22
Zbigniew Osiak SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Zbigniew Osiak SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI · Szczególna Teoria Względności jest pierwszą częścią tryptyku, pozostałe dwie to: • Ogólna Teoria Względności • Twórcy

  • Upload
    vuthu

  • View
    235

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Zbigniew Osiak

SZCZEGÓLNATEORIA

WZGLĘDNOŚCI

2

3

Matematyka powinna być służącą, a nie królową.

Joli,mojej żonie poświęcam

Zbigniew Osiak

SZCZEGÓL�ATEORIA WZGLĘD�OŚCI

MECHA�IKA RELATYWISTYCZ�APOLE ELEKTROMAG�ETYCZ�E

4

© Copyright by Zbigniew Osiak

Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji

zabronione bez pisemnej zgody autora.

Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowej

Małgorzata Osiak

Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej

Rafał Pudło

Wydawnictwo: Self Publishing

ISBN: 978-83-272-3464-3

e-mail: [email protected]

5

WSTĘP

Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę.

Szczególna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na któ-rych wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich.Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.

Szczególna Teoria Względności jest pierwszą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:• Ogólna Teoria Względności• Twórcy Teorii Względności

Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się wtrzeciej części tryptyku.

Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew NikołajewiczLandau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi-wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanieistoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru.

Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat.

Zbigniew Osiak

Wrocław, wrzesień 2004

6

SPIS TREŚCI

STRO�A TYTUŁOWA

STRO�A PRAW AUTORSKICH

WSTĘP

MECHA�IKA RELATYWISTYCZ�A

1. Postulaty Einsteina 12• Postulaty Einsteina 12• Kowariantność (współzmienniczość) równań względem transformacji Lorentza 12• Inwariantność prędkości światła w próżni względem transformacji Lorentza 12

2. Transformacje Lorentza 13• Szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych 13• Przestrzeń Minkowskiego 14• Przekształcenia Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni 14• Własności znakowe kwadratu odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń 15

3. Macierz transformacji Lorentza 16• Macierz transformacji Lorentza 16• Macierz odwrotnego przekształcenia Lorentza 17

4. Podstawowe wnioski wynikające z transformacji Lorentza 18• Równoczesność zdarzeń i następstwo czasowe 18• Dylatacja czasu 19• Kontrakcja (skrócenie) długości 19• Podstawowy eksperyment szczególnej teorii względności 20

5. Czas własny 21• Czas własny 21

6. Grupa Lorentza 22• Grupa Lorentza 22• Szczególne transformacje Lorentza 23• Obroty trójwymiarowe 23• Inwersje osi współrzędnych przestrzennych 24• Odwrócenie (inwersja) czasu 24• Przekształcenie tożsamościowe 24• Grupy Poincaré i Lorentza jako grupy Liego 24

7. Transformacje Lorentza czterowektora 28• Czterowektory 28• Transformacja Lorentza czterowektora 28• Kwadrat modułu czterowektora jako niezmiennik 28• Odwrotna transformacja Lorentza czterowektora 29• Iloczyn skalarny dwóch czterowektorów jako niezmiennik 29

7

8. Transformacje Lorentza czterotensora drugiego rzędu 30• Czterotensory drugiego rzędu 30• Transformacja Lorentza czterotensora drugiego rzędu 30• Odwrotna transformacja Lorentza czterotensora drugiego rzędu 32• Ślad tensora jako niezmiennik 33• Wyznacznik tensora jako niezmiennik 34

9. Czterogradient, czterodywergencja i dalambercjan 34• Czterogradient 34• Czterodywergencja 35• Czterodywergencja jako niezmiennik 35• Dalambercjan 35

10. Czterowektory położenia, prędkości, przyspieszenia i pędu 36• Czterowektor położenia 36• Czterowektor prędkości 36• Kwadrat modułu czterowektora prędkości 37• Relatywistyczna transformacja prędkości 37• Relatywistyczne składanie prędkości równoległych 38• Doświadczenie Fizeau 38• Czterowektor przyspieszenia 39• Relatywistyczna transformacja przyspieszenia 40• Czteroprędkość i czteroprzyspieszenie w układzie własnym cząstki 41• Czterowektory prędkości i przyspieszenia cząstki są ortogonalne 41• Czterowektor pędu 42• Prędkość i przyspieszenie jako pochodne promienia wodzącego względem długości

przedziału czasoprzestrzennego 43 11. Dynamika relatywistyczna 44• Czterowymiarowe relatywistyczne równania ruchu, siła Minkowskiego 44• Czwarta składowa czterowektora siły Minkowskiego 44• Trójwymiarowe relatywistyczne równania ruchu Minkowskiego 45• Trójwymiarowe „relatywistyczne” równania ruchu Plancka 45• Energia kinetyczna, całkowita i spoczynkowa w mechanice relatywistycznej 46• Relatywistyczna transformacja siły 47• Składowe czterowektora siły wyrażone przez składowe trójwymiarowych wektorów

prędkości i przyspieszenia 47• Czterowekor pędu-energii 48• Kwadrat modułu czterowektora pędu-energii, związek między energią i pędem 48• Transformacja czterowektora pędu-energii 48• Funkcja Lagrange’a punktu materialnego 49• Funkcja Hamiltona punktu materialnego 49• Kanoniczne równania ruchu Hamiltona 49

12. Diagram czasoprzestrzenny 50• Diagram czasoprzestrzenny 50

13. Uwagi końcowe 52• Niefortunna nazwa 52• Układ inercjalny 52• Transformacje Lorentza a transformacje Galileusza 52

8

POLE ELEKTROMAG�ETYCZ�E W OŚRODKACH SPOCZYWAJĄCYCH

1. Równania pola elektromagnetycznego dla wektorów E, D, B, H – równaniaMaxwella 53• Równania Maxwella w postaci lokalnej (różniczkowej) 53• Równania Maxwella w postaci globalnej (całkowej) 54• Pełny układ równań pola elektromagnetycznego we współrzędnych kartezjańskich 55

2. Równania materiałowe 56• Równania materiałowe dla ośrodków izotropowych nie zawierających ferroelektry-

ków, ferromagnetyków i magnesów stałych 56• Równania materiałowe dla ośrodków anizotropowych 56

3. Warunki graniczne 57 4. Równania ruchu – siła Lorentza 57 5. Równania bilansu 58• Lokalne równanie bilansu gęstości objętościowej wielkości skalarnej 58• Nierelatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości skalarnej 59• Relatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości skalarnej 59• Nierelatywistyczne lokalne równanie bilansu wielkości wektorowej 60• Nierelatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości wektorowej 60

6. Równanie bilansu ładunku – równanie ciągłości 61• Równanie bilansu ładunku w postaci lokalnej 61• Równanie bilansu ładunku w postaci globalnej 61

7. Równanie bilansu energii pola elektrycznego, wektor Poyntinga 62• Równanie bilansu energii w postaci lokalnej 62• Równanie bilansu energii w postaci globalnej 62• Interpretacje 62

8. Tensor naprężeń 64• Definicja naprężenia 64• Tensor naprężeń 64

9. Warunki gwarantujące równoważność sił objętościowych i powierzchniowych 69• Siły objętościowe 69• Siły powierzchniowe 69• Twierdzenie Gaussa-Greena 69• Równoważność sił objętościowych i powierzchniowych działających w polu elektro-

magnetycznym na ładunki, prądy, dielektryki i magnetyki 69• Warunki równoważności sił objętościowych i powierzchniowych 70• Warunki gwarantujące równość sil objętościowych i powierzchniowych 70• Warunki gwarantujące równość momentów sil objętościowych i sił naprężeń powierz-

chniowych 71 10. Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego, tensor naprężeń Maxwella 72• Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego w postaci lokalnej 72• Tensor naprężeń Maxwella pola elektromagnetycznego 73• Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego w postaci globalnej 73• Interpretacje 74

11. �aprężenia działające w polu elektrycznym 75• Stacjonarne pole elektryczne 75• Naprężenie działające w stacjonarnym polu elektrycznym na element powierzchni o

kierunku normalnej zewnętrznej 75

9

12. �aprężenia działające w polu magnetycznym 76• Stacjonarne pole magnetyczne 76• Naprężenie działające w stacjonarnym polu magnetycznym na element powierzchni o

kierunku normalnej zewnętrznej 77 13. Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego 78• Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego w postaci lokalnej 78• Tensor momentu pędu pola elektromagnetycznego drugiego rzędu 79• Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego w postaci globalnej 79• Interpretacje 79• Tensor momentu pędu pola elektromagnetycznego trzeciego rzędu 80

14. Równania pola elektromagnetycznego w ośrodkach jednorodnych dla potencjałówskalarnego i wektorowego 81• Potencjał skalarny i wektorowy 81• ρ−=ϕ→ρ=

ε1 div �D 81

• jAD

jH t

rot µ−=→∂

∂+= � 82

• Po co to wszystko? 83 15. Równanie falowe (ogólna postać) 84• Równanie falowe dla wektora E 84• Równanie falowe dla wektora H 84

16. Równanie falowe pola elektromagnetycznego dla próżni i ośrodków jednorodnych,nie pochłaniających i nieprzewodzących 85

17. Fala płaska spolaryzowana liniowo o dowolnym kształcie impulsu jako jedno z roz-wiązań równania falowego 86• Fala płaska 86• Fala spolaryzowana liniowo 86• Równanie fali płaskiej spolaryzowanej liniowo 86

18. Prostopadłość wektorów natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej dokierunku rozchodzenia się płaskiej fali spolaryzowanej liniowo o dowolnym kształcieimpulsu 88

19. Prostopadłość wektora indukcji magnetycznej B do wektora natężenia pola elektry-cznego płaskiej fali elektromagnetycznej spolaryzowanej liniowo o dowolnym kształ-cie impulsu 89

20. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w jednorodnym ośrodku przewodzącym,równanie telegrafistów (telegraficzne) 91

POLE ELEKTROMAG�ETYCZ�E W OŚRODKACH PORUSZAJĄCYCH SIĘ

1. Równania pola elektromagnetycznego w próżni dla czterowektora potencjału 92• Czterowektor potencjału 92• Czterowektor gęstości prądu 92• Dodatkowy warunek Lorenza dla czterowektora potencjału 93• Równania Maxwella dla czterowektora potencjału 93• Równanie ciągłości 94• Po co to wszystko? 94

2. Równania Maxwella w postaci tensorowej 95• Jednorodne Maxwella w postaci tensorowej 95• Niejednorodne równania Maxwella w postaci tensorowej 96

10

• Równania Maxwella i siła Lorentza wyrażone przez tensor Fµν 97• Równania Maxwella wyrażone przez tensor Dµν 97• Składowe tensora Fµν wyrażone przez składowe czterowektora potencjału 98• Wyniki 98• Równania Maxwella dla próżni 99

3. Transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H pola elektromagnetycznego 100• Transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H 100• Odwrotna transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H 101• Wyniki 102• Przykład pól elektrycznego i magnetycznego równoległych w obu układach współ-

rzędnych 103• Przykład pól elektrycznego i magnetycznego równoległych w układzie K i nierówno-

ległych w układzie K’ 103 4. Składowe wektorów E, B, D, H prostopadłe i równoległe do wektora prędkości V 104• Wyniki 105

5. �iezmienniki transformacji Lorentza 106• Niezmienniki transformacji Lorentza wektorów E, B, D i H 106• Wnioski wynikające z transformacji Lorentza i jej niezmienników 107

6. Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym 111• Wektor natężenia pola elektrycznego poruszającego się ładunku 111• Składowe równoległa i prostopadła wektora natężenia pola elektrycznego poruszające-

go się ładunku 112• Pole magnetycznego poruszającego się ładunku 112• Prawo Biota-Savarta 113

7. Wzajemne oddziaływanie dwóch poruszających się ładunków 113 8. Równania materiałowe dla poruszających się ośrodków 114• Równania materiałowe dla poruszających się ośrodków, równania Minkowskiego 114• Równania materiałowe Minkowskiego w czterowymiarowej postaci tensorowej 115

9. Prawo Ohma dla poruszających się ośrodków 116• Prawo Ohma dla poruszających się ośrodków 116• Różniczkowe (lokalne) prawo Ohma w czterowymiarowej postaci tensorowej 116

10. Warunki graniczne dla poruszających się ośrodków 117• Przypadek granicy prostopadłej do prędkości 117• Przypadek ogólny 118

11. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego 120• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 120• Własności tensora pędu-energii w próżni 121• Transformacja Lorentza wybranych składowych tensora pędu-energii w próżni 122• Równania łączące czterowektor gęstości siły, czterowektor gęstości prądu i jeden z

tensorów pola elektromagnetycznego 123• Składowe tensora pędu-energii wyrażone przez składowe tensorów Fµν i Hµν 124• Macierz pędu-energii pola elektromagnetycznego w ośrodku 125• Problemy związane z konstrukcją tensora pędu-energii w ośrodku 126• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w ośrodku 127• Własności tensora pędu-energii w ośrodku 128• Transformacja Lorentza wybranych składowych tensora pędu-energii w ośrodku 129• Czterowektor gęstości siły w ośrodku 130

11

12. Częstotliwość i kierunek rozchodzenia się płaskiej fali elektromagnetycznej wzglę-dem różnych obserwatorów inercjalnych 131• Faza fali jako niezmiennik 131• Efekt Dopplera 131• Aberracja 132

Bibliografia 133

Dodatek 135

12

MECHA�IKA

RELATYWISTYCZ�A

1 POSTULATY EI�STEI�A

• Postulaty Einsteina

Postulaty Einsteina są równoważne założeniu, że wszystkie równania fizyki w inercjal-

nych układach odniesienia powinny być kowariantne (współzmiennicze) względem transfor-

macji (przekształceń) Lorentza.

• Kowariantność (współzmienniczość) równań względem transformacji Lorentza Równania są współzmiennicze (kowariantne) względem transformacji Lorentza, jeżeli

poddane tej transformacji nie zmieniają swojej postaci. Równanie zapisane w postaci kowa-

riantnej względem transformacji Lorentza ma jednakową postać we wszystkich inercjalnych

układach odniesienia pomimo, że wartości danej wielkości fizycznej mogą być różne w róż-

nych układach odniesienia.

Niezmiennikiem (inwariantem) transformacji Lorentza nazywamy funkcję skalarną zacho-

wującą tę samą wartość, gdy w miejsce starych zmiennych podstawimy nowe zmienne.

• Inwariantność prędkości światła w próżni względem transformacji Lorentza Stałość wartości prędkości światła w próżni oznacza istnienie granicznej (nieprzekraczal-

nej) wartości prędkości rozchodzenia się sygnałów.

Czoło fali elektromagnetycznej w próżni opisywane jest w układzie nieprimowanym i pri-

mowanym odpowiednio równaniami:

2

2

2

2

2

c

V1

c

Vxt

t

zz

yy

c

V1

Vtxx

=′

=′

=′

−=′

22222 tczyx =++ oraz 22222 tczyx ′=′+′+′

• Definicje wielkości fizycznych oraz prawa fizyki można tak sformułować, aby ich

ogólne postacie były takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

• Wartość prędkości fal elektromagnetycznych (światła) w próżni jest we wszystkich

inercjalnych układach odniesienia taka sama.

0′

x′

y′

z′

00

00

00

00

zz

yy

xx

tt

′=

′=

=′=

=′=

0

0

V = (V,0,0)

0

yy

x

z

0

00

00

00

00

zz

yy

xx

tt

′=

′=

=′= 0

0

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

13

2 TRA�SFORMACJE LORE�TZA

• Szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych Stałość wartości prędkości światła w próżni w dwóch inercjalnych układach odniesienia

primowanym i nieprimowanym oznacza, że:2222222222 tcxxxtczyx −++=′−′+′+′

4321 xict ,xz ,xy ,xx ====

4321 xtic ,xz ,xy ,xx ′=′′=′′=′′=′2

4

2

3

2

2

2

1

2

4

2

3

2

2

2

1 xxxxxxxx +++=′+′+′+′

Znajdziemy transformację liniową gwarantującą prawdziwość powyższego równania.

+++=′

+++=′

+++=′

+++=′

4443432421414

4343332321313

4243232221212

4143132121111

xaxaxaxax

xaxaxaxax

xaxaxaxax

xaxaxaxax

33

22

xx

xx

=′

=′

+=′

=′

=′

+=′

4441414

33

22

4141111

xaxax

xx

xx

xaxax

Wyznaczymy teraz współczynniki 11a , 14a , 41a , 44a badanej transformacji.

( ) ( ) 2

444141

2

3

2

2

2

414111

2

4

2

3

2

2

2

1 xaxa xxxaxa xxxx +++++=′+′+′+′

( ) ( ) ( ) 4144411411

2

4

2

14

2

44

2

3

2

2

2

1

2

41

2

11

2

4

2

3

2

2

2

1 xx aaaa 2x aa xxx aa xxxx +++++++=′+′+′+′

=+

=+

=+

0aaaa

1aa

1aa

44411411

2

14

2

44

2

41

2

11

>>

=−=

−=−==

0a ,0a

iBaaa

a1a1aa

4411

114114

2

14

2

41

2

44

2

11

2

4

2

3

2

2

2

1

2

4

2

3

2

2

2

1 xxxxxxxx +++=′+′+′+′

Znaleziona transformacja nazywana jest szczególną transformacją Lorentza.

dt

dxV

constx

1

1

=

=′

1ii −=

42

12

4

33

22

42

12

1

xB1

1x

B1

iBx

xx

xx

xB1

iBx

B1

1x

−+

−=′

=′

=′−

+−

=′

Bc

V=

dt

dx

B1

iB

dt

dx

B1

1

dt

xd 4

2

1

2

1

−+

−=

icB1

iBV

B1

10

22 −+

−=

0aaaaaaaaaa 43423432312423211312 ==========

1aa 3322 ==

24114

24411

B1

iBaa

B1

1aa

−=−=

−==

MECHANIKA RELATYWISTYCZA

14

• Przestrzeń Minkowskiego

• Przekształcenia Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni

ictx ,zx ,yx ,xx 4321 ==== są współrzędnymi kartezjańskimi punktu (zdarzenia)

w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni), w której kwadrat róż-

niczki urojonej odległości między dwoma dowolnie bliskimi punktami dany jest przez

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) νµ=µ =ν

µν=µ

µ ∑∑∑ ==+++= dxdxgdx dx dx dx dx ds4

1

4

1

4

1

2 2

4

2

3

2

2

2

1

2 ,

=µν

1000

0100

0010

0001

g ,

µνg jest tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego o składowych:

. 0gggggggggggg

, 1gggg

433442243223411431132112

44332211

============

====

( )

( )144

33

22

411

iBxx x

xx

xx

iBxx x

−Γ=′

=′

=′

+Γ=′

( )

( )144

33

22

411

xiBx x

xx

xx

xiBx x

′+′Γ=

′=

′=

′−′Γ=

( ) 2

122

df

cV1 −−−=Γ , 1

df

VcB −= ( )0 ,0 ,V=V = prędkość układu primowanego względem układu nieprimowanego

ictx ,zx ,yx ,xx 4321 ====

ticx ,zx ,yx ,xx 4321′=′′=′′=′′=′

( ) 44

111 iBxxiVcict iVcVtiiccVt ====− −−− , 1ii −=

Kwadrat urojonej odległości między dwoma punktami (zdarzeniami) w czterowymiarowej

przestrzeni Minkowskiego jest niezmiennikiem transformacji Lorentza

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

2 4

1

4

1

4

1

4

11

2 2 sx xxgxxgx s ′∆=′∆=′∆′∆′=∆∆=∆=∆ ∑∑∑∑∑∑

=µµνµ

=µ =νµννµ

=µ =νµν

=µµ .

Transformacje Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni: µνµν ′= gg .

DOWÓD

( )

( )144

33

22

411

xiBx x

xx

xx

xiBx x

∆−∆Γ=′∆

∆=′∆

∆=′∆

∆+∆Γ=′∆

( ) 1B1 22 =−Γ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

4

1

22

4

2

3

2

2

2

1

222

4

2

3

2

2

222

1

2222

4

2

3

2

2

2222

1

2

14

22

3

2

2

2

41

2

2

4

2

3

2

2

2

1

4

1

22

sx x x x x

B1 xxxB1 x

B xxxB x

xiBx x x xiBx

x x x x x s

∆=∆=∆+∆+∆+∆=

=−Γ∆+∆+∆+−Γ∆=

=Γ−Γ∆+∆+∆+Γ−Γ∆=

=∆−∆Γ+∆+∆+∆+∆Γ=

=′∆+′∆+′∆+′∆=′∆=′∆

=µµ

=µµ

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

15

• Własności znakowe kwadratu odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń

222

3

2

2

2

1

2

4

2

3

2

2

2

1

2 tcxxxxxxxs ∆−∆+∆+∆=∆+∆+∆+∆=∆ , ictx4 = , 1i −=

2s∆ = kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń (forma metryczna)

2

3

2

2

2

1 xxx ∆+∆+∆ = kwadrat odległości przestrzennej dwóch zdarzeń

22 tc ∆ = kwadrat odległości czasowej dwóch zdarzeń

Dwa zdarzenia mogą pozostawać w związku przyczynowo skutkowym wtedy i tylko wte-

dy, gdy odległość przestrzenna między nimi jest nie większa od ich odległości czasowej.

0s2<∆

Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest ujemny, jeżeli kwadrat odległości

przestrzennej tych zdarzeń jest mniejszy od kwadratu ich odległości czasowej. Jeżeli 0s2<∆ ,

to między dwoma zdarzeniami mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie

t∆ światło zdążyło przebyć odległość przestrzenną między tymi zdarzeniami.

UWAGA

Jeżeli 0s2<∆ , to s∆ jest urojone.

0s2=∆

Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest zerem, jeżeli kwadrat odległości

przestrzennej tych zdarzeń jest równy kwadratowi ich odległości czasowej. Jeżeli 0s2=∆ , to

między dwoma zdarzeniami mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie dt

światło zdążyło jeszcze przebyć odległość przestrzenną między tymi zdarzeniami.

UWAGA

Przypadek 0s2=∆ opisuje rozchodzenie się światła.

0s2>∆

Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest dodatni, jeżeli kwadrat odległości

przestrzennej tych zdarzeń jest większy od kwadratu ich odległości czasowej. Jeżeli 0s2>∆ ,

to między dwoma zdarzeniami nie mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli

w czasie t∆ światło nie zdążyło przebyć odległości przestrzennej między tymi zdarzeniami.

UWAGA

Jeżeli 0s2>∆ , to s∆ jest rzeczywiste.

UWAGA

U różnych autorów spotykamy różne definicje różniczkowej formy kwadratowej.2

4

2

3

2

2

2

1

2 dxdxdxdxds +++= , ictx4 = , 0ds2≤

2

0

2

3

2

2

2

1

2 dxdxdxdxds −++= , ctx0 = , 0ds2≤

2

0

2

3

2

2

2

1

2 dxdxdxdxds +−−−= , ctx0 = , 0ds2≥

My wybraliśmy pierwszą z nich.

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

16

3 MACIERZ TRA SFORMACJI LORE TZA

• Macierz transformacji Lorentza

4443432421414

4343332321313

4243232221212

4143132121111

xaxaxaxax

xaxaxaxax

xaxaxaxax

xaxaxaxax

+++=′

+++=′

+++=′

+++=′

43214

43213

43212

43211

xx0x0xiBx

x0x1x0x0x

x0x0x1x0x

xiBx0x0xx

Γ+++Γ−=′

+++=′

+++=′

Γ+++Γ=′

∑=ν

νµνµ =′4

1

xax , ν

µµν ∂

′∂=

x

xa , ( ) 2

122

df

cV1 −−−=Γ , 1

df

VcB −=

ΓΓ−

ΓΓ

=µν

00iB

0100

0010

iB00

a

TWIERDZE IETransformacje Lorentza są transformacjami ortogonalnymi.

DOWÓDTransformacje ortogonalne

( )1,2,3,4 ,xax4

1

=µ=′ ν=ν

µνµ ∑spełniają następujące warunki (warunki ortogonalności)

βλαλ=α

αβ δ=∑ aa4

1

,

. aaaaaaaaaa1

, aaaaaaaaaa1

, aaaaaaaaaa1

, aaaaaaaaaa1

44443434242414144

4

1

444

43433333232313133

4

1

333

42423232222212122

4

1

222

41413131212111111

4

1

111

+++===δ

+++===δ

+++===δ

+++===δ

α=α

α

α=α

α

α=α

α

α=α

α

Suma kwadratów elementów każdej kolumny równa się 1.

Ten warunek ortogonalności macierz transformacji Lorentza spełnia, ponieważ

( ) ( )

( ) ( ) , 1B1 00iB

, 10100

, 10010

, 1B1 BiB00

22222222

2222

2222

22222222222

=ΓΓ=−Γ=Γ+++Γ

=+++

=+++

=ΓΓ=−Γ=Γ−Γ=Γ−+++Γ

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

17

. aaaaaaaaaa0

, aaaaaaaaaa0

, aaaaaaaaaa0

, aaaaaaaaaa0

, aaaaaaaaaa0

, aaaaaaaaaa0

4443343324231413

4

1

434334

4442343224221412

4

1

424224

4342333223221312

4

1

323223

4441343124211411

4

1

414114

4341333123211311

4

1

313113

4241323122211211

4

1

212112

+++===δ=δ

+++===δ=δ

+++===δ=δ

+++===δ=δ

+++===δ=δ

+++===δ=δ

=ααα

=ααα

=ααα

=ααα

=ααα

=ααα

Suma iloczynów odpowiednich elementów dwóch kolumn równa się zeru.

Te warunki ortogonalności macierz transformacji Lorentza również spełnia, co bardzo łatwo

sprawdzić.

( )M

00iB00100 =⋅Γ−+⋅+⋅+⋅Γ

TWIERDZEIEWyznacznik macierzy przekształceń Lorentza jest równy jedności.

DOWÓD

( ) ( ) 1B

00B

100

010

iB1

00

010

001

1

00iB

0100

0010

iB00

adet 2224111 =Γ−Γ=

Γ−

Γ−+

Γ

Γ−=

ΓΓ−

ΓΓ

= ++µν

Transformacje ortogonalne, których wyznacznik jest równy 1, oznaczają obroty układu.

Szczególna transformacja Lorentza opisuje obroty w płaszczyźnie 41xx .

• Macierz odwrotnego przekształcenia Lorentza

Dla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy przestawionej.

( )1,2,3,4 ,xax4

1

=µ=′ ν=ν

µνµ ∑ ( )1,2,3,4 ,xcx4

1

=µ′= ν=ν

µνµ ∑

ΓΓ−

ΓΓ

=µν

00iB

0100

0010

iB00

a

ΓΓ

Γ−Γ

=µν

00iB

0100

0010

iB00

c

ν

µµν ∂

′∂=

x

xa

df

, Tcca µννµµν == ν

µµν ′∂

∂=

x

xc

df

, Taac µννµµν ==

µ

ν

ν

µµν ′∂

∂=

′∂=

x

x

x

xa

µ

ν

ν

µµν ∂

′∂=

′∂

∂=

x

x

x

xc

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

18

4 PODSTAWOWE W IOSKI WY IKAJĄCE Z TRA SFORMACJI LORE TZA

• Równoczesność zdarzeń i następstwo czasowe

( ) ( )[ ]12

2

1212 xx Vctt tt −−−Γ=′−′ −

W IOSEK I

=

=

21

21

xx

tt ⇒ 21 tt ′=′

Dwa zdarzenia 1 i 2 równoczesne w układzie nieprimowanym ( )21 tt = będą równoczesne

również w układzie primowanym ( )21 tt ′=′ wtedy i tylko wtedy, gdy zaszły one w układzie

nieprimowanym w tym samym punkcie ( )21 xx = .

W IOSEK II

=

<

21

21

xx

tt ⇒ 21 tt ′<′

Następstwo czasowe dwóch zdarzeń 1 i 2 nie ulega zmianie ( )2121 tt ,tt ′<′< wtedy i tylko

wtedy, gdy zaszły one w układzie nieprimowanym w tym samym punkcie ( )21 xx = .

W IOSEK III

( ) ( )[ ]

( ) ( )

−=−

=−−−

<

12

1

12

12

2

12

21

x xVct tc

0x xVct tΓ

tt

⇒ 21 tt ′=′

W IOSEK IV

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )

−>−=

−>−

>−−−

<

1212

12

1

12

12

2

12

21

x xt tc :cV

x xVct tc

0x xVct tΓ

tt

⇒ 21 tt ′<′

Jeżeli odległość między dwoma punktami ( )12 xx − w układzie nieprimowanym jest mniejsza

niż droga przebyta przez światło w przedziale czasu ( ) 0tt 12 >− w układzie nieprimowanym,

to w układzie primowanym ( ) 0tt 12 >′−′ , co oznacza, że nie uległo zmianie następstwo czaso-

we (chwila późniejsza w układzie nieprimowanym jest również późniejsza w układzie

primowanym).

( )Vtx x −Γ=′yy =′

zz =′( )xVct t 2−−Γ=′

( ) 2

122cV1

−−−=Γ

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

19

W�IOSEK V

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )

−<−=

−<−

<−−−Γ

<

1212

12

1

12

12

2

12

21

xx tt c :cV

xx Vctt c

0xx Vctt

tt

⇒ 21 tt ′>′

Jeżeli odległość między dwoma punktami ( )12 xx − w układzie nieprimowanym jest większa

niż droga przebyta przez światło w przedziale czasu ( ) 0tt 12 >− w układzie nieprimowanym,

to w układzie primowanym ( ) 0tt 12 <′−′ , co oznacza, że uległo zmianie następstwo czasowe

(chwila późniejsza w układzie nieprimowanym jest chwilą wcześniejszą w układzie primowa-

nym).

• Dylatacja czasu

( )tVx x ′+′Γ=yy ′=zz ′=( )xVct t 2 ′+′Γ= −

( ) 21

22cV1 −−−=Γ

1>Γ

( ) ( )[ ]12

2

1212 xx Vctt tt ′−′+′−′Γ=− −

Zegar primowany spoczywa względem układu primo-

wanego ( )0xx 12 =′−′ poruszając się z prędkością V

względem układu nieprimowanego.

( ) ( )( ) 21 22

1212 cV1 tttt −−−=′−′

12 tt ′−′ = przedział czasu zmierzony zegarem spoczywającym względem układu primowa-

nego ( )21 xx ′=′ , czyli przedział czasu zmierzony w układzie własnym zegara

12 tt − = przedział czasu zmierzony zegarami znajdującymi się w układzie laboratoryjnym

(nieprimowanym) w miejscach określonych przez współrzędne przestrzenne roz-

ważanych zdarzeń

( )Vtx x −Γ=′yy =′

zz =′( )xVct t 2−−Γ=′

( ) 21

22cV1 −−−=Γ

( ) ( )[ ]121212 tt Vxx xx −−−Γ=′−′

21 tt =

( )( ) 21

22

1212 cV1 xx xx−−−−=′−′

( ) ( )1212 tt tt −<′−′

Przedział czasu, upływającego między dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie labora-

toryjnym w miejscach określonych przez współrzędne przestrzenne rozważanych zdarzeń jest

większy niż przedział czasu zmierzony w układzie własnym w miejscu zachodzenia tych zda-

rzeń. Opisane zjawisko nazywane jest dylatacją czasu.

• Kontrakcja (skrócenie) długości Pręt równoległy do osi x porusza się z prędkością V względem układu nieprimowanego,

jednocześnie spoczywając względem układu primowanego. Obserwator w układzie nieprimo-

wanym dokonuje pomiaru współrzędnych końców pręta w tym samym czasie (t1 = t2).

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

20

12 xx ′−′ = długość pręta spoczywającego względem układu primowanego zmierzona przezobserwatora spoczywającego względem tego układu

12 xx − = długość pręta poruszającego się względem układu nieprimowanego zmierzonaprzez obserwatora spoczywającego względem tego układu, pomiar współrzędnychkońców pręta obserwator dokonał w tym samym czasie, 21 tt =

( ) ( )122 xx xx −>′−′

Długość pręta poruszającego się względem obserwatora jest mniejsza od długości prętaspoczywającego względem obserwatora. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją długości.

• Podstawowy eksperyment szczególnej teorii względności

x′

y′

z′

A B

xA xB

y

z

x

V

y

Źródło światła znajduje się w punkcie A układu nieprimowanego. W chwili At wysłało

impuls świetlny, który dotarł do punktu B w chwili Bt . Obserwator nieruchomy względemukładu nieprimowanego dokonał pomiaru wartości prędkości światła jako

AB

AB

tt

xxc

−= .

Obserwator nieruchomy względem układu primowanego również zmierzył wartość pręd-kości, korzystając z analogicznego wzoru

AB

AB

tt

xxc

′−′

′−′=′ .

Porównamy oba wyniki, wykorzystując transformacje Lorentza.

22

AAA

cV1

Vtxx

−−

−=′

22

BBB

cV1

Vtxx

−−

−=′

22

2AA

AcV1

cVxtt

−=′

22

2BB

BcV1

cVxtt

−=′

( )( )

=−−−

−−−=

′−′

′−′=′

AB2

AB

ABAB

AB

AB

xx Vctt

tt Vxx

tt

xxc

( )

( )c

tt

xx

tt

xx Vc

xx

tt V

tt

xx

AB

AB

AB

AB2

AB

AB

AB

AB =−

−=

−−

−−

⋅−

−=

ctt

xx

tt

xxc

AB

AB

AB

AB =−

−=

′−′

′−′=′

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

21

5 CZAS WŁAS�Y

• Czas własny

Czasem własnym nazywamy różniczkę lub odstęp czasu, między dwoma zdarzeniami za-

chodzącymi w tym samym miejscu w układzie primowanym (układzie własnym), zmierzonego

zegarem znajdującym się w tym miejscu.

24

1

24

1

22 sdxddxds ′=′== ∑∑=µ

µ=µ

µ

0xdxdxd 321 =′=′=′

∑=µ

µ=′4

1

22

4 dxxd

+++=′

2

4

2

3

2

2

2

12

4

2

4dx

dxdxdx1dxxd

ictx4 = , ticx4′=′ , 1i2 −=

++−=′

22

2

3

2

2

2

1222222

dtc

dxdxdx1dtcitdci

2

2

3

2

2

2

12

dt

dxdxdxv

++=

−=′

2

222

c

v1dttd

22df

cv1dttdd −−=′=τ τd = czas własny, dttdd <′=τ

t′∆=∆τ = przedział czasu zmierzony zegarem w układzie własnym (primowanym)

t∆ = przedział czasu zmierzony zegarami w układzie laboratoryjnym (nieprimowanym),

znajdującymi się w miejscach określonych przez współrzędne rozpatrywanych zdarzeń

Relacje podane niżej przydadzą się w dalszych rozważaniach.

( ) ( ) 222222

4

222222222

4

4

1

22 dcicv1 dxcv1 dtcitdcixddxds τ=−=−=′=′== −−

=µµ∑

τ=−=−=′=′== −−

=µµ∑ icdcv1dxcv1icdtticdxddxds 22

4

22

4

4

1

2

ic

dsdtcv1dtd 22 =

γ=−=τ − ,

22cv1

1

−−=γ

Odstęp czasu między dwoma zdarzeniami jest krótszy w układzie własnym niż w układzie

laboratoryjnym: tt ∆<′∆ .

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

22

6 GRUPA LORE�TZA

• Grupa Lorentza

Niepusty zbiór G nieosobliwych przekształceń liniowych reprezentowanych przez ich ma-

cierze stanowi grupę, gdy

1. ( ) GBAGBA,

∈⋅∈∧

2. ( ) ( )CBACBAGCB,A,

⋅⋅=⋅⋅∈∧

3. EAAAA11

GAGA 1=⋅=⋅ −−

∈∈ −∨∧

4. AAEEAGEGA

=⋅=⋅∈∈∨∧

TWIERDZE�IE

Liniowe transformacje ortogonalne tworzą grupę.

TWIERDZE�IE

Dla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy transponowanej.

TWIERDZE�IE

Wyznaczniki macierzy ortogonalnych są równe 1± .

TWIERDZE�IE

( ) 44444444 detdet det ×××× ⋅=⋅ BABA

Poszukamy liniowych transformacji

µν=ν

µνµ +=′ ∑ bxax4

1

,

które nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni

∑∑=µ

µ=µ

µ =′4

1

2?4

1

2 dxxd

=′

=′

β=β

µβµ

α=α

µαµ

dxaxd

dxaxd

4

1

4

1 ∑∑

=αβαµβ

=βµαµ =′

4

1

4

1

2 dxdxaaxd

∑ ∑∑∑=µ =µ =α

βαµβ=β

µαµ =′4

1

4

1

4

1

4

1

2 dxdxaaxd

αβµβ=µ

µα δ=∑ aa4

1

(warunek ortogonalności)

∑∑=µ

µ=µ

µ =′4

1

24

1

2 dxxd

Liniowe transformacje jednorodne ( 0b =µ ) nie zmieniające metryki czasoprzestrzeni są

transformacjami ortogonalnymi, tworzą więc grupę zwaną grupą Lorentza. Należą do niej

między innymi szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych, obroty trójwymiaro-

we, inwersje osi współrzędnych przestrzennych, odwrócenie czasu, przekształcenie tożsamo-

ściowe oraz ich złożenia, a także transformacje odwrotne do wymienionych.

Grupa liniowych transformacji niejednorodnych ( 0b ≠µµ∨ ) nazywana jest grupą Poincaré.

1−A = macierz odwrotna macierzy A

E = macierz jednostkowa