DISKRETNE MATEMATIČKE STRUKTURE

ZADACI 1

Prof. dr Esad Jakupović

1.1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE1. Koje od navedenih rečenica predstavljaju sudove:

1° 1+1=2; 2° l i-1=3; Svaka diferencijabilna funkcija je neprekidna; 4° Svaka neprekidna funkcija je diferencijabilna; 5° Paran broj n je bez ostatka djeljiv sa 3; 6° Prestani dosađivati! 7° Praskozorje češlja staklo umiljatim nogavicama, naročito

od mrkve.2. Da li među skupovima , {0}, { } ima jednakih?3. Dokazati da je prazan skup podskup svakog skupa.4. Navesti sve elemente skupa .

• U skupu pola šahovske table definisana je binarna relacija ρ na sledeći način.

• Polja x i y su u relaciji ρ ako sa polja x skakač može da pređe na polje y za paran broj poteza .

• Da li je ρ relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije .

3

2 3P P

Odgovor. Jeste. Postoje dve klase ekvivalencije. Jednu obrazuje skup crnih polja a drugu dkup bijelih polja šahovske table.

6. Dokazati da u svakom grupoidu postoji najviše jedan neutralni element

7. Odrediti neutralne elemente za grupoide i , gdje je X proizvoljan skup.

8. Dokazati da za funkciju važe formule

9. Koliko elemenata ima partitivni skup skupa od n elemenata?10. Ako su X i Y konačni skupovi, koliko elemenata ima skup Yx svih preslikavanja iz X u Y?

Rezultat.

,P X ,P X

:f X Y

, ,

, .

A B X f A B f A f B

A B X f A B f A f B

XY

11. Koliko postoji grupoida (X, ∙) gde je X skup sa n elemenata?

12.Koliko se binarnih relacija može definisati u skupu od n elemenata? Koliko postoji a) refleksivnih b) simetričnih c) refleksivnih i simetričnih relacija?

13.Koliko se n-arnih relacija može definisati u skupu od m elemenata?

14.Neka je X={1, . . . , 8}. Ako su i x2 prirodni brojevi, ρ X2 označava da su i relativno prosti. Nacrtati graf G=(X, p). Da li je G neorijentisan graf bez petlji?

15.Opisati osobine grafova G=(X, ρ), gde je ρ relacija ekvivalencije,

16.Neka je X skup od n elemenata ( ), Skup svih podskupova skupa X ćemo uzeti za skup čvorova grafa G, pri čemu su dva čvora iz G spojena granom ako i samo ako je presjek od govarajućih podskupova skupa X prazan. Odrediti broj čvorova i broj grana grafa G.Rješenje. Skup čvorova grafa G je partitivni skup skupa X te je broj čvorova jednak .

1n

2n

Ako jedan posdkup skupa X ima i (i >0) elemenata , od preostalih n-i elemenata skupa X može se obrazovati podskupova disjunktnih sa posmatranim podskupom. Čvor koji odgovara praznom skupu (i=0) je povezan granama sa svih ostalih čvorova i petljom sa samim sobom jer je .Pošto podskupova sa i elemenata ima tačno , graf G ima

grana i jednu petlju.

17. Sedam prijatelja , koji odlaze na odmor , dogovore se da će svaki od njih da se javi razglednicom trojici od ostalih šest. Da li je mogućno organizovati korespodenciju tako da svako piše onim prijateljima koji će i njemu pisati?

Odgovor. Ne , jer bi u suprotnom slučaju postojao regularan , neorijentisan graf stepena 3 sa 7 čvorova, što je nemoguće.

2n i

2 1n n

i

1

1 12 1 2 3 1

2 2

nn n i n

i

n

i

18. Opisati grafove kod kojih je stepen svakog čvora manji od 3.19. Konstruisati regularan graf stepena 3 sa 2n čvorova (n 3) koji nema trouglova .20. Dokazati da je najmanji broj čvorova regularan graf stepena 3 sa mostom jednak 10.21. Dokazati da regularan graf stepena 3 ima most ako i samo ako ima artikulacioni čvor.22. Da li postoji graf sa šest čvorova čiji su stepeni :2,3,3,4,4,4?23. Da li se grane grafa na sl.1 mogu orjentisati tako da se dobije jako povezan digraf.