8
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit §8.5. 63/70 §8.5 . . . . . Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) 8.5.1 u tt - a 2 u xx = f ( x, t ), (8.5-1) u| x=0 = ν( t ), u| x=l = ν( t ), (8.5-2) u| t =0 = ϕ( x), u t | t =0 = ψ( x). (8.5-3)

Xiang An-Ping, Methods of Mathematical Physics March ...sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/... · •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full

Embed Size (px)

Citation preview

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 63/70

§8.5 ���(((333ÝÝݺºº¶©©©. lll. CCC. êêê. {{{. !!!·Fourier???. êêê. {{{. !!!¸ÀÀÀ. þþþ. ½½½. nnn. {{{. ÚÚÚ. ¹���.

ààà. ggg. >>>. .... ^̂̂. ���. ���. ???. nnn. ���. {{{. ±±±���§§§ÒÒÒUUU¦¦¦)))������������kkk...¯̄̄KKKµµµ���½½½���§§§ÚÚÚ>>>...^̂̂������´́́���àààggg���§§§ÓÓÓ���§§§ÐÐЩ©©^̂̂���´́́���"""���©©©���������ÙÙÙ���

���(((§§§eee¡¡¡±±±���������������kkk...���ÄÄį̄̄KKKÚÚÚ������kkk...­­­½½½§§§ÝÝÝ©©©ÙÙÙ¯̄̄KKK

���~~~§§§`̀̀²²²¹¹¹���¯̄̄KKK(ÅÅÅÄÄÄÚÚÚÑÑÑ$$$¯̄̄KKK)ÚÚÚØØØÜÜÜ���¯̄̄KKK(­­­½½½|||¯̄̄KKK)ØØØÓÓÓ���¦¦¦)))ÚÚÚ½½½ÚÚÚ���kkk������))){{{©©©

8.5.1 ���������kkk...ÅÅÅÄÄÄÚÚÚÑÑÑ$$$¯̄̄KKK±±±kkk...uuu������EEE���ÄÄÄ���KKK���~~~§§§ÙÙÙ½½½)))¯̄̄KKK´́́

ut t − a2uxx = f (x, t), (8.5-1)

u|x=0 = ν(t), u|x=l = ν(t), (8.5-2)

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x). (8.5-3)

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 64/70

uuuQQQÉÉÉååå���^̂̂§§§qqqkkk���½½½���ÐÐЩ©©   £££ÚÚÚÐÐЩ©©���ÝÝݧ§§ ���uuu���üüü���ààà

:::   ������UUU®®®���555ÆÆÆ������mmmCCCzzz§§§ÏÏÏddd§§§���ÄÄÄ���§§§ÚÚÚ>>>...^̂̂���ÑÑÑ´́́���

àààggg���§§§ÐÐЩ©©^̂̂���´́́���"""���©©©ØØØLLL§§§���§§§!!!>>>...^̂̂���ÚÚÚÐÐЩ©©^̂̂���ÑÑÑ´́́

���555���§§§UUU\\\���nnn···^̂̂§§§cccããã))){{{ÚÚÚ���àààggg>>>...^̂̂������???nnn���{{{þþþ���

AAA^̂̂©©©������BBB!!!kkk���§§§���æææ^̂̂XXXeee¦¦¦)))ÚÚÚ½½½µµµ

1. >>>...^̂̂���àààgggzzz

��� v(x, t)÷÷÷vvv���àààggg>>>...^̂̂���(8.5-2)§§§~~~XXX

v(x, t) =1l[ν(t) − µ(t)

]x + µ(t).

---

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t)

���\\\½½½)))¯̄̄KKK(8.5-1)***(8.5-3)§§§��� w(x, t)���½½½)))¯̄̄KKK

wt t − a2wxx = f (x, t) − vt t ≡ g(x, t),

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 65/70

w|x=0 = w|x=l = 0,

w|t=0 = ϕ(x) − v|t=0 ≡ Φ(x), wt|t=0 = ψ(x) − vt|t=0 ≡ Ψ(x).

>>>...^̂̂���®®®´́́àààggg§§§ùùù½½½)))¯̄̄KKK���^̂̂ Fourier???êêê{{{������¦¦¦)))(��� § 8.2~~~¬¬¬)©©©���´́́§§§ùùùòòò������¦¦¦)))���mmm¼¼¼êêê Tn(t)������������àààggg~~~XXXêêê~~~���©©©���§§§§§§���ÐÐÐ���^̂̂��� Tn(0), T′n(0)ØØØ���"""©©©ØØØXXX|||^̂̂UUU\\\���nnn§§§zzz¤¤¤üüü���½½½)))¯̄̄KKK§§§©©©OOO^̂̂©©©lllCCC���{{{ÚÚÚÀÀÀþþþ½½½nnn{{{������¦¦¦)))§§§���eee¡¡¡(2)©©©

2. |||^̂̂UUU\\\���nnnzzz¤¤¤üüü���{{{üüü���½½½)))¯̄̄KKK

---

w(x, t) = wI(x, t) + wII(x, t),

wI(x, t)ÚÚÚ wII(x, t)©©©OOO÷÷÷vvv½½½)))¯̄̄KKK

wIt t − a2wI

xx = 0, wIIt t − a2wII

xx = g(x, t),

wI|x=0 = wI

|x=a = 0, wII|x=0 = wII

|x=l = 0,

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 66/70

wI|t=0 = Φ(x), wI

t |t=0 = Ψ(x), wII|t=0 = wII

t |t=0 = 0.

wI���½½½)))¯̄̄KKK���àààggg���§§§!!!àààggg>>>...^̂̂���§§§���^̂̂©©©lllCCC���{{{¦¦¦)))¶¶¶

wII���½½½)))¯̄̄KKK===���§§§´́́���àààggg���§§§���^̂̂ÀÀÀþþþ½½½nnn{{{£££½½½ Fourier???êêê{{{¤¤¤¦¦¦)))©©©

éééuuu���������������kkk...ÑÑÑ$$$¯̄̄KKK§§§~~~XXX½½½)))¯̄̄KKK

ut − a2uxx = f (x, t),

u|x=0 = ν(t), u|x=l = ν(t),

u|t=0 = ϕ(x).

ÙÙÙ¦¦¦)))ÚÚÚààà���þþþããã���ÄÄį̄̄KKK���������ÓÓÓ§§§ÄÄÄkkk|||^̂̂UUU\\\���nnnòòò>>>...^̂̂���

àààgggzzz©©©

éééuuu������!!!nnn������kkk...ÅÅÅÄÄÄÚÚÚÑÑÑ$$$¯̄̄KKK���¦¦¦)))���������ddd???111©©©

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 67/70

8.5.2 ���������kkk...­­­½½½|||¯̄̄KKK888±±±������ÝÝÝ///���­­­½½½§§§ÝÝÝ©©©ÙÙÙ¯̄̄KKK���~~~§§§ÙÙÙ½½½)))¯̄̄KKK´́́

uxx + uyy = f (x, y), (8.5-4)

u|x=0 = µ(t), u|x=a = ν(t),

u|y=0 = ϕ(x), u|y=b = ψ(x).

­­­½½½©©©ÙÙÙ¯̄̄KKK������mmm t ÃÃÃ'''§§§¦¦¦)))ÚÚÚ½½½���¹¹¹������ÅÅÅÄÄÄÚÚÚÑÑÑ$$$¯̄̄KKKØØØÓÓÓ§§§ÄÄÄkkk???nnn���ØØØ´́́���àààggg>>>...^̂̂���§§§ ´́́���àààggg���§§§©©©���,,,ùùùpppüüü

|||>>>...^̂̂���ÑÑÑ´́́���àààggg���§§§���þþþ!!!���AAA))){{{333ùùùpppEEE,,,···^̂̂©©©ÙÙÙ¦¦¦)))

ÚÚÚ½½½´́́µµµ

1. |||^̂̂AAA))){{{§§§òòò���àààggg���§§§zzz���àààggg���§§§¯̄̄KKK

������àààggg���§§§(8.5-4)���������AAA))) v(x, y)§§§kkk vxx + vyy = f (x, y)©©©---

u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 68/70

uuu´́́ w(x, y)÷÷÷vvv½½½)))¯̄̄KKK

wxx + wyy = 0, (8.5-5)

w|x=0 = µ(y) − v(0, y), w|x=a = ν(x) − v(a, y),

w|y=0ϕ(x) − v(x, 0), w|y=b = ψ(x) − v(x, b).

2. |||^̂̂UUU\\\���nnn§§§zzz¤¤¤üüü������������¦¦¦)))���½½½)))¯̄̄KKK

---

w(x, y) = wI(x, y) + wII(x, y),

wI(x, y)ÚÚÚ wII(x, y)���½½½)))¯̄̄KKK©©©OOO´́́

wIxx + wI

yy = 0,

wI|x=0 = wI

|x=a = 0,

wI|y=0 = ϕ(x) − v(x, 0), wI

|y=b = ψ(x) − v(x, b),

wIIxx + wII

yy = 0,

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 69/70

wII|x=0 = µ(y) − v(0, y), wII

|x=a = ν(y) − v(a, y),

wII|y=0 = wII

|y=b = 0.

ùùùüüü���½½½)))¯̄̄KKKÑÑÑ´́́àààggg���§§§ÚÚÚ���|||���àààggg>>>...^̂̂���©©©���^̂̂©©©lllCCC���

{{{½½½ Fourier???êêê{{{������¦¦¦)))©©©

���ÙÙÙïïïÄÄÄ������´́́½½½ÂÂÂ333kkk...«««������½½½)))¯̄̄KKK§§§������^̂̂©©©lllCCCêêê(Fourier???���){{{¦¦¦)))§§§NNN´́́¦¦¦<<<���)))ØØØ)))§§§qqq���???ÛÛÛkkk...������555���½½½)))¯̄̄KKKÑÑÑUUU^̂̂©©©lllCCC���{{{¦¦¦)))§§§ÙÙÙ¢¢¢ØØØ´́́ùùù���©©©~~~XXX§§§eee���¿¿¿ØØØéééEEE

,,,���CCCXXXêêê������555   ���©©©���§§§

ut t − a2xuxx = 0, (8.5-6)

ut t − a2 tuxx = 0, (8.5-7)

ut t − a2(x + t)uxx = 0. (8.5-8)

(8.5-6)!!!(8.5-7)´́́���±±±©©©lllCCCêêê���§§§ (8.5-8)ÒÒÒØØØUUU©©©lllCCCêêê©©©ùùùÙÙÙ¢¢¢ØØØJJJnnn)))§§§ÏÏÏ������§§§(8.5-8)������ØØØ���333©©©lllCCCêêê///ªªª���)))

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit

§8.5. �( 70/70

u(x, t) = X(x)T(t)©©©ggg,,,§§§©©©lllCCCêêê{{{éé駧§ØØØ···^̂̂©©©

���uuuÃÃÃ...«««������½½½)))¯̄̄KKK§§§òòò333111������!!!���nnn!!!���oooÙÙÙ???ØØØ©©©