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25 años. XXV Olimpiada Thales. 25 años:. Se escriben en una pizarra los números 1, 2, 3, 4, …., 24, 25. Se eligen dos de ellos de forma arbitraria, se borran y se escribe en la pizarra la diferencia entre ellos (habrá entonces 24 números en la pizarra). - PowerPoint PPT Presentation
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XXV Olimpiada Thales
Se escriben en una pizarra los números 1, 2, 3, 4, …., 24, 25. Se eligen dos de ellos de forma arbitraria, se borran y se escribe en la pizarra la diferencia entre ellos (habrá entonces 24 números en la pizarra).
Al final quedará un único número. ¿Hay alguna forma de que sea un 2?
Se vuelven a coger dos números de los escritos en la pizarra, se borran y se vuelve a escribir su diferencia en la pizarra. Esta operación la seguimos repitiendo mientras podamos.
25 años:
SoluciónSoluciónMenúMenú
MenúMenú
Vamos a hacer un primer intento
12
3 45 6 7
89
10
131
1 12
14
15
16 17
18
19 20
21 22
23 2
425
33212155710256
--
-
---
-
--
=
=
==
=
==
====
=---
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
1
3
5 6
7
101
2
Vamos a continuar con las restas de lo que queda en la pizarra
3
62
2
55
Recordemos que el objetivo es que al final nos quede solo un 2
- =
-
-
-
-
-
=
=
=
=
=
2
1
1
0
0
0
-
-
=
=1
0
Luego nos hemos quedado con un 1
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
Después de hacer varios intentos, nos damos cuenta de que podemos conseguir un 1 pero no damos con el dos.
Veamos por qué es imposible conseguir el 2.
La idea es
que la suma de todos los números que hay en la pizarra en cada momento, aunque cambia, nunca puede ser un número par.
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
La suma de los números del 1 al 25 se puede calcular usando el conocido truco de Gauss:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1325 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
26262626 26 26262626262626
13
el primero más el último 12 veces, más el número que está en medio, el 13.
26·12 13325 Que es un número impar
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
Luego al añadir este número a la pizarra
Al elegir los dos números, que se van a borrar, pueden ocurrir tres casos:
Caso 1: Que cojamos dos números pares
2m 2n+ 2(m+n)=Luego en la pizarra la suma que queda es
325 2(m+n)= impar-Además
2m - 2n =2(m-n) par
+ impar=
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
Luego, al añadir este número a la pizarra,
Caso 2: Que cojamos dos números impares
(2m+1)
(2n+1)
+ 2(m+n)+2
=Luego, en la pizarra, la suma que queda es
325 2(m+n)-2
= impar-Además
(2m+1)
- (2n+1)
= 2(m-n)
+ =
par
impar
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
Luego, al añadir este número a la pizarra,
Caso 3: Que cojamos un número par y otro impar
2m (2n+1)
+ 2(m+n)+1
=Luego, en la pizarra, la suma que queda es
325 2(m+n)-1
= par-Además
2m- (2n+1)
=2(m-n)-1impar
+ = impar
Solución:
EnunciadoEnunciado
MenúMenú
En resumen,
luego nunca puede salir un
Coja los números que coja, al borrarlos y escribir su diferencia en la pizarra,
la suma total de los números que quedan, siempre seguirá siendo impar,
Solución:
EnunciadoEnunciado
