1

Zapis zmiennopozycyjny, arytmetyka, błędy numeryczne

Plan wykładu:

1. zapis zmiennopozycyjny2. arytmetyka zmiennopozycyjna3. reprezentacja liczb w standardzie IEEE7544. błędy w obliczeniach numerycznych5. definicje

2

Własności zapisu zmiennopozycyjnego

Liczbę rzeczywistą w komputerze reprezentuje liczba zmiennoprzecinkowa:

gdzie: M – znacznik („mantysa”) jest liczbą ułamkową ze znakiem – stanowi bazę reprezentacji i jest liczbą całkowitą (np.: 2, 10, 16)E – wykładnik („cecha”) jest znakowaną liczbą całkowitąPowyższy zapis jest niejednoznaczny:

m jest liczbą pozycji znacznika w bazie.Można odróżnić

różnych reprezentacji tej samej liczby.Ograniczeniem znacznika jest

ale problem nadal pozostaje.

Jednoznaczność osiągamy dla warunku

wtedy dla dowolnego i≠ 0 mamy

w praktyce stosuje się

Znaczniki spełniające powyższy warunek nazywamy znormalizowanymi (liczby znormalizowane).Nie ma liczb znormalizowanych

w tym 0. Tworzą one osobną grupę zwana liczbami zdenormalizowanymi.

Znormalizowane wartości dla

F = M¯E

F = M¯E = Mi¯E+i = (M¯¡i)¯E+i

i = ¡m; : : : ;¡1; 0; 1; : : : ;m

jM j < ¯

jM j¯¡i =2 [¯p¡1; ¯p)

p = 0; 1

jF j < ¯p¡1¡Emin

¡3

4¡1

2

3

4

1

2

1

4¡1

4

01¡1

¯ = 2; p = 0

k = mlog¯2

¯p¡1 · jM j < ¯p

¯p¡i¡1 · jM j¯¡i < ¯p

3

Podstawowe operacje arytmetyczne.Wykonujemy operacje na dwóch znormalizowanych liczbach

Czy przeprowadzenie 4 podstawowych operacji da znormalizowany wynik?

Mnożenie

sprawdzamy czy nie wystąpił nadmiar (EW>Emax) lub niedomiar (EW<Emin) zmiennopozycyjny. Jeśli wartość znacznika wychodzi poza dozwolony zakres tj.:

to wykonujemy postnormalizację

F1 = M1¯E1 ; F2 = M2¯

E2

F1F2 = M1¯E1M2¯

E2

= (M1M2)¯E1+E2 = MW¯W

¯2p¡2 · jMW j = jM1M2j < ¯p¡1

F1F2 = (M1M2¯¡p+")¯E1+E2+p¡"

" = 0; 1

Dzielenie

ponieważ

konieczna jest postnormalizacja ilorazudo postaci

Dodatkowo należy zapewnić obsługę liczb zdenormalizowanych, dzielenia przez 0 oraz próby dzielenia 0/0.

F1=F2 = (M1¯E1)=(M2¯

E2)

= (M1=M2)¯E1¡E2

jMW j = M1=M2 2 (¯¡1; ¯)

F1=F2 = (¯p¡"M1=M2)¯E1¡E2¡p+"

¯¡1 · jMW j < 1 =) " = 0

1 · jMW j < ¯ =) " = 1

4

Dodawanie i odejmowanieWymagane jest wstępne wyrównanie wykładników. Powoduje to denormalizację operandu z mniejszym wykładnikiem i utratę dokładności (na najmniej znaczących pozycjach znacznika).Załóżmy

a) jeśli

oraz

to wówczas normalizacja doprowadzi do nadmiaru.b) jeśli

oraz

to wystąpi niedomiar.

E1 ¸ E2

F1 § F2 = (M1¯E1)§ (M2¯

E2)

= (M1 §M2¯¡(E1¡E2))¯E1

E1 = Emax

¯p · jMW j < 2¯p

E1 ¡ (p¡ i) · Emin

jMW j < ¯i · ¯p¡1

Jeśli spełniony jest warunek

wówczas może dojść do wyzerowania wszystkich znaczących pozycji znacznika sumy lub różnicy.

Wybór reprezentacji

Liczbę zmiennopozycyjną zapisujemy na n pozycjach, z czego:a) 1 pozycję przeznaczamy na znak liczbyb) t pozycji na zapis znacznikac) d pozycji na zapis wykładnika

p¡ i ¸ jmlog¯2j

m¡1m¡2 m¡t: : : : : : : : : : : :s se e0 e1 ed¡1

wykładnik znacznikznak

x = s

ÃtX

i=1

m¡i¯¡i!

¯E

n = 1 + d + t

5

Wartość błędu bezwzględnego wynika z nierównomiernego rozłożenia liczb w reprezentacji zmiennopozycyjnej

Błąd względny

rośnie ze zmniejszaniem znacznika aż do wartości

MRRE – maximum relative representation error.

¯p¡3 ¯p¡2 ¯p¡1 ¯p0

M

j"(x)j = jfl(x)¡ xjx

·12ulp¯E

M¯E=

ulp

2M

MRRE = maxM

j"(x)j = 1

2ulp¯p¡1

Dokładność reprezentacjiJeśli liczba zmiennopozycyjna jest reprezentowana przez skończoną liczbę bitów to dokładność reprezentacji określa liczba bitów znacznika a zakres reprezentowanych liczb zależy od liczby bitów wykładnika.

Jeśli zachodzi warunek

(ulp – najmniej znacząca pozycja znacznika)wówczas zaokrąglając liczbę x do bliższej reprezentacji dostajemy błąd bezwzględny

gdzie fl(x) oznacza reprezentację liczby x w zapisie zmiennopozycyjnym.

M¯E · x · (M + ulp)¯E; x 2 R

jfl(x)¡ xj · 1

2ulp¯E

6

Dobór zakresu wykładnika

Jednym z wymagań jest aby dla każdej znormalizowanej liczby x możliwe było obliczenie jej odwrotności. Wykładnik kodowany jest na d pozycjach z czego pozycji musimy zarezerwować na 0 oraz wielkości nieznormalizowane (nieskończoności itp.).Rozpiętość wykładnika wynosi

i aby istniały znormalizowane reprezentacje odwrotności małych liczb.

Dla =2, -1=1 i p=0najmniejszy znacznik ma wartość

0,100000...000a największy

0,111111...111najbardziej znaczący bit nie musi być kodowany (bit ukryty). Pominięcie go prowadzi do pełnego wykorzystania przestrzeni kodowej znacznika (100%). W innych przypadkach liczby znormalizowane zajmują jedynie (1-1/)100% przestrzeni.Bit ukryty jest odtwarzany w trakcie operacji arytmetycznych.

s = Emax ¡Emin = 2d ¡ ¸

Schematy zaokrąglania liczb

Podczas wykonywania operacji arytmetycznych może dojść do zwiększenia się liczby bitów wynikowych, np. przy mnożeniu dwóch znaczników

Aby zapisać wynik należy uciąć ostanie m bitów. Eliminacja nadmiarowych bitów nazywana jest zaokrąglaniem.

Reguły zaokrąglania

mw = 2m

x · y ) fl(x) · fl(y)

x 2 fl) fl(x) = x

F1 = M¯E · x · (M + ulp)¯E = F2| {z }x=F1_x=F2

7

Odcięcie (najprostsze)

Jeślim - liczba pozycji znacznikad - liczba uciętych bitów

i standaryzowanym błędem losowym obcinania znacznika jest

Dla równomiernego rozkładu wartości x w przedziale [M, M+ulp] miarą średniego standaryzowanego błędu obcinania jest

Błąd ten jest zawsze ujemny – estymator T(x) jest ujemnie obciążony.Skutek obcinania: niedoszacowanie.

M · x < M + ulp, T (x) = M

x = M + i2¡dulp; 0 · i · 2d ¡ 1

T (x)¡ x

ulp= ¡i2¡d

Zaokrąglanie do najbliższej wartości

Reguły zaokrąglania

Ten typ zaokrąglania powoduje, że średnia wartość błędu standaryzowanego jest bliska 0, ale estymator R(x) jest obciążony dodatnio.

Zaokrąglanie symetryczneReguły zaokrąglania

Średnia wartość błędu standaryzowanego wynosi 0, a estymator S(x) jest niebciążony.Wadą zwykłego zaokrąglania oraz zaokrąglania symetrycznego jest konieczność wykonania 2m-pozycyjnego dodawania.

R(x) =

½M; x¡M < ulp

2

M + ulp; x¡M ¸ ulp2

S(x) =

8<:

M ¡ ulp; ¡ulp · x¡M < ¡ 12ulp

M; ¡ 12ulp · x¡M · + 1

2ulp

M + ulp; + 12ulp · x¡M < +ulp±T =

1

2d

2d¡1X

i=0

(¡i)2¡d < 0

8

Reprezentacja liczb w standardzie IEEE754

Formaty liczb zmiennopozyjcyjnych:1) zwykły pojedynczej precyzji - single (real)2) rozszerzony pojedynczej precyzji - single extended3) zwykły podwójnej precyzji - double4) rozszerzony podwójnej precyzji - double extended

Wykładnik jest reprezentowany w kodzie z obciążeniem, a znacznik w kodzie znak-moduł. Wartość liczby w IEEE754

gdzie: EB - wykładnik, B – przesunięcie (dzięki niemu nie musimy pamietać znaku),(E=EB-B -”prawdziwy” wykładnik)(1,f) – wartość modułu znacznikaJeśli d oznacza liczbę bitów wykładnika to wielkością przemieszczenia jest

B = 2d ¡ 1

F = (¡1)s2EB¡B(1; f)

Bez przesunięcia, najmniejszą wartością wykładnika jest EB=Emin+B=00...0012

a największą EB=Emax+B=11...1102

Zakres wykładnika jest ograniczony z obawy przed uzyskaniem nadmiaru podczas obliczania odwrotności liczb.

Liczby zdenormalizowane z zakresu [-2Emin,+2Emin] łącznie z zerami można zapisać

F = (¡1)s2Emin(0; f)

9

symbol single double

Rozmiarformatu

n 32 64

Rozmiarznacznika

m 23(+1) 52(+1)

Rozmiarwykładnika

d 8 11

obciążenie B 127 1023

Zakreswykładnika

E [-126,127] [-1022,1023]

dokładność ulp

Zakresformatu

RNG¼ 2128

¼ 3; 8 ¢ 1038

2¡23 ¼ 10¡7 2¡52 ¼ 10¡15

¼ 21024

¼ 9 ¢ 10307

10

Nie-liczby

Pojawiają się podczas wykonywania operacjinp.:

Bez ich obsługi program przerywałby działanie. Obsługa nie-liczb pozwala je wykryć i np. zrestartować schemat iteracyjny z innym parametrem.

Znakowane zero

Po co?Dla liczb rzeczywistych mamy

zatem relacja

nie jest spełniona. Dla znakowanego 0 mamy

0=0;p¡jxj

1=¡1 = 0; 1=(1=¡1) = +1

1=(1=x) = x

x = ¡1; 1=x = ¡0

1=(1=x) = 1=¡ 0 = ¡1 = x

Wyjątki w IEEE754

Standard zapewnia obsługę specyficznych wyników operacji:

1. nadmiar (Fmax, nieskończonośc)2. niedomiar (Fmin, l. denormalizowane)3. dzielenie przez 04. niepoprawna operacja (NAN)5. niedokładność (zaokrąglenie wyniku)

11

Przykład – zapis 8 bitowyLiczba

ma reprezentację

Ale dla liczby x=0.2 pojawia się problem

po zaokrągleniu wyniku do najbliższej liczby

co daje błąd bezwzględny równy 0.0125 i błąd względny na poziomie 6.25%.

Błędy numeryczne

Najprostszy podział:

1. błędy wejściowe2. błędy zaokrągleń3. błędy obcięcia

Błędy wejściowe Występują gdy dane liczbowe wprowadzane do pamięci komputera odbiegają od wartości dokładnych. Kiedy występują?- gdy wprowadzane dane pomiarowe są obarczone błędami pomiarowymi (np. pomiar wielkości fizycznych takich jak oporu czy napięcia)- gdy ze względu na skończoną długość słowa binarnego dochodzi do wstępnego zaokrąglenia liczb (ułamki dziesiętne lub zaokrąglanie liczb niewymiernych jak np.: e, )

x(10) = 3:25

x(z2) = (0)1101| {z }M

(0)10| {z }W

x(2) = 0:0011(0011)::::

x0

(z2) = (0)1100(1)10

x0(2) = 0:001100

x0

(10) = 0:1875

12

Przykład Chcemy wyznaczyć wartość ex, więckorzystamy z rozwinięcia

ale numerycznie lepiej zrobić to tak

gdzie: E(x) jest częścią całkowitą liczby x, q jest częścią ułamkowąPierwszy wyraz jest potęgą a drugiliczymy wg rozwinięcia.Do wyznaczenia pozostaje tylko błąd obcięcia. Szereg ucinamy na n-tymwyrazie.

Błędy obcięcia - powstają podczas zmniejszania liczby działań np.:a)przy obliczaniu wartości szeregów

(ucięcie szeregu)b)wyznaczaniu granic (obliczanie

wartości całki)c)zastępowaniu pochodnej funkcji

ilorazem różnicowym

ex =

1X

n=0

xn

n!; ¡1 < x < +1

ex = eE(x)eq

0 · x < 1

Reszta szeregu:

szacujemy maksymalny błąd obcięcia tj.

widzimy że szereg jest więc szybko zbieżny.Dokładniejsze oszacowanie

0 · Rn(q) <3

(n + 1)!qn+1

Rn(x) =eµq

(n + 1)!qn+1; 0 < µ < 1

µ ¼ 1; q ¼ 1

Rn(q) =

qn+1

(n + 1)!+

qn+2

(n + 2)!+

qn+3

(n + 3)!+ : : :

=qn+1

(n + 1)!

µ1 +

q

n + 2+

q2

(n + 2)(n + 3)+ : : :

¶

<qn+1

(n + 1)!

Ã1 +

q

n + 2+

µq

n + 2

¶2+ : : :

!

13

Rn(q) <qn+1

(n + 1)!

1

1¡ qn+2

Stosując wzór na sumę szer. geom.

dla

oraz

dostajemy warunek

gdzie

jest ostatnim wyrazem użytym przysumowaniu elementów.Wyrażenie na ex (małe x)przyjmuje postać:

0 · q < 1

n + 2

n + 1<

n + 1

n

0 < Rn(q) < unq

n; 0 < q < 1

un =qn

n!

ex = u0 + u1 + u2 + : : : + Rn(x)

gdzie

Wówczas schemat iteracyjny obliczania wartości sumy jest następujący

z warunkami

Załóżmy, że " jest maksymalną wartością błędu obcięcia szeregu.

u0 = 1; uk =xuk¡1

k; k = 1; 2; 3; : : : ; n

uk =x

kuk¡1

sk = sk¡1 + uk

k = 0; 1; 2; : : : ; n

u0 = 1; s¡1 = 0; s0 = 1

14

np. obliczmy wartość z dokładnością 2.5x10-6

wynik

pe

u0 = 1

u1 = 0:5000000

u2 = 0:1250000

u3 = 0:0208333

u4 = 0:0026042

u5 = 0:0002604

u6 = 0:0000217

u7 = 0:0000016

pe = 1:648721

jRn(x)j · Rn(jxj)

<jxjn+1

(n + 1)!¢ 1

1¡ jxjn+2

<2jxjn+1(n + 1)!

=2jxjn + 1

¢ jxjn

n!

< junj · "

jun(x)j < "

Proces sumowania przerywamy gdyspełniony będzie poniższy warunek

Ostatecznie warunek ten przyjmuje bardziej „przystępną” postać

15

Błędy zaokrągleń

Pojawiają się podczas wykonywania operacji arytmetycznych. Wynikają z ograniczonej reprezentacji liczb zmiennopozycyjnych.

Wielkość błędów zależy od:

a) dokładności reprezentacjib) sposobu zaokrąglania wynikuc) rodzaju przeprowadzanej operacji

Lemat Wilkinsona – błędy zaokrągleń powstające podczas wykonywaniadziałań zmiennopozycyjnych są równoważne zastępczemu zaburzeniu liczb, na których wykonujemy działania.

Po przeprowadzeniu operacji dostajemy

Błędy względne zaokrągleń:

mnożenia

dzielenia

dodawania i odejmowania

Zwłaszcza przy odejmowaniu możemy dostać duży błąd, gdy fl(x) = x(1 + "x); f l(y) = y(1 + "y)

fl(x)fl(y)¡ xy

xy= (1 + "x)(1 + "y)¡ 1 =

= "x + "y + "x"y ¼ "x + "y

fl(x)=fl(y)¡ x=y

x=y=

1 + "x1 + "y

¡ 1 =

="x ¡ "y1¡ "y

¼ "x ¡ "y

fl(x)§ fl(y)¡ (x§ y)

x§ y=

x"x § y"yx§ y

=

=x

x§ y"x ¡

y

x§ y"y

x ¼ y; "x ¼ ¡"y

16

Wykonywanie kolejnych operacji na wynikach poprzednich operacji prowadzi do kumulacji błędów zaokrągleń.

Można je zmniejszyć ustalając odpowiednio sposób i kolejność wykonywanych działań lub zwiększając precyzję obliczeń (nie zawsze można).

17

Szacowanie błędów zaokrągleń

a) Sumowanie liczb (jedna z częściej wykonywanych operacji)

oznaczenie

Zgodnie z lematem Wilkinsona:

Indeks s - sumaindeks x - wartość

Obliczona wartość sumy:

s =

nX

i=1

xi

sk = fl¡sk¡1 + xk

¢= s

0k¡1 + x

0k

18

Obliczona suma jest sumą zaburzonych składników. Wielkość zaburzeń zależy od kolejności wykonywania sumowania. Nie znamy wielkości poszczególnych mnożników, ale możemy oszacować maksymalne dopuszczalne zmiany składników:

Najmniej zaburzony jest składnik ostatni bo tylko (1+) lub (1-) razy.

Można stąd wysunąć wniosek odnośnie sumowania: liczby należy sumować od najmniejszej do największej wg wartości bezwzględnej- trzeba zmienić algorytm na dokładniejszy.

x1;min = x1(1¡ ")n

xi;min = xi(1¡ ")n+1¡i

x1;max = x1(1 + ")n

xi;max = xi(1 + ")n+1¡i

19

b) Obliczanie wartości wielomianu

W „tradycyjny” ale nieoptymalny sposób:

Wykonujemy:

-M operacji mnożenia

- D operacji dodawania

Optymalny sposób obliczania wartość wielomianu zapewnia Schemat Hornera

Wykonujemy tylko M=n-1 mnożeń i D=n dodawań.

Uwaga:Wyniki uzyskane wg powyższych algorytmów mogą się różnić.Natomiast oszacowana największa możliwa wartość błędu w obu przypadkach jest taka sama.

w(x) = xn + a1xn¡1 + a2x

n¡2 + ¢ ¢ ¢+ an¡1x + an

w(x) = xx ¢ ¢ ¢ x| {z }n

+a1 x ¢ ¢ ¢x| {z }n¡1

+ ¢ ¢ ¢+ an¡1x + an

M =(n¡ 1)(n + 2)

2

w(x) = x

µx³x ¢ ¢ ¢

¡x + a1

¢+ a2

´+ ¢ ¢ ¢+ an¡1

¶+ an

D = n

20

Zadanie numeryczne to jasny i niedwuznaczny opis powiązania funkcjonalnego między danymi wejściowymi i danymi wyjściowymi. Dane te składają się ze skończonej liczby wielkości rzeczywistych.

Algorytm numeryczny dla zadania numerycznego to opis poprawnie określonych operacji (arytmetycznych lub logicznych), które należy wykonać aby przekształcić wektor danych wejściowych na wektor danych wyjściowych.

PrzykładOkreślić największy pierwiastek rzeczywisty równania

dla wektora danych wejściowych

jest to zadanie numeryczne. Daną wyjściową jest szukany pierwiastek.Algorytm dla tego zadania – metoda Newtona, schemat iteracyjny, wzory Cardana.

Uwarunkowanie zadaniadla danych

poszukujemy wyniku

czyli

Jeśli niewielkie względne zmiany danych zadania powodują duże względne zmiany rozwiązania, to zadanie takie jest źle uwarunkowane. Wskaźnikiem uwarunkowania zadania nazywamy wielkość charakteryzującą wpływ zaburzeń danych na zaburzenie rozwiazania.

Zadanie jest:

-dobrze uwarunkowane

-źle uwarunkowane

-źle postawione

a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 = 0

(a0; a1; a2; a3)

ddd = (d1; d2; : : : ; dn) 2 Rn

www = (w1; w2; : : : ; wm) 2 Rm

www = '(ddd); ' : Rn ! Rm

cond(';ddd) ¼ 1

cond(';ddd) À 1

cond(';ddd) ! +1

k'(ddd)¡ '(~d~d~d)k = cond(';ddd)kddd¡ ~d~d~dk

21

PrzykładJakie jest uwarunkowanie obliczania iloczynu skalarnego?

zaburzamy dane wejściowe

i liczmy względną zmianę wyniku

S =

nX

i=1

aibi 6= 0

ai(®) = ai(1 + ®i)

bi(¯) = bi(1 + ¯i)

®i¯i ¼ 0

¯̄¯̄Pni=1 ai(1 + ®i)bi(1 + ¯i)¡

Pni=1 aibiPn

i=1 aibi

¯̄¯̄ ¼

¼¯̄¯̄Pni=1 aibi(®i + ¯i)Pn

i=1 aibi

¯̄¯̄ ·

· maxij®i + ¯ij

ÃnX

i=1

jaibij=¯̄¯̄¯nX

i=1

aibi

¯̄¯̄¯

!

Za wskaźnik uwarunkowania przyjmujemy

dla

czyli zadanie jest dobrze uwarunkowane.

Algorytmy numerycznie poprawne

Są to algorytmy numerycznie najwyższej jakości, dla których obliczone rozwiązanie jest „nieznacznie” zaburzonym rozwiązaniem dla „nieznacznie” zaburzonych danych.

„nieznaczne ” zaburzenie – zaburzenie na poziomie reprezentacji (rd(d), rd(w))

jaibij = aibi ! cond(aaa;bbb) = 1

cond(aaa;bbb) =

Pn

i=1 jaibijjPn

i=1 aibij

kddd¡ rd(ddd)k · ½dkdddkkwww ¡ rd(www)k · ½wkwwwk

23

Algorytmy numerycznie stabilne

- dokładne rozwiązanie:

- dane zaburzone na poziomie reprezentacji:- dokładny wynik dla danych :

- zaburzony wynik dla zaburzonych danych:

Dostajemy oszacowanie

gdzie

jest optymalnym poziomem błędu rozwiązania w danej arytmetyce (fl).

bddd bddd

www = '(ddd); kddd¡ bdbdbdk · ½dkdddk

bwww = '(bddd); kbwww ¡ ewwwk · ½wkbwbwbwk

algorytm A jest numerycznie stabilny, jeśli dla każdego

istnieje stała K (ograniczenie od góry) i dla dostatecznie silnej arytmetyki zachodzi

- realizacja odwzorowania przez algorytm A w arytmetyce zmiennopozycyjnej

Wskaźnik stabilności K powinien być jak najmniejszy – jego wielkość może służyć do oceny algorytmu.Stabilność numeryczna jest własnością jakiej powinniśmy oczekiwać od algorytmu.

kwww ¡ ewewewk · kwww ¡ bwbwbwk+ kbwbwbw ¡ ewewewk ·· (1 + ½w)P (ddd; ')

ddd 2 D

k'(ddd)¡ fl(A(ddd))k · K ¢ P (ddd; ')

ewww = fl (bwww)

P (ddd; ') = ½wkwwwk+ max k'(ddd)¡ '(bdbdbd)k

fl(A(ddd))

24

Złożoność obliczeniowa

rozważamy problem

Minimalną liczbę działań potrzebnych do obliczenia wyniku definiujemy jako

Wielkość z(,D) nazywamy złożoności obliczeniową zadania.Jeśli zadanie ma n danych istotnych tj.

wówczas

i liczba istotnych danych określa oszacowanie z dołu złożoności obliczeniowej. Analiza algorytmów numerycznych powinna zawierać oprócz analizy dokładności metody również analizę jej złożoności obliczeniowej (pozwala oszacować koszt metody).

z(';D) = supd2D

z(';D)

_

d2D

^

1·j·n

_

±

ddd + ±eeej 2 D ) '(ddd) 6= '(ddd + ±eeej)

eeej = (0; : : : ; 0; 1; 0 : : : ; 0)T

z(';D) ¸ n=2

www = '(ddd); ' : D ½ Rn ! Rm