Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
y +1/1/60+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируется ги-потеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматриваетсякритерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятность ошибки2-го рода для этого критерия равна:
A 0.1
B 0.4
C 0.2
D 0.5
E 0.3
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом максимальногоправдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотности f(x) =12a
3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n ln a− a∏
lnxi
B 3n∏
ln a− axnC 3n ln a− an lnxi
D 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
E 3n ln a− a∑xi
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F1,7
B F7,2
C t2
D F2,7
E F1,2
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
B Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
C Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
D Вероятность принять неверную гипотезу
E Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 20, H0 не отвергается
B 24, H0 не отвергается
C 53, H0 отвергается
D 12.75, H0 не отвергается
E 65.75, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
y y
y +1/2/59+ yВопрос 6 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = 68, χ22
B LR = ln 34, χ2n−2
C LR = ln 68, χ2n−2
D LR = 34, χ2n−1
E LR = 34, χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.29, H0 не отвергается
B 1.65, H0 отвергается
C 1.96, H0 отвергается
D 1.29, H0 отвергается
E 1.34, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математических ожи-даний в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A χ2n1+n2−1
B tn1+n2
C Fn1,n2
D tn1+n2−2
E tn1+n2−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 1n
∑ni=1Xi
B 12n
∑2ni=1Xi
C X1+X2
2
D 1n
∑2ni=n+1Xi
E X1
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке
размером n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим
размером n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A χ2n1+n2
B N(0; 1)
C Fn1,n2
D Fn1−1,n2−1
E tn1+n2−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 0.33
B 3.3
C 3
D 100/11
E 10
F Нет верного ответа.
y y
y +1/3/58+ yВопрос 12 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.75
B 2.5
C 0.25
D 0.5
E 7.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 13 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 0.01
B 10
C 1
D 100
E 0.1
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≤ 1
B α+ β ≥ 1
C α ≤ βD α ≥ β
E α+ β = 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
D Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A асимптотически несмещенной и состоя-тельной
B смещенной и состоятельнойC несмещенной и несостоятельной
D несмещенной и состоятельной
E смещенной и несостоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 1/11
B 10
C 11/100
D 100/11
E 1/10
F Нет верного ответа.
y y
y +1/4/57+ yВопрос 18 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.37, H0 не отвергается
B 0.78, H0 отвергается
C 1.26, H0 отвергается
D 0.3, H0 не отвергается
E 0.48, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 3/4
B 80
C 4
D 25
E 4/3
F Нет верного ответа.
Вопрос 20 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
B E(θ̂n)→ θ
C E(θ̂n) = θ
D P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
E Var(θ̂n)→ 0
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A tn−1
B χ2n
C tn
D χ2n−1
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.04
B 0.4
C 0.016
D 0.16
E 1.6
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.85
B 0.58
C 0.98
D 0.87
E 0.78
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
Ak
√kX
k
B k
√(k + 1)X
k
C k
√(k + 1)Xk
D k+1
√(k + 1)X
k
Ek√kXk
F Нет верного ответа.
y y
y +1/5/56+ yВопрос 25 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 139
B 179
C 79
D 100
E 39
F Нет верного ответа.
Вопрос 26 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi
n + 2
B∑x2i−4
∑xi
n + 4
C∑x2i−4
∑xi+4
n
D∑x2i−4
∑xi+2
n
E∑x2i−4
∑xi
n
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они равныB µ̂MM > µ̂ML
C они не равны, и не сближаются при n →∞
D µ̂MM < µ̂ML
E они не равны, но сближаются при n→∞
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A tn
B N(0, 1)
C χ2n−1
D tn−1
E χ2n
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A (n− 1)σ2
B σ2/n
C µ
D σ2
E σ̂2
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A N(0, 1)
B tn−1
C tn−3
D F1,n−2
E χ2n−4
F Нет верного ответа.
y y
y +1/6/55+ yВопрос 31 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид
(10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 15
B 12
C 2
D 6
E 18
F Нет верного ответа.
Вопрос 32 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ23
B χ24
C χ22
D χ21
E t2
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается, только если Ha : σ < 1
B Не отвергается
C Отвергается, только если Ha : σ > 1
D Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
E Отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (θ + 1)xnθ
B (θ + 1)n∏xθi
C (θ + 1)∑xi
D∑
(θ + 1)xθi
E (∑xi)
θ
F Нет верного ответа.
y y
y +1/7/54+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +2/1/53+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по выборкаразмера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , и оценкумаксимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A µ̂MM > µ̂ML
B они не равны, и не сближаются при n →∞
C µ̂MM < µ̂ML
D они равны
E они не равны, но сближаются при n→∞
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величины:0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответствиираспределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова для уров-ня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.78, H0 отвергается
B 0.48, H0 не отвергается
C 1.26, H0 отвергается
D 0.37, H0 не отвергается
E 0.3, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке разме-
ром n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим размером
n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A Fn1,n2
B N(0; 1)
C Fn1−1,n2−1
D tn1+n2−1
E χ2n1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 139
B 179
C 79
D 100
E 39
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожиданиемµ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная оценка
µ принимает значение
A 10
B 3.3
C 100/11
D 0.33
E 3
F Нет верного ответа.
y y
y +2/2/52+ yВопрос 6 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A смещенной и несостоятельнойB несмещенной и несостоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-
тельной
D несмещенной и состоятельной
E смещенной и состоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A tn−1
B χ2n
C N(0, 1)
D χ2n−1
E tn
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A X1
B 12n
∑2ni=1Xi
C 1n
∑2ni=n+1Xi
D 1n
∑ni=1Xi
E X1+X2
2
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
B Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
C Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
D Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
E Вероятность принять неверную гипотезу
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A σ̂2
B σ2
C σ2/n
D µ
E (n− 1)σ2
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A F1,n−2
B χ2n−4
C N(0, 1)
D tn−1
E tn−3
F Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.1
B 0.2
C 0.3
D 0.4
E 0.5
F Нет верного ответа.
y y
y +2/3/51+ yВопрос 13 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.58
B 0.85
C 0.78
D 0.87
E 0.98
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 65.75, H0 отвергается
B 20, H0 не отвергается
C 53, H0 отвергается
D 24, H0 не отвергается
E 12.75, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
B Отвергается, только если Ha : σ > 1
C Отвергается, только если Ha : σ < 1
D Не отвергается
E Отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
A k
√(k + 1)Xk
B k+1
√(k + 1)X
k
C k
√(k + 1)X
k
Dk
√kX
k
Ek√kXk
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 15
B 18
C 6
D 2
E 12
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 4/3
B 4
C 3/4
D 80
E 25
F Нет верного ответа.
y y
y +2/4/50+ yВопрос 19 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = ln 34, χ2n−2
B LR = 34, χ2n−1
C LR = 34, χ22
D LR = 68, χ22
E LR = ln 68, χ2n−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 20 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 0.01
B 100
C 0.1
D 1
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F1,2
B t2
C F7,2
D F1,7
E F2,7
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.16
B 0.4
C 1.6
D 0.016
E 0.04
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 2.5
B 0.75
C 0.5
D 0.25
E 7.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
D Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
F Нет верного ответа.
y y
y +2/5/49+ yВопрос 25 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi+2
n
B∑x2i−4
∑xi
n
C∑x2i−4
∑xi
n + 2
D∑x2i−4
∑xi
n + 4
E∑x2i−4
∑xi+4
n
F Нет верного ответа.
Вопрос 26 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A tn−1
B χ2n
C tn
D χ2n−1
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≥ 1
B α ≤ βC α ≥ βD α+ β = 1
E α+ β ≤ 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A χ2n1+n2−1
B tn1+n2−1
C tn1+n2
D Fn1,n2
E tn1+n2−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ21
B χ22
C χ23
D t2
E χ24
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 1/11
B 1/10
C 100/11
D 10
E 11/100
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A∑
(θ + 1)xθi
B (θ + 1)xnθ
C (∑xi)
θ
D (θ + 1)n∏xθi
E (θ + 1)∑xi
F Нет верного ответа.
y y
y +2/6/48+ yВопрос 32 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n ln a− a∏
lnxi
B 3n ln a− an lnxi
C 3n ln a− a∑xi
D 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
E 3n∏
ln a− axn
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.29, H0 отвергается
B 1.96, H0 отвергается
C 1.34, H0 не отвергается
D 1.65, H0 отвергается
E 1.29, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A E(θ̂n)→ θ
B P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
C E(θ̂n) = θ
D Var(θ̂n)→ 0
E Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
F Нет верного ответа.
y y
y +2/7/47+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +3/1/46+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известной дис-персии используется статистика, имеющая распределение
A χ2n
B tn−1
C χ2n−1
D N(0, 1)
E tn
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 12
B 15
C 6
D 2
E 18
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 — Ас-капоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.04
B 1.6
C 0.16
D 0.016
E 0.4
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом максимальногоправдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотности f(x) =12a
3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n ln a− a∏
lnxi
B 3n ln a− a∑xi
C 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
D 3n∏
ln a− axnE 3n ln a− an lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Вероятность принять неверную гипотезу
B Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
C Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
D Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
E Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 6 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F7,2
B F1,7
C F2,7
D t2
E F1,2
F Нет верного ответа.
y y
y +3/2/45+ yВопрос 7 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 1n
∑ni=1Xi
B X1
C 1n
∑2ni=n+1Xi
D X1+X2
2
E 12n
∑2ni=1Xi
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математических ожи-даний в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A tn1+n2
B Fn1,n2
C χ2n1+n2−1
D tn1+n2−1
E tn1+n2−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке разме-
ром n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим размером
n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A N(0; 1)
B tn1+n2−1
C Fn1,n2
D χ2n1+n2
E Fn1−1,n2−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 10
B 0.1
C 100
D 0.01
E 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ21
B χ24
C χ23
D χ22
E t2
F Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 1/10
B 11/100
C 1/11
D 100/11
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 13 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A tn−1
B N(0, 1)
C χ2n−1
D tn
E χ2n
F Нет верного ответа.
y y
y +3/3/44+ yВопрос 14 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 3/4
B 4/3
C 80
D 4
E 25
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.98
B 0.87
C 0.58
D 0.78
E 0.85
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 3
B 0.33
C 100/11
D 10
E 3.3
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.37, H0 не отвергается
B 0.78, H0 отвергается
C 0.48, H0 не отвергается
D 0.3, H0 не отвергается
E 1.26, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Не отвергается
B Отвергается, только если Ha : σ > 1
C Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
D Отвергается
E Отвергается, только если Ha : σ < 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A tn−3
B N(0, 1)
C tn−1
D χ2n−4
E F1,n−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 20 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A Var(θ̂n)→ 0
B E(θ̂n)→ θ
C P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
D E(θ̂n) = θ
E Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
F Нет верного ответа.
y y
y +3/4/43+ yВопрос 21 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.25
B 0.5
C 2.5
D 0.75
E 7.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.4
B 0.5
C 0.1
D 0.2
E 0.3
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = 34, χ2n−1
B LR = 68, χ22
C LR = ln 34, χ2n−2
D LR = 34, χ22
E LR = ln 68, χ2n−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
C Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и несостоятельной
B смещенной и состоятельной
C несмещенной и состоятельной
D смещенной и несостоятельной
E асимптотически несмещенной и состоя-тельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 26 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≤ 1
B α+ β ≥ 1
C α+ β = 1
D α ≤ βE α ≥ βF Нет верного ответа.
y y
y +3/5/42+ yВопрос 27 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
A k
√(k + 1)X
k
Bk
√kX
k
C k+1
√(k + 1)X
k
Dk√kXk
E k
√(k + 1)Xk
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi
n + 4
B∑x2i−4
∑xi
n + 2
C∑x2i−4
∑xi
n
D∑x2i−4
∑xi+2
n
E∑x2i−4
∑xi+4
n
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они не равны, но сближаются при n→∞B µ̂MM > µ̂ML
C они не равны, и не сближаются при n →∞
D они равны
E µ̂MM < µ̂ML
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.34, H0 не отвергается
B 1.96, H0 отвергается
C 1.29, H0 не отвергается
D 1.29, H0 отвергается
E 1.65, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A σ2/n
B σ̂2
C µ
D σ2
E (n− 1)σ2
F Нет верного ответа.
Вопрос 32 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 53, H0 отвергается
B 24, H0 не отвергается
C 20, H0 не отвергается
D 65.75, H0 отвергается
E 12.75, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
y y
y +3/6/41+ yВопрос 33 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 100
B 179
C 79
D 139
E 39
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (∑xi)
θ
B∑
(θ + 1)xθi
C (θ + 1)∑xi
D (θ + 1)n∏xθi
E (θ + 1)xnθ
F Нет верного ответа.
y y
y +3/7/40+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +4/1/39+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по выборкаразмера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , и оценкумаксимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они не равны, и не сближаются при n →∞
B они равныC µ̂MM > µ̂ML
D µ̂MM < µ̂ML
E они не равны, но сближаются при n→∞
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 65.75, H0 отвергается
B 20, H0 не отвергается
C 24, H0 не отвергается
D 53, H0 отвергается
E 12.75, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается
B Отвергается, только если Ha : σ < 1
C Отвергается, только если Ha : σ > 1
D Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
E Не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A χ2n
B N(0, 1)
C tn−1
D χ2n−1
E tn
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 — Ас-капоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.16
B 0.04
C 0.016
D 0.4
E 1.6
F Нет верного ответа.
y y
y +4/2/38+ yВопрос 6 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.65, H0 отвергается
B 1.29, H0 не отвергается
C 1.29, H0 отвергается
D 1.34, H0 не отвергается
E 1.96, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 12n
∑2ni=1Xi
B X1+X2
2
C 1n
∑ni=1Xi
D 1n
∑2ni=n+1Xi
E X1
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математических ожи-даний в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A tn1+n2−2
B tn1+n2−1
C χ2n1+n2−1
D tn1+n2
E Fn1,n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожиданиемµ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная оценка
µ принимает значение
A 3.3
B 10
C 0.33
D 100/11
E 3
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A χ2n
B χ2n−1
C tn
D tn−1
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 80
B 3/4
C 25
D 4/3
E 4
F Нет верного ответа.
y y
y +4/3/37+ yВопрос 12 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n∏
ln a− axn
B 3n ln a− an lnxi
C 3n ln a− a∑xi
D 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
E 3n ln a− a∏
lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 13 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.75
B 0.25
C 0.5
D 2.5
E 7.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и состоятельнойB несмещенной и несостоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-
тельной
D смещенной и состоятельной
E смещенной и несостоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.37, H0 не отвергается
B 1.26, H0 отвергается
C 0.78, H0 отвергается
D 0.48, H0 не отвергается
E 0.3, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (θ + 1)n∏xθi
B (∑xi)
θ
C (θ + 1)xnθ
D (θ + 1)∑xi
E∑
(θ + 1)xθi
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 1
B 0.01
C 10
D 0.1
E 100
F Нет верного ответа.
y y
y +4/4/36+ yВопрос 18 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = ln 68, χ2n−2
B LR = 34, χ2n−1
C LR = 68, χ22
D LR = 34, χ22
E LR = ln 34, χ2n−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F1,7
B F2,7
C t2
D F1,2
E F7,2
F Нет верного ответа.
Вопрос 20 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 10
B 11/100
C 1/11
D 100/11
E 1/10
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 139
B 39
C 179
D 100
E 79
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≥ 1
B α+ β = 1
C α ≥ βD α ≤ β
E α+ β ≤ 1
F Нет верного ответа.
y y
y +4/5/35+ yВопрос 24 ♣ Пусть σ̂2
1 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборкеразмером n1, σ̂2
2 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшимразмером n2. Тогда статистика σ̂2
1/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A Fn1−1,n2−1
B N(0; 1)
C Fn1,n2
D tn1+n2−1
E χ2n1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
A k+1
√(k + 1)X
k
Bk√kXk
Ck
√kX
k
D k
√(k + 1)Xk
E k
√(k + 1)X
k
F Нет верного ответа.
Вопрос 26 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A tn−3
B N(0, 1)
C tn−1
D χ2n−4
E F1,n−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.3
B 0.1
C 0.2
D 0.4
E 0.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.78
B 0.98
C 0.85
D 0.58
E 0.87
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 2
B 15
C 6
D 18
E 12
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi+2
n
B∑x2i−4
∑xi+4
n
C∑x2i−4
∑xi
n
D∑x2i−4
∑xi
n + 2
E∑x2i−4
∑xi
n + 4
F Нет верного ответа.
y y
y +4/6/34+ yВопрос 31 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ22
B χ21
C χ23
D t2
E χ24
F Нет верного ответа.
Вопрос 32 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A (n− 1)σ2
B σ2
C σ̂2
D µ
E σ2/n
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
B Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
C Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
D Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
E Вероятность принять неверную гипотезу
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
B P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
C Var(θ̂n)→ 0
D E(θ̂n) = θ
E E(θ̂n)→ θ
F Нет верного ответа.
y y
y +4/7/33+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +5/1/32+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 — Ас-капоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.4
B 0.016
C 1.6
D 0.16
E 0.04
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A E(θ̂n) = θ
B Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
C P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
D Var(θ̂n)→ 0
E E(θ̂n)→ θ
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 80
B 4/3
C 4
D 25
E 3/4
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 0.1
B 1
C 10
D 0.01
E 100
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.29, H0 отвергается
B 1.34, H0 не отвергается
C 1.29, H0 не отвергается
D 1.96, H0 отвергается
E 1.65, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 6 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожиданиемµ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная оценка
дисперсии принимает значение
A 10
B 1/11
C 100/11
D 1/10
E 11/100
F Нет верного ответа.
y y
y +5/2/31+ yВопрос 7 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается, только если Ha : σ < 1
B Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
C Не отвергается
D Отвергается
E Отвергается, только если Ha : σ > 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F2,7
B F1,7
C F1,2
D t2
E F7,2
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз 95раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.75
B 2.5
C 0.5
D 7.5
E 0.25
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
A k
√(k + 1)Xk
B k+1
√(k + 1)X
k
C k
√(k + 1)X
k
Dk
√kX
k
Ek√kXk
F Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (θ + 1)n∏xθi
B (∑xi)
θ
C∑
(θ + 1)xθi
D (θ + 1)∑xi
E (θ + 1)xnθ
F Нет верного ответа.
Вопрос 13 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какаяиз нижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 1n
∑2ni=n+1Xi
B X1+X2
2
C X1
D 12n
∑2ni=1Xi
E 1n
∑ni=1Xi
F Нет верного ответа.
y y
y +5/3/30+ yВопрос 14 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 20, H0 не отвергается
B 53, H0 отвергается
C 12.75, H0 не отвергается
D 65.75, H0 отвергается
E 24, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 39
B 79
C 100
D 139
E 179
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi+4
n
B∑x2i−4
∑xi
n
C∑x2i−4
∑xi+2
n
D∑x2i−4
∑xi
n + 4
E∑x2i−4
∑xi
n + 2
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 3
B 3.3
C 10
D 0.33
E 100/11
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A χ2n1+n2−1
B tn1+n2−1
C tn1+n2−2
D Fn1,n2
E tn1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они не равны, и не сближаются при n →∞
B µ̂MM < µ̂ML
C они равны
D µ̂MM > µ̂ML
E они не равны, но сближаются при n→∞
F Нет верного ответа.
y y
y +5/4/29+ yВопрос 20 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A χ2n
B tn
C χ2n−1
D tn−1
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≤ 1
B α ≤ βC α+ β ≥ 1
D α+ β = 1
E α ≥ βF Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A N(0, 1)
B χ2n
C χ2n−1
D tn−1
E tn
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке
размером n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим
размером n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A Fn1,n2
B N(0; 1)
C Fn1−1,n2−1
D tn1+n2−1
E χ2n1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.1
B 0.2
C 0.4
D 0.5
E 0.3
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.3, H0 не отвергается
B 0.78, H0 отвергается
C 0.48, H0 не отвергается
D 1.26, H0 отвергается
E 0.37, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 26 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = 34, χ2n−1
B LR = ln 34, χ2n−2
C LR = 68, χ22
D LR = ln 68, χ2n−2
E LR = 34, χ22
F Нет верного ответа.y y
y +5/5/28+ yВопрос 27 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A tn−1
B F1,n−2
C N(0, 1)
D χ2n−4
E tn−3
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n ln a− a∑xi
B 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
C 3n ln a− an lnxi
D 3n ln a− a∏
lnxi
E 3n∏
ln a− axn
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и несостоятельнойB смещенной и несостоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-
тельной
D несмещенной и состоятельной
E смещенной и состоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ22
B χ24
C χ21
D χ23
E t2
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 6
B 18
C 2
D 12
E 15
F Нет верного ответа.
Вопрос 32 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
B Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
C Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
D Вероятность принять неверную гипотезу
E Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A σ2/n
B µ
C (n− 1)σ2
D σ2
E σ̂2
F Нет верного ответа.
y y
y +5/6/27+ yВопрос 34 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.78
B 0.85
C 0.87
D 0.98
E 0.58
F Нет верного ответа.
y y
y +5/7/26+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +6/1/25+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и состоятельнойB смещенной и состоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-
тельной
D смещенной и несостоятельной
E несмещенной и несостоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величины:0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответствиираспределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова для уров-ня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.3, H0 не отвергается
B 1.26, H0 отвергается
C 0.37, H0 не отвергается
D 0.48, H0 не отвергается
E 0.78, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A X1+X2
2
B X1
C 1n
∑ni=1Xi
D 12n
∑2ni=1Xi
E 1n
∑2ni=n+1Xi
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 3/4
B 25
C 4
D 4/3
E 80
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
A k+1
√(k + 1)X
k
Bk
√kX
k
Ck√kXk
D k
√(k + 1)X
k
E k
√(k + 1)Xk
F Нет верного ответа.
Вопрос 6 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 1
B 0.01
C 0.1
D 10
E 100
F Нет верного ответа.
y y
y +6/2/24+ yВопрос 7 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.29, H0 не отвергается
B 1.65, H0 отвергается
C 1.34, H0 не отвергается
D 1.96, H0 отвергается
E 1.29, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке разме-
ром n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим размером
n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A χ2n1+n2
B N(0; 1)
C Fn1−1,n2−1
D Fn1,n2
E tn1+n2−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом максимальногоправдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотности f(x) =12a
3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n ln a− a∏
lnxi
B 3n ln a− a∑xi
C 3n ln a− an lnxi
D 3n∏
ln a− axnE 3n
∑ln ai − a
∑lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A σ̂2
B µ
C (n− 1)σ2
D σ2/n
E σ2
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β = 1
B α+ β ≤ 1
C α+ β ≥ 1
D α ≥ βE α ≤ βF Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 7.5
B 2.5
C 0.75
D 0.25
E 0.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 13 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F7,2
B F1,7
C F1,2
D t2
E F2,7
F Нет верного ответа.
y y
y +6/3/23+ yВопрос 14 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
B Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
C Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
D Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
E Вероятность принять неверную гипотезу
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
B E(θ̂n)→ θ
C Var(θ̂n)→ 0
D P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
E E(θ̂n) = θ
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = ln 68, χ2n−2
B LR = ln 34, χ2n−2
C LR = 34, χ2n−1
D LR = 68, χ22
E LR = 34, χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (θ + 1)∑xi
B (θ + 1)n∏xθi
C (θ + 1)xnθ
D (∑xi)
θ
E∑
(θ + 1)xθi
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 79
B 39
C 139
D 179
E 100
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 100/11
B 1/11
C 1/10
D 11/100
E 10
F Нет верного ответа.
y y
y +6/4/22+ yВопрос 20 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A µ̂MM < µ̂ML
B они не равны, и не сближаются при n →∞
C они равны
D они не равны, но сближаются при n→∞
E µ̂MM > µ̂ML
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается
B Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
C Не отвергается
D Отвергается, только если Ha : σ > 1
E Отвергается, только если Ha : σ < 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 20, H0 не отвергается
B 53, H0 отвергается
C 12.75, H0 не отвергается
D 24, H0 не отвергается
E 65.75, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.58
B 0.87
C 0.78
D 0.98
E 0.85
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 100/11
B 3
C 3.3
D 0.33
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A tn
B N(0, 1)
C χ2n−1
D tn−1
E χ2n
F Нет верного ответа.
y y
y +6/5/21+ yВопрос 26 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид
(10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 2
B 18
C 15
D 6
E 12
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ21
B χ23
C χ22
D χ24
E t2
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A tn−1
B N(0, 1)
C tn−3
D χ2n−4
E F1,n−2
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A tn
B N(0, 1)
C χ2n
D χ2n−1
E tn−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.2
B 0.4
C 0.1
D 0.5
E 0.3
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
B Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
E Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
F Нет верного ответа.
y y
y +6/6/20+ yВопрос 32 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.016
B 0.04
C 0.4
D 0.16
E 1.6
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A χ2n1+n2−1
B tn1+n2−2
C tn1+n2
D Fn1,n2
E tn1+n2−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi+4
n
B∑x2i−4
∑xi+2
n
C∑x2i−4
∑xi
n
D∑x2i−4
∑xi
n + 2
E∑x2i−4
∑xi
n + 4
F Нет верного ответа.
y y
y +6/7/19+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +7/1/18+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известной дис-персии используется статистика, имеющая распределение
A tn
B χ2n−1
C tn−1
D N(0, 1)
E χ2n
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.78
B 0.98
C 0.87
D 0.85
E 0.58
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по выборкаразмера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , и оценкумаксимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они не равны, но сближаются при n→∞B они не равны, и не сближаются при n →∞
C µ̂MM < µ̂ML
D они равны
E µ̂MM > µ̂ML
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.96, H0 отвергается
B 1.34, H0 не отвергается
C 1.65, H0 отвергается
D 1.29, H0 не отвергается
E 1.29, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке разме-
ром n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим размером
n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A Fn1−1,n2−1
B tn1+n2−1
C Fn1,n2
D χ2n1+n2
E N(0; 1)
F Нет верного ответа.
y y
y +7/2/17+ yВопрос 6 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и состоятельной
B смещенной и состоятельной
C смещенной и несостоятельной
D несмещенной и несостоятельной
E асимптотически несмещенной и состоя-тельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 2
B 12
C 6
D 15
E 18
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 — Ас-капоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.016
B 0.4
C 0.04
D 1.6
E 0.16
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≥ 1
B α+ β ≤ 1
C α ≤ βD α ≥ β
E α+ β = 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi
n
B∑x2i−4
∑xi+2
n
C∑x2i−4
∑xi
n + 4
D∑x2i−4
∑xi+4
n
E∑x2i−4
∑xi
n + 2
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.5
B 0.25
C 0.75
D 2.5
E 7.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A µ
B σ2
C σ2/n
D (n− 1)σ2
E σ̂2
F Нет верного ответа.
y y
y +7/3/16+ yВопрос 13 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (∑xi)
θ
B (θ + 1)xnθ
C (θ + 1)n∏xθi
D∑
(θ + 1)xθi
E (θ + 1)∑xi
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 0.33
B 3.3
C 100/11
D 3
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A tn−3
B F1,n−2
C N(0, 1)
D χ2n−4
E tn−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 0.01
B 0.1
C 1
D 10
E 100
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A tn1+n2−2
B tn1+n2
C tn1+n2−1
D χ2n1+n2−1
E Fn1,n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.4
B 0.3
C 0.1
D 0.5
E 0.2
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 24, H0 не отвергается
B 20, H0 не отвергается
C 12.75, H0 не отвергается
D 65.75, H0 отвергается
E 53, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
y y
y +7/4/15+ yВопрос 20 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
E Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 79
B 179
C 39
D 139
E 100
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F2,7
B F7,2
C t2
D F1,2
E F1,7
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 80
B 4
C 25
D 3/4
E 4/3
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A χ2n−1
B tn−1
C N(0, 1)
D tn
E χ2n
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какаяиз нижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 1n
∑2ni=n+1Xi
B X1+X2
2
C 1n
∑ni=1Xi
D X1
E 12n
∑2ni=1Xi
F Нет верного ответа.
y y
y +7/5/14+ yВопрос 26 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.3, H0 не отвергается
B 1.26, H0 отвергается
C 0.48, H0 не отвергается
D 0.78, H0 отвергается
E 0.37, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = ln 68, χ2n−2
B LR = ln 34, χ2n−2
C LR = 68, χ22
D LR = 34, χ2n−1
E LR = 34, χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
B Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
C Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
D Вероятность принять неверную гипотезу
E Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
Ak
√kX
k
B k
√(k + 1)Xk
Ck√kXk
D k
√(k + 1)X
k
E k+1
√(k + 1)X
k
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n ln a− an lnxi
B 3n∏
ln a− axnC 3n ln a− a
∑xi
D 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
E 3n ln a− a∏
lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Не отвергается
B Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
C Отвергается
D Отвергается, только если Ha : σ < 1
E Отвергается, только если Ha : σ > 1
F Нет верного ответа.
y y
y +7/6/13+ yВопрос 32 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ24
B t2
C χ23
D χ21
E χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A E(θ̂n)→ θ
B Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
C E(θ̂n) = θ
D Var(θ̂n)→ 0
E P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 1/10
B 100/11
C 1/11
D 10
E 11/100
F Нет верного ответа.
y y
y +7/7/12+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +8/1/11+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 12.75, H0 не отвергается
B 53, H0 отвергается
C 65.75, H0 отвергается
D 20, H0 не отвергается
E 24, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математических ожи-даний в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A tn1+n2−1
B χ2n1+n2−1
C tn1+n2−2
D Fn1,n2
E tn1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.65, H0 отвергается
B 1.29, H0 не отвергается
C 1.96, H0 отвергается
D 1.34, H0 не отвергается
E 1.29, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируется ги-потеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматриваетсякритерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятность ошибки2-го рода для этого критерия равна:
A 0.2
B 0.4
C 0.5
D 0.3
E 0.1
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 12
B 6
C 18
D 15
E 2
F Нет верного ответа.
y y
y +8/2/10+ yВопрос 6 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ22
B t2
C χ23
D χ21
E χ24
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 — Ас-капоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 1.6
B 0.4
C 0.016
D 0.16
E 0.04
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A (n− 1)σ2
B σ2/n
C σ̂2
D µ
E σ2
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A tn−1
B χ2n
C χ2n−1
D N(0, 1)
E tn
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 10
B 3
C 100/11
D 0.33
E 3.3
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α ≥ βB α+ β ≥ 1
C α+ β ≤ 1
D α ≤ βE α+ β = 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и несостоятельнойB асимптотически несмещенной и состоя-
тельнойC несмещенной и состоятельной
D смещенной и состоятельной
E смещенной и несостоятельной
F Нет верного ответа.
y y
y +8/3/9+ yВопрос 13 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 79
B 100
C 39
D 139
E 179
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
C Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 11/100
B 1/11
C 100/11
D 10
E 1/10
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n∏
ln a− axn
B 3n ln a− a∏
lnxi
C 3n ln a− an lnxi
D 3n ln a− a∑xi
E 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
Ak
√kX
k
B k
√(k + 1)Xk
C k+1
√(k + 1)X
k
Dk√kXk
E k
√(k + 1)X
k
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A χ2n
B tn
C χ2n−1
D tn−1
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
y y
y +8/4/8+ yВопрос 19 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A χ2n−4
B N(0, 1)
C F1,n−2
D tn−3
E tn−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 20 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 0.1
B 100
C 1
D 0.01
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они не равны, но сближаются при n→∞B µ̂MM > µ̂ML
C они не равны, и не сближаются при n →∞
D µ̂MM < µ̂ML
E они равны
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.85
B 0.87
C 0.98
D 0.78
E 0.58
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi
n + 4
B∑x2i−4
∑xi
n
C∑x2i−4
∑xi+2
n
D∑x2i−4
∑xi
n + 2
E∑x2i−4
∑xi+4
n
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 80
B 25
C 4
D 4/3
E 3/4
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
B Отвергается
C Отвергается, только если Ha : σ < 1
D Не отвергается
E Отвергается, только если Ha : σ > 1
F Нет верного ответа.
y y
y +8/5/7+ yВопрос 26 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (∑xi)
θ
B (θ + 1)n∏xθi
C (θ + 1)xnθ
D∑
(θ + 1)xθi
E (θ + 1)∑xi
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Вероятность принять неверную гипотезу
B Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
C Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
D Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
E Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F2,7
B F1,2
C F7,2
D F1,7
E t2
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке
размером n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим
размером n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A Fn1,n2
B Fn1−1,n2−1
C tn1+n2−1
D N(0; 1)
E χ2n1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = 34, χ22
B LR = ln 68, χ2n−2
C LR = ln 34, χ2n−2
D LR = 68, χ22
E LR = 34, χ2n−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.48, H0 не отвергается
B 0.37, H0 не отвергается
C 0.78, H0 отвергается
D 0.3, H0 не отвергается
E 1.26, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
y y
y +8/6/6+ yВопрос 32 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A E(θ̂n) = θ
B Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
C P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
D Var(θ̂n)→ 0
E E(θ̂n)→ θ
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какаяиз нижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 1n
∑2ni=n+1Xi
B X1
C 12n
∑2ni=1Xi
D X1+X2
2
E 1n
∑ni=1Xi
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.5
B 0.75
C 7.5
D 2.5
E 0.25
F Нет верного ответа.
y y
y +8/7/5+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +9/1/4+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируется ги-потеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматриваетсякритерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятность ошибки2-го рода для этого критерия равна:
A 0.5
B 0.2
C 0.3
D 0.4
E 0.1
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
B Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
C Вероятность принять неверную гипотезу
D Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
E Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 79
B 139
C 100
D 179
E 39
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величины:0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответствиираспределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова для уров-ня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.37, H0 не отвергается
B 0.3, H0 не отвергается
C 1.26, H0 отвергается
D 0.78, H0 отвергается
E 0.48, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A tn−1
B tn
C N(0, 1)
D χ2n−1
E χ2n
F Нет верного ответа.
y y
y +9/2/3+ yВопрос 6 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид
(10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 12
B 15
C 2
D 18
E 6
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз 95раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 2.5
B 7.5
C 0.75
D 0.25
E 0.5
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi
n
B∑x2i−4
∑xi+4
n
C∑x2i−4
∑xi
n + 2
D∑x2i−4
∑xi+2
n
E∑x2i−4
∑xi
n + 4
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 4
B 80
C 25
D 4/3
E 3/4
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 0.4
B 0.16
C 1.6
D 0.016
E 0.04
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение
A χ2n−1
B N(0, 1)
C χ2n
D tn−1
E tn
F Нет верного ответа.
Вопрос 12 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A µ
B σ2/n
C σ2
D (n− 1)σ2
E σ̂2
F Нет верного ответа.
y y
y +9/3/2+ yВопрос 13 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A E(θ̂n) = θ
B P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
C E(θ̂n)→ θ
D Var(θ̂n)→ 0
E Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 100
B 0.1
C 10
D 0.01
E 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
D Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
E Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке
размером n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим
размером n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A tn1+n2−1
B N(0; 1)
C Fn1−1,n2−1
D χ2n1+n2
E Fn1,n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 0.33
B 100/11
C 3.3
D 3
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 18 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ24
B χ23
C χ21
D t2
E χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A χ2n−4
B tn−1
C N(0, 1)
D tn−3
E F1,n−2
F Нет верного ответа.
y y
y +9/4/1+ yВопрос 20 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.98
B 0.58
C 0.78
D 0.87
E 0.85
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F7,2
B F1,2
C t2
D F1,7
E F2,7
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка дисперсии принимает значение
A 100/11
B 1/10
C 1/11
D 10
E 11/100
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 20, H0 не отвергается
B 65.75, H0 отвергается
C 53, H0 отвергается
D 24, H0 не отвергается
E 12.75, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 24 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n∏
ln a− axn
B 3n ln a− a∑xi
C 3n ln a− a∏
lnxi
D 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
E 3n ln a− an lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A Fn1,n2
B tn1+n2−2
C χ2n1+n2−1
D tn1+n2−1
E tn1+n2
F Нет верного ответа.
y y
y +9/5/60+ yВопрос 26 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они равны
B µ̂MM < µ̂ML
C µ̂MM > µ̂ML
D они не равны, но сближаются при n→∞E они не равны, и не сближаются при n →∞
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.96, H0 отвергается
B 1.65, H0 отвергается
C 1.29, H0 отвергается
D 1.29, H0 не отвергается
E 1.34, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β ≤ 1
B α ≥ βC α ≤ βD α+ β = 1
E α+ β ≥ 1
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
Ak
√kX
k
B k
√(k + 1)Xk
C k
√(k + 1)X
k
D k+1
√(k + 1)X
k
Ek√kXk
F Нет верного ответа.
Вопрос 30 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = 34, χ22
B LR = 34, χ2n−1
C LR = ln 34, χ2n−2
D LR = ln 68, χ2n−2
E LR = 68, χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какаяиз нижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 1n
∑2ni=n+1Xi
B X1
C 1n
∑ni=1Xi
D X1+X2
2
E 12n
∑2ni=1Xi
F Нет верного ответа.
y y
y +9/6/59+ yВопрос 32 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A∑
(θ + 1)xθi
B (∑xi)
θ
C (θ + 1)n∏xθi
D (θ + 1)∑xi
E (θ + 1)xnθ
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A смещенной и состоятельной
B смещенной и несостоятельной
C несмещенной и несостоятельной
D асимптотически несмещенной и состоя-тельной
E несмещенной и состоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается, только если Ha : σ < 1
B Отвергается, только если Ha : σ > 1
C Отвергается
D Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
E Не отвергается
F Нет верного ответа.
y y
y +9/7/58+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y
y +10/1/57+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015
Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!
Вопрос 1 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:
A k+1
√(k + 1)X
k
Bk
√kX
k
Ck√kXk
D k
√(k + 1)Xk
E k
√(k + 1)X
k
F Нет верного ответа.
Вопрос 2 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величины:0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответствиираспределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова для уров-ня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.
A 0.3, H0 не отвергается
B 1.26, H0 отвергается
C 0.78, H0 отвергается
D 0.48, H0 не отвергается
E 0.37, H0 не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 3 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известной дис-персии используется статистика, имеющая распределение
A χ2n
B tn
C tn−1
D N(0, 1)
E χ2n−1
F Нет верного ответа.
Вопрос 4 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0
A LR = 34, χ2n−1
B LR = 34, χ22
C LR = ln 68, χ2n−2
D LR = ln 34, χ2n−2
E LR = 68, χ22
F Нет верного ответа.
Вопрос 5 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.
Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6
Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.
A 1.29, H0 не отвергается
B 1.65, H0 отвергается
C 1.34, H0 не отвергается
D 1.29, H0 отвергается
E 1.96, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
y y
y +10/2/56+ yВопрос 6 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1
A Отвергается, только если Ha : σ < 1
B Отвергается
C Отвергается, только если Ha : σ > 1
D Отвергается, только если Ha : σ 6= 1
E Не отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 7 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2
4 имеет распределение
A χ23
B t2
C χ21
D χ22
E χ24
F Нет верного ответа.
Вопрос 8 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.
A 12.75, H0 не отвергается
B 24, H0 не отвергается
C 20, H0 не отвергается
D 53, H0 отвергается
E 65.75, H0 отвергается
F Нет верного ответа.
Вопрос 9 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожиданиемµ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная оценка
дисперсии принимает значение
A 100/11
B 10
C 1/10
D 1/11
E 11/100
F Нет верного ответа.
Вопрос 10 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно
A 0.75
B 0.5
C 7.5
D 2.5
E 0.25
F Нет верного ответа.
Вопрос 11 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:
A 0.2
B 0.5
C 0.4
D 0.3
E 0.1
F Нет верного ответа.
y y
y +10/3/55+ yВопрос 12 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется
A Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
B Вероятность принять неверную гипотезу
C Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
D Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна
E Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна
F Нет верного ответа.
Вопрос 13 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что
A они не равны, и не сближаются при n →∞
B µ̂MM > µ̂ML
C µ̂MM < µ̂ML
D они равны
E они не равны, но сближаются при n→∞
F Нет верного ответа.
Вопрос 14 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является
A несмещенной и несостоятельной
B смещенной и несостоятельной
C смещенной и состоятельной
D асимптотически несмещенной и состоя-тельной
E несмещенной и состоятельной
F Нет верного ответа.
Вопрос 15 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(
10 33 8
). Дисперсия
разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется
A 15
B 12
C 2
D 6
E 18
F Нет верного ответа.
Вопрос 16 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1
2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию
A 3n∑
ln ai − a∑
lnxi
B 3n ln a− a∏
lnxi
C 3n ln a− a∑xi
D 3n∏
ln a− axnE 3n ln a− an lnxi
F Нет верного ответа.
Вопрос 17 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если
A P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0
B Var(θ̂n)→ 0
C E(θ̂n) = θ
D Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)
E E(θ̂n)→ θ
F Нет верного ответа.
y y
y +10/4/54+ yВопрос 18 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна
A 0.87
B 0.85
C 0.78
D 0.58
E 0.98
F Нет верного ответа.
Вопрос 19 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна
A 25
B 4
C 4/3
D 80
E 3/4
F Нет верного ответа.
Вопрос 20 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид
A (θ + 1)n∏xθi
B (∑xi)
θ
C (θ + 1)∑xi
D∑
(θ + 1)xθi
E (θ + 1)xnθ
F Нет верного ответа.
Вопрос 21 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение
A tn1+n2−1
B χ2n1+n2−1
C Fn1,n2
D tn1+n2−2
E tn1+n2
F Нет верного ответа.
Вопрос 22 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна
A 1.6
B 0.04
C 0.16
D 0.4
E 0.016
F Нет верного ответа.
Вопрос 23 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.
Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40
Крылов уже позавтракал 25 100
A 39
B 139
C 100
D 79
E 179
F Нет верного ответа.
y y
y +10/5/53+ yВопрос 24 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n
2 ln ν−∑n
i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия
для ν при предположении, что H0 верна, равна
A∑x2i−4
∑xi
n + 4
B∑x2i−4
∑xi+4
n
C∑x2i−4
∑xi
n + 2
D∑x2i−4
∑xi+2
n
E∑x2i−4
∑xi
n
F Нет верного ответа.
Вопрос 25 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение
A Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%
B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%
C Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости
D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%
E Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости
F Нет верного ответа.
Вопрос 26 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна
A 1
B 0.01
C 10
D 100
E 0.1
F Нет верного ответа.
Вопрос 27 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением
A α+ β = 1
B α+ β ≥ 1
C α+ β ≤ 1
D α ≥ βE α ≤ βF Нет верного ответа.
Вопрос 28 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =
∑ni=1(Xi − X̄)2 равно
A σ2
B µ
C σ2/n
D (n− 1)σ2
E σ̂2
F Нет верного ответа.
Вопрос 29 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение
A χ2n−1
B tn
C tn−1
D χ2n
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
y y
y +10/6/52+ yВопрос 30 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что
∑11i=1 xi = 33,
∑11i=1 x
2i = 100. Несмещенная
оценка µ принимает значение
A 0.33
B 3
C 100/11
D 3.3
E 10
F Нет верного ответа.
Вопрос 31 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какаяиз нижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?
A 12n
∑2ni=1Xi
B X1
C 1n
∑ni=1Xi
D 1n
∑2ni=n+1Xi
E X1+X2
2
F Нет верного ответа.
Вопрос 32 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2
1
Z22+Z
27имеет распределение
A F2,7
B F7,2
C t2
D F1,2
E F1,7
F Нет верного ответа.
Вопрос 33 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1
√n−3√∑n
i=4 Z2i
имеет распределение
A tn−3
B tn−1
C χ2n−4
D F1,n−2
E N(0, 1)
F Нет верного ответа.
Вопрос 34 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке
размером n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим
размером n2. Тогда статистика σ̂21/n1
σ̂22/n2
имеет распределение
A N(0; 1)
B tn1+n2−1
C Fn1,n2
D χ2n1+n2
E Fn1−1,n2−1
F Нет верного ответа.
y y
y +10/7/51+ yИмя, фамилия и номер группы:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Номер в списке (для автоматического распознавания):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вопрос 1 : A B C D E F
Вопрос 2 : A B C D E F
Вопрос 3 : A B C D E F
Вопрос 4 : A B C D E F
Вопрос 5 : A B C D E F
Вопрос 6 : A B C D E F
Вопрос 7 : A B C D E F
Вопрос 8 : A B C D E F
Вопрос 9 : A B C D E F
Вопрос 10 : A B C D E F
Вопрос 11 : A B C D E F
Вопрос 12 : A B C D E F
Вопрос 13 : A B C D E F
Вопрос 14 : A B C D E F
Вопрос 15 : A B C D E F
Вопрос 16 : A B C D E F
Вопрос 17 : A B C D E F
Вопрос 18 : A B C D E F
Вопрос 19 : A B C D E F
Вопрос 20 : A B C D E F
Вопрос 21 : A B C D E F
Вопрос 22 : A B C D E F
Вопрос 23 : A B C D E F
Вопрос 24 : A B C D E F
Вопрос 25 : A B C D E F
Вопрос 26 : A B C D E F
Вопрос 27 : A B C D E F
Вопрос 28 : A B C D E F
Вопрос 29 : A B C D E F
Вопрос 30 : A B C D E F
Вопрос 31 : A B C D E F
Вопрос 32 : A B C D E F
Вопрос 33 : A B C D E F
Вопрос 34 : A B C D E F
Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.
y y