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XXV Olimpiada Thales

XXV Olimpiada Thales. LA RANA SALTARINA DE THALES Solución Menú Thales tenía una rana saltarina y les planteó un juego a sus discípulos: Si la rana se

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XXV Olimpiada Thales

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LA RANA SALTARINA DE THALES

SoluciónSolución MenúMenú

Thales tenía una rana saltarina y les planteó un juego a sus discípulos:

Si la rana se encuentra en el interior de cada una de las figuras e intenta cruzar todos los lados de las mismas una y sólo una vez, terminando fuera de la figura, ¿en cuántas de esas figuras puede la rana trazar un itinerario de dentro a fuera? Thales le demuestra a los amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo. ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Justifica las respuestas.

Utilizando las mismas figuras geométricas que el caso anterior, si la rana empieza y termina dentro de las figuras, ¿podría cruzar todos los lados una y solo una vez? ¿Se podría encontrar análogamente una regla general como en el caso anterior? Justifica las respuestas.

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Solución

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¡Vayamos por parte para resolver el problema de la rana saltarina!

¿Cómo le demostró Thales a sus amigos que la rana puede

hacerlo en el caso del triángulo?

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

La rana empieza dentro y termina fuera pasando una sola vez por cada lado del triángulo

La rana empieza dentro y termina fuera pasando una sola vez por cada lado del triángulo

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Solución

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

triángulo

Caso

del

triángulo

Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa

de Dentro (D) a Fuera (F)

Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa

de Dentro (D) a Fuera (F)

AA

¡Ahora la rana está Fuera (F)!

¡Ahora la rana está Fuera (F)!

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¡De nuevo la rana está Dentro (D)!

¡De nuevo la rana está Dentro (D)!

Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana

pasa de Fuera (F) a Dentro (D)

Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana

pasa de Fuera (F) a Dentro (D) BB

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

triángulo

Caso

del

triángulo

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Si llamamos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa

de nuevo de Dentro (D) a Fuera (F)

Si llamamos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa

de nuevo de Dentro (D) a Fuera (F)

CC

¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera!

¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera!

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

triángulo

Caso

del

triángulo

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Solución

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Por lo tanto en el caso del triángulo la rana puede trazar un

itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por

los tres lados

Por lo tanto en el caso del triángulo la rana puede trazar un

itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por

los tres lados

AA

BB

CC

En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario

D_F_D_F

En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario

D_F_D_F

Tenía razón Thales!

Tenía razón Thales!

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

triángulo

Caso

del

triángulo

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Seguimos con el cuadrado:

¿Sucederá lo mismo que con el triángulo?

¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del cuadrado?

Seguimos con el cuadrado:

¿Sucederá lo mismo que con el triángulo?

¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del cuadrado?

??

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

triángulo

Caso

del

triángulo

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Veamos la secuencia del itinenario de dentro a fuera de forma análoga con el cuadrado:

Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa

de Dentro (D) a Fuera (F)

Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa

de Dentro (D) a Fuera (F)AA

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

cuadrado

Caso

del

cuadrado

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Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a

Dentro (D)

Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a

Dentro (D)

BB

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

cuadrado

Caso

del

cuadrado

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Llamemos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa

de Dentro (D) a Fuera (F)

Llamemos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa

de Dentro (D) a Fuera (F)CC

Caso

del

cuadrado

Caso

del

cuadrado

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Llamemos D al cuarto punto de cruce donde la rana

pasa de Fuera (F) a Dentro (D)

Llamemos D al cuarto punto de cruce donde la rana

pasa de Fuera (F) a Dentro (D)

DD

¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro

(D)!

¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro

(D)!

Caso

del

cuadrado

Caso

del

cuadrado

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Por lo tanto ,en el caso del cuadrado la rana no puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por

los cuatro lados

Por lo tanto ,en el caso del cuadrado la rana no puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por

los cuatro lados

En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario

D_F_D_F_D

En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario

D_F_D_F_D

AA

BB

DD

CC

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso

del

cuadrado

Caso

del

cuadrado

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¿Qué pasará con el pentágono?

¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola

vez por cada lado del pentágono?

¿Qué pasará con el pentágono?

¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola

vez por cada lado del pentágono?

??

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso del

pentágono

Caso del

pentágono

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Siguiendo un razonamiento

análogo veamos la secuencia del

itinerario de dentro a fuera en el

pentágonoAA DD

CCBB

EE

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso del

pentágono

Caso del

pentágono

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AA DD

CCBB

EE

Por lo tanto, en el caso del

Pentágono, la rana sí puede

trazar un itinerario de dentro-a-fuera,

pasando una y solo una vez por los

cinco lados

Por lo tanto, en el caso del

Pentágono, la rana sí puede

trazar un itinerario de dentro-a-fuera,

pasando una y solo una vez por los

cinco lados

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso del

pentágono

Caso del

pentágono

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MenúMenúEnunciadoEnunciado

AA DD

CCBB

EE

En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario

D_F_D_F_D_F

En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario

D_F_D_F_D_F

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso del

pentágono

Caso del

pentágono

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¿Qué pasará con el hexágono?

¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola

vez por cada lado del hexágono?

¿Qué pasará con el hexágono?

¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola

vez por cada lado del hexágono? ??

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Caso del

hexágono

Caso del

hexágono

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AA

DD

CCBB

EE

Siguiendo el mismo razonamiento

en el hexágono, tenemos el

itinerario

D_F_D_F_D_F_D

Siguiendo el mismo razonamiento

en el hexágono, tenemos el

itinerario

D_F_D_F_D_F_D FF

Caso del

hexágono

Caso del

hexágono

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Tenemos la serie de resultados para las figuras:

1. El itinerario es: D-F-D-F

2. El itinenario es: D-F-D-F-D

3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F

4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D

Tenemos la serie de resultados para las figuras:

1. El itinerario es: D-F-D-F

2. El itinenario es: D-F-D-F-D

3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F

4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

¡Con todo lo anterior, es muy fácil dar una respuesta a la pregunta: ¡Con todo lo anterior, es muy fácil dar una respuesta a la pregunta:

¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras?¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras?

Para un polígono regular con un número “n” impar de lados

la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F)

pasando una sola vez por cada lado del polígono:

D_F_D_F_D_F_D_..........._F

Para un polígono regular con un número “n” impar de lados

la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F)

pasando una sola vez por cada lado del polígono:

D_F_D_F_D_F_D_..........._F

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Se ha estudiado el itinerario de la rana cuando se trata de polígonos regulares.

¿Pasaría lo mismo con otras figuras como los polígonos irregulares?

Se ha estudiado el itinerario de la rana cuando se trata de polígonos regulares.

¿Pasaría lo mismo con otras figuras como los polígonos irregulares?

n=5n=5n=4n=4 n=6n=6

n=7n=7

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

n=4n=4La secuencia en el itinerario empezando

saliendo por A es

D_F_D_F_D

La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A

es

D_F_D_F_DAA

**

**

**

**

n=5n=5AA **

****

**

**

La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A

es

D_F_D_F_D_F

La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A

es

D_F_D_F_D_F

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

n=6n=6La secuencia en el itinerario empezando

saliendo por A es

D_F_D_F_D_F_D

La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A

es

D_F_D_F_D_F_D

AA

La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A

es

D_F_D_F_D_F_D_F

La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A

es

D_F_D_F_D_F_D_F

**

**

**

**

**

**

n=7n=7

AA ****

**

**

**

**

**

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

Parte 1

Itinerario: Dentro-Fuera

En resumen hemos llegado a un importante resultado como regla general:En resumen hemos llegado a un importante resultado como regla general:

Para un polígono regular o irregular con un número “n” impar de lados

la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F)

pasando una sola vez por cada lado del polígono:

D_F_D_F_D_F_D_..........._F

Para un polígono regular o irregular con un número “n” impar de lados

la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F)

pasando una sola vez por cada lado del polígono:

D_F_D_F_D_F_D_..........._F

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¡Una vez estudiados los casos del itinerario dentro (D)-fuera(F) parece fácil responder al itinerario dentro(D)-dentro(D) con las mismas figuras anteriores

Parte 2

Itinerario: Dentro-Dentro

Parte 2

Itinerario: Dentro-Dentro

La rana empieza dentro y termina dentro pasando una sola vez por cada lado del triángulo

La rana empieza dentro y termina dentro pasando una sola vez por cada lado del triángulo

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Parte 2

Itinerario: Dentro-Dentro

Parte 2

Itinerario: Dentro-Dentro

Solo tenemos que utilizar los resultados obtenidos; sabemos que la serie de resultados para las figuras:

1. El itinerario es: D-F-D-F

2. El itinenario es: D-F-D-F-D

3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F

4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D

Solo tenemos que utilizar los resultados obtenidos; sabemos que la serie de resultados para las figuras:

1. El itinerario es: D-F-D-F

2. El itinenario es: D-F-D-F-D

3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F

4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D

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Parte 1

Itinerario: Dentro-Dentro

Parte 1

Itinerario: Dentro-Dentro

CONCLUSIÓN: Problema resuelto!

Es muy fácil dar una respuesta al itinerario

dentro(D)-dentro(D)

CONCLUSIÓN: Problema resuelto!

Es muy fácil dar una respuesta al itinerario

dentro(D)-dentro(D)

Para un polígono regular e irregular con un número “n” par de lados

la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Dentro (D)

pasando una sola vez por cada lado del polígono:

D_F_D_F_D_F_D_F_..........._D

Para un polígono regular e irregular con un número “n” par de lados

la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Dentro (D)

pasando una sola vez por cada lado del polígono:

D_F_D_F_D_F_D_F_..........._D