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XII.La creazione

dellanalisi infinitesimale

Le premesseMetodi degli indivisibili Creazione della geometria analiticadalla geometria analitica il calcolo infinitesimale trae i problemi, il linguaggio e gli strumenti.Problema delle tangentiLa costruzione della tangente si traduce in un'operazione sull'equazione della curva R. Descartes (1596-1650) Gomtrie (1637)Determinazione della retta normaleP. Fermat (1601-1665) Problemi di massimo e minimo, determinazione della retta tangente...Problema delle quadratureE. Torricelli, I. Barrow dimostrano teoremi cinematici e geometriciche collegano fra loro le due classi di problemi, tangenti e quadrature(germe del teorema fondamentale del calcolo integrale)

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La creazione del calcolo infinitesimale

Isaac Newton (1642-1727)

Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716)

Il calcolo differenziale nacque nel momento in cui Leibniz e Newton introdussero una nuova nozione analitica, quella di differenziale e di flussione rispettivamente.L'invenzione del calcolo integrale, invece, non richiedeva necessariamentel'introduzione di concetti nuovi. Le aree erano considerate degli oggetti diindagine definiti in modo sufficientemente chiaro dalla loro natura geometrica: ci che occorreva era la scoperta che i problemi di quadratura richiedono un'operazione inversa rispetto a quella di differenziazione.

Newton e Leibniz affidano alla differenziazione il ruolo principalee riducono l'integrazione ad esserne solo l'inverso.

Isaac Newton (1642-1727)

Io ebbi unilluminazione per questo mio metodo dal modo di Fermat di tracciare le tangenti, per io lo resi generaleapplicandolo ad equazioni astrattedirettamente ed inversamente

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Newton, 1665-66 biennium mirabilissimum

" All'inizio dell'anno 1665 io scoprii il metodo di approssimazione delle serie e la regola per esprimere qualunque potenza di un binomio con una serie. Lo stesso anno in maggio trovai il metododelle tangenti e, in novembre scoprii il metodo diretto delle flussioni; l'anno seguente, in gennaio trovai la teoria dei colori; nel maggio successivo ebbi accesso al metodo inverso delle flussioni. E nello stesso anno cominciai a pensare alla gravit. Tutto ci avvenne nei due anni della peste 1665 e 1666"

1669 [1711], De Analysi per aequationes numero terminoruminfinitas (MPN II, pp. 206-247), problema delle quadrature

1671 [1736, 1740,1779] Tractatus de methodis serierum et fluxionum, (MPN III, pp. 32-353), trattato di calcolo infinitesimale

1687 Philosophiae naturalis principia mathematica1691 [1704] De quadratura curvarum ( MPN VII , VIII)

Newton considera le grandezze matematiche come quantit variabili al variare del tempoe le chiama fluenti (x, y, z, ) e chiama flussioni le loro velocit di variazione.

( ,,, zyx )

Operativamente: x

dtdx

concettualmente NO

y=x3 =y 3

xx2

==

22 3dxdy 3 xx

x

y

Newton non possiede il concetto di funzione, n dispone di una rigorosa definizione divelocit (come limite di un rapporto incrementale).

"Considero qui le quantit matematiche non come costituite da particelle minime, ma come generate da un moto continuo: le linee si descrivono... mediante un moto continuo di punti, le superfici con il moto delle linee, i solidi con il moto delle superfici, gli angoli per rotazione dei lati, i tempi mediante un flusso continuo, e cos via. Queste genesi hanno luogo nelle cose naturali e si vedono ogni giorno nel moto dei corpi [De Quadratura, MPN VIII, p.122]

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Nella lettera a Oldenburg (per Leibniz) del 24 ottobre 1676 , Newton enuncia questi due problemi con la frase crittografata:" 6ae 2c d ae 13e 2f 7i 3l 9n 4o 4q 2r 4s 9t 12v x " (LMS, I, p. 128)che, decrittata significa "Data aequatione quotcumque fluentesquantitates involvente, fluxiones invenire et viceversa"

Il metodo delle flussioni presentato dunque da Newton con immagini e terminologia tratte dal mondo fisico. Un carattere eminente del pensiero scientifico newtoniano consiste infatti nella stretta interazione fra matematica e fisica :"Il mio metodo -egli scrive- derivato immediatamente dalla natura stessa".

I due problemi fondamentali del calcolo, derivazione e integrazione, vengono formulati cos:- Data la relazione tra le fluenti, determinare quella tra le flussioni[derivazione]- Data la relazione tra le flussioni, determinare quella tra le fluenti[calcolo di integrali e integrazione di equazioni differenziali]

Problema I, De methodisData la seguente relazione tra le fluenti [F(x,y)=0], trovare la relazione fra le flussionix3 - ax2 + axy - y3 = 0

x3 - ax2 + axy - y3 - y3 + axy - ax2 + x3si moltiplica per si moltiplica per

Sommando i risultati cos ottenuti e uguagliando a zero si ricava la relazione cercata fra le fluenti e le flussioni :

0 1 2 3xx

xx

xx

0 0 1 3yy

yy

xyayyyxaxxaxx

++ 22 3 23

=

+

+

=

=++

0 23

3

03 23

2

2

22

yyFx

xF

ayaxxaxy

y

x

xyayyyxaxxaxx

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Determinazione della retta tangente[De Quadratura, MPN VIII, p.122]

Per trovare la retta tangente alla curvain C, N. considera la secante CCK

V

C

A B B

yE

C

T

x Fa muovere lordinata BC fino a ritornare nella posizione BC, allora CCK verr a coincidere con la tangente VCT

Il triangolo evanescente CCE nella sua ultima forma diventer simile al triangolo VCB

ECCE

BCVB

'=

BB '

=y

x

==

'

yy

y

xyVB

N. considera gli ultimi rapporti delle quantit evanescenti

x

y lim0x

BB'

I primi e ultimi rapporti [= intuitivo metodo dei limiti]

I primi e ultimi rapporti non sono i rapporti delle ultime quantit, ma "i limiti ai quali i rapporti delle quantit decrescenti si avvicinano sempre, illimitatamente, e ai quali si possono avvicinare per meno di qualunque differenza data, e che, per non possono mai superare, n toccare prima che le quantit siano diminuite all'infinito" [Pala, p. 158]

1687 Philosophiae naturalis principia mathematica

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Larea sotto una curva [integrazione = antiderivazione]

1669 [1711], De analysi per aequationes numero terminoruminfinitas Regola I - Se , allora sar Area ABD =

Regola II - curve dove y uguale alla somma di un numero finito di addendi del tipo precedente Regola III - curve dove y espressa da una serie di potenze serie ottenuta per divisione o estrazione di radice.

Con le serie Newton pu risolvere il problema generale delle quadrature riducendolo all'integrazione di potenze.

nm

axy = nnm

xnm

na+

+

//

....

2

2

2222

2

b

xab

xaba

bxaa

xba

O

+

+ ....2222

+=+ b

xaba

xba

Bo =ovzoxA +=+= )Area(A e

22 )0(94)( +=+ xovz

22322

34

34

942 xooxozovvo ++=+

xoxozvov34

34

942 222 ++=+

Si jam supponamus B esse infinite parvam, sive o esse nihil, erunt v & y quales & termini per o multiplicati evanescent

2

342 xxy =

21

xy =

21

xy =

incremento della x

DB incremento dellarea z

32

94 xz =2

3

32 xz =

divide per o

Al contrario se Area ABD = 23

32 x

Regola I

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Nelle mani di Newton le serie diventano un modo di esprimere e rappresentare tutte le funzioni allora conosciute, un modo che conserva la semplicit algoritmica di un polinomio.L'abile intreccio del metodo delle serie e di quello delle flussioni permette a Newton di affrontare e risolvere nella loro massima generalit i problemi fondamentali dell'analisi infinitesimale .Scrive infatti nell'Account:

" Se l'operazione non arriva a dare equazioni finite, Newton ricorre alle serie convergenti; per cui il suo metodo risulta incomparabilmente pi universale di quello di Leibniz, che limitato alle sole equazioni finite dato che egli non ha accesso al metodo delle serie infinite" [MPN, VIII, p.598]

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Il Problema II, "Data la relazione tra le flussioni trovare quella delle quantit fluenti" viene risolto da Newton nel De methodisnella sua generalit; egli considera sia il caso pi semplice (gi affrontato nel De Analysi) cio l'integrazione di una funzione, sia il caso pi generale dellintegrazione di un'equazione differenziale, utilizzando abilmente il metodo delle serie.

"Il fatto che il metodo delle flussioni e delle serie chiude i problemi,in primo luogo quello dell'integrazione delle equazioni differenziali, ma non li esaurisce. Esso opera come una macchina frantumatrice: da una partesi introduce l'equazione da integrare e dall'altra viene fuori pezzo a pezzo la soluzione sotto forma dei successivi termini della serie.Ma la serie non d tutta la soluzione; infatti anche a prescindere da questioni di convergenza, il carattere delle serie eminentemente locale: esse possono essere usate per operazioni che riguardino il comportamento della soluzione nell'intorno di un punto, ma non sono di nessun aiuto quando se ne vogliano studiare le proprietqualitative e globali [Giusti 1988, p. 14]

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

prima ancora di andare a scuola ero affascinato dalla storia e dai poeti; avevo iniziato a interessarmi alla storia non appena imparai a leggere e i versi poetici mi procuravano molta gioia, ma quando incominciai a conoscere la logica, mi sentii molto compiaciuto per la ripartizione e lordine del pensiero che vi scoprivo dentro. Cominciai subito a notare che allinterno doveva esserci qualcosa di grande, per quanto sia possibile capire ad un ragazzo di 13 anni (lettera a G. Wagner, fine 1696)

Storia, filosofia, diritto, linguistica, logica, teologia, matematica

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Il soggiorno parigino1672-1676

decisivo lincontro con C. Huygens che gli consiglia letture matematiche (Pascal, Gregory, descartes, Sluse, Wallis, ) Incitato da lui mi applicai a studiare la geometria pi intricata sebbene allepoca conoscessi solo gli Elementi di Euclide (1680)Leibniz stesso scrive che si svegli dal letargo

Durante il soggiorno parigino L. perviene alla creazione del calcolodifferenziale e integrale

Ammetto di aver scoperto tutto questo metodo dalle considerazioni sulla reciprocit di somme e differenze e che le mie considerazioni si estesero dalle successioni di numeri alle successioni di linee e ordinate

la considerazione delle differenze e delle somme delle successioni numeriche mi aveva gettato la prima luce quando mi accorsi che le differenze corrispondono alle tangenti e le somme alle quadrature

Fundamentum calculi: Differentiae et summae sibi reciprocae sunt Series differentiae 1 2 3 4 5 dx Series ipsa 0 1 3 6 10 15 x Seriei summae 0 1 4 10 20 35 x

dx= x = d x

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Il triangolo caratteristico

T A B

H

P

P

xy

dy

dx

PP lato infinitamente piccolodella curva

dx differenza infinitamente piccolafra due ascisse

dy differenza infinitamente piccolafra due ordinate

==

'

simile '

yyS

dydx

yS

TPBHPP

tt

St = TB sottotangente

B. Pascal, Trait des sinus du quart de cercle, 1658fu improvvisamente illuminato da unidea che, strano a dirsi, Pascal non aveva avuto

Il manifesto del calcolo differenziale leibniziano, 16841684 Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus,quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus [Un nuovo metodo per la

determinazione dei massimi e dei minimi, nonch delle tangenti, che non ostacolato n dalle quanttfratte n dalle irrazionali, e un particolare tipo di calcolo per quelli], A. E. 1684, pp. 467-473.

un enigma pi che una spiegazioneJoh. Bernoulli

troppo breve e concisa errori di stampa mancanza delle dimostrazioni

delle regole di differenziazione uso nascosto degli infinitesimi

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paura di essere defraudato dellinvenzione dal matematico tedesco E. W. von Tschirnhaus che era stato testimone delle fasi della sua scoperta del calcolo

non amo scrivere un volume farcito di un gran numero di proposizioni per darne infine una sola che sia nuova e degna di considerazione [LMS 5, p. 88]

non posso dedicare lungo tempo ai calcoli, mi capita come alla tigre di cui si dice che lascia scappare ci che non raggiunge al primo, al secondo o al terzo balzo [LMS 7, p. 378]

dx differenza infinitamente piccola fra due successivi valori della xdy differenza infinitamente piccola fra due valori successivi della y:

dy = y(x+dx) y(x)

Regole di differenziazioned(xy) = (x+dx)(y+dy) xy = xdy + ydx + dxdy

dxdy viene trascurato perch infinite parva respectu reliquorum

ydy viene trascurato perch infinitamente piccolo rispetto a y2.

curva poligono di infiniti lati tangente alla curva prolungamento di un lato infinitamente piccolo della curva uso del triangolo caratteristico

22 yxdyydx

ydyyxdyxyydxxy

yx

dyydxx

yxd =

++=

++=

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Esempi di applicazione del calcoloNella Nova methodus L. per mostrare la potenza del suo calcolo trova la tangente alla seguente curva:

Lintroduzione delloperatore differenziale permise a Leibniz di superare tutte le difficolt insite nei metodi di ricerca della retta tangente elaborati dai predecessori (Descartes, Fermat, ) che operavano sempre sullintera equazione della curva. Lesempio proposto significativo: il differenziale gli consentiva di scindere le difficolt in parti e di applicare a ciascuna le regole di differenziazione.

problema della rifrazione della luce tangente ad una curva nella cui equazionecompare la somma di sei radicali problema di De Beaune: curva con sottotangente costante

022

2222)2(

)2)(( =++

+++

++ +mxlxh

yygaxfxex

xcbxayx

LintegraleElementa calculi novi, s. d. , anteriore al 1684

Lintegrale definito come somma di infiniti rettangoli infinitesimi.Con tale definizione, perlopi, non pu essere calcolato direttamenteperch Leibniz non possiede n il concetto di funzione n il concetto di limite.

= ABCydx

Allora entra in gioco il carattere inverso dei due operatori d elintegrazione definita come operazione inversa della

differenziazione

AA

y

dx

C

B

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Analyseostetragonisticae

29 ottobre 1675

1686 De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum (A.E. 1686, pp. 292-300)

- compare ufficialmente il simbolo - l'integrazione appare definita come operazione inversa della differenziazione

da quanto ho esposto a proposito del metodo delle tangenti risulta chiaroche d xx = xdx; per cui al contrario si avr xx = x dx (infatti per noi lesomme e le differenze, o e d , sono operazioni inverse come potenze e radicinei calcoli comuni

1693 Supplementum geometriae dimensoriae (A. E. 1693, pp. 385-392)

Leibniz dimostra geometricamente che il calcolo dell'area sotto una curva

y = f(x) si riconduce alla ricerca di una curva F= F(x) tale che dx

xdF )( = f(x) (cio alla

ricerca di una primitiva e dunque allinversione delloperazione di derivazione).

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Io poi effettuo questo calcolo con certi nuovi segni di mirabile comodit Ci che bisogna guardare nei segni la utilit per la scoperta, che si realizza pienamente quando essi riescono ad esprimere o per cos dire a dipingere la natura intima del problema in breve, cos infatti si riduce in modo straordinario la fatica del pensare

Il calcolo differenziale rende chiaro e manifesto non solo quanto altri hanno gi scoperto sul problema delle tangenti e su quello delle quadrature, ma innumerevoli altre cose poich ogni problema si presenta agli occhi e alla mente con

meravigliosa brevit e chiarezza"

Novit e potenza del calcolo

Newton - Leibnizdivergenza di punti di vista

- per Leibniz centrale la differenziazione che risolve il problema delle tangenti e consente di impostare quello generale delle equazioni differenziali, di cui egli richiede la soluzione in termini finiti.- per Newton sono centrali gli sviluppi in serie: con le serie egli d soluzioni generali al problema dellintegrazione "Ma la serie non d tutta la soluzione; infatti anche a prescindere da questioni di convergenza, il carattere delle serie eminentemente locale: esse possono essere usate per operazioni che riguardino il comportamento della soluzione nell'intorno di un punto, ma non sono di nessun aiuto quando se ne vogliano studiare le propriet qualitative e globali [Giusti 1988, pp. 26-27]

Leibniz e i leibniziani ponevano e affrontavano dei problemi specifici quali quello della catenaria, della velaria, della brachistocrona, dell isocrona paracentrica e altri ancora accumulando una grande messe di risultati, una delle ragioni questa del primato dell'analisi leibniziana nella prima met del 700.

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Il primo a capire il calcolo leibniziano fu Jacob Bernoulli che lo spieg al fratello Johann.

I fratelli Bernoulli

Se paragoniamo il genio di Leibniz ad un avventuroso marinaio che destreggiandosiattraverso i flutti e le tempeste della speculazione filosofica porta la sua nave ad approdarenella sospirata terra promessa, allora dobbiamo paragonare il talento dei due Bernoulli allopera da pioniere del primo conquistatore di una terra inesplorata [Fleckenstein, ***]

Jacob Johann

Niente sembrava tanto difficile, n tanto intricato che, muniti del nostro metodo, non sperassimo di scioglierlo,

purch fossimo disposti a rivolgervi lattenzione.Unimmensa messe di nuove scoperte poi si dispiegava

abbondantemente sotto i nostri occhi; ci sembrava di essere stati improvvisamente trasportati dallangusto golfo, nel

quale prima nuotavamo, nel vastissimo oceano in cui veleggiando velocemente, grazie allo spirare di un vento

favorevole, scoprivamo moltissime terre di verit impenetrabili. Allora pensavamo di aver infine trovato la

chiave con cui poter aprire le serrature della natura e penetrare tutti suoi arcani[Joh. Bernoulli, 1705]

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Le lezioni private di Johann Bernoullial marchese De LHpital (Parigi 1690-1691)

porteranno alla pubblicazione del primo trattato di calcolo differenziale

G. De L De LHpital,Analyse des infiniment

petits, 1696

Bibliografia essenziale

E. Aiton, Leibniz, Il Saggiatore, Milano 1991C. Boyer, The history of the Calculus and its historical development, Dover New

York, 1959P. Dupont, Appunti di storia dellanalisi infinitesimale. 3 voll. : Le origini,

Nascita e sviluppo, Newton e Leibniz, Cortina, Torino 1979-1981 (utile per la didattica)

P. Dupont, S. Roero, Leibniz 84. Il decollo enigmatico del calcolo differenziale, Mediterranean Press, Rende 1991

L. Geymonat, Storia e filosofia dellanalisi infinitesimale, Levrotto e Bella, Torino, 1947-48

L. Giacardi, Laffascinante mondo in movimento nellanalisi infinitesimale diNewton, Quaderni Pristem, 1993, pp. 23-34

E. Giusti, Note storiche in Analisi matematica 1, Boringhieri 1983E. Giusti, Il calcolo infinitesimale tra Leibniz e Newton, Rend. Sem. Mat.

Un.Pol.To, 46 1 1988, p. 14R. Hall, Filosofi in guerra, La polemica fra Newton e Leibniz, Bologna 1982M. Panza, Newton, Les Belles Lettres, Paris 2003

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Alcune fonti diretteD.T.Whiteside (a cura di), The Mathematical Papers of Isaac

Newton, Cambridge University Press, Cambridge, 8 voll., 1967-1981

C.I.Gerhardt, G.W.Leibniz Mathematische Schriften, ristampaG.Olms, Hildesheim. 1971

A. Pala, Principi matematici della filosofia naturale di Isaac Newton UTET Torino 1965