Zaawansowane metody analizy sygnałów

Dr inż. Cezary Maj

Dr inż. Piotr Zając

Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ

Informacje

dr inż. Piotr Zającgodziny przyjęć: wtorek 12-13, środa 10-11, pok. 48strona WWW: fiona.dmcs.pl/~pzajace-mail: pzajac@dmcs.pl

Literatura: Tomasz P. Zieliński „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od

teorii do zastosowań”. Richard G. Lyons, "Wprowadzenie do cyfrowego

przetwarzania sygnałów„ wikipedia

Definicje

Sygnał – zmienność dowolnej wielkości fizycznej, która może być opisana za pomocą funkcji jednej f(x) lub wielu zmiennych f(x1,x2,x3…)

Analiza sygnałów – ma na celu wydobycie informacji zawartej w sygnałach np. rozpoznanie treści sygnału mowy, diagnoza pacjenta na podstawie elektrokardiogramu, przewidywanie trzęsień na podstawie sygnałów geosejsmicznych…

Klasyfikacja sygnałów

Klasyfikacja sygnałów cd.. ciągłe czasu ciągłego x(t) dyskretne czasu ciągłego xk(t)

ciągłe czasu dyskretnego x(n) cyfrowe (dyskretne czasu dyskretnego) xk(n)

Przykłady sygnałów

Przykłady sygnałów 2

Przykłady sygnałów 3

Przykłady sygnałów 4

Przykłady praktyczne

Parametry sygnałów

• Wartość średnia• Energia• Moc• Wartość skuteczna• Wariancja

Sygnał okresowy

x(t)=x(t+kT)

Może być aproksymowany przez szereg Fouriera czyli sumę sygnałów sinusoidalnych o odpowiednich częstotliwościach

-> applet

Współczynniki Fouriera

• Sygnały nieparzyste – aproksymowane sinusami

• Sygnały parzyste – kosinusami

• Inne – szeregiem złożonym z sinusów i kosinusów

Współczynniki Fouriera

Przykłady

Sygnał prostokątny

Sygnał piłokształtny

Splot sygnałów

Dla sygnałów ciągłych:

Dla sygnałów dyskretnych:

Splot – wizualizacja

1. Wyraź funkcje jako funkcję tymczasowej zmiennej tau

2. Odwróć jedną z funkcji względem tau

3. Dodaj przesunięcie t

4. Przesuwaj t od – do +. Jeśli funkcje się przecinają, oblicz całkę z ich iloczynu.

Własności splotu

Splot reprezentuje mechanizm filtracji jednego sygnału przez drugi.

Filtrf(t)

g(t) – odpowiedź impulsowa filtru

f(t)*g(t)

f(t)*g(t)=g(t)*f(t)

(f(t)*g(t)) * h(t)=f(t) * (g(t)*h(t))

f(t)*g(t)+f(t)*h(t)=f(t) * (g(t)+h(t))

Korelacja sygnałów

dttytxRxy )()()( * csadf

Jaka jest różnica między splotem a korelacją?

Dla sygnałów ciągłych:

Dla sygnałów dyskretnych:

Korelacja sygnałów 2

csadf

Korelacja funkcji f(t) i g(t) jest równoważna splotowi funkcji f*(-t) oraz g(t)

Korelacja sygnałów jest miarą ich podobieństwa.

Korelacja - zastosowanie

Autokorelacja

dttxR

RtR

tRtR

xx

xxxx

xxxx

2

*

)()0(

)0()(

)()(

Autokorelacja (korelacja własna) – korelacja sygnału ze sobą

(Wartość maksymalna zawsze dla t=0)

Transformata Fouriera

dfefXtx

dtetxfX

ftj

ftj

2

2

)()(

)()(

X(f) jest zespolonym widmem Fouriera sygnału x(t) i zawiera informację o jego „zawartości” częstotliwościowej

prosta

odwrotna

Można interpretować tę operację jako wyznaczanie miary korelacji do poszczególnych harmonicznych

Transformata Fouriera 2

))(Re(

))(Im()(

)))((Im()))((Re()(

)())(Im())(Re()(

22

)(

fX

fXarctgfX

fXfXfX

efXfXjfXfX fXj

Najważniejsza własność transformaty Fouriera:

)()()( tgtfth )()()( fGfFfH

Transformata Fouriera 3

Dla sygnałów dyskretnych:

2/

2/

)/(2

)/(2

)(1

)(

)()(

pr

pr

pr

pr

f

f

nff

pr

nff

dfefXf

tnx

etnxfX

Widmo X(f) sygnału dyskretnego jest także okresowe i powtarza się co częstotliwość próbkowania fpr