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경영학을 위한 수학 (기말고사)2015.6.13. 13:00–15:00 p.m.

학번 : 이름 :

• 풀이과정을 모두 명시하시오.

1. (각 5점)dy

dx를 구하여라.

(a) y = (x+√x2 + 1)2

(b) y = (2x2 + 1) sin 2x

(c) y = xsinx

(d) y =(x− 2)(x− 1)2

(x+ 1)3

2. (각 10점)함수 f(x) = x(log x− 1)2 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(a) 곡선 y = f(x) 위의 점 (1, 1) 에서의 접선을 방정식을 구하고, 이를 이용하여함숫값 f(1.1) 의 근삿값을 구하시오.

(b) 극한값을 limx→0+

f(x) 을 구하시오.

(c) 극점을 모두 구하고, 최솟값을 구하시오.

(d) 곡선의 변곡점을 모두 구하고, 증감과 볼록성 등의 곡선의 주요 특징이 분명히드러나도록 그래프의 개형을 그리시오.

3. (각 10점) 다음 부등식을 증명하시오.

(a) x > 0이면√1 + x < 1 + 1

2x이다.

(b) 양수 a 에 대하여 부등식 0 <1

alog

ea − 1

a< 1 이 성립함을 보이시오.

4. (각 10점) 수요함수가 p2q + pq2 = 70(p의 단위: 만원)로 주어질 때 다음 물음에답하여라.

(a) p = 2일 때의 수요의 탄력성을 구하여라.

(b) 총수입이 최대가 되는 가격을 구하여라.

2

5. (20점) 함수 f(x) = e2x − 2ex + 2x에 대하여 실수 집합에서 f의 역함수 g = f−1이존재함을 보이고 g′(−1) 을 구하시오.

6. (각 6점) 다음 극한값 또는 적분을 구하시오(Evaluate the followings.)

(a)

∫ √2x+ 1 dx

(b)

∫ 2

0

x3√x2 + 1

dx

(c)

∫ e2

e

1

x√log x

dx

(d) limn→∞

(1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ · · ·+ 1

2n

)(e)

∫ π

−π(sinx+ 1)3 dx+

∫ π

−π(sinx− 1)3 dx

7. (각 10점)

(a) 연속함수 f 에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. (Hint. u = π − x로치환) ∫ π

0xf(sinx) dx =

π

2

∫ π

0f(sinx) dx

(b) 위의 결과와 등식 sin2 x + cos2 x = 1 을 활용하여 정적분

∫ π

0x sin3 x dx 의

값을 구하시오.

8. (각 10점)연속확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) = ce−|x|, (−∞ < x < ∞)일 때,다음 물음에 답하시오.

(a) c의 값을 구하고 X 의 누적분포함수 F (x) 를 구하시오.

(b) 확률변수 X의 기댓값과 분산을 구하여라.

(c) 확률변수 Y = X2 의 확률밀도함수를 구하시오.