yön arş

8/3/2019 yn ar

1/76

Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.info)

END331

YNEYLEM ARATIRMASI I

DERS NOTLARI(2011-2012)

Dr. Y. lker Topcu

Teekkr:Prof. W.L. Winston'n "Operations Research: Applications and Algorithms" kitab ile Prof. J.E.Beasley's YA ders notlarnn bu ders notlarnn oluturulmasna olan katklar yznden her ikiprofesre de teekkr ederiz....Rastlayabileceiniz tm hatalarn sorumluluu bize aittir. Ltfen bizi bu hatalardan haberdar ediniz!stanbul Teknik Universitesi OR/MS takm

www.yoneylem.itu.edu.tr
http://www.yoneylem.itu.edu.tr/http://www.yoneylem.itu.edu.tr/http://www.yoneylem.itu.edu.tr/

8/3/2019 yn ar

2/76

2011-2012


NDEKLER

1. YNEYLEM ARATIRMASINA GR............................................................... 1

1.1 TERMNOLOJ .......................................................................................................... 1

1.2 YA YNTEMBLM .................................................................................................. 1

1.3 YA'NIN TARHES.................................................................................................. 3

2. TEMEL YA KAVRAMLARI ................................................................................. 5

3. DORUSAL PROGRAMLAMA.......................................................................... 9

3.1 DPNN FORMLASYONU ................................................................................... 11

3.1.1 Giapetto rnei................................................................................................ 11

3.1.2 Reklam rnei ................................................................................................. 12

3.1.3 Beslenme rnei ............................................................................................. 13

3.1.4 Postane rnei ................................................................................................ 14

3.1.5 Sailco rnei.................................................................................................... 15

3.1.6 Mteri Hizmet Dzeyi rnei....................................................................... 16

3.2 DPNN ZM ................................................................................................... 17

3.2.1 DP zmleri: Drt Durum ............................................................................ 17

3.2.2 Grafik zm ................................................................................................... 17

3.2.3 Simpleks Algoritmas....................................................................................... 23

3.2.4 Byk M Yntemi............................................................................................. 29

3.3 DUALTE .................................................................................................................. 32

3.3.1 Primal Dual.................................................................................................... 32

3.3.2 Bir DPnin Dualini Bulma ................................................................................ 32

3.3.3 Dual Teoremi.................................................................................................... 33

3.3.4 Ekonomik Yorum ............................................................................................. 343.4 DUYARLILIK ANALZ............................................................................................ 36

3.4.1 ndirgenmi Maliyet ......................................................................................... 36

3.4.2 Glge Fiyat ....................................................................................................... 36

3.4.3 Kavramsallatrma........................................................................................... 36

3.4.4 Duyarllk iin Lindo ktsnn Kullanlmas ................................................ 37

3.4.5 Baz nemli denklemler.................................................................................. 39

3.4.6

Simpleks Kullanarak Duyarllk ...................................................................... 39

3.4.7 Grafik zm Kullanarak Duyarllk.............................................................. 41

8/3/2019 yn ar

3/76

8/3/2019 yn ar

4/76

2011-2012


1. YNEYLEM ARATIRMASINA GR

1.1 TERMNOLOJ

"Yneylem Aratrmas" (YA), ngiliz ve Avrupallar tarafndan "Operational

Research" ve Amerikallar tarafndan "Operations Research" olarak isimlendirilir ve

"OR" olarak ksaltlr.

Bu alanda kullanlan bir dier terim de "Ynetim Bilimi"dir (Management Science) ve

uluslararas literatrde MS olarak ksaltlr. ki terim birletirilerek "OR/MS" veya

"ORMS" de denilir.

YA genelde bir "Sorun zme" (problem solving) ve "Karar Verme Bilimi" (decision

science) olarak da deerlendirilir.

Baz kaynaklarda YA yerine Endstri Mhendislii (Industrial Engineering - IE)

kavram da kullanlr.

Son yllarda bu alan iin tek bir terim kullanlmaya allmaktadr: OR.

Biz de derste bu alan iin Yneylem Aratrmasnn Trke ksaltmas olan YA'y

kullanacaz.Yneylem Aratrmas (Ynetim Bilimi) genellikle kt kaynaklarn tahsis edilmesi

gereken durumlarda en iyi ekilde bir sistemi tasarlamaya ve iletmeye ynelik karar

verme srecine bilimsel bir yaklamdr.

Belirli bir hedefi gerekletirmek iin birlikte alan birbirine bal bileenlerin

oluturduu dzen sistemdir.

1.2 YAYNTEMBLMBir sorunun zm iin YA kullanld zaman aadaki yedi admlk sre takip

edilmelidir.

YA analisti (sorunu olan karar vericiye YA teknikleri ile yardmc olan kii) ilk olarak

sorunu tanmlar. Sorunun tanmlanmas; amalarn ve sorunu oluturan sistemin

bileenlerinin belirlenmesi ile olur.

Adm 1. Sorunun Formlasyonu

8/3/2019 yn ar

5/76

2011-2012


Daha sonra analist sorunu etkileyen parametrelerin deerlerini belirlemek iin veri

toplar. Sz konusu deerler sorunu temsil edecek bir matematiksel modelin

gelitirilmesi (Adm 3) ve deerlendirilmesi (Adm 4) iin kullanlr.

Adm 2. Sistemin ncelenmesi

Analist tarafndan sorunu ideal bir ekilde temsil edecek bir matematiksel model

gelitirilir. Bu derste modelleme iin eitli yntemler reneceiz.

Adm 3. Sorunun Matematiksel Modelinin Kurulmas

nc admda kurulan modelin gerei iyi yanstp yanstmad snanr. u anki

durum iin modelin ne kadar geerli olduu belirlenerek modelin geree ne kadar

uyduu test edilir.

Adm 4. Modelin Dorulanmas

Eldeki model zerinde bir zm yntemi kullanlarak amalar en iyi karlayan bir

seenek (varsa) analist tarafndan seilir.

Adm 5. Uygun bir Seenein Seilmesi

Bazen eldeki seeneklerin kullanm iin snrlandrmalar ve kstlamalar olabilir. Bu

yzden amac karlayan seenek bulunamayabilir. Baz durumlarda ise amalar en

iyi ekilde karlayan birden fazla sayda seenek bulunabilir.

Bu admda, analist modeli ve model zm sonucunda ortaya kan nerileri karar

verici ya da vericilere sunar. Seenek says birden fazla ise karar verici(ler)

gereksinimlerine gre birini seerler.

Adm 6. Sonularn Karar Vericiye Sunumu

Sonularn sunumundan sonra, karar verici(ler) neriyi onaylamayabilir. Bunun

nedeni uralan sorunun doru tanmlanmamas ya da modelin kurulmasnda karar

vericinin yeterince srece karmamas olabilir. Bu durumda analist ilk adma

yeniden dnmelidir.

Eer karar verici sunulan neriden memnun kalrsa, analistin son grevi karar

vericinin neriyi uygulamasna yardmc olmaktr: Seenein kullanlarak sorunun

zmne nezaret etmeli ve zellikle evre koullar deitike amalar karlamaya

ynelik dinamik gncellemeler yaparak uygulamay izlemelidir.

Adm 7. nerinin Uygulanmas ve zlenmesi

8/3/2019 yn ar

6/76

2011-2012


1.3 YA'NIN TARHES

YA greceli olarak yeni bir bilim daldr. 1930'lu yllarn sonunda YA ilk olarak Birleik

Krallk'ta kullanld.

1936 ylnn banda ngiliz Hava Bakanl; dou kysnda, Felixstowe yaknlarnda,

Suffolk'da Bawdsey Aratrma stasyonu'nu kurdu. Sz konusu yer hava kuvvetleri

sava ncesi radar almalarnn yapld merkezdi. Yine 1936 ylnda Kraliyet

Hava Kuvvetleri (RAF) iinde Britanya hava savunmas iin zel bir birlik oluturuldu.

Radarn kullanlmaya balamas beraberinde baz sorunlar da getirdi: Uaklarn

rotas ve kontrolu gibi elde edilen bilginin doru ve etkin bir ekilde kullanlmas gibi.

1936 ylnn sonunda, Kent'deki Biggin Hill'de kurulan bir grup elde edilen radar bilgisi

ile dier uak ile ilgili yer bilgilerinin btnletirilmesini hedefleyen almalar yapt.

Sz konusu almalar YA'nn balangc olarak kabul edilebilir.

1937 ylnda Bawdsey Aratrma stasyonu deneysel almalar pratie evirdi ve

Radar stasyonu olarak almaya balad. Radardan elde edilen bilgiler

btnletirilerek genel hava savunma ve kontrol sistemi oluturuldu. Temmuz

1938'de ky boyunca drt yeni radar istasyonu daha kuruldu. Bu durumda da farkl

istasyonlardan elde edilen ve genelde birbirleri ile elien bilginin dorulanmas ve

egdm sorunu ortaya kt.

Sorunun zm iin ve yaplan ilerin etkinliinin llmesi amacyla Bawdsey

Aratrma stasyonu'nda A.P. Rowe bakanlnda bir bilimsel grup oluturuldu. Sz

konusu askeri operasyonlarn aratrlmas (Research into Military Operations)

ilemine "Operational Research" denildi. Genileyen alma grubu, 1939 yaznda,

Stanmore Aratrma stasyonu'nu merkez olarak kullanmaya balad.

Sava srasnda Stanmore Aratrma Merkezi, Fransa'daki Alman glerine kar

istenen ek uak kuvvetlerinin uygun olup olmadn YA teknikleri kullanarak

deerlendirdi ve uygun olmadn gsteren grafiklerle o zamanki babakan WinstonChurchill'e bir sunum yapt ve sonuta blgeye ek kuvvet gnderilmeyerek hava

kuvvetlerinin gcnn azalmas engellendi. 1941 ylnda Yneylem Aratrmas

Blm (Operational Research Section - ORS) kuruldu ve sava bitimine kadar sz

konusu grup almalar yapt.

1941 ylnda kurulan Blackett nderliindeki bu gruba yedi ayr bilim dalndan onbir

bilim adam katlmt: fizyolog, bir fiziki, iki matematiki, bir astrofiziki, iki fizik

matematikisi, bir subay, bir mhendis. Savatan sonra YA almalar zellikleABD'de askeriye dndaki alanlarda da hzland

8/3/2019 yn ar

7/76

2011-2012


Trkiye'de ise ilk YA almalar, 1 Haziran 1956'da, Alb. Fuat Ulu'un abalar ile

Genel Kurmay'da oluturulan yedek subaylardan oluan Harekat Aratrmas grubu

ile balad. Seferberlik ve hava savunma konularnda yurtdndan alnan destek ile

aratrmalar yapld. lkemizde ilk YA dersi de T Makine Fakltesinde 1960-61

ders ylnda Prof. Dr. lhami Karayaln tarafndan verildi. 1966 ylnda Harekat

Aratrmas ismi Yneylem Aratrmas olarak deitirildi.

8/3/2019 yn ar

8/76

2011-2012


2. TEMEL YA KAVRAMLARI

YA, gerek hayat sistemlerinin matematiksel modellerle temsil edilmesi ve en iyi

(optimum) zm bulmak iin kurulan modellere saysal yntemler(algoritmalar)

uygulanmasdr.

Bir eniyileme (optimizasyon) modeli verilen kstlar salayan karar deikenlerinin

tm deerleri arasnda ama fonksiyonunu eniyileyen (enbykleyen veya

enkkleyen) deerleri bulmay hedefler

rnek

Two Mines irketi zel bir cevher kard iki adet maden ocana sahiptir.

Ocaklarda retilen cevher snfa ayrlr: yksek, orta, dk kaliteli. irket bir

fabrikaya haftalk olarak 12 ton yksek, 8 ton orta ve 24 ton dk kaliteli cevher

salamak zere anlamtr. Sz konusu iki maden oca (X ve Y) ayrntlar aada

verilen farkl iletim zelliklerine sahiptir.

MadenMaliyet

('000 / gn)retim (ton/gn)

Yksek Orta Dk

X 180 6 3 4

Y 160 1 1 6

Anlamay gerekletirmek iin haftasonu retim yaplmayan maden ocaklar haftada

ka gn iletilmelidir?

TahminTwo Mines rneini incelemek iin ok basit bir ekilde yargmz kullanarak

madenlerin haftada ka gn alacana ynelik olarak fikir yrterek tahmin

yapabiliriz.

haftada bir gn X madenini, bir gn Y madenini iletme

Bu zm nerisi iyi bir sonu vermeyecek gibi gzkmektedir. Sadece 7 ton yksek

kaliteli cevher retilecek bu durumda da 12 tonluk mteri gereksinimi

karlanamayacaktr. Byle bir zme "olurlu (uygun) olmayan" (infeasible) zmdenilir.

8/3/2019 yn ar

9/76

2011-2012


haftada 4 gn X madenini, 3 gn Y madenini iletme

Bu durumda tm mteri gereksinimleri karlanabilmektedir. Byle bir zme de

"olurlu" (feasible) zm denilir. Fakat sz konusu zm nerisiok pahaldr.

Anlamay en kk maliyetle salayacak zm isteriz. Tahmin ederek yeni

zmler bulsak bile bulduumuz zmn en kk maliyetli olup olmadn

bilemeyiz. Yapsal bir yaklam ile en iyi zm bulabiliriz.

zm

Yapmamz gereken Two Mines rneini szel olarak ifade edip, sz konusu ifadeyi

matematiksel bir tanma evirmektir.

Bu tipte sorunlar zmeye urarken ncelikle aadaki kavramlar belirlemeliyiz:

deikenler (variables)

kstlar (constraints)

ama.(objective)

Bu belirleme srecine "formlasyon" ya da daha resmi bir ekilde sorunun

matematiksel modelinin formlasyonu denilir.

Bunlar verilmesi gereken kararlar veya bilinmeyenleri temsil eder. ncelenen sorunda

iki adet karar deikeni (decision variable) vardr:

Deikenler

x= Bir haftada X maden ocann iletilecei gn says

y= Bir haftada Y maden ocann iletilecei gn says

Doal olarak x>= 0 ve y>= 0 olacaktr

Kst, soruna zg durumlarn getirdii snrlamalardr. Kst belirlemenin en iyi yolunce snrlayc durumlar szel olarak ifade edip daha sonra deikenleri kullanp

matematiksel biimde yazmaktr:

Kstlar

Cevher retim ksd retilen cevher ile mteri gereksiniminin dengelenmesi

Cevher eitleri

Yksek 6x+ 1y>= 12

Orta 3x+ 1y>= 8

Dk 4x+ 6y>= 24

8/3/2019 yn ar

10/76

2011-2012


Kstlarda eitlik yerine eitsizlik kullanldna dikkat ediniz. Bu durumda gereksinim

duyulandan daha fazla cevher retebiliriz. Eitsizlik kullanma "en iyileme"

(optimization) sorunlarndaki kstlarda esneklik salar.

Haftalk gn ksd - Haftada belirli bir gnden fazla allamaz. rnein haftada 5

gn allrsa

x= 8

4x+ 6y>= 24

x

8/3/2019 yn ar

11/76

2011-2012


Yukarda verilen matematiksel model aadaki biimdedir:

tm deikenler sreklidir (continuous)

tek bir ama vardr (enbykleme (maximize) veya enkkleme (minimize))

ama ve kst fonksiyonlar dorusaldr. Fonksiyondaki her terim ya sabit

saydr ya da bir sabitle arplm deikendir (rnein 24, 0, 4x, 6ydorusal

terimlerdir fakat xy, x2dorusal deildir).

Yukardaki koulu salayan herhangi bir formlasyon bir "Dorusal Program"dr

(DP; linear program - LP).

Bir sorunu DP ile incelediimizde yukardaki koullara uymak iin baz varsaymlar

yaparz. Ele aldmz rnekte haftalk alma gn saysnn kesirli olabilecei (tam

say olmak zorunda olmamas) gibi. Aslnda bu tip sorunlar zmek iin "Tam sayl

programlama" (integer programming- IP) teknikleri de kullanlabilir.

Matematiksel model (formlasyon) kurulduktan sonra algoritma ad verilen saysal

bir zm teknii kullanlarak ama fonksiyonunun "en iyi" (optimum) deerini

verecek (enbykleme sorunlarnda en byk, enkklemede en kk) ve tm

kstlar salayacak ekilde karar deikeni deerleri bulunur.

"YA, gerek hayat sistemlerinin matematiksel modellerle temsil edilmesi ve en

iyi zm bulmak iin kurulan modellere saysal yntemler (algoritmalar)

uygulanmasdr."

8/3/2019 yn ar

12/76

2011-2012


3. DORUSAL PROGRAMLAMA

Two Mines rnei incelenirse, bir matematiksel modelin bir "Dorusal Program" (DP;

linear program - LP) olmas iin aadaki koullar salamas gerektii grlr:

Tm deikenler sreklidir (continuous)

Tek bir ama vardr (enbykleme (maximize) veya enkkleme (minimize))

Ama ve kst fonksiyonlar dorusaldr. Fonksiyondaki her terim ya sabit saydr

ya da bir sabitle arplm deikendir

DP'ler nemlidir nk:

ok sayda sorun DP olarak formle edilebilir

"Simpleks algoritmas" kullanlarak DP'ler zlebilir ve en iyi zm bulunabilir

DP'lerin temel uygulama alanlarna aada eitli rnekler verilmitir:

retim planlama

Rafineri ynetimi

Karm

Datm

Finansal ve ekonomik planlama

gc planlamas

Tarmsal planlama

Gda planlama

DP'ler iin drt temel varsaym sz konusudur:

Oransallk

o Her karar deikeninin ama fonksiyonuna katks karar deikeninin

deeri ile orantldr (Drt asker retmenin ama fonksiyonuna (kra)

katks (4$3=$12) bir askerin ama fonkisyonuna katksnn ($3) tam

olarak drt katdr.)

o Her karar deikeninin kstlarn sol tarafna katks karar deikeninin

deeri ile orantldr. ( asker retmek gerekli montaj zaman (2 saat 3 =

8/3/2019 yn ar

13/76

2011-2012


6 saat) tam olarak bir asker retmek iin gerekli montaj zamannn (2 saat)

katdr.)

Toplanabilirlik

o Herhangi bir karar deikeninin ama fonksiyonuna katks dier karar

deikenlerinin deerlerinden bamszdr. (Trenin (x2) deeri ne olursa

olsun, asker (x1) retmek her zaman ama fonksiyonuna 3x1 dolar katk

yapacaktr.)

o Herhangi bir karar deikeninin kst sol tarafna katks dier karar

deikenlerinin deerlerinden bamszdr. (x1in deeri ne olursa olsun, x2

retimi x2 saat montaj ve x2 saat marangozluk gerektirir.)

Sonu 1: Ama fonksiyonu deeri her bir karar deikeninin katksnn

toplamna eittir.

Sonu 2: Her bir ksdn sol taraf deeri her bir karar deikeninin

katksnn toplamna eittir.

Blnebilirlik

Karar deikenleri tam say olmayan deerler alabilir. Eer tam say deerler

kullanmak artsa TP kullanlmaldr. (1.69 tren retmek kabul edilebilir.)

Kesinlik

Her parametre kesin olarak bilinmektedir.

8/3/2019 yn ar

14/76

2011-2012


3.1 DPNN FORMLASYONU

3.1.1 Giapetto rnei

(Winston 3.1., s. 49)

Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadr. Sat fiyatlar, bir oyuncak

asker iin $27, bir oyuncak tren iin $21'dr. Bir asker iin $10'lk hammadde ve

$14'lk iilik kullanlmaktadr. Bir tren iin ise sz konusu rakamlar srasyla $9 ve

$10'dr. Her bir asker iin 2 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekirken, her bir

tren iin 1 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekmektedir. Eldeki hammadde

miktar snrszdr, fakat haftada en ok 100 saat montaj ve 80 saat marangozluk

kullanabilen Giapetto'nun haftada en fazla 40 oyuncak asker satabileceini gz

nnde bulundurarak karn enbyklemek iin hangi oyuncaktan haftada ka adet

retmesi gerektiini bulunuz.

Yant

Karar deikenleri tam olarak verilmesi gereken (bu sorunda Giapetto tarafndan)

kararlar tanmlamaldr. Giapetto bir haftada ka oyuncak asker ve tren yapacana

karar vermelidir. Bu karara gre aadaki karar deikenleri tanmlanabilir:

x1 = bir haftada retilen asker says

x2 = bir haftada retilen tren saysAma fonksiyonu karar deikenlerinin bir fonksiyonudur. Gelir veya karn

enbyklemek ya da maliyetini enkklemek isteyen karar vericinin amacn

yanstr. Giapetto haftalk karn (z) enbyklemek isteyecektir.

Bu sorunda kar

(haftalk gelir) (hammadde satnalma maliyeti) (dier deiken maliyetler)

olarak formle edilebilir. Bu durumda Giapettonun ama fonksiyonu:

Enbykle z= 3x1 + 2x2Kstlar karar deikenlerinin alabilecei deerler zerindeki, snrlamalar gsterir.

Herhangi bir snrlama olmazsa Giapetto ok fazla sayda oyuncak reterek ok

byk kar elde edebilir. Fakat gerek hayatta olduu gibi burada da kstlar vardr

Haftalk kullanlabilen montaj iilii zaman

Haftalk kullanlabilen marangozluk zaman

Askerler iin haftalk talep

aret snrlamalarda eer karar deikenleri salt negatif olmayan deerler alyorsakullanlmaldr (Giapetto negatif sayda asker veya tren retemez!).

8/3/2019 yn ar

15/76

2011-2012


Yukardaki tm bu zellikler aadaki Dorusal Programlama (DP; Linear

Programming - LP) modelini verir:

Maks z= 3x1 + 2x2 (Ama fonksiyonu)

s.t. 2x1 + x2 100 (Montaj ksd)

x1 + x2 80 (Marangozluk ksd)

x1 40 (Talep ksd)

x1, x2 0 (aret snrlamalar)

Eer (x1,x2)nin bir deeri (bir zm) tm bu kstlar ve iaret snrlamalarn

salarsa, sz konusu zm olurlu blgededir (feasible region).

Grafik olarak ya da hesaplayarak sorun zldnde olurlu blgedeki zmlerden

ama fonksiyon deeri en yksek olan zmn (x1,x2) = (20,60) olduunu ve z=180

deerini verdiini buluruz. Bu zm en iyi zmdr (optimal solution).

Rapor

Haftada 20 asker ve 60 tren retilmesi durumunda kar $180 olacaktr. Kar miktarlar,

eldeki iilik ve talebe gre elde edilebilecek en byk kar budur. Daha fazla iilik

bulunursa kar oalabilir.

3.1.2 Reklam rnei

(Winston 3.2, s. 61)

Dorian irketi, yksek gelirli mterileri iin otomobil ve jeep retmektedir.

Televizyondaki tiyatro oyunlarna ve futbol malarna bir dakikalk spot

reklamlar vererek satlarn arttrmay hedeflemektedir. Tiyatro oyununa verilen

reklamn maliyeti $50bin'dir ve hedef kitledeki 7 milyon kadn ve 2 milyon erkek

tarafndan seyredilebilir. Futbol mana verilen reklamn maliyeti ise $100bin'dir ve

hedef kitledeki 2 milyon kadn ve 12 milyon erkek tarafndan seyredilebilir. Dorian

yksek gelirli 28 milyon kadn ve 24 milyon erkeeen az maliyetle nasl ular?

Yant

Karar deikenleri aadaki gibi belirlenebilir:

x1 = tiyatro oyununa verilen reklam says

x2 = futbol mana verilen reklam says

Sorunun modeli:

8/3/2019 yn ar

16/76

2011-2012


min z= 50x1 + 100x2yle ki 7x1 + 2x2 28

2x1 + 12x2 24x1, x20

Grafik zm yaplrsa (x1,x2) = (3.6,1.4) deerleri iin ama fonksiyonunun en iyideeri z= 320 olarak bulunur.

Grafie baklarak en iyi tamsayl zm (x1,x2) = (4, 2) olarak bulunabilir.

Rapor

Hedeflenen kitleye ulamak iin en az maliyetli zm 4 adet reklam tiyatro

oyununda ve 2 adet reklam futbol manda kullanmak gerekir. Bu durumda Dorian

$400bin reklam masraf yapacaktr.

3.1.3 Beslenme rnei

(Winston 3.4., s. 70)

Bayan Fidan drt "temel gda grubu" ile beslenmektedir: kek, ikolatal dondurma,

kola, ananasl pasta. Bir adet kek $0.5'a, bir kak dondurma $0.2'a, bir ie kola

$0.3'a ve bir dilim pasta $0.8'a satlmaktadr. Her gn en az 500 kalori, 6 oz. ikolata,

10 oz. eker ve 8 oz. ya almas gereken Bayan Fidan en az maliyetle bu

gereksinimlerini nasl karlar? Aadaki tabloyu kullanarak bir DP modeli kurup

sorunu znz.

Kalori ikolata(ounce)

eker(ounce)

Ya(ounce)

Kek (1 adet) 400 3 2 2ikolatal dondurma (1 kak) 200 2 2 4Kola (1 ie) 150 0 4 1Ananasl pasta (1 dilim) 500 0 4 5

Yant

Karar deikenleri:

x1: gnlk yenilecek kek says

x2: gnlk yenilecek kak dondurma says

x3: gnlk iilecek ie kola says

x4: gnlk yenilecek dilim pasta says

eklinde belirlenebilir.

Bu durumda ama fonksiyonu (cent cinsinden toplam gnlk maliyet):

min w= 50 x1 + 20 x2 + 30 x3 + 80 x4

Kstlar:

8/3/2019 yn ar

17/76

2011-2012


400 x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 > 500 (gnlk kalori)

3 x1 + 2 x2 > 6 (gnlk ikolata)

2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 > 10 (gnlk eker)

2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 > 8 (gnlk ya)

xi> 0, i= 1, 2, 3, 4 (iaret snrlamalar!)

Rapor

Bayan Fidan gnde 3 kak dondurmayiyip 1 ie kola ierek tm besin

gereksinimlerini karlayabilir ve sadece 90 cent harcar (w=90, x2=3, x3=1).

3.1.4 Postane rnei

(Winston 3.5., s. 74)

Bir postanede haftann her gn farkl sayda elemana gereksinim duymaktadr.

Sendika kurallarna gre bir eleman 5 gn pe pee almakta dier iki gn izin

yapmaktadr. altrlmas gereken toplam en az eleman saysn aadaki i

ykne gre hesaplaynz.

Pzt Sal ar Per Cum Cmt PazGerekli eleman 17 13 15 19 14 16 11

Yant

Karar deikenleri xi(i. gn almaya balayan eleman says) olsun

Matematiksel olarak DP modeli aadaki gibi oluturulabilir:

min z= x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7x1 +x4 +x5 +x6 +x7 17x1 +x2 +x5 +x6 +x7 13x1 +x2 +x3 +x6 +x7 15x1 +x2 +x3 +x4 +x7 19x1 +x2 +x3 +x4 +x5 14

+x2 +x3 +x4 +x5 +x6 16+x3 +x4 +x5 +x6 +x7 11

xt0, t

Rapor

(xt) = (4/3,10/3,2,22/3,0,10/3,5), z = 67/3 eklindedir.

Karar deikeni deerleri yakn tamsaylara yuvarlanrsa (xt) = (2,4,2,8,0,4,5),

z=25 zm bulunur (yanl olabilir!).

Elde edilen Tamsayl Lindo zmne gre ise ama fonksiyonun en iyi deeri

z=23'dr ve (xt) = (4,4,2,6,0,4,3) eklindedir.

8/3/2019 yn ar

18/76

2011-2012


3.1.5 Sailco rnei

(Winston 3.10., s. 99)

Sailco irketi gelecek drt mevsimde ka adet yelkenli reteceine karar verecektir.

Talep srasyla 40, 60, 75 ve 25 yelkenlidir. Sailco tm talepleri zamannda

karlamaldr. Balangta Sailco'nun envanterinde 10 yelkenli vardr. Normal mesai

ile bir mevsimde 40 yelkenli retebilen irket yelkenli bana $400 iilik maliyetine

maruz kalmaktadr. Fazla mesai ile yaplan her ek yelkenli iin ise iilik maliyeti

$450'dr. Herhangi bir mevsimde yaplan yelkenli ya talebi karlamak iin kullanlp

satlr ya da envantere konulur. Bir yelkenlinin bir mevsim envanterde tutulmas

durumunda ise $20 envanter tama maliyeti olumaktadr.

Yant

t= 1,2,3,4 iin karar deikenleri

xt= t. mevsimde normal mesai ile retilen yelkenli says

yt= t. mevsimde fazla mesai ile retilen yelkenli says

Envanter hesaplarnn yaplabilmesi iinkullanlacak deikenler:

it= t. mevsimin sonunda envanterdeki yelkenli says

dt= t. dnem iin yelkenli talebi

Veri xt 40, t

Mantksal olarak it= it-1+ xt+ yt- dt, t.

Talep karlanmal it 0, t

(aret snrlamalar xt,yt0, t)

Bu kst kmelerini kullanarak toplam maliyet zyi enkklemeliyiz:

z= 400(x1+x2+x3+x4) + 450(y1+y2+y3+y4) + 20(i1+i2+i3+i4)

Rapor

Lindo en iyi zm (x1, x2, x3, x4) = (40, 40, 40, 25), (y1, y2, y3, y4) = (0, 10, 35, 0) ve

toplam maliyet = $78450.00 olarak verir. retim izelgesi:

M1 M2 M3 M4Normal mesai (xt) 40 40 40 25Fazla mesai (yt) 0 10 35 0Envanter (it) 10 10 0 0 0Talep (dt) 40 60 75 25

8/3/2019 yn ar

19/76

2011-2012


3.1.6 Mteri Hizmet Dzeyi rnei

(Winston 3.12, s. 108)

Bir bilgisayar irketinde mteri hizmetleri iin deneyimli uzmana olan talep

(adamsaat/ay) aadaki gibidir:

t Ocak ub Mart Nis May

dt 6000 7000 8000 9500 11000

Ocak ay banda irkette 50 deneyimli uzman vardr. Her uzman ayda 160 saat

alabilir. Yeni bir uzman yetitirmek iin deneyimli uzmanlar 50 saat ayrmaktadr

ve sz konusu uzmann eitimi bir ayda tamamlanmaktadr. Her deneyimli uzmana

ayda $2000, her yeni uzmana ise ayda $1000 denmektedir. Her ay deneyimli

uzmanlarn %5'i iten ayrlmaktadr. irket hem hizmet talebini karlamak istemekte

hem de maliyetleri enazlamak istemektedir. Sorunu zmek iin DP modeli kurunuz.

Yant

Karar deikenleri:

xt= taynda eitilecek uzman says

lem yapabilmek iin kullanlan dier deikenler ise

yt= t. ayn banda irketteki deneyimli uzman says

dt= t. ayn hizmet talebi

Bu durumda

min z= 2000(y1+...+y5)+1000(x1+...+x5)

yle ki

160yt-50xt dt for t= 1,...5

y1 = 50

yt= .95yt-1+xt-1 for t= 2,3,4,5

xt,yt0

8/3/2019 yn ar

20/76

2011-2012


3.2 DPNN ZM

3.2.1 DP zmleri: Drt Durum

Bir DP zld zaman aadaki drt durumdan biri ile karlalr:

1. DPnin bir tek en iyi zm vardr.

2. DPnin alternatif (ok sayda) en iyi zmleri vardr. Birden fazla (aslnda

sonsuz sayda) en iyi zm bulunur.

3. DP olurlu deildir (infeasible). Hi olurlu zm yoktur (Olurlu blgede

nokta yoktur).

4. DP snrl deildir(unbounded). Olurlu blgedeki noktalar sonsuz byklkte

ama fonksiyon deeri vermektedir.

3.2.2 Grafik zm

Sadece iki deikenli herhangi bir DPnin zm grafiksel olarak bulunabilir

rnek 1. Giapetto


Giapetto DPnin sadece iki karar deikeni olduundan grafik zerinde zmegidilebilir

Yant

The feasible region is the set of all points satisfying the constraints.

maks z= 3x1 + 2x2

yle ki 2x1 + x2 100 (Montaj ksd)

x1 + x2 80 (Marangozluk ksd)

x1 40 (Talep ksd)x1, x2 0 (aret snrlamalar)

Aadaki kstlar salayan noktalar kmesi olurlu blgedir. DPyi salayan noktalar

kmesi DGFEH begeni ile snrlandrlmtr. Bu begen (boyal blge) zerindeki

veya iindeki herhangi bir nokta olurlu blgededir.
http://c/Users/Ilker%20Topcu/Documents/My%20Web%20Sites/yoneylemarastirmasi/dp_cozum_turleri.htmhttp://c/Users/Ilker%20Topcu/Documents/My%20Web%20Sites/yoneylemarastirmasi/grafik_min.pdfhttp://c/Users/Ilker%20Topcu/Documents/My%20Web%20Sites/yoneylemarastirmasi/grafik_min.pdfhttp://c/Users/Ilker%20Topcu/Documents/My%20Web%20Sites/yoneylemarastirmasi/dp_cozum_turleri.htm

8/3/2019 yn ar

21/76

2011-2012


(Minimization)

min 180x + 160yst 6x + y >= 12

3x + y >= 84x + 6y >= 24x

8/3/2019 yn ar

22/76

2011-2012


rnek 2. Reklam


Reklam DPnin sadece iki karar deikeni olduundan grafik zerinde zme

gidilebilir

Yant

Aadaki kstlar salayan noktalar kmesi olurlu blgedir.

min z=50x1 + 100x2

yle ki 7x1 + 2x2 28 (yksek gelirli kadn)

2x1 + 12x2 24 (yksek gelirli erkek)

x1, x2 0

Dorian toplam reklam maliyetini enkklemek istedii iin sorunun en iyi zm

olurlu blgede en az zdeerini veren noktadr.

En az z deerli e maliyet dorusu E noktasndan gemektedir; bu yzden en iyizm x1 = 3.6, x2 = 1.4 ve z= 320 eklindedir.

X1

X2

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 10 12 14

z = 600

z = 320

A C

D

E

B

Feasible

Region

High-income women constraint

High-income men constraint

X1

X2

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 10 12 14

z = 600

z = 320

X1

X2

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 10 12 14

z = 600

z = 320

A C

D

E

B

Feasible

Region

High-income women constraint

High-income men constraint

8/3/2019 yn ar

23/76

2011-2012


Hem yksek gelirli kadn hem de yksek gelirli erkek kstlar saland iin her ikisi

de aktif kstlardr.

rnek 3. ki Maden

min 180x+ 160y

yle ki 6x+ y>= 12

3x+ y>= 8

4x+ 6y>= 24

x

8/3/2019 yn ar

24/76

2011-2012


rnek 4. Deitirilmi Giapetto

maks z = 4x1 + 2x2

s.t. 2x1 + x2 100 (Finishing constraint)

x1 + x2 80 (Carpentry constraint)

x1 40 (Demand constraint)

x1, x2 0 (Sign restrictions)

Yant

G (20, 60) ve F (40, 20) noktalar arasndaki doru zerindeki noktalaralternatif en

iyi zmleri verir.

0c1 iinc [20 60] + (1-c) [40 20] = [40-20c, 20+40c]

en iyi zmdr.

Tm en iyi zmler iin en iyi ama fonksiyon deeri 200dr.

rnek 5. Deitirilmi Giapetto (v. 2)

x2 90 (Tren talebi) ksdn ekleyelim.

YantOlurlu blge yoktur: Olurlu olmayan DP

x1C

80

100 B

A

50

80 D

E

40

F

G

H

8/3/2019 yn ar

25/76

2011-2012


rnek 6. Deitirilmi Giapetto (v. 3)

Sadece x2 90 ksd olsun.

Yant

E kar dorusu olurlu blgeyi terk edemez: Snrl olmayan DP

8/3/2019 yn ar

26/76

2011-2012


3.2.3 Simpleks Algoritmas

Tm DP sorunlarnn (ikiden fazla sayda karar deikeni olanlarn da) en iyi zm

olurlu blgenin bir kesindedir. Simpleks algoritmas bu gerei kullanarak zme

gider.Balangta olurlu blgenin bir kesi ile ileme balanr ve eer sz konusu ke en

iyi zm vermezse yeni bir adm (iterasyon) iletilerek ama fonksiyonunu

iyiletiren (veya ayn brakan) baka bir komu keye geilir. Bu admlar en iyi DP

zm bulununcaya kadar srer.

DP'leri zmek iin kullanlan simpleks algoritmas Dantzig tarafndan 1940'l yllarn

sonunda gelitirilmitir. Daha sonra algoritma gelitirilip yeni versiyonlar

gelitirilmitir. Bunlardan biri olan "revised simpleks algoritmas" DP zm iinkullanlan bilgisayar paketlerinde kullanlmaktadr.

Admlar

1. DPyi standart biime eviriniz

2. Bir temel olurlu zm (basic feasible solution - bfs) bulunuz

3. Mevcut bfsnin en iyi zm olup olmadn aratrnz. En iyi ise sorun

zlmtr, durunuz.

4. Mevcut bfs en iyi zm deilse, ama fonksiyon deerini en ok iyiletirmek

iin hangi temel d deikenin temel deiken olacan (zme gireceini)

ve hangi temel deikenin zmden kp temel d deiken olacan

saptayarak yeni bir bfs bulunuz.

5. Adm 3e dnnz.

lgili kavramlar:

Standart biim: tm kstlar eitliktir ve tm deikenler negatif olmayan

deerler alr

bfs: tm deikenlerin negatif olmayan deerler ald bir olurlu zm

Temel d deiken: bfsde deerleri 0a eit olan deikenler

Temel deiken: bfsdeki dier deikenler, standart biimdeki eitliklerin

zlmesi ile 0dan byk deerler alrlar

8/3/2019 yn ar

27/76

2011-2012


rnek 1. Dakota Mobilya

(Winston 4.3, s. 134)

Dakota mobilya irketi sra, masa ve sandalye yapmaktadr. Her rn iin, aadaki

tabloda grld gibi, snrl miktarda kullanlabilen tahta, marangozluk ve montaj

iilii gerekmektedir. Ayn tabloda rnlerin sat fiyatlar da verilmitir. Haftada en

fazla 5 masa satlabilmektedir. Haftalk kar enbykleyecek bir retim plan

oluturunuz.

Kaynak Sra Masa Sandalye Kullanlabilen.

Tahta (m2) 8 6 1 48Montaj iilii 4 2 1.5 20Marangozluk 2 1.5 .5 8

Talep (maks) - 5 -Fiyat ($) 60 30 20

DP Modeli:

x1, x2, x3 bir haftada retilen sra, masa ve sandalye says olsun. z ise Dakota'nn

haftalk kar miktarn gstersin. Aadaki DP'yi formle edebiliriz

maks z= 60x1+30x2+20x3

yle ki 8x1+ 6x2+ x3 48

4x1+ 2x2+1.5x3 20

2x1+1.5x2+ .5x3 8

x2 5

x1,x2,x3 0

Simpleks algoritmas ile zm

R0

ncelikle gevek (slack) deikenler kullanarak DP modelini standart biime getirinizve modeli kanonik bir ekilde yaznz.

z -60x1 -30x2 -20x3 = 0

R1 8x1 + 6x2 + x3 + s1 = 48

R2 4x1 + 2x2 +1.5x3 + s2 = 20

R3 2x1 +1.5x2 + .5x3 + s3 = 8

R4 x2 + s4 = 5

x1,x2,x3,s1,s2,s3,s40

8/3/2019 yn ar

28/76

2011-2012


Sorun iin (x1, x2, x3) = 0 zm olurlu olduundan, aada verilen nokta bir

balang temel olurlu zmdr (basic feasible solution bfs):

Bir balang temel olurlu zm bulunuz

x1 = x2 = x3 = 0, s1 = 48, s2 = 20, s3 = 8, s4 = 5.

Bu bfsde karar deikeni temel d deiken (non-basic variables) ve gevek

deiken de temel deikendir (basic variables) ve deerleri kanonik modeldeki

eitliklerden bulunur.

.

Temel d herhangi bir deikenin deerinin oaltlmas (temele girmesi) ile znin

deerinin iyilemesininmmkn olup olmad aratrlr.

Mevcut bfsnin en iyi zm olup olmadn kontrol ediniz

Eer tm temel d deikenlerin ama fonksiyon satrndaki (0. satr; row 0 R0)

katsaylar 0 ya da 0dan bykse (nonnegative), mevcut bfs en iyi (optimal)

zmdr (znin deeri daha ok iyiletirilemez).

Fakat rnekte tm temel d deikenlerin 0. satrdaki katsaylar negatiftir: zm

en iyi deildir.

Enbyklenmek istenen z en ok x1sfrdan farkl yapld zaman oalr: x1

giren deikendir

Yeni bfsnin bulunmas

R1 incelendiinde x1in en fazla 6 olabilecei grlr. Aksi takdirde s1 < 0

olacaktr. Benzer ekilde R2 ve R3 srasyla 5 ve 4 snrlarn verir. Son satrda

x1olmadndan herhangi bir snrlama sz konusu deildir. Bu durumda tm

snrlamalarn (aslnda sa taraf deerlerinin giren deiken katsaylarna

"oran"larnn oran testi) en k olan 4, x1'in alabilecei en byk

deerdir. x1 = 4 olduunda s3 = 0 olup zmden kar ve kan deikenolarak isimlendirilir.

R3 de pivot denklemolur. x1temel deiken olduu iin birim matrise girecek

ekilde sistem yeniden dzenlenir.

Yeni pivot denklem(R3/2):

R3 : x1+.75x2+.25x3+ .5s3 = 4

R3kullanlarak x1tm dier satrlarda yok edilir.

R0=R0+60R3, R1=R1-8R3, R2=R2-4R3, R4=R4

8/3/2019 yn ar

29/76

2011-2012


R0 z +15x2 -5x3 +30s3 = 240 z= 240

R1 - x3 + s1 -4s3 = 16 s1 = 16

R2 - x2 +.5x3 + s2 -2s3 = 4 s2 = 4

R3 x1 +.75x2 +.25x3 +.5s3 = 4 x1 = 4

R4 x2 + s4 = 5 s4 = 5

Yeni bfsx2=x3=s3=0, x1=4, s1=16, s2=4, s4=5 eklindedir ve z=240 olur

x3 girer.

Mevcut bfsin optimalliini kontrol ediniz ve en iyi zm bulunana kadar admlar

tekrar ediniz

Oran testi sonucu x3

= 8 bulunur; s2kar: kinci satr pivot denklem olur.

Pivot denklemde (R2) giren deikenin katsays 1 yaplr:

R2 -2x2+x3+2s2-4s3 = 8 (R2

2).

R2 satr ilemleri ile dier satrlarda giren deiken yok edilir:

R0=R0+5R2, R1=R1+R2, R3=R3-.5R2, R4=R4

Yeni bfs: x2=s2=s3=0, x1=2, x3=8, s1=24, s4=5; z= 280.

Sfrnc satrdaki tm temel d deikenlerin katsays pozitiftir(5x2, 10s2, 10s3).

MEVCUT ZM EN Y ZMDR (OPTIMAL SONU)

Rapor: Dakota mobilya irketi haftalk karn enbyklemek iin 2 sra ve 8 sandalye

retmelidir. Bu durumda 280$ kar eder.

Simpleks algoritmas tablolarla gsterilirse

maks z = 60x1+30x2+20x3

(Siz detm dev ve snavlarda herilem iin tablo kullann!!!)

yle ki 8x1+ 6x2+ x3 48

4x1+ 2x2+1.5x3 20

2x1+1.5x2+ .5x3 8

x2 5

x1,x2,x3 0

8/3/2019 yn ar

30/76

2011-2012


Balang tablosu:

lk tablo:

kinci ve en iyi tablo:

rnek 2. Deitirilmi Dakota Mobilya

Dakota rneini $35/masa olarak deitirelim

Yeni z= 60 x1 + 35 x2 + 20 x3

Yeni sorun iin ikinci ve en iyi (optimal) tablo:

z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ST TD Oran

1 0 0 0 0 10 10 0 280 z=280

0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1=24 -

0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3=8 -

0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1=2 2/1.25 0 0 1 0 0 0 0 1 5 s4=5 5/1

Bir dier en iyi tablo:


1 -60 -30 -20 0 0 0 0 0 z = 0

0 8 6 1 1 0 0 0 48 s1 = 48 6

0 4 2 1.5 0 1 0 0 20 s2 = 20 5

0 2 1.5 0.5 0 0 1 0 8 s3 = 8 4

0 0 1 0 0 0 0 1 5 s4 = 5 -


1 0 15 -5 0 0 30 0 240 z = 240

0 0 0 -1 1 0 -4 0 16 s1 = 16 -

0 0 -1 0.5 0 1 -2 0 4 s2

= 4 8

0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 0 4 x1 = 4 16

0 0 1 0 0 0 0 1 5 s4 = 5 -


1 0 5 0 0 10 10 0 280 z = 280

0 0 -2 0 1 2 -8 0 24 s1 = 24

0 0 -2 1 0 2 -4 0 8 x3 = 8

0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 0 2 x1 = 20 0 1 0 0 0 0 1 5 s4 = 5

8/3/2019 yn ar

31/76

2011-2012


z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ST TD

1 0 0 0 0 10 10 0 280 z=280

0 1.6 0 0 1 1.2 -5.6 0 27.2 s1=27.2

0 1.6 0 1 0 1.2 -1.6 0 11.2 x3=11.2

0 0.8 1 0 0 -0.4 1.2 0 1.6 x2=1.6

0 -0.8 0 0 0 0.4 -1.2 1 3.4 s4=3.4

Bu yzden en iyi zm aadaki gibidir:

z= 280 ve 0 c 1 iin

x1 2 0 2c

x2 = c 0 + ( 1 c ) 1.6 = 1.6 1.6c

x3 8 11.2 11.2 3.2c

rnek 3. Snrl Olmayan DPler

z x1 x2 x3 x4 s1 s2 ST TD Oran

1 0 2 -9 0 12 4 100 z=1000 0 1 -6 1 6 -1 20 x4=20 Yok

0 1 1 -1 0 1 0 5 x1=5 Yok

Oran testi yaplamad iin zlmek istenen DP snrl olmayan DPdir.

8/3/2019 yn ar

32/76

2011-2012


3.2.4 Byk M Yntemi

Eer bir DP'de > veya = kstlar varsa, Simpleks yntemi kullanlarak bir balang

temel olurlu zm (bfs) oluturulamaz.

Bu durumda Byk M (Big M) yntemi veya ki Evreli (Two Phase) Simpleks yntemikullanlmaldr.

Byk M yntemi Simpleks Algoritmasnn bir trdr: Soruna yapay (artificial)

deikenler de eklenerek bir bfs bulunur. DP'nin ama fonksiyonu da sonuta yapay

deikenlerin katsaylar 0 olacak ekilde yeniden dzenlenir.

Admlar

1. ncelikle tm kstlar sa taraf (ST; Right Hand Side - RHS) deerleri negatifolmayacak ekilde dzenlenir (ST deeri negatif olan kstlar-1 ile arplr. Bu

arpm sonucu eitsizliin ynnn deieceini unutmaynz!). Dzenlemelerden

sonra her kst veya = kst olarak snflandrlr

2. Tm kstlar standart biime evrilir. Eer kst < kstsa, sol tarafa simpleks

ynteminde olduu gibi gevek deiken si eklenir. Eer kst > kstsa, sol

taraftan bir fazlalk (excess) deiken eikarlr.

3. Tm > veya = kstlarn sol tarafna bir yapay deiken aieklenir. Ayn zamanda

yapay deikenler iin iaret snrlamas (ai> 0) da eklenir.

4. M ok byk bir say olsun. Eer DP enkkleme sorunu ise, ama

fonksiyonuna (her yapay deiken iin) Maieklenir. Eer DP enbykleme sorunu

ise, ama fonksiyonuna (her yapay deiken iin) -Maieklenir.

5. Her yapay deiken balang temel zmnde olaca iin ama

fonksiyonundan (0. satr) elenmelidir (katsaylar sfr olacak ekilde dzenleme

yaplmaldr). Daha sonra simpleks algoritmasnn admlar kullanlarak (M'nin

byk bir say olduu unutulmadan!) zme gidilir.

Yukardaki 5 admla dzenlenen yeni DP'nin en iyi zmnde tm yapay

deikenler 0'a eit karsa, esas sorunun en iyi zm bulunmutur.

Eer yeni DP'nin en iyi zmnde en az bir yapay deiken pozitif bir deer alrsa,

esas sorun zmszdr (infeasible)!!!
http://c/Users/Ilker%20Topcu/Documents/My%20Web%20Sites/yoneylemarastirmasi/buyukm.htmhttp://c/Users/Ilker%20Topcu/Documents/My%20Web%20Sites/yoneylemarastirmasi/buyukm.htm

8/3/2019 yn ar

33/76

2011-2012


rnek 1. Oranj Meyve Suyu

(Winston 4.10., s. 164)

Bevco irketi, portakal gazozu ile portakal suyunu kartrarak Oranj ismiyle portakall

meyve sular retmektedir. Portakal gazozunun bir onsunda 0.5 oz. eker ve 1 mg C

vitamini vardr. Portakal suyunun bir onsunda ise 0.25 oz. eker ve 3 mg C vitamini

vardr. Bevco bir oz. portakal gazozu retmek iin 2, bir oz. portakal suyu retmek

iin ise 3 harcamaktadr. irketin pazarlama blm Oranj' 10 oz.luk ielerde

satmak istemektedir. Bevco'nun her bir iede en az 20 mg C vitamini bulunmasn

ve en ok 4 oz. eker olmas artn en az maliyetle karlamasn salaynz.

DP Modeli

x1 ve x2bir ie Oranj'da bulunmas gereken portakal gazozu ve portakal suyu miktar

olsun. DP modeli aadaki gibi kurulur.

min z= 2 x1 + 3 x2

0.5 x1+ 0.25 x2 < 4 (eker ksd)

x1+ 3 x2 > 20 (C vit. ksd)

x1+ x2 = 10 (10 ozluk ie ksd)

x1,x2 > 0

Byk M yntemi ile zm

Tm kstlarn ST deeri pozitiftir

Adm 1. Tm kstlarn ST deerleri negatif olmayacak ekilde kstlar yeniden

dzenleyiniz

z 2 x1 3 x2 = 0

Adm 2. Tm kstlar standart biime eviriniz

0.5 x1+ 0.25 x2 + s1 = 4

x1+ 3 x2 - e2 = 20x1+ x2 = 10

tm deikenler> 0

z 2 x1 3 x2 = 0 R0

Adm 3. > veya = kstlara aiyapay deikenini ekleyiniz

0.5 x1+ 0.25 x2 + s1 = 4 R1

x1+ 3 x2 - e2 + a2 = 20 R2

x1+ x2 + a3 = 10 R3tm deikenler> 0

8/3/2019 yn ar

34/76

2011-2012


min z= 2 x1 + 3 x2 + M a2 + M a3

Adm 4. Ama fonksiyonuna Maiekleyiniz (min. sorunu iin)

Sfrnc satr (R0) aadaki gibi olacaktr:

z 2 x1 3 x2 M a2 M a3 = 0

Yeni R0 = R0 + MR2 + MR3

Adm 5. Yapay deikenleri R0'dan eleyecek ekilde yeni R0oluturunuz

z+ (2M2) x1 + (4M3) x2 M e2 = 30M Yeni R0

Balang tablosu:

z x1 x2 s1 e2 a2 a3 ST TD Oran

1 2M-2 4M-3 0 -M 0 0 30M z=30M0 0.5 0.25 1 0 0 0 4 s1=4 16

0 1 3 0 -1 1 0 20 a2=20 20/3*

0 1 1 0 0 0 1 10 a3=10 10

Enkklemesorununda, sfrnc satr katsays "en pozitif" olan deiken

girendeikendir!

lk tablo:

z x1 x2 s1 e2 a2 a3 ST TD Oran

1 (2M-3)/3 0 0 (M-3)/3 (3-4M)/3 0 20+3.3M z

0 5/12 0 1 1/12 -1/12 0 7/3 s1 28/5

0 1/3 1 0 -1/3 1/3 0 20/3 x2 20

0 2/3 0 0 1/3 -1/3 1 10/3 a3 5*

En iyi tablo:

z x1 x2 s1 e2 a2 a3 ST TD

1 0 0 0 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25 z=25

0 0 0 1 -1/8 1/8 -5/8 1/4 s1=1/4

0 0 1 0 -1/2 1/2 -1/2 5 x2=5

0 1 0 0 1/2 -1/2 3/2 5 x1=5

Rapor:

Bir ie Oranj'da, 5 oz. portakal gazozu ve 5 oz. portakal suyu olmaldr.

Bu durumda toplam maliyet 25 olacaktr.

8/3/2019 yn ar

35/76

2011-2012


3.3 DUALTE

3.3.1 Primal Dual

Herhangi bir DP ile ilikisi olan bir dier DP dual(eters) olarak isimlendirilir. Dual

bilgisi ekonomik ve duyarllk analizi ile ilgili ilgin aklamalar salar. Duali alnan DP

primalolarak isimlendirilir. Primal model enbykleme sorunu ise dual enkkleme

sorunu olur. Bu kuraln tam tersi de dorudur.

3.3.2 Bir DPnin Dualini Bulma

Normal enbyklemesorununun duali normal enkklemesorunudur.

Normal enbykleme sorunu tm deikenlerin 0 veya 0dan byk olduu ve

tm kstlarn olduu bir sorundur.

Normal enkkleme sorunu tm deikenlerin 0 veya 0dan byk olduu ve

tm kstlarn olduu bir sorundur.

Benzer ekilde, normal enkkleme sorununun duali de normal enbykleme

sorunudur.

Normal Enbykleme Sorununun Dualini Bulma

PRMAL

maks z = c1x1+ c2x2 ++ cnxn

yle ki a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn bm

xj 0 (j= 1, 2, ,n)

DUAL

min w = b1y1+ b2y2 ++ bmym

yle ki a11y1 + a21y2 + + am1ym c1

a12y1 + a22y2 + + am2ym c2

a1ny1 + a2ny2 + + amnym cn

yi 0 (i= 1, 2, ,m)

8/3/2019 yn ar

36/76

2011-2012


Normal Enkkleme Sorununun Dualini Bulma

PRMAL

min w = b1y1+ b2y2 ++ bmym

yle ki a11y1 + a21y2 + + am1ym c1

a12y1 + a22y2 + + am2ym c2

a1ny1 + a2ny2 + + amnym cn

yi 0 (i= 1, 2, ,m)

DUAL

maks z = c1x1+ c2x2 ++ cnxn

yle ki a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn bm

xj 0 (j= 1, 2, ,n)

Normal Olmayan Enbykleme Sorununun Dualini Bulma

Eeri. primal kst > kstsa, ilgili dual deiken yi< 0 eklinde olmaldr.

Eeri. primal kst eitlikse, ilgili dual deiken yi"iareti

snrlandrlmam" (unrestricted in sign - urs) deikendir.

Eeri. primal deiken urs ise, i. dual kst eitliktir.

Normal Olmayan Enkkleme Sorununun Dualini Bulma

Eeri. primal kst < kstsa, ilgili dual deiken xi< 0 eklinde olmaldr

Eeri. primal kst eitlikse, ilgili dual deiken xi"iareti

snrlandrlmam" (urs) deikendir.

Eeri. primal deiken urs ise, i. dual kst eitliktir

3.3.3 Dual Teoremi

Primal ve dualin en iyi ama fonksiyon deerleri eittir (eer sorunlar iin en iyi

zm varsa).

8/3/2019 yn ar

37/76

2011-2012


Zayf dualiteye gre; dual iin herhangi bir olurlu zmn w-deeri en az primal iin

herhangi bir olurlu zmn z-deeri kadar olabilirz w.

Dual iin herhangi bir olurlu zm primal ama fonksiyon deeri iin snr

olarak kullanlabilir.

Primal snrl deilse (unbounded) dual olurlu deildir (infeasible)

Dual snrl deilse primal olurlu deildir.

Primal enbykleme sorunu ise en iyi tablonunsfrnc satrndan en iyi

dual zm nasl okunur?

yidual deikeninin en iyi deeri

= en iyi R0da sinin katsays (kst i ise)

= en iyi R0da einin katsays (kst i ise)

= en iyi R0da ainin katsays M (kst i= ise)

Primal enkkleme sorunu ise en iyi tablonun sfrnc satrndan en iyi

dual zm nasl okunur?

xidual deikeninin en iyi deeri

= en iyi R0da sinin katsays (kst i ise)

= en iyi R0da einin katsays (kst i ise)

= en iyi R0da ainin katsays + M (kst i= ise)

3.3.4 Ekonomik Yorum

Primal normal enbykleme sorunu olduunda, dual deikenler karar vericiye

salanabilecek kaynaklarn deeri ile ilgili olur.Bu yzden dual deikenlerden ou

kez kaynak glge fiyatlarolarak sz edilir.

rnek

PRMAL

x1,x2,x3retilen sra, masa ve sandalye saysn gstersin. Haftalk kar $ziken DP

modeli:

maks z= 60x1+30x2+20x3

8x1+ 6x2+ x3 48 (Tahta kst)

4x1+ 2x2+1.5x3 20 (Montaj kst)

2x1+1.5x2+0.5x3 8 (Marangozluk kst)

x1,x2,x3 0

8/3/2019 yn ar

38/76

2011-2012


DUAL

Farzedelim ki bir giriimci Dakota'nn tm kaynaklarn (hammadde) satn almak

istiyor.

Dual sorunda y1, y2, y3 srasyla bir m2 tahta, bir ssat montaj iilii ve bir saat

marangozluk iin denmesi gereken creti gsterir.

$wde kaynak satn alma toplam maliyetini gsterir.

Kaynak cretleri Dakota'y sata tevik edecek kadar yksek; giriimciyi

vazgeirmeyecek kadar az olmaldr. Bu durumda da toplam satn alma maliyeti

toplam kar kadar olur.

min w= 48y1+ 20y2+ 8y3

8y1 + 4y2 + 2y3 60 (Sra kst)

6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 (Masa kst)

y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 (Sandalye kst)

y1,y2,y3 0

8/3/2019 yn ar

39/76

2011-2012


3.4 DUYARLILIK ANALZ

3.4.1 ndirgenmi Maliyet

Herhangi bir temel d deikenin indirgenmi maliyeti (reduced cost), deikenin

temel deiken olmas (DP'nin en iyi zmne girmesi) iin ama fonksiyon

katsaysnda yaplacak iyiletirme miktardr.

Eer bir xk temel d deikeninin ama fonksiyon katsays indirgenmi maliyet

kadar iyiletirilirse, DP'nin bir tek en iyi zm olmaz: alternatif zmler vardr. xk,

sz konusu zmlerden en az birinde temel deiken; en az birinde ise temel d

deiken konumundadr.

Eer xk temel d deikeninin ama fonksiyon katsays indirgenmi maliyetten

daha fazla iyiletirilirse, yeni DP'nin tek bir en iyi zmne ulalr ve bu zmde xk

temel deiken olur (xk>0).

Temel deikenin indirgenmi maliyeti sfrdr (tanma baknz)!

3.4.2 Glge Fiyat

DP modelinin i. ksdnn glge fiyat (shadow price), sz konusu ksdn sa taraf

(ST; Right Hand Side - RHS) deerinin 1 birim oaltlmas durumunda, en iyi ama

fonksiyon deerinin ne kadar iyiletiini (enbykleme sorununda ne kadar arttn,enkkleme sorununda ne kadar azaldn) gsterir.

Bu tanm sadece deiimden nceki zmn deiimden sonra da ayn kalmas

durumunda geerlidir!

Bir > ksdnglge fiyat her zaman 0 ya da 0'dan kk (nonpositive); bir < ksdn

glge fiyat ise her zaman 0 ya da 0'dan byk (nonnnegative) olacaktr.

3.4.3 Kavramsallatrmamaks z= 5 x1 + x2 + 10 x3

x1 + x3 100

x2 1

Tm deikenler 0

Bu ok kolay bir DP modelidir ve simplekskullanlmadan elle de zlebilir:

x2= 1 (Bu deiken ilk kstta yoktur, bu durumda sorun enbykleme olduundanikinci ksdnsol taraf deeri 1'e eit olur)

8/3/2019 yn ar

40/76

2011-2012


x1 = 0, x3= 100 (Bu iki deiken ise salt ilk kstta kullanlmlardr ve x3'n ama

fonksiyon deeri x1'inkinden byk olduu iin x3'n en iyi deeri birinci kst ST

deerine eit olur)

Bu durumda en iyi zm aadaki gibidir:

z= 1001, [x1, x2, x3] = [0, 1, 100]

Ayn zamanda duyarlk analizi de elle hesaplanabilir:

ndirgenmi Maliyet

x2 ve x3temel deiken (en iyi zmde) olduklarndan, indirgenmi maliyetleri 0'dr.

x1'i temel deiken yapabilmek iin ama fonksiyon katsaysn en az x3'n ama

fonksiyon katsays kadar yapmak dier bir deyile 5 (10-5) birim oaltmak gerekir.

Yeni ama fonksiyonu (maks z= 10 x1 + x2 + 10 x3) olacak ve [x1, x2, x3] iin en az iki

en iyi zm bulunacaktr: [0, 1, 100] ve [100, 1, 0].

Bu durumda x1'in indirgenmi maliyeti 5'dir

Eerx1'in ama fonksiyon katsaysn indirgenmi maliyet deerinden daha fazla

oaltrsak en iyi zm bir tane olacaktr: [100, 1, 0].

Glge Fiyat

Eer birinci ksdnST deeri 1 birim arttrlrsa, x3'n yeni en iyi zm deeri 100

yerine 101 olacaktr. Bu durumda da z'nin yeni deeri 1011 olacaktr.

Tanmdan faydalanp tersten gidersek: 1011 - 1001 = 10, birinciksdn glge fiyat

deeridir.

Benzer ekilde ikinci ksdn glge fiyat 1 olarak hesaplanr (ltfen hesaplaynz).

3.4.4 Duyarllk iin Lindo ktsnn Kullanlmas

DKKAT: Simpleks'de sfrnc satr olan ama fonksiyonu Lindo'da birinci satr(Row 1) olarak kabul edilir!

Bu yzden ilk kst, Lindo'da her zaman ikinci satrdr!!!

MAX 5 X1 + X2 + 10 X3

SUBJECT TO

2) X1 + X3

8/3/2019 yn ar

41/76

2011-2012


OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1001.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 5.000000X2 1.000000 0.000000

X3 100.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 10.000000

3) 0.000000 1.000000

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASEX1 5.000000 5.000000 INFINITY

X2 1.000000 INFINITY 1.000000

X3 10.000000 INFINITY 5.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 100.000000 INFINITY 100.000000

3 1.000000 INFINITY 1.000000

Lindo kts x1, x2 ve x3deikenlerinin indirgenmi maliyetlerini (reduced costs) 5, 0ve 0 olarak vermektedir.

Enbykleme sorunlarnda temel d bir deikenin indirgenmi maliyetiayn

zamanda Lindo ktsndaki ama fonksiyon katsaylar aralndaki (obj. coefficient

ranges) o deiken iin izin verilen oal (allowable increase) deeri ile de

bulunabilir. Burada x1iin sz konusu deer 5'dir.

Enkkleme sorunlarnda ise temel d deikenin indirgenmi maliyeti izin verilen

azal (allowable decrease) deerine eittir.Ayn Lindo ktsndan, glge fiyatlar (shadow prices) da kstlarn "dual price"

deerleri okunarak bulunabilir:

rneimizde birinci ksdn (satr 2) glge fiyat 10'dur.

kinci ksdn (satr 3) glge fiyat ise 1'dir.

8/3/2019 yn ar

42/76

2011-2012


3.4.5 Baz nemli denklemler

Eer bir ksdn ST deerindeki bir deiim en iyi zmn deimeyecei izin verilen

ST aralklarnda (allowable RHS range) ise aadaki denklemler kullanlarak yeni

ama fonksiyon deeri hesaplanabilir:

enbykleme sorunu iin

yeni ama fn. deeri = eski ama fn. deeri + (yeni ST eski ST) glge fiyat

enkkleme sorunu iin

yeni ama fn. deeri = eski ama fn. deeri (yeni ST eski ST) glge fiyat

Lindo rneinde, izin verilen ST aral oal (allowable increase in RHS ranges)

sonsuz (infinity) olduu iin her iki ksdn da ST deerini istediimiz kadar

oaltabiliriz. Fakat izin verilen ST aral azalna (allowable decrease) gre birinci

ksd en fazla 100, ikinci ksd ise 1 birim azaltabiliriz.

Birinci ksdn yeni ST deerinin 60 olduunu dnelim.

ncelikle izin verilen aralklar kontrol edilir. oal sonsuz olduundan birinci

denklemi kullanabiliriz (maks sorunu):

zyeni = 1001 + ( 60 - 100 ) 10 = 601

3.4.6 Simpleks Kullanarak Duyarllk

Dakota mobilya rneinde x1,x2,x3srasyla retilen sra, masa ve sandalye miktar

idi.

Kar enbyklemek iin kurulan DP:

maks z= 60x1 30x2 20x3

8x1 + 6x2 + x3 + s1 = 48 Tahta

4x1 + 2x2 +1.5x3 + s2 = 20 Montaj2x1 +1.5x2 + .5x3 + s3 = 8 Marangozluk

x2 + s4 = 5 Talep

Bu sorunun en iyi zmn de bulmutuk:

z +5x2 +10s2 +10s3 = 280

-2x2 +s1 +2s2 -8s3 = 24

-2x2 +x3 +2s2 -4s3 = 8

+x1 +1.25x2 -.5s2 +1.5s3 = 2x2 +s4 = 5

8/3/2019 yn ar

43/76

2011-2012


Analiz 1

Mevcut montaj iilii miktar deisin: 20 20+, bu durumda sistem de

deiecektir:

z' = 60x1' + 30x2' + 20x3'

8x1' + 6x2' + x3' +s1' = 48

4x1' + 2x2' +1.5x3' +s2' = 20+

2x1' +1.5x2' + .5x3' +s3' = 8

+ x2' +s4' = 5

Deien sistem aadaki gibi de yazlabilir:

z' = 60x1' + 30x2' + 20x3'8x1' + 6x2' + x3' +s1' = 48

4x1' + 2x2' +1.5x3' +(s2'-) = 20

2x1' +1.5x2' + .5x3' +s3' = 8

+ x2' +s4' = 5

z,x1,x2

,x3,x4

,s1,s2

-,s3,s4

deiimden nceki sorunu, dolaysyla (1)'i salar. Gerekli

deiiklikler yaplrsa yeni en iyi zm:

z' +5x2' +10(s2'-) +10s3' = 280

-2x2' +s1' +2(s2'-) -8s3' = 24

-2x2' +x3' +2(s2'-) -4s3' = 8

+x1' +1.25x2' -.5(s2'-) +1.5s3' = 2

x2' +s4' = 5

ve bylece

z' +5x2' +10s2' +10s3' = 280+10

-2x2' +s1' +2s2' -8s3' = 24+2

-2x2' +x3' +2s2' -4s3' = 8+2

+x1' +1.25x2' -.5s2' +1.5s3' = 2-.5

x2' +s4' = 5

elde edilir

-4 4 aral iin yeni sistem en iyi zm verir: Bu aralkta ST deerleri negatif

olmaz.

8/3/2019 yn ar

44/76

2011-2012


oaldka, toplam kar da 10 kadar oalmaktadr. Bu durumda montaj iilii

ksdnn glge fiyatnn $10/saat olduunu (4 saat azalma ve 4 saat oalmaya izin

verildiini unutmadan) syleyebiliriz .

Analiz 2

Eer sralarn fiyat $60+ olursa ne olur?

Kk bir iin kar 2oalr nk en iyi zm 2 sra yaplmasn nermektedir.

Peki sz konusu kar katsays ne kadar oaltlabilir?

Yeni gelir:

z' = (60+)x1+30x2+20x3 = z+x1

= (280-5x2-10s2-10s3)+(2-1.25x2+.5s2-1.5s3)= 280+2-(5+1.25)x2-(10-.5)s2-(10+1.5)s3

eklindedir.

Yeni sfrncsatr aadaki gibi olmaldr:

z'+(5+1.25)x2+(10-.5)s2+(10+1.5)s3 = 280+2

Optimalliin (en iyi zmn) bozulmamas iin bu satrdaki tm terimlerin 0 olmas

gerekir.

-4 20 aralnda mevcut retim izelgesi optimaldir.

Analiz 3

Eer temel d deikenlerden birinin kar katsays deiirse yeni gelir:

z = 60x1+(30+)x2+20x3 = z+x2

= 280-5x2-10s2-10s3+x2

= 280-(5-)x2-10s2-10s3

eklinde hesaplanr.Optimalliin bozulmama art 5'dir. Fakat > 5 olursa (gelir $35den fazla olursa)

masa retmek daha iyi olacaktr. Bu durumda da masa iin indirgenmi maliyetin

$5.00 olduu sylenebilir.

3.4.7 Grafik zm Kullanarak Duyarllk

Snfta ilenecektir.

8/3/2019 yn ar

45/76

2011-2012


3.4.8 Dualite ve Duyarllk

Snfta ilenecektir.

3.4.9 %100 Kural

Snfta ilenecektir.

8/3/2019 yn ar

46/76

2011-2012


3.5 DUAL SMPLEKS YNTEM

(Enbykleme sorunu iin)

En negatif STyi seeriz

Bu pivot satrn temel deikeni zmden kar

Pivot satrdaki negatif katsayl deikenler iin oranlar hesaplanr (sfrnc satrdaki

katsay / pivot satrdaki katsay)

Mutlak deerce en kk oranl deiken zme girer.

rnek:

z x1 x2 s1 s2 s3 RHS1 0 0 1.25 0.75 0 41.25

0 0 1 2.25 - 0.25 0 2.250 1 0 - 1.25 0.25 0 3.750 0 0 - 0.75 - 0.25 1 - 0.75

s3 negatif ST deerine sahip olduu iin zmden kar.

1.25 / -0.75 ve 0.75 / -0.25 oranlarnn mutlak deerce en k ilk oran olduu iin

ilk stunu temsil eden s1 zme girer.

En iyi zm: z = 40, x1 = 5, x2 = 0

8/3/2019 yn ar

47/76

2011-2012


3.6 DZELTLM SMPLEKS YNTEM

(Dr. ule nsel)

Simpleks ynteminin matris formunda gsterimi

Deiken says=n,kst says=m olmak zere,

maks cx

Ax=b

x0

b= orjinal tablonun sa taraf deerleri

aj= orjinal tablodaki xjdeikenine karlk gelen stunB = A matrisinin temel deikenlerine kar gelen m adet stundan oluan altmatris.

(Btemel matris)

A, x ve cyi, temel ve temel olmayan deikenlere kar gelen stunlara gre iki

ksma ayralm:

A = [B, N]x = [xB, xN]

c = [cB, cN]

maks cBxB + cNxN

BxB + NxN = b

xB, xN 0

B matrisi dorusal bamsz vektrlerden olutuu iin tersini bulabiliriz. B-1

B-1(BxB + NxN = b) B-1 BxB + B

-1 NxN = B-1b

IxB + B-1 NxN = B

-1 b

xB=B-1b B-1NxN

xN= 0 diyerek Bye kar gelen temel zm bulabiliriz: xB = B

-1

b

Temel olmayanlara deikenlere kar

gelenler

Temel deikenlere kar gelenler

8/3/2019 yn ar

48/76

2011-2012


Ama fn:

Z = cB xB + cN xN

= cB (B-1 b B-1 NxN) + cN xN

cBB-1 b + (cN cBB

-1N)xN

z (cN cBB-1 N)xN = cBB

-1 b

z + (cBB-1N cN)xN = cBB

-1 b Tabloya yerletireceimiz denklem

= cBB-1 N cN(maliyet vektr olarak tanmlanr.)

Tablo halinde gsterelim:

c 0 cB cN 0

A b B N b

cBve B temel deikenler, cNve N temel olmayan deikenlerdir ve genellikle yasal

biimde deildir.

Eer B matrisi temel olarak kullanlrsa, buna kar gelen tablo

0 ... 0 ... 0 cBB-1N cN (0) cBB-1b

I B-1N B-1b (0)

Olurluluk koulu: B-1b0 (Maks ve Min problemleri iin geerli) Eniyilik koulu: cBB

-1N cN0 (Maks)0 (Min)

rnek: Maks z = 2x1 + 2x2 + 4x3K. x1 + x2 + x3 6

x1 + 2x2 + 3x3 12

xi0, i

Standart form

Maks z = 2x1 + 2x2 + 4x3

K. x1 + x2 + x3 + s1 = 6

8/3/2019 yn ar

49/76

2011-2012


x1 + 2x2 + 3x3 + s2 = 12

xi0, sj0 i=1, 2, 3 j=1, 2

x1 x2 x3 s1 s2

-2 -2 -4 0 0 0

1 1 1 1 0 6

1 2 3 0 1 12

B matrisi, herhangi

B = (s1, s2) veya B = (x1, x2) olabilir.

iki dorusal bamsz vektrden oluabilir.

Diyelim ki;

=

31

11B

xx 31

=

102

011N

ssx 212

[ ]42cB = [ ]002cN = daima orijinaller kullanlr

=

12

6b

=

=

21

21

21

23

1

11

13

2

1B

=

=

3

3

12

6bB

21

21

21

23

1 yeni sa taraf

3221

21

21

21

23

21

322221

21

21

23

1

102

011NB

=

=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 011100211300242cNBc2

12

12

1

21

23

21

N1

B ==

==

En iyilik koulu salanyor.

Ama fn deeri

[ ] *1-B z183

342bBcZ ==

==

8/3/2019 yn ar

50/76

2011-2012


En iyi zm:

0ssx

x

x

3

3bB

*2

*1

*2

3

11 ===

=

=

=

Dzeltilmi simpleks ynteminin temel noktalar

Temel deikenler tanmland anda, B temel matrisi otomatik olarak bulunmu

demektir. Bylece B-1ve standart formdaki orijinal veriler yardmyla o temele

kar gelen tablo btnyle hesaplanabilir. Simpleks ynteminin aamalar, bu

yntem iin de aynen geerlidir.

Hesaplama kolaylklar

o Byk DP problemlerinde Gauss-Jordan satr ilemleri, kontrol edilemeyen

birikimli makine yuvarlama hatalarna yol aarlar. Dzeltilmi simpleks

ynteminde B-1ve orijinal veriler ile alldndan, B-1in hesaplanmas

srasndaki yuvarlama hatalarn denetim altnda tutarak, hesaplamalardaki

doruluu kontrol edebiliriz.

o Aslnda simpleks tablosunun tmn hesaplamak gerekmemektedir. Bu da,

baz byk DP problemlerinde daha az sayda ileme yol aabilir.

Dzeltilmi simpleks ynteminin basamaklar

(Maks) Bir balang zmn (temel B ve temelin tersi B-1) verildiini dnelim.

Basamak 1:Temel zm

bbBx 1

B

== ile bulunur. xN= 0dr.

Ama fn: bcbBcz B1

B ==

Basamak 2: Btn temel olmayan deikenler iin zj cj = cBB-1aj cj hesaplanr.

Eer btn zj cj 0 ise, eniyi zme ulalm demektir. Aksi takdirde basamak 3e

geilir.

Basamak 3:zk ck = enbyk |zj cj| olarak alnr. yk = B-1ak. Eer yk 0 ise, zm

snrszdr. Aksi halde, temelden kacak olan deiken bulunur.

8/3/2019 yn ar

51/76

2011-2012


>=

0y:y

benk

y

bik

ik

i

mi1rk

r

Bu en kk oran veren xBr, temelden ayrlr. B matrisi gncelletirilir (aBr yerine ak

girer) ve basamak 1e dnlr.

rnek: Maks x1 + 2x2 x3 + x4 + 4x5 2x6

K. x1(a1) + x2(a2) + x3(a3) + x4(a4) + x5(a5) + x6(a6) 6 x7(a7)

2x1 x2 2x3 + x4 4 x8(a8)

x3 + x4 + 2x5 + x6 4 x9(a9)

(x7, x8 ve x9gevek deikenler)

xi 0, i=1, ..., 6

Balang zm x7, x8 ve x9 dan olusun.

B = [a7, a8, a9] = I

1. terasyon

Basamak 1: B-1 = B = I

b

4

4

6

4

4

6

1

1

1

bBx 1-B =

=

==

[ ] 04

4

6

000bBcz 1B =

==

Basamak 2: = cBB-1N cN

B-1N = IN = N

[ ] [ ]

[ ] 0241121

241121

121100

001212

111111

000

>

=

== (zm snrl)

8/3/2019 yn ar

52/76

2011-2012


5a

2

0

1

vektrnn mevcut temel cinsinden ifade edilmi ekli

9x922

4

,0

4

,1

6

Enk ==

kar.

Yeni

=

200

010

101

B

2. terasyon

Basamak 1:

=

21

211

00

01001

B

b

2

4

4

4

4

6

00

010

01

bBx

21

21

1B =

=

==

[ ] 82

4

4

400bcz B =

==

Basamak 2:

= cBB-1N cN

[ ] [ ]

[ ] 0241321

021121

111100

001212

011111

00

010

01

400

21

21

=

==

(zm snrl)

7x4

1

4Enk =

kar

8/3/2019 yn ar

53/76

2011-2012


Yeni

=

200

011

101

B

3. terasyon

Basamak 1:

=

21

21

21

1

00

10

01

B

b

2

8

4

4

4

6

00

10

01

bBx

21

21

21

1B =

=

==

[ ] 162

8

4

402bcz B =

==

Basamak 2:

= cBB-1N cN

[ ] [ ]

[ ] 0125241

002111

101110

000122

011111

00

10

01

402

21

21

21

=

=

Eniyi zme ulalmtr.

z* = 16

0xxxxxx

x

x

x

2

8

4

bBx

*9

*7

*6

*4

*3

*1

*

5

*8

*2

1*B

=======

=

=

==

8/3/2019 yn ar

54/76

2011-2012


3.7 TMLER GEVEKLK TEOREM

(Dr. ule nsel)

x ; Pnin (primal problemin) olurlu zm, y de Dnin (Dual problemin) olurlu

zm olsun. x ve y , ancak ve ancak aadaki artlar saland takdirde P ve

Dnin eniyi zm olarak kabul edilirler:

n,...,1j,0vxcyax

m,...,1i,0syxaby

jj

m

1i

jiijj

ii

n

1j

jijii

===

===

=

=

Burada;si= i nolu primal kstn gevek deikeni

vj= j nolu dual deikenin artk deikeni

Eer bir bileen >0, teki = 0 olur. Fakat biri = 0 ise, br terimin >0 olduu

sylenemez. Dier bir deyile, P veya Ddeki bir kstta s i veya vjdeerlerinden biri >0

ise, dier problemde (D veya P) bu ksta karlk gelen deiken =0dr.

Aklama: jx nin eniyi zm olduunu varsayalm.

= =

>>n

1j

n

1j

jijijiji xab0xab

Elimizde atl kapasite varelimizde bir birim kaynamz daha olsa, atl

ekilde kalacak ve katks olmayacak ek birimin bir deeri yok.

0y i =

iy nin optimal ve iy > 0 olduunu varsayalm.

i kaynandan bir birim daha olsa bizim iin deerli.

onun iin i kaynann hepsini kullanp, atl kapasite brakmamak lazm.

=

=n

1j

ijij bxa

rnek: Maks 2x1 + 4x2 + 3x3 + x4

K. 3x1 + x2 + x3 + 4x4 12 (1)

8/3/2019 yn ar

55/76

2011-2012


x1 3x2 + 2x3 + 3x4 7 (2)

2x1 + x2 + 3x3 x4 10 (3)

xi0, i

x* = (0, 10.4, 0, 0.4) bir eniyi zmdr. Bu bilgiyi kullanarak bir dual eniyi zm

bulunuz.

Duali: Min 12y1 + 7y2 + 10y3

3y1 + y2 + 2y3 2 (1)

y1 3y2 + y3 4 (2)

y1 + 2y2 + 3y3 3 (3)

4y1 + 3y2 y3 1 (4)y1, y2, y3 0

Tmler geveklik teoremini kullanalm.

X2* ve X4

* > 0 olduuna gre 2. ve 4. dual kstlar eitkik olarak salanmal:

y1 3y2 + y3 = 4 (2)

4y1 + 3y2 y3 = 1 (4)

x*deerlerini Pnin kstlarna yerletirelim.

(1) 10.4 + 1.6 = 12 = 12

(2) -31.2 + 1.2 = -30 < 7 y2* = 0

(3) 10.4 0.4 = 10 = 10

(2) y1 + y3 = 4

(4) 4y1 y3 = 1

y1* = 1, y3

* = 3

z* = 42 = *

8/3/2019 yn ar

56/76

2011-2012


4. ULATIRMA SORUNLARI

4.1 ULATIRMA SORUNLARININ FORMLASYONU

Genel olarak, bir ulatrma sorunu aadaki bilgileri barndrr:

Bir rn/hizmet gnderen madet arz noktas(supply point). iarz noktas en

fazla sibirim arz edebilir.

rnn/hizmetin gnderildii n adet talep noktas (demand point).j talep

noktas en az djbirime gereksinim duyar.

Bir birimin iarz noktasndanjtalep noktasna gnderilmesi maliyeti cijdir.

Sz konusu bilgi aadaki ulatrma tablosuile formle edilebilir:

Talepnoktas 1

Talepnoktas 2

.....Talep

noktas n ARZ

Arznoktas 1

c11 c12 c1n s1

Arznoktas 2

c21 c22 c2n s2

.....Arz

noktas mcm1 cm2 cmn sm

TALEP d1 d2 dn

Eer toplam talep miktar toplam arz miktarna eitse sorun dengeli ulatrma

sorunuolarak isimlendirilir.

xij= iarz noktasndanjtalep noktasna gnderilen miktar olsun.Bu durumda ulatrma sorununun genel DP gsterimi aadaki gibidir:

min i jcijxij

yle kijxij< si(i=1,2, ..., m) Arz kstlar

ixij> dj(j=1,2, ..., n) Talep kstlar

xij> 0

8/3/2019 yn ar

57/76

2011-2012


Yukardaki sorun, bir enbykleme sorunu (ulatrma sonucu kar elde edilmesi gibi)

da olsa, kstlarnn benzer zellikler tamas durumunda yine bir ulatrma

sorunudur.

4.1.1 Dengeli Ulatrma Sorununun Formulasyonu

rnek 1. Powerco

Powerco irketinin drt ehre hizmet veren adet elektrik santrali vardr. Her bir

santral srasyla 35 milyon, 50 milyon ve 40 milyon kWh elektrik retmektedir.

ehirlerin en youn saatlerde talep ettii elektrik miktar ise srasyla 45 milyon, 20

milyon, 30 milyon ve 30 milyon kWhdir. 1 milyon kWh elektriin bir santralden bir

ehregnderilmesinin maliyeti aadaki tabloda verilmitir. Her ehrin talebini en az

maliyetle karlamak zere bir ulatrma tablosunda dengeli bir ulatrma sorunu

formle ediniz ve sorunun DP modelini gsteriniz.

ehir 1 ehir 2 ehir 3 ehir 4Santral 1 $8 $6 $10 $9Santral 2 $9 $12 $13 $7Santral 3 $14 $9 $16 $5

Yant:

1. Ulatrma sorununun formlasyonu

ehir 1 ehir 2 ehir 3 ehir 4 ARZ

Santral 18 6 10 9

35

Santral 29 12 13 7

50

Santral 314 9 16 5

40

TALEP 45 20 30 30 125

Toplam talep ve toplam arz eit olduundan (125 milyon kWh) sorun dengelidir.

2. Sorunun DP modeli olarak gsterimi

xij: Santral ide retilen ve ehirjye gnderilen elektrik miktar (million kwh)

min z = 8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 + 9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 + 14x31 + 9x32 +

16x33 + 5 x34

s.t. x11 + x12 + x13 + x14 < 35 (arz kstlar)

x21 + x22 + x23 + x24 < 50

x31 + x32 + x33 + x34 < 40x11 + x21 + x31 > 45 (talep kstlar)

8/3/2019 yn ar

58/76

2011-2012


x12 + x22 + x32 > 20

x13 + x23 + x33 > 30

x14 + x24 + x34 > 30

xij > 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)

4.1.2 Dengesiz bir Ulatrma Sorununun Dengelenmesi

Fazla Arz

Eer toplam arz miktar toplam talep miktarn geerse, sorunu dengelemek iin talep

miktar aradaki fark (fazla arz miktar) kadar olan biryapay talep noktasyaratrz.

Sz konusu noktaya yaplacak gnderimler aslnda olmayaca iin bu noktaya arz

noktalarndan yaplacak ulatrma maliyeti 0 olacaktr.

Karlanmayan Talep

Eer toplam arz miktar toplam talep miktarndan azsa, aslnda olurlu bir zm

yoktur (talepler karlanamaz). Bu durumda karlanamayan talep kadar arz olan bir

yapay arz noktasyaratrz. Talebin olmayan bir arz noktasndan karlanamamas

beraberinde bir ceza maliyeti getirir.

rnek 2. Fazla Arz iin Deitirilmi Powerco

ehir 1in talebinin 40 milyon kwh olduunu farz edelim. Bu durumda dengeli bir

ulatrma sorunu formle ediniz.

Yant

Toplam talep 120 ve toplam arz 125 olduundan sorun dengeli deildir.

Sorunu dengelemek iin bir yapay talep noktas yaratrz. Sz konusu noktann talebi

125 120 = 5 milyon kwh olacaktr.

Her santralden yapay talep noktasna 1 milyon kwh e lektrik gndermenin maliyeti 0

olacaktr.Tablo 4. Fazla Arz rnei iin Ulatrma Tablosu

ehir 1 ehir 2 ehir 3 ehir 4 Yapay ARZ

Santral 18 6 10 9 0

35

Santral 29 12 13 7 0

50

Santral 314 9 16 5 0

40

TALEP 40 20 30 30 5 125

8/3/2019 yn ar

59/76

2011-2012


rnek 3. Karlanmayan Talep iin Deitirilmi Powerco

ehir 1in talebinin 50 milyon kwh olduunu farz edelim. Karlanamayan her 1

milyon kWh elektrik iin 80$ ceza maliyeti kesilirse dengeli bir ulatrma sorunu

formle ediniz.

Yant

5 milyon kWh elektrik arz eden bir yapay arz noktas yaratrz.


Santral 18 6 10 9

35

Santral 29 12 13 7

50

Santral 314 9 16 5

40

Talep80 80 80 80

5

TALEP 50 20 30 30 130

4.2 TEMEL OLURLU ZMN BULUNMASI

Dengeli bir ulatrma sorunu iin genel DP gsterimi aadaki gibi yazlabilir::

min i jcijxijyle kijxij=si(i=1,2, ..., m) Arz kstlar

ixij=dj(j=1,2, ..., n) Talep kstlar

xij> 0

Sz konusu soruna bir temel olurlu zm (basic feasible solution - bfs) bulmak iin

aadaki nemli gzlemi kullanmalyz:

Eer dengeli bir ulatrma sorununda xijlerin deerler kmesi bir kst haricinde tmkstlar salarsa, bu deerler o ksd da salar.

Bu gzlem ulatrma sorununun zm srasnda herhangi bir kst gzard

edebileceimizi ve m+n-1 ksttan oluan bir DP zeceimizi gsterir. Genel olarak

ilk arz kst deerlendirme d braklr.

Geri kalan m+n-1 ksda bfs bulmak iin herhangi birm+n-1 deikenin temel zm

verebileceini dnebilirsiniz: fakat sz konusu m+n-1 deikenin temel zmde

olabilmesi iin bir dng oluturmamalar gerekir.En az drt hcrenin bir dng oluturmas iin:

8/3/2019 yn ar

60/76

2011-2012


Herhangi ardk iki hcrenin ayn satr veya stunda olmas gerekir

Ayn satr veya stunda ardk hcre olmamaldr

Serinin son hcresi ilk hcre ile ayn satr veya stunda olup dngy

kapatmaldrDengeli bir ulatrma sorununa temel olurlu zm bulmak iin farkl yntem

kullanlabilir:

1. Kuzeybat Ke (Northwest Corner) Yntemi

2. Enkk Maliyet (Minimum Cost) Yntemi

3. Vogelin Yaklam

4.2.1 Kuzeybat Ke Yntemi

Ulatrma tablosunun en sol st kesinden balarz ve x11i mmkn olduunca

byk bir deer atarz (tabii ki, x11 en ok s1 ve d1 ikilisinin en kk deeri kadar

olabilir).

Eerx11=s1ise ilk satr iptal ediniz ve d1i d1-s1 olarak gncelleyiniz

Eerx11=d1 ise ilk stunu iptal ediniz ve s1i s1-d1 olarak gncelleyiniz

Eerx11=s1=d1ise ya ilk satr ya da ilk stunu iptal ediniz (her ikisini de deil!)

Eer satr iptal ettinizse d1i sfr yapnz

Eer stunu iptal ettinizse s1i sfr yapnz

Bu ekilde devam ederek (her seferinde geri kalan hcrelerde yeni sol-st keye

atama yaparak) tm atamalar yaplr. Sonuta, bir hcre geriye kalacaktr. Satr veya

stundaki deeri atayarak ve hem satr hem de stunu iptal ederek ilemi bitiriniz: bir

bfs elde edilmitir.

rnek 1.

Aadaki dengeli ulatrma sorunu iin bir bfs bulalm

(Bu yntemde maliyetler gerekmediinden verilmemitir!).

5

1

3

2 4 2 1

Toplam talep toplam arza eittir (9): sorun dengelidir.

8/3/2019 yn ar

61/76

2011-2012


2 3

1

3

X 4 2 1

2 3 X

1

3

X 1 2 1

2 3 X

1 X

3

X 0 2 1

2 3 X

1 X

0 2 1 3

X 0 2 1

m+n-1 (3+4-1 = 6) adet deiken atanm olur. KBK yntemi ile seilen deikenler

bir dng oluturmadklarndan bir bfs bulunmutur.

4.2.2 Enkk Maliyet Yntemi

KBK yntemi maliyetleri gz nne almadndan balang bfssi maliyeti yksek

olan bir zm olabilir ve en iyi zmn bulunmas iin ok sayda ilem gerekebilir.

Bu durumla karlamamak iin kullanlabilecek olan enkk maliyet ynteminde en

dk tama maliyeti olan hcreye atama yaplr. Bu hcreye yaplacak xijatamas

yine min {si, dj} kadardr.

KBK yntemindeki gibi atama yaplan hcrenin olduu satr veya stun iptal edilip arzya da talep deeri gncellenir ve tm atamalar yaplncaya kadar devam edilir.

8/3/2019 yn ar

62/76

2011-2012


rnek 2

2 3 5 65

2 1 3 510

3 8 4 615

12 8 4 6

2 3 5 65

2 1 3 52

83 8 4 6

15

12 X 4 6

2 3 5 65

2 1 3 5X

2 83 8 4 6

15

10 X 4 6

2 3 5 6X

52 1 3 5

X2 8

3 8 4 615

5 X 4 6

2 3 5 6X

52 1 3 5

X2 8

3 8 4 615

5 4 6

5 X 4 6

8/3/2019 yn ar

63/76

2011-2012


4.2.3 Vogel'in Yaklam

Her satr ve stun iin ceza hesaplanarak ynteme balanr. Ceza o satr veya

stundaki en kk iki maliyet arasndaki farktr.

Daha sonra cezas enbyk olan satr veya stun bulunur.

Sz konusu satr veya stundaki en dk maliyetli hcre ilk temel deikeni verir.

Yine KBK yntemindeki gibi bu deikene atanacak deer, ilgili hcrenin arz ve talep

miktarlarna baldr. Gerekli iptaller ve gncellemeler yaplr

Yeniden geri kalan tablo iin yeni cezalar hesaplanr ve prosedre benzer admlarla

devam edilir.

rnek 3

Arz

Satr

cezas6 7 8

10 7-6=1

15 80 7815 78-15=63

Talep 15 5 5

Stuncezas

15-6=9 80-7=73 78-8=70

ArzSatr

cezas6 7 8

5 8-6=25

15 80 7815 78-15=63

Talep 15 X 5

Stuncezas

15-6=9 - 78-8=70

Arz Satrcezas6 7 8

X -5 5

15 80 7815 -

Talep 15 X 0

Stuncezas

15-6=9 - -

8/3/2019 yn ar

64/76

2011-2012


Arz6 7 8

X5 5

15 80 7815

15 0

Talep 15 X 0

4.3 ULATIRMA SMPLEKS

Yntemin Admlar

1. Eer ulatrma sorunu dengesiz ise dengeleyiniz.2. Bir bfs bulmak iin KBK, Enkk Maliyet veya Vogel yntemlerinden birini

kullannz

3. u1= 0 olarak kabul edip mevcut bfsdeki tm temel deikenler iin ui + vj = cij

denklemini kullanarak ular ve vleri hesaplaynz.

4. Tm temel d deikenler iin ui + vj cij 0 ise, en iyi zm bulunmutur.

Eer bu koul salanmazsa ui + vj cij deeri en pozitif olan deiken pivot

ilemleri ile temele girer ve temeldeki deikenlerden biri zmden kar.

Bylece yeni bir bfs bulunmu olur.Adm 3e gidiniz.

Enbykleme sorunu iin yine yukardaki adnlar uygulanr. Sadece 4. admda

aadaki deiiklik yaplmaldr:

Tm temel d deikenler iin ui+ vjcij0 ise, en iyi zm bulunmutur. Eer

bu koul salanmazsa ui+ vjcijdeeri en negatif olan deikenpivot ilemleriile

temele girer ve temeldeki deikenlerden biri zmden kar. Bylece yeni bir bfs

bulunmu olur. Adm 3e gidiniz.

Pivot ilemleri

1. zme girecek olan deiken ile temel deikenlerin bazlar veya hepsi bir

dng oluturur (sadece bir olas dng vardr!).

2. Dngdeki hcreleri zme giren hcreden balayarak saynz. Says ift

olanlar (0, 2, 4, vb.) ift hcrelerolarak iaretleyiniz. Dngdeki dier hcreleri de

tek hcrelerolarak iaretleyiniz.

8/3/2019 yn ar

65/76

2011-2012


3. Tek hcrelerde deeri en kk olan deikeni bulunuz. Budeere diyelim. Bu

deiken temel d kalacaktr. lemi tamamlamak iin tm tek hcrelerdeki

deerlerden karalm ve ift hcrelerdeki deerlere ekleyelim. Dngde

olmayan deikenlerin deeri deimez. Eer= 0 ise giren deiken 0 deeriile zme girecektir.

rnek 1. Powerco

Sorun dengelidir (toplam talep toplam arza eittir).

Powerco rneine KBK yntemi uygulanrsa, aadaki tabloda grelen bfs elde

edilir (m+n1=6 temel deiken!).


Santral 18 6 10 9

3535

Santral 29 12 13 7

5010 20 20

Santral 314 9 16 5

4010 30

TALEP 45 20 30 30 125

u1 = 0

u1 + v1 = 8 v1 = 8u2 + v1 = 9 u2 = 1

u2 + v2 = 12 v2 = 11

u2 + v3 = 13 v3 = 12

u3 + v3 = 16 u3 = 4

u3 + v4 = 5 v4 = 1

Tm temel d deikenler iin ij= ui+ vjcijhesaplanr:

12 = 0 + 11 6 = 5

13 = 0 + 12 10 = 2

14 = 0 + 1 9 = -8

24 = 1 + 1 7 = -5

31 = 4 + 8 14 = -2

32 = 4 + 11 9 = 6

32en pozitif olan deeri verdiinden, x32temel deiken olacaktr.

x32nin de olduu dng (3,2)-(3,3)-(2,3)-(2,2) eklindedir: = 10 bulunur.

8/3/2019 yn ar

66/76

2011-2012



Santral 18 6 10 9

3535

Santral 29 12 13 7

5010 20 20+

Santral 3 14 9 16 5 40 10 30TALEP 45 20 30 30 125

x33temel d deiken olacaktr. Yeni bfs aadaki tabloda verilmitir:

ui/vj 8 11 12 7 ARZ

08 6 10 9

3535

19 12 13 7

5010 10 30

-214 9 16 5

4010 30

TALEP 45 20 30 30 125

12 = 5, 13 = 2, 14 = -2,24 = 1, 31 = -8, 33 = -6

12en pozitif deeri verdiinden, x12 zme girer.

x12nin de olduu dng (1,2)-(2,2)-(2,1)-(1,1) eklindedir ve = 10dur

ehir 1 ehir 2 ehir 3 ehir 4 ARZSantral 1

8 6 10 935

35 Santral 2

9 12 13 750

10+ 10 30Santral 3

14 9 16 540

10 30

TALEP 45 20 30 30 125

x22zmden kar. Yeni bfs aadaki tabloda verilmitir:

ui/vj 8 6 12 2 ARZ

08 6 10 9

3525 10

19 12 13 7

5020 30

314 9 16 5

4010 30

TALEP 45 20 30 30 125

13 = 2, 14 = -7,22 = -5, 24 = -4, 31 = -3, 33 = -1

8/3/2019 yn ar

67/76

2011-2012


13en pozitif olan deeri verdiinden, x13temel deiken olacaktr.

x13n de olduu dng (1,3)-(2,3)-(2,1)-(1,1) eklindedir. = 25


Santral 1

8 6 10 9

3525 10 Santral 2

9 12 13 750

20+ 30Santral 3

14 9 16 540

10 30

TALEP 45 20 30 30 125

x11temel d deiken olur. Yeni bfs:

ui/vj 6 6 10 2 ARZ

0 8 6 10 9 3510 25

39 12 13 7

5045 5

314 9 16 5

4010 30

TALEP 45 20 30 30 125

11 = -2, 14 = -7,22 = -3, 24 = -2, 31 = -5, 33 = -3

Tm ijler negatif olduundan en iyi zm bulunmutur.

Rapor

Santral 2den ehir 1e 45 milyon kwh elektrik gnderilmelidir.

Santral 1den ehir 2ye 10 milyon kwh elektrik gnderilmelidir. Benzer ekilde

Santral 3den ehir 2ye 10 milyon kwh elektrik gnderilmelidir.

Santral 1den ehir 3e 25 milyon kwh ve Santral 2den ehir 3e 5 milyon kwh

elektrik gnderilmelidir.Santral 3den ehir 4e 30 milyon kwh elektrik gnderilmelidir

Toplam tama maliyeti:

z = .9 (45) + 6 (10) + 9 (10) + 10 (25) + 13 (5) + 5 (30) = $ 1020

4.4 ULATIRMA SORUNLARI N DUYARLILIK ANALZ

Bu blmde ulatrma problemi iin duyarllk analizi ile ilgili aadaki noktalar

incelenmektedir: Temel olmayan bir deikenin ama fonksiyon katsaysnn deitirilmesi.

8/3/2019 yn ar

68/76

2011-2012


Temel bir deikenin ama fonksiyon katsaysnn deitirilmesi.

Bir arzn kadar artrlmas ve bir talebin kadar artrlmas.

Bu deiiklikler Powerco problemi kullanlarak aklanmaktadr. Anmsanaca gibi

Powerco problemi iin en iyi zm z=$1,020dir ve optimal tabloaadaki gibidir:ehir 1 ehir 2 ehir 3 ehir 4 Arz

ui/vj 6 6 10 2

Santral1 0

8 6 10 9

3510 25

Santral2 3

9 12 13 7

5045 5

Santral3 3

14 9 16 5

4010 30

Talep 45 20 30 30

Temel Olmayan Bir Deikenin Ama Fonksiyon Katsaysnn Deitirilmesi

Temel olmayan bir xijdeikeninin ama fonksiyon katsaysnn deitirilmesi optimal

tablonun sa taraf deerini deitirmez. Bu nedenle mevcut temel hala olurludur.

cBVB-1 deimediinden uiler and vjler deimez. 0. satrda yalnz xijnin katsays

deiir. Bu nedenle xijnin katsays optimal 0. satrda pozitif olmayan bir deer ald

srece mevcut temel optimal kalr.

Yntemi gstermek iin u sorulara yant aranmaktadr: 1 milyon kwh elektriin 1.Santralden 1. ehre iletim maliyetinin hangi aralktaki deerleri iin mevcut temel

optimal kalr? c11in 8den 8+ya deitirildii varsaylsn. nn hangi deerleri iin

mevcut temel optimal kalr? =++=+= 2)8(80111111

cvuc . Bu nedenle

mevcut temel -2 - 0, ya da -2, ve c11 8 - 2 = 6 olduu srece optimal

kalr.

Temel Bir Deikenin Ama Fonksiyon Katsaysnn DeitirilmesicBVB

-1 deeri deitirildii iin 0. satrdaki her temel d deikenin katsays

deiebilir. Mevcut temelin optimal kalp kalmadn belirlemek iin yeni uiler ve vjler

bulunmal ve bu deerler kullanlarak her temel d deiken iin olurluluk koulu

denetlenmelidir. Mevcut temel, temel d deikenlerin olurluluk denetimi pozitif

olmayan bir sonu verdii srece optimal kalr. Bu fikri gstermek amacyla Powerco

probleminde mevcut temelin optimal kalmas iin 1. Santralden 1. ehre 1 milyon

kwh elektrik iletiminin maliyetinin alt ve st snr belirlenmektedir.

8/3/2019 yn ar

69/76

2011-2012


c13n 10dan 10+ya deitii varsaylsn. O zaman 013 =c denklemi u1 + v3 =

10dan u1 + v3 = 10 + ya dnr. Bu nedenle uilerin ve vjlerin bulunmas iin,

aadaki denklemler zlmelidir.

u1=0

u2 + v1 = 9

u1 + v2 = 6

u2 + v3 = 13

u3 + v2 = 9

u1 + v3 = 10 +

u3 + v4 = 5Bu denklemlerin zlmesi ile u1 = 0, v2 = 6, v3 = 10 + , v1 = 6 + , u2 = 3 - , u3 = 3,

ve v4= 2 sonular elde edilir.

Bundan sonra her temel d deiken iin olurluluk denetimi yaplr. Her temel d

deiken 0. satrda pozitif olmayan bir katsayya sahip olduu srece mevcut temel

optimal kalr.

30316

50514

2027

30312

79

2028

3333

1331

4224

2222

4114

1111

=+=

+=+=

=+=

=+==+=

=+=

vuc

vuc

vuc

vuc

vuc

vuc

Bu n