26
1 ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

Yöntemine Kısaca Bir Bakışdebis.deu.edu.tr/userweb/mehmet.zor/BDM/derssunulari/3_sonlu_elemanlar... · "gerilme analizi"dir. Sonraları ısı analizi, akıkan analizi, piezoelektrik

  • Upload
    others

  • View
    73

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

1

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar

Yöntemine Kısaca

Bir Bakış

2

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

• Teorik hesaplar genelde düzgün ve basit

geometrideki elemanlar için

geliştirilmiştir.

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

• Geometrinin, malzeme sayısının vb.

parametrelerin farklılaşması sebebiyle

sistemin kompleksliği arttıkça teorik

hesaplamalarda zorlaşmakta ve belli bir

noktadan sonra imkansız duruma

gelmektedir.

• Bu kompleks durumlarda yaklaşık

çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.

• Sonlu Elemanlar yöntemi de bu yaklaşık

çözüm yöntemlerinden birisi ve en

yaygın olarak kullanılanıdır.

3

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

• Bu yöntemde karmaşık geometriler, sonlu

eleman ismi verilen düzgün ve küçük

geometrilere ayrılır.

• Çözüm, herbir düzgün küçük geometri için

yapılır.

• Bu sayede tüm sistemin çözümü elde edilmiş

olur.

• Amaç sistemin tamamı için uygulayamadığımız

teorik çözümleri, bu düzgün küçük

geometrilerin herbirisi için uygulamaktır.

• Bununla birlikte bazı kabuller de yapılması

gereklidir.

• Sonlu elemanların birbirleriyle birleşim

yerlerine düğüm noktası ismi verilir.

4

Bu yöntemin ilk ve en geniş uygulama alanı

"gerilme analizi"dir. Sonraları ısı analizi, akışkan

analizi, piezoelektrik analizi, elektrik analizi vb.

alanlarda da kullanılmıştır

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Bu yöntem ilk olarak 1950 yılında uzay

mühendisliğinde kullanılmaya başlanmıştır. İlk

kullanıcılar Boeing, Bell Aerospace ve Rolls

Royce firmaları olmuştur.

5

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

1-Ele alınan problemdeki fiziksel sistem , sonlu eleman ismi

verilen daha küçük ve düzgün geometrik parçalarla modellenir.

Çözüm Adımları

6

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

Düzlem (Plane) Elemanlar Kabuk (Shell) Elemanlar 3D (Solid) Elemanlar

Farklı Geometrilere uygun Eleman Tipleri

7

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Elastik Gerilme Analizi yapılacaksa;

2. Önce dış yükler düğüm noktalarından uygun olanlara

dağıtılır.

8

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

3. Elementer mukavemet formüllerinden düğüm

noktalarının herbirisi için deplasmanlar (u, v, w)

hesaplanır. Bu hesaplarda malzeme özellikleri,

sınır şartları da göz önüne alınır.

4. Düğüm noktaları için polinom tarzında bir şekil

fonksiyonu kabulleri yapılır. Örneğin:

u = Ao + A1x + A2 y + A3 z

v = A4 + A5x + A6 z + A7 z

w = A8 + A9 x + A10 z + A11 z

9

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

5. Öncelikle polinom sabitleri (Ao , A1 ,… A11) hesaplanır.

Bu sayede herbir koordinatı da (x,y ve z) bilindiği için, şekil fonksiyonları

(polinom denklemleri) ile herbir düğümün deplasmanı elde edilmiş olur.

6. Herbir düğüm için deplasmanlardan

birim şekil değiştirmeler elde edilir.

7. Yine herbir düğüm için birim Şekil

değiştirmelerden Hooke bağıntıları ile

gerilmeler elde edilir.

10

Sistemin büyüklüğü ve kompleksliği arttıkça sonlu elemanların ve düğümlerin sayısı

artar.

Düğüm ve eleman sayısının artması sonuçların yakınsamasını ve hassasiyetini arttırır

ancak işlem süresini uzatır ve daha geniş dosyaların oluşmasına sebep olur. Çok geniş

matrislerle işlemler gerekir.

Bu durumda manuel olarak işlemlerin yapılması neredeyse imkansız hale gelir ve

mutlaka bir bilgisayar yazılımına ihtiyaç duyulur.

Bu yazılımların düzgün çalışması ve doğru sonuçlar vermesi için sonlu elemanların

teorisine yeterince hakim olunmalıdır.

Ancak bugün için birçok analiz tipini kapsayan sonlu elemanlar tabanlı yazılımlar paket

haline getirilmiş, görselliği de ön plana çıkararak ticarileşmiştir. (ansys, abaqus vb)

Günümüzde sanayi de ve üniversitlerde artık analizler bu paket programlarla

yapılmaktadır.

Bunların avantajı çok farklı analiz tiplerini ve kompleks sistemleri çözebilmesi, görsel

olarak birçok sonucun görülebilmesidir.

Dezavantajı ise mühendisleri sonlu elemanlar teorisinden uzaklaştırması, analiz

girdilerinin detaylarını kavrayamamasıdır.

Şimdi bir örnek üzerinden sonlu elemanlar metodu ile çözümün nasıl yapıldığını

göreceğiz.

Bilgisayar ihtiyacı:

11

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

K. d = F [ K ].{d} = { F }

K : yay katsayısı

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

d :deplasman (u)

F: Dış Kuvvet

[ K ]: Katsayılar (Stiffness) Matrisi..

{d} : Deplasman matrisi (u,v,w,..) …

{ F }: Dış kuvvetler Matrisi

Çok serbestlik dereceli fiziksel sistemTek serbestlik dereceli yay sistemi

Elastik Gerilme Analizi örneği ile Sonlu Elemnanlarda İşlem Aşamalarının İncelenmesi

12

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

[ K ].{d} = { F }

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

[K]: katsayılar matrisi (nxm).(nxm) boyutundadır. Malzeme ve geometrik özellikleri içerir..

n: düğüm sayısı,. m: herbir düğümün serbestlik derecesi (DOF – Degrees of freedom)

u, v, w : sırasıyla x, y, z eksenleri doğrultusunda yer değiştirmeler (deplasmanlar)

{d} : Bilinmeyen deplasmanların matrisi ={u1 , v1 , w1 , u2, v2, w2,……. un , vn , wn}T

1 x (mxn) boyutundadır.

{ F }: Dış kuvvet bileşenlerinin matrisi ={Fx1 , Fy1 , Fz1, Fx2 , Fy2, Fz2, ….Fxn , Fyn Fzn}T

Düğüm no

1 x (mxn) boyutundadır.

(Eksenler etrafındaki dönmelerde sınır şartlarına dahil edilebilir)

O halde amacımız öncelikle {d} nın bulunmasıdır.

13

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

[ K ].{d} = { F }

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

{d} = [ K ]-1 .{ F }

-Bu son denklemin çözümü ile { d } ve dolayısıyla herbir düğümün deplasmanları bulunur.

-Sistemin sınır şartları da bu çözümde kullanılır.

-Düğüm sayısı (n) ve serbestlik derecesi (m) arttıkça [K] matrisi büyür. Dolayısıyla

problemin çözümünde mutlaka bir bilgisayara ihtiyaç duyulur.

Farklı Analiz tipleri için de genelde aynı yol takip edilerek çözüme ulaşılır.

14

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

Deplasmanlar bulunduktan sonra şekil değiştirmelere ve oradan gerilmelere geçilebilir.

{d} ={u1 , v1 , w1 , u2, v2, w2,……. un , vn , wn}T

Burada deplasmanlarla ilgili bir kabul yapılır.

u = Ao + A1x + A2 y + A3 z

v = A4 + A5x + A6 z + A7 z

w = A8 + A9 x + A10 z + A11 z

Şekil fonksiyonu ismi verilen bu polinomlardaki Ao …A11 sabit katsayılardır.

15

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

{ }

=

=

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

111

111

111

1

1

1

100000000

000010000

000000001

.....

100000000

000010000

000000001

.

.

.

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

w

v

u

w

v

u

o

nnn

nnn

nnn

n

n

n

d

{d} = [ C ] { A }

16

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

{ A } = [ C ]-1 . { d }

{e} = [N]. {A}

17

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ ÜHENDİSLİK

2-Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

Hooke Bağıntıları:

{e} =[S].{s}

{s}=[S]-1{e}=[S]-1[N].{A}

18

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

Örnek: Ankastre Kiriş

L

q

A

b

h

Yayılı Yüke Maruz elastik ankastre kirişin serbest ucundaki eğim

ve sehim(çökme) hesabının yapılması

19

• 1-Tek Eleman ve 2 düğümle modelleme:

qL/2 qL/2L

1 2

12

υ1 υ2

=

02

02

4626

612612

2646

612612

2

2

1

1

22

22

3 qL

qL

v

v

LLLL

LL

LLLh

LL

L

EI

Rijitlik Matrisleri Oluşturulduktan sonra çözülecek eşitlik:

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

B- Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Çözüm

[ K ].[d] = { F }

20

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

• 1-Tek Eleman ve 2 düğümle modelleme:

EI

qLv

6

4

2 =

Sınır Şartları: 1 nolu düğümde çökme ve dönme oluşmayacaktır.

=

02

02

4626

612612

2646

612612

2

2

1

1

22

22

3 qL

qL

v

v

LLLL

LL

LLLh

LL

L

EI

=

02

46

612

2

2

23

qLv

LL

L

L

EI

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

• İki bilinmeyenli bu iki lineer denklemtakımının çözümünden kirişin serbestucundaki çökme ve dönme miktarları: EI

qL

4

3

2 =

21

• 2- İki Eleman ve 3 düğümle Modelleme:

qL/4 qL/4L/2

1

1 3

υ1 υ3

L/2qL/4qL/4

2 3

υ22

=

0

4

0

44

0

4

24

26

22

2600

2612

261200

22

26

24

24

26

26

22

26

2612

26

261212

2612

002

22

62

42

6

002

6122

612

2

3

3

2

2

1

1

22

2222

22

3

qL

qLqL

qL

v

v

v

LLLL

LL

LLLLLLLL

LLLL

LLLL

LL

L

EI

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

[ K ] . [d] = { F }

22

Sınır Şartları: 1 nolu düğümde çökme ve dönme oluşmayacaktır.

=

06

03

03

06

34

36

32

360000

3612

36120000

32

36

380

32

3600

3612024

361200

003

23

63

803

23

6

003

6120243

612

00003

23

63

43

6

00003

6123

612

3

4

4

3

3

2

2

1

1

22

222

222

22

3

qL

qL

qL

qL

v

v

v

v

LLLL

LL

LLLLL

LL

LLLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

• Altı bilinmeyenli bu iki lineer denklem takımının çözümünden kirişin serbest ucundakiçökme ve dönme miktarları:

EI

qLv

54

7 4

4 =EI

qL

108

19 3

4 =

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

23

Bx

q

L

By

MB

Me

-qL2/2

1. Statik denge denklemlerinden mesnet tepkileri bulunur

00 == xx BF

qLBqLBF yyy === 00

2

02

02qL

ML

qLMM BBB ===

x

q

qLqL2/2

Me

K

2. Sisteme ait eğilme momenti diyagramı çizilir.

0

20

22

02

0

2

22

==

==

=

==

e

e

e

eBK

MLx

qLMx

qLqxqLxM

xqxqLxMMM

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

A-Mukavemet Bilgileriyle Analitik Çözüm

24

3. Sisteme ait çökme ve dönme miktarlarının hesaplanması için elastik eğri denklemi çıkartılır

22

22 qLqLx

qxyEIMyEI e ==

1

22322

22622c

xqLqLxqxyEI

qLqLx

qxyEI =

=

== 1

223

226

1c

xqLqLxqx

EIy

21

2234

1

223

4624226cxc

xqLqLxqxEIyc

xqLqLxqxyEI =

=

== 21

2234

4624

1cxc

xqLqLxqx

EIyv

Dönme:

Çökme:

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

A-Mukavemet Bilgileriyle Analitik Çözüm

25

4. Sınır şartları uygulanarak integral katsayıları hesaplanır (ankastre uçta dönme ve çökme oluşmayacaktır)

000

000

2

1

===

===

cvx

cx

5. Sistemin serbest ucunda (x=L) meydana gelen çökme ve dönme miktarı hesaplanır

EI

qLLqLqLLqL

EILx AA

6226

1 3223

=

==

EI

qLv

LqLqLLqL

EIvLx AA

84624

1 42234

=

==

6. Sistemde oluşan maksimum normal gerilme (ankastre uçta ve kesitin uç noktalarında) hesaplanır:

2

2

max3

2

maxmax

max

3

12

22

bh

qL

bh

hqL

I

yM=== ss

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış

A-Mukavemet Bilgileriyle Analitik Çözüm

26

Eleman

Sayısı

Çökme %

Hata

Dönme %

Hata

1 33,33 50

2 8,33 12,5

3 3,70 6,40

. …. … …. …

. …. … …. …

10 …. 0,33 …. 0,20

EI

qLv

6

4

2 =EI

qL

4

3

2 =

EI

qLv

96

13 4

3 =EI

qL

16

3 3

3 =

EI

qLv

54

7 4

4 =EI

qL

108

19 3

4 =

Analitik Çözümler: EI

qL

6

3

=

EI

qLv

8

4

=

ENDÜSTRİYEL UYGULAMALARLA BİLGİSAYAR DESTEKLİ MÜHENDİSLİK

Sonlu Elemanlar Yöntemine Kısaca Bir Bakış