POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018

DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0007

__________________________________________ * Politechnika Opolska

Marcin KULIK*, Bernard BARON*, Mariusz JAGIEŁA*

ZASTOSOWANIE METODY INTERIOR POINT W OPTYMALIZACJI DODATKOWYCH CEWEK

ELEKTROMAGNETYCZNEGO UKŁADU POZYSKIWANIA ENERGII Z DRGAŃ

W artykule przedstawiono zastosowanie algorytmu interior point, na przykładzie optymalizacji elektromagnetycznego układu do pozyskiwania energii z drgań mecha-nicznych. Układ ten składa się z płaskiej sprężyny, na której zamocowano dwa jarzma z magnesami trwałymi. Pomiędzy jarzmami umieszczono cewkę, w której pod wpływem drgań, a co za tym idzie przemieszczeń sprężyny, indukuje się siła elektromotoryczna. Na podstawie obliczeń polowych stwierdzono, że zwiększenie indukowanego napięcia możliwe jest przez wykorzystanie strumienia po zewnętrznych stronach jarzm. W niniej-szej pracy optymalizowano wymiary oraz rozmieszczenie dodatkowych cewek tak, aby uzyskać jak największą amplitudę tego napięcia. SŁOWA KLUCZOWE: optymalizacja, interior point, drgania, pozyskiwanie energii.

1. WSTĘP

Zasada działania elektromagnetycznych przetworników energii drgań me-chanicznych w energię elektryczną (ang. Electromagnetic Energy Harvesters) wykorzystujących element inercyjny, opiera się na względnym przemieszczaniu magnesów trwałych i cewki, pod wpływem zewnętrznych wibracji [1, 2]. W wyniku tego, zgodnie z prawem Faraday’a, indukowane jest napięcie elek-tryczne. Największe amplitudy przemieszczenia uzyskuje się, gdy częstotliwość siły zewnętrznej pokrywa się z częstotliwością rezonansową układu (w układach nieliniowych zależącą również od siły zewnętrznej). Przetworniki te mogą być stosowane do zasilania bezprzewodowych czujników, konwencjonalnie korzy-stających z baterii, co zwiększa niezawodność oraz znacząco obniża koszty eks-ploatacji [1, 3].

W pracy analizowany jest elektromagnetyczny minigenerator z nieliniowym rezonansem elektromechanicznym, szerzej opisany w pracy [4]. Na podstawie analizy rozkładu strumienia magnetycznego (rys.1), stwierdzono, że możliwe

90 jest wykojarzm do umieszczorozważonZe wzglęrysunku je a)

Rys. 1. Elek

Dwuwpomocą p

gdzie A jenatomiast czonym mjest na poW pracy ojarzm z ma

gdzie x =przecznegPonieważ cji, pochozyczny sen

Ma

orzystanie strpozyskania

onej pomiędno dodanie dwędu na wystest zredukow

ktromagnetycznniow

wymiarowe pprawa Ampèr

est wektorowyJM jest zastę

metodą powłokodstawie anaoptymalizowaagnesami trw

= [x1, x2, x3] to dodatkowejwiększość aldna strumienns zmiennych

arcin Kulik, B

rumienia rozdodatkowej

dzy poruszajwóch cewek tępowanie sywany do poło

ny układ pozyskwy, b) rozkład s

pole magnetyre’a w postac

ym potencjałeępczym prądek prądowych

alitycznego roano pochodną

wałymi, co pro

( )f x

to wektor zmj cewki, jak nlgorytmów opnia skojarzoneh x1, x2, x3, zas

ernard Baron,

proszonego j energii elejącymi się jpo ich zewn

ymetrii w uowy układu.

kiwania energiistrumienia magn

yczne w tymci różniczkow

2

0

MJA

em magnetycem pochodząch [4, 5]. Strumozwiązania róą strumienia wowadzi do fun

( , )

x

miennych decna rys. 1), natptymalizacji jego jest pomstosowano fun

, Mariusz Jagi

po zewnętrzektrycznej. Ojarzmami z nętrznej stronkładzie, obs

b)

i z drgań mechanetycznego dla

m przetwornwej

cznym, ν0 jestcym od magn

mień skojarzonównania (1),

w punkcie zernkcji celu post

0

cyzyjnych (wtomiast ζ to pjest tworzona

mnożona przeznkcję ogranic

ieła

znej stronie rOprócz głów

magnesami nie, jak na ryszar przedsta

anicznych a) moζ = 0

niku można

t reluktywnośnesów trwałyny z cewką w, metodą Fourowego przemtaci

wymiarów przprzemieszczea do minimaliz -1. Aby za

czeń w formie

ruchomych wnej cewki

trwałymi, ysunku 1a). awiony na

odel oblicze-

opisać za

(1)

ścią próżni, ych wyzna-wyznaczany urier’a [4].

mieszczenia

(2)

zekroju po-enie jarzm. izacji funk-achować fi-e

6 ( )g x

przy czymczynnikieWykresy wartości t

R

R

Zastosow

1( )g x

4 (g x

14k( xx

m xc = 18,39 em zapełnienzmienności trzeciej zmie

Rys. 2. Wykres z

Rys. 3. Wykres z

wanie metody

1 cxx ; 2g

2) q x x x

c 3 2x )( )

Nπ

x x

mm, p = 75nia cewki zwfunkcji celu

ennej) przeds

zmienności fun

zmienności fun

y interior point

( ) 0g x

2( ) 1x x ;

3 1x ; 5 ( )g x

0,2 ; 7 (g x

5 mm, q = 75wojami, N =w zależnośc

stawiono na r

nkcji celu w zale

nkcji celu w zale

t w optymaliz

3 3( )g x x

1) p xx

4) 0,4 x

5 mm (rys. 1= 1000 jest ci od dwóch zrysunkach 2,

eżności od zmie

eżności od zmie

zacji …

2 1x ;

cx 1 ,

1 c 3k( x )(

Nπ

x x

1a), k = 0,8 jliczbą zwojózmiennych (, 3 oraz 4.

ennych x1 oraz

ennych x1 oraz

91

(3)

3 2 )x

est współ-ów cewki. (przy stałej

x2

x3

92

R Jak mogranicy prrysunku 4wypłaszczmają tylkrównościo We wscji. Metodz przesuwi gradientudowane bnych krok(1-2). Kolinterior ppoprawnometodę innienie wa

Zakładujemnych

Ma

Rys. 4. Wykres z

ożna zauważrzedziału dop4 widać lokazenie funkcjo charakter powych (3). stępnym etapdy bezgradie

wanymi funku sprzężoneg

było to „wyckach obliczelejnymi testooint [7, 8]. Z

ość uzyskanynterior point arunków (3) w

2

dając ogranih elementach

arcin Kulik, B

zmienności fun

żyć, na rysunpuszczalnej alne minimui dla wyższypoglądowy,

pie badań teentowe, taki

kcjami kary, go [6], nie dchodzeniem”eniowych, coowanymi algZe względu

ych wynikówz logarytmi

w każdej iter

2. METOD

czenia nieróh, otrzymujem

ernard Baron,

nkcji celu w zale

nku 2 i 3 minzmienności z

um w okolicaych wartościz uwagi na n

estowano różie jak metodjak również

dawały satys” tych algoryo generowałogorytmami by

na szerszą w dla badaneiczną funkcjracji [6, 7, 8

DA INTERI

ównościowe my [6]

, Mariusz Jagi

eżności od zmie

nimum funkcjzmiennych xach punktu [ zmiennych.nieliniową fu

żne algorytmda Powell’a ż metody grasfakcjonującyytmów poza o błędy w royły metoda iścieżkę zbie

ego problemuą barierową,, 9, 10].

IOR POINT

oraz wektor

ieła

ennych x2 oraz

ji celu jest ox2 oraz x3, na[15 mm, 15 . Jednakże, wunkcję ogran

my minimalizoraz Hook’

adientowe tyych wynikówograniczeni

ozwiązywannterior point

eżności, szybu, zdecydow, która zapew

T

r zmiennych

x3

siągane na atomiast na

mm] oraz wykresy te niczeń nie-

zacji funk-a-Jeeves’a

ypy BGFS w. Spowo-a w kolej-

niu równań t oraz non-bkość oraz

wano się na wnia speł-

h x o nie-

Zastosowanie metody interior point w optymalizacji … 93

min ( )fx

x (4)

( ) 0g x (5)

0, 1,2,...,i xx i n , ( ), 1,2,...,i gg i nx

gdzie x, f, g(x), nx, ng to odpowiednio wektor zmiennych, optymalizowana funk-cja celu, wektor ograniczeń nierównościowych, liczba zmiennych oraz liczba ograniczeń nierównościowych. Wprowadzając wektor nieujemnych zmiennych dopełniających z oraz stosując logarytmiczną funkcję barierową, problem (4) można zastąpić zadaniem

1

min ( ) ln( )gn

k ii

f z

xx (6)

( ) 0 g x z , 0z (7) gdzie μk jest parametrem barierowym, sprowadzanym do zera w kolejnych itera-cjach. W wyniku tego, kolejne przybliżenia problemu (6) dążą do rozwiązania zadania (4). Minimum lokalne funkcji (6), uwzględniając zależności (7), jest osiągane wtedy, gdy gradient funkcji Lagrange’a jest równy zero

T

1

( , ) ( ) ln( ) ( ( ) )gn

k k k ii

L f z

y x π g x z (8)

T( ) ( ( ))

( , ) ( )

( )k k k

f

L diag

x x

y

x g x π

y z π e 0

g x z

(9)

gdzie yk = [xT, zT, πT]T, π jest wektorem mnożników Lagrange’a ograniczeń nierów-nościowych, natomiast e jest wektorem jednostkowym. Otrzymany układ równań nieliniowych (9) rozwiązywany jest za pomocą metody Newtona-Raphsona

2( ( , )) ( , )k k k k kL L y yy y y (10)

co można zapisać jako 2 2 T T T( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( )

( ) ( )k

f f

diag diag diag

x x x x x

x

x π g x 0 g x x x g x π

0 π z z z π e

g x 1 0 π g x z

(11)

gdzie Δy = yk+1 - yk, 1 jest macierzą jednostkową. Wartości poszczególnych zmien-nych w kolejnych krokach algorytmu, obliczane są z następujących zależności

1p

k k k k x x α x (12)

1p

k k k k z z α z (13)

1d

k k k k π π α π (14)

94 przy czym

są odpowiwierającymczeństwa rznaczany j

gdzie σk jenienia warrostów zm Algoryrównościo

Rys. 5. S

Ma

m

α

α

iednio długośmi się w przedrównym 0,99jest ze wzoru

est parametrerunków komp

miennych prymytm metody iowymi przeds

Schemat metody

arcin Kulik, B

min 1,pk

α

min 1,dk

α

ściami krokówdziale wartoś

9995. Paramet

k

em skalującymplementarnoścmalnych poniinterior point stawia rysunek

y interior point

ernard Baron,

min i

i

z

z

min i

i

w zmiennych

ści (0,1], natomtr barierowy

T

1 2k k

kgn

z π

m. Obliczeniaci oraz uzyskżej zadanego dla zadania

k 5.

w optymalizac

, Mariusz Jagi

0iz

0ii

h prymalnychmiast γ jest ww kolejnych

a wykonywankania wartości

błędu dopuszoptymalizacj

cji z ograniczen

ieła

h oraz dualnywspółczynniki

krokach algo

ne są do momi normy z wezczalnego rówji z ogranicze

niami nierównoś

(15)

(16)

ych [7], za-iem bezpie-orytmu wy-

(17)

mentu speł-ektora przy-wnego 10-7. eniami nie-

ściowymi

Zastosowanie metody interior point w optymalizacji … 95 Program realizujący powyższy schemat został napisany w środowisku Visual C#, korzystając z biblioteki metod optymalizacji, opracowanej w Instytucie Sys-temów Napędowych i Robotyki Politechniki Opolskiej [6].

3. WYNIKI OPTYMALIZACJI Obliczenia minimum funkcji celu (6) przeprowadzono dla punktów starto-wych losowanych z obszaru ograniczonego zależnościami (3). Wyniki optymali-zacji dla trzech różnych punktów początkowych zestawiono w tabeli 1. W tabeli 2 przedstawiono wartości wektora ograniczeń nierównościowych dla punktów startowych oraz punktu optymalnego. Tabela 1. Wyniki optymalizacji dla trzech różnych punktów startowych.

Punkt startowy x0 f(x0) Liczba iteracji Czas obliczeń Rozwiązanie xopt f(x)

[20,97 4,03 30,05]T -0,77 14 2,83 s [22,51 10,22 19,75]T -1,20 [22,39 7,82 23,40]T -1,00 13 2,70 s [22,51 10,22 19,75]T -1,20

[28,43 11,04 15,86]T -0,90 13 2,67 s [22,51 10,22 19,75]T -1,20 Tabela 2. Wartości funkcji g(x) dla wektora warunków początkowych x0 i wektora roz-wiązań xopt.

Punkt startowy x0 Punkt startowy x0 Punkt startowy x0 Rozwiązanie xopt x0 =[20,97 4,03

30,05] x0 =[22,39 7,82

23,40] x0 =[28,43 11,04

15,86] xopt =[22,51 10,22

19,75]

0

2,58

3,04

25,01

( ) 34,92

29,64

0,06

0,14

g x

0

4,00

6,82

14,58

( ) 37,78

28,22

0,05

0,15

g x 0

10,04

10,04

3,81

( ) 42,10

22,18

0,02

0,18

g x

4,12

9,22

8,53

( ) 39,02

28,11

0,00

0,2

opt

g x

Jak można zauważyć, algorytm interior point znalazł rozwiązanie optymalne (spełniające ograniczenia nierównościowe) w tym samym punkcie, niezależnie od wylosowanego punktu startowego. Wartość funkcji celu wyniosła -1,20 Vs/m. Czas obliczeń dla każdego przypadku nie przekroczył 3 sekund. Rysunek 6 przedstawia przebieg normy wektora przyrostu zmiennych prymalnych, normy przyrostu wartości funkcji celu w kolejnych krokach oraz normy gradientu funk-cji Lagrange’a dla przykładowego punktu startowego.

96

Rys. 6. Pr

Rys

Ma

rzebieg norm w

s. 7. Zależność p

arcin Kulik, B

wektorów Δx, Δfx0 =

pochodnej strum

ernard Baron,

f oraz L w kol[20,97 4,03 30

mienia skojarzo

, Mariusz Jagi

lejnych iteracja0,05]

onego z cewką

ieła

ach dla punktu s

od przemieszcz

startowego

zenia

Zastosowanie metody interior point w optymalizacji … 97 Rysunek 7 przedstawia zależność pochodnej strumienia skojarzonego z cew-ką od przemieszczenia jarzm dla czterech różnych wektorów x. Linią ciągłą oznaczono przebieg dla rozwiązania optymalnego, natomiast pozostałe krzywe wyznaczono dla punktów startowych, jak w tabeli 1. Biorąc pod uwagę symetrię układu, przebieg pochodnej strumienia jest taki sam dla drugiej cewki.

4. WNIOSKI

W pracy zoptymalizowano wymiary dodatkowych cewek elektromagnetycz-nego układu pozyskującego energię z drgań mechanicznych, co znacząco po-większa sprawność minigeneratora. Obliczenia przeprowadzono metodą interior point, która poradziła sobie z nieliniowymi ograniczeniami nierównościowymi, zapewniając przy tym ich spełnienie w każdej iteracji. Aktualnie prowadzone są prace związane ze skonstruowaniem zoptymalizowanego układu, których wyniki zostaną wkrótce przedstawione. Praca została zrealizowana w ramach projektu nr 2016/23/N/ST7/03808 finansowanego

przez Narodowe Centrum Nauki

LITERATURA

[1] Mitcheson P. D., Yeatman E. M., Rao G. K., Holmes A. S., Green T. C., Energy Harvesting From Human and Machine Motion for Wireless Electronic Devices, Proceedings of the IEEE, vol. 96, no. 9, pp. 1457-1486, 2008.

[2] Kulik M., Jagieła M., Harvesting mechanical vibrations energy using nonlinear electromagnetic minigenerators – a survey of concepts and problems, Poznan Uni-versity of Technology Academic Journals, Electrical Engineering, No 90, pp. 347-358, 2017.

[3] Saha C. R., O’Donnell T., Loder H., Beeby S., Tudor J., Optimization of an Elec-tromagnetic Energy Harvesting Device, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 42, no. 10, pp. 3509-3511, 2006.

[4] Jagieła M., Kulik M., Torsion and axial moment in a new nonlinear cantilever-type vibration energy harvester, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, ukaże się w roku 2018.

[5] Lee H., Noh M. D., Park Y. W., Optimal Design of Electromagnetic Energy Har-vester Using Analytic Equations, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 53, no. 11, pp. 1-5, 2017.

[6] Baron B., Połomski M., Kolańska Pluska J., Programowanie nieliniowe w języku C#, Wydawnictwo Politechniki Opolskiej, 2018 (w druku).

[7] Połomski M., Baron B., Optimal Power Flow by Interior Point and Non Interior Point Modern Optimization Algorithms, Acta Energetica, 1/14, pp. 132-139, 2013.

[8] Patra S., Goswami S.K., Optimum power flow solution using a non-interior point method, Electrical Power and Energy Systems, 29, pp. 138–146, 2007.

98 Marcin Kulik, Bernard Baron, Mariusz Jagieła

[9] Klintberg E., Gros S., An inexact interior point method for optimization of differ-ential algebraic systems, Computers and Chemical Engineering, 92, pp. 163-171, 2016.

[10] Qiu S., Chen Z., An interior point method for nonlinear optimization with a quasi-tangential subproblem, Journal of Computational and Applied Mathematics, 334, pp. 77-96, 2018.

APPLICATION OF THE INTERIOR POINT METHOD IN OPTIMISATION OF ADDITIONAL COILS OF A NONLINEAR ELECTROMAGNETIC

VIBRATION ENERGY HARVESTER

The paper presents application of the interior point algorithm, developed in the Insti-tute of Drive Systems and Robotics, at the Opole University of Technology, to design optimization of the electromagnetic energy harvester. The system consists of a beam spring with the two attached yokes with permanent magnets. A coil is placed between the yokes, in which the electromotive force is induced due externally applied vibrations. On the basis of field calculations, it was found that it is possible to use the leakage flux existing on both exterior sides of the yokes. In this work the dimensions and placement of additional coils, to obtain the highest amplitude of the flux linkage derivative, are optimized providing significant rise of the induced voltage with respect to basic configu-ration. (Received: 30.01.2018, revised: 05.03.2018)