Y:/zomercursus 2011/Latex- en figuurbestanden van de ...rudydewever.be/wp-content/uploads/2015/10/Module-10-De-afgeleide... · We bekomen dan als alternatieve en volledig ... kent

Zomercursus Wiskunde

Katholieke Universiteit Leuven

Groep Wetenschap & Technologie

September 2011

Module 10

De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen

(versie 22 augustus 2011)

Module 10: De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen

Inhoudsopgave

1 Definitie — Betekenis van de afgeleide 1

2 Standaardafgeleiden en rekenregels 4

3 Voorbeeldoefeningen 5

4 Toepassingen 9

4.1 Minimum-maximum problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Toepassing uit de fysica: Harmonische oscillator . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie . . . . . . . 10

4.4 Hogere orde benaderingen (B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 De regels van de l’Hopital (B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Oefeningen 16

5.1 Basis (A- en B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Uitbreiding (B-programma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Oplossingen 20



10 - 1


Inleiding

De afgeleide van een functie f in een punt a ∈ R geeft aan hoe de functiewaarde f(x)verandert in de buurt van a. Het teken van de afgeleide in een punt a geeft aan of defunctie stijgend of dalend is in de omgeving van a. De functie die met een reeel getalx de afgeleide van een functie f in het punt x associeert, heet de afgeleide functie (ofkortweg de afgeleide) van f . Deze functie wordt meestal genoteerd met f ′ of df

dx. Het

bepalen van de afgeleide van een functie heet differentieren of afleiden. Het conceptvan afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd uitgevondendoor Isaac Newton en Gottfried Leibniz.

In deze module wordt de (grafische) betekenis van afgeleide samen met de definitiekort herhaald. Voor een uitgebreidere en meer conceptuele behandeling van afgeleidenverwijzen we naar de cursus wiskunde uit het eerste jaar. Hier ligt de nadruk opde standaardafgeleiden en de rekenregels. Deze worden herhaald (zonder bewijs) enverwerkt in een aantal voorbeeldoefeningen. Daarnaast gaat deze module dieper in opde toepassingen van afgeleiden en is er een uitgebreid gamma aan oefeningen.

1 Definitie — Betekenis van de afgeleide

Een rechte heeft de eigenschap dat de helling in elk punt dezelfde is. Maar bij de meestegrafieken van functies is de helling van punt tot punt verschillend. De afgeleide van eenfunctie is een maat voor die lokale helling van de grafiek in elk punt en levert bijgevolginformatie over het verloop van de functie. Beschouw de functie f waarvan de grafiekgetekend is in Figuur 1 en s de rechte (koorde) door de punten P en Q op de grafiekvan f . De richtingscoefficient van de rechte s is gegeven door het differentiequotient1

rc (s) =f(a + h) − f(a)

(a + h) − a=

f(a + h) − f(a)

h. (1)

De raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P (a, f(a)) is de limietstand van dekoorde s voor Q → P of nog voor h → 0. De richtingscoefficient van t is bijgevolg ookde limiet voor h → 0 van het differentiequotient (1):

rc (t) = limh→0

rc (s) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h.

De richtingscoefficient van t bepaalt precies de lokale helling van de grafiek van f inhet punt P (a, f(a)) en wordt daarom als definitie genomen van de afgeleide f ′(a) van

1De toename h (tussen de x-coordinaat van P en die van Q) wordt soms ook genoteerd als ∆x enheet de differentie van x. De bijhorende toename van f nl. f(a+h)−f(a) noteert men dan als ∆f(a)

en heet de differentie van f . Het quotient ∆f(a)∆x

wordt dan het differentiequotient of Newtonquotientgenoemd.



10 - 2


x0 x0+ h

f x( )0

f x( )0+h

P

Q

t sy

x

f

Figuur 1: Raaklijn als limietstand van koorden — Afgeleide als limiet van differentie-quotienten

de functie f in het punt a:

f ′(a) =df

dx(a)

def= lim

h→0

f(a + h) − f(a)

h.

We komen op deze manier tot onderstaande definitie van afleidbaarheid van een functieen afgeleide van een functie.

Definitie 1.1 (Afleidbaarheid en afgeleide van een functie)Zij f een functie en a ∈ R. Indien de limiet

limh→0

f(a + h) − f(a)

h

bestaat en eindig is, heet f afleidbaar of differentieerbaar in het punt a ∈ R.De waarde van deze limiet wordt dan de afgeleide van f in a genoemd en wordtgenoteerd met

f ′(a) ofdf

dx(a).

Dus

f ′(a)def=

df

dx(a)

def= lim

h→0

f(a + h) − f(a)

h.

De functie die x afbeeldt op f ′(x) noemt men dan de afgeleide functie (of kortwegde afgeleide) van f . Ze wordt genoteerd met

f ′ ofdf

dx.



10 - 3


Opmerkingen 1.21. Een andere veel gebruikte definitie voor afgeleide vind je door substitutie van

a + h voor x zodat h = x − a. We bekomen dan als alternatieve en vollediggelijkwaardige definitie

f ′(a)def= lim

x→a

f(x) − f(a)

x − a.

2. De tweede afgeleide van een functie f is de afgeleide functie van de afgeleide

functie, ze wordt genoteerd met f ′′ ofd2f

dx2=

d

dx

(

df

dx

)

. Analoog definieren we

ook de ne afgeleide (n ∈ N0) van een functie f . Deze noteren we met f (n) of metdnf

dxn.

Als de afgeleide strikt positief is in een bepaald punt, zal de functie stijgen in deomgeving van dat punt. Als de afgeleide strikt negatief is in een bepaald punt, zal defunctie dalen in de omgeving van dat punt. Als f ′(a) = 0 voor een zekere a ∈ R zalde raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f(a)) horizontaal zijn. We vermeldennog dat wanneer een afleidbare functie f een lokaal maximum of een lokaal minimumbereikt in een punt a ∈ R, de afgeleide f ′(a) in dat punt steeds nul zal zijn. Hier zullenwe dieper op ingaan in het onderdeel ”Minimum-maximum problemen.”

Men kan dus verwachten dat bij het bepalen van het verloop van een functie afgeleideneen belangrijke rol spelen. De afgeleide kent ook veel toepassingen in de fysica. Denkhierbij bijvoorbeeld aan de snelheid die de afgeleide is van de verplaatsing naar de tijd.De versnelling is dan weer de afgeleide van de snelheid naar de tijd.



10 - 4


2 Standaardafgeleiden en rekenregels

Hieronder zien we twee tabellen met de afgeleiden van enkele belangrijke functies. Inde linkerkolom vinden we telkens het functievoorschrift van de oorspronkelijke functie,rechts dat van de afgeleide functie. In de functievoorschriften stellen a > 0, c en nreele constanten voor, e ≈ 2, 7182818 is de constante van Euler.

f(x)d

dx[f(x)] = f ′(x)

c 0

xn nxn−1

ex ex

ax ax ln a

ln x1

x

loga x1

x ln a

sin x cos x

cos x − sin x

tan x1

cos2 x= sec2 x = 1 + tan2 x

f(x)d

dx[f(x)] = f ′(x)

cosec x −cosec x cot x

sec x sec x tan x

cot x − 1

sin2 x= −cosec 2x

= −1 − cot2 x

Bgsin x1√

1 − x2

Bgcos x−1√1 − x2

Bgtan x1

1 + x2

Rekenregels 2.1Zij f en g twee functies die beide afleidbaar zijn in x ∈ R. Dan geldt:

1. Afgeleide van een veelvoud van een functieVoor elke c ∈ R is de functie cf afleidbaar in x, met afgeleide

(cf)′(x) = cf ′(x).

2. Afgeleide van som en verschil van functiesDe som f + g en het verschil f − g zijn beide afleidbaar in x, met als afgeleiden

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(f − g)′(x) = f ′(x) − g′(x).

3. Afgeleide van een product van functiesHet product fg is afleidbaar in x, met als afgeleide

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).



10 - 5


4. Afgeleide van het omgekeerde van een functieIndien g(x) 6= 0, dan is 1/g afleidbaar in x, met als afgeleide

(

1

g

)

′

(x) = − g′(x)

g(x)2.

5. Afgeleide van een quotient van functiesIndien g(x) 6= 0, dan is het quotient f/g afleidbaar in x, met als afgeleide

(

f

g

)

′

(x) =f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)

g(x)2.

6. Afgeleide van een samengestelde functie: kettingregelDe samengestelde functie g ◦ f is afleidbaar in x, met als afgeleide

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x).

In woorden: de afgeleide van g ◦ f in x ∈ R vind je door de laatst toegepaste

functie g af te leiden en te evalueren in f(x) en vervolgens te vermenigvuldigen

met de afgeleide van f in x.

7. Afgeleide van de inverse van een functieIndien f ′(x) 6= 0, dan is de inverse functie f−1 afleidbaar in y = f(x), met als

afgeleide

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y))=

1

f ′(x).

3 Voorbeeldoefeningen

In deze paragraaf worden enkele voorbeelden uitgebreid uitgewerkt om te illustrerenhoe bovenstaande rekenregels en standaardafgeleiden toegepast worden.

1. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = x. Het gaat hier om een standaard-afgeleide, nl. van de functie f(x) = xn met n = 1. We bekomen

f ′(x) =d

dx[xn] = nxn−1 n=1

= 1 · x1−1 = 1 · x0 = 1 · 1 = 1.

Dus de afgeleide van de functie f(x) = x is de functie f ′(x) = 1. Men noteert dit

ook alsd

dx[x] = 1.

2. Bereken de afgeleide van de functie f(x) =√

x. Het gaat hier om een standaard-afgeleide, nl. van de functie f(x) = xn met n = 1/2. We bekomen dus

f ′(x) =d

dx[xn] = nxn−1 n=1/2

=1

2x

1

2−1 =

1

2x−

1

2 =1

2√

x.



10 - 6


Dus de afgeleide van de functie f(x) =√

x is de functie f ′(x) =1

2√

x. Men

noteert dit ook alsd

dx[√

x] =1

2√

x.

3. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = x4 ln x. Omdat het hier om eenproduct van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van de productregel.We bekomen

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx

[

x4 ln x]

= ln x · d

dx

[

x4]

+ x4 · d

dx[ln x]

= ln x · 4x3 + x4 · 1

x= x3 (4 ln x + 1) .

4. Bereken de afgeleide van de functie

f(x) =ln x

sin x.

Omdat het hier om een quotient van twee functies gaat, moeten we gebruik makenvan de quotientregel. We bekomen

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx

[

ln x

sin x

]

=sin x · d

dx[ln x] − ln x · d

dx[sin x]

sin2 x

=sin x

x− ln x · cos x

sin2 x

=1

x sin x− ln x cos x

sin2 x.

Soms kunnen we een quotient van functies ook afleiden zonder de quotientregelte gebruiken, zoals blijkt uit volgend voorbeeld.



10 - 7


5. We berekenen de afgeleide van de functie f(x) =−2

5x.

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx

[

−2

5x

]

=d

dx

[

−2

5x−1

]

= −2

5

d

dx

[

x−1]

= −2

5(−1) x−2

=2

5x2.


f(x) =3

√

(x2 + 3)4.

Om het berekenen van de afgeleide te vereenvoudigen, kunnen we het functie-voorschrift van f best herschrijven tot

f(x) =(

x2 + 3)4/3

.

De functie f is een samenstelling van twee andere functies. D.w.z. dat f(x) teschrijven is als f(x) = h(g(x)) met g(x) = x2 + 3 en h(x) = x4/3. De afgeleidenvan g en h zijn gegeven door respectievelijk g′(x) = 2x en h′(x) = (4/3) x1/3. Metbehulp van de kettingregel voor het afleiden van samengestelde functies bekomenwe dan voor f ′,

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx[h (g(x))]

= h′ (g(x)) · d

dx[g(x)]

=4

3(x2 + 3)1/3 · d

dx

[

x2 + 3]

=4

3(x2 + 3)1/3 · 2x

=8x 3

√x2 + 3

3.

Bij het afleiden van een samengestelde functie hoeft men natuurlijk niet steedsde samenstellende functies expliciet te benoemen en af te leiden, men mag recht-streeks de afgeleide van de samengestelde functie neerschrijven zoals in het voor-beeld hieronder.



10 - 8


7. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = 5x2

. Het gaat hier opnieuw om eensamengestelde functie. De afgeleide vinden we dus met behulp van de kettingregel :

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx

[

5x2]

= 5x2

ln 5 · d

dx

[

x2]

= 5x2

ln 5 · 2x= (2 ln 5)x 5x2

.


f(x) =

(

x

1 + 2x

)4

.

Gebruikmakend van de kettingregel en de quotientregel bekomen we

d

dx[f(x)] = 4

(

x

1 + 2x

)3 (1 + 2x) · ddx

[x] − x · ddx

[1 + 2x]

(1 + 2x)2

=d

dx

[

(

x

1 + 2x

)4]

= 4

(

x

1 + 2x

)3(1 + 2x) · 1 − x · 2

(1 + 2x)2

= 4

(

x

1 + 2x

)3

· d

dx

(

x

1 + 2x

)

=4x3

(1 + 2x)5.

9. We berekenen de afgeleide van de functie s(t) =√

5 cos3 (4t2 − 7). Als we defactor

√5 niet in rekening brengen, hebben we te maken met een samenstelling

van drie functies, m.n. de functies f(t) = 4t2 − 7, g(t) = cos t en h(t) = t3. Oms′ te berekenen, moeten we de kettingregel twee keer toepassen:

d

dt[s(t)] =

√5 · 3 cos2

(

4t2 − 7)

· d

dt

[

cos(

4t2 − 7)]

=d

dt

[√5 cos3

(

4t2 − 7)

]

= 3√

5 cos2(

4t2 − 7)

(

− sin(

4t2 − 7)

· d

dt

[

4t2 − 7]

)

=√

5 · d

dt

[

cos3(

4t2 − 7)]

= − 3√

5 cos2(

4t2 − 7)

sin(

4t2 − 7)

· 8t

= − 24√

5 t sin(

4t2 − 7)

cos2(

4t2 − 7)

.



10 - 9


10. Bereken de tweede afgeleide van de functie g(x) = Bgsin x + x.

d2

dx2[g(x)] =

d

dx

[

(

1 − x2)

−1/2]

+d

dx[1]

=d2

dx2[Bgsin x + x] = − 1

2

(

1 − x2)

−3/2 · d

dx

[

1 − x2]

+ 0

=d

dx

[

d

dx[Bgsin x + x]

]

= − 1

2√

(1 − x2)3(−2x)

=d

dx

[

1√1 − x2

+ 1

]

=x

√

(1 − x2)3.

11. Bereken de derde afgeleide van de functie

f(x) = 2 ex2−1 − sin 3x +

x3

2+ 4x2 − 6x − 12

5.

We vinden

f ′(x) = 4x ex2−1 − 3 cos 3x +

3x2

2+ 8x − 6

f ′′(x) = 8x2 ex2−1 + 4 ex2

−1 + 9 sin 3x + 3x + 8

f ′′′(x) = 16x3 ex2−1 + 24x ex2

−1 + 27 cos 3x + 3.

12. Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termenvan de afgeleide van de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift

f(x) = ln g(x).

We vinden

f ′(x) =d

dx[ln g(x)] =

1

g(x)· d

dx[g(x)] =

g′(x)

g(x).

4 Toepassingen

4.1 Minimum-maximum problemen

Een belangrijke toepassing van de afgeleide functie ligt in het zoeken van minima enmaxima van functies. Hier is een aparte module aan gewijd.



10 - 10


4.2 Toepassing uit de fysica: Harmonische oscillator

In de cursus fysica zullen we zien dat wanneer een massa aan een veer een trillende be-weging uitvoert (in het verlengde van de veer), de uitwijking x van de massa t.o.v. haarrusttoestand, in functie van de tijd t, beschreven wordt door

x(t) = A cos ωt.

Hierin zijn de amplitude A > 0 en de hoeksnelheid ω > 0 reele constanten. De snelheidv waarmee de massa trilt (in functie van de tijd) kunnen we bepalen door de uitwijkingx af te leiden naar de tijd t. Met de kettingregel vinden we

v(t) =dx(t)

dt=

d

dt(A cos ωt)

= A(− sin ωt)d

dt(ωt)

= − ωA sin ωt.

Op analoge manier wordt de versnelling a van de massa in functie van de tijd gevondendoor de snelheid v op haar beurt af te leiden naar de tijd:

a(t) =dv(t)

dt=

d

dt(−ωA sin ωt)

= − ω2A cos ωt.

4.3 Vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een func-tie

De afgeleide van een functie kan gebruikt worden om de vergelijking van de raaklijnaan de grafiek van die functie in een gegeven punt van de grafiek te bepalen. Deafgeleide f ′(a) van een functie f in een punt a ∈ R is namelijk niets anders dan derichtingscoefficient van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f(a)) op diegrafiek. De vergelijking van de raaklijn t1 in het punt (a, f(a)) aan de grafiek is dangegeven door

y = t1(x) = f(a) + f ′(a)(x − a)

Voorbeeld 4.1Zij f de functie met voorschrift f(x) = x3 − x. We zoeken de vergelijking van deraaklijn t1 aan de grafiek van f in het punt P (−1, 0) ∈ graf f . De richtingscoefficientvan deze raaklijn is gegeven door f ′(−1) = 3 (−1)2 − 1 = 2. Van de gezochte rechte t1kennen we dus de richtingscoefficient en een punt, nl. P (−1, 0). Dit is voldoende omde vergelijking op te stellen:

t1 ↔ y = 2 (x − (−1))

↔ y = 2x + 2.

Grafiek en raaklijn zijn getekend in figuur 2.



10 - 11


1 2−1−2

1

2

−1

−2

x

ft1

P

Figuur 2: Grafiek van f(x) = x3 − x met raaklijn t1 in P (−1, 0)

4.4 Hogere orde benaderingen (B-programma)

De raaklijn t1 ↔ y = f(a) + f ′(a)(x − a) uit de vorige paragraaf, kan gezien wordenals een benadering van de functie f in de buurt van het punt a. Omdat de raaklijnbeschreven wordt door een veelterm van de eerste graad, noemen we dit de eerste ordebenadering van f in de buurt van a, of een lineaire benadering in de buurt van a. Zoalswe ons kunnen afvragen wat de ’beste’ lineaire benadering van een functie f rond ais, zo kunnen we ons ook afvragen wat de beste kwadratische functie zou zijn om f tebenaderen rond a.

De beste lineaire benadering t1 voldoet aan t1(a) = f(a) en t′1(a) = f ′(a). De bestekwadratische functie t2 die f rond a benadert, heeft naast dezelfde functiewaarde eneerste afgeleide, ook een identieke tweede afgeleide in a. De voorwaardes worden dus:

t2(a) = f(a)

t′2(a) = f ′(a)

t′′2(a) = f ′′(a)

Men kan eenvoudig nagaan dat de kwadratische functie die hieraan voldoet gegeven isdoor

t2(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2.



10 - 12


Voorbeeld 4.2Beschouwen we opnieuw de functie f met voorschrift f(x) = x3 − x. We zoeken detweede orde benadering rond het punt P (−1, 0) ∈ graf f . Aangezien f(−1) = 0,f ′(−1) = 2 en f ′′(−1) = −6 is deze tweede orde benadering gegeven door:

t2(x) = 0 + 2(x + 1) − 3(x + 1)2 = 2x + 2 − 3x2 − 6x − 3 = −3x2 − 4x − 1

De functies f en t2 zijn getekend in figuur 3.

1 2−1−2

1

2

−1

−2

x

f = t3t1

t2

P

Figuur 3: Grafiek van f(x) = x3 − x met tweede orde benadering t2 in P (−1, 0)

In het algemeen zal een n-de orde benadering rond a gegeven worden door een veeltermtn van graad n die voldoet aan

t(k)n (a) = f (k)(a),∀0 ≤ k ≤ n.

Men kan eenvoudig nagaan dat de volgende veelterm aan deze voorwaarden voldoet:

tn(x) =n

∑

k=0

f (k)(a)

k!(x − a)k

Voorbeeld 4.3Beschouwen we opnieuw de functie f met voorschrift f(x) = x3 − x. Aangezien ditreeds een veelterm van de derde graad is, moet de beste derdegraadsbenadering gegevenworden door t3(x) = f(x).



10 - 13


Voorbeeld 4.4We zoeken de beste vierde orde benadering voor de functie g met als voorschrift g(θ) =cos(θ) in de buurt van θ = 0. Aangezien g(0) = 1, g′(0) = 0, g′′(0) = −1, g′′′(0) = 0 eng(iv) = 1 is deze vierde orde benadering gegeven door:

t4(θ) = 1 − θ2

2+

θ4

24.

De functies g en de benaderingen tot vierde orde in de buurt van 0 zijn getekend infiguur 4.

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

1

2

−1

−2

θ

cos θt1

t2

t4

Figuur 4: Grafiek van g(θ) = cos(θ) met benaderingen in (0, 1).

4.5 De regels van de l’Hopital (B-programma)

In de module ”Limieten en asymptoten van rationale functies”worden de rekenregelsvoor limieten uitvoerig besproken. Voor de zogenaamde onbepaalde vormen kondenechter geen algemene rekenregels geformuleerd worden. Deze onbepaalde vormen wer-

den symbolisch genoteerd met ∞−∞, 0 ·∞,0

0en

∞∞ . De regels van de l’Hopital bieden

een manier om limieten van de vorm0

0en

∞∞ verder uit te werken.



10 - 14


Eigenschap 4.5 (Eerste regel van de l’Hopital)Neem aan dat f en g afleidbare functies zijn in een omgeving van het punt a met

f(a) = g(a) = 0. Indien g′(x) 6= 0 voor x 6= a in een omgeving van a en indien de

limiet

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L

bestaat, dan geldt:

limx→a

f(x)

g(x)= L

Eigenschap 4.6 (Tweede regel van de l’Hopital)Neem aan dat f en g afleidbare functies zijn in een omgeving van het punt a, maar

niet noodzakelijk in a zelf,en dat limx→a

f(x) = ∞ en limx→a

g(x) = ∞. Indien g′(x) 6= 0 voor

x 6= a in een omgeving van a en indien de limiet

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L

bestaat, dan geldt:

limx→a

f(x)

g(x)= L

Onbepaalde vormen ∞−∞ en 0 · ∞ kunnen vaak teruggebracht worden tot de onbe-

paalde vormen0

0of

∞∞ . Bijvoorbeeld:

0 · ∞ =∞10

=∞∞

Ook onbepaalde vormen van het type 00, ∞0 en 1∞ kunnen dikwijls herleid worden

naar0

0of

∞∞ . Hierbij gebruiken we dat de logaritme een continue functie is:

ln[

limx→a

f(x)g(x)]

= limx→a

ln[

f(x)g(x)]

= limx→a

[g(x) ln f(x)]

Als bovenstaande limiet bestaat en gelijk is aan L, dan is

limx→a

f(x)g(x) = exp(L)

Voorbeeld 4.7Bereken lim

x→∞

(

1 +a

x

)x

.



10 - 15


limx→∞

ln[(

1 +a

x

)x]

= limx→∞

[

x ln(

1 +a

x

)]

= limx→∞

ln(

1 + ax

)

1x

(H)= lim

x→∞

− ax2+ax

− 1x2

= limx→∞

ax

x + a= a

Hieruit vinden we datlim

x→∞

(

1 +a

x

)x

= exp(a).



10 - 16


5 Oefeningen

5.1 Basis (A- en B-programma)

Oefening 1Bereken de afgeleide van volgende functies

(a) f(t) = (1 + t) ln t

(b) f(t) = t2 cos t

(c) f(t) =−1

t2

(d) f(t) =3t − 1

2t + 2

(e) f(x) = sin(4x + 5)

(f) f(t) = ln(7t2)

(g) f(x) =4x3 + 1

3x

(h) f(x) = tan1

x

(i) f(x) = cos(−8x2 − 1)

(j) f(x) = sin3 3x

(k) f(x) =√

x2 − 7x + 8

(l) f(t) = ln t sin(t2)

(m) f(t) = ln(1 − t2).

Oefening 2Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termen vande afgeleide van de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift

(a) f(x) = Bgtan g(x)

(b) f(x) = g(3x) + 3g(x) + (g(x))3 + g(x) + g(3) + xg(3) + g(3x) + 3g(x).



10 - 17


Oefening 3Zij a, b, c ∈ R. Bepaal dan de afgeleide van onderstaande functies

(a) s(t) = a + b sin(bt − c)

(b) s(θ) = abθ + cθ2

(c) s(x) = b [1 − cos(a2x)].

Oefening 4Bereken de tweede afgeleide van elk van volgende functies.

(a) f(x) = ln x2

(b) f(θ) = θ cos θ

(c) f(t) = sin t4

Oefening 5

Bepaaldr

dθals de functie r gegeven wordt door

(a) r(θ) = 2 θ1/2 +3

2θ2/3 +

4

3θ3/4

(b) r(θ) =4

1 + 2 cos θ

(c) r(θ) =√

1 − 2θ

(d) r(θ) =a

θmet a > 0

(e) r(θ) = Aeaθ

met A, a > 0

(f) r(θ) = a√

cos 2θ met a > 0 .

Oefening 6Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie f in het puntP ∈ graf f als

(a) f(x) = 4x−4 − 1 en de coordinaten van P zijn P (1, 3)

(b) f(x) = 1 − cos x en de x-coordinaat van P is π/2

(c) f(x) = 1 − x2 en de coordinaten van P zijn P (2,−3).



10 - 18


5.2 Uitbreiding (B-programma)

Oefening 7In onderstaande figuur zijn de grafieken van een functie f geschetst, haar eerste afge-leide f ′ en haar tweede afgeleide f ′′. Welke kromme correspondeert met de grafiek vanf , welke met die van f ′ en welke met die van f ′′?

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

1

2

3

−1

−2

−3

x

Oefening 8G en H zijn functies van T en voldoen aan

G = H + TdG

dT

Toon aan datd(G/T )

dT= −H

T 2

gebaseerd op M. Baelmans en P. Wollants, Thermodynamica, 1e jaar burgelijk ingenieur (2009)

Oefening 9Geef de lineaire, tweede en derde orde benadering van de volgende functies in de buurt

van θ = 0. Wat is het verschil tussen de functiewaarde en de benaderingen voor θ =π

18?

(a) f(θ) = sin θ

(b) f(θ) = 1 − cos θ



10 - 19


Oefening 10Geef de derde orde benadering in de buurt van 0 voor de volgende functies:

(a) exp x

(b) 1/(1 + x)

(c) ln(1 + x)

Oefening 11Bereken volgende limieten

(a) limx→a

x2 − a2

√x −

√a

(b) limx→0+

xx

(c) limx→+∞

x4e−x2

(d) limx→0

sin x

x

(e) limx→0

2x ln x

(f) limx→0

sin2 x − sin(x2)

x4

(g) limx→0

1

sin2 x− 1

x2



10 - 20


6 Oplossingen

1 (a) ln t +1

t+ 1

(b) 2t cos t − t2 sin t

(c) 2t−3

(d) 2(t + 1)−2

(e) 4 cos(4x + 5)

(f)2

t

(g)8x3 − 1

3x2

(h) −(x cos(x−1))−2

(i) 16x sin(−8x2 − 1)

(j) 9 sin2(3x) cos(3x)

(k)2x − 7

2√

x2 − 7x + 8

(l)sin t2

t+ 2t ln t cos t2

(m)−2t

1 − t2

2 (a)g′(x)

1 + g2(x)

(b) 3g′(3x) + 3g′(x) + 3g2(x)g′(x) + g′(x) + g(3) + 3x ln 3g′(3x) + 3g(x) ln 3g′(x)

3 (a) b2 cos(bt − c)

(b) ab + 2cθ

(c) a2b sin(a2x)

4 (a) −2x−2

(b) −2 sin θ − θ cos θ



10 - 21


(c) −16t6 sin t4 + 12t2 cos t4

5 (a) θ−1/2 + θ−1/3 + θ−1/4

(b)8 sin θ

(1 + 2 cos θ)2

(c)−1√1 − 2θ

(d)−a

θ2

(e) Aaθeaθ

(f)−a sin 2θ√

cos 2θ

6 (a) y = −16x + 19

(b) y = x − π

2+ 1

(c) y = −4x + 5

7 De grafiek van f is een streepjeslijn, die van haar afgeleide f ′ is een volle lijn, dievan de tweede afgeleide f ′′ de gepunte lijn.

9

(a) t1(θ) = θ; sin( π18

) − t1(π18

) = 0.0009;t2(θ) = θ; sin( π

18) − t2(

π18

) = 0.0009;

t2(θ) = θ − θ3

6;sin( π

18) − t3(

π18

) = 1 × 10−6

(b) t1(θ) = 0; cos( π18

) − t1(π18

) = 0.015;

t2(θ) = θ2

2; cos( π

18) − t1(

π18

) = −4 × 10−5

10 (a) y = 1 + x + x2/2 + x3/6

(b) y = 1 − x + x2 − x3

(c) y = x − x2/2 + x3/3

11 (a) 4a3/2

(b) 1



10 - 22


(c) 0

(d) 1

(e) 0

(f) -1/3

(g) 1/3



Documents

Y:/zomercursus 2011/Latex- en figuurbestanden van de ...rudydewever.be/wp-content/uploads/2015/10/Module-10-De-afgeleide... · We bekomen dan als alternatieve en volledig ... kent