1

Zadatak 081 (Gimnazijalka, gimnazija)

Nad stranicom AB jednakostraničnog trokuta ABC konstruirana je polukružnica koja dira iznutra ostale dvije stranice trokuta. Ako je duljina stranice trokuta ABC jednaka 16 cm, koliki je polumjer polukružnice?

. 4 . 2 . 8 . 4 3A cm B cm C cm D cm⋅

Rješenje 081 Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice, tri kuta i tri vrha. Trokute dijelimo:

• prema odnosu među duljinama stranica

raznostraničan

jednakokračan

jednakostraničan

• prema kutovima

šiljastokutan

tupokutan

pravokutan.

Jednakostraničan trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Za šiljaste kutove α i β pravokutnog trokuta vrijedi:

090 .α β+ =

Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze.

10sin 30

2, , .

a ca b a b a d b c

b d= ⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅

60°°°°

60°°°°60°°°° 30°°°°

d r

a

aa

N

S

C

A B Sa slike vidi se:

2

16 , 8 , ,2

aAB BC CA a AS SB SN r AN d= = = = = = = = =

0 060 , 30CAB ABC BCA ASN∠ = ∠ = ∠ = ∠ =

Uočimo pravokutan trokut ASN. Tada je:

10sin 30 2 8 /2 : 4.

228

8

AN dd d d

AS= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Uporabom Pitagorina poučka dobije se duljina polumjera r polukružnice. 2

2 2 2 2 2 2 2 2 28 4 64 16

2

aSN AS AN r d r r= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 248 48 48 16 3 16 3 4 3 ./r r r r r r cm⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Odgovor je pod D.

Vježba 081

Nad stranicom AB jednakostraničnog trokuta ABC konstruirana je polukružnica koja dira iznutra ostale dvije stranice trokuta. Ako je duljina stranice trokuta ABC jednaka 32 cm, koliki je polumjer polukružnice?

. 8 . 4 . 16 . 8 3A cm B cm C cm D cm⋅

Rezultat: D. Zadatak 082 (Mac, tehnička škola)

Razlika središnjih kutova dvaju kružnih lukova jednakih duljina je 30º. Ako su polumjeri jednaki 10 cm i 8 cm, izračunaj središnje kutove tih lukova.

Rješenje 082 Ponovimo! Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r.

lαααα

r

r

S

A

B

Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180.

rl

πα α

⋅= ⋅

00 30300 2 12 1302 11 1 2 2 1 1 2 2

1 2 0 0 0 0180 180 180 18

00

/0

18r r r rl l

α αα αα α

π α π α π α π α

π

= += +− =

⇒ ⇒ ⇒

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

3

( )101

0 030 30 02

82

1 2 1 10 8 301 110 81 1 1 1 1 1r r

r

r

α α α αα α

α α α α

= + = +⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ +

=

=⇒

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

0 0 010 240 8 10 8 240 2 2401 1 1 1 1α α α α α⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 20 0

2 240 120 .1 1α α⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo α2. 0

30 0 0 02 1 30 120 150 .2 201201

α αα α

α

= +⇒ = + ⇒ =

=

l2

l1

l1 = l2

αααα2αααα1

AB C

Vježba 082

Razlika središnjih kutova dvaju kružnih lukova jednakih duljina je 30º. Ako su polumjeri jednaki 5 cm i 4 cm, izračunaj središnje kutove tih lukova.

Rezultat: 120º, 150º. Zadatak 083 (Antonijo, tehnička škola)

Kolika je mjera kuta α prikazanoga na slici ako je duljina dužine AB jednaka polumjeru kružnice?

αααα

S

C

B

A

0 0 0 0

. 25 . 30 . 40 . 45A B C D

Rješenje 083 Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice, tri kuta i tri vrha. Jednakostraničan trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice. Kut kojem je vrh na kružnici, a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut. Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni.

4

Središnji kut β nad lukom kružnice jednak je dvostrukom obodnom kutu α nad tim istim lukom.

ββββαααα

1

22

β α α β= ⋅ ⇒ = ⋅

ββββr

rr

αααα

S

C

B

A

Sa slike vidi se:

0, 60AB BS AS r BSA β= = = ∠ = =

Kut α je obodni kut nad lukom �AB , a kut β je središnji kut nad istim lukom. Budući da je trokut ABS jednakostraničan trokut, mjera njegovih kutova je 60º pa vrijedi:

060 1 0 0

60 30 .1 22

βα α

α β

=

⇒ = ⋅ ⇒ == ⋅

Odgovor je pod B.

Vježba 083 Kolika je mjera kuta β prikazanoga na slici?

5

ββββ

20°°°°

S

C

B

A

0 0 0 0

. 25 . 30 . 40 . 45A B C D Rezultat: C. Zadatak 084 (4A, 4B, TUPŠ)

Polumjer prednjega kotača na traktoru je 30 cm, a polumjer stražnjega kotača je 55 cm. Za koliko je opseg stražnjega kotača veći od opsega prednjega kotača? Koliki je put prešao traktor ako je prednji kotač napravio 50 okretaja više nego stražnji kotač? Rezultate napišite u metrima.

Rješenje 084 Ponovimo!

1 10 .0m cm= Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Opseg kruga polumjera r iznosi: 2 .O r π= ⋅ ⋅

Računamo za koliko je opseg stražnjega kotača veći od opsega prednjega kotača.

( )2 2 22 1 2 130

55O O R r O

r cm

R cO R r

mπ π π− = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ − = ⋅

=

=⋅ − ⇒ ⇒

( )2 55 30 157.08 1.57 .2 1 2 1O O cm cm O O cm mπ⇒ − = ⋅ ⋅ − ⇒ − = ≈

Neka je n broj okretaja koje napravi stražnji (veći) kotač. Tada prednji (manji) kotač napravi n + 50 okretaja pa možemo napisati jednadžbu:

( ) ( )50 2 50 22 1n O n O n R n rπ π⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )2 51

/0 502

2n R n r n R n rπ ππ

⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = +⋅

⋅⋅ ⇒

( )50 50 50n R n r r n R n r r n R r r⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

( )50 50 30

50 60.5

30

5 5

1

5 30/

r r cm

R cmR

cmn R r r n n n

R r cmr cm

=⋅

=

⋅ ⋅⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ =

− −−

Stražnji kotač napravi 60 okretaja, a prednji 110, dakle, 50 okretaja više. Put koji je traktor prešao iznosi 207.35 m:

• 2 60 2 55 20734.51 20760

55.352n O

n

R cn R m cm m

mcπ π

=

=⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ≈

• ( ) ( ) ( )60

350 50 2 60 50 2 301 0

n

r cmn O n r cmπ π+ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅

=⋅ =

=+ ⋅

6

20734.51 207.35 .cm m= ≈

Vježba 084

Polumjer prednjega kotača na traktoru je 3 dm, a polumjer stražnjega kotača je 5.5 dm. Za koliko je opseg stražnjega kotača veći od opsega prednjega kotača? Koliki je put prešao traktor ako je prednji kotač napravio 50 okretaja više nego stražnji kotač? Rezultate napišite u metrima.

Rezultat: 1.57 m, 207.35 m. Zadatak 085 (4A, 4B, TUPŠ)

Opseg kruga je 8 · π cm. Kolika mu je površina? 2 2 2 2

. 4 . 8 . 16 . 32A cm B cm C cm D cmπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 085

Ponovimo!

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Opseg kruga polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅ Ploština kruga polumjera r iznosi:

2 .P r π= ⋅

Iz zadanog opsega kruga izračunamo njegov polumjer.

[ ]1

2 2 8 /2

2 8 2 8 4O r r O rO r r cmπ π π π πππ

π= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅⋅

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

Površina kruga iznosi:

( )4 2 24 16 .2

r cmP cm P cm

P rπ π

π

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅

Odgovor je pod C.

Vježba 085

Opseg kruga je 4 · π cm. Kolika mu je površina?

2 2 2 2. 4 . 8 . 16 . 32A cm B cm C cm D cmπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: A.

7

Zadatak 086 (Sanja, srednja škola)

Automobil vozi po ekvatoru, a na visini od 8 m prati ga helikopter. Koliko je dulji put što ga prijeđe helikopter od puta što ga prijeđe automobil ako jednom obiđu Zemlju?

Rješenje 086

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Opseg kružnice polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅

Označimo polumjer Zemlje (ekvator) u metrima oznakom R. Kada jednom obiđu Zemlju:

• automobil prijeđe 21s R π= ⋅ ⋅ metara

• helikopter prijeđe ( )2 82s R π= ⋅ + ⋅ metara.

Razlika je

( )2 8 2 2 16 22 1s s s s R R s R Rπ π π π π∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

16 16 50.2 2 .2 7s s s mR Rπ ππ π⇒ ∆ = + ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⇒ ∆ =⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Uočimo da razlika puta ne ovisi o polumjeru Zemlje. Zato bi ta razlika bila ista kada bi automobil vozio po kružnici bilo kojeg polumjera R, a na visini od 8 m pratio ga helikopter. Poopćenje!

h

R

( )( )

212 2

22 12

s ss R

s R RR h

s hs

ππ π

π

= ⋅ ⋅⇒ ⇒ ∆ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ + ⋅∆ = −

2 2 2 2 2 .2 2s R h R hR Rs s hπ ππ π π π π⋅⇒ ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = + ⋅ ⋅ ⇒ ∆ =⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ −

Vježba 086

Automobil vozi po ekvatoru Mjeseca, a na visini od 8 m prati ga helikopter. Koliko je dulji put što ga prijeđe helikopter od puta što ga prijeđe automobil ako jednom obiđu Mjesec?

Rezultat: 50.27 m.

8

Zadatak 087 (Mala rundlava ☺☺☺☺, TUPŠ)

Na skici su prikazane tri sukladne male kružnice koje se međusobno dodiruju i koje iznutra dodiruju veliku kružnicu sa središtem S. Izračunajte polumjer velike kružnice ako je polumjer male 15 cm.

Rješenje 087

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Oko svakog trokuta može se opisati kružnica. Njezino središte je sjecište triju simetrala stranica trokuta. Jednakostraničan trokut ima tri jednaka kuta α = 60° i tri jednake stranice.

a

a

a

R

S

Za jednakostraničan trokut vrijedi:

3,

3

aR

⋅=

gdje je R polumjer opisane kružnice trokutu. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

9

rr

rr

r r

r

D

S

C

BA

V

E

Sa slike vidi se:

2 2 15 30 , 15 polumjer velike kružnice,AB BC CA r CD r SD R= = = ⋅ = ⋅ = = = =

rr

rr

r r

r

D

S

C

BA

V

E

10

Uočimo da je trokut ABC jednakostraničan sa duljinom stranice 2 · r. Točka S je središte opisane kružnice trokutu ABC čiji polumjer iznosi:

2 3 2 15 3 2 3

3 3

15

3

rSC SC SC

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒

2 5 3 10 3.SC SC⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Tada je polumjer velike kružnice jednak:

( )10 3 15 15 10 3R SD R SC CD R R cm= ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⇒ = + ⋅ ⇒

( )5 3 2 3 .R cm⇒ = ⋅ + ⋅

Vježba 087

Na skici su prikazane tri sukladne male kružnice koje se međusobno dodiruju i koje iznutra dodiruju veliku kružnicu sa središtem S. Izračunajte polumjer velike kružnice ako je polumjer male 15 cm.

Rezultat: ( ) ( )6 4 3 2 3 2 3 .R cm cm= + ⋅ = ⋅ + ⋅

Zadatak 088 (Larisa, gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 4 cm, a površina 36 · π cm2. Nađite zbroj promjera pripadnih kružnica.

Rješenje 088

Ponovimo!

( ) ( ) , ,2

.2

1

n a c a d b ca b a b a b n

b d b d

⋅ + ⋅− = − ⋅ + = + =

⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Promjer kružnice:

2 .d r= ⋅

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte), manji krug polumjera r i

11

veći polumjera R, tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu, a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac. Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 ,2P R r π= − ⋅

gdje je R > r.

r1

r2

d

A

Sa slike vidi se

.2 1r r d= +

1.inačica

Budući da je zadana površina kružnog vijenca, vrijedi:

( ) ( )2 2 2 2 2 236 36 36 362 1 2 1 2 /1 2: 1P P r r r r r rπ π π π− = ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ − = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )36 362 1 2 1 1 11 12 2r r dr r r r r d r r r= +⇒ − ⋅ + = ⇒ ⇒ + − ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( ) [ ] ( )36 36 4 362 1 41 1 2 1 2 1d r r d r r rr r d r⇒ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ += ⇒ ⋅ =− ⇒

( )4 36 9 9 2 2 18 .2 1 2 1 2/ : 4 / 21 2 1r r r r r r r r cm⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ ⋅ + ⋅ =⋅

2.inačica

Budući da je zadana površina kružnog vijenca, vrijedi:

( ) ( )2 2 2 2 2 236 36 36 362 1 2 1 2 /1 2: 1P P r r r r r rπ π π π− = ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ − = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )36 362 1 2 1 1 12 1 11r r r r r d r rr d rr d= +⇒ − ⋅ + = ⇒ ⇒ + − ⋅ + + = ⇒

( ) ( ) ( ) [ ] ( )2 36 2 36 44 2 4 361 11 1 1d r d d r d rr r d⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ ⇒ ⋅ +− ⋅ == ⇒

( ) / : 44 2 4 36 2 4 9 2 9 4 2 51 1 1 1r r r r⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 25

2 5 .1 1 2r r⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo r2.

5 5 4 5 8 134 .2 1 2 2 2 22

5

22

42

11 2

r r d r r rr

d

r= +

= + ⇒ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = =

=

⇒

Zbroj promjera iznosi:

12

25 13 5 13

2 2 2 2 5 13 18 .1 2 222 2 2

r r cm⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

Vježba 088

Širina kružnog vijenca je 0.4 dm, a površina 36 · π cm2. Nađite zbroj promjera pripadnih kružnica.

Rezultat: 18 cm. Zadatak 089 (Larisa, gimnazija)

Koliku površinu možemo zagraditi ako od 100 m žice napravimo kružnicu?

Rješenje 089

Ponovimo! 2 2

2 .a a

b b

=

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Opseg kružnice polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅ Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Ploština kruga polumjera r iznosi:

2 .P r π= ⋅ Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Budući da od žice radimo kružnicu, opseg kružnice jednak je duljini žice. 1

/2

2 2 2 .2

OO r r O r O rπ

πππ π= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

⋅⋅

⋅

Površina koju možemo zagraditi iznosi:

2 2 2 22

22 44 24

O O O OP r P P P Pππ π π

π ππ π

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

[ ]( )

2100 2795.77 .

4100

mPO m P m

π⇒ ⇒ = ⇒ =

⋅=

Vježba 089

Koliku površinu možemo zagraditi ako od 0.1 km žice napravimo kružnicu?

Rezultat: 795.77 m2. Zadatak 090 (Larisa, gimnazija)

Vodoskok kružna oblika promjera 3 m okružen je travnjakom širine 1 m. Odredite površinu travnjaka.

Rješenje 090

Ponovimo!

, , .1

,2 2

2n a c a d b c a a a b a b

nb d b d b n n nb

⋅ + ⋅ −= + = = − =

⋅

13

( ) ( )2 2.a b a b a b− = − ⋅ +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Promjer kružnice:

2 .d r= ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte), manji krug polumjera r i veći polumjera R, tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu, a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac. Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 ,2P R r π= − ⋅

gdje je R > r.

d

r

R

1.inačica

Budući da je zadan promjer vodoskoka kružnog oblika, polumjer iznosi: 3

2 3 2 3 / : 2 .1 1 1 2r r r m⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vodoskok je okružen travnjakom širine 1 m pa je polumjer vanjske kružnice jednak

3 3 1 3 2 51 .2 1 2 2 2 22 2 1 2

3

12

1 2r r d r r m

d

rr

r= +

= + ⇒ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

=

Površina travnjaka jednaka je površini kružnog vijenca.

( )2 2

5 32 22 1 2 1 2 2

P P P P r r P m mπ π= − ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒

25 9 25 9 162 2 2 2

4 4 4 4P m m P m P mπ π π

−⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

2 2.

16

44P m P mπ π⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

2.inačica

Budući da je zadan promjer vodoskoka kružnog oblika, pišemo:

2 3 .1r m⋅ =

Vodoskok je okružen travnjakom širine d pa je polumjer vanjske kružnice jednak

14

.2 1r r d= +

Površina travnjaka jednaka je površini kružnog vijenca.

( ) ( ) ( )2 1 2 1

2 22 1 2 1P P P P r r P r r r rπ π= − ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒− + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 12 1 1 1 1P r d r r dr r d rr P d r drπ π⇒ ⇒ = + − ⋅ + + ⋅ ⇒ == ++ ⋅ ⋅ ⋅− + ⇒

( ) ( ) 22 1 3 1 4 .1

1

2 31P d r d P P m

d

rπ π π

=

⋅ =⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 090

Vodoskok kružna oblika promjera 300 cm okružen je travnjakom širine 10 dm. Odredite površinu travnjaka.

Rezultat: 4 · π m2. Zadatak 091 (4B – dm, TUPŠ)

Koliki je opseg kružnice koja je upisana u kvadrat čija je stranica duljine 6 cm?

. 3 . 6 . 9 . 12A cm B cm C cm D cmπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 091

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Opseg kružnice polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite.

r

r

a

a

S

Sa slike vidi se

2 r a⋅ = pa je opseg kružnice jednak

[ ] [ ]2 62 6 .r aO r O a cma O cmπ π π= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅=⇒⋅ =

Odgovor je pod B.

Vježba 091

Koliki je opseg kružnice koja je upisana u kvadrat čija je stranica duljine 9 cm?

. 3 . 6 . 9 . 12A cm B cm C cm D cmπ π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Rezultat: C.

15

Zadatak 092 (Matej, gimnazija)

Zbroj obodnog i središnjeg kuta nad istom tetivom iznosi 70º 9'. Koliko stupnjeva i minuta ima veći obodni kut nad istom tetivom?

Rješenje 092

Ponovimo!

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Tetiva je spojnica dviju točaka kružnice. Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut. Svaki kut s vrhom u središtu kružnice čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo središnji kut. Središnji kut nad nekim kružnim lukom dva je puta veći od obodnog kuta nad istim lukom.

tetiva

ββββ = 2 ⋅⋅⋅⋅ αααα

αααα = 1

2 ⋅⋅⋅⋅ ββββ

ββββ

αααα

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri stranice. Četverokut kojemu se može opisati kružnica zove se tetivni četverokut. Zbroj mjera nasuprotnih kutova tetivnog četverokuta jednak je 180º.

2 ⋅⋅⋅⋅ γγγγ 2 ⋅⋅⋅⋅ αααααααα

γγγγγγγγαααα

2 2 360 / :2 2 360 180 .2α γ α γ α γ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + =

� � �

Računamo mjeru traženog obodnog kuta.

16

ββββ

γγγγ

αααα

70 9 '2 70 9 ' 3 70 9 ' 3 70 9 ' 23 23'.

2/ : 3

α βα α α α α

β α

+ =⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

= ⋅

�� � � �

Sada je:

180 180 180 23 23' 156 37 '.α γ γ α γ γ+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =� � � � �

Vježba 092

Zbroj obodnog i središnjeg kuta nad istom tetivom iznosi 72º. Koliko stupnjeva i ima veći obodni kut nad istom tetivom?

Rezultat: 156º. Zadatak 093 (Dubravko, srednja škola)

Polumjer ekvatora je približno 6370 km. Koliko je dug kružni luk na ekvatoru, ako mu pripada središnji kut od: a) jednog stupnja b) jedne kutne minute?

Rješenje 093

Ponovimo!

11 60 ' 1'

60, .= =

��

Ekvator je zamišljena crta na površini nebeskog tijela koja je jednako udaljena od obaju polova. Ekvator dijeli površinu na sjevernu i južnu polutku.

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r.

17

lαααα

r

r

S

A

B

Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( )180

.r

lπ

α α⋅

= ⋅�

a)

6370 63701 111.18

1.

1801 80

r km kmll m

rk

πα

α

π⋅=

= ⋅⇒ ⇒ = =⋅ ⋅

=

�

���

b) 6370

6370 11.853 .1

601' 186

10

80 0

rl

r kmkm

l kmα

αππ

=⋅

⇒⋅

= ⇒ = ⋅ =⋅= =

�

��

�

Vježba 093

Polumjer ekvatora je približno 6370 km. Koliko je dug kružni luk na ekvatoru, ako mu pripada središnji kut od 10º?

Rezultat: 1111.77 km. Zadatak 094 (Dubravko, srednja škola)

Geografska širina Zagreba je 45º 48' 54''. Kolika je udaljenost Zagreba od ekvatora? (polumjer Zemlje r = 6370 km)

Rješenje 094

Ponovimo!

1, ,

11 60 ' 1 3600 '' 1' 1''

60 3600, .= = = =

��� �

Ekvator je zamišljena crta na površini nebeskog tijela koja je jednako udaljena od obaju polova. Ekvator dijeli površinu na sjevernu i južnu polutku.

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r.

18

lαααα

r

r

S

A

B

Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( )180

.r

lπ

α α⋅

= ⋅�

ZG

e k v a t o r

αααα

63706370

48 544545 48 '54 ''

60 3600

r kmr km

αα

==

⇒ ⇒= + +=

����

6370 6370

45 0.8 0.015 45.815 180

r k rml

r km

α α

πα

= =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= + +

⋅=

=⋅

� � � ��

637045.815 5093.60 .

180

kml km

π⋅⇒ = ⋅ =

�

�

Vježba 094

Geografska širina Bjelovara je 45º 53' 56''. Kolika je udaljenost Bjelovara od ekvatora? (polumjer Zemlje r = 6370 km)

Rezultat: 5102.92 km. Zadatak 095 (4B, TUPŠ)

Zec trči po ekvatoru, a na visini od 10 m prati ga sokol. Koliko je dulji put što ga prevali sokol od puta što ga prevali zec dok jednom obiđu Zemlju?

Rješenje 095

Ponovimo!

19

Ekvator je zamišljena crta na površini nebeskog tijela koja je jednako udaljena od obaju polova. Ekvator dijeli površinu na sjevernu i južnu polutku.

Opseg kružnice polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅ Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka je: • r polumjer Zemlje (ekvatora) izražen u metrima • r + 10 polumjer kružnice koju obleti sokol.

Računamo broj metara koji: • pretrči zec

21O r π= ⋅ ⋅

• preleti sokol

( )2 10 .2O r π= ⋅ + ⋅

Tada razlika putova koje prevale sokol i zec iznosi:

( )2 10 2 2 20 22 1 2 1O O r r O O r rπ π π π π− = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ − = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

[ ]202 2 3.201 42 1 2 1O r O OrO π π πππ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ≈⇒ − = + ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ ⇒

20 3.14 62.8 .2 1 2 1O O O O m⇒ − = ⋅ ⇒ − =

Uočimo da ta razlika ne ovisi o polumjeru r.

Vježba 095

Automobil vozi po ekvatoru, a na visini od 8 m prati ga zrakoplov. Koliko je dulji put što ga prijeđe zrakoplov od puta što ga prijeđe automobil ako jednom obiđu Zemlju?

Rezultat: 50.24 m. Zadatak 096 (Linda, geodetska škola)

Neka je ABCD pravokutnik, a k je kružnica sa središtem u A kroz C. Koliko je duga tetiva

?EF

20

15

k

E

F

C

A B

D

. 2 37 13 . 2 20.25 . 50 . 44 . 25A B C D E⋅ ⋅ ⋅

20

Rješenje 096

Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja odgovara toj stranici. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Ploština pravokutnog trokuta duljina kateta a i b izračunava se po formuli:

2.

a bP

⋅=

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta. Dijagonala pravokutnika je dužina koja spaja dva njegova nesusjedna vrha. Pravokutnik ima dvije dijagonale i one su jednakih duljina. Ako je a duljina pravokutnika, b njegova širina, formula za duljinu dijagonale glasi:

2 2.d a b= +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Dužina koja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva. Simetrala dužine je pravac okomit na dužinu te prolazi njezinim polovištem. Svaka točka na simetrali jednako je udaljena od rubnih točaka dužine. Dužina i njezina simetrala zatvaraju pravi kut. Simetrala svake tetive kružnice prolazi središtem te kružnice.

t

2

t

2

s

k

S

21

vt

dr

ra = 20

b = 15

k

N

E

F

C

A

B

D

Sa slike vidi se:

20 , 15 , , ,AB DC a AD BC b AC BD d AN v EF t= = = = = = = = = =

,2

tEN NF AE AC AE r= = = = =

Polumjer kružnice k jednak je dijagonali pravokutnika ABCD.

2 2 2 220 15 400 2252 2

r d

r a b r r

d a b

=⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

= +

625 25.r r⇒ = ⇒ =

vt

dr

ra = 20

b = 15

k

N

E

F

C

A

B

D

Ploštinu pravokutnog trokuta ABD možemo izračunati na dva načina i tako naći duljinu visine v.

2

2 2 2 2

2

BD ANP

BD AN AB AD d v a b

AB ADP

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

⋅=

20 1512.

2 2 2/

5

2

d

d v a b a bv v v

d

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ =⋅ =

22

vt

dr

ra = 20

b = 15

k

N

E

F

C

A

B

D

Uočimo pravokutan trokut AEN i uporabimo Pitagorin poučak.

2 22 2 2 2 2 2

2 2/

2t tEN AE AN r v r v= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 2 2 2 2 2 2 22 2 25/ 12

2 22

t tr v r v t r v t⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ −⋅ ⇒

2 625 144 2 481 2 37 13.t t t⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 096

Neka je ABCD pravokutnik, a k je kružnica sa središtem u C kroz A. Koliko je duga tetiva

?EF

20

15

k F

E C

A B

D

. 2 37 13 . 2 20.25 . 50 . 44 . 25A B C D E⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: A.

23

Zadatak 097 (Linda, geodetska škola)

Kolika je duljina veće stranice pravokutnika?

1

2 5

. 2 5 . . 2.5 . 5 . 2 52

A B C D E− +

− + ⋅

Rješenje 097

Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r.

( ) ( ) ( ), ,2 22 2 2 2

2 .2n n n

a b a a b b a b a a b b a b a b+ = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅

, , .a b a b a b a b

a b a bn n n n n n

− +⋅ = ⋅ − = + =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

24

r

r

R

R

R

R

1

Sa slike vidi se: 1

2 2 2 1 4 2 1 4 2 1 22

/ : 2R r R R r R r R r⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒

12 .

2r R⇒ = − ⋅

r

R

1

2

1

2

1

2

1

2

r

R

1

Uočimo pravokutan trokut (žuta boja) i uporabom Pitagorina poučak dobije se:

( )2 2

1 12

2 2R R r r+ = + + + ⇒

2 21 1 1 12 2 2 2

2 2 22 2 2 2

R R R R r r r r⇒ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⇒

2 22

1 1 1 12 2 2 22

4 42R R R R r r r r⇒ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⇒

1 12 2 2 22

4 4R R R R r r r r⇒ + + = + ⋅ ⋅ + + + + ⇒

2 21 12 2

4 4

2 22 2R R r r rR R r R R r r r r⇒ + = + ⋅ ⋅ + + + ⇒ = ⋅ ⋅ + ++ ++ ⇒

22 2 .R R r r r⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ +

Iz sustava jednadžbi izračunamo R.

25

meto1

22

da

zamje e22

n2

r R

R R r r r

= − ⋅⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ + ⋅ +

21 1 1

2 2 2 2 22 2 2

R R R R R⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⇒

( )2

1 1 1224 2 2 2 2 2

2 2 2R R R R R R⇒ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒

1 1 12 24 2 2 4 2

42

2 2R R R R R R⇒ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒

1 12 24 2 2 4 2

4 2R R R R R R⇒ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒

2 1 12 2 2 24 4 8 2 4 4 8 2

4 2

2

4 2R R R R R R R R R R R R⇒ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒

1 1 1 12 2 2 24 4 8 2 4 4 8 2

2 2 2 2R RR R R R R R R R R R⇒ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒

1 12 2 2 20 4 4 8 2 0 4 6 1 4 6 1 0

2 2R R R R R R R R⇒ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒

4 , 6 , 12

4 6 1 0 24

4 , 6 , 11,2 2

a b c

R Rb b a c

a b c Ra

= = − =

⋅ − ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = − = =

⋅

( ) ( )2

6 6 4 4 1 6 36 16 6 201,2 1,2 1,22 4 8 8

R R R− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

( )2 3 56 4 5 6 4 5 6 2 51,2 1,2 1,2 1,28 8 8 8

R R R R⋅ ±± ⋅ ± ⋅ ± ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

( ) n3 5

13 5 13 5 3 54 .1,2 1,2 4 43 52 4

ema smisla2

8

R

R R R

R

+= >⋅ ± ± −

⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ =−

=

Sada r iznosi:

24

3 53 5 3 5 3 51 1 14 2

2 4 2 2 212

2

R

r r r

r R

−=

− − −⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⇒

= − ⋅

( )1 3 5 1 3 5 2 5.

2 2 2r r r

− − − + − +⇒ = ⇒ = ⇒ =

26

a

r1

2

1

2

1

2

1

2

r1

Duljina a veće stranice pravokutnika je:

1 1 1 11 2 1 2 2

2 2

5

2 2

2

2a r r a a rr r= + + + + + ⇒ = + ⋅ + ⇒ =

−=⇒

++ ⋅ ⇒

( )2 5 2 5

2 2 2 2 2 5 2 2 52

22

a a a a− + − +

⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + − + ⇒ = − + ⇒

5 5.2 2a a⇒ = + ⇒ =−

Odgovor je pod D.

Vježba 097

Kolika je ploština pravokutnika?

1

2 5

. 2 5 . . 2.5 . 5 . 2 52

A B C D E− +

− + ⋅

Rezultat: D.

27

Zadatak 098 (Linda, geodetska škola)

Kolika je obojena površina?

1

11

( )2

. 1 . 1 . 1 . 3 2 2 1 . 14 2

A B C D Eπ

π π π+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

Rješenje 098

Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Poluopseg trokuta ako su mu poznate duljine stranica a, b, c.

2.

a b cs

+ +=

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut. Sukladne stranice su kraci, a treća stranica zove se osnovica ili baza trokuta. Ploština jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli

, .2 2

b va va bP P⋅⋅

= =

Ploština pravokutnog trokuta duljina kateta a i b izračunava se po formuli:

2.

a bP

⋅=

Ploština trokuta ako su mu poznate duljine stranica a, b, c i duljina polumjera r upisane kružnice.

.2

,a b c

P r s s+ +

= ⋅ =

Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. Drugi poučak sukladnosti (S – K – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih.

28

Treći poučak sukladnosti (K – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici. Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Ploština kruga polumjera r iznosi:

2 .P r π= ⋅ Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( ) ( ) ( ), ,2 2 2

.a c a c

a a a b a b a bb d b d

⋅⋅ = = − ⋅ + = −

⋅

( )2 2 2

21

, .n

a b a a b b n− = − ⋅ ⋅ + =

kr

1 1

1

N

S

C

T BA

D

Sa slike vidi se:

2 , 1AB DC AT TB DN NC AD TN BC= = = = = = = = =

2 ,DT TC SN r= = =

Uočimo jednakokračne pravokutne trokute ∆ATD i ∆TBC. Oni su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih. Duljinu hipotenuze │DT│ izračunamo pomoću Pitagorina poučka.

2 2 2 2 2 22 21 1 1 1 2DT AD AT DT DT DT= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒

29

/2

2 2.DT DT⇒ = ⇒ =

Dakle, vrijedi:

2.DT TC= =

Poluopseg trokuta TCD iznosi:

( )2 2 12 2 2 2 2 2

2 2 2 2

TC CD DTs s s s

⋅ ++ + + + ⋅ += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

( )2

2

2 12 1.s s

⋅ +⇒ = ⇒ = +

Površina trokuta TCD može se izračunati na dva načina.

polumjer upisane kružnice2

2,

CD TNCD TNP

r s

P r s r

⋅⋅=

⇒ ⋅ =

= ⋅ −

⇒

( ) ( )2 1 1

2 2 2 2 1 2 1

1 2/

2

CD TN CD T

s

Nr s r r r

s

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ +⋅

( )

racionalizacija

nazivnika

2 1 2 11 122 1 2 1 2 1 2 1

r r r− −

⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒+ + −

−

2 1 2 12 1.

2 1 1r r r

− −⇒ = ⇒ = ⇒ = −

−

Površina obojenog dijela jednaka je zbroju površina pravokutnih trokuta ∆ATD i ∆TBC te površine kruga k polumjera r.

2

2 2

AT AD TB BCP P P P P r

ATD TBC kπ

⋅ ⋅= + + ⇒ = + + ⋅ ⇒

( ) ( )2 21 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 12 2 2 2

P Pπ π⋅ ⋅

⇒ = + + − ⋅ ⇒ = + + − ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1.P P Pπ π π⇒ = + − ⋅ + ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ +

Odgovor je pod D.

Vježba 098

Kolika je bijela površina?

1

11

30

( )2

. 1 . 1 . 1 . 2 2 3 1 . 14 2

A B C D Eπ

π π π+ + ⋅ ⋅ − + ⋅ +

Rezultat: D. Zadatak 099 (Linda, geodetska škola)

(A circle k is inscribed into a quarter circle of radius 6 as shown on the right. What is the radius of k?) Krug k je upisan u četvrtinu kruga polumjera 6 kako je prikazano na slici. Koliki je polumjer kruga k?

( )6 2 3 2

. . . 2.5 . 3 . 6 2 12 2

A B C D E− ⋅

⋅ −

k

R = 6

Rješenje 099

Ponovimo!

( ) 2 .2 2

,2

a b a a b b a b a b− = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

31

r

r

r

r

xD

A

C

B

O

S

Sa slike vidi se:

, , 6OA OC SA SC SD SB r OD x OB R= = = = = = = = =

Za duljinu │OB│ vrijedi:

[ ]62OB OD SD SB R x r r R x r R= + + ⇒ = + + ⇒ + ⋅ ⇒ == ⇒

6 2 2 6 6 2 .x r x r x r⇒ = + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅

r

r

r

r

xD

A

C

B

O

S

Za pravokutan trokut OSC je hipotenuza

,OS OD SD OS x r= + ⇒ = +

a katete

OC SC r= =

pa se uporabom Pitagorina poučka dobije:

( ) ( )2 2 2 2 22 2 2

2 .OS OC SC x r r r x r r= + ⇒ + = + ⇒ + = ⋅

Iz sustava jednadžbi izračunamo r.

32

( )( ) ( )

metoda

zamjen

6 2 2 22 26 2 2 6 22 e2

2

x rr r r r r

x r r

= − ⋅⇒ ⇒ − ⋅ + = ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒

+ = ⋅

2 2 2 2 236 12 2 36 12 2 0 12 36 0r r r r r r r r⇒ − ⋅ + = ⋅ ⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⇒ − − ⋅ + = ⇒

( )2

2 2 12 36 012 36 0 12 36 0

1 , 12 , 36/ 1

r rr r r r

a b c

+ ⋅ − =⇒ − − ⋅ + = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒

= = = −⋅ −

( )1 , 12 , 36 2

12 12 4 1 362

1,24 2 11,2 2

a b c

rb b a c

ra

= = = −− ± − ⋅ ⋅ −

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

12 144 144 12 144 2 12 144 21,2 1,2 1,22 2 2r r r

− ± + − ± ⋅ − ± ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

nema smis12 12 2

112 12 2 12 12 221,2 2 212 12 2

2 2

lar

r r

r

− − ⋅=

− ± ⋅ − + ⋅⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒

− + ⋅=

( ) ( )( ) ( )

12 1 2 1 212

26 1 2 6 2 1 .

2r r r r

⋅ − + ⋅ − +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ − + ⇒ = ⋅ −

Odgovor je pod E.

Vježba 099

(A circle k is inscribed into a quarter circle of radius 3 as shown on the right. What is the radius of k?) Krug k je upisan u četvrtinu kruga polumjera 3 kako je prikazano na slici. Koliki je polumjer kruga k?

( )3 2 2

. . . 1.5 . 2 . 3 2 12 2

A B C D E−

⋅ −

k

R = 3

Rezultat: E.

33

Zadatak 100 (Jere, srednja škola)

Ploština bijelog dijela na slici je 2 · π. Kolika je duljina │AB│?

. 1 . 2 . 3 . 4A B C D

Rješenje 100

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .a b a a b b+ = ⋅ ⋅ ++

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke te ravnine (središta). Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina polumjera označava se slovom r. Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Ploština kruga polumjera r iznosi:

2 .P r π= ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Talesov poučak Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi (jednak je 90º).

34

promjer

S

Euklidov poučak

Neka je ABC pravokutan trokut s visinom CD na hipotenuzu .AB Tada je

, , ,v p q a c p b c q= ⋅ = ⋅ = ⋅

gdje je p = │DB│ i q =│AD│. Visina pravokutnog trokuta je geometrijska sredina odsječaka na hipotenuzi, a kateta je geometrijska sredina hipotenuze i pripadnog odsječka.

v

q pc

b a

D

A B

C

35

Sa slike vidi se:

, 2 , , 22 2AT TB t AB t S T S C R TC R= = = ⋅ = = = ⋅

, 2 , 2 2 ,1 1S D S T r DT r DC r R SD SC ρ= = = ⋅ = ⋅ + ⋅ = =

Promjer kruga k je

( )2 2 2DC r R DC r R= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ +

pa njegov polumjer ρ iznosi:

( ) ( )2 2

2.

2 2

DC r R r Rr Rρ ρ ρ ρ

⋅ + ⋅ += ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

Ako od ploštine kruga k oduzmemo ploštine krugova k1 i k2 dobit ćemo ploštinu bijelog dijela sa slike koja iznosi 2 · π.

2 2 22 21 2P P P r Rπ ρ π π π π− − = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒

[ ]/ :2 2 2 2 2 2

2 2r R r R r Rπ ρρ π π π π ρ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ − − =⇒ += ⇒

( )2 2 2 2 2 2 2

2 2 2r R r R r r R R r R⇒ + − − = ⇒ + ⋅ ⋅ + − − = ⇒

2 2 2 22 2 2 2 2 2 / 1: 2 .r R rr R r rR R R r R⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⇒+ = ⋅ =− −

Po Talesovu poučku trokut DCA je pravokutan jer je DC promjer kružnice k. Uporabom Euklidova poučka dobije se:

[ ]2 2 4 4 11AT DT TC t r R t rr tRR ⋅ == ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

4 2.t t⇒ = ⇒ =

Duljina │AB│ iznosi:

2 2 2 4.AB t AB AB= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Odgovor je pod D.

Vježba 100

Ploština bijelog dijela na slici je 8 · π. Kolika je duljina │AB│?

. 2 . 4 . 6 . 8A B C D

Rezultat: D.