Xavier Rabasa [email protected] 1 Rabasa [email protected] 2 INTRODUCCIÓ Llibre d’exercicis totalment desenvolupats i raonats a nivell de batxillerat amb l’objectiu d’assolir

Xavier Rabasa [email protected] 1


INTRODUCCIÓ Llibre d’exercicis totalment desenvolupats i raonats a nivell de batxillerat amb l’objectiu d’assolir els coneixements i procediments en matèria de: Geometria Analítica de l’espai. El coneixement d’un trajecte no és més que el punt de partida. El caminar amb els sues obstacles ens fan uns experts en minimitzar el seu recorregut. Sense esforç mai trobaràs la satisfacció d’un bon resultat.

Xavier Rabasa Arévalo Professor de Matemàtiques

[email protected]


ÍNDEX Vectors geomètrics de l’espai Teoria 4 Exercicis 7 Geometria Analítica de l’espai

Eines 14 Estratègies 19 Exercicis Equacions de rectes i plans 23 Incidència, paral·lelisme i perpendicularitat 28 Angles i distàncies 56 Posicions relatives 73


VECTORS A L’ESPAI OPERACIONS AMB VECTORS (2,4,5) + (3,5,7) = (5,9,12) (2,4,5) - (3,5,7) = (-1,-1,-2)

(5)·(2,4,5) = (10,20,25) (-1)·(2,4,5) = (-2,-4,-5)

IDENTITAT DE VECTORS )c,b,a(v = i )f,e,d(w = .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔=cfbead

wv

MÒDUL D’UN VECTOR )c,b,a(v = .

222 cba)c,b,a(v ++== VECTOR UNITARI amb la mateixa direcció que )c,b,a(v = .

)c,b,a(cba

1vvu

222 ++±=±=

PRODUCTE ESCALAR dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w = que formen entre ells un angle α .

α·cosfed·cbacfbeadw·v 222222 ++++=++=


PRODUCTE VECTORIAL dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w =

)edba

,fdca

,feba

(fedcbakji

)f,e,d()c,b,a(wv −==∧=∧

MÒDUL DEL PRODUCTE VECTORIAL dels vectors )c,b,a(v = i

)f,e,d(w = que formen entre ells un angle α . α·sinw·vwv =∧

ÀREA DEL TRIANGLE format pels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w = que formen entre ells un angle α .

wv21S ∧=

PRODUCTE MIXT dels vectors )c,b,a(v = , )f,e,d(w = i )i,h,g(z = .

ihgfedcba

))i,h,g()f,e,d)·((c,b,a()zw·(v =∧=∧

VOLUM DEL TETRAEDRE format per )c,b,a(v = , )f,e,d(w = i

)i,h,g(z = .


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=∧=

ihgfedcba

·61)zw·(v

61V

PARAL·LELISME dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w =

fc

eb

dawv ==⇔

PERPENDICULARITAT dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w = 0f·ce·bd·awv =++⇔⊥

ANGLE ENTRE DOS VECTORS )c,b,a(v = i )f,e,d(w = .

α·cosfed·cbacfbeadw·v 222222 ++++=++= ⇒

222222 fed·cbacfbead

w·vw·vcos

++++++

==α

VECTOR QUE UNEIX DOS PUNTS )c,b,a(A i )f,e,d(B .

)cf,be,ad(ABAB −−−=−=


EXERCICIS

Donat el vector )3,1,2(AB −= i el punt )2,1,3(B trobeu les coordenades del punt A. RAONAMENT

)1,2,1()3,1,2()2,1,3(ABBAABAB −=−−=−=⇒−= ⇒ )1,2,1(A −

Donats els punts )5,2,0(iD)1,1,1(C),1,3,0(B),1,2,1(A − esbrina si els vectors AB i CD són equipol·lents, en cas negatiu substitueix D per D’ per tal que ho siguin. RAONAMENT

)1,2,1()1,3,0()1,1,1(ABC'DC'DAB'CDAB −−+=−+=⇒−=−⇒≈ ⇒ )3,2,0('D i 'DD ≠

Donats els punts )2,2,3(iB)1,0,1(A , trobeu el vector AB i el seu mòdul. RAONAMENT

⇒=−=−= )1,2,2()1,0,1()2,2,3(ABAB ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++=

=

3144AB

)1,2,2(AB

Donats els punts )7,4,3(iB)5,0,3(A , trobeu les coordenades del punt mig. RAONAMENT

4

3

2

1.


)6,2,3(2

BA)AB(21AMAB

21AM =

+=−+=⇒= ⇒ )6,2,3(M

Dos vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram són: )1,1,0(iB)1,1,1(A − i el centre )2,2,2(M , trobeu els altres dos vèrtexs. RAONAMENT

⎩⎨⎧

=−==−=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

)5,3,4(BM2D)3,3,3(AM2C

2DBM

2CAM

⇒ ⎩⎨⎧

)5,3,4(D)3,3,3(C

Donats els punts )1,3,0(iB)1,0,3(A trobeu els dos punts que divideixen el segment AB en tres parts iguals RAONAMENT

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=

−+=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

3B2AQ

3BA2P

)AB(32AQ

)AB(31AP

AB32AQ

AB31AP

⇒ ⎩⎨⎧

)1,2,1(Q)1,1,2(P

Els punts mitjans d’un triangle A B C són )1,1,1('A , )1,2,2('B i )0,2,3('C , trobeu els vèrtexs A,B,C . RAONAMENT

7

6

5


⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−+−+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

321

231

132

3

2

1

FFFFFFFFF

'C2BA:F'B2CA:F'A2CB:F

2BA'C

2CA'B

2CB'A

⇒ 'C'B'AC'B'C'AB'A'C'BA

−+=−+=−+=

)2,1,0('C'B'AC)0,1,2('B'C'AB)0,3,4('A'C'BA

=−+==−+==−+=

Donats els punts )2,3,6(iB)2,1,2(A −− trobeu tres punts P,Q,R que divideixen el segment AB en quatre parts iguals. RAONAMENT

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=−−

+=+=

−=−−

+=+=

=−−

+=+=

)1,2,5(4

)12,12,12()2,1,2(AB43AR

)0,1,4(4

)8,8,8()2,1,2(AB42AQ

)1,0,3(4

)4,4,4()2,1,2(AB41AP

⇒ )1,2,5(R

)0,1,4(Q)1,0,3(P

−−−

Esbrineu si els punts A(1,2,3) , B(4,1,3) i C(7,0,3) estan afilerats. RAONAMENT

AB·2AC)0,2,6(ACAC

)0,1,3(ABAB=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=

−=−= ⇒ vectors paral·lels

Els tres punts estan afilerats.

9

8


Calculeu els valors d’x i d’y per tal que el vector )2,y,x(w = sigui perpendicular als vectors )0,1,1(u −= i )1,0,2(v −= . RAONAMENT

⇒=−+=+−

⇒==

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

⊥

⊥020x200yx

0v·w0u·w

vw

uw

1y1x

==

⇒ )2,1,1(w =

Calcula el valor del paràmetre a per tal que el producte vectorial de

)0,1,1(u = per )0,a,2(v = tingui la direcció de l’eix OZ. RAONAMENT 1.vector unitari en direcció a l’eix OZ, )1,0,0(k = 2.producte vectorial

)2a,0,0(k)·2a(j·0i·00a2011kji

vuw −=−++==∧=

3.la condició de paral·lelisme entre w i k es compleix sempre que 2a ≠

Calculeu el producte vectorial de: )0,1,2(u −= per )1,1,3(v −= . RAONAMENT

k·5j·2i·1113

012kji

vuw ++=−

−=∧= ⇒ )5,2,1(vu =∧

12

11

10


Donats els vectors )1,0,1(a −= , )1,1,1(b = , )3,2,1(c −= calculeu:

)cb(a ∧∧ i c)ba( ∧∧ RAONAMENT

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=∧∧

−−=∧∧

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=−=∧

−=−

=∧

321121kji

c)ba(

145101

kji)cb(a

)1,2,1(111101

kjiba

)1,4,5(321

111kji

cb

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∧∧

=∧∧

)4,4,4(c)ba(

)4,4,4()cb(a

Trobeu el volum del paral·lelepípede format pels vectors OC,OB,OA on: )1,0,1(OA = , )1,1,2(OB −= i )1,2,2(OC −= . RAONAMENT

201122112

101)OCOB·(OAV +−=

−−=∧= ⇒ 3V = 3u

15

14

13


Trobeu el volum del tetràedre ABCD on: )2,4,1(AB = , )0.0.1(AC = , )1,1,2(AD −= .

RAONAMENT

24061

112001241

61)ADAC·(AB

61V ++=

−=∧= ⇒ 1V = 3u

Calculeu l’àrea del triangle ABC on: )2,1,0(C),0,1,1(B),2,2,2(A − . RAONAMENT

)5,4,2(21

012231

kji

21ACAB

21S

)0,1,2(AC

)2,3,1(AB−−=

−−−−−=∧=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−−−=

⇒ 24525164

21S =++= 5

23S = 2u

Calculeu el volum i l’àrea de la base d’una piràmide de vèrtex )1,0,1(V − i base el paral·lelogram ABDC (A i D oposats pel centre del paral·lelogram) on: )2,1,2(B),0,1,1(A − i ).0,2,0(C RAONAMENT

)1,1,0(AV)0,1,1(AC)2,0,1(AB −−=−=−=

V = )ACAB(.AV61·2 ∧ = 120

31

011201110

31

−−=−

−−−

⇒ 1V = u3

17

16


144)1,2,2(011201

kjiACABS ++=−=

−−=∧= ⇒ 3S = 2u

Calculeu els dos vectors unitaris 1w i 2w perpendiculars al pla que conté als vectors: )1,1,1(u −= i ).2,1,0(v = RAONAMENT

14149vu)1,2,3(210111kji

vu =++=∧⇒−−=−=∧

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−−=∧∧

−=

−−+=∧∧

+=

)1,2,3(141

vuvuw

)1,2,3(141

vuvuw

2

1

⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=

141,

142,

143w

141,

142,

143w

1

1

Trobeu les coordenades dels punts P i Q, en funció de A i B, que divideixen el segment AB en tres parts iguals. RAONAMENT

3B2A1)AB(

32AQAB

32OAOQ

3B1A2)AB(

31APAB

31OAOP

+=−+=+=

+=−+=+=

19

18


GEOMETRIA DE L’ESPAI EINES EQUACIONS DE LA RECTA, que passa pel punt )z,y,x(A 000 i porta la direcció del vector ).c,b,a(v = 1.equació vectorial de paràmetre t, { })c,b,a(t)z,y,x()z,y,x( 000 +=

2.equació paramètrica, ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

tczztbyytaxx

0

0

0

3.equació contínua, c

zzb

yya

xx 000 −=

−=

−

4.equació implícita ⎩⎨⎧

−=−−=−

)zz(a)xx(c)yy(a)xx(b

00

00

PUNT GENÈRIC D’UNA RECTA que passa pel punt )z,y,x(A 000 i porta la direcció del vector ).c,b,a(v =

P(x,y,z) ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

tczztbyytaxx

0

0

0

⇒ )tcz,tby,tax(P 000 +++

EQUACIÓ DEL PLA :π que passa pel punt )z,y,x(A 000 i és perpendicular al vector ).c,b,a(v =

:π⎩⎨⎧

=+++=+++

0?czbyax0?czbyax

000

⇒ ( ) 0czbyaxczbyax 000 =++−++


FEIX DE PLANS QUE PASSEN PER UNA RECTA { }r

⇒⎩⎨⎧

=+++=+++

0'dz'cy'bx'a0dczbyax

( ) ( ) 0'dz'cy'bx'atdczbyax =+++++++

FEIX DE PLANS PARAL·LELS A UN PLA { }0dczbyax =+++≡π

{ }0?czbyax =+++≡π RECTA PERPENDICULARS AL PLA )0dczbyax( =+++≡π que passa pel punt )z,y,x(A 000 .

Equació contínua c

zzb

yya

xx 000 −=

−=

−

POSICIÓ RELATIVA

a) de dos plans ⎩⎨⎧

=+++=+++


1.analitzem el rang de les matrius, A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛'c'b'a

cba i ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

'd'c'b'adcba

A

2.

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

==

==

lels·paralincidents

erposatssup

ArangArang2ArangArang1ArangArang

b) recta r≡ ⎩⎨⎧

=+++=+++


i pla )0''dz''cy''bx''a( =+++≡π

1.analitzem el rang de les matrius,


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

''c''b''a'c'b'a

cbaA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

''d''c''b''a'd'c'b'a

dcbaA

2. discussió, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≠=

==

==

pla_al_lela·paral_rectapla_el_en_continguda_recta

punt_un_en_incidents

3Arang2Arang

2ArangArang3ArangArang

c) de dues rectes ⎩⎨⎧

= )c,b,a(v

)z,y,x(A:r 000 i

⎩⎨⎧

= )'c,'b,'a(w

)z,y,x(A:s 111

1.analitzem el rang de les matrius, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

'cc'bb'aa

A i A= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

01

01

01

zz'ccyy'bbxx'aa

2. discussió, ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≠=

=≠=

==

==

leles·paral_rectescreuen_es

erpossadessup_rectespunt_un_en_incidents

2Arang1Arang3Arang2Arang

1ArangArang2ArangArang

d) de tres plans { }{ }{ }⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=+++=+++

=+++

0''dz''cy''bx''a:0'dz'cy'bx'a:

0dczbyax:

3

2

1

πππ

1.analitzem el rang de les matrius,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

''c''b''a'c'b'a

cbaA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

''d''c''b''a'd'c'b'a

dcbaA

2. discussió,


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧⎩⎨⎧

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=≠=

=≠=

==

==

==

lels·paral_treslel·paral_un_i_erpossatssup_dos

)e

triangular_prismano_altre'l_i_lels·paral_dos

)d

erpossatssup_plans)c

recta_una_en_incidents)b

punt_un_en_ncidents)a

2Arang1Arang)e

3Arang2Arang)d1ArangArang)c

2ArangArang)b3ArangArang)a

DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS )z,y,x(A 000 i )z,y,x(B 111

201

201

201 )zz()yy()xx( −+−+−

DISTÀNCIA entre PUNT )z,y,x(A 000 i PLA )0dczbyax( =+++≡π

222

000

cbadczbyax

++

+++

ÀREA DEL TRIANGLE { }C,B,A

ACAB21S ∧=

VOLUM DEL TETRÀEDRE { }D,C,B,A

)ADAC·(AB61V ∧=



ESTRATÈGIES DETERMINACIÓ D’UNA RECTA Donat un punt i un vector 1.es forma l’equació contínua Donats dos punts 1.es forma el vector que uneix els punts 2.es forma l’equació contínua Donat un punt i una recta paral·lela 1.es pren el vector de la recta paral·lela com a director de la recta 2.es forma l’equació contínua Donat un punt i un pla perpendicular a la recta 1.es pren com a vector director de la recta el vector director del pla 2.es forma l’equació contínua Donat un punt i una recta perpendicular incident 1.pla perpendicular a la recta que passa pel punt 2.punt d’intersecció entre el pla i la recta 3.equació de la recta que passa per dos punts Que passa per un punt i toca a dues rectes 1.pla que conté a la primera recta i al punt 2.pla que conté a la segona recta i al punt 3.la recta és la intersecció del dos plans Perpendicular a dues rectes que es creuen 1.producte vectorial v dels dos vectors direccionals de les rectes 2.de tots els plans que passen per la primera recta aquell en que el seu vector director és perpendicular a v 3.de tots els plans que passen per la segona recta aquell en que el seu


vector director és perpendicular a v 4.la recta cercada és la intersecció dels dos plans

Bisectriu de dues rectes que es tallen 1.cercar el punt de tall 2.formar els vectors unitaris direccionals de les rectes 3.la suma i la resta d’aquests vectors ens donen la direcció de les bisectrius 4.formar les equacions contínues DETERMINACIÓ D’UN PLA Donat un punt i dos vectors 1.es pren un punt genèric de l’espai P i es forma el vector que uneix un punt del pla amb el punt genèric 2.s’iguala a zero el producte mixt dels tres vectors

Donat una recta i un punt 1.feix de plans que passen per la recta 2.cerca aquell que passa pel punt Donats tres punts ABC 1.es pren un punt genèric de l’espai P i es forma el vector AP 2.s’iguala a zero el producte mixt dels tres vectors AB, AC, AP Donat un punt i una recta perpendicular 1.el vector director de la recta és el vector director del pla 2.feix de plans que tenen aquest vector director 3.cercar aquell que passa pel punt Donat un punt i un pla paral·lel 1.feix de plans paral·lels 2.cercar aquell que passa pel punt


DETERMINACIÓ D’UN PUNT Simètric de A respecte d’un pla 1.recta perpendicular al pla que passa pel punt A 2.intersecció de recta i pla per determinar M 3.el punt simètric és 2M-A Simètric de A respecte d’una recta 1.pla perpendicular a la recta que passa per A 2.punt M intersecció de la recta i el pla 3.el punt simètric és 2M-A PROBLEMES DE DISTÀNCIES Entre dos punts 1.cercar el mòdul del vector que uneix els dos punts Entre un punt A i una recta a)primer mètode 1.cercar un punt genèric de la recta en funció d’un paràmetre 2.imposar la condició que el vector AP i el direccional de la recta siguin perpendiculars i determinar el punt de la recta de mínima distància 3.calcular la distància entre els dos punts b)segon mètode 1.pla perpendicular a la recta que passa pel punt 2.punt intersecció del pla i la recta 3.distància entre els dos punts c)tercer mètode 1.cercar un punt genèric de la recta en funció d’un paràmetre 2.minimitzar la distància al quadrat entre els dos punts 3.determinar el punt de mínima distància i cercar la distància entre els dos punts


Entre un punt i un pla 1.aplicar la fórmula Entre dues rectes a)primer mètode 1.pla que conté a la segona recta que és paral·lel a la primera 2.triar un punt de la primera i calcular la distància del punt al pla b)segon mètode 1.punt genèric de la primera recta en funció d’un paràmetre 2.punt genèric de la segona recta en funció d’un altre paràmetre 3.derivar la distància al quadrat respecte dels dos paràmetres i igualar a zero per determinar els dos punts de mínima distància 4.cercar la distància entre els dos punt Entre una recta i un pla paral·lel 1.es tria un punt de la recta i es calcula la distància entre punt i pla Entre dos plans paral·lels 1.es tria un punt del primer pla i es calcula la distància del punt al segon pla


EXERCICIS 1. EQUACIONS DE RECTA I PLA

Trobeu les equacions de les medianes del triangle de vèrtexs: )0,2,1(A ,

)2.0,1(B i ).2,2,1(C RAONAMENT

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−==+

=

−==+

=

−==+

=

)1,1,0(CM)1,1,1(2

ABM

)1,2,0(BM)1,2,1(2

CAM

)2,1,0(AM)2,1,1(2

CBM

C

B

A

⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=−−

=−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=−

=−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−−

=−

12z

12y

01x:m

12z

20y

01x:m

20z

12y

01x:m

C

B

A

Trobeu l’equació de la recta que passa pels punts )1,1,2(A − , )1,0,3(B i digueu si )2,0,1(C pertany a la recta AB. RAONAMENT

Equació de la recta ⇒⎩⎨⎧

−=

−

)2,1,1(AB

)1,1,2(A:rAB

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−−

=−

21z

11y

12x

⇒==−⇔+

=−−

=−

⇔∈2311

212

110

121rC AB ABrC∉ NO

Trobeu l’equació del pla que passa pel punt )1,2,1(A i conté als vectors

)0,1.1(v −= i ).1,3,0(w = RAONAMENT

1.3

1.2

1.1


1.vector director del pla, )3,1,1()3,1,1(130011kji

wv −≈−−=−=∧

2.equació del pla, ⇒⎩⎨⎧

=+−+=+−+0?321

0?z3yx:π { }0z3yx =−+

Trobeu l’equació del pla que passa pels punts: )0,2,0(B),0,0,1(A i

)3,0,0(C . RAONAMENT P( x , y , z ) AP = ( x- 1 , y , z ) AB = ( -1 , 2 , 0 ) AC = ( -1 , 0 , 3 )

0301021

1=

−−− zyx

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1 6 x + 3 y + 2 z – 6 = 0

RAONAMENT

⇒=−−

−−−⇒=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

−−−=

0301021

0z0y1x0

AC

AB

AP

)3,0,1(AC

)0,2,1(AB

)0z,0y,1x(AP

⇒=−+−+−⇒ 0)0z(2)0y(3)1x(6 06z2y3x6 =−++

Donats )6,0,0('C),0,2,0('B),0,0,4('A),3,0,0(C),0,1,0(B),0,0,2(A −−− esbrineu si els plans ABC i A’B’C’ són paral·lels. RAONAMENT -vector director del pla ABC,

1.5

1.4


)2,6,3(302012kji

v)3,0,2(AC

)0,1,2(AB−−=

−−−=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−−=

-vector director del pla A’B’C’,

v4)2,6,3·(4)8,24,12(604

024kji

w)6,0,4('C'A

)0,2,4('B'A=−−=−−=

−=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

-els plans són paral·lels

Esbrineu si els punts )0,0,0(E),1,1,2(D),3,0,1(C),1,1,0(B),1,1,1(A −− pertanyen al mateix pla. RAONAMENT -analitzem el rang de la matriu formada pels vectors,

3rangM

0220112110

111

03113301110

111

112301110

111

EDECEBEA

M =⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−=−−

≠=−+=−

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

-els punts ABCDE no pertanyen a un mateix pla ja què 23rangM ≠=

1.7

1.6


Trobeu l’equació del pla que conté a la recta { }t2z,t2y,tx:r +=−== i passa pel punt ).1,0,1(A − RAONAMENT

1.-feix de plans que contenen a r: ⎩⎨⎧

=+−=−+

⇔⎩⎨⎧

+=−=

02zx02yx

x2zx2y

,

⇒=+−+−+ 0)2zx()2yx( λ 0)22(zyx)1( =−+−++ λλλ 2.-.el que passa per A,

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−−+⇒

⎩⎨⎧

=−++++=−+−++

41

046z

41yx

45

0)22(o1)·1(0)22(zyx)1(

λλλλλλλ

06zy4x5 =−−+

Equació del pla que passa pel punt )1,4,2(A i conté a la recta d’equació,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

−1z

22y

11x:r

RAONAMENT 1.-feix de plans que contenen a la recta r,

r: ⎩⎨⎧

=−−=−

0102

zxyx

⇒ 0)1zx(t)yx2( =−−+− ⇒ 0ttzyx)2t( =−−−+

2.-per passar pel punt A,

identitat0ttzyx)2t(

0tt4)2t(20ttzyx)2t( =−−−+⇒

⎩⎨⎧

=−−−+=−−−+

⇒ el punt A pertany a

la recta aleshores la solució és tot el feix de plans 0ttzyx)2t( =−−−+

1.9

1.8


Relació entre a,b i c de manera que els punts, ),1,2,0(B),1,1,1(A − )c,b,a(D),0,1,2(C determinin un únic pla.

RAONAMENT 1.- els vectors ,AD,AC,AB són linealment dependents aleshores el determinant format pels tres vectors és zero,

01c1b1a

101211

ADACAB

=−−−−−−

= ⇒ 0)1c()1b(3)1a( =−−−−−− ⇒

05cb3a =+−−− ⇒ 05cb3a =−++

Equació del pla que passa pel punt )1,1,0(A i conté a la recta d’equació,

{ }4t2z,3ty,t1x:r +=+=−= . RAONAMENT 1.-feix de plans que contenen a la recta r,

r: ⎩⎨⎧

=−−=−+

02zy204yx

⇒ 0)2zy2(t)4yx( =−−+−+ ⇒

0)t24(tzy)1t2(x =+−−++ 2.-per passar pel punt A,

3t0ttzyx)2t(

0)t24(t)1t2(00)t24(tzy)1t2(x

−==−−−+

⇒⎩⎨⎧

=+−−++=+−−++

⇒

02z3y5x( =++−

1.10


2. PARAL·LELISME, INCIDÈNCIA I PERPENDICULARITAT

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2,0(A i és paral·lela a

l’eix OY, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ==

0z

1y

0x .

RAONAMENT

1.feix de rectes paral·leles a l’eix OY, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−

0?z

1?y

0?x

2.-per passar pel punt A, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−

01z

12y

00x

Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )0,1,0(A i és paral·lela als plans : { }02zyx2:1 =−++π i { }2zyx:2 =++π . RAONAMENT

1.-vector director de la recta, )1,1,0(111112kji

v −==

2.-feix de plans de vector director v , { }0?zy0 =++− ,

3.-per passar pel punt A, ⇒=

=++−⇒

⎩⎨⎧

=++−=++−

1?01zy

0?010?zy

01zy =−−

Equació del pla que compleix: a) passa pel punt )0,0,3(A i és paral·lel al

2.3

2.2

2.1


pla YZ, b) conté a la recta ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=1

1z1

1y2x:r i al punt )0,1,2(P .

RAONAMENT a) feix de plans paral·lels al pla YZ, { }?x =⇒ per passar per A 3x =

b) 1.- recta⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=1

1z1

1y2x

⎩⎨⎧

=−−=+−

⇔02z2x02y2x

, el feix de plans que

passen per la recta és, 0)2z2x(t)2y2x( =−−++− menys el pla 02z2x =−− , el que passa per P compleix,

impossible02z2x

0)0(t20)2z2x(t)2y2x( =−−⇒

⎩⎨⎧

=+=−−++−

⇒ 02z2x =−−

Equació del pla que compleix: a) que conté a les rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

−=

−2

1z2

y4

x:s,1

z1

2y2

1x:r b) que conté a la recta

r:⎩⎨⎧

=+−=+

1z3yx20yx

i és paral·lel al pla { }1zyx: =+−π .

RAONAMENT a)

recta r:⎩⎨⎧

−= )1,1,2(v

)0,2,1(A recta s:

⎩⎨⎧

−−=

−

)2,2,4(w

)1,0,0(B )1,2,1(AB −−−=

⇒=++=−−

−−−−

= 0000224112121

w

v

AB

formen pla

Vector director del pla )0,0,0(224112

kjiwv =

−−−=∧ això indica que

2.4


les rectes r i s són paral·leles i el vector director del pla és,

)1,1,1()3,3,3(121112

kjiABv −≈−−=

−−−−=∧

Equació del pla que passa per A, ⇒⎩⎨⎧

=++−=++−

0?0210?zyx

01zyx =++−

b) feix de plans que passen per r, 0)1z3yx2(tyx =−+−++ ⇒ vector director: )t3,t1,1t2(v −+= que és paral·lel al )1,1,1(w −= ⇒

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇒

⎩⎨⎧

=−=+

⇒=−−

=+

21t

1t

t31tt31t2

1t3

1t1

11t2 impossible

Trobeu l’equació de la recta paral·lela a la recta t:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ==

−1z

2y

11x que

toca a les rectes: r {que passa per )1,3,1(iB)1,1,1(A − } i s:{ determinada per els plans 3x+4y–z+1=0 i x–y=0}. RAONAMENT

1-punt P genèric de r, )t21,t21,1(PABtAP

)2,2,0(AB−+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=

2-punt genèric Q de s, )1k7,k,k(Q1y4x3z

xy+⇒

⎩⎨⎧

++==

3-el vector )t2k7,1t2k,1k(PQ +−−−= és paral·lel al vector director

de t, )1.2.1(v = això implica, 1

t2k72

1t2k1

1k +=

−−=

− ⇒

2.5


⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=⇒

⎩⎨⎧

−−=−+=−

107t

104k

1t2k2k2t2k71k

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−

−

)59,

52,

52(Q

)52,

512,1(P

⇒

4-recta ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−

)1,2,1(v

)52,

512,1(P

⇒ ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +=

−=

−1

52z

25

12y

11x

Donada la recta r:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

==−

12zy

11x i el pla { }0zyx: =++π determina:

a) punt de tall entre la recta i el pla, b) els punts de la recta r que disten 3 unitats del pla π .

RAONAMENT

a) punt de tall P⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−==−

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−=

=++

1xz1xy02x

2zy1xy

0zyx ⇒ )3,1,2(P −

b)1.- punt Q genèric de r

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−==

+=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

==−

2tzty

1tx

12zy

11x ⇒ )2t,t,1t(Q −−+

2.- condició de distància

⇒⎩⎨⎧

−=−==+=

⇒−

=±⇒++

=±231t

431t31t3

3zyx3

⎩⎨⎧

−−−

)0,2,1(P)6,4,5(P

2

1

2.6


Donada la recta r:{ }01zyx;01zx =−−+=+− i el punt )1,1,0(P trobeu: a) pla π que passa per P i és perpendicular a r, b) distància d del punt P a la recta r. RAONAMENT a)

1.-vector director de la recta r i del pla π , )1,0,1(111101

kjiv =

−−=

2.-equació del pla ⎩⎨⎧

=++=++

⇒⎩⎨⎧ =++

0?100?zx

)1,1,0(P0?zx

⇒ { }01zx: =−+π

b)

1.-punt Q de tall entre la recta r i el pla π , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−−+

=+−

1z2y0x

01zx01zyx

01zxQ

2. 1010PQd)1,2,0(Q)1,1,0(P

=++==⇒⎩⎨⎧ ⇒ d=1

Determineu l’equació k de la recta que passa pel punt )0,1,1(P − i és perpendicular a les rectes: r:{ }0z2yx;03yx =−+=−− i

{ }01zy;03zyx:s =−+=−+− . RAONAMENT

1.-vector director de r, )1,1,1()2,2,2(211

011kji

w1 ≈=−

−=

2.8

2.7


2.- vector director de s, )1,1,2()1,1,2(110111kji

w2 −≈−−=−=

3.-vector director de k, )1,3,2()1,3,2(112

111kji

ww 21 −≈−−=−

=∧

4.-equació de la recta k, 1

0z31y

21x −

=−+

=−

Donats els plans { }4zy2x:1 =−+π i { }3azy4x2:2 =++π , determineu el valor d’a per tal que: a) Els plans siguin paral·lels. b) Els plans siguin perpendiculars.

RAONAMENT -vectors directors dels plans, )1,2,1(v1 −= i )a,4,2(v2 =

a) vectors paral·lels implica, 1

a24

12

−== ⇒ 2a −=

b)vectors perpendiculars implica, 0a820v·v 21 =−+⇒= ⇒ 10a =

La recta r que té per vector director )1,3,2(v −= i passa pel punt

)2,5,1(P − determina amb els plans { }0zyx:1 =+−π i { }7zyx2:2 =−−π un segment AB, determina els extrems A i B.

RAONAMENT

2.10

2.9


1.-equació de la recta r, 1

2z3

5y21x −

=−

=−+ ⇒

⎩⎨⎧

=+=+3z2x

7y2x3

2.-determinació de A, ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=+

1z2y1x

0zyx3z2x7y2x3

⇒ )1,2,1(A

3.-determinació de B, ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+=+

0z1y

3x

7zyx23z2x7y2x3

⇒ )0,1,3(B −

Donat el pla π:{ }01z3y2x =−++ determineu el valor d’a i b per tal que

la recta r:⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=+−

=b21z

1a1y

2x sigui perpendicular al pla π.

RAONAMENT 1-el vector director de la recta )b2,1a,2(v += i el vector director del pla

)3,2,1(w = són paral·lels això implica, 3b2

21a

12

=+

= ⇒ ⎩⎨⎧

==

3a3b

Equació del pla 1π paral·lel al pla { }01zy3x2:2 =+−+π que passa pel punt )1,0,1(A − . RAONAMENT 1.feix de plans paral·lels a 2π , 0?zy3x2 =+−+ 2.per passar per A,

⎩⎨⎧

−==+−+

⇒⎩⎨⎧

=+++=+−+

3?0?zy3x2

0?1020?zy3x2

⇒ 03zy3x2 =−−+

2.12

2.11


Trobeu l’equació del pla determinat per les rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=+

=1

2z2

1y1x:r i

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−−

=−

23z

16y

12x:s .

RAONAMENT

-dades de les rectes r:⎩⎨⎧

=

−

)1,2,1(v

)2,1,0(A

1

i s:⎩⎨⎧

−= )2,1,1(v

)3,6,2(B

2

⇒ )1,7,2(AB =

1.-posició relativa de r i s,

2211121

rang =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⇒ les rectes es tallen o es creuen

0)3(1)1(7)5(2211121172

=−+−=−

⇒ 2vvAB

rang

2

1 =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒ les

rectes són incidents i formen un pla.

2.- vector director del pla )3,1,5(211121kji

vvw 21 −−=−

=∧=

3.-equació del pla,

⇒⎩⎨⎧

=+−+=+−−

⇒⎩⎨⎧

−=+−−

0?6100?z3yx5

)2,1,0(A0?z3yx5

05z3yx5 =+−−

Equació de la recta que passa pel punt )2,1,1(A − i és paral·lela a la recta

2.14

2.13


intersecció entre els plans: { }03z2yx:1 =+−+π i { }01zyx2:2 =++−π RAONAMENT

1.-vector director de la recta )3,5,1()3,5,1(112211

kjiv ≈−−−=

−−=

2.-equació de la recta ⎩⎨⎧

−=

)2,1,1(A)3,5,1(v1 ⇒

32z

51y

11x −

=−

=+

Equació del pla que passa per l’origen de coordenades i és paral·lel a les

rectes: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−

11z

33y

21x:r i

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

−=

1z

21y

0x:s .

RAONAMENT

1,-dades de les rectes r:⎩⎨⎧

= )1,3,2(v

)1,3,1(A

1

i s:⎩⎨⎧

−= )1,2,0(v

)0,1,0(B

2

2.-vector director del pla )4,2,5()4,2,5(120

132kji

w −−≈−=−

=


⎩⎨⎧

==+−−

⇒⎩⎨⎧ =+−−

0?0?z4y2x5

)0,0,0(O0?z4y2x5

⇒ 0z4y2x5 =−−

Equació del pla que passa pel punt )0,1,1(A i és paral·lel a les rectes

{ }2zyx;0zyx2:r =−+=+− i { }1zyx;3zy:s =−−=+ .

2.16

2.15


RAONAMENT 1,-vectors de les rectes

)3,3,0(111

112kji

vr =−

−=

2.-vector director del pla )4,2,5()4,2,5(120

132kji

w −−≈−=−

=


⎩⎨⎧

==+−−

⇒⎩⎨⎧ =+−−

0?0?z4y2x5

)0,0,0(O0?z4y2x5

⇒ 0z4y2x5 =−−

Donats els punts )1,1,1(D),1,2,1(C),1,1,0(B),1,1,1(A −− , trobeu l’equació del pla que conté a la recta AB i és paral·lel a la recta CD. RAONAMENT 1.-equació de la recta AB,

⎩⎨⎧

=−+=−

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=−−

⇒⎩⎨⎧

−=

−

01zx201y

21z

01y

11x

)2,0,1(AB

)1,1,1(A

2.-feix de plans que contenen a la recta AB, 0)1y(t1zx2 =−+−+ 3.-vector director del pla, )1,t,2(w = i vector )0,1,2(CD −= 4.-condició de perpendicularitat del dos vectors,

4t00t40w·CD =⇒=+−⇒=

5.-equació del pla, ⎩⎨⎧=

=−+−+4t

0)1y(t1zx2 ⇒ 05zy4x2 =−++

2.17


Determineu el valor dels paràmetres m i n de manera que els plans

{ }01z4myx2:1 =+−+π i { }03nzy9x3:2 =−++π siguin paral·lels. RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )4,m,2(v1 −= i )n,9,3(v2 =

2.-paral·lelisme dels vectors, 4

nm9

23

−== ⇒

⎩⎨⎧

−==

6n6m

Determineu el valor d’m per tal que els plans { }03zmyx3:1 =+−+π i

{ }01mzyx2:2 =−+−π siguin perpendiculars. RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,m,3(v1 −= i )m,1,2(v2 −= 2.-perpendicularitat dels vectors, 0mm60v·v 21 =−−⇒= ⇒ 3m =

Trobeu l’equació del pla en cada apartat que compleix: a) passa pel punt

)3,0,2(A i és paral·lel al `pla { })0,1,1(s)1,1,2(t)3,1,0()z,y,x(:1 −++=π b)passa pels punts ),1,2,0(D),4,1,3(C),0,1,1(B − c)passa pel punt

)2,1,2(P i és paral·lel al pla: { }03zy3x2:2 =+−−π , d) passa pels punts

)1,0,2(F),1,1,1(E − i és paral·lel a la recta ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=−

31z

12y

21x:r .

RAONAMENT a) equació vectorial del pla { })0,1,1(s)1,1,2(t)3,0,2()z,y,x( −++= b) equació implícita del pla,

2.20

2.19

2.18


0111

402z1y1x

)1,1,1(BD

)4,0,2(BC

)z,1y,1x(BP

=−−

−−⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

=

−−=

⇒

0z2)1y(2)1x(4 =+−−−− ⇒ 03zyx2 =−−+

c) equació del pla ⇒⎩⎨⎧

=+−−=+−−

⇒⎩⎨⎧ =+−−

0?2340?zy3x2

)2,1,2(P0?zy3x2

01zy3x2 =+−−

d) vectors continguts en el pla,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=

=

−−=

)1z,1y,1x(EP

)3,1,2(v

)2,1,1(EF

equació del pla

0)1z(3)1y(7)1x(10211

3121z1y1x

=−−−+−⇒=−−

−−− ⇒

05z3y7x =−−+

Equació de la recta r que passa pel punt )2,0,2(A i és paral·lela a la recta s, intersecció entre els plans: { }0zyx:1 =−+π i { }1zy2x2:2 =−+π . RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,1,1(w1 −= i )1,2,2(w2 −=

2.-vector director de la recta, )0,1,1(122111

kjiv −=

−−=

3.-equació de la recta r, ⎩⎨⎧

−= )0,1,1(v

)2,0,2(A ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−

02z

1y

12x

2.21


Equació del pla 1π que passa pel punt )1,1,2(A i és paral·lel al pla 2π determinat per la següent condició:{(passa pel punt )1,0,1(B i conté a la recta r, que passant pel punt )2,2,2(C té per vector director )3,1,1(v −= }. RAONAMENT

1.-vectors continguts en el pla 1π ,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

−−−=

)3,1,1(v

)1,2,1(BC

)1z,1y,2x(AP

2.-equació del pla 1π ,

0311121

1z1y2x=

−

−−− ⇒ 0)1z(3)1y(2)2x(7 =−−−−−

⇒ 09z3y2x7 =−−−

Equació del pla 1π que passa pel punt )2,0,1(P − i és paral·lel a les rectes

{ }t2z,ty,t31x:r −−==+= i { }.1z2yx2,03yx:s =+−=−+ RAONAMENT 1.-vector director de r, )1,1,3()1,1,3(tv1 −≈−=

2.-vector director de s, )3,2,2(212011kji

v2 −−=−

=

2.23

2.22


3.-vector director de 1π , )8,7,5()8,7,5(322113

kjiw −≈−−=

−−−=

4.-equació del pla 1π , ⎩⎨⎧

=++−−=++−0?16050?z8y7x5

⇒ 011z8y7x5 =−+−

Trobeu el punt d’intersecció entre la recta { }t31z,t1y,t2x:r +=+−== i el pla { }.02zyx: =++−π RAONAMENT 1.- el punt genèric de la recta )t31,1t,t2(P +− compleix l’equació del pla aleshores,

02)t31()1t()t2( =+++−− ⇒ 1t −= ⇒ )2,2,2(P −−−

Donats els punts )1,0,1(A − i )3,2,a(B determineu el valor d’a per tal que el pla { }3zyx2: =+−π sigui paral·lel a la recta AB. RAONAMENT 1.-vector director de la recta r, )4,2,1a(AB −= 2.-vector director del pla )1,1,2(w −= 3.-perpendicularitat dels vectors, 0w·AB = ⇒ 042)1a(2 =+−− ⇒ 0a =

2.25

2.24


Donat el punt )1,1,3(A − i la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

==−

31z

2y

11x:r determineu el

punt B que pertany a r, per tal que la recta AB sigui paral·lela al pla { }4zy2x3: =+−π .

RAONAMENT 1.-punt P genèric de la recta r, )t31,t2,t1(P +−+ 2.-vector del pla )1,2,3(w −= i vector )t3,1t2,2t(AP −−= 3.-si P=B els vectors anteriors són perpendiculars aleshores

0w·AP = ⇒ 0)t3(1)1t2(2)2t(3 =+−−− ⇒ t=2 ⇒ )5,4,3(BP =

Trobeu l’equació del pla 1π que passant pels punts )1,3,1(A − i )2,2,4(B − és perpendicular al pla { }.03zyx:2 =+−+π RAONAMENT 1.-vector director del pla 2π , )1,1,1(v −=

2.-vectors continguts en el pla 1π ,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−−=

+−−=

)1,1,1(v

)1,1,3(AB

)1z,3y,1x(AP

3.-equació del pla 1π ,

01111131z3y1x=

−−−+−−

⇒ 0)1z(4)3y(2)1x(2 =++−+−

⇒ 04z4y2x2 =−++ ⇒ 02z2yx =−++

2.27

2.26


Trobeu l’equació del pla π que passant pel punt )1,1,1(P és perpendicular als plans { }03zyx:1 =++−π i { }1z2x:2 =+π . RAONAMENT

1.-vector director de π , )1,1,2()1,1,2(201111kji

vvv 21 −≈−−=−=∧=

2.-equació del pla π , ⎩⎨⎧

=+−+=+−+

⇒⎩⎨⎧ =+−+

0?1120?zyx2

)1,1,1(P0?zyx2

⇒

⎩⎨⎧

−==+−+

2?0?zyx2

⇒ 02zyx2 =−−+

Trobeu l’equació del pla π que passant pel punt )2,1,1(A és perpendicular al pla { }3z2yx:1 =−+π i paral·lel a la recta { }1x,0zy2x:r ==+− . RAONAMENT

1.-vector director de la recta r , )2,1,0(001121kji

v =−=

2.-vector director del pla π , )1,2,4()1,2,4(211

210kji

w −≈−−=−

=

3.-equació del pla π ,

⎩⎨⎧

−==++−

⇒⎩⎨⎧

=++−=++−

⇒⎩⎨⎧ =++−

4?0?zy2x4

0?2240?zy2x4

)2,1,1(A0?zy2x4

⇒

⇒ 04zy2x4 =−+−

2.29

2.28


Trobeu l’equació del pla π que passant pel punt )2,1,0(A − té per vector director ).1,1,1(w −= RAONAMENT 1.-equació del pla π ,

⎩⎨⎧

==++−

⇒⎩⎨⎧

=+−−=++−

⇒⎩⎨⎧

−=++−

3?0?zyx

0?2100?zyx

)2,1,0(A0?zyx

⇒

⇒ 03zyx =++−

Trobeu l’equació de la recta r que passant pel punt )2,3,1(A − és perpendicular al pla { }.3zyx: =−+π RAONAMENT 1.-vector director de la recta i del pla, )1,1,1(v −=

2.-equació de la recta r, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

=−

=−

12z

13y

11x

Trobeu l’equació implícita de la recta r projecció de la recta

{ })2,0,1(t)1,1,0()z,y,x(:s +−= sobre el pla { }.0zy2x: =+−π RAONAMENT

1.-equació implícita de s, ⎩⎨⎧

=−−=−

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

==01zx2

01y2

1z0

1y1xt

2.32

2.31

2.30


2.-feix de plans que passen per s, { }0)1y(1zx2 =−+−− λ 3.-condició de perpendicularitat dels dos plans,

2101220)1,,2(·)1,2,1( =⇒=−−⇒=−− λλλ

4.-equació de la recta r,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−+

=+−

023zy

21x2

0zy2x ⇒ { }03z2yx4,0zy2x =−−+=+−

Si )0,1,1(A − i )0,1,0(B trobeu l’equació del pla que passa per A i és perpendicular al segment AB. RAONAMENT 1.-vector director del pla )0,2,1()0,2,1(AB −≈−= 2.-equació del pla,

⎩⎨⎧

−==+−

⇒⎩⎨⎧

=++=+−

⇒⎩⎨⎧

−=+−

3?0?y2x

0?210?y2x

)0,1,1(A0?y2x

⇒ 03y2x =−−

Equació de la recta s que passat pel punt )1,2,3(A és perpendicular i

secant a la recta .1

z11y

11x:r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

−−

=−

RAONAMENT

1.-punt P genèric de )t,t1,t1(Pt1

z11y

11x:r −−+⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

−−

=−

2.-vector director de la recta s, )1t,1t,2t(AP −−−−−= 3.-perpendicularitat dels vectors )1,1,1(v −−= i )1t,1t,2t(AP −−−−−= ,

2.34

2.33


0t0t301t1t2t0AP·v =⇒=⇒=++++−⇒= ⇒ )0,1,1()0(PB == 4.-equació de la recta s,

⎩⎨⎧

≈−−−= )1,1,2()1,1,2(AB

)1,2,3(A ⇒

11z

12y

23x −

=−

=−

Equació del pla 1π que conté a la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

==−

12z

1y

21x:r i és

perpendicular al pla { }.02yx2:2 =+−π RAONAMENT 1.-equació implícita de r, { }02zy,01y2x =−+=−− 2.-feix de plans que passen per r,

0)t21(tzy)2t(x0)2zy(t1y2x =−−++−+⇔=−++−− 3.-condició de perpendicularitat entre els dos plans,

4t002t20)t,2t,1(·)0,1,2( =⇒=++−⇒=−− 4.-equació del pla 1π , 09z4y2x =−++

Equació de la recta r paral·lela a la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

1z

2y

1x:k secant a les

rectes AB i s, on : )3,5,1(B),1,1,1(A i { }3yx3,1zx:s =−=+ . RAONAMENT 1.-punt genèric P de la recta AB, )t21,t41,1(AB·tAP ++=+=

2.-punt genèric Q de la recta s, ⎩⎨⎧

−=−=x1z

3x3y ⇒ )k1,3k3,k(Q −−

2.36

2.35


3.-el vector director de la recta k, )1,2,1(v −= i el vector PQ són paral·lels aleshores,

1t2k

24t4k3

11k

)t2k,4t4k3,1k(PQ

)1,2,1(v−−−

=−−

=−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−−−=

−=

⎩⎨⎧

−−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=⇒

⎩⎨⎧

=−−−=

⇒)1,3,0(Q)0,1,1(P

0k21t

02t4k1t2

4.-equació de la recta PQ, ⎩⎨⎧

−=

−

)1,2,1(v

)0,1,1(P ⇒

1z

21y

11x

−=

+=

−

Equació de la recta r perpendicular al pla { }01zy2x: =+−+π que passa pel punt ).0,1,0(P RAONAMENT 1.-vector director de la recta )1,2,1(v −=

2.-equació de la recta r, ⎩⎨⎧ −=

)0,1,0(P)1,2,1(v ⇒

10z

21y

10x

−−

=−

=−

Trobeu la recta t perpendicular i secant a les rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

−=

−1

z0

1y1

1x:r i { }.01z,0x:s =+=

RAONAMENT

1.-punt genèric P de ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

−=

− t1

z0

1y1

1x:r )t1,1,t1(P −+=

2.38

2.37


2.-punt genèric Q de la recta s, ⎩⎨⎧

−==

1z0x

⇒ )1,k,0(Q −

3.-vectors directors de les rectes

)1,0,1(vr −= )0,1,0(100001kji

vs −== )2t,1k,1t(PQ −−−−=

4.-el vectors directors de les rectes r i s són perpendiculars al vector PQ aleshores,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎩⎨⎧

=−=+−−−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

1k21t

01k02t1t

0v·PQ

0v·PQ

s

r ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

− )1,1,0(Q

)21,1,

23(P

5.-recta PQ, ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

≈−−=

−

)1,0,1()23,0,

23(PQ

)1,1,0(Q

11z

01y

1x +

=−

=

a)equació del pla perpendicular a la recta { }0z,t2y,1tx:r =−=+= que passa pel punt )2,1,0(A b) estudieu la posició de r, respecte de l’eix OZ. RAONAMENT a) 1.-vector direccional de la recta r i del pla, )0,1,1(v −= 2.-equació del pla,

⎩⎨⎧

==+−

⇒⎩⎨⎧

=+−=+−

⇒⎩⎨⎧ =+−

1?0?yx

0?100?yx

)2,1,0(A0?yx

⇒ 01yx =+−

b)

recta r,⎩⎨⎧

−= )0,1,1(v

)0,2,1(P eix OZ,

⎩⎨⎧

=⇒

⎩⎨⎧

==

)1,0,0(w

)0,0,0(Q0y0x

)0,2,1(QP =

2.39


3100011021

rangwv

QPrang03

100011021

wv

QP=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒≠−=−=

les rectes es creuen

Equació del pla que passa pel punt )1,1,1(A i és paral·lel als vectors

)1,0,1(u i ).1,1,2(v −= RAONAMENT 1.-vector genèric del pla )1z,1y,1x(AP −−−= 2.-equació del pla,

0)1z(1)1y(3)1x(10112

1011z1y1x

=−+−+−−⇒=−

−−− ⇒

03zy3x =+−−

Equació del pla 1π paral·lel al pla { }0z3y2x:2 =−+π que passa pel punt ).0,2,1(A − RAONAMENT 1.-equació del pla 1π ,

⎩⎨⎧

−==+−+

⇒⎩⎨⎧

=+++−=+−+

⇒⎩⎨⎧

−=+−+

3?0?z3y2x

0?0410?z3y2x

)0,2,1(A0?z3y2x

⇒ 03z3y2x =−−+

2.41

2.40


Donats els punts )3,2,1(A i )1,m,3(B trobeu el valor d’m per tal que la recta AB sigui: a) paral·lela al pla { }01zyx: =+−+π , b) perpendicular al pla { }01zyx: =+−+π . RAONAMENT - vector director del pla, )1,1,1(w −= i vector )2,2m,2(AB −−= a) condició de perpendicularitat dels vectors,

022m20AB·w =+−+⇒= ⇒ 2m −= b) condició de paral·lelisme dels vectors,

12

12m

12

−−

=−

= ⇒ ⎩⎨⎧

=−=−

4m22

sistema compatible 4m =

Donada la recta { }1z3yx,01yx2:r −=−+=+− a) trobeu el valor de t per tal que el pla : { }kzy2tx: =++π sigui paral·lel a r, b) trobeu el valor de k per tal que la recta r quedi continguda en el pla .π RAONAMENT

-vector director de r, )1,2,1()3,6,3(311

012kji

v ≈=−

−=

-vector director del pla, )1,2,t(w = a) els vectors són perpendiculars, 014t0w·v =++⇒= ⇒ 5t −=

b) discussió del sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−+

−=−

kzy2tx1z3yx

1yx2

2.43

2.42


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

k12t13111012

A12t311

012A la recta està continguda

en el pla si 2ArangrangA == això implica,

5t0312t3012t311

012A −=⇔=++⇔=−

−= i també,

0k3260k12131101

=+−−⇔=−−−−

⇒ 38k =

Donats els punts )1,5,0(C),3,2,1(B),1,1,1(A −− trobeu l’equació de la recta que passa per C i és paral·lela a la recta que passa per A i B. RAONAMENT 1. vector director de la recta )4,1,0(AB =

2.-equació de la recta, ⎩⎨⎧

=

−

)4,1,0(AB

)1,5,0(C ⇒

41z

15y

0x +

=−

=

Equació de la recta que passa pel punt )2,1,0(P i toca a les rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=2

1z1

3y2x:r i { }2z3yx,0zyx2:s =+−=−+ .

RAONAMENT 1.-pla 1π que passa per P i conté a la recta r,

2.45

2.44


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=2

1z1

3y2x:r

⎩⎨⎧

=+−=+−

⇔01zx

06y2x

Feix de plans que passen per r, 0)1zx(t6y2x =+−++− Equació del pla 1π ,

{ }⎩⎨⎧=

=+−−⇒

⎩⎨⎧

=++−−=++−−+

4t010z4y2x5:

0t6t2200)t6(tzy2x)t1( 1π

2.- pla 2π que passa per P i conté a la recta s, { }02z3yx,0zyx2:s =−+−=−+

Feix de plans que passen per s, { }0)2z3yx(tzyx2 =−+−+−+ Equació del pla 2π ,

{ }

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=+−+⇒

⎩⎨⎧

=−+−+=−+−++

31t

02z3y4x5:

0t2t6t100t2tz3y)t1(x)t2( 2π

3.-la recta és la intersecció dels plans 1π i 2π , { }02z3y4x5,010z4y2x5 =+−+=+−−

Equació de la recta r que passa pel punt )1,0,1(A i és paral·lela al pla

{ }0zyx2:1 =−+π i toca a la recta: { }.2zy2,1zyx:s =−=−+ RAONAMENT 1.-punt genèric de la recta { } )2t2,t,1t(P.2zy2,1zyx:s −−⇒=−=−+2.-el vector )3t2,t,2t(AP −−= és perpendicular a )1,1,2(w −= aleshores ⇒ 03t2t4t2 =+−+− ⇒ t=1 ⇒ )0,1,0(P 3.- equació de la recta AP=r,

⎩⎨⎧

−≈−−= )1,1,1()1,1,1(AP

)1,0,1(A ⇒

11z

1y

11x −

=−

=−

2.46


Donats els plans { }0zy2x:1 =−+π i { }03yx:2 =−+π trobeu l’equació de la recta r que passa per )1,0,1(P − i és paral·lela als dos plans. RAONAMENT

1.-vector director de la recta r, )1,1,1(011121

kjiv −−=−=

2.-equació de la recta r, 11z

1y

11x

−+

=−

=−

Trobeu els valors d’a i b per tal que els plans { }01zayx2:1 =−++π i

{ }0z2y6bx:2 =+−π siguin paral·lels. RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,a,2(v1 = i )2,6,b(v2 −=

2.-condició de paral·lelisme dels vectors, 12

a6

2b

=−

= ⇒ ⎩⎨⎧

=−=4b

3a

Equació de la recta q paral·lela a la recta { }0zx4,0yx2:r =−=+ que és

secant amb les rectes { }0zyx2,2yx:s =−−=+ i ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

==−

11z

2y

11x:t .

RAONAMENT

2.49

2.48

2.47


1.- vector director de la recta r, )4,2,1()4,2,1(104

012kji

v −≈−−=−

=

2.- punt P genèric de la recta { }0zyx2,2yx:s =−−=+⎩⎨⎧

−=−=

⇒2x3z

x2y

⇒ )2a3,a2,a(P −−

3.- punt Q genèric de la recta ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−==

− b1

1z2y

11x:t ⇒

⇒ )1b,b2,1b(Q ++ 4.- condició de paral·lelisme entre )3a3b,2b2a,1ab(PQ +−−++− i v ,

433

222

11

−+−

=−+

=−−+ ababab ⇒

⎩⎨⎧

==

1b4a

⇒ ⎩⎨⎧ −

)2,2,2(Q)10,2,4(P

5.- equació de la recta q, 42

22

12

−−

=−

=−− zyx

Trobeu el valor d’a per tal que les dues rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

1z

21y

3x:r i

{ }t23z,t2y,at1x:s −=+=−= siguin perpendiculars. RAONAMENT 1.- vectors directors de les dues rectes, )1,2,3(vr = )2,1,a(vs −−= .2- condició de perpendicularitat, ⇒=−+−⇒= 022a30v·v sr 0a =

Trobeu el valor d’a per tal que el plans { }01zayx:1 =−−+π i

2.51

2.50


{ }03zy2x:2 =−++−π siguin : a) paral·lels, b) perpendiculars.

RAONAMENT 1.- vectors directors dels dos plans, )1,a,1(w1 −= i )1,2,1(w2 −=

a) condició de paral·lelisme, ⎩⎨⎧

−==

⇒−

==−

2a11

11

a2

11 ⇒ 2a −=

b) condició de perpendicularitat, 01a210w·w 21 =−+−⇒= ⇒ 1a =

Trobeu el valor d’a per tal que la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=+

=−

41z

a1y

21x:r i el pla

{ }1bzy3x: =++π siguin perpendiculars. RAONAMENT 1.- vectors directors de la recta i el pla, )4,a,2(vr = i )b,3,1(w =

2.- condició de perpendicularitat, ⎩⎨⎧

==

⇒==4b2

6a4b

a3

21 ⇒

⎩⎨⎧

==

2b6a

2.52


3. ANGLES I DISTÀNCIES

Trobeu l’equació del pla que talla als tres eixos de coordenades a una distància 2 unitats de l’origen. RAONAMENT 1.- passa pels punts )2,0,0(C),0,2,0(B),0,0,2(A i té per vector director

)1,1,1(v = . 2.- equació del pla

⎩⎨⎧

−==+++

⇒⎩⎨⎧ =+++

2?0?zyx

)0,0,2(A0?zyx

⇒ 02xyx =−++

Les rectes { }0zyx,01yx:r =+−=+− i { }01zx,09y2x:s =++=+− es creuen, trobeu: a) la recta t perpendicular i secant a les dues rectes, b) la distància entre les dues rectes. RAONAMENT 1.- vectors directors de les rectes r i s,

)0,1,1(111011kji

vr −−=−−= )2,1,2(

101021kji

vs −−=−=

2.- punt genèric P de r, { }0zyx,01yx:r =+−=+− ⇒ )1,1a,a(P +

3.- punt genèric Q de s, { }01zx,09y2x:s =++=+− ⇒ )b28,b,9b2(Q −−

4.- perpendicularitat del vector )b27,1ab,9ab2(PQ −−−−−= amb rv i sv ,

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

−=−−=−

⇒⎩⎨⎧

=−+++−++−=++−++−

4b1a

33b9a310b3a2

0b4141ab18a2b401ab9ab2

3.2

3.1


⇒ ⎩⎨⎧

− )0,4,1(Q)1,2,1(P

⇒ )1,2,2()1,2,2(PQ −≈−−=

a )equació de la recta PQ, 1

1z22y

21x −

=−−

=−

b)distància entre P i Q, 3144d =++=

Trobeu l’angle β que forma la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

==−

13z

2y

21x:r i el pla

{ }05y4x3: =++π . RAONAMENT 1.- vectors direccionals de la recta i del pla, )1,2,2(v = i )0,4,3(w =

2.- angle α entre els vectors, º93'01514

5·3086

cos =⇒=++

= αα

3.- angle entre recta i pla, αβ −= º90 ⇒ º07'89=β

Trobeu la distància entre el punt )1,2,1(A i el pla

{ }.03z2y2x: =+−+π RAONAMENT

1.- distància, d=4413241

+++−+

⇒ d=2

3.4

3.3


Trobeu la distància entre els plans: { }01z2yx2:1 =−−+π i

{ }04z4y2x4:2 =+−+π . RAONAMENT 1.- vectors directors dels dos plans, )2,1,2(v1 −= i )4,2,4(v2 −=

2.- posició relativa dels dos plans, 1424212

rang =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⇒ els plans

són paral·lels.

3.- punt P de 1π , )0,1,0(P0z0x

01z2yx2⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=−−+

4.- distància de P a 2π , 4144020

d+++−+

= ⇒ 2d =

Trobeu la distància entre la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−−

31z

11y

41x:r i el pla

{ }.s3t33z,t2y,s4t4x: −+=+−=+−=π RAONAMENT

1.- vector director del pla, )4,0,3()4,0,3(304

314kji

w ≈−−=−

−=

2.- vector director de la recta, )3,1,4(v −= 3.- posició relativa de recta i pla, 012012w·v =++−= ⇒ la recta és paral·lela al pla.

5.- equació del pla, 012z4x312?

0?z4x3)3,2,0(A

0?z4x3=−+⇒

⎩⎨⎧

−==++

⇒⎩⎨⎧

−=++

3.6

3.5


6.- distància entre recta i pla, 1691243

d012z4x3

r)1,1,1(P+−+

=⇒⎩⎨⎧

=−+∈

⇒ 1d =

Trobeu la distància entre les rectes r i s en els següents casos: a)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−−

=0

1z11y

2x:r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−+

01z

29y

41x:s

b) { }t31z,1y,t2x:r −−=−==

{ }1z,t7y,t23x:s =−=+= RAONAMENT a) 1.- els vectors direccionals de les dues rectes són proporcionals aleshores les rectes són paral·leles,

2.- punt genèric de la recta ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

−=

−+ t

01z

29y

41x:s

)1,t29,t41(Q +−− 3.- punt )1,1,0(P − de la recta r, vector )2,t28,t41(PQ +−−= perpendicular a s, ⇒ 020t2000)t28(2)t41(4 =+⇒=+++−−−

⇒ ⎩⎨⎧ −

⇒−=)1,7,3(Q)1,1,0(P

1t )2,6,3(PQ =

4.- distància entre les rectes, 4369PQ)PQ(d ++== ⇒ 7d = b) 1.- vectors direccionals de les rectes r i s, )3,0,2(vr −= i )0,1,2(vs −= les rectes es creuen,

2.- punts genèrics de les dues rectes, ⎩⎨⎧

−+−−−

)1,k7,k23(Q)t31,1,t2(P

⇒

)t32,k8,3t2k2(PQ +−+−= 3.- condició de perpendicularitat,

3.7


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

⇒⎩⎨⎧

=−=−

⇒⎩⎨⎧

=−−+−=+−+−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

4926k

498t

2t4k50t13k4

0)k8()3t2k2(20)t32(3)3t2k2(2

0v·PQ

0v·PQ

s

r

)4964,

49392,

49215(PQ =

49985.203)PQ(d =

Donada la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=1

3z1

2y2x:r i el pla { }5yx: =+π trobeu

l’angle que formen i el seu punt P d’intersecció. RAONAMENT a) 1.- vectors directors de recta i pla, )1,1,2(v = i )0,1,1(w =

angle entre els vectors, º6032

3cos011·114

w·vcos 11 ==

++++= −−α

2.- angle entre recta i pla, º30º90 −=β º30=β b) 1.- punt genèric de la recta r, )3t,2t,t2(P −+

2.- punt d’intersecció, ⎩⎨⎧=

−⇒

⎩⎨⎧

=+−+

1t)2,3,2(P

5yx)3t,2t,t2(P

⇒ )2,3,2(P −

Calculeu l’angle que formen els plans { }01z4y3x:1 =−+−π i

{ }03zy2x2:2 =−++π . RAONAMENT

3.9

3.8


1.- vectors direccionals dels plans, )4,3,1(w1 −= i )1,2,2(w2 =

2.- angle entre els dos vectors, 0cos9·26462

cos 11 −− =+−

=α ⇒ º90=α

Calcula la projecció ortogonal del punt )1,1,0(P −− sobre el pla

{ }9z2y3x: =++π . RAONAMENT

1.- recta r perpendicular al pla que passa per P, 2

1z3

1y1

0x +=

+=

−

2.- punt genèric de r, )t21,t31,t(Q +−+− 3.- punt A intersecció de recta i pla,

⎩⎨⎧==

⇒⎩⎨⎧

=−+−+−

⇒⎩⎨⎧

=+++−+−

1t)1,2,1(AQ

95t14)t21,t31,t(Q

9z2y3x)t21,t31,t(Q

)1,2,1(A

Donada la recta { })t22,t21,t()z,y,x(:r +−+= trobeu la distància del punt )1,0,0(A a la recta. RAONAMENT 1.- punt genèric de r, )t22,t21,t(P +−+ )t23,t21,t(AP +−+= 2.- el vector director de r, )2,2,1(v = és perpendicular al vector AP ,

)923,

913,

92(AP

92t0t44t42t −

=⇒=⇒=+−++⇒ ⇒ 378AP =

3.11

3.10


Donats els punts )2,1,1(iS)2,1,1(R),0,3,0(Q),0,1,0(P − es demana: a) comproveu que estan continguts en un mateix pla. b) comproveu que PQRS formen un paral·lelogram no rectangle. c) calculeu l’àrea de PQRS. RAONAMENT a) pla que passa per P Q R :

201020z1yx −

= 0 ⇒ 0z2x4 =− ⇒ { }0zx2: =−π

distància de S al pla π , 0522

d =−

= ⇒ PQRS són coplanaris

b) 1.- ),0,2,0(PQ = ),2,2,1(QR −= ),0,2,0(RS −= )2,2,1(SP −−= . 2.- PQ i RS paral·lels i QR i SP paral·lels

3.- º9064cos

9·4

QR·PQcos 11 ≠== −−α formen paral·lelogram

c) )2,0,4(221020kji

PSPQ −=−

=∧ àrea= 20PSPQ =∧

àrea PQRS = 52 2u

Trobeu la distància entre el punt )3,0,2(P i la recta r intersecció dels plans

{ }01zx:1 =−+π i { }3zy2x:2 =++π . RAONAMENT

3.13

3.12


1.- punt genèric de la recta r, )t1,1,t(Qy2x3z

x1zQ −⇒⎩⎨⎧

−−=−=

2.- vector director de la recta r, )2,0,2(121101kji

v −==

3.- el vector )t2,1,2t(PQ −−−= és perpendicular a )2,0,2(v −= això

implica, ⎩⎨⎧=

⇒⎩⎨⎧

=−−++−−

0t)1,1,0(Q

0t2404t2)t1,1,t(Q

4.- distància 3414PQd =++== ⇒ 3d =

Trobeu l’angle que forma el pla { }07z2yx3: =+−+π amb la recta

{ }.08zx,08y2x:r =++=−− RAONAMENT 1.- vectors directors de recta i pla,

)2,1,2(101021kji

v −−=−= i )2,1,3(w −=

2.- angle entre els vectors, º5'1114·3

416cos 1 =

−−−= −α

3.- angle entre recta i pla, º5'11º9090 −=−= αβ º5'88=β

Trobeu el punt simètric de )1,1,0(Q respecte del pla π que passa pels

3.15

3.14


punts: ).0,3,1(iC)1,2,0(B),1,1,2(A −− RAONAMENT 1.- equació del pla π , si P és punt genèric del pla,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=

−−=

−−−=

)1,4,1(AC

)2,1,2(AB

)1z,1y,2x(AP

, 0141212

1z1y2x=−

−−− ⇒ 01zx =−−

2.- recta r perpendicular al pla que passa per Q, 11z

01y

1x

−−

=−

=

3.- punt M intersecció de recta i pla )0,1,1(M1zx

1y1zx

M ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=−

4.- punt simètric Q’, )1,1,2()1,1,0()0,2,2(QM2'Q −=−=−= ⇒ )1,1,2('Q −

Donada la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=+

=−

24z

11y

01x:r i el punt )2,2,1(P trobeu el

punt P’ simètric de P respecte de la recta r. RAONAMENT 1.- punt genèric de la recta )4t2,1t,1(Q −− , )6t2,3t,0(PQ −−= vector director de la recta )2,1,0(v = 2.- condició de perpendicularitat entre )2,1,0(v = i )6t2,3t,0(PQ −−=

⇒=⇒=⇒=−+−+⇒ 3t15t5012t43t0 )2,2,1(Q 3.-punt simètric, )2,2,1()2,2,1()4,4,2(PQ2'P =−=−= )2,2,1(P'P == ⇒ el punt P pertany a la recta r,

3.16


Donats els plans paral·lels { }015z4x3:1 =−+π i { }010z4x3:2 =++π trobeu la distància entre ells. RAONAMENT

1.- triem un punt A de { }015z4x3:1 =−+π )0,0,5(A5x0z0y⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒

2.- distància del punt A al pla { }010z4x3:2 =++π ,

5525

1609100015

d ==+++++

= 5d =

Equació del pla que conté al l’eix OY i dista 4 u. del punt ).5,0,0(P RAONAMENT 1.- feix de plans que contenen a l’eix OY, { }00tzy0x1 =+++

2.- condició de distància, 2t1

t54+

±= ⇒ 22 t2516t16 =+ ⇒

34t ±= ⇒

⎩⎨⎧

=−=+

0z4x3:0z4x3:

2

1

ππ

Trobeu un punt de la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

+1

z1y

21x:r que té igual distància als

plans { }04z3x4:1 =++π i { }02zy2x2:2 =−++π . RAONAMENT

3.19

3.18

3.17


1.- punt genèric de la recta r, )t,t,1t2(P −−

2.- condició de distància, 3

2tt2)1t2(25

4)t(3)1t2(4 −−+−±=

+−+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒−±=⇒

−±=⇒

21t

2t)4t5(t3

34t5

5t5 ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−

)21,

21,0(P

)2,2,3(P

2

1

Equació del pla que passa per la recta { }01zx,1y:r =++= i dista 2 u. del punt ).1,1,1(P RAONAMENT 1.- feix de plans que passen per la recta { }01zx,1y:r =++= { }0)1zx(t)1y( =+++− ⇒ { }01ttzytx =−+++

2.- distància del punt al pla: d = 12

112 +

−+++t

ttt ⇒ 4

129

2

2

=+t

t t = 2±

⇒ ⎩⎨⎧

=++−=+++

03z2yx201z2yx2

Donada la recta { }01yx,1z:r =−−−= i el pla { }3zx: =+π trobeu l’angle α que formen. RAONAMENT 1.- vectors direccionals de la recta i del pla,

)0,1,1(011100kji

v −=−

= i )1,0,1(w =

3.21

3.20


2.- angle entre els vectors, º602

001cos 1 =

++= −α

3.- angle entre recta i pla, αβ −= º90 ⇒ º30=β

Punt B simètric del punt )3,2,1(A respecte del pla { }.03zy: =−+π RAONAMENT 1.- recta perpendicular al pla { }03zy: =−+π que passa per A,

13z

12y

01x −

=−

=−

2.- punt M intersecció entre la recta i el pla, )2,1,1(My3z1zy

1x⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

=

3.- punt B simètric de A, )1,0,1()3,2,1()4,2,2(AM2B =−=−= )1,0,1(B

Trobeu el punt B simètric del punt )1,1,0(A − respecte de la recta

{ }.03zx,01y:r =−+=− RAONAMENT 1.- punt genèric de la recta r, )t3,1,t(P − )t4,0,t(AP −= 2.- vector director de la recta r, )1,0,1(v −= 3.- condició de perpendicularitat entre )1,0,1(v −= i )t4,0,t(AP −= ,

)1,1,2(P2t04t2 ⇒=⇒=−⇒ 4.- punt B simètric de A,

)3,1,4()1,1,0()2,2,4(AP2B =−−=−= )3,1,4(B

3.23

3.22


Donades les rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

−1

z2y

31x:r i { }t1z,t2y,t3x:s −=+=−=

trobeu l’angle que formen entre elles. RAONAMENT 1.- vectors directors de les dues rectes, )1,2,3(vr −= i )1,1,1(vs −−=

2.- angle que formen les dues rectes, º903·14

123cos 1 =

++−= −α

les rectes són perpendiculars

Trobeu l’angle que formen els plans: { }1zy2x:1 =++−π i

{ }03z2yx:2 =−++π . RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,2,1(w1 −= i )2,1,1(w2 =

2.-angle entre els dos plans, º6021cos

6·6221

cos 11 ==++−

= −−α º60=α

Trobeu l’angle que forma la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

==−

11z

1y

21x:r i el pla

{ }3zy2x: =++π . RAONAMENT 1.- vectors directors de recte i pla, )1,1,2(vr −= i )1,2,1(w =

3.26

3.25

3.24


2.- angle entre els vectors, º606·6122

cos 1 =−+

= −α

3.- angle entre recta i pla, º30º90 =−= αβ

Trobeu la distància entre els punts )1,1,0(A − i ).5,4,2(B RAONAMENT 1.- vector )6,3,2(AB = distància 73694ABd =++== 7d = u

Trobeu la distància del punt )0,1,2(P −− a: a) la recta,

{ }07zy4,01y3x:r =+−=++ b) el pla,

{ }041z6y2x3: =−++π RAONAMENT a) 1.- punt genèric de la recta )7t4,t,1t3(Q +−− 2.- vector director de r, )4,1,3(v −= i vector )7t4,1t,1t3(PQ +++−= 3.- perpendicularitat entre )4,1,3(v −= i )7t4,1t,1t3(PQ +++−= ⇒ 028t161t3t9 =++++− ⇒ 1t −= ⇒ )3,1,2(Q − 4.- distància, 59016PQd =++== 5d = u. b)

1.- distància 7749

364941026

d ==++−+−−

= 7d = u.

3.28

3.27


Trobeu la distància entre els plans paral·lels { }0zy2x2:1 =−+π i

{ }.03zy2x2:2 =−−+π RAONAMENT 1.- fixem un punt A del pla { }0zy2x2:1 =−+π ⇒ )0,0,0(A 2.- distància del punt A al pla { }.03zy2x2:2 =−−+π

93000

d−−+

= 1d = u.

Trobeu la distància entre les rectes r i s en els següents casos,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−

31z

12y

41x:r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=+

32z

11y

41x:s

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

==−

02z

1y

21x:r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

==−

12z

2y

31x:s

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

−3z

01y

11x:r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−

=−

12z

13y

25x:s

RAONAMENT a)rectes paral·leles, 1.- punt fix de r, )1,2,1(A i punt genèric de s, )2t3,1t,1t4(B ++−

2.- 03t91t8t16v·AB)3,1,4(v

)1t3,1t,2t4(AB=++−+−=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+−−=

06t26 =−⇒ ⇒ 133t =

13780221014

131ABd 222 =++==

b) 1.- rectes incidents en el punt A(1,0,2) 0d =

3.30

3.29


c) 1.- 021012112301224

=++−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ 2

112301224

rang =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ les rectes

són incidents aleshores 0d =

Trobeu la distància entre el punt )1,0,1(P − i el pla { }01zyx: =+−−π . RAONAMENT

1.- distància 3

1101d

++−= 3d = u.

Trobeu la distància entre el punt )1,0,1(P − i la recta { }0y,2zx:r ==− RAONAMENT 1.-punt genèric de la recta )t,0,2t(Q + )1,0,1()1t,0,1t(PQ ≈++=

2.-vector director de la recta )1,0,1(010101

kji=−

els dos vectors són paral·lels aleshores el punt P pertany a la recta i 0d =

Coordenades del punt Q simètric del )2,1,0(P respecte: a) de l’origen. b) del pla { }04z3x: =−−π

3.33

3.32

3.31


RAONAMENT a)

)2,1,0()0,0,0(PO2Q −=−= )2,1,0(Q −− b)

1.-recta perpendicular al pla que passa per P, 32z

01y

1x

−−

=−

=

2.-punt M intersecció entre recta i pla, )1,1,1(M2x3z

1y4z3x

M −⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==

+=

3.-punt simètric )4,1,2()2,1,0()2,2,2(PM2Q −=−−=−= )4,1,2(Q −


4. POSICIONS RELATIVES

Estudia la posició de les rectes següents:

{ }t3z,t2y,t21x:r +=−=−= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

+=

−1

z1

2y2

1x:s RAONAMENT 1.- dades de les rectes i del vector que uneix les dues rectes

{ }t3z,t2y,t21x:r +=−=−=⎩⎨⎧

−−=⇒

)1,1,2(v

)3,2,1(A

r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

+=

−1

z1

2y2

1x:s⎩⎨⎧

−=

−⇒

)1,1,2(v

)0,2,1(B

s

)3,4,0(AB −−=

2.- dependència o independència lineal dels vectors directors,

⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−1

112112

rang vectors paral·lels

3.- dependència o independència lineal dels vectors directors de les rectes i del vector que uneix les dues rectes,

⇒=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−2

11211234o

rang rectes paral·leles


{ }tz,1y,0x:r === { }t1z,ty,t2x:s +=−=+= RAONAMENT 1.- dades de les rectes i del vector que uneix les dues rectes

{ }tz,1y,0x:r ===⎩⎨⎧

=⇒

)1,0,0(v

)0,1,0(A

r

4.2

4.1


{ }t1z,ty,t2x:s +=−=+=⎩⎨⎧

−=⇒

)1,1,1(v

)1,0,2(B

s

)1,1,2(AB −=


⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2111100

rang vectors no paral·lels


⇒=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−⇒≠

−

−3

111100112

rang0111100112



{ }tz,t2y,tx:r −=+== ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=1

2z2

1y1x:s

RAONAMENT 1.- dades de les rectes i del vector que uneix les dues rectes

{ }tz,t2y,tx:r −=+==⎩⎨⎧

−=⇒

)1,1,1(v

)0,2,0(A

r

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=−

=1

2z2

1y1x:s

⎩⎨⎧

=

−⇒

)1,2,1(v

)2,1,0(B

s

)2,1,0(AB −−=


⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

121111

rang vectors no paral·lels


4.3


⇒=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

⇒=−−−

2121111210

rang0121111210

les rectes es tallen

Estudia la posició relativa dels plans { }02z2yax:1 =−+−π i

{ }0az4y2x2:2 =+−π segon el valor del paràmetre a. RAONAMENT 1.- matriu dels coeficients i ampliada del sistema que formen els dos plans

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=a422

21aA i ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=0a422221a

A

1a0221a

=⇔=−−

1a0a42

21=⇔=

−−

2.- discussió del sistema,

⎩⎨⎧

==⇒≠

=≠=⇒=

)2arangrangA(1a)2ArangrangA1(1a⇒

incidentsleles·paral

Estudia la posició relativa dels plans { }0z2yx:1 =++π { }0ymx:2 =−π

{ }0mzx3:3 =+π segon el valor del paràmetre m. RAONAMENT 1.- matriu dels coeficients i ampliada del sistema format pels tres plans,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

m0301m211

A i ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

0m03001m0211

A ⇒ ArangrangA =

4.5

4.4


2rangA00121

≥⇒≠−

, ⎩⎨⎧

−==

⇒=−+−=−3m

2m0)6mm(

m0301m211

2

2.-discussió del sistema,

{ }⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⇒−≠

==⇒−=

==⇒=

3ArangrangA3,2m2ArangrangA3m

2ArangrangA2m

)0,0,0(punt_el_en_tallen_esrecta_una_en_tallen_esrecta_una_en_tallen_es

Calculeu el valor d’a per tal que les rectes

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

==−

13z

1y

21x:r i

{ }03azyx3,010z3yx:s =++−=−+− formin un pla i trobeu la seva equació. RAONAMENT

1.- ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

==−

13z

1y

21x:r

⎩⎨⎧

−=⇒

)1,1,2(v

)3,0,1(A

2.- feix de plans que passen per s, 0)10z3yx(t3azyx3 =−+−+++− 3.-per passar pel punt )3,0,1(A 2a003a33 −=⇒=+++⇒ 2a −= 4.-el vector )1,1,2(v −= és perpendicular al )t3a,t1,t3(w +−−+= ⇒

27t0)t32()t1()t3(2 =⇒=+−−−−++ ⇒ 064z17y9x13 =−+−

Estudia la posició relativa de la recta { }1zx,03z2yx:r −=+=−+− i del pla { }0azyx3: =+−π . RAONAMENT

4.7

4.6


1.-sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+−=+−

1zx3z2yx0azyx3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=101211a13

A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=1101

32110a13

A

101211

13−− a

= -3 + 1 + a = a – 2

a) si a ≠ 2 3ArangrangA == el sistema és compatible i determinat la recta talla al pla en un punt

b) si a = 2 101

011013

−−−

= 3-1+0=2≠ 0

3Arang2rangA =≠= sistema incompatible la recta és paral·lela al pla

Estudieu la posició relativa entre la recta

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−=

−2z

12y

31x:r i el pla

{ }03zyx2: =−+−π . RAONAMENT

1.-sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−−=−

3zyx22z3x25y3x

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

112302

031A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

311223025031

A

⇒≠=−

−−

021112302

031⇒== 3ArangrangA

sistema compatible determinat ⇒ es tallen en un punt

4.8


Demostreu que la recta { }03zyx2,01zy3x:r =+−+=−+− està continguda en el pla { }01zy5x4: =++−π .

RAONAMENT 1.- discissió del sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−−=−+

=+−

1zy5x43zyx2

1zy3x

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

154112

131A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

11543112

1131A

0154112

131A =

−−

−= 0

154312

131=

−−−

− 2ArangrangA ==

Sistema compatible indeterminat recta continguda en el pla

Estudia la posició relativa de les rectes { }t1z,t2y,tx:r +=−== i

{ }1z,t2y,tx:s =−=−= . RAONAMENT 1.-punt i vector director de cada recta

{ }t1z,t2y,tx:r +=−==⎩⎨⎧

−=⇒

)1,2,1(v

)1,0,0(A

r

{ }1z,t2y,tx:s =−=−=⎩⎨⎧

−−=⇒

)0,1,1(v

)1,2,0(B

s

)0,2,0(AB =

2.- dependència o independència dels tres vectors

4.10

4.9


3ABvv

rang02020011121

s

r

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒≠−=−−−


Trobeu el valor d’a per tal de que les rectes { }t2z,t41y,tx:r −=−== i

{ }t4z,t23y,ax:s −=−== es creuin. RAONAMENT 1.-punt i vector director de cada recta

{ }t2z,t41y,tx:r −=−==⎩⎨⎧

−−=⇒

)1,4,1(v

)2,1,0(A

r

{ }t4z,t23y,ax:s −=−==⎩⎨⎧

−−=⇒

)1,2,0(v

)4,3,a(B

s

)2,2,a(AB =

2.- dependència o independència dels tres vectors

2a222a120141

AB

v

v

s

r

−=−−−−

= Si ⎩⎨⎧

≠=

1a1a

⇒ creuen_es

incidents

Estudia la posició relativa de les rectes r i s

{ }4zyx3,0zy2x:r =++=−+ { }1zyx2,0zx:s =−−=− RAOANMENT 1.-punt i vector director de cada recta,

4.12

4.11


punt de la recta r: )1,0,1(A vector de r: )5,4,3(113121

kji−−=−

punt de la recta s: )0,1,0(B − vector de s: )1,1,1(112101

kji−−−=

−−−

vector )1,1,1(AB −−−= 2.- dependència o independència dels tres vectors,

111543111

−−−−−−−−

=0 les rectes estan en un mateix pla i de vectors no

paral·lels aleshores les rectes es tallen en un punt.

Estudia la posició relativa de les rectes r i s

{ }2y2x3,0yx:r =−=+ { }3zyx,1zyx:s =++=−+ RAOANMENT 1.-punt i vector director de cada recta,

punt de la recta r: )0,52,

52(A − vector de r: )5,0,0(

023011kji

−=−

punt de la recta s: )1,0,2(B vector de s: )0,2,2(111111

kji−=−

vector )1,52,

58(AB =

2.- dependència o independència dels tres vectors,

4.13


⇒≠−

− 0022500

528 les rectes es creuen

Estudieu la posició relativa de les rectes { }6zy3,1yx:r =−−=− i

{ }3azx3,01a2ayx:s =−=−+− segons el valor del paràmetre a. RAOANMENT 1.- punt i vector director de cada recta,

{ }6zy3,1yx:r =−−=− )3,1,1(

130011kji

v

)0,2,1(A

r

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−=

⇒

{ }3azx3,01a2ayx:s =−=−+− )3,1,a(a

a030a1kji

v

)0,2,1(B

s

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−=

⇒

)0,0,0(AB = si⎩⎨⎧

≠=

1a1a

⇒ )0,2,1(punt_el_en_tallen_es

recta_mateixa

Trobeu el valor d’a de manera que els plans { }02yx:1 =−+π ,

{ }0zyx2:2 =−+π i { }02z2yax:3 =+−+π determinin una recta. RAOANMENT

4.15

4.14


⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+=−+

=+

2z2yax0zyx2

2yx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

21a112

011A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

221a01122011

A

a3a4121a112

011A −=−+−=

−−= a262)a2(2

21a012211

−=+−=−

1.- si 3a = ⇒ 2ArangrangA == els plans determinen una recta 2.- si 3a ≠ ⇒ 3ArangrangA == els plans determinen un punt

Donats els plans { }02zyx:1 =−+−π i { }0z2ayx2:2 =+−π trobeu la seva posició relativa segons els valors del paràmetre a. RAONAMENT

1.- sistema ⎩⎨⎧

=+−=+−

0z2ayx22zyx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=2a2111

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=02a22111

A

a2a211

−=−−

2rangA1rangA

2a2a

==

⇒⎩⎨⎧

≠=

⇒ 2Arang040221

=⇒≠−=

2.- si ⎩⎨⎧

==≠

=≠==

2ArangrangA2a

2Arang1rangA2a

incidents_2alels·paral_2a

≠=

4.16

Documents

Xavier Rabasa [email protected] 1 Rabasa [email protected] 2 INTRODUCCIÓ Llibre d’exercicis totalment desenvolupats i raonats a nivell de batxillerat amb l’objectiu d’assolir