1

1

Sayısal İşaret & Sistemler

Giriş

2

İçerik

Motivasyon Ders içeriği Temeller Bir sinyalin güç ve enerji içeriği Zaman değişkeninin transformasyonu Çift ve Tek Sinyaller

3

Motivasyon

Zamandan bağımsız sistem

(LTI)

H(z)

G(z)

+

4

Temeller >> Sinyaller

Geniş tanım: Bağımsız değişkenlerin fonksiyonu. Örnekler: müzik, arabanın hızı, para, voltaj

veya akım, vücut ısısı, kalp atış hızı.. Sinyaller tek veya daha fazla değişkenin

fonksiyonu. Biz tek bağımsız değişkene bağlı olan

sinyalleri inceleyeceğiz, özellikle zaman t. ve arkadaşı ...

2

5

Temeller >> Sinyaller Sinyaller:

Ayrık x[n], n tam sayı. Sürekli x(t), t gerçel.

Matematik gösterim: x(t) = et, x[n] = n/2

y(t) =

Ayrık sinyaller seri şeklinde gösterilebilir: {y[n]} = {…,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,…}

Örnek: Yukarıdaki sinyali grafik formda gösteriniz.

550

2 ,t,t

t

6

Temeller >> Sinyaller Sistem giriş sinyallerini bir çıkışa dönüştüren bir

kutucuktur. Ayrık-Zamanlı Sistem: Giriş ve çıkış sinyalleri ayrık.

Sürekli-Zamanlı Sistem: Giriş ve çıkış sinyalleri sürekli.

Kombinasyon: A/D D/A dönüştürücüler.

Hx[n] y[n]

Hx(t) y(t)

7

Güç ve Enerji Enerji: sinyalin toplam mutlak değeri

Güç: sinyal mutlak değerinin ortalaması

dttxdttxET

TT

22 )()(lim

22 ][][lim nxnxEN

NnN

TEdttx

TP

T

T

TT 2

lim)(21lim 2

12lim][

121lim 2

NEnx

NP

N

N

NnN

8

Güç ve Enerji Enerji sinyali 0<E<, ve P=0.

Güç sinyali 0<P<, ve E=.

E ve P sonsuz olursa enerji veya güç yok.

Örnek: Yukarıdaki sinyallerin Enerji ve Gücünühesaplayınız.

0,0,0

)(tet

tx t

...}1,1,1,1,1,1...]}[{ nx

tetx )(

3

9

Zaman Transformasyonu

Üç muhtemel transformasyon: Zaman dönüştürücü: x(-t), x[-n]

Sinyali x ekseni boyunca dönüştürür. Zaman öteleme: x(t+a),x[n+a]

Yatay eksende a<0 sağa , a>0 sola kayar. Zaman ölçeği: x(at), x[an] , a>0.

Yatay eksende a>1 aşağı , a<1 yukarı ölçekler

10

Zaman Transformasyonu

Zaman-dönüştürücü:

Zaman-öteleme:

-2 -1 21t

x(t) x(-t)

t

-2 -1t

1

x(t-1)

-2 -1t

-3

x(t+1)

1

1

1

1

11

Zaman Transformasyonu

Zaman ölçek:

Kombinasyon:

-1/2t

-1

x(2t)

-2 -1t

-3

x(t/2)

-4

-1/2t

-1

x(-2t) x(-t+3)

21t

43 65

1 1

1 1

12

Zaman Transformasyonu

Kombinasyonda dikkat. x(-t+3) = x1(t-3) , x1(t)= x(-t) veya

x(-t+3) = x2(-t) , x2(t)= x(t-3)

Aşağıdaki y(t) için (-3t+6) farklı sırada elde ediniz: dönüştürme/öteleme/ölçek, dönüştürme, ölçek/öteleme, öteleme/dönüştürme/ölçek.

y(t)

21t

2

3-2

4

13

Çift ve Tek Sinyaller x[n]=x[-n] , x[n] çift x[-n]=-x[n], x[n] tek Herhangi bir x[n] sinyali 2 parçaya ayrılabilir:

Çift{x[n]} = (x[n]+x[-n])/2 Tek{x[n]} = (x[n]-x[-n])/2

Yukarıdaki tanımlar sürekli sinyaller için de geçerlidir. Örnek: Aşağıdaki sinyalleri çift ve tek parçalara ayırınız:

x[n]

-1-2n

1… 2

1

…

-1

1

y(t)

-1 1t

14

Sayısal İşaret & Sistemler

Ders #02: Birim Basamak ve İmpuls

15

İçerik

Birim Basamak Birim İmpuls Örnekler Sinyallerin basamak gösterimi

16

Birim Basamak

Ayrık birim basamak

u[n]=

Ötelenmiş birim basamak

u[n-k]=

00

01

,n,n

u[n]

-1-2n

1-3 32

1

k,nk,n

01

u[n-k]

…-1n

1 k

1

5

17

Birim Basamak

Sürekli birim basamak

u(t)=

Ötelenmiş birim basamak

u(t-)=

t

1

,t,t

01

u(t- )

t

1

u(t)

18

Birim Basamak Sürekli birim basamak t=0 da süreksiz, türevsiz! Kaymış birim basamak:

u(t) sürekli ve türevli.

diger,t,t

ttu

,2/

2/

21

01

)(

t1

u(t)

22

)(lim)(0

tutu

diger

t,dttdu

,2/2/

0

1)(

19

Birim İmpuls

Ayrık birim impuls

Ötelenmiş birim impuls

00

01

][,n,n

n

[n]

-1-2n

1-3 32

1

[n-k]

…-1n

1 k

1

k,nk,n

kn01

][

20

Birim İmpuls

Ayrık Birim İmpuls özellikleri:

k

n

k

knkxnx

knkxknnxnxnnx

knu

nunun

][][][

][][][][][]0[][][

][][

]1[][][

6

21

Birim İmpuls

Sürekli birim impuls:

dtt

t,t

t

diger

t,dttdut

,22

0

1)(lim)(

0

t1/

(t)

2

2

t

0

(t)

22

Birim İmpuls Sürekli ötelenmiş Birim İmpuls:

Sürekli birim impuls özellikleri:

)()()()()()0()()(

)()(

)()(

)()(

txttxtxttx

tt

dtu

dttdut

t

t

(t-)

dtxtx )()()(

23

Örnekler Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız:

Aşağıdaki sinyali çiziniz:

x(t) nin türevi dx(t)/dt yi çiziniz

dtttut

knnnnun kn

10

10

0

10

))15()((

]2[][

))8()6()4(()()2()(]3[][)1(][

tutututtuttxnnununnx

24

Basamak Sinyaller (Sürekli)

tc

x(t)

a b

1

y(t)

-1 1t

1

w(t)

-1 1t

2z(t)

-11 t

2

-2

7

25

Basamak Sinyaller (Ayrık)

x[n]

…-1n

1 N

1

y[n]

… -1n

1 4

1

-2 32 5-3 …

26

Sayısal İşaret & Sistemler

Ders #03: Eksponansiyel ve Sinüzoidal Sinyaller

27

İçerik

Birim Basamak ve İmpuls Örnekler Euler Denklemi Periyodik Sinyaller Gerçek Eksponansiyel Sinyaller Sinuzoidal Sinyaller Kompleks Exponansiyel Sinyaller

28

Birim Basamak ve İmpuls Örnekler

Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız:

Aşağıdaki sinyallerin türevini hesaplayınız:

1

)(1

dt

1

y(t)

-1 1t

1

z(t)

-1 1t

t

du )()(cos

t

d )()(cos

8

29

Euler’s Equation Euler’s formulas:

Will be very useful for managing sinusoidal and complex exponential signals. Particularly during differentiation or integration of such signal functions.

Exercise: Find even and odd components of x(t) = ejt.

)(21sin

)(21cos

sincos

jj

jj

j

eej

ee

je

30

Periodic Signals Periodicity condition:

x(t) = x(t+T) x[n] = x[n+N]

If T is period of x(t), then x(t) = x(t+mT) where m=0,1,2… If N is period of x[n], then x[n] = x(n+mN) where m=0,1,2… Fundamental period T0 of x(t) is the smallest possible

value of T. Fundamental period N0 of x[n] is the smallest possible

value of N. Exercise: Find T0 for cos(0t+) and sin(0t+). Exercise: Is periodic?)2sin(cos)( tttx

31

Real Exponential Signals x(t) = C eat

x[n] = C ean, where C and a are real. Exercise: Plot the above exponentials.

32

Sinusoidal Signals x(t) = A cos(0t+) x[n] = A cos(0n+), where A is amplitude, 0 is radian

frequency (rad/sec), and is the phase angle (rad). Exercise: Plot A cos(0t+). Exercise: Plot cos(0t), cos(1t), cos(2t), where

0<1<2. Realize that cos(0t+) is scaled and shifted version of

cos t. This should be enough for plotting any cosine function, similarly any sine function..

Notice that although A cos(0t+) is not equal to A cos(1t+), it may be the case that A cos(0n+) = A cos(1n+). Do you know when?

9

33

Complex Exponential Signals x(t) = x[n] = , where A, and 0 are real. Exercise: Is periodic? Exercise: How about the discrete case? Is

periodic?

)( 0 tjAe)( 0 njAe

tjAetz 0)( njAenz 0][

34

General Exponential Signals x(t) = x[n] = , where A, and are real. Exercise: Plot x(t) and x[n].

tjAe )(

njAe )(

35

Sayısal İşaret & Sistemler

Ders #04: Sistemlerin Özellikleri: Lineerlik, Zamandan bağımsızlık

36

İçerik

Sistem nedir? Sistemlerin Birleştirilmesi Kayıtlı ve Kayıtsız Sistemler Kararlılık ve Tersininrlik Lineerlik Zamandan Bağımsızlık (LTI) LTI Sistemlerin Süperpozisyonu

10

37

Sistem Nedir? Sistem: Giriş sinyallerini çıkış sinyallerine dönüştüren

kutucuk Ayrık Zamanlı Sinyaller: y[n] = H[x[n]]

Sürekli Sinyaller: y(t) = H(x(t))

Hx[n] y[n]

Hx(t) y(t)

38

Sistemlerin Bağlanması Seri Bağlama: y(t) = H2( H1( x(t) ) )

Örnek: radyo alıcısının arkasındaki amplifikatör Paralel Bağlama: y(t) = H2( x(t) ) + H1( x(t) )

Örnek: paralel telefonlar

H1x(t)

H1x(t) y(t)

H2y(t)

H2

+

39

Sistemlerin Bağlanması Geri besleme: y(t) = H2( y(t) ) + H1( x(t) )

Hız kontrol (cruise control) Pek çok bağlantı kombinasyonu..

H1x(t) y(t)

H2

+

40

Kayıtlı ve Kayıtsız Sistemler

Kayıtsız (veya statik) Sistemler: Sistem çıkışı y(t) sadece t anındaki girişe bağlı (y(t), x(t) nin bir fonksiyonu).

Kayıtlı (veya dinamik) Sistemler: Sistem çıkışı y(t) t anaından önce veya sonraki girişe bağlıdır (y(t), x() ninbir fonksiyonudur - < <)

Örnek: resistör: y(t) = R x(t)

kapasitör:

birim geciktirici: y[n] = x[n-1]

akümülatör:

t

dxC

ty )(1)(

n

kkxny ][][

11

41

Stabilite ve Tersinirlik Stabilite: Bir sistem çıkışı veya girişi sınırlı ise bu sistem stabildir.

Eğer |x(t)| < k1, buradan |y(t)| < k2. Örnek:

Tersinirlik: Bir sistemin farklı girişlerine karşı farklı çıkışlar elde ediliyorsa bu sistem tersinirdir. Bir sistem tersinir ise bu sistemnçıkışını girişe çeviren bir ters sistem mevcuttur.

Örnekler:

)(41)(

)(4)(

tytw

txty

]1[][][

][][

nynynw

kxnyn

k

Sistemx(t) Ters

Sistemw(t)=x(t)y(t)

dttdytw

dttxtyt

)()(

)()(

t

dttxty0

)()( ][100][ nxny

42

Lineerlik

Bir sistem aşağıdaki şartları taşıyorsa lineerdir: toplama: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t) homojenlik: x(t) = a x1(t) y(t) = a y1(t), a herhangibir kompleks

sabit. İki özellik tek bir işlem altında toplanabilir:

Süperpozisyon:x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]

Bir sistemin lineerliği nasıl kontrol edilir? Örnek: Aşağıdaki sistemler lineer midir?

)()( 2 txty ][][ nnxny )cos()()( ttxty

43

Zamandan Bağımsızlık (LTI)

Bir sistem zamandan bağımsız ise girişteki bir kayma çıkışsinyalinde de aynı kaymaya sebep olmaktadır:x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0) x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]

Aşağıdaki sinyallerin zaman bağımsız olup olmadığınıbelirleyiniz:

][][ nnxny )2()( txty )(sin)( txty

44

LTI Sistemlerin Süperpozisyonu

Bir LTI sistem için: x(t) girişine karşın y(t) çıkışı verilmiş olsun Sistemin herhangi bir x1(t) girişine cevabı x(t) sinyalini ölçekleyerek

veya zaman kaydırarak elde edilebilir:x1(t) = a0 x(t-t0) + a1 x(t-t1) + a2 x(t-t2) + …

y1(t) = a0 y(t-t0) + a1 y(t-t1) + a2 y(t-t2) + … Pek çok problemin çözümüne olanak sağlamaktadır. Bundan sonra anlatılacak pek çok özelliğin temelini

oluşturan bir kuraldır.

12

45

LTI Sistemlerin Süperpozisyonu Örnek: Bir LTI sistemin x(t) sinyaline cevabı y(t) olduğuna göreö bu

sistemin x1(t) ve x2(t) sinyallerine cevabını bulunuz.

2x(t)

1t

1

y(t)

-1 1t

2x1(t)

1 t2

x2(t)

1

t-1

3

4

1/2-1/2

46

Sayısal İşaret & Sistemler

Ders #05: Ayrık-Konvolüsyon

47

İçerik

Sinyalleri İmpuls Cinsinden Gösterim İmpuls Cevabı Konvolüsyon Toplamı Konvolüsyonun Amacı İki Sinyali Konvol Etme Yöntemi

48

Sinyalleri İmpuls Cinsinden Gösterim Herhangibir sinyal kaydırılmış impulslar şeklinde

gösterilebilir:

Buna sinyallerin ötelenmesi adı verilir:

...]2[]2[]1[]1[][]0[

]1[]1[]2[]2[...][

nxnxnx

nxnxnx

k

knkxnx ][][][

13

49

Impuls Cevabı

Bir sistemin birim impulsa (t) karşı çıkışına impuls cevabı adı verilir ve h(t) olarak gösterilir. Sürekli sistemler için: h(t) = H((t))

Ayrık sistemler için: h[n] = H[[t]]

SistemH

(t) h(t)

SistemH

[n] h[n]

50

Konvolüsyon Toplamı Ayrık bir LTI sistem H için, h[n] impuls cevabı olsun. Sisteme herhangi bir x[n] sinyali giriş olarak verildiğinde Önce x[n] sinyalini birim impulslar şeklinde göster:

Yeni çıkış sinyali y[n] aşağıdaki gibi olacaktır:

k

knkxnx ][][][

kknkxHnxHny ][][]][[][

51

Konvolüsyon Toplamı LTI sistemlerin toplama özelliğinden:

LTI sistemlerin homojenliğinden:

LTI sitemlerin zaman bağımsızlığından:

k

knkxHny ][][][

k

knHkxny ][][][

k

knhkxny ][][][

52

Konvolüsyonun Tanımı

toplamı konvolüsyon veya süperpozisyon toplamı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir:

Bunun x[n] ve h[n] çarpımı olmadığına dikkat ediniz.

Konvolüsyon: h[k] yı ters çevir n’ nin her bir değeri için h[k] yı öteleyerek x[n]

sinyalinden geçir.

k

knhkxny ][][][

][*][][ nhnxny

14

53

İki Sinyalin Konvolüsyonu

Dört farklı yöntem: Türetme: Konvolüsyon toplamı cebirsel olarak

türetilebilir.

Süperpozisyon: x[n] sinyalini ölçeklendirilmiş ve ötelenmiş birim impulslar [n]. olarak gösterilir.Sistem LTI olduğu için, y[n] ölçeklendirilmiş h[n]sinyalleri şeklinde yazılabilir.

i j

ijAny ][

54

İki Sinyalin Konvolüsyonu

Dizi: x[n] ve h[n] sinyallerini yazılır. İki boyutlu bir A dizisi oluşturulur, Aij=x[i]h[j]. y[n] için formül

i+j=n Grafik: h[k] zaman ekseninde ters çevirilir ve

h[-k] elde edilir. Daha sonra zaman ekseninde –n kaydırılarak h[n-k] elde edilir. (-,) aralığında bir n değeri için h[n-k] , x[n]üzerinde kaydırılarak o n değeri için konvolüsyon toplamı hesaplanır.

i j

ijAny ][

k

knhkxny ][][][