YMX0082 Matemaatilne analüüs II · Diferentsiaalarvutus Taylori valem Taylori valem Seega kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a koik tuletised˜ kuni jarguni¨ n, siis

Diferentsiaalarvutus Keskvaartusteoreemid

Keskvaartusteoreemid

Lause 1Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad loigul [a,b], g(x) > 0 ja f onpidev loigul [a,b], siis leidub c ∈ [a,b], nii et

b∫a

f (x)g(x)dx = f (c)

b∫a

g(x)dx

G. Tamberg (TTU) YMX0082 Matemaatilne analuus II 1 / 50

Diferentsiaalarvutus Taylori valem

Taylori valem

Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a koik tuletised kunijarguni n, siis saame n-jarku Taylori valemi

f (x) =n∑

k=0

f (k)(a)

k !(x − a)k + (Rnf )(x) = (Snf )(x) + (Rnf )(x).

Kui (n + 1)-jarku tuletis on integreeruv loigul [a, x ], siis jaakliige onesitatav integraalkujul

(Rnf )(x) =1n!

x∫a

f (n+1)(t)(x − t)n dt

Lagrange’ kuju saame kasutades keskvaartusteoreemi (c ∈ (a, x))

(Rnf )(x) =f (n+1)(c)

n!

x∫a

(x − t)n dt =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1



Toestus

(Rnf )(x) =1n!

x∫a

f (n+1)(t)(x − t)n dt =

=

[u = (x − t)n du = −n(x − t)n−1 dt

dv = f (n+1)(t) dt v = f (n)(t)

]=

=f (n)(t)

n!(x − t)n

∣∣∣∣∣x

a

+nn!

x∫a

f (n)(t)(x − t)n−1 dt =

= − f (n)(a)

n!(x − a)n +

1(n − 1)!

x∫a

f (n)(t)(x − t)n−1 dt =

= . . . = −n∑

k=0

f (k)(a)

k !(x − a)k + f (x).



Taylori valem

Seega kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a koik tuletisedkuni jarguni n, siis oleme saanud n-jarku Taylori valemi (c ∈ (a, x))

f (x) =n∑

k=0

f (k)(a)

k !(x − a)k + (Rnf )(x).

Kui meil eksisteerib ka (n + 1)-jarku tuletis f (n+1)(b), b ∈ [a, x ], siissaame jaaklikmele nn Lagrange kuju.

(Rnf )(x) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1, c ∈ [a, x ].



Taylori valem

Taylori valemi erijuhtu a = 0 nimetame Maclaurini valemiks (c ∈ (0, x))

f (x) =n∑

k=0

f (k)(0)

k !xk + (Rnf )(x).

Kui meil eksisteerib ka (n + 1)-jarku tuletis f (n+1)(b), b ∈ [0, x ], siissaame Maclaurini valemi jaaklikme Lagrange kujul.

(Rnf )(x) =f (n+1)(c)

(n + 1)!xn+1, c ∈ [0, x ].



Taylori valem

Lause 2Kui funktsioon f (x , y) on (n + 1) korda diferentseeruv punktis P(x , y),siis kehtib n-jarku Taylori valem

f (x + ∆x , y + ∆y) =n∑

j=0

1j!

( ∂∂x

∆x +∂

∂y∆y)j

f (x , y) + Rn(x , y),

mille jaakliige Rn(x , y) avaldub (Lagrange’) kujul (0 < θ < 1)

Rn(x , y) =1

(n + 1)!

( ∂∂x

∆x +∂

∂y∆y)n+1

f (x + θ∆x , y + θ∆y)



Erijuhul n = 0 saame Lagrange’ valemi (0 < θ < 1)

f (x + ∆x , y + ∆y) =

f (x , y) + fx (x + θ∆x , y + θ∆y)∆x + fy (x + θ∆x , y + θ∆y)∆y (1)

Vordleme saadud avaldist diferentseeruva funktsiooni avaldisega

f (x + ∆x , y + ∆y) =

f (x , y) + fx (x , y)∆x + fy (x , y)∆y + o(‖(∆x ,∆y)‖2), (2)

kus

γ = o(‖(∆x ,∆y)‖2)⇔ lim(∆x ,∆y)→(0,0)

γ√(∆x)2 + (∆y)2

= 0.



Lause 3Olgu funktsioon u = f (x , y) diferentseeruv lahtises piirkonnas Ω0 ⊂ R2.Funktsioon f on konstantne hulgas Ω0 parajasti siis, kui iga punktiP ∈ Ω0 korral

fx (P) = fy (P) = 0.

Toestus.⇒ Kui f (x , y) = c, siis fx = 0, fy = 0.⇐ Kasutame Lagrange’ valemit.



Taylori valem x ∈ Rn korral

Lause 4Kui funktsioon f (x) on (r + 1) korda diferentseeruv kohal(x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn), siis kehtib r -jarku Taylori valem

f (x + ∆x) = Tr f (x + ∆x) + Rr f (x,∆x),

kus r-jarku Taylori polunoom

Tr f (x + ∆x) :=r∑

j=0

1j!

d j f (x), d j f (x) :=

(n∑

i=1

∂

∂xi∆xi

)j

f (x)

ning mille jaakliige Rr f avaldub (Lagrange’) kujul (0 < θ < 1)

Rr f (x,∆x) =1

(r + 1)!dn+1f (x + θ∆x)


Diferentsiaalarvutus Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid

Definitsioon 1 (Lokaalne maksimum)

Olgu funktsioon f maaratud punkti A mingis umbruses Uε(A). Kui igapunkti P ∈ Uε(A) (P 6= A) korral f (P) 6 f (A), siis on funktsioonil fpunktis A lokaalne maksimum.

Definitsioon 2 (Lokaalne miinimum)

Olgu funktsioon f maaratud punkti A mingis umbruses Uε(A). Kui igapunkti P ∈ Uε(A) (P 6= A) korral f (P) > f (A), siis on funktsioonil fpunktis A lokaalne miinimum.

Kui eelnevates definitsioonides kasutada rangeid vorratusi f (P) < f (A)ja f (P) > f (A), siis saame vastavalt range lokaalse maksimumi jamiinimumi definitsioonid.



z = f (x , y) = −(x2 + y2)

Range lokaalne maksimumpunktis A(0,0). Toepoolest, kunaf (A) = 0 ning f (P) = f (x , y) < 0kui P 6= A. Seega f (P) < f (A)iga P 6= A korral.

z = f (x , y) = −x2

Antud juhul on tegemist olukorra-ga kus koikide punktide A(0, y)korral on rahuldatud tingimusf (P) 6 f (A) iga P 6= A korral.Seega on koikides sirge x = 0punktides lokaalne maksimum.



z = f (x , y) = sinc(x2 + y2) =sinπ(x2 + y2)

π(x2 + y2)

Punktis A(0,0) on range lokaalne maksimum.Ringjoone x2 + y2 = (1.19 . . .)2 punktides on lokaalne miinimum.Ringjoone x2 + y2 = (1.56 . . .)2 punktides lokaalne maksimum.Ringjoone x2 + y2 = (1.86 . . .)2 punktides lokaalne miinimum.



Gradient

Definitsioon 3Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) gradiendiks punktis P(x1, . . . , xn)nimetatkse selle funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit

(grad f )(P) =

(∂f∂x1

(P),∂f∂x2

(P), . . . ,∂f∂xn

(P)

).

Definitsioon 4Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatkse operaatorit

∇ :=

(∂

∂x1,∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

)Seega grad f = ∇f



Suunatuletis

Kasutades gradienti saame suunatuletise esitada skalaarkorrutisena

dfds

(a) =n∑

k=1

fxk (a)sk

‖s‖2=

=

⟨∇f (a),

s‖s‖2

⟩.

Ilmselt on suunatuletis dfds(a) maksimaalne kui vektor s on gradiendi

suunaline. Siis saame, arvestades et ‖s‖2 :=√〈s,s〉

dfd∇f

(a) = ‖∇f (a)‖2.

Seega naitab gradiendi suund funktsiooni kiireima kasvu suunda jagradendi pikkus naitab kasvu suunda.



Puutujatasand

Kasutades gradienti, saame esitada ka pinna F (x1, . . . , xn) = 0puutuja(huper)tasandi vorrandi punktis a kui

n∑k=1

F 2xk

(a) > 0.

Seega saame vorrandi

〈∇F (a),x− a〉 = 0.


Diferentsiaalarvutus Statsionaarsed punktid

Statsionaarsed punktid

Definitsioon 5Punkti, milles on taidetud tingimused

fxi (x1, . . . , xn) =∂f∂xi

(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . ,n

nimetatakse funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) statsionaarseks punktiks.

Seega statsionaarses punktis P on gradient nullvektor: (∇f )(P) = 0.

Definitsioon 6Punkti P, milles funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) koik eksisteerivadosatuletised fxi vorduvad nulliga nimetatakse selle funktsioonikriitiliseks punktiks.

Lokaalsed ekstreemumid voivad esineda funktsiooni f kriitilistespunktides.


Diferentsiaalarvutus Statsionaarsed punktid

z = f (x , y) = −(x2 + y2)

Statsionaarne punkt P(0,0).fx (x , y) = −2x = 0fy (x , y) = −2y = 0

z = f (x , y) = −√

x2 + y2

Kriitiline punkt P(0,0). fx (x , y) = − x√x2+y2

fy (x , y) = − y√x2+y2


Diferentsiaalarvutus Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused

Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused

Lause 5 (Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus)

Olgu funktsioonil f punktis A(a1, . . . ,an) lokaalne ekstreemum ningeksisteerigu gradient (∇f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarnepunkt st (∇f )(A) = 0.



Toestus.Vaatame mingi i ∈ 1, . . . ,n korral abifunktsioonig(xi) := f (a1, . . . ,ai−1, xi ,ai+1, . . . ,an). Oletame, et meil on tegemistlokaalse maksimumiga. Vastavalt lokaalse ekstreemumi definitsioonileleidub selline punkti A umbrus Uε(A), et f (P) 6 f (A) iga P ∈ Uε(A)korral. Seega g(xi) 6 g(ai), st uhe muutuja funktsioonil g on lokaalnemaksimum kohal ai . Vastavalt uhe muutuja juhul toestatud teoreemile:kui eksisteerib g′(xi), siis g′(xi) = 0. Kuna gradient eksisteerib punktisA, siis eksisteerivad ka koik osatuletised selles punktis. Ilmselt

g′(xi) = fxi (a1, . . . ,ai−1, xi ,ai+1, . . . ,an).

Seega g′(ai) = 0, millest jareldub, et fxi (A) = 0. Kui on tegemistlokaalse miinimumiga, kasutame sama skeemi. Kordame tehnikat igai ∈ 1, . . . ,n korral ning saame (∇f )(A) = 0.



z = f (x , y) = −(x2 + y2)

Lokaalne maksimum statsionaar-ses punktis P(0,0).

fx (x , y) = −2x = 0fy (x , y) = −2y = 0

z = f (x , y) = x2 − y2

Lokaalsed ekstreemumid puudu-vad. Statsionaarne punkt P(0,0).

fx (x , y) = 2x = 0fy (x , y) = −2y = 0


Diferentsiaalarvutus Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused

Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused

Meie eesmargiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalseteekstreemumite olemasoluks.

Lause 6 (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused)

Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev loigul [a− δ, a + δ]ja diferentseeruv vahemikes (a− δ, a) ja (a,a + δ), kusjuures

f ′(x) > 0, x ∈ (a− δ, a)

f ′(x) 6 0, x ∈ (a,a + δ)

siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui

f ′(x) 6 0, x ∈ (a− δ, a)

f ′(x) > 0, x ∈ (a,a + δ)

siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum.



Toestus.Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidubselline positiivne arv δ, et

0 < |x − a| < δ ⇒ ∆y 6 0.

Lagrange’ keskvaartusteoreemi pohjal x ∈ (a− δ, a) leidub c ∈ (x ,a)

∆y = f (x)− f (a) = f ′(c)(x − a)

kuna x − a < 0, siis ∆y 6 0 kui f ′(c) > 0 iga c ∈ (a− δ, a).Analoogiliselt x ∈ (a,a + δ) korral leidub c ∈ (a, x), nii et

∆y = f (x)− f (a) = f ′(c)(x − a)

kuna x − a > 0, siis ∆y 6 0 kui f ′(c) 6 0 iga c ∈ (a,a + δ). Seega onvajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei olevaja. Analoogilselt saame toestada lokaalse miinimumi juhtumi.



Naide

Vaatame juhtu kus funktsioon onkatkev meid huvitavas punktis.

f (x) =

e−x2

, x 6= 00, x = 0

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ilmselt a = 0 umbruses ∆y = f (x)− f (a) = f (x) > 0, seega ontegemist lokaalse miinimumiga. Samal ajal

f ′(x) =

−2x e−x2

, x 6= 0∞, x = 0

ja f ′(x) > 0 kui x < 0 ning f ′(x) < 0 kui x > 0, mis eelneva teoreemipohjal tahendaks lokaalset maksimumi.



Vaatame juhtu kus f ′ katkeb punktis a.

f2(x) = |x |,

f ′2(x) = sgn x =

−1, x < 00, x = 01, x > 0

Eelneva teoreemi eeldused on taidetud.Kuna f ′ muudab marki on tegemist lo-kaalse ekstreemumiga.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

f2(x) = |x |+ 2x ,

f ′2(x) = sgn x + 2 =

1, x < 02, x = 03, x > 0

Kuna f ′ sailitab marki siis lokaalne ekst-reemum puudub.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0



Teoreem ekstreemumi piisavatest tingimustest

Lause 7Olgu punkt A(a1, . . . ,an) funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) kriitiline punkt,milles f esimest jarku osatuletised on kas nullid voi ei eksisteeri.Vaatleme funktsiooni f tuletist punktis P(x1, . . . , x2) vektori s = ~APsuunas.

1 Kui leidub selline punkti A umbrus Uε(A), milles:fs(P) > 0 iga P ∈ Uε(A) (P 6= A) korral, siis A on miinimumkoht;fs(P) < 0 iga P ∈ Uε(A) (P 6= A) korral, siis A on maksimumkoht;

2 Punkt A ei ole ekstreemumkoht, kui mis tahes umbrus Uε(A)sisaldab nii punkte milles tuletis fs on positiivne kui ka punkte,milles see on negatiivne.



z = f (x , y) = −(x2 + y2)

Statsionaarne punkt P(0,0).fx (x , y) = −2x = 0fy (x , y) = −2y = 0

z = f (x , y) = −√

x2 + y2

Kriitiline punkt P(0,0). fx (x , y) = − x√x2+y2

fy (x , y) = − y√x2+y2



Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused

Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teistjarku tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist jarkutingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimestjarku tingimustest.

Lause 8 (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused)

Kui leidub selline δ > 0, nii et Kui funktsiooni f (x) korralf ′(a) = . . . = f (n)(a) = 0 ja f (n+1)(a) 6= 0 ning f (n+1)(x) ∈ C(a), siis1) juhul kui n on paaritu arv, on funktsioonil f (x) punktis a rangelokaalne ekstreemum, kusjuures f (n+1)(a) < 0 korral on punktis arange lokaalne maksimum ja f (n+1)(a) > 0 korral range lokaalnemiinimum,2) juhul kui n on paarisarv, ei ole funktsioonil f (x) punktis a lokaalsetekstreemumit.



Toestus

Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidubselline positiivne arv δ, et

0 < |x − a| < δ ⇒ ∆y 6 0.

Paneme kirja Taylori valemi

∆y = f (x)− f (a) =n∑

k=1

f (k)(a)

k !(x − a)k + (Rnf )(x).

Kuna f ′(a) = . . . = f (n)(a) = 0 ja meil eksisteerib (n + 1)-jarku tuletissiis x ∈ (a− δ1,a) (x ∈ (a,a + δ1)) korral leidub c ∈ (x ,a) (c ∈ (a, x))

∆y = f (x)− f (a) = (Rnf )(x) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1.



Toestus

Kui n on paaritu, siis (x − a)n+1 on positiivne.Kuna f (n+1)(a) 6= 0 ja f (n+1) on pidev punktis a, siis leidub Uδ2(a) kusf (n+1) > 0 voi f (n+1) < 0.Vottes δ = minδ1, δ2, saame et∆y < 0 kui f (n+1)(a) < 0 ja∆y > 0 kui f (n+1)(a) > 0.Kui n on paaris, siis jaakliikme mark vaheldub ja lokaalsetekstreemumit ei ole.



Naide

Vaatame juhtu kus funktsioon ja esimene tuletis on pidevad, korgemadtuletised katkevad.

f (x) =

(x + 1)2, x < −1

0, −1 6 x 6 1(x − 1)2, x > 1

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f ′(x) =

2(x + 1), x < −1

0, −1 6 x 6 12(x − 1), x > 1

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2



Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. z=f(x,y)

Olgu funktsioonil f (x , y) punktis P(x , y) lokaalne ekstreemum. Mingipiisavalt vaikese muudu (∆x ,∆y) jaoks saame lokaalse maksimumikorral f (x + ∆x , y + ∆y) 6 f (x , y) st ∆f 6 0 ja lokaalse miinimumikorral f (x + ∆x , y + ∆y) > f (x , y) st ∆f > 0.Kaks korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni korral saame kirjapanna Taylori valemi:

f (x + ∆x , y + ∆y) = f (x , y) + fx (x , y)∆x + fy (x , y)∆y + R1(x , y).

Kuna P(x , y) on statsionaarne punkt, siis saame

2∆f = 2R1(x , y) = fxx (Q)(∆x)2 + 2fxy (Q)∆x∆y + fyy (Q)(∆y)2

kus Q(x + θ∆x , y + θ∆y), 0 < θ < 1.



Uurime avaldise

α(Q) := fxx (Q)(∆x)2 + 2fxy (Q)∆x∆y + fyy (Q)(∆y)2

margi soltuvust muudust (∆x ,∆y). Piisavalt vaikese muudu (∆x ,∆y)korral voime eeldada, et avaldis α on sama margiga argumentideP(x , y) ja Q(x + θ∆x , y + θ∆y) korral. Jargnevas vaatamegi osatuletisikohal P(x , y). Kui fxx (P) = 0, siis saab avaldis omandada nii positiivsekui ka negatiivse margi. Seega voime eeldada, et fxx (P) 6= 0:

α = fxx

((∆x)2 + 2

fxy

fxx∆x∆y +

fyy

fxx(∆y)2

)=

= fxx

((∆x)2 + 2

fxy

fxx∆x∆y +

(fxy

fxx∆y)2

−(

fxy

fxx∆y)2

+fyy

fxx(∆y)2

)

= fxx

((∆x +

fxy

fxx∆y)2

+fxx fyy − f 2

xy

f 2xx

(∆y)2

)



Saime

α = fxx

((∆x +

fxy

fxx∆y)2

+fxx fyy − f 2

xy

f 2xx

(∆y)2

)Kuna (

∆x +fxy

fxx∆y)2

> 0,

siis avaldis α sailitab marki iga piisavalt vaikese muudu (∆x ,∆y)korral juhul kui

fxx fyy − f 2xy > 0.

Toepoolest, kui fxx fyy − f 2xy = 0, siis voib esineda juhtum α = 0, mis ei

anna infot ∆f margi kohta. Kui fxx fyy − f 2xy < 0, siis teatud muudu

(∆x ,∆y) vaartuste korral me saame positiivse α, teatud vaartustekorral negatiivse. Vormistame tulemuse.



Lause 9 (Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused)

Kui funktsiooni z = f (x , y) osatuletised fxx , fxy ja fyy on pidevad sellefunktsiooni statsionaarses punktis S(a,b), siis

fxx (a,b)fyy (a,b)− f 2xy (a,b) < 0⇒ punktis S(a,b) ei ole lokaalset

ekstreemumit,fxx (a,b)fyy (a,b)− f 2

xy (a,b) > 0 ∧ fxx (a,b) < 0⇒ punktis S(a,b)on lokaalne maksimum,fxx (a,b)fyy (a,b)− f 2

xy (a,b) > 0 ∧ fxx (a,b) > 0⇒ punktis S(a,b)on lokaalne miinimum.



Vaatame determinanti

|H| :=

∣∣∣∣ fxx (a,b) fyx (a,b)fxy (a,b) fyy (a,b)

∣∣∣∣ = fxx (a,b)fyy (a,b)− fxy (a,b)fyx (a,b)

Vastavat maatriksit nimetame Hesse maatriksiks ehk hessiaaniks.Nablaoperaatorit kasutades saame hessiaani esitada kujul

(Hf )(A) := (∇T∇f )(A) =

(∂∂x∂∂y

)(∂∂x

∂∂y

)f (a,b)

Lisaks sellele saame

(∆x ∆y

)(Hf )

(∆x∆y

)=

= fxx (x , y)(∆x)2 + 2fxy (x , y)∆x∆y + fyy (x , y)(∆y)2



Hessiaan n muutuja funktsiooni korral on kujul

(Hf )(P) := (∇T∇f )(P) =

fx1x1(P) fx1x2(P) · · · fx1xn (P)fx2x1(P) fx2x2(P) · · · fx2xn (P)

......

. . ....

fxnx1(P) fxnx2(P) · · · fxnxn (P)

Tahistades muutu ∆x = (∆x1, . . . ,∆xn), arvutame punktisP(x1, . . . , xn)

∆xT (Hf )(P)∆x =n∑

i=1

n∑j=1

fxi xj (P)∆xi∆xj = d2f (P)

kus

d j f (P) :=

(n∑

i=1

∂

∂xi∆xi

)j

f (P).



Positiivselt ja negatiivselt maaratud maatriksid

Definitsioon 7Maatriksit H nimetatakse rangelt positiivselt (negatiivselt) maaratukskui iga vektori x 6= 0 korral xT Hx > 0 (xT Hx < 0).

Range positiivse (negatiivse) maaratuse kontrolliks sobib

Lause 10 (Silwesteri kriteerium)

Maatriks H ∈ Rn×n on rangelt positiivselt maaratud parajasti siis, kuikoik tema peamiinorid |Hi | > 0 (i = 1, . . . ,n). Maatriks H ∈ Rn×n onrangelt negatiivselt maaratud parajasti siis, kui koik tema peamiinorid(−1)i |Hi | > 0 (i = 1, . . . ,n).



Lause 11 (Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus)

Olgu funktsioon f maaratud oma statsionaarse punkti S (st(∇f )(S) = 0) mingis umbruses Uε(S) ning eksisteerigu hessiaan(Hf )(S) := (∇T∇f )(S) (st eksisteerivad pidevad osatuletised fxi ,xj (S),i , j = 1, . . . ,n). Siis

funktsoonil f on lokaalne maksimum kohal S kui hessiaan (Hf )(S)on rangelt negatiivselt maaratud;funktsoonil f on lokaalne miinimum kohal S kui hessiaan (Hf )(S)on rangelt positiivselt maaratud;funktsoonil f ei ole lokaalset ekstreemumit kohal S kui hessiaan(Hf )(S) ei ole maaratud;kui hessiaan (Hf )(S) on mitterangelt positiivselt voi negatiivseltmaaratud tuleb kasutada muid tingimusi;



Toestuse idee.Punktis S(x1, . . . , xn) 2 korda pidevalt diferentseeruv funktsioon onesitatav Taylori valemiga

f (x + ∆x) = f (x) + df (x) +12

d2f (x) + o(

(‖∆x‖2)2)

Kui on tegemist statsionaarse punktiga, siis df (x) = 0 ning funktsioonimuut avaldub kujul

∆f =12

d2f (x) + o(

(‖∆x‖2)2).

Kunad2f (x) = ∆xT (Hf )(S)∆x

siis hessiaani range positiivne (negatiivne) maaratus tahendab seda,et ∆f > 0 (∆f < 0).


Diferentsiaalarvutus Tinglik ekstreemum

Tinglik ekstreemum

Tingliku eksteemumi ulesandeks ehk lisatingimustegaekstreemumulesandeks nimetame ulesannet kujulLeida funktsiooni

u = f (x1, . . . , xn)

ekstreemumpunktid piirkonnas, mis on maaratud tingimustega (r < n)F1(x1, . . . , xn) = 0F2(x1, . . . , xn) = 0· · ·Fr (x1, . . . , xn) = 0



Tinglik lokaalne ekstreemum

Definitsioon 8Olgu funktsioon f maaratud punkti A mingis umbruses Uε(A) ning olguantud lisatingimused

F1(x1, . . . , xn) = 0F2(x1, . . . , xn) = 0· · ·Fr (x1, . . . , xn) = 0

Kui iga punkti P ∈ Uε(A) (P 6= A) korral f (P) 6 f (A) (f (P) > f (A)) ningF1(A) = F2(A) = . . . = Fr (A) = 0, siis on funktsioonil f punktis A tingliklokaalne maksimum (miinimum).



Lagrange’ maaramata kordajate meetod

Lause 12Funktsiooni f (x , y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F (x , y) = 0 voibolla abifunktsiooni

Φ(x , y ;λ) = f (x , y) + λF (x , y)

statsionaarsetes punktides.



Lagrange’ maaramata kordajate meetod

Lause 13Funktsiooni f (x1, . . . , xn) tinglik ekstreemum lisatingimustel

F1(x1, . . . , xn) = 0F2(x1, . . . , xn) = 0· · ·Fr (x1, . . . , xn) = 0

voib olla abifunktsiooni

Φ(x1, . . . , xn;λ1, . . . , λr ) = f (x1, . . . , xn) +r∑

i=1

λiFi(x1, . . . , xn)

statsionaarsetes punktides.


Diferentsiaalarvutus Globaalne ekstreemum

Globaalne ekstreemum

Definitsioon 9Hulka nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kaks punkti saabuhendada sellesse hulka kuuluva joonega.

Lause 14 (Weierstrassi teoreem funktsiooni tokestatusest)

Tokestatud kinnisel sidusal hulgal Ω ⊂ Rn pidev n muutuja funktsioon fon selles hulgas tokestatud, s.t.

∃M > 0 . . . |f (x)| < M ∀x ∈ Ω

Lause 15 (Weierstrassi teoreem funktsiooni ekstremaalsetestvaartustest)

Tokestatud kinnisel sidusal hulgal Ω ⊂ Rn pidev n muutuja funktsioon fsaavutab sellel hulgal oma suurima ja vahima vaartuse.



Globaalse ekstreemumi ulesande korral on vaja leida funktsioonif (x , y) suurim ja vahim vaartus antud piirkonnas Ω. Seda tuupiulesannete lahenduskaik koosneb reeglina kolmest osast:

1 Leiame esialgse funktsiooni f (x , y) statsionaarsed punktid.2 Lahendame tingliku ekstreemumi ulesande(d) piirkonna Ω

rajajoonel ∂Ω: st leiame vastavate Lagrange’i funktsiooni(de)Φ(x , y , λ) := f (x , y) + λF (x , y) statsionaarsed punktid.

3 Arvutame funktsiooni z = f (x , y) vaartused f (x , y)statsionaarsetes punktides, mis jaavad piirkonda Ω ningrajajoontel saadud Lagrange’ funktsiooni(de) statsionaarsetespunktides, mitmest osast koosneva rajajoone korral ka vastavateosade otspunktides.



Kumerus

Definitsioon 10

Oeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (tapseminipunktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ-umbrus, et funktsioonif (x) graafik on argumendi x vaartustel umbrusest (a− δ, a + δ) allpool(tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tommatud punktis (a, f (a))funktsiooni graafikule.

Definitsioon 11

Oeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal X , kui sellefunktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis.



Nogusus

Definitsioon 12

Oeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nogus punktis a (tapseminipunktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ-umbrus, et funktsioonif (x) graafik on argumendi x vaartustel umbrusest (a− δ, a + δ)ulalpool (tapsemini, mitte allpool) puutujat, mis on tommatud punktis(a, f (a)) funktsiooni graafikule.

Definitsioon 13

Oeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nogus hulgal X , kui sellefunktsiooni graafik on nogus hulga X igas punktis.



Kaanupunktid

Definitsioon 14

Oeldakse, et punkt a (tapsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x)graafiku kaanupunkt , kui leidub selline δ > 0, et funktsiooni f (x)graafik on kumer hulgal (a− δ, a) ja nogus hulgal (a,a + δ) voi nogushulgal (a− δ, a) ja kumer hulgal (a,a + δ).



Lause 16Kui f ′′(x) on pidev punktis a, siis

f ′′(a) < 0 ⇒ funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a,f ′′(a) > 0 ⇒ funktsiooni f (x) graafik on nogus punktis a.

Lause 17Kui f (x) ∈ C[a,b] ja ∃ f ′′(x) (x ∈ (a,b)) , siis funktsiooni f (x)

graafiku kumerusest (nogususest) vahemikus (a,b) jareldub, et

x ∈ (a,b)⇒ f ′′(x) ≤ 0 (f ′′(x) ≥ 0).



Lause 18Kui f ′′(a) = 0, f ′′′(a) 6= 0 ja f ′′′(x) on pidev punktis a, siis punkt a onfunktsiooni f (x) graafiku kaanupunkt.

Lause 19

Kui f ′′(a) = f ′′′(a) = . . . = f (m)(a) = 0 ja f (m+1)(a) 6= 0 ja f (m+1)(x) onpidev punktis a, siis1) paarisarvulise m korral on funktsiooni f (x) graafikul punktis akaanupunkt,2) paarituarvulise m korral ei ole funktsiooni f (x) graafikul punktis akaanupunkti.


Documents

YMX0082 Matemaatilne analüüs II · Diferentsiaalarvutus Taylori valem Taylori valem Seega kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a koik tuletised˜ kuni jarguni¨ n, siis