Zadaci Za II Kolokvij

8/18/2019 Zadaci Za II Kolokvij

1/34


2/34

Primjer 1

Željezni brod mase 100 t nalazi se na dnu jezera. Brod se može podići s dna tako da se za brodužadima vežu jastuci koji se napune vodikom. Koliki obujam mora zauzeti plin u jastucima dabi se brod podigao ako je masa jastuka i užadi 2 t. Gustoća željeza je -3kgm7800 . Srednja gustoćaužadi i praznih jastuka je -3kgm5000 . Težina vodika se zanemaruje. (Literatura 1, Zadatak

10.7.)

Ukupni uzgon mora biti veći ili jednak ukupnoj težini ako se želicijeli sustav odvojiti od dna:

∑∑ ≥ GF u

gmmV V V g )()( 2121v +≥++ ρ

Volumeni nisu zadani, ali se mogu izraziti preko mase i gustoće:

ρ ρ

mV

V

m=⇒=

21

2

2

1

1v )( mmV mm +≥++

ρ ρ ρ

2

2

1

1

v

21

ρ ρ ρ

mmmmV −−

+≥

3m8,88≥V .

Primjer 2

Okomito postavljena cijev duljine 5 m sužava se od gornjeg dijela prema donjem, tako da je nagornjem dijelu promjer 10 cm, a na donjem dijelu 5 cm. Cijev je s donje strane začepljena čepomkoji može izdržati silu od 200 N i zatim je napunjena vodom. Kolikom se najmanjom silom

mora pritiskati voda s gornje strane da bi se izbacio čep? (Literatura 1, Zadatak 10.6.)

Rješenje:Voda tlači čep s donje strane zbog svoje težine (hidrostatički tlak), ali i zbogdjelovanja sile 1F na gornjoj strani čiji se tlak zatim preko tekućine prenosi ina čep. Ukupni tlak na čep je zbroj tih tlakova:

1

1v2

S

F gh p += ρ .

Budući da je S

F p = slijedi pSF = .

Na čep djeluje sila:

2

1

1v2 S

SF ghF ⋅

+= ρ .

Da bi se čep izbacio mora vrijediti: F F >2

F SS

F gh >⋅

+

2

1

1v ρ

?

kgm0500

kgm8007

t2

t100

3-2

3-1

2

1

=

−−−−−−−

=

=

=

=

V

m

m

ρ

ρ

:Rješenje

?

N200

cm5

cm10

m5

kgm1000

1

2

1

-3v

=

−−−−−−−

=

=

=

=

=

F

F

d

d

h

ρ

1d

1F

2 p

2d


3/34

1v1 S ghS

F F ⋅

−≥ ρ

2

1v1

1 ghSS

SF F ρ −>

2

Površina presjeka je: π

=π=

22

2

dr S

π

⋅−

>

2

1v

2

11

2

d gh

d

dF F ρ

2

N8,414>F .

Primjer 3

U posudi je živa, a iznad nje se nalazi voda. Homogena željezna kugla pliva na granici izmeđužive i vode. Koliki je dio volumena kugle u vodi, a koliki u živi? (Literatura 1, Zadatak 10.9.)

Kugla lebdi na granici, to jest miruje. To znači da je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak 0. Na kuglu djeluju tri sile: sila teža prema dolje, uzgon vode u1F

prema gore i uzgon

žive u2F

također prema gore. Očito mora biti iznos sile teže jednak zbroju iznosa sila uzgona.Pri određivanju uzgona valja imati na umu da on ovisi o obujmu uronjenog

u2u1 F F G +=

dijela tijela uodređenoj tekućini.

2211 V gV gmg ⋅⋅+⋅⋅= ρ ρ

Masa željeza nije zadana, ali se može iskazati iz obujma i gustoće željeza koja je zadana: V m ρ =

.

2211 V V V ⋅+⋅= ρ ρ ρ

Treba izabrati jedan obujam za određivanje, na primjer 2V , a umjesto drugog obujma se uvrsti:

21 V V V −=

( ) 2221 V V V V ⋅+−⋅= ρ ρ ρ

( ) ( ) 2121 V V ρ ρ ρ ρ −=− V V %542 =

?,

kgm7800

kgm13600

kgm1000

21

3-

3-2

3-1

=

−−−−−−−

=

=

=

V V

ρ

ρ

ρ

:Rješenje

H 2O

Hg

1V

2V

2 ρ

1 ρ


4/34

V V 12

12

ρ ρ

ρ ρ

−

−=

V V %461 =

Primjer 4

Cilindrična metalna plutača promjera 1m i visine 0.6 m pričvršćena je užetom za dno tako das udvije trećine visine plutače uronjene u vodu. Kolika je sila kojom uže vuče plutaču, ako jedebljina stijenki plutače 0.01 m, gustoća metala je 7.8∙103 kg/m3?

Sile koje djeluju na plutaču su uravnotežene:

G je težina plutače, T sila kojom uže vuče plutaču, a U uzgon. Uzgon dijeluje samo na onaj dio volumena koji je uronjen u vodu:

Masa plutače je raspodjeljena u uskom sloju debljine d, masa zraka u šupljoj plutači jezanemariva.

Rješenje:

U

T

h

2r

d


5/34

Primjer 5

U valjkastu posudu polumjera dna 10 cm nalivena je 1 litra vode. U posudu se spušta staklenakocka ( ). Koliku je silu potrebno upotrijebiti da se kocka podigne sa dna, ako je masa kocke 0.75 kg?

Razina 1 litre vode u posudi je :

Kada se kocka uroni u vodu, razina vode se podiže na h: . Sila potrebna da se podigne tijelo:

Primjer 6

Tijelo gustoće -3 kgm800 uronjeno je u vodu gustoće -3 kgm1000 na dubinu od jednog metra ipušteno. Koju će maksimalnu visinu iznad površine vode doseći tijelo? Trenje tijela u vodi izraku se zanemaruje. (Literatura 1, Zadatak 10.10.) Rješenje:

Dok je pod vodom na tijelo djeluje uzgon prema gore i težina prema dolje.Budući da je gustoća tijela manja od gustoće tekućine, uzgon će biti većiod težine, pa rezultantna sila djeluje prema gore. Tijelo će zbog togaubrzavati prema površini, i to jednoliko jer su sile konstantne (ne ovise odubini).

G F ma −= u ⇒ m

G F a

−= u

−=

−= 1

v

v

m

V

g m

mg gV

a ρ

ρ

Gustoća uronjenog tijela je: V

m= ρ

pa slijedi

−= 1v

ρ

ρ ga

Neka je v

brzina kojom je tijelo izbilo na površinu. Primijeni li se formulaza brzinu nakon prijeđenog puta s s konstantnim ubrzanjem a: asv 2=

Rješenje:

a

r

H2O H2O

a ρs

U h

ρ v

v

h

d

0=v

0=v

G

uF

?

kgm008

kgm1000

m1

3-

3-v

=

−−−−−−−

=

=

=

h

d

ρ

ρ


6/34

u ovom slučaju vrijedi:

d gv

−= 12 v2

ρ

ρ

Iskazan je kvadrat brzine jer se on javlja u kinetičkoj energiji. Zbog zakona očuvanja energije izanemarivanja otpora, kinetička energija pri površini pretvorit će se u potencijalnu energiju na

maksimalnoj visini:

mghmv

=2

2

⇒ g

d g

g

vh

2

12

2

v2

−

== ρ

ρ

m25,01v =

−= dh

ρ

ρ .

Primjer 7

Poprečni je presjek klipa u vodoravno položenoj štrcaljki 2cm6,1 , a presjek otvora je 2mm1 . Za

koliko će vremena isteći voda iz štrcaljke ako na klip djeluje sila od N5 i ako je hod klipa cm4 ?(Literatura 1, Zadatak 11.1.)

Tlak klipa na tekućinu u štrcaljki pretvara se u dinamički tlak tekućine pri istjecanju iz malogotvora. Štrcaljka stoji vodoravno pa hidrostatički tlakovi ne igraju ulogu u opisu situacije. Tlakklipa je

1

11

S

F p =

a dinamički tlak istjecanja vode je 2222

1v p ρ = .

l?

kgm1000

cm4

N5

mm1

cm6,1

3-

1

22

21

=

−−−−−−−

=

=

=

=

=

t

l

F

S

S

ρ

:Rješenje

1F

2v

S2V

S1

S2


7/34

Budući je S2 < S1, pa je S 2 2


8/34


9/34

U slijedećim zadacima smatraju se poznatim podaci o gustoćama slijedećih tvari:

Tvar Gustoća u kg/m3

voda 1 000

željezo 7 800živa 13 600aluminij 2 700pluto 200 bakar 8 900 zlato 19 300 alkohol 790 zrak 1,3

Zadatak 1. Odredite visinu stupca vode, odnosne žive koji predstavljaju hidrostatski ekvivalent

atmosferskom tlaku. Atmosferski tlak iznosi 1013 hPa. Rj.: 10,3 m; 759 mm

Zadatak2. Drvena greda dimenzija 10 cm × 10 cm ×400 cm pluta na vodi. Kolika je masa dodatnogtereta koji ta greda može podnijeti pod uvjetom da se taj teret ne umoči u vodu? Gustoća danog drvaiznosi 800 kg/m

3

.R: 8,00 kg

Zadatak 3. U moru pliva santa tako da joj viri volumen 300 m3 iznad mora. Koliki je volumen santeuronjen u more, ako je gustoća mora 1,03 g/cm3, a gustoća leda 0,9 g/cm3 ?

R: 2 080 kg

Zadatak 4. Od 20 g aluminija treba napraviti šuplju kocku koja će lebdjeti u vodi. Odreditedebljinu stijenke kocke.

Rješenje: Brid kocke a = 27 mm ;a debljina stijenke kocke d = 3.8 mm

Zadatak 5. Kuglu od željeza promjera 20 cm, treba obložiti plutom tako da kugla 1/3 svogvolumena viri iz vode. Kolika je debljina pluta.

a

a - d

zrak

R R+d


10/34

Rješenje: Debljina pluta d = 15 cm ;

Zadatak 6. Predmet od legure bakra I zlata teži u zraku 0.49 N, a uronjen u alkohol 0.46 N.Odredite masu zlata u predmetu. Zanemarite uzgon u zraku.

Rješenje: m Au = 28.8 g

Zadatak 7. Aluminijska plutača oblika valjka ima debljinu stijenke 5 mm. Polumjer vanjskebaze iznosi 30 cm, a vanjska visina iznosi 70 cm. Pod pretpostavkom da plutača plutauspravno u moru, koliki je njen dio uronjen u more?

Rješenje: U moru je uronjeno 12% njenog volumena.

Zadatak 8. Odredite unutrašnji promjer cijevi ako kroz nju protječe 40 litara vode u minuti brzinom 2m/s.

Rješenje: 2,06 cm

Zadatak 9. Kolikom brzinom mora strujati zrak pa da bi njegov hidrodinamički tlak iznosio 10%atmosferskog tlaka?

Rješenje: 450 km/h


11/34

2. TITRANJE

Harmonijski oscilator

Materijalna točka jednostavno titra oko ravnotežnoga položaja pod utjecajem elastič ne iliharmonijske sile koja se iskazuje izrazom:

,skF rr

−=

gdje je k konstanta elastičnosti (npr. opruge), a sr

elongacija, tj. pomak tijela od ravnotežnogapoložaja. Negativan predznak ukazuje da je smjer sile suprotan elongaciji, to jest da harmonijskasila nastoji vratiti tijelo u ravnotežni položaj.Rezultantna sila koja uzrokuje titranje odgovara elastičnoj sili.

sk mt

smaF R R ⋅−=⋅=⋅= 2

2

d

d

Sređ

ivanjem gornjeg izraza dobivamo jednadžba gibanja jednodimenzionalnog harmonijskogoscilatora:

* 0d

d 2

2

=+ sm

k

t

s što još možemo napisati u obliku: 0=⋅+ s

m

k s&&

To je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda čije je rješenje oblika:

** ( ) )sin( 00 ϕ ω += t Ats ,

gdje je A amplituda (najveći pomak od ravnotežnoga položaja), 0ϕ početna faza, am

k=0ω

kružna frekvencija ili pulzacija.

Ispravnost rješenja se može potvrditi uvrštavenjem izraza ** u jednadžbu *.

Deriviranjem elongacije po vremenu dolazi se do izraza za brzinu i ubrzanje:

( ) )cos(d

d 000 ϕ ω ω +=== t As

t

stv &

( ) )sin(d

d

d

d 00

202

2

ϕ ω ω +−==== t Ast

s

t

vta &&

Maksimalna brzina i ubrzanje:

Av 0maks ω = Aa 2

0maks ω =

Frekvencija titranja je jednaka recipročnoj vrijednosti periode titranja (titrajnog vremena), tj.

00

1

T f =

Veza između kružne frekvencije i frekvencije dana je izrazom 00

0 22

f T

π=π

=ω .

Perioda titranja:k

mT π= 20 .


12/34

Matematičko njihalo

Matematič ko njihalo je materijalna točka mase m ovješena o nit stalne duljine l, azanemarive mase.

RF r

- rezultantna sila

θ

θ

sin

cos

⋅=

⋅=

=+=

GF

G N

F G N F

t

t R

rrrr

θ

θ

cos

sin

r

t

⋅=

⋅=

GG

GG

Rezultantna sila na materijalnu točku jednaka je tangencijalnoj komponenti sile teže tj. t F r

θ sinmgF t −=

(negativni predznak znači da je sila t F suprotnog smjera od smjera povećanja kuta otklona θ iz

ravnotežnog položaja.Matematičko njihalo harmonički titra samo za male amplitude tj. za male kutove otklona θ i

budući da za male kutove vrijedi da je θ θ

≈

sin , možemo pisati:

θ ⋅−= mgF t r

U tom slučaju jednadžba gibanja je dana s izrazom :

θ θ

θ

⋅−=⋅⋅

⋅−==

mgmt

l

mgmaF t t

2

2

d

d gdje je t a tangencijalna akceleracija i θ θ &&

⋅=⋅= lt

lat 2

2

d

d

Uvrštavanjem dolazimo do izraza: * 0=⋅+ θ θ l

g&& čije je rješenje oblika:

** )sin()( 000 ϕ ω θ θ +⋅= tt gdjel

g=

20ω , a 0θ amplituda

titranja.

Stoga je pripadna perioda titranja matematičkog njihala: g

lT π= 20 ,

gdje je l duljina niti, a g ubrzanje slobodnoga pada.

→ Gt

→ Gr

θ

→ N

→ F t

θ

→ G

l l


13/34

Energija

Ukupna energija Euk idealnog harmonijskog oscilatora je konstantna tj. ne mijenja se u vremenu i jednaka je zbroju kinetičke i potencijalne energije u danom trenutku.

[ ] [ ]

[ ] [ ]2002

000uk

22uk

)sin(2

1)cos(

2

1

)(2

1)(

2

1

0d

d

ϕ ω ϕ ω ω +⋅++⋅=

+=

=

t Akt AmE

tsktvmE

t

Euk

Ukupna energija je stoga jednaka potencijalnoj energiji u položaju amplitude (jer tamo iščezavakinetička energija):

2

21 kAE =

ili kinetičkoj energiji u ravnotežnom položaju (jer tamo iščezava potencijalna energija):

2maks

2

1mvE = .


14/34

TITRANJE_zadaci za vježbu

Harmonijski oscilator

Zadatak 1: Tijelo titra na opruzi. Amplituda iznosi 15 cm, a perioda mu je 2 s.Kolika je brzina tijela ( ?)( 1 tv ) kad je elongacija jednaka polovici amplitude

(2

)( 1 Ats ). Rješenje: 81.402301 Av cm/s

Zadatak 2: Klip motora automobila ima hod d = 55.5 mm (2

d A ) i masu 360 g.

Uz pretpostavku da gibanje klipa u cilindru motora možemo aproksimirati jednostavnim harmonijskim titranjem, kolika je maksimalana brzina iakceleracija klipa pri vrtnji motora s 3000 okretaja u minuti ( f 0)? Kolika je pritommaksimalna sila na klip?

Rješenje: 7.8maksv m/s , 74.2maksa km/s2 , 985maksF N

Zadatak 3: Tijelo mase m ovješeno o spiralnu oprugu uzrokuje produljenjeopruge 4 cm. Koliko titraja napravi to tijelo u 1 min kada ga se pobudi navertikalno harmonijsko titranje?

Rješenje: 149N

Zadatak 4: Tri jednake opruge spojene su u seriju. O njih se ovjesi uteg mase 100g i pobudi na titranje. Period tih titraja je 0,1 s. Kolika je konstanta elastičnostipojedinih opruga?

Rješenje:1183 N/m

Zadatak 5: Koliki je omjer perioda titranja utega mase m1 obješenog na dvije

jednake i serijski spojene opruge, te perioda titranja utega mase m2 =3m1obješenog na te iste, ali paralelno vezane opruge?

Rješenje: 1,15

Zadatak 6: Tri jednake opruge konstante ki =200 N/m (i=1,2,3) spojene su kao na

slici i o njih je ovješen uteg. Kolika je masa utega ako je period titranja 0,628 s?Rješenje: 1,33 kg

Zadatak 7: Dva njihala započnu njihanje istovremeno. Za prvih 20 titraja prvognjihala, drugo njihalo učini 15 titraja. Odredite omjer duljina ovih njihala.

Rješenje:= 0,563


15/34


16/34

Zadatak 13: Na donjem grafu je prikazana vremenska ovisnost elongacijeharmonijskog oscilatora. Odredi:

a) amplitudu titranja b) kružnu frekvenciju c) period titranja d) početnu fazu e) izraz za elongaciju u ovisnosti u vremenu

f) brzinu u trenutku 5.01 t s i pripadnu akceleraciju g) brzinu u trenutku 22 t s i pripadnu akceleraciju

Rješenje: d) π0

e) π)tssin(πcm -1 5)(ts

f)0)(

1

tv ,3.49)(

1

ta cm/s2

g) 7.15)( 2 tv cm/s , 0)( 2 ta

Zadatak 14: Element mase 20 g nekog stroja oscilira prema jednadžbi:

.ms

t2 π mmts

16

7

30sin5)(

Kolika je:

a) amplituda titranja

b) kružna frekvencija

c) frekvencija titranja

d) perioda titranja

e) početna faza

U trenutku t = 20 ms odredite:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

s(t)/ cm

t / s


17/34

f) položaj klipa

g) brzinu klipa

h) ubrzanje klipa

i) silu na klip

j) potencijalnu energiju klipa

k) ukupnu energiju klipa

Napomena: pripaziti na izluč eni faktor 2п Rješenje: h) -626 ms-2

Zadatak 15: posuda s utezima visi na opruzi i titra periodom 0,5 s. Dodavanjemutega u posudu period titranja se promijeni na 0.6. Koliko se produljila oprugadodavanjem utega?

Rješenje: Δl=2,7·10-2 m

Matematič ko njihalo

Zadatak 16: Za koliko se promijeni perioda matematičkog njihala u slučaju da seduljina poveća za 25% početne duljine l .

Rješenje: perioda se poveća za 12%

Zadatak 17: Jedno matematičko njihalo učini 120 titraja, a drugo 160 titraja uminuti. Kako im se odnose duljine

Rješenje: 9:16: 21 ll

Zadatak 18: Period titranja njihala prikazanog na slici je 1,10 s. Odredite ukupnuduljinu niti l ! Uputa: jedan titraj podijelite na dva dijela

Rješenje: 41.3 cm


18/34

PRIGUŠENI I PRISILNI HARMONIJSKI OSCILATOR

Prigušeno titranje je titranje koje zbog sile trenja gubi energiju. Jednadžba glasi:

0d

d

d

d2

2

sm

k

t

s

m

b

t

s

gdje je b konstanta trenja,m

k 0 vlastita pulzacija neprigušenog oscilatora.Često se koristi i

veličina nazvana prigušni koeficijent :m

b 2

Opće rješenje jednadžbe je:

)sin()( 0 t Ats t-e ,

gdje je 0 početna faza, a kružna frekvencija prigušenog titranja22

0 .Logaritamski dekrement prigušenog titranja je

T A

A

n

n

1

ln

gdje su 1nn i A A dvije uzastopne amplitude, a T perioda prigušenog titranja.

.

*

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-9

-6

-3

0

3

6

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-6

-3

0

3

6

-Ae- t

s

/ m

t /s

Ae- t

T 0

T

T > T 0

a) Idealno harmonijskotitranje

b) Prišušeno harmonijskotitran e


19/34

Prisilno titranje nastaje kada vanjska sila vF djeluje na tijelo koje titra. Ako je ta sila oblika:

tF F v0v sin ,

jednadžba gibanja glasi:

t Asss v0202

2

sindtd2

dtd ,

gdje jem

F A

00 , a v pulzacija vanjske sile.

Općenito rješenje jednadžbe ** jednako je zbroju općeg rješenja homogene jednadžbe i posebnogrješenja nehomogene jednadžbe, tj. )()()( PH tststs .

0dt

d2

dt

d 202

2

sss

→ homogena jednadžba čije je rješenje: )sin()( t Ats t-δ eH

, a posebno rješenje nehomogene jednadžbe je: )sin()()( vvP t Ats .

Nakon određenog vremena vlastito titranje oscilatora će zbog prigušenja utrnuti i sistem će titrati

frekvencijom vanjskog oscilatora ( v ) bez obzira na početne uvjete i vlastitu frekvenciju sistema.Stoga možemo pisati da je rješenje ** jednadžbe

)sin()()( vv t Ats ,

Uvrštavanjem gornjeg rješenja u ** jednadžbu gdje je:

( )sin()(d

d i )cos()(

d

dv

2vv2

2

vvv t At

st A

t

s)

dobiva se sljedeće: t A

Att v

v

0vvv

2v

20 sin

)()

2

π

sin(2)sin()(

.

Da bi se iz nje odredila )( v A koristimo se fazorskim prikazom titranja. S lijeve strane imamo

zbroj dvaju vektora čije su duljine )( 2v2

0 i v2 , a s desne strane se nalazi vektor čija je

duljina)( v

0

A

A koji je rezultat tog zbroja. Ti vektori se nalaze pod određenim kutem s obzirom na

x os i gornja jednakost *** mora biti zadovoljena za sve t-ove pa tako i za 0t .

**

***

y

x-φ

90°-φ

2δωv ω 02 – ωv2

A0 / A (ωv)


20/34

Stoga je ovisnost amplitude o pulzaciji vanjske sile:

222220

0

4)()(

vv

v

A A

, a kašnjenje u fazi iza titranja vanjskog oscilatora:

Rezonantna pulzacija dobije se iz uvjeta za maksimum amplitude: 0)(

v

v

d

d

ω

A

0

4)(

42

08)2(242

1)(

322222

0

2220

0

2220

2

32222

00

vv

vvv

vvvvv

v

v

d

d

A

Aω

A

Moramo naći v za koji će gornja jednakost biti zadovoljena. Brojnik moramo izjednačiti snulom:

222

0

2220

2

02

v

vvvv : /

Stoga je tražena rezonantna pulzacija:

220 2 r


21/34

Mehanički valovi

Valovi koji se šire kroz elastična sredstva jesu mehanički valovi. Transverzalni val nastaje akočestice koje prenose energiju titraju okomito na smjer širenja, dok kod longitudinalnog valačestice titraju oko ravnotežnog položaja na pravcu kojim se širi val. Jednadžba sinusoidalnog vala ima oblik:

)sin(, 0 kxt Atxs

gdje je s elongacija točke u položaju x u trenutku t, A je amplituda vala, kružna frekvencija ilipulzacija, k valni broj, a 0 početna faza (fazni pomak). Predznak ispred člana kx određuje smjerširenja vala. Negativni predznak znači da se val širi u pozitivnom smjeru x-osi, a pozitivanpredznak znači da se val širi u negativnom smjeru x-osi.

Vrijede relacije:T

f π

π2

2 i

π2k

gdje je T perioda titranja, f frekvencija, a valna duljina.Fazna brzina v vala povezana je s valnom duljinom i frekvencijom f u izrazu:

f T

v .

Brzina širenja transverzalnog vala na napetom užetu ili žici je:l

F v

gdje je F sila napetosti žice, al

ml je duljinska gustoća žice (m – masa žice, l – duljina žice).

Brzina širenja longitudinalnog vala u čvrstom tijelu modula elastičnosti E i gustoće je

Ev .

Brzina širenja longitudinalnog vala u tekućini stlačivosti i gustoće je

1v .

Brzina širenja longitudinalnog vala u plinu adijabatske konstante , tlaka p, gustoće ,temperature T , množinske mase M je

M

RT pv

( 1-1K Jmol 314,8 R je plinska konstanta).Valnim gibanjem prenosi se energija. Gustoća energije vala jednaka je

22

2

1 A

V

Ew

gdje je gustoća sredstva, A amplituda vala, a njegova kružna frekvencija.


22/34

Superpozicija valova

Stignu li dva ili više valova u istu točku prostora, rezultantno titranje u toj točkivektrorski je zbroj pojedinih titraja. To je princip superpozicije.Općenito vrijedi:

2cos

2sin2sinsin

Dakle, zbrajanjem dvaju valova ili više valova dobivamo novi val. Zbrajanjem valova koji senađu u istoj točki prostora u isto vrijeme nastaje interferencija. Prilikom zbrajanja valova istihamplituda, frekvencije i brzine, novi rezultantni val ima istu frekvenciju i brzinu, no amplitudamože poprimiti drugačiju vrijednost. Udvostruči li se amplituda rezultantnog vala onda je tokonstruktivna interferencija, a ako mu je amplituda jednaka nuli onda kažemo da imamodestruktivnu interferenciju. Amplituda rezultantnog vala ovisi o razlici u fazi (ili razlici u hodu)između valova koji se zbrajaju. Razlika u fazi i razlika u hodu su povezane sljedećom relacijom:

11221

1

2

2 r kr kvr

vr

gdje su k1 i k2 pripadne vrijednosti valnih brojeva u sredstvu 1 odnosno 2, a r 1 i r 2 su udaljenostikoje val 1 odnosno val 2 prevali do promatrane točke u prostoru gdje se gleda njihovainterferencija odnosno rezulzantni val. Brzine v1 i v2 su pripadnebrzine širenja vala u prvom odnosno drugom sredstvu. Ako se oba vala šire u istom sredstvu

onda vrijedi v1 = v2 i gornji izraz poprima oblik: 12 r r k (Općenitov

k )

Refleksija valova

Refleksija vala se javlja kod prijelaza vala iz jednog u drugo sredstvo. Kada val upada nagranicu između dva sredstva, jedan se dio energije vala reflektira, a ostatak prelazi u drugosredstvo (transmisija). Ako val prelazi iz rjeđeg u gušće sredstvo reflektirani je val pomaknut ufazi za π prema upadnome valu, a pri refleksiji na rjeđem sredstvu nema pomaka u fazi.Posebno, pri refleksiji od čvrste zapreke (uže koje je na jednom kraju pričvršćeno) nematransmitiranog vala. Razmatramo širenje valova u jednodimenzionalnom sredstvu. Jednadžbe upadnog vala ),( txsu , reflektiranog vala ),( txsr i transmitiranog vala ),( txst dane su:

2

1

1

sin),(

sin),(

sin),(

v

xt Atxs

v

xt Atxs

v

xt Atxs

tt

r r

uu

gdje je v1 brzina vala u prvom sredstvu, a v2 brzina vala u drugom sredstvu, a kod reflektiranogvala stoji ispred brzine pozitivan predznak zbog toga što se on giba u suprotnom smjeru odupadnog pa tako i transmitiranog vala.


23/34


24/34

Na slici je prikazano prvih nekoliko stojnih valova na zategnutoj žici.

s

x

x = L x = 0

č č č

č č

č č č č

T T

T

T T T

Ln 21 1

Ln 2 2

Ln32

3 2

mg


25/34

Mehani č ki valovi

Zadatak 1: Zadan je val

4

1cm

4s3

tsin2πcm2),( 1-

xtxs .

Odredi:a) Amplitudu, frekvenciju, počrtnu fazu,valnu duljinu,brzinu i smjer širenja

vala?

b) Elongaciju i brzinu čestice na mjestu2

1

x u trenutku T t 1 ?

Rješenje: b) 0, cm,2),( 1111 )tu(xtxs .

Zadatak 2: Prva je točka napravila čitav titraj. Kolika je elongacija u točki koja je3 cm udaljena od prve ( cm3 1 xT t ,1 ), ako je amplituda vala 5 cm, a valnaduljina vala je cm15 ?

Rješenje: cm-4.76)( 1,1 txs .

Zadatak 3: Dvije žice od različitog materijala spojene su zajedno i napete silomF . Linearna gustića prve žice četri je puta manja od gustoće druge žice.tj.

12 4 . Upadni se transverzalni val )sin( 1xkt As uu širi kroz prvu žicu

brzinom 1v , dolazi na granicu između dvije žice , gdje se reflektira i lomi.Odredite rezultantni val u prvoj i drugoj žici.

(Brzina vala se određuje prema relaciji F v , gdje je sila F jednaka i za prvu i

za drugu žicu. Općenito vrijediv

k . Budući da se val reflektira na gušćem

sredstvu tj. 21 , reflektirani val će imati pomak u fazi π u odnosu na upadnival. U prvoj žici ćemo imati val koji se dobije superpozicijom upadnog su ireflektiranog vala sr ( )πsin( 1 xkt As r r , a u drugoj žici ćemo imati samotransmitirani val st.Na granici dva sredstva tj, u 0x vrijede rubni uvjeti:

1) tr u sss iz čega slijedi: tr u A A A

2) x

sss

xt

r u

iz čega slijedi :

211 v

A

v

A

v

A tr u

Koriste se jednakosti : cossincossin)sin( i sin)πsin( .


26/34

Rješenje: Rezultantni val kroz prvu žicu:

txkxkt Asstxs ur u cossincossin23

2),( 11 .

Kroz drugu žicu se širi transmitirani val:

)2sin(32)sin( 12 xkt Axkt As utt .

Zadatak 4: Val na užetu ima valnu duljinu 0.5 m i nastao je iz izvora koji titra pozakonu t f A π2sin , gdje je m 1.0 A , a Hz 3 f . Nađite elongaciju komadićaužeta udaljenog m 1 od izvora u trenutku s 75.0t .

Rješenje: m0.1s0.75m,1 s

Zadatak 5: Uz kojiće uvjet brzina transverzalnog vala koji putuje po zategnutojžici biti jednaka maksimalnoj brzini titranja čestice vala?

Stojni valovi

Zadatak 1: Napetosti dviju jednakih žica se odnose kao 36:49: F F . Kako seodnose njihove frekvencije?

Rješenje: 6:7: f f .

Zadatak 2: Žica duljine 48l cm daje ton c frekvencije 261 Hz. Za koliko se onatreba skratiti da se dobije ton a frekvencije 440 Hz?

Rješenje: 53.19l cm.

Zadatak 3:

presjeci S i S dviju jednako dugih i jednako napetih žica gusto

ć

e-3gcm 5.7 i -3gcm 4.8 odnose se kao 9 : 7. Koliki se je veća osnovna

frekvencija druge žice ( ?0 f ) u odnosu na prvu žicu?

Rješenje: Za 7%.

Zadatak 4: Duga čelična žica promjera 254.0 mm zategnuta je težinom utegamase 10 kg. Gustoća čelika je 3kg/m7800 .


27/34

a) Kolika je brzina transverzalnog vala na toj žici?b) Kolika je valna duljina vala frekvencije 250 Hz?c) Ako je duljina žice m99.1l da li frekvencija iz b) dijela zadatka

odgovara osnovnoj frekvenciji ili predstavlja viši harmonik, koliko u tomslučaju iznosi osnovna frekvencija?

Uputa: Frekvencija stojnog vala na žici dana je relacijom vLn f n

2 1 gdje je

,...3,2,1,0n .Za 0n imamo osnovnu frekvenciju, sve ostalo su višiharmonici.

Rješenje: a) m/s498v b) m99.1 c) 2501 f Hz je viši harmonik, 1250 f Hz je osnovna frekvencija.

Zadatak 5: Superpozicijom sinusoidalnog vala

xttxs

cm121s1.5sinπcm 22, 1-1 i pripadajućeg drugog vala txs ,2

formirao se stojni val. Trbuh titranja je u točki cm3T x .

Upute: Uvjet za trbuh stojnog vala 12

cos

T xk .

a) Napišite potpunu jednadžbu pribrojenog drugog vala.b) Odredite elongaciju u trbuhu stojnog vala u trenutku s0t .

Rješenje: a)

2

π

cm12

1s1.5sinπcm 22, 1-2 xttxs .

b) cm40, T s xs .

Zadatak 6: Koliko će se promijeniti frekvencija osnovnog tona (frekvencije) žiceako sredinu žice pritisnemo prstom tako da je na tome mjestu učvrstimo?

Rješenje: Udvostručit će se.

Zadatak 7: Metalna žica neko instrumenta dugačka je 50 cm, a napeta je silom135 N. Njezin je promjer 0.55 mm, a gustoća materijala od kojeg je napravljena

iznosi 8.8 g/cm3. Nađite frekvenciju osnovnog tona žice kad ona transverzalnotitra.

Rješenje: Hz1.2540 f . Zadatak 8: Elastičani val prelazi iz sredstva u kojemu mu je fazna brzina 1v usredstvo gdje mu je fazna brzina 2v . Izvedite izraz za amplitudu reflektiranogvala. Kada val pri refleksiji mijenja fazu? Dokažite.


28/34

Zadatak 9: Napišite izraz za upadni i reflektirani harmonični val pri refleksiji na:

a) čvrstom kraju ( 0,2 2v tj. nema transmitiranog vala 0t A )b) slobodnom kraju ( 2v ,02 , r u A A )c) Što se dobije superpozicijom upadnog i reflektiranog vala u a) i u b)

slučaju?


29/34

Dopplerov efekt

Uvod

Dopplerov efekt je promjena frekvencije signala što ga prima prijamnik zbog gibanjaizvora signala I i (ili) prijamnika P. Neka je iv projekcija brzine izvora na pravac spojnice

izvora i prijamnika, a pv brzina prijamnika projicirana na istu spojnicu. Tada možemo

pisati :

I

P

vv

vv

gdje je frekvencija koju odašilje izvor kada miruje, frekvencija što je detektiraprijamnik, a v brzina signala (najčešće brzina zvuka u zraku: -1z ms340v ). U slučaju da

se prijamnik ili detektor približava ili ako se oba gibaju tako da se približavaju jedandrugom tada se uzimaju gornji predznaci. U suprotnom slučaju tj. ako se prijamnik iliizvor signala udaljavaju, onda se uzimaju donji predznaci.

Dopplerov efekt za elektromagnetne valove iskazuje se formulom:

1

1,

c

v ,

gdje je v relativna brzina približavanja izvora i prijamnika (uzima se negativnom ako se izvor i prijamnik udaljavaju), a c brzina svjetlosti:-18 sm10998,2 c .

Ako je cv , formula za Dopplerov efekt za elektromagnetske valove može se aproksimiratiizrazom:

1.

Dopplerov efekt opaža se i pri proučavanju svjetlosti koja dolazi sa zvijezda. Frekvencijaspektralnih linija u toj svjetlosti neznatno se razlikuje od frekvencije linija dobivenih odistih elemenata na Zemlji, te se na temelju izmjerenih pomaka može utvrditi smjer i

brzina gibanja zvijezde.

Riješeni primjeri _ (ZBIRKA RIJEŠENIH PRIMJERA IZ FIZIKE 1)

za približavanje

za udaljavanje


30/34

Primjer 1.1.

Radarskim valovima čija je frekvencija 2 GHz kontrolira se brzina automobila. Kolika je

razlika u frekvenciji upadnog vala i vala reflektiranog na automobilu koji se približava

brzinom-1

kmh72 ? (Lit.[2], Zadatak 2.13.)

Rješenje:

Frekvencija koju prima automobil koji se približava izvoru je:

v

vv f

vv

vv f f ai

i

p

i1

gdje je v brzina radarskih zraka (elektromagnetni valovi).

Automobil reflektira tu istu frekvenciju i time postaje izvorom

novog signala (i) koji se približava brzinomav , pa prvobitni

izvor sada kao prijamnik p dobiva povratnu frekvenciju:

a

ai

a

i1

i

P12

vv

v

v

vv f

vv

vv f

vv

vv f f

a

ai2

vv

vv f f

Tražena razlika je:

a

ai

a

aii

a

aii2

21

vv

v f

vv

vv f f

vv

vv f f f f

a

ai

2

vc

v f f

Brzina svjetlosti je mnogo veća od brzine automobila pa se rezultat neće promijeniti akose u nazivniku zanemari brzina automobila.

.Hz2672 a

i c

v f f

Primjer 1.2

?

sm103

0

kmh72

MHz2000

1-8

i

1-ap

i

f

cv

v

vv

f


31/34

Mlažnjak leti nisko. Pri njegovu nailasku čuje se zvuk frekvencija Hz105,1 41 f , a prinjegovu udaljavanju ta je frekvencija Hz10002 f . Kolika je brzina mlažnjaka? (Lit.[2],Zadatak 2.14.)

Rješenje:

Mlažnjak leti nisko, pa se izvor giba približno duž pravca spojnice izvora i prijamnika.Tada vrijedi formula

Iz

Pz0

vv

vv f f

(*)

gdje je 0 f izvorna frekvencija koju proizvodi mlažnjak u svom sustavu, a zv je brzina

valova zvuka. U oba slučaja je brzina prijamnika 0.U situaciji broj 1 izvor se približava prijamniku, pa prijamnik čuje zvuk povećanefrekvencije. To govori da u nazivniku formule (*) mora biti predznak minus, jer će sesamo tako povećati cijeli razlomak.

Iz

z01

vv

v f f

U situaciji broj 2, izvor se udaljava od prijamnika, frekvencija opada, a to se događa s predznakom plus u nazivniku (*):

Iz

z02

vv

v f f

Iz prve jednadžbe slijedi: z0Iz1 v f vv f

a iz druge z0Iz2 v f vv f .

Slijedi da je Iz2Iz1 vv f vv f

1-21

21zI hkm1071

f f

f f vv

Primjer 1.3

?

Hz1000Hz105,1

I

2

4

1

v

f f

PI I2


32/34

Izvor pričvršćen na horizontalnoj ploči, emitira ton čija je frekvencija 1000 Hz. Izvor jeudaljen 1,5 m od vertikalne osi vrtnje. Ako vrtnja ploče dostiže kutnu brzinu -1s50 , kojifrekventni pojas čuje motritelj koji se nalazi negdje pokraj ploče? (Brzina zvuka u zraku je -1z sm340v .) (Lit.[2], Zadatak 2.17.)

Rješenje:Tlocrt:

Prijamnik se ne giba pa je 0P v .Obodna brzina izvora Iv ima uvijek isti iznos i to r v I , ali se mijenja njen smjer.Dopplerov efekt ovisi samo o veličini one komponente brzine koja se nalazi na pravcuspojnice izvora i prijamnika. Na slici je prikazan opći položaj izvora I, ali i dva posebna položaja. U položaju Imin sva je brzina usmjerena od prijamnika i iz tog položaja će prijamnik primati najmanju frekvenciju i to:

Hz819z

z0

Iz

Pz0min

r v

v f

vv

vv f f

U položaju Imaks sva je brzina usmjerena prema prijamniku i iz tog položaja će prijamnik primati najveću frekvenciju i to:

Hz1283z

z0

Iz

Pz0maks

Rv

v f vv

vv f f

Frekventni pojas koji prima prijamnik je:

Hz1283Hz819 f .

Dopplerov efekt

?

sm340

m5,1

s50

Hz1000

1-z

1-

0

f

v

R

f

P

Imin

Imaks

I

r


33/34

Zadatak 12.1: Frekvencija sirene lokomotive je 1000 Hz. Pretpostavlja se da jebrzina zvuka u zraku 340 m/s.

a) Koliku frekvenciju čuje putnik na peronu ako mu se lokomotiva približavabrzinom 108 km/h?

b)

Koliku bi frekvencijučuo da se lokomotiva udaljava?

Rješenje: a) Hz 8.1096 i b) Hz 9.918 .

Zadatak 12.2: Radarskim valovima čija je frekvencija 2000 MHz kontrolira sebrzina automobila. Kolika je razlika u frekvenciji emitiranog vala i vala kojidetektira radar nakon što se reflektira na automobilu koji se približava brzinom72 km/h?

Rješenje: a) Hz 267 .

Zadatak 12.3: Zrakoplov leti nisko. Pri nailasku zrakoplova čuje se zvuk čija je

frekvencija Hz 105.1 41 , a pri udaljavanju ta je frekvencija 1000 Hz.Izračunajte brzinu zrakoplova. (Brzina zvuka u zraku je 340 m/s.)

Rješenje: a) km/h 1071I v .

Zadatak 12.4: Izvor zvuka čija je frekvencija 500 Hz miruje, a prema njemu sepribližava slušatelj brzinom 85 % manjom od brzine zvuka. Koju frekvenciju čujeslušatelj?

Rješenje: Hz 575 .

Zadatak 12.5: Koju frekvenciju zvuka registrira slušatelj koji se kreće na vrtuljku

čiji je polumjer 10 m s ophodnim vremenom 4 s, ako izvor zvuka frekvencije 0

miruje i nalazi se vrlo daleko od motritelja u istoj horizontalnoj ravnini?

zv je brzina širenja zvuka i buduć i da je izvor vrlo daleko od slušatelja, uzeli smo da je

njegoj smjer takav da je antiparalelan s x-osi. Kut t je kut izmeđ u vektora brzine

slušatelja i smjera širenja zvuka u danom trenutku t. Uz pretpostavku da su u trenutku0t vektori brzine slušatelja i smjera širenja zvuka međ usobno okomiti, kao što je


34/34

prikazano na donjoj slici, dobiva se rješenje za frekvenciju koju registrira slušatelj navrtuljku.Frekvencija je prikazana kao funkcija vremena.

Zadatak 12.6: Dva se automobila međusobno udaljavaju brzinom10

v ( v je brzina

zvuka) . Ako automobil koji se udaljava od reflektirajućeg zida brzinom20

v šalje

zvučne valove 1000 Hz ( 0 ), koje frekvencije čuje slušatelj u drugom autu?

00

z

v

Upute: ν 1 je frekvencija vala koju č uje slušatelj u drugom autu č iji je izvor prvi auto. Promjena frekvencije je rezultat međ usobnog udaljavanja izvora i detektora. Zvuč ni val č iji je izvor auto 1,

reflektira se na zidu i on postaje izvorom zvuč nog vala frekvencije ν '( '

'

zv

) koji detektira

slušatelj u drugom autu, a koji se kreć e prema tom zidu.

v

vv

vv

v

22

10

'

'

Rješenje: Hz8.9041 .

Hz10002

ttT

t π2

vI = 0

tx p vvv sin0

tx vv sin0

ty vv cos0

z

z

z

tz

v

tT

vv

v

vvt

π2sin

sin 0

00

0

RT v

π20

θ t

y

x

→v0

→v0

vx→

vy→ vz→

R

ω

0t

λ 0 λ ’ λ ’v1

v2

Documents

Zadaci Za II Kolokvij