Zbiory

www.zadania.info – NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN Z MATEMATYKI

ZBIORY

Zbiory i ich elementy

Przypomnijmy, ze zbiór składa sie z elementów. Jezeli a jest elementem zbioru X to piszemy

a ∈ X

i czytamy „a nalezy do zbioru X”.Jezeli a nie jest elementem zbioru X to piszemy

a 6∈ X.

Jezeli kazdy element zbioru A jest jednoczesnie elementem zbioru B, to mówimy, ze A jestpodzbiorem zbioru B (lub, ze A zawiera sie w B) i piszemy

A ⊆ B.

Mówimy, ze dwa zbiory A i B sa równe jezeli składaja sie dokładnie z tych samych elemen-tów. Piszemy wtedy

A = B.

Jezeli A ⊆ B oraz A 6= B to mówimy, ze A jest podzbiorem własciwym B. Piszemy wtedy

A B.

Zbiór, który nie ma zadnych elementów nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbo-lem ∅.

Zauwazmy, ze dla dowolnego zbioru A mamy ∅ ⊆ A.

Rózne sposoby definiowania zbiorów

1. Opis słowny. Tego typu definicje zbiorów stosujemy co rusz w naszym codziennym zyciu,czesto nie zdajac sobie nawet z tego sprawy.

Mówiac „wszyscy uczniowie klasy IIa” mamy na mysli zbiór składajacy sie zuczniów tej klasy.

Opis słowny pozwala nam definiowac zbiory, których nawet nie jestesmy w staniesobie wyobrazic, np. „zbiór wszystkich atomów we wszechswiecie”.

2. Rysunek. Schematyczne rysunki obrazujace zbiory jako „worki z elementami” sa czestobardzo wygodne, bo pozwalaja łatwo ilustrowac rózne ich własnosci.

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

1

http://www.zadania.info



Lewy diagram przedstawia (symbolicznie) zbiór A, który ma 6 elementów.B CA

Zwrócmy uwage, ze sam diagram nic nam nie mówi o tym, jaka jest natura ele-mentów zbioru A (czy to sa liczby, jabłka, a moze jeszcze cos innego). O tego typudiagramie mówimy, ze jest abstrakcyjny, bo abstrahuje od (nie uwzglednia) naturyzbioru A oraz jego elementów.Czesto posuwamy sie jeszcze dalej i rysujemy zbiory w ogóle nie zaznaczajac ichelementów. Tak własnie rozumiemy prawy diagram, który ilustruje mozliwe rela-cje miedzy elementami dwóch zbiorów B i C. Pomimo, ze nie zaznaczylismy anijednego elementu zbiorów B i C, wymowa diagramu powinna byc jasna: jezeli ma-my dwa zbiory B i C to moga byc elementy, które naleza tylko do B, elementy którenaleza tylko do C, oraz elementy, które naleza do obu zbiorów naraz.

Ponizszy diagram

A

BC

jest symboliczna ilustracja trzech zbiorów spełniajacych warunekC ⊆ B ⊆ A.

3. Wypisanie elementów. W przypadku zbiorów skonczonych mozemy wypisac wszystkieelementy zbioru. Robimy to umieszczajac elementy zbioru w klamerkach: .

Zbiór zawierajacy 5 pierwszych liter alfabetu mozemy zapisac w postaci

a, b, c, d, e.

W przypadku wiekszych zbiorów stosujemy czasem notacje z wielokropkiem, li-czac na to, ze czytelnik domysli sie o jaki zbiór nam chodzi. Np. domyslamy sie, zezapis

2, 4, 6, . . . , 100ma oznaczac zbiór parzystych liczb naturalnych nie wiekszych niz 100.Podobna konwencje stosuje sie tez czasem w przypadku zbiorów nieskonczonych,np. domyslamy sie, ze zapis

2, 4, 6, . . .ma oznaczac zbiór liczb parzystych.


2




Zbiór zawiera tylko informacje o tym, czy dany element do niego nalezy, czy nie.Nie zawiera natomiast informacji o kolejnosci elementów, ani o tym, ze elementysa zwarte w zbiorze kilka razy. Np. kazdy z zapisów

1, 2, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 2

oznacza dokładnie ten sam zbiór.

4. Poprzez własnosci elementów. Bardzo wygodnym i uniwersalnym sposobem definio-wania zbiorów (szczególnie zbiorów liczbowych) jest definicja postaci

A = T(x) : w(x),

gdzie T(x) jest pewnym wyrazeniem (funkcja) zawierajacym zmienna x, a w(x) jest warun-kiem jaki zmienna x ma spełniac. Powyzsza definicje czytamy: A jest zbiorem tych elementówpostaci T(x), które spełniaja warunek w(x). Dwukropek czytamy: takich, ze.

Zbiórx ∈ R : x2 − 4 = 0

jest zbiorem (rzeczywistych) rozwiazan równania x2 − 4 = 0. (Czytamy: zbiór liczbrzeczywistych x takich, ze x2 − 4 = 0.)

Zbiór2n : n ∈N

oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych.

Przedziały liczbowe mozemy zdefiniowac nastepujaco:

(a, b) = x ∈ R : a < x < b〈a, b〉 = x ∈ R : a 6 x 6 b(a,+∞) = x ∈ R : a < x itp.

Powyzsza notacje mozemy w naturalny sposób rozszerzyc na przypadek wiekszej liczbyzmiennych.

ZbiórR2 = (x, y) : x, y ∈ R

jest zbiorem par (uporzadkowanych) liczb rzeczywistych. Poprzez wybór układuwspółrzednych mozemy ten zbiór utozsamiac z płaszczyzna.

Zbiór(x, y) : y = 2x + 1

traktowany jako podzbiór płaszczyzny tworzy prosta. Zwykle ten zbiór definiuje-my krótko mówiac: prosta y = 2x + 1.


3


http://www.zadania.info/23721




ZbiórRn = (x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn ∈ R

to zbiór wszystkich ciagów liczb rzeczywistych długosci n. Jest to matematycznadefinicja przestrzeni n wymiarowej.

Działania na zbiorach

Zbiór C utworzony ze wszystkich elementów zbiorów A i B nazywamy suma zbiorów A iB i oznaczamy

C = A ∪ B.

Zbiór D, który składa sie z elementów nalezacych jednoczesnie do A i do B nazywamyczescia wspólna (lub przekrojem, lub tez iloczynem) zbiorów A i B. Oznaczamy

D = A ∩ B.

Jezeli A ∩ B = ∅ to mówimy, ze zbiory A i B sa rozłaczne.Zbiór E składajacy sie z elementów zbioru A, które nie naleza do B nazywamy róznica

zbiorów A i B. Oznaczamy

E = A \ B.

Jezeli A = 1, 2, 3, 6, 9 i B = 3, 5, 6, 10 to

A ∪ B = 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10 A ∩ B = 3, 6A \ B = 1, 2, 9 B \ A = 5, 10.

BA3 61 2 9 5 10

Jezeli A = (−5, 1〉 i B = 〈−3, 3) to

A ∪ B = (−5, 3) A ∩ B = 〈−3, 1〉A \ B = (−5, 3) B \ A = (1, 3).

0 1-1 42 3-2-3-4-5-6

A B

Jezeli A ⊆ B to A \ B = ∅Jezeli A ∩ B = ∅ to A \ B = A.


4




Bardzo wygodnym sposobem ilustracji zbiorów A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A jest tzw.diagram Venna.

BA

A\B B\AA B

Diagram taki doskonale obrazuje wzajemne relacje miedzy wymienionymi zbiora-mi i pozwala wymyslac rózne przydatne wzorki, np.

A \ B = A \ (A ∩ B).

Kilka oczywistych wzorków.

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ AA ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ AA ∪ A = A A ∩ A = AA ∪∅ = A A ∩∅ = ∅A \∅ = A ∅ \ A = ∅A \ A = ∅.

Dopełnienie i prawa de Morgana

W pewnych sytuacjach zdarza sie, ze zbiory, którymi sie zajmujemy sa podzbiorami usta-lonego zbioru U (o zbiorze U myslimy jak o przestrzeni, która zawiera wszystkie badaneprzez nas elementy). W takim kontekscie definiujemy dopełnienie zbioru A (w zbiorze U)jako

A′ = U \ A.

Przedziały liczbowe w naturalny sposób traktujemy jako podzbiory U = R. Mamyzatem

(−3, 1〉′ = (−∞,−3〉 ∪ (1,+∞)

(−∞, 2)′ = 〈2,+∞).

0 1-1 42 3-2-3-4-5-6

A A'A'

0 1-1 42 3-2-3-4-5-6

A A'


5




Podzbiory płaszczyzny w naturalny sposób traktujemy jako podzbiory płaszczy-zny U = R2 :) Zatem np.

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 9′ = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 9

-5 -1 +3 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

A

A'

+3

-3

-3

Ponizszy obrazek

A\B B\AA B

U

przedstawia diagram Venna uzupełniony o przestrzen U. Diagram ten jest bezcen-nym zródłem ciekawych wzorków, np.

A \ B = A ∩ B′

Dopełnienie odgrywa szczególna role, gdy zajmujemy sie zdarzeniami losowymi.Jezeli A jest zdarzeniem losowym, a Ω jest zbiorem zdarzen elementarnych to zbiór

A′ = Ω \ A

odpowiada zdarzeniu przeciwnemu do A. W szczególnosci

P(A′) = P(Ω \ A) = P(Ω)− P(A) = 1− P(A).

Kilka oczywistych wzorków.

A ∪ A′ = U A ∩ A′ = ∅

∅′ = U U′ = ∅

(A′)′ = A.


6




Uzywajac diagramu Venna łatwo wykazac tzw. wzory (prawa) de Morgana.

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.

Prawa de Morgana sa ciekawe, bo pozwalaja zamieniac (przy pomocy dopełnienia)sume na iloczyn i odwrotnie.

Iloczyn kartezjanski

Dla dowolnych zbiorów X i Y definiujemy ich iloczyn kartezjanski wzorem

X×Y = (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y.

Mówiac bardziej po ludzku, iloczyn kartezjanski X × Y jest zbiorem wszystkich par (upo-rzadkowanych) postaci (x, y), gdzie x jest elementem zbioru X, a y elementem zbioru Y.

Jezeli X = a, b i Y = 1, 2, 3 to

X×Y = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)Y× X = (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b).

Zauwazmy, ze o elementach zbioru X×Y mozemy myslec jak o elementach tabelki.1 2 3

ab(a,1) (a,2) (a,3)(b,1) (b,2) (b,3)

Analogicznie definiujemy iloczyn kartezjanski wiekszej liczby zbiorów X1, X2, . . . , Xn

X1 × X2 × . . .× Xn = (x1, x2, . . . , xn) : x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn.

W szczególnosci jezeli X1 = X2 = · · ·Xn = X to oznaczamy

Xn = X× X× · · · × X︸︷︷︸n

.

Zbiór R2 = R×R, czyli zbiór par liczb rzeczywistych utozsamiamy (poprzez wy-bór układu współrzednych) z płaszczyzna.

Zbiór R3 = R×R×R, czyli zbiór trójek liczb rzeczywistych utozsamiamy (po-przez wybór układu współrzednych) z przestrzenia trójwymiarowa.


7




O zbiorze Rn myslimy (poprzez analogie z R2 i R3) jak o przestrzeni n wymiarowej.

Jezeli przez A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 oznaczymy zbiór mozliwych wyników przy jedno-krotnym rzucie kostka, to zbiór mozliwych wyników przy n-krotnym rzucie kostkajest równy An.

O zbiorze R× 1, 2, 3myslimy jak o zbiorze trzech kopii R umieszczonych na po-ziomach 1, 2, 3.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

Jezeli Z oznacza zbiór liczb całkowitych to zbiór Z×Z jest zbiorem punktów płasz-czyzny, które maja obie współrzedne całkowite. Sa to tzw. punkty kratowe.

Liczba elementów

Jezeli A jest zbiorem skonczonym, to symbolem

|A|

oznaczamy liczbe elementów zbioru A.

Np.|1, 1, 2, 3, 3, 3, 4| = 4|6n− 7 : n ∈ 1, 2, . . . , 100| = 100.

Patrzac na diagram Venna dla dwóch zbiorów skonczonych A i B łatwo przekonacsie o prawdziwosci wzorów

|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A \ B| = |A| − |A ∩ B|.


8




Jezeli X i Y sa zbiorami skonczonymi to

|X×Y| = |Y× X| = |X| · |Y|

Tak jest, bo zbiór X × Y składa sie z par, których pierwszy element moze byc wy-brany na |X|, a drugi na |Y| sposobów.Inny sposób myslenia o tym wzorze: zbiór X × Y mozemy utozsamiac z tabelka,która ma |X| wierszy i Y kolumn.

Zadania.info Podoba Ci się ten poradnik?Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

TIPS & TRICKS

1Niektóre zbiory maja w matematyce specjalne oznaczenia. Standardowe (i powszechnieuzywane) oznaczenia sa nastepujace:

R – zbiór liczb rzeczywistych (od ang. real)N – zbiór liczb naturalnych (od ang. natural)Z – zbiór liczb całkowitych (od niem. Zahlen)Q – zbiór liczb wymiernych (od ang. quotient)C – zbiór liczb zespolonych (od ang. complex).

Niestety w polskich podrecznikach szkolnych przyjeło sie stosowac inne oznaczenia (po-chodzace od pierwszych liter polskich nazw) i tak liczby wymierne czesto oznacza sie przezW, a liczby całkowite przez C. O ile w przypadku liczb wymiernych nie ma z tym wielkiegokłopotu, to oznaczanie liczb całkowitych przez C jest problematyczne, bo powoduje kolizjez powszechnie przyjetym oznaczeniem na liczby zespolone.

Nie chcac zbyt mocno ingerowac w szkolne tradycje, w wiekszosci rozwiazan za-dan w serwisie zadania.info uzywamy symbolu C na oznaczenie liczb całkowitychoraz symbolu C na oznaczenie liczb zespolonych.

Niestety nie ma jednoznacznej konwencji, czy liczbe 0 uwazamy za liczbe natural-na, czy tez nie. W trakcie nauki matematyki odkryjecie równie duzo argumentówza tym, by 0 uznac za liczbe naturalna, jaki i za tym by tak nie robic. Odbiciem tegoproblemu jest pytanie, czy wyrazy ciagów (czyli funkcji postaci f : N→ R) nume-rujemy od 0, czy od 1?W wiekszosci zadan zamieszczonych w serwisie zadania.info przyjmujemy, ze 0nie jest liczba naturalna, wiec dla nas

N = 1, 2, 3, . . .


9







Czesto dodajemy modyfikatory do literek oznaczajacych nazwy popularnych zbio-rów liczbowych. Typowe przykłady takich modyfikatorów to

R+ = R>0 – zbiór liczb rzeczywistych dodatnichZ>0 – zbiór nieujemnych liczb całkowitychQ∗ – zbiór niezerowych liczb wymiernych.

Tego typu notacja pozwala ominac problem niejednoznacznosci symbolu N.

N+ = Z+ – liczby naturalne bez zeraN>0 = Z>0 – liczby naturalne z zerem.

2

Zwyczajowo nazwy zbiorów piszemy wielkimi literami, a elementy zbiorów małymi. Dla-tego czesto bedziecie sie spotykac z zapisami postaci x ∈ X, a ∈ A, ω ∈ Ω itd.

3Zbiór pusty nie zawiera zadnych elementów, wiec napis x ∈ ∅ nie ma sensu. Napis takiczasem jest uzywany, jako synonim do „równanie nie ma rozwiazan”, ale jest to bład i niepowinno sie tak robic.

Rozwiazaniem równaniax2 + 1 = 0

jest ∅.

4

Relacja zawierania „⊆” nosi tez nazwe inkluzji. Dawniej relacje te pisało sie jak ostra nie-równosc, tzn. A ⊂ B. Współczesnie jednak coraz czesciej stosuje sie zapis analogiczny dozapisu uzywanego przy nierównosciach, czyli „⊆” oznacza „zawarty lub równy”, a „⊂”oznacza podzbiór własciwy. Poniewaz jednak nadal uzywane sa dwie rózne konwencje, dlaunikniecia nieporozumien, uzywa sie zapisu A B na oznaczenie podzbioru własciwego.

5Zauwazmy, ze własnosc „bycia elementem” nie jest przechodnia.

Jezeli A = 1, 2 i B = 1, 2, 3 to 1 ∈ A oraz A ∈ B, ale 1 6∈ B.


10




6

Czasem wygodnie jest wykonywac operacje arytmetyczne, gdy jednym z argumentów jestzbiór. Jezeli x ∈ R oraz A ⊆ R to definiujemy:

x + A = x + a : a ∈ Ax · A = x · a : a ∈ A.

Innymi słowy liczbe dodajemy do zbioru dodajac ja do wszystkich elementów tego zbioru.Podobnie z mnozeniem.

Rozwiazmy nierównosc |3x + 1| < 3.Z własnosci wartosci bezwzglednej mamy

3x + 1 ∈ (−3, 3) /− 13x ∈ (−3, 3)− 1 = (−4, 2) / : 3

x ∈ 13· (−4, 2) =

(−4

3,

23

).

Wygodne oznaczenie na zbiór liczb parzystych to 2N. Ogólnie, jezeli k ∈N to zbiórk ·N składa sie z liczb naturalnych podzielnych przez k.

Dla dowolnej liczby całkowitej k 6= 0 mamy k ·Q = Q.

7

W zapisieT(x) : w(x)

czesto uzywa sie pionowej kreski „|” zamiast dwukropka. Nie ma miedzy tymi symbolamizadnej róznicy i mozemy uzywac ich zamiennie.

Np.x3 − 5 : x ∈ 1, 2, 3 = x3 − 5 | x ∈ 1, 2, 3

8

Czasem uzywa sie jeszcze jednej operacji na zbiorach, tzw. róznicy symetrycznej zdefinio-wanej wzorem

A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).

W polskich podrecznikach róznica symetryczna jest czesto oznaczana symbolem

A÷ B = A4B.


11




Jezeli A = (−5, 1〉 i B = (−3, 3〉 to

A4B = (−5,−3〉 ∪ (1, 3〉.

0 1-1 42 3-2-3-4-5-6

A B

9

Dla osób bedacych wzrokowcami moze byc wygodny ponizszy diagram, na którym znaj-dziecie graficzne ilustracje działan na zbiorach.

A BA B

A BA B

A BA B

A BA\B

A BB\A

A BA'

10

Nalezy pamietac, ze dopełnienie A′ zbioru A ma sens tylko przy ustalonej przestrzeni Uzawierajacej A. Zmiana zbioru U zmienia tez zbiór A′.

Zbiór 1, 2, 3mozemy traktowac jako podzbiór U = R, ale równie naturalnie mo-zemy go traktowac jako podzbiór U = Z lub U = N. W zaleznosci od tego wyboruotrzymujemy rózne dopełnienia, odpowiednio

A′ = R \ 1, 2, 3A′ = Z \ 1, 2, 3A′ = N \ 1, 2, 3.

11

Prawa de Morgana pamietamy w formie

Dopełnienie sumy jest równe iloczynowi dopełnien.Dopełnienie iloczynu jest równe sumie dopełnien.


12




12

Dla dowolnego zbioru A mozemy zdefiniowac zbiór składajacy sie ze wszystkich mozli-wych podzbiorów zbioru A. Zbiór ten nazywamy zbiorem potegowym zbioru A i oznacza-my symbolem 2A.

Jezeli A = 1, 2, 3 to

2A = ∅, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3

2∅ = ∅

Mozna uzasadnic, ze jezeli A jest zbiorem skonczonym to∣∣∣2A∣∣∣ = 2|A|.

13

Diagram Venna mozemy tez narysowac dla trzech zbiorów.

A B

U

A C B C

A B C

A B

C

Diagram Venna pozwala sprawdzic nastepujace wzorki

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ CA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C).


13




Diagram Venna pozwala równiez uzasadnic nastepujace uogólnienie wzoru na liczbe ele-mentów sumy zbiorów.

|A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩ B ∩ C|.

14Wzór |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| jest bardzo uzyteczny i jest czestym motywem zadanszkolnych.

Jezeli w pewnej klasie 15 osób uczeszcza na kółko plastyczne, 12 osób uczeszcza nakółko matematyczne, a 5 osób chodzi na oba te kołka, to w sumie w tych dwóchrodzajach zajec uczestnicza

15 + 12− 5 = 22

osoby.

Jest 11 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 8:

16 = 2 · 8, 24 = 3 · 8, . . . , 96 = 12 · 8,

15 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6:

12 = 2 · 6, 18 = 3 · 6, . . . , 96 = 16 · 6,

oraz 4 liczby dwucyfrowe podzielne jednoczesnie przez 8 i 6 (czyli przez 24):

24, 48, 72, 96.

To oznacza, ze liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 lub przez 8 jest

11 + 15− 4 = 22.

15Zauwazmy, ze ze wzoru

|X×Y| = |X| × |Y|wynika ogólniejszy wzór

|X1 × X2 × · · · × Xn| = |X1| · |X2| · · · · · |Xn|.

Zastanówmy sie nad sensem tego wzoru. Z lewej strony mamy liczbe ciagów postaci

(x1, x2, . . . , xn) gdzie x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn,

a z prawej iloczyn liczb elementów zbiorów X1, . . . , Xn. Jest to wiec formalne sformułowaniekombinatorycznej zasady mnozenia.


14




16

Wiemy, ze zbiór nie zawiera informacji o kolejnosci elementów, ani o ich powtórzeniach.Jezeli jednak zalezy nam na tych informacjach to do dyspozycji mamy ciagi.

Jaka jest róznica miedzy odcinkiem a wektorem? – odcinek jest wyznaczony przezzbiór składajacy sie z jego konców, a wektor przez pare (uporzadkowana) składaja-ca sie z jego poczatku i konca. W tym sensie róznica miedzy odcinkiem, a wektoremodpowiada róznicy miedzy zbiorem, a ciagiem.

Spróbujmy zastanowic sie jakie sa mozliwe wyniki przy dwukrotnym rzucie kost-ka.Gdybysmy chcieli wyniki zapisywac jako zbiory (dwuelementowe) otrzymanychoczek, to mamy dwa problemy:

• nie wiemy jak zapisac wyniki, w których na obu kostkach wypadała ta samaliczba, bo np. 1, 1 = 1

• zdarzenie 1, 2 odpowiada dwóm wynikom: 1 moze byc na pierwszej, lubna drugiej kostce. To oznacza, ze zdarzenie to jest bardziej prawdopodobneniz zdarzenie, w którym np. na obu kostkach mamy 1-ke.

Lekarstwem na wspomniane problemy jest traktowanie wyników jako par upo-rzadkowanych.

Jezeli mamy zbiór k elementowy to jego elementy mozemy ustawic w ciag na k!róznych sposobów (zasada mnozenia). Ta obserwacja jest zródłem wzoru(

nk

)=

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)k!

na liczbe podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego. Rzeczywiscie, z za-sady mnozenia, z elementów zbioru n-elementowego mozemy utworzyc

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)

ciagów k-elementowych, o niepowtarzajacych sie wyrazach. Jezeli teraz zapomni-my o kolejnosci wyrazów (zamienimy ciagi na zbiory), to kazdy zbiór pojawi sie k!razy. Stad otrzymujemy wspomniany wzór na (n

k).

17

Wygodnym sposobem dowodzenia równosci dwóch zbiorów A i B jest wykazanie, ze za-chodza dwie inkluzje A ⊆ B oraz B ⊆ A.


15




Udowodnijmy wzorekA \ B = A ∩ B′.

Jezeli x ∈ A \ B to x ∈ A oraz x 6∈ B. W takim razie x ∈ A i x ∈ B′, czyli x ∈ A ∩ B′.Wykazalismy zatem, ze A \ B ⊆ A ∩ B′.Jezeli teraz x ∈ A ∩ B′ to x ∈ A i x 6∈ B, czyli x ∈ A \ B. Wykazalismy teraz, zeA ∩ B′ ⊆ A \ B. Zatem rzeczywiscie A \ B = A ∩ B′.

Udowodnijmy, ze NWD(a, b) = NWD(a− b, b).Aby wykazac równosc dwóch liczb naturalnych wystarczy wykazac, ze maja iden-tyczne zbiory dzielników. Jezeli liczba k dzieli lewa strone, to k|a i k|b. Wtedy jednakk|a− b, wiec równiez k|NWD(a− b, b). Wykazalismy zatem, ze zbiór dzielników le-wej strony zawiera sie w zbiorze dzielników prawej strony.Jest tez odwrotnie, bo jezeli k|NWD(a− b, b) to k|a− b oraz k|b. Wtedy

k|(a− b) + b = a.

Stad k|NWD(a, b).

W jednym z poprzednich przykładów napisalismy, ze k ·Q = Q dla dowolnej liczbycałkowitej k 6= 0. Udowodnijmy to.Jezeli x ∈ k ·Q to x = k · p

q dla pewnych liczb całkowitych p i q. Wtedy oczywiscie

x = kpq ∈ Q. Odwrotnie, jezeli x ∈ Q to x = p

q . Mamy wtedy

x =pq= k · p

kq∈ k ·Q.

Udało nam sie wykazac dwie inkluzje, wiec zbiory rzeczywiscie sa równe.

18

Dobre pytanie filozoficzne:czy istnieje (w przyrodzie) chociaz jeden zbiór nieskonczony?

19Definiujac zbiory w postaci T(x) : w(x) trzeba odrobine uwazac, na co wskazuje tzw.paradoks Russella. Niech

A = X : X 6∈ X.Zastanówmy sie teraz, czy A ∈ A? Jezeli tak, to mamy sprzecznosc z definicja tego zbioru,bo zawiera on tylko zbiory spełniajace warunek A 6∈ A. Jezeli natomiast A 6∈ A to z definicjiA, A jest elementem A. W obu sytuacjach mamy wiec sprzecznosc.

Paradoks Russella pokazuje, ze nie kazdy napis postaci T(x) : w(x) definiuje zbiór (Azdefiniowane powyzej nie jest zbiorem). Na szczescie w zadaniach szkolnych nie natkniemysie na taki problem.


16




20Bardzo poteznym narzedziem pozwalajacym definiowac nowe pojecia przy uzyciu jezykazbiorów sa relacje. Zagadnieniu temu poswiecony jest osobny poradnik.

21Zbiory sa bardzo blisko zwiazane z logika matematyczna.

Działania sumy, iloczynu i dopełnienia sa zdefiniowane odpowiednio przy pomocyalternatywy, koniunkcji i negacji.

A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ BA ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ BA′ = x ∈ U : ¬(x ∈ A).

Prawa rachunku zbiorów bardzo czesto wynikaja z analogicznych praw rachunkuzdan.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ ¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p) ∧ (¬q)(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ ¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p) ∨ (¬q)

(A′)′ = A ¬(¬p) ⇐⇒ p.

22Rozróznienie miedzy zbiorem, a elementem jest dosc sztuczne, bo elementami zbiorówoczywiscie moga tez byc zbiory.

Zbiór ∅ jest zbiorem jednoelementowym, w szczególnosci ∅ ∈ ∅.

Zbiór 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5 zawiera trzy elementy: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5

Dobre pytanie: czy istnieje zbiór X spełniajacy warunek X ∈ X?Odpowiedz jest troche podchwytliwa: mozna (w bardzo sztuczny sposób) takizbiór wymyslic:

X = . . . ∅ . . .Powyzszy zapis nalezy rozumiec w ten sposób, ze po obu stronach zbioru pustegojest nieskonczenie wiele nawiasów. W takiej sytuacji mamy X = X (dołozeniejednej pary nawiasów nic nie zmienia), czyli X ∈ X.Powyzsza konstrukcja jest jednak bardzo dziwna i w teorii mnogosci (nauce o zbio-rach) przyjmuje sie aksjomat regularnosci, który wyklucza mozliwosc takiej kon-strukcji. Innymi słowy, uzyta przez nas definicja zbioru przy pomocy nieskonczeniewielu nawiasów jest niedopuszczalna. Przy tym załozeniu mozna udowodnic, zenie ma zbioru spełniajacego warunek X ∈ X.


17





23

Przegladajac poradnik mozecie zauwazyc, ze nie zdefiniowalismy pojecia „zbiór”. Jest kutemu dobry powód: pojecie zbioru jest w matematyce pojeciem pierwotnym. Spróbujemyto teraz krótko wyjasnic.

Teorie matematyczne maja charakter aksjomatyczny, tzn. jako fundament kazdej takiejteorii przyjmuje sie kilka pojec pierwotnych (których sie nie definiuje) oraz kilka bardzo pro-stych własnosci (tzw. aksjomatów), które opisuja najwazniejsze cechy pojec pierwotnych. Woparciu o pojecia pierwotne (i ich własnosci) definiuje sie kolejne pojecia oraz dowodzi sieich własnosci.

W matematyce pojecie zbioru jest jednym z najwazniejszych pojec pierwotnych. O tymjak bardzo jest fundamentalne niech swiadczy fakt, ze praktycznie wszystkie obiekty mate-matyczne jakie znacie (liczby, funkcje, ciagi, działania, figury geometryczne) sa zbiorami.

Zobaczmy jak definiuje sie liczby naturalne uzywajac tylko pojecia zbioru. Definicjajest nastepujaca:

0 = ∅1 = ∅2 = ∅, ∅3 = ∅, ∅, ∅, ∅

. . .

W pierwszej chwili definicja ta moze wydawac sie dziwna, ale gdy chwile sie zasta-nowimy, to ma ona sens: 1 to najprostszy zbiór jednoelementowy, 2 to najprostszymozliwy zbiór dwuelementowy (nie mozemy dac 2 = ∅, ∅, bo ∅, ∅ = ∅)itd.

Spróbujmy zdefiniowac pare uporzadkowana (a, b) uzywajac tylko pojecia zbioru.Wymaga to odrobiny pomysłowosci, bo przeciez zbiory nie zawieraja informacji okolejnosci. Robi sie to nastepujaco:

(a, b) = a, a, b.

Aby sprawdzic, ze powyzsza definicja oddaje sens pary uporzadkowanej sprawdz-my, kiedy

(a, b) = (c, d)a, a, b = c, c, d

Z powyzszej równosci wynika, ze (a = c i a, b = c, d) lub (a = c, d ia, b = c). W pierwszym przypadku mamy a = c i b = d, a w drugim a = b =c = d. Tak wiec rzeczywiscie dwie pary (a, b), (c, d) sa równe wtedy i tylko wtedy,gdy a = c i b = d.

Pojec pierwotnych jest mało i dokładnie tak ma byc – nie chcemy zbyt wielu pojecprzyjmowac bez definicji. Innymi przykładami pojec pierwotnych sa pojecia punk-tu i prostej w geometrii euklidesowej.


18




24

Jezeli myslimy o zbiorach w sposób abstrakcyjny (tzn. nie wnikamy w nature ich elemen-tów), to nie maja one zbyt wiele struktury. Jest jednak jeden wyjatek, mianowicie moc zbio-ru. Mówiac pogladowo, moc zbioru ma oznaczac liczbe jego elementów. Takie stwierdzeniejest jednak duzym uproszczeniem, bo chcemy, zeby moc była zdefiniowana dla dowolnychzbiorów, równiez nieskonczonych.

Oczywiscie liczenie elementów zbioru nieskonczonego nie ma zbyt duzego sensu (poprostu jest ich nieskonczenie wiele), ale okazuje sie, ze ma sens porównywanie ze soba róz-nych nieskonczonosci. Mówimy, ze zbiory A i B sa równoliczne jezeli istnieje chociaz jednawzajemnie jednoznaczna funkcja f : A→ B. W takiej sytuacji piszemy

|A| = |B|.

Jezeli zbiór A jest równoliczny z podzbiorem zbioru B to piszemy |A| 6 |B|.W przypadku zbiorów skonczonych, zbiory sa równoliczne dokładnie wtedy, gdy maja

tyle samo elementów, wiec powyzsza definicja nie wnosi nic nowego. Jest ona natomiast bar-dzo ciekawa w przypadku zbiorów nieskonczonych, bo pozwala rozrózniac rózne rodzajenieskonczonosci.

Niech 2N oznacza zbiór liczb parzystych oraz niech f : N→ 2N bedzie dana wzo-rem f (n) = 2n. Funkcja f jest wzajemnie jednoznaczna, wiec zbiory N i 2N sarównoliczne. W pierwszej chwili moze to byc troche zaskakujace, bo wydaje sie, zeliczb parzystych jest dwa razy mniej niz wszystkich liczb naturalnych.

Mozna wykazac, ze zarówno zbiór liczb całkowitych Z, jak i zbiór liczb wymier-nych Q jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.

Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorami przeliczal-nymi. Dla oznaczenia mocy takich zbiorów uzywa sie specjalnej literki: ℵ0 (czyta-my „alef zero”). Mamy zatem

|N| = |2N| = |Z| = |Q| = ℵ0.

Mozna udowodnic, ze zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny, tzn. nie jestrównoliczny ze zbiorem N. Moc zbioru R oznaczamy literka: c (czytamy „kontinu-um”). Zbiór liczb rzeczywistych jest wiec „bardziej nieskonczony” niz zbiór liczbnaturalnych.

|R| = c > ℵ0 = |N|.


19




Wiemy juz, ze R jest bardziej nieskonczony niz N, a czy istnieje zbiór bardziej nie-skonczony niz R?Okazuje sie, ze tak. Mozna udowodnic (jest to tzw. tw. Cantora), ze zbiór potegowy2A ma zawsze wieksza moc niz A. Zatem∣∣∣2R

∣∣∣ > |R| = c.

Co wiecej, mozemy te sztuczke kontynuowac otrzymujac zbiory o coraz wiekszychmocach.

R, 2R, 22R

, 222R

, . . .

Jest zatem nieskonczenie wiele róznych nieskonczonosci!

25

Wiemy, ze moc zbioru liczb rzeczywistych jest wieksza od mocy zbioru liczb naturalnych.Pytanie: czy jest jakis zbiór posredni, który ma moc wieksza niz N, ale mniejsza niz R?W 1878 twórca współczesnej teorii mnogosci G. Cantor sformułował tzw. hipoteze conti-nuum, która stanowiła negatywna odpowiedz na powyzsze pytanie. Pomimo bardzo inten-sywnych staran bardzo długo nie było wiadomo, czy hipoteza ta jest prawdziwa, czy teznie.

Odpowiedz okazała sie bardzo zaskakujaca: udowodniono, ze hipotezy continuum niemozna udowodnic, ani tez nie mozna udowodnic, ze nie jest prawdziwa. Innymi słowyudowodniono, ze na pytanie o prawdziwosc hipotezy continuum nie da sie odpowiedziec(uzywajac współczesnego jezyka mówi sie, ze jest ona niezalezna od aksjomatyki teorii mno-gosci).

Rezultat ten był bardzo zaskakujacy dla całego srodowiska matematycznego i na zawszezmienił nasze rozumienie teorii matematycznych (okazało sie, ze nie kazdy problem mate-matyczny ma rozwiazanie).


20



Documents

Zbiory