyaayx +=−+=

Solució: La distància òptima és la mitjana geomètrica de les distàncies als dos pals des del punt recta (r) més proper a la porteria.

)2()( 22 ayyaayx +=−+=

Demostreu que tot raig de llum que surt del focus F d’una paràbola i rebota en ella, ho fa amb una trajectòria paral·lela al seu eix. Raonament: Tot punt P de la paràbola té la propietat de que: la seva distància al focus F és igual a la seva distància a la recta directriu (r) La trajectòria FPA té la mateixa longitud que la trajectòria F’PA i de totes aquestes la més curta és la línea recta, aleshores la resposta és: aquella que és paral·lela a l’eix de la paràbola. Solució:

F

A

P

P

1.12

F

A

P

P 'F

'F

x

A

a2

y

ay +

x

25

De totes les trajectòries la més curta és la que fa mínima la distància del punt A a la directriu i aleshores la trajectòria reflectida és paral·lela a l’eix de la paràbola.

Demostreu que tot raig de llum que surt del focus d’una el·lipse F i rebota en ella passant per un punt A, ho fa amb una trajectòria que passa per l’altre focus F’. Raonament: Volem minimitzar la trajectòria FPA que és equivalent a minimitzar la trajectòria FPAF’.

Demostrarem que la trajectòria FQAF’ és la millor. Longitud de la trajectòria FPAF’ ≥ Longitud de la trajectòria FPF’ Longitud de la trajectòria FPF’ = Longitud de la trajectòria FQF’ Longitud de la trajectòria FPAF’ ≥ Longitud de la trajectòria FQF’ Aleshores la més curta és la que passa per l’altre focus F’ Solució:

La trajectòria més curta sempre passa pel altre focus.

d

F 'F

P

AQ

d

F'F

P A

1.13

F

A

P

'F

F 'F

A

Q

26

Demostreu que tot raig de llum que surt del focus d’una hipèrbola F i rebota en ella passant per un punt A, ho fa amb una trajectòria que passa per l’altre focus F’. Raonament:

(x/3)^2-(y/5)^2=1

Graph Limited School Edition

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

Minimitzar la trajectòria vermella - blava és equivalent a minimitzar la trajectòria verda – blava i aquesta última és mínima si és una línia recta. Solució: La prolongació de la trajectòria reflectida passa per l’altre focus.

En un triangle de costats a, b i c demostreu que el punt F, que té la suma de distàncies als vèrtex mínima , és aquell on aquestes trajectòries rectilínies formen entre elles angles de 120º.

Raonament:

c

a

b z

y

x

1.15

1.14

27

El problema és equivalent a col·locar el triangle en un pla horitzontal i penjar tres pesos iguals als seus vèrtexs lligats amb tres cordes per un nus i observar el seu punt d’equilibri. Els tres pesos generen tres forces de magnitud F com indica la figura. Igualant forces:

⎩⎨⎧

=β=α⇒β+α=

β=αº60

coscossinsinFFF

FF

Per calcular la distància a2 = x2 + z2 – x z b2 = y2 + z2 – y z c2 = x2 + y2 – x y a2 + b2 + c2 = 2 ( x2 + y2 + z2 ) - ( x y + x z + y z )

x2 + y2 + z2 = 21 (a2 + b2 + c2 )+

21 (x y + x z + y z )

( x + y + z ) 2 = x2 + y2 + z2 + 2 ( x y + x z + y z )

)(43))()(( yzxzxycpbpapp ++=−−− p =

2cba ++

x y + x z + y z = ))()((3

4 cpbpapp −−−

Aleshores: ( x + y + z ) 2 = x2 + y2 + z2 + 2 ( x y + x z + y z ) =

x + y + z = ))()((3

10)(21 222 cpbpappcba −−−+++

Solució: Aleshores les tres trajectòries formen entre si angles de 120º

))()((3

10)(21 222 cpbpappcbad −−−+++=

F

FF α β

28

Es lliga a una columna de secció quadrada de costat a, una corda amb un nus escorredor i es tensa la corda. Trobeu la distància més curta del nus a la columna.

Raonament:

En el nus s’han d’equilibrar tres tensions iguals, aleshores l’angle entre dues forces és de 120º. Solució:

La mínima distància del nus a la biga és 32

º302

atgad ==

Es lliga a una columna de secció rectangular d’amplada a i llargada b una corda amb un nus escorredor i es tensa la corda. Trobeu la distància més curta del nus a la columna. Raonament:

1.17

1.16

a

d d

2a

º30

a

d

29



º302

atgad ==

Es lliga a una columna de secció circular de radi r, una corda amb un nus escorredor i es tensa la corda. Trobeu la distància més curta del nus a la columna.

Raonament:

En el nus s’han d’equilibrar les tres tensions iguals, aleshores l’angle entre dues forces qualsevol és de 120º. Si d = mínima distància

rrdr3

2º30cos

)( ==+ rd3

32 −=

a

d d

2a

º30

b

r r

r

1.18

r

2r

dr +

º30

º30

30

Solució:

La mínima distància mínima a la biga és: rd3

32 −=

Es lliga a una columna de secció semi_el·líptica d’amplada 2a i altura o semieix menor b una corda amb un nus escorredor i es tensa la corda. Trobeu la distància més curta del nus a la columna. Raonament:



º30 aatgd ==

De totes les trajectòries que van d’A a B d’un cos de massa m sotmès a la força de la gravetat, la que minimitza el temps del recorregut és la cicloide. Raonament:

1.20

1.19

d

a

º30

b

a2

d

31

Igualant les energies en els punts A i P resulta, 2

21 mvmgy = i la

velocitat en cada punt P de la trajectòria és: gyv 2= . El recorregut de mínim temps és aquell que trigaria la llum al passar per diferents medis dependents de l’altura (y) amb velocitats variables en cada medi gyv 2= . La trajectòria òptima és aquella en la qual les projeccions horitzontals dels

inversos de les velocitats és constant, complint: kv

=αcos1 .

Ja que 22 '1

11

1cosytg +

=α+

=α resulta,

2

2

2 21)'1(

)'1(21

gkyyk

ygy=+⇒=

+.

La cicloide té per equacions paramètriques

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=−

===⇒−=−=

yyR

tt

dtdxdtdy

dxdyy

tRtyttRtx 2

cos1sin'

)cos1()()sin()(

RyyyRy 2)'1(12' 22 =+⇒−=⇒ i aquesta darrera equació és la

que compleix la trajectòria de mínim temps aleshores “la cicloide”. Solució: La trajectòria òptima és una cicloide que resulta de moure el punt A en una circumferència que roda per l’eix d’abscisses OX

A

B

αcos1v

v1

P

x

y

α

32

fins arribar al punt B amb un radi que compleix 22

12gk

R =

A

A

A BA =

33

Capítol 2 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT UNA DESIGUALTAT NOTABLE INTRODUCCIÓ Fixats n valors positius , la seva mitjana aritmètica és major o igual que la seva mitjana geomètrica, i la igualtat es compleix si i només si: tots els valors són iguals.

0·......··....21

21 >≥+++

in

nn xambxxx

nxxx

Una demostració molt elegant d’aquesta desigualtat és deguda a Pólya, utilitzant la funció exponencial i la seva recta tangent en el punt (0,1) Com a primera conseqüència: Si un valor positiu S es parteix en n valors positius:

Sxxx n =+++ ...21 aleshores la seva mitjana aritmètica

nS

nxxxA n =

+++=

...21 és una constant i la desigualtat:

nn

n xxxnS

nxxx ·......··....

2121 ≥=

+++ es compleix per totes i cada

una de les particions.

Elevant a la potència enèsima : n

n nSxxx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤))·.....·()·(( 21

el seu producte sempre serà inferior o igual a la constant n

nS⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ i

el producte ))·.....·(( 1 nxx prendrà el valor màxim si els valors ix és poden fer iguals.

34

Això és equivalent a estudiar la compatibilitat del

sistema:⎩⎨⎧

=+++===

Sxxxxxx

n

n

)(....)()()(.....)()(

21

21 i en cas de compatibilitat la

solució òptima serà: nSxxx n ==== ...21

Això comporta la següent propietat: 1. Si es vol maximitzar un producte de n factors positius

nxxx ·....·· 21 i entre ells existeix una equació de lligadura Sxxx n =+++ .....21 constant, aleshores el producte serà màxim

si: “els factors es poden igualar i això és compatible amb l’equació de lligadura”. Dit d’una altra manera :

Si el sistema: ⎩⎨⎧

====+++

n

n

xxxSxxx

.............

21

21 és compatible la solució

òptima és: nSxxx n ==== ........21 que és la solució del

sistema.

Com a segona conseqüència: Si un valor positiu P es factoritza en n productes positius:

Pxxx n =))·....·()·(( 21 aleshores es compleix: nn

nn Pxxx

nxxx

=≥+++ ·......··....

2121 o bé:

)·(....21n

n Pnxxx ≥+++ La suma serà mínima si es pot arribar a la igualtat de tots els sumands Això és equivalent a que sigui compatible el sistema format per l’equació de lligadura i la igualtat de tots els sumands:

⎩⎨⎧

====

Pxxxxxx

n

n

))·....·()·(()(.....)()(

21

21

I en cas de compatibilitat la solució òptima és: n

n Pxxx ==== ........21 que és la solució del sistema.

35

Això comporta la següent propietat: 2. Si es vol minimitzar una suma de n valors positius

nxxx +++ .....21 i entre ells existeix una equació de lligadura Pxxx n =·....·· 21 constant, aleshores la suma serà mínima si:” els

sumands es poden igualar i això és compatible amb l’equació de lligadura”. Dit d’una altra manera:

Analitzar la compatibilitat del sistema ⎩⎨⎧

====

n

n

xxxPxxx

........·

21

21

i en cas afirmatiu la solució òptima és: n

n Pxxx ==== ........21 que és la solució del sistema.

EINES 1. Si es vol maximitzar un producte de n factors positius

nxxx ·....·· 21 i entre ells existeix una equació de lligadura Sxxx n =+++ .....21 constant, aleshores el producte serà màxim

si és compatible el sistema ⎩⎨⎧

====+++

n

n

xxxSxxx

.............

21

21

i en cas afirmatiu la seva solució és: nSxxx n ==== ........21

2. Si es vol minimitzar una suma de n valors positius

nxxx +++ .....21 i entre ells existeix una equació de lligadura Pxxx n =·....·· 21 constant, aleshores la suma serà mínima, si és

compatible el sistema ⎩⎨⎧

====

n

n

xxxPxxx

........·

21

21

i en cas afirmatiu la seva solució és: nn Pxxx ==== ........21

APLICACIONS:

36

Trobeu dos nombres positius x i y de manera que a vegades el primer més b vegades el segon es mantingui constant de valor S i

el seu producte P = x y sigui màxim. El problema és equivalent a cercar les dimensions d’un rectangle inscrit a un triangle rectangle amb la hipotenusa sobre la recta d’equació a x + b y = S.

Raonament: Volem maximitzar: yx· ⇔ ))(( byax màxim, amb la condició: Sbyax =+ )()( constant. El producte ))(( byax serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

⎩⎨⎧

⇔==⇔=

=+

bSya

SxSbyaxbyax

Sbyax

2

22)()(

)()(

Sistema compatible amb solució òptima. Solució:

La solució analítica és:⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

bSya

Sx

2

2

Gràficament són les coordenades del punt mig del segment on la recta Sbyax =+ )()( talla als eixos de coordenades.

2.1

Sbyax =+

x

y

Sbyax =+

xy

x

y

bS

aS

37

Trobeu dos nombres positius de producte fix P tal que a vegades el primer més b vegades el segon té valor mínim.

Raonament: Es vol minimitzar la suma )()( byax + Amb la condició: Pyx =· ⇔ abPbyax =))(( constant La suma )()( byax + serà mínima si fa compatible el sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔==⇔

==

babPy

aabPx

abPbyaxbyax

abPbyax)()(

))((


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

babPy

aabPx

Valor mínim: abPbyax 2=+

Gràficament la solució representa les coordenades del punt de la

hipèrbola xPy = que talla a la recta x

aby =

De tots els triangles que es poden inscriure en una circumferència de radi R, trobeu aquell que té àrea màxima.

2.3

x

y

Sbyax =+

xy

bS

aS

2.2

38

Raonament: Si (2 x ) és la base i ( y ) la seva altura, ja

que el triangle ABC és rectangle, l’equació de lligadura és: )2(2 yRyx −= Volem maximitzar:

)36)()()(()2(322 yRyyyyRyyxxy −⇔−=⇔ , amb la condició: RyRyyy 6)36()()()( =−+++ . El producte

)36)()()(( yRyyy − serà màxim si fa compatible el sistema:

RyyRyyy

RyRyyy23

)36()()()(6)36()()()(

=⇒⎩⎨⎧

−====−+++

Per calcular el valor d’x cal substituir a l’equació de lligadura

)2(2 yRyx −= resultant Rx23

=


º6033

3=α⇒===α

xytg . El triangle és

equilàter.

De tots els rectangles que es poden inscriure en una el·lipse de semieixos a i b, Trobeu aquell que té l’àrea màxima.

Raonament:

2.4

y

x

α

y R2

x2

A

B

C

39

Volem maximitzar el producte yx 2·2 ⇔ maximitzar ))(( 2222 yaxb

Amb la condició 12

2

2

2

=+by

ax ⇔ 222222 )()( bayaxb =+ constant

El producte ))(( 2222 yaxb serà màxim si fa compatible el sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==⇔=

=+

2

22)()(

)()( 222222

2222

222222

by

axbayaxbyaxb

bayaxb


Les dimensions són ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

2

2by

ax

ab

xy= la diagonal del rectangle és paral·lela a la del rectangle

circumscrit a l’el·lipse.

Una biga de secció rectangular és tal que: la seva resistència és directament proporcional a la seva amplada i al quadrat de la seva alçada. Es disposa d’un tronc de secció el·líptica de semieixos a i b i es desitja retallar una biga de secció rectangular de manera que sigui el més resistent possible, trobeu les seves dimensions. Raonament:

2.5

x2

y2 b2

a2

40

Equació de lligadura: 222222 bayaxb =+ . Resistència a maximitzar:

))()(2()( 222222222222222 xbbaxbbaxbxbbaxkxyR −−⇔−⇔= amb suma 222222222222 2)()()2( baxbbaxbbaxb =−+−+ constant, analitzarem la compatibilitat del sistema:

⇒⎩⎨⎧

−=−==−+−+

)()()2(2)()()2(2222222222

222222222222

xbbaxbbaxbbaxbbaxbbaxb

322 ax =

Sistema compatible amb solució òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació: 222222 bayaxb =+ resultant

by3222 = .

Solució:

Amplada ax3

22 =⇒ alçada by3222 =

Una biga de secció triangle isòsceles és tal que: la seva resistència és directament proporcional a la seva amplada 2x i al quadrat de la seva alçada y. Es disposa d’un tronc de secció circular de radi r i es desitja retallar una biga com l’esmentada anteriorment de manera que sigui el més resistent possible, trobeu les seves dimensions. Raonament: Equació de lligadura: )2(2 yryx −= . Resistència a maximitzar 4422 )2( yyrkyykxR −==

))()()()(510)(( yyyyyry −⇔ amb suma ryyyyyry 10)()()()()510()( =++++−+

2.6

y

x

y2 x2

41

constant. Analitzarem la compatibilitat del sistema:

610

)()()()()510()(10)()()()()510()( ry

yyyyyryryyyyyry

=⇒⎩⎨⎧

====−==++++−+

Sistema compatible amb solució òptima. Per calcular el valor d’x cal substituir a l’equació de lligadura )2(2 yryx −= resultant

rx35

=

Solució:

Amplada rx3

522 = alçada ry35

=

De tots els triangles de perímetre fix P el que té l’àrea màxima és el triangle equilàter Raonament:

Perímetre cbap ++=2 Àrea del triangle ))()(( cpbpappA −−−= A és màxima ⇔ A2 és màxima ⇔

))()(( cpbpap −−− màxim, amb la condició pcpbpap =−+−+− )()()( constant. El producte

))()(( cpbpap −−− és màxim si fa compatible el sistema:

32

32

32

3)()()()()()(

pcpbpa

pcpbpapcpbpap

pcpbpap

===⇔

⇔⎩⎨⎧

=−=−=−⇔−=−=−=−+−+−

Sistema compatible amb solució òptima Solució: La solució és el triangle equilàter de dimensions

32 pcba === on p és el semiperímetre.

2.7

c

a

b

42

Un ramader vol construir un corral de n rectangles com indica la figura de superfície total S . Trobeu les dimensions més adients de manera que la longitud de la tanca sigui mínima.

Raonament: Volem minimitzar el perímetre de la tanca: [ ] [ ]ynx )1(2 ++ Amb la condició: ⇔= Syx· [ ][ ] Snynx )1(2)1(·2 +=+ constant. La suma [ ] [ ]ynx )1(2 ++ serà mínima si fa compatible el sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=+

Sn

y

Snx

ynx

Snynx

122

1

])1[(]2[

)1(2])1]·[(2[

Sistema compatible amb solució òptima Solució: Les dimensions de la llargada x i de l’amplada y són:

Snx2

1+= i S

ny

12+

=

Una corda de longitud L es parteix en dos bocins i amb cadascun d’ells es formen dues figures tancades semblants o no. Trobeu la longitud de cada tros de manera que la suma de les seves àrees sigui mínima.

2.9

x

y

2.8

43

Raonament:

Si amb un mateix perímetre unitat la primera figura té una àrea S i la segona una àrea S’, anomenant k = S’/S tenim:

SxLkSxLBSxA 222 )(')( −=−== Minimitzar: [ ] [ ]2222 )()( xLkxxLkxSBA −+⇔−+=+

[ ]xkkLxkL )1(22 +−−⇔ equivalent a: Maximitzar: [ ] [ ][ ]xkkLxkxkkLx )1(2·)1()1(2 +−+⇔+− amb la condició: [ ] [ ] kLxkkLxk 2)1(2)1( =+−++ . El producte [ ][ ]xkkLxk )1(2·)1( +−+ serà màxim si és compatible el sistema: [ ] [ ]

[ ] [ ]⎩⎨⎧

+=⇒

+−=+=+−++

1)1(2)1(2)1(2)1(

kkLx

xkkLxkkLxkkLxk

Sistema compatible amb solució òptima Solució:

La solució ve donada per⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−

+=

1

1

kLxL

kkLx

on SSk '

= quocient

entre el àrea de les dues figures fixat un mateix perímetre P. -Si les figures són semblants k=1 x=L/2.

xL −x

A B

L

44

Una finestra normanda té un marc de fusta en forma de rectangle coronat amb un semicercle. Si el perímetre de tot el marc és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima.

Raonament: Equació de lligadura Pxyx =π++ 24 ⇔ xPy )4(2 +π−= Volem maximitzar l’àrea:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−=+

π−=

π++π−=

π+ xPxxPxxxPxxxy )4

2()4

2(

2)4(

22 2

22

2

⇔ maximitzar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +π xPx )4

2()4

2( amb la condició:

PxPx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +π )4

2())(4

2( constant. El producte

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +π xPx )4

2()4

2( serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+π=

+π=

⇔

+π−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−=+

π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−++

π

8

8

)4(2

)42

()42

(

)42

()42

(

Py

Px

xPy

xPx

PxPx

Sistema compatible amb solució òptima Solució: L’altura del rectangle y coincideix amb el radi x de la semicircumferència. I les seves dimensions

respecte del perímetre són: 8+π

==Pyx

x2

y

2.10

45

Una finestra té un marc en forma de rectangle coronat amb una mitja el·lipse on el semieix gran és el doble que el petit. Si el perímetre del marc rectangular de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima. Raonament:

Equació de lligadura: Pyx =+ 24 Àrea a maximitzar:

Pxxxxy +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−=π

+ 22

44

42 ⇔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

− xPx4

44

4 amb suma

PxPx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−4

44

4 constant.

El producte serà màxim si fa compatible el sistema:

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

xPx

PxPx

44

44

44

44

π−

=16

2Px

Sistema compatible amb solució òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura Pyx =+ 24 resultant

Pyx =+ 24 )16(2

8π−π−

=y

Solució:

Dimensions del rectangle: base=π−16

4P altura =

)16(28

π−π−

Semieixos de l’ el·lipse: major π−

=16

2Px menor π−

=162

Px

2.11

x2

y

2x

46

Un full de paper ha de tenir una superfície per el text de S cm2 amb un marge superior de b cm i un marge lateral de a cm. Trobeu les dimensions del foli més econòmic. Raonament: Equació de lligadura Syx =· . Expressió a minimitzar:

abaybxSbyax 422)2)(2( +++=++ ⇔ )2()2( aybx + amb la condició: abSaybx 4)2)(2( = constant. La suma

)2()2( aybx + serà mínima si fa compatible el sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

baSx

abSy

abSbxabSay

abSaybxbxay

4242

4)2)(2()2()2(

Sistema compatible amb solució òptima. Solució: Les mesures respecte al coneixement del valor de la superfície són:

b

aSx = a

bSy = ab

xy=

de manera que gràficament representa:

x

y

a b

x

y

2.12

47

Dos vaixells porten dues trajectòries rectilínies i es dirigeixen al punt de creuament amb velocitats v1 i v2 milles/hora formant entre elles un angle de ºα . Si inicialment les distàncies al punt de creuament són de a i b milles. Trobeu el temps que ha de passar perquè la distància entre ells sigui la mínima possible. Raonament: Si d és la distància al llarg de t hores, aplicant el teorema del cosinus la distància al quadrat queda:

)cos2()cos2cos222()cos2(

22

12212

21

2

2

2

1

α−++

α−α−+−α−+

abbatbvavbvavtvvvv

Volem minimitzar :


22

12212

21

2

2

2

1

α−++

α−α−+−α−+

abbatbvavbvavtvvvv

Equivalent a maximitzar: ( ))cos2()cos2cos222( 21

2

2

2

11221 α−+−α−α−+ vvvvtbvavbvavt ⇔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−+−

α−α−+α−+

)cos2(

)coscos222(·)cos2(

21

2

2

2

1

1221

21

2

2

2

1 vvvvt

bvavbvavtvvvv

Producte amb la suma constant )cos2cos222( 1221 α−α−+= bvavbvavS

Analitzarem la compatibilitat del sistema: ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

α−α−+=α−+=

α−+−α−α−+

2cos2cos222)cos2(

)cos2()cos2cos222(

122121

2

2

2

1

21

2

2

2

11221

bvavbvavtvvvv

vvvvtbvavbvav

⇒)cos2(

)coscos(

21

2

2

2

1

1221

α−+α−α−+

=vvvv

bvavbvavt


tv1

tv2

a

b

2.13

48

El temps transcorregut en hores per assolir la mínima distància

és: )cos2(

)coscos(

21

2

2

2

1

1221

α−+α−α−+

=vvvv

bvavbvavt i la distància mínima al

quadrat es calcula substituint a :


22

12212

21

2

2

2

1

α−++

α−α−+−α−+

abbatbvavbvavtvvvv

Una bodega té una arcada de pedra en forma parabòlica d’amplada de la base 2a i alçada b. Es vol tancar deixant oberta una porta rectangular el més gran possible. Trobeu les dimensions d’aquesta porta.

Raonament: El punt de la paràbola ),( yxP compleix l’equació 2kxby −= que ha de passar pel punt )0,(a això fa que k prengui el valor

2abk = aleshores: equació de lligadura és: 2

2x

abby −=

La superfície a maximitzar: )(22 2

2x

abbxxyS −== és

equivalent a maximitzar 4

·2))()(2(2

2

2

2

2

2

2

2

Sabx

abbx

abbx

ab

=−−

amb la condició: bxabbx

abbx

ab 2)()()2( 2

2

2

2

2

2=−+−+ . El

2.14

49

producte ))()(2( 2

2

2

2

2

2x

abbx

abbx

ab

−− serà màxim si fa

compatible el sistema:

32)()(2

)()(2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 axbx

abbx

abbx

ab

xabbx

abbx

ab

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−+

−=−=

Sistema compatible amb solució òptima. Per calcular el valor d’y

cal substituir a l’equació de lligadura 2

2x

abby −= resultant

32by =

Solució:

Hem de construir una porta de manera que la seva alçada sigui les dues terceres parts de l’altura de l’arcada.

D’una cartolina quadrada de costat a, es retallen quatre quadrats de costat x, un per cantonada, per formar una capsa oberta. Calculeu el valor del costat dels quadrats retallats que dóna el màxim volum.

Raonament: Volem maximitzar: Vxax =− 2)2( ⇔

)2)(2)(4( xaxax −− , amb la condició: axaxax 2)2()2()4( =−+−+ constant. El

producte )2)(2)(4( xaxax −− serà màxim si fa compatible el sistema:

2.15

a

x

50

⎩⎨⎧

=⇒=−+−+

−=−=62)2()2()4(

)2()2()4( axaxaxax

xaxax

Sistema compatible amb solució òptima. Solució: La solució és retallar a cada cantonada la sisena part de la longitud de cada costat.

Si dupliquem la caixa obtenim una caixa tancada que resultaria ser una caixa cúbica de dimensions a/3 , a/3, a/3

Trobeu les dimensions d’una caixa oberta de base rectangular amb volum fix V de manera que la superfície sigui mínima. Raonament: Volem minimitzar la superfície )2()2()( yzxzxy ++ amb la condició 24)2)(2)(( VyzxzxyVxyz =⇔= constant. La suma

)2()2()( yzxzxy ++ serà mínima si fa compatible el sistema:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

==

⎩⎨⎧

⇒===

2222

)2()2()(4)2)(2)((

3

3

3

2

Vz

VyVx

xzyzxyVxzyzxy


xy

z

2.16

a

x

a a3/a

3/a

3/a

51

La solució òptima és una caixa amb base quadrada on el costat de la base és el doble de l’altura. Les dimensions són:

3 2Vyx == i 223 Vz = . La solució gràfica seria duplicar la

caixa i de totes les que tenen volum constant la de mínima superfície la té el cub que tallat per la meitat ens dóna la solució òptima.

Es vol construir un dipòsit cilíndric amb base i tapa circular de volum fix V, de manera que el material utilitzat sigui el menor possible. Trobeu la manera de fer-ho.

Raonament:

Equació de lligadura: Vyx =π 2 π

=⇔Vyx 2 Es vol minimitzar

la superfície: )()()2(22 22 xyxyxxyx π+π+π=π+π amb la

condició 2

2

232 22))()(2( VVxyxyx π=π

π=πππ constant. La suma

)()()2( 2 xyxyx π+π+π serà mínima si fa compatible el sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

π=πππ

π=π=π

22

2

2))·()·(2(

)()()2(

Vxyxyx

xyxyx⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=

π=

3

3

22

2Vy

Vx

Sistema compatible amb solució òptima. Solució: El diàmetre de la base i l’altura són iguals aleshores la secció transversal del cilindre és un quadrat.

y

x2.17

52

De tots els cons inscrits en una esfera de radi R trobeu les dimensions d’aquell que té el volum màxim. Raonament:

Si ( x ) és el radi del con i ( y ) la seva altura, donat que el triangle ABC és rectangle, l’equació de lligadura és: )2(2 yRyx −= . Volem maximitzar:

⇔−π=π )2(31

31 22 yRyyx

)24)()(( yRyy − amb la condició RyRyy 4)24()()( =−++ .consta

nt. El producte )24)()(( yRyy − serà màxim si fa compatible el sistema:

RyRyRyy

yRyy34

4)24()()()24()()(

=⇒⎩⎨⎧

=−++−==

Sistema compatible amb solució òptima. Per calcular el valor d’x cal substituir a l’equació de lligadura )2(2 yRyx −=

resultant Rx3

22=

Solució:

Les dimensions del con són: radi : R3

22

altura: R34

i la secció transversal del con

és un triangle isòsceles on la tangent dels

angles iguals és: 22

2===α

xytg .

y

x

α

2.18

y R2

x2

A

B

C

53

Calculeu la velocitat òptima de circulació en cas d’aglomeració de manera que es maximitzi el flux de vehicles per unitat de tems o es minimitzi el temps de pas d’un vehicle per unitat d’espai. Raonament: Càlcul de la distància de separació: Igualant l’energia cinètica en el moment de frenada amb el treball realitzat per la força de fregament fins parar-se tenim:

gvsmgsmvµ

=⇒µ=22

1 22 que ens dóna la distància mínima de

separació en funció de la velocitat del vehicle i del coeficient de fregament. Càlcul de la velocitat constant optima:

Volem minimitzar el temps en què un vehicle de longitud (a ) fa

el trajecte )2

()(g

vva

vS

vatsavt

µ+=+=⇒+= amb la

condició: g

ag

vva

µ=

µ 2)

2)(( constant. Analitzarem la

compatibilitat del sistema:

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

µ=

µ

µ=

ga

gv

va

gv

va

2)

2)·((

)2

()(gav

ga

gv

va

µ=⇒µ

=µ

= 22

)2

()(

Sistema compatible amb solució òptima. Solució: Per un asfalt sec considerarem 75'0=µ i un promig de longitud dels vehicles de 3’5 m. tenim: gav µ= 2 =7’17 m/s=25’6 km/h Per un asfalt humit considerarem 4'0=µ i un promig de

a s

2.19

vt

54

longitud dels vehicles de 3’5 m. tenim: gav µ= 2 =5’23 m/s =18’85 km/h Conclusió: entre 18 km/h i 25 km/h segons l’estat del paviment.

De tots els daus trucats o no, calculeu la màxima probabilitat de treure cares diferents en llançar sis vegades un dau. Raonament: P(cares diferents)= )6()5()4()3()2()1(·6 ppppppP amb la condició: 1)6()5()4()3()2()1( =+++++ pppppp constant. Analitzem la compatibilitat del sistema:

61)6(..)1(

)6()5()4()3()2()1(1)6()5()4()3()2()1(

===⇔⎩⎨⎧

======+++++

pppppppp

pppppp

sistema compatible amb solució òptima. Solució: La màxima probabilitat la dóna el dau perfecte amb successos equiprobables i la probabilitat de cares diferents en aquest cas

és: P(cares diferents)=6·6·6·6·6·61·2·3·4·5·6

2.20

55

Capítol 3 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT EL VÈRTEX D’UNA FUNCIÓ PARABÒLICA. INTRODUCCIÓ: Alguns problemes d’optimització es redueixen a maximitzar o minimitzar funcions polinòmiques de segon grau com ara

cbxax ++2 on la seva gràfica és una paràbola. Propietat1:

Tota paràbola d’equació: cbxaxy ++= 2 amb 0>a és definida i derivable en qualsevol interval I . El seu valor mínim

s’assoleix en el seu vèrtex que té per abscissa abx

2−

= . Si

l’abscissa del vèrtex no pertany a l’interval, el màxim s’assoleix a l’extrem de l’interval més proper. Propietat2:

f(x)=x^2-


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

y

56

f(x)=-x^2+4x


-1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Tota paràbola d’equació: cbxaxy ++= 2 on 0<a és definida i derivable en qualsevol interval I . El seu valor màxim s’assoleix

en el vèrtex que té per abscissa abx

2−

= . Si l’abscissa del

vèrtex no pertany a l’interval el màxim s’assoleix a l’extrem de l’interval més proper. APLICACIONS:

De tots els rectangles de perímetre fix P, Trobeu aquell que té l’àrea màxima.

Raonament: Equació de lligadura Pyx =+ 22 . Es vol maximitzar el producte

xy . El producte )(2

)2

( 2 xfxPxxPxxy =+−=−= és una funció

parabòlica definida a l’interval ]2

,0[ Px∈ . Atès que l’abscissa

del vèrtex 4Px = pertany a l’interval és el valor òptim. Per

calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura

3.1

x

y

57

Pyx =+ 22 resultant 4Py =

Solució: De tots els rectangles la solució és el quadrat amb dimensions:

4Pyx ==

Volem formar un corral rectangular aprofitant una paret lateral com indica la figura i disposem d’una tanca de longitud fixa L. Trobeu les dimensions d’aquell que dóna la màxima capacitat. Raonament: Equació de lligadura Lyx =+ 2 . Volem maximitzar el producte xy El producte )(2)2( 2 yfLyyyLyxy =+−=−= és una funció


,0[ Ly∈ amb vèrtex d’abscissa

y=4L . Ja que l’abscissa del vèrtex pertany a l’interval de

definició de la funció el valor òptim és el del vèrtex. Per calcular el valor d’x cal substituir a l’equació de lligadura Lyx =+ 2

resultant 2Lx =

Solució: La llargada del corral és la meitat del perímetre i l’amplada la quarta part. La resolució gràfica d’aquest problema surt en duplicar el corral formant un rectangle de perímetre fix de manera que el de l’àrea màxima fóra el quadrat que tallat per la meitat dóna la solució òptima.

3.2 y

x

58

En una habitació quadrada de costat a metres es vol col·locar una catifa de manera que els vèrtexs toquin les parets de la sala. Trobeu les dimensions de la més petita. Raonament: Equació de lligadura ayx =+ . Minimitzar el quadrat interior és equivalent a maximitzar l’àrea complementària. El producte

)(22)(22 2 xfaxxxaxxy =+−=−= és una funció parabòlica

definida a l’interval ],0[ ax∈ amb vèrtex d’abscissa 2ax = . Ja

que l’abscissa del vèrtex pertany a l’interval la solució òptima és la del vèrtex. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació

de lligadura ayx =+ resultant 2ay =

Solució: La catifa cercada és aquella que toca el punt mig de cada costat i la seva àrea és la meitat de l’àrea de l’habitació.

Una corda de longitud L es parteix amb dos bocins i amb cadascun d’ells es formen dues figures semblants i tancades. Trobeu la longitud de cada tros de manera que la suma de les seves àrees sigui mínima.

x

y 3.3

3.4

59

Raonament:

L’àrea A = S 2x i l’àrea B=S’ 2)( xL − ;on S i S’ són les àrees de les dues figures amb perímetre unitat i aleshores S=S’ per ser figures semblants. Volem minimitzar [ ] 2222 22)()( LLxxxLxSxf +−⇔−+= funció parabòlica definida a l’interval ],0[ Lx∈ . La abscissa del vèrtex

és 24

2 LLx == que és la solució òptima ja que pertany a

l’interval de definició de la funció. Solució: Per obtenir l’àrea mínima hem de tallar la corda per la meitat.

Una finestra normanda té forma de rectangle coronat amb un semicercle. Si el perímetre de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima. Raonament: Equació de lligadura Pxyx =π++ 22 ⇔ xPy )2(2 +π−=

L

xL − x

A B

x2

y

3.5

60

Volem maximitzar l’àrea:

)()22

(2

)2(2

2 22

22

xfxPxxxPxxxy =+π

−=π

++π−=π

+ funció


,0[+π

∈Px . L’abscissa del vèrtex

és: 4)2

2(2 +π

=+

π=

PPx que pertany a l’interval i aleshores és la

solució òptima. El valor de l’altura del rectangle (y) es calcula substituint a l’equació de lligadura xPy )2(2 +π−= resultant el mateix valor que x. Solució: L’altura del rectangle y coincideix amb el radi x de la semicircumferència. I les seves dimensions

respecte del perímetre són: 4+π

==Pyx

Una finestra té forma de rectangle coronat amb un triangle equilàter. Si el perímetre de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima.

Raonament:

x2

y

3.6

x2

y

x2 x2

61

Equació de lligadura: Pyx =+ 26 . L’expressió a maximitzar: )()36(3)6(32 222 xfPxxxxPxxxy =+−−=+−=+ és una

funció parabòlica definida a l’interval ]6

,0[ Px∈ .L’abscissa del

vèrtex és )36(2 −

=Px que pertany a l’interval aleshores és la

solució òptima. El valor de l’altura y del rectangle es calcula substituint a l’equació de lligadura Pyx =+ 26 resultant

)36(2)33(

−−

=Py

Solució:

Costat del triangle:)36( −

P altura del rectangle: )36(2

)33(−

− P

Una finestra té forma de rectangle coronat amb un triangle rectangle. Si el perímetre de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima.

Raonament:

Fixada la hipotenusa el triangle rectangle d’àrea màxima és el

3.7

x2

y

x2 x2

62

isòsceles. L’equació de lligadura és Pyx =++ 2)222( . Equació a maximitzar:

)()221())222((2 222 xfPxxxxPxxxy =++−=++−=+

funció parabòlica definida a l’interval ])21(2

,0[+

∈Px .

L’abscissa del vèrtex és: )221(2 +

=Px que pertany a l’interval

I aleshores és el valor òptim. El valor de l’altura del rectangle es calcula substituint a l’equació de lligadura

Pyx =++ 2)222( resultant )221(2

2+

=Py

Solució:

Base: )221(

2+

=Px catets

)221(222+

=Px

Altura del rectangle: )221(2

2+

=Py

Una golfa té forma de prisma triangular i la seva secció és un triangle isòsceles de 2a metres d’amplada i b d’alçada. Es vol instal·lar un moble llibreria que tingui la màxima capacitat. Trobeu les seves dimensions.

Raonament:

x2

y

3.8

63

Equació de lligadura

axaby

xaa

yb )( −

=⇔−

=

Volem maximitzar: [ ] )(2)(22 2 xfaxxabxax

abxy =+−=−=

funció parabòlica definida a l’interval ],0[ ax∈ . L’abscissa del

vèrtex és: 2ax = que pertany a l’interval i aleshores és la solució

òptima. Per calcular el valor de l’altura y es substitueix a

l’equació de lligadura a

xaby )( −= resultant

2by = .

Solució: La solució en funció de a i b és:

2ax =

2by =

La seva interpretació gràfica és: L’àrea del rectangle és la meitat de l’àrea del triangle.

D’un mirall rectangular d’amplada a i alçada b, s’ha tallat una cantonada en línea recta de manera que l’amplada ha disminuït una longitud c i l’alçada d. Es desitja aprofitar-lo tallant un nou rectangle de

a

a2

b

y

b

x xa −

a

3.9

b2

64

manera que la seva àrea sigui màxima. Raonament:

L’equació de lligadura és l’equació de la recta que passa pel

punt :),( yxP dxcdy +

−=

Volem maximitzar:

))(())(( xcddbxaybxa +−−=−−

)()()( 2 xfadabxc

cdbcadxcd

=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−= funció parabòlica

definida a l’interval ],0[ cax −∈ . L’abscissa del vèrtex és:

dcdbcadx

2+−

= que pertany o no a l’interval. Si no pertany

aleshores triarem l’extrem més proper a l’abscissa del vèrtex. El

valor de y es calcula substituint a l’equació: dxcdy +

−= .

Solució:

Si ],0[2

cad

cdbcadx −∈+−

= les dimensions del nou mirall són:

ccdadbcybi

dcdbcadxa

22−+

=−−+

=− . I els valors de x

i y són:

ccdadbcy

dcdbcadx

2

2+−

=

+−=

i l’àrea màxima és: cd

cdadbc4

)( 2−+

En cas contrari cercarem l’extrem de l’interval més proper al

P

xa −

b

a

c d

yb −

65

vèrtex.

En un triangle equilàter de costat L unitats de longitud, es trien tres punts sobre els costats, a una distància x del seu vèrtex, formant un nou triangle equilàter. Trobeu-hi:el valor d’x que fa que l’àrea interior sigui mínima

Raonament: Minimitzar l’àrea del triangle equilàter interior és equivalent a maximitzar l’àrea complementària dels altres tres triangles que resulta ser:

xLxxLxxLxxf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

−=

433

433

4)(33º60sin

2)(·3)( 2

funció parabòlica definida a l’interval ],0[ Lx∈ . L’abscissa del

vèrtex és: 2Lx = que pertany a l’interval i aleshores és la solució

òptima.

Solució: El triangle d’àrea mínima té els vèrtexs als punts mitjans dels costats del triangle original. La seva àrea és la quarta part del triangle original,

En un triangle equilàter, es divideix cada costat en dues parts x i (L – x) com indica la figura. Trobeu el valor d’x per tal que l’àrea del triangle interior sigui mínima

x

x

x

3.10

3.11

x

xL −

66

Raonament:

L’àrea del triangle interior és mínima si ho és: a+b+c Aplicant el teorema del cosinus al triangle PQR resulta:

)(º60cos2)( 22222 xfLxLxxLLxcba =+−=−+=++ funció


,0[ Lx∈ . L’abscissa del vèrtex

és: 2Lx = que resulta la solució òptima ja que és un extrem de

l’interval. Solució: El triangle d’àrea mínima té els vèrtexs als punts mitjans dels costats del triangle original. L’àrea mínima és zero atès que el triangle desapareix.

Una bala de canó es llança a una velocitat inicial v. Calculeu l’angle de llançament α que dóna la màxima llargada i l’angle que dóna la màxima altura.

Raonament:

x

x

Lb

a

c

P

Q

R

3.12

67

Equacions del moviment en forma paramètrica:

P = ⎪⎩

⎪⎨⎧

−α=

α=2gt

21t).sin.v(y

t).cos.v(x. Eliminant el paràmetre t resulta,

=α

−αα

=2

2

)cos(21

cossin

vxgx

vvy α+

α− tg.xx

cosv2g 2

22 que és

una funció parabòlica definida a l’interval ),0[ ∞∈x a) màxima llargada: Fixat l’angle els punts de tall amb l’eix horitzontal són:

)0,2sin()0,0(2

αgvi . El recorregut horitzontal màxim en

funció de l’angle de sortida és: α2sin2

gv i de tots ells l’angle

que maximitza aquesta expressió és aquell que compleix: 12sin =α → º902 =α → º45=α

b) màxima altura:

fixat l’angle la altura y= α+α

− tgxxv

g .cos2

2

22 funció

parabòlica definida a l’interval ]2sin,0[2

α∈gvx . L’abscissa del

vèrtex: g

vg

tgvx2

2sin2

·cos2 222 α=

αα= centre de l’interval i

aleshores valor òptim. Per calcular la seva alçada cal substituir

a la fórmula y = α=α+α

− 22

2

22sin

2.

cos2 gvtgxx

vg . Si º90=α

la màxima altura és g

v2

2

Solució: a) Amb una mateixa velocitat de sortida la màxima llargada

68

és assolida per un angle de sortida de 45º. La màxima

llargada és: x=gv

gv 22

º90sin =

b) Fixat l’angle la màxima altura és α= 22

sin2gvy i de tots

els angles el de 90º ,en aquest cas l’alçada màxima de

totes és g

vy2

2

=

Una pista d’atletisme de perímetre fix P, té forma de rectangle i als seus laterals oposats dos semicercles, calculeu les seves dimensions per tal que la seva àrea interior màxima.

Raonament: Equació de lligadura Phr =+π 22 )2(2 rPh π−= Volem maximitzar el volum:

)(Pr)2(2 222 rfrrPrrrhrV =π−=π−+π=+π= funció


,0[π

∈Pr . L’abscissa en el

vèrtex és: π

=2Pr extrem de l’interval i aleshores solució

òptima. El valor de h es calcula substituint a l’equació: )2(2 rPh π−= resultant 0=h .

Solució: La pista més adient és una pista circular i les dimensions del radi són en funció del perímetre

π=

2Pr

r2

h

3.13

69

Un paràsit és utilitzat per controlar el creixement d’una població i el seu nombre ve en funció de la temperatura ambient donada per la fórmula N=(t)(40-t) on t és una temperatura entre 0º i 40º. Si la població ve donada en funció del nombre de paràsits: P=160.000-N2, Calculeu la seva cota mínima. Raonament: La població que correspon a la funció

[ ]22 )40(000.160000.160 ttNP −−=−= és mínim ⇔ tttttf 40)40()( 2 +−=−= és màxima. La funció f(t) és

parabòlica i definida a l’interval ]º40.0[∈t . L’abscissa del

vèrtex és: º20240

==t que pertany a l’interval i aleshores és la

solució òptima. Solució:

a) La població mínima és de zero habitants per una temperatura de 20º

Si 0≥ia trobeu el valor de x que minimitza la suma: 22

1 )(......)( naxax −++− Raonament: Volem minimitzar la funció f(x)= 22

1 )(......)( naxax −++− ⇒ )..()..(2)( 22

112

nn aaxaanxxf +++++−= funció parabòlica definida en tots els nombres real. L’abscissa del vèrtex és:

naax n++

=..1 que és la solució òptima.

Solució: El valor de x que minimitza la suma 22

1 )(......)( naxax −++− és la mitjana aritmètica dels valors 0≥ia

3.14

3.15

70

El propietari d’un edifici de a pisos els lloga mensualment a C € cadascun. Per cada b € que augmenta en el lloguer perd un inquilí. Quin preu caldria fixar per obtenir el màxim benefici? Raonament: Si x = nº de inquilins perduts, es vol maximitzar el benefici B(x) de manera que aCxCabbxbxCxaxB +−+−=+−= )())(()( 2 és una funció parabòlica definida a l’interval ],0[ ax∈ . L’abscissa

del vèrtex és: b

Cabx2−

= . Si a b > C el vèrtex és interior a

l’interval i aleshores és la solució òptima. Si a b ≤ C el valor òptim és l’extrem inferior de l’interval x = 0. Solució: Si a b > C el nombre x d’inquilins que cal perdre i el benefici

màxim ve donat per: b

Cabx2−

= i babCB

4)( 2+

=

Si a b ≤ C no cal perdre cap inquilí.

Una finestra té un marc en forma de rectangle coronat amb un arc de paràbola on la seva altura és la meitat de la seva amplada. Si el perímetre del marc rectangular de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima. Raonament:

3.17

3.16

a2

b

a

71

Equació de lligadura: Pba =+ 24 . L’equació de la paràbola

centrada en l’eix OX és axa

y +−= 21 i la seva àrea s’obté

mitjançant la integral de y entre -a i a donant com a resultat

34 2a . L’àrea a maximitzar:

)(38

34)4(

342 222 afPaaaaPaaab =+

−=+−=+ funció


,0[ Pa∈ . L’abscissa del vèrtex

és 163Pa = que pertany a l’interval i aleshores és la solució

òptima. Per calcular el valor de b cal substituir a l’equació de

lligadura Pba =+ 24 resultant 8Pb =

Solució:

Amplada del rectangle 8

32 Pa = altura rectangle 8Pb =

Un agricultor ha recollit a quilograms de fruita que al magatzem es deterioren a raó de b quilograms per dia. Actualment el preu de venda és de c €/kg i cada dia que passa el preu del quilogram augmenta d euros. Quants dies ha d’esperar per vendre la fruita i treure’n el màxim benefici? Raonament: Transcorreguts t dies el benefici en aquell moment seria:

actbcadbdtdtcbtatB +−+−=+−= )())(()( 2 funció parabòlica

definida a l’interval ],0[bat∈ . L’abscissa del vèrtex és

bdbcadt

2−

= que pertany a l’interval si a d > b c ja que

3.18

72

adbcadbcadba

bdbcad

<−⇔<−⇔<− 2

2

Solució: Si a d > b c

la solució és per bd

bcadt2−

= amb un benefici bd

bcadB4

)( 2+= .

Si a d ≥ c d la solució òptima és per t = 0 amb un benefici B = a c

Un ramader vol construir un corral de n rectangles com indica la figura i disposa de P metres de tanca. Trobeu les dimensions més adients de manera que tingui la màxima capacitat. Raonament: Equació de lligadura [ ] [ ] Pynx =++ )1(2 . Volem maximitzar

xynxy )1( +⇔ ( ) )(22·)1( 2 xfPxxxPxyxn =+−=−=+


,0[ Px∈ . L’abscissa

4Px = del vèrtex pertany a l’interval i aleshores és la solució

òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de

lligadura [ ] [ ] Pynx =++ )1(2 resultant )1(2 +

=nPy .

Solució: La llargada del corral és la quarta part de tota la tanca i els (n+1) trams verticals es reparteixen en parts iguals la meitat de la tanca.

3.19

x

y

73

Un planeta que gira al voltant del Sol ho fa amb una trajectòria el·líptica de semieixos a i b amb el sol situat en un focus F(c,0). Trobeu les coordenades del punt de la trajectòria més proper al Sol. Raonament:

L’equació de lligadura és l’equació de l’el·lipse

)(1 22

2

22

2

2

2

2

xaaby

by

ax

−=⇒=+ . Hem de minimitzar la distància

al quadrat:

222

2

222

2

222 2)()( bccxx

acxa

abcxd ++−=−+−= que és una

funció parabòlica definida a l’interval ],[ aax −∈ . L’abscissa

del vèrtex és cax

2

= que no pertany a l’interval [-a,a] i l’extrem

més proper és x = a i aleshores el valor òptim amb una distància, d = a – c. Solució: El valor òptim és x = a i la distància mínima d = a – c

3.20

),( yx

)0,(c

74

Capítol 4 OPTIMITZACIÓ MITJANÇANT LA DERIVADA INTRODUCCIÓ: Propietat: Si una funció y = f(x) és definida i derivable en un interval [a,b], el seu màxim i mínim absolut es troba en els extrems o bé en un extrem relatiu en que la seva derivada és zero.

f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)+2


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

x

Propietat: Si una funció y = f(x) és definida i derivable en un interval [a,b],el punt P(x,y) de la gràfica de la funció que té distància mínima o màxima a un punt exterior i fix A ),( 00 yx , es troba als extrems de l’interval o bé en els punts que compleixen:

0))((')( 00 =−+− yyxfxx Raonament: Hem de minimitzar el quadrat de la distància al punt com ara.

20

20

2 )()( yyxxd −+−= cercarem els extrems relatius:

0)( 2

=dxdd ⇒ 0))((')( 00 =−+− yyxfxx

75

Propietat: Si dues funcions y = f(x) i g(x) són definides i derivables en un interval [a,b],el punts A ))(,( λλ f de la gràfica de f(x) i B ))(,( µµ g de g(x) que donen la mínima distància entre les dues gràfiques es troben en els extrems o bé en els punts que compleixen les dues condicions:

⎩⎨⎧

=λ−µλ+λ−µµ=λ

0))()()((')()(')('fgf

gf

Raonament: Hem de minimitzar el quadrat de la distància entre els dos punts

222 )()( gfd −+µ−λ= de manera que cercarem els extrems relatius:

⎩⎨⎧


⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=µ∂

∂

=λ∂

∂

0))()()((')()(')('

0

02

2

fgfgf

d

d

Els punts òptims de les dues funcions es troben en els extrems o bé al interior complint les dues condicions anteriors. APLICACIONS:

D’una cartolina rectangular de llargada a i amplada b, es retallen quatre quadrats , un per cantonada, per formar una capça oberta. Calculeu el valor del costats dels quadrats retallats que dóna la màxima capacitat. Raonament:

4.1

76

Si a>b Volum a maximitzar:

abxxbaxxbxaxxV ++−=−−= 23 )(24)2)(2()( funció definida

i derivable en ]2

,0[ bx∈ . Càlcul dels extrems relatius:

63)()(0)(412'

2

02 abbabaxabxbaxV −+−+

=⇒=++−=

Càlcul dels extrems absoluts: 0)2

(0)(0)0( 0 =>=bVxVV

El valor òptim és: 6

3)()( 2 abbabax −+−+=

Solució:

La solució vàlida és: 6

3)()( 2 abbabax −+−+= i per calcular

el volum màxim cal substituir a: )2)(2()( xbxaxxV −−=

De tots els vaixells que poden navegar per dos canals perpendiculars d’amplades a i b respectivament; trobeu aquell que té la màxima eslora.

Raonament:

4.2

b

a

x

77

El problema és equivalent al següent: de tots els segments que passen pel punt (a , b) cal cercar aquell que té mínima longitud. Longitud a minimitzar:

α+

α=α

cossin)( abL

L definida i derivable en )2

,0( π∈α . Càlcul dels extrems relatius:

322

0cos

sinsin

cos'abtgabL =α⇒=

αα

+αα−

= . Càlcul dels extrems

absoluts: ∞=π

+=α∞= )2

()()()0( 23

3 23 20 LbaLL

La solució òptima és per 3

abarctg=α

Solució:

3

abtg =α i la longitud mínima és: 2

33 23 2

0 )()( baL +=α

De tots els gots cilíndrics de capacitat V cm3 amb un gruix a la base de b cm i un gruix a la paret lateral de a cm. Trobeu les dimensions d’aquell que minimitza el cost de fabricació. Raonament:

h bh +

r2

)(2 ar +

4.3

α

b

a

α

78

Equació de lligadura hrV 2

31π=

2

3rVhπ

=⇒

Volum de material a minimitzar:

VrVbarVbharrM −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π++

π=−++π=

2

22 3)(3

)()(31)( funció

definida i derivable en ),0( ∞∈r . Càlcul dels extrems relatius:

0))(6()62()('32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−

π++= ar

rV

rVbarM

3

62raVbπ

=⇒

33

baVrπ

=⇒ . Càlcul dels extrems absoluts:

M(0)=∞ M( 33

baVπ

)=finit M(∞ )=∞

La solució òptima és, 33

baVrπ

= amb 32

23a

Vbhπ

=

Solució:

33

baVrπ

= 32

2

3223

223

2

39

273a

VbVabV

rVh

π=

ππ

=π

=

ab

rh= V

aVbb

baVaM im −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

+π= 32

22

3min

3331

La secció d’un canal és rectangular on l’amplada de les parets verticals és a i l’amplada del terra és b. Fixada l’àrea de la secció S, calculeu les dimensions que minimitzen el cost del material que recobreix el canal.

4.4

79

Raonament:

Equació de lligadura: Sxy =2 Cost a minimitzar: abbxayxybyax 2222))((2 ++=−++

equivalent a minimitzar: bxx

aSbxayxf +=+=2

)( , funció

definida i derivable en ),0( ∞∈x . Càlcul dels extrems relatius:

baSxb

xaSxf

20

20)('

2=⇒=+−⇔= . Càlcul dels extrems

absoluts: f(0)=∞ , abSb

aSf 22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, ∞=∞)(f

Valor òptim b

aSx2

= i per calcular el valor d’y es substitueix a

l’equació, Sxy =2 resultant a

bSy2

=

Solució:

Les dimensions són: base baSx 22 = altura

abSy2

= amb la

relació ab

xy=

Un focus de llum penja damunt del centre d’una taula rodona de radi r. Trobeu l’altura que cal col·locar el focus de llum per aconseguir la

4.5

x2 a

y

b

80

màxima il·luminació a la vorera de la taula.( La intensitat és directament proporcional al cosinus de l’angle d’incidència i inversament proporcional al quadrat de la distància) Raonament:

Volem maximitzar:

23222222 )()(

1·rx

xkrxrx

xkI+

=++

=

I(x) definida i derivable en ),0[ ∞∈x . Càlcul dels extrems relatius:

2

020)(

2·)(23)(

' 22

322

221

2223

22

rxrxrx

xrxrxI =⇒=+−⇒=

+

+−+=

Càlcul dels extrems absoluts:

0)(133

2)2

(0)0(2

=∞== Ir

krII

El valor òptim és per 2

rx =

Solució: La màxima il·luminació és per una alçada respecte al centre de

la taula de 2

rx =

De dos punts de llum A i B d’intensitats I1 i I2 respectivament i separats per una distància L, es vol trobar el punt de mínima il·luminació que pertany al segment AB.

4.6

x

r

i

81

Raonament:

La il·luminació d’un punt P és directament proporcional a la intensitat i inversament proporcional al quadrat de la distància.

Volem minimitzar: I(x)= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+2

221

)( xLI

xIk . I(x) definida i

derivable en ],0[ Lx∈ . Càlcul dels extrems relatius:

LII

Ix

II

xLx

xLI

xII

32

31

31

3

2

13

23

1 0)(

22'+

=⇒=−

⇒=−

+−

= .

Càlcul dels extrems absoluts: ∞=>∞= )(0)()0( LIxII

El valor òptim és per LII

Ix

32

31

31

+= .

Solució: El punt P divideix l’interval en dos segments que compleixen la

relació: LII

Ix

32

31

31

+= L

III

xL3

23

1

32

+=−

Desprès de la ingestió d’una beguda alcohòlica, la concentració

de alcohol en sang ve donada per la funció te

tktc =)( on k és

una constant, t es mesura amb hores i c(t) en grams /litre. Calculeu el temps que dóna la màxima concentració. Raonament:

La concentració te

tktc =)( és definida i derivable en ),0[ ∞∈t

A BP x xL −

A BP x xL −

4.7

82

Càlcul dels extrems relatius: 10)1('2

=⇒=−

= te

tekct

t

Càlcul dels extrems absoluts: 0)()1(0)0( =∞== cekcc

El valor òptim és per t=1. Solució: Al cap d’una hora s’assoleix la màxima concentració i aquesta té

com a valor c=ek on k és una constant directament proporcional

a la quantitat ingerida i a la graduació de la beguda .

Calculeu la distància mínima entre la recta y = m x + n i un punt exterior ),( 00 yxA . Raonament: Si el punt A pertany a la recta la distància mínima és zero. Si el punt A és exterior el punt P de la recta compleix l’equació:

0))()((')( 00 =−+− yxfxfxx on f’(x ) = m ⇒ mnmyxmxynmxmxx −+=+⇒=−++− 00

200 )1(0)()(

11 20

20

200

+++

=+=+−+

=m

nymmxnmxym

mnmyxx

Per calcular la distància: 2

2

002

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

=m

nmxyd d=2

002

1 mnmxy

d+

−−=

Solució: Si el punt pertany a la recta la distància mínima és zero. En cas

contrari el punt P )11

(2

02

02

00

+++

=+−+

=m

nymmxym

mnmyxx de la

recta és el que té la distància mínima essent aquesta:

d=2

002

1 mnmxy

d+

−−=

4.8

83

Calculeu la distància mínima entre la recta f = m x + n i la

hipèrbola: xkg =

Raonament: Si les dues funcions no es tallen donat que les dues són definides i derivables en tots els nombres reals, els punts A ))(,( λλ f i B ))(,( µµ g de mínima distància compleixen:

⎩⎨⎧


0))()()((')()(')('

fgfgf

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+µµ−+µ

=λ

−±=µ

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−λ−µ

+λ−µ

µ−

=⇒

)1(0)()(

2

2

2

mmnmk

mk

nmkm

km

Solució: Si les funcions tenen algun punt en comú, la distància mínima és zero. Si les funcions no tenen cap punt en comú els punts A i B són els que donen la mínima distància i la distància mínima és:

2

2)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ µ

−+λ+µ−λ=k

nmd on µλ i venen determinats

per:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+µµ−+µ

=λ

−±=µ

)1( 2

2

mmnmk

mk

Calculeu la distància mínima entre la recta f(x) = m x + n i la paràbola: cbxaxxg ++= 2)( Raonament:

4.10

4.9

84

Si les dues funcions no es tallen ja que les dues són definides i derivables en tots els nombres reals, els punts A ))(,( λλ f i B ))(,( µµ g de mínima distància compleixen:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=λ−λ−+µ++µ

=λ

⇒⎩⎨⎧


0))(()1(2

0))()()((')()(')('

2 mfmcmbama

mfgf

gf

Solució: Si les funcions tenen algun punt en comú, la distància mínima és zero. Si les funcions no tenen cap punt en comú els punts A i B són els que donen la mínima distància i la distància mínima és:

22 ))()(()( µ−λ+µ−λ= gfd on µλ i venen determinats

per: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=λ−λ−+µ++µ

=λ

0))(()1(2

2 mfmcmbama

m

De tots els rectangles de perímetre fix P trobeu aquell que té la diagonal menor. Raonament: base x i altura y, equació de lligadura 2x + 2y = P, volem minimitzar el valor del quadrat de la diagonal que ve donat per

)()2

( 22222 xfxPxyxd =−+=+= funció definida i derivable a

l’interval ]2

,0[ P . Càlcul dels extrems relatius:

40)2(20' PxxPxf =⇒=−−⇒= . Càlcul dels extrems

absoluts: f(0)=4

2P 84

2PPf =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

42

2PPf =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ el valor

4.11

85

òptim és per 4Px = . Per calcular el valor d’y cal substituir a

l’equació de lligadura 2x + 2y = P resultant 4Py = .

Solució:

Un quadrat de costat 4P .

Es desitja construir un jardí en forma de sector circular de perímetre fix P i que tingui la màxima superfície. Trobeu les seves dimensions. Raonament: Si el sector té radi r i angle α radians aleshores l’equació de lligadura és: 2r+rα=P. Volem maximitzar la seva superfície

)(2

)2(22

222

rfrPrr

rPrr=+−=

−=

α funció definida i derivable a

l’interval ]2

,)1(2

[ PPrπ+

∈ . Càlcul dels extrems relatius:

40' Prf =⇒= . Càlcul dels extrems absoluts:

0)2

(16

)4

()1(4

))1(2

(2

2

2

==π+

π=

π+PfPPfPPf el valor

òptim és per 4Pr = . Per calcular el valor d’α cal substituir a

l’equació de lligadura 2r+rα=P resultant 2=α radians. Solució:

Un sector d’angle 2 radians i radi 4Pr =

4.12

86

Quatre pobles estan situats als vèrtexs d’un rectangle de llargada 2a i amplada 2b. Es vol construir un camí que uneixi aquests pobles mitjançant cinc trams rectilinis com indica la figura i que tingui mínima distància. Trobeu el trajecte més curt. Raonament:

ba ≥

Distància total a minimitzar: α

−+α

=tgbabd 22

sin4 equivalent

a minimitzar: αα−

=αsin

cos2)(f funció definida i derivable en

]2

,[ π∈α

abarctg . Càlcul dels extrems relatius:

º603

0sin

cos21'2

=π

=α⇒=αα−

= rady . Càlcul dels extrems

absoluts:

baba

abarctgf −+

=222)( f(

3π )= 3 f(

2π )=2

El valor òptim és per º60=α amb una distància mínima de ab 232 + Solució: Existeix un equilibri de forces formant entre elles angles de 120º.

α

a2

b2

4.13

87

La distància mínima resulta ab 232 +

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt ),( baA i talla els semieixos positius en dos segments de suma mínima. Raonament:

Equació de lligadura:ax

xby−

= . Expressió a minimitzar:

)(xfax

bxxyx =−

+=+ funció definida i derivable a l’interval

),[ ∞∈ ax . Càlcul dels extrems relatius:

abaxax

abf +=⇒=−

−= 0)(

1'2

. Càlcul dels extrems absoluts:

f(a)=∞ f( aba + )= ( )2ba + f(∞ )=∞ La solució òptima és per abax += per calcular el valor d’y

cal substituir a l’equació ax

xby−

= resultant abby +=

Solució:

Les longituds dels dos segments són: ⎩⎨⎧

+=+=

abbyabax i la suma:

abbayx 2++=+

4.14

a

b

A

x

y

88

Una fàbrica ha de produir a unitats d’un article en un any; el preu unitari de fabricació és de b € . les comandes es fan per lots d’x articles i la seva reposició té un cost de c € per lot . El cost unitari d’ emmagatzematge és d €/ any sobre un promig d’existències de (x/2) articles. Calculeu la quantitat x d’articles de cada lot per minimitzar el cost total anual. Raonament:

Cost de producció = ba· Cost de reposició = xac·

Cost d’emmagatzematge = 2

·xd Volem minimitzar el cost total:

CT(x)= ba· +xac· +

2·xd ⇔ minimitzar el cost variable

CV(x)=x

ca +2dx . CV(x) definida i derivable en ],0[ ax∈

Càlcul dels extrems relatius: dcaxd

xcaCV 20

2'

2=⇒=+−=

Extrems absoluts:

22)(22)0( adcaCVacd

dcaCVCV +

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞=

dacx 2

= òptim donat que la mitjana aritmètica és superior o

igual a la mitjana geomètrica: 2

2 adc +≥ ))(2( adc

Solució: El cost anual mínim s’assoleix dividint la producció en lots de:

dacx 2

= unitats. Amb un cost total de acdabCT 2+=

4.15

4.16

89

El combustible que consumeix un vaixell és proporcional a la seva velocitat mitjana elevada al cub, i al temps del recorregut. Se sap que a una velocitat de a km/h té un cost de b € per hora. Tenim un altre cost variable de c € per hora que no depèn de la seva velocitat. Trobeu la velocitat teòrica del vaixell que minimitza el cost total de qualsevol trajecte. Raonament: Si v és constant la relació entre espai i temps és: s = v t

Cost de combustible en un temps t: C(t)=2

3

3

33

tkst

tsktkv ==

Amb la condició: b= k · a 2

3

)(atbstC =⇒

Cost variable tctCV ·)( = Cost total CT(t)=2

3

atbsct +

CT funció definida i derivable en ),0( ∞∈x

Càlcul dels extrems relatius: sacbt

atbscCT 3 203

32' =⇒=−=


∞=∞>∞= )(0)2()0( 3 CTsacbCTCT

Temps òptim 3 2 sacbt = ==⇒

tsv 3

2bac

velocitat òptima.

Solució:

La velocitat òptima de mínim consum és: v = 3

2bac

Si x representa la quantitat mesurada en (mg / cm3) d’un

medicament en sang i 36)215(25

)(2

+−= mmxT és la temperatura

que dóna la reacció del cos al medicament, trobeu la quantitat de medicament en la sang que pot produir una màxima temperatura

4.17

90

amb una dosi màxima de 7’5 mg/ cm3 Raonament:

362515

25236)215(

25)( 23

2

++−

=+−= mmmmmT

T(m) definida i derivable en ]5'7,0[∈m

Extrems relatius: ='T 0502530

256 2 ==⇒=+

− mimmm

Extrems absoluts: 36)5'7(41)5(36)0( === TTT Solució: La dosi que provoca una màxima temperatura és la que produeix en la sang una concentració m= 5 mg/cm3 provocant una temperatura alta de 41º.

La velocitat de creixement en l’alçada d’un arbre es pot apropar

per la fórmula tA

e

tAtv −=)( on A representa el seu temps de vida.

Trobeu el moment en que l’arbre dóna la velocitat màxima de creixement. Raonament: V(t) definida i derivable a l’interval [0,A]. Càlcul dels extrems relatius

AtAAtt

ttAA

etAtAe

tvtA

tA

2150

0)(10)(1

0)('

22

2/2

2

/

−=⇒=−+

⇒=−

+−⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

⇒=

Càlcul dels extrems absoluts

v(0)=0 v( Ae

A)15/(22

53)2

15(−

−=

−) v(A)=0 el valor

4.18

91

òptim és per At2

15 −=

Solució:

El creixement és ràpid s’assoleix al moment At2

15 −= , on A

és el promig de vida de la seva espècie.

De tots els cilindres inscrits en un con de radi r i altura h, trobeu les dimensions d’aquell que té volum màxim. Raonament: Els dos triangles ombrejats són semblants aleshores l’equació de lligadura és:

)( xrrhy

xrx

yyh

−=⇔−

=− .

Volem maximitzar:

)()()( 222 xrxxfxrrhxhyx −=⇔−π=π

funció definida i derivable en ],0[ rx∈ Càlcul dels extrems relatius:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒=+−= rx

xrxxf

320

023' 2 . Càlcul dels extrems absoluts:

f(0)=0 f(32r )>0 f(r)=0. El màxim és assolit en x=

32r ⇒

3hy = concil VV

94

=⇒

Solució: L’altura del cilindre és la tercera part de l’altura del con i el radi del cilindre és les dues terceres parts del radi del con. El volum màxim és: les quatre novenes parts del volum del con.

4.19

yh −

y

x

xr −

92

De tots els sectors circulars de radi r trobeu aquell que forma un con obert de volum màxim.

Raonament: Sector circular d’angle α radians

Secció del con

Si x és el radi del con i y la seva altura l’equació de lligadura és:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

πα

−=−=

πα

=

2

222

41

2

rxry

rx

Volem maximitzar: πα−π

πα

π=π=2

4·43

131 22

2

2

22 rryxV que és

equivalent a maximitzar: )4)(()(4 224222 α−πα=α⇔α−πα f funció definida i derivable en ]2,0[ π∈α . Càlcul dels extrems relatius:

⇒α=α−π⇒=α−α−πα 2225223 )4(202)4(4 π=α38


f(0)=0 f( π38 )>0 f( π2 )=0

El màxim absolut és per un angle de π=α38 . Per calcular els

valors d’x i d’y cal substituir a l’equació de lligadura

4.20

r

y

x

r

93

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

πα

−=−=

πα

=

2

222

41

2

rxry

rx resultant

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

3132

ry

rx

Solució:

L’angle del sector més adient és: π=α38 radians i els valors

del radi i altura del cilindre són 32rx = ,

31ry =

94

Capítol 5 APLICACIÓ DELS DIFERENTS MÈTODES INTRODUCCIÓ Les eines utilitzades en aquests exercicis són les desenvolupades en els capítols anteriors, i com a mínim dues en cada exercici. APLICACIONS:

Trobeu dos nombres positius x , y de suma fixa S, de manera que el producte sigui màxim Raonament: Primer mètode Volem maximitzar el producte yx· , amb la condició Syx =+ constant. El producte serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔==

⎩⎨⎧

⇔==+

2

22 Sy

SxSyxyx

Syx

El sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema. Segon mètode Volem maximitzar el producte yx· , amb la condició Syx =+ constant. La funció a maximitzar és SxxxSxxf +−=−= 2)()( funció parabòlica definida a l’interval ],0[ Sx∈ . L’abscissa del

vèrtex és 2Sx = que pertany a l’interval i aleshores és la solució

òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura Syx =+ . Tercer mètode Volem maximitzar el producte yx· , amb la condició Syx =+ constant. La funció a maximitzar és SxxxSxxf +−=−= 2)()(

x y

S 5.1

95

funció definida i derivable a l’interval ],0[ Sx∈ . Càlcul dels

extrems relatius: 2

02' SxSxf =⇒=+−= . Càlcul dels extrems

absoluts: f(0)=0 f(2S )=

4

2S f(S)=0 El valor òptim és

per 2Sx = . Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de

lligadura Syx =+ Quart mètode El problema és equivalent a maximitzar l’àrea d’un rectangle de dimensions x,y amb el perímetre constant i la solució òptima és

el polígon regular, aleshores el quadrat. Que dóna 2Syx ==

Solució: Els valors de x i y coincideixen

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

2

2Sy

Sx

Trobeu dos nombres positius x , y de producte fix P, de manera que la seva suma sigui mínima. Raonament: Primer mètode Es vol minimitzar la suma yx + , amb la condició Pyx =· constant. La suma yx + serà mínima si fa compatible el sistema:

⎩⎨⎧

==

⇔==⎩⎨⎧

⇔==

PyPx

PyxyxPyx·

El sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema.

x

y

5.2

x y

S

96

Segon mètode Es vol minimitzar la suma yx + , amb la condició Pyx =·

)(xfxPxyx =+=+ funció definida i derivable a l’interval

),0( ∞∈x . Càlcul dels extrems relatius PxxPf =⇒=−= 01'

2.

Càlcul dels extrems absoluts: f( +0 )=∞ f( P )=2 P f(∞ )=∞ . El valor òptim és per x= P . Solució: Els factors han de ser iguals:

⎩⎨⎧

==

PyPx

De tots els rectangles que es poden inscriure en una circumferència de radi R, trobeu aquell que té àrea màxima.

Raonament: Primer mètode

Hem de maximitzar el producte ba· ⇔ maximitzar ))·(( 22 ba . Amb la condició

222 4)()( Rba =+ . El producte ))·(( 22 ba és màxim si fa compatible el sistema:

⎩⎨⎧

==⇔=

=+Rba

baRba

2)()(4)()( 222

22

222

El sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema. Segon mètode Equació de lligadura 222 4)()( Rba =+ . Volem maximitzar el

a

b

5.3

x

y

a

b R2

97

producte ba· ⇔ maximitzar )(4)4()4(· 22222222 tftRttRtaRaba =+−=−=−= . Funció

parabòlica en variable 2at = definida a l’interval ]4,0[ 22 Rat ∈= . L’abscissa del vèrtex és 22 2Rat == que

pertany a l’interval i aleshores és la solució òptima. Tercer mètode Equació de lligadura 222 4)()( Rba =+ . Volem maximitzar el producte ba· ⇔ maximitzar

)(4)4(· 22422222 afaRaaRaba =+−=−= . Funció definida i derivable a l’interval ]2,0[ Ra∈ . Càlcul dels extrems relatius:

⎩⎨⎧

==

⇒=+−=Ra

aaRaf

20

084' 23 . Càlcul dels extrems absoluts:

f(0)=0 f( R2 )= 44R f(2R)=0 la solució òptima és Ra ·2= . Per calcular el valor de b cal substituir a l’equació de

lligadura 222 4)()( Rba =+ Solució: La solució és un quadrat de dimensions Rba ·2==

De totes les el·lipses que es poden circumscriure en un rectangle de dimensions 2x0 i 2y0, trobeu les dimensions d’aquella que té àrea mínima.

Raonament:

5.4

98

Primer mètode

Equació de lligadura 12

2

02

2

0 =+by

ax Minimitzar l’àrea

2

0

2

0

· ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔π

yb

xaab ⇒ Maximitzar ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

02

2

0 ·by

ax Amb la

condició: 12

2

02

2

0 =+by

ax

Analitzarem la compatibilitat:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12

2

02

2

0

2

2

02

2

0

by

ax

by

ax

⎩⎨⎧

==

⇒0

0

22

ybxa

El sistema és compatible i la solució és la òptima. Segon mètode


2

02

2

0 =+by


2

0

2

0

· ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔π

yb

xaab ⇒ Maximitzar

)()(1· 22

0

2

04

2

02

2

02

2

02

2

02

2

02

2

0 tftxtxa

xaxax

ax

by

ax

=−=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

amb t= 2

1a

. f(t) funció parabòlica definida a l’interval

]1,0( 2

0xt∈ ⇔ ),[ 0 ∞∈ xa . L’abscissa del vèrtex és 2

02 2

11xa

t ==

que pertany a l’interval de t i aleshores és el valor òptim. Això implica que 02xa = i per calcular el valor de b cal substituir a

l’equació de lligadura 12

2

02

2

0 =+by

ax .

),( 00 yxP

99

Tercer mètode


2

02

2

0 =+by


2

0

2

0

· ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔π

yb

xaab ⇒ Maximitzar

)(1·4

2

02

2

02

2

02

2

02

2

02

2

0 afa

xaxax

ax

by

ax

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ funció definida

i derivable a l’interval ),[ 0 ∞∈ xa . Càlcul dels extrems relatius:

0

2

02

8

2

0235

2

0 20420)(42' xaxaa

xaaaxf =⇒=−⇒=−−

= .

Càlcul dels extrems absoluts: f( 0x )=0 f( 02x )=1/2 f(∞ )=0 la solució òptima és per xa 2= . Per calcular el valor de b cal

substituir a l’equació de lligadura 12

2

02

2

0 =+by

ax

Solució:

La minimització de l’àrea és per les mesures: ⎩⎨⎧

==

⇒0

0

22

ybxa

Una biga de secció rectangular és tal que: la seva resistència és

directament proporcional a la seva amplada i al quadrat de la seva alçada. Es disposa de un tronc de secció circular de radi r i es desitja retallar una biga de secció rectangular de manera que sigui el més resistent possible, trobeu les seves dimensions.

Raonament:

5.5

100

Primer mètode Equació de lligadura: 222 4ryx =+ Resistència a maximitzar:

)4( 222 xrkxkxyR −== )4( 22 xrx −⇔ )4)(4(2 22222 xrxrx −−⇔ amb la seva suma constant 28rS = . Analitzarem la compatibilitat del sistema:

⎩⎨⎧

=−+−+−=−=

222222

22222

8)4()4(2)4()4(2

rxrxrxxrxrx

⇒ 3

2rx = Sistema

compatible amb solució òptima. Per calcular el valor de y cal substituir a l’equació: 222 4ryx =+ Segon mètode Equació de lligadura: 222 4ryx =+ Resistència a maximitzar:

)(4)4( 32222 xfkxxrkxrkxkxyR =−=−== funció definida i derivable a l’interval ]2,0[ rx∈ . Càlcul dels extrems relatius:

⇒=−⇒= 0340' 22 xrf3

2rx = . Càlcul dels extrems absoluts:

f(0)=0 f(3

2r )=3

8·3

2 2rrk f(2r)=0 la solució 3

2rx = és la

òptima i per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura 222 4ryx =+ . Solució:

Amplada 3

2rx = alçada 3222 xxy ==

5.6

x

y r2

101

Un ramader vol construir un corral de n rectangles de llargada per m d’amplada com indica la figura i disposa de P metres de tanca. Trobeu les dimensions més adients de manera que tingui la màxima capacitat.

Raonament Primer mètode Hem de maximitzar [ ][ ]ynmxmmyx )1)((·)1(· ++⇔ màxim, amb la condició:[ ] [ ] Pynmxm =+++ )1()1( constant. El producte [ ][ ]ynmxm )1(·)1( ++ serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇔+=+

=+++

)1(2

)1(2])1([])1[(

])1([])1[(

nmPy

mPx

ynmxmPynmxm

El

sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode Equació de lligadura és [ ] [ ] Pynmxm =+++ )1()1( . Volem maximitzar ( ) PxxmxmPxxynmmxy ++−=+−=+⇔ 2)1()1()1(

= f(x) funció parabòlica definida a l’interval ]1

,0[+

∈m

Px .

L’abscissa del vèrtex és )1(2 +

=mPx que pertany a l’interval i

aleshores la solució és òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura [ ] [ ] Pynmxm =+++ )1()1(

resultant el valor )1(2 +

=nmPy .

Tercer mètode Equació de lligadura és [ ] [ ] Pynmxm =+++ )1()1( . Volem maximitzar ( ) PxxmxmPxxynmmxy ++−=+−=+⇔ 2)1()1()1(

x

y

102

= f(x) funció definida i derivable a l’interval ]1

,0[+

∈m

Px .

Càlcul dels extrems relatius:

)1(20)1(2'

+=⇒=++−=

mPxPxmf . Càlcul dels extrems

absoluts: f(0)=0 f()1(4)1(2

2

+=

+ mP

mP

) f(1+m

P )=0 el valor

òptim és )1(2 +

=mPx . Per calcular el valor d’y cal substituir a

l’equació de lligadura [ ] [ ] Pynmxm =+++ )1()1( resultant el

valor )1(2 +

=nmPy .

Solució:

Les dimensions de la llargada )1(2 +

=mPx i la amplada

)1(2 +=

nPmy .

Un ramader vol construir un corral de n rectangles de llargada per m d’amplada com indica la figura de superfície total S . Trobeu les dimensions més adients de manera que la longitud de la tanca sigui mínima.


x

y

5.7

103

Volem minimitzar el perímetre de la tanca: [ ] [ ]ynxm )1()1( +++ Amb la condició: ⇔= Syx· [ ][ ] Snmynxm )1)(1()1(·)1( ++=++

constant. La suma [ ] [ ]ynxm )1()1( +++ serà mínima si fa compatible el sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

=

++

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

++=++

Snmy

Smnx

ynxm

Snmynxm

1111

])1[(])1[(

)1)(1(])1]·[()1[(

El sistema és compatible i la solució és la del sistema Segon mètode Equació de lligadura xy=S. Volem minimitzar el perímetre de la

tanca: [ ] [ ] )()1()1()1()1( xfx

Snxmynxm =+

++=+++ funció

definida i derivable a l’interval ],0[ ∞∈x . Càlcul dels extrems

relatius: Smnx

xSnmf

110)1()1('

2 ++

=⇒=+

−+= . Càlcul dels

extrems absoluts:

f(0)=∞ f( Smn

11++

)= )1)(1(2 ++ nm f(∞ )=∞

Smnx

11++

= és el valor òptim i per calcular el valor d’y cal

substituir a l’equació xy=S resultant Snmy

11

++

= i amb

longitud mínima L= )1)(1(2 ++ nm . Solució: Les dimensions de la llargada x i de l’amplada y són:

Smnx

11++

= i Snmy

11

++

= amb longitud mínima

L= )1)(1(2 ++ nm .

104

Un ramader vol construir un corral de n rectangles com indica la figura de superfície total S, aprofitant la paret del darrera. Trobeu les dimensions més adients de manera que la longitud de la tanca sigui mínima.

Raonament: Primer mètode Equació de lligadura Lynx =++ ))1()( . Volem maximitzar el producte ))1)·((( ynxxy +⇔ . El producte ))1)·((( ynx + serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=⇒

+==++

)1(2

2))1(()(

))1(()(

nLy

Lx

ynxLynx

El sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode Equació de lligadura Lynx =++ ))1()( . Volem maximitzar el producte ( ) )()1( 2 xfLxxxLxynxxy =+−=−=+⇔ funció parabòlica definida a l’interval ],0[ Lx∈ . L’abscissa del vèrtex

és 2Lx = que pertany a l’interval i aleshores la solució és òptima.

Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura

Resultant )1(2 +

=nLy .

Tercer mètode Equació de lligadura Lynx =++ ))1()( . Volem maximitzar el producte ( ) )()1( 2 xfLxxxLxynxxy =+−=−=+⇔ funció definida i derivable a l’interval ],0[ Lx∈ . Càlcul dels extrems

5.8

x

y

105

relatius: 2

02' LxLxf =⇒=+−= . Càlcul dels extrems absoluts

f(0)=0 f(2L )=

4

2L f(L)=0 aleshores la solució òptima és

2Lx = . Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de

lligadura resultant )1(2 +

=nLy .

Solució:

La llargada del corral és 2Lx = i l’amplada

)1(2 +=

nLy

Una corda de longitud L es parteix en dos bocins i amb cadascun d’ells es formen dues figures tancades semblants o no. Trobeu la longitud de cada tros de manera que la suma de les seves àrees sigui mínima.

Raonament:

Si amb un mateix perímetre unitat la primera figura té una àrea S i la segona una àrea S’, anomenant k = S’/S tenim:

SxLkSxLBSxA 222 )(')( −=−==

5.9

xL − x

A B

L

106

Primer mètode Minimitzar: [ ] [ ]2222 )()( xLkxxLkxSBA −+⇔−+=+

[ ]xkkLxkL )1(22 +−−⇔ equivalent a: Maximitzar: [ ] [ ][ ]xkkLxkxkkLx )1(2·)1()1(2 +−+⇔+− amb la condició: [ ] [ ] kLxkkLxk 2)1(2)1( =+−++ . El producte [ ][ ]xkkLxk )1(2·)1( +−+ serà màxim si és compatible el sistema: [ ] [ ]

[ ] [ ]⎩⎨⎧

+=⇒

+−=+=+−++

1)1(2)1(2)1(2)1(

kkLx

xkkLxkkLxkkLxk

Sistema compatible amb solució òptima Segon mètode Volem minimitzar:

[ ] [ ] )(2)1()( 2222 xfkLkLxxkSxLkxSBA =+−+=−+=+ funció parabòlica definida a l’interval ],0[ Lx∈ . L’abscissa del vèrtex

és 1+

=kkLx que pertany a l’interval i aleshores és la solució

òptima. Tercer mètode Volem minimitzar:

[ ] [ ] )(2)1()( 2222 xfkLkLxxkSxLkxSBA =+−+=−+=+ funció definida i derivable a l’interval ],0[ Lx∈ . Càlcul dels extrems

relatius: 1

02)1(20'+

=⇒=−+⇒=kkLxkLxkf . Càlcul dels

extrems absoluts: f(0)= 2SkL f(1+k

kL )=S1

2

+kkL f(L)= 2SL

El valor mínim és 1+

=kkLx

Solució:

La solució ve donada per⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−

+=

1

1

kLxL

kkLx

on SSk '

= quocient

entre el àrea de les dues figures fixat un mateix perímetre P. -Si les figures són semblants k=1 x=L/2.

107

Una finestra té un marc de fusta en forma de rectangle coronat amb un triangle equilàter. Si el perímetre de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima.

Raonament:

Primer mètode Equació de lligadura: Pyx =+ 28 . Expressió a maximitzar:

[ ])38(23)8(232 −−=+−=+ xPxxxPxxxy ( ) ))36(()36( −−−⇔ xPx , amb la condició:

( ) PxPx =−−+− ))38(()38( . Analitzarem la compatibilitat del sistema:

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

=

−=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−

=−−+−

)38(2)34(

)38(2

82))38(()38(

))38(()38(

Py

Px

xPyxPx

PxPx

Sistema compatible amb solució òptima. Segon mètode Equació de lligadura: Pyx =+ 28 . Expressió a maximitzar:

[ ] )()38()38(32 22 xfPxxxPxxxy =+−−=−−=+ funció


,0[ Px∈ . L’abscissa del vèrtex

és )38(2 −

=Px que pertany a l’interval i aleshores és la

solució òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a

x2

y

5.10

x2

y

x2 x2

108

l’equació de lligadura Pyx =+ 28 resultant )38(2

)34(−

−=

Py

Tercer mètode Equació de lligadura: Pyx =+ 28 . Expressió a maximitzar:

[ ] )()38()38(32 22 xfPxxxPxxxy =+−−=−−=+ funció

definida i derivable a l’interval ]8

,0[ Px∈ . Càlcul dels extrems

relatius: ⇒=+−−⇒= 0)38(20' Pxf )38(2 −

=Px .


f(0)=0 f()38(2 −

P )=)38(4

2

−P f(

8P )=

643 2P

El valor màxim és per )38(2 −

=Px . Per calcular el valor d’y

cal substituir a l’equació de lligadura Pyx =+ 28 resultant

)38(2)34(

−−

=Py

Solució:

costat del triangle:)38( −

P altura del rectangle:)38(2

)34(−

−=

Py

Una finestra té un marc de fusta en forma de rectangle coronat amb un triangle rectangle. Si el perímetre de la finestra és P, calcula les seves dimensions per tal que la seva il·luminació sigui màxima.

Raonament: De tots els triangles amb la hipotenusa fixa el que dóna la

5.11

x2

y

x2 x2

109

màxima àrea és l’isòsceles. Primer mètode L’equació de lligadura és: Pyx =++ 2)224( . Expressió a maximitzar: 22 ))224((2 xxPxxxy ++−=+

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⇔ )223(223)223( xPxxPx

Amb la condició: ( ) PxPx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++ )223(223

Analitzarem el sistema:

( )

( ) )223(2)223(223

)223(223

+=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++

PxxPx

PxPx. Per


Pyx =++ 2)224( resultant )223(2

)21(++

=Py

Segon mètode L’equació de lligadura és: Pyx =++ 2)224( . Expressió a maximitzar:

)()223())224((2 222 xfPxxxxPxxxy =++−=++−=+


,0[+

∈Px .

L’abscissa del vèrtex és: )223(2 +

=Px que pertany a l’interval

i aleshores és la solució òptima. Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de lligadura Pyx =++ 2)224( resultant

)223(2)21(

++

=Py

Tercer mètode L’equació de lligadura és: Pyx =++ 2)224( . Expressió a maximitzar:

110

)()223())224((2 222 xfPxxxxPxxxy =++−=++−=+

funció definida i derivable a l’interval ]224

,0[+

∈Px . Càlcul

dels extrems relatius: ⇒=++−⇒= 0)223(20' Pxf

)223(2 +=

Px . Càlcul dels extrems absoluts:

f(0)=0 f()223(2 +

P )=)223(4

2

+P f )

224(+

P =2

2

)224( +P

el valor òptim és per )223(2 +

=Px . Per calcular el valor d’y

cal substituir a l’equació de lligadura Pyx =++ 2)224(

resultant )223(2

)21(++

=Py

Solució:

Base )223(

2+

=Px altura del rectangle

)223(2)21(

++

=Py

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt ),( baA i forma amb els semieixos positius un triangle d’àrea mínima Raonament: Equació de la recta que passa pel punt ),( baA i té pendent negativa )( m− : )( axmby −−= que és l’equació de lligadura. El seus punts de tall amb els eixos són: ( )mab +,0 i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 0,

mba .

Primer mètode Equació de lligadura )( axmby −−= . Volem minimitzar,

a

b

A

5.12

111

2S= ( ) abmbma

mmab

mbamab 2)( 2

2 ++=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

Això és equivalent a minimitzar: )()(2

2

mbma + amb la condició:

=))·((2

2

mbma 22ba constant. La suma )()(

22

mbma + serà mínima

si fa compatible el sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇔==⇔=

=

abmab

mbma

bambma

mbma 2

2

222

2

22

))((

)()(

Sistema compatible amb solució òptima: abm −=−

Segon mètode Equació de lligadura )( axmby −−= . Volem minimitzar,

2S= ( ) )(2)( 22 mfab

mbma

mmab

mbamab =++=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

funció definida i derivable a l’interval ),0( ∞∈m . Càlcul dels

extrems relatius: abm

mbaf =⇒=−⇒= 00'

2

22 . Càlcul dels

extrems absoluts: f(0)=∞ f )(ab =4ab f(∞ )=∞

Solució: La solució correspon a la recta que talla als eixos en els punts: )2,0()0,2( bia essent l’àrea mínima abS 2= . El punt A és el punt mig del segment.

a

b

A

a2

b2

112

Calculeu la mínima distància entre el punt A ),0( c i la funció: baxy +−= 2

Raonament: Primer mètode Equació de lligadura baxy +−= 2 . Volem minimitzar:

[ ] [ ] [ ][ ]22222242

222222

1)(2)()(1)(2)()(

xacbaxcbcbxcbaxaaxcbxcyxd

−−−−−=−+−−−=−−+=−+=

Equival a maximitzar: [ ] [ ][ ]2222 1)(2 xacbaxa −−− amb la condició:[ ] [ ][ ] [ ]1)(21)(2 222 −−=−−−+ cbaxacbaxa constant Analitzarem la compatibilitat del sistema:

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

aacy

acbax

baxyxacbaxa

cbaxacbaxa

212

21)(2

1)(21)(21)(2

2

2

2222

2222

+=

−−=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=−−−=

−−=−−−+

Sistema compatible amb solució òptima

Essent la distància mínima a

acabd2

144 −−=

Segon mètode Equació de lligadura baxy +−= 2 . Volem minimitzar:

[ ][ ] )()(1)(2

)(1)(2)()(222

2242222222

tfcbtcbatacbxcbaxaaxcbxcyxd

=−+−−−=−+−−−=−−+=−+=

Funció parabòlica amb variable t definida a l’interval ),0[2 ∞∈= xt .

L’abscissa del vèrtex és 22 2

1)(22

1)(2a

cbaxa

cbat −−±=⇒

−−= i per


baxy +−= 2 resultant a

acy2

12 += . Essent la distància mínima

aacabd

2144 −−

=

5.13

113

Tercer mètode Equació de lligadura baxy +−= 2 . Volem minimitzar:

[ ] 224222222 )(1)(2)()()( cbxcbaxaaxcbxcyxxf −+−−−=−−+=−+= Funció definida i derivable a l’interval ),( ∞−∞∈x . Càlcul dels extrems

relatius: ⇒=−−−⇒= 0]1)(2[240' 32 cbaxxaf 22

1)(2a

cbax −−±= .


∞=∞+

=−−

±∞=−∞ )(2

12)2

1)(2()(2

fa

aca

cbaff el valor òptim

és per 22

1)(2a

cbax −−±= . Per calcular el valor d’y cal substituir a

l’equació de lligadura baxy +−= 2 resultant a

acy2

12 += . Essent la

distància mínima a

acabd2

144 −−=

Solució:

La distància mínima és a

acabd2

144 −−=

Trobeu les dimensions d’una caixa oberta de base quadrada i de volum fix V de manera que la seva superfície sigui mínima.

Raonament: Primer mètode Equació de lligadura 222 4)2)(2)((· VxyxyxVyx =⇔= Volem minimitzar: )2()2()(4 22 xyxyxxyx ++⇔+ . La suma )2()2()( 2 xyxyx ++ serà mínima si fa compatible el sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔==⇔

===

222

42)2()2()(

4)2)(2)((3

3

3 22

2

22

Vy

VxVxyx

xyxyxVxyxyx

x x

y

5.14

114

El sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode Equació de lligadura Vyx =·2 . Volem minimitzar:

)(44 22 xfxVxxyx =+=+ funció definida i derivable a l’interval

),0( ∞∈x . Càlcul dels extrems relatius: 3

220420' Vx

xVxf =⇒=−⇒= . Càlcul dels extrems absoluts

∞=∞=∞= )(43)2()0( 33 fVVff el valor òptim és per 3 2Vx = . Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació

de lligadura Vyx =·2 resultant 223 Vy = .

Solució: La solució òptima és una caixa amb el costat de la base doble que l’altura i les dimensions del costat x i de l’altura y són

respecte del volum: 3 2Vx = i 223 Vy = . La solució gràfica

fora duplicar la caixa i de totes les que tenen volum constant la de mínima superfície la té el cub que tallat per la meitat ens dóna la solució òptima.

Trobeu les dimensions d’una caixa oberta de base quadrada de superfície fixa S que té la màxima capacitat. Raonament: Primer mètode Volem maximitzar 222 4)2)(2)((· VxyxyxVyx =⇔= amb la condició: SxyxyxSxyx =++⇔=+ )2()2()(4 22 constant. El producte )2)(2)(( 2 xyxyx serà màxim si fa compatible el sistema:

x x

y

5.15

115

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔===⇔

==

=++

12

33

22)2()2()(

)2()2()(2

2

2

Sy

SxSxyxyxxyxyx

Sxyxyx

El sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode Equació de lligadura Sxyx =+ 42 . Volem maximitzar

)()(4 3222 xfSxxxSxyxyx =+−=−=⇔ funció definida i derivable a l’interval ],0[ Sx∈ . Càlcul dels extrems relatius:

3030' 2 SxSxf =⇒=+−⇒= . Càlcul dels extrems absoluts:

f(0)=0 f(3S )=

3S ·

32S 0)( =Sf el valor òptim és per

3Sx = . Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació de

lligadura Sxyx =+ 42 resultant 12Sy =

Solució: L’altura és la meitat de la aresta de la base. Les dimensions en

funció de la superfície són: 3Sx =

212xSy == . La solució

gràfica fora duplicar la caixa i de totes les que tenen la superfície constant el màxim volum el té el cub que tallat per la meitat ens dóna la solució òptima.

Es vol construir un dipòsit cilíndric amb base i tapa circular de superfície total fixa S, de manera que la seva capacitat sigui màxima. Trobeu la manera de fer-ho.


5.16

y

x

116

Equació de lligadura: x

xSySxyxππ−

=⇔=π+π2

2222

2

Es vol maximitzar : 2

)2(2

2 2222 xSx

xxSxyxV π−

=ππ−

π=π=

⇔ maximitzar 2222 16)2)(2)(4( VxSxSx π=π−π−π amb la condició: SxSxSx 2)2()2()4( 222 =π−+π−+π constant. El producte )2)(2)(4( 222 xSxSx π−π−π serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ππ−

=

=π−+π−+ππ−=π−=π

xxSy

SxSxSxxSxSx

22

2)2()2()4()2()2()4(

2

222

222

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π==

π=

⇔

622

6Sxy

Sx

el sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode

Equació de lligadura: x

xSySxyxππ−

=⇔=π+π2

2222

2

Es vol maximitzar:

)(2)2(2

2222 322

22 xfSxxxSxx

xSxyxV =+π−=π−=ππ−

π=π=

Funció definida i derivable a l’interval ]2

,0[π

∈Sx . Càlcul dels

extrems relatius: π

=⇒=+π−⇒=6

060' 2 SxSxf . Càlcul dels

extrems absoluts: f(0)=0 f(π6

S )=π63

2 SS f(π2

S )=0 el

valor òptim és per π

=6Sx . Per calcular el valor d’y cal

substituir a l’equació de lligadura x

xSyππ−

=2

2 2

resultant

π=

62 Sy

Solució:

117

El diàmetre de la base i l’altura són iguals aleshores la secció transversal del cilindre és un quadrat.

Es vol construir un dipòsit cilíndric obert amb base circular de volum fix V, de manera que el material utilitzat sigui el menor possible. Trobeu la manera de fer-ho.


Equació de lligadura: Vyx =π 2 π

=⇔Vyx 2 . Volem

minimitzar )()()(2 22 xyxyxxyx π+π+π=π+π amb la condició 2

2

232 ))()(( VVxyxyx π=π

π=πππ constant. La suma

)()()( 2 xyxyx π+π+π serà mínima si fa compatible el sistema:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=

π=

⇔π=π=π⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

π=πππ

π=π=π

3

3

3 22

22

2

))()((

)()()(

Vy

VxVxyx

Vxyxyx

xyxyx

el sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode Equació de lligadura: Vyx =π 2 . Volem minimitzar

)(22 22 xfxVxxyx =+π=π+π funció definida i derivable a

l’interval ),0( ∞∈x . Càlcul dels extrems relatius:

=⇒=−π⇒= xxVxf 0220'

2 3

πV

. Càlcul dels extrems absoluts:

f(0)=∞ f( 3

πV )= 3 23 Vπ f(∞ )=∞ la solució òptima és

5.17

y

x2

118

per 3

π=

Vx . Per calcular el valor d’y cal substituir a l’equació

de lligadura Vyx =π 2 resultant 3

π=

Vy

Solució:

L’altura del cilindre és la meitat del diàmetre. La solució és lògica donat que si dupliquem el cilindre queda un altre cilindre tancat que té per volum màxim una secció quadrada de manera que

en partir-lo per la meitat ens donaria la solució òptima

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

== 3Vyx

Es vol construir un dipòsit cilíndric obert amb base circular de superfície total fixa S, de manera que la seva capacitat sigui màxima. Trobeu la manera de fer-ho. Raonament:

Primer mètode

Equació de lligadura xxSySxyx

ππ−

=⇔=π+π2

22

2

Volem maximitzar : 2

)(2

2222 xSx

xxSxyxV π−

=ππ−

π=π=

⇔ ))()(2(8 2222 xSxSxV π−π−π=π amb la condició: SxSxSx 2)()()2( 222 =π−+π−+π constant. El producte

))()(2( 222 xSxSx π−π−π serà màxim si fa compatible el sistema:

5.18

y

x2

119

⎩⎨⎧

π−=π−=π=π−+π−+π

)()()2(2)()()2(

222

222

xSxSxSxSxSx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π=

π=

⇔

3

3Sy

Sx

el sistema és compatible i la solució òptima és la del sistema Segon mètode

Equació de lligadura xxSySxyx

ππ−

=⇔=π+π2

22

2

Volem maximitzar : )(2

)(2

2222 xfxSx

xxSxyxV =

π−=

ππ−

π=π=

funció definida i derivable a l’interval )2

,0(π

∈Sx . Càlcul dels

extrems relatius: π

=⇒=+π−⇒=3

030' 2 SxSxf . Càlcul dels

extrems absoluts: f(0)=0 f(π3S )=

π3S

3S

π

=π 24

)2

( SSSf

La solució òptima és per x=π3S

. Per calcular el valor d’y cal

substituir a l’equació de lligadura xxSy

ππ−

=2

2

resultant

π=

3Sy .

Solució: L’altura del cilindre és la meitat del diàmetre. La solució és lògica ja que si dupliquem el cilindre queda un altre cilindre tancat que té per volum màxim una secció quadrada de manera que en partir-lo per la

meitat ens donaria la solució òptima

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

==3Syx

120

De tots els cilindres inscrits en una esfera de radi R trobeu les dimensions d’aquell que té el volum màxim. Raonament:

Si x és el radi del cilindre i y la seva altura,

Primer mètode Volem maximitzar ))(2)(2( 22222 yxxyxyx ⇔⇔π màxim amb la condició: 222 )2()()2( Ryx =+ 2222 4)()2()2( Ryxx =++⇔ constant. El producte 222 22 yxx serà màxim si fa compatible el sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=⇔

=++==

Rxy

Rx

Ryxxyxx

·34·2

·32

4)()2()2()()2()2(

2222

222

Sistema compatible amb solució òptima. Segon mètode Equació de lligadura 222 )2()()2( Ryx =+ Volem maximitzar el volum )(4)4(4 232222 yfyRyyRyyxyx =+−=−=⇔π funció definida i derivable ]2,0[ Ry∈ . Càlcul dels extrems relatius:

RyRyf340430' 22 =⇒=+−⇒= . Càlcul dels extrems

absoluts: 0)2(34

38)

34(0)0( 3 === RfRRff

El valor òptim és per Ry34

= . Per calcular el valor d’x cal

substituir a l’equació de lligadura 222 )2()()2( Ryx =+ resultant

5.19

R2

x2

y

121

Rx ·32

= .

Solució: El cilindre té una secció rectangular on la base 2x és igual a l’altura y multiplicada per 2 . La seva secció és un rectangle que tallat per la meitat és semblant a l’original. El valor del

volum màxim és V= 3

34

38 R

Una gota de pluja cau amb una massa inicial m0 amb una pèrdua de massa per evaporació proporcional al temps de caiguda. Trobeu el temps que tarda la gota en assolir la seva màxima energia cinètica. Raonament: Velocitat de caiguda gtv = , massa ktmm −= 0 , energia

cinètica: 220

2 )(21

21 tgktmmvE −== .

Primer mètode

Volem maximitzar: )2

)(2

)(()( 02

02tktkktmtktm

gE

−⇔−= amb la

condició:

00 )2

()2

()( mtktkktm =++− . Analitzem el sistema:

kmt

tktkktm

mtktkktm

32

)2

()2

()(

)2

()2

()(0

0

00

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒==−

=++−

Sistema compatible amb solució òptima. Segon mètode

Volem maximitzar: )()( 202

tftktmgE

=−= funció definida i

5.20

122

derivable a l’interval ],0[ 0

kmt∈ . Càlcul dels extrems relatius:

kmt

ttmktf

32

00230' 00

2

=

=

⎩⎨⎧

⇒=+−⇒= . Càlcul dels extrems

absoluts: 0)(274)

32(0)0( 0

2

3

00 ===k

mfk

mkmff

Solució:

El temps transcorregut és: kmt

32 0= ,la massa 03

1 mm = i la

energia cinètica 2

23

0

274

kgmE =

Documents

Xavier Rabasa...5 2.6 Biga de secció triangular i tronc cilíndric 39 2.7 Triangle d’àrea màxima 40 2.8 Corral de( nx1) rectangles i superfície constant 41 2.9 Una corda i dues