Zasady krytycznego myślenia (1)

Andrzej Kisielewicz

Wydział Matematyki i Informatyki

2018

Przedmiot wykładu

Trzech młodych logików wchodzi do baru.– Czy wszystkim podać piwo? – pyta barman, próbując domyślićsię zamówienia.– Nie wiem – odpowiada pierwszy logik.– Nie wiem – odpowiada drugi logik.– Tak – odpowiada trzeci logik.

Przedmiot wykładu

I zdolność do wyciągania trafnych, poprawnych wniosków,rozszerzania swojej wiedzy w wyniku rozumowania, stawianiatrafnych hipotez, przewidywania skutków i zdarzeń napodstawie rozumowania

I zdolność uzasadniania naszych twierdzeń, tak że potrafimyprzekonać do nich innych, skłonić do podjęcia właściwychdecyzji

I zdolność ścisłego i jasnego wyrażania się, formułowania myśli itwierdzeń

klasyczna definicja logiki – nauka o sposobach jasnego i ścisłegoformułowania myśli oraz o regułach poprawnego rozumowania iuzasadniania twierdzeń

I generalnie – bardzo pożądana cecha w każdym rodzaju pracy

Literatura

I podręczniki logiki, podręczniki krytycznego myślenia ???

I Nowe podejście: Andrzej Kisielewicz, Logika i argumentacja(Praktyczny kurs krytycznego myślenia), PWN 2017.

I co z praktyki rozumowań matematycznych da się przenieść nagrunt rozumowań niematematycznych?

I zamiast naśladowania formalnego modelu matematyki(schematy formalnego wnioskowania), chcemy naśladowaćpraktykę rozumowan matematycznych

Rys historyczny – Starożytność

logika retoryka erystyka

⇓ ⇓ ⇓prawda przekonać wygrać

I Arystoteles, wnioskowania pewne:

Każdy człowiek jest śmiertelnySokrates jest człowiekiem

Sokrates jest śmiertelny

I sylogistyka, formy

M a PS a M

S a P

∀x(M(x)→ P(x))M(s)

P(s)

I rachunek zdań

Rys historyczny

◦ Średniowiecze

◦ XIX-XX (złoty wiek logiki):

I 1854 - G. Boole: The Laws of ThoughtI kryzys w matematyce, dążenie do większej ścisłości i precyzjiI podstawy matematyki – G. Frege, D. Hilbert, B. RusselI J. Łukasiewicz, K. Godel, A. Church, A. Tarski, A. TuringI olbrzymia dziedzina: logika klasyczna, logiki wielowartościowe,

metamatematyka, logiki nieklasyczne, teoria modeli, teoriarekursji, teoria obliczeń, informatyka,...

I największe osiągnięcia:I pełna formalizacja matematykiI twierdzenia GodlaI podstawy technologii komputerowej

Edukacja logiczna

I starożytność do czasów współczesnych: sylogizmy, trivium(gramatyka, logika, retoryka)

I później: tendencja do coraz większej formalizacji, podział:dedukcja-indukcja, poszukiwanie formalnych prawwnioskowania indukcyjnego

I od 1950: próby „upraktycznienia” logiki (Ajdukiewicz),informal logic, critical thinking

I krytyczne myślenie – myślenie jasne, bezstronne, oparte narozumie i krytycznej analizie faktów

I podręczniki krytycznego myślenia – przykłady z bieżącegodyskursu, retoryka i teoria argumentacji

I ... jednak jako podstawa – ciągle schematy formalnegownioskowania i osiągnięcia logiki formalnej

I wątpliwe efekty społeczne (?)

Wnioskowania dedukcyjne

PRZYKŁAD 1

P1 = Każdy wieloryb jest ssakiem.P2 = Każdy ssak jest kręgowcem.

W = Każdy wieloryb jest kręgowcem.

PRZYKŁAD 2

P1 = Albo Piotr albo Paweł zbił szybę sąsiada.P2 = Piotr nie wychodził dziś z domu.

W = Paweł zbił szybę sąsiada.

Wnioskowania dedukcyjne — te, w których wniosek wynika zprzesłanek w sposób niezawodny, subiektywnie pewne.

Wnioskowania dedukcyjne

Logika formalna: każde wnioskowanie dedukcyjne ma charakterformalny – dotyczy form zdań (niezależnie od treści).

SCHEMAT 1

P1 = Każde M jest NP2 = Każde N jest R

W = A zatem: każde M jest R

SCHEMAT 2

P1 = Albo p, albo qP2 = Nieprawda, że p

W = A zatem: q

I schematy te - podstawowy temat w podręcznikach logiki

Wnioskowania indukcyjne

I Pojęcie „wnioskowanie indukcyjne” – szeroko lub wąskoI wszelkie rozumowania niededukcyjne, lub odnoszące się do

pewnego szczególnego typu wnioskowań niededukcyjnych.I przechodzenia do ogólnego twierdzenia na podstawie

szczególnych jego przypadków.

P(x1),P(x2),P(x3),P(x4) . . .

Dla każdego x, P(x).I indukcyjne – rozszerza wiedzę zawartą w przesłankach,

dedukcyjne – wniosek jest zawarty w przesłankach;I indukcyjne – wnioskowanie o całości z części, dedukcyjne –

odwrotnie.I inne rodzaje wnioskowań niededukcyjnych: abdukcyjne,

kondukcyjne, przez analogię,. . .I brakuje tu powszechnie akceptowanych ustaleń.

Wnioskowania indukcyjne

I w codziennym języku również termin „wnioskowaniededukcyjne” nie jest jednoznaczny (dedukcje SherlockaHolmesa, które bynajmniej nie mają atrybutu pewności).

I terminu „indukcja” — przestarzały: niejasność haseł wWikipedii i innych źródłach ogólnej informacji.

W tym wykładzie:

I wnioskowania dedukcyjne – wnioskowania pewne, niezawodne,I wnioskowania indukcyjne – wszelkie wnioskowania

niededukcyjne.

Niejasne kwestie:

Jaka jest rola schematów formalnego wnioskowania w logicznymmyśleniu? rola dedukcji?

I Nie jest to jasno stawiane w podręcznikach logiki (ikrytycznego myślenia)

I sugestia, że ich stosowanie usprawni nasze zdolnościlogicznego rozumowania?

I sugestia, że stosujemy je w sposób nieświadomy?I tymczasem: większość typowych wnioskowań, to wnioskowania

indukcyjne?

Przykład – popularna zagadka logiczna

Myśliwy widzi przed sobą niedźwiedzia. Używając kompasustwierdza, że niedźwiedź znajduje się dokładnie w kierunku napółnoc od niego. Myśliwy idzie 1000 metrów dokładnie w kierunkuna wschód. W tym czasie niedźwiedź nie rusza się z miejsca.Po przejściu 1000 metrów myśliwy stwierdza, że niedźwiedź nadalznajduje się dokładnie w kierunku na północ od niego.

Pytanie: jakiego koloru był niedźwiedź?

Wskazówka: Gdzie znajdował się niedźwiedź?

...jest nieskończenie wiele odpowiedzi!

Tezy wyjściowe

Uznawanie formalnych schematów niezawodnego wnioskowania zapodstawę logicznego rozumowania jest narosłym przez stuleciawielkim poznawczym nieporozumieniem.

Osiągnięcia logiki formalnej prezentowane w podręcznikach logiki ikrytycznego myślenia nie mają zasadniczo żadnego zastosowania wpraktycznych rozumowaniach i argumentacjach.

Potrzebna jest zmiana podejścia do edukacji logicznej i do samejlogiki, i powinna to być zmiana radykalna z uzmysłowieniem sobiebłędów dotychczasowego podejścia.

UZASADNIENIE TEZ: częściowo powyżej – częściowo dalej – a takżecała alternatywna koncepcja logiki przedstawiona na tym wykładzie

Dalszy plan wykładu

I Logika w rozumowaniach matematycznych – aspekt formalnyI Argumentacja logiczna vs retoryczna – prezentacja podejścia

podręczników krytycznego myśleniaI Logika w rozumowaniach matematycznych – aspekt

praktycznyI Logika jako analiza możliwościI Znaczenie zdań w języku naturalnymI Logika i retoryka (argumentacja)I Logiczna analiza tekstu w języku naturalnym

Osiagnięcia logiki formalnej – zarys

I Wiele systemów aksjomatyzujących logikę klasycznąI formalny – odnoszący się wyłącznie do formyI formalizacja matematyki (teorii matematycznej)

I symbole logiczneI pojęcia pierwotne – symbole pozalogiczneI ścisłe reguły formowania zdańI aksjomaty – twierdzenia pierwotneI twierdzenia (twierdzenia pochodne) i dowód (formalny)

I modele dla teoriiI prawdziwość – spełnianie

Pełna formalizacja matematyki

I całkowicie ścisły językI ściśle określone reguły wnioskowania

Każde zdanie matematyczne można wyrazić w języku logikipierwszego rzędu (symbole logiczne, kwantyfikatory, określonesymbole relacyjne i funkcyjne)

PrzykładIstnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych bliźniaczych.

∀N∃p((p > N) ∧ ∀d(∃n(p = d × n) → (d = 1 ∨ d = p))

∧ ∀d∃n(p+(1+1) = d×n)→ (d = 1∨d = p+(1+1)).

Aksjomatyzacja logiki pierwszego rzędu (klasycznej)

A1. (A ∨ A) → AA2. A → (A ∨ B)A3. (A ∨ B) → (B ∨ A)A4. (A→ B) → ((C ∨ A) → (C ∨ B))A5. (A→ B)→ (∃xA→ B),

gdzie B jest formułą, w której nie występuje zmienna xA6. A[x/t]→ ∃xA,

gdzie A[x/t] jest formułą otrzymaną z A przez zastąpieniewszystkich wolnych wystąpień zmiennej x przez term t

A7. t = t, gdzie t jest termemA8. (x = y) → (A→ A[x\y ]),

gdzie A[x\y ] jest formułą otrzymaną z A przez zastąpieniejednego z wolnych wystąpień zmiennej x przez zmienną y

(Reguła Odrywania)A, A→ B

B.

UWAGA: Jeden z wielu możliwych sposobów!

Arytmetyka elementarna

N1. x + 1 6= 0

N2. (x + 1 = y + 1)→ x = y

N3. x + 0 = x

N4. x + (y + 1) = (x + y) + 1

N5. x × 0 = 0

N6. x × (y + 1) = (x × y) + x

N7. ¬(x < 0)

N8. (x < y + 1)→ (x < y ∨ x = y)

N9. (A(0) ∧ ∀x(A(x)→ A(x + 1))) → ∀xA(x)

plus logiczne aksjomaty i reguły wnioskowania

I wszystkie znane twierdzenia elementarnej arytmetyki!

Teoria zbiorów

S1. (aksjomat zbioru potęgowego)∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∀u(u ∈ z → u ∈ x))

S2. (aksjomaty podzbiorów) ∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ A(z))

S3. (aksjomat nieskończoności)∃x(∅ ∈ x ∧ ∀z(z ∈ x → z ∪ {z} ∈ x))

S4. (aksjomaty zastępowania)(B(u, v) ∧ B(u,w)→ v = w) → (∀x∃y∀v(v ∈ y ↔ ∃u(u ∈x ∧ B(u, v))))

S5. (aksjomat wyboru) ∀y(∀x∀z(x ∈ y ∧ z ∈ y ∧ ¬(x = y) →¬(∃t(t ∈ x ∧ t ∈ y))) → ∃s∀x(x ∈ y → ∃t(t ∈ x ∧ t ∈s ∧ ∀v(v ∈ x ∧ v ∈ t → v = t))))

plus logiczne aksjomaty i reguły wnioskowania

I wszystkie znane twierdzenia matematyki!

Twierdzenie Godla o pełności

Dla danej teorii T zdanie φ ma dowód w T wtedy i tylko wtedygdy jest spełnione w każdym modelu T .

Twierdzenie to mówi, że dana aksjomatyzacja jest dobra i pełna, wtym sensie, że twierdzenia dowolnej teorii matematycznej (opartejna danej aksjomatyzacji) to dokładnie te zdania, które spełnione sąw każdym modelu spełniającym aksjomaty tej teorii.

(Uwaga: dowodzi się go osobno dla każdej aksjomatyzacji!)

Twierdzenia Godla – inne ujęcie

Dwie definicje konsekwencji logicznej

Definicja semantyczna. Zdanie φ jest konsekwencją logiczną zbioruzdań ∆, jeśli w każdym modelu, w którym spełnione są wszystkiezdania ∆, spełnione jest również zdanie φ.

Odpowiada to klasycznej definicji prawdy logicznej(pochodzącej od Leibniza): zdanie jest prawdą logiczną wtedy, gdyspełnione jest we wszystkich możliwych światach.

Definicja syntaktyczna. Zdanie φ jest konsekwencją logiczną zbioruzdań ∆ (w sensie syntaktycznym), jeśli φ może być otrzymanez ∆ w skończonej ilości kroków przez zastosowanie danych regułwnioskowania.

Twierdzenie Godla o zupełności mówi, że obie te definicje sąrównoważne.

Twierdzenie Godla o niezupełności

Nie ma znaczenia dla logiki praktycznej, ale jest to najsłynniejszyrezultat logiki matematycznej:

Jeśli T jest dostatecznie bogatą teorią (zawiera odpowiednifragment arytmetyki), to w T istnieje zdanie φ takie że ani φ ani∼ φ nie maja dowodu w T .

Wniosek o nieudowadnialności niesprzeczności:

... w szczególności, w takiej teorii, nie da się udowodnić zdania ψmówiącego, że teoria T jest niesprzeczna.

Kwestie istotne z punktu widzenia logiki praktycznej:

I na czym polega formalizacja dowoduI rozmiar redukcji,likwidacja całej sieci pojęćI porównanie z procesem formalizacji procesu obliczania

(Turing) - algorytm vs poszukiwanie dowoduI formalne wnioskowania jako “przeformułowania”

Osobna kwestia wymagającą dobrego wyjaśnienia: jak to siędzieje, że nietrywialne i trudne matematyczne rozumowania dadząsię sprowadzić do (długich) ciągów czysto-językowych transformacji?

I myślowe światy matematycznych obiektówI to co intntersubiektywne zasadza się na języku i definicjach

więcej o osiągnięciach logiki formalnej:I A. Kisielewicz, Sztuczna inteligencja i logika, WNT 2014.I W.V.O. Quine, Filozofia logiki, PWN 1977.

TEZA: Logika stosując metody formalne odniosła bezprzykładnysukces stając się jedną z podstaw technologii komputerowej, atakże umożliwiając zrozumienie doniosłych faktów dotyczącychmatematyki. Jednocześnie jednak, jako ogólna nauka o zasadachprawidłowego rozumowania i jasnego wyrażania myśli poniosłacałkowitą porażkę.

Argumentacja

Argumentacja – czynność uzasadniania jakiegoś twierdzenia,zwanego wnioskiem lub tezą uzasadnianą, przy użyciu innychtwierdzeń zwanych przesłankami lub argumentami.

I charakter tezyI prawdziwość vs wartościI emocje vs rozumI Pascal

I do umysłuI do serca

I przekonywanie vs uzasadnianieI zastosowania czyto logicznej argumentacji – nauka,

podejmowanie decyzji, itp.I retoryka, erystyka

Argumentacja logiczna

Argumentacja logiczna – wyłącznie do rozumu

I nie postulujemy usunięcia retorykiI chodzi o rozpoznanie mechanizmówI nie twierdzimy, że retoryka nieważnaI wnioski logicznie – też mogą dotyczyć wartościI wykład – też o retoryce, rozpoznawanie elementów

retorycznych

Argumentacja logiczna

Tradycja – przesłanki, wniosek

Argumentacja prosta (ang. argument) – zestaw racji uzasadniającyjakąś tezę, fragment rozumowania złożony z twierdzenia (wniosku)oraz racji („argumentów”) wspierających to twierdzenie. Wnioseknazywany jest konkluzją, a racje – przesłankami (ang. conclusion,premises).

I To nie wyczerpuje jednak wszystkich form!I nie opisuje mechanizmów praktycznego logicznego

wnioskowania!I ⇒ zagadki logiczne, ⇒ druga część wykładu

————————————Uwaga terminologiczna: argumentacja prosta vs ang. argument – aset of reasons offered to support a claim

Diagramy

Przykład: Argument prosty

Jasne i logiczne myślenie jest ważną umiejętnością, więc wszyscystudenci powinni zaliczać kursy logicznego myślenia.[P: Jasne i logiczne myślenie jest ważną umiejętnością,] więc [W:wszyscy studenci powinni zaliczać kursy logicznego myślenia.]

P = Jasne i logiczne myślenie jest ważną umiejętnością,W = wszyscy studenci powinni zaliczać kursy logicznego myślenia.

P

W

Diagramy

Przesłanki związane (ang. linked) lub niezależne (ang. convergent).

Przykład: Przesłanki niezależne

Zbrodnia została popełniona przez kogoś z domowników. Bochociaż okno w salonie jest otwarte, to nie ma pod nim żadnychśladów, mimo że ziemia jest miękka po deszczu. Po drugie, zamekw kasecie jest nieuszkodzony; otworzono ją kluczem, który byłschowany za zegarem. Ponadto pies cały czas był spokojny i nieszczekał.

Diagramy: przesłanki niezależne

Przykład

W = Zbrodnia została popełniona przez kogoś z domowników.P1 = chociaż okno w salonie jest otwarte, to nie ma pod nimżadnych śladów, mimo że ziemia jest miękka po deszczu.P2 = zamek w kasecie jest nieuszkodzony. Otworzono ją kluczem,który był schowany za zegarem.P3 = pies cały czas był spokojny i nie szczekał.

P1 P2 P3

W

Diagramy: przesłanki związane

Przykład:

Takiego morderstwa mógł dokonać tylko ktoś bardzo silny. Georgejest słaby, więc George odpada.

P1 = Takiego morderstwa mógł dokonać tylko ktoś bardzo silny.P2 = George jest słaby.W = To nie George popełnił zbrodnię.

P1 P2

W

UWAGA: jednak czasami trudno rozstrzygnąć czy przesłanki sąniezależne czy związane; np. jedna działa niezależnie, a druga jestzwiązana.

Rozpoznawanie argumentacji

I nawet w tekście pisanym nie zawsze łatwo jest zidentyfikowaćargumentację

I indykatory wnioskowania więc, zatem, ponieważ, wynika,dowodzi, itp.ALE UWAGA: Ponieważ nie chciała się z nim umówić, poszedłdo domu. Nie chciała się z nim umówić, więc poszedł dodomu.

I własne zrozumienie tekstuI twierdzenie (claim) vs zdanie gramatyczne

FAKT: Znaczenie zdań języka naturalnego wyznaczone jest w dużymstopniu przez cały kontekst wypowiedzi, a nie jedynie przez składnikizdania. (→ później)

Metoda analizy argumentacji – pierwsze kroki

I Wyodrębnienie w tekście twierdzeń.I Zapisanie twierdzeń w formie skróconej.I Ustalenie relacji wniosek - przesłankiI Sporządzenie diagramu.

Niejawne przesłanki i wnioski

Nie wiesz, kim był Bertrand Russell, a zatem nie interesujesz sięfilozofią XX w.

Nie wiesz, kim był Bertrand Russell

Nie interesujesz się filozofią XX w

Niejawne przesłanki i wnioski

Nie wiesz, kim był Bertrand Russell, a zatem nie interesujesz sięfilozofią XX w.

przesłanka niejawna

Nie wiesz, kim byłBertrand Russell

Każdy kto interesuje sięfilozofią XX wieku wie,kim był Bertrand Russell.

Nie interesujesz się filozofią XX w

Niejawne przesłanki i wnioski

Każdy piernik jest brązowy, więc każdy wiatrak jest brązowy.

Każdy piernik jest brązowy

każdy wiatrak jest brązowy

Niejawne przesłanki i wnioski

Każdy piernik jest brązowy, więc każdy wiatrak jest brązowy.

przesłanka niejawna

Każdy piernik jest brązowy.Jeśli każdy piernik jest brązowy,to każdy wiatrak jest brązowy.

Każdy wiatrak jest brązowy.

I Ostrzeżenie: przesłanki niejawne muszą być istotne, niepowinny mieć charakteru formalnego

Rekonstrukcja deduktywistyczna

Założenie: Każda dobra argumentacja da się zrekonstruować jakoformalne wnioskowanie dedukcyjne.

PRZYKŁAD: W. Marciszewski, Metody analizy tekstu naukowego(PWN, Warszawa 1977).

„Rozsądek jest to rzecz ze wszystkich na świecie najlepiejrozdzielona, każdy bowiem sądzi, że jest w nią tak dobrzezaopatrzony, iż nawet ci, których we wszystkim innym najtrudniejjest zadowolić, nie zwykli pragnąć go więcej, niźli go posiadają. Niejest prawdopodobne, aby się wszyscy mylili co do tego; raczejświadczy to, iż zdolność dobrego sądzenia i rozróżniania prawdy odfałszu, co nazywamy właśnie rozsądkiem lub rozumem, jest znatury równa u wszystkich ludzi.”

R. Descartes, Rozprawa o metodzie

Rekonstrukcja deduktywistyczna

„Rozsądek jest to rzecz ze wszystkich na świecie najlepiejrozdzielona, każdy bowiem sądzi, że jest w nią tak dobrzezaopatrzony, iż nawet ci, których we wszystkim innym najtrudniejjest zadowolić, nie zwykli pragnąć go więcej, niźli go posiadają. Niejest prawdopodobne, aby się wszyscy mylili co do tego; raczejświadczy to, iż zdolność dobrego sądzenia i rozróżniania prawdy odfałszu, co nazywamy właśnie rozsądkiem lub rozumem, jest znatury równa u wszystkich ludzi.”

R. Descartes, Rozprawa o metodzie

(Marciszewski 1977) Przesłanki entymematyczne:

(E1) „Jeśli każdy sądzi, że jest w rozsądek dobrze zaopatrzony, tokażdy jest w rozsądek dobrze zaopatrzony”, oraz

(E2) „Jeśli każdy jest w rozsądek dobrze zaopatrzony, to rozsądekjest to rzecz ze wszystkich na świecie najlepiej rozdzielona”

Elementy oceny argumentacji

Metoda ARS

I Acceptability,I Relevance,I Sufficiency.

AkceptowalnośćI audience,I belief systems → retoryka,I logiczna argumentacja → general audienceI hipotetyczne wnioskowanie

Metoda ARS

Wiarygodność źródełI dzisiaj vs dawniejI wszystko dziś jest kwestionowane, nawet faktyI internetI solidna wiedza, wiedza naukowa, rozeznanieI post-prawda, talking points

RelewancjaBrak związku:

I nieświadomie (oszczędność poznawcza)I świadomie (chwyt erystyczny)

Sufficiency – konkluzywność

I Brak powszechnie akceptowanej metodyI wnioskowania dedukcyjne (ang. deductively valid),

Zadanie: Wyszukać w rzeczywistych tekstach (pisanych lubw Internecie) przykłady wnioskowań dedukcyjnych. Jak częstopojawiają się w praktyce argumenty tego typu?

Wnioskowania niededukcyjne (wniosek jedynieuprawdopodobniony)

I rachunek prawdopodobieństwa (wnioskowania statystyczne,Bayesian reasoning) – zastosowania matematyki

I w pozostałych: suffciency, enough support – w zasadzieniesprecyzowane.

Konkluzywność – Wnioskowania niededukcyjne

Nie ma żadnych konkretnych zasad dla ustalenia, czy danetwierdzenie o niededukcyjnym charakterze zostało wystarczającouzasadnione!

I ilość przesłanek? Nie.I zasada 50% – jesteśmy bardziej skłonni zaakceptować wniosek

niż go odrzucić.I ciężar dowodu (ang. burden of proof – ale to raczej domena

retoryki a nie – ustalenia prawdy.I „dobre rady”:

I jak „mocno” sformułowany jest wniosekI lepiej przedstawiać zagadnienie w wyważony sposób,

rozważając możliwe kontrargumenty – lepsze wrażenie (ale ilogika)

I błąd pochopnego wnioskowania lub uogólnienia; (ang. hastyconclusion, hasty generalization, jumping to conclusions).

Przykład z Russellem ponownie – konkluzywność

Nie wiesz, kim byłBertrand Russell

Każdy kto interesuje sięfilozofią XX wieku wie,kim był Bertrand Russell.

Nie interesujesz się filozofią XX w

I wnioskowanie przekształcone w dedukcyjne – problemkonkluzywności przesunięty do problemu akceptowalnościprzesłanki

I a chcielibyśmy wiedzieć czy wniosek jest słuszny, czy możemyna nim polegać

I taką metoda się tego nie dowiemy

Praktyka rozumowań matematycznych

.

I myślowe światy obiektów matematycznych (platonizm)I praktyczne wnioskowania odpowiadają semantycznej definicji

konsekwencji logicznej, a nie syntaktycznejI oczywiste jest..., jest jasne..., łatwo zauważyć....I różne modele = różne możliwości

Główne cechy praktycznych rozumowań matematycznych

.

1. olbrzymi zasób ścisłych twierdzeń w formie implikacji(głębokie i dalekosiężne wnioski)

I Z formalnego punktu widzenia stosujemy tu regułę modusponens, jednakże uświadomienie tego dopiero w XIX wieku

2. mniej i bardziej rutynowe metody obliczeń lub typowegorozumowania

I efektywność, przeciwieństwo formalnego dowodu, wielki zbiórwyspecjalizowanych metod

3. elementarne logiczne wnioskowanie – nie wymagające żadnychzaawansowanych metod poza ewentualną elementarną analiząodwołującej się do zdrowego rozsądku (naturalnego rozumu)

Dwa typy dowodu matematycznego

I liniowy vs. dowód przez przypadki (proof by exhaustion). –struktura przeciwna do liniowej, struktura drzewa przypadków

I liniowe dominują w dziedzinach, gdzie mamy dużą wiedzę wformie twierdzeń i metod obliczeniowych, podczas gdy dowodyprzez przypadki większą rolę odgrywają tam, gdzie wiedza jestuboższa i wymagana jest bardziej elementarna analizaproblemu.

I dowód liniowy można potraktować jako skrajny przypadekdowodu przez przypadki i vice versa (ale wtłaczanie dowoduprzez przypadki w liniowość jest nieco sztuczne).

I Jako wzorzec dowodu w logice formalnej – dowód liniowy, aledo naśladowania, naturalny – dowód przez przypadki (drzewadecyzyjne)

I dowód nie wprost – częsty element praktycznych dowodów, wpraktyce → drzewo przypadków

Rola schematów formalnego wnioskowania

I twórczy charakter konstruowania dowodu, także prezentacjarozumowania wymaga dodatkowych czynności twórczych,

I Wyobrażenie, że rozumowanie matematyczne może polegać nasystematycznym stosowaniu jakichś formalnych schematówjest więc całkowicie fałszywe.

W praktyce rozumowań matematycznych schematy formalnegownioskowania, ani inne osiągnięcia formalnej logiki, nie majązasadniczo żadnego istotnego zastosowania.

I “zasadniczo” i “istotnego” oznaczają, że można wskazać tupewne wyjątki →

Warte wskazania wyjątki:

I Uświadomienie sobie formalnych podstaw rozumowań,przywoływanie pewnych praw, pozwala na większą rutynę

– prawo kontrapozycji przy zaprzeczaniu jakiejś implikacji,– prawa de Morgana, zaprzeczenie kwantyfikatorów– gdy zdanie zawiera wiele kwantyfikatorów, warto przywołać

jego zapis symboliczny dla większej klarowności– czasami przy zamieszaniu pojęciowym dobrze jest wprost

odwołać się do pewnych definicji logicznych

I Jednakże wszystko to ma charakter raczej wyjątkowy, dotyczytylko matematyki, i tylko matematyki współczesnej

I Jedni matematycy w większym stopniu sięgają (w pewnychszczególnych sytuacjach) po narzędzia z logiki formalnej, inni– w mniejszym.

I I rzecz najważniejsza: te przywołania występują jedynie wtypowo matematycznym kontekście (poza matematyką nikt nieużywa zdań z wieloma kwantyfikatorami pod rząd i nie ma potrzebyzaprzeczania formalnej implikacji).

Weryfikacja dowodów matematycznych

I charakter zupełnie nieformalny – ani mechaniczna, aniniezawodna, i co więcej — nie ma nawet jasno określonychreguł.

I reguły formalnego wnioskowania nie mają w tej metodzieżadnego zastosowania,

I główną rolę odgrywa pojęcie „oczywistości”(Inną sprawą jest zrozumienie dowodu, uchwycenie jego idei)

I w praktyce redagowania prac matematycznych – wnioski niezawsze są całkiem oczywiste

I mogą zająć dwa przypadki: albo po pewnym namyśle: wniosekoczywisty albo pojawiają sią problemy i wątpliwości:

I wtedy: znaleźć kontrprzykład – podstawowy sposób obalaniarozumowania matematycznego

I dowód nie jest zadowalający, jest niejasny, dany krok nie jestwystarczająco uzasadniony vs błędny (= istniejekontrprzykład)

Weryfikacja dowodów matematycznych (2)

I niemożność skonstruowania kontrprzykładu może uświadomićdlaczego kontrprzykładu nie da się skonstruować, i dlaczegowniosek jest w istocie rzeczy ...oczywisty

I niewiele pomoże tu nasza znajomość formalnych regułwnioskowania – potrzebne jest odpowiednie rozeznanie wdanej dziedzinie matematyki i wyobraźnia – umiejętnośćkonstruowania kontrprzykładów.

Wyszukiwanie kontrprzykładów, innych nieuwzględnionych wrozumowaniu możliwości, jest podstawą krytycznej weryfikacjimatematycznych dowodów.

I typowe błędy w dowodach = luki (nieuwzględnionemożliwości)

I znalezienie kontrprzykładu, obala wniosek, i znajduje topotwierdzenie w logice formalnej: istnieje model, w którymteza nie zachodzi

Rozumowania matematyczne – rozumowania dedukcyjne

I Rozumowania matematyczne – sztandarowy przykładrozumowań dedukcyjnych rozumianych jako takie, któreprowadzą do wniosków pewnych (subiektywnie pewnych).

I Żeby wniosek w rozumowaniu był pewny → ... ścisłość →(szeroko rozumiane) rozumowania matematyczne.

I np. rozumowania związane z rozwiązywaniem wielu typówzagadek logicznych.

I żadnych twierdzeń i metod → elementarne logicznerozumowanie, którego praktyczną podstawą jest analizamożliwości.

I większość tego typu zagadek rozwiązuje się rozważając(eliminując) różne możliwości; czasami przechodzi to wmetodę prób i błędów.

I Formalne schematy logicznego wnioskowania nie mają tużadnego zastosowania.

Zastosowania rozumowań dedukcyjnych

I Rozumowania dedukcyjne tylko do przedmiotów i procesówdających się ściśle (matematycznie) opisać.

I Jednakże nawet w takich przypadkach, często bardziejefektywne okazują się rozumowania niededukcyjne.Najlepszym przykładem jest gra w szachy.

I niezupełne analizy możliwościI nic do rzeczy nie mają tu formalne schematy wnioskowaniaI niezupełność → niepewność (błędne ustalenia w teorii)

W tej sytuacji zakładanie, że formalne schematy wnioskowania mogąbyć przydatne w codziennej praktyce rozumowań niededukcyjnych(i dlatego należy ich uczyć na kursach praktycznej logiki) jestewidentnym nieporozumieniem i oderwaniem od rzeczywistości.

Zastosowania rozumowań dedukcyjnych (2)

I Rozumowania dedukcyjne mają sens tylko w kontekściecałkowicie ścisłych pojęć, a w codziennych rozumowaniach lubnawet w praktyce nauk szczegółowych rzadko kiedy operujemycałkowicie ścisłym językiem.

I Wyjątkiem są bezpośrednie zastosowania metod matematycz-nych, ale w tych nie korzysta się z formalnych schematówwnioskowania, tylko z praktycznych reguł danej metody. (Inależy je oddzielić od elementarnych logicznych wnioskowań).

I Ale – UWAGA – całkowicie ścisły kontekst nie oznaczacałkowicie ścisłego języka, a jedynie całkowicie ścisłą formę,która podlega przeformułowaniu. Temu należy się przyjrzećdokładniej.

I czy schematy formalnych wnioskowań można wykorzystać wpraktyce? – WĄTPLIWE – ale inne elementy:

Formalne spójniki logiczne w praktyce

I znaczenie spójników “i” oraz “lub” (∧, ∨)I spójnik zaprzeczenia ∼

I dowód poprzez sprowadzenie do absurdu – zwykle retorycznycharakter

I spójnik implikacji → “jeśli ... to” używany jest w językunaturalnym zazwyczaj w kontekście intensjonalnym,

I paradoks implikacjiI kwantyfikatory w języku naturalnym, ze zwrotami kwantyfi-

kującymi takimi jak “wszyscy”, “każdy”, “pewien”,I kolokwialne znaczenia zdań z takimi zwrotami zazwyczaj nie

mają nic wspólnego ze ścisłym formalno-logicznym ichtłumaczeniem.

I Schematy wnioskowania z kwantyfikatorami są zupełnienieprzydatne w praktyce rozumowań niededukcyjnych.

I schematy formalne → w praktyce = przeformułowania,I zastosowanie formalne → zazwyczaj retorykaI przeformułowania → zwykle uzupełniające, uściślające sens

twierdzenia

Elementy logiki formalnej w logice praktycznej

I Są więc elementy logiki formalnej o potencjalnym praktycznymzastosowaniu: (np: znaczenia spójników logicznych,diagrammy Venna, czy budowanie formuł booleowskich)

I powinny być uczone jednak z dobrym wyjaśnieniem ichpotencjalnych zastosowań.

I Nauczanie formalnych schematów wnioskowania w takiejformie jak to jest robione (z fałszywą sugestią że może się toprzydać w praktycznym wyciąganiu wniosków lub weryfikacjirozumowań logicznych) należy uznać wreszcie za całkowiciebłędny kierunek w edukacji wynikający z niedostatecznegorozpoznania istoty praktycznego logicznego myślenia.

W praktycznych rozumowaniach niematematycznych(niededukcyjnych) nie mamy ani precyzyjnych twierdzeń, aniogólnych rutynowych metod (wyłączając bezpośredniezastosowania matematyki) – zostaje więc elementarna analizamożliwości (praktyka, Kartezjusz).

Test na inne możliwości

I Analiza możliwości (→ druga część wykładu)I “Testing by possible counterexamples”I Czy istnieje rozsądna możliwość? (że przesłanki są prawdziwe,

a wniosek fałszywy? - jako końcowy element metody ARS imetoda oceny konkluzywności

I ARS+imI krytyka: zależy od indywidualnej wyobraźni, wiedzy i trafności

sądówI kontra:

1. ARS też2. im – zgodne z praktycznymi metodami logicznego

rozumowania (w matematyce)3. ARS nic nie traci na dodaniu tego elementu4. dalej zobaczymy, że praktyczne, niededukcyjne wnioski logiczne

zależą od indywidualnej wyobraźni i wiedzy! (nie są w pełniobiektywne!) – więc...

Problem braku bezstronności

I pełny obiektywizm – w zasadzie nieosiągalnyI szczególny punkt widzenia, własna perspektywa poznawczaI ang. biasI ale całe spectrum: perspektywa poznawcza, szczególny punkt

widzenia, pozytywne zaangażowanie, nastawienie, uprzedzenie,tendencyjność, stronniczość, zaślepienie.

I konflikt interesów → stronniczość ang. vested interest, conflictof intrests

I chociaż pewne uleganie własnej perspektywie poznawczejzrozumiałe, to warto zdawać sobie sprawę: dobór słów,sformułowania przesądzające kwestię, niedostrzeganie, że dlainnych sprawa może być sporna, itd.

I zjawisko wymaga pewnej tolerancji i zrozumieniaI pytanie: w którym momencie stronniczość staje się

nieakceptowalna – zbytnie uleganie własnej perspektywiepoznawczej – jawna stronniczość (ang. illegitimate bias).

Wykrywanie nieakceptowalnej stronniczości

I pomijanie niewygodnych faktów, wybiórczość w prezentacjifaktów (slanting by omission)

I zniekształcanie faktów, przesada, podkolorowywanie,nierzetelne referowanie (slanting by distortion)

I atakowanie chochoła (straw argument).I odwracanie uwagi (red herring)

I „A u was biją murzynów”

Przykład: Kornel Morawiecki w dyskusji nad TK: „Nad prawem jestdobro narodu” referowane jako „Nad prawem jest wola narodu”

Zasada życzliwej interpretacji — principle of charity�

�

�

�1. przyjęcie założenia, że tezy i argumenty są racjonalne, oraz

2. stosowanie wobec każdego twierdzenia zawartego w tekścienajlepszej możliwej interpretacji.

I Problem: nieścisłość zdań języka naturalnego, różneinterpretacje

I w dyskusji, w sporze: tendencja do nieżyczliwej interpretacjiI nieświadomie stosujemy „zniekształconą interpretację” i

„atakowanie chochoła”I życzliwa interpretacja – podejście ekonomiczne, wspólne

dojście do prawdy (dialog poznawczy)I idzie w parze z założeniem sapienti sat – „mądrej głowie, dość

po słowie” (nasze wypowiedzi adresujemy do ludzirozumnych),

Zasada życzliwej interpretacji — principle of charity

Ludzie nie są tacy głupi, jak nam się wydaje. Są głupsi.

I dość rozpowszechniona postawa,I to wcale nie świadczy o mądrości i roztropności,I ogranicza możliwości skorzystania z cudzej mądrości.

Ludzie nie są tacy głupi, jak nam się wydaje. Są mądrzejsi.

I granica stosowania życzliwej interpretacjiI przykład ze światłami na skrzyżowaniu

Metoda oceny argumentacji

1. wstępna ocena stronniczości

2. wyróżnienie i klasyfikacja fragmentów tekstu (zdaniaorganizujące, dygresje i wątki poboczne, opisy faktów icudzych stanowisk, sformułowania głównych tez)

3. dygresje i wątki uboczne (czerwone śledzie?)

4. referowanie faktów i stanowisk – wybiórczość, nierzetelność?Dalej: stosując zasadę życzliwej interpretacji:

5. główna teza? - o co autorowi chodzi? co usiłuje udowodnić?(what point is he trying to make?).

6. identyfikacja niejawnych przesłanek i niejawnych wniosków

7. wyróżnienie i nazwanie logicznych elementów tekstu

8. sporządzenie diagramu argumentacji

9. ocena argumentacji metodą: ARS+im / analizy możliwości

10. odnotowanie nieuwzględnionych możliwości (do dalszejdyskusji).

Argumentacje dotyczące wartości

Wartości moralne i utylitarne (dobro–zło, lepsze–gorsze),powinności, podejmowanie decyzji, wydawanie wyroków — tu teżjest miejsce na logiczną argumentacjęPrzkładowo:

I To rozwiązanie jest będzie lepsze dla firmy (dla kraju),I TVX jest bardziej obiektywna niż TVY,I Z nauki ewangelicznej wynika, że aborcja jest złem,

I hierarchia wartości i przekonań (belief system)I rozsądny cel dyskusji – ujawnienie jakie różnice w hierarchii

wartości powodują różnicę poglądów w danej kwestiiI metoda argumentacji za i przeciw – szczególnie przy tezach,

gdy różnica lepsze-gorsze jest niewielkaI „żywe dyskusje” – zwykle strony pozostają przy swoich

racjach, „przerzucanie się argumentami”, niewielki walorpoznawczy?

I narracje, talking points, ideologizacja mediów