平方根

p.40

7.012x49.1401

7.022x49.2804

7.032x49.4209

7.042x49.5616

7.052x49.7025

7.062x49.8436

7.072x49.9849

7.082x50.1264

…

したがって，x の値の小数第 2 位は 7

である。

7.0710678

p.41

(1) 4 と－4

(2) 7 と－7

(3) 25

とP25

p.42

(1) E 3 (2) E 5

(3) E 10

(1) E 1.3 (2) E 0.7

(3) E37

(1) 81 x9

(2) P 36 xP6

P3£ ¤2 x 9

＝3

(1) 1x1

(2) P49 xP

23

(3) 0.16x0.4

(4) P 72

xP 49

＝－7

(5) P (P2)2

xP 4

＝－2

p.43

(1) 7£ ¤ 2x7 (2) P 13£ ¤ 2x13 (3) 16£ ¤ 2x16

p.44

(1) 13£ ¤ 2x13， 15£ ¤ 2x15

で，13＜15 であるから

13 t 15

(2) 42x16 ，

17£ ¤ 2x17 で，16＜17 であるから

16 t 17

すなわち 4t 17

(1) 0.1£ ¤ 2x0.1 ，0.12x0.01 で， 0.1＞0.01 であるから

0.1 u 0.01

すなわち 0.1 u0.1

(2) 10£ ¤ 2x10 ， 13£ ¤ 2x13 で，10＜13 であるから

10 t 13

すなわち P 10 uP 13

(3) 32x9 ，42x16 ， 10£ ¤ 2x10 で，9＜10＜16 であるから

9 t 10 t 16

すなわち 3t 10 t4

(4) 8£ ¤ 2x8 ，42x16 で，8＜16 であるから

8t 16

すなわち 8 t4

したがって P 8uP4

㋑ 0.7x710

㋓ 49x7

したがって，無理数は㋒

答 ㋒

p.45

A…P 9

B…－1.5

C…45

D… 5

E… 10

素因数分解

p.46

11, 13, 17, 19

p.47

3

30 □2 □10

□5

(1) 24＝2×2×2×3

＝23A3

(2) 50＝2×5×5

＝2A52

(3) 66＝2×3×11

(4) 140＝2×2×5×7

＝22A5A7

144＝2×2×2×2×3×3

＝24A32

＝ 2 2A3£ ¤ 2 ＝122

答 E12

108n が自然数になるには，108n

が，ある自然数の 2 乗になればよい。

108 を素因数分解すると

108＝2×2×3×3×3

＝22A33

これをある自然数の 2 乗にするた

めには，22A33 に 3 をかければよい。

このとき

108A3 ＝ 22A33A3

＝ (2A32)2

＝ 182

＝18

答 n＝3, 108n ＝18

p.48

(1) E 6 (2) E6

(3) E20 (4) E35

(1) 64 x8

(2) P 100 xP10

(3) P11£ ¤2 x 121

=11

(4) 0.49 x0.7

(5) P 3£ ¤ 2x3

(1) 61£ ¤ 2x61， 70£ ¤ 2x70で， 61＜70 であるから

61 t 70

(2) 52x25 ， 23£ ¤ 2x23で， 25＞23 であるから

25 u 23

すなわち 5u 23

(1) 42＝2×3×7

(2) 52＝2×2×13

＝22A13

(3) 90＝2×3×3×5

＝2A32A5

根号をふくむ式の乗除

p.50

(1) 2 A 7 x 2A7

x 14

(2) 28

7x

287

x 4

x 2 2

＝2

(1) 6 A 5 x 6A5

x 30

(2) P 2£ ¤A 8 xP 2A8 xP 16

xP 4 2

＝－4

(3) 3 A 12 x 3A12

x 36

x 6 2

＝6

(4) 18

6x

186

x 3

(5) 12 C 3 x12

3

x123

x 4

x 2 2

＝2

(6) 80 C P 5£ ¤xP 805

xP805

xP 16

xP 4 2

＝－4

p.51

(1) 2 2 x 4 A 2

x 4A2

x 8

(2) 2 5 x 4 A 5

x 4A5

x 20

(3) 4 5 x 16 A 5

x 16A5

x 80

(4) 5 3 x 25 A 3

x 25A3

x 75

(1) 12 x 4A3

x 4 A 3

x2 3

(2) 28 x 4A7

x 4 A 7

x2 7

(3) 27 x 3 3

x 3 2 A 3

x3 3

(4) 72 x 2 3A3 2

x 2 2 A 3 2 A 2

x2A3A 2

x6 2

(1) 99 x 9A11

x 9 A 11

x3 11

(2) 200 x 100A2

x 100 A 2

x10 2

(3) 243 x 3 5

x 3 2 A 3 2 A 3

x3A3A 3

x9 3

(4) 96

x 2 5A3

x 2 2 A 2 2 A 2 A 3

x2A2A 2 A 3

x4 6

p.52

(1) 3

49x

3

49

x3

7

(2) 0.64 x64100

x64

100

x810

x45

(0.8)

(3) 0.0002 x2

10000

x2

10000

x2

100

(1) 500 ＝ 5A100

＝ 5 A 10 2

＝ 5 A10

＝2.236×10

＝22.36

(2) 5000 ＝ 50A100

＝ 50 A 10 2

＝ 50 A10

＝7.071×10

＝70.71

(3) 0.05 ＝5

100

＝5

100

＝5

10

＝2.236

10

＝0.2236

(1) 0.3 x310

x30100

x30

10

x5.477

10

＝0.5477

(2) 12 x 4A3

x2 3

＝2×1.732

＝3.464

(3) 0.75x75100

x52A310

x5 3

10

x5A1.732

10

＝0.866

p.53

(1) 2

7x

2 A 7

7 A 7

x14

7

(2) 5

2 5x

5A 5

2 5 A 5

x5A 5

2A5

x5

2

(1) 2

5x

2A 5

5 A 5

x2 5

5

(2) 3

2x

3 A 2

2 A 2

x6

2

(3) 3

2 3x

3A 3

2 3 A 3

x3A 3

2A3

x3

2

(4) 4

3 2x

4A 2

3 2 A 2

x4A 2

3A2

x2 2

3

(5) 10

8x

10

2 2

x5

2

x5A 2

2 A 2

x5 2

2

(6) 2 3

6x

2 3 A 6

6 A 6

x2 3 A 6

6

x18

3

x3 2

3

x 2

p.54

(1) 18 A 12

＝3 2 A2 3

＝3A2A 2 A 3

＝6 6

(2) 8 A 18

＝2 2 A3 2

＝2×3×2

＝12

(1) 14 A 21

x 2A7 A 3A7

x 2A7A3A7

x 7 2A2A3

x7 6

(2) 6 A 30

x 2A3 A 2A3A5

x 2 2A3 2A5

x6 5

(1) 3 3 A2 6

x3A2A 3 A 6

x6A 3 A 3 A 2

x6A3A 2

x18 2

(2) 45 A 85

x3 5 A 5 A 17

x3A5A 17

x15 17

(3) 80 A 15

x4 5 A 5 A 3

x4A5A 3

x20 3

(4) 18 A 54

x3 2 A3 6

x3A3A 2 A 6

x9A 2 A 2 A 3

x9A2A 3

x18 3

(1) 452

A6

3

x3 5

2A

63

x3 5 A 6

2A3

x30

2

(2) 30 A5

5

x 6 A 5 A5

5

x6 A 5 A 5

5

x5 6

5

x 6

(1) 3 C 5 x3

5

x3 A 5

5 A 5

x15

5

(2) 7 2 C P 63£ ¤ xP

7 2

63

xP7 2

3 7

xP7 2 A 7

3 7 A 7

xP7A 14

3A7

xP14

3

(3) 80 C 15

x80

15

x4 5

15

x4 5 A 15

15 A 15

x4A 5 A 5 A 3

15

x4A5A 3

15

x4 3

3

根号をふくむ式の加減

p.55

(1) 6 6 O2 6

＝ 6O2£ ¤ 6 ＝8 6

(2) 6 5 P2 5

＝ 6P2£ ¤ 5 ＝4 5

p.56

7 5 O5 3 P2 5 P3 3

＝ 7P2£ ¤ 5 O 5P3£ ¤ 3 ＝5 5 O2 3

(1) 2 3 O5 3

＝ 2O5£ ¤ 3 ＝7 3

(2) 4 5 P 5

＝ 4P1£ ¤ 5 ＝3 5

(3) 5 7 P6 7

＝ 5P6£ ¤ 7 ＝P 7

(4) 2 10 P6 10 O7 10

＝ 2P6O7£ ¤ 10 ＝3 10

(5) 2 6 P 3 P8 6

＝ 2P8£ ¤ 6 P 3 ＝P6 6 P 3

(6) 3 7 P3P2 7 O2

＝ 3P2£ ¤ 7 P3O2 ＝ 7 P1

(7) 2 O2 3 P5 2 O 3

＝ 1P5£ ¤ 2 O 2O1£ ¤ 3 ＝P4 2 O3 3

(1) 55

O2 5

5

x3 5

5

(2) 5 26

P2 2

3

x5 2

6P

4 26

x2

6

(1) 12 O 75

＝2 3 O5 3

＝7 3

(2) 108 P 48

＝6 3 P4 3

＝2 3

p.57

(1) 125 P4 5

＝5 5 P4 5

＝ 5

(2) 18 O 50

＝3 2 O5 2

＝8 2

(3) 48 O 18 P 27

＝4 3 O3 2 P3 3

＝ 3 O3 2

(4) 3 5 P 20 O 45

＝3 5 P2 5 O3 5

＝4 5

(5) P 48 O 75 P 12

＝P4 3 O5 3 P2 3

＝P 3

(1) 242

P54

3

x2 6

2P

3 63

＝ 6 P 6

＝0

(2) 84

O50

15

x2 2

4O

5 215

x2

2O

23

x3 2

6O

2 26

x5 2

6

(1) 50P6

2

x5 2 P6 2

2

＝5 2 P3 2

＝2 2

(2) 5

2O

1

5

x5

2O

55

x5 5

10O

2 510

x7 5

10

(3) 2 60 P53

＝2A2 15 P5

3

x4 15 P15

3

x11 15

3

(4) 3 O 27 P12

3

x 3 O3 3 P12 3

3

＝ 3 O3 3 P4 3

＝0

(3) 3

2O

1

2 3

x3

2 O3

2 3 A 3

x3

2O

32A3

x3

2O

36

x4 3

6

x2 3

3

(4) P3

20O

4

5

xP3

2 5O

4A 5

5 A 5

xP3A 5

2 5 A 5O

4 55

xP3 5

10O

4 55

x5 5

10

x5

2

根号をふくむ式のいろいろな計算

p.58

(1) 2 1O3 2£ ¤ ＝ 2 A1O 2 A3 2

＝ 2 O6

(2) 2 3 12 P 6£ ¤ ＝2 3 2 3 P 6£ ¤ ＝2 3 A2 3 P2 3 A 6

＝2A2A 3 A 3

P2 3 A 3 A 2£ ¤ ＝12P6 2

(3) 5 2 35 P 15£ ¤ ＝ 5 A2 35 P 5 A 15

＝ 5 A 2A 5 A 7£ ¤ P 5 A 5 A 3£ ¤

＝10 7 P5 3

(4) 2 P 10 O 14£ ¤ ＝P 2 A 10 O 2 A 14

＝P 2 A 2 A 5£ ¤ O 2 A 2 A 7£ ¤

＝P2 5 O2 7

(1) 2 2 O1£ ¤ 2 P2£ ¤ ＝2 2 A 2 P2 2 A2

O1A 2 P1A2

＝4P4 2 O 2 P2

＝2P3 2

(2) 3 O 2£ ¤ 2 ＝ 3£ ¤ 2O2A 2 A 3

O 2£ ¤ 2 ＝3O2 6 O2

＝5O2 6

(3) 5 O2£ ¤ 5 O1£ ¤ ＝ 5£ ¤ 2O 2O1£ ¤ 5 O2A1 ＝5O3 5 O2

＝7O3 5

(4) 2 2 P1£ ¤ 2 ＝ 2 2£ ¤ 2P2A1A2 2 O1 2 ＝8P4 2 O1

＝9P4 2

(5) 7 O 2£ ¤ 7 P 2£ ¤ ＝ 7£ ¤ 2P 2£ ¤ 2 ＝7－2

＝5

(説明の例)

(xPa) 2 を展開すると，x 2P2axOa 2

となるが，x 2Pa 2 としている。

(正しい計算の例)

( 5 P 3 ) 2

x( 5 ) 2P2A 3 A 5 O( 3 ) 2

x5P2 15 O3

x8P2 15

p.59

(1) 2 O1£ ¤ 2 P1£ ¤O 2 2 P1£ ¤ ＝ 2£ ¤2P12O 2£ ¤2P 2A1 ＝2P1O2P 2

＝3P 2

(2) 6 O 3£ ¤ 2P 6 P 3£ ¤ 2 ＝( 6 ) 2O2A 3 A 6 O( 3 ) 2

P ( 6 ) 2P2A 3 A 6 O( 3 ) 2« ¬ ＝6O2 18 O3P 6P2 18 O3£ ¤ ＝4 18

＝12 2

x 2Pxy

＝x xPy£ ¤ ＝ 3 O2£ ¤ 3 O2£ ¤P 3 P2£ ¤« ¬ ＝ 3 O2£ ¤ 3 O2P 3 O2£ ¤ ＝ 3 O2£ ¤A4 ＝4 3 O8

(1) x 2O2xyOy 2

＝ xOy£ ¤ 2 ＝ 2 O 3£ ¤O 2 P 3£ ¤« ¬ 2 ＝ 2 2£ ¤ 2 ＝8

(2) xOy

x 2 O 3£ ¤O 2 P 3£ ¤ x2 2

xPy

x 2 O 3£ ¤P 2 P 3£ ¤ x2 3

したがって

x 2Py 2

＝(x＋y)(x－y)

＝2 2 A2 3

＝4 6

(1) a 2P6aO9

＝ aP3£ ¤ 2 ＝ 3O 5 P3£ ¤ 2 ＝ 5£ ¤ 2 ＝5

(2) a 2P4aO3

＝ aP1£ ¤ aP3£ ¤ ＝ 3O 5£ ¤P1« ¬

A 3O 5£ ¤P3« ¬ ＝ 2O 5£ ¤A 5 ＝2 5 O5

1

3 O 2x

1A 3 P 2£ ¤3 O 2£ ¤ 3 P 2£ ¤

x3 P 2

3£ ¤ 2P( 2 ) 2

x3 P 23P2

x 3 P 2

平方根の利用

p.60

(1) 略

(2) 色のついた四角形は正方形で，

その面積は1辺が2の正方形の面

積の半分であるから 12A2A2x2

CEは色のついた正方形の 1辺で

あるから CE 2x2

CE＞0 であるから CE＝ 2

答 2

(3) (1)より CD＝CD´xCE

(2)より BC：CE＝1： 2

であるから BC：CD＝1 : 2

答 1： 2

p.61

(1) 3 2 x 9 A 2

x 18

(2) 4 6 x 16 A 6

x 96

(3) 6 5 x 36 A 5

x 180

(1) 24 x 4A6

x 4 A 6

x2 6

(2) 48 x 16A3

x 16 A 3

x4 3

(3) 50 x 25A2

x 25 A 2

x5 2

(1) 3

2x

3A 2

2 A 2

x3 2

2

(2) 5

7x

5 A 7

7 A 7

x35

7

(3) 9

2 3x

9A 3

2 3 A 3

x9A 3

2A3

x3 3

2

(1) 32 × 20

＝4 2 ×2 5

＝4A2A 2 × 5

＝8 10

(2) 6 × 42

＝ 6 × 6 A 7

＝6 7

(3) 2 15 ×3 3

＝2A3A 3 × 15

＝6A 3 × 3 A 5

＝18 5

(4) 3 ÷ 10

x3

10

x3 A 10

10 A 10

x30

10

(5) 3 5 C 32

x3 5 C4 2

x3 5

4 2

x3 5 A 2

4 2 A 2

x3 10

8

(6) 50 C 6

x50

6

x5 2

6

x5 2 A 6

6 A 6

x5 2A 2A 3

6

x5A2A 3

6

x5 3

3

(1) 8 2 O4 2

＝ 8O4£ ¤ 2 ＝12 2

(2) 8 3 P5 3

＝ 8P5£ ¤ 3 ＝3 3

(3) 4 5 O3 7 P2 5 O 7

＝ 4P2£ ¤ 5 O 3O1£ ¤ 7 ＝2 5 O4 7

(4) 4 3 P3 6 P 3 O2 6

＝ 4P1£ ¤ 3 O P3O2£ ¤ 6 ＝3 3 P 6

(5) 32 O 8

＝4 2 O2 2

＝6 2

(6) 45 P 80

＝3 5 P4 5

＝P 5

(7) P 2 O5 8 O 50

＝P 2 O10 2 O5 2

＝14 2

(8) 12 P 27 O1

3

x2 3 P3 3 O3

3

xP2 3

3

(1) 5 10 P1£ ¤ ＝ 5 A 10 P 5 A1

＝ 5 A 5 A 2 P 5

＝5 2 P 5

(2) 7 P 3£ ¤ 2 ＝7P2 21 O3

＝10P2 21

(3) 5 O2£ ¤ 5 P2£ ¤ ＝5－4

＝1

(4) 6 O 2£ ¤ 6 P 2£ ¤ ＝6－2

＝4

p.62

(1) 64 の平方根はE8 である。

(2) P6£ ¤ 2 は 6 に等しい。 (3) 16 は 4 である。

(4) 正しい

(5) 16 P 9 は 1 に等しい。

n が 0 のとき， n x 0 x0

n が 1 のとき， n x 1 x1

n が 2 のとき， n x 2

n が 3 のとき， n x 3

n が 4 のとき， n x 4 x2

答 2，3

(1) 32x9 ， 11£ ¤ 2x11 で， 9＜11 であるから

9t 11

すなわち 3t 11

(2) 62x36 ， 38£ ¤ 2x38 ， 35£ ¤ 2x35 で，35＜36＜38 であ

るから

35 t 36 t 38

すなわち 35t6t 38

したがって

P 38tP6tP 35

(1) 7 A 56

＝ 7 A 7A2 3

＝ 7A7A2 3

＝7A2 2

＝14 2

(2) 80 A 12

＝4 5 A2 3

＝4A2A 5 A 3

＝8 15

(3) 42 C 14

＝42

14

＝ 4214

＝ 3

(4) 10C 15

x10

15

x10A 15

15 A 15

x10A 15

15

x2 15

3

(5) 2 7 O5 7

x 2O5£ ¤ 7 x7 7

(6) 5 5 O 3 P3 5 O4 3

x 5P3£ ¤ 5 O 1O4£ ¤ 3 x2 5 O5 3

(7) 18 P 2

x3 2 P 2

x2 2

(8) 112 P 28 O 7

x4 7 P2 7 O 7

x3 7

(9) 15

5P

204

x15 5

5P

2 54

x3 5 P5

2

x5 5

2

(10) 3 12 O2 18£ ¤ x 3 2 3 O6 2£ ¤ x 3 A2 3 O 3 A6 2

x6O6 6

(11) 5 O1£ ¤ 5 O4£ ¤ x5O5 5 O4

x9O5 5

(12) 3 O 6£ ¤ 2 x3O2 18 O6

x9O6 2

120 を素因数分解すると

120＝2 3A3A5

これをある自然数の 2 乗にするために

は，2 3A3A5 に 2×3×5＝30 をかけて

2 3A3A5A2A3A5x(2 2A3A5) 2

x60 2

とすればよい。

答 120 に 30 をかけると，

60 の 2 乗になる

底面の 1 辺の長さが acm，高さが 10cm

の正四角柱の体積は

a 2A10x10a 2 cm 3£ ¤ 10a 2x600 より

a 2x60

n＜a＜n＋1 とするとき，

7 2x49 ，8 2x64 であるから，

n にあてはまる整数は 7 である。

答 7

p.63

(1) 75 C5 2 A 6

＝5 3 C5 2 A 6

＝5 3

5 2A 6

＝3

2A 6

＝3 A 3 A 2

2

＝3

(2) 2 5 P 15 A 3

＝2 5 P 3 A 5 A 3

＝2 5 P3 5

＝P 5

(3) 8

2P2 6 A 12

x8 2

2P2 6 A2 3

x4 2 P4A3A 2

x4 2 P12 2

xP8 2

(4) 5 O1£ ¤ 2P 105

x5O2 5 O1P10 5

5

＝6O2 5 P2 5

＝6

(5) 3 P 2£ ¤ 2 P 7 P 3£ ¤ 7 O 3£ ¤

＝3P2 6 O2P 7P3£ ¤ ＝5P2 6 P4

＝1P2 6

(1) 15

7 A 5

x5 A 3

7 A 5

x3

7

x3 A 7

7 A 7

x21

7

(2) 6 O 10

2

x2 A 3 O 2 A 5

2

x2 3 O 5£ ¤

2

x 3 O 5

(1) 3.7t a t4 であるから

3.7 2tat4 2

13.69＜a＜16

となる。

答 14，15

(2) a は自然数であるから，

14Pa が整数になるのは，

14－a が 9，4，1，0 になるときで

ある。

したがって

14－a＝9 のとき a＝5

14－a＝4 のとき a＝10

14－a＝1 のとき a＝13

14－a＝0 のとき a＝14

となる。

答 5，10，13，14

45 を素因数分解すると

45x3 2A5

であるから，45×a が自然数の 2 乗にな

るのは a が 5 と自然数の 2 乗の積にな

る場合である。

100 以下の自然数で，条件を満たす a は

5A1 2x5

5A2 2x20

5A3 2x45

5A4 2x80

となる。

答 5，20，45，80

4t7t9 であるから，2t 7 t3

したがって， 7 の小数部分 a は

7 P2 と表される。

a aO4£ ¤ x 7 P2£ ¤ 7 P2O4£ ¤ x 7 P2£ ¤ 7 O2£ ¤ x 7£ ¤ 2P22 ＝7－4

＝3

答 3

A4 判の紙の短い辺の長さを 1 とすると長

い辺の長さは 2 と表せる。

また，A4 判の紙の長い辺を 2 等分するよ

うに半分に切ると A5 判の紙になるから，

短い辺と長い辺の長さは，それぞれ

22

，1 となる。

短い辺と長い辺の長さの比は

22

: 1＝ 2 : 2

x1 :2

2

x1 : 2

したがって，A5 判と A4 判の紙で，短い

辺と長い辺の長さの比は等しい。