ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE - tf.unibl.org · ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE 1. Napišite elektronsku konfiguraciju broma, čiji je atomski broj Z= 35. Rješenje:

ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE

1. Napišite elektronsku konfiguraciju broma, čiji je atomski broj Z= 35.

Rješenje: 1s22s22p63s23p64s23d104p5

2. Utvrdite koji od navedenih parova hemijskih elemenata ne grade jonska

jedinjenja. a) O i H b) Ca i O c) Ba i I d) C i Cl e) Li i Cl

Rješenje: d) C i Cl

3. Izračunati koliko je grama cinka potrebno za reakciju sa 6g joda u cink-

jodid. Mr(Zn)= 65,38 Mr(I)=126,9

Rješenje: Zn + I2 → ZnI2 m(Zn) = ,

,6

1mol 1mol 1mol m(Zn)=1,54g 65,38 253,8

4. Izračunati broj molekula CO2 u 0,34 mola gasovitog ugljenika (IV)-osida.

Rješenje: N = n x Na N (CO2) = 0,34mol x 6,022x1023mol-1

N (CO2)= 2,05x1023

5. U 2dm3 rastvora nalazi se 0,5 mola azotne kiseline. Izračunati količinsku

koncentraciju HNO3 u rastvoru.

Rješenje: c = c (HNO3) = ,

, dm = 0,25 mol

6. Izračunati koncentraciju vodonikovih jona i odrediti pH i pOH rastvora,

ako je [OH-]= 10-3 mol/dm3

Rješenje: [OH-]= 10-3 mol/dm3 => [H+] = 10-11 mol/dm-3 pH = -log [H+] pH = -log 10-11 pH = 11 pOH = 3

7. Iz koliko se molova butana sagorijevanjem dobiju 0,4 mola ugljen dioksida: a) 0,5 b) 2 c) 1 d) 0,1 e) 0,2

Rješenje:

C4H10 + O2 → 4CO2 + 5 H2O 1mol 6,5 mol 4mol 5mol n (C4H10) = 0,4 n (C4H10) = 0,1mol

8. Maseni udio ugljenika u % u n- pentanu je: a) 83, 33 b) 75,42 c) 92, 18 d) 78,13 e) 56,23

Rješenje: Cn H2n+2 C5H12 M(C5H12) = 72 g/mol M(C) = 12g/mol ω(C)% = x100%

ω(C)% = x100% = 83,33%

9. Oksidacijom 2- butanola nastaje: a)aldehid b) keton c)etar d)estar e)anhidrid

Rješenje: b) keton

10. Koje racionalno ime ima slijedeća kiselina:

CH3CH(CH3)CH2CH2COOH? a) pentan – kiselina b) pentan – dikiselina c) 4- metil – pentan- kiselina

d) 2 – metil – pentan – kiselina e) heksan – kisel

Rješenje: b) 4- metil – pentan- kiselina

11. Atomi jednog hemijskog elementa imaju slijedeću konfiguraciju:

1s22s22p63s23p3. Utvrdite: a) atomski broj elementa: b) periodu i grupu u kojoj se on nalazi: c) broj valentnih elektrona u atomu tog elementa: d) broj nesparenih elektrona u atomu tog elementa:

Rješenje:

a) Z = 15 b) treća perioda, peta grupa c) 5 d) 3

12. Izračunati količinu molekula H2O u 100g čiste vode, ako je

M(H2O)=18,0 g/mol.

Rješenje: n (H2O) = =

, / = 5, 55 mol

13. Odredite oksidacione brojeve elemenata u slijedećim elementarnim supstancama, jedinjenjima i jonima: a) Cl2, S8, P4 b) NaCl, CaO, Al2O3 c) CH4, CO2, HCl d) SO4

2-, CO32-, MnO4

-

Rješenje: a) (0), (0), (0), b) (+1) (-1), (+2) (-2), (+3)(-2) c) (-4) (+1), (+4) (-2), (+1) (-1) d) (+6) (-2), (+4) (-2), (+7) (-2)

14. Izračunati koliko je grama bezvodnog natrijum – karbonata, Na2CO3

potrebno za pripremanje 500 cm3 rastvora količinske koncentracije 0,5 mol/dm3. Molarna masa natrijum – karbonata je 106g/mol.

Rješenje: c = => n= c x V n (Na2 CO3) = 0,5 mol/dm3 x 0,5dm3 = 0,25 mol m (Na2 CO3) = n x M = 0,25mol x 106g/mol = 26,5g

15. Izračunati koncentraciju H+ jona u rastvoru u kome je koncentracija OH- jona 7, 4 x 10-11 mol/ dm3.

Rješenje: [H+] =

[ ] =

, = 1, 35x 10-4 mol/dm3

16. Zaokružite spojeve molekularnih formula C2H4, C3H8, C10H22, C6H6,

C12H24 koji nisu homolozi metana.

Rješenje: Cn H2n+2

C2H4, C6H6, C12H24

17. Kako se dokazuje dvostruka veza, objasnite na primjeru etilena.

Rješenje: H2C= CH2 + Br2 → Br- CH2- CH2- Br dibrometan

18. Koliko grama fenola reaguje sa 10g NaOH? M(C6H5OH) = 94,0 g/mol; M(NaOH) = 40g/mol

Rješenje: C6H5OH + NaOH → C6H5ONa + H2O 1mol 1mol 94g 40g m(C6H5OH) = 10g = 23,5g

19. Karboksilne kiseline imaju funkcionalnu grupu, koja se zove . . . . . . . . . . . grupa, napišite njenu formulu:

Rješenje: karboksilna, -C=O

| OH

20. Odredite broj protona, neutrona i elektrona u atomu urana .

Rješenje: p+ = 92 n0 = (238-92) = 146 e- = 92

21. Koliko je grama natrijum – hlorida potrebno za pripremanje 500 cm3 rastvora količinske koncentracije 0,2 mola/dm3? Molarna masa NaCl je 58,5g/mol.

Rješenje: n = c x V = 0,2 mola/dm3 x 0,500 dm3

n = 0,1 mol m(Na2CO3) = n x M = 0,1 mol x 58,5g/mol = 5,85g

22. Napišite strukturne formule sledećih ugljikovodonika: a) propana b) 4- metil- 2- pentena c) 1- butina (etilacetilena)

Rješenje:

H H H | | |

a) H - C – C – C – H | | | H H H H CH3 H CH3 | | | |

b) H – C – C = C – C – C – H ( CH3 – CH = CH – CH – CH3 ) | | | | | H H H H H H H | |

c) H – C – C – C ≡ C – H ( CH3 – CH2 – C ≡ CH) | | H H

23. Sagorjevanjem etena na vazduhu nastaju ugljenik (IV) – oksid i voda. Izračunajte koliko bi nastalo CO2 sagorijevanjem 14,0g etena.

Rješenje: H2C = CH2 + 3O2 → 2CO2 + 2H2O 1mol 3mol 2mol 28,0g 88,0g m(CO2) = ,

,14,0 44,0

24. Jezgro atoma nekog elementa sadrži 10 neutrona, a elektronski omotač 9 elektrona. a) koji je to element? b) koliki je atomski broj tog elementa? c) koliki je maseni broj tog elementa?

Rješenje:

a) to je element sa rednim brojem 9, a to je F b) Z = 9 c) Am = 9+10 = 19

25. Relativna atomska masa joda je 127. Kolika je masa molekule tog

elementa izražena u mg? M( J2) = 2x127 = 254g/mol

Rješenje: mf =

mf = /,

mf = 42 ,17 x 10-23g mf = 4,217 x 10-19 mg

26. Zaokružite slovo ispred jedinjenja u kojem je zastupljena jonska veza:

a) NaCl b) CH4 c) CO2 d) O2

Rješenje:

a) NaCl

27. Izračunajte koliku masu NaOH treba odvagati da biste pripremili 0,5 dm3 rastvora NaOH čija je koncentracija 3 mola/dm3? Mr(NaOH) = 40.

Rješenje: n (NaOH) = c x V n (NaOH) = 3 mol/dm3 x 0,5dm3 n (NaOH) = 1,5 mol m (NaOH) = n x M m (NaOH) = 1,5 mol x 40 g/mol m (NaOH) = 60g

28. Ako treći član nekog homolognog niza ima formulu C3H8, onda će sedmi član imati formulu: A: a) C7H14 b) C7H16 c) C7H12 d) C7H7 B: navedite o kojoj grupi ugljikovodika je riječ C: kojom vezom su vezani ti ugljikovodici?

Rješenje: A: b) C7H16 B: riječ je o alkanima C: vezani su jednostrukom kovalentnom σ vezom

29. Odredite molarnu masu elementa, ako je poznato da masi od 28,0g odgovara 2,0 mola ovog elementa.

Rješenje: M=

M= ,,

M= 14,0g/mol 30. Izračunajte procentnu koncentraciju rastvora nastalog rastvaranjem 150g

NaNO3 u 594g C2H5OH.

Rješenje: ω% (NaNO3) = 100%

ω% (NaNO3) = 100% ω% (NaNO3) = 20,16%

PRIMJERI ZADATAKA IZ MATEMATIKEza polagaǌe kvalifikacionog ispita

1. Uprostiti izraz(1

x2 + 11x+ 30+

2x+ 8

x2 + 12x+ 35+

1

x2 + 13x+ 42

)2

· (x+ 1)2 + 12x+ 48

2.

Rjexeǌe: Dati izraz je definisan za svako x ∈ R \ {−7,−6,−5}.Transformacijom izraza dobijamo(

1

x2 + 11x+ 30+

2x+ 8

x2 + 12x+ 35+

1

x2 + 13x+ 42

)2

· (x+ 1)2 + 12x+ 48

2

=

(1

(x+ 5)(x+ 6)+

2x+ 8

(x+ 5)(x+ 7)+

1

(x+ 6)(x+ 7)

)2

· x2 + 14x+ 49

2

=[x+ 7 + (2x+ 8)(x+ 6) + x+ 5]2

(x+ 5)2(x+ 6)2(x+ 7)2· (x+ 7)2

2

=[2(x+ 6) + 2(x+ 4)(x+ 6)]2

2(x+ 5)2(x+ 6)2=

4(x+ 6)2(x+ 5)2

2(x+ 5)2(x+ 6)2= 2.

2. Rijexiti nejednaqinu

2x

3x− 4+ 7 ≥ 3− 5x

8− 6x− 4.

Rjexeǌe: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R\{43}. Daǉe imamo

2x

3x− 4+ 7 ≥ 3− 5x

8− 6x− 4 ⇐⇒ 2x

3x− 4+

3− 5x

2(3x− 4)+ 11 ≥ 0 ⇐⇒

4x+ 3− 5x+ 66x− 88

2(3x− 4)≥ 0 ⇐⇒ 65x− 85

2(3x− 4)≥ 0 ⇐⇒ 5(13x− 17)

2(3x− 4)≥ 0.

Znak izraza13x− 17

3x− 4odredi�emo iz slijede�e tabele.

x ∈(−∞, 17

13

)x ∈

(1713, 43

)x ∈

(43,+∞

)13x− 17 − + +3x− 4 − − +

13x−173x−4

+ − +

1

Prema tome x ∈(−∞, 17

13

]∪(43,+∞)

3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu

x4 − 37x2 + 36 = 0.

Rjexeǌe: Kako je

x4 − 37x2 + 36 = x4 − x2 − 36x2 + 36 = x2(x2 − 1)− 36(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 − 36)

= (x− 1)(x+ 1)(x− 6)(x+ 6),rjexeǌa jednaqine su:

x1 = 1, x2 = −1, x3 = 6, x4 = −6.

4. Rijexiti sistem jednaqina

xy = 100log2 x+ log2 y = 10.

Rjexeǌe: Za x > 0 i y > 0, imamo

log x + log y = 2log2 x + log2 y = 10.

Uvo�eǌem smjena log x = u i log y = v, dobijamo sistem

u + v = 2u2 + v2 = 10

koji je ekvivalentan sa sistemom

u = 2− v4− 4v + v2 + v2 = 10

tj. sau = 2− v

v2 − 2v − 3 = 0.

Rjexeǌa jednaqine v2 − 2v − 3 = 0 su v1 = −1 i v2 = 3.Ako je v = −1 ⇒ u = 3, pa je x = 103 i y = 10−1,a ako je v = 3 ⇒ u = −1, pa je x = 10−1 i y = 103.

Rs =

{(1

10, 1000

),

(1000,

1

10

)}.

2

5. Izraqunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija oxtrog ugla α upravouglom trouglu qije je kateta a = 5 cm i hipotenuza c = 13 cm.Rjexeǌe:Neka su a, b katete pravouglog trougla i α ugao naspram katete a.Primjenom Pitagorine teoreme a2 + b2 = c2 slijedi b2 = 144 ⇔ b = 12.

S obzirom da je

sinα =a

c, cosα =

b

c, tgα =

a

b, ctgα =

b

a,

dobijamo

sinα =5

13, cosα =

12

13, tgα =

5

12, ctgα =

12

5.

3

1. Rijexiti jednaqinu

1

15x− 10− 5− x

27x3 − 54x2 + 36x− 8=

1.2x− 1

18x2 − 24x+ 8.

Rjexeǌe: Data jednaqina je definisana za svako x ∈ R \ {23}. Jednaqinu

rjexavamo na slijede�i naqin:1

15x− 10− 5− x

27x3 − 54x2 + 36x− 8=

1.2x− 1

18x2 − 24x+ 8⇐⇒

1

5(3x− 2)− 5− x

(3x− 2)3−

65x− 1

2(3x− 2)2= 0 ⇐⇒

2(9x2 − 12x+ 4)− 10(5− x)− 5(65x− 1

)(3x− 2)

10(3x− 2)3= 0 ⇐⇒

18x2 − 24x+ 8− 50 + 10x− 18x2 + 15x+ 12x− 10 = 0 ⇐⇒ 13x = 52 ⇐⇒ x = 4.


5− x

x2 − 3x+ 2> 1.

Rjexeǌe: Za svako x ∈ R \ {1, 2} imamo

5− x

x2 − 3x+ 2> 1 ⇔ 5− x

x2 − 3x+ 2−1 > 0 ⇔ 5− x− x2 + 3x− 2

x2 − 3x+ 2> 0 ⇔ −x2 + 2x+ 3

x2 − 3x+ 2> 0.

Znak izraza−x2 + 2x+ 3

x2 − 3x+ 2odredi�emo iz slijede�e tabele.

x ∈ (−∞,−1) x ∈ (−1, 1) x ∈ (1, 2) x ∈ (2, 3) x ∈ (3,+∞)

−x2 + 2x+ 3 − + + + −x2 − 3x+ 2 + + − + +

−x2+2x+3x2−3x+2

− + − + −

Prema tome x ∈ (−1, 1) ∪ (2, 3).


x+ y = 75x · 8y = 512000.

Rjexeǌe: Za svako x, y ∈ R, imamo

4

x+ y = 75x · 8y = 512000

⇐⇒ y = 7− x5x · 87 · 8−x = 512000

⇐⇒

y = 7− x(58

)x=

(58

)3 ⇐⇒ y = 7− xx = 3

⇐⇒ y = 4x = 3

Rs = {(3, 4)}.


log(x+ 2) + log(x− 1) = 1.

Rjexeǌe: Data jednaqina je definisana za svako x ∈ (1,+∞).Jednaqina log(x+2)+log(x−1) = 1 je ekvivalentna sa log[(x+2)(x−1)] = log 10.Tada je x2 − x + 2x − 2 = 10, tj. x2 + x − 12 = 0. Diskriminanta kvadratnejednaqine je D = 49 > 0, pa su rjexeǌa kvadratne jednaqine realna irazliqita. Rjexeǌa te jednaqine su: x1 = −4, x2 = 3. S obzirom na uslovx ∈ (1,+∞) jedino rjexeǌe polazne jednaqine je x = 3.

5. Izraqunatisinα− cosα

2 sinα + 3 cosα,

ako je tgα =1

2.

Rjexeǌe: Kako je tgα = sinαcosα

,

sinα− cosα

2 sinα + 3 cosα=

sinαcosα

− 1

2 sinαcosα

+ 3=

12− 1

2 · 12+ 3

= −1

8.

5

1. U zavisnosti od realnog parametra m rijexiti sistem jednaqina:

(m+ 5)x + (m+ 1)y = 162x + 4y = m+ 1.

Rjexeǌe:Imamo

D =

∣∣∣∣ m+ 5 m+ 12 4

∣∣∣∣ = 2(m+ 9), Dx =

∣∣∣∣ 16 m+ 1m+ 1 4

∣∣∣∣ = (7−m)(m+ 9),

Dy =

∣∣∣∣ m+ 5 162 m+ 1

∣∣∣∣ = (m+ 9)(m− 3).

Za m ∈ R \ {−9} sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexeǌe. Pri tomeje

x =Dx

D=

7−m

2, y =

Dy

D=

m− 3

2,

odnosno Rs ={(

7−m2

, m−32

)}. Za m = −9 je D = 0, Dx = 0 i Dy = 0. Sistem

jednaqina rjexavamo primjenom Gauss-ovog algoritma

−4x − 8y = 162x + 4y = −8

⇔ −4x − 8y = 160 = 0

Stavimo li y = α, (α ∈ R), dobijamo Rs = {(−4− 2α, α)|α ∈ R}


x + 3y = 18xy = 15.

Rjexeǌe:

x = 18− 3y(18− 3y)y = 15

⇐⇒ x = 18− 3y18y − 3y2 = 15

⇐⇒

x = 18− 3yy2 − 6y + 5 = 0

⇐⇒ x = 18− 3yy = 1 ∨ y = 5

Ako je y = 1 ⇒ x = 15, a ako je y = 5 ⇒ x = 3.

Rs = {(3, 5), (15, 1)}.

6


3 · 4x + 1

39x+2 = 6 · 4x+1 − 1

29x+1.

Rjexeǌe: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R. Daǉe imamo

3 · 4x − 6 · 4x · 4 = −1

29x · 9− 1

39x · 92 ⇐⇒ −21 · 4x = −9x

(9

2+ 27

)

⇐⇒(4

9

)x

=3

2⇐⇒

(2

3

)2x

=

(2

3

)−1

⇐⇒ x = −1

2.

4. Rijexiti nejednaqinulog 1

5(x− 1) > −3.

Rjexeǌe: Nejednaqina je definisana za x− 1 > 0, tj. za x ∈ (1,+∞).Nejednaqina je ekvivalentna sa

x− 1 <

(1

5

)−3

⇔ x− 1 < 125.

Rjexeǌe nejednaqine je x ∈ (1, 126).


2 sin(2x+

π

4

)= 1.

Rjexeǌe: Iz jednaqine

sin(2x+

π

4

)=

1

2

slijedi

2xk +π

4=

π

6+ 2kπ ili 2xk +

π

4=

5π

6+ 2kπ, k ∈ Z

pa su rjexeǌa jednaqine

xk = − π

24+ kπ ili xk =

7π

24+ kπ, k ∈ Z.

7

1. Uprostiti izraz(x− 6

18x+ (x− 6)2+

(x+ 12)2 − 108

x3 − 216− 1

x− 6

):x3 + 6x2 + 18x+ 108

x3 − 6x2 + 18x− 108.

Rjexeǌe: Dati izraz je definisan za svako x ∈ R \ {−6, 6}. Transforma-cijom izraza dobijamo(

x− 6

18x+ (x− 6)2+

(x+ 12)2 − 108

x3 − 216− 1

x− 6

):x3 + 6x2 + 18x+ 108

x3 − 6x2 + 18x− 108

=

(x− 6

x2 + 6x+ 36+

x2 + 24x+ 36

(x− 6)(x2 + 6x+ 36)− 1

x− 6

):(x+ 6)(x2 + 18)

(x− 6)(x2 + 18)

=x2 − 12x+ 36 + x2 + 24x+ 36− x2 − 6x− 36

(x− 6)(x2 + 6x+ 36)· (x− 6)

(x+ 6)

=x2 + 6x+ 36

(x+ 6)(x2 + 6x+ 36)=

1

x+ 6.


x + 3y − 7z = 6−3x + 2y + 8z = 9−5x + 9y − 2z = 3.

Rjexeǌe: Mno�eǌem prve jednaqine datog sistema sa 3 i 5 i dodavaǌem,redom, drugoj i tre�oj jednaqini dobijamo ekvivalentan sistem

x + 3y − 7z = 611y − 13z = 2724y − 37z = 33.

Odavde, mno�e�i drugu jednaqinu sa −2411

i dodavaǌem tre�oj imamo

x + 3y − 7z = 611y − 13z = 27

− 9511z = −285

11.

Iz tre�e jednaqine je z = 3. Uvrxtavaǌem vrijednosti z = 3 u drugujednaqinu dobijamo y = 6. Konaqno, iz prve jednaqine imamo x = 9. Dakle,sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexeǌe. Skup rjexeǌa jeRs = {(9, 6, 3)}.


3 log2(x− 1)− 10 log(x− 1) + 3 = 0

8

Rjexeǌe: Data jednaqina je definisana za svako x ∈ (1,+∞). Uvo�eǌemsmjene log(x − 1) = t, dobijamo 3t2 − 10t + 3 = 0. Diskriminanta kvadratnejednaqine je D > 0, pa su rjexeǌa kvadratne jednaqine realna i razliqita.Rjexeǌa te jednaqine su: t1 =

13, t2 = 3. Odatle je x1 = 1 + 3

√10, x2 = 1001.

4. Rijexiti nejednaqinu (4

5

)2x+5

<64

125.

Rjexeǌe: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R. Transformacijomnejednaqine slijedi

(4

5

)2x+5

<64

125⇐⇒

(4

5

)2x+5

<

(4

5

)3

⇐⇒ 2x+ 5 > 3.

Rjexavaju�i posǉedǌu nejednaqinu dobijamo da je rjexeǌe polaznenejednaqine x ∈ (−1,+∞).


cos 2x− cosx+ 1 = 0.

Rjexeǌe:

cos 2x− cosx+ 1 = 0 ⇔ 2 cos2 x− 1− cos x+ 1 = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos =1

2.

Rjexeǌa jednaqine su

xk =π

2+ kπ ili xk =

π

3+ 2kπ, ili xk = −π

3+ 2kπ, k ∈ Z.

9


x− 2

x− 4<

3

2.

Rjexeǌe: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R \ {4}.Transformacijom nejednaqine slijedi

x− 2

x− 4<

3

2⇔ x− 2

x− 4− 3

2< 0 ⇔ 2x− 4− 3x+ 12

2(x− 4)< 0 ⇔ −x+ 8

2(x− 4)< 0.

x ∈ (−∞, 4) x ∈ (4, 8) x ∈ (8,+∞)−x+ 8 + + −x− 4 − + +−x+8x−4

− + −

Prema tome x ∈ (−∞, 4) ∪ (8,+∞)


x + 2y − 3z = 2−2x − y + z = 33x + 3y − 2z = 2.

Rjexeǌe: Mno�eǌem prve jednaqine datog sistema sa 2 i -3 i dodavaǌem,redom, drugoj i tre�oj jednaqini dobijamo ekvivalentan sistem

x + 2y − 3z = 23y − 5z = 7

− 3y + 7z = −4.

Odavde, dodavaǌam druge jednaqine tre�oj imamo

x + 2y − 3z = 23y − 5z = 7

2z = 3.

Iz tre�e jednaqine je z =3

2. Uvrxtavaǌem vrijednosti z =

3

2u drugu

jednaqinu dobijamo y =29

6. Konaqno, iz prve jednaqine imamo x = −19

6.

Dakle, sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexeǌe. Skup rjexeǌa jeRs =

{(−19

6, 29

6, 32

)}.

10

3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja

z =(1− i)2√3− i

.

Rjexeǌe: Kako je

(1− i)2√3− i

=1− 2i− 1√

3− i=

−2i√3− i

·√3 + i√3 + i

=−2i

√3 + 2

4,

onda je

z =1

2− i

√3

2,

pa je Re(z) =12, Im(z) = −

√32.


5x4 − 26x3 + 26x− 5 = 0.

Rjexeǌe: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R.Transformixu�i jednaqinu dobijamo

5x4 − 26x3 + 26x− 5 = 0 ⇐⇒ 5(x4 − 1)− 26x(x2 − 1) = 0

⇐⇒ 5(x2 − 1)(x2 + 1)− 26x(x2 − 1) = 0

⇐⇒ (x2 − 1)(5x2 − 26x+ 5) = 0

⇐⇒ (x− 1)(x+ 1)(5x2 − 25x− x+ 5) = 0

⇐⇒ (x− 1)(x+ 1)[5x(x− 5)− (x− 5)] = 0

⇐⇒ (x− 1)(x+ 1)(x− 5)(5x− 1) = 0

pa su rjexena polazne jednaqine x1 = 1, x2 = −1, x3 = 5, x4 =15.


5x +

(1

2

)x−1

· 10x = 375.

Rjexeǌe: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R. Daǉe imamo

5x +

(1

2

)x−1

· 10x = 375 ⇐⇒ 5x + 2 · 1

2x· 2x · 5x = 375 ⇐⇒

5x = 53 ⇐⇒ x = 3.

11

1. Uprostiti izraz

1

x(x− y)(x− z)− 1

y(z − y)(y − x)+

1

z(z − x)(z − y).

Rjexeǌe: Dati izraz je definisan za x ̸= 0, y ̸= 0, z ̸= 0, x ̸= y, x ̸= z, y ̸= z.Transformacijom izraza dobijamo

1

x(x− y)(x− z)− 1

y(z − y)(y − x)+

1

z(z − x)(z − y)

=yz(z − y) + xz(x− z)− xy(x− y)

xyz(x− y)(x− z)(z − y)

=y(z2 − zy − x2 + xy) + xz(x− z)


=y[−(x− z)(x+ z) + y(x− z)] + xz(x− z)


=y(x− z)(−x− z + y) + xz(x− z)


=(x− z)(−xy − yz + y2 + xz)


=−y(x− y) + z(x− y)

xyz(x− y)(z − y)

=(x− y)(z − y)

xyz(x− y)(z − y)

=1

xyz.


1 <3x+ 13

x+ 8< 2.

Rjexeǌe: Data nejednaqina je definisana za svako x ∈ R\{−8}. Transfor-macijom nejednaqine slijedi

1 <3x+ 13

x+ 8< 2 ⇐⇒ 1 <

3x+ 13

x+ 8∧ 3x+ 13

x+ 8< 2 ⇐⇒

0 <3x+ 13

x+ 8− 1 ∧ 3x+ 13

x+ 8− 2 < 0 ⇐⇒ 0 <

2x+ 5

x+ 8∧ x− 3

x+ 8< 0

12

Znak izraza2x+ 5

x+ 8odredi�emo iz slijede�e tabele.

x ∈ (−∞,−8) x ∈(−8,−5

2

)x ∈

(−5

2,+∞

)2x+ 5 − − +x+ 8 − + +2x+5x+8

+ − +

Prema tome2x+ 5

x+ 8> 0 za x ∈ (−∞,−8) ∪

(−5

2,+∞

),

a znak izrazax− 3

x+ 8odredi�emo iz slijede�e tabele.

x ∈ (−∞,−8) x ∈ (−8, 3) x ∈ (3,+∞)x− 3 − − +x+ 8 − + +x−3x+8

+ − +

Prema tomex− 3

x+ 8< 0 za x ∈ (−8, 3).

Rjexeǌe polazne nejednaqine je x ∈ (−52, 3).


2y − 3x = 22x2 − 3y2 + x− y + 42 = 0.

Rjexeǌe:2y − 3x = 2

2x2 − 3y2 + x− y + 42 = 0⇐⇒

y = 3x2+ 1

2x2 − 3(3x2+ 1

)2+ x− 3x

2− 1 + 42 = 0

⇐⇒ y = 3x2+ 1

2x2 − 27x2

4− 9x− 3− x

2+ 41 = 0

⇐⇒ y = 3x2+ 1

−19x2

4− 19x

2+ 38 = 0

⇐⇒ y = 3x2+ 1

x2 + 2x− 8 = 0

Rjexeǌa jednaqine x2 + 2x− 8 = 0 su x1 = −4 i x2 = 2, pa je y1 = −5 i y2 = 4.Skup rjexeǌa je Rs = {(−4,−5), (2, 4)}.


√324x−6 = 0.25 · 1282x−3.

13

Rjexeǌe: Jednaqina je definisana za svako x ∈ R. Daǉe imamo√324x−6 = 0.25 · 1282x−3 ⇐⇒ 25(2x−3) = 2−2 · 27(2x−3) ⇐⇒

210x−15 = 214x−23 ⇐⇒ 10x− 15 = 14x− 23 ⇐⇒ x = 2.

5. Izraqunati: (a) sin5π

6, (b) sin

81π

4.

Rjexeǌe:

(a) sin5π

6= sin(π − π

6) =

1

2,

(b) sin81π

4= sin

(π4+ 20π

)= sin

π

4=

√2

2.

14

Documents

ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE - tf.unibl.org · ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE 1. Napišite elektronsku konfiguraciju broma, čiji je atomski broj Z= 35. Rješenje: