Upload
others
View
73
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar
Yöntemine Kısaca
Bir Bakış
2
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
• Teorik hesaplar genelde düzgün ve basit
geometrideki elemanlar için
geliştirilmiştir.
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
• Geometrinin, malzeme sayısının vb.
parametrelerin farklılaşması sebebiyle
sistemin kompleksliği arttıkça teorik
hesaplamalarda zorlaşmakta ve belli bir
noktadan sonra imkansız duruma
gelmektedir.
• Bu kompleks durumlarda yaklaşık
çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.
• Sonlu Elemanlar yöntemi de bu yaklaşık
çözüm yöntemlerinden birisi ve en
yaygın olarak kullanılanıdır.
3
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
• Bu yöntemde karmaşık geometriler, sonlu
eleman ismi verilen düzgün ve küçük
geometrilere ayrılır.
• Çözüm, herbir düzgün küçük geometri için
yapılır.
• Bu sayede tüm sistemin çözümü elde edilmiş
olur.
• Amaç sistemin tamamı için uygulayamadığımız
teorik çözümleri, bu düzgün küçük
geometrilerin herbirisi için uygulamaktır.
• Bununla birlikte bazı kabuller de yapılması
gereklidir.
• Sonlu elemanların birbirleriyle birleşim
yerlerine düğüm noktası ismi verilir.
4
Bu yöntemin ilk ve en geniş uygulama alanı
"gerilme analizi"dir. Sonraları ısı analizi, akışkan
analizi, piezoelektrik analizi, elektrik analizi vb.
alanlarda da kullanılmıştır
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Bu yöntem ilk olarak 1950 yılında uzay
mühendisliğinde kullanılmaya başlanmıştır. İlk
kullanıcılar Boeing, Bell Aerospace ve Rolls
Royce firmaları olmuştur.
5
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
1-Ele alınan problemdeki fiziksel sistem , sonlu eleman ismi
verilen daha küçük ve düzgün geometrik parçalarla modellenir.
Çözüm Adımları
6
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
Düzlem (Plane) Elemanlar Kabuk (Shell) Elemanlar 3D (Solid) Elemanlar
Farklı Geometrilere uygun Eleman Tipleri
7
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Elastik Gerilme Analizi yapılacaksa;
2. Önce dış yükler düğüm noktalarından uygun olanlara
dağıtılır.
8
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
3. Elementer mukavemet formüllerinden düğüm
noktalarının herbirisi için deplasmanlar (u, v, w)
hesaplanır. Bu hesaplarda malzeme özellikleri,
sınır şartları da göz önüne alınır.
4. Düğüm noktaları için polinom tarzında bir şekil
fonksiyonu kabulleri yapılır. Örneğin:
u = Ao + A1x + A2 y + A3 z
v = A4 + A5x + A6 z + A7 z
w = A8 + A9 x + A10 z + A11 z
9
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
5. Öncelikle polinom sabitleri (Ao , A1 ,… A11) hesaplanır.
Bu sayede herbir koordinatı da (x,y ve z) bilindiği için, şekil fonksiyonları
(polinom denklemleri) ile herbir düğümün deplasmanı elde edilmiş olur.
6. Herbir düğüm için deplasmanlardan
birim şekil değiştirmeler elde edilir.
7. Yine herbir düğüm için birim Şekil
değiştirmelerden Hooke bağıntıları ile
gerilmeler elde edilir.
10
Sistemin büyüklüğü ve kompleksliği arttıkça sonlu elemanların ve düğümlerin sayısı
artar.
Düğüm ve eleman sayısının artması sonuçların yakınsamasını ve hassasiyetini arttırır
ancak işlem süresini uzatır ve daha geniş dosyaların oluşmasına sebep olur. Çok geniş
matrislerle işlemler gerekir.
Bu durumda manuel olarak işlemlerin yapılması neredeyse imkansız hale gelir ve
mutlaka bir bilgisayar yazılımına ihtiyaç duyulur.
Bu yazılımların düzgün çalışması ve doğru sonuçlar vermesi için sonlu elemanların
teorisine yeterince hakim olunmalıdır.
Ancak bugün için birçok analiz tipini kapsayan sonlu elemanlar tabanlı yazılımlar paket
haline getirilmiş, görselliği de ön plana çıkararak ticarileşmiştir. (ansys, abaqus vb)
Günümüzde sanayi de ve üniversitlerde artık analizler bu paket programlarla
yapılmaktadır.
Bunların avantajı çok farklı analiz tiplerini ve kompleks sistemleri çözebilmesi, görsel
olarak birçok sonucun görülebilmesidir.
Dezavantajı ise mühendisleri sonlu elemanlar teorisinden uzaklaştırması, analiz
girdilerinin detaylarını kavrayamamasıdır.
Şimdi bir örnek üzerinden sonlu elemanlar metodu ile çözümün nasıl yapıldığını
göreceğiz.
Bilgisayar ihtiyacı:
11
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
K. d = F [ K ].{d} = { F }
K : yay katsayısı
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
d :deplasman (u)
F: Dış Kuvvet
[ K ]: Katsayılar (Stiffness) Matrisi..
{d} : Deplasman matrisi (u,v,w,..) …
{ F }: Dış kuvvetler Matrisi
Çok serbestlik dereceli fiziksel sistemTek serbestlik dereceli yay sistemi
Elastik Gerilme Analizi örneği ile Sonlu Elemnanlarda İşlem Aşamalarının İncelenmesi
12
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
[ K ].{d} = { F }
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
[K]: katsayılar matrisi (nxm).(nxm) boyutundadır. Malzeme ve geometrik özellikleri içerir..
n: düğüm sayısı,. m: herbir düğümün serbestlik derecesi (DOF – Degrees of freedom)
u, v, w : sırasıyla x, y, z eksenleri doğrultusunda yer değiştirmeler (deplasmanlar)
{d} : Bilinmeyen deplasmanların matrisi ={u1 , v1 , w1 , u2, v2, w2,……. un , vn , wn}T
1 x (mxn) boyutundadır.
{ F }: Dış kuvvet bileşenlerinin matrisi ={Fx1 , Fy1 , Fz1, Fx2 , Fy2, Fz2, ….Fxn , Fyn Fzn}T
Düğüm no
1 x (mxn) boyutundadır.
(Eksenler etrafındaki dönmelerde sınır şartlarına dahil edilebilir)
O halde amacımız öncelikle {d} nın bulunmasıdır.
13
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
[ K ].{d} = { F }
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
{d} = [ K ]-1 .{ F }
-Bu son denklemin çözümü ile { d } ve dolayısıyla herbir düğümün deplasmanları bulunur.
-Sistemin sınır şartları da bu çözümde kullanılır.
-Düğüm sayısı (n) ve serbestlik derecesi (m) arttıkça [K] matrisi büyür. Dolayısıyla
problemin çözümünde mutlaka bir bilgisayara ihtiyaç duyulur.
Farklı Analiz tipleri için de genelde aynı yol takip edilerek çözüme ulaşılır.
14
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
Deplasmanlar bulunduktan sonra şekil değiştirmelere ve oradan gerilmelere geçilebilir.
{d} ={u1 , v1 , w1 , u2, v2, w2,……. un , vn , wn}T
Burada deplasmanlarla ilgili bir kabul yapılır.
u = Ao + A1x + A2 y + A3 z
v = A4 + A5x + A6 z + A7 z
w = A8 + A9 x + A10 z + A11 z
Şekil fonksiyonu ismi verilen bu polinomlardaki Ao …A11 sabit katsayılardır.
15
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
{ }
=
=
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
111
111
111
1
1
1
100000000
000010000
000000001
.....
100000000
000010000
000000001
.
.
.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
w
v
u
w
v
u
o
nnn
nnn
nnn
n
n
n
d
{d} = [ C ] { A }
16
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
{ A } = [ C ]-1 . { d }
{e} = [N]. {A}
17
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK
2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
Hooke Bağıntıları:
{e} =[S].{s}
{s}=[S]-1{e}=[S]-1[N].{A}
18
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
Örnek: Ankastre Kiriş
L
q
A
b
h
Yayılı Yüke Maruz elastik ankastre kirişin serbest ucundaki eğim
ve sehim(çökme) hesabının yapılması
19
• 1-Tek Eleman ve 2 düğümle modelleme:
qL/2 qL/2L
1 2
12
υ1 υ2
=
02
02
4626
612612
2646
612612
2
2
1
1
22
22
3 qL
qL
v
v
LLLL
LL
LLLh
LL
L
EI
Rijitlik Matrisleri Oluşturulduktan sonra çözülecek eşitlik:
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
B- Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Çözüm
[ K ].[d] = { F }
20
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
• 1-Tek Eleman ve 2 düğümle modelleme:
EI
qLv
6
4
2 =
Sınır Şartları: 1 nolu düğümde çökme ve dönme oluşmayacaktır.
=
02
02
4626
612612
2646
612612
2
2
1
1
22
22
3 qL
qL
v
v
LLLL
LL
LLLh
LL
L
EI
=
02
46
612
2
2
23
qLv
LL
L
L
EI
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
• İki bilinmeyenli bu iki lineer denklemtakımının çözümünden kirişin serbestucundaki çökme ve dönme miktarları: EI
qL
4
3
2 =
21
• 2- İki Eleman ve 3 düğümle Modelleme:
qL/4 qL/4L/2
1
1 3
υ1 υ3
L/2qL/4qL/4
2 3
υ22
=
0
4
0
44
0
4
24
26
22
2600
2612
261200
22
26
24
24
26
26
22
26
2612
26
261212
2612
002
22
62
42
6
002
6122
612
2
3
3
2
2
1
1
22
2222
22
3
qL
qLqL
qL
v
v
v
LLLL
LL
LLLLLLLL
LLLL
LLLL
LL
L
EI
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
[ K ] . [d] = { F }
22
Sınır Şartları: 1 nolu düğümde çökme ve dönme oluşmayacaktır.
=
06
03
03
06
34
36
32
360000
3612
36120000
32
36
380
32
3600
3612024
361200
003
23
63
803
23
6
003
6120243
612
00003
23
63
43
6
00003
6123
612
3
4
4
3
3
2
2
1
1
22
222
222
22
3
qL
qL
qL
qL
v
v
v
v
LLLL
LL
LLLLL
LL
LLLLL
LL
LLLL
LL
L
EI
• Altı bilinmeyenli bu iki lineer denklem takımının çözümünden kirişin serbest ucundakiçökme ve dönme miktarları:
EI
qLv
54
7 4
4 =EI
qL
108
19 3
4 =
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
23
Bx
q
L
By
MB
Me
-qL2/2
1. Statik denge denklemlerinden mesnet tepkileri bulunur
00 == xx BF
qLBqLBF yyy === 00
2
02
02qL
ML
qLMM BBB ===
x
q
qLqL2/2
Me
K
2. Sisteme ait eğilme momenti diyagramı çizilir.
0
20
22
02
0
2
22
==
==
=
==
e
e
e
eBK
MLx
qLMx
qLqxqLxM
xqxqLxMMM
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
A-Mukavemet Bilgileriyle Analitik Çözüm
24
3. Sisteme ait çökme ve dönme miktarlarının hesaplanması için elastik eğri denklemi çıkartılır
22
22 qLqLx
qxyEIMyEI e ==
1
22322
22622c
xqLqLxqxyEI
qLqLx
qxyEI =
=
== 1
223
226
1c
xqLqLxqx
EIy
21
2234
1
223
4624226cxc
xqLqLxqxEIyc
xqLqLxqxyEI =
=
== 21
2234
4624
1cxc
xqLqLxqx
EIyv
Dönme:
Çökme:
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
A-Mukavemet Bilgileriyle Analitik Çözüm
25
4. Sınır şartları uygulanarak integral katsayıları hesaplanır (ankastre uçta dönme ve çökme oluşmayacaktır)
000
000
2
1
===
===
cvx
cx
5. Sistemin serbest ucunda (x=L) meydana gelen çökme ve dönme miktarı hesaplanır
EI
qLLqLqLLqL
EILx AA
6226
1 3223
=
==
EI
qLv
LqLqLLqL
EIvLx AA
84624
1 42234
=
==
6. Sistemde oluşan maksimum normal gerilme (ankastre uçta ve kesitin uç noktalarında) hesaplanır:
2
2
max3
2
maxmax
max
3
12
22
bh
qL
bh
hqL
I
yM=== ss
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış
A-Mukavemet Bilgileriyle Analitik Çözüm
26
Eleman
Sayısı
Çökme %
Hata
Dönme %
Hata
1 33,33 50
2 8,33 12,5
3 3,70 6,40
. …. … …. …
. …. … …. …
10 …. 0,33 …. 0,20
EI
qLv
6
4
2 =EI
qL
4
3
2 =
EI
qLv
96
13 4
3 =EI
qL
16
3 3
3 =
EI
qLv
54
7 4
4 =EI
qL
108
19 3
4 =
Analitik Çözümler: EI
qL
6
3
=
EI
qLv
8
4
=
ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK
Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış