Embed Size (px)
DESCRIPTION
Zbirka zadataka za 4 razred srednje skole Adem Huskic
Citation preview
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za 4. razred srednjih skola
lP "SVJETLOST" d.d. Zavod za. udZbenike i nastavna sredstva
SARAJEVO, 2004.
lzdavac: IP "SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva
Direktor: Sefik ZUPCEVIC
Za izdavaca: Abdu:;;elam RUSTEMPASIC
Urcdnik: Ante BAl'."1C
Rccenzenti: Dr. Hasan JAMAK, Prirodno-matematicki fakultct Sarajevo Amira IMAMOVIC, Zenica Omer KURTANOVIC, Bihac
Leletor: Zulejha TERZIC
Korektor: Autor
Tehnicki uredni.k: Fikrct DAlJTOV1C
Naslovna strana: Mira GOGf(:
I)TP: Autor
:Stampa: DOO "C.P.A." TojsiCi-Kaicsija
Tiraz: 1.500 primjeraka
err Kat[l]ogizllcija U pllhlikaciji Nacionalna i univerzitetska bibliotcka Bosne i Hcrcegovine, Sarajevo
! 51 (075.3) (076.1) ,
I HUSKIC., Adem
~?ir~a zadataka iz matc.l~atikc z~ 4. razrcd srednJlh skola! Adem Huooc. - SaraJevo:
t" vjetlos.t, 2004. - 3R4 S.iT': graf. prikazi; 24 em
ISBN 9958-10-714-7
COBTSS_BI-QD 13329670
~ .. -.. ---
Fcderalno Ministarstvo obraz!)vanJa, Hauke, kulturc i ~pofta, na OSIlOVU odohrcnji\ Vijeeu za odabir udzbcnika od 01.08.2001. godinc, RjcScnjclTI broj 03-38-32632/02 odobri!o jc ovaj udzbcnik 7.3 npotrcbu.
SITOgO je zabranjeno svako kopinmjc, umno7..avanjc i prdtampavanje udzhcnika bez odobrenja Izdavaca. Ncovlastcno kopirnnjc, ulTIllof.avanjc i prdtampavanje predstavlju krivic!lo djelo.
ISBN 9958-10-714-7
PREDGOVOR
Ova zbirka zadataka namijenjena je ucenicima cetvrtog razreda srednjih skola koji u svojim nastavnim programima imaju matematiku (girnnazije, tehniCke i srodne skole), Nastala je kao plod dugogodisl~jeg rada s ucenicima i potTage za raznim prirucnicima koji bi pomogli realizaciju programa.
Zbirka sadri. osam poglavlja s preko 3000 zadataka. Poglavlja su: 1. Matematicka indukcija i binomna formula 2. Trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnog brojll 3. Kombinatorika 4. SkuI' realnih brojeva 5. Nizovi. Arilmct.icki geometrijski nlZ, Grankna vfijednost niza.
Geornetrijski red 6. Funkcija 7. Diferencijalni racon 8. !ntegrnlni raClll1.
Zadaci Sll hirani tako da zadovoljc potrebe i interesovanja uccnika cetvrtog razreda srednjih skala. Njihov raspored jc takav da su jednostavni zadaci stavljeni ns pocetak u svakoj grupi jcdnovrsnih zadataka, a zatirn slijede nesto 1"ezi zadac!. Zadaci koji su, po mojoj procjenj, nesto "tezi" oznaceni su sa z\~jezdicom iza broja zadatka. Mnogi zadaci su potpuno rijeseni i njihova ljesenja navedena su 11 c1rugom dijeiu zbirkc. Za sve zadatkc dati su rczultati, a za pojedine zadatke su navcdene i kljucne upute kojc vode ka jednom nacinn rjesavanja zadatka. Ovo se posebno odnClsi na llteze" zadatkc izZbirke.
Na pocctku svakog poglavlja navedene su neophodne definic.ije, teoreme i formule koje omogucavaju laksc snaiazenjc prilikom ljdavanja zadataka i koristenja zhirke.
Nadam se da ce Zbirka korisno posluz.iti uccnicima cetvrtog razreda srednjih skola, kao i njihovim profesorima matematikc, kao vazan komplemcntaran prirucnik postojecem udibeniku matematike i olaksati realizaciju programa nastavnog predrneta i pripre111t1 rnaturskih i drugih ispita. Na kraju posebnu zahvalnosl upucujem recenzelltima koji SD mi pomog!i korisnim pdmjedbama i sugestijama i time doprinijeli poboJjsanju kvaIitcta ove Zbirke zadataka.
Autor
3
1. MATEMATICKAINDUKCIJA BINOMNA FORMULA
1.1. Matematicka indukcija
U dokazirna relaciJa-koje kao vafijablu sadrze ,prirodan broj n,. Cesto se koristi princip matematic~e lndukcije:
Ak ... 0 jeT. (n) tv .. rd~j.'a kOja. z -aViS.i {)d vrijednosti. pr.i. r. 0. dnog .brOj 3". iStinl.'.t a ia n '='1 no (2:1) i ako se ua osnovu pretpostavke"da tvrdnja vrijedi za n =-k;;:: Do, dokaze da.
l!'yrdnaj vrijedi i za n=k+l, ouda je tvrdo,ia istinita,z3 svaki prirodan broj R.
r:a svaki pt'irodan broj n ) po definiciji, vrijedi: n! = 0-(0-1)'(0-2)· ... -3,2,·1. l lzraz n! cita se "0 fak.orUel". Po detiniciji vrijedi. i; 11- =_ 1., 01 = 1.
Izracunati vrijednost datog izra7....a: L La) 4! b) 5! oj 71 d) 8!
1.2.a) c) 3!
d) 12!
01 iO!
9' b)
2l! ~
7! 201
1.3.a) 5' + 6! b) 7! - 5! 0) 12! + 1l! -101
Uprostiti date izraze:
cJ n! n(n-I)(n·' 2)
1.4.a) n! b) (n+I)! n n(n+1)
0) n!
(n - 2)! ) (n+1)! b) (211+1)! 1.5.a
(n -I)' (2n -I)!
1.6.a) ~-~~_ b) ~I~+~_I~ 0) 5! (11+1)! n' (11+1)1 (n+2)! (n+3)! n(n+I) 3!(n-l)!
6! r 1 (11+ 1)1 n(n-I)!] 1.7.* (n-2)(n-3) '[(I1+I)(n-4)' 5!(n-5)! 12(11-4)!3! .
Dokazati da vrijede identitct.i:
1.8.a) 7'+6' 13'-1']' -'-'~' =6! b) ~·~'·=Il!
8 155 (n+l)!
1.9.a) ~~-=n+l n!
n! b) ~~=n
(n -1)1
cJ 44!..:1:.'i:5 ! = 441 46
c) (n-2)'= ... L, (n-l)! 11-1
1 1 I.lO.a) ~~-~ (n-l)! nl /1·(11·-2)!
b) n! (11+1)1 (11-1)!(n+1)
5
(n + 5)! 1.l1.a) ~~-- ~(11+5)(n+4)(n+3)(17+2)(n+l) b)
n1
(11-3)! -- =(11-3)(n-4) (n-5)!
U skupu prirodnih brojeva rijesiti date jednacine Uednadzbe):
1.12.a) (11+2)'=110 b) _"_'_= 20n! n! (n-5)! (n-3)!
1 13 (x+I)!~42 . .a) (x I)!
b) (x+l)!=30 (x~l)!
1.14.a) (x + I)! ~ 90 (x-I)!
b) (2x)! (2x-3), (x-I)'
40x!
U5.a)
1.17.3)
1.1 8_
x'-(x-l)!~.1..
(x+l)! 6
x 12x b) ---=--
(x~4)! -2)!
U skupu prirodnih bn~jev3 rijesiti date nt:jednacine (n~iednadzhe):
b) ~~l!<!2 (n - 4)1
_,,_1_>20 b) (11-5)!>20 2)! (n-7)!
1 (5 (/1+1)! /1(n-l)! 'J' -"-·1 _ ... ---~ -------.-----~- s:; J "
11 2 ~n+l (n-3)!4! 12(11 3)(n-4)!21/
Metodom matematickc indukcije dokazati da :&1. svc prirodnc brojeve n vazi:
1.19.a) ]+2+J+.<"+n= n(I~+-t) b) 1+3+5+ ... + (2n -1) = n2
'.1.20_a)
b)
1.21.'"a)
c)
1.22:3)
b)
oj
6
" . 6 l1(n+l) 11(11+1)(n+2)
1+3+ + ... +---= - . 2 6
-1 + 3 - 5 + 7 - ... + (-1)" (2n -1) = (-It n. ,
..., 1,. 2, r ~ n(2n- + 9n + l) L + 7 + ! 4 r.n -J- (n ""t- 2n - 1)~: -"--6-----"
'"' ,,/~ .~ ~ il(n+1)(n+2) < 2+L"3 -L")< 4+ ... + n(n+ 1) :;:;"~"----'---.
3 ." , ~', ~,n(n+l)(2n+7)
T ·41-3·5+ ... -rn(n+Ll =--------- 6
4+2·7 +3- 10+ ... +11 (3n+ 1) ~n(n+ I)' 0
l' '. 3' ,n(n+I)(211+1) +2 T + ... +n =---6-.-····_;
[ " <, 2.1 '13 } /1(11+ 1) I-1+ +..;+ ... +n=--2 J
23 + 4' + 63 + ... + (2n)3 ~ 2112(n + 1)2
d)
1.23.
124.
1.25.
1.26.
127.
1.29_a)
b)
1.30_
1.3 La)
b)
1.32.
1.33.
1.34_
US.a)
1, 2' 3' , _ 11(11 + 1)(2n + 1)(311' + 3n ~ I) + + + ... +n - . 30
1.2-3+2.3.4+ ... +n(n+1)(n+2) n(I1+1)(n+2)(n+3). 4
1.7' 2.3' 3.4' ( -I) 2 = n(n2
-1)(3n+2) _ + + + ... + n n . 12
1+2+22 + ... +2 n-
1 =2n_}.
I' _ 2' + 32 _ 42 + _"' + (-1) ,,-J n2 = ( __ I)"-J n(n + 1) . 2
a n +! "-1 l+a+a 2 + ... +a ll =---, a:;t:I.
a-I 1 1 1 J n -.~+-+-+ .. "+--... =--~ , 1·2 23 3·4 n(I1+1) 11+1
I 1 I n - + -"'.~ + - +- » •. j- --:::--c:-c: 1·3 3·5 5·7 (211-1)(2n+l) 2n+1
I 1 1 I n
]:4+ 4-7 + 7'IO+"-+(:l~:'2)(311+1) 3n+I'
1 1 1 n - + - + -- + ... + "---C~-:-__ 1-5 5·9 9·13 (411-3)(4n+l) 4n+l'
1 1 1 I n ~+~+--+,..+- ----4-5 5-6 6-7 (n+3)(n+4) 4(n+4)
5 13 25 2n2+211+1 -+--+-+ ... +=--'-== 1-2 2·3 3·4 l1(n+l)
12 22}2 n2
-+-+-+~. c~--:=--1-3 3·5 5·7 (211-1)(2n+l)
11(211+3)
n+1
n(n + 1)
2(2n+ I) -
14.2' . n /1(n+l)(112+n+l) _·c -- + ... "T------ = --'..--""--1·3 3·5 (211- 1)(211 + I) 6(2/1 + 1)
1 2 3 11 n+2 -+-+-+ .. +~::::2----o 2 22 22 211 211
3 5 7 2n+ I J i+·--+~+~-+ ... +-----_ =:2----
0•
4 36 144 n'(n+i}' (n+lY
/
7
b) 1[1 1 . ] 3 -;; (n+ IXn+2Xn+3) .
1 --- + + ... +-------1·2·3·4 2·3·4·5 n(n + lXn+2Xn+3)
I 1 --- + + + ... + ----"----
n 1.36.a)
a(a+l) (a+l)(a+2) (a + 2)(a+3) (a+n·'I)(a+n) a(a+n)
b) 1 2 4 8 2" 1 2,,+1
--+--, +--, +--+ ... +--" ~--+--:;j' l+a 1+a J+a l+a 8 i+a2 a-I 1_a 2
1.37. 1·l!+2 ·2!+ ... + n 'n!~ (n + I)!-I
1.38. 3 7 15 2" -1 ,."
1+2+4+8+"'+:z;;:::;-~2 +2(n-l).
Dokazati da za sve prirodne brojeve n ~ 1 vrijedi djeljivost:
"1:19) a) 61(7"-1) j b) *n3 -nl c) 481(7'"'-1)
1.40.a) 61/13 + Un b) 301n' -n c) 61n3 +5n .
IAIca)'
! .42.0)
31 511 + 211+1
1715"+3 + 11'''+' V
b} t717.5211-1+231l~i c>," 19j7.S 2n +12'6 11
b) 571711+2 +821'1+11/ c) 641 32/J+2 -8n~9 V
I 4" ) 59115n +2 + ')6.5 11 + 82n+1 . J.a ~
}.44.:a) 5412211+1_9n2 +3n-2
145. a)
1.46.a)
10531 32n+2 .5 2n _3 3n+2 _2211
9111.4"''' -(n+ 1)·4'" + 1
147.:a) 25i, 2"+2 ·3" +5n-4 . lAS.a) ]712511+3 + 5!1 . r+2
1.49.a) (a b)1 (a" b"')
i .50. *a) 481 n 3 + 20n, n parwI braj.
b) 11130" +4"(3'" -2"')-1.
b) 1716'''' + 19'" .. 2,,+1
ill' 27110" + 18n-l
b) 914" +1511-1. "'''''',
1116211 +3 11+2 +3 11, bi
b) 371211+5 <3411 +531'1+1 <
b) 30 1 (a4"" -a)
b)
c)
512! n12 _n8 _n4 + 1, n neparan braj.
1001(7+72 +73 +7'+ ... +7"') ,zan~4k,kEN. I
Dokazati da Sll tacnc nejednakosti:
1.51.a) 1 1 I 1 1
--+-----+--+ ... +->-, n?:2; n+1 11+2 n+3 2n 2
0) 1 1 1 1 13 --+-~+--+ .. ,+-->~, n:?2. n+1 n+2 n+3 l1+n 24
8
c)
1.52. a)
1.53.a)
1.54 .• )
J .55.a)
1.56.0)
1.57 .• )
J .58.a)
1.59.
1.60.a)
1.61.a)
1.62.
1.63.
1 1 1 1 --+--+--+ ... +-->1, nE N. n+l n+2 n+3 3n+l
b)
b)
1 I I 1 n-l -+2'+?+"'+2<--22 3 4- n n
I I I --+--+ ... +-->1. n+l n+2 3n+1
Dokazati da za prirodne brojeve n vaze nejednakosti: 2" >n+3, n>2 b) 2n<n2, n>2
2" >n, n20 b) 2/1 >n2, n:2: 5.
211 > n 3, n 210 b) 3" 4 >n, n'?:.8.
(a>h>O) => an >b tl b) n!> 2", n24
~~I) ( J'I" 2 , >n!, n>2 b) l2--'1 >n, n> I
n;
(l+x)11 >l-t-J1x, x>-l, X*O, n>l.
4" (211)1 11'22 b)
4" (2n)1 --<-- --<-- 11>1-11+-1 (n!)2' 2n+1 (n1)2' ,
(2)" > n! > (;)", n?::6. b) n! ~ N 2 • \J
2"" (a" +b") > (a+ b)", a+b > 0, a" b,n > 1, 11 EN.
Primjenom matematicke indukcije dokazati:
(coso.. + isioo..)" :::;; cosna + isin na - Moivret-ova formula.
. (n+l)a . nfJ. sm~···· .... · .. , .. -sm .. --'-
1.64. sina +sin2ct. +.,.+sinna 2 2 Cl. *- 2krt,ke z .
.a sm-
2 • 2
1 65 ' . 3 . 5 . (' ) Sin nx • . SInX + sm x + sm x + ... + Sin L.H-l x = ---:--smx
(n + i)a . na cos ------. sm-
1.66. cosa + cos 2et + .. + cos na = 2 2 u -:j: 21m, k E Z . a
sm-2
sin 2nx 1.67. caSK + cos2x + cos3x + ... + cos(2n-l)x = --. - .
2smx 2 2 2 n sinna·cos(n+l)cx
1.68. cos a + cos 2a..+ ... +cos na:;::--+ , C/..:;t.2krt,kEZ. 2 2sina
I'" Abraham de Moivre (1667 ~ 1754.) - t:tlg!Cski matematicar
9
x sinx cos~:;;::;----,
'">11 ....
L 211 sin ~.:"_ 1.69,
x x x x cos-cos---cos~cos-·
2 22 23 24
2n
n sin 211+1a 1.70. coscx·cos2a·cos4a·cos8a· ... ·cos2 a = --, -- .
2"+ sina
L71.* _1 ___ + _1_ + __ 1_ +- ... + __ 1_ = ctg:x _ ctg2 11 x. sin 2x sin 4x sin 8x sin 211 x lxlx1x ]x1 x
1,72, !gx+-Ig-+-tg-+_·tg-+.,,+-Ig- = -ctg--2ctg2x. 2 2 4 4 8' 8 2" 2" 2" 2n
. IIX '( n- I ) Sffi--sm a+-------··.x 1.73.* sinC'J.+sin (c:.+x)+sin (a+2-x)+ .. +sin[(x+(n-J)x}=-_2 _____ .J. __ ,
. x sm--
2 x:f:.21m. kEZ,
BillOmll2! formula
r":z;- svaki pri::odan -bn~j- n i k~n vrije.di fonmila
I (a + b)" =[ "let + ["Ia,,-jb + (nlanC2b2 +"'+[ " I)a b,,·j +(")I.,n I \OJ. \lj 2) \n-l 11
I leo]a je pdzna!a pod nazivombinomn2 formula, pri cemu 50 binomni koetki,ient(: 1 po
I dcfiniciJ';: (n\j n(I1-·1)(71-2)· ··(/l···k+ . .2. ! 'k k! L \. -J ---------
.74.* Metodom matcmaticke indukcUe dokazati istinitost binomne formule.
Primjenom binomne fonnu1e razviti: L75.a) (3+b )2 b) (a+b)J c) (a-bi 1.76.a) (a+l/ 0) (a-I)' 0) (l +X)7 Lna) (a_2)4 b) (x+3)' oj (2+x)'
( I ,4 (I+J2)' (r " \.78,a) I a+-l b) oj ,'1/3 - I)
, a}
1,79,a) ( ] + i )6 b) (J - i)' oj ( i - 3)5 1.80,a) (a+i)7 b) (a + 2ii 0) (1_ 2i)8 1.8 La) (x2+2a)' bJ (a'_b2
)' c) (3a'-2y)'
I,82,a) Cia + Vb)7 0) (Va _Vb)7 0) (!.Jx +iY)' 10
1.83,a) (Ta+~J b) (Ta-~J 1.84.a) (.Ja+b +ra=b)" b) (..Ia+.Ja+b)4
1.85. Napisati prva dva clana u razvqju binorna: aJ (X+I)50 b) (3a+5)l!w
1.86. Napisati dva posljednja clana u razvoju binorna: a) (a+2)3O b) (x-I)"
1.87. Koriste6i binomnu formulu izracunati: a) 1,02' b) 0,99'
1,88, Izracunati 1,00SI2 s tacnoscu do 0,01. 1.89. Izracunati 1,000441 s tacnosctl do 0,001. 1.90. Tzracunati 1,0005 18 s tacnoscu do 0,00 J. 1.9 L Tzracunati O,851~ s tacnoscu do 0,01. 1.92. Tzracunati pribliznu vrijednost izraza:
a) (2,003)10 b) JI,003
1.93. izraCllnati (1 "~J2r1 s tacnoscu do O,OOL
c) (~+~)' cJ ( )a2
-1 +1 r c) (2a-b)"
c) (2a+7b)"
c) 1,01 G
0) \/1,002
1.94. Odn:-diti jedanacsti clan u razvijenom oblikll binoma {a + X)15 .
1.95. Odrediti oS111i clan u razvljcnOl'D obliku binoma (x + 3);0.
1.96> Odrediti cctvrti clan u razvijcnom obliku binoma (a + 1i.)8 .
1.97. Odrcdi!i pctnaesli clan u razvijeno111 obliku binoma (a+~r, 1.98. Odrediti peti c_Ian u razvijenom obliku bino111a (2x£ - if;;) g .
Odrediti srcdfui clan u razvoju hinoma:
1.99,a) (1 + a)20 b) (I-li)'o c) (a - .[3)50
1.100,a) (a+I)3O b) (x'+ax)" 0) (V4 +lfi)66
( b)" LIOLa) 217+2" b) ( 3'" a-bJ c) (x' +xv)16
( VaT b) l2aFa + "sa [ r ,;c,
0) va 3 \ ---, 3 Va)
.103,a) -·+h \ (2 ,'"
x / b) ( r Va-_~
\fa c) ( r J;' -~ 2~'{
b) ( I r sinx+--cosx
104, *a) r Fa + _I J'O l a Fa
(' r 0) sm x x I-~+--\ x cosx
11
Odrediti dva srednja clana u razloZenom obliku binoma:
Ll05.a) (2x+I)" b) (l/5+~i)41 c) (a+J3)IOl
L 106_a) ( b \"
b) a+'4)
b) (a~+b~)' 1.108.* Koeficijent treeeg claoa u razvijenom obliku binoma
( '~J" l a" . 'fx .. ax' jednak je 66. Odrediti srednji clan tog razvoja.
1.109'* Koeficijent treceg clana u razvijenom obliku binoma (aFa + a'} J jednakje 66. Odrediti :
a) Treei Clan b) Pet, clan cJ Osmi clan
1.1 ! O. U razvoju binoma ~ + 3x odrediti koeficijent uz: ( )" ~x a) ,,3 b) x7 cJ
1.11 I. Odrediti clan koji ne saddi x u binomnom razvoju:
( 1 )" a) x + Xl b) (
2 I)? x +-x
c)
112. Odrediti clan koji ne sadrii a u razvoju clatog binoma:
( )' a) 1 Fa+.~-\ ta ( ")" a ." -+a' Va
b) c)
.113. Odrediti clan koji ne sadrii b u razvoju datog binoma (.Jb -Jt)' _ Ll14. Odrediti clan u razvijenom obliku binoma (x + 2)14 koji sadrii x7
1.115. Odrediti clan 1I razvijenom oblikll binoma (E + I)" koji saddi ,,4
! .116. Odrediti Clan u razvijenom obliku binoma (Fa -+ . .Jb )11 koji sadrzi as.
1.1 17. Odrcditi clan 1I razvijenom obliku binoma [J _) ) 18 koji sadrZi x 10
,.118. Nati koeficijcnt liZ x 8 1I razvoju binoma (~ __ ;)'o
1.119. U razvijenom obliku binoma (E + ',Ix) 9 naci clan koji sadrZi X4.
( '\" [.120. U razvijenorn obliku binoma Fx +~) naci clan koji saddi x3
•
\ Vx
2
( )
1000 •
1.121. U razvijenom obliku binorna x5 + )0 naci clan koji ne zavisi od x.
1.122. Odrediti clan u razvijenom obliku binorna (a'~b' +)h'~ r koji
sadrzi b21,
1.123. Odrediti n ako je binomni koeficijent treceg ciana u razvoju binoma ( _~ ,/I
19a- Ii J jednak 105.
1.124. Koeticijenti cetvrtog i trinaestog Clana u razvoju binoma (a' +~r medusobno su jednaki. Koji clan ovog razvoja ne sadrZi x ?
j .125. Odrediti n aka peti clan 1I razvijenom obliku binoma ( ',Ix + ~ r ne . \ x)
zavisi od x. 1.126. Odrediti n ako je zbir binomnih koeficijenata prvog,drugog i tre6eg
ciana u razvoju binoma (a -J +- a 2) n jednaka 46.
.127. Zbir binomnih koeficijenata drugog i treceg cIana u razlozenom
obliku binoma [V + x·J; r je 153. Odrediti clan koji ne sadrzi x.
1.128. Na6i peti clan u razvijenom obliku binoma ( [; + ~r, ako je
odnos koeficijenata treceg i drugog clana jednak .!2.. - 2
1.129.* Odrediti Clan koji ne sadrZi xu razvoju binoma (x -1 + Fx)" , ako .Ie
adnos binomnih koeficijenata cetvrtog i sestog ciana jednak 5: 1 8.
1.\30. U razvoju binoma (I :!_Va + I~~J" zbir kocficijenata prva tfi cIana \.. 6 ~a28
je 79. Odrediti clan koji ne sadrZi a.
I I " 1 U . b' (aV; I)" b' k fi" I' d' . . J . 'razvoJu moma --+ ,-----_ Z If oe ICIJenata pos Je fiJa tn 6 l.{j aL8
clanaje 79_ Odrediti clan koji ne sadrzi a.
1.132. U razvoju binoma (V;;- -~ J zbir koeficijenata prvog i trecog
clanaje l37. Odrediti clan koji ne sadrzi a.
13
1. I 33'.* U razvoju binoma (l U - ~ Y razIika binomnih koeficijenata . va)
treceg i drugog clana je 35. Odrediti clan koji sadrii a'.
I. I 34. * U razvoju binoma (l.[;?" + Fa) 7
odrediti Clan koji sadri'; a.
1. J3 5. * U razvoju binoma (,Ix + , ~)" zbir svih binomnih koeficijenata \ \IX
je za 240 manji od zbira binomnih koeficijenata od (a+b)2n. Odrediti treci clan u razvoju prvog binoma.
1. I 36. * Koji clan II razvoju binoma r 7 a +: a - \)10 ne sadrzi a?
\a2 _a 3 +1 a-a 2
1. T 37, Za koju vrijednost varijable x je treei clan u razvQju binorna
(x''''"' + x)' jednak IOO?
L 138. Za koju vrljednost varijable xje sesti clan u razvoju binorna
['1.J; + ifJ)" jednak 2772 ? "./3
, .. [.JlO 210'-1:;:'1'° 1.139.* Devetl clan u razvoJu bmoma f' + -_,-)1 Je 450.
(';X)50 g x x-
Odrediti vrijednost varijable x.
1. 140. * Cetvrti cian u razvoju binoma (
I01o,E +_1_1' je 3500000. "'110 )
Odrediti vrijednost varijable x. 1.14 L * Za koju vrijednost varijable xje koeficijent cetvrtog clana u
razvijenom obliku binoma (a + b) IOgl--·2 jednak eksponentu binoma?
1.142. Peti clan u razvijenam obliku binoma (if; + x-I)' jednakje :5.. 9
Odrediti vrijednost varijable x. 1.143. KQji clan u razvijenom obliku datog binoma, sadrZi a i b na isti
eksponent:
1.144. lJ razvijenom obliku binoma [ai + J;; r zbir svih binomnih
koeficijenatajednakje 128. Odrediti clan koji sadrii a5
14
1.145. Odnos binornnih koeficijenata cetvrtog i drugog clana u razvijenom
obliku binoma [ 1 + ,Y!,)" je I 87. Koji Clan sadrii b6 ? Vb' 'Va 3
1,146. Sum a binomnih koeficijenata drugog ciana od pocetka i treceg
ciana sa kraja u razloienom obliku binoma (xV-; -J;, r jednaka
je 78. Koji clan ne sadrzi x ? l.147. Odnos koeficijenata petog i treceg clana u razvoju binoma
[x~ -V x2~r jednakje 14:3. Odrediti sedmi clan razvoja.
1.148. * Zbir binomnih koeficijenata tri posljednja clana u razvijenom
obliku binoma I ~ + b jednakje 22, a zbir treceg i petog ( )" \ v2 x- 1
61anaje 135. Odrediti vrijednost varijable x.
l.l49.* Treei clan u razloienom obliku binoma ("~ + ;,,)16
je 240. {.t2 4-{t4
Odrediti x.
1.150.* Prvi, tree! i cetvrti clan u razlozenom obliku binoma (r+ yY, redom, su 8, 6 i ]. Odrediti vrijednosti varijabli x, y i z.
151. * Dmgi, tre6i i cetvrti clan u razlo.zenorn obliku binoma (x + y r ' redom, su 240, 720 i 1080. Odrediti vrijednost varijabIi x, y i z.
.152.* Odrediti peti clan u razvoju binoma (ifi.- J~J, akoje posljednji
clan tog razvojajednak (3!JCn -lo"S.
[' 1 J" t53.* Odnos tre6eg i petog koeficijenta u razvoju binoma a-'2 ~a3 jednakje ~.
, Odrediti clan koji sadrzi a -2.
154. * U raziozenom obliku binoma (Xh + x-4) 11 binomni koeficijent
treceg clanaje za 44 veci od koeficijenta drugog< Koji clan ne sadrzi x ?
1.155* Odrediti onaj cian u raziozenom obliku trinoma (1 + x' + :2 )12 koji ne sadrzi x.
1.I56. * Naci koefieijent uz x' u razloienam obliku izraza (I + x 2 _ x') 9 .
15
1.157.* Naci koeficijent uz x5 u razlozenom obliku izraza (1-x+x5io.
Odrediti clanove koji su cijeli brojevi u razvoju datog binoma:
L158.*a) (.J3+1)' b) (2+\15)13 c) (.J3+.Ji)1O
1.159.*a) (';/3+'«2)18 b) (ifs +\12)20 c) (if?, +!J2)IOO 1.160. Dokazatidaje (l+.Ji)" + (l-.Ji)" c\jelibroj.
Odrediti clanove koji ne sadr.ze iracionalnc brojeve u razvijenom obliku binoma:
l.J61*a) (Vi +.Ji)' b) (ifj +7.fi)24 c) (Vs +..[3)5
1.162.*a) (Vs +..[3)" b) (Vs +7./12)17 c) (Vi +.Ji)14
Odrediti sve racionalne clanove u razvijenom obliku binoma:
(1 'J5 [~.1J24 1.163.*a) l3 3 +22 b) 3 5 +2' c) (.J5 _.Ji)1O
Koliko racionalnih clanova irna razloieni oblik binoma
1.165.*a) (.Ji + if?,)lOO b) (7.fi+if?,)'OO c) (ifz + 1!J3) 100 ?
i.166.*a) (..[3+'15)'24 b) (.Ji+V3)'00 c) (if7+'I5)30?
1.167. Zbir binomnih koeficijenata treceg clana od pocetka i tre6eg s
kraja u razlozenom obliku binoma (if?, + V4)" je 9900. Odrediti racionalne clanove ovog razvoja.
1.168.* NaCi najveci clan u razlozenom obliku binoma:
a) (l+.J2)'o b) (fi+.J2)'01 ] .169. Izracunati vrijednost izraza:
(~J+ 2(~) + 22( ~)+ 23m+ 24( !J+25(:)+20(:).
170. Odrediti zbir koeficijenata polinoma koji se dobije razvojcm datog binoma: a) (2x+I)' b) (4x+2)1G c) (l-3x)21
!.l7l.a)
!.l72.a)
16
1.181.
1.182.
1.1 83.
1.184.
1.185*
17
J.] 86*
1 1 2~ , ---+ + ----- + ... -+ ~-- ::::: -- , n paran broJ. (n-I)' 31(n-3)! 5'(n-5)! (n-])' n'
1.188.* Dokazati da za n?: 2 vrijcdi 2 «1 +.l)" < 3. , n
.1 89, * Dokazati da za n ? 3 vriiedi nejednakost /1"+' > (n + 1)" ,
.190. '" Dokazati da za n ? 3 vrljedi nejednakost I!j;;?: n+.;j n + 1 .
THJGONOMETRUSKI I EKSPONENCUALNJ KOMI>L:U,~KSNOG RROJA
I< ompl*.szm hr0j z = a+bi u G811SS~()VOj ravni predstavljen je- rackom M(a, b). ~I' : I
a = r·coscp r-irio'dl11 od z be'; ~M([j!}) I I ' I 1 "'-lz1 b = r-Sill(p «I-argument od z
I I~, b (1f. 'IT 1 2'" 1/ 't' tg(r=~·,·(ij~I~-;::;'~).1
-~---¥.;...- I ..--..--..:> a \ L __
I 1 a x ! = J;F;-;l I /\jgcb~dski obiik komp!eksnog hl'Dja z: z = a+hi. ! Trigm10111ctl'ijsid ohlik komilie.ksl1og broja z: z ",,", r(cos(p+isincp).
Ekspoltencijaini otHk i\ompkksnog hroja z:
MNI:JZF;NJF ; DUELJEN,n::
<e' ;:::=; r·c
Akn jc 71:O~ 1", (c.OS(rl+i siner), 72= r~ (cos(p,~+i sin(pJ. tad8 vrijccli:
7.1£]= K'1 1"2 [COS(CI)1'+<P2) + i sin(<rri-tP2)J.
STET'ENO'.r AN.lE: 1\1\0 jc z -= r (COS(P+ i Si!1Cp), 'tRda vrij6di zn= rn (coSlltp+i"sinmr) .
i Spcc\jalno, aka jt l'_='l,"t::lcb vrijcdi: (COS(P'F i s'in tp) 11 ;:':;. cos mp + f sin ncr , nEON sto
Ul<.1zivmno M(l.~-vre::.2~ formula ~' __ ' __ "'~ __ ' _____ ~ ___ .~~~~',.~ __
IS
! I
I
•
[KORJENOVAN,IE:
Ii z = r( co, s(p+i sillcp), OJ,/I = V; = {f;l( cos <p -+ 2/~ + i sin q)' + 2J..7t 'I, k=O 1
.. n n ,j" ", ... ,n-1.
j OperaCl1,t:' s komplcksnim brojevima u eksponencijalnom obliku:
I MNOZEN,m I DlJELJENJE:
I Akoje z, =1) ("~", :::~ :::... '1 C,07 ' _ tada vflJcdl' I Z, '2, =(IJ '1"2),,''',+<1,)'
,STEPENOVANJE 1 KOJUENOVANJE:
II Akoje Z =,riF
I
,t,ada vfijedi: ,::,/1 =r;! I:,~m'"i; ~,~ V;.~ ~;~i., k=O,I, .. :,n-L
I Zaz=x+i)1 vriJ"edi' (_,,~, __ ,x+ty_ x( _.' ',,' . . ,- ---L- -C" ,COS:V+lsmy).
I Sj)ed·jillno. ako i,e:' x, - 0 t" ' , '., pre tloclna rclacij<l ',JOSt8J'C e" .' I'" F = cos J ~: Ism)" 10Ju JC jJ0Z11ili';; pC'\d I 118Zivoll1 Euler-en'l]"" fohml!a, i Z<l trigono!l1ctrijskc funkcijc vrijedi:
, -- e-::! i sinz - , ~ if 2
Odrcditi modul i glDvnu \-Tijcdllost arrmmCllta daton I-Oml)"."'S " . ' , ")1'" '~I' , -' 'z:,<".,-",\',110g,)lOj3. ~. .<1.) Z -- b) z = -1 ' . --,_, ~7- , C)Z-,) L~,a) z,=] b) z:--.:.:2 ' 2.3.a) z = -5i
2.6.a)
3 z= -i 2 z= -.,
. IT n z= slJl~-"icos---
4 4
b)
b)
b)
b)
z= l+i I z= ~-
] -j
4i z= --~ 2+1
z= sin~-ico;,!.~,-8 8
c) z= 3; c) z ,co. 2~2i
c) z = -2+21 J3
c) z= 4+31
2.7.a) z= 3sin 2TC_5fC()S_2.~ b) z--=c 1-s1no:,,+,',r-_os'c',,_ '-(0 rr'l 7 7 ' . ri,':::: i ,_.,! .-----.' J<,. _ _ •• _ ,_. • \ 2 j
:U~_ udreC.llll S\'C \T1Jl.'dnCd! ::1rgurncnt8 dmih komplcksnih broje,,/a:
a) z=-3 b) z= 1--] c) ;= l+iJ]-
19
I i I I
c) 1 < Izl <3, -"- «I' <"- d) Izl>2, 0 «p <"-4 4 2
3" <-4
2. i 1. Dataje tacka z, = 3+4i. Odrediti skup tacaka u kompieksuoj ravui z, za
koje vrijedi nejednakost Iz - Zl! <5. -
2.12. Odrediti skup tacaka u kompieksnoj ravni koje odgovaraju kompleksnom broju z, aka je:
a) Iz-21=3 . b) IZ-3il=2 c) Iz-l-il <;4
Odrediti skup taoaka z kompleksne ravni koje zadovoljavaju uslov: 1t n 3n
213a)aro-z=- b)argz=n c) --<argz<-•• b 4 4 4
2.14.a) 1I
O<aprz<- 1t 5" b) - < argz<-b 6 6 6
2.15. Akojez=x+yi i r=j;i +y? =consl. kojemskupukompleksne
ravni pripadaju tacke z - 3 ? 2.16. Kojem skupu kompleksne ravni pdpadaju tackc Izl::::: 4?
2.17. Kojem skupu komplcksne ravni pdpadaju tacke jzl:::;; 3 ?
2.18. Kojem skupu kompleksne ravni pripadaju tacke Izl> 5?
2.19. Ako je Izl = 4 , kojem skupu kompieksne ravni pripadaju tacke 2 - z ?
2.20. Kojem skupu kompleksne ravni pripadaju tacke z, ako je 12i - zl < 3?
Date kompleksne brojeve napisati u trigonometrijskom obliku: 2.21.a) z=3 b) z=-2 c) z=5i d) z=-4i
2.22.a) z = 3 + 3i b) z ~ n in c) z ~ 6 + 6i
2.23.a) z= i 2 +-1-I
2.24.a) z ~ -Hi
2.25.a) z=\+i
131 b) z= ---I
2 2 b) z~ l-;
2.26.a) z=3COS~-3isin~
cJ z:= -2sin 2:. + 2i cos"::"-12 12
2.27.a) Z=i-3(COS~-iSin%) 2it .' 2n
z=1+COS-+1SlTI-5 5
2.28.a)
20
c) z=-3+4i
0) z- H-iJ3 d) z=J3 +i
b) . it . it
z==sm~-lCOS-
8 8
b) z=-s(COs~+isin~) b) z = sinO', + icosa
2.29.a) 2+113 +i b) 1- (2+J3)i c) n n cos-- i sin-S
2.30.a) z = 1- cosa +i sina b) z = 1+ cosa +i sina
2.31.a) z= 2-2i b) z=-J3-1
c) z =-2+2iJ3 d) -213 -2i
2.32.a) (l+iJ3T z=l-\, 2
b) . 7l: .' n: Z=Stn-+lSIn-.
6 6
2.33.a) z =(1 + 2i)(I -i) b) z=2+isin~ 6
2.34.a) i --1
b) 2+i z= Z=--
2( n.n) l-i cOS-4'+lS1n 4
235. Ako je z = r(cosqJ + isin<p)) napisati u trigonometrijskom obliku
b. -. 1
roJcve Z I -. z
2.36. Akoje Izl = 1, dokazati daje z=-. z
037 Ak . . . . , . 1 "",", . 'oJe Z =COS<p +ISIU(P, lzracunah --. l-z
Napisati u algebarskom obliku date kompieksne brojeve: 2.38.a) z =2(cosn: + isinn) b) z=5 (cos2n +is1n2n)
2.39.a) s( n. n) Z= COSZ-+lSIn"2 b) [ 3n .. 3n] z=3 cos2+1SInT
2.40.a) 4( n .' n I z= cos3 +ISJn 3) b) z = {cos( -~ )+isin( -~)] 2.41.a) I 1t .. n:l
z = Illcos 4 +1sm 4_., b) z ~ 9[ cos( -~ )+isin( -~)] 2.42.a) J2( 2n 2rr) b) 4( 3rr .' 3rr) Z= 2 COS-+IStn- Z= COS 4 +ISIn 4 3 3
2.43.a) r (1T) ( 1< I] b) rc . • 1t
z = Ilcosl-3 +lSJn\-3" Z=COS~~lsm~
3 3
2.44.a) z=14(cos45° +isin45°) b) z=20(cos60" +isin60o)
2.45.a) z =34(cos30" + isin30o) b) z =.J3 (cos1200 +isinI20o)
2.46.a) z = 15 (cos 150° + i sin 150°) b) z = 19(cos2100 +isin 210°)
Oarediti proizvod datih kompleksnih brojeva z, i Z2, ako je: 2.47.a) 1', = 5(cosI0" + i sinlOO), Z2 = 4( cos20° + i sjn200)
5
21
b) "~ 3(eos35° + i sin35°) , c) z] ~ 4( c0540° + i sin400) ,
2A8.a) z] ~ 6(e05 i 5° + i sin 15°) , b) z, ~ 7( cos j 1 ° + i sin 11 0) , c) z) = 9(cos33° + i sin33°),
fi( IT .' n) 2.49.a) Zj = 3 Cos8+1sm8~
6 2n .. 2n)
b) z,= (eos7+)slTI7' J .'
c) z) = 5(cos3 + i sin3)
('IT .. n'l 2.50.a) z) = 21 cos- + Ism-,,6 6)
f n IT 'I b) zl=3[cos--+isin~1
~,8 8) ('It n\
z = 21 cos'::"+isin-· j ] l 3 3) 2.5I.a)
b) 211:. . 2n:
Zt =COs-:;-+fsm--;-" •• J
.2.52.a) z) = 2 (cos7 + i sin7) , b) z) = cos4 + i sin4 , c) z]=4(coslO+isinl0)
z, ~ 7(00s55° + i sin55°) Z2 = 2(cos20° + j sin200)
Z2 = 3(cos25° + i sin25°) z, = 4(cos19° + i sinI9°) Z2 = 2(cos12° + i sin 12°)
2 3n ,," 3n Z2= COS'--- +.,;.1 sm~
8 8
3( n: .. TC \ z~ = cos - + 1 5111 - !
" '7 7 Z2 = 2( cosS + i sln5)
. _. 3( n... TI ) 2:2 - COSU Tj 8m 12
Sn .' 5n z = COS:"~+lsm, 24 24
r ("j ( ~ .' I 2:2 = 51 cos - -- + lsm.1
L \. 4/ \.
l(n! .. (n
22 :::COS --'-l+lsm! -"-, 2) \. 2
£2 = 3 (cos 11 + i sin J 1) Z2 = 5 (cos3 + i sin3) Z2 = i 1 (cos12 + i sin]2)
Odrediti proizvod datih brojeva:
2.53.a) J3(cos30D +isin30D),2.fi(cos60o -I-isin60o)
b) J2(cosJ20o +isin1200). J2 (c.osl50o +isin1S0o) 2
2.54.a)
b)
4(cosl50 o +isin150o).-J2(cos210 D +isin21Oo)
S(eos(~30o)+ i5in(-300). 2(eos7So + isin 75")
Odrcditi kolicnik datih komplcksnih brnjeva 2:1 1 7:2, ako jc: 2.55.a)
b)
c) 2.56 .• )
b) e)
2.S7.a)
22
z, = 8(cos40° + i sin400), z, ~ 2(C0380° + i sin80') Zj = I2(cos7S0 + i sin75°), Z2 = 3(cos2S0 + i sin25°) Zl = 4(coslSO + i sin 15°) , Z2 = 2(cos5° .+ i sin5°) Zl = 16(cos77° + i 8in77°), Z2 = 8(cos33° + i 5in33°) Zj = 28(cos65° + i sin65°) , Z2 = 7(cos35° + i sin35°) Zl = 1 OO(cos88° + i sin88°) , Z2 = 2S(cos80° + i sin800)
(31t .3711 (n .n) Zj = 41' cOS-_-+iS1TI-~) ZJ= 21 cos-+isJn-- .
\) 5 '\99
2.58.a)
b) z] = cos 210° +isin210() ,
e) z, ~ 22(oosI4+isinI4)
z, ~ 3(coslSOo + isin ISOo) .
z, ~ HeeDs 7 + isin 7).
2.S9.a)
b)
c)
2.60.a)
b)
0)
2.61.a)
2.62.a)
2.63.a)
2.64.a)
2.65.a)
C' ,
Uprostiti date izraze:
r n .' n\ ( IT .' TIl 10 cos-+lsm-),3 CO$-+ISll1-- I \ 6 6 3 3)
(
IT. n) ( 3n . 3n) 12 cos--I-ism-.. : cos-+ism-4 4 \ 4 4'
( SJf .. 5itl( n .. nl
cOs-·-/SI11----:--I·j COS-'-/SH)- i 6 6)\ 6 6)
( 2n .. 21t)i n .. IT\ 16 COS-+1SHl--.. - :L.
1' cos--+Ism-I
,3 3, 3 3;
( 3n . 3ITI ( n '. nl 22 cos-+ism~ ,;11 cOS-+iSlll-) 4 4) 2 2/
. ( 5]'( . 5n\, ( rt ., 'it) 15 COs--ism-----:-i:3,lcos +lsm-
6)
\. 6 6 ) 6
( Ln < 27T)
6 cos~3 + iSI!l 3'-)
2 (cos::" + isil1~") 3 3)
b)
(1+;)(cosI50+i5i: 15°) 0)
(cos 40° +isin40")(3+3;.J:l) b)
II +2isin~ 1(-2- 2i.J:l) \ 3)
0)
10( 311 .. 31t)
. cos --4-- + I SI11 4
2( Jt .' IT) cos 4 -I-lSIll-4 (~J ~ i) (cos 20° + i sin 20° )
(cosSOo +isinSOo)(S.J:l-5i)
,IT I .K {J '( - ) I-,+ism .. --) \iL--Lisln-----;\2 3 \ 4
lzracunati stcpenc L\llllpleksnih brojeva (Moivre-ova formula):
b) ,'--- 1\ ,.11 r / )]2 l.Jl1l cos 6' + 1sm 6'
c ~ ]' 1J5 211: . 211: I-(COS-+ism-) L 2, 9 9
d)
23
2.66.a) [{COs~ +;sin ;4)T b) [{COS -"- +; sin -"-) r 100 100
cJ 'IT .' it ~ )J l2(Cosg +1Sm g d) [J3( 1<1<)1' "3" COS 9 +1SlTI 9 J 2.67.a) P(cos11° +;sin110)]5 b) (cos 4° +isin4O)15
c) [4(cosl00 +;sin100)]' d) [2(cosI5° + isin 15°)]'
2.68.a) (I + i)IO b) (1_i)12 c) (-1 + i)8
2.69. Dati su kompleksni brojevi z, ",,2 COS~+lsm-( 7rr .. 71<)
. 5 5
Z2 = 4(COS SIT + i sin 57t 'J. Odrediti: 9 9
b) z,'
Napisati u algebarskoj [ormi dati kompleksni broj: 2.70.a) z = 3(cosO + i sinO) b) Z::O:: 5 (COS1t + isinn)
2.71.a) t 1< nl Z=~ SlJl 3 +iCOS 3) b) (.5~5n) z=-\sm6 -lslTI 6 2.72.a) z = (2 + i) 2 b) z=(coslOo +s;nl00),
(Y""( ) z~(..fj+i)17 b) l+i n . . 1C
2.73.a) z = l-=i) COS"4+ ISlD 4"
I" ( J3\" 1t . n Z= l.j.~i 3 J 2.74.a) Z=(-COSlO -islU lO) b) 1-1
Primjenom Moivre-ove i binomne formule dokazati: 2.75.a) cos2x = cos2x - sin2x b) sin2x = 2 sinx cosx 2.76.a) cos3x = 4cos3x - 3cosx b) sin3x = 3sinx - 4sin3x 2.77.a) cos4x = 8cos'x - 8cos'x + I b) sin4x ~ 2sin2x(1 - 2sin'x)
2.78. Dokazat;jednakosti: a) cosh ~ COSX (J 6cos4x -20cos2x+5) b) sinSx = sinx (5-1 Osinx-l Osin'" +5sin3,,+ Ilsin 'x)
2.79.Akoje z=cos 2n +isin2n
,dokazatidaje 1+z+z2=O. 3 3
2.80. * Primjenom MOlvre-ove i binomne formule dokazati:
a) 1-{;J+9( :)-27( ~ )+ .. =(-1)'2" cos 21;" .
24
b)
g1 'Ak' 2" .. 2" dk 'd' 2.. oJe Z =COS---+lSIn-, 0 azatl aJe 3 3
a) Zk +Z2k =:: {2. aka je k djeljivo sa 3 , -1, aka k nije djeljiv sa 3
k+! "k+2 I3, aka je k + 1 djeljivo sa 3 b) 1 + z +z- = . lO, ako k + I nije djeljiv sa 3
2.82* Dokazati iden!itete:
2.83.a)
2.84.a)
2.85.a)
2.86.a)
2.87.a)
Odrediti drugi korijen datog kompleksnog broja:
z~ 9 (cos 0° +isinOo) b) z~ 16(cos900 +;sin900)
z= 4 (cosl00 +isinl00)
z~ 25(c05400 +i8i0400)
b) z= 8(cos500 +;5in500)
b) z ~ 36(cos600 +isin60o)
( 21< . 21<) b) z~3lcos3+ism3
b) Z~5(COS 2n +isin 21< I 5 5 )
lzracunati vrijednosti datih korijena: 2.8S.a) Vcos90() + isin90f> b) V'c-os-6-0-::"-+-;-'si-n-60-:Co
2.89.a) V8(cos300 +i8in300) b) V27(cos12° +i5inI20)
2.90.a) .Jl c) ,r:9 b) .J4 2.91.a) ifi 2.92.a) l{:"i
2.93.a)
2.94.a)
2.95.a)
2.96.a)
~
~ .J2 + 2i
b) Vi b) VI b) ~ b) if32 b) ~
b) 5 (-ii2+2i)2 ] 6il17
c) l!=l c) iJ8 cJ v=s cJ Vi cJ tfi+i
25
lzracunatj vrijcdnost izraza:
'0) (1[32+ 1\) " 2.97.a) (1 + ifi) 6 • 0) (Hfi]" 1-" " J+I
2.98.a)
2.99.a)
2.100.a)
2.10I.a)
2.102.
2.103.a)
2.104.a)
2.10S.a)
2.106.a)
2.107.a)
b)
c)
2.108.a)
b)
2.109.a)
2.1IO.a)
26
( "l00 .' "00 ) g COS. -lSID_J b) [J2 (c05600 + isin 60°)]6 . , (n . IT \ b) [ 0 0 TO - cos 4 + I S1l1 4) 2(C05J50 +isinl50 )
(l+i)'O b) [J2(3-;J3)], C 'J l3\r I J2l;' I'C) I - - .~ )
b) 1)3 -.1.+1211 r [ )3,1"
I 2 2 )J [(sina + i cosrl.. )(sina - i cosa)]-!
.Jl6i b) i1~i6 oJ ~4
I
(cos3000+lsin300o ,
. \ OJ
( n .. 1I \'
ll+cOs-~+lsm-- )
4 4;
(1+cosx+isinx)S
, 1 .' "~nod 1 "+.t·1 0) U --i)
b) [27(cos600 +;Sin600)]~ c ° 1" b) lS (cos1500 +;sinI50 ).1
'-1+f-,\411+3 d) 1 '--1
\ ]-; J.
( n, . IT ']3 b) I+COS-+ISjJ1~ i
\. 3 3)
b) (1+sinx+lcosx)'
2.11 La)
Dokazati da vrijede jednakosti:
(-1+I)3J' ( .. 1-1)31' l'-2-- +l. 2 ) ~2 b)
b) 1/5 (00545° +;sin450)]' =-1251
2.113. Rijesiti datu binomnujednacinu: a) xl·1 = 0 b) x5·32 = 0 0) x'+64=O
2.114.a) 2.115.a) 2.116.a) 2.117.a)
Rijeslti date jednacine (po z ill x): zJ+i=O x2 +7ix·12 = 0 Z2+Z+ J = 0
b) z3·i-l ~O b) x2'-Slx.15 = 0 b) z2·z+1 =0 b) 2z2 +(5.I)z+6=0
2.118. *a)
22+ (3+20z-7 + 171 = 0 ~ \' 11.- z i , ,--; =--1 \ J +2 i)
0) (I-XI)' ~i,XER,x=? \ l+x!
Dati oinol11 rastaviti na fak1"orc:
L119.*a)x 5 +1 by x7+1 c)x 9 +!
2.120. * Ako je z ma koji kompleksan broj i HEN, dokazati da vrijcdi jcdnaKost
'11+1 n ( 2 2kn "I z- +l=(z+l)TI z +2zcos--+1 . ~k~1 \. 2n + I )
2.12 ! . * Dokazati identitete:
a) 11 211 311 COS--'COS-- cos--·
2n + ] 211 + 1 2n + I
. IT .2n .3n sm----SlD-- sm--
2n + I 211 + 1 211 + 1 b)
2.122. * Razloziti na hlktore date binomc: a) Z,1 + I b) zg -I- 1
nrc I ·cos--~=-.
2n+ 1 2"
. nIT ·hn+ I Sln--=---.
2.'1+1 Y
Date kompleksne brojeve predstaviti u eksponcncijalnom obliku z=r·e«JI, '~'7T <<p ~n:
2.123.a) z = cosO -+ i sinO b) Z=COST[ +isinn c) IT 1I z=cos-+isrn-
2 2 ( nIT) , ) 4( 2n. 2n) 2.124.a) b) i 11: .' 1t
c) Z =\ cos"6- -I-IS1l16 z=51 COS-+ISJll'~' Z= Clli3 '+ISJn3 '
I, 3 3
2.125.a) z=1 b) z= 2i 0) z = ·4i 2.126.a) z=3 b) z~ ·2 c) z= 31
27
2.127.a) z = 1 - i b) z= l+i c) z= -2+2i
2.128.a) z= -.fi+i.fi b) z= 1+,J3 c) 2.=-J3-i
2.129.a) ( n n) z=3 COS 3 +1Sln 3 b) z = sina + (1-cosa)i
Date kompleksne brojeve napisati u algebarskom obliku: ~ " :t_i
b) 2.130.a) z =e 4 .. ,
e) z=e'J' Z =e 2
-~, -~.:::,; 2.I31.a) z=e-lrl b) Z=e 6 c) Z=e ;
3+:':.' 4?i
2.132.a) z =e2+;r;i b) z=e , c) z=e ;
2.133.a) z=el+i b) z = e4+31 c) Z =e2-
i
Odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija: 2.l34.*a) cosi b) sini c) tgi
2.135.*a) cos(l i) b) sin(l + i) 0) c052i
Dokazati cia z.a svaki kompleksan broj z vrijedi: 2.136.a) sin1z .+. cos2z = I b) cos2z = cos2z - sin1z
c) sin2z = 2 sinz cosz 2.137.a) cos(-z) = cosz 2.138.a) sin3z = 3sinz - 4sin3z
b) sin(-z)=.-sinz c) tg(-z)=-tgz b) cos3z = 4cos3z-3cosz
1+cos2z 2.139.a) sin 2 z
1- cos2z b) cos 2
Z 2 2
2.140. Koristeci Euler-avil formulu eXI =cosx+islnx, dokazati:
28
a) Osnovnu trigonometrijsku identicnost cos2x+sin2x = L b) Adicione teoreme:
sin(x+y) = sinxcosy + cosx siny i cos(x+y) = cosx cosy -- sinx siny.
c) Formule za trigonometrijske funkcijc dvostrukog ugla: sin2x = 2 sinx COSX
cos2x = cos2x - sin2x.
3. K 0 M BIN A TOR I K A
3.1. Varijacije
Defihicije'i broj varijacija: Uredena k: .. torka razIi~itih elemenata skupa Ao:=. {ab a2, a3, ~ .. , -all} naziva se varijacija,bez ponavljanja k~te-klase u sk9.,pu A (.ksn j, Broj varijacija bez ponavljanja k-te klase od n eiemenata oznacavamo sa 'Vn
k i vrijedi: I V
• • ~ n(n-I)(1I-2) ... (n-k+I). .1
Uredena k-torka elemenata skupa A\ A= {a], 82, a3, ... , an}, pri cem~l se elementi mQgu 1 I ponavljati, naziva se varijacija S pOllavlj.njem k-te kl.,e u 'kupu A (k.,;n). I
BroJ .~arijaCua sa 'p.ol1avlj anj em k .. :te klase od n eleri1e~ata o.znacavamo .. sa 'V~ i vrijedi: '. '. -k ,I
___ ._. . Vn=nk
• - ..: ~
Izracunati vrijednost i7Ia7....a:
3.l.a) vi 0) VI~ c) Vllt d) vi
3.2.a) V;+V;-V: b) 3vi-2Vg+4V: 0) llV;+15Vi-5Vj 3.3. Dat je skup ad {A, B, C, D, E). Koliko ima varijacija druge klase (bez
ponavljanja) od eiernenata,ovog skupa? Napisati sve ove varijacije. 3.4. Koliko ima varijacija trece k1ase (bez ponavIjanja) ad e1emenata skupa
iz prethodnog zadatka? Napisati sve te varijacije. 3.5. Koliko se cetverocifrenih brojeva moze napisati pomo6u cifara 1, 2, 3,
4 i 5 ? 3.6. Koliko se cetverocifrenih brojeva moZe napisati pomocu cifara 0, 1,2,
3 i 4? 3.7. Koliko se neparnih cetverocifrenih brojeva moZe napisati pomocu
cifara 3,4, 5 i 7? 3.8. Koliko se parnih trocifrenih brojeva moze napisati pomo6u cifara
1,2,3,4i7? 3.9. Koliko se pamih petocitrenih brojeva moZe napisa!i pomo6u eifara
2,5,4,7 i 9? 3.10. Kaliko prirodnih brojeva mozemo napisati ciframa I, 2, 3 i 5 aka so
dfre ne ponavljaju? 3.11. Zenicu sa Sarajevom svakodnevno povezuje 15 autobusa. Na koliko
nacina se iz Zenice maze otputovati u Sarajevo i vratiti nazad u dva razlicita autabusa?
29
3 12. Od koliko razlicitih e1emena!a moze da so sastavi 420 varijacija druge klasc (bez ponavljanja) "
3 13, Koliko sc dvocifrcnjh brojeva moze napisati ciframa 1,2,3 i 5 (ako se cifrc mogu ponavljati)? Napisati tc brojeve.
3 ] 4. Koliko se trocifrenih brojeva 1110Z.C napisati ciframa J, 2, 3, 4 i 5 (ako se cifre mogu ponavljati)?
3 15. Koiiko so trocifrenih brojcva 11107.('. napisati ciframa 3,4,5,6, i 7 (ako se eifre mogu ponavljati)?
3 16. Koliko SE: petocifrenih brojeva moze napisati ciframa 3) 5, i 7 ? 3 .J7. Koliko se tctverocifrenih brojeva moze napisati ciframa 1,2,3,4 i 5
(ako se cifre mogu ponavljati)? 3 18. KoHko se razlicitih pctocifrenih brojeva moz.c napisati od prvih 8
cifnra ako se eifre no ponavljaju? 3 19. Koliko so razlicitih pC1'ocifrcnih hrojeva mOl,e napisa1i od prvih g
cifara? 3.20. S-<JHki iz grupe od 25 ucenika sa svakjm je razmijenio po jednu
postanskl1 markicu, Koliko je lTI(lrkiea razrnijenjcno? 3,2 j, TZlllCOll 50 tlccnika u 50 gradov?t Europe vrscno jc dopisivanje
raza:lcdnicama_ S\'aki n6en1'\\ je poslao ost8\im uccnicimJ po jednu ~ Kulik; hH:i rnzglednic.a su prenijelc europskc posiL::
3.22. Na ko!ikc mHSinil sc U grupi od 10 osoba moz.c lzabrati troclano rukovodstvo?
3.21. Koliko sc moze sastaviti petocifrenih tclcfonskih brojev3 pod usloyoJ.1l da SlJ cifre u .,::~vakom telefonskom broju meL1usobno razlicltc.
3.24. Kolilw se moze SJst8viti sest.0cifrenih telcfonskih brojeva rod Llslovom da su cifrc II svakom tclefonskom broju medusobno razHcitc.
3.25. Na koliko nac,ina se maze od 1 0 k;~iiga poredati u poHel 7 knjiga? 3.26. Na koliko nacina se moze od 10 knjiga poredati II polici 7 knjiga ako:
'td'd " 1 000 a 1 je oha\'ezno da u s\'akolll rcdanju )1] C JC nt! oda,Jfana olJlga. b) se ohavezno u svako!Tl rcdanju morajl1 nab tri unaprijed odabrane
, .. " KnJ!ge:' , .. ~ ..
r) ,,~ 'IN,:l. kr.J1iko nac.in8 se m07-1;;: ncl 10 knjiga pored an t1 pobel f knJ!ga i1ko: J.L I. • ..
a) m 11 rcdanju ne dn bude jednn odahrana knjign? b) sc olxrvezDc ni u jed nom n:dapju ne smiju na6i dvije unaprijed
odabrfll1C 3.28. !,-,]a koiiko TIDe·lna se mngll h;le!!"i cctid kocke. 7ft igru «jamb})? 329. U nrvorn razrcdl.l11CCnicl 12 prcorneta. Nfl koliko Dncina Sf,"-
u(~;->nicim8 HV}7.C nal,f8:viti J"Jspored Z[l ponedjeljak, akfl taua trcha 13;) inwil1 (-) sat] (! nc l110gu imati blok Stltc)?
3.30. lJ u'druz.enlu Dd 45 limli 110. ko1iko nacina m01.C1110 izabrati prcdsjedniJea, zamjc';lika i sckre(-ara?
3.31. Od k;'liko clemenat8 se mo.ze napravjti 2450 varijacija dnlge klase
(bez p01l3vljanja)? ." , l.12. Koliko Sf' cctverocifrenlh brqjcv3 djcljivih s 5 moze nnplsatl POlT10Ctl
ci1~lra 0,1;- 3, 5. 7, ako sc iste cifrc ne ponavljaju?
30
3.33. Koliko se razliCitih cetverocifrenih brojeva moze naplsati pomocli cifara 0, 1, 4, 5~ 8, 9, ako sc svaka cifra upotrijebi najvise jedanput?
3.34. Naplsati varijacije drugc klase s ponavljanjem od elemenata A, B, CiD.
3.35. Napisati varijacije trece klase s ponavljanjem od eicmenata A, B) CiD,
336. Abeceda ima 30 slov3. Kol1ko se najvise rijcci s tri slovs moze napisati u nasem jeziku?
337. Dvorana ima 5 ulaz.a/izlaza. Koliko mogucnostj postoji da posjctilac uce na jedan, a izadc nn drugL
3.38. Morzeova slova se sastojc oel od dva simbola (ta6k8 i erta). Ako se uzme da svako slovo ima twjviSe pel ovih simbola, koliko razlicitih s10\'3 Ima Morzeova az:buka?
339. Klavijatura muzickog instmmcnta se sastoji od Rg tipki. Kolil{o razlicitih lTIuzlC.kih !zraza sas1-a\i]jcnih od 6 nota mo~~cmo odsviral1 na ovom instrumcl11'u?
3..40. Koliko se razlici1ih sestoznacnih tclcfonskih br(~ieva 11107:0
talco da nijcdan broj ne pocinjc s nl.1jom? 3.4].* Koliko s~ uku]Jl1o brojcva manjih nd 10000 mo~~c nRpisali clfr~HriCl
2,3 is? 3.42, Ako Sf: registarskc tablice ()znac<.rvaju jcdnlnl od SCclCHl1 :;]01'8 izmcGu
elva lrocif;enn broja. koliko se ukupno~moze rcgisl"roval'i 8uloillohila: 3A3. Na koliko razlicit.ih nacinJ 5C rnogu smjcstiti tri raznobojnC'. ImglicG U
pet razlicilih kutij<l ? 3.44-. Predu7,ec.(~ .Ie raspisalo ogJas za ceiiri radna mjcsta. Na sc-
pr~j(rvilo deser kandidata. Nn kolilw n3ciml se rno7:C' izvrsiti izbor radnika?
3.45, Na tiketu sportske prognozc nataz! SC trinaest -parDva. Kolik~ «kolllDinacija>1- trcb8 uplatiti da hi igrac prognozc sigurno pogodio ~;ye rczultate? Ako je cUcna .Jcdnc «kombillrtcije>i 0,50 K]\.1 , koliko KM trcba uplatiti ;::3 slucaj sigurnog dohitk8?
3.46 Ko'd:.a Z(1 i!:::ru (sa brojc:vill1<ll1<l str<:mama) baea sc 1'1"1 !'Jura. Ko!iko sc brojC\'3 mo~ze dobili t'ilrl bacanjill1a?
3,47< Akn koch1 za igru n8. stranam(1) bacamo pet P"Llj-;" ko!iko se brojeva 11102,(; dobiti tim PdC;,l\j"""
b) vi + V~ -- vi 6652827
3.49.<1) b)
b) v~':~ -+- V ~\~~
'l;';+k 3.50.a)
31
3.51.a) Vk=~ n Pn - k
b) V; 'Pn- k =n!
3.52.a) Vl~ . P lIJ- k = lOP9 b) k k-J VII =n' Vn _ l
U skupu prirodnih brojeva rijesiti jednacine:
v , ~ 2 b) V' ~ 6 x x+2
4V:_3 =; vLz b) V;::::: 20vLz
,,3 ~ 14V3 b) V' ~ XV,·I Vlx x n n
cJ cJ
cJ
V;+l0 =110
V~~2(x+l)
3.53.a)
3.54.a)
3.55.a)
3.56.a) V , - ,Tx-l 7 - X 7
2 2 2 bJ V,_4 + VH + V,_, ~ 20
3 57 ) v, ~3MT4 ..a , u, ,-2
3 58 aJ 2"V' ~ V' .. ",., ,
3.59.a)
3.60 .• ) -1
3.61.a) V, ~ 9 -,
. 3.62.a) V, ~ 1024
b) V:~ =20": c) V:_2 =4V:_3
bJ V , ~15V3 l[ 1<-2 c) V' ~14v3 " ,
V2 +V4 V; ~2.v: 1 b)-.".--' ~13 cJ V; V; 2 b) vl'_2:V;H~15:7 c) V::x~240
-3 h) V, ~ 8
-, b) V,~83521
-, c) V",16
-3 0) V{HI :V2,-! ~210:169
~2 -·-2 -3 -2 3.63.a) V5+2 :V,-4 ~4:1 b) V2H :V',-5 ~17:1 3.64. U skupu prirodnih brojeva rijesiti nejednacine:
a) --<-- b) 18 < I V,;, . 15 l'n-l\1 ("+1\ (x+Z)! (x-I)! 2) 3)
3.2. Permutacije
Dcfinicija i hroj permutacija: Varijaciju bez ponavljanja n-te klase od n -,eJemcmita I
nazivamo pcrmutacija bcz ponavljanja. Broj pcrUlUlacija od n elemenata oznacavamo sa PI! i VTijcdi: P n = nI. Varijacije -sa ponavljanjcm n-te klase od n _clemenata ,nazivamo p,ermutacije s POlUlvijanjem. Ako u permutaciji s ponavljanjem imamo jedan skup od kJ jednakih elemenata, drugi sirup od k2 jednakih elemenata, treCi sk'llp od k3' jednakih elemenata? :_' ,- kl -
ri shtp od k t jednakih elemenataJ pri cemu je kt+k2+k3+ ... +k! = 11, tada za broj penuutacija
n! .. d'. pkl'k2'k3 •.•. ,kt vflJe L n
32
3.65. U skupu prir?dnih brojeva rijesitijednaCinu:
a) (2n+2)!. ~2J. b) (2n)!+ (2n + 1)1
3.66. U skupu prirodnih brojeva rijesiti nejednacinu
nt-en-I)!
(n + I)! 1
6
(n+l)! <16. n(n -2)!
3.67. Na koliko nacina mozemo smjestiti 12 gostiju na 12 stolica? 3.68. Na koliko raz!icitih naeina mozerno smjestiti 5 knjiga na policu? 3.69. Ako 9 knjiga sllljestima najednu policu, u koliko slueajeva tfi od tih
knjiga mogu bitijedna do druge? 3.70. Okrugli sto ima 12 oznaeenih IP.jesta. Na koliko naeina se moze
smjestiti oko stoIa 6 mladi6a i 6 djevojaka tako da dvije osobe istog pola ne sjede jedna do druge.
3.71. Koliko permutacija ima skup elemcnata 1, 2, 3? Napisati sve permutacije tog skupa.
3.72. Napisati sve permutacije elemenata: a, b, c. 3,73. Napisati sve permutacije demenata: 1,3,7. 3.74. Na koliko naCina mozemo sastaviti spisak od 5 ucenika? 3,75. No koliko naoina mozemo smjestiti 10 odjeljenja u deset ucionica? 3.76. Na koliko nacina mozemo razmjestiti 25 ucenika odjeljenja na 25
stolica? 3.77. Koliko skup od elemenata 1,2,3,4 ima pennutacija? Napisati sve te
permutacije. 3.78. Napisati sve permutacije elemenata 1,2,3,4,5. 3.79. Na koliko raz!icitih nacina 6 osoba moZe sjesti za okrugli sto pri cemu
su sve stolice razlicite? 3.80. Koliko skup ima eiemenata ako je broj permutacija elemenata toga
skupa nije veci od 800?
3.81.a)
3.82.a)
3.83.a)
3.84.a)
Izracunati vrijednost izraza: P, b) P, !'4 + Pj
bJ 3P, - P,
P, PI
Rijesiti. date jednacine:
~.12 b) Pn;! ~6 Pn o 5 Pll-l
0)
c)
0)
P4 d) 4P9 + PH
d) P,
V '" P 11+3 . ~-k
P, .P20 -~
P!7
240
(n+l)!~72 (n -I)!
b) 2VJ+6V2~p cJ' Pn+s -=15 n n IHI Vii. no
n+4 . !£ n+4-k
3.85. U k . d'h b' .. ",' . d"' V:;, 143 s upu pnro m roJeva flJesltt neJe naClllU: --' - -- < 0 .
3.86. Pn+2 4Pn_l
Koliko ima permutacija od elemenata skupa {I, 2, 3, 4, 5} koje ne pocinju s 3?
-33
3.87. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {2, 3, 4,5,6,7) koje ne pocinju ni sa 4 oi sa 5?
3.88. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {3, 4, 5. 6. 7, 8, 9} koje sadrie grupu cifara (456) u datom poretku ?
3.89. Koliko ima permutacija od elemenata skupa {3, 4, 5, 6, 7, 8. 9) koje sadrZe grupu cifara (456) u bilo kojem poretku poretku ?
3.90. U koliko pennutacija ad elemenata skupa {4, 5, 6, 7, 8, 9} se elementi 5 i 8 nalaze na krajcvima ?
3.91. Broj permutacija ad n slova'odnosi se prema broju pennuta9ija od (n+2) slova kao 1:30. Odrediti n.
3.92. Broj permutacija od 11+2 slova vecije 72 puta od broja perrnutacija od n slova . Odrediti n.
3.93. Koja je po redu permutacija 2341 u leksikografski uredenorn nizu perrnutacija ad elemenata 1 2 3 4 ?
3.94. Kojaje po redu permutacija abdc u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata abc d ?
3.95. Kojaje po redu permutacija SOBA u leksikografski uredenom nizu pcrmutacija od elemenata (slova rijeCi) BOSA ?
3.96. Kojajc po redu permutaeija ARMEN u leksikografski ureaenom nizu permutacija od elemenata NERMA ?
3.97. Kojaje po\edu permutacija MOSKVA u Icksikografski uredenom nizu perrnutacija od elemenata SMOKY A?
3.98. Kojaje po redu pcrmutaeija TEMA u leksikografski ureaenom nizu permutacija od elemenata META?
3.99. Kojaje po redu permutacija ATOM u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemena!a TOMA ?
3.100. Kojaje po redu permutaeija TOMA u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata MA TO?
3. 101. "Koja je po redu permutacija TORBA u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata RABOT?
3.102. Kojaje poredu pennutaeija OSMAN u leksikografski ureaenom nizu permutaeija od clemena!a MASON?
3. I 03. Kojaje po redu pennu!aeija MERSAD u ieksikografski ureaenom nizu permutacija od eiernenata REMSAD?
3.104. Koja je po redu permutae\ja BOSNA u leksikografski urea en om nizu pennutacija od elemenata SOBNA?
3.105. Koja je P9 redu pcrrnutacija ISMAR u leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata ASMIR?
3.106. lJ lekslkografski uredenol11 nizu permutacija od elemenata 1 2 3 4 odrediti desetu permutaciju.
3.107. U leksikografski uredenom nizu permutacija od elemenata abc d odrediti petnaestu permutaciju.
3.108. U leksikografski uredenom nizu permutaeija ad elemenata 1 2 3 4 5 odrediti pedesctu pennutaciju.
34
3.109. U Jeksikografski uredenom nizll pennutacija od elemenata APE)..., odrediti 5. permutaciju. <
3.110. U leksikografski ured'enom nizu permutacija od elemenata ORME odrediti 13-u permutaciju.
3.111. U leksikografski ureaenom nizu permutaeija od clemena!a TEMA odrediti petnaestu permutacUu.
3.112. U leks;kografski uredenom nizu permutacija od clemenata abe d e odrediti sedamdesetu perrnutaciju.
3. J 13. U leksikografski uredenom nizu perrnutacija od elemenata ABNOS odrediti 42. permutaciju.
3.114. U leksikografski uredenom nizu perrnutacija od elemenata RINDA odrediti 73. permutaciju.
3.115. U leksikografski uredenom nizu permutacija ad elemenata NAIME odred;ti 65. permutaeiju.
3.116. U leksikografski uredenom nizll pcrmutacija od elemenata AEOPRU odred;ti 238. permutaciju. >
3.117. U leksikografski ureaenom nizu permutaeija od elemenata IMETAK odrediti 601 . permutaciju.
3.118. U leksikografski ureaenom nizll perrnlltacija od elemenata KAZUTI odrediti 432. perrnutaciju.
3.119. U leksikografski ured'enom nizu permutacija od elemenata ABGElMT odrediti 4009. permutaciju.
3.120. Tri ucenika trcba da podnesu izvjestaje 0 nekom problemu. Na koliko nacina se moze odrediti redoslijed izlaganja?
3.121. Pet ljudi na nekom kongresll treba da podnesu referate. Na koliko naeina se m07£ odrediti redoslijed referenata?
3,122. Na kofiko se nacina za okrugli sto moze smjestiti pet djecaka i tri djevojcice t3k9 da dvije djevojciee ne sjede jedna do druge?
3.123. Koliko se razlicitih permutacija moze form irati od elemenata {2, 2, 2, 4, 4}?
3.124. Koliko se razlicitih permutacija moze form irati od elemenata, {a, a, b, c, c, c}?
3.125. Koliko se razlicitih permutacija moze formiratl od elemenata skupa {x, x, x, x, 3, 3,.1}?
3.126. Formirati sve permutacije s ponavljanjem od clemenata ABC, ako se elemenat A dva puta ponavlja.
3.127. Napisati svc raziicite permutacije od elcmenata skupa {a, a, a, b, b, b}. 3.128. Napisati sve razlicit-e permutacijc od elemenata skupa {2, 2, 4, 4, 4} . 3.129. KoIiko se moze napisati razlicitih permutacija od elemenata skupa
{1,3,3,5,5,5,~ 7,7,7)? 3.130. Koliko se moze formirati permutacija od slova rijeci MAMA? 3.131. Koliko se moze form irati permutacija od slova rijeci SARAJEVO? 3,132, Koliko se moze form irati permutacija od slova rijeCi
MATEMATIKA?
35
3.133. Koliko se maze formirati permutacija ad slova rijeci ABRAKADABRA?
3.134. Koliko se moze formirati ttrijeciH od slova rijeci MATEMATIKA pri cemu se ni u jednoj rijeci ne pojavljuje dio AAA ?
3.135. Ko1iko se moZe fonnirali "rijeCi" od slova rijeci MA TEMATIKA pri cemu se ni u jednoj rijeci ne pojavljuje dio MM ?
3.136. Koliko se maze napisati petocifrenih brojeva ciframa 4, 4, 3, 2, 2? 3.137. Koliko cetverocifrenih brojeva rnozerno napisati ciframa broja
434531? 3.138. Koliko se pelocifrenih brojeva moze napisali ciframa 1,2,3,4,6 ako
se sve cirre mogu ponavljati. 3.139. Na koliko nacina mozemo 8 bijelih sahovskih figura (2 topa, 2
skakaca, 2 lovea, kraija I kraO iell) postaviti oa prvi red sahovske ploce? 3.140. Grupu ad 10 ueenika treba podijeli!i na Iri manje grope od po 2,3 i 5
u6enika. Na koUko nacinrt se mogu formirati manje grupe ucenika? 3.14 \. Devet razlicitih knjiga treba zapakovali u tri poklona od po 2, 3 i 4
knjigc. 'Na koliko naclna se pokioni mogu formirati ? 3.142. Aka se sve permutacije od slova AAMM urede leksikografski, koja
je po redu pcrmlltacija MAMA? 3.143. Aka se sve permutacijc od slova AKLOOV urede ieksikografski,
kojaje po redu pcrmutacija OLOVKA? 3.144. Ako se sve permutacijc od slova AAEJORSV mede leksikografski,.
koja je po redu permutacija SARAJEVO? 3.145. Aka se svo pennutacije ad 5lov. AEMORTTV urede lekslkografskl,
kojaje po redu permutacija VATROMET? 3.146. Ako se svo permutacije od slova AA I I KTTTSS urede
leksikografski, kojaje po redu permutacija STATISTIKA? 3.147. Ako so svo permutacije ad slova AAAEIKMMTT urede
leksikografski, kojaje po redl! permutacija MATEMATlKA? 3.148. Kojaje po redu perrnutacija ASTRONOMlJA od RASTONOMlJA
kao pocetne? 3.149. Odrediti 94-11 pernmtacijll od A F 1 I K Z kao pocetne permutacije. 3.150. Odrediti 41-u pcnnutaciju od AAAMM1{ lao pocctnc pertnutacije. 3.J 51. Odrediti 99262-u permutaciju od AAAEIKMMTT kao pocctnc
permlltacije. 3.152. Odrediti j !975041-u permutaciju ad FORINMATIKi\ kao pocetne
pcrmutacijc"
36.
3.3. Kombinacije
Definicija i hi-oj .kombinaciJa: Svaki podskup od k raz~iCitih_elen'leriata skupa A = {a\, I a2, -'1.3, ••• , an } naZlvarrto l{Qmbinacija, bez ponavijanja k~te klase,od n ele,mena,ta (k:S: n).
Broj-kombinacija bez ponavtjanja k-te klase, od 'n el~meriata ~znacavamo sa, C~ I'vrijedi:
C' =.'.V. : =n(n-l)(n-2)···(u-+k+l) .. (.0)' • ~ ~ k'
S~aka k-to'rka_.elemenata skupa A = {at, a2, a), .. " au }, pri cemu se isti--element rnoz.e pojaviti Vlse puta, naZlVamo k()mbinacij;l s ponavljanjanjem k-te, klase od n eiemenata, _ (k moze biti i vece od n).
3.! 53. Odrediti broj kombinacija bez ponavljanja cetvrte klase od 7 elernenaia.
Izracunati vrijednosti datih izraza:
3.154.a) C' 4 b) cio c) C~2 d) 3.155.a) c' ,
6 + Cil 11) 2C' -Co , , c) 4C:I +2C: 3.156.a) 3C tOO C t
100 + 100 b) HC' -BC6 , 8 c) 2C~C! +3C~
3.157.a) ell , c lD ""'l3 T 13 b) c' +c' 6 6 c) cio + c~u
3.158.a) C;P,
C' C' 3C' _ 2V;
v' b) +-' c) , P, to --
5
c' C' d) -++~
Vs P,
3,159. Koliko pravihje odredeno sa 6 tacaka od kojih nikoje tri nisu kolinearne? '
3.160. Koliko pravihje odrcdeno sa 10 tacaka od kojih nikoje trl nisu kolinearne?
C" IOU
3.161. U ravnije dato n (n>2) taoaka od kojih nikoje lri nisu kolinearue. Koliko je pravih odredeno ovim tackama?
3.162. U prostoruje dato n tacaka (n>3) od kojih nikoje cetiri tacke nisu kompianame, Koliko ravnije odredeno ovim tackama?
3.163. U koliko najvise taoaka se sijece sedam razlicitih pravih ?
37
3.164. Odredjti braj svih dijagonala pravitnog: a) sestougJa b) osmougla c) dcsetougla.
3.165. Odrediti broj dijagonala pravilnog n-tougla. 3.166. Za ucenike u jednoj ucionici ima 36 stolica. U toj ueionici nalazi se
odjeljenje sa 32 ucenika. Na koliko nacina razrednik tog odjeljenja moze razmjestiti ucenike?
3.167. U plesnoj dvorani nalazi se 12 djevojaka i 10 mladica. Na koliko razlicitih naeina se moze tbrmiratl 6 plesnih parova?
3.168. Najednoj utakmici susrelo se 15 poznanika i pri tom susretu se svaki sa svakirn rukovao. Koliko je ukupno bilo rukovanja?
3.169. Na jednom sastanku svaki prisutni se rukovao po jednom sa svakirn i pri tome je bilo ukupno 78 rUkovanja. Koliko je {judi prisustvovalo sastanku?
3.170. Na sastanku granskog sindikata tekstiinih radnika bilo je 45 prisutnih. Na koHko na6111a se moze izabrati petoelana grupa od prisutnih sindikalaca radi zastupanja kod poslodavaca?
3.171. lJ korpi za voce nalazi se 5 jabuka i '8 krusaka. Tz korpe prvo djccak uzimajabuku ili krusku, a zatim djevojcica uzimajabuku i krtlsku. U kojcm slucaju djevojcica ima vise mogncnosti izhora: ako djccak uzme jabuku iii ako izabere krusku?
3 171. Na sahovskom tumiru odigrano je 45 partija pri cemu je svaki ucesnik sa ostalim odigrao po jednu part\ju. Koliko.1c hilo ucesnika na turniru?
3 173. Ekoloska grupa od 15 ucenika 1.cJi da lzabere rukovodstvo od 3 uccnika: prcdsjednika, zamjenika prcdsjednika i sekretara. Na koliko razlicitih nacina se to moze uraditi?
3.174. Brqj kombinacija trece klase od 11 e1emenata pel puta je manji od broja kornbinacija cetvrte klase od n+2 elementa. Odrcditi n.
3.l75. U kosarkaskom skolskom klubu ima 15 igraea. Na koliko na6ina trener moze form irati ekipu koja ce poceti utakmicu?
3.176. Trener nogometnog kluba ima na raspolaganju 16 igraca i to 6 napadaca, 6 odbrambenih igraea, tri vczna igra6a i jednog vratara. Na koliko nac1na trener moze odrediti ekipu koja ce poceti utakmicu ako zeli da u ekipi budu tl'i napadaca, tri vezna igraca, cetiri odbrambena igraca 1 vratar?
3.177. Za pripremu maturskih ispita profesor je pripremlo 100 razlicitih zadataka. Koliko l'azli61tih listiea sa po trl zadatka jc mogu6e napraviti ad izabranih zadataka?
3.178. Za priprcmu maturskih ispitn iz engleskogjezika, profesor je u6enicima dao 50 pitanja. Na koliko razlicitih naCina u6enik moze od ovih pitanja izabrati t1'i pttanja?
3. ! 79. Za pripremu maturskih ispita iz matematikc, profcsor je ucenicima naveo 120 rnogucih zadataka. Na koliko razlicitih naCina ucenik maze od oVlh zadataka lzabrati njlh pet?
38
3.180. Grupu od 16 ucenika treba podijeliti na dva dijelo po6 i 10 ucenika. Na koliko razlicitih naCina se to moze uraditi?
3.181. Na koliko nacina mozerno podijeliti 15 ucenika u dvije grupe tako da jedna grupa ima 11, a druga 4 ucenika?
3.182. Odjeljenje ima 25 ucenika. Rukovodstvo odjeljenja sastoji se od predsjednika, sekretara i blagajnika. Na koliko naCina ovo odje\jenje moze izabrati svoje rukovodstvo?
3.183. Grupa od 15 ueenika novinara treba da odredi jednog glavnog urednika i pet urednika pojedinih rubrika u skolskim novinama. Na koliko nacinaje moguce izvrsiti izbor?
3.184. 1z grupe od 20 !judi treba izabrati podgrupu od 11 !judi tako da od dva poznata covjeka oba ne mogu biti u grupi. Na koliko nacina se moze izvrsiti izbor?
3 185. Jedan ucenik ima 6 knjiga jz lektire, a drugi 7. Na koliko natina OV1 lIceniei mogu razmijeniti po dvije knjige?
3.186. Dato je sest osnovnih boja: zutn, crvena, narandzasta, plava, zclena 1 ljubicasta. Koliko se kombinacija ovih boja moze dohiti ako se sastavljaju najmanje po dvije bqje?
3.187. Koliko postoji cetverocifrenih brojeva u cijcrn sastavu su razlicite cifre?
izracunati vrijednosti datih izraza:
3.188.a) b) C~ e' e' e' c' ,,+7+8+9+10
3.189 .• ) 0) v" ~e2 V S '20' 100- IS
v n- l , ."- PI> C!~+I\-i\ - " 1:+ 11 C I1
"D V m
~~=-~ 3.190.a) b) ----C ll
-2 P, "
y' +V~ ·C m
-4
v m - 3 p1. en 3.!91.a)
m b) .. -~+~
V~ m-5 P Y' m m
3.192. C~ + 2C! + 22C~ + 23 C; + 24C~ + 25C~
3.!93. C~ +2C:1 +22C~ +23C~ + .. _+2nC~
3.194. l-C;I +C~ -c! +C: ~··C~ + ... +(-lYC:. e l e' e' e 7 e 2n
-1
3.195. 2n + 211 -I. 2n + ~2n + ... + 211
Dokaz.ati istinitost datih jednakosti:
3.196.a) e' -.'l.c' b) e" = He" s - 7 7 12 11 u
0) P mN:
(C;+TI : V:+ n ) c)
P2Jl
C Ck+1 = n + 1. ) .+1 k + 1
3.197.3) c: +C~I_'1 =C::~ b) ChI + C H + 2C' = e'+l Jl n 11 n+2
3 198 ) en en. e • e·+1 . .a n + n.d T n+2 = 11·1-3 b) C ' ek-2 2e'-' e' n-2 + 11-2 + 11-2 = n
,.Pn
39
~9.a)
)O.a)
b)
)1.
n.
b) (ChI _ C k) . Ck-1 ___ 0-.-1 n II 1
(C k )2 _ Ck+1Ck I II 0+1 11-1
c~ + 2C~+j + C~+2 = C~:;
C k + 3C k+
1 + 3Ck +2 + C k +3 ::;;;; C k +3
n n n n 11+3
C: + 2C! + 3C~ + .•. + (n -l)C: = (n - 2)2 11-
1 + 1
C~ +2C! +3C; + ... +(n+l)C: =(n+2)211-1.
=k
)3. C~ + C!+i + C!+2 + ... + C!+k = C~+k+l . )4. Odreditix akoje:a) C:-C;=O b) c' =C' , ,
U skupu prirodnih brojcva rijesiti jednacine:
)5.0) C; = 21 b) C; = 351 cJ C~ = 455
)6.a) C~+I:= 50
J7.a) C; = 2" )8.a) C~-2 + 2x = 9
)9.a) 8C~:!1 =5C~;:2
lO.a) 3C~:1 :=5C~~~!
I La)
i2.a)
i3.a)
i4.a)
15.a)
C 2 + C' = 16 x-l x
<':3~1- " C; 5
C 3 3 Jx+3 : C 2x+3 = 38: 13
C ~;l :C;~!l =16:29
A! + C~-2 = 14x
b) C::; = 23 cJ c)
c)
C x-1 := 1 x+1
b) C,.;, cc ,,' -1 5C; =Cx~2 b) 3Cx.~1 - 2V: = x c~~i =1:
2 -13
lSC; = 4C:+2 b) 13CX+! := sex-I c'} h: 2H1
b) HC; = 24C':1 c) V: + C'~' = 14"
C:~~ + 2C;'1 = 7(x -1) b)
c) C~~~ = 55 V' 12 x+l
b) -- 3
C;+l :V,., =11:50
b) x-4 3 CHI: V1:+1 = 7: 15
b) 2C x- 4 C,,"-4 A 2C 3 X x-I -I- X x-I = 4 x+l
U skupu prirodnih brojeva rijditi nejednacine:
16.a)
17.a)
18.a)
[9 .• )
!D.a)
)
o 2 C; < 6 b) CHI os; 10 c) C;+3 < 15
C~52 >C~5
c~:; < 21
C ' C' h > 2%
b)
b)
b) C ' <CHZ l3 D c)
c)
0) C,.3 (x+l)!
.,., < 84(x - 3)!
C' __ 14_3_1'_<+_, <0 <+,
96 Px+3
b) C ,·l CHI 13 7 2x+1: 2x < :
Rijesiti date sisteme jednacina:
{Ck
=Ck+
2 {C
k =C
k+
1 r:=272 3.221.a) " " b) " " c) C; =153 V; =20 V~ =136
{V: :V:+I =2:5 {CY =CY+' {CY =C'+' 3.222.a) b)
, , c)
, , C k ·V'·I =2'3 C; =66 C; =153 + l II' n •
3.223. Odrediti n i k ako je: c~:i: C~+l : C~:~ = 5 : 5 : 3 .
3.2.24. Odreditinikizuslova: C'~I :C~ :Ck;1 =2:3:4.
3.225.
3.226.
Od d·· . k k' C' C'+l Ck+2 3 1 1 re Itl n I a 0 Je: 11+2: 11+2: 0+2 = -:-: : . ~
(nJ (n+ll ("+1\ Odrediti n i k ako vrijedi: : : 1=3 : 4 : 8 . . k/ k J k + 1)
3.227. Odrediti kombinacije prve, druge i treee klase (bez pon.vljanja) od pel slijedecih elemenata A, n, C, D, E.
3.228. Odrediti kombinacije prve, druge, trece i cetvrte klase (bez ponavljanja) od sest slijedeCih clemenat. A, n, C, D, E, F.
3.229. U jednoj kutiji n.lazi se 5 crvenih i 8 zelenih kugtica. Na koliko nacina se od kuglica iZ,kutije moze izdvojiti 7 kuglica medu kojima su 3 crvene i 4 zelene?
3.230. Izracunatl kombinacije s ponavlJanjem trece klase od 7 elemenata.
3.231.a)
3.232.a)
3.233.a)
3.234.a)
Izracunati vrijednosti datih izraza: -2 C, b)
-6 C, c)
-5 C, d)
-3 CIO
-2 -3 -, -7 C, b) C, c) C" d) C,"
U skupu prirodnih brojeva rijesitijecinach}e: -2 -2 C"=190 b) C,,=,,+1.5
-3 -4 C!+2 : C u.2 = 15: 7 b) Vn3~2: C u_2 = 36::;
41
4. SKUP REALNIH BROJF:;V A (R)
is'kup realnih broJeva: R ~~, Q UJ (unUa skupa raci{)nainih i skupa iradonaJ~ih brojeva).
I Odnos dva rea Ina broja H i b:
I, I. Dva ~'ealna b~~ja a i, b su jednaka ako i samo ako je njihova razli,ka jednaka nuli:
a ~ 10 ¢;> a - 10 ~ o. ! 2. Ret11an br'oja a vc6i .Ie od realnog-broja b ako i samo ako je razllka a-b pozitivan-broj:
i . a>1o ¢;>3-1o > O. ! 3. Renlan broja a manj[ .Ie od rcalnog broja h ako i samo aka je razlika a-b negativan bray I a<1o ¢;> 3-10< O. L--... ___ -'---'--_:.c. __ ~ ____ .-'-___ '
,_____ SVl!j~tva jcdnaimsti rcalni"'h"o"'r"o"i"ev"'.,,'c..... ___________ , ! 1. (3=10. 1o~c) => a=c I 2. (a ~o b. c = d) ~> a+c = b+d
I 3. (a=b.c~d.cA) ~> (ac"'-1od.
I
I 4. (a = 10 ) ~> (a+c = 1o+c
5. (a=1o, c*O) => (ac=1oc.
E.=!'.) c d
. a-c=1o-c)
E.=!'.) c c
Svojstva n{~jednakosti rcaJnih brojeva:
1. (a>1o, ti>c) => a> c 2. (a> b, 0 > d)~> a+c > 10 'I- d 3. (3) h. c <d) => a -0 > h· d
4. (a>h>O.c>d >0)
5. (a> b)
6. (a>1o. c> 0)
7. (a>h, c <0)
:::3:.>
"">
=>
=>
( so > bJ. E. = !'. ) d c
(a+c > b+e
(ac > be
ac<bc
,a-c> bee)
E. >!'. ) c c a b -<-
I Svaki rea1cin bro} moze se "smjestiti''-u ticlm'pmvc,. Takvu pravu nazivamo brojna.prava iii I brojna osa. '
42
~Inte;~l·'Ci -su-. n-eC'p-re--;k-:ic-;-Clni-s'Ck-llP-O-v-:i-ta-:c-akc"a-(b::--ro--;~-ev-aC')-na'brojn-o--;-_~-p-ra-v-:o-;-1.-::Po-s-to-:~C'e"s::lij-:·e--;d:-ec:C~i~-· --I' jntervali:
Otvoreni (a,b)={xla<x<hj. (-co, +co) =R. I Zatvoreni [a,bJ~{xlasxs1o}, I Poluotvoreni: [a, b) = {xl a s x < b); (a, b] = {xl a < x s 1oj, ,.,1
1 (-co.1oJ~{xlxsb) [a,+ro)={xlx:2:a}.
Okoiina tacke: E okolina tacke aje otvoreni interval (a'-8, a+8).
ApsoJutna VTijednost iIi modu! rea]nog ~:oja a ozna,cava se sa I?I i definiSe ovako,:
lar~ a<:O
Svo}stva apsolutnc vrijednosti rcainog bro.!.:ia"" ______ _
L lalHallbl 2. I~I=~ 1
4,1, Koristeci Pitngorinu5* teoremu, na brojnoj pravq.i odrecliti tacku ko.1<1 odgovan.l datorn realnom brojn:'
0) fi b) 13 c) .f5 4.2. Na orojnaj osi odrediti date intervale realnih broje'lm:
a) [-2.5] b) [A, I] c) [-3,2) 4J. Date realne brojeve napisati u decimalnolll obliku:
4 2 ~ - b) -
~ 5 7
4.4. Date decirnalne brojeve napisati U obliku razlomka:
a) 0,333133 .. b) 0,9
4.5. Dokazati da vrijedi 32
-+- b2 .:2:: 2nb, a, bE R.
4.6. Dokazati cia vrijedi a +b:::: 21:J, , a, hE R.
4.7< Dokazati da za svaka ova realna broja a i b vrijcdi: 3
2 + b2 + c2 ?: ab -+- be + ea .
0) 5 6
c) 0,5234
4.8. Ako so a i b oba pozltlvna iii aba negativna realna broja, dokazati cia ... ,. .. k a b
VfJjCU] neledna 'ost: - -+- -:::: 2. .. b a
4.9. Akoje a2 +b2 =1,dokazatidaje ~J2<a+b<J2. 4.10. Ako za realne brojcve a i b vrijedi a + b = 2, dokazati da je 3 4 +b4 :2: 2.
4.11. Nekaje lal<1 Ib-I! < 8. I,,-cl <2. Dokazati daje lah-cl < 10.
5* PIT AGORA (oko 570.~ 500. prijc nove ere) ~ starogrcki fiiozof, osnivac pitagorcizma
J
43
4.12. Odrediti vrijednosti aritmeti6kih korijena:
a) J9 b) J(-3)2
Odrediti sve vrijednosti realnog broja a , ako je: 4.13.a) lal~3 b) lal~-2 e) lal~-a
4.14.a) lal";3 b) lal;o2 c) la-II,;]
Uprostiti dati izraz:
4.15.a) Fa' b) j;;' c) J(a-2)'
lal+a 4.16.a) ~-
lal-a b) - c)
2lal+a 2 2 2
4.17.0drediti (apsolutnu) vrijcdnost datog izraza: ,-----;:-- r-~ a) vx+2.J~~ +vx-2~, za ]';x,;2, r--~
b) vx+2.Jx-l +,jx-2.jx··l, za x>2.
4.18. Skratiti dati razlomak:
2ala-21 aJ
4ala-31 b)
02-5a+6 02-5a+6
d) j(a-3)'-H
d) lal+2" 2
c) ala-41
a2 -5a+4 4.19" Naci sve vrijednosLi realnog broja a za koje vrijedi:
a) la'l;'lal' b) la+21=la-11 0)
4.20. Rijesiti date jednacine:
a) Ix+21=3
Nacrlati grafik date funkcije: 4.21.a) y= Ixl b) y= lx-II
4.22.a) y=J:xl b)y=;': x Ixl
44
c) Ix'-11=(x-l)(x+l)
c) y= Ix+31
_ Ixl+x c) y-~-
x
5. NIZOVI. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ. GRANICNA VRIJEDNOST NIZA. GEOMETRIJSKI RED
5.1. Pojam niza. Opci clan. Monotonost. Ogranicenost
Furikcija f: N -----* R naziva se brojni niz. Uobicajeno je da se fen) oznacav:a:sa- 3 11 i'
naziva opCi Clan niza. Niz se ozn,atava i sa {all}n:1 . - _!
I Ako za niz s ~pcim clan'om a,1 vrijedi: a/HI> a,,-,'Za niz kazemo daje lllonotono rastuci. i I i Aka, vrijedj a,,+\ < a", za niz J dlll: t kazemo dllje monotonoopad~juci.
I Niz {Gil l:J, ~a koJi vrijcdi ~11I~:i ;: a", naziva se neopadajuCi, a niz {all t:t' sa oso'binorh
I a'HI:S:; CI", naZlVa se nerastuci J\lZ. I
Aka postoji broj M takav da vrijedi an -::;},,1 ,za svaki prirodan br()j n, kazemo daje niz s
I opeim cl~Qm a", ogranicen odozgo. I 1 Aka postoji broj in takav da vrijedi all ;:;: In, za svaki prirodan broj n, kazemo daje niz s .
! opeim clanam au, ogranicen odozdo. Brojeve M i m, aka postoje, nazivamo gornja i d~~ja I I gl~anica nila {all l:l . , I Za !liz {a" },~~, ka2emo da je ogranicen ako postoje dva reaina broja m i M, takva d. za "I
l svakiprirogan brojn vrijedi: m S; -all :5 irt: ,
5.1. Napisati prvih 6 clanova niza Ciji je opci clan a", ako je:
a) a n =n+3 b) Q/l=2n+l c) Qn=5
(5~c~)Odrediti cetvrti clan niza S OpCiHl c!anom a,," ako jc:
,- a) a = n+2 b) a. = n-12 (-Ii". n n " n+5 n+l
5,3. Odrediti treei j cetvrti clan niza S opcim clanam a", ako je:
1 " a) G" = ::n-I b) a =--"- c) U" =11' -3n+2 " .. " (-1)"n
/S.4.",Napisati prvih pet clanova nizova zadatih formuIOIll_<?pceg ciana: \,j/ n+J (-lY+[ />\ l+(-l)n
a) a =~- b) a =~- ,0) ;G =---~ n n2 + 1 . n n + 2 '._.-,/ n 4
45
5.5.a) n
an 0::::-
n! c) a ~ (n-I)!
Ii n+l
(5.6,/Neka je al ~ 4. Odrediti prvih 5 clanova niza ako vrije.di: ' .. ' ) +3 b) I . ) " a all = an_I an = an_l- i~"V~' an = 2an_1 - 2
5.7. Prvi clan nizaje a!=3, a nizje dat relacijom all == 2a,,_1 +5. Napisati
prvih pet clanova ovog niza.
5.8.a) 5.9.a) 5.10.a) 5.1 La) 5.12.a) 5.13.a)
5.14.a)
5.15.a)
5.16.3)
5.17.a)
Odrcditi opc; clan (0.,) niza: 1,2,3,4,5, .. . 2, 4, 6, 8, 10, .. . 1, 4, 9, 16.25.36, ... 4.7.10,13,16 ... . 8.13,18,23, .. . 2,4,8, 16,32, . 1 2 3 4
2' 3' 4' 5'· 1 .i. .i. .i. .i. , 3' 5' 7' 9' .
1 234 J:"2' 4.3' 6'4' 8.5' .
b) 3,4.5,6,7, ... b) 1,3,5,7,9, ... b) 0,3,8,15,24, ... b) b) b)
b)
-3,2,7, 12,17,. 1,7,13,19, .. . 1,7,17,3], .. .
(]+!.)\, (1+!.)2, (l"J.Y, ... b) ~ 2 ,3 4;
* 1 2 4 8 5.18. aJ 3' s' 9' 17· .. · b) 2 1 2 2- 17
, , 7' 15' 31'
Graficki, tackama on brojnoj osi, predstaviti nizove akoje:
( lY 11~,1 a" ~n b) a" ~l"-2) c) a,,~-
n+1
5.20. Datje niz S opcim clanom
a) ak
(n .. 1)' a" ~~~. Odrediti:
3n
Dokazati daje niz S opcim clanom ai/ monotono rastuci/opadajuci, aka je:
5.2I,a)
5.22.a)
46
all ,::::;2n+3
3n a ~-
n 6n+5
b) an ~-2 n 7-n
b) a ~-~ n 2n-l,
n(n -I) c) a ~-.. -
r) 2
2n-5 c) an =-
n+l
5.23.a) n
b) I n 2
a =-_.- a ~-- c) a ::::--n n+ 1 n ]12 + 1 n n2 + 1
Odrediti najveci clan niza:
5.24 .• ) an =_n2 +4n+~ b) a" =_n2 +2n+3 c) a" = 12+4n-n2
5.25.a) a" =-2n2+8n+1 b) al,:;;; -3n2 + 1211 + 4 c) an =3+5n--4n 2
Odrediti najmanji clan niza:
5.26.a) an =n2 -611+8 b) ali =n2 -8n+7 c) a,,=n2 -5n-24
5.27.a) all::;:; 2n1 -15n+9 b) ali =5n 2 -45n+2 c) G" =3n2 -56n
Ispitati da Ii Sll nizovi s clatim opeim clanom ali ograniceni:
5.28.a) G,,=5n-4 b) 3
c) n
af] =-, a ~
" n +1 5.29.a)
5n+2 b) = 3(-1)" c)
5+n 2
a =--- a" a =--17 2n !1 6+nl
2" ( 1 ),,+1 n 2 +3n 5.30.a) a" ~-.,- b) a C~ -- c) a" ~~2--
2" +1 II 2 n +2n+1
531. Dokazati daje nil. S opeim clanom all ograniCen ako je:
n+2 n-l a) a" ~-- b) a ~---
n n 2n+1
5.32.a)
S.2. Aritmeticki niz (aritmeticka progresija)
Definicija: Niz an kod koga je razlika 3,.,+1 - all = d = canst. za svakf prirodan hroj ~ nazivamo aritineticki niz iii aritmeticka progresija. Konstantu d nazivamo razlika, I aritrnetickog-niza. Opci clan aritmetickog nizaje: an = ar+(n-l)d .
n(a, +a,,) _11 [" ( 1 d] Sumaprvihnclanovaaritmetickognizaje:S~ -- LG)+ n-) . 2 2 -
Za k<n vrijedi a" 2
47
Dati su prvi clan aj i razlika d aritmetickog niza. Napisi nekoliko clanova datog niza: 5.33.a) a,=4,d=2 b) a,=-3,d=4 c) a,=22,d=-1 5.34.a) a,=I,d=-3 b) a,=O,d=-2 c) .,=-12,d=-2
'5.35:a) a,=1,d=2 b) a,=-3,d=4 c) a, =10, d=-1-. 2
Odrediti razliku aritmetickog niza ako je dato: r \5.36 .• ) .,=12,a3=18 b) '4=6,.,=16 c) a,,=112,'40=199 ~ L:::~= 10,a3=8 b) a,=21,a,=9 c) aW=22,a30=2
Odrediti prvi clan aritmetickog niza ako je dato: 5.38.a) a2=18,d=8 b) a,=30,d=-3 5.39.a) a3=t'B,d=-1 b) a6=-23,d=2
cJ a,=80, d=7 0) a" = 50, d =-2
Napisati pd prvih clanova aritmctickog niza ako je dato: 540'.a) a,=5,a2~8 b) .3=10,a,=13 0) a2~4,'4~1
~~.!,.a) as=15,[email protected]=5,3.7=8c)3.lIJ=8,a16=-4
~. -'\ 7 . 1 4 8
5.42-11);3.4= ~,a5=5 O} 3.2= -;-,U6=3 c) 36=--,alO=---, -""'~" 2 3 5 5 ) \~i3. Aritmeticki niz datje svojirn opeim cianom all = 3+3(n+ i). Odrediti -v· __ tf prva tri clana niza. .
,}). .... 4:4 Odrediti osrni clan niza: 2, 5) 8, II, , .. ~ ~drediti Lridescti clan niza: -3, -1, 1,3,5, .. <
(;4 - ~Dd d" d d . ,. . 4 7 3 5 ). O. re It! va esctl clan mza: ,-", , -, .0. ~_o 2- 2
(5.47') Poznati su trecl i sedmi clan aritmetiCkog niza: 3.3 =5, (17 = 14. Odrediti ~ prvi clan i razliku d niza.
Odrediti an ako je dato: 5.43.a) a]= 5, d=l, n=13 b) <11= 10, d=3, n=15
5.49.a) <11= lo,d=~,n=21 b· 5 d 1 16 ) a·= - =-_._ n= I 2' 2 '
c) al= d =4, n=lO
c) al=~.d=3..n=21 3 3
'i"S.50. Aritmeticki niz lma j 5 clanova. Prvi clan je 200, a razlika d = -5. r. Odrediti posljednji clan niza. \ 5.51. Aritrneticki niz datje svojim prvim cianom i razlikom. Odrediti } mlznaceni Clano ako jc:
.') a) a, =3, d = 5, a7=? b) a, = 9, d = -2, ag=,!
l 0) Q j =2.,d=.!.,all=? , 2 2
(5.521 Koj i clan niza 8, 5, 2, -1, -4, 00. iznosi 206? ['S33. U aritmetickom nizuje Q j =16, d = -2. Naci indeks onog clana ovog , '"' , nim, koji je jednak nuli. @Da lije broj 287 clan aritmetickog niza 1,5,9, ... ?
48
5.55. Naci deseti clan aritmetickog niza, ako su mu dati prvi i sedmi clan: . a l = 3, a7 = 33. g. Prvi clan aritmetickog niza je a1 =2,"a drugi i tr~Ci sU,redom, kyadrati
dva susjedna prirodna broja. Odrediti niz. Y\ \ )Q"" t.vi"d, L",-557. Odrediti stoti clan aritmetickog niza kod kogaje as = H,a)8 = 26.
Odrediti aritmeticki niz ako je poznato:
558.a) a, +a4 =22}
a) + as =- 34 b) a, +a, =32}
a4 -a1 =15
559.a) Q,-a, =44} G2 + G4 ::::: 64
b) a,+a, =99}
04 -a\ =-45
5.60.a) a2 +G,=10} G)·u7 =21
b) G, +a4 = 2O}
G2 'a3 =96
5 1
5.61.a) G, +a, =15) b) a2+a, = 11} 02 'G4 =-
a2 'G(j =13
72 5.62. ·a) aj + a3+ a5= 24 bJ a1 + a2+ as= I
ara2'a4 = 110 a3'at'aS = 15
5.63. Izracunaj zbir prvih 18 clanova niza: 3, 5, 7, 9, 11, ... 5.64.lzracunaj zbir prvih 14 clanova niza: -9, -4, 1,6, 11, ... 5.65. Odrediti zbirove brojeva:
a) ) + 2 + 3 + 4 + ... + n b) 1+2+3+4+ ... +100 cJ 1+3+5+7+ ... +99 d) 2+4+6+8+ ... + 100
Odrediti naznaceni zbir clanova aritmetickog niza ako je: 5.66.a) a, = 3, d = 2, S12 =? b) aJ = -4, d = 3, SJO~?
5.67.a) a,= -",d=2, S20='1 b) 3,= 1-, d='3., SlO~? 5 2 4 .
5.68. * Odrediti zbirove a) 1-2+3--4+ ... +(-I)"·'n b) )2_ 22+ 32_.42 + ... +(_I)""'n2
5.69. Ako je a" = 109 i d = 5, odrediti S".
5.70. Ako je a4 = 4 i aJO = 7, odrediti S47'
5,71. Napjsati prva tri clana aritmetickog niza ako je za svaki prirodan broj
n zbirSn njegovih prvih n clanovajednak Sn ='4n 2 -3n.
5.72. Suma n cianova niza data je formulom Sn = 5n2 - 4n. Odrediti opCi clan
an niza.
49
3 S "I . d . C I' S 4-4·3" Od d" ,. 5.7. umancanovantza ataJclormuorn 11 =----, re ltlOPCI 3"
clan an niza i napisati prva tri clana niza. 5.74. Suma n clanova niza dataje formulom Sn = 2n2 + 3n. Odrediti niz i
'. dokazati da je aritrnotickL 5.75. Koliko clanova niza 1,4,7, 10, 13, . ., treba sabrati da bi so dobio
zhir 1520? 5.76. Koliko clanova niza 2,6, 10, J4, ... treba sabrati da bi se dobio
' .. zbir 3528 ? 51fJt7.1(oliko clanova niza -10, -5, 0, 5, 10, ... treba sabrati da bi se dobio r2i-.. ,~bir J 5000 ? ~kO su brojevi x+l, 2x+3, 4x-l, tfi uzastopna <Slana aritmetickog niza,
- odrediti x j sumu prvih 10 clanova. ~ 5.7()'. Ako Sil brojevi x-3, 3x+l, 2x-4, tri uzastopna ciana aritmetickog niza,
~ , , odrediti x i napisi prva tri clana niza. 5.80. Razlika desetocianog aritmetickog niza je d=3. Suma prvih pet
clanovaje 3 puta manja od sume posijednjih pet clanova. Odrediti niz. n-I 11-2 11-3 I
5.81. Odrediti sumu aritmetickog niza: --+--+--+ ... +~. n n n n
. n+l n+2 11+3 2n 5.82. Odrediti sumu aritmetickog ntza: -- +--+--+ ... +-.
n n n n
Izracunati n i Sn aritmetickog niza, aka je data: 5.~:'lt) a,~ 3, a"= 38, d = 5 b) a,= -5, a,,= 22, d = 3 . 5.84.a) a,= 40, a"= I, d ~ -3 b) a,~ 0, a,= -20, d ~ -I .
Izra6unati d i Sn aritmetickog niza, aka je dato: 5.85.a) a,~ l,a,,~ 37, n = 19 b) a,= 2, a,= 60, n = 30.
I n 6 14 586a) a= - a= - n~ J2 b) a,= _._. a = -·,n=21. •• 12
,n2
, S,nS
'
lzracunati din aritmeticke progresije , aka je data: 5.87.a) a,=3,a,,=51,S,~459 b) a,=1,a"=41,S"~23J
. 47 525 5J!Nli)a,~-2,a,~48,S,,=598 b) a,=6,a,,~ --2,S'~-2-
Izracunati an i Sn, ako je dato: 5.89.3) a,= 0, d ~ 2, n = 33
5.90.a) a,~ 4, d = -1, n=I4
h) a,= -5, d = 3, n ~ 22 11 1
b)a,~- d~- n=40. 2 ' 4'
, 5.ill.a)
Izracunati an in, ako je dato: /~\ a,~ 1, d = 3, S"= J45 :(!» a,=-l,d=-I, 8,=-78.
50
5.92.a) a,~ 6, d ~ I, S,,~ 261
Izracunati dian aritmeticke progresije , aka je dato: 5.93.a) al~10,n~13,S,,~208 b) al=-15,n~12,S,,~J8 5.94.a) al~ 22, n ~ 16, S,,~ -128 b) a,~ 30, n ~ 10, S"~ -150
Izracunati a1 i Sn aritmeti6ke progresije , aka je data: 5.95.a) a"~ 50, d ~ I, n ~ 50 b) a"~ 53, d~ 2, n ~ 25
49 3 5.96.a) a,,~ -58, d~ -3, n ~ 18 b) a,,~ -2' d~-2' n ~ 22
Izracunati al i n aritrneticke pt:.~esjje, aka je data: 5.97.a) a,,~22,d~2,S"~132 (b) a,,~-8,d=-2,S"~'8.
c."\ 1 299 \ ... ./ 5.9.:rtn.' 'lla .. ,,=12,d~-,S"~-- b) a"=-lS,d=-4,S,,=0. \Xk!I 2 2
Izracunati al i d aritmeticke progresije , aka je dato: In 37 675 13
5.99~ a"=4' n ~ 30, s" =4 b) a,,~ 2' n~ 36, S" ~ 171.
VV. 5 5.IOOea) a,,~--·,n~16,S"=-IO b) a,,=-I,n=13,S"=13. ,. 2
Izracunati a1 1 3n aritmeti6kog niz.a , aka je dato:
5.101.a) d=5,n=8,S,~172
5.I~d=-10, n~ 11, S"~ 550
1 b) d=-,n~28,S,~44I.
2 b) d = -8, n= 21, S, = -1008.
b) 3+7+1l+15+.,.+x~465 Rijesiti date jednacine:
5.103.a) 1+4+7+10+13+16+ ... +x=210 5.104.a) 1+7+13+ ... +x~280 b) (x+1)+(x+4)+ ... +(x+28)~155
5.105. x-I x-2 x-3 I --+--+---+ ... +-=3.
x x x x
Napisati prva tri ciana aritmetickog niza za koji vrijedi:
a2 + a6 : 24} b) Q 3 + a3 :;:;:; 6} 5.106.a) _ ~-a5-~ ~-~-2
5G 2 +4a;=30} b) 3a3+loa4~6.1 5.107.a) (
3a7 -·2a, =15 Jla,-6a2 ~-58)
a J + a4 + a6 ::::: 3 } a1 + a4 + a13 = 33} 5.108.a) - b)_
a3 + as + a7 = -6 GIS -all + a 2 -11
51
5.1 09.a) aj +02 +a3 =12l
ala2a, = 28 I b) al +a3 +a5 = 01
G2G<ja6 = 192 J
5.110*.a) b) al+a2+a3=~ 1 3 3 3 99r
G1 +a2 +a3 =-1 8 )
5.111. * Tri broja su uzastopni clanovi aritmetickog niza. Njihov zbir je 2, a
zbir njihovih kvadrataje ~. Naci te brojeve. 9
5.112. * Zbif tri uzastopna Clana nekog rastuceg aritmetickog nizaje 3, a zbir njihovih kubovaje 4. O~rediti te clanove.
5.113. * Odrediti cetiri uzastopna neflarna broja ako je poznato da je zbir njihovih kvadrata za 48 veti ad zbira kvadrata parnih brojeva koji se nalaze izrnedu njih.
5.114. * Odnos Sllma prvih 13 i posljednjih 13 clanova aritrnetickog nizaje
! , a odnos suma svih clanova osim prva tri i svih osim posljednja 2
if! je ~ . Odrediti braj clanova niza. 3
5.115. Odrediti sumu svih parnih dvocifrenih brojeva. 5.116. Odrediti sumu svih neparnih dvocifrenih brojeva. 5.117. U aritmetickim nizovima 17,21,25,29, ... i 16,21,26,31, ... ima
jednakih clanova. Naci zbir prvih J 00 takvih clanova. 5.118. Peti clan aritmetickog nizaje 18, a suma n clanovajednakajc
cetvrtini sume od 2n clanova. Odrediti niz. 5.119" Odrediti prirodan braj n kojijejednak sumi svih prirodnih brajeva
koji su od njega manji. 5.120. Datje niz: 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4, ..... Odrediti opei clan niza. 5.121.* Odrediti SUffiU 1- 2 + 3 - 4 + ... + (-It·ln. 5. J 22. * Odrediti sumu 1": 22 + 32
_ 42 + <>. + (.,.l)"-lnl .
5.123. * Dokazati:Ako .Ie u aritmetickom nizu suma prvih n cianovajednaka n2p, suma prvih k clanova k2p, tadaje suma prvih p Clanovajednaka p3.
5.124. lzmeau brojeva 2 i 20 umetnuti osarn brajeva tako da oni s datim brojevima obrazuju aritmeticki niz.
5.125. Izmeau brojeva 3 i 17 umetnuti sest brojeva tako da oni s datim brojevirna obrazuju aritmeticki niz.
5.126. Izmedu brojeva 11 i 22 umetnuti 10 brojeva tako da oni s datim brojevima obrazuju aritmetic.ki niz.
5.127. Izmcau brojeva 4 i 22 umetnuti 5 brojeva tako da oni s datim brojevima obrazuju aritmeticki niz.
5.128. lzmedu brojeva -3 i 31 umetnuti aritmeticki niz Ciji je prvi clan -3, a posljednji 31, tako daje suma svih clanova niza 252.
52
5.129. Stranice pravouglog trougla su clanovi aritmetickog niza cUa je razlika d=3. Odrediti obim i povrliinu trougla.
5.130. Odrediti vrijednost od <p taka daje niz i+x + 21-
x, <p , 2x + 2-x
bude aritmeticki. 5.13 L Ako je niz a, b, c aritmeticki, dokazati da kvadratna jednacina
ax2+ 2bx+c;"O ima jedno rjesenje x = -1. 5.l32.* Neka su ~ b i c pozitivni brojevi i l, b2
, c2 chmovi aritmetickog
. D k . d . b . . 1 J 1"1 . mza. 0 -azatt a su I roJevl -~, --, -- c anOVl b+c a+c a+b
aritmetickog niza. 5.133.* Aka su pozitivni brojevi a, b i c clanovi aritmetickog niza, dokazati
da su i brojevi Jb I Fc ' Fc J Fa ' Fa 1 Jb clanovi aritmetickog b+ c c+ a a+ b
niz..a. 5.134. Ako je a!, a2) 33. "', all , aritmeticki niz, dokazati da vrijedi
jednakost: 1 ) 1 1 n-[ ---+-~+---+ ... +---=--. ala] ala} a}a4 an_Ian ala'l
5,135.* Neka su a l .G2 ' ...• a n uzastopni clanovi aritmetickog niza. s
pozitivnirn 6lanovirna i razlikom d. Dokazati da vdied! :
1 '1 I ,Ja"~1 -/~~ -~--~ + + + --~-~-. = -_._--~ + /;;; ,fa; + ra; ... Ira: + r.;::;. d
5.136.* Neka su ap a2 , ••• ,a" uzastopni clanovi aritmetickog niza s
pozitivnim clanovima. Dokazati daje za sve n;:: 2 : 1 [ J n-J
fa': +,fa; + ,fa; +,Ja; L + J G,,_I + ra: ,J a l + ra: 5.137. Dokazati, aim za aritmeticki niz vrijedi Sm = Su, tadaje 8m+n = o. 5.138. Za aritmeticki niz poznato je a"'+11 = x i G",_n:;O; Y . Odrediti Om i 0,,"
5.139.* Nekaje (all) aritmetiCki niz i Sk zbir knjegovih Clanova. Ako za
k . ( )". S m' d k . d . am 2m-l ne 0 m ! n In if n vaZl -1!!.. = -?' 0 azatl a Ie ~.~ ~ -- . SrI n~ ~ all 2n ~ 1
5.140.* Neka su Sib S2n i S31b redom, sume prvih n, 2n i 3n clanova aritmetickog niz,;'l. Dokazati da vrijedi jednakost: S3n = 3(S2n-Sn)'
5.141. Proizvod prvog i treceg ciana aritrnetickog nizaje sinLa., a njihov
kolicnikje tg 2 ~. Odrediti niz. . 2
5 142. Za koju vrijednost varijable x su brojevi log2, log(2' -I), log(2'+ 3) clanovi aritmetickog niza?
5.143. Duzine stranica jednog cetverougla su clanovi aritmetickog niza. Ispitati da Ii se u taj cetverougao moze upisati kruznica.
53
5.3. Geometrijski niz (geometrijska progresija)
I Deftnicija: -Niz u'koihe je prvi clan tlj-:it:O i kod kogaje kolicriik svakog c1a11a, pocev od drogog, -j prethodnog sta]an broj {q),naziva se geometrijski niz (geometrijska progr~ija).
I
Opci chm geometrijskog niza:
SUIDa n cHmova geomettijskog niza:
SvojstV() cJanova geometrijskog niza: a/ = an_k'an+k, k < n.
Datje pry! clan i kolicnik gcometrijskog niza. Napisati prvih nekoliko clano\'<l tog niza, ako .Ie:
5.1 44,a) a, =6, q e 2 b) G, =-2, q ~i 0) a, ~ 1 :::; (), q = _.- ._.-2
\\ 1 5):(5.'1) = 4. q'O -1 b) =16, c" a, q=- , a, - q='--
4 4 " Data su prva dva cIana geornetrijske progrcslje. Odredi prva cetiri njena clana: 5.146.0) 3, 6 b) 4.12 c) 10,100 5.147.a) 1,-4 b) 5,-10 c) -2,8,
I ! 2 2 1 5.148.a) 1':3 b) 2' 3 c) 5' 5
Data su dva susjedna {lana geometrUske progresije, Odredi kolicnik progresijc:
5.149.3) a6= 32, a7= 64 bLa6~ 64, a7= 128 c) as=80, a.:;= 160 '6,; 4 ] til) I 2
5),",,~.a) 0 11 ="5,0)2=5 L/ oR='3' Gq =15
Data su dva susjedna clana geometrijskc progresije. Odredi prvi Clan a ako jc:
5.15La} a4=16,aj=64 b) G]=8,a'1=32 c) llj= 7, U(j= 21 5.152. Dat je opsti clan geometrijskog niza. Odrediti pry! clan i kolicnik
ovog niza, ako je:
5 11, =(~lt·3 a) al1=~; b)al1 =(--I); c) ai1~
7" 2"
-,
5.153. Dokazati daje broj -128 jedan od clanova geomctrijskog niza oiji je prvi clan a
l = ~ I, a koHcnik q=2, Odrediti indeks tog ciana?
5.154. Nacl pet! i osmi clan geometrijskog niza, ako muje drugj clanjednak
5 ' f 5 ,aseS'l06 =\6'
54
~aCi kolicnik geornetrijskog niza, ako rnu 5e drugi clan jednak 6, 3
osrni 384.
5.156. PosIJ'ednJ'i clan uiza 4 2 1 I . 1 Od d't'l . ~5'5'-5'10)'" JC a" =2560' re 11 )raJ
clanova niza.
5.157. Posl]' eduJ'i clim niza -3, -I, _.I. .... J' e __ 1_. Odrediti broi clanoy. niza. 3' 6561 .'
Odrediti naznaceni clan geometrijskog niza ako je data: 5.158.a) a,=3,q=2,a,=? b) a,=10,q=-3,a6~?
5.1$~=I,q=Jc,a,o=? b) a,=-5,q=-.I.,&;=? / ~c..... 2 3
,s[~jijla9~131(]72,q~4,a,~? b) a5=-I,a12=I, q=?
lTrtnTreci clan geometrijskog nizajeJi, a sestijeJ54. Odrediti cetvrd ~/ clan niza.
5.162. Odrediti broj 61anova n geometrijskog niza, ako je al=162 ,a,,=32.) Sn=422.
5.163. Dokazatl da je u geometrijskom nizu proizvod clanova jednako udaljenih od kr~ieva nizajednak proizvodu krajnjih clanova niza.
S .164. Dokazati d~ je prolzvod n 6lanova geometrijskog niza a, aq, aq2, ... ,. , nVI-l)
aqn jednak 0'1. q 2 .
5.] 65 < Tzmeoll brojeva 1 i 64 umetnuti 5 brojeva tako da sa datim cine jedan geometrijski niz.
5.166.lzmedu brajcva 3 i 243 umetnuti 3 braja tako da sa datim cinejedau geometrijski niz.
5.167. Ako je aj, a2, a:" ... , an geometrUski niz, dokazati da vrijedi: (14 + a, + 00)2 ~ (a,+a,+a')('7+a8+a9)'
5.168. Kakva veza izmedu pozitivnih brojeva a, b i c postoji, ako su to, redom, k-ti, n-ti i p-ti clan istog gcometrijskog niza ?
5.169. Ako su x, y i z) redom, n-ti) p-ti i k-ti clan istc geometrtjske pragresije, dokazati da vrijedi jednakost: xp
-k ·l-n ozll-r = 1 .
5.170. Ako su am, alJj 3k, as clanov! iste geometrijskc progresije i ako jc
m+n=k+s , dokazati da vrijedi : tllll·an= 3k'3s .
5.171. Izracunati zbir prvih 15 clanova datog niza: a) 1,2,4,8,16,... bJ 1,-2,4,-8,16, ...
5.172. lzracunati zbir prvih 20 clanova datog niza: 1 I 1
a) ~'-2 '3'''' 222
0) I
-]00,10, I, 10
!zracllnati zbir prvih sest clanova datog niza: 239 41025 5' 10' 40'''' b) 7' 7' 7''''
55
/63 5.174.a) 1, 2' 2'''' b) 1, j{, ~'''' 5.175. Kolicnik geometrijskog nizaje q~2 i S7~635. Odrediti prvi clan niza. 5.176. Odrediti prvi clan at geometrijskog niza ako je dato:
I 1023 aJ q~3, 88 =6560 b) Q=2'S,,='64
5.177. Kolicnik geometrijskog nizaje q=2 i Sto~3069. Odrediti deseti Clan niza.
5.178. Suma drugog i cetvrtog ciana geometrijskog nizaje 30, a proizvod ovih clanovaje 144. Odrediti surnu prvih deset clanova ovog niza.
Kod geometrijske progrcsije je poznato q, al i Sn. Odrediti n ako je:
<ii:;-;\) al = 1, q=3, S"=3280 b' a ~ 1 q=.I:. S _.1023 (~.~~_} } 1 , 2'" /I - 512
=.1:. 0_341
5.180.a) al = 8, q 4' "" - 32 b) al=.24,Q=-±, S"
Kod geometrijskog niza odrediti a] in, ako je data:
129
8
5.18!.a) q=4,a,,~4096,S,,~5461 b) q=-5,a,,~78125.S"~65I04 1 1 2047 . 1 3 J023
5.182.a) q = 2" a,~ ~ 1024' S" ~ 1'024 0) q ~ -2" a" = -128' s" ~ 128
Odrediti n i Sn geometrijskog niza aka je datu: 5.183.a) a=1,q~3.a,,=81 b) a=3,q=2,a,,=384
1 3 5.184.a) a~4,q~2',a,,~4 b) a~ 16,q=-2.a,,~-96
Odrediti q i Sn geometrijskog niza aka je date: 5.185.a) a~1,0~lO,a"=512 b) a~-3.n~6.a,,~·729
1 5.186.a) a e, 32 ,n ~ 8, a" = 4
I b) a=-81,n=6,u,,=--;:;
"
Odrediti q i n geometrijskog niza aka je dato: 5.187.a) a~2, .,,=32,S,,=62 b) a~3,a"~81.S"=120
5.188.a) F.I.. a ~-,!- S =,.J.2.l.. b) a~32 a~~ S~341 8]' n 6561' n 6561 ' 11 8' n 8
Odrediti an i Sn geometrijskog niza aka je dato:
5.189.a) 1 I
a~2,n~8,q=2' b) a= 1000.n=6,q~IO
56
Odrediti a,. i n geometrljskog niza ako je dato: 5.191.a) a~8,q~-1 ,S,,~8 b) a~5,q~-2,S"~215
1 75 5.192.a) a~3,q=-2,S,,=-63 b) a~ 10 q~- S"~-, 2' 2
Odrediti a' i Sn geometrijskog niza aka je dato:
5.193.a) q=2,n~5,a"~16 1 5
b) q~2 .n~6,a"~8
1 1 b) q~-- n~8 a"~--2 ' , 8
1 1 5.194.a) q~5 ,n~6,a"~ 625
5.195.a)
5.196.a)
5.197.3)
5.198.a)
5.199.a)
Odrediti geometrijske nizove za koje vrijedi:
a1 +a2 =6i Q2- a!=sl a +a=30 1 b) a,-a,=30J
2 3 ) -' "
b)
b)
b)
b)
a 2 +a.3 = 101 Ql"a4 ::::9J
a 1 +a2 =18l a4 -a3 =300J
7' a1 +aZ +a3 =-l
2, a,'a3 ~1 J
., 11 a) +a2 +a3 =J t
al~·a1=24r
391 al+a2+a3=131 ~+~+~= L L 5.200.a) a
I2 +a,'=90J b) G,2+ a/=lOJ
5.201. Nekaje Spar suma parnih cianova, a Snep suma neparnih clanova geometrijskog niza. Dokazati da vrijedi: Spar = q,Snep"
5.202. Zbir prvih pet clanova geometrijskog niza je 1820, a kolicnikje q~3. Odrediti prvih 5 clanova niza.
5.20}, Dokazati daje svaki clan geometrijske progresije, pacey od drugog, geometrijska sredina svojih susjednih clanova.
5.204. Dokazati daje svaki clan geometrijske progresije geometrijska sredina c.lanova te progresije koji su od njegajednako udaljeni.
5.205. Cetiri broja su clanovi geometrijskog niza. Suma krajnjih clanova jednakaje ---49, a surna srednjihje 14. Odrediti niz.
5.206. Cetiri broja a, b, c i d Sil susjedni clanovi geometrijskog niza. Dokazati da vrijedijednakost:
(a'+b'+c') (b2+c2+d2) ~ (ab+bc+cd)2 .
57
5.207. Cetiri broja a, b, c i d su susjedni Clanovi geometrijskog niza. Dokazati da vdjed; jednakost:
(a_c)2 + (b-cJ' + (b_d)2= (a-d)'. 5.208. Tri broja a, b i c su susjedni clanovi geometrijskog niza. Dokazati da
vdjedi jednakost: (a+b+c) (a-b+c)= a2+b'+c2 •
5.209. Prvi cian geometrijskog nizaje a, a posljednji (n-ti)je b. Odrcditi surnu n prvih clanova.
5.210. U geometrijskom nizu dato je am+n= x j a.n-tJ= y. Odrediti am 1 an.
5.211. Kod geometrijskog niza s pozitivnim clanovima vrijedi: S2=4, S,=13. Odrediti Ss.
5.21 L Suma prva tri ciana geometrijskog nizaje 13, a njihov proizvodje 27. Odrediti niz.
5.213. Tri brqja fonniraju geometrijski niz. Zbir ovih brojevajc 21, a zbir
njihovih reciprocnih vrijcdnosti jc 2. Odreditj Dve brojcvc. 12
5.2 i 4. Ako je x+2, 3·"x, 7+x geometrijski niz, odreditl x i naplsati ovaj ni2:. 5.215. Aka je 3-2x, 2x+3, 3+x gcometrijski niz, odrediti x i napisati ovaj
niz. 5.216. Proizvod tri prva clana geomctrijskog nizajednakje 64, a zbir
kubova ovih clanova je 584. Odrediti ove clanovc. 5.217. Zbir trl prva clana geometrijskog nizajednak je 31, a zbir prvog 1
trecegje 26. Odrcditi ove cianove. 5.218. Odrediti geometrUski niz ako je poznato:
O2 +0(,,,,,341
a) 0:,+07 ""68~, H""?
S" = 63 J b)
5.2 I 9, Odreditl sumu kvadrata geometrijskog niza ciji je prvi clan a 1 kolicnik q*l.
5.22(L Odrediti sumu kubova geometrijskog niza ciji je pry! clan a i kO!lcnik q*1.
5.221. Zbir prva cetiri claIla geometrUskog niza je 30, a zbir njihovih kvadrataje 340. Odrediti n!z.
5.222. Zhif prva tfi clana gcometrijskog nizaje 62, a zbir njihovih logaritamaje 3< Odrediti niz,
5.223. Raze cetiri logaritma istog broja su uzastopni clanovi geometrijskog niza tiji .Ie koHcnikjednak tom broju. Odrediti ove logaritrne ako je suma prva dvajednaka sumi preostala dva iogaritma.
5.224. ledna vrsta bakterija se razmnoZava diobom na dva dijela. Svakih poJa sata se vrsi dioba bakterije. Koliko bakterija nastane od jedne za 5 sati nesmetanog razmnozavanja? Koliko bakterija se razvije od jedne zajedan dan?
58
5.225. Ako su 81), S2n i 83n, redom, sume n, 2n j 3n pnrih clanova geometrijskog niza. Dokazati da vrijedi:
Sn(S3n- S2n) = (8211 - s1li.
5.226* Nekaje S" zbir prvih n clanova geometrijskog niza. Dokazati da je
izraz S,,~, -'8" ftmkcija od kolicnika q posmatranog geometrijskog niza. SIl-8,,_2
Izracunati zbirove u funkciji od prirodnog broja n:
5.227*a) Sn~1+3q+5q'+ ... +(211+1)q" b) S,,~J+2x+3x2+ ... +(I1+I)x"
'] 4 n + 1 b) S ~1+~+--'-+ +--" 21 2J •.• 2" 5.228. *a)
5.229.*a) 2 + 5 +1! + ... +(3 2"-] -1) 5 19 ''',+2 11+1
b) '-+5+-+18+ .. +---. 2 2 2
5.230. Izmedu brojcva 2 i 4096 intcrpolirati (umctnuti) deset brojcva taka da oni sa datim cine gcometrijsku progresiju.
5.231. Izmedu brojeva] i 27 interpolirati 2 broja tako da oni s datim (,ine geometrijsku progresiju.
5.232. Izmedu broj'eva 64 i ~~ intcrpoiirati cetiri braja tako da oni s clatlrn 16 "
Cine geometrijsku progresiju. 5.233. Izmedu 3 i 96 interpolirati geometrijski niz tako cia zbir cjelokupnog
niza (zajedno sa 3 i 96) bude 189. 5.234. Tzmcdu svaka ova clan a gcometrijske progresije 1,2,4, 8, 16
interpoliraj dva nova ciana tako da cijela progresija bude geometrijska. NapiSi dobivenu progrcsiju.
50235. Tzmcdu svaka dva clana geometrijske progresije 1,5,25,125 interpoliraj tri nova clana tako da cijela progresUa bude geometrijska, NapiSi dobivenu progresiju.
5.236.*
5.237.*
5.238*
5.239.*
Odreditl sumu datog izraza:
(X + ~.12 + ( Xl +- _~2 \,1
2 + ( x,3 + ~ \)2 -+, .-+(XII + + y, x 'f::. ±l, DEN.
x) " Ji. / \. X Xl)
S ( I , 2 h" 2) (fi n-1b "-'b 7 • II' n =. a+ ))+(a +a -+D + ... + a +a +a - - +,,.+b ).
I 2 3 4 n S =-+-+-+-+ ... +--- nEN.
11 20 i 22 23 2"--1 '
1 + 11 + III + JJ11 + 11111 + ... + 111 ... 1 ~ nj<Jd;n;cG
59
5.4. Aritmeticki i geometrijski niz-kombinovani zadaci
5.240. Tri pozitivna broja su clanovi geometrijskog niza. Ako drugom broju dodamo 8, dobiju se tri clana aritmetickog niza. Aka sada trecem clanu aritmetickog niza dodamo 64, dobiju se tri clana geometrijskog niza. Odrediti ave brojeve.
5,24L Zbir tri broja, koji su uzastopni clanovi geomelrijskog niza,je 21, Aka treci broj umanjimo za 3, dobiju se tri uzastopna ciana aritmetickog niza, Odrediti ove brojeve.
5.242, Zbir tri broja, koji su uzaslopni clanovi arilmeticog niza,je 18, Aka prvi broj povecamo za 1, a treci za 2 , dobiju se tri uzastopna Clana geomctrijskog niza. Odrediti ave brojcve.
5.243. Dokazati: aka ab, b2 i c2 formiraju aritmeticki niz, tada b, c i 2b-a rOfmiraju geometrijski niz.
5.244. Od cetiri broja, prva tri su Cianovi geometrijskog, a posljednja tri aritmetickog niza. Suma krajujih brojevaje 21, a sum a srednjihje 18. Odrediti Dve brojeve.
5.245. Od cetid broja, prva tri su clanovi geometrijskog, a posljednja trl aritmetickog niza. Suma krajnjih brojevaje 32, a suma srednjihje 24. Odrediti ave brojeve.
5246, Trj pozitivna broja "iji je zbir 300, clanovi su aritmetickog niza, Ako najveci broj povecamo za 310, a najmanji za 10, dobiju se tfi clana geometrijskog niza. Odrediti Dve brojeve.
5247, Tri broja cijije zbir 21, clanovi su aritmetickog niza, Aka tim brojevima, redom, dadamo brojeve 1, !, 19, dobiju se Iri clana geometrijskog niza. Odrediti ove brojeve.
5.248. Tri broja cijije zbir 26, clanovi su geometrijskog niza. Ako tim brojevima, redom) dodamo brojevc 1,6,3, dobiju se tri clana aritmet.ickog niza. Odrediti ove brojevc.
5.249. Tri broja su clanovi geometrijskog niza. Ako tfeci broj umanjimo za 4, dobiju se tri 6lana aritmetickog niza. Ako sada drugi i tfeci clan dobivenog aritmetickog niza umanjimo za 1, dobije se novi geometrijski niz. Odrediti ove brojevc.
5.250. Tri broja cijije zbir 114 su clanovi gcometrijskog niza, odnosno, to su prvi, cetvrti i dvadcsel peti clan aritmetickog niza. Odrediti ove brojeve.
5.251. Tri broja su Clanovi geometrijskog niza. Aka drugi braj uvecamo za 2, dobiju se tri clana aritmetickog niza. Ako sada treei clan dobivcnog aritmetickog niza uve6amo za 9, dobije se novi geometrijski niz. Odrediti ove brojeve.
5.252. Tri broja su clanovi geomctrijskog niza. Treci od njihjednakje 12.
60
Ako umjesto broja 12 uzmemo 9) dobiju se tri clana aritmetickog niza. Odrediti ove brojeve.
5.253, Prvi clan arilmelickog niza jednak je I, a suma devel prvih clanova je 369, prvi i deveti clan geometrijskog jednaki su prvom j devetom clanu aritmetickog niza. Odrediti sedmi clan geometrijskog ni7.a.
5.2540 Doka7.ati, aka su a, b i c u isto vrijeme peti, sedamnaesti i tridesetsedmi clan aritmetickog i geometrijskog niza, tada vrijedi:
b-cb,-a a-b I a c = ,
5255, Ako a, b i c cine aritmeticki, a x, y i z geometrijski niz, dokazati
da vrijedi jednakost: xb-cyc-a zu-b "'" 1 .
5,256, Ako su a, b i c pozilivni brojevi (i razliCili od I) clanovi geometrijskog niza i N ma koji pozitivan broj razli6it od 1, dokazati
1 I 1 '1 " "k ' cia su ----- -- . ... --"""-- c anOVl antmetIc og mza. loga N' 10gb N' log, N
5.5. Granicna vrijednost niza
!
za ~iz au .k~~m~.daje ko~ .. ve.rgent .• n. i da. i~a ~ranicnu v. r.i.J .. 'ecfuOSf 1l,.ikO za svaki poz;itivni broJ E, postoJlpnrodan broJ N(e), takoda Vrljedl:
la,,-·al<£ ,zan>N(E),
Ako je a granicna,vrijednost niza s_opCim clanom atl' tada pisemo:, _ lim an=a .
11-++0:)
Ako je 0 granicna vrijcdnost niza S opCim _clanom all> tada pisemo:
i za niz kazemo da je llul_a-lliz iii beskonacno mala velicina.
lim 0,;-;:;:0 /1-;'+0:)
Ako su niiovi' a!i i, b;l konvergentni i ako je lim an = a, Um lln-=::; b, tada-su 11--++«:) 11-++«>
I konvergentni i nizovi an ± bu, au' bu, an : On, bn '* 0 "i, vrijedi: i lim (aJ1'±b
IJ= lim' an ± lim bn =a±b-,
! 11-++'" Il-++'" n-++'i'?
I
lim (an ·bn)= lim all' lim hI! =a·~ 11-++"" l!-++<C 11-++00
Teorema: Svald_monoton i ograoicen nizje konvergentan.
61
I I
I
5.257. Pocev od kojeg ciana su svi clanovi datag niza manji ad 0.0001:
1 a =1- n+l n+5 a) a""",y;- b)" n+2 c) G,,= n2 +1
1 5.258. Akoje 8=0,1, koliko clanova niza s opeim clanom a = 1-- se " n
nalazi u intervalu (1-8, HE)7
Ako je 8 = 0,01, koliko clanova datog niza sc nalazi U E-okolini datog broja a :
1 b)
( 1)" 5.259.a) a" =2+-, a= 2; a =-- a=O ?
11 n+ 1 • n
5.260.a) n+1 a= 1; b) 3n+l
? a" =--.-~ a,,=--,a=3 n n+5
Aka je c = 0,001, kolika clanava datag niza se nalazi izvan e-okoiine datog broja a:
2 (-1)" 5.261.a) a" =5+·····. a=5; b} all =--,a=O.
11 2n+l 5.262. Za koje vrijednosti prirodnog broja n vrijedi nejednakost:
a) 12n-I_2i<~ b) 12n~I_21<_I_ c) 1211 - 1_ 21<_1_ n I 10 n 100 n 1000
5.263. Dokazati da je niz
vrijednost 4.
4n k . d . .. all = -- onvergentan I alma gramcnu
n+ 1
Koristeci definiciju granicne vrijednosti niza dokazati da vrijedi:
r n+3 b) r 3n--2 3 c) r n2+n 1 " .. ~~~ --;;- "" 1 ,,~~ ~ = "4 'V~~ ---;r =
lim 2n+3 =2; b) lim 3n - 2 :;:::2. c) . 7n-8 7 lllTI--=-
1l~.~<X) n+5 Il--l-ro 2n-l 2 II ....... "" 9n 9
r n+2 0 b) lim 7n 2 +n+44
7 c) r 5n'+2 5
llTI--= , 1m ---=-11 ..... -;·'" n2 +2 " ..... +'" n 1J ... H",· 3n 2 + I 3
KoristeCi definiciju granicne vrijednosti niza odl-editi:
5.267.a) . (-1)" . ( I)' . 1+(-1)" hm -- b) 11m -- c) hm ----Il-t+oo n iI-H''>:' 2 11--1-+'" 17
5.268.a) . Hf b) r 3 c) lim (5+ !Q) hm-- lm--
11-'1-+'" n + T II ..... +«; 1 n·->-+<-' n cos--·
n 2n2-n+15 2 2"
lim b) r n-n c) 5.269.a) lm--- lim--11·7+'" n2 +lSn+l 1>-+K< 5n 2 + 3 "~411+1
62
5.270. Dokazati da su navedeni nizovl nula-nizovi (beskonacno male velicine):
1 b) G,,=-,-o
n b
4n c) a" =~,...::.:.
n- +n+ 1
5.271. Dokazati da Sll navedeni nizovi beskonacno male veliCine: 1 n 2 2
a) ", =-- b) a" = c) a, =-211+3 +2 n+l
5 272 D ka . d" 11+1 .". d d't' I' ' · . 0 zatl a.le n1Z a" ::;: -- monoton I ogramcen lore 1 i 1m Gil . n 11-'1-'"
Odrediti granicne vrijednasti datih nizova:
5.273.a) lim _n_ 11_).<1' 2n+3
b) lim.1.:+:." n-''''·l-n
~'2'~7'~)' I' 2n+5 · a j 1m --,-~~~--VJ tI-H". 3n·' - 2n + 7
5 "75 ) I' 511+33 ._ .a lm--x-t<Xl n-ll vv
5.276.a) VJ
2-~ ,
I· 112 (3 I) OciCLl' lrn-- --. I1-'1-ClJ
4 1 11 ( +-.
n' n3 + n
5.277.a) lim 4 ' W 11-'1-"'11 +n·'-7
~ .. ~~'. "" (n~l~ 1)2
/5.278Ia" lim-------11-'><£ 3n 2 + 2n + 1
2"+2 +5"+2 5.279.a) lim ----::--
\) . ./ ,,-Hoc 2" +5"
5.280.a) lim 5n - 3-Jn + [;i-~ .J.) II-~·"'" + 5n + 1
('i~/.28]a)\ lim ,r;;;--;s;, 11>-->+<>. n
;-0---
C528~~0 lim if /1' + 5n -I ~'H_ n+1
5 283 ) I· 2114 +3n' _2112 +11+1
· .a lID 2] 4 .JJ " ..... +'" 12-3n+n· +n· +n
5.284.a) lim ~(n + I)' - (n -I): V./H~ (n + 2)2 + (n-I)
c) r 3n+2 lrn--1J ..... "" 2n+3
@\ · 3-2n-4n 2
OJ lIm ----.---IHN· 5-2n+3n 1
b) lim 4n 2 -16n+20 J!.;
x-too 2n2 + 511 -70
b) lim 5n 2 +3n+l ~5
n-'l-<lJ3n 2 +211--4 5
b) r 5n'-1 Ill-,-n~f;Cn-+9
_ 0 3 02') lim o-n / Hm(n+I)'
3,,·;-1 +4"+1 b) lim ---~-.
" ..... -+<>0 3" +4"
I. n +2.,[,; +4
b) ,,'~ 3 _ 2.,[,;
· .}n' .. 10 b) hm~--
ll-)H,"-" 2n + 3
· '
· (n+I)' -(n-I)' lim 4 4
n-H-oc'(n+l) +(n-l) 5.285.a)
vJ · nl 5.286.a) hm ---
n---7d:} (n + l)!-n! I. 3n+(n-l)!
b) 1m n--7<>:J (n -l)!+ n!
5.287.a)
5.288.a)
5.289.a)
5.290. *a)
5.29L*a)
5.292.a)
5.293.a)
5.294.a)
I. 2"-1 Im-
fI-'W) 211 + 1
nm(.Jn' +3n -n) " . ...,.-w,
lim (.In' -2n+3 -n) 11-7+'"
iim(n+!'h -n') JI--->+'"
. VI+n-\/J-n }._I~, if;;
· 1+2+22 + ... +2" Inn n·">w 1+5+52 + ... +5"
. 211+1 + 3JJ+1 b) hm-"-~~
n---+OO 211 +3!1
b) lim (.In+3 -,In) "~-
b) ,!!;;;, n( N-:;:J - n) b) lim(Vl+n' -n)
"-He<:,,
b) lim (VI+n +\/1-n) Jl-~+a)
bJ li01(-I-+ 11--}CQ n2 +1
2 + ... + ~=!.J' + 2 n- + I
. 2n2 +n~l b) !1m
/j-»C<J (n+ 1) + (n + 2) + ... + 2n
(r:: 1 I .J3) b) lim ,3 + r:: +--,=+ ... +--;;::,
1(0'" ,,3 3;/3 3
~a\' lim ( 1+5+9+ ... +(4n-3) -n I bl uJ ~+_l_+.J_+ ... +_l_i ,~~v ",'"\ 2(n+l) )' "~1.2 2·3 3·4 n·(n+l»)
<' A, . (1+3+5+...+(2n+l) 2n-l i b) l' _+_+ +-'2.-__ +_ />, . ~l' 2' 32 (1)2 I) ).29~} hmj .. --) 1m ,+ 3 3'" 3
'-......._~..... JI-+w~ n+l 2 n n n n n n
f 7 29 133 5"+2") . (4 10 1+3"J 5.297.a) jiml--+-+-+'''+---j b) lim ~+-" + ... + ..... _,-,,_~w 10 !O2 103 10" ,,-,,-~, 10 1O~ 10'
II! 5.298. Odrediti zbir: ---+--+ ... + ,I1EN.
1·2·3 2·3·4 n(n+l)(n+2)
Odreditl granicne vrijednosti:
5.299.a) !i;:H:;:-H b) !,i~(~7~~~~: :~J c)
'0 • (3n2
-5n+11)' ( 2n3+lln-9 )' o.oOO.a) hml
, b) lim 11--""',\ 2n +7n-5 IHOO n3 _5n 2 +6n-4
1. n-I ( )' 1m -
n"""'" n+5
( n \" (2n+l)n. (5n-4)" 5.301*a) lim --j b) lim -- 0) hm ---
n-H«J 3n+1 n-'>+-<:<J 3n+4 n-4+"" 7n+lO
64
11+3
5.302.a) lim 2 !I-I J1~CO
5.303.a) lim 2 n2
_11+5
5.304.a)
5.305.a)
I1~OO
lim 2 Mi-n
I. ~4n+ 7 1m .... _-n ...... ro n-2
2n+l
b) lim 25 11+44
2n3 -311+4
b) lim 3 n3+2n+1 H~
b) lim' 27n+11 II-W: 8n +50
n2+31l~
C) lim 100 ;;2:511+55
c) lim44n2-2~:;:;
9,,2_7,,+6
c) lim 3 -::1'~s-
. 64-Jn + 1 c) hm' I "--.,;;-
II--'PL- fn-3
5.306.a) lim 18n 2 +n+36
2n2 -5n+25 r J 54n
3 +lOn+8
b) "~V2n3-3n2+n+125
5.307.a) . l'l n+8) lIm og-~ /1"-*'" n-3
I· I IOn+5 5.308.a) 1m og---iJ-W' n+lOO
b) r (I 16n+3) JI~ ogz n+55
cJ lim(IOg, 50~' +n) ,,--->~ 2n -66
Jn 2 +3 c) limln---
Il-t"" 3n b) Hmln 26n-55
rHoc 13n + 11
, . ( 1)" d d" Koristeci granicnu vrijednost hm 1 + - :::: e ,ore ttl: n...-+ctJ n
(,'" ( 1)5" 1~~~ll+~J @ t~~ 1+;
lim(I+~)" @ lim(l+~)" n"'-+«J n n...."C<J n
lim (1- .!.)" /I....,,'" n
b) lim(I-~)" n...."", n
(5.312)a) lim 1+-~". (10)2"+1
~ n--","" n @' ( 7),n .. 4
lim 1+-n...."",,\ n
I. (n+2)" 5.313.a) lin ---!1...-+w\n-l
b) lim(_n )n" 11_,00 n + I
r I)" 0) limll+-II .... ,,"' 4n
(--;;;') lim 1- .. -(
I )M' ~ "--¥YO 3n
) . 1 12 ( )'''''' C 1m +--@.">oo n+2
(2n-I""
0) lim--11->«> 2n+l)
65
5.6. Beskonacni geometrijski red
[ .. ' ............ _:,,:- .>-. _,,:_.:, Za beskona.cni geometrijs. ki',recl VTiJ.>edi.: . '. a + aq + aq'+ aq3+ ... ~ -.-!'-, Iql <l. ." . l-q
5.314. Napisite beskonacne redove koji pripadaju beskonacnim nizovima: 1 1 1
a) 1,2,4,8,16, ... ,2",2"+1,... b) 1, 3' 9' 27"""
Napisati niz parcijalnih suma datog reda: 1 J 1 i J
5.315.a) 1+2+3+4+5+... b) 1+-+-+-+-+-+ .... 2 3 4 5 6
5.316.a) l+~+Lt!+.~+.L+.... bJ ~+.:1+.'l+.4:+2+ .... 2 4 8 16 32 2 3 4 5 6
5.317. Kada kazemo da je red konvergentan? Sta je suma konvergentnog reda?
5.318. Koji red se naziva geometrijski red? 5.319. Ispitaj konvergenciju geometrijskog reda:
2 " 4 a+aq+aq +aq'+aq + ....
5.320.a) 5.321.a)
5)2:1.a)
5.326.3)
532 '7 \ o._a+aJi+a+ .. . .a, '
/'1:2+1 1 I 5.32Ka) --+~~+ .. +. /' 1:2 .. 1 2-.fi 2
. " 02 2.fi 5.329.a) ,j" .. r::-' -~-e+
v2~ I 3+2v2
66
n r/ n b) -+-+--+ ..
J 8 64
b) 3a+a1:2 +%a+ ....
b) 1:2.:'J._ i +1:2-J+ 1:2-1 1:2+1 .
b) (15 -2) ··(7 -415) +(1715 -Z2)- ...
5.330.a) ~ - H + J~: + .. .. 13+1 13-1 313-5
b) Ji-I+ 13+1+313+5+····
5.331.a) 1 + x + x2 + x3 + ... ; Ixl < 1 b) a + a3 + a' + a7 + ... ; lal < 1
5.332.a) 1 +sinx+sin'x+sin3x+ ... ; Ixl*(Zk+l):".,kEZ. 2
b) 1 - CQSX + cos2x - cos3x + cos4x - ... ; jxl* kn,k E Z.
5.333.a) 1 + t!lX + tg2x+ tg3x + '1 i n b •.• , xl<4'
b)
5.334.
1 ~ tgx + tg2x - tg3x + ... ; Ixl <~.
a+b (a2_b2)+(a+b)+~_+ ... , a-b>1
a-b
Odrediti beskonacne zbirove:
5.335.a) 21 (2)' (I)' 3+5''3+ 3'4+ 5 'l'3 +3'l4 +..
2 4 I 8 1 16 1 b) -+I+---+--"+·-~I·~~·-+ ...
5 25 2 125 4 625 8 1 2 1 2 I 2 3+3"2+33'+37+35 +]6+'" 5.336.a)
5.337.a) 1 1 3 4 9 16 -+-+~+-+ .... +~+... b) 6 9 24 45 96 225
I I 1 1 1 1 2+---+-+-+---+ ..
3 2 9 4 27 8
5.338. 52525
18+10+6 +5 +2+-+-+-+-+-·L. 2 3 498
5.339. Za koje vrijednosti varijable xje izraz
a +x + a--x +(~)3 +(~)S + .. ; a>O. Q-X a+x la+x a+x
beskonacni opadaju6i geometrijski red. Odrediti sumu ovog reda. 5.340. Odrediti zbir beskonacnog geometrijskog redaje S aka je prvi clan
a= 10. a kolicnik q=.I. 2
~ Zbir beskonacnog geometrijskog redaje S =-~, a prvi clan a~· I. Odrediti kolicnik q ovog reda.
5.342. Suma beskonacnog opadajuceg geometrijskog redaje 2], a prvi clan .je a=35. Odrediti kolicnik reda.
5.343. Zbir beskonacnog geometrijskog redaje S =4, a kolicnikjc ~. 2
Odrediti P!"i clan a reda .
67
Napisati beskonacni geometrijski red cijaje suma S:
5.344.a) S=_5_ b) S=_8_ 2-x 4+x
5.345.a) S=_I- b) S=_6_ l+x 3-2x
5.346.a) S= x+1 b) S= 4x+2 • x - 2 3x-1 o Suma beskonacnog opadajueeg geometrijskog reda je 243. a kolicnik
je q =.!.. Odrediti peti clan reda. 3
5.348. Suma beskonacnog geometrijskog redaje 9, a suma kvadrata ovog
reda je ll.!.. Odrediti ovaj red. 2
5.349. Suma beskonacnog opadajuceg geometrijskog redaje 3, a suma
kubova svih clanova ovog redaje 108 < Odrediti ovaj red. 13
5350. Suma prvog i tre6eg cIana geometrijskog redaje 20, a smna drugog i pelog clana je 9. Odrediti sumu reda.
5.35 L Suma prvih pet clanova beskonacnog opadajuceg geometrijskog reda
. 1023 d . '2 ad d·· d . '1 d Je --,asumare aje.). re It I ruglcanre a. 32
5.352. Suma beskonacnog opadajuceg geometrijskog reduje 96, a razlika prvog i drugog olanaje 24. Odrediti red.
5353. Suma prva cetiri clana beskonacnog opadajuceg geometrijskog reda
je IS, a suma prvog i cetvrtog clanaje 2. puta veca od sume drugog i . 2
treeeg. Odrediti sumo reda.
5.354. Suma prvih 6 clanova beskonacnog geometrijskog redajednakaje 7... 8
od sume cijelog recla. Odrediti kolicnik ovog reda. 5.355. Prv! clan beskonacnog opadajuceg geometrijskog redaje a=l, a svaki
clan je 3 puta veti od sume svih slijedecih clanova. Odrediti red. 5.356. Odrediti kolicnik beskonacnog opadaju6eg geometrijskog reda kod
koga je svaki clan 4 puta veci ad sume svih slijedecih clanova. 5.357. Suma S, pet prvih clanova aritmetickog nizajednakaje !jesenju
jednacine 25x-
1 := 5-:-
3 ' a posljednji clan asJcdnakje sumi
bk ' ··k d l124 es onacnog geometrljs og re a -+-+-+~+ ....
2 3 9 27 Odrediti aritmeticki niz.
5.358* Dut AB cijaje duzina 4 em podijeljenaje tackom C na dvajednaka dijela. Duz AC je tackom D podijeljena na jednake dijelova, zatim je duz CD tackorn E podijeljena na dva jednaka dijela i tako dalje. Odrediti rastojanje krajnje diabene tacke od tacke A.
68
5.359. * Vjerovamoea pogadanja cilja jednog strijelca je ~. Ovaj strijelac
gada u cilj dok ga ne pogodi. Nekaje slucajna promjenljiva X braj utrosenih metaka do pogotka cilja. Odrediti :
a) Raspodjelu vjerovamoea promjenljive x. b) Broj prosjecno utrosenih metaka do pogotka cilja.
Odrediti granicnu vrijednost datih izraza:
/ ~a) ~2)2J2~2JL: b) ~3)3J3bh. ... 5.36I.a) ~3f;J3hJ3. .... b) ~2)3J2~3,h ....
5.362.a) ~2)2V2NJ2 ..... b) f~3V3NJ3 ..... 5363. Rijesiti date jednacine:
. ') • 3 . 2 a) 1+log2stnx+log2-smx+log2 smx+"'=3
.23 r;; c) 3HX +x + .. ::::: 3,,3
Primjenom beskonacnog geometrijskog reda slijede6e periodicne decimalne brojeve pretvorite U obicne razlomke:
5.364.a) 0,3 b) 0,51 c) 2,43
5.365.a) 0,25 b) 0,9 e) 0,435
5.366.a) 0,325 b) 0,59 e) 0,41435
5.367.a) 0,15542 b) 0,37261 e) 0,8371
5.368.a) 5,1542 b) 7,3726 e) 14,6472
5.369.a) 3,21635 b) -5,43374 c) 10,26128
Odrediti granicne vrijednosti:
( 1 I (-1)"-'! 5.370 .• ) Iimi 1--+--... +---)
IHOO\ 7 49 7 11-
1
( I I (-I" "-"J b) lim 1--+--... +_·)-.-n-+o:J~ 3 9 31H
5.371.a) lim(I-.!.X1-.!.J rl-...!...) 11-+00 4 9 '\ n2
b) lim(_I_+_I_+ ... +,_._I_) /I-H>' 1·2 2·3 n(n+l)
5.372. Dokazali da vrijede jednakosti: 3 3 3 1 1
~ 3--+---+ .. =1+-+-+ ... 2 4 8 2 4
69
b) 19 1 1 1 I 1 1 ---+---~+ ... = l--+--~+ ... 18 5 25 125 8 64 512
5.374. U kvadrat stranice a upisanje drugi kvadrat (ciji su vrhovi sredista stranica datog kvadrata). U ovaj kvadrat upisanje novi, treci, kvadrat, u njega je takoder upisan kvadrat i tako redom. Odrediti sumu povrsina svih kvadrata.
5.375. U jednakostranicni trougao stranice a=9 ern spajanjem sredista stranica upisanje trougao, u njegaje oa isti nacio upisan trougao i tako dalje do beskonacnosti. Odrediti sumn povrsina svih tronglova.
5.376. Datjejednakostranicni trougao straniee a. Tezisniee ovog trougla odreduju drugi trougao, tezisnice ovog trougla odreduju l10vi trougao i tako dalje do beskonacnostL Odrediti sumu povrsina svih na
opisani nacifl.-nastaIih trouglova. 5.377. Drjagonala kvadrataje d. Stranica a ovog kvadrataje dijagonala
novog kvadratn, njegova stranicaje dijagonaia slijedeceg i tako dalje, do beskonacnostL Odrediti sumu povrsina svih, na opisani nacin, nas1:al1h kvadrata.
5.378. U kvadrat stranice a upisanje krug. U ovaj krug llPisanje novi kvadrat, u njega krug, u krug kvadrat i tako dalje, Odrcditi sumu povrsina svih krugova.
5.379, U jednakostranicni trougao stranice a upisanje krug.1J ovaj krug upisan je jednakostranicni trougao, u njega krug, u krug trougao i tako daije do beskonacnosti. Odrediti sumu povrsina svih krugova,
5.380. U loptn radijus. r upisan.je kocka. U ovu kocknje up!sana lopla. U loptu je upisana nova kocka i tako dalje, do beskonacnostL Odrediti sumu povrsina svih kocki i sumu povrsina svih lopti.
5.3 81, U kocku ivke a upisana je lopta. U ovu loptu je upisana kocka, U kockujc upisana nova lopta i tako daljc, do beskonacnosti. Odrediti Sllmu povrsina svih kocki i SUlllU povrsina svih lopti.
5.382. Dat je beskonacni geometrijski red: ] 1 1 __ +_ -l--___ +
2" + J (2' + 1)2 . (2' + I)' ...
Odrediti x tako da sum. reda bude S ~ 16.
5.383. Datje beskonacni geometrijski red:
logx+log'x+log3 x +log4x+ ... ;XEC~, 10) Odredit! x tako da suma reda bude S = 3.
70
Odrediti SUlTIU S datog beskonacnog reda : <
5.384. S ~ 1 + 2a + 3a'+4a3+ 5a'+ ... + (n+1)a"+ ... , za lal <1
5.385.
5.386.
5.387.
5.388.
5.389.
5.390.
5.391.
5.392.
5.393.
I 2 3 4 n S:::O-+2"+3+4+"'+-;+'"
2 2 2 2 2 1 2 3 4 n
S 0::: 3 +)2+ 33+)4 + ... + y;+ .. , 1 2 3 4 n
s=-+-+-+-+ .. ·+-+··· 5 5' 53 5' 5"
Odrediti granicne vrijednosti:
1+3+3 2 +3 3 + ... +311
lim - 2 3 n n--t<x>]+5+5 +5 + ... +5
lim ( 13 + ~ + Icc + Icc + ... + ~) . H~\ ,,3 3,/3 9,,3 3
. (2+4+6+8+ ... +211 2n+ 1) hm ~-- . 11--''''''\ n + 1 2
.. (1' 22 32 (n - \)2 . 5 'I IIln ---;;'-+~+3+"'+ 3 -r-). 11--t""'lnJ n3 n n n
. (7 29 133 641 5" +2"\ lIm -+~+~" +~+, .. + ). !/_).m 10 102 10"' 104
1]3
( 1 I 1 1 '\
lim ~+--+--+ ... +----I. H~\1·2 2·3 3·4 n'(11+1))
71
6. FUNKCIJA
6.1. Osobine funkcije. Oblast definisanosti (domena). Oblast vrijednosti (kodomena). Ogranicenost. Parnost (neparnost). Periodicnost. Znak i nule fnnkcije. Inverzna funkcija date fUl1kcije
Defini"cije: Aka svakom eJementu skupa A, po nekom pravilu, pridruzimo tacna jedflll eIemenat skupa B, kazerno da imamo funkciju sa skupa A u_skup'B. (ovdje su.A i B _
I podskupovi skupa realnih brojeva R). -'s~up.; z~vemo d~mena (iIi oblast .definisanosti) fu*:c~je._Skup.~vih elemenata ii,B koji su pndruzclll e1ementnna skupa A naZlva se kodomena (Ill skup vruednosti) funkcije. funkcija sc maze zadati analitiCkim izrazcim (fonllulotn), tabelol11 , grat!cki. Ako je f pravilo kojim se elementima iz A pridru.zuju elementi u B, tada se koriste ozmlke f ':_',{t -+ B, pri cerriuje za sva,ko xEA, odgovarajuCI elemenaty =,f(X)EB.
Ogranicenost: Za funkciju -y ;;;; f(x), xEA, kazemo da je ogranicena ako postoji pozitivan
broj M za koji vrijedi If(x)l:5 M za svako xEA,
Parnost Zi:funkciju y:"" [(x), xEA, kai:cmo daje parna, ako vrijedi
I fe-x} = f(x) , za SVakOXEA.
I Za flmkciju y "'" [ex), xEA, kazemo daje n-eparna, .:iko' vrijedi _ .
I. . fe-x) =- f(x) ,za sVako xE.A, ! MOllotonost; Za funkciju y = f(x), xEA, kazemo dajc_Inonotono rastuca,;a~ovrijedi
, Xl < X2 => f(Kj) < f(Xl) ,.--za'xl, XiEA. Za'fimkciju y = [(x), xEA, katemo cia monotono opada, ako vrii.edi.
Xl < X2 _:=> [(x) > f(Xl) , za xl> X2EA.-P~.riodicn9st: ZaJunkciju' y = f(x), XEA, kaicmo daje, periodicna, ako postoji braj p*Q za koji. vrijedi:" .
f(x + p) ~ f(x), za svako xEA. 1_ NajmanJi pozitivan broj P za koji vrijedi prethodnajednakost naziva se osnovni.pcriod i funkCije.
Illverzll. I'uukcija: Ako je f: A --> B bijektivna funkcija, tada postoji [UJlkc'ija
ri: B --> A za kojuvrijedi fC\f(x)) = x, (Vx E A), koju zovemo inverzna funkcija
I funkcije f.
6,1. Kako defillisemo fUllkciju f: A -+ B? 6.2. Kako zadajemo funkciju ? 6.3, Akojef(x)=3x+ll, odrediti: a) f(l)
72
b) frO) c) f(-7)
6.4, Ako je f(x) ~ J4x + 1 , odrediti frO), f(6), f(2), f(lJ),
6.5. Akoje f(x)=5-2Iog(x-I),odrediti f(2), f(lJ), f(20), f(lOI),
6,6, Akojef(x)=x',odrediti f(b)-f(a) ; f(a+h)-f(a-h) , b-a 2h
67 0 . ~ k" f() , I 2-x I ' , .' ata Je .lun CIJa x:::: X - 2 + ---. zracunatI: x 2+x
a) f(2) b) f(-I) e) f(a) d) fCa 2+1)
6.8. Funkcijaflx) zadanaje na slijede61 nacin:
r 2x + 1, aka je x racionalan i Ix! < 1;
J 0 aka je x iracionalan i Ixl < 1;
f(x)=1 2'-I x + J, aka je x racionalan i Ixl;;:: I.;
l - x 2, aka je x iracionalan i !xl:.:::: 1.
Odrediti f(~} 1(3), ~ ~l ~ 1} fen), f(~} f( -±) 6,9, Data je funkcija I(x) = X4 .. 5x' + 1 , Dokazati daje f(.t.) J(:) ,
x x
6 0 'f k" r x' + 1 k 'd' .( 1 ) f() ,I ,Data]e un el]a . (x)= ,Do azat! aJe j :;: = x,
6,11'* Ako je f(~) + 31.::·:+:} t 2x, odrediti f(x). x+1 \ x )
[spitat; da Ii su jednake date funkcije:
f(x) ~ H g(x) = x; b) f(x) = logx' g(x) = 2logx; 6,12,a)
6,13,a) x 3 x-I
f(X) = g(x)=x; b) I(x)=--rx::l
,---c g(x)="x,,·j?
6,14,a)
6,16,a)
6,17.a)
6,18.a)
Odrediti oblast definisanosti (domenu) za slijede"e funkeije: 4 x-3 x 2 _4
y=-' b) y=- oj x-I x+5 x+2
1 6 . b) y= -'-4-
+4 x - x y=
Xl + x+ 1 b)
x 2 -9 y= -,-'-- y=
-5x+6 x- -x--6
y~\/x+l b) y=V2x-5
2x+5 c) y~-'--
2X2 -lOx
c) x+6
y~
x'-
c) y=Vx-z. x+l
y~Jx-3 b) y~.Jx' -4 0) J1.(); 3x ~ Xl
_._ ••• ,e 73
II ! .
r"" \:J
6.19.a) y ~ Jx' -5x+6
6.20.a) y~,Jx+~
6.21:11) y~ I x Vx+1
6.22,a) y=3 6x 2 -8x+l
4x 2 +4x-3
6.23.a) y= log(x+l)
6.24.a) x
y=log--x -J
6.25.a) y c. log( cosx) <--',\-\ - JX
6.26.:!~) y = 2
6.27.a)
6.28.a)
6.29.a)
6.30.8)
y = tg(x-2)
y=--. x
y = logQ - tgx)
x 1 y=arccos--
2
b) y ~ JX2 -x-6
b)
1»;
b)
b)
b)
b) );~
b)
b)
b) sin x
y=---1- cosx
b) V"" arcsin3x
b) y:o:arcsin X. X+l
cj' y ~ h +6x-x'
y=~+ff-9
~x' -4x-5 y=
x+2
Xl -2x~3 y~
6x' + I Ix - I 1
Y = log(I-2x) x- J
y=iog--x+ J
y = log(sin x)
y ::;;: 2 1e>g(>:-.lj + Slog(4 .. '")
3sinx y= 1+sin2x
c) y=ctgarcsinx
c) y=Jsinx
V= x-l +?Jx-5+Jx2-10x+25 - x+2
I) 6.31.a)
x-5 x 632.:1) --r
+4 v4-3x-x2
6.33.a) y = Jlog(x + 3)
6.34.a) y=log(x' 9x+8)+Jx'-4x-32
6.35.a) y=iog(22, -]8·2' +32)
x-s 6.36.a) (x) =~
cos2x
6.37.a)
6.38.a) l(x)=log,(x-I)(x-2)(x+5)
6.39.a)
74
r--'.--~
arcsin(x --1) + ..J16 - x2
(x) = log,(7 -- 3x)
r:-- I-x b) Y= ,,2 -" x + arcsin----
b) ' t~3 12-x y= --+.1-x+l Vx+2
b) I(x) =1I1i" + 1) x-I
3x 2 +11x b) y
x-Jx' -4
0) y=log,_J(x 2 -9)
~l~~
4
b)
b) I(x)
f(x) J2X2 -7x+3
a[ccos( 5 - x)
flog, (x' - 25) -11
6.40.a)
6.41.a)
6.42.a)
6.43.a)
Odrediti oblast vrijednosti sIijedecih funkcija: y=sinx b) y=cosx c) y=3+2sinx
3 6 y = b) y = -
2-cos2x 5+sin3x 5+4cosx
10 c) y
y = 6sinx + 8cosx b) y = Ssinx + 12 cosx x+2 x+5 2-5x
y=- b) y=- c) y=~-x-3 x-2 x+3
6.44.a) y=5x'-8x+10 b) y=x'+2x+7 c) y~2x-3-X2
X6AS.a) y~/-x2+x+2 b) y~J-x2+IOxc) y=J16+6x-x'
6.46*a) y=Jx'+2x+I+Jx 2 -2x+i b) ~=Jx'-6x+9-,jx2-lOx+25 6A7.a) y = log (1- 3sinx) b) y = log(S + 2cos6x)
G.4S.a) Y;;;;;10g_,rl.-~sin3x\) b) Y=log,(3-3.COS4xl > 2 -' "4 3 )
-8 II 18 6.49*a) y= . 15+2x-x 2
b) y _3x 2 -5x--3
0) y=~-.--
x2-4x-"5
6.50.a)
6.S1.a)
(x_I)' J'=--'"
x 2 +1 )' = arcsm x
6.52.a) y;:::;: arccos x
b) 10
y=-- c) y= x+!
b) y = 2arcsin(x+ 1)
b) Y=4arcco{x-±) lspitati ogranicenost datih funkcija na skupu R:
1 6.53.a) y=~
x 2 + 1
3
b x
) v=--.. 3+X2
x c) Y=--,.
l+x 6.54.a) y = sinx+5 b) y=cosx-3 c) y = sinx + cosx
Odrediti intervale u kojima Stl date funkcije monotono rastucc, odnosno, 111onotono opadajuce:
6.55.a) y= 2x + 5 b) Y = -x + 3 c) 3
y=-x
6.56.a) y = -log2x + 3 b) y=2):- 1 c) y =sin 2x
Ispitati ogranicenost datih funkcija u datom intervalu skupa R:
I b) V = ~- (-1 1).
- x 2 -1 ' , 6.57.3) Y = x2+3 ,(0,2)
3x b) y = , (-1,4).
+5 6.58.a) y 21 ,(1,3)
x -4x+3
Ispitati parnost, odnosno neparnost, sl1jedeCih funkcija: 6.59.a) f(x) = x'-5 b) y;= cosx c) f(x) = tgx
75
6.60.a) fix) ~ X4_ 8x' + II ~f(x)~x3-5x+3
'- (6.6~ja) y+I-3 ~ Y~lxl-2x2
~) f(x)~J4-x'
Ct>:§)l) Y~V(x-I)"+V(x+l)'
aX + a-x 6.66.a) Y ~ -----
2 6.67.a) f(x) ~ x+tgx
6.68.a) f(x)~3x2 .V;:-5sinx
b) f(x)~x3-3x b), y~5sin'x ,k
b)J v=x+sin~ -- ~/ .' \''''
b) f(x)~Jx+x'
@ b)
b)
b)
c) f(x)~sinx
c) f(x) ~ 8xsinxv._. c) fix) ~ sin2x+cosx
V>/
, 1 c) f(x) ~ a --,
a'
@)f(x)~logx2 x-5
f(x)~log-x+5
x -x a -a f(xJ~--~-
2 fix) - tg3x + cos4x
"'() 3" 10 -,'-3 J X ~ IXI- e
Dokazati da su slijede6e funkcije periodicnc i odrediti njihove osnovne periode: 3x
6.69.a) f(x) = sin5x b) f(x) ~ cos6x 0) f(x) ~ tg-4
6.70.a) f(x) = sin2x + sin3x b) f(x) ~ cos3x + cos4x c) [(x) = sin2x+cos5x
f). . x
6.71.a) (x ~smx+sm'-. 2
b) f . x x
(x) = Slll- + cos -- +tgx 4 2
6.72.a) y ~ sin 21tx
6.73.a) f(x) ~ sin6x + tg4x
b) i ~ sine ax + b) a, bE R c) y ~ sin 4 x b) [(x) ~ tg3x + cos4x
6.74.a) f(x) ~ 2 sin 2x + cos.:'C + tg 3x 3 3 4
. 5x 4x 5x b) f(x)~-3s1116--2cos3+ctg7
Dokazati cia sIijedece funkcije nisu periodicne: 6.75.a) y~x+sinx b) y~cosx2 cJ ttx)~sinx2
Odrediti nule date funkcijc:
6.76.a) Y ~ 2x-6 b) x+5
Y= -3
6.77.a) y "'" sinx b) y ~ log(x+5)
Odrediti aule i znak datih funkcija:
6.78.a) x 2 +4x~21 x-2
Y= +3x-4 b) Y= 1+x2
6.79.a) Y~(X2 --5x+6)e~ b)
76
c) x 2 --7x+12
-25
0) y~(x+4)·5'-2
x+3 c) y~ I-x'
cJ y ~ Vr(x-+-3-)~2 (-x---I)
Funkcije date u implicitnom, napisati u. ekspIicitnom obliku: 6.g0.a) 3x + 4y - 11 ~ 0 b) 3x + 2xy - 4y - 1 ~ 0 6.81.a) 3 sinx + 2xy·+ x-y +8 = 0 b) x2 + 3xy-y+8x+2 ~ 0
Skicirati grafik date funkcije: 6.82.a) y~x+3 b) y ~ 2x + 1 c) y~x-4 6.83.a) y~ -x + 2 b) Y ~ -2x - 4 c) Y ~ -3x + 5 6.84.a) Y~lxl b) Y~lx-ll c) y ~lx+31 6.85.a) Y=X2 b) y ~ x2 _ 4 c) Y ~ x' + I 6.86.a) y~x2 - 3x-4 b) y ~ x' - 4x-2 c) y ~ _x2 +2x +8 6.87.a) y~2' b) Y~ 3' cJ y=2"-1 6.88.a) y ~ logx b) y ~ log(x-2) c) y ~ 10g(x +2) 6.89.a) y = sinx b) y= sin2x c) y = COSX
Date su tlll1kcije x = get) i y = j{x). Odrediti slozenu funkciju y ~ 1'(g(1.»: 6.90.a) xdl+7,y~2x-·5 b) x~2t-l, y=(x+l)2_3. 6.91.a) x~t2+1, y~sinx+2 b) x~e4+2, y~lnx-I
Date su fitnkcije f(x) ~ I-x, g(x)~ _1_, hex) ~~,x E R\ {I}. Odrediti: I-x X-I
6.92.a) fof b) !Log c) hoh
6.93.a) fog b) gof c) foh
6.94.a) (fog)oh b) fo(goh) cj fo(hoh)
Odrediti [(x) ako je dato: 6.95.a) f(x+l) ~ x-2 b) 1'(2x) ~ 4x- 1
6.96.a) r(.~}6X+3 ,2
b) ( x-I\ f -3-)~8x+2
6.97.* Odrediti sve funkcije f: Z --+ R za koje vrijedi:
jX+YI f(x)+f(y) J \ 3) 2
cJ [(x') ~ 9x
cJ / x+11_3 'l x r x
Dataje funkcija y ~ f(x). Odrediti njenu inverznu funkciju Y~' r'cx) i u koordinatnom sistemu skicirati njihove grafike:
6.98.a) y~2x +3 0) Y ~ -3x + 8 0) x+3 Y~--
2x+5 6.99.a) f(x)~2x+5 b) f(x)~x' +5 oj f(x) ~ 2-'
6.100.a) f(x) ~ x3 b) 2x+5 ~ f(x)~--, x*3 c) f(x)~ 4-x', O';x,;2 x-3
6.I01.a) y:;:; 2 X b) y::::: 31'+2 0) y ~ log, (x -1)
6.102.a) y=rx~3· b) y~-2±J4-x 0) y -1±JI+4x 2
77
6.103.a) y=x 2 --16 b) y:::=3X2 +x-4 c) y:::::x2-3x-~
eX: +e--X: 2x 6.104.a) y'"log(x+5)-2 b) y==--- c) Y=--,
2 l+x~
6.2. Granicna vrijednost funkcije
Defirticija gran'iene vrijednosti funkcije: Neka je funkCija y = f(x) definisana U okolini tacke a (pri' cemu u samoj tacki x = a ne mora biti definis8na). Broj A nazivamo granicna vrijednost funkcije y = rex) kada x---+ a, ako Za proizvoljno, rna kako maleno, 8>0 , postoji hroj D(S) > 0, tako da vrijedi
If(x)-A!<E, za Ix-al<8· GOl11ju nejednakost, najcesce, zapisujemo ovako: ~~~~f(x) = A .
Ako je jfCx) - Ai > M, za Ix - 0\ < (} ,gdje.ie M rna koji pozitivan broj, tada pisemo
lim/ex) = +00 i za fnnkciju Y'-"f(x) kazemo daje beskonacl1o veiika velicina kada x-+ a, "-;'0
Ako je 1imf(x);;;o; 0 za funkciju y=f(x) kaicmo daje beskonacno mahi velicina kada x-+ a x-+"
Ako jc >.: < a i x-+ a , tada koristimo oznaku x-+ a -- 0 ( "x teli ka a sa lijeve straneH) , ako je x > a i x---+ a , tada koristimo oznaku X--j- a + 0 ( "x tezi ka a sa desne stram:") Brojevi f(a~O) 00-. lim lex) i f(a+O) = lim f(x) nazivaju se, redom, lijeva i desna granicna
r-+II-0 x-----J.Il·I{)
vrijednost funkcije y = t~x) u tacki x = a,
Da bi u tacki x a postojala granicna vrijednost, mora vrijediti jednakost:
lim I(x) = lim I(x). r-+a-O X-HI+U
Ako funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju granicne vrijednosti karla x---+ a, tada vrijedi:
J)
2)
3)
lim[f(x) ± g(x)l= liml(x) ± limg(x) . r-+-<l r-----J.a .~-)-{J
iim[r(x). g(x)]= limf(x)·lim g(x). y -)a )'-40 x-HI
(x) Iim((x) . iim~--=.!:::2:-"--,akoJe limg(x)FO, x--)-(/ g(x) lim g(x) X->(I
X-----J.a
Neke va7."ne granicne vrijednosti:
a)
c)
78
Hmsinx
=1 >:-+0 x
I
lim(l + x)" =e ,~o
b)
I· In(i+x) 1 lm---= r40 X
d)
(e=2,71828 ... )
e) aX -1
lim--=Ina r-40 X
Izracunati granicne vrijednosti datih funkcija:
~ ~~ 6.107.a)
6. I 08.a)
6.109.a)
r 4x+3 lm--):---J.22x-3
lim( x2
-3x+1 +1) x ...... o x-4
lim cosx " >:""'T
I' l-co. sx lm--X--">O sin'; x
I. l-sinx lm--,
"-f:::' cos x ,
b) r 3x+5 1m--.\"-->-2 4x + 7
b) r 5x+ 1 llll--x---Jo3 2x + 2
b) 1imsillx
>:-).n; 2x
b) lim sinx:-sina .\"4a cosx - cosa
b) lim~!lX-lga x"-)-a x-a
'0(Vi r-c ,..-;: I· !) • _,_ XX-c --_11""",+:-', x + 2 6.1 12.a)
6.113.a)
O'Jo.l\ 6.114.a)
O\.!(\,,\'
6.115.a)
e~ @7® 6.1 I 8.a)
6.119.a)
6. I 20.a)
1m arcsm x...,. H() 2
r 3 lm -x-+ 0·-0 X
lim 2-' X_)_H~'
pm logJx 1:-')+00
lim x2 _0
>:-,3 -3x
lim x2-2x+l
hI x 2 -x
x+2 iim-,-
,·--.2-tfi x· .- 4
, x 2 +5x+6 11m-~--
)"-.-3 x+3
3 !.. 3 2 --'--- 2 lim'x " x , X
x-}--2 -2x-6
~"-" 3
16.12 .a)l lim x +x x--).ct)x 4 _3x2 +1
b) r 3 lIn .-.~->o+o x
(Ir b) lim -x----l-+«: 2
b) lim log2 x x----'>o+o
. Xl -J c) hm----
Hl 2X2 -11
(~) r x-5 lm--- D\-!~ \-,- !---j.8 x 2 -61
c) lim (sinx - 2cosx) x-}-o
c) ti sm ---X)
lim 4 r...,.~ cos 2 X _} .
2
c) lim cos2x
J2 cosx--2
c) . x2-2x+21 hm------X-}Q x2+2x+7
c) ( 4 \ lim 8+~-~) r...,.",\ x 2 ,.x
b) lim . x r:------<-.o,}S-x--JS+x
0) r 3 nn-x40 X
c) lim 2"
c) lim log] x "4+",, -,
fiit) lim x', -16 ~ x-)--42x + 8x
.QJD lim x(x+4) <~ -3 5(x' -16)
b) .. x'-6x nm-,-x->ox--2x
" 3x - x 2
b) Ill11--' ~'-+3 x-3
b) lim x3
-3x+2 X-----J.! (x_I)2
(~. ~} I" 2x2_4x+2 1m
>:-.1 3x-3
79
l-sin~-6.188. *a)
Sin(x - "-) lim 3 H.:: 1- 2cosx ,
b) liI1l ----.£ x--.,.n n-x I..J ,-,-I-,-+.:.s",in",x_-..c.J"I_--,s:.::in.:.:x.:.: c) lffi-
,,--)0 X
lim cos::'· cos:: . cos ~ ..... cos ~ x--+ <:C 2 4 8 2"
6.189*a)
b) cosx·cos2x-cos3x· ·cosnx-I lim ....
X-'J.O
6.190.a)
*** , 6.19La)!~,,!(J +~r
G41) lim (1 +.3.)" '---~ X-'>-oo 3x
b) iim(l + "-)' ,.~">", X
tl3D lim(I--"--)' '--Y X--4-oJ 4x I
) I. 4-5'
c nn "-,;",-,3+
c) ( J" lim 1--) x-,;ro X
c) ( If lirnll+-x--+oo X
I-x
6.193.a) lim(l+x)' X--J> 0
b) lim(1 + 2x)' x"-) 0
c) lim (1- 4x) x
l' sin3x-sinx
6.197*a) lm==......:c= ,,--->0 In(1 + x)
6.198.a) eX -1
lim'--x-+O X
6.199*a) lirn 8'-1 1"-,0 eX _l
e-2r -1 6.200. 'a) lim - .. _.-
,,-">0 X
6.20 I *a)
6.202*a)
6.203*.a)
84
( .' ~ - ~ 4)' I' X,)X , nn
x--+"\X2 -3x+5
lim(l -1- X3)c/g1 x x-,o
limx" ",--->0
I
b)J~!(l + x\ y I
b) lim(2X+3jV+2
x-,"W\ 2x +!
to) lim !n.Q+ Inx) x--),o X
b) lim( xarCSin-"--) c) X'"+e<\ x+l
7" -1 b) lim---
x_·}(j x c)
c)
HD
. (x+ 1 '\2x+l
C):~!lx_2j
c) lim(l + -"--Y' x->O 3x)
c) lim sin2x l- ...... il In(l + x)
7 lim (2x + 3)/g':: x-+c.(I X
. 10" _7 x
luu-2-
.--+0 x +x
b) lim--HOin(l +xt)
5, 1 c) lim"--=--
b} .. (X'+X+1Y 11m 2 I ~-';oo x'~x~l)
x ...... 0 x
I
b) lim(l+sin1tx{,gm c) lim (J+tg2.j;)';;;; x----+! x----+O+O
I
b) limx";ux x---+ 0
c) lim (Inx)" x-~+""
.,,' e' Pri kakvoj promjeni varijable x slijedece funkcije ce biti beskonacno
2 male vchctn .
6.204.a) f(x)~x-2 b) f(x)~x'-9 c) f(x)~x-3x+2 6.20S.a) f(x) ~ 1- cosx b) f(x) ~ sinx + casx c) 11X) ~ log,(x-2)
Pri kakvoj promjeni varijable x slijedece funkcije ce biti beskonacno
velike velicine: 6.206 .• ) f(x)=x+3 b) f(x) = x' - 25 cJ f(x) = -x'+3x
x2 +8 f(x)~x;ll x2 -1
6.207.a) f(x)~-- b) c) f(x)=--x~4 x -1 x 2 ~16
6.208.a) f(x) ~ 2' b) f(x) ~4-' c) f(x) ~2' +3"'
6.209.a) f(x) ~ tgx b) f(x) ~ ctgx c) f(x) = log(x-2)
6.3. Asimptote fuukcije
---====r'l VERTIKALNA ASIMPTOTA: Gratik funkcve y = [(x) ima ver;ik-;'/'-;;;~simpIQtll ~' akoje lim f(x).= +lY) iii lim f(x) = -00. U ovom slncaju (acka x = aje laCka prekl
x--+ a x--+ {J
funkcije II vrstc. llOR1ZONTALNA ASIMPTOTA: Prava I y = b lie horizontalna a.siI1lptota grafi];:a
funkcije y=l(x), ako 50 lim f(x) = b iIi lim fex) ~ b . X--++«J x--).-oo
KOSA ASIMPTOTA: Prava \ y - kx + n ! je kosa asimptota grafika funkcije Y ~ [(:X) ,
a!cojc lim [J(x)-(kx+n)]=O ,odnosno,a!coje x----+±w
k = lim fex ), n = lim [t(x)-kx). x--+ ±"" x x----+ ±co
"
l<r I~ y=b
" >=-...r-.,,-
c x
. Horizontalna asimptota I
L-....------'-----'~ b'-----:-_~
85
Odrediti asimptote sIijedecih funkcija:
~ I 6.21 ) y~-x-2
e") 4 y::::I---:;-
x·
6.212.a) y~
-3x+4
6.213.a) x-3 y
2x2 +9x-5
@14~ x-5 Y""---
2x+6
6.215~~ x' Y""'--
/ Xl +1 ' -~!"'
6.216.a) x 3
y~--
2x2 _g
6.217.a) x l +6x_5
y x
6.2HLa) y~.jx' _.j
6.219.a) I-lnx
Y=--· 1 + Inx
bl
® b)
b)
b)
b)
b)
b)
x y~-
x-I
x 2 + 1 y~--
x
2x4+x3+ 1 y
x 3
4x~ x J
Y=---. x 2 +4
x 2 _x_l y
x
xl-5x+4 y
x-1
x' y~
-1
@
@
2x+3 I-x Y = -,- + 4arcrg-~
x +1 l+;r
Prirasta,i argumenta i prirastaj funkcije
x+7 y=--
2x x'
y~-
x+l
I Zn. ful:kc!ju y f(x) r~zJika dvije vrUednosti argumenta xli X2 iz njene domenc, naziva se I pnrasblJ argumenta I oznacava sai1x, to znaci daje X2 - Xl "~- !lx.
'II Razlika dviju vrijednosti funkcije YI = f(xl) i Y2 = f(x:;) naziva sc prirastaj funkcije i . oznacava sa ~'iy iIi ,6.f(x), ~j. vrijedi:
L\y
Y 1 ~....... f:ii"i::'1!'L .. ,.," .. ., ... ~
X, x
86
Odrediti prira'taj ,;y ~ ,;f(x) funkeije aka je data x i ,;x: 6.220. y ~ 3x za x ~ 2 i ,;X ~ 1 . 6.221. f(x) ~ x2 -2x +2, za x ~ 5 i ,;X ~ 2.
6.222. y~Fx, zax~ 1,44 i ';x~0,25.
6.223 .. Odrediti prira'taj funkeije y ~ x2 + X + 1 pri promjeni argumenta sa Xl = 2, na Xl '= 2,5.
6.224. Dataje funkeija lex) ~.!.. Odrediti M(x), aka je x ~ I i Ll.x ~ 0,2. x
6.225. Dataje funkeija l(x) ~?;fi; . Odrediti M(x), ako je x ~ 1 i,;x ~ 0,2.
6.226. Odrediti prirastaj ,;P povrsine kvadrata straniee a ~ 10 em, za L\a ~ 2 em.
Odrediti prirastaj 6.227.a) y ~ 3x + 2 6.228.a) f(x) ~ 3'
L\y = L\f(x) date funkei]e u opoem slucaju:
6.229.a) x+l v = ----x-J
b) y=x2+1 c) y=2X2_X+5 b) f(x) ~ sinx c) f(x) = tgx
2x+1 3x b) y= "_j~ c) y~log--
" x+l
6.5, Newekidnost funkcije
rnefinicij~'d: Za furtkciju y = f(x) kazemo da-je neprekidna u tacki X'''"a, ako je graniCim
L vrijednost limf(x) jednaka vrijednosti funkcije za x=a, tj. ako je limf(x)""" f(a). ;'--><1 .T-)'/
Definicija 2: Za funkciju y = f(x) kUZemo da je neprekidna u tacki x=a, ako je 11 toj tacki definisana i ako beskonacno rnalom prirastaju argumenta odgovara beskonacno mali pri'rastaj
funkcije, tj. ako je lim ly(x) = O. I fIX ·-~o
I Ako je u tacki x=a naJ11sen uslov neprekidnosti, kaiemo da funkcija u toj tacki ima prckid. Definicija 3: Za funkciju y = f(x) kazemo daje neprekidna u intervaJu (a, b) ako jc ana neprekidna u svakoj tacki log intervala.
6.230.a)
6.231.a)
6.232.a)
6.233.a)
Odrediti tacke prekida date funkcije: 1
lex) =.-~ x+3
3 b)
2;; y=- y=---.
x-6 x+5
4-x b)
x 2 +x+ 1 y=
-9 y=
-2x+ 1
lex) ~..#x -I) x- 5x+6
b)
b)
c)
0)
lex)
(x-3)(x-7)
2x lex)
y x+5
(x -l)(x + 3)
x2 -3x
+6x+9
x 2 -8x+ 15
(2x-5)(x+ 10)(3 -2x)
87
fu'v < 6.122.a) lim Xl -8x+15
X-l-5 -25 <. / ,'----.-"
61 "3 ) I" x2-7x+IO . _.a 1m, H5X- -9x+20
6.124@
6.125.a)
6.126.a) I. (x-4)(x-2) 1m
x--)m 4x2+x+2
6.127.a)
6.128.a)
6.129.a)
6.J3~ lim(._I_- 6_9
;1 't.VX--)'3 x-3
6.131.~ lim(_1 ___ 2_) .<---)1 x-I x 2 _1
. (2x 2 ,-4x-24 6.132.3) lIm =.,...':'::""::":' ~-->-4\ x 2 -16
I '
4-x J I. (2+llX+3.X2 X+I J 6.133.a) lin .--
X--->-OO x2+x+l 2 .. -x/
/ vJ 1.6.134~) !~'i( l-Ji+x )
6.131@ ,I\,!,~( x -~) 6.136.a) lim (x+.Jx' -7x I
,,--'-'-4> • )
6.137.a) lim (Jl+x' -xl X4H<l\ )
6.138.a) lim ( .Jx +a_.[;l). .'(--)+0:0\
6.139.a),li,rpJ .J x+ /; -..Ix)
80
b) 1· x-I Im-.x--)Ix~-l
!G\ l' 3x2 _x_6 !...!l)) 1m 1-
H-~ 6x + lOx+4 ,
b) lim 2x'+x+6 Hoo(x-l)(x+12)
. lOx-.Jx' -11 b) hm--:':':""""':":" 3x
tbJ" lim ~ :-~ \!:!J} x--).+oo jx
b) !~"lC~2 - )~8) b)I·(2 I 24\ 1m --+ --)
X---"7-2 x+2 x2-2x+4 x 3 +8
b) . (5X' -3x -8 4x -3) hm <--~'-->'" 4x2 -5x+6 x+lO
b) !~~( ~ -.J2) b) lim(x-.Jx'+5xl
X--)+"" )
b) x~~:,(X+Jx2 +54X)
® x~!( ~1+x2 -x) b) E'!'.( ~-.JX+12) b) ,~( Jx+Jx+..Ix -..Ix)
@lim ~"I c) . x'-..Ix hm-----
X-JoO x2
X-l>j E-1
I. x
6.143.a) 1m r.-;cHo,,1+2x -I
6.144.a) lim ~6 X-lob x+3-3
6 14- ) [. l-..Ix . o.a lill-x'-4II_x
2
6.146.a)
6.147.a)
x-2 lim----X-l-2 .Jx+7 ~,3
I. -,-.J3_,_· 2 __ X,--_1 1m
1"--)-1 x+l
I·,; .;:.3_+..:2:::x_--_,j"'xc..+=2 6.148.a) Im-,,----,-, -1 3x+3
lim cos x
b)
b)
b)
b)
b)
6.149.a) x_.~ sinx+ Jsin 1 x+cosx ,
6J50.a)
6.151.a)
6.152.a)
6.153.a)
6.154.a)
6.155.*a)
lim 1+2cosx ~.~::_ cos 2x -+ 1 , lim sin2x -cos2x -1 x-:.~ COsx--smx ,
r 4x-I cJ lim ,jx+7 -4
In1---x--'> ~ 2,Jx-l H' x2 -81 , r x-J";;
cJ . } .. ,jx-2
Im~-- hm-'-~' H" x-a x...,.11 x 2 -121
lim 3 - ..Ix oj lim
fx-s '~'4-,j2x-2 H'I-,j6-x
lim x+1
0) lim ..Ix - 2
x--~-! 2-.JX2 +x+4 H43--J2x+l
lim ,ja+5x -,ja-5x
c) lim .Jx+4-4
x----'-' G 2x 1'-}!2 x-12
b) lim x+2..1x -3
HI x-sf; +4
b) r 3x 1m ,~",j3+x ... )3-x
b) lim ..11+003;
X-}1t+O sinx
b) lim l-cos4x
-"""'01-cos8x
b) r (sinx ') m~ --,--tg x X--'>~ cos X ,
b) lim ,jx-b-,ja-b
:\:-.(1
b) }i'!'A .Jx' +2 -x)
b) r x2_9 lITl~
H3 ,j3x-3
b) lim ..Ix -Jx-3-J3
x~, .Jx' -9
81
6.156_a) cos:! x lim .:-""'-';'X",,"~ 1+sin3 x , I" sin 2 x-sin 2 a 6.157.a) Im----
.HlI sin(x - a)
(;~;~)'\ lim 4x+8 ~~H-2 +8
6.159_a) lim x ,r;:--x->°'VS-x -\l8+x
6.160*a)
6.161*a)
6.162_ *3)
6.163.*a)
. x-4 hm,c XA4 v23+x-3
\. i/(;-;;y -1 llTI-
X-JoO X
lim v.;:-I y-,~ I -1
3Ci 2,r:+ I lim _'1_ XA_'_-= v x HI (x-I)'
1. sin x - COsx
b) 1m x-t~ cos 2x
b)
b)
* I' sinx - cosx 1m
x-~:; tgx - ctgx
, x2 -x-2 hm 3
x--+··-l X + 1
. ~-l hm '~O\h+x -V3x+2
. vW-I b) hm
h)
h)
r-} 0
lim_· __ x __ r-,oVx+l-1
I. .J1+-';-1 1D1---
x-'()Vl+x -I
c) lim sinx x-J.°I-Jl+sinx
c) lim sinx-cosx x._~~ fgx-l ,
c) lim x x-;'°'!J2x+l-1
c) iim~-l .~->o x
c)
c)
c) I· VS-x-l Irn---_--'~4J5=x -1
6.164. *a) I. x,/x-aFa ml a> 0
H" ,/x-Fa' -Vx-l
b) lim-;;,r=-, m,nE N x-.;.j '!Jx-l
r--''''-''''\
~~)
6.167.a)
6.168.a)
6.169.a)
6.170.a)
6.171.a)
. x Sln
Iim __ 3 X-)O X
I" sin 5x IIn-
x-, Ii sin 2x
. ? lim 5111_:::' Y-Ht tgx
lim l-cosx HO
lim(nSin'::') 11 ....... 0 n
6.172.a) lim('!'tg :::)\ ,,--->0 X 2
82
b) I .. sinmx lm·---
y--}O X
. x x sm-cos-(b).'lim 2 2 '--...._ x-.-ry,O x
b) .. tg5x nm-·-X--40 X
. '3 b) lim 5111 x
x---). 0 x 2
sin 2 ~ b) lim--2
" ...... 0 x 2
b) lim \-cos5x X00 x 2
b) lim Igx-sinx x-w x 3
b) Iim(2' .sin~) X---> oc- 2-"
c) . sinx
Il1n--.m-:tO X-).O mx '
\ I · tgax A c, nn -:-~d---' of; 0 x~~ 0 sm f3x
c) I' sin 5x + sin 3x Im-----
)(->0 X
J' arcsin x c) Im---
H' x
, l-cos2x c) llln
X-40 xsin x
c) lim(rctg2x) \'--+0
c) lim I-cos] x ,-->0 xsin xcosx
I' coSX-COS5 x 1m ,
)(-}o X 6.173.a)
I. sinx -sin a
6.174.a) 1m
6.175.a)
6.176.a)
6.177.a)
.• -} a x-a
I. sin3x 1m x-;'°l_~
lim sin 3x Ho,Jx+2-fi
lim~~~2x+(g2x x--+O xsinx
sin xcosx - ff0 6.J78.a) lim-----
X'--){) Xl sinx
sin 2 x
6.179.a) lim -r~~;;;;;''';:--)(->0 +xsinx-cosx
6. J 80.a) . I-cosx hm--··----HOx(~x+1 -I)
I,·m sin~x :--.!2 6.181.3) . x~} --I ;::0 -+ I
( ) 1tX
6.182*.) lim x -I fg-X----1- 1 2
. ( n) sm x- 3 6.183.*a) lim
x---->-~ I-2eosx 3
x-sinx 6.184.*a) lim ........ _-;r--+", 1-5x
6.185. *3) ,. sinx 11m --2-
X----1-T< X
1- 1(2
6.186,*a) lim sinx-cosx x--+:: 1t -4x
6. J 87.*a)
4
Ijm( x -'::"Itgx H~\ 2; ,
b) lim arctg8x X-0-0 4x
I, cos2x-cos2a
b) 1m x--}a _ x-a
sm-·· 2
b) lim sin4x X--+()3-J2x+9
c) I' < sin4x Iffi--x--+O~_J
2 2
) 1. tg x - tg a
c 1m X-HI tg(x-a)
I. cosh
c) 1m . x.,,>::' x(tgx -l}
" . sin(x+h)-sin(x-h) b) hm
b) 1· sin(l- x) Iffi--
x-,) ';-;;-1
b) 1· x+1 Im---
x--+-I IT cos~-x
2
, x 2 _4 b) hm---
X----1-2 1t cos_ox
4 x
cos--' b) lim~-2
x--+n; X --1t
h-+O h
1 + xsinx - cos2x b) lim . ,
x--+O SIn x
( a-ox TIX 1
b) lim sin- tg~J x-.a 2 2a,
fx+i6-4 b) lim
:<--+0 sin5x
c) limx+arcsinx ,-.-. () x + 2tgx
c) lim cos;>; + ctgx x-+~ 11: - 2x ,
c) lim sin3x X-Ht sin 2x
. n(x+l) c) hm cos ~---
x---)--l V-;+l
,~ • 2
b) \. sm-x-smu R ,,0 1m 2 2 ' a E ~,a " -
X---+Ct: x-(x
b) lim cosx x...,::,1t --2x ,
_ tgnx b) Iun .-
-~-.-1x+2
oj. I' co52x Im--
); ___ }~1t -4x ,
83
x 2 +4 6.234.a) f(x) = -o
x" -4 b)
3 f(x)=-
cosx
6.235. Funkcija f(x) zadanaje na slijedeci naCin:
1°· x,
f(x) = , -x- +4x-2,
4-x,
Da lije ova funkcija neprekidna?
za x < 0,
za O~x<l,
za 1:::;; x < 3,
za x.:2: 3.
6.236. Dokazali da za x = 4 funkcUa f(x) = ~ ima prekid. x-4
6 "37 D I . d 6' ~ k" f( x' - 36 . k'd ,L , 0 "azatl a za x = fun 'CIJa , x) = -- 1ma pre I . x-6
Dokazati daje data funkcija neprekidna u datoj tacki:
6.238.a) y = x', za x = 0 b) f(x)·= sin" u tacki "-3
6.239.a) y = 2' u tacki F3. b) 3x tTl J' = I + Xl U ac '1 x= .
6.240.a) f(x) = x'o2x+ I u tacki x = I. b) f(x)= l+cos2x utackix="-. cosx 4
t(2X--1, x:S;1 v
lex) = u tacki x=] 1, x> 1
6.24 I. a) f() x' - 4 "k' 2 'x =--~utaC·IX=-. x·- 2
b)
Dokazati daje data funkcija neprekidna u rna kojoj tacki iz domene: 6.242.a) f(x) = c, C E R b) [(x) = x c) [(x) = sinx 6.243.a) y=3x-5 b) y=2x+ I c) y=x'-5 6.244 .• ) f(x) = cosx b) fIx) = In" c) f(x) = e'
6.245.a) y = x2. 2x b) y= cos2x c) y=N~2
6.246.a) y = logx b) x
c) 2X2 -3
y=-- y=--' x+5 x 2 +4
Dodefinisati datu funkciju u datoj tacki, taka da se dobijc neprekidna funkcija:
6.247.a) f(x)=~'_-9, x~3. b) f(x)=~:+:,,2x+l, x~.] x-3 x+l
sinx .Jl+x-~ 6.248.a) f(x) = ---;-, x = O. b) f(x) 4x ,x = O.
x-3 2-~ 6.249.a) f(x),~ ,x=3. b) f(x) x=O.
v x"' -1-2 sin2x
88
7. DIFERENCIJALNI RACUN
Tablica izvooa elementarnih funkcija. U svim tackama, U kojima su odgovarajuce funkcije definisane vaii:
c' = 0 ,( c - konstanta);
(x" >' =a xu'
1, (0: E R);
(aX)' =axlna, (a>O,a-:f::-l);
(eX)' = c'
-- (a>O,a*l) xIna'
, (slax) ~ cosx:
, (cosx) =-sinx;
, ! (tgx) ~--;
cos2 X
, 1 (clgx) =--.--;
sm2 x
, I (lnx) =-;
x ,
(arcsin x)
, (arccos x)
, (arelg x) - .
-1+x2 >
, 1 (arcclgx) =---.. . '! + x'
7.1. Srednja promjena fnnkcije. Srednja i trenutna brzina
I
I Za funkciju y =: f(x), odnos prirastaja Ay funkcije i prirastaja argumenta.6.x ( fly I naziva l&) se srednja promjena funkcije. Neka se tacka krece po zakonu s =- set). Tada se srcdnja brzina tacke u imervalu od tl do t2
nalazi po formuIi:
I v" ~ s(I,)-s(t,)
t2 -t l
I Trenutna brzina tacke u trenutku to> nalazi se po formuli:
I . .' 8(I,)-S(lI) v(to ) = 11m vsr::::' hm . I _ _ /--)-10 ir--)-/I 12 ~tl
89
7,1. Odrediti srednju prornjenu funkcije y = 3x2-5 pri prorujeni argurnenta x od XI= 2 do X2= 2,5.
7.2, Odrediti srednju prornjenu funkcije y = 2x2+5x pri promjeni argumenta x od X, ~ 3 do x, ~ 4.
7.3, Odrediti srednju promjenu funkcije y = sinx pri promjeni argumenta x od Jt Jt
XI =- do x 2 =-. 6 2
7.4. Odrediti brzinu promjene date funkcije u datoj tack;: 2
a) y~3x-2.x~3. b) y~-, x~-2 x
7.5. Tacka se krece po zakonu set) ~ t' + 21:'-10 (tje u sekundama. a s u rnetrima). Odrediti srednju brzinu tacke za vrijeme 2:£ t ~ 4.
7.6. Tijelo so krece po zakonu set) ~ 2t3 - 31'+ 5. Odrediti srednju brzinu u
inteTvalu 0 s: t ::;: 3 i trenutnu brzinn u trenutku t = to, 7.7. Odrcditi srednju brzinu kretanja tacke koja se krecc po zakonu
set) = 12_31 u vrcmcnskom razmaku od tJ = 1 do t2 = 4.
8.2. f'rvi izvod (prva derivacija) fllnkcije. Opel metod odredivanja izvoda (derivadje)
'-1 DCfinkija--prvog izvoda (derivacije): Za funkciju y = fex) definlsc se prvi izvod iii prva derivacija y' = rex) na slijedeCi naCin:
I y'O" lim lIy ~ lim f(x+ffi)- f(x). L 8."-+0 & .<\;;"-l-O ill:
Po dcfiniciji, odrcditi prv) izvod (derivaciju) date funkcije: 7.8.a) }' =)( b) y=2x+5 c) y=3x-l
7.9.a) y= to) y~ +3 c) y~ -5
'7.10.a) y= +3x
7.11.~) y ~ 6 - lx'
'7.12/~) y=x]+2
7.13,,~)' )' = x' , orA" \7.14.a) y=!c
'-::-~ x
15~ y~E 7.16.a) y~ sin x 7.17.8) y ~ cos x
90
b)
b)
b)
b)
b)
b)
b) b)
y=x2-2x
y = -.Ix' + 3x + J I
}' = x" +X2 +x
y=x5
a y~-
x
y=£-3 y = 2 sinx y= cos3x
c) y~ +4x + 6
c) 3 ' y=-x" -8x-J6 0
" c) y = x 3
- 3x 2 + 2x + 1
c) y = x" , 11 prirodan broj.
0) -5 y=
c) y=J2x-5 c) y = 3sin2x c) y= a cos2x.
7.3. Osnovna pravila za izvode. (Pravila deriviranja)
Za izvode vrijede slijedeca pravila: C' "'" 0 (lzvod rna koje konstante jednak je nulL) Xl = 1 . ( Izvod argurnentajednakjejedinici.)
(Xli)' = nxll-1 , nER.
Ako Sli fig diferencijabilne funkcije u tacki x i C-konstanta, tada yazi:
(f(x) ± g(x)/ = ['(x) ± g'(x);
(l(x)· g(x»' ~ {'(x)· g(x) + [(x)· g'(x);
(l(x) \ ~ ['(x) g(x)- f(x) :i(x)
19(x) ; [g(x)]' • (g(x)" 0);
Date su dvije neprekidne funkcije y = u(x) i Y = vex). Koristeci definkiju izvoda (derivacUc)" odrcditi izvod (dcrivacUu) 51ijedecih funkcija:
7.18.a) y=u+v b) y=u~v c) y=ku,k-kon~tanl'a
7.19,3)
7.20,")
u b) y=-
v c) y=u ll
, nEZ
Koristeci, u prcthodnim z.adacima dokazana, pravila deriviranja, odred1ti prv! izvod datih flll1kcija:
y~5x b) y= llx+17 0) y~2x'
7.2r';~a-) y = 6x_x2
7.22.:if fCx) = - t2x2 + 23 b)
c) y = _8x 6 -I- 12x3 +200]
y=4x3 +~X2 +44 2
7.24:3)
7.25':cca) 'Z.26:hr-
727.a)
7.28.a)
729.a)
I Y= + -4x' -98
7 3
y = 5x-4 _3x-6 + TR
FE b) 6~ y=6';jx' 0)
y = 3ax!1+1 + 5bx 3- n
y=E + ); +O,lxiO
,
y~(x-3)(2x+15)
b)
b)
y=3E+5x
V J'~ y= x --Jx
b)
b)
b)
, , , - 1 --
y=4x 2 +6x -8x;:
c) FV c) y ~ 5 ''17 + 77V645
2 ,,+1 3 11-1 y=--x +-'X n+l n-j
y =3Vt +lJI-~ lfi
y ~ (x2-3x+8)(x'+4x2-6)
91
~,... >./ y = (2x' _3)(2x3 -I) b) Y=(2X3 +rx) (~ -17) <1,,;>O,a)
",.4("'-
...•• 1 b)
I x' 7,31:a) Y=- V=-- c) y= x+i x ' x'
,73:i,~) x+5 b)
2x+t c)
x2 +1 Y=--- y~-- y~--
x-I 3x-5 x 2 -3
Odrediti vrijednost prvog izvoda date funkcUe u datoj tacki:
7.33.a) y=3x2 +S ,x=2~ 7.34.a) y = X4 - 4x' -x. x = 0;
7.3S.a) I(x) ~ 3x(x5 ,-llx' + 88), x =1
b) y=-5x]+2x-5, x=-1. b) y ~ 2x' -2x' + 66, x =1.
b) (Xl=V;' x,eS.
7.4. Izvod (derivadja) slozene funkdje
i Ako lC' [u~lkcija y = f(x) diferencijabilna u tacki x, a [unkclja z = g(y) diferencijabilna LL tacki I
I
I y~ [(X),tadajeSIOZenafUnkCijaz~g(f(X)=(gof)(X) I difercncijabilna u tacki x i ,vrijcdi: 1
I (gon (x)=g'(Y2J(:~~g'(f(X))f'(x). tj. z>z>y', J
Odrediti izvod (derivaciju) datih slozenih funkcija:
7.36.a) y~(Sx+3)] b) y=(x' _7)5 c) y=(3x' +5x-19)'
7.37.a) y~,J5x b) y~4!i~'2x-X2 cJ y~J(x--l)(5-2x)
7.38.a) y=;j(2+3x)'
7.39.a) y = (x-
7.40.a) v = fh _ 1_ , ,j3x
7.41.a)
92
2x-l y=--~
b) y_-_I __ - 0) y=)3,,4x' '-(I_x')4
b) y=(x+I)'./2x-1
b)
b)
7.5. Izvod (derivacija) iogaritamske funkcije '
Qog" x) ~_l_", (a> O,a;< I); , I
(lnx) =-; _ xIna x
Odrediti derivaciju (izvod) datih funkcija: 7.42 ,a) y =!ogax, a>O,a * 1, b) y=lnx,
7.43.a) y = In (5x) b) y = In (x-3) c) Y = xln3x 7.44.a) y=ln(3x-IS) b) y = In (4x'-3x-ll) c) y = log(X2_2x+3)
7.4S.a) y:= Inx4 b) y=(lnx)4 0) y=ln(lnx)
7.46.a) y = ,fIn x b) y=12+ln2 x cJ x+l
y=ln-x ._, 1
7.47.a) y=In 2 x 2 b) y = In (3 + Inx) c) y =x2 1nx-2x
7.48.a) y ~ iog,(x' -x) b) y = IOg( x + rx) 0) y=log(2+3x')
7.49.a) y=.xlogx bJ I-Inx
y=--; I + lux
c) t+ 3X2 y=Iog -",
i -- 3x
7.50.a) y = In( x ,. Ji+ x' ) 0) (3 j,-, y=in x~ +-V X 6 _a6
)
7.6. lzvod (derivacija) eksponencijalne funkcije
Odrediti izvod (derivaciju) date funkcije:
7.S1.a) y =- aX, a > 0, a*- 1 , b) y:= eX c) y:::: e21'
7.52.a) y =- e-x b) y:::: eh +5 cJ y = e-2X+11
7.53.a) Fk b) y = ..r;:;+4 c) y=10 21'+3
7.S4.a) e'- +e-X
b) e:" _e--X
cJ e-" -e--'
Y=-- Y=-- Y~·--.
2 2 e'" +e-- x
7.S5.a) y = e (2x'-IY b) y=(e5X-
1 1)3 c) eh + e--2-~
y=----2
7.56.a) y = a6:<+4 b) y:::: 12&X2
-1\ cJ y = 44J --J;-
7.57 .• ) y ~ log, 5 b) y = iogx 10 cJ y:::: logNl 7
7.S8.a) I 2 +ex
b) y ~ In(xe-X + e-X)
e" y:::=n-- cJ y=in-,-
2-e-" x- + 1
7.S9.a) y=e-"(x' +6x+6) b) y:=exlnx c) y:::: aYe"
93
7.7. Izvod (derivacija) trigonometrijskih funkcija
• 1 , 1 (elgx) ~---. -,-.
sm x 1~(SiflX)'~COSX;
(tgx) ~-2~; cos x
----'- ------~
(co.sx).' ~-Sinx---~
,,~--,---
Odrcditi izvod (derivaciju) 7.60.a) y =. tg x 4·4rI·:a) y = x - SII1X
7.(>2.a) ,
Y = x"COSx
2cosx 763a) )1=
7.64 .• ( y = e"'tp::
765:;\) y'::;;;: eX Sill X
{66~) y = sin3x
7.67.a) y=sin 2 x
7.68.a) y:;::: 55in 3 2x
7.69.a) y = sin x + 3 cos x 7.70_a) y = 3tgx - 2ctg x
7.71.a) Y~COs(2X -~) 7.72.a) y = xsin 3x +cos 3x
7.73.3) y= tgIn x
7.74. *aJ V = Jcos-.Jx
7.76*.a) y:::::x 2 1nxcosx
7.77.a) Y = 2'"''
94
b)
datih funkcija: b) y = ctg x 0) y = tg2x br v = x + sinx cJ y=x~tgx
bJ Y = x3ctgx ,,) y == xl. _ COSX . l-cosx
l'f cos x
y~-- Y=---l-sinx 1 +51n x
y = e-~ctgx cJ 1- cosx
y~---
1 + cosx
Ili • X· y=e' +e smx oj y=xex +sinx
b) y = cos5x c) y ~ tg7x
b) y~::'COS2X c) y = ;g6x
b) y=4sin3 x 0) 1 g x
v=-cos ~ . 8 2
b) y = x - sin x cos x b) y ~ 2x - 4sin3x
b) clg( 4x + I)
c) y=tg'x-3x y=-'------8
b) . , ,
Y=S111 x-cos x c) ::,;;;;;;-Y = sin 3x
b) y=lntg3x c) y:;::: In cos 4x
1 } (3 2 -) y=-cos- x _ cos x-) 15
cJ x--l
y = !ncos--~· x+l
b) sin x . 1 + sin x
b)
b)
Y=---l··m cos 2 x cosx
y:::.: xeX(sin x - cosx) + eX cosx'
y:= 31gr- 1
7.8. Izvod (derivacija) inverzne funkcije. lzvod funkcija koje su inverzne trigoDometrijskim funkcijama
I Neka su funkcije f: A --7 B i I-L: B 4 A, (A,B c R) uzajamno inverzne'i neprekidne
u tacki Xo E A , odnosno Yo = I( xo) E B . Ako je funkcija f diferencijabilna u
I Xo i /'(xo) c;t 0, tadaje i funkcija r' diferencijabilna u tacki Yo i va;:i:
._1 ' J (f ) (Yo) = -;::;---( )' ,
_~ __________ ~ ________________ ~j~X~O~ ________________ ------J
(arcsin x) 1 I . =~,( xl<1) ,]1-x'
(arccosx)' ~- ~---, (lxl<l) vI-x2
1
1 +X2
, -J (arccig x) -
- 1 +X2 (arctg x)'
Odrediti izvod (derivaciju) date funkcije U ohlastima u kqjima su definisanc: 7.78.a) y=arcsmx b) y=arccosx 7.79.3) y = arc tg x b) y = arcctg x 7.80.a) y = arc sin3x b) y = arccos5x 7.81.3) y = arc sin6x' b) y = arccos(x-2)'
7.82.a) y = arctg5x2
7.83.a) y = arcctg3x3
7.84.a) x
y;;:;:; arcsin-b
7,85,") x
v=arcfg-. b
7.86.a) y = x - arctgx
7.87*a) y = x sinx arctgx
7.SS.a) y = arc sin(3x)
b) 2x
y= aretg]
b) y=arcctg~ 4
b) y = arcsin3ax c) y = arccos(l-2x)
b) i+x / y=arctg-
l-x c) y=arctg 2x
x b) y=xarecos- cJ
3
b) y~e'[;arccos[; c)
b) y~arcsin.[;?, x:?:O c)
y~~ arcsmx x arcsin x
y --e'
95
7.9. Logaritamski izvod (derivacija) funkcije
Akoje funkcijay ~ f( x ) pozitivna i diterencijabilna u tacki x, tada je i slo zena funkcija z ~ in f(x) diferencijabiina u toj tacki x, pri cemu je
7.89.a)
7.90.a)
[lnf(x»), = [,(x) . f(x)
Odrediti izvod date funkeije:
y"",x" b) y = X1~
y = (sin x)'gX bJ y = xafCS"'"
eJ y=(x + 1)'"
c) Y = xlnx
7.111. Mjesoviti zadad 0 izvodll (derivaciji) funkcija
Odrediti prvi izvod slijed(:,,¢ih funkcija:
7.91.a) y=(3-2x)5 b) y=(4-·2x-x3)'
7.92.a) y=.J,;2~3x b) y=~
7.93.a) f(x)=£- J2;-+! 7.94.a) f(x) = (x' - 6x + 7)3
7.95.a) y = (x' + 6).j x' - 3
7.96.a)
7.97.a)
7.98.a)
7.99.a)
7.100.a)
7.1 0 La)
7.102.a)
96
y=3·S 2X +3e4x
y=lgln£ x[ 2x • x
y=e '\fl~e +arcsme
I Y = arcctgx-
x
y:::;: arctg I"~ x
E-b) . 2
f(x)= --2x2 + 1
b) f(x)=(x' _3)-4
b) y=w +1)'
b) (a+x)" e) y:::::: 2x"-2!ux Y= --a-x
b) Y = In'(2x+3)
c) y=lnx·e2x _2e"
b) y = InctgV:Z;; c) y = cosln 2 3x
b) y = x] arccos x -Jl-xl
b) r-:--:;- 4 . Fx y=v4x-x~ + arcstn-
2
b) y=arctgl-X I+x
( J 7.103.a) y = 1- e,;n'3" cos2 3x b) smx Y= l+cosx
7.104.a) y = In( sin rx). tgj'; - j'; b) I .Jl+x'-1 Y= n
.JI+x' +1
7.105.a) sinx b)
x I} y = arcsin __ y=intg-+cosx+-cos x
.Jl+sin2 x 2 3
7.106.a) y=ln N+2x
b) arctgx x
x+1 y=~--ln-r~-"
x ,,1 -+ Xl
7.107.a) f(x) = In(e" + I) + 2arctge 3, b) 14 1 21_2 y=-lg x+-tg x+-sm 3x 423
7.108.a) f(x) =sin (cos2 (tgJx» b) y=VI+x.,r;:;3
Odrediti lzvod date funkcijc II datoj tack;:
7.109.a) f(x)=4x+3,f'(3)=? b) f(x)=x 2 -x, f'(0)='1
7.110.a) f(x)=x'-ll,f'j-I)=? b) f(x)=x 3 +8x,./'(-2)=?
7.ll1.a) I(x)=4x2 -3x+78, /,(-1)=7 b) f(x)=sin2x, f'(~)=?
7.1 12.a) f(x)~.Jx'+3+~, /,(0)='1 x+1
b) f( ) , 2 - x ro(o 3 x =cus --, J ,.:..-n)=? 3
7.113.a) f(x)=(x 2 -2).r;'+I, l'(J3)=? b) fIx) x /'(f3) =?
1-Jx2+i"' 7.114.a) fIx) = e" Inx', /,(1) = 7 b) fex)=..r;;ln 2 x. /'(1)=7
7.115.a) f(x) = (x + IJlrclge,h. /'(0) = 7 b) I( ) . x-I x =arCSIn--, .f'(5)=? x
Rijesiti jednacinu f'(K) = 0 ako je dato: 7.116.a) f(x)=x3+3x2+3x+30 b) [(x) = x3 _6)(2+ 12x, 15 7.117.a) f(x)=12x3+18x',7x+3 b) [(x)=2x3 +x2,8x+7
7.118.a) f(x) = 1'; (x-2)
7 119 ) f() 1., .
- .a x =-sm~ x-stnx-lO 2
b) f(x)=3x-x' x+2
b) f(x)=cosx-2sin'x+5
7.120.a) f(x)=3cosx+4sinx-3x b) f(x)=J2(sinx-.cosx)·-sin 2 x-x
97
7.11. Izvod (derivacija) impiicitno zadane funkcije
Jed~aciria F(x, y}:= 'O'i?dreduJe funkpiju y - y(x). Prvi iz~od, na ovaJ naCitl,zadane funk,cije, otire'duje se-tako 'StOBe deriviraju obje stninejednacine i tako se dobije novajednacina s rtepoznatom y', Ii ave jedna,cine odredi se y'.
Odrediti prvi izvod (y\J implicitno zadanih funkc~ja: 7.121.a) 2x+3y+7=O b) 5x-12v+14=O 7.122.a) y2= lOx b) y'-6x':O 7.123.a) ,,2+/=25 b) x2 +4/=8 7.124.a) x2 _4/= 16 b) 4y'-5x=O 7.125.a) ,,'+xy+4y'= 16 b) e'~X +eY +xy=O
Xl -y+2xy=O 7.126.a) Xl +y'-8xy=O b)
7.127.a) c'lJ'+! _x3 -l:::::o
7.128.*a) x y' +y'lnx-4=O
7.129.* X4 _6x2/ +9y4 -5x' + 15y' -20 = 0
7.130.* x 2 siny + / cos x - 3x- 2y + 16 = 0
7.J31.*a) xY_yX =0
v' 2 b) ~+L=I
a2 b 2
b) x siny + y sinx = 0
7.132. Odrediti y' za x = % izjednaCine x'siny - easy + cos2y = O.
7.12. L'Hospital '-ovo pravilo za odredivanje vrijednosti izraza oblika ro i Q (kao i ~o, roo, I",'" .. -w)
w 0
Ako jelirn (x) = lim g(x) = 0 i ako postoji lim rex) . tada vrijedi: x->" " x,-"a x_.a g'(x) .
lim f(x) = lim F(.t). Ha g(x) l'-to g!(x)
Ak . l' f() l' .) . k .. l' f'(x) '. .. d' , oJc 1m. x = tmg(x =00 1a opOStOjl Im-' -.-,taaavrl]e 1: l"~>O x-to x----'>a g!{X)
I lim l(x) = lim rex) . x';''''g(x) Xc-h' g!(x)
6* Guillaume Franyois Antoine de i'HospitaJ (1661 -1704.) ~ francuski matematicar
98
Koristeei L'HospitaJ-ovo pravilo, odrediti granicne vrijednosti:
7.133.a) lim 5x4 ~4X2
b) r eX_e-l'
c) r sin 6x Im--- 1m --HO -x .~o In(x+ I) HO x
7.134.a) lim x 3 +lnx-1
b) lim Inx
c) r lox 1m -,,--)- I e'~ -e x->01+3Iosinx "4«> X4
7.135.a) l' 'IT - 2arctgx
b) . In(x-·I)
c) . eX-l
1m hm--- hm--,-,~. occ if;;:-1 H' ctgnx Y-> 0 sin 2x
7. 136.a) l' I-cos3x b) lim
I-cosx c)
I' x-sinx Irn---- 101----:Hoi-cos5x HO X .... 0 Xl
7.137.a) r e" b) x' r x« Im- lim- e) Im----
_~..,.+"" X4 x-"'''' el" x"""x+e"
7.138.a) lim(n -x)lg= b) lirnxlnx e) lim Xl lnx x--tn 2 x .... 0 HO
7. 139.a) lim (sin x) x b) lim (tgX)3COSX e) limx" HO , x-,O
x-+ --, lim (n: "_ 2x) cosx limX~(cos2x)3
, 7.140.a) b) cJ lim x J
-x , ->"-+0 H' H-
2 f· 1 '-
7.141.a) hmll- - --.--) b) , .... 0 x e-1
lim(-I---~ i _HO xsin x x 2
) c) jim ---'-'I 1) H!lX-l lnx
7.142.a) lim (ctgx . arcsin x) b) lim(l-e2X )clgx c) lim(xctgnx) x-+o x-+ 0 X-}Q ,
7.143.a) lim(3X+ 2' r b) ( 5\'
lim(tg2x)Sill2x lim 1+-) e) H_ x-+"'~ X X---40
7.13. Izvod (derivacija) viseg reda
LI Definicija izvoda viSeg reda: rex) = (f'/ (x);
f"'"')(x) = (/"l) , (x) , (n E N). .----'------'----
Odrediti drugi izvod date funkcije:
7.144.a) . 3
},"".Y -8Rx-444 b) y:= 2x5 +llxl -2000
7.145.a) I ,
b) 2 l , y=--x +335x+2000 y=-x -7x +667
4 5 7.146.a) y= sm x b) y = cos x
7.147.3) . 3 y=sm"x b) y=ln 2 x
7.148.a) y = cos2x 0) y=3eh
7. 149.a) x-I
b) x y=-- Y=--
x+ 1 x2 -4 99
7.150.a) y ~ J:. x'(2Inx -3) b) 1 " 2 3 y=---xStn..)x--cos X 4 9 27
Odrediti treci izvod date funkcije: 7, ISLa) y=2X5~4x3 b) y=_xG +5x2
7.l52.a; y = sin2x b) y ~ cos5x 7.153.a) y = e2X b) y = In(x+ I)
1 b) 7.154.a) y=_!n 2 x y = 3~
2
Odrcditi n-ti izvod date funkcije: 7.155.a) y = cosX b) y= aX
7.! 56.a) ,v = 5" + 5'~X b) y =ekr
7.14. Difen.mdjal flllikcije. Geometrijsko znacelije
y
il\
1 by ... ~ ........................... c;A'C............ 9
Dikrencijal funkcijey = f(x):
dy=y'dx. :_dy y-~
dx'
o x x+.6.x
I Geometrijski, dilerencijal funkcije y = rex) u tacki x je dy CB, a prirastaj je Ily =' CD. I I Vrljedi: Ily ~ oy .
Odrcditi diferencijai date funkcije 7.157.a)
, b) y = sinx 0) y=2x.-+7 y = cosx
7.158.a) y = 15x5 b) y=a,x;3 c) y =,r; 7.1S9.a) y = cos2x b) Y = tg'x c) y::::: e 5x
7.160.a) y = e2x b) )x-I oj y = In(2x·5) y=a 7.161.a) y = (3x.2), b) y = (6x + J)4 0) Y = (5_6x)3
7.162.a) y=(x2 -2x+5)' b) y=Jx2 +5 c) y::":; In(sinx)
7.163.a) 2x-3y+ 1;=0 b) x 2 +2;/ = 8 cJ x2 _6y2= 12 7.164.a) y = arctgx b) y = arcsinx c) y = arccosx
7.165.a) 2x
b) x+3
c) x 2 -1
y~-- y=-- Y=--x-I 2x - 5 x
100
7.166.a) y = sin 5x 3 b) 1+cos2x
c) y~ln~16-x' y sin2x
7.167.a) 1 x~5
b) y=x(lnx-3) oj y =arctge h" y~-In-·
10 x+5
7.168. Za funkciju y ~ x' odrediti dy i i\y U opcem siuc'\iu, a zatim odrediti njihove vrijcdnosti pri prornjeni vrijednosti varijable x od 2 do 1,9K
7.169. Za funkciju y = x 3 - 4x2 + 60 odrediti dy, a zatim izracunati pribliznu
vrijednost 6.y pri promjeni vrijednosti varijable x od 3 do 3,01.
Odrediti pribliznu vrijednost dale fimkcijc ako je: 7.170.a) y=x'-x, 7.ax~2,OI b) y=x3 _x'_I,
7.17La) tg46° b) .J5r5 7. J 72.a) arcsinO,51 b) arooosO,98
za x= 1,02.
c) Vi5,8 0) arctg 1 ,03
7.15. Geometrijsko znacenje pl'vog izvoda. Tangellta i nOl'maia na grafik ftmkcije. Primjena prvog izvoda !R
geornetriji i fizici
r JednaCina tangente na krivu y - [(x) u tacki M(Xo, Yo) ima oblik; I Y - yo~ f'(xo)(x-xu).
I JednaCina normale na krivu y = [(x) u tacki M(xo, Yo) ima obUk:
"_Yo~ __ l_{x-x) f'.(Xo) * 0. I __ _ __ -- J f'(xrJ \: 1) _'
I ... Ilko je s ~ set) zakon puta, tada je yet) ~ s'(t) b.rzina tijela, a a(t.)~V'(t.) s"(Q, ~ovo ubrzanje. ,
7.173. Napisati jednacinu tangente na grafik funkcije f(x) = x2 - 4 u tack! s
apscisom x = 3. 7.174. Napisatijednacinu tangente i nonnale- na grafik funkcije f(x) = x2+5x+3 u
tacki s apscisom x = -2. 7.175. U kojoj tacki grafika funkcije t~X)=X2 -2x ima tangentu paralelnu s x-osom? 7.176. Odrediti ugao nagiba tangentc na grafik funkcije f(x) = x2-2x+5 u tacki s
apscisom x= 1. 7.177> U kojoj iacki tangenta l1a parabolu f(x) = x2 -4x+3 s x-osom gradi ugao
od 45'? 7.178. Odrediti jednacine tangenata na krivu y = x 3
- 4x povucenih u tackama njenog presjeka s x-osom
101
7.179. Odrediti tacku na grafiku funkcije y=lnx u kojoj je tangenta paralelna s pravom y = x- \.
7.180. Pod kojim uglovima date krive presijecaju X-asU:
a) y = sin x na mjestima Xu :::: 0 i Xl =1t
• 1[ b) Y = cosx na lTIJestu x =-'.
2
J.IS\' Odrediti jednacinu Gednadzbu) tangente na krivu y = 2x' + x - 5 u njen~j tacki s apscisom x=2.
7.182. Odreditijednacine tangenata na datu krivu (krivulju):
y = x 3 + x 2 u tackama Xl:::: -1 i X z = O.
7.183. Odrediti jednaCine tangente i normale krive y = e' u presjecnoj tacki
s y-OSOtn.
7.184. Date su timkeije y = x' i y = 2x + 4. Odrediti jednacine tangenata na grafike datih funkcija u njihovaj presjecnoj tacki i ugao izmedu njih. ,
7.185. Date su funkcijc y = .j2; i y = ~ . Odrediti jednacine tangenata na 2
grafike datih funkcija u njihovim presjecnim tackama.
k. x+5 ..
7.186. Pod kojim uglom (kutom) nva y ~ x-2 preslJeca:
a) x-osu . b) y~osu
7.187. Pod kojim uglom (kutom) se sljeku parabolay=fx i
c) pravu y = x+5 I
hiperbola y = ? x
7.188. U tacki M( -2, y>O) elipse x' + 4y2 - 8 = 0 odrediti jednacinu tangente i normaie.
7.189. Na kruzniei x' +y' = 25 odrediti tacke u kojima su tangente paralelne s pravom 3x + 4y - 4 = O.
7.190. Odrediti jednacinu tangente na grafik funkeije y = x' + x' c.ij i jo koeficijent pravea k=8.
7,]91. Pod kojirn uglom se sijeku linije odredencjednaCinama x2 +y =25 i x2 _;? =77
7.192. Odrediti ugao izmedu par;bola y = & - x2 i y = Xl
7. J 93. Odrediti ugao izmedu krivih x2 + l = 5 i y2 = 4x, 7.194. Odrediti jednacinu tangente j normaJe paraboie l = 2px u njem~j ta6ki
T(xl, y,). 7,195. Odrediti jednacinu tangente i nonnale na krivu odredenu jednacinom
x'+2xy'+3y' =6 u tackiM(I,-I). . x? v 2
7.196. Odrediti jednacinu tangente i normale na h'perbolu 9 - 'g = I u tacki
M(-9, y<O).
7.197. Dokazati dajednacina tangente u tacki T(Xt, y,) elipse
102
ima oblik x,x + y,y = 1 a2 b2 •
7.198. Tacka se krece pravolinijski po zakonu set) = 4t'+ t'-3 (s- put u metrima, t-vrijeme u sekundama). Odrediti brzinu i ubrzanje tacke u momentu t = 4.
7.199. Tacka se krece pravolinijski po zakonu set) = lOr' +41' + 51. Odrediti brzi~u i ubrzanje tacke nakon dvije sekunde.
7 200 T ·· I kr' l' .. k' (4 8 15 . . IJe 0 se ece pravo mIJS 'I po zakonu set) = ___ [3 +- _[2. 4 3 2
Odrediti vrijeme nakon kojegje brzina tijelajednaka nuli. ,
7.201. Tijelo kojeje baceno vertikalno uvis krece se po zakonu set) = Yo! _ ~, 2
gdje je va pocetna brzina, a g ubrzanje Zemljine teze. Odrediti brzinu tijeJa u trenutku t, a zatirn izracunati visinu na koju se podiglo tijelo od pocetka penjanja, ako je Vo= 90 m/s.
7.202. Tijelo se krece pravolini.iski po zakonu set) = 3t' - 18t' + 11. Poslije koliko vremenaje ubrzanje tijelajednako nuli?
7.203. Brzina v ta6ke koja se krece pravolinijski dataje izrazom vet) = e+5t-2. Odrediti ubrzanje tacke 1.1 momentu t = 3 s.
7.204. Tijdo se krece po x-osi po zakonu x(t) = 1. + e. Kojom brzinol11 se OVO tijelo
udaljava od tacke A(O, I) u Irenulku 1=_1 ? 2
7.205. Rastojanje tijela koje se krece po x-osi, od tacke A( O~ 1)~ mijcnja se po zakonu s(l) = t + 2. Odrediti brzinu li.iela za t=1.
7.206. Tijelo mase 20 kg krece se pravolinijski po zakonn set) = 3t'+t+4. Odrediti kinelickn energiju tijela (mv'l2) nakon 5 sekundi od pocetka kretanja.
7.207. Obim pravouglog trapeza je 4( 1 +.J2), a astr; ugao 45°. Odrediti visinu
trapeza tako da njegova povrsina bude najveca. 7.208. Dijagonale konveksnog cetverougla s~jeku se pod pravim uglom i imaju
sumu duzina jednaku 10. Odrediti maksimalnu povrsinu ovog cetverougla.
103
7.16. Ispitivanje funkcija primjenom izvoda
7.16.1. Odreilivanje intervala monotonostifunkcije
Postupak rjesavanja svih zadataka ovog tipa je slijedeci: 1) Odrediti definiciono podrucje (domenu) date funkcije7
2) Odrediti prvi izvod date funkcije, a zatim odrediti tacke U kojimaje prvi izvod I jednak nuli. I
3) Tacke u kojimaje prvi izvod nula, domenu funkcije Sli podijelile u intervale. I Potrebno je odrediti znak prvog izvoda u svakom od tih intervala. ~lli
4) U ouim intervalima u kojimaje y' > 0 funkcijaje rastuca, a u intervalima u kojimaje y' < 0, funkcijaje opadaju6a.
Odrediti intervale monotonosti datih funkcija: 72090a) y~2x2-12x+ 11 b) y~-4x'+ 16x-45 702100") y - -,,' + 20x-IS b) y ~ 30x'· 45x +22 7.211.a) y=x4+4x-56 b) y=2x3 -15x2 +36x+91
721208) 1
x 3 +5x2 - 88 b) Y"" 3x<4 + 8x3
- I2x + 45 y~ -3
70213oa) Y = r;;1~4~~'2· b) V 0 2 y= x J +3x -4
72140a) 2
b) y=4X2 -,2!nx y~-
x
72150a) xJ2
b) y = cos2x-x y=sinx-~-o 2
702160a) y~e -,' b) Y ~(x-3)eX
7.217.a) " '1 Y~Xll+vx ) b) y ~ In(x2 - 3x + 5)
7.218.a) Xl + 1
b) x 2 -16
}!:::-.-~~. y=---. x 2 -4 x
702190a) y ~ cos( 2X+~) b) y=SI11X-COSX-X
7* Domenu funkcije treba odrediti na pocetku ma kakvog ispitivanja !unkcijc
104
7.16.2. Odreilivanje ekstrema funkcije
Definicija: Za funkciju y = f(x) definisanu u intervalu [a, b], kazemo da u tacki Xo ima maksimum (minimum) ako vrijedi:
ftx)::; f(xo), za svako x iz intervala [a, b], odnosno, ([(x);,c f(xo), za svako x iz intervala [a, b]).
Navedena definic~ia se odnosi na apsolutni maksimum, odnosno minimum funkcije u intervalu [a, b]. Ako prethodnu definiciju ogranicimo na okolinu tacke Xc iz intervala [a, b J, tada kazerno da se radi 0 relativnom maksirnllmu, odnosno relativnom minimumu.
Ekstreme (minimum i maksimum) li.mkcije y=f(x), pomocll izvoda odi-edujemo na slijedeCi nacin: i) Odredimo tackc u kojimaje prvi izvodjednak nuli (rijesimo jednaCinu f'(x) = 0). 2) Za svaku lacleu U kojoj je prvi izvod nula (stacionama tacka) ispitamo: da Ii pri
"prolazu" kroz tacku pry! izvod mijenja znak ili ne mijenja. U prvom slucaju lJ toj iacld funkcija y=irx) ima ekstremnu vrUednost, au dmgom slucaju u toj tacki nije ekstremna vrijednost tunkcije.
Ako pri prolasku kroz stacionarnu tackll prvi izvod mijenja znak i prelazi iz pozitivnog u negativni, tada ftmkcija II toj tacki dostize maksimul11, u prolivnolll I slucaju funkcija u toj tacki ima minimum. I
Napomena: U lJ tackama u kojimaje prYi izvod fbnkcijejednak null f'(xo}%'O, ekstrem.i Be I mogu ispitati i pomocu drugog izvoda oa slijedeCi nacin:
aka je f"(xo) < 0, onda funkcija y=flx) za X=Xo ima maksinrum, I ako je f'(xo) > 0, onda funkcija y=f(x) za X=Xo hna minimum. I
2) Ako funkcija nema (prvi) izvocl u nekoj tack!, potrebno je ispitati znak prvog I'
izvoda u lijeyoj i dcsnoj okolini te tacke, pa na osnoYU toga zakljuCiti da Ii jc u toj tacki niinimum ill maksi~.num (ili nije oi jedno ad toga). ___ ~ __ ~_.J
702200a) 722La) 7.222.a)
7,2~~§1 /
7.:;24.~)/ /<'" ,.,'
/
J;J!2:5.,a{
702260a)
7227oa)
Odrediti ckstrcmc (ndnimum i maksimum) datih funkcija: y ~ 6x - ,,2 b) Y ~ 3i' . 6x + 11 Y ~ x'o + 3x b) y ~ x4
0 32x y ~ x' . 2x'· 2x' b) y ~ ·4x' +3x' + 36x + 5
y::::(x···-4)ex ~} J'""xe
x =xlnx
y~x+J4-x
y •• (2x + 1) 4(-::- 2) 1
3x1 +4x+4 Y=
+x+i
V= .- x-2
~~ 2x /1» y = o~ , lnx
c)
c)
y=-'<--x' 4 5~2x
V=-'--~
~ 2 +X2
7.16.3. Odreilivanje intervala konveksnosti (konkavnosti) funkcije
1- Intervale u kojimaje funkcija y ~ f(x) konveksna iii konkavna odredujemo na slijedeci nacin:
1) -RijeSitijednacinu f" (x) = 0 <
2) RjesenjajednaCine f"(x)=O domenu funkcije su podijeliia na intervale. U svakom od tih intervala treba odrediti znak od f"(x). Tamo gdje je f'\x) < 0, funkcija y=f(x)je konveksna, a gdje je f"(x) > 0, funkcija y ~ f(x) je konkavna.
7.228.a) 7.229.a) 7.230.a) 7.231.a)
7.2.32.3)
7.233.a)
Odrediti intervale konveksnosti (konkavnosti) date funkcije ako je: Y=X2 b) y=_x2+5 c) y=x'+4x-5 • 3 2 ' 2 y=x -9x b) y=-x'+12x y = x' -27x' + 42x b) y = x3
- 6x' + 6 y=x'-2x3 -12x2 +24x+8 b) y=x' +6x'+2x-6
- 2 Y = x' + 5x - 6 b) y = -
y=xe • x Inx
h) Y=-x
c)
7.16.4. Odretlivanje prevojnih tai'akafunkcije
~:~vojne tacke funkcije y "'~ f(x) pomocu izvoda odrcdujemo na slijedeci nacin:
I J) Odredimo tacke u kojimaje drugi jzvod nula (rijesirnojednacinu f"(x)= 0) 2} Za svaku tacku u kojoj je drugi izvod nula ispitamo: da Ii pri "prolazu" kroz
tacku drugi izvod mijenja znak ili ne mijenja. U prvom slucaju ta tacka je prevojna tacka funkcije y=f(x), a u drugom siucaju u to) tacki nije prevojna tacka funkcije.
7.236.'1)' --.,~
Odrediti prcvojne tacke date funkcije: , 2 ~ , :} ., y=4x -3x _bY' y=X -2x' +IOx
, - , y = x,'! + 3x - 5x - 6
x 3 2 y=--.-x
b)- y~.1.x3 -3x' +8x-12 3
b-)/· 5x / y=, .+
,/ ~ 3 2 7.237.a)y = x - 12x + 54x - 50 bY' y = x', 8x3 + 24x'
7.238.a)
7.239.a)
106
x y ="--:-9
x + -2, y=xe .
b) y=if(;':'s)5 -34
, b) 'y=e~x +3
I
7.16.5. Crtanje grafikafunkcije
Ispitati date funkcije i skicirati njihov grafik:
7.240. y=x3 -9x'+23x-15 7.241.
7.242. y=2x 3 +X2 ~13x+6 7.243.
7.244. Y = X4 ~8X2 + 8 7.245.
7.246. y=~x4+2x2+3 7.247.
7.248. Xl -4
7.249. y=-----x
7.250_ (x+ 1)(x-3)
7.251. y= 2x
7252. Xl +2
7.253. y=--Xl --9
7.254. 2
7,255. y=x+
7.256. lex) = (x' - 4x + 3)e' 7.257.
J:3 7.258. l(x) = V-"- 7.259.
x-1
7.260. lex) " x} +8
7.26l.
7.262. r - I x 7.263 . . \xJ~ n--x-2
7.264. l(x) = (x-3).Jx 7.265.
7.266. l(x)=sin1x-x uintervalu (0,11) 7.267.
y=x3 ~3X2 + 2
y=2x3 _3x 2 -13x+l1
y=x4 ~4X3--t;9
x' y=
x-3
x' y=-
. Xl ~ 1
x V=-'. x 2 +1
x 2 ~x~6 y=--,--
x-2 4
y=x--.Jx
x )I=-In-
2 2
f(x)=2x-3i[;;'
3r::-, lex) =';2-x
lex) =E'rx .Jx
[(x) =e2x~xl
f(x)=1I+~inx
107
8. I N T E G R A L N I RAe U N
8.1. s.u.
Neodredeni integrali OSlIovlle !ormllie illtegrirallja. Neposredllo illtegrirallje
I Za fllnkciju y ~ F(x) kazemo daje primitivna funkcija flmkcije y ~ f(x) u intervalu la, bl, ako u svakoj tacki tog intervala vrijedi
I . F'(,) ~ f(x), odnosno, dF(x) = f(x)dx. I Skup svih primitivnih funkcija funkcije y=f(x) naziva sc neodredeni integta! i oznacava sa
i flex) ax . Prerna navcdcnom, vrijedi: I I fl(x)dr=F(X)+c,
I_J~gJ.e je C m<l koja kOHstal:.ta:: [(x) podintegralna funkcija i f(x)dx podintegralni i.z~az .. __ _
___ .o.sno~/na sVOjstVil neodredenog int~~ia: f1) Neodredeni integral difcrei1Cijala neke funkcije jednak ~je-t-oJC" 7f''CmC'1'-cjC'i!:-------
; plus ma koja konstanta: relf(x) d\: = I(x) + C . -
1 2)
I 1
3)
DifertllCijal neodrellenog integrala jednakje podinlegralnom izrazu:
d ff(X) dt = f(x)dx.
Neodredeni integral afgebarske sume iunkcijajednakje aIgebarskoj
14) Konstantni faktor podintcgralnogizraza moze se iZVllCi ispred znaka
SlUl1i neodredenih integrala tih funkcija:
SUex ) + g(x)- hex)]dx = ff(x)dr+ Jg(x)dx ,. fh(X)dt .
I ~leodredenog intcgrala; fk f(x)dx 0:;: kJf(x)ciX.
t 5) Akoje lfC0)dx=:F(x)+C i u=l~(x)makojad'iierencijabilna I ' I funk.cija, tadil vrijedi fI(l!) du ~ P(u) +c . ~, -.~
Tabllca oSll.ovnih integrala: r··'-----~·-··-·-····--·--.. -~
! fdx~x+C, lV f " 'c e ax=e + )
11+1
[x"J>;=_x_+ C ,(n*-l); J 11 + 1
v ,
faxd'(=~.--+C J In a '
II
fcos xcb;:=sinx+C,
f· .. dx, = ~ 1,,11 + xl+ C l~x 2 1-x
m fdr.~lnixl+C, x '
i ~ JSinxd'(=~cosx+C,
VI
XlI
108
I .i I I
I I i
1 I
~.'~".J
l
VIII
IX
x.
Xl
8. La)
8.2.a)
8.3.a)
8.4.a)
8.5.a)
8.6.a)
8.7.a)
8.8.a)
8.9.a)
8.10.a)
8.11.a)
8.12.a)
8.13.a)
8.14.a)
S.15.a)
f~=lgx+C, COS
2 X
XIII J~ =lnlx+N +«I+c, Xl +a
f~=-Clgx+C , XIV f dr = Inl,g::1 +C , sm 2 x SIll X 2
f dr { arcsin x +C fdr IC<n)1 JI-x' = . -arccosx+C' XV --=Inlg -+- +c,
cosx 2 4 I
J dr r arelg +C XVI f xdr .[,,-'l'i"x' ==l -arcctg+C
, -=== x +a+C. .Jx2 +- a
Ncposredno izracunati date neodredene integra Ie:
Jd< b) J3dr c) J7dr JXdr b) Jx'dr cJ fx 5dr {xli dr b) fx t5 dr c) 'Bdr IX
J4xw:: b) lsx'dr c) J2x 7 dr jx'-\-[Y 0) f4x-' ,b: 0) ISx"dr Ix"dr b) f~ c) I6dr
x'
r-5dx Xii
b) rd<
x 7 c) fdr Xl4
jex' ··3x)dx b) Je2x3 + x - 5)dx c) l(x'2 +x-I)dx
r-5 7-dx b) J'::'~_+4X-l dx
x' c) f2x3-~+1O dx
X'
fE'dr b) f'''dr vx c) JVxdr x'
J( r .',f;-' d x...} x +- J x ) / X b) J(5X\/x.2Y)dr c) t, r; 'j';\ ~x,x+X) dx
f dr_ b) J dr c) pdr
;}x2 4.f: j4G vx
(_I +~.41dr b) (x 2x x' J c) ] x \Ix' ~ 5'-- ?r' -Fx + ,r dx " + Fx leix
X "Vx 2 ) x 2 X;lX \ "IlX x /,
J4' d< b) JUdr c) r~ j2e'd< b) f(4a' + I)dx c) IX+ 1 " --dx x
109
kZ !!
8.16.a) fee" + 2")dx b) ](5' -3e" + I)dx c) fe"" d(2x + 3) 8.1.2. Integracija metodom zamjene promjenljive
8.17.a) f4sinxdx b) f3cosxdx c) f(;3 -cosx)dx • Akojeje y f(x) i x· x(u), tada vrijedi:
8.18.a) f(2sinx-5)dx b) f(4sinx + cosx}tr c) jsin2X dx ~1 J.f(x)cb: ~ ff(u)x'CU)du ~ fF(u)dU. 2cosx
8.19.a) f 3C~2 X b) J 2S~1 X
c) J -3cb: 4cos2 x Uvodenjem zamjene promjenljive, izracunati date integrale:
8.20.a) f 2 cb: b) J -3cb:, c) L~~, 8.34.a) JCx+2)' dx b) f(7 + 3z)'dz c) N(4x+I)'dx ~1_x2 ~l-x'
8.2l.a) J~.~ b) I_d (3X) _ c) f d(5x) 8.35.a) f(7-3x)'dx b) IC5x-2)3dx c) J\/(2x3 +I)'x'dx ~u' ~1-9x' 1+ 25x2
t r J(2 + 3x)' dx b) f> 3z2 dz 1, 1 5) b) I( 4x3 + 3x' - 2x - 8)dx 8.36.a) 3x-5 dx c) 1(2_z3)' 8.22.a) --+--dx
1\ cos~· x sin 2 x
8.23.a) I(Sx4 -7x" + 3)dx b) S(x' + 2x -I)dx c) f(3x' +4cosx)dx 8.37.a) f z2dz
z3 +4 b) ft,jf:;J dt c) f y'dy
5y 3 +3
8.24.a) f(x' +~3 +x' _x7) dxb) J3 + 2: -". x 2
dx c) fs· e' dx 8.38.a) f;lx-4 cb: b) N(x-a)3 dx c) JVX~4 f6X2 .... X+2 r+3~+x3 dx (' I J dx,
~., e f2\142 - 3 cb: N(3x+I)'dx 8.25. a) -----d>c b) c) Je 2--X~1 ;dY 8.39.a) b) c) 5
\/(2-3x)' 3 , ' rX2
- 2X )2 8.26.a) rX:
2) dx b) S(X +3)'dx 0) \ dx 8.40.a) fX'~5X' + J cb: b) Jx' J(x 5 _1)3 dx c) J 3x
2dY
x 2 x 3 Vi + 2x 3'
8.27.a) fx2
+5 dx b) Jx2
+lOdx c) jSin2
x+ 6 dx 8.4 I. a) JSin5 xcosxdx b) fcos 4 xsin xdx c) fsin 7 xcosxd'( x 2 + 1 Xl + 1 sin 2 x
8.28.a) fSin2 ~OS2 x
b) J cos2x dy 0) f4 + C~g2X dx 8.42.a) J7cos6xdx- b) fSin 3 xcosxdx c) fcos? xsinxdx
sin 2 xeDs
2 x cos x
J-J3sinx-l cosxdr J cosxdx ftg'2 Xdx Jctg2xdx
J3 - 4 COS}x dx 8.43.3) b) j:JI-cosxsinxdx c) J2-sinx 8.29.a) b) 0)
cos2 x J3sinx dx .~
J4xsin2 x+3 8.44.a) b) it&' cb: c) Jctgxdx 8.30.3) f ~in 2.'( + ~!.~~os x. dx b) J cb: 0) cosx
xeDSX cos2x + sin 2 x sin 2 x ftg 4xd-r b) Jcrg7Xdx c)
r x n xx)' cb: r+- e:+, 8.45.a) Jtg 3' cb: 8.3I.a) J(5e" +4sinx)dx b) ,S1l1 "2+ cos "2 c) J sin2xdx . J cb: J3sin5xdx
~ 510 x 8.46.a) b) c)
(~ r J3+cos 2 x cos2 2x
f2Vx ~ 3x' cb: Jx -I J ncb: r ncb: fx 2 sin3xJ d'C 8.32.a) j(2+x)x 2 l.1xdx b) c) [---, -dx 8.47.a) b) c)
x • X cos 2 px ¥ sin 2 px
J,/!;;' -~l- x2
cb: p+cos2
x·dx f3 -Sees] x dx 8.48.a) f sinedt b) feast dt c) J cost dt
8.33.a) b) 0) 2+3cosl (2 - sin I)' ----:J; - x' - 1+cos2x cos 2 x sin 4 t
8.49.a) fcost(l + sin t) 2 dr b) f sin/cost dl
~1+sjn2t c) f dt
JI +oost
110 III
S.SO.a) fSin1
t dl
8.51.a) (z \ f3COS "2 + 2)dz
8.52.a) f6e" dz
8.53.a) J2~~ 8.54.a)
eF dz J 2,1x
B.S5.a) Je:~
8.56.a) f""'jf'~ 8.57.a) fSi:;x 8.S8.a) f sinxdx
02 + cos 2
X
8.59.a) J xdy JX2=;;
, dz g.GO.a) J~~ .J5 __ 7x 2
8.61.a) f~L~lnt dt
t 3dz 8. 62.a) J I + 2z
8.63.a)
8.M.a)
B.GS.a)
tin x dz J~ v
J. x. . lIx dv stn--smXSll1- •
2 2
"cos4x+l dx
J ctgx -'lgx
f [+ I 8.66.a) --,----dl
... [- + 1
112
b) fcos 2 i dt
b) ~5cosf-Sin3Zf b) J18e-o,bH dz
b) fec : I dz , e
b) Jxe-x'dx
r xdY b) J
1 + x'
b) jxsin(x' -I)dz
b) ,. e"dx J1+ e1x
b) v'dz 3-x'
b) J dz, x,h-In- x
b) J3hJx
1 + e3x
b) f2Z~ J +z-
b) f dz xInx
c) JCOS2t dt 1+sin2t
c) J2-3~inx dx cos x
c) Jer\dx
c) JteP dt
c) fe· i"" cosxdx
0) e'"dx
L+e 2X
0) r x 2dz
J I +X6
0) JJt dl l+t
0) SFx dz l+x
Cl , f:~~l dx
c) r 2x+3 . - ---ax "~
r cosxdx
c) ""II-sinx
c) j21-3 dl I' - 31
, dl c) J!-:--:-::-
1(1+ Inl)
b) fctg(-3n--2xlcoS4_Wb: J 4 )
2dx b) J
cos'(1-2x) c)
, ax 1--.-lJ-5x
l . ~ 1 __ J.~ Slil~;~_ 5n) -r cos2 XJdX
cos(2x - 2" )ctgl x - .4 b)
8.1.3.
8.67.a)
8.68.a)
g,69.a)
8.70.a)
S.71.a)
&.72.a)
8.73.a)
8.74.a)
8.75.(1)
8.76.a)
8.77.a)
8.78 .• )
8.79 .• )
8.80.a)
Integralioblika: t'~a" J~, fh· Izracunati date integrale:
f x 2 ~a2 b) JX2~4 c) JX2~36 J 3dz
25 +X2 b) J dl
4+(2 c) J lOdl
(' + 100
fl+~x2 b) fX2~5 oj Jx2~6 f dz --,- -- .
x ~a- b) L2~9 c) JX2~25 f 2dz J 4 b) J IOdz cJ
1-9x2 -·-dz
lOO_x1 l_x2
r dx f5_~xi 0) r dx
c) . 16-25x' J 9 - 4x'
dx b) fX2+~_2 0) JX2_~~2· -2)(x+3)
JX2+~+10 b) r dz ~ Xl -8x+20
0) r dx ~ Xl -lOx+9
2x
'3 x
f dz gX _4x b) f~~l 0) r'dz 4+x6
f Ja'~x' b) fJ4~X' c) J-~-J9-x'
b) J J4-~5X2 c) f dz J81-16x'
b) J,14~X' 0) J,/9~X' , dx Jr==
'/1 + x 2 b) f dz
,)4+ 25x' c) f ,11 +~lX'
r dz J ,1x' +~X+5 b) f J6X~X' c) J ,14+5x':' 4x'
113
8.1.4. Metoda parcijalne integracije
Ponekiid je moguce' racunanje jednog integrala svestj na racunanje drugog, jednostavnijeg. U tu svrhu kofisti'se formula:
JudV:::: UV~ jvdU.
8.8I.a) fxexdx b) f1nlxldx c) f1n'lxldx
8.82.a) Jarcsinxdx b) farccosxdx c) Jarctgxdx
8.83.a) fxsinxdx b) fxcosxdx c) f(x + 2)sinxdx
8.84.a) fxarctgx dx b) fx 2 cosxd\': c) JXlnxdx
8.85.a) Jx 2exdY b) fe x sin xdx c) Jc-t
cosxdx
8.86.3) fsin 2 xdx b) Jcos 2
xd, C' , J xdx sin 2 x
8.87.a) f,n 2 xdy b) J~x2d~ 0) Vdx x cos 2 x
8.88.a) JH+a 2d\ b) fW'::-;;dx c) sarcsin x dx
x'
8.89.a) fx 5ex1 dx b) IBiD In x th: c) fSinFxdx
8.90.a) Jfa' ~x2dx b) fJa 2 +x2 dY c) farCfgJ2x~ ldx
8.1.5. Neke primjene neodredellog integrala
8.91. Brloina pravolinijskog kretanja tacke mijenja se po zakonu v ~ 41:'-3t+1. Odrediti loakon kretanja.
8.92. Brzina pravolinijskog kretanja tacke mUcnja se po zakonu v = 3t2 +2. , Odrediti zakon kretanja s ako tacka za vrijeme t = 2 s prede put od 100 rn.
8.93. Ubrzanje pravolinijskog kretanja lacke je a = -4t+1 6 (m/s'). U momentu t=1 S
brzina tacke je v = 16 mis, a predeni putje s = 25 m. Odrediti: a) Zakon promjene brzine v, b) Zakon promjene puta s. c) Ubrzanje, brzinu i predcni put tacke u rnomentu t = 4 s. d) Odrediti vrijcmc t u kojem je brzina kretanja tacke najveca,
8.94. Dataje funkcija f(x) = cos2x. Odrediti primitivnu funkciju rex) ciji grafik
prolazi tackom M( ~,~ ) . 8.95. Dataje fimkcija f(x) = x. Odrediti primitivnu funkciju F(x) ciji grafik
ima tangentu y = x-I.
114
8.2. Odredeni integral
Odredeni integral u intervalu fa, bJ neprekidne funkcije y = f(x) nazivamo prirastaj I F(b)-F(a) rna kqje primitivne ful1keije y = F(x) od-date funkcije, tj. I b
fJ(x)dx = F(x)L = F(b) ~ F(a) 8'.
Osnovne osobine odrcocno lute rala: b Ii b
b " 1) if(x)dx=- J/(x)dx
a - b 2) 51/(x)+ g(x)}ir =' ff(X)dx + fg(x)dx
h h /J c b
3) flifNdx =k ff(X)dX 4) fJ(x)dx = JJ(x)dx + f/(x)dY, cda,b]
8.2.1. Neposretino izraCllnavanje otireilenog integrala
, 8.96.a) Ixdx
, 3
8.97.a) f(3x - 2)dx
" 2
8.98.a) fSin X d,
8.99.3)
8.100.a)
8.10J.a)
I
S(x' ~ 2x + 3)dx o G
ffx _. 3)' dx 1
, b) Ix'dx
2
b) J(2x-x')dx o
b) }il1(X+~)dx
b)
b)
b)
6
j1 ~-, + e')dx o\.1+x-
3
JC2x + I)' dx ~I
" 'dx tin 2
X o
1
C) f~ , o
C) JC5X+X2)dx ~5
,
C) fCO{X+~)dx
c)
0)
c)
-;
4
f(cosx+sinx)dx , o 5
)(1- 2x)' d.x
8* Nuvcdcna formula je poznata pod nazivom Newton-Leibniz-ova formula Isaac Newton (1643 - J 727.) .- englcskl fizlcar i matematicar; Leibniz Gottfried Wilhelm (1646- J 716.) -- njemacki filazof, matematicar, fizicar, pravnik.
historicar, .
115
8.2.2. lzracunavanje otireilenog integrala metotiom zamjene
3 4 6
8.102.a) fC3x-I)' dy b) f(5X~ 2)3 C) J!J4x -ldx
1 ,
~ " , , J ( rr ) 8.1 G3.a) fSin2xdx b) [. x cJ J3m"2 cb: sinl4x-2 dx , , ,
6 3 , "
fCOS3xd'C ,
6 ( I 8.104.a) b) fcos~ch: c) JCOSl3X~~ J d" , , 6 ~2'
6 , , 4
JSinxc!x J"P' <Ix 8.) 05.a) f~ b) c) gJ4-2x :) cos4 X
C . smx >
,
8.2.3. Metoda pa1'c{jlline integradje U oareilenom integralu
1
8. 1 06.a) farcSinxdx 6
, , 8.107.a) Jxcosxdx
o
b)
b)
" Jarccosxdx
1
fxarcfgx dx J
c)
cJ
1
far-ergx dx J
-1
, fXlnxdx
8.2.4. Primjena otlredenog integrala na izracunal'anje povrsine ravnih figura
!Lj08. Izracunaj1e povrsinu figure ome<ienc krivom (krivuljom) y:::; _;:2 + 2x i x-osom.
8.109. lzracunati povrsinu figure koja je omedena lillijama y::::: Xl y "', x .
8.110. Izracunati povrsinu figure koja je omeuena iinijom y = (x ._. 2)2 i koordinatnim osama .
8.! 11. Izracunajle povrsinu tigure omcdenu iinijama: y:= X T ], y:::; (x _1)2.
8.112. Izracunajte povrsinu figure omedenu linijama: y:::;. 2x - 1, Y = -x2+2x+3.'
ll6
~g
8.1\3.
Kolikaje Dovrs;na figure koju zatvaraju date lin;je : • 2 5' I,
y:=4_x2 i y=O 8.114. y=X + I Y=2x~+2
81)5 Y ~x2 i }!=~x2 +2 .' 2
2· 2 8 8.116. Y ~ x I Y = x.
8.117. y=x.y= 8.118. 2
x~3, y~2x. y~--,.. x'
8.119. Odrediti povrsinu figure omedenu parabolom y = 2x_x2, pravom
" (1 3\ tangentorn parabole u tackt Tl'2'4)'
8.120. Odrediti povrsinu figure omeoenu parabolom koje pro)aze tackom A(O, -4).
y = x2 i njenim tangent anla
8.121. 8.122.
Odrediti povrsinu kruga radijusa!. ~ ') Odrediti povrsinu clipse b
2x2+ a'y' = a
2b-.
8.2.5. Primjena oareilellog integra/a na izracunavllnje za,.""mitu oar/nog lijeio
Zanremma obrtnog tijc1a koje nastajc obrtanjem krivolinijskog trapeza ogranitenog, lit .. , , " - - ,.' ' 1· llJan)· y ~ [ex), x == a, x = b, (b > a) okc x-ese, dobtJe se po formu 1: it
h I V=n; f[f(x)]'dx. I
~ _________________ ~~~a ____________ ~_______ ! ~J
.-------------~-~----~~--~~~
Ii Ako se krivolinljSk. i trapez. ogran!~en li~ijama, x = ,cp(y), Y,- C, Y --:-,d (d> C), obrc~l y~ose, njegova zapremina se dobljc po formult:
d
, V =TC H'I'(V)l' a:V
8.123. Odrediti zanrcminu obrtnog tijela koje nastajc' rolacijom figure Ollran['~. " , - "~ll!"
krivom y=sinx i x-osom u intervalu [0, n}, oko x-ose. ~ 8.124. Odrediti zapreminu obrtnog tijela kaje nastaje rotacijom krivolinijskog
trapeza ogranicenog linijama xy=2, x=l, x=2, y=o, ako X-Ose, '"
8.125. Odrediti zapreminu obrtnog tijela kojc nastaje rotacijom figure odredene I· .. ) . ? k IilIJama y-= x I Y = X ,0 '0 x-ose.
8.126, Odrediti zapreminu obrtnog t~jeia koje nastaje rotacijom figure odredene linijama y = x? ,Y = 0 i y = 4 t oka y-osc.
8.l27. Odrediti zapreminu obrtnog tijela kaje nastaje rotacijom figure odreoene linijama y:::;. x, x = 0 , y = 2 i y:= 5 , ako y-ose.
l!7
8. J28. Odrediti zapreminu obrtnog·tijela koje nastaje rotaeijom figure odredene
. .. x 2• x J
lmlJama Y=2 I Y=g,oko x-ese.
8.129. Odrediti zapremine eJipsoida kQji nastaju rotacijom elipse 4x2 + l = 4 oko x-ose, a zatim aka y-ose.
8.130.* ~d:.edltj zapremin~ obrtllo~ tijela kQje nastaje rotacij?fl1 figure omedene lmlJama y = 4x-x , y = 0 1 X = 2 ,oko x-Gse, a zahm oko y-ose.
8.2.6. Primjena odredenog integrala na izracunavanje ohrtne povriiine
Ako bkkrlve y = f{x); (a"::;; x :S;'b), rotira aka x-ose, povrgina nastaJe obrtne povrsi izracunava so po fommli:
;,
P, ~ 21l fyjl + (y')' dx
8< 131. Odrediti ve1icinu obrtne povriiine koja nastaje rotacijom linije y "" x od x=O, do x = 5 oko x-osc (omotac kupe).
8, 132. Odrediti velicinu obrtne povrsine koja nastaje rotacijom !inije y ~- 3x od x = 2 do x = 6 oko x-ase (omotac krnje kupe).
8.133. Odrediti veiicinu obrtne povrsine kQja nastaje rotacijom linije y = x~
od x = 0 do x =! oka x-ose <
2 8.134. Odrediti povrsinu lopte radijusa r . 8.135. Odrediti povrsinu elipsoida koji nastaju rotacijom dipse
4x2 + y2 == 4 oko x-ose~ a zatim oko y-ose ,
8.2.7. Prin!ie/la odrei/e/log i/ltegra/a /lO izracunavaltje preael10g pula
I Ako jo brzinakretanja tackedata zakonom v ~ tIt), tada se predeni put u
Ltefvaluvremena od t, d:t, facuna po iOfmuii: s ~ Jf(r)dl.
8.136. Brzina kretanja tacke mtjenja se po zakonu v = 3t2 -2t+5 (m/s). Odrediti predeni put nakon 10 sekondi od pocetka kretanja.
8.137. Brzina kretanja tacke mijenja se po zakonu v ~ 612, 41 (m!g).
Odrediti predeni put u drug()i seknndi i predoni put u petoj sekundi. 8.138. Brzina kretanja tacke mUcnja se po zakonu v = 24t - 6t2 (m/s).
Odrediti predeni put od pocetka kretal~a do zaustavljanja.· 8.139. Brzina padanja tijela je \=9,8t (m!s). Odrediti predeni put za prvih J 0 seknndi.
llS
I
8.2.8. Primjena odredenog integrala Ita izracullavanje rada slie
lAko s~-s-ila,nlij~~ja po ~konu y ~ ~:(x), i pomjera'tac~ ad x -- XI dox Xz-, tada se Tad I
Itesilera~unapofo~uli: ,4= Jf(i)dx. -,- '_ '_ ',-, :,- "--',-:''--I ' - ~
8.J40. 8.141. g.142.
R. I 43.
8.144.
Sila F ~ 6 N ,astegne oprugu za 0,08 m. Koliki rad je izvrsila ova slla? Sila F = ] 0 N rastegne oprugu za 1,2 cm. Odrediti izvrsen rad ove sileo Odredit1 fad koji je potrebno izvrsiti pri rastezanju opruge za 3 em} ako jc za rastezanje ove opruge za 6 em potrebna sila od 30 N. Da bi islegli oprngu za 3 em potrebno je izvrsiti rad od J 6 J. Za koiiko ce se istegnuti posmatrana opruga ako se izvrsi rad od 144 J? Za sabijanje opruge za 0,05 m potrebno je izvrsiti rad od 25 J. Koliki ~ad·je potrebno izvrsiti da bi istu oprugu sabili za 0,1 m?
I
119
" RJESENJA,UPUTE,REZULTATI
1. MATEMATICKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 1.1. Matematicka indukcija
!.l.a) 41~4·3·2·1~24 b) 5! ~5A·3·2·1~5-4!~120
1.2.a) 9! ~ 9.8.7!~72 b) 21 7t 71
l.3.a) 51 + 61 ~5! + 6·5! = 7·5! =7·120 ~ 840 b) 7! - 51 ~ 7·6·5! - 51 ~ 42·51 - 5! = 41·51
c) 5040
c) 6
d) 40320
d) 132
0) 121+11!-I01~12·11·IO!+II·IO!-I01~(l2·11+!1-1)I01=142.·IO!
1.4.a) n-'~!'.Jn-I)!~(n_l)1 b) (n-I)! c) (n-3)1 n n
L5.a) (11+1)1 (11+I)n(n-I)I._(n+I)/_. (n -I)! (n-1)!
b) (211+1)! (2n+])(2n .. I)I~2n+1 (2n-I)! (211 ])1
0) _n_!_=n(n-l)(n-2)! --n(n-I). (n-2)' (11-2)1
1 n+l-l nIl 1'1+3+1 n+4 1.6.a) ----=-......... =-- b) --+--=----~--.
n' (n+I)! (11+1)1 (n+I)! (n+3)! (n+3)! (n+3)! (11+3)!
c) 5!. (11+1)! 5·4·3! .(11+1)n(n-I)I~20. 11(11+1) 3!(n-1)1 n(n+1) 3!(n-l)1
61 r 1 (n+I)! l1(n-I)! 1 I.7·(,;=-2X~_3) ·Lln+I)(n-4)· 5!(n-5)1 12(n-4)!3!f
~ (n2~:n-3)[5!(I;-:)!(n-5)! 3(n~~)!4!]= 6! 3n! -5n! 6·5! -2nl
----(11-2)(n-3) 3·51(n-·4)1 (n-2)(n-3) 3·51(11-4)!
-12n! -4nl -4n(n-I)(n--2)!
3(n- 2)(n-3)(n-4)!
l.8.a) 7!+I5.~~()I(7+1) =6! 8 8
--. 411(n ··1). (11-2)! (n-2)1
b) J3!-I.J!.~ 1l!(13.12-1)~1!.~~55~l!l 155 155 155 n! n·(n-l)!
b) (n-l)!"1';-=1)!~n 1.9.a) (n + I)! (n + 1)· 11! ---~ '= -----. "'" n + I
n! n!
1.1 O.a) I 1 n-·l /1-J 1
----""-... ---(n-I)! n' n! n(n-I)·(n-2)! n·(n-·2)1
n+l~l n b) - ---- = -- -c--:c---:---:-c - -----.-
n! (n+l)! (n+l)! (n+l)·n·(n-l)1 (n+l)·(n--l)1
1.11.a) (n + 5)! (n+5)(n +4)(n + 3)(n+ 2)(n+ I)n! ~(n+ 5)(n +4Xn+ 3)(n+ 2)(11+ 1)
n! n! 121
(n-3) 1 (n-3)(n-4)(n-5)1 ____ 00_ =(n-3)(n-4) (n--5)1 (n-5)!
1.12.a) (n + 2)1 = 110 n!
'" (n+2)(n+I)=110 '" n'+311-108=0 => n=9.
b) ~_= 20nl '" (n-5)! (n-3)!
(n-3)(n-4)=20 '" n' -7n-8=0 => n = 8.
(x + 1)1 = 42 (x--I)I
(x+l)x=42 '" x'+x-42=O => x=6. 1.13.a)
b) x = 5 x!- (x -I)!
.1S.n) ~-'-,~"-:::;::--
(x+l)! 6 ¢.'
1.14.a) )( = 9. (x-I)(x-I)1 ~-~ .. -~~ = -(x + I)x(x-I)I 6
b) x=3
'" x-I
(x + I)x 6
'" x(x+!)= 6(x-l) '" x'-5x+6 = 0 => x= 2, x =3.
'" (x-2)(x-3) = ! 2 '" x'-5x-6 = 0 => x= 6. 12x x
il) --(x-4)! (x-2)!
I 6. a ) .0=-_1)-' < 2 () '" (11-3)'
b) (n-=3~<12 <d (n- 4)!
17.a) --"-'- > 2() ¢> (n - 2)!
(n-I )(n-2) < 20
(11-2)(0-3) < 12
n(n-I»2()
b) nE{l1, 12, 13, 14,15, ... }.
'" 0'-311-18<0 ~>
'" !l-5n-6<O =>
w n2-n .. 20<O =>
18. --=I=·l"-"-.' (n+IL_.. l1(n-I)! 10>5 n-2 11+1 (n-3)'4' 12(11-3)(n-4)!21)
I1E{3, 4, 5}.
nE{4,5}.
nE(6, 7, 8, 9, ... }.
1 (5(n+I)I1(n-I)(11 2)(11-3)' 11(11-1)(11-2)(n-3)'\ '" ~='! .- - '<5 n--2" (11+1)(11-·3)!4! (11-3)!4!)-
~c:> --'c_ .(Sni'I_=-_12(n - 2) lI(n --1)(11 - 2) \) 0; 5
n-2 l. 4! 4!
411(11-1)(11--2) l1(n--l)_ W ~---~·-=-.:;5 <:=:> -----:::::,5 ¢:> n2-n-JO:$O
n-2 ~ 31 => x = 4, x = 5 , x = 6,
n(n+l) . L19.a) Nekaje Pen) : 1 +2+ .. +11 =~' n EN. Prov]erimo, prvo, tacnost
. I P(I) Z' 1 I' ,1(1 + I) • . " led ,. IS (aza . anlJenom n = ,na aZlIno ! = ~~ ) sto le, oew: ' no, tacno. 2 . ~
Pretpostavimo sada da je P(n) tacno za proizvoljan prirodan broj k :?: 1, ~i. neka je tacna jednakost:
122
1+2+ ... + k ~ k(k +2. Odavde slijedi daje 2
1+2+ ... +k+(k+I)~ k(k+1) +(k+l) = k(k+l)+2(~+I) _, (k+l)k+2) 222
sto mozemo Disati U obliku
, 2' k ( )_ (k+I)Kk+I)+lJ 1+ + ... + + k+l - 2 )
a to je tvraenje Pen), za n ~ k+ I. Dokazali smo daje za svaki prirodan broj Ie istinita implikacija P(k) "'" P(k + I). Posto smo provjerili daje P(I) taeno, metodom
matematicke indukcije smo dokazali daje P(n) tacno za sve prirodne brojeve. 1.20.a) Ako uzmemo da je n = 1, uvjeravamo se dajednakost vrijedi.
Pretpostavimo dajednakost vrijedi z.a n = kLl, tj. neka vrijedi:
1+3+6+ ... + k("+I) k(k+I)(k+2) 2 6
Dokazimo da, uz gornju pretpostavku, jednakost vrijed! i za n = k+ 1:
1+3+6+ ... +k(k+1) + (k+I)(k+2) k(k+l)(k+2) + (k+I)(k+2) ~ 2 2 6 2
= k(k+I)(k+2)+3(k-I-I)(k+2) (k+I)(k+2)(k+3)
6 6 b) Ako je n= 1 jed11akost vrijedi. Neka jednakost vruedi za n = k;, I, tj. neka je
-1 +3 - 5 + 7 - ... + (_·1)' (2k -I) =(-1)' k
Uz gornju pretpostavku dokazimo tacnostjednakosti za n = k+L Zaistaje:
-1 +3 --5 + 7 - . .,f,{_l)k (2k --1)4"" (_1/"+1 [2(k + 1) 1]=
= (-I)'k+(-I)'+1[2(k+I)-I]~ (-I)'k+(-l)'+'[2k+2-1]=
= H)' Ie + H)'+1(2k + I) =(-1)' [k + (-I)(2k + 1)] =
= (_I)k (k - 2k -1) '" (-I)'(-k -1) = (-1)'+'(k+ I).
Dakie, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svako prirodno n. c) .1ednakost vrijedi ?-a n= 1 . Pretpostavimo da jednakost vrijedi za n = k:?: 1,
'~7 '7 ,,(k' .2k-l) k(2k'+9k+l) L, ,+i + ... " + .
6 Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1.
2 + 7 + 17 + ... + (k' + 2k -1) + [(k + I)' + 2(k + I) -I}
= k(2k2
:9k+I)+[(k+l)'+2(k+I)_ k(2k':9k+l)+(k'+4k+2)=
= k(2k'+9k+l)+6(k'+4k+2) 2k3+ 9k2+k+6k2+24k+12
6 6 21e' + 15k' + 25k + 12
6 6
= (kt 1)[ 2ee + 2"+ 1)+'9k+ lOt i~_~2.hCl::,:l)' +9(k+ 1)+ I] 6 - 6 .
lednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.21.b) Ako uzmemo daje n~l, uvjeravamo se dajed11akost vrijedi.
Pretpostavirno daje jednakost istinita za n = k;, I, tj. neka vrijedi:
k(k + 1)(2k + 7) I· 3 + 2·4 + 3·5 + ... + k(k + 2)
6 123
Dokazirno sada istinitostjednakosti za n = k+ j, k(k + 1)(2k + 7)
I· 3 + 2·4 + 3·5 L. + k(k + 2) + (k + l)(k + 3) + (k + 1)(k + 3) ~ 6
[k(lk + 7) k)] 1) k(2k + 7) + 6(k-!' 3) (k 1) 2k' + 13k + 18
=(k+l) 6 +( +3 =(k+ 6 + 6
= (k+l)(2k+9)(h2) = (k+l)(k+2)[2(k+I)+7]
6 6 Dakie) posrnatranajednakostje lstinita i za n = k+l, paje istinita za svaki prirodan braj n.
c) Provjerimo da Ii jednakost vrijedi za n = 1. Neposrednim uvrstavanjem
Dve vrijednosti za n dobiva se: 1· 4 = 1(1 + 1)2 <::> 4:;:: 4 ,
Znaci dajcdnakost vrijedi za n = J. Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k?:l. Neka, dakle, vrijcdi:
1·4+2·7 +3·10+...+k(3k+ I) =k(k + 1)'.
Dokazimo tacnost jednakosti za n = k+ 1.
1·4+2· 7 +3 ·10+ ... +k(3k + I) +(k + I) [3(k + 1)+ I]=k(k + I)' +(k + I) [1(k + 1)+ I] =
= k(ie + I)' + (k + 1)(3k + 4) = (k+ I) [k(l( + 1)+ (3k + 4)]= (k + I)(k' + k + 3k + 4) =
= (k+l)(k'+4k+4)=(k+I)(k+2)'.
Vidllno dajednakost vrijedi i za n = k+ 1 sto znaci da vrijedi za svaki prtrodan broj. 1.22.a) Neposrednom provjerom utvrdujclllo da jednakost vrijedi za n = J. Dokazimo
da uz prestpostavku dajectnakost vrijedi za n = k~l, vrijedi i za n = k+1. Dakle, prctpostavkaje da vrijedi:
l' 2' 3' k'- k(k+l)(2k+1) Co
*) + + + ... + ~ - 6
Koris!ec! (*), dalje vrijed;: , ,2 ' 2 k(k + J)(2k ,-1) ,'}
1-+2-+3 + ... +k-+(k+l) =. +(k+1J-= 6 .
Ic(k + 1)(2k-!' 1) + 6(k + 1)' (k + 1)[k(2" + 1) + 6(k + 1)] (Ic + 1)(2k2+k +6k-!' 6) ~
666
(Ic + 1)(21<'+4" + 3" ., 6) l'e .. + I) [2k(k + 2) + 3(k + 2)] (k + l)kk+ 1) + 1 ][2(" + 1),. 1]
6 6 6 Stu znacl dajednakost vrijcdi i za n = k+ 1. DakJe, jednakost vrijedi za sve prirodne brujcvc.
c) Neposrcdnom provjerom utvrdujemo dajednakost vrijedi za n=l.
124
Prctpostavimo da je jednakost tacna za 11 = k:2: j, tj. ncka vrijedi:
2' +43 + 63 + ... +(2k)' ~ 2e(k + I)'.
Dokazimo istinitostjednakosti za n. = k+l.
23 +43 + 63 L.+ (2k)3 + [2(k + i)]' ~ 2k'(k + I)' + [2(k + I)], =
(k + I)' [2k2 + 8(k + IJ} 2(k + 1)'(k' + 4k + 4) ~ 2(k + I)'(k + 2)' .
Vidimo daje sa nasorn pretpDstavkorn dajednakost vrijedi za n=k, jednakost istinita i za n = k+l, paje istinita za svaki prirodan broj.
" ,jl
'~
d) Jednakost vrijedi za n = 1. Pretpostavimo da jednakost vr(jedi za n = k. Onda vrijedi:
" 2' 34 k' (k )' - le(k + 1)(2k + 1)(3k' + 3k -I) (k 1)'-1 + + + ... + + +1 - + + -30
k(k + 1)(2k + 1)(3k' +3k -1) + 30(k + I)'
30
~ (k+l) [k(2k+ 1)(3k' +3k-l)+30(k+l)~1 30
_ (k + l)[Ck + 1) + 1)][ 2(k + I) + 1)] [3(k+ I)' +3(k+ 1)-1] - ~ .
Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.
1.2.3. Uvrstavanjem vrijednosti n=l u datu relaciju dobije se istinitajcdnakost. Pretpostavimo dajednakost vrijl.;~di za n = k>-l. Neka, dakle, vrijedi:
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) I· 2·3 +2·3·4 L.+ k(k + I)(k -I 2)
4 Dokazimo da jednakost vrijedi Z3 n = k+ 1. 1·2·3 +2·3 ·4+...+k(k+ I)(k + 2)+(k + !)(k +2)(k +3) =
- k(k +J)(k + 2)(k +3) (k JO(, ")(' 3)--- + +)1(+.;..1(+ -4
= k(k + I)(k + l)(k + 3) + 4(k + l)(k + 2)(k + 3) (Ic + I)(k + 2)(k + 3)(~ + 4)
4 4 Vidimo dajednakost vrUedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svako prirodno fl..
1.24. Neposrednom provjerom utvrClujemo dajednakost vrijedi za n=l i 72
n=2. Pretpostavimo dajednakosL vrijedi za n = k;;::2, tj. nekaje:
le(k' -1)(3k + 2) 1.2' +2·3' +3.42 + ... +(k-Ilk'
12 DokaZimo istinitost jednakosti za n = k+ 1:
, '0 . , 2 k(k2
-1)(3k+2l " ·2-+2·3 +3·4~+ ... +(k-l)'c+k(k+1) _. +Ie(k+l) =
12
Ie(k' - 1)(3" + 2) + 12k(k + 1)' k(k + I)[(k -1)(3k+ 2) + 12(k + I)L 12 12
~ "-(k+I)()k' -3~ +2k-2+12k+12) k(k+l)(3k' +11k+lO) =
12 12
IcCk + l)(k + 2)(3" + 5) _ (lc+ I)(k' + k)(3k + 5) _ (k+ I) [(Ie + l)2 -1][3(k+ 1)+ 2] 12 - 12 .- 12 .
Dakle, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.25. lednakost vrijedi za n= 1. Pretpostavimo daje jednakost istinita za
n = 1<2:1, to jest neka vrijedi 1+ 2 + 22 + ... + 2H = 2k -I. Koristeci oVU
pretpostavku dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1 : 1+2+21 + ... +2 k --1 +2K =2k _1+2k =2.2k _1=2k+1 -1.
125
Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+l, paje tacna za svaki prirodan broj n.
1.26. Ocito je da jedl1akost vrijedi za n= I. Neka jednakost vrijedi za n = k2: I:
12 _22 + 32 _42 + ... +(-.I)k-! k2 = (_I)k-I k(k+ I) . 2
Dokazimo 1stin1tost jednakosti za n = k+ 1.
12 _ 22 +3' 4' + ... + (-1)'-1 k' +(-I)'(k + 1)2 = (-_I)k-: k(k+ 1) + (-I)' (k + 1)2= 2
= Hf-I(k + 1) [~+ (-I)(k + lJ] = (_I)k-l(k + 1) [~- ir-I] =
= (-·I)k-I(k + 1) 1-"- -IJ =H)'(k+ 1) rik + 1) + IJ. L 2 L 2
Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+ I, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.
1.27. Jednakost vrijedi za n=l. (Provjeri!) Pretpostavimo dajednakost vrijedi za
k ak+
1 -1. V'
n = k:2:1, tj. neka vrijedi: 1 -+ a+ a 2 + .. + a =---, a -;I:. 1. Dokazuno sada
0-1 da jednakost vrijcdi i za n = k+ 1 :
ak+I -1 k+l a k+l ~ 1 + a k+1(a_1)
---+ a = -----... --~= a--I a-I
ak +1 -1 + ak+2 _ ak+ i ak+ 2 -1 -- ~.- ""'--'--, a:;t:l.
a-I a-I Dakle, jednakost vrijedi i za 11 = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan braj n,
1.28,a) Neposrednom provjerom utvrdujemo da tvrdnja vrijedi za n=l. Neka tvrdnja vrijedi za 11 = k2: I. Dokazimo istinitost tvrdnje za n = k+ 1.
I I I 1 I k - + --+ -_.- + ... + + - = -- + -:-:---::--::-,--1·2 2·3 3·4 k'(k+l) (k+I)·(k+2) k+I (k+I)·(k+2)
k(k+2)+1 ~------
(k+l)2 k+1 k+1 =--=
(I<+I)·(k+2) (k+l)'(k+2) k+2 (k+])+1
Kako tvrdnja vr!jedi 1 za n = k+ 1, to Dna vrijedi 7.Ai sve prirodnc brojevc.
1.29.a) Provjerom za n=l uvjeravamo se daje jcdnakost tacna. Pretpos1.avimo da je jednakost istinlta za n = k:2:], odnosno neka vrijedi:
1 I I I k - + - + -.- -+ •.. +---._--_._----- = -- 0
1 . 4 4·7 7· 10 (3k -. 2) (3k + I) 3k + 1
Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ I : I I I 1 I _____ --L_+~ __ + + + _=
1·4' 4·7 7·10 ... (3k-2)(3k+l) l3(k+I)-2]13(k+1)+I]
k 1 k 1
= 3" + 1 + [3(k+ 1)-2 H1(k + 1)+ It 3" + i + (3k + 1-) .-(3-k,-' 4-) 126
:;:'
k(3k+4)+1 3k' +4k+ I 3k2 + 3k + k + I 3k(k+ I)+(k + I)
(3k + 1)(3k + 4) (3k + 1)(3k + 4) (3k + 1)(3k + 4) (3k + 1)(3k + 4)
(3k + 1)(k + I) k+l k + 1 ._-(3k + 1)(3k + 4) 3k+4 3(k+I)+1
DakJe, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa .Ie tacna za svaki prirodan broj n. c) Neposrednom provjcrom utvrdujemo dajednakost vrijedi za n=1.
Neka jednakost vrijedi za n ~ k2:1: 1 1 I I k .---+-+~--+ ... -+ ------4·5 5·6 6·7 (k+3)(k+4) 4(k+4)
DokaZimo istinitost jednakosti za n = k+l: 1 1 1 ] I k 1
-+._+-+ ... +-_._--+ +-----~
4·5 5·6 6·7 (k+3)("·,·4) (k+4)(k+5) 4(k+4) (k+4)(k·,S)
k(k+5)+4 ,,2 +5k+4
4(k + 4)(k+5)
(k+l)(k+4) k+1
4(k + 4)(k + 5) = 4[(k~ I) +4]' ._----4(k + 4)(k + 5)
Jednakost vr~lcdj j za n = k+l, pa vrUedi za svaki prirodan broj.
1.30. Jednakost vrijcdi za n=1. (Provjeri!). Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k2: I, ~j neka vrijedi:
5 13 2k' + 2k + 1 k(2k + 3) -+-+ ... +---.--~---. ]·2 2·3 k(I<+I) k+1
Uz navedenu pretpostavku, dokazimo da jednakost vrijedi i za n = k+-1 :
5 ,13 . 2k' + 2k + 1 2(k + 1)' + 2(k + I) + ~ ~ - T - + .. < ""j"' + --'---:-c'--=c'--c::-'-1·2 2·3 k(k+l) (k+l)(k+2)
_ k(2k+3) 2(k+1)'+2(k+I)+1 _ k(2k+3) 2k'+4k+2+2k+2+J~ - - + ._-- - -----+ -k+l (k+l)(k+2) k+l (k+1)(k+2)
2k 2 +3k 2k~+6k+5 =--_.+ k+1 (k+l)(k+2)
(Ie + 2)(2k 1+ 3k) + 2k2 + 6k + 5 (k+ 1)(k+2)
2k 3 +3e + 4"" +6k+ 2k" + ~"~~.= 2k3 +9~2 + 12k + 5 _
(k+1)(1<+2) (k+I)(k+2)
2k' +2k' +71<' +7k+5k+5 2k'(k.:"I)+7k(k+1)+5(k+1)
(In 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
~ (2k'+7k+5).(k+l) 2k'+7k·I·5 2k'+2k+5k+5 (k+1)l2u .. +:.12+31 (k+I)(k+2) k+2 (k+l)+1 (k+l)+1
Vidimo dajednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj 11.
1.31.a) Neposrednom provjerom vidimo da tvrdnja vrijedi za n = 1. Ako pretpostavimo da tvrdl1ja vrijedi za 11'= k?l, tada moz.emo pisati:
12 2' 32 k' (1<+1)2 -+-+-+ ... + ''- + 1·3 3·5 5·7 (2k-I)(2k+l) (2k+l)·(2k+3)
127
k(k+1) (k+l)' --"-c-"c' +, ____ :--'::--"-=--:--2(2k+ 1) (lk + I), (2k + 3) 2(2k + I), (2k + 3) 2(2k + I), (2k + 3)
(k + 1)(2k' + 5k + 2) (k+ I)(k + 2)(2k+ I) =
("+I)(k+2) (k+I)Kk+I)+I] " "' '"'' ~- 2(2k+3) 2(2k+ 1)+ I ' sto znae. d. tvrdnJa vflJedll za n = k+L
Dakle, tvrdnja vrijedi za svc prirodne brojeve, b) Jednakost vrijedi za o=L
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k2:1, tj. neka vrijedi:
14 24 k4 k(k ' _+_+"'+,_, ____ ,,_,_ +I)(k- +k+ I) J.3 3,5 (2k -1)(2k + 1) 6(2k + 1)
Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1.
14 2' k' (k+l)4 --+--+ ... + + . = 1,3 3,5 (2k-l)(2k+l) [2(k+l)-1][2(k+I)+I]
k(k + 1)(k2 + Ie + 1) _, (Ie + 1)4 __ k(k + 1)(2k + 3)( k' + k + 1) + 6(k + I)' _
6(2k + 1) , (2k + 1)(2k + 3) 6(2" + 1)(2k + 3)
~ (k+l)f k(2k + 3)(k' +k -+~l)+~k +lil (k' 1) [21e' + Ilk' +23k' + 21k+61
6(2k + 1)(2k + 3) 6(2k + 1)(2k + 3)
,(k + 1)(2k + 1)(k3 + 51c' +9k + 6) ~ (Ie + l)(k + 2)(k' + 3k+ 3) =
6(2k + .1)(2k + 3) 6(2k + 3)
~(k + l)(k + 2) [~+ 1)' + (Ie -I 1) + 1.1 6 [2(k+l)+1] ,
! .32. Jcdnakost vrijedi za n=l. Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k>-l: I 2 3 k =2 __ k 1-2 2+ + 22 + ... +- 2L
i dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1.
~+~+2+" +-,,-+k~=2_k+2 k+~=2 2(k+2)--k-1 2 22 22 2k 2k+1 2K + 2hl 2k+1
= 2- 2k+".-k-l =2- k+3 2k+l 2k+1 •
lednakostje istinita Z,-1. Il = k+ 1, paje istinita i za svaki prirodan broj Il.
1.33. Neposrednom provjerom utvrdujemo dajednakost vrijedi L'1 n=l. Pretpostavimo daje jcdnakost tacna za n = k?:l, ~j. neka vrijedi:
3 5 7 21e + 1 1 1 + -+ -- + ~+ ... +-----.-- = 2 ----
4 36 144 k 2 (k+l)2 (k+l)' '
Dokazimo istinitostjcdnakosti za n = k+ 1.
1+~+2.+~L,+ 22"+1. +_2(k+J2~~2 ___ 1_+ 2(k+I)+1 4 36 144 k (k+!)' (k+l)2(k+2)' (k+l)2 (k+I)2(k+2)'
~ 2 (k+2)' -[2(k+l)+ It2 Ie' +4k+4-2k-3 =2 k' +2k+1
(k+ I)'(k + 2)' (k + 1)2(k + 2)' (k + 1)'(k + 2)'
(k+I)2 I = 2 =2-------
(k+J)'(k+2)' ~k+l)+I]" 128
Vidimo da posmatrana jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan brqj 11.
134, Neposrednim uvrstavanjem n=1 utvrdujemo dajednakost vrijedi za n= 1, Pretpostavimo da jednakost vrijedi za n = 1<21, ij, neka vrijedi:
2 22 23 2k 2k+l --+ +""',-+ ... +-,-,-:=;2--,. --. 2+1 +1 2 +1 2 2 - +1 22 -1
Dokazimo da je pqsmatrana jednakost tacna i za n = k+ 1. 2 22 23 Zk 2k +1 2kit Zk'i
2+1 +- 22 +1 +- 24 +1 + ... + 22k -1 +i+ 22k+11 +1 =2- 22" -1 +- 22.( ~=
_ 2k+l 2k+l 2k+J(22k+l)_2k+I(22k_l)_ - 2---,-+ =2------ k k -
2' -1 +1 (2' _1)(22 +1)
= 2
Vidimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa je istinita za svaki prirodan broj B.
LJ5.a) Ako n =1 uvrstimo u dati izraz vidimo da se dobije tacnajednakost 1 1 6 6
Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k?l, tj. neka vrijedi:
_1_+,_1_+ ___ ·_,_+,,,+ 1 111 1 lj. 1,2,3 2,3,4 3-4-5 k(k+l)(k+2) 2L2 (k+ 1)(k +2) ,
Dokazimo da jcdnakost vrijcdi i za n = k+ 1:
1 1 1 1 --+--+,--,,-+"'+ +---~-1,2,3 2,3,4 3,4,5 k(k+I)(k+2) (k+I)(k+2)(k+3)
_ 111 1 l .,,:1'---__ ,- 2L2 - (Ie + I)(k + 2i J + (Ie + 1)(k + 2)(k + 3)
(Ie + I)(k + 2) - 2 1 k' + 3k . + _, ,+ ___ .:c-_ 4(k+ 1)(k+2) (k+l)(k+2)(k+3) 4(k+ 1)(k+ 2) (k+l)(k + 2)(k +3)
k3+6k'+llk+6-2k-2
4(k + I)(k + 2)(k +3)
k 3 +6k'+9k+4
4(k + I)(k + 2)(k + 3)
e +6k' +11"+6 2k+2 = __ ~_2(k+JL __ = 4(k + I)(k + 2)(k + 3) 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) 4 4(k + J)(k+ 2)(k + 3)
~ ~ __ ,,_1~ -lJ ~ ___ l __ l 4 2(k + 2)(k+3) -2L2 (k+2)(k+3)j'
Dakle, jednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa je istinita za svaki prirodan broj n. b) 1) Neposrednom provjerom utvrdujemo da jednakost vrijedi za n~ I,
2) Pretpostavirno dajednakost vrijedi za n = ~l. tj. neka vrijedi:
1 J I 1[1 1 ] 1,2,3,4 + 2,3,4,5 +",+ k(k +1)(k+2)(k +3) '3 6 (k+I)(k+2)(k+3) ,
Dokazimo sada da jednakost vrijedi i za n=k+ 1 : 129
I ~---+ + ... + +.- -1·2·3·4 2·3·4·5 k(k+l)(f+2)(k+3) (k+l)(k+2)(k+3)(k+4)-
~ H~- (k+I)(k~2)(k+3)]+ (k+l)(k+2)~k+3)(k+4) ~ 1 (k+l)(k+2)(k+3)-6 +cc-~-c--.::..l~~_
3 6(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)
~ .!.lr (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) - 6(k + 4) + 181 = 3 6(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) J
_1[1 6(k+4)-18 ] -36- 6(k+l)(k+2)(k+3)(k+4) ~
_III 6(k+4-3) ] ]rll 6(k+l) ] -3L6- 6(k+I)(k+2)(k+3)(k+4) ~3 6- 6(k+ 1)(k+2)(k+3)(k +4) ~
~~I.!._ 1 ]~.!.[.!._ I ] 3,6 (k+ 2)(k+3)(k +4) 3 6 (k+l+I)(k+I+2)(k+l+3) .
Dakle, jednakost vrijedi j za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan br~j n. 1.36.a) Jednakost vrijedi za n = 1. Pretpostavimo dajednakost vrUedi za n=k;o::l;
130
1 1 11k ---+ + + ... + '---~----a(a+l) (a+I)(a+2) (a+2)(a+3) (a+k-l)(a+k) a(a+k)
Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1: I 1 1 I
----+ . + + ... + -+--,--"---a(a+l) (a+l)(a+2) (a+2)(a+3) (a+k-l)(a+k) (a+k)(o+k+l)
~ _k:.._+_ k(a+k+l)+a ak+k(k+l)+a.
a(a+k) (a+k)(a+k+l) a(a+k)(a+k+l) a(a+k)(a+k+l)
~ a(k+I)+k(k+l) (a + k)(k+ I) = __ ~_ a(a+k)(a+k+l) a(a+k)(a+k+l) a(a+k+l)
Vidimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan br~j n. b) 1) Provjerom za n=1 utvrdujemo dajednakost vrijedi.
2) Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = k::::], tj. neka vrijedi: 1 2 4 8 2k I 2k-!-1
~--+ +---+~-+ +--~--+--~-:-C l+a 1+ 1+a 4 l+a H
••. 1+a 2* a"-l 1--
Dokazimo da jednakost vrijedi i za n = k+ I: I 2 4 8 2k 2kLJ 1 2k+ i
~-+--+--+--+. +--+--=-l+a 1+0 2 l+a 4 l""!""J I+a2! l-'-a2"1 a~l 1-
2hl
+-~= k+1
1 +a2
Vidimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. 1.37. Za n=l irnamo j·I!:=: 2!-1, odnosno 1 =1. Pretpostavimo daje tvrdnja
tacna za neki pflfodan broj n = k ::::1, tj. neka je tacno: 1-1!+2·2!+ ... +k·k!=(k+I)!-I.
Tadaje 1·1!+2· 2!+ ... + k· k'+(k + I)· (Ie + I)!= (k + I) !-I +(k + 1)-(k + I)!=
= (Ie + I)!{k + I +1)-1 = (k + 1)!(k+2)-1 =(k+2)!-1
sto znaci da je tada tVrdnja tacna i za n = k+ 1, pa je tacna za sve prirodne brojeve.
1.38_ Jednakost vrijedi za n = 1. Pretpostavimo dajednakost vrijedi za
k 3 7 15 2' - i !-, ~ I) n=::::1: 1+-+-+-+ ... +--=2 +2k- . 2 4 8 2'-'
Dokazimo istinitost jednakosti za n = k+ 1. 3715 2k_1 Zk'';_l Ik 2hl_l
l+-+~+-+ .. '+~k-' +--,-=2- +2Q,-1)+--,-= 2 4 8 r 2 2
')hl ."" 1 2 + k2 k+1 __ ')k+1 + 2k+1 -1 1 + k2k+1 = 2 1- k +2k-2+----=·, ~
2k 2k
1 12k-<]
= 2k + ( =rk +2k"",i·-(k+I'+2(k-l+l).
lednakost vrijedi i za n = k+l, paje istinita za syaki prirodan broj Il. 1.39.a) Ako uzmemo daje n=l. dobije se 7'-1~6 stoje djeljivo sa 6.
Pretpostavimo dajc izraz Tl_l djeljiy sa 6 za n=k~ 1, tj. neka vrijedi: 7n_1 = 6m, mEZ. Dokazimo da je izmz 711_1 djeljiv sa 6 i 7.2 n=k+ 1.
7'+1_1 ~ 7·7k_1 = 7(7k_1) + 6 ~ 7·6m+6 = 6(7m+1).
Kako je 7m+ I mEZ_ to je izraz 7"-1 djeljiv sa 6 i za n = Ie+ 1, paje djeljiv za svaki prirodan broj.
t) Neposrednom provjerom utvrdujemo da je izraz n] -n djeljiv sa 3 za n~ 1. Pretpostavimo daje n3_n djeljivo sa 3 za n=k:?: 1, tj. neka vrijedi:
k'-k ~ 3q, qEZ. Dokazimo daje izraz 11
3_11 djeljiv sa 3 i za n = k+ 1. (k+ 1)' _ (k+ I) = k' +3k2+3k+ 1 -k- 1 = (k'_k) +3k2+3k ~
= 3q + 3(k2+k) ~ 3(g+ k2+k) . VicHrt:1O da jc izraz 11' -11 djeljiv sa 3 ! za 11 = k+ 1, pa je djeljiv :.3 3 za svaki prirodan bro.1 n.
c) Za 11 = 1 vrijednost iZf3za jc 48 sto jc djeljivo s 48. Pretpostavimo da je izraz in-1_l djeljivsa48z.a 11=k~l,tj.nekavrijedi:
72k"i_l = 48rn, mEZ.
Dokazimo daje izraz 72n-!_1 djeJjiv sa 48 za n=k+l. 7'(k+!r1 -I = 72k+2-' -1 = 7272k-'_1 = 49·72k
-'_ 49+48 = 49(72k-' -I )+48 =
= 48m+48 = 48(m+ 1). Dakle, izraz 7'"-1 -I je djeljiv sa 48 i za n = k+ 1, paje dje\jiv sa 48 za svaki
prirodan broj n.
131
1.40.a) Rclacija v .. ijed! za n = 1 jer je 12 djeljivo sa 6. Neka relacija vrijedi za n = k21, U. nekaje k3+llk = 6q, gEZ. Dokazimo da relacija vrijedi i za n = k+ L
(k+ 1)"+ 11 (k+ I) = k3+3k'+3k+ 1 + Ilk+ II = (k3+ II k)+3k(k+ 1)+ 12 = = 6q+3k(k+I)+12, qEZ.
Kako je svaki od tri dobUena sabirka djeljiv sa sest, to je i cijeli izraz djeljiv sa 6. Dakle, relacija vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj.
b) Neposrednom provjerom utvrdujemo daje relacija 30lns - n istinita za n=l.
Pretpostavimo da ova relacija vrijedi za n = k::2:1, tj. neka vrijedi: ,,5_k = 30'1, qEZ.
Dokazimo da n;~lacija vrijedi i za n = k+ 1. (k+1)'-(k+l) = k5+5k'+IOk3+IOk'+5k+l_k_l =
= (k5 .k)+5k(k3+2k'+2k+ I) =. 30q+5k(k+ 1)(k2+k+ 1), CJEZ. Kako .Ie proizvod k(k+ I )(k'+k+ I) za svako k djeljiv sa 6, 10je i cijdl izraz djeljiv sa 30, pajc relacija istinita i za n = k+L
N ' . A" '5 c) 1 CK.:lJe . (11) = rr + n. Provjera: A(l) = 6, paje izraz djeJjiv sa 6 za n=l. Pretpostavka: Nekaje izraz A(n) djeijiv sa 6 za n=k, tj. llekaje A(k)=6m, mEZ. Dokazimo istinitost Illlplikacije A(k) => A(k+ I) .
A(k+l) = (k+1)' +5(k + l)=k' +3k2 +3k+ 1 +5k+5 =
=(k' +5k) + 3k(k + 1)+6 = 61r1 + 3k(k + 1)+ 6.
DobiE smo sumu od tri sabirka u kojoj je treci sabirak 6. Prvi sabirakje djeljiv s 6 po pretpostavci, a drugi sabirak je proizvod broja 3 i dva uzastopna cijela broja. Kako.ie od dva uzastopna cijela brojajedan sigurno djeljiv sa 2, to jc i drugi sabirak djeijiv sa 3·2, odnosno sa 6. Daklc cijeli izrazje djeljiv sa 6. To znaci daje A(n) djeljlvo sa 6 za svaki prirodan broj n.
1.4 La) Oznacimo fen) = 5" + 2 J1-!-i • Treba dokazali daje za svaki prorodan broj n,
iZfaz f{n) djeijiv s brojem 3. Za n=O imamo daje itO) =5° +2').: =3, dakie
f(O) je djeljivo s 3. Pretpostavimo daje l{n) djeijiv s 3 za n = k:?;O, tj. nekaje f(k) = 3m, mEZ, Posmatrajmo broj f(k+ 1):
f(k+l)=Sk+J +2 k+1-;1 ;=5.5 11 +2·2hl =5(/tk j_··2 k ·,.J)+2.2 k .<l:c"::
~ 5/(")-3 0 2'+' =3(5111_2"'), Sm-2'+! EZ.
Vidimo clajc i f(k+1) djeljiv sa 3, ,to znaci da su svi brojevij(n) djeljivi s J. b) Akojen=l,tadaje: 7.52-'+23 "=35+16=51= 17·3.
N k .. 7 52no1 2"rr"! d' I" 7 k 0 e"aJClzraz· + JeJlvsal za n= :2:1,tJ.nekavrijedi: 7·5"·1+23k
+1 = 17'q, qEZ.
Dokazimo istinitost relacije za n:::; k+ 1.
132
7.S2(k+!)-!+23(k;.J)+1 = 7 .S2.S2k-l+23 ·23k+1= 25(7 .S2k.l+23k+l) - 17·23kH =
= 17.q-17·23k ,1 =I70(q_23k+I), qEZ.
Kakoje q_23k-+! cijeli broj, toje izraz 7·S2n·!+2311+! djeljiv sa 17 i za n=k+l, paje
djeljiv sa tim brojem za svaki prirodan broj. c) Uvrstavanjem vrijednosti n=1 u dati izraz, dobijamo 247, a kako je 247=19·13,
to je tvrdnja tacna za n= 1. Pretpostavimo da je dati izraz djeljiv sa 19 za n=k?: I,
tj. nekaje: 7·S 2k +12·6 k =19m, mEZ.
Dokazimo djeljivost izraza sa 19 za n==k+ 1 : 7.5 2(",) + 12. 6k +1 = 7 .52 ·5" + 12·6·6' = 25(7· 5k + 12.6k
) __ 22&·6' =
= 25 ·19m -19 ·12· 6k = 19(25m -12· 6k).
Dakle, izrazje dje1jiv sa 19 i za n~k+l, paje djeljiv sa 19 za svaki prirodan
broj. 1.42.a) Za n= I vrijednost datog izraza je S4 + 1 t 4 = 625 + l4641 = 15266 == 17·898, §to
znaci daje posmatrani izraz djcljiv sa 17 za n=l. Pretpostavimo daje posmatrani izraz djeljiv sa 17 za n=k::::::l, tj. l1eka vrijedL
Sk+3 +11 3k+1 =17m, mEZ"
Dokaz.imo daje dati izraz djcljiv sa 17 i za n=1<.+ 1. Zaistaje: S/;·dd + 113(i,.d)d:::o5 .Sk+3 + 1(' .11 31:+1 = S(Skt3 + 11 3k ;-I)+ 1326-! 1·'1 I
'1i
005.17111+17.78.11",1 =17(5m+78"113k+
I).
Kako je 5 m + 78·1 IJk-f! E Z ; to je dati izraz djeljiv sa 17 i za n=k+ 1,
paje djeljiv sa tim brojem za svaki pdrodan braj.
b) Za n;;;;:l vrijednost datog izraza je 73 + 83 = 343 + 512 = 855 = 15·57, sto zna6 daje djeljiv sa 57. Pretpostavimo daje dati izraz djcljiv sa 57 za n=k::::l, ij. neka
vrijedi: 7 k+2 +8 21;+1 =57·m, mEZ.
DokaZimo daje dati izrazdjeljiv sa 57 i za n=k+1. Zaistaje: 7k+ I+ 1 + 82(k+I)+! ::;:; 7 .:1h2 + g2k+1 .82 = 7. (7k+2 + 82k+!) + 57·821:+1 =
= 7'.S7m+S7.g2k+l =57(7m+S2k+I).
Kako je 7m +- gUll E Z , to jc dati izraz djeljiv sa 57 i za n=k+ 1, pa je djeljiv sa 57 za svaki prirodan broj n.
C) Ako je n=l vrijednost datog izrazaje 64, pa tvrdnja vrijedi za n=l. Pretpostavimo tacnost tvrdnjc za n = k?l, tj. neka vdjedi:
32k·) -8k-9=64q, qEZ.
Dokaiimo istinitost tvrdnje za n=k+ 1.
3'(k,l} 2 -8(k + 1) - 9 = (9·3"" --12k -81)+64k+ 64 = = 9(3"+2 _ 8k - 9) + 64(k + I) = 9 0 64q+64(k + I) = 64(9q +k + I) 0
Kako je 9q+k+ 1 cijeli broj, to je posmatrani izraz djeijiv sa 64 i za n=k+l, pa je djeijiv sa 64 za ml! koji prirodan broj no
133
1.43.b) Uvrstavanjem n~1 u dati izmz dobijamo 33 sto je djeljivo sa II. Neka je izraz djeljiv sa II za n = leI, tj. neka vrijedi:
30' +4'(3' -2')-I=llq, qEZ. (*)
Dokazimo djeljivost izraza sa I I za n = k+ 1.
30k+1 + 4k+1(3'.' _2'+1)_1 =30 ·30' + 4· 4'( 3 ·3' -2.2') -I =
=30· ~O' +4'(3' -2k )-1}18.4'3' ~-22·4'2k +29~ (')
=30· I lq - 18·12' -II· 2 4' + 29 =1 I (30q-2·4')+ 29 -I 8.12' .
Treba dokazati daje izraz 29-18·12 k djeljiv sa II za svaki prirodan broj.
Za k =1 dobijamo broj -I 87, stoje -17·1 I. Dokalimo da je izraz 29 -18 "12' djeljiv sa 11 za k+ 1, ako je djeljiv za k:
29-18·12,+1 =29-18·1212' =29-18.(1+11)12'+1 =
=(29-18 ·12k+1)-11·18 ·12k
Kako jc prvi.sabjrak djdjiv sa 11 po pretpostavci, to je posijedl,ji izraz djeljiv sa II. Dakle, tvrdnja ovog zal1atkaje dokazana za sve priroone brojeve n. 1.44.a) Za n=l tvrdnja je tacna. Pretpostavimo da .Ie tvrdnja" tacna za n ,;;c k;;:: L
tj. neka vrijedi:
22k+1 -ge +3k-2 ::;:54m, mE Z.
Pod ov~m pretpostavkom dokazimo istinitost tvrdqjc"zo n=k+l )2(k+1 H 9(k 1 2k I - - +1)'+3(k+1)-2~4·2 ~+ -9(k'+2k+li+3k+i=
.= 4 22k+l -ge -i8k --9+3k+ I =4·22k,1 --36e + 12k-S + 27k2 _ 27k =
~ 4· (22k+1 -9k' +3k -2)+ 27k(k -1) 4~ 54m+ 27·2'1 ,q E Z ,jerje k(k-l)
pr01~v~d d,:'a .u.zastop?a,~ije1a br~ja, pajejedan ad njih sigurno panm ((ljeUlv sa 2). Otu,aa.le clJeh 1zraz c1.JCIjIV sa 54 J za n=k+ 1, pa je djeljiv sa 54 za svaki prirodan brc~J n.
b) Ako .Ie n= J, vrijednost datog izraza je 51, pa je djeljiv sa 17
Pretpostavimo daje dati izraz djeljiv sa 17 za n= le I, lj. nck. vr(jedi:
6 2k +- 19 k _,2k+
1 =:; 17q, q EZ.
Dokazimo istinitost tvrdnje za 11 = k+-!. 62(k+l)+19k -tI_2(1i;1}-1 :;::36.62.\' +19.J(/ _).')k-+I=
= 36·621: +36·J91.: '-36·2k~I-·17·19k +34.2,""-1 =
= 36 (6 2k 19' "k+I) 17 ('' k.1 . ~ . +, -L - ·19' +2·2 )=36.17q--17.(19' +2,2'+1).
Kako .Ie (19k
+- 2, 2k+l) E Z , to .Ie posmatrani iZTaz c!jeUiv sa 17 j za n = k+ 1. pa je djeljiv sa 17 za svuki prirodan broj n.
1 .45.a) Za n= 1 vrijednost datog izraza je 34 .5 2 .- 35 .22
=:; 1053, sto je djeljivo sa 1053. Pretpostavimo da je dati izraz djeUiv sa 1053 za n = k? 1, tj. n~ka vrijedi:
32h2 .521.: _3 3k
+2 ·22k
::;::: 1053m, mE Z.
134
Dokazimo istinitost tvrdnje za n ~ k+ 1. 32(k+!)r2 . 52(k->·1} _ Y(HI),2 .22(1;+1):0: 9. 32/;'~2 .25. 52k _ 27. 3Jk <-2 .4. 21k =
= 225 32k-'-2. S2k -108 . 33k
+2 ·22k
:::-: 225· 32k+2 . 52k _ 225. yk-<-2 . 22k + J 17 .3H'",:',. 22k =
~ 225.(3"+,'.5" __ 3"+2.2") +117·9·33k·2"~
= 225·I053m+I053·3" ·2" =I053.(225m+3" .22k).
Vidimo daje posmatrani izraz djeljiv sa 1053 i za n = k+l, paje djeljiv sa tim brojem za svaki prirodan broj n,
b) Uputa: Koristi matematicku indukciju j cinjenicu "broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3".
1.46.a) Ako je n =1 izrazje djeljiv sa 9. Neka relacija vrijedi za n~ leI, to jest,
nekaje k·4'" -(k+I).4' +1=9q, qEL
Dokaiimo da relacija djeljivosti vrijedi i za n ~ k+ 1: (k+ 1)·4(k+l)-d -(k + 1 + 1)·4k
+l + 1:::: 4k ·4k+1 +4k+2 -4(k +1)·4 k _4k+1 +1 =:
= 4k·4k+1 -4(k+J).4k +4+4·4k~I_4k+1 -3 =
= 4(k· 4k+1 -(Ie + 1)· 4k + 1)+ 3·4'+1 -3 ~ 4·9q + 3( 4k+1 - I) =4·9q + 3( 4· 4' -I).
Kako je 4k+l_1 uvijek djeijivo sa 3 (Dokazi!), to je posmatrani izraz djeJjiv sa 9 i za n=k+ 1, paje djeljiv za sve prirodnc brojeve.
I A7.a) Ako uzmemo daje n~ I, vrijednost izraza je 25 (paje djeijiv sa 25). Neka je 1zmz 2"-+l . 3" + 51'1 - 4 djeljiv sa 25 za n=k:? 1, odnosno, neka
vrijedi: 2k+1 < 3k +5k - 4 = 25q, q E Z .
Dokaiimo djeljivost datog izraza sa 25 i za n:;;:;; k+ 1: 2(k-l},1 .3#11 + 5(k +- 1)-4 -:;: 6·2k
+1 ·3 k +-5k +1::= 6 ·2k+1 ·3" +30k -24- 25k+25=
= 6·(2k+1· 3' +5k-4)-25(k-I)=6·25q-25(k':I).
Vidimo da je posmatrani izraz dje\jiv sa 25 j za n = k+- 1, pajc djeljiv za svaki prirodan broj.
1,48.a) Ako je n~ i, vrijednost izraza je 391 ~ 17·23 , odakle so vidi daje djeljiv sa 17. Neka je izraz djeljiv sa 17 za n = k2> 1, odnosno, neka vr\jedi:
25k+J +Sk ·3k+2 =17m,mEZ.
Dokazimo djeljivost izraza sa 17 i za n = k+ 1: 25(k+l)+3 +- Sk+!. 3(k+J)+2 = 32. 25k +3 + 15. Sk ·3k +2 =
= 32. 25k+} + 32 . Sk ·3k+2 -17· Sk < 3k+1 = 32 . (2 5k +3 + Sk . 3k+2 ) -17 5". 3k+2
~ 32.17m-17.5' ·3"+2 =17(32m-5' ·3k +2).
Dakle, posmatrani Izraz je djeljiv sa 17 i za n = k+ 1, paje djeljiv sa 17 za svaki prirodan broj 11.
1,49.a) Neposredno sc vidl da je izraz djeljiv sa a-b za n=1. Neka je a" -h"
djeljivo sa a-b za n = k?J, dokazimo daje izraz a" -b" djeljiv sa a-b i za n=k+l;
Kakoje a"'-b'+1 =(a-b)(a' +a'-lb+a'-2b' + ... +b'), loje a" -b"
djeljiv sa a-b j za n = k+ I, pa reiacija vrijedi za svaki prirodan broj n. b) Za n=1 dati izraz ima oblik
v a'-a = a(a'-l) = a(a'_1)(a2+1) = a(a-1)(a+I)(a2+1). Za a~1 vrijednost izrazaje 0 sto je djeljivo sa 30. Ako a nije nula, tada je
(a-1)a(a+l) proizvod tri uzastopna cijela broja ad kojihje barjedan djeljiv s 2 i
135
jedan djeljiv s 3, paje ovaj proizvod djeljiv sa 6. Faktor a'+ 1 je za svaka cijela a* I djeljiv s 5, paje cijeli izraz djeljiv s 6·5~30. To maci da vrijedi a5_a = 30 q, qEZ. Pretpostavimo daje dati izrazdjeljiv s 30 za n = k:?:l, ti. neka vrijedi:
a 4k+l - a = 30 111, m E Z .
Dakaza!i daje dati izmzdjeljiv s 30 i za n= k+L a 4(I.:+l);-1 _a=a4a4k'.1_a=a4(a4k+l_a)+a5 -a=30m+30q=30(m+q).
Dalde, izrazje djeIjiv s 30 i za n=k+ I, pa je djeljiv s 30 za svaki prirodan broj n. LSO.a) Aka je n=2 vrijednost datog izrazaje 48, pa tvrdnja vrijedi za n=2.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi 7.2- paran bro] koji je veci od 2, n = 2k, tj. oeka vrijedi: (2k)' +20·2k = 8k(k'+5) =48q, qEZ.
Dakazirno istinitos! tvrdnje za n = 2(k+ 1).
(2k+2)3+20.(2k+2)=8(1c'+3k'+3k+I+5k+5) = ~ 8 (k3 + Sk) + 8(3ir' + 3k + 6) = 48q + 24(k' + k + 2) = 48q + 24[k(k + 1) + 21
Kaka je proizvod k(k+ 1) uvijek paran braj, to je 1zraz k(k+ I )+2 djeljiv sa 2, pa je zbir 48q + 24[k(k+l}+-2] djeijiy S3 48. Ovo znaci dajc posnatrani izraz djcijiv sa 48 i za n = 2(k+l), pa je djcljiv sa tim brojem za svaki parni prirodni broj 11.
b) Izrazje djeljiv sa 512 akoje n::=1. Nekaje n=2k+1. Tad8. (mamo:
(2k + I)" - (2k + I)' -(2k + I)' + I = 512q, qc:Z. DokELzimo da je izraz djeljiv sa 512 za n = 2(k+ l)+ 1.
(2k+3)12 -(2k+3)8 -(2k+3)' +1=
= (2k + 3)'«(2k + 3)' -1)-«2k +3)' -I) = ((2k +3)' --I)«(2k +3)' -1)
- ((2k + 3)2 -1)«2k +3)2 + 1)(2k + 3)' -1)«2k +3)4 + 1)=
- [(2k + 3) -IIe2k + 3) + 1)((2k + 3)' + I) [(2k+ 3)2 -I ][c2k+ 3)2 + I ]ce2k + 3)' + I)'
=(2k + 2)(2" -I 4) [(2k + 3/ + 1]c2k+ 2) [2k +4J[(2k + 3)' + 1 ][(lk +3)' + 1]=
-2(k + 1)2(k + 2) E2k + 3)' .; l}(k + 1)2(k + 2) [lk +3)' + 1 ][2k + 3)' + 1]=
-16(k + IJ(k + 2)«(2k + 3)' + I)(k + I)(k + 2)«2" +3}' + 1)«2k + 3)' + 1). Kako je proizvod (1-::+ J)(k+-2)(k+ 1 )(k+2) uvijck djcljiv sa 4, a svaki od prcostala tri fal(tora jc paran broj, to jc posljcdnji izraz djeIjiv sa 16·4·8 = 512.
136
c) Za k=J vrijcJi: 7 + 7 2 + 7 3 + 7''1 ;::;:. 2800 0-"'-1 00,28. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za 11 = 4k, gdje je k2:1 :
7+7'+7'+7'+ ... +7" =lOO'q, qEN,
Dokazimo istinitost tvrdnjc za n = 4(k+ 1):
7 + 72 + 73 + 74 + ... + 7'1k + 74k+1 + 7 4h- 2 + 7 4k +3 + 741:+4 =
= lOOq + 74k+
1 + 74k+
2 + 74k+
3 + 74k+4 = lOOq + 74k(7 + 72 + 73 + 74)=
= IOOq+7'" ·2800=IOO(Q+28.74k).
Daklc, tvrdnja vrijedi i 7-'1 n = 4(k+I), pa vrijedi za svak! prirodan broj k,
odnosno za n =' 4k. 111. d't'
I -I ) Z ~ 0 imamo .- + - > - , pa Je tvr l1Ja acna. .).a a n - 3 4 2 ..
Pretpostavimo daje tvrdnja tacna za prirodan broj nz2 i dokazimo da va:h I
za n+ 1: 11 11111 j 1_
-n-+-2 +-n-+-3'+ ,.+ 2n +-2-n-+-1 +-2n-+-2 >2--n-+-1 +-2-11-+-1 +-2,-,-+-2-
1 1 1 1 =-+------>-
2 2n+l 2n+2 2
Z. = 1 J'c 2.+!+2.=~> 1. Neka nejednakost vrijedi za n=k, tj. nekaje: c) ,an 23412
, 1 1 1 1 _' _+ __ + __ + ... +--+--> 1. k + 1 Ie + 2 Ie + 3 3k 3k + 1
Dokazimo istinitosl nejednakosti za n = k+ 1:
1 I, 1 +~+_I_+_-l-+ __ I_+-l_c, -k+2 +1:+3 '/;'+4 +... 3k 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4
(1 1 1 I 1 1 \ __ ,_~+_1 __ +_1_+_1_> =l'k-:;j+/c+2+-/<+3+k+4+"'+-3k+3k+rJ k+t 3k+2 3k+3 3k+4
J 1 1 I 2 1 ---, 1----+--+--,-+-,~=1+ I - >,. , k+1 3k+2 3k+3 3k+4 3(k-lIl\3k+2)(3k+4)
Vidimo da nejednakost vrijedi i za n=k+]. pa vrijedi za svaki prirodan braj n, 1.52.a) i b) Sabiranjem donjih tacnih nejednakosti
I ' -<l-~
l.S3.a)
4 2 1 1 1 -<---9 2 3 1 I 1 -<----16 3 4
1 -<'--~'
n 2 ~n-l n
1 I 1 j i dobije se', ~-+-+-+ +- < l·~- <! ,
4 9 16 .. 112 n
, 1 I 1,-NckajeA(n): ,11+12+ fj+«'+7n>-VIJ.
Provjerimo tacnost nejednakosti za n=2:
A(?)' _1 +_1 =12+1>I+l=~=.Fi -,f1 12 12 12 12
r:: ,,2+1 '-?
=> ~>-..J2, -v2
137
Ncka vrijedi: A(k): ~+ ~ + ~ + ... + ~ > Jk . vI v2 v3 vk Dokazimo istinitost implikacije: A ( k) => A(k + 1) II! 1 ~ 1 Jk. Jk+I+ 1
Jl+ J'i+ ... + .Ji+ Jk+i·>,Jk+ Jk+l~ Jk+I>
k+]
Jk+1 -
( ,Jk;l)' Jk+ 1
.fk+l. Kako je implikacija istinita, to je navedena nejednakost dokazana za svaku vrijednost prirodnog broja 11 (> 1)_
1.54.a) Nejednakost vrijedi za n=3. Pretpostavimo da nejednakost vrijedi za
11 = k:::::3, tj. neka vrijedi: 2k > k + 3. Dokazimo istinitost nejednakosti za n=k+ 1 <
2k~' = 2 ·2' > 2 ·(Ir +3) = 2k+6 = (Ir +1)+ 3 +k +2 > (k + 1)+3_
Daklc, nt;iednakostvrijedi i za n~:; k+l, pa vrijedi za svaki prirodan broj n. b) Ako je n = 3, nejednakostje istinita. Pretpostavimo da nejednakost vrijedi
za n = k2::3, tj. neka vrijed!: 2k < e . Dokazimo da posmatrana nejednakost vdjedi i za n = k+ J,
2(k+ 1) 2k+ 1 <k' + 2 =(k' +2k+ 1)+(1-2k) =(k+I)' +(1-2k)«k+ I)'.
Vidimo da nejednakost vrijedi i za n=k+ 1) pa je istinit!l za svaki prirodan braj n. . 55.a) Nejednakost je istinita za n =O,jerje 2°=1>0. Pretpostavimo da nejednakost
vrUedi za 11 =::; k~O, tj. neka vrijedi 2k > k. Dokazimo da nejednakost vrijedi i za n = k+ I: 2k
+1 = 2·2' > 2·k = k+k ;;: k+ 1 .
Dakle, nejednakost 211 > n vrijedi i za n=k+ I, pa vrUedi za sve prirodne brojeve i nulu.
b) Za 11=5 irnamo 2 5 > 52 , odnosno, 32> 25, sto je taeno.
. 56.a)
138
Pretpostavimo daje 2" >)12, 71l 11;;:::5. Tadaje:
211+1 = 2.211 > 2 . n2 = n2 + 112 > n2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 .
Dakle, nejednakost vrijedl i 7.a n+ J, pa zakljucujcmo da vrijedi za svaki prirodan broj (veci od 4). Za n=10je 2'0 =1024 > 1000 =10', pa nejednakostvrijedi za n=10 . Prctpostavimo da nejednakost vrijedi za n=k;;:: 10.1], neka je:
~>~ , (0) Dokazimo lstinitost nejednakosti za n=k+ 1.
r, 1)3 . .¥. \K+. .. . . PosmatraJlno kollCl11k k
3' ! stepenuJmo bmom u broJl1Iku:
2 (k+l)'
> 3 k
("")
Mnozenjem nejednakosti (0) i (H) dobije se: 2'+1 > (Ic + 1)3 ,
sto znaci da nejednakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n:2: 10. b) Zadatak se Jjesava analogno kao pod a).
1.57.a) Za n=1, ncjednakost oeito vrijedi. Neka nejednakost vrijedi za n=k:2:1, tj.
neka vrijedi: a k ? bk
Dokazimo istinitost nejednakosti za n=k+ l. a> b =>' ak > bk => ak
+1 > abk > bbk = bk+: .
Vidimo da nejednakost vrijedi i za l1=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj.
b) Neposrednom provjerom vidimo da tvrdnja vrijedi za n=4,jer je 24>l6.
Neka tvrdnja "rijed! za 11 = k?:4, tj. nekaje k!> 2k . Tada vrijedi:
(k+l)!=(k+l)k! >(l+l)k! =2·k! >2·2k >2k+l
sto znaci dajc tvrdnja tacna za svaki prirodan braj n. J .58.a) Nejcdnakost vrijedi 7-,,1 n = 3,jerjc i' = 8 > () = 3!
k(k.,!.]
Pretpos1(IViJ1l0 da ncjednakost vrijedi za n = k:':::3, tj. nekajc 2 2 > k!.
Dokaz.imo istinitos1 d(ltc ncjednakosti za n = k+]. (k+l~~ ~'(k-~:D kQ<"-1) 2k kl/,-I)
2 2 =2- 2 ')---i-+~ =2~-2k>2k·k!>(k-1·1)k!=(k+J)t.
Daklc, ncjednakost vr~jedi za svaki prirodan broj n. b) Ncposrcdnom prO\~jero111 utvrdujemo da nejcdnakost vrijcdi za n =2 .
( Ii' Pretl)Ostavimo da ,je nc]' ednakost istinita za n = k::::2, ~j. nelen je I 2 ~ ~ I > k ,
\ k)
Dokazimo istinitost ncjcdnakosti za 11 = k+ 1.
12--- ""r2---1i2-~- >i2-~1 >k ( I )'" ( i" ( 1 I ( I \k 2k + 2 -I 2k ~ 1
\ k+1 \ k+1/ \ k+1/ \. k) k+1 k+l
2k' +k -Jic-' +k)+(k+I)I-(k' -k::..12=k+l + Ie' -k_:!_ >1c-I-l_ Ie+l Ie-II 1e+1"
Jcr Je lzraz ](2_k_1>0 za k;;:::2. Daklc, ncjcdnakost vrijedi j z.a n=l\+ 1, paje istinita za svaki prirodan broj 1122.
1.59. Ako lC n=2, tada vrijedi (J +x/=l +~Y+-Y'. Ako je X:;i:O, tad a jc x2> 0, paje' (l+X)2> 1+2x-,
Prctpostavirno da nejednakosl vrijedi za n = k?2, ~j. neka je (l+x)k=l+kx. Dokazimo is1initost neiednakosti 73 n = k+ 1. (I+X)k+' = (l+x)(1 +x{ > (1 "'"xl(! +kx) ~ H kx+x+kx' ~ 1 +(k+ l)x + kx' Kakoje kx2 > 0, tojc (l+x)H > 1+(k+l)x. paje nejednakost istinita i za n=k+I. Dak1c, nejednakost vrijedi za svc prirodnc brojevc vete od 1.
(Dokazana nejednakost nazi-va se liernoullli 9_ je\'3 nejcdnakost).
9* Porodica BernouJli-jc;'ihjc if. Njcmackc dosclila u Svicarsku. Ii tri gcncracije ovc pnrodicc hiio jc OSilm istaknU1ih mal'cmaticma Koji su svojim rado\'ima doprinijc1j i uticali n<1 n1zvoj nilUKc. nc sarno mill"cmiltike, u cije!oj Euror!
139
16 24 1,60.a) Neposrednom provjerom vidimo da tvrdnja vrijedi za n=2,jer je - < -.
3 4
. .. d' k' k' 4 k (2k)! T d . Neka tvrdnJa vflJe 1 za n = '22, tJ. ne aJe -- < --'-, a ~lje: k+l (k!)'
(Ie + 2)(2(k + 1)! (k + 2)(2k + 2)(2k + 1)(2k)! (k + 2)(2k + 2)(2k + 1) (2k)! -~7":-.-:--':'T---'- . --- >
4k"'(Ck+l)!)' 4 k+'(k+l)'(k!)' 4k+'(k+I)2 (k!)'
(I< + 2)(2k + 2)(2k + I) 4' (I< + 2)(2k + 1) 2k' + Sk + 2 >- .. 4 k "'(k+I)' k+! 2(k+I)2 2k' +4k+2
= (2k' + 4k + 2) + k = I + ___ k __ > 1 .
2k2 + 4k + 2 2k2 + 4k + 2
Iz (k:- 2)(2(k + 1)! > 1 slijed! (2(k + 1»)1 > _, 4k
>'
4°'«(lc+I)!)' ((kd)!)' (k+I)+! , sto znuci da
4" (211)' ncjednakost --~- < ~-+ vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svald prirodatl broj n.
n+ 1 (n!)'
0) Neposrednim lIvrstavanjem vryednosti lF2, utvrduiemo daje ncjednakosl tacna. Prctpostavimo da nejednakast vrijedi za 11 = K:?:2, tj, neka vrijedi:
4k (2k)1 (2k )!(2k + 1) --<-- ,odnosno, k 2 >1, 2k+1 (k!)' 4 (k!)
Dokazimo istinitost nejcdnakosti za 'n=k+ L (2(k + ]»!(2(k + I) + I)", (2k + 2)1(2k + 3) _ (2k + 2)(2k + 1)(2k )!(2k-i 3) _,
40'+')«k+])!)' '4'4 k (k+l)k!), "---4:4'(k+l)2(k!)'''----
__ (2k)!(2k + 1) (2k + 2)(2k + 3) (Ie + 1)(2k + 3) 2k + 3 _ 2(k + I) + 1 __ -----_. > :::: ---- -- --_."'---
4k (k!)' 4(k+l)' 2(k+l)' 2(k+l) 2(k+l)
2(k+J)+~1 __ =1+ ] >1. 2(1, + 1) 2(k + 1) 2(i< + 1)
. (2(k+I»!(2(k+J)+1) Kako 1:::: (.) + , ) '} . > 1
• 4 ,,' lCk+])! '
. (2(k + I»)! 4(h') to Je ----- ~ -;---"'-----" pa
, ((Ic+])!)"-
posmatrana nejeunakost vrijcdi i za n~:;::k--i-l, sto znaci da vrijedi Zil svaki prirodan braj n>l. 1.6La) Za n=6 ncjcdnakosti su tacnejer je 729 > 720 > 64,
Pretpostavimo da nejednakosti vrijede za n;;-'" k?6, tj. neka vrijcdi
I " ( • k 1"- > k! > 1"-). \.2; 1.3
Dokazimo istinitost nejcdnakosti za l1=k+ 1.
(l k + 1\k+' = k + Ii' (I:..":~) = (Ie +!L. "--":~ > 21e' k + I = 2 ) 2)), 2k 2 2" 2
140
k' = -T.(k+l»(k+l)k!=(k+l)!.
2
Ovdje je koristena nejednakost (k + 1)' > 2k' • k> 1. ( Pokusajte, za vjezbu
dokazati ovu nejednakostl ) Dokazimo, sada, za n = k+ 1, drugu nejednakost.
(k+l)k+' =(k+IJ'(k+lj (k+])' k+1 <3.'" k+l = (,,-)k k+l<
3 I. 3 \ 3) 3k 3 3k 3 3 1
< k!- k~l =Vr+l)k!=(k+l)l. 1
Dokazi U ovom dijelu koristenu nejednakost (k + l)k < 3 kk , k> 1.
( )" ( y'
Ovim smo dokazali da za svako 11?6, vrijedi (% > nt > %). b) Nejednakost vrijedi za n = 1, n:::;;, 2, 11 = 3. Pretpostavimo da je nejednakost
i5t111ita za n = k2: 1, tj. neka je k!:2.f11 . Dokazimo istinitost nejednakosti
za n = k+l.
(k+I)!=(k+l)k! <: (k+I)Jki' ~J(k+])2k' ~~(k+l)(k+l)k' <:
<: Ju, + I)(k + I)' = J(k + 1)'+' .
Vidimo da nejednakost vrijedi i za n = le+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan
broj 11.
L62. Neka je n ,,~ 2. Uvrstavanjem u datu nejednakost dobije se
2(/+b2) :::;:(02+1/)+(a 2+6 2) >(a2+b L) +2ab=(a+b)2,
pa nejednakost vrijedi za n=2. Pretpostavimo da je nejednakost istinita za n:::;; i22, tj. neka vrijedi:
2k-l(ak +bk ) > (a+b)k.
Dokazimo istinitost nejednakosti za n :;;;: k+ I.
i'>H (akd +bk"') = 2. 2k"( a'" +1/") > 2k-' (a" + bk )(a+ b»(a+ b)k (a +b) =(a+ b)k,"
Dukle, nejednakosl vrijed; i za n=k+ I, pa vrijedi za svo prirodne brojeve
n>L i.63. Neka je n =1, T ada vrijedi (coset + isina)1 ::;;:; coset + i sinO', , sio je istinita
jednakost. Pretpostavirno da jednakost vrijedi za_ n=k~ 1, tj. neka je
(cosO'. +isino~./ ::;;:;coska +isinka. Dokazimo istinitost jednakosti za n =-.:: k+ 1 "
(coso: + isina.l+ t := (casu + isinO'. ) (coscx. + isina. / = = (cosa +isina)(cosna + isin 11a..) =
= (cosa cosna -sinO'. sinna) + i(sinu cosna + cosa sin na) =
= cos(n + 1)<:< + i sin(n + 1)<:< .
DakJe, jednakost vrijedi i za n = k+], pa vrijedi za svaki prirodan broj.
141
1.64.
• (1.< • sm~sma
Za n=l tvrdnja je tacna, jer je sin a = --=--- . Pretpostavimo da je . a
8m-2
tvrdnja tacna za prirodan broj n. T ada je . (n+1Ja . na sm ,-~ .. -,~-, sm-
sin a +sin 2a + ... +sin nO'. +sin(n+ 1)x 2 ~-- +sin(n+ l)ct = .a
. (n + lJa . na sm - .. ~-,-~ sm --
Sll1-~
2
? . (n + l)a (n + lJa
--~'----'=- + ~ sm cos "'--,:-'--. a 2 2
5m-2
. (n + lJa sm ---2" .. (. no. . ri (n + lJa) --~'--_ sm--+2sm-cos ' ::::
.a ~ 2 2 2 sm-
2 . (n+i)a sm---(. n0.. . (n+2)a.
8m -- + 8m ... 'c --:=:.c . a 2 2 sm ._-
2 1.65. Jednakostje istinita za 11=l.
Pretpostavimo da jednakost vrijedi 7.,3 n = k?:-l, tj. neka vrijedi:
.. " . s~'b smx + sm3x + sm5x + ... + sm(2k- l)x = -.---.
smx Dokazimo istinitost jednakosti za n=k+ 1.
• 2 b sinx + sin3x + sin5x + ... + sin(2k-l)x + sin(2k+ l)x = ~ + sin(2k+ l)x
smx
142
sin 2 lex + sin(2k + 1 )xsin x
smx
2sinx
sin\k + J)x +sin'(k ~l.-: 2sinx
sin' b+ ~[cos(2b)-cos(2b + 2xJ] L
2sin'(k+ l)x -----
2sinx
sin x
sin'(k + l)x
sin x
7' ~.smx
Vidimo da jednakost vrijedi i za n= k+ I, pa je istinita za svaki prirodan broj n. 1.66. Jednakost vrijedi za n= I. Neka jednakost vrijedi za n = kd, ti. neka vriiedi
(k + 1Ja . ka cos 'sm--
cosu + cos 2a + ... + cos ka :0;: 2 2 , a '* 21n, IE Z . . a
sm --. 2
Dokaiimo da jednakost vrijedi i za n = k+ J : (k + 1)0: . ka
cos ·510-
cos a + cos2a + ... + coska + cos(k + 1)a = 2 2 + cos(k + 1)0: ~ .a
Sln--2
(k + l)a . ka . a cos .... --._-. sm-.. + 5111 -. cos(k + I),x
2 2 2
2sin~ 2
3a a 3a a +ka+·-· -+ka--
2cos-2-~5in-2---- 2 2 2
2sin~-2
(k+2)a . (k+ 1)a cos -_._. __ ." --- ."' sm --".~"--,, __ -,,-2~ 2
. a sm~
2
. (3a ,~.\ . a Sill ---- + ItU. ) _. 5m-2 J 2
2a+ka . a+ka COS---SlO---
2 2 .a
sm---2
Kako jednak05t vrijedi i za n=k+ 1, to je ona istinita za svaki prirodan broj n. [,67. Ako je ll=l neposrednim uvrstavanjem dobije se tacna iedllakost.
Pretpostavimo dajedllakost vrijedi za n = k<ol, tj. neka vrijedi:
143
sin2kx cosx + cos2x + cos3x + ... + cos(2k ~ l)x = --,-
2smx Dokazimo istinitost jednakosti za n=k+ L
sin 2kx cosx + cos2x + cos3x -+ '" + cos(2k-l)+cos(2k+l)=·--, - + cos(2k + l)x =
2smx
sin 2kx + 2'~ ~in(2k + 2)x +sine -2kx)] sin 2kx + 2 sin x cos(2k + l)x 2 =
2 sin x 2sin x sin2kx + sin 2(k + l)x - sin 2kx sin2(k + l)x
2sinx 2sinx Vidimo dajednakost vrijedi i za n=k+l, paje istinita za svaki prirodan broj n.
1.68, Uvrstavanjem vrijednosti n=l uvjeravamo se dajednakost vrijedi. Nekajednakost vrijc'ili za n = 121, tv jest, nekaje:
;) 'I 2, k sinka·cos(k+lJa cos a +. (;05- g...x, + ... + cos KU = -- + ' .
2 2sino:. Dokazimo istinitost jednukosti z,a n = k·+ 1,
), " '" 2 " 2 cos· a + cos~ i.£L + .. < + COS key. -+ COS· (k + 1) ('I
k sinku'cos(k+l):x ') = -+---;::'-,-'-"-+cos'(k+l)a=
2 Lsma
k sin lea' cos(k + I) ((, + 2sina cos'(k + I) a = ~+ ". . = 2 2sina
= !5... -+ ~_~~k -+ l)a&in lea + 2sina cos(k + l)a.]= 2 . 2sinu
__ k cos(k+lja~inka+sjn(k((-I-2a)-sinkaLk cos(k+ljasin(ka+2a) - -+ ._. --.+ = 2 2sina 2 2sina
_ k+l ~ ~in(2k+3ja +sinaJ-sina _ - --+ _._---cos(k + lja sinC ko_ ., lac )
= --{---+ k
2 2 2sinu 2 2 2sin(( k+l sin(2k+3)a-sina k+! 2sin(k+!)acos(k+2)((
+----4si~~~---= "-2-+"- 4sina 2 _ k + I sin(A + l)a cos(1e + 2)a - --+- ._-
2 2sina ' Vidimo da jcdnakost vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijcdi za svaki prirodan broj n.
1.69. Ako je 0=1 uvrstavanjem u desnu starnujednakosti dobije se:
. 2 sin x cos ~ sin x 2 2 x --- = ----- :;::;:: cos -". sio znaci da jednakost vrijedi za n= 1 .
. x " . x 2' 2 Sin -~ L. sm --2 2
Pretpostavimo dajednakost vrijedi za n = kLl, to jest, neka vrijedi:
144
i]
x x x X X cos-cos-cos-cos- ..... cos-
2 2' 23 2' 2'
sinx
2k sin ~ 2
Pod navedenom pretpostavkom. dokazimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1. x x x x x x
cos-cos --cos-cos-' .... cos-' cos--2 22 23 24 2k 2k +1
. x . x . x smxcos-~ smxcos--- smxcos~- .sin x
2' sin r 2' sin2(:;+~') 2k2sin(2:+' ):0:(2:+') 2k+1
sin 2:;' Dakle,jednakost vrijedi i za n=k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n,
1.70. Nekaje n=1. Tada imamo:
cosa·cos2a 2 sin a . cos a . cos 2a 2 sin 2rt cos 'kt sin 4a
2sina 4 sin a,
Jednakost, dakle, vrijedi za 0=1. Nekajednakost vrijedi za n=k, tj. neka vrijedi:
4sina
sinZk+la cosa·cos2a.cos4a·cos8a· ... ·cos2ka = .
2k +! sina.
Dokazimo da jednakost vrijedi i za n=k+ 1.
1.7L Provjerirno da Jijednakost vrijedi za n=1.
cosx cos2x 2cosxcosx-cos2x 2cos2 x-(cos2 x-sin 2 x) =
ctgx-ctg2x=-.-- , smx sm2x 2sinxcosx sin2x
2cos2 x-cos2 x+sin2 x cos2 x+sin2 x = ------ = -_.
sin2x sin2x sin2x Vidimo dajednakost vrijedi za n=l. Pretpostavimo dajejednakost istinita za n=lG::l, tj. neka vrijedi:
1 J J I , __ + __ + __ + ... + ___ =ctgx_ctg2 x. sin2x sin4x sin8x sinZkx
DokaZimo istinitost jednakosti za n=k+ 1. 1 1 1 11k
-,--+-,--+-,--+ ... +-,--,-+, k+l =ctgx-ctg2 x+. k+l sm2x sm4x sm8x 5m2 x sm2 x sm2 x
cos2'x 1 cos2'x 1 = ctgx----+ ctgx----+ =
sin2kx sin2k+!x sin2kx sin2(2kx)
145
cos2k X 1 = ctgx----+ =ctgx
sin2k x 2sin(2k xl eos(2k xl 2cos2kxcos2kx-l
2sin(Z' x) eos(2k x)
2eos'(2' x)- cos'(2' xl -sin'(2k x) ==: ctgx
eos'(2' x) - sin '( Z' x) ctgx k
sin 2(2' xl sin2(2 x)
_ c052(2' x) cOS(2'+1 x) - ctgx- ctgx . k-t ==:ctgx-ctg(2k+1 X )_
sin2(2k x) sm(2 + xl Vidimo da jednakost vrijedi i za n = k+], pa je istinita za svaki prirodan broj n.
1.72. AIm je n = 0, uvrstavanjem u izraz na desnoj strani date jednakosti dobije se:
ctgx _ 2ctg2x = c~sx _ 2 c~s2x = c~sx 2( cos2 x- sin I x)
stnX sm2x smx 2sinxcosx cos2 x - cos2
X + sin 2 x sin 2 x sin x . =--=/gx.
sin xcosx sm xcosx cosx DakIe,jednakost vrijedi za n=O. Pretposlavimo dajejednakost istinita za n = k;o,O, tj. nekaje:
lxlxlx Ixl x Igx +21g 2 +'4tg"4+iilgii+"'+ytgy = yctg y -2ctg2x.
Dokazimo istinitost jednakosti za n=k+ 1 . Ixlxix Ixl x
tgx+ -tg- +-/u_+_lg_+ ... + -tg- + --tg-- = 2 2 4 b 4 8 8 2k 2k 2k+t 2k+1
i x I x l( x x) = 2k ctg 2k -2ctg2x+ 2k+l tg 2k+l ==: 2k+1 2ctg 2k +tg 2"+1 -2ctg2x=
I I 2Cfg2(-"--}lg .. ~ + 1 1 or x ) 1 1 2k+l _ 2k+l
= 2k+1 2clg"\2'+1 +--x- -2ctg2x = Z;:;]'·-··----x --.. --2cIg2x= clg-. - cto--
\ 21<:+1 ) . b 2k+l
2Cfg2x
2( X '\ ct --I 1 g 2k~ ) I x
= --. -.------ - 2ctg2x = - . cig -_. - 2ctg2x . 21e+! x 2k+l 2 k +!
ctg--" 2 k +1
Vidimo da pod pretpostavkom da jednakost vrijedi za n=k, ona vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.
146
I .73. J ednakos! vrijedi za n = I . Pretpostavimo da jednakost vrijedi za n = k, Ij. neka vrijedi jednakost:
sina +sin(a +x)+sin(a + 2x)+ ... +sint< +(k-l)x]
. /ex . ( k-J '\ sm~sm a+--xl
2 2 ~ o x
SIn--2
Dokazimo istlnitost jednakosti i za n = k+ 1. sina +sin(a + x) + sin(a + 2x)+ ... +sin~ +(k-l)x}sin(a +/ex)=
. /ex . ( k-J) . /ex . ( k-l) . x . sm---·sm a+--x Sill-sm a+--x +sm~sm(a+kx) 2 2 2 2 2
--"--"'---=--' + sine a + /ex) x . x
sm- sm-2 2
. H =( ~-a -yx )-co{ ~+a: .. kilx )]+H cos(~-a-kx )-eo{~+a+"')]
2sin~ 2
x 2sin-
2
. x sm-
2
a-=-a-kx-= a--::+a+kt+= -sin-2-- .. -,------~-sin 2 2 ______ ~2~ 2
. x SUl--
2
. (k+l)x . ( /ex) sm--2--sm «+2
. x sm-
2
2sin': 2
. -kx-x . 2a+kx -SJn-·--sm--·
2 2 . x
sm-"" 2
Sada vidimo da posmatrana jednakost vrijedi i za n =: k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj o.
147
1.2. Binomna formula
1.74. Ako je n = I, tada vrijedi (a+b)'=(~}' + (:}l-lb l = a+b.
Pretposlavimo dajednakost vrijedi za n=lel, Ij. nekaje:
(a+b)' =(~}k +(~)ak"b+(~)a'-'b' +q+(k~Ja b'" +(~}k. DokaZimo istinitost jednakosti za n=k+ 1. U dokazu cerna koristiti osobinu zbira binomnih koeficijenata
l(n \( n 1= (n+ I). (Dokazite ovu reiaciju!) m) m-l) m (a+b)k+1 =(a+b)(a+b)' =.
'=(0 + b) [(~)ak +(~}k"b +(~ )o'-'b2 ++ (k~ I) bk., +(~}' ] =
r(kl (k\ (k) (k ) /k'] = al~ 0 l' +ll jak"b+ \2 a"'b' +q.+ k-I a bH
+lk )bk +
+b[(~)a' +(: )a"'b +(~ }Hb' + "'+(k ~ I} bH +l:}k] =
=(~ )a'+1 +(: )akb +(~ )a"'b2 +"'+(k~ l}'b'" +l: }b' + +l~ )akb + (~)a"'b' +G )oHb3
+ q'+lk ~ I} b' +(~ },+' =
=( ~ }k+' + [(~ )+(~) }'b+[(~ )+(~) ]a"'b' +[ (;)+ (~) }"'b3 +q.
+[(~)+ (k ~ I) ]abk +l: }k.l=
(k+ll ,+, (k+II" (k+n H, (I k+l) ,., 3 = )a + la D + )a b + a b + ... o 1),2 \3
+ lab~ h. (k + 1'\ '. (k + I) '+1 , k ) k+l Vidimo da binomna formula vrijedi i za n = k+ 1, pa vrijedi za svaki prirodan broj n.
1.75 .• ) (a+b)' =(~}2bO +(~}Jb' +G}Ob' =a' + 2ab +b' .
148
b) (a+b)' =(~}3bO +(~}2bJ +(~}Jb2 +(~}Ob3 =«' + 3a'b+3ab2 +b3.
c) (a-b)' =(~}3bO _(~}'bJ +(~}b2 _(!}Ob' =«'-3a2b+3ab' _b3.
1.76.a) (a+l) , =(~}, +G}' +(~y +G),+(~} +GJ=
= a5 +5a4 +10a3 +10a2 +5a+1.
b) (a· I) 6 = (~}, _(~}, +(~}, _(;y +(!)' _(~} +(:) =
~ a' _60' +15a' -20a' +15a2 -60+1.
c) (l+x)7= GH~}+G}' +Gr +(:}' +G}' +G}' +G}7~ = 1-+-7x+21x2+35x3+35x4+21x5+7x6+x7.
I.77.a) (a.2)' =( ~}, +(;}'2+(~}222 +(~} 23 +( :}, ~a' +Sa' +240' +320+16
b) (x+3)' =(~}5 +G}'3 +(~}33' +(~}'33 +(~}2' + [!), =
= x5 + 15x4 + 90x3 + 270x' + 80x + 32
c) (2+x), = (~}6+(~}5X+G}4X7+(:}JXJ+(:}JX'+(:}~+(:}6 =
= 64+192x+240x'+160x3+60x'+12x'+x'.
( 1,4 4 2 4 1 (1::=)' r;; 1.78.a) la+-;;) =a +4a +6+;:;+;:;< b) 1+\/2 =41+29v2.
0) (J3- .1)' = 8 ( 26-15,/3')
1.79.a) (1+;)' = (~H~}+(~}' +(~y{:}4 +(:}, +(:}" = ·8;
b) (l-iJ'=8i
0) (i·31' = (~}, +G}4(-3)+(~}3(-3)2 +G}'c-3)3 +
+ (:} H)' +G}-3)5 = 12+316i.
1.80.a) (a+i)7 = (a7.2I a5+35a3·7a)+( 7a'-35a'+2Ia'-I);. b) (a+2i)' = (a'- 40a3+80a)+(1Oa'.80a'+32)i. c) (l.2i)' = 1-16i·112+448;+ 1120-2240i·1792+1024i+256 = ·527-784;
1.8 La) (x'+2a)' = xJ'+12axJO+60a'x'+160a3x'+240a'x'+192a'x2+64a' b) (a' .b')'= al2 ·6a JOb'+ 15a8b'-20a'b'+ 15a'b8 .6a'b JO+b 12
149
c) (3a2_2y)' ~729a12-2916aJOy+4860a&y' -4320a'y'+.2160a 4y'-576a'y5+64y' .
L82.a) (Va + Vb)7 ~ (if:t)' +l~}if:t)'Vb +G}if:t)5(Vb)' +G}if:t)4(Vb)3 +
+ (:}Va)l(Vbl' + G}Va)2(Vb)' + (:)Va (Vb)' + [~}Vb)' ~ ~ a'Va + 7a'l[i; + 21aVa2b' + 35ablJa + 35abVb + 21bVa'b2 + 7b 2 Va +h2l[b .
b)
0)
( Va o· Vb)' ~ a2lJa -7a'ljb + 21aVa2b' -35abif:t +
+ 35abVb - 21bVa 2 b 2 + 7 b'Va - b' Vb .
( Vx + ifYy = x3 + 9x
2 ·Vx2y + 36x2 .V;;"2 + 84x2y + 126xy.Vx2y +
+126xy·R + 84xy2 +36y2·Vx2y +9yZ.Vxy2 +yJ. %
1.83.a) r-l-+~ I ~ __ 1_+_4_+_ 6 +~_+_1_ ,Va Vb) aVa aVb Va'b 2 bVa bVb (I J '\" _ 1 6. 15 20 15 (, 1
b) lVa -Vb) - a' -~ffh -c aVail --;;b+ bVa2b - bi,Fab + b2 •
(b a i 5 b5 5b 4 lOab' 10a'b 50' a5
c) l V;; + Vb) ~ ai,f;! + l.Iab + ifi1 + if:! + v;;r; + bifi1 ~ r---6 3 ')1') ')
1.84.a) (va+b +va-b)'~(a+b)' +6(a+b)-"a- -b' +15(a+h),(a-h)+
+ 20 (02 ·-b' ).,]a' _b 2 + 15(a + b)(a _b)2 +6(a _b)2 JCa + b)(o - b) +(a - W.
b) (fa+Fa+b)4 ~ a 2 +4aJa(a+b)+6a(a+h)+4(a+b)Ja(a+b)+(a+b)2
0) (N-=!+1)4 a'+4(a 2 -I)Ja'-1+6(a'--I)+4fa'_I=
7a2+4a2~_6"
1.SS.a) (501 50 50 (50\ 49 49 TI='l Ix = x , T,= 1 )Ix ~ SOx
0)
T.=(100)!(_ )!()() =3)00 100 (100') -99.5=500.399a99 b) 'l O,w a, T,~ \ I /3a)
c) T,j3:)\2a)35 ~235a35 T2~ r351(2a)" .(-h)=-35 2"a34b l \ i /
1.86.a)
150
~ _fl30
J '9 29 T31 --(, 30Ja0230 _-2311 130-- 29 a·2 ~30a·2 , 130 ,
b) TI9=(::}.(-I)"ZI9X, 1',oz(::}O(-l)I9 Z_1
c) T26~G:)c2a)I'(7h)25 ~52·725ab25, T27~G:}7b)" z7"b26
1.87.a) I ,024 ~ (l+0,02)'~1 +4.0,02+6.0,02'+4'0,023+1'0,024= ~ 1+0,08+0,0024+0,000032+0,00000016 = 1,08243216.
b) 0,99' ~ (1-0,0 I )5~1_5·0,01+ 10·0,01'-10·0,01 '+5.0,0 14_0,0 I' ~ 1-0,05+0,001·0,0000 I +0,00000005-0,000000000 1 ~ = 1,00100005-0,0500 I 00001 ~0,9509900499.
c) 1,01 6 ~(1+0,01)6 ~ 1+6·0,01+15·0,01'+20.0,01'+ + 15.0,0]'+6.0,01 5+0,01 6 ~I ,061520 15060 1.
(
4 \12 . 88 LOOS12 ~ (I +0008)"= 1 + --J = 1. . • , 1000
~l·12\(l12\)_8_/12J.24_JI2i 512 + ... ~ 1+12.0,008 + 66.0,000064+ 0) i 1000 l2 10' l3) 10'
+ 220·0,000000512 + ... ~1+0,096+0,004224+0,000112640+ ... '" 1,1.
( 4 )'" 1.89. I ,000441 ~ (1+0,0004)41~ ~ 1+ 1 0000 ~
(41\ (411 4 (41) 16 . (41) 64 0)+ . i ) 10000 +lz iQ8+l3 10" +...
1 + 41·0,0004 + S2()·0,000000 16 + 10660·0,000000000064 + ... 1+ 0,0164 + 0,0001312 + 0,00000068224 + ... '" 1,017
1.90. 1,0005"",1,001
12 12_ (12) i12) 15 (123) 225 (12) 3375 (12115
4
1.9L 0,85 ~(1-0,15) - 0 -,I -100'\210000- 3 1000000+ 4)10'-'"
~ 1-12·0.15+66·0,0225-220·0,003375+495·0,00050625 -... = ~ 1-1,8+1,485-0,7425+0,25059-0,0601+0,0105-... '" 0,143
1.92.a) 1039,37 b) 1,0015 c) 1,0003
1 0' 1'1- c;)' =(EI)4~(4)J4\J2+l~4)2_(4)\J2+(414= ."". \ '1/2. 0 ~I) 2 ~3 4)
= 1- 4 J2 + 12 - 8 J2 + 4 = 17 - 12 J2 '" 17-12·1,4142", 0,029 .
1.94. T" = (:~}5XIO ~ 3003a5x 'O• 1.95. T, = [17
0}337 ~ 262440x'
1.96. T" ~ (~) a5( J2 r ~ ll2a
s J2
_ (23J\ 23_14(.1.)14 ~ (23J 9 -14 = (23J -5 1;5 - a a a a .
. 14 a 14 14 1.97.
151
\.99.a)
b)
c)
1.100.a)
UOl.a)
U02.a) T'COd"j'~T'=C86}'X-4
cJ T,,,'"j'~ T1G=G~}Ja
!.J03.a) T'''4'"'~16=C50nn rx)' =8064x-3 .,ix
152
(103) ( )51 c) T",,",,= 152~ lSI a" f3 , _ _ (103)" 51
T"",",- T53-l 3'a , . 52
_ _ (171 9(a)' (17) 8 _ (17) .(a)' (17) a" !.l06.a) 1""'"j,-T9 - 8 j2 '2 = 8 ·2a ,T,,""ji-T IO = 9 2 '2 = 9 "2
_ _ (15) ,(b)' _(IS) a8b' _ _ (15) ,(b18 (15)a'b8
b) T,,,,,,,,,,-1,- 7 a 4 - 7 '4" T,"",,,,,-19 - 8 a 4) = 8 "4'
_ _ (13) 14 6 3 (13\) 17 (131" c) T,"""j,-·T,- 6 a (3 a )= 6 ·729a , T,""'"j,=T8=- 7 j2187a"a-j,;'
1.1 07.a) T"""" = 1,= 126a' bfa, T''''"j'= T,= (9)a' bVb = 126a' bVb ,5
b) T"",,,,=T4= G}ib' = 35ab'Va, T,re,",,=T5=(:}b'Vb' =35ab'.Vb' ') l' -'f - 29568' 1013 , c sred"j;~ 6- - a -Va"', Tsredllj,= Ti= 14784a
1.108. Iz datog uvjeta dobije se: (n! = 66 ¢O n'-n-12 = 0 => n = 12. \2)
Srednji clan je sedmi i vrijedi: T, = (1:]( a -I . I~) 6 [ - ax-~ J 6
~ 924 x~ . l.\09. lz datog uvjeta dobije sc: n = 12.
aJ T3= (I~)(arar[a-{r =66a'4
c) 18= C;)(a.ra)'[a-~r =C;)=66a4
l.llO. Tk" =c:nr' Ox)' -C:}l5k x"-15 3' .
a) X 2k- IS = x3 => 2k-15=3 => 2k = 18 => k= 9. (15) d , ,,9 23 .
b) X 2k-1S = Xi => 2k-15 = 7 => 2k=22 ~> k=IJ. (IS}'3" llJ . c) X2k- IS = X 13 => 2k-15 = 13 => 2k= 28 => k= 14. 30 _3 14
•
l.ll1.a) Opsti clan II razvoju datog binoma irna oblik
T = (15)xl5-Jl~ L (15)XI5-'-" = (15) .15-3k 4+1 "k x2 ) k k x .
Prema tome, clan ne sadrzi x, aka i sarno ako je 15 - 3k = 0, tj. k = 5.
153
Dakle, sesti clan To = en ne sadrii x .
b) Cetvrti clan.
cJ Tk+l =(~2)( J: rk (-4 =H)k(~2)( rx) k-12 Xk =(_l)k(~}3k;12
V 'd' d I" kad . 3k -12 'I . . I trno a u s ucaJu a Je -2- = 0, Tk+l c an ne sadrzi x, a to Je peti clan.
=>
2()--2k 2k
a} ~
9-k k 2-"4=0 => k=6.
T7= 5005.
20-2k 2k => -3--" -- 3 = 0
=> Ie = 5. T6= 252.
(8) _8_-="_ ( __ .~\k (8\ 8-k_~ 1.113. Kakojc T",-, ·17 2 ·1-3b 21 =i k-3)'b 2 2,to,naosnOVll
. k 1 I, k' \. / \. / \. J
d . kl' ,. d .. d' 8 - k k atog uVJeta, za JucuJcmo a vrlJe 1: -- - - "" 0 w k = 4. 2 2
Trazeni Cianje peti i vrijedi T 5 = 70·81 = 5670.
(
141 1.114. Kako je T'+I= k J x14
-' ·2' , to iz datog uvjeta mora biti 14-k = 7 ,
pa je k - 7. Znaci osmi clan sadrii x7 i vrijedi T,= i141- x7 .27 = 439296x7 .
\7/
.115. Kako je T k+ 1 = C: lx, to se, koristeCi dati llvjet, dobije k = 11,
pa je trazeni clan razvoja dvanaesti clan i vriJ'edi T ,,= (19J,X4•
. . . - III
1.116. ill) IH k (19) \1::.1 I.
TH = ,k ·a 2 b 2, k= 1, T,= II '0
2 17' =19a'.fj;.
1.117. (18)( n18-k(l!' (18) .'!!"-ck) k (18) .'~C~)+k
lk lX'j l-X') =lk x 3 (_I)k = k Hl'x' 3
154
1.118.
1.120.
1.122.
=> 2(18-k) +~=IO => 3 3
(22) -2(22-'1/, .1(22-1< l-"'-=lk (J 5 ~b 4
=> 264-12k-3k = 84
~>
=>
36-2k+k = 30 => k=6.
3k 3(22-k)--~21
4
k=12.
Trazenf clanje trinaesti i vrUedi: (22\ 'I
TJJ~I Ib-. ~12 )
1.123. lz datog uvjeta dobije se: (;)~ 105 ¢;) ,,'_11_210 = 0 ~> n = 15.
.124. Kakoje, ("l)j, "1, Q l'I1I =( 11 \),toJ'e n-12=3 ~> 11=]5. 3 ,12j 3) n-12
~ __ (15\ 10 10 Rezultatn=l),lll=l 13 =3003·3 .
10)
1.125. T, ~(:}~)"-4 .(;)4 =( :)x ~i~ .x-4 ~[:)x ,;4_4 ~(:)x "~I~. Clan koji
,," . (n) 0 . n-16 ne sadrZl x lma obhk Tk41 = lk x ) paJe -3- = 0, odnosno, n=16.
(n\ (n\ (n\) n(n--l) 'l 1+ 1 )1 + I ') 46 ¢:;> 1 +n+ = 46 ¢;;> n2'+n-90 = 0 => n=9.
O)~. ,_ 2 1.126.
(l1iJl
nJ' =153 ¢;) 112+11-306=0 ~> \1=17. ll) 2
1.127.
~(n) ,-r;,:k) .. ~ (111 0 2(n-kJ k T k+ l= X 5 X 6 =1 IX => --=0
k \k) 5 6 => k~12.
Trazeni clan je trinaesti i vrijedi: T 13 = 6188.
1.128. Prema datom uslovu Vrijed;:(~): [;1) = II: 2 ¢;) n(n-I):n=II:2 2
155
n-l 11 --=- ~ n = 12.
2 2 ,
12·11·10·9 a 4 2 ------'.-'...,. = 495a X- . 4·3·2·] x
n2 _ 7n - 60 = 0 => n=12
_(12) -(12-') ,., _(12) -(IH)+% Tk + t ~ X (;Ix) -I X
k \k => 12+k+"-=O => k=8.
2
Traz:eni clan je T 9 = 495. 1.130. Prema datorn uslovuje:
[~)+(;)+(~)=79 ~ 1 +n+ n(n-i) = 79 2
~ 2n + n(n-1) = 156 n' + n -156 = 0 => n= 12.
3-{!2-k)_ 28k
(12)a 3 15 4(P-k) = k --6~· l-\k~ clan ne sadrZi u, mora biti -3
adakle so dobije k = 5.
Dakle sesti clan ne saddi a i vrijedi
1.131. + + =79 (11) ( n \ [ n I n n-d n-2)
1.133. (~H;)=35 ~ n2-n-2=0 => n=IO.
156
28'
a 15 ;::;0
28k =0 15 '
T. = a 3 (_I)' a 2 (10) '(10-') _~
k+1 k
ReZllltat: T., ::::: 2100'" .
1.134. * Rezultat: T, = 35a .
1.135. * Uputa: 211 +240 = 2~n
( a+l
I 2 ,
\.a 2 _a 3 +1
1.136.
=>
=>
4(l0-k) k
3 2 6 => k= 4.
r 'J" I
' a' + I a~ +-1--,-
\ a'
=> log x 3 !ogx+2 :00: log 1 0 => (31ogx+2) logx = I => 31og2x+2Iogx_l= 0
=> logx = -1, logx = ~
1.138.
1.139.
8+-'--510g x
~ 450x 10,2 = 450
4 8+---51ogx = °
log x
=> x= ~ x= ViO. 10 '
x = -1.
10 8 log.< (10) 4 --·xx -8 X510gr - 450
8+-~---SIOg.{ X logx ;:::;:: 1
~ 51og'x - 8logx - 4 = 0
8+-~-Slogx X log x o ::::x
157
I 0 I 2 -> x=IOO, x=_l_ => ogx = -, ogx =-5 - l,/iOi) .
40 T =(7)(10IOg'!x)4(_I_)3 =35·I04l0g ,!X . (_\ __ J3 =3500000 1.1 . 4 3 1 10gFo __
\ IOtogX
I c=> l02!ogx .-- = 100000 ]
=>
=>
=>
lO\oP 3
5+-~
lOllog .. ::::: 10 log ..
21og2x - 510gx - 3 = 0
'1' 1 x=1000 II X= Fo'
=>
=>
3
J0 2 !ogx =I05 10 1ogx
3 2logx= 5+-
logx 1
logx=3 iii logx= -..:.. ~ 2
,(I . .:coge.:x'----'2"-)('-I<--')g'-:x:---_3c.:)('--lo-"'g_x_-~4) _ I 2 - - ogx-6
=> lo a2x - 7logx + 6 = 0 " (, => x = J 0'. . _7" 5 6
15x 2 =_ ¢:> x7=36• Rezultat:x=37 9
==> .1..5-4~=k-30 ¢'> 15-4k=k-30 ¢'> 5k=45 ¢'> k=9.
6 6 " 7 7
Dakle, deseti clan sadri; a ; b na isti eksponent i vrijedi: T", = -l~5) -, b-' .
, v • v < (7) 5 ~ s 1.144. Rezultat: lrazemclanJcT4 = l3/ =300 .
J.l45. [n)ti=187 3 \.1)
n2• 3n - 1120 = 0 => n = 35.
' ''[12 k3k (351 _2(35_k) - -'-- 35 -,(15-'fr,-,
K k ]'e T = b] b 4 a '= b . a. a 0 k+l k) k J
koriste6i dati uvjet, dobije se: 2 k
-·-(35-k)+-=6 3 4
-8(35-k) - 3k = 72 k=32.
. l·35ih,." (35) -"b'-6545 '''b' Traten; clan]eT" = 32J a = 3 a - a .
158
1.146. 02+0_156 = 0 => n = 12.
(12) ~(I2'k) k -'" (12) ,'-(I2-k}-'" T = X4 (-I)x 8 = (.-I)'x4 g ~l k k .
5 5k Koriste6idatizahtiev,dobijese: -(12-k)--=O ~ k=8. 4 8
TraZeni clanje T8= C;}-1)7 =-(J;)=_792. 1.147·1 ("):("1=14:3 ~ 11'·5n-50=0 => n=10.
,4 2)
1.148.* Prema datim uvjetimaje:
(n)+( n )+( n )-22 (2n')2~(H)2'(H)+(4ni)2iH)r'("')=135. In n--l n-2 - ,
lz prvog uvjeta so dobije:
(n\)+( n )+( n )~22 ~ In n-1 \n-2
Uvrstavanjem dobijene vrUednosti za n u drugi dati uv:jet, dobije se:
(~}'T~')+(~}'2'("')=135 ~ 15·2H1 +15·rx+, =135
~ 2<+1+2'<+'=9 ;·2' ~ 2-22·'+2'=9·2x ~ 2.(2.,)2- 9 ' 2"+4=0.
Uvodenjem srnjene 2Y
= t i rjesavanjern kvadratne jednacine po t, dobije se t!=4 i
t2= ~, pa za odredivanje vrijednosti varijable x imama clvije eksponencijaine
jednacine ito: 2x = 4
L149.
1.150. Za date clanove vrijedi:
~ x=2
4-~ 4--~-15·2 +·2 4-., =240
4 4 8------~4 ~ x'-4x+4 = 0 => x = 2. x 4-x
(") - (z! _, , (z) 2-,0 x· =8, 2)X-- Y -==6, 3 x~- y) =1.
Nepoznate varijable dobijemo rjesavanjem sljedeecg sistema:
159
x' =8 ) z(z _1)xo-, y' ~ 12
z(z ... I)(z - 2)x·-3 y3 = 6
x' =8 ) ¢;> 8z(z -l)y' = 12x'
8z(z -1)(z - I)y 3 = 6x'
x' =8 1 => 2z(z -l)y' = 3x'r
2(z-2)y=x I x' =8 1
- I 5z' -23z+24=Or
2(z-2)y=x J
=>
=>
x' = 8 1 z(z-I)x'y' =12x' (
z(z-1)(z-2)x'y3 =6x3 J x' = 8 1 2z(z -l)y' = 3x' f 12x'(z-2)y=6x3 J
x' =8 ;
Z(Z-1)=6(Z-2)'f
2(z·-2)v=x I . J
=> x=2,y= l,z=3.
1.151. U puta: lz datih uvjeta dobije se .istem:
1.152.
l~}"y=240, l~}o-'y2 =720, [;}0-3y3 =1080.
Transformacijama II jednacinama sistema, daUe se dobija: x~ zy:;;;; 240x, yz - y "" 6x, Z2 y 2 - 3zy 2 + 2y2 = 27x 2 , odnosno,
x: zy ::::; 240x, yz:::: 6x + y, 3x = 2y .
Rjesavanjem posljednjeg sistema dobije se: x = 2, Y = 3, Z = 5.
-~ (~)-'"'" 2 '= 33 n -51ogJ~
¢:> 2'=3 3
-5-3 iog) 2
log2 2 = log3 ' n
--log2 = -Slog} 2·log3 2
¢;> !'-= log3 .10 2 10 log2 g,
¢;> !'. = log3 . log2 10 log2 log3
Peti clanje T5 = C:) (V2J(.- ~r =210.
¢;> !'. = I ¢;> n=lO. 10
1.153. ::a:a:o~i;:;ios~~:m::t dobije so n = 9. Traieni clanje sedmi
1.154. Premadatomuslovuje (~)=(~)+44 ¢;> n2-3n-88=0 => n=l1.
160
(11) (II) 3(II-k),4k
l . C)ll-k( -')k , Kakoje Tk+,= k lxyX x = k x , to mora biti
3(lI-k) 4k = 0, odakle se dobije k = 3. 2
. 'I . d'" "ed' T (11) 163 Dakle, cetvrtl c an ne sa rZl x I vqJ 1 4= l3 -= •
.155. Koriste6i binomnu forrnulu,dobije se:
(I +x' +2.. f jlI2)+(12)(x, +J, 1+(12)(x, +J,)' +(12Xx' +2.)' +
Xl) 0 1 X) 2 x 3 \ x2 ",
Iz gornjeg razlaganja trinoma vidimo da se x ne pojavljttie u dva
sabirka ito: eiJ i (\2XX2 + 32,)2> U konacnom razlaganju trinorna \ 0 2 \. X
. ..." (12) (12) 397 xsenecepoJavltluc.anu: 0 + l2 2-3=1+396= .
1.156. Prema binomnoj formuli,dobije se:
(91 (91 1 [91 2 ., (9), l' (9) (!+X'-Xl )9=lo)\Jj(X'-x)+ 2jCx -X")' + 3 (x'-x)'+ 4 (x
2_X3)'+ ...
Anaiizirajuci gornje Clanove zakljucujemo da ce se x8
pojavltl pnlikoru kuh,' . . I . k d . b' ra'va binoma u cetvrtom c anu 1 '0 stcpenovanJ3 moma u petom clanu. 'N k <
sredivanja,koeficijentuzx'je: 3(~)+(:)=252+!26=378. a Oil
Li57. (l_x+x5)10=~_(x-x5)r =
=(l~J _(\O}x_ x5) +C;)cX_X5)' _(130)(x -x')' + (I:}x_ x5)' _(ISO}x_ X5)5 + ..
1z navedenog razvoja vidimo cia ce se x5 pojaviti u drugom i sestom clanu.
5 (10) (lOj 10·9·8·7·6 Koeficijent uz x je: ~) ;;;;; 10 -- ;;:; I 0 ~ 252 = ~242 . 1 ,5 5!
1.158.a) Opci (k+l)-i clan binomnog razvojaje Tk +, =(~}f:l)8-". Da bi clan bio
cijeli broj, eksponent 8-k mora da bude paran. To znaci da za prirodan broj k vrj' . kE {O, 2, 4, 6, 8} i da postoji pet "Ianova u razvoju datog binoma kOji su Jeu,: b . . T ' . 'I . cDel, fOJevL _ razem c anOVl su:
7; =(~}f:l)8 =81, 7; =G}f:iJ' =756, Ts = (:}f:l)4 =630,
T7 = (!}f:l)' =84 i T9 = (!}f:i)O =1.
161
b) Opci (k+I)-i clan binomnog razvojaje Tk+, =(I:}13-k(VS)k =(I:}2'H .5~. Da
bi clan bio cijeli broj, prirodan broj k mora da bude djeljiv sa 3. To znaoi da za k vrijedi: kE{O, 3, 6, 9, 12) ida postoji pet clanova u razvoju datog binoma koji su cijeii brojevi. Trazeni clanov! su:
T =(13\" =2') T =(13)2'0'5 T =(13)2)5) l' = (13\f+5) i T =[13}.5+. I 0 I '4 3 ' 7 6 ,to 9 13 12 , )
(10] "'" ' c) OpCi clan binomnog razvoja je Tk+l = k 3 2 ·2 2 • Da bi clan bio cijeli brqi,
prirodan broj k mora cta bude paran. To znaoi da za k vrijedi: kE (0, 2, 4, 6, 8, 10) i da postoji sest cijeiih clanova u razvoju datog binoma. Trazeni clanovi su:
T, = (1013) = 3" T, = (10)3+ ·2 = 7290, 1', = (10)3)2) = 108(10\), \0; 2 4 ,4
1~=(~})2J=72C:J, 1'+=[1:}2'=4f:) i r,,=(:~})=32
(181 l8-k ~
!.159.a) Kako je 1k+, = ,13 3 .2', da bi clan bio cijeli br'lj, prirodan broj k Ie;
mora da bude djeljiv sa 6. To znaoi da za k vrijedi: kE{0,6, 12, 18) ida posloje cetiri cijeJa 6iana u razvoju datog binoma. Trazeni clanovi su:
T, =(1810" =3', T, = 162(18), 7:,) =36(18] i 1;9 = (lI8)2 J =8. \ 0 ) 6 12 18
(20\ 2G-k "
b) Kako je 1;+, '" l k jS 3 .2 5 , da bi clan bio cijeii broj, prirodan broj k mora da
bude djeljiv sa 5, a razlika 20-k sa trio To znaCi da za k vrijedi: kE{5, 20} ida postoje sarno dva ciana u razvqju datog binoma koji su cijeli brojevi. Trazeni cianovi su:
(100\J''''''' k c) Kako je Tk+1 ~ 4 ·2', da bi clan razvoja bio cijeli broj, prirodan braj k \. k
mora da bude djeUiv sa 3 i sa 4, odnosno, k mora biti djeljivo sa 12. To znaci da za k vrijedi: kE{O, 12,24,36,48,60,71,84,96) ida posloji devet clanova u razvoju datog binoma koji su cijeli brQjevi. Odredi te clanove! 1,160. Primjenom binomne formule dobUe se:
(I+EJ +(I-J2)" ~[~)+(;'}/2 +(;}+(;)( F)' +.+(:)( F)" +
+(~)-(~)J2+(~}-(;)( F)' + ... +(-1)"(:} ~2 )"
162
Kako ce se navedenim zbrajanjem svi clanovi sa iracionalnim brojevima ponistiti,
to je navedeni zbir cijeli broj. • ~ 5
1.161.* a) Opci clan u razvoju binoma (!J3'+h ) je
Tk+I~(~)(V3r( F)' =(~)/t2i Da bi 61an razvoja bio racionalan, prirodan broj k (k~5) ~10ra biti paran i izraz 5-k treba da bude djeljiv sa 3. Oba uvjeta su zadovoljcna ako Je k ~ 2: . Dakle, u razvoju datog binoma same je tre6i clan racionalan 1 vrlJedl
r5\ T, = )3.2=60.
.' ,2
124 b) Opci clan u razvoju binoma (V3 + if2 ) je
T Jl24,) (sJ3)2H (if2Y = r2413 24~k 2 ~ . k, I k ) ,k )
Da bi clan razvoja biD raciona!an, prirod.n braj k (ks24) mora biti djelji~ sa 7 i izraz 24-k treba da bude djeljiv sa 5. Oba uvjela su zadovolJena ako .I.e kJO I". Dakle, u razvoju datog binoma same je petnaesti clan racionaJan 1 VrlJCdl
Tj24\13"2'=36f24)\ c) T,~r51J.5.3=150 " ll4 l14 \2 . ) (IlJ ,,:, k
] .162.a) Opci 61an u razvoju datog bjnoma je Tk --. 1 =l k 5 3 31• lz navcdenog
izraza vidi sc da clan nije iracionalan ako jc k paran broj i l1-k djeljivo sa 3. To znacl da postoje same d~a clana koji nisu iracionalni i to Sli treCi i deveti clan,
(11' T jll)5'3 =55·125·3=20625, T,,,=1
8j5 ·3'=165·5·81=66825.
~l l2 ~
b) . 7' I 5 6 127 to su svi clanovi u binomnog razvoja (17) 17_=~ k
Kako]e k+1 = I ' \k
iracionaini. (14' !±:I£ ~- .'
0' .. 'I . '[. -l !" g ..... 2 Racionalan clan J'e sedml clan fazvoJa c) pClcanJc k+1- kJ' .L.
( \ 'H 6 (14\ 1: ~lI4)'5-S-3i = )5'3] = 405405.
0+1 6 6 "
6 60 b) 36C;; c) 3125,56250,105000,42000,3600,32 1.1 3.a) "'
164 ) 0 .. 'I . b' rna (Vx _'1[;)" je 1. .3 PCI c an u razvoJu 1110
(21)(,,)21-0« k(<:J/)k (21) k 21~k _~ T,+, = k ~x (-I) (\Ix ~ k (-I) x X.
163
Da bi clan razvoja bio racionalan (xje racionalan broj), prirodan broj k (k~21) mora biti djeljiv sa 9 i izraz 21-k treba da bude djeljiv sa 6. Oba uvjeta su zadovoljena ako je k=9. Daklc, u razvoju datog binoma sarno je deseti clan racionalan i vrijedi
lio = (~I} _1)9 x'x = _(~I) x 3 •
( , 27
b) OpCi clan u razvoju binoma l Vx -~) je
(77) )'H ",Ie ("7) 27-1e k 7;,+; = ~,(~ Hl(\ix) = : H)kx 6 x9 .
Da bi clan razvoja bio racionalan (xje racionalan broj), prirodan broj k (k:S;25) mora biti djeljiv sa 9 i izraz 27-k treba da bude djeljiv sa 6. Oba uvjeta su zadovoljena ako
k=9. Dakle, tJ razvoju dUlog binol113 samo je deseti clan rae ion alan i vrijedi
(77\ (77\ 7'0 = 1-1) =- x . , [-I' -)4 '\.9/ \.9
14') /4)' c) RezulLat: kE{O) 18,36}, 7;o;;;x7
, ~9=\1: x6, 1;7:::;l3~Jx5<
(
100\ 100-A: i:. 165. *a) Kako je Tk+l= 1e)2 2 34 , vidimo da jc clan racionalan za
kE{X \ x=4m., lllEZ, mS:25}, pa postoji 26 racionalnih Clanova u razvoju datog binoma.
b) Postoji 6 racionalnih clanova u razvoju datog binorna. c) Postoje samo dva (17. i 73.) racionalna clana u razvoju datog binoma.
(124) ~24-k ~. 166.a) Kako je 7:+1 = l k 3 2 54, Clan je racionalni ako je k djcljiv sa 4.
}",fetiu prirodnim brojevima izmedu 0 i 124 postoje 32 bruja koji su djdjivi sa 4, pa jc toliko racionalnih clanova II razvoju datog binoma,
b) U razvoju binol1la ima 26 racionalnih clanova. c) U razvoju datog binoma poslOjc samo dva racion<llna c1ana.
(n' ( n) . (In, , 167. Kakoje )'= ,toJ02 1~9900 ¢'k n--n-9900~O =>l1~IOO. 2 n~2 2)
l~lOOll·4r;-\.iOO-k( J~4 \' ~II(IOO\I Opei clan razvojaje I ,j.)1 ·v5;1 \ PJ. )1 -\~ , ,-k)
3 4
Clanovi razvoja su raclonalni pod uvjetom da su eksponenti
100 - Ie . k . d . b . . 'I' ,. d b" 1 00 1 4 ---- 1 -::;- pnro UI roJCVI. () znac, a mora It! - (= m 4 5
k = 3p, (k, pEN). Dalje se dobijc: lOO-3p=4m ¢;> l00-4m~3p 4(25-01) ~ 3p .
164
Iz poslj~dnje jednacine zakljucujemo da izraz 25-rn mora biti djeljiv sa 3. Ovo znaci dajemE{1,4, 7,10,13,16, 19,22, 25}.Kakojek=100-4m,tovrijedi kE (0, 12,24,36,48,60,72, 84,96}. Racionalnih clanova u razvoju naseg binoma ima 9 i oni s1.1:
rIOO)fltf3) IOO(l/41)" = 325 (IOOj'. 3"4' (1001).3'"4" (l
I001.3"4" , 0 . ' ~ 12 ' 24 ' 36) ,
(100).3D4() (1001).3104'" (100).3'4" [10°)'3'4," (100)'3.4'" ,48 '60 '~72 '84 '~96
l.168.a) Nekaje Tk najveci clan. Tada vrijedi Tk >Tk_l ,Tk >Tk+!, odnosno,
(50)(f2)' >( 50 )( f2,k-1 , (50)(f2)k >( 50 )(12"lk+l.
\k k-I\) lk k+1)
RijeSimo pnru nejednacinu sistema.
(501( ,-"k (50)( r;; Ik-I ld ,;2 ) >lk-1l,,2) ¢;>
50!..fi 50' >---, k!(50-k)! (1<--1)!(50-k+1)!
k«51-k)..fi
I,·, . d . d .. db" sofi -1 2893 'JcsavanJcm ruge nCJc nacme 0 IJC se k> r::: >:.::!,. v2 +1
Sada nije teSko zakljuCiti da je k = 29, pa je trideseti clan u razvoju datog binoma
( b· . C I·)·'···· d' T (50)( ,")29 po momnoJ lormu 1 naJvec! I VflJe 1: 30= l29 ''11'2
b) Uputa: Analogno kao u zadatku pod a) dobije se
k < I02fi co 45,85 k> IOl,!2 -J3 '" 44,40. J3 + fi ,3 + fi
Otuda jc k ~ 45. Najveci clanje T46 ~ (10 I)(5)"(f21" ~ (10 Ii 3"222 ..fi . . 45 / 45)
1.169. Rezultat: (l+2)6= 3'-1.170.a) Nekaje (2x+ 1)7:::: aox7+ ajx6+ a2x5+ a3x4+ U4X3+ a5x2+ a6x+ a7
Ako uzmemo daje x = 1, dobije sc: ao+ aj+ a2+ aj+ a4+ as+ a6+a7 = (2+ 1)7=3 7. b) au+ a1+ a2+ a3+' .. + alS+aI6= (4+2)16= 616
c) ao+ a\+ a2+ a3+ .... + a20+a21 = (1_3)21 = (-2i l = _221.
(11)- II! _ n!(n-k+l) (n ) n-k+1 1.1 71.a) lk -- k!(;;--k)l- k.(k-I)!(II-k+I)! ~k-I '--k-
b) (nl ( n I n! n! lktlk-l{ k!(n-k)! + (k-I)!(n-k+1)!
n!(n-k+ 1)+11!k =(11+ 1) k!(n+l-k)! k
165
l.172.a)
b)
U73.a)
b)
J .176.a) Aka u razvoju binoma (x + yf stavimo x = y = 1, dobijamo
2" ~(l+I)" ~(~)+(~} .. +(:J. b) GJ+2G}3[;)+.+n(:)~11+n(I1-1)+ n(n-I;(11-2) + ... +n~
166
~ n11+(n-1)+ (n-l)~n-2) + ... +lJ~ ~ n[(n~I)+(n~I)+(n~I)+ ... +(:=:)] ~n.2"-I.
1.177.a) i b) Aka u razvoju binoma (x+ y)" stavimo x ~ I, y~- 1. dobijemo
o~ (1-1)" ~(~ )-(~ )+(~) -(; )+ ... + (-1)"(:), a iz ove jednakosti sl1jedi
("1+( n)/ln J+.. ~ (")\ +(n)+lf n)+ ... ,0) ,2 4; 1 3 5
Kako je zbir brqjeva koji stoje na lijevoj i desnoj strani posljednje jednakosti jednak
211 , to je svaki od njihjednak polovini od 211 , odnosno, 211-1 .
1.178. (n 1+ 3(/1 + 5lfn) + 7(~ 1+ ... + (211 + I)(n) ~
. OJ I; 2 jJ "
= l/ n)+( n) + (n \) + "'/l" 1+ 2(/) + 4(")+ ... + 2n(n) = o \1 \) 11; 1 2 ,n
~ 2" + 2[(;')+ 2(;)++ n(:)] ~ 2" + 211 2,,-1 ~ 2" +11 2" ~.(f1 + 1)2". 1.179.a) Ncposrednim koristenjem binomne formule dobije se:
(1+2)" ~(~)+2(~)+22(~)+ ... +2"(:)~3" b) (~)+{~)+3t)+ ... +3t)~(1+3)" ~4"
USO. (~J -2( ~) + 3(; J -.. + (_1),,-1 n(:) ~ ~ n _ n(n _ I) + n(n -1)(n -2) ... + (-1)" 11 ~
2
[ (n-l)(n-2) "J ~ n I-(n 1)+ 2 ... +(-1) ~
~ n[( n; l( f1 ~ IH n 2-1) - ... +(-1)"(: =:)] ~ n(1-1)" , ~ n· 0 ~ O.
1.181. (") _ -~l(n) + ~(n) _ ... + (-I)" __ ~ __ (n) = o 2 I 3 2 n+1 n
~ I_-,,-+n(n-l) n(n-l)(n-2) + ... +(_1)"_1_= 2 6 24 n+ 1
167
-(n+l)+ (n+l)n (/1+I)n(/1-I) + (n+l)n(n-I)(n-2) ... +(_I)"J~. n+ 1 2 6 24 _
+ 11+1 (n+21= __ L_[(l/+2)+2(/+2)+ ... +CI1+I)(I+.2)]= (n+l)(11+2)\11+2) (11+1)(11+2) 2 3 \,n+2
= - n~I[I-(n;I)+(n;lt;l)f;I)_+(-I)"(:::}.I]= = I r or n + i j'_( n+ 2)+3(" + 2)\ -l/11 + 21)+ ... +(11 + 2111+ 21)_(n + 2)lJ =
(11+1)(n+2lL"C 2 \ 2 3 3 '\.n+2 11+2
= _~I~[(1-1r' -1J=-~I~.(O-I)=~I~. n+l n+l n+l
(nl+ (~) + [;t.+ (:) =1+':+ n(n-I) + ... +~I_= 1.0; 2 3 11+1 2 3 n+l
1 rl (n+l)n (n+l)n(n-l) 'I =-~ Cn+l)+-~~+ + ... +1,=
n+lL 2 3 J
=~1 [(n+11+(n+ll+(n+l)' +(n+l)+ ... +(n+11_(n+l)]=~ n+l 0) 1) 2 3 n+l) \ 0 n+l
I.(n) __ I[n I+.I.( n 1-+ {_I)'" ("1= 2 \1 3 2) 4(3) n+l 11)
US2.
1.183.
=. 1 [(n+2\)+in+2)+i/+2\)+ ... +(n+2{n+2)]+ (n+I)(n+2) 1 "C 2 \. 3 \n+2
+ (11+ 1)~n+2) [-( n~2J_( n;2)-( ";l(n;2)_··_(::~Hn~2)]= = 1 [r11+2)2''+'-(1 +1)"+2 +1] =
(n + 1)(11 + 2)
= 1 frn + 2)2n+! _ 2/10-2 + t] = n21H! + 1 . (11+1)(n+2) (11+1)(11+2)
( n I l' J11 2"-\/ n 1 l 186 in] "i .. 2" \f) + 2] 2) ~ +~=2+ 221'1 + 2
3n(n-l) + ... + 211+l =
. . lO)' 2 3' <0, n + I 2! 3! n + 1
_ 11 n(n--I). n(n-1)(11-2) (-I)"·' _ - - - ~-.. - T --_._- _ .••• + ~-~--
2 3! 4! n + 1
= ~1_[(n + I)n (Il + 1)11(11 -1) + (11 + [) 11 (11 -1)(11 - 2)
11+1 2! 3! 4!
_ 1 Ir(n+l) (11+11 1'11+11 . ".,(n+lIl _ -- n+ILl 2 -( 3 )\ 4 r+1) 1l+1Jr
= _I [( n+ It(n+ 1)+(/+ 1) __ (n+ 1\)/"+ 1\)_ ... +(_1)".'(/+ 1)_lf'n+ 11)+(n+ 11]= n+1 \ 0) 1 2 3 \ 4 11+1 o· I)
-~
,- -:> 1 -I 1 I 2-(11+1)n 2 (11+1)n(n-l) 2""'1-
= ~-l2(n+I)+-- + + ... +-11 + 1 21 3! J
= ...!-[2l(n + II -+ 22(n + 1)+ 2/ln + 1)+ ... + 2'''/l" + 1)"1 = n+l ! I \ 2 3 n+l
._' / " ...l
= _1_r("+ 1)+ in + 11+2,(n + 11+ 22(n+ n + ... +2""( 11+ li-l' n+ 111]= 11+ll 0 l I) l 2) 3 ) \.11+1) 0 )
] 3JHI _l = ~(3"+'··I)=-.-...
n+1 11+1
1 r ,,+, (/+1\ (n+ll] 1 [ 1 n = '-l(l-I) - )+.) =- O-··I+(n+l) =-.
n+1 0 1 11"+"1 n+i
1 1 1 1 !.IS7. -_._--+ +----+ ... +~-= (11-1)! 3!(11-3)! 5!(n-5)! (n-l)!
(;,) {;) {;). n(:) 11 l1(n-l) n(n-l)(11-2) n
U84. (~r (;,) + (~) T+C-:-I) =-;+-n-. -+~-~(11-1) + ... +;;=
11 n(n--I)(n'-2) n(I1··1)(I1--2)(11-3)(11-4) "_ = - + .- + ~~-,-.. ,-".-,----+ ... + --
nt 3!n! 5!n! n!
= J.'l'H(n'l+rn\)'+ ... +r n YJI =-'-.2"" = 2"·'. n1 ~3) \5 \11-d n( nt
n n(I1+1) = 11+(n-1)+(n-2)+ ... +2+1= ····(n+l)
2 2 I (n \ k + I (11 + 2) 1.185. Kaleo je -- 1= . I ,10 mozemo pisati:
k+2 k) (n+l)(n+2)\k+2
.I.(ni +.I.(nj\.I.(/)+ ... +_I_fln) I (n+ 2)+~ __ 2 _( n +2t 2lo) 3 I 4 2 11+2 n (n+l)(n+2)l 2 (n+l)(n+2)~ 3 )
( 1\" (11\ ("J 1 (11\ I (/) I I l!+;;) =lo)+ I ;:;+l2)I1'+ 3 -;?+ ... =I+l+ 211' + .. > 1+1=2
Kakoje (n) .!...= __ n_! _ . .J..=LI1(I1-1)(n-2); .... Cn-k,l) <-'-, k 11k k!(n-k)! n' k! n k!
1.188.
to vrijedi :
t68 169
(l+~)" ~(n)+(n)~+(n)J,+(n)J,+'''+l'n)~ < n lo I n 2 n 3 n n nil
I 1-~
< H1 +.!c+.!c+ ... +.!c$2+~+~+ ... +_1_. =2+L_-,,2'-c"·_1 2! 3! n! 2 2' 2"" 2 1-~
2
=2+1 __ 1_=3 __ 1_ <3. 2 '1- 1 211 - 1
1.189. Prema prethodnom zadalku je (1 + ~ J < 3, pa za n?J vrijedi
( II"
nejednakost 1 -1-;;) < n , odnosno,
(n + 1)/1 ----<n W (n+1Y<nl1+1 ¢) nl1+I>(n+lr_
nil
1. I 90. Prema prethodnom zadatku je (n + 1 Y < nl11-1 , pa vrijedi:
(n + 1)11 < n ll+1 <:;> n(lI~ V(11 + IY < IIV!+!J nlHl
~ VH 1 V----:-1 "r 'n/ vn-j-l<vn.
170
2. TRIGONOMETRIJSKI I EKSPONENCIJALNI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA
2.1.a) Izl =1,'1'=0
2.2.a) Izl = I, q> = ~
b) Izl = 1,'1'="
b) Izl =2,'1'=0
cJ Izl=3,q>=O
c) Izi =3 '1'= JIC I ' 2
2.3 .a) n I,zl =5 (D=--. ' . 2 c) Izl=2v'2,q>=-~
1~11=3, arg~=3n . I i 2
3 3i (3". 3n) z=-=-,=-3i=3 cos~+ism-i i" 2 2
=> 2.4.a)
b) z= ~= I+i = ~Q+i)= n(ca;':+iSin") => H 1- 2 2 4 4 II J2 IT
z =2,argz=4 . ~ ( 2n .. 21t1
c) z=-2+2h/}=4Icos~+lsm'-J \ 3 3 /
=> Izl=4 amz= 2n , ~ 3
2.5.,,)
4i 4 . b) z=-=-+21.
2+i 5
c) z=4+3i. Izl=5,
n Argz ='1' =--.
2
4.Js 5 5 jz[ = -5-' Igq> =2' 'P = arelg 2'
3 3 Ig'p =-, 'I' =arclg-.
4 4
2.6.a) Z= sin'::-icos2:.= coS(-JIC)+iSin(-'::'-') izj=J m=_~ 4 4 4 4" "T 4'
b) II 7n z, =1, q> =8
171
~d{~~~)~t{ %~(~~)]~t&{% ~~+~J~tg(~+~) 2.8.a) arg(~3) ~ n+2krr, kE"Z
c) arg(1 -I-i J3-) = ~ +2!ot:, kEZ, 6
b)
=>
2.9.'1) Trazeni skup tacakajejedinicni krug s centrom u koordinatnom po~ctku. b) Krug k(O, 0, 3) c) Kruzni prsten kao na slici.
2.10. Trazeni skup tacakaje dio a)
~5 -I x
172
oznacen na slici 1.10.a) b)
c)
y
d) To jeskup taeaka prvog kvadranta bez taoaka kruga K(O, 0, 2). 2.1 L Trazeni skup tacakaje kruznica sa centrom u tacki (3, 4) i radijusom 5.
Ovu kruznicu ozemo oznaciti ovako k(3, 4, 5),
2.12.a) k(2, 0, 3) Y,
2
x b) k(O, 3, 2)
® ) x
2.13.a) Trazeniskuptacakajepoluprava y=x\ Y b) Trazeni skup tacakaje poluprava y = 0, x::;; o. c) TraZeni skup tacakaje pray! ugao sa kracima y = x) x;?:O i Y = -x, x.::;;o.
2.14.a) . Ugao b) Ugao c) y
11: 0< argz<-
6 2.15. Trazeni skup tacakaje krumica radijusa r s centrom u ta6ki (-3, 0). 2.16, Trazeni skup tacaka je kruznica radijusa r = 4 ciji je centar tacka (0,0). 2.17. Trazcni skup tacakaje krug radijusa r = 3 tijije ccntar tacka (U,O). 2. j S. Trazeni skup tacakajc sImp svih tacaka ravni izuzev tacaka kruga radijusa
r = 5 ciji je tentar tacka (0,0). 2.19. Trazeni simp tacakaje kruznic. radijusa 1""4 cijije centar tacka (2,0). 2.20. Trazeni skup unutrasnjih tacaka kruga radijusa 1'=} cijije centar tacka (0,2). 2.2 La) z ~ 3(cosO+isinO) b) z = 2(cos11:+isin11:)
. 5( n,.. 1t ) c) z = cos-· -rlsm ~ 2 2
d) "( 3" +" 3". z~ . cos- lSln-) 2 2
173
I
2.22.a) Arg(3+3i) = "'-, Izl = 3.fi , z = 3+3i = 3.fi[COS -'" + isin -",]. 4 4 4
b) Arg( 12 -i12) = -"'-, Izl=2, z =12 -i12 =lcos(-"'-)+isinl -"'-I]. 4 L 4 ,4;
c) Z=6+6i=612[COs"'-+isin"'-]. L 4 4
2.23.a) Z = i' +~. = -2 = 2(cos1800 + i5InI800). I
b) z= j4+i3+ i2+i+l = l-i-l+i+j =3=3(cosOo+isinOo). c) z = I +cos40o + isin400 = 1 +cos220o - sin2200 + iS1n400 =
= 2cos'200 + 21 sln20"cos200 = 2 cos200(cos200+1 sln20").
2.24.a) Arg(-I+i)= 3; ,lzl=12,z=-J+i=12[cos3; +isin3;l
(13 J ·'1 1t, 1 13 1. l~ 1t) .. ( n) b) Argl2-"2i/ =-6"'IZ=1'Z=2-21=cos-6" +Ism--ti.
c) z=·3+4i = 5(cosI26DS2'+isinI260S2').
2.25.a) r:::2
( IT .• IT I Z=-.)LI COS~-t'Ism-)
\ 4 4/
( n . n\
c) z= 2 cos-+islll-1 3 3)
2.26.a)
c) .n . n [.( n). ( n)J z=-2sm-+2lcoS-=2 8mi 2n -- +ICOS 21t -- = 12 12 \ 12 12
l(nl .. ( 1r i = cos -3JcISIn ·3}
2.27.a)
b)
174
2.28.a)
c) cos ~ -isin ~ = Jcos' ~ +sin' ~ -(cos ~ +isin ~ )=cos~ +isin 7; "30) - I . " 2 a . ~ a .' ex a .t-. .3 Z - - casa + I sma = l-cos - +Stn~ -+2Ism-cos- =
2 2 2 2
_ .:: a _ " a ex, _ . a [. Ci . a'1 . oJ (IT a) . ( " j" 'I -2sm -;;+21sm-cos---2sm- sm-+lcos~J:::::::2sm-lcosl-'-- +islI1 ~_~ . k 22 222 222 22J
b) z- ]+co"'O\! +' S· J ~a. 2 Ci 2" (X ex 2 CX ex a ,- M ..... 1 "ma = +cos-·_·-sm --+ ISI11-cos-=2cos -+2isil1-C05-~
= 2COS~[COS~+isin~J. 2 2 2 2 2 2·2
2.3I.a) Arg(2-2i) = -~ ,Izl~ 212, Z ~ 2-2i :2J"2[CO{ -~ )+isin( _~_)].
b) Arg(-13-i): _Sn ,lzl=2 z=--fi-i:2[cos(_sntisin(_STI)1 6' 6) 6 j"
175
( )' 1t .' n cos~3+lsm-3
13 --- -1---
2 2 2n .. 2n
cos ---- + I sm-3 3
113 ---/-
2 2 1 3 -+-4 4
1 .13 ---l-~
2 2
2.33.a) z = (1, +2i)j ---i)= 3 --I- L izl = -JIG, argz =(p = arcsin ~, .' ~10
=( . 1 . .. I I z ='; 1 0l arcs1I1 £0" + 1 arcsin sm 710)'
h) 2 .. 1< ,I. '17 .J17 '-' Z= +lSIn-= L+--l. IZ =-·-2----' argz=C(J =arCSI11--, 6 2 17
J17r/ . J17 . .. J17 I z ;;;;; -2- \ arcsin 17- + I arcsll1 SIn 17 ).
':';21 cOS-----+lsm-,-( 31[ .' 3n) i-I \ 4 4_
2.34.0.) Z~;(~OS~+ism~) {COS~+iSi;':)--_J2I, hrr TIl.,. (:lit rr'l'I_J2f. " .' ,,] ---I ,,_os\ ----- I+/::o ml ~-~ I ,-----: cos-+ ISln- .
2 l \ 4 4) \4 4/J 2 L 2 2
k) 2+i (2+i)(l+i) 2+i+i--1 1+2i 1 u z::::;c~--=··---·--= --=---=-+1=
l-i (l-i)(l +i) 1 + 1 2 2
Fsr . 2 .' . 2 'I ~ - cos arcsm -;:::::; + l sin arCSIn - I 2, .J5 15)
235. ~~r(cos'l' -isin(p)~r[cos(-<p)+isin(-<p)l
_ =_ I _ . __ 1 ___ ~~. cos<p -isin'l' z r(cos(p +isinq») r cos<p +isintp r (costp +isinqJ)(cos<p -isin(j)
176
_ 1 cos<p-isincp cos<p-isin<p 1 r ] - -. lcos(-<p)+isin(-<p) .
r cos 2 <p +sin2<p r 1 r
2.36. Nekaje z ~ x+iy. Tadaje ; = x- iy i Izl ~ Jx' + y' = 1, odnosno,
Xl + yZ = 1 . Dalje vrijedi:
1
z
2.37.
x+ yi
x-iy
(x + iy)(x-iy)
1
x-iy x-iy .----~~-::::X-ly~Z.
x' + y2 I
1- coscp + isin<p l-z I-(eos'l' +isin'l') l-cos'l' -isin'l' (l-cos'l')2 -(isin'l')2
2.38.a)
b)
2.39.a)
b)
2AO.a)
b)
2.41.a)
b)
2.42.a)
b)
2.43.a)
I-coscp +isin<p 1 2'1'· ,'I' 2" (j) 'I' _-cos ~+Slll -+ lsm~cos"--
2 2 2 2 ~ 2(1- eos<p)
2 . ,'I' 2" 'p 'I' sm- -+ lSIn-COS---2 2 2
sin ~+icos.P.. 2211.'1'
~-+-lctg- . 2sin~ 2 2 ' 2
z~2(cosrr +isimr) ~2(-I+O)~-2 z ~ 5 (c052rt + isin 21t)= 5(1 +0) ~ 5.
z ~{cOS~+;Sin~) ~ 8 (0 + i) ~ 8i,
z~3[eos3Tt +isin3rr]=3(O-i)~-3i. 2 2
2
z ~4(COS~+ iSin~) ~4( ~ +i ~)~ 2+ 2;13.
z = {cos( - ~) +;sin( -~)]= 7[0 - ;]= -7i.
Z~ll[COs':.+;sin':.]~II[J2 +;J2]= llJ2 +;1112. 4 4 2 2 2 2
z ~9[CO{ -~ )+is+~)] =9[ ~ _~;] ~ 9~ -~i z~J2(cos21t +iSin2n.)~12(_~+~;)~_ 12 +;12.
3 3 22 22
Z=4(COS3Tt +isin3rrl~ 4(- 12 +i.fi)~2.fi(-1-i). 4 4) 2 2
Z~10[COs(-~)+iS+~)]~1O[~- ~ i]~5-5i13.
177
b) Z=COS~-iSin~=I[CO{-~)+iS+~)l 2.44.a) z = 14(cos45° + is;n45°) =7.fi(1 + i).
b) Z = 20 (cos 60° + is;n 60°) =20(}+ i ~) = 10(1 + h/:;-).
2.45.a) z=34 (c05300 +isin300) =3{ ~ +}i)=17( J3 +i)'
b) z=J3 (COS 120° +isin1200) =J3(-}+ ~ }
2.46.a) z=15 (cos1500 +isin1S00) =1s[-~ +}}
b) z=19 (cos21O° +isin2100) =19(-~ -}J 2.47.a) ZI Z2 = 20(cos(1 0' +20°) + i sin(lO° +20°» = 20(cos30° + i s;n300).
b) z, Z2 = 21(cos(35° +55°) + i sin(35° +55°» =21(cos90° + i sin900). c) Z,Z2 =4·2(cos(400+200) + i sin(400+200»=8(cos60° + i sin600)
2.48.a) z,z, =18(cos(15°+25°) + i s;n(15°+25°»=1 8(cos400+i sin400). b) 'IZ, =28(cos(11°+19°) + i sin(II°+19°)=28(cos300+i 5in300). c) Z,Z2 =18(cos(33°+12°) + i sin(33°+12°»=18(eos45°+i s;n45°).
2.49.a) Z, Z2 = 24[co/l~ + 311: \)+ iSin("- + 31! /1 = 2.fi (coSlt- +isin ~ I) . 3 8 8 8 8!J 3 \ 2 2
b) Z, 22 = 18 [cos( 211: + "-) + i s;n(2" + "-)] = 18(CO~ 1911: +; sin 1911: I 5 7 5 7 35 35 )
cj Z, 22 = 10 [cos(3 +5) + isin(3 - 5) ]= 10[eos8 + isin( -2) ] .
2.5I.a)
2.52 .• )
0)
2.53.a)
2.54.a)
2.5S.a) b)
178
Z',ZJ = 10(COS ~+ isin 2:..). .. 12 12
zh = 6(cosl 8+ isin18).
z,z, = 44(cos22 + isin22)
6 (cos 90° +isin900)
4.[2(cosOo +isinOo)
b) n .,n
Z l Z2 =COS-+lStn-. 6 6
b) z,z2=5(cos7+isin7).
b) . cos( -90°) + i sine -90°)
b) 10 (cos 45° +isin4So)
ZI : z, = 4(cos(400-800) + i sin(40° - 80°) = 4(cos40° + i sio(-400» Zl : Z2 = 4( cos50° + i sin500)
c) z, :z, =2(oos1O° + isin 10°).
2.S6.a) z, :z, =2(00s44° +isin44°) b) z, :Z2 =4(cos300 +;sin300)
c) ZI :Z, =4(cos8° + ising")
2.S7.a) z,: Z2 = 2( cos 2:; +isin 2:;) b) z,: z, = 2( cos ;2 +isin ;2)
c) z, :Z2 = {cof; -l}iSif; -l))=3(COS~+isin~). 2.58.a) z, :z, =6(CO{-~)+iSi+~))
b) z, :z, =~(cos600 +;si0600) 3
c) z,:z2=2(cos7+isin7)
2.59.a) +Os~+isin~Hcos~+isinl)=3{ co{~+~ )+isin( ~+~)]=
= 3{ COsl+isinl)=30(0+i)=30i ..
b) 12rCOS~+isin~).(cos 3n tisin 3n)= 12(cos" +isio,,)=12(-1+0.i)=-12 ,4 4 4 4 .
2.60.a)
b)
c)
2.61.a)
179
~ +O{~)+iSin(~)]~3(COS~+iSin~) .
+OS~+iSin~) [ (31< ") .. (3" ")] ( 1< .. ") b) 2(COS~+iSin~) 5 cos 4-4 +181ll 4-4 ~5 cos 2 +"10 2 .
2.62 .• ) (1+i)(cosI50+isinI50) =
= J2 (cos45° + isin 4So) (cos ISo + isin 15°) = J2 (cos 60° + isi11600)
b) (-I-;)(cos20" +;sin200) =,/2[coS(-135°)+isin(-1350)]ccos20" +isin200
= ,/2 [cos( _135° + 20°) + isin( -13So + 200) 1= ,/2 [cos( _115°) + isin( -II SO ) J 2.63 .• ) (00s400 +isin40o)(3+3ifl) =
= (c08400 + isin 40°) 6r! + i EJ =: 6(C05400 + isin 40° )(cos60o + isin 60°) = ,2 2
= 6 [cos( 40° + 60°) + isin( 40° + 60") 1= 6(cosl00o + isin I 000).
b) (cos 50° +;sinSOo)(Sfl -5i) =
= (cos 500 + isin 50°)1 o(.~ -~iJ = 1 0(cos500 + isin 500)(00s30" - isin300) =
= 10(c08500 +isiI1S00) [COS(-300)+;sil1(-3~o)1= 10(cos200 +;sin200).
2.64.a) (1+2iSin~)\-2-2ifl) = 8l( ~+i5in~)[-~-iJ3l~ 3 2 3 22)
b) 2(COs2:.+ isin it .) 12 12)
2.65.a) [5( cos~ + isin ~) J ~ 5\c05n +isimt) = 125 '(cosn +isinn).
b) II( n .. " 'I ) 27fl ( 2 .. 2 ) d) 25( 4n .. 4n ': lCos-+lsm- c -_.- cos 1t +lsm 11: - cm~+lsm~.)
3 3) 47 64 3 3
2.66 .• ) I ' )]' ( \ ( I 1t .. rr .6 11: •• n 1f.n 2lcos-+/sm-- =2 cos-+lsm-]=64 cos-+ism- _
L 24 24 4 4) 4 4 J
b) ! ( '11" ( ) 1t .• n ~ 1t.11: 3 COS-+lsm-- IJ =3,0 cos-+ism- <
L 100 100) 2 2
c) [z( cos% + isin %) J = 256(cosn + isinn) ~ -256.
180
d)
2.67.a)
b)
c)
d)
2.68.a)
,,3 n; . n; 1 2n. . 2n 1 I .,/3 [(;;]' (~) .3( COS 9 +iSIn 9) =3(cOS 3 +iSIll3 )=3 -2+'2 ..
~(cosll' +isinlI0)]' =3'(cos55° +isin55').
(cos4° + iSin4o) 15 = cos(15. 4) 0 + isin(15· 4) 0 = cos 60° + isin 60° .
[4(coSl00 +isinIOO)]' = 64(cos300 +isin300)
[2(cosI5° + isin 15°)]' =16(cos600 +isln600)
(I+i)1O ~ [J2(*+ Jdr =[J2(COs~+isin~)r= = 32(COS~ + isln ~)'O = 32( cos 5" + isin 5" ) = 32(0 + i) = 321.
4 4 \ 2 2
."--lr::r~1 1.11" r::12[ (") .. (")1"_" b) (1-,) - v2 ---I) I =(v2) cos -- ,-HSIll' -- J -. \ J2 J2. 4) ~ 4
r· , (? --I = 64lco{ _1~n )+iSinl-l~n 1 = 64[cos(-31<) + isin(-3,,)]=64(-1 +0)=-64
c) H+i)8=[ J2( -COs~+isin~)J = ++ -~)+iS+' -~)J 2.69.a)
= 16[COS3" +isln
31t 'J' = 1 6 (cos 00 +isinOO)=16(]+O)~16. 44-r ( \,3 ( \
1 ' 7n .. 7n)J 21n . . 2In I z,· = L 2l COS -5 + /sillS = 8 cos -s- + I slll-s-f
= s( COS~+isln H b) z.' = r 4l' cos 5" + isin Sn )]4 = 256(COS 20n +isin 2On)= • L 9 9 9 9
c)
181
2.70.a) z=3 b) z=-5 2.n.a) z=Ji+i 3 3, b) z=--+-/
2 2
b) Z= -+~ cos~+isin~. = (1 ')100( ) I-I \ 4 4
( , ) ())'"'( . _ nn .. 'ITn 1t,n - I COSl-+- +lsml -+- COS-+iSm-J=
\ 4 4 \4 4 4 4
_ ( 1t " 1t 1'''"( n " 1t) ( 5~ " [' 7t 7t I - cos-+lsm-I i COS-+ISl11- = cos VI~ +lsm5On) cos-+isin-)= 2 2; \ 4 4 . \. 4 4)
( () " O)l( 7t .' 1t '\ 1t 1t .fi = cos +lsm cos~+lsm-I = cos-+isin- =: --(1+1). 4 4) 4 4 2
2.74.a) Z+C03;0 -isin ;of++ + ;o}HSin(n + ~)r =
b)
182
_ ( lln .' lin) 15 15·11n .. 15.11n - COS-+1SlIl- =COS---+Ism---=
\ 10 10 10 10
33n .' 33n 1t. 'IT = cOS----+lSln-- = cos-+islI1-=O+i.
2 2 2 2
[ ." ( r::: J20 ( \20 z= l+iJi) = (l+iv3)(i+I) =ll+i-J3+/J3
1 '-1} (i-l)(i+I) -1-1)
=1 ( Ji -.! Jl.! + Ji)i)" =rv~/Ji fi _L.J2 _(~ fi + Ji fiJi)]" 2222 12222,2222
\ L \
- 11: 1t .n.n .n 1t IT 1t [( ( ]" = J2 cos-cos---sm-sm--lsm-cos-+COS_Sin_)i) \6464,6464
,,10 11: 1[ .' 11: n to 5n 5rr [ ( ) ( )-" [ 1"
=;- cos "6+4 -ISm "6+4 J =2 cos( 12)-isin(I2)J =
2.75.a) i b) KoristeCi binomnu fonnulu, dobije se: ( cosx + i sinx)2 = cos2x +2j sinx cosx - sin2x.
Ako primijenimo Moivre-ovu formulu, imamo: ( cosx + i sinx )2 = cos2x +i sin2x.
Kako su lijeve strane dviju posljednjih jednakosti jednake, takve moraju biti desne, pa vrijedi:
cos2x +i sin2x = cos2x +2i sinx cosx - sin2x. Posljednja jednakost predstavlja jednakost dva kompleksna broja, a oni su jednav:
samo onda kada imaju jednake realne dijelove i imaginarne dijelove. Otudaje:
cos2x = cos2x - sin2x i sin2x = 2 sinx cosx. 2.76.a) b) Prema Moivre-ovoj formulije (cosx + isinx)3= cos3x + isin3x.
Prirnjenom binomne formule na lijevu stranu formule, dobije se: cos3x + 3i cos2x sinx - 3cosx sin2x ~ j sin3x = cos3x + i sin3x
~ (cos3x - 3co~x sin2x)+ i(3cos2x sinx - sin3x) = cos3x + j sin3x ~ (cos'x - 3cosx (I-cos'x »+ i(3(1-sin'x )sinx- sin3x) = cos3x + i sin3x ~ (4cos3x - 3cosx)+ i(3sinx - 4sin3x) = cos3x + i sin3x. Kako su dva kompleksna broja jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi, to vrijedi: '
; 0 .- '3 3' '4') cos3x = cos'X - _ .... cosx sm"x, sm x = _ smx- sm x. 2.77.a) i b) Prema Moivre-ovoj fommli je (cosx+isinx)4=cos4x+isin4x, a prema
binomnoj formuli imamo
(cosx+isinx)' =( ~)OOS4 X+{;)OOS3 XSinx-(~)cos2 xsin2 x-{;)cosxsin3 x+( :}in4 x
= cos4x + 4i cos3x sinx - 6cos2x sin2x - 4i COSX sin3x + sin4x =:
4 6 2 . 2 . 4) (4 1· 4 . 1 ). = (cos·x - cos x sm x + sm x + cos· X SIllX - cosx sm" x I.
Dak!e, vrijedi slijedeca jednakost kompleksnih brojeva: ' cos4x+isin4x:;::: (cos4x - 6cos2x sin2x + sin4x) + (4cosJx sinx - 4cosx sin3x)i.
Dalje se dobije: - 4 ~. 2 . 4 4 6 1 (I 2 (I ')2 cos4x = cos x - 6cos-x sm x + SIn x:::: COS X - )COS-X -cos x) + -cos-x =
= cos4x - 6cos2x + 6cos4x+ 1-2cos2x+cos4x = 8cos4x - 8cos2x + 1. sin4x = 4cos3x sinx - 4cosx sin3x = 4sinxcosx(cos2x - sin2x) =
= 2 sin2x( 1-sin2x - sin2x) :;::: 2 sin2x( 1-2sin2x). 2.78. Upum: Koristiti Moivre-ovu i binomnu formulu i postupak kao u prethodnom zadatku.
.2 n .. 1t. n .. n. 2.79. KakoJe Z =-COS---lSIll- I z=~COS-+1SJl1-,toJe
3 3 3 3 2 211 .21t 11 ,J[
1 +z+z = l+Cos-+lsm- -COS--lsm-= 3 3 3 3
183
Prema Moivre-ovoj formuli je
" ( 2n ,,2n Y' 2nn . 2nn Z = Cos-+lsm-) =COS--+iSID--,
3 3 3 3
Kako su dva kompieksna broja jednaka ako Sll im jednaki realni i imaginarni dijelovi, to se uporcdivanjem realnih dijelova dolazi do jednakosti pod a) i uporedivanjem imaginarnih dijelova dolazi do jednakosti pod b). 2.81.a) Primjenom Moivre-ove formule dobije se:
, ( 2n .. 2n)' 21m ,2krr Z = cosT+lsmT =cos~3~+ism-3-
" ( 2n .. 2n)" 41m, , 41m z = c053+ls~n3 =cOS-T+1sm-3-
Nekaje k djeljivo sa 3, odnosno, nekaje k = 3m, mEN. Tada vrijedi: k" 2kn, . 21m 41m 41m
Z +z =cos--+lsm--+cos--+isin--= 3 3 3 3
6mn .' 6mn 12n.. f2n = COS-~+lsm--+COS-+Ism-=
3 333 = cos 2mn + i sin 2mn + cos 4mn + i sin 4mn:' = 1 +0+ 1 +0 = 2.
Uzmimo da k nije djeljivo sa 3. Tada postoje civije mogucnosti ito: k=3m+l iii k=3m+2, mEN.
Posmatrajmo prvi sillcaj kadaje k:=:;;jm+ 1, mEN. Tada vrijedi: k '" 21m. . 21m 41m. . 41m z +z =COS--+lsm--+COS~-+lsm--=
3 3 3 3
__ 2(3m + l)rr .' 2(3m + l)n 4(3111 + l)rr .' 4(3m + 1) 1t - cos + 1 SIll - + cos -----+ 1 SIn -"'=--.:
3 3 3 3
= cos( 2mn+ 2;) + i Sin( 2mn + 2;) + cos( 4mn+ ~ ) + i Sin( 4mn+ 4;) =
184
21[; .. 2n 41t ,.41t 1t .• 11: 11: .n = COS-+lsm-+COS-+1Slll-= -COS-+1SID--Cos--ism-= 33333333
rr 1 = -2cos-=-2·-=-], 3 2
Na analogan nacin dokazuje se da tvrdnja vrijedi i u slucaju kada je k = 3m+2, mEN.
b) Primjenorn Moivre-ove formule dobije se:-
1 k+1 2k+2 2(k + I)n .' 2(k + I)rr 4(k + I)n .' _4(,-k_+_I-'..)T'_'
+z +z =cos +lsm + cos +lStn---3 3 3 3
Nekaje k+1 djeljivo sa 3, odnosno, nekaje k+l = 3m, mEN. Tada vrijedi: 1+zk
.. 1
+Z2k .. 2 =1+cos2mn +isin2nm +cos4mn +isin4mn = = 1+1+0+1+0=3.
Uzmirno da k+1 nije djeljivo sa 3. Tada postoje dvije rnogucnosti ito: k+l =3m+l iii k+[ =3m+2, mEN.
Posmatrajrno drugi slucaj kadaje k+ 1 = 3m+2, mEN. Tada vrijedi:
1 k+1 1k+1 1 ' 2(k+l)rr .' 2(k+l)rr 4(k+l)n,. 4(k+llrr
+z +z = +cos +lsm----·+CQS +IS1O--':-= 3 3 3 3
1 2(3m + 2) 1t " 2(3m + 2) 1t 4(3m + 2) rr .' 4(",3:c.m,-+~2),-n-,-·
= + cos + I SIll + cos +lsm~
3 3 3 3
= I + COS(21t + 2n ') + i Sin(2n + 3:::.) + cos! 4n + 4~ I + i sin( 4n + 4n 1 = 3 3 \ oj \ 3)
21t .. 2n 411: .,4n 1 1( .. n n .. rr = l+cos-+lsm-+cOS-+lsm-= -COS-+1Slll--COS--ISln-= 33333333 n 1 = 1-2cos-=!-2·-=!-I~O. 3 2
Na analogan naCin dokazuje se da tvrdnja vrijedi i u slucaju kada je k+ 1 = 3 m+ 1, mEN.
287)P . k Ik b' 2n .. 2"Td' . _.a osmatraJtno omp e'san rOJ Z = cos - + 1 sm -. a a Ie 33'
2 4n. . 4n: 11:. • 11: ,. d' z ::.:cos 3 +!sm 3 =-cos 3 -1stn}, pavrlJe J
l +Z+Z2 = 0, odakle slijedi:
1 + z=- Z2 = cos'::" + isiu':: 3 3 '
1,2 2n .. 2n 1(.,TI
'T'Z =-z = -COS--Ism-=COS-~lsm-. 3 3 3 3
r '" ( 1" " n 211 n ,.1r1 1( ,.n DalJcJc: (I+z) +(1+z) = cos~+lSm~) +lCOS-:;--lsm--
,3 3 0 3;
= cosnn'+isin mt +cos!!1( -.isin tnt =2cos!!2. odnosno 3 3 3 3 3' ,
n 1" nrr; 2 +(1+z)' +(1+2')" =2" +2cos-
3 (*)
185
Koriste6i binornnu fonnulu, dobije se:
2" + (I +z)" +(J + Z')" = (~H;H; )++(:)+
+(~)+(~)z+(;}, + .. +(:}" +
+( ~ )+(;}, +(;}' + .. +(:}'" =
= 3( ~)+ (n (I + z+ Z2) +(~) (I + z' + Z')+ ... +(:)(1 + z" + Z''').
Kaka je, prema prethodnom ,",datku, I+zk+Z" = 3, aka je k djeljivo s 3, au protivilom sluc~ju je nula, to posljednju jednakost moz.emo napisati ovako:
2" + (I + z)" +(1 + z')" = {~)+ {;)+{ ~)+ .=3[( ~)+(;H ~)+} (**)
Koriste6i relacije (*) i (**), dobije se:
rl(111 (n1 (11)] I1n 3 1+)+ + ... =2" +2cos-, odnosno, LOj 3 6/ 3
(~)+(;H;,)+ =H2"+2C()S~n b) Uputa: Posmatrati zbir 211 + z{l + Z y' -+ Z2 (1 -+ Z2 J i koristeci prethodni zadatak
pod b), provesti razmatranja kao u zadatku pod a). 2.83.a) Ako je OJ, k-ti korijel1 datog kompleksnog broja, tadaje:
( 0" +k·360" .' 0" +k.360")
co k = J9 cos 2 -+ I sm 2 ., k = 0, k ~ 1.
IDo = J 9(cosOD -+ isin 0°) o;;;;;3(cosOo + isinOo)
ill, = J 9 (cos 0° + isin 0") = 3(cos! 80° + isin 180")
b) ill =-../U cos +IS!fl-- -[;'J6'l' 90
o+k·3600 .' 90
0+k'360
0) k--O
, k 2 2)' k = 1.
COo ~ 4( cos22So + isin 225°) _ WI::::: 4( cos 22S(J + isin 225°)
2.84. Svaki o-tl korijen kompleksnog broja irna n vrijednosti.
186
aJ 14( 10" + k· 360" .' 10' + k· 360") k -- 0 k = 1. (O/; =: cos 2 + I 3m 2 ,- ,
"'0 ~~4(cosIOo +isinIOo) ~2(cos5° +isin5°)
"" =J4(cosIOo +;sinlOo) ~2(cosI85° +isiI1185°)
b) illo = JS(cos500 +isin500) =2.fi (00s25° +isiI125")
ill, = ~8(cos500 + isil150o) = 2.fi (c05205° + ;siI12050)
2.85.a) (00 = 5 (cos 20° +;siI1200), ill, = 5 (c05200" +;sin200o).
b) ffio =6(cos300 +isin300), "" =6(c052100 +isin2100).
4( 9Jt .' 9Jt) (OJ::::: COSg +lSlll g
2.87.a) (00 =:J2(COs~+isin~),
2.88.a)
ffi o""'''} cos +lsm =cos30o+ism30o=-+-i ,r;( 90'+0.360° .' 90'+0'360') . J3 1 \ 3 3 2 2
; r;( 90° + I· 360" .' 90° + 1· 360' I ,. . ° J3 I WI=VI cos +/sm )=cos150'+lsm150 =--+-i
\ 3 3 2 2
CiJ 2 "",ifi cos +isin l=cos270()+isin270o=-i. [ 90" +2·360' 90" +2.360°,
3 '3)
b) - ifl( 60° + k .3600
... " 60' + k . 360') k = 0 k = 1 k = 2 OJ k - cos 3 1 15111 3 ,', -, ~.
\
2.89.a)
(00 = cos 20° + isin 20° , (01 = cos 1 40() + isin 140°, 00 2 ;::: COS 260(l + isin 260 0•
,O,"8( 30' + k ·360' .' 30' + k .360') k - 0 k - 1 k - 2 ffi -VlS cos +lSln------- - - -. k 3 3'"
"'0 =2(cosI0" +i8iI1100).,", =2(c05130" +isin130°)'
(J)2 :::::2(cos250o +isin250o)
b) ,~vn( ,12'+k.3600 .' 12'+k.360') k=O k= 1 k~2 ro k COu 3 + 1 SIn 3 ~ , , ' . , .
Ul" = 3(C054° + isin 4°) ,Ul, = 3(e05 1240 + isin 124°) ,m, ~3(cos244° .,. isin 244°)
'-1 I~-O--'-'-O 0 + 2k7r .' 0 + 2kn k 0 1 Zk=.y! =VCOS +ISln =cos :/S111 , =, . 2 2
2.90.3)
Zo = cos 0 + i sin 0 = I , Zj = COSTt + i sin 1t :::: -1.
~ =. ..') ( 0 + 2kn .' 0 + 2kn ) b) zk=.y4 =...j4,posO+lsmO -2 cos 2 +lsm 2 ,k=O, L
20= 2(cosO+isinO)=2, z!:::::2(cos1I +isinn)=~2.
r;: W. ..) ( n + 2kn . n + 2kn ) c) zk=..;-9=,,9\cos1{ +IStn1{ =3 cos 2 +istn 2 ,k=O, 1.
187
( 1t .' n I 3' z(I= 3 COS 2 +ISln2"j= l ~ Zl = cos - + I SIfl- == -.H . 3( 3" .' 3.) ,.
\ 2 2
2.9I.a) l/i =t'cosO+isinO => 0)0 =cosO + isin 0 = I,
2" .' 21< 1.J3 4" .. 4" 1.J3 (OJ =COS-+1SIO-=--+I- ffi 2=Cos-+lsm-=---l-
3 3 2 2' 3 3 2 2
b) 1t. . 1t ";3 I. 51t. . 51t JJ 1.
ffio ""COS-+lSJn-=-+-1 w\ =COS~+lsm-=--+-, 6 622' 6 6 22
3" .. 3" . 0), =COS-+Ism-:::::-l
. 2 2
c) '"0 =COS~+iSI':~=±+i~' "" =C051[ +isinlt =-)
5" .' 5" I .J3 (0., = COS-+ASlfl- ,::: --1-,-
- 3 3 2 2
2.n.a) n .. n, 7n .. 7'K J31
roo =cos2"+lsm'i =l, WI =COS6+lSID6""'-T-"2i
lIn .' 11" .jj I. ro 2 =cos-+!sm-=---l.
- 6 622
b) Wo =cosO+isinO:-.:.[, 1t .' n; . OJ 1 ::::: cos:;-+ I SIn::-;;;::; t - ~
, I 3n,.3:n:. (02 o:.:COS1t+lTI: =-, 00 3 ='cos-+rsHl-=-l.
2 2
0) 2( 0 .. 0' 2 Z( 2" . 2n) 1 .fj roo::": COS +lsm 1=", Wj = cos-+ism- =--+--i , \. 3 3 2 2
( 41< .' 4" I I J3 0), = 2{ COS-+ Ism - ',-, -----i.
- \ 3 3" 2 2
2.9J.a) 1H =1JcOS1t +isin 1t ,-'" cos rr -+ 21m + iSI'n 1t + 21m Ie - 0 1 0 3 4 4' ' - . , -, .
n .. n 3n .. 3n: Sn .. 5n 711: .7rr C05-+/sm-, COS-+ls:n- 0 COS-+ISUl- cos-+ism·-··
4 4 4 4 4 4' 4 oj
n .' 1t 3tr. . 37r "OS 7'Yf. ~. " ,,'n 7rr. lin.. lin COS~-Ism-, COS-+lSIn-"......- C{)S-+lsrn-
8 g 8 8 g 8' 8 8
CJ "~ l=S( -. ,-~) - ]/ . . o( n + 21m .' 1[ + 21m v-.1 =".1I..COS1!:+IStn7: =J.,·'JCOS1t+ISm7:=~COS 3 +(5~!'·-3-
k~O, 1,2.
188
RezuItat: 2( cos ~'+ i sin j) , 2( ") 2( 51t .. so) COS1t +lsmn, Cos 3 +lsm'T'
2.94.a) "'0 ~2(cosO+isinO)~2, l" 1t .. ") • (01 =2 COS2 +1SlTI 2 =2z
(02 = 2(cosn + isin-n:):::: ~2, 2( 3" .. 31t) 2' m3:::: Cos 2 +1sm 2 =- 1
b) "'0 =2(cosO+isinO)~2, ( 2" . 2,,) (01 =2 cosS+ism
S '
2( 6n .. 6n) (03 =: COSS+lSlllS '
'"4 =2( COS s; + isin 8; ). )
n.. T( C CO =COS-+lStn-
o 10 !O ' 1t .' 1t .
O)J =COS-+lsm-=l, 2 2
<nt .. <nt 13n .' 131t ffi2 =coslO+/sUl lO . (03 =COS-+fsm-,
10 10 17n .' 17n °4 =COS-+lSIn-10 10
2.95.a) -12 + 21 =~= /'2.fi-2""(-C.fi::::2 -+-C.fi::::2 'II = !J8(COs"-+lsin "-) =
V l2 2J~ 4 4
( 1t +21m "-+2Im j\ = Vslcos 3.. __ + I sin _4 __ .. _ k ~ 0 I.
·2 2'?
Rezultat' vs( cos ~ + i sin ~), vs( cos ~ + i sin ~ ),
b) ifh = '.fi( ~2 -1~)=V.fi(COs~-isin~)-
[
-"-+2;:" .. ":. + 21m J Vi. cos 42 +isin.....'L2-- ,k~O, 1,2.
Rezultat 'fi(eos"- - i sin "-) , 'fi( cos 7n + i sin 7n), 'fi(eos lSn + i sin ISn I. E . 8 ~ 8 8 8 8)
c) 1+; =.fi(COs~+isin~).
's( 9n .. 9n) COl =;11.. COS-+lsm- , 16 16
4r;:2( n .' n) roo ="\/1. COS-+lSill-- , 16 16
,r;:(l 17" .' 17,,) 0)2 =v2 COS-+lsm- ,
16 16
189
"r;::( 251t .' 251t) {OJ =.=...;2 COS-+lSlll- . 16 16
2.96.a) 11='i. (l-iJ(J3 -i) )J3-i-iJ3-1 6 .J3-1-(J3 +1 VJ:l-;;=6(J3 +i)(J3-ifV 3+) 4
= ,~rJcOS75° -isin7So =,~VCOS(-'7So)+iSin(-75')= '-il2 '-il2
I [ -7So+k3600 .' --75 0 +k360') = ,r;:: cos +Ism ,k=0,1,2,3,4,5_ ~2 6 6
0) ,R=Jl2~ j8~ =,!8="SiJ3 =VJ..-iJ3 =++J3 = V 16i '17 V- 16i VI6i 2i 11-2
= J- ~ -±i =5 -COS~-iSin~ =Jc+ +~)+iS+ +~) =
,- ,1_". + 21m 7n + 21m /7" .. 71t 6 6 = vcos-6 +lS111 6 ::: cos 5 + isin -"--5-- k = 0, 1,2,3,4.
2.97.a) (1-1' iJ3)6 =[2( COs~ + isin ~) r = 64 (cos 21t + isin 21t) = 64.
(-f:J+iJ" (J3 ) ," ( 1t . 1t)24 b) "~-2- = 2+21) =l cos(j + 1 sm"6 = COS 4n + isin 41t = 1 .
c) [l~~~J=[ J3-1+2+J3
)iJ =[ ~-±+[±+~}J = ([2-)'1 J3. fi _ ~.J2) .1. li + J3. fiJI]' , lz Z 2 2 l2 2 2 2
r;::sf 1t 1t 7t 11 (. 1t 11: 1t < IT)]" = (v2\ C05--' cos- - SID _. C05- + sm - . cos - + C05- sm - / 'L 6 4 6 4 6 4 6 4
= 16[Coll~+:::")+sin(~+~lr]~ ""16;I-cos5
:n: +sin 5n: i]S ==1/lcos!On +Sin~i]
6 4 \ 6 4) • 12 12 "3 3
= 16 cos-+sm-i =16 -cos~-sm-l "'" -----/ = - -Iv'; . [ 41t . 41t] ( n . n'J 16[ 1 .fj) B( 1 . r;::3) 3 3 3 3 2 2
2.98 .• ) ( 30 0 .' 30')8 2400 .. 240' 1 . .fi cos -lsm = cos -Ism =--+1-2 2
b) [F2(coS600 + isin600)]' = 8 (cos 360° + i sin 360°) = 8.
190
2.99 .• ) ( -COs~+isin ~ )' =( cos ~ + isin 3; )' = cos61t + isin 61t = 1.
b) [2( cosl500 + isin 150°)] 10 ~ 1 024( cos 60° + isin 60°) ~ 512(1 + i.fi).
2.100.a) (I + i) 10 ~ 1!2 (cos 45° + isin 45°)]10 = 32( cos 90° + isin 900) = 32i .
b) [fi (3 -iJ3)]' +fi(l- ~i)r = [,fi(1-ilg300)]' =
[ 3F2 0· _ ° -I' (6.fiJ' 0· °
~ ---0 (cos30 -151030 lJ = l r;:: (cosl50 -isml50 )= cos30 v3
= 1152,/6[ -~ -±}-576,/6(J} +i)
2.101.a) [J2(~-i~)r = [F2(cos600 -isin600)To = 32(cos6000 -isi06(00)=
= 32(cos2400 -isin 240°) = 16( -1 + iJ3) .
b) [Jj[-±~i~Jr [J3 (- cos 60° + isio 60°)]'2 = [J3 (cos I 20° + isin 120°)]'2
729 (cos 1440° + isin I 440°) = 729(cosOo + isin 0°) = 729.
2.102. KSina + icosa )(sina - ieosa)] -, =
([cos(900 -a) +isin(900 -a)][cos(900 -a) -isin(900 -a) ]}-'=
-[cos(900 -a) + i sin(900 -a) ][cos( a-90°) + i sine a ~ 90°) ]} -, =
= [cos(900 -a +a -90°) + isin(900 -a +a -90°) ] -, = (c.osOo + isin OOr' = L
c;;--- ( "- + 21m "- + 21m I 2.103.a) Jl6i=4Vcos~+lSm~=lcos 2 2 +lSin 2 2 )' k=O, L
Rezultat: 4( " .. ,,) -COS-+/SJn- • l 8 8' ( 51t . 51t) 4 cos-+isln- . \, 8 8
b) ,r;;c6 / .. 2( 1t+21m . 1t+21m) k 0123 v~lo=2"cosn+lsmn: "" cos---+isln---, =", . \ 4 4
Rezult.t:F2(l +i), F2(-1 +i), .fi(-i-i), fi(l-i) c) Rezult.t: 1 + i, - J + i, _. I - i, 1 - i
2.104.a) (COS1200+isinI200)~ = cos60o+isin60o=l.+ .fi i _ 2 2
191
1
(cos 120° + 18in1200) '1
2
b), [27(COS600 +lsin600)]3
[27(cos600 +lsin600)] ~ 2
[27(COS600 +lsin600)] 3'
240" .' 240" 1.[3 cos +lsm =----£. 2 2
=9(eos400 +isin400)
=9(eosI600 +lsinI600)
2.10S.a) 1
~(cos3000 +isin3000)]-,
=9(eos2800 +lsin2800).
1
3 (cos 300° + I sin 300°)
-"3. cos150o +isinlS0o j. (eos( -150°) + Isin( -150°»)
Ie 0.· (I 1 0 0 1 0 =3 oos150 -lsmlS0 )=3("C0830 -lsin30 )=3(cos210 +lsin210")
, ~(cos300o + Isin300o)]-~ 1
3·(COS300 +lsin300)
[8(COS 1500 + isin 150°)] -I 1 [eos( -150°) + Isin( -150°) 1 8 J
b)
=~ ~os 150" - isio 1500 }o,~ t cos 30° - Isin300 } ~(cos2100 + Isin 210°) 8 8 8
(1+1)'0 =( 00845" +18in450'140
__ ( cos 45" +isin45" i 40
2.106 .• ) I l ) ,1-1 CO$45' -isin450) COS(-4So)+ isin(-45°)
=(cos900 + isin 90°) 4" = eos(n· 360°) + isin(n' 360°) = I
b) (J + Ii''''' bo 900 .' 000)40+1 0 ° l-'j' \cOS +ISlll/ cos90 +/sin90 =1 1-1
= cos(n·3600 +90o)+isin(n.3600 +90°)=
c) (~)4"+2(euS900 + isin90o\411+2 cos 180° +isin 1800 =-1 ll-I )
= cos(n· 360° + ]80°) + is1n(11 3600 + 180(» =
d) ['I +:)411+3(005900 +isin90o}411+3 cos 270° +isin270o :::=-i
. ...1-1 = cos(n·3600 +2700 )+lsin(n·3600 +270°)=
3n: .' 3n lIn .' 11" cos-'4+ 1S1ll 4 ( n .. rc) COS~·~+IStn-"-__ ..2 ... COS~+lsm~ 12 12
21 6 6 2i 2.107.a)
192
b)
111t .' lIlt COS~-+Ism"·~ ( ) 12 J 2 1 51t.. 51t
=- COS-+lStn-
2( n: .' n:) 2 12 12 .
Cos 2 +lsm-i
""7(_e_o_s 2::!e.-+-1 S_i_n~~':-1t-O;-) -( cos ~ + I sin~:)
3 COS3 +ISJn 3
5n: .. 51t COS"-+lSIfi---
6 6
3( 21t .. 2n: I COS-"3+1SlTI3)
= Heos( ~ - 2;)+ iSin(~ - 2;)]=Hcos~ +Isin~)=~. 1 (1t 1t) . r::: 4 8 ( 1t . n:) ( n: .' n: \' c) ----:-lCOs-+lsm- -(1+1"\13) =_0 COS-+IStn- . COS--l-ISm-!
21 6 6 1 6 6 3 3,
8( 3rr .. 3rr\ 8. C08-+ Ism~ 1= _.(-1) =-8.
2 2) I
2.108.a) ( It .. 1t).9 . r:::" ( 1t • n\ 1(1.[31' ICOS-+lsm- 1 (l+h/3)'=lcos-+ism-!i--:r -+1-1 = \ 3 3 3 3;22 2)
( IT .. IT '\ i (. IT • TI \'( n . IT) 1 ( n .. IT I =lcos3+/Sln3"/27 Cos 3 +ism 3) cos 3 +ism-j" iylcos3+1Slfi'J)=
(1\ .onj2,l! 2n .21tX 1t .,1[\)1 =lCos~+lsm~ t =1 cos--+ism- Cos-+Ism--:;-= 3 3, ,3 3 2 2 2
- - eos~+lsm~I=- ----I =-(-,,3-1). _ 1 ( 71t '.' 7n i I ( Ii 1'1 1 r:::. 27
\. 6 6) 27 2 2; 2'
21t .. 21t
b) cos'3+lsm':i' ( 7t .' n), .)_ cosn +isinn (4')--" l COS-+ISIn- \~41 - - I .-f cos?!C +ism!!:)'- 3 3 5(COS-?~+iSiO-?~)
\. 6 6 ~ 6 6
coJ -"[+ls1n( -"-i ( .Jj • . \. 6; 5 6)(-4i)=-~l; -+}=-~(.Jj-i)i=-~(lfi.Jj)
2.109.a) Napisimo, prvo, dati broj u trigonometrijskom obiiku, a zatim odredimo cetvrti stepen.
z:::: I +eDs:':." + isin~- == I +cos2 ~ - sin2 ~.+ 2isin~cos~ = 4 4 8 g 8 8
211: .1! 'It 1t( 1t .' n) =2cos -+2istn-cos- = 2cos- COS-+Ism- . 8 8 8 8 8 8
193
(,IT .' n \' [ n ( n . n )1' = 2eos 6+ 21SJn 6) = 2cos6" cos(j+iSJnti J
8 ,n( n .' n) 8(13'1'. r.: = cos "6 cos2 +ls1I1 2 = 2-) 1 =3i,,3 .
, ( • 2 X 2 X . < X X \8 2.110.a) O+cosx+isinx) = l+slI1--cos -+21sm-cos-1 = . 2 2 2 2)
_( 2 X .' X \8 I x( X .' X)]8 ~ l\ X(I x .. X \J" - 200s _·+2Isll1-1 =12cos~ COS-+ISIn- :::::2 cos - COS-+lSlll- = 2 2) L 2 2 2 2\ 2' 2
256cos8 '?: (cos4x + isin4x). 2
b) (1 ' . )8 (. ~ X 2 X 2' x x ( 2 X • ~ x))" +smX+lCOSX =]sm~-·+cos·-+ Slil-COS-+/1COS --sm-- = \ 2 2 22,22
(r x . X)' ( X . xX . x . X))" = l COS '2' +SIfl "2 +i cos"2+S1112 COS 2-SlD2" =
- cos-+sm- vi- cos-cos-+sm--sm-I+I .;. sm---cos-'-COS-Sln-, = -(l x . x)"[ r.:2( x 11: . X . IT '\ '.JO!. 11: X n. x I]" 2 2 2 4 2 4) ,,4 2 4 2)
= 16[( cos:: + sin ::)' Tr' cos(". -::) + i sin(".-:: I)" = \ 2 2 J, ,4 2 4 2;
- 21' = 16l(cos~'+Sin~) , [cos(211: -4x) +isin(2n -.4x)]= ,,- • J = 1/1 + 2sin ~cos~)' (cos4x - isin 4x) = 16(1 + sin x)' (cos4x - isin 4x). l 22.
2.11I.a) (~iJ3)' +( -1-;"/3)" =(_~+iJ3)" +(_~_IJ3)'= l2 ,22222
194
(cos 2; + isin 2;)" +(cos( _ 2; )+sin(- ~))' (cos4n + isin 411:) + ~os(-411:) +sin(-411: »= 1 + 1 = 2.
b) Zadatak se rjesava analogno zadatku pod a).
2.112.a) (cos 60° +i5in600)" =cos360' +isin3600 =1.
b) [J5(cos45° + isin 45°)]" = 115(cos2700 + isin 270°) = -125;.
2.113.a) x3_1=O ¢:> x~Vi=~O+isinO~eosO+21m +isin O+ 21m 3 3'
k=O,I,2 X, = c050+i sinO = 1,
X2=COS2n -t-i sin 2n =_..!:..+ili x,=cos 4n +isin4n =_~_iJ3 3 3 2 2' 3 3 2 2
b) ,,5_32=0 ¢:> x=z!32 =V32(c050+isinO) = {cos 27 +isin~~11:), k=O,I,2,3,4.
XI = cosO+i sinO = !,
2( 2n .. 2IT) X,,= cos~+;sm-, ,. 5 5
?( 6n .' 6IT \) o( SIT .. 8n 1 X4= _ cOS----=-+/SlIl-, X5= L cos--;--+ISIn-;::-I. :J 5 )) )
" ,.-;-; ~--' ... ---- ( 1t + 21m n . 21m \ c) x
4+16=O ~ x=~~16 =t/16(cosn +isinn) =2 cos 4 +isin-: '4_" )0
k=0,1,2,3.
X, = 2( cas~+ iSin~) =./2(1 + I), X2 = <cas 3: + isin 3: ) = ./2(-1 + i),
XCI = 2(COS'~~ -+- ;sin 5n) = J2C-l-i), )(,1 = 2( cos 7rc +isin 7n) = nO-i). 4 4 ,4 4
2.1I4.a) z'+i=O ¢:> z3=_1 ¢; z~v=i
IT +2lrn: -~+2Jm 23 +i5in-2·-
3--, k = 0, 1,2.
(nl .. (n)J3J. Zo = cosl-'6 r~ lS1J1~ -6 = 2' - '2 1 ,
1t . IT Zl =cos-+isIl1-=O+i=i,
2 2
7n .. 7n 13 1. z, = COS--t-lS1l1- = ---~-·-I. , 6 6 2 2
b) z'-i-J =0 ¢:> z3=I+i ¢:> z=VJ+j.
z = ,f7:i( cos". + isin ".) = w(eos ~'+ 2kn + isin ~ + 21m l, k=O, 1.2. V'L\ 4 4 3 3; )
195
l.llS.a) x -7i±J(7i)2 +48
1
-7i±.J-49+48
2 -7i±~1
2
7 . + ( rr + 2krr .' n + 2krr I - 1 _ COS ----.- + 1 SIll ----- J
-7i±.Jcosrr +isinn
2 2 2 ~ k ~O k =i 2 ,,'
-7i +lcos~ + isin :r_) _ 2 2 -7i+(0+i) -7i1·i -6i .
x!- =-----=---=--=-31 2 2 2 2 '
7 . ( 3n .' 31t) - I + COS ---- + Ism ---X2= \ 2 2
2 b) xj=3i,X2=5i.
j fi I fi 2.1 16.a) ZI=---+-·") Z2=----I.
2 2' 2 2
lfi b) =1=-+-1,
2 2
2.!17.a)
b)
2.llS.a)
0)
= -3-21±~4-+28.-68i 2
2 -3--2i+7-4i
ZI :;:;: ~"---'--'-- = 2 - 3! 2
2,--1-1, z2~.J.(-I+i). 2
2
w, -1 d" zk=i--,gJcJc
(Ok+ 1
3rr + 4/m .' 3n + 4/m (Uk = COS-g-~+lsm--8--"
Uvodenjt:m smjcne x = -lg? ,dalje se dobije:
2
k = 0, 1,2,3.
(1_ig 2 ~ 2tg~ r I ___ .2 + . __ 2 __ I I _ i
'l 2 'I' I (I) j l+tg 2.- l+fg -2 (
' 2 2' \' ,-x Xl 1 . ~ -----, =/'<--¥
I ' , ,) +x- l-X
cosLkp +isin 4Q =i => cos 4'1' - 0 , sin 4'1' = 1
=> n n
4'1'-'2-+kn ,4'I'-2'+2Im ,kEZ.
=> 11: 1m 1t!err 'I' -'8+4' ' 'I' -'8+'2" kEZ.
1C 5rc 9rc i3" '1'-'8,'1'-8' '1'-8,'1'=-8-' kEZ .. ~>
196
Vidimo dajednacina ima fetid rjesenja j to su: 'It .m 9n 13n
x=-tg 16, x=-tg 16 ,x=-tg 16 , x=-tg 16 .
2.119.a) Odredimo nule datog binoma. 5 5 ,r; n +2kn .. " +2kn x +1=0 ¢:> x ::::-l ¢:> x k =\/-1 =COS---+lStn---,
5 S
gdje je k = 0, 1,2,3,4. Pet nuladatog binomaje: rr .. 1t 3rr .. 3rr .. 1
Xo =COS~+lsm-, XI ::::COS-+lsm-, Xl =COS1t +ISm1t =- , 5 5 5 5
7rr .' 7" 9n .' 9n x) ::::COS-+1Sln-, x 4 =COS-+lsm-. 5 5 5 5
Meau pet nula,jedna nUlajc realan broj (-I), a medn preostale cctiri Stl dva para konjugirano-kornpleksnih brojcva jer je:
9rc . 9rc (iOn rr 'J' . (iOn 1[) rr" 7t -X
4 0:: cos--;: + ism-;:-= cos ---:-- +ism --- =COS--IStn-::=Xo
--' J \5]- 5 5 5 )
7rr ,,7n (IOn 3n) .' (IOn 3") 3"" 3n -' x 3 =COSS+IStllS=CO\S-s" +IStn\-S--s =cosS-lsmS=x;
Sada mozemo pisati: x' + 1= (x-xo) (x-x,) (x-x,) (x-x]) (x-x,) = (x - x,)(x - xo)(x - x,J(x - x, )(x - x,)-
r rr ""Y n ""X 3n ,,3n\ = (x+11 X-COS--1Stn- Jl x-cos-+Ism-lx-COS~-lsm-l. '\ . 5 5/: S 5 S 5 )
( 3IT. 3rr)_ ·lx-Cos----:-+ism~ -
, 5
= (x+ I{(X-COS~)' +Sin~ )'][C<-cos 3;)' -(ISin 3;)} = x+1 x~-2xcos-+cos -+sm - x -2xcos-+cos -+51n-- = ( {
, rr ,n . ,,,][, 3" ,3rr .,3n1 5 S S 5 5 5 J
= (X+I~X2-2XCOS~+IXX2-2XCos3; +1)=
f ~" 4n 'l', 2n-' = \:'(+1 x-+2xcos-+ll.x +2xcos-+l I· 5) 5 J
2 {{, 2rr )(, 4n \(_ 6n) b) x +1= \!+l\X +2xCOST+1lX +2xcos-7 +1Jx-+2XCOST+! >
c) x' +1=
f l' 2n )(, 4" X, tm X, 8rr \1 =\:'.:+1 x··+2xcos-+l x-+2xcos---+l x +2xcos-+l x··+2xcos~+1 . 9, 9 9 9 j
2.120. Odredimo nule datog binorna: Z211+1+1=0 ~ z2"+i=~1 ¢::> Zk=2"~=2nvJcOS7t+isin7t
=> _"",- =c.os 1t +2kn + I'Sl'n n"_+.:..::2"k""- 4 K - ,k=O,±1,±2,±3,±, ... ,±n.
2n + I 2n + 1
197
Medu nulama datog binornaje Ztl = -1 i n parova konjugirano-kompleksnih brojeva. Ovi parovi suo (Zo, Z.I), (z" "-')' (Z2, Z.3), (Z3, '-4), ... , (z"." '-'0.1), (Z".I, ,,",j. Dokaiimo, na primjer, daje par (z".I, "-,,j, par konjugirano-kompleksnih brojeva. Zaistaje:
it + 2(n -J)it .' it + 2(n - I)it 2nit -1t .' 2ml -11 Zn .. "j =cos +JSlIl =cos +lsm
2n + I 2n + 1 2n + 1 2n + 1 1t - 2nn: 1t -·2nn
= cos isin~--·= z " . 2n+1 2n+ I ~
Za konjugirano-komplcksne brojeve Zk i z..(k+lj, gdje je k = 0, ±1, ±2, ±3, .. "' ±(n-l), vrijedi:
(z - Zk)(Z - 2(k+l) = =f z-cos (2k+ I)it -isin (2k+ 1)7I J. [z -cos (2k + 1)11 + isin (2k + 1)7I J= l 2n+l 2n+1 _ 2n+1 2n+1
r ' (2k+])" l' I .. (2k+1)1t l' = LZ- coS 211+ 1 J -llsm 2n+ 1 .J =
__ '2 (2k+1)1t ,(2k+I)". ,(2k+I)" (2k+1)n -- z - zcos~~--+cos --~~--+S1D ~~-- --2zcos~~~+1. 2n+1 211+1 2n+l 21'1+1
Kakoje ._cos(2k+l)".=cosrl" (2k+l)111=cos(2k:t:D1t-(2k+J)1t.=cos 2(n-k)7I,
2n+1 2n+1 J 2n+l 2n+1 to prethodnu jednakost mozemo pisati ovako:
, . • 2(n··k)" (z - Zk)(z - Z-(k+l)) = z- + 2zcos- -+!.
211+1 (*1
Sada dati binom mozemo rastaviti na faktore na slijede6i nacin:
z'''''' + I = (z + 1) (z - zo) (z - Z.I ) (z - 2 , ) (z - Z.2 ) ..... (z -- Z k)( Z - Z'(k+I')'
k 0."'" 0, ],2, 3, .. ,' (n-1). Koriste6i relaciju (*), posljednju jednakost mozemo pisati ovako:
'"+1 . U"" U"·t r 2(n - Ie)n "1 Z 1·1=(2+1)1 (z-z,)(Z--Z.(k+I\)=(z+l) .lz2+2zcos~'~-~~+1 k=O ko<OL 2n+l J
"I 2k1l] = (z+ l)TII z2 + 2zcos~- + 1 k"'l L 211 + 1
sto smo i trebali dokazati. 2.121. Koristecl prethodni zadatak dobije se:
zll1+! +1=(Z+1)(Z211 _Z211-1 +z2n-2 _Z111-3 + ... +Z2 ---z+I)=
" c 2k] = (Z+1)TIlZ2+2ZCOS,.... ~1+1 , k",J Ln , l
odakle slijedi
Z211 ;:;2"-1 -+ Z2 11·-2 .. _ Z2"~3 + ... + zl. - Z + I = n [z2 ---I' 2z cos 21m -+ 11 (*) keo) 2n + 1 .J
a) Uzmlmo daje z = 1 i ovu vrijednost uvrstimo u gornju relaciju (*).
198
Tako se dobije:
" [ 2k 1 "[ ( 2kn )] 1=IT1+2ZCOS~-n-+IJ'=IT21+ZCOS~~ = k«l 2n+l k-=l . 2n+l_
= IT" rl2(1 +cos' ~-sil1' ~"':-)] = ll. 4 cos' ~= 4"1l cos'.~. k-=l 2n + 1 2n + 1 kod 211 + 1 bl 211 + 1
1-4"IT" 2 kn ~ cos ~~ k-:=I 2n + 1
" 1m g IT cos~~= --bl 2n+l 4"
1[ 2n 3rt cos~~ cos~~·cos---
2n + 1 2n + 1 2n -+ I
( D cos 2:+ J 4"
" 1m 1 TI cos 2n+ 1 =y;k~l
nn 1 cos~~=-.
2n+ 1 2"
Gornjirn postupkom dokazane su i slijedece specijalne jednakosti: ttl 1t 2n:l1
I) cos-=- 2) cos-·cos-=~=-3 2 5 5 22 4
1I 2" 31I 1 1t 21< 31t 41< I 3) cos--cos-' cos-- = -- 4) cos-' cos-' cos--· cos ~ = ~
7 7 7 8 9 9 9 9 16 n 27I 31I 41I 51< !
5) cos - . cos - . cos - . cos - . cos - "" -1 1 1 1 II Jill 32 1I ~ ~. ~ ~ b ]
6) cos~-· cos-· cos~'cos---· cos~' cos- =~. 13 13 13 13 13 13 64
b) Ako u (*) stavimo z = -I, tada se dobije:
" ( 2kn \ 1 +1+ ... + I + I = ITl-2eos~~+ 1)1 ~ , 2n+l
2" sahlraka k=l
"( 2krr\ 2n+I=U2 l-cos~~1 k=1 \ 2n+ 1/
"( 1m) 2n+l=2"2"U sin2--'~) k=1 ~ 2n -I- 1
I· " I ,,( k~) f2n + I fh SID 2n +1 = '{( 2" )2
.n .2n .3n sm~~ sm~~·sm---
2n + 1 2n + 1 2n + 1
. nn ..J);;+1 ... ·sm 2n+l =~2-"~
Rjesavajuc1 jednakosti:
ovaj zadatak u opcem slucaju dokazali smo i slijedece specijalne
• 1I J3 1) Sln· .. ·=-
3 2
.n .2rr J5 2) s!n-·sm-=-
5 5 4
199
,n ,21< ,31< fi ) ,1< ,21< ,31< ,41< 3 3) sm~·sm~·sm-~·~ 4 SlO-·sm·· -'sm-'S1l1~~-
7 7 7 8 9 9 9 9 16 ,1< . 21< ,31< . 41< ,5n Jil
5) sm - ·sm ~. 8lll--sm ~. Sin ~~--II 11 11 11 11 2'
6) . 1< ,21< ,3n ,4n . 5" ,6re .Jl3
sm ~. sm - -SIn-·sm·- 'Sln - ·sm -~ --. 13 13 13 13 13 13 26
2,I22,a)
~>
z'+1 ~ (z-zo)(z-z,)(z-z,)(Z-Z3) ~
c) z'''+1 ~O Zk ",,2n ",,2.!Jcosrr +isinn
(2k + ])11: ,,(2k + I)n Zk=COS + 1 Sill ,k=O,I,2,3, .. ,(2n-l).
2n 2n
. n'''-' [ ( (2k + 1)1t ,(2k + l)n )-J z~(l+l= z-- Cos--7--+sm ') .
k"'O l _n _n
2.123.a) Za kompleksan broj z vrijedi: z ::::: r( cosep + i sincp ) = r ell' I ,
U datom konkreLnom slucaju je: z = cosO + i sinO = eO., . b) z=cosO+isinO=e"'J. c) z=e 2 •
2,124,a) (
n .' n i b) z-5 cos 3 +ISIl1'j-)-5
( 2n ,2" 'I Eel
c) z=4 cos3+ism3)=4e~ .
2.125,a) Za kompleksan broj z vrijedj: z ~ r( coscp + i sin," ) = r e.' ,
U datom konkretnom slucaju je: z = 1 = cosO + 1 sinO = eO.; •
( 1t 1t ') :;'.j b) z=2 cos 2 +isin 2 =2e 2 r (n) (n'l] ,c,
c) z=4 cosl-- +isinl-~I =4e 2
L \ 2 2)
2.126.a) z=3=3(cosO+isinO)=3eo,
200
b) z = -2 =2(COSK + isinn):::.: 2en: I
cJ
2,]28,a)
,fJ. fJ. ( ., ex '\ . ,a. ( a. .' fJ.) 2' fJ. ~, = 25m-cos + 2sm~-JI::;::2sm- COS-+ISIn- 0::: sm-e- . 2 2 2; 2 2 2 2
2.130.a) Kako je eHYI = eX (cosy + isin y), odnosno, e'" ::::;: cos y + isin y , to za dati
I '" "i' n ,n 12 .12 sucaJn10ZemoPlsatJ: e =cos-+iSIl1-=-+'-, . 4 4 2 2
b) .
eli =cos~+isin~=O+i=i 2 2
IT .• Tt 1 J3 . =COS--+1SIl1-=-+-'
3 3 2 2 cJ
2,]3I.a) e--nl =cos(-1t) + isin( -1T.)::::: COS1t _. isinn ::;:;: -\ + i·O = -1.
b) -::., 7t. • 1t J3 I.
e 6 =COS--Ism-=---l. 6 6 2 2
21t . 21t .fj =COS--ISUl-=----I.
3 3 2 2 c) e
2,132,a)
b)
20]
cJ e'+I' =e4(cos~+isln~)=e4[±+ 1}e; (l+i.J3).
2.133.a) e l+
1 o::::.e (cosl+isinl) b) e4+3
/ =e 4 (cos3+isin3).
c) e'-' =e' [cos(-I)+isln(-I)]=e'(cosl-islnl).
2.134.a)
b)
c)
2.135.a)
Koriste6ijednakost cosz:;:: e=1 +e<1 , dobije se: 2
. eil
+e-r2
e-1+e i l+e2 COSl=---=---= __
2 2 2e
Koristc6i J'ednakost sin z = e;" - e-::' dobiie se: . 2i ' ~
sin i
e2 -1 ---i A
. sin i 2e e~ -I . fgl=--=-,--=--l.
cosi e""+1 e 2 +1
2e
2i
e-1-e e2 _1 --- = ----. i .
2ei 2e
e (1-1) + e-O-i, 1+1. -1-/ e 1- e cos(1- i) = -'--_...::c''--_ = ____ = 2 2
=l[e(COSI + isln I) + c~'(cosl"jsln i)}
(I+i)1 -O+i); [ ' . (1 ., e -e l J sm +1)=
2i
-1+; 1-1 e -e ;; [e oo
' (cosl + isln 1) -e'(cosl -isln 1)]= 21
- lrl 1 I .. 1 .. ] ;rl( I) (I) 1 - ---:-1-COS +-"{sm -ccosl+msml :.::--]e-- cosl+i e+- sinll=
2lLe e 2~\ e e J l_e2
, e1 +1. e 2 +1 l-e2
= --lcosl---sml=---sinl+i --cosl. 2e 2e 2e 2e
" 1 - 2
. e2i"+e-2 ;,; e-2 +e1 e2+e 1+e4
COS 21 = ----- = --- = ---:;::~_ 2 2 2 2c"
0)
2.136.3) . 2 2 (e" _e''')' (e" +e''')' sm ::: + cos ::: "" l--2i-'-- + --2--)
4 =1.
4
202
b)
2.137.a)
b)
c)
2.138.a)
, ., (e"+e o
,')' (e"-e'''Y cosz~smz::::: 2 '-l~-)=
e 2=i +2+e-2zJ e2 =1 _2+e-2zi e2=i +2+e-2=, +e2d _2+e-2=,
4 -4 4
cos2: . 4 2
(e~1 _e-ZI)(e ZI +e-::I )
2;
e2: i _ e-2.:i
sin 2z. 2i
e-:::i + e-(-::} cos( -z) = ------
2 cosz.
2
2;
tg(-z) = sin(--z) = -sin . .::.:::::_ sinz =-tgz. cos(-z) cosz cosz
. ( ·1' ,.." ., e"'-e-;;( e'''-e'':1 j5mZ - 4sl11" Z = 3· ~---- _. 4
2i ,2i)
smz.
3c"' - 3e-.t1 -I- e>:;1 - 3c~' + 3e--;' _ e'- 3=i e3;J ._ e-3O", •
2i 2i -·sm3z.
b) Uputa: Zadatak se ~jesava analogno prethodnom.
2.139.a)
1 I I -cos2z = ---··cos2z
2 2 2 b) Uputa: Zadatak se ~iesava analogno prethodnom.
2.] 40.a) Ako u Euler-ovoj formuli eXI ::::: cos X + isin x varijablu x zamijcnimo
sa "-x) imamo: e"-YI = cos(-x) + isin(-x) , odnosno,
=>
b)
e",'.,o,= cos x + is. in. "x} ~ ........ eXJ _C--XI =(cosx+isinx)(cosx-isinx)
e =cosX-/SlnX
e;ri-Xi=(cosx)2~(isinx)2 <=>eo=cos2x+sin 2x <=> cos2 x+sin 2 xo:::
eX! =COSX+iSinx} . :::::>- eXI ·eyi =(cosx+isinx)(cosy+isiny).
eJ'f =cosy+isiny
S druge strane, vrijedi:
exi ·eYI =e·u +y
! =e(ny)' =cos(x+ y)+isin(x+ y)
203
Upore.dujuci gornje relacije dobije se: cos(x + y) + isin(x + y) = (cos x + isin x)(cosy + isin y)
<=> cos(x + y) + isin(x + y):::: (cosxcosy -sin xsin y) + f(sin xcos y + cosxsin y)
Kako dvajednaka kompleksna broja imaju jednake realne i jednake imaginarne dijelove~ to, dalje, slijedi:
cos(x + }') = cosxcosy - sin xsin y
sin(x + y) =sin xcosy + cosxsin y ,
a upravo to smo i trebali dokazatL c) Prema Euler-ovoj formuli vrijedi:
eX! =cosx+isinx => (e xi )2 =(cosx+isinx)2
Daije vrijedi:
(e x/)2 ::::e 2x1 =cos2x+isin2x.
Uporedujuci dobivene jednakosti mozcmo zakljuciti da vrijedi jcdnakosL
cos2x+isin2x=(cosx+isinx)2.
Otudaje:
odnosno, cos 2x + isin 2x = cos 2
X - sin o- x + 2isin xcosx,
sin2x = 2 sinx cosx cos2x = cos2x - sin2x,
3. K 0 M BIN A TOR 1 K A
3.1. Yarijacije
3,1.a) c) 14!
4!
3.2.3) Y' + y' _ V4=:4:!+~ _<5! = 4!+5!··6! = 24~20-720 = -288. 45 6 2!2!21 21 2
3.3.
204
b) 6606 c) 411
Broj varijacijaje V/ ::= 5
AB BA CA AC BC CB AD BD CD AE BE CE
4 = 20 . Varijacije su:
DA EA DB EB DC EC DE ED
d) 120
3.4. Broj varijacijaje V; = 5·4·3 = 60. Varijacije su:
ABC BAC CAB DAB EAB ABD BAD CAD DAC EAC ABE BAE CAE DAE EAD ACB BCA CBA DBA EBA ACD BCD CBD DBC EBC ACE BCE CBE DBE EBD ADB BDA CDA DCA EDA ADC BDC CDB DCB EDB ADE BDE CDE DCE EDC AEB BEl'. CEA DEA ECA AEC BEC CEB DEB ECB AED BED CED DEC ECD
3.5. Tra7.eni bro] je braj varijacija cctvrte kiase od pet eJemenata. VS4 = ~ = 120. . 1!
3,6. Trazeni broj je braj vadjacija cetvrte klasc od pet elemenata umanjen za one varijacije kaje na prvam mjestu imaju elemenat O.
" 4' V.' -V' =~--'=120-24=96 -' 4 H O!
3.7. Trazeni broj neparnih cetverocifrenih brojevaje broj varijacija cetvrte klase od 4 elementa umanjen za broj onih varijacija kaje na zadnjem mjestu imaju cifru 4.
4 3 4! 3! V. -V =---·=24-6=18.
4 'OlO! 3,8, Tra7...eni braj parnih trocifrenih brajcvaje dvostruki broj varijacija druge klase
ad 4 elementa. (To su varijacije trece klase od pet datih elemenata kaje na
zadnjem mjestu imaju cifru 2 iii 4!). 2vi = 2· ~ = 24, 2!
3.9. Rezu!tat: 2V; =2.~:-:::2.24=48. . O!
3.10. Treba odrediti braj svih jednocifrenih. dvocifrenih, trocifrenih i cetverocifrenih brojeva koji se mogu napisati datim ciframa. Trazeni broj je
V~ + vI + vt + V: =4+4·3+4·3·2+5' =4+12+24+120~160.
3.11 . T raZeni broj je broj varijacija druge klase od 15 clemenata: V is = 2] 0 .
3.12. V'; =420 w n(n-I)=420 w n'-n-420=0 => n=21. -2
3.13. Y,=42 =16 11 12 13 15 21 22 23 25 31 32 33 35 51 52 53 55
-,} 1 3.14. Rezultat: V, = 5' = 125. 3.15.
-3 Rezultat: V, =5' ~125.
-5 5 3.16. Rezultat: V3 =3 ~243. 3.17.
-4 4 Rezultat: V, = 5 = 625 .
205
el it ~' ""
I !0
~i ~-; [2 ~,;
~ it if,
~{
'-:'-
i;;
3.! 8. Sa osam cifara '" moze napisati V,' = 8 ·7 ·6 . 5 . 4 = 6720 brojeva. Medutim,
kako je medu prvih 8 cifara i cifra 0 koja ne smije biti na pocetku, (smatramo da tada broj nije petocifreni), to se od gornjeg braja mora oduzeti braj varijacija cetvrte
klase od 7 elemenata (preostalih sedam cifara) V: = 7·6·5·4= 840. Postoji 6720-
840=5880 petocifrenih brojeva koji se mogu napisati s prvih osarn cifara ako se cifre ne ponavljaju. 3.19. OVdje je dozvoljeno ponavljanje cifara. Trazehi broj je ukupan broj varijacija
s ponavljanjem pete klase od 8 elemenata umanjen za braj tih varijacija koje --5 -4
kao prvu cifro imaju O. V 8 - V 7 = 85 _7 4 = 32768-2401 = 30367. 3.20. Trazeni broj jednakje broju varijacija druge klase od 30 elemenata,
z 30! odnosno: V 30 = -- = 30·29 = 870.
28! 3.21. Trazeni braj razglednicaje br~j varijacija druge klase od 50 elemenata:2450. 3.22. Trazeni broj .Ie broj varijacija trece klase od IO elemenata: 720 . 3.23. To je broj varijacija pete klase od 10 clemenata: 10·9·8·7·6 = 30240. 3.24. To je broj varijacija seste klase od 10 elemenata: 10·9·8·7·6S~ 151200.
3.25. Radi se a varijacijama sedme klase od 10 elemenata: VI~' = 13~!' 3.26.a) Izuzimanjem adabrane knjige, ad preostalih 9 knjiga mozemo napraviti
91 V! =........:. klasa od po 6 elemenata. Svakoj ovqj klasi mozemo na 7 nacina
, 3!
. d b k" T - d .. V' ,6 7! 9' 7·9' umetnutl 0 a ranu -OJIgu. 0 znael a postOJl 7' \ 9 "'- - -;:::;: ."-61 3! 6
nacina da sc u policu poreda 7 knjiga iz datog skupa pod datim uslovom. 71 7'
b) Rezultat: Vi .vi =-'·-'=35·7!. 41 3!
3.27.a) Prerna prethodnom zadatku (pod a) odabrana knjiga se nalazi u vi· v; razlicitih redanja u polieu. Kako je ukupan broj redanja (po 7 knjiga od 10)
VI7!} = 10! , to se traieni broj dobije na slijedecl nacin: 3!
7 I 6 10! 7! 9! 10! 7·9! 10·9!-7·9! 3·9! , VlO - V, . V, =31 -6i' 3! =-31-31 =--3-! -- =-31 =3V,
b) Koristeci razmatrarija u zadatku a) i rezultate prethodnog zadatka pod b)
dobije se: V,~' _ vi. vi = 10! _2'.~ = IO! _ 42· 81 = 90· 8'-42 ·8! = 48·8' 3! 5! 31 3! 3! 31 31
3.28. Kocka ima 6 strana, paje za svaku kocku ukupan broj mogucnosti 6. Kako sc -4
bacaju 4 kocke, 10 je trazeni broj mogucnosti V (i = 64 = 1296.
3.29. Radi se 0 varijacijama seste klase bez ponavljanja od ] 2 elemenata:
V,; = 12 ·11·10·9·8· 7= 665280.
206
3.30. V4~ =45·44·43=85140.
3.31. Vo' =2450 ¢; n(n-I)=2450 ¢; n'-11-2450=0 => n=50.
3.32. Broj je djeljiv s 5 ako se zavrsava cifrolTI 0 iii 5. Posmatr~jmo ~etveroci~rene brojeve koji se zavrsavaju sa O. Izdvojimo iz svakog od tlh broJeva zadnJU
cifru (0). Takvih brojevaje V: = 24.
Ako posmatramo cetverocifrene brojeve kojimaje cifrajedinicajednaka 5, takvih
brojeva je V: -vi. ( Od broja varijacija trece klase od cetiri elementa treba
oduzeti broj varijacija trece klase od cetiri elementa koje za prvu cifru imaju O. Broj
takvih varijacijaje v/ :::;: 6). Ukupan broj traZeuih cetverocifrenih brojevaje:
2V,' _. vi =48-6=42.
3.33. vi -v; =360-60=300. 3.34. AA AC BA BC CA CC DA DC
AB AD BB BD CB CD DB DD 3.35. AAA ACA BAA BCA CAA CCA DAA DCA
AAB ACB BAB BCB CAB CCB DAB DCB AAC ACC BAC BCC CAC CCC DAC DCC AAD ACD BAD BCD CAD CCD DAD DCD ABA ADA BBA BDA CBA CDA DBA DDA ABB ADB BBB BDB CBB CDB DBB DDB ABC ADC BBC BDC CBC CDC DBC DDC ABD ADD B13D BDD CBD CDD D13D DDD
3.36. Ukupan broj troslovnih rijeci (bez obzira da 1i imaju i1i nemaju smisla) jc -3 V 30 = 30'=· 27000.
3.37. Broj moguenosti jednak je broju varijacija druge klase od 5 elemenata,
odnosno V <;2 :::;: 20 ----- "13 L1 5
3.38. vi +vi +v; +vt +V; =2+2- +2 +2' +2 =62.
-6 G 3.39. V S8 = 88' . 3.40. Kako se za oznacavanje telefonskih brojeva koristi deset cifara, to je skup
svih sestocifrenih broieva broj varijacija seste klasc od deset elemcnata umanjen za broj ovih'varijacija koje na pocetku imaju nulu. Trazeni broj jc
9.V; ~9·9' =,9 6 =531441.
3.41. Treba odrediti ukupan broj jednocifrenih, dvocifrCl?ih, troci:~enih i cetverocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa tn (date) Cltre.
Trazeni broj je
v , +Vz +V' +V, =3+3' +3' +3 4 =3+9+27+81=120. 3 3 3 J
3.42. Trazeni broj je broj varijacija seste klase sa ponavljanje~ od dcset eiemenata (elfara) pomnozen s brojem slova (sedam). Tako se dobl]c:
7· V,'O = 7 ·10' = 7000000.
207
3.43. Svaka kugJica se maze smjestiti na pet natina. Trazeni brojje 53 = 125: 3.44. Trazeni braj je broj varijacija cctvrte klase bez ponavljanja od deset
elemenata, Yl~ = 10,9,8,7 = 5040
3.45. Trazeni broj "kombinacija" jc broj varijacija 13-te klase sa ponavljanjem ad -13
trielementa(O, 1,2), Toje Y 3 =3 13 =1594323,
Za sigurnih trinacst pogodaka treba uplatiti 797161,50 KM, 3,46. Trazeni broj je broj varijacija treee klase sa ponavljanjem od 6 elemenata.
-3 • V6 =6' ,,216,
3.47. Trazeni broj je broj varijacija pete klase sa ponavljanjem od 6 elemenata.
V;' =65 =7776.
c 48) y' _ y 3 - 257 - 74 - 22° -J..3 HI 4 - _ ~ - 0
b) V(;+V:~ -~V; =30+6652800-3::=,6652827
3,49.a) k 1'(") ( ,. 1 11(11-1)(11-2)(11-3)·".·3·2·1 III VJJ
=n(n-· )n-.:.. · ... ·JI-I(·t,·) ~--=--. (l1-k)(I1··k·1)·",,3,2,j (lI·k)!
... ~I~i! ~ (I.~I = (n-k)! \ n)
n! n--,k ... ..c ........ .". .. __ , ... _ .... . 11(I1 .. k)! (n"k)! n
n! k nf
(n-k)1 n (n-k)!
n1 11! i n! n! 1 .. ..... +._.-. 1··-,,, + --....... ,( 11 . 4) I (11-6)! (n-5)! Lin-6)! (n-5)! I .... ---., ... ~~--.----::::---... - ... --... ~ ,,-,-- ~
n! ]1! ..... -'--, (n - 4)!
(11-4)! (n-4)!
3.50,a)
_ (n - 4)(n - 5)n'+(n" 4)nl.. . " ...... ~--.= \f1-4)(n- 5)+ (n .. ·4)~(n -4)(n 5 + I)~(n _4)2,
n! (n+k)! (n+k)! (k .. I)(I1+k)'+(n+k)! k(n+k)! --+--""" ~".---------------
Vj:!~'I~+V,~~~~ (k-2)\ (k--l)\ (k-l)! (k-l)! 2 b) --·-· .. ·· .... -·0, ------.... -- ~ ·c·-·- = k
Y,:'!,! (n+k)! (n+k)1 (n+k)!
3.5I.a)
3,52,a)
k1
V J, = __ :.!~ .. ___ , ::::-. _ P'l_. n (n-k)! Pn --k
k! 111
b) V,',.p =--· ... ,(n-k)!=n! n-k (n-k)!
Y ' p 10! 10 ' . =-_ ........ ,( -k)!=IQI=10,9!~10,P" lU 10->. (10-k)! . ,
b) V k = __ ~~_~_ = n(n -1)1 = n . . ~~ - J)! = n. V:'~ll . " (n-k)! (n-k)! '(n-k)!
3.53,a) V; ~ 2
208
b) V;+, =6 ¢:> (x+2)! ~6 xl
3,54,a) x=6
3,55,a)
¢:> ,,'+3x-4=0
¢:> (x+2)(x+ 1) = 6
=> x = 1. c) x=l b) x=5 c) x=359
(2x)! 14_x_!_ (2x-3)! (x-3)!
2x(2x -1)(2x .. 2) = 14x(x -I)(x - 2) ¢:> 2(2x-1 )(x-I) = 7(x- J )(x-2)
=> 4x-2=7x·14 => 3x= 12 => x=4,
'db"d' n+1 b) Zadatak ima smisla ako je n neparan Prlro an roJ Ita aJe x = --2· cJ Zadatak ima smisla ako je n neparan prirodan broj veei od I i tada je
11-1 X=--,
2 3..56,a) x = 4 b) x= 6
},57,a) V: .. 30V:, ¢:> x(x·I)(x·2)(x.3)(x·4)=30(x-2)(x-3)(x-4)(x 5)
=> x(x·l)=30(x·5) ¢:> ,,2·3Ix+ 150=0 => x=6,x=25. b) x-3 ~ x=6
3,58,a) x~5 b) x=6,"= 10 c) x=4
y' _ y' 3,59,a) 'v' ' =89
,
V2 , V4 b)
x T );
V; = 13
c) x"5 3,60.a) x=5
-, 3,6I.a) Y,=9
b) --3 V,~8
~4
c) VJ> =16 -5
3,62,a) V, .. 1024 -,
b) V, =83521
¢:>
x! xl
(x-7)! (x-5)! -89 -------x!-- .. (x - 5)!
(x-5)(x-6)-1~89 ~ x'·llx·60=0=> x= 15,
x! xl
(;-=2)1 + (;-4)1 = 13 x!
¢:) x2-5x-6 = 0 => x = 6,
(x~2)!
b) x~3 c) x ~ 17
¢:> x2 =9 => x=},
¢:> x 3 = 8 => x=2,
¢:> X4 = 16 => x cc 2,
¢:> x' = 1024 => x ~ V1024 = sJ4i" = 4 .
¢:> x ,
= 83521 => x~V83521 =JJ83521 ~17. 3 ~3 _ 3
c) Vi .. , : V".! =210:169 ¢:> (2x+I)2x(2x·l):(2x-l) .. 210:169
¢:> (2x+l)2x:(2x-I)'=210:169 ¢:> 82x2·589x+l05=O => x= 7. -- 2 ~ 2
3.63,a) V,·.2 :V,·4 =4:1 - 3 - 2
b) V"-·5 :V".5 =17:1
¢:> x2·12x+20 = 0
¢:> 2x·5~17
=> x=IO,
¢:> x=11.
209
, 3.64 .• )
V:<;:+4 15 ¢;> (x+4)(x+3) 15
---<--_. (x+ 2)! (x-1)!
<---(x-1)!x (x-1)!
¢:> (x+4)(x+3) -------<15 ¢;> x2_8x+ 12 < 0 ¢;> (x-2)(x-6) <0
x => x = 3, x=·4, x= 5. b) n251.
3.2. J'ermutacije
(7n+O) i 3.65.a) --.::....:.---. - = 21
. (2n)!+(2n+J)! ¢;> i211 + 2)(211 + 1) ~ 0 I ~
1+2n+1 -L ~ n~ 10. b) n~2
3.66. (n + I) ! r ~·--<Ju n(n - 2)!
,"' (11+1) 11(11-1) (n-2)! ~------~--<16 ¢;> (11+I)(n-l)< 16
n(n·-2)1
¢;> n2_1 < 16 ¢:> ,,'< 17 ~> {I 23 367R I 10' nE " ,4}. _. . "ezu tat: L. 3.68. Rezultat: 51 = 120 3.69. 1 n kOjlgc k:)je treb~ da.budu jedna do druge posmatracemo kao jedan
ele~le,nat.. ~ kO r~zrnJestlmo 6+ 1 elemenata imamo 7! raziic,itih nacina. Kako se ~.tn kn.Ji"ge kOJc se posmatraju jedna do druge, mogu razmjestiti na 3] naema, tO.le ukllpan broj trazenih razmjestanja 3 17' ~ 6·5040 ~ 30240
3.70. Rezllitat: 2(6!)'. . . 3.71. Braj pcrmutacijaje J !=6. Permutacije su: 123, 132, 213, 23 i _ 312 321 3.72. abc; a c b; b a c; be a; cab; c b a. ' , . 3.73.137; 173; 317; 371; 713; 731. 3.74. Spisak mozemo sastavitt 113 :) !=120 razlicitih nacina. 3.75, Odjeljenja II ucionice mozemo smjcstiti na 10! razliCitih nacina 3.76. RezultaL: 25! . 3.77. Ukupan hmj permutacijaje 4! = 24. Permutacije su:
1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132 1324 2314 3214 4213 1342 2341 3241 4231 1423 2413 3412 4312 1432243134214321
3.78. Oputa: U svakoj pcrmntaciji iz prethodnog zadatka napisati e!"'rnenat S n
I,oe'etkl ,- t' ... d 'n '" ,. a ~ 1, Sl pu a Izme~lll at! elernenata i na kra,i'J. Tak) c'-e k .. d" ." CI (sva, a permuta~lJa 0 cctm c1ernenta omoguciti pisanje pet permulacija od et elemenara. ... " P
3.79. 6! = 720. 3.80. Rezultat: 6 3.S1.a) P,,=3·2·1=6 b) P5=5-4-3·2·1=120 c) 24 d) 9'
b) 3P-, - P2 _ 3· 3!::--2! , ~-p--~-.-;:;,:16
. I l! 3.82.a) P4 + !l= 4!+3! _ 3!(4 + 1) _ 3!
Ps
5! - 51 -'4!""'4
0) 4P,,+PII ~4·9!+11! 8!(36+li·1p·9) . --.. --.----=---~ --=10"6
Pg
8! 8! .... d) 6822
210
(n-3)!~12 Pn-3 "",12
(n -3)(n -4)(n - 5)! 3.83.a) ¢;> ¢;> 12
Pn-5 (n - 5)! (n - 5)!
¢;> (n-3)(n-4)~12 ¢;> n'-7n+12 ~ 0 ~> n=7.
Pnd b) n=2 c)
V~:} . P,,--k
3.84.a) n = 8
2 6 ¢;> ___ + ---<= n + I
(11- 3)1 (n- 2)!
¢:> 2n+2 ~ (n+ I) (n-2)1 ¢;> (n-2)! = 2 c) n = 10
3.85. V~'1_2_ •.. _14~ < 0 Pn +: 4Pu ,-1
1 [43 ~ __ -·_·~~ __ -···<O
(n-2)! 4(n-I)!
240 ¢;> n2+9n-220 = 0 => n ~ 11
n! n! 2· ___ +6·---=(11+1)! (n-3)1 (n-2)!
2(11-2)+6~(n+ 1)(/1-2)!
¢;> 2(n+l) = (n+l)(n-2)! ¢;> n-2=2 ~> n~4.
(n + 2)!
(n .. 2)!
(n + 2)1
143 ----<0 4(/1-1)!
4(11-1)-143<0 ¢:>
I => nE{xENI1<x<37}.
4n-147<0
3,86. Ako elcmenat 3 fiksiramo na prvol11 mjestll, preostala cetiri elementa se mogu naci pored prvog na 41 = 24 nacina. To znaci cia 24 permutacije pocinju s 3. Od 5! = 120 permutacija s 3 ne pocinje 120~24 =. 96 permulaclja.
3.87. 6 1-2.5 1 = 720-240 = 480. 3.gR. Grupa cifara (456) ponasa se kao jedan clemenaL Trazeni broj permutacija
jednakje broju pcrrnutacija od 5 elemenat i iznosi 5~ "" 120. 3.89. Grupa cifara (456) moze se pojaviti u 3 1 = 6 oblika (456, 465,546,564,645 i
654). Prema prethodnom zadatku, svaka od navedenih grupa cifara u datom poretku pojavljuje se u 120 permutacija. To znaci da se grupa dfam (456) u
bilo kojem poretku pojavljuje u 6·120 = no permutacija. 3.90. Elemcnat 5 se nalazi na pocetku u 51;;:.:. 120 permutadja. U ovih 120 permuta~
cija elemenat 8 se nalazi na kraju u 41 0;:: 24 permutaciie. Znaci da se c!enlenal 5 mdazi na pocetku, ; cleil1Cnal 8 na kraju u '24 perrnutacijc. Kako se elemenat 5 moze nael na kraju, a elemcnat 8 na pocetku, to je trazeni braj
permutacija 2·24 = 48. , .' n\ 1 .. < • ~.
3,91. Prema C1atom llVjctllje -- -- ""-~ , odakle se doblJC kvndratn3 JcdnacllKl - ~.~I 30 .
n2+3n-2H ",..0 0 cijcje ~jesenje (koje dolazi U obzir)jc 11 = 4. 3.92. (n+2)1=T2n! (..? (n+2)(n+l)=72 ¢:> n
2+3n-70:=:0 => n=7.
3.93. Data permutacijaje 2341, a pocetna 1234. Za indeks date permutacije i
vrijedi: i = (Ic,-I )(n-l)! + (k,.1 )(n-2)'+( k)-l )(n-3)1+ ... +!
gdje je n broj elemenata pocetne permutacije, kJ je redni broj prvog elementa date 211
permutacije u pocetnoj permutaciji, kde redni broj drugog ciementa date permlltacije tl pocetnoj kada se izbaci vee pomenuti prv! eiemenat, itd. U dalorn primjcru .Ie n = 4, kl = 2, k2 = 2, kJ = 2, ~::=: i, pa za indcks i permutacije 2341 U odnosu fla 1234 kao pocetnu vrijedi:
i ~ (2-1)( 4-1)!+(2-1)( 4-2)!+(2-1)(4-3)!+(1-1 )(4-4)!+ 1 ~ 6+2+ 1 + I ~ 10. DakIe, data permutacijaje deseta permutacija u ieksikografskom uredenjll permlltacija U odnosu na 1234 kao pocetnu.
3.94. n ~ 4. k, ~ I, k, ~ I. k] ~ 2, k, = I, pa za indeks i permutacije abdc U odnosli na abed kao pocetnu vrijedi:
i ~ (1- J)( 4-1)'+(1- J)( 4-2)!+(2- J)( 4-3)!+(1- J)( 4-4)1+ 1 = 0+0+ J +0+ 1 = 2. Dakle, data pertnutacija je druga perrnutacija u leksikografskom uredcniu perl11utaeija U odnosu na abed kao pocetnu. .
3.95. n=4, kj=3, k2=2, k3':;:' 1, 1~= I, pa za indeks i pcrmutacije SORA Ll odnosll na ROSA kao poccLnu vrijcdi: i = (3-1)(4-1 )H(2- J)( 4-2)'+( 1-1)(4·] )'+( I-I )(4-4)!+ 1 ~ J 2+2+()+O+ I ~15.
Dakk:, data pcrrnutacija je petnaesta permutacija u leksikografskom uredeniu permutacija u odnosl! Ull pocctnu. --'
3.96. n=5, k)=5, kz=3, k3=3, k'1=2, ks;:;;;l pa za indeks i permutacije- ARMEN u odn9su na NERJvfA kao pocetnu vrijedi:
i ~ (5-1 )(5-1 )"'(3-1)( 5-2)! +(3- J )(5-3 )!+(2-1 )(5-4)1 +( 1- 1)( 5-5)1+ 1 = ~96+12+4+I+O+1 ~ 114.
Dakle, data permutacijaje 114-ta permutacija u Ieksikografskom ure<.ienju pcrmutacija U odnosu aa pocetnu, ~
Zadatak mozemo rjdavati i ovako:
lspred A(NERM) nalazi so (5-1)(5-1)! ~ 4,4! ~ 96 permutacija, lspred AR(NEM) nalazi se 96+(3-1)(5-2)! ~ 96+2·3' ~ 108 permutacija, lsprcd ARM(NE) nalazi se 108+(3-1)(5-3)1 = 108+2·2! ~ 112 permutacije, lspred ARME(N) nalazi se 112+(2-1 )(5-4)' ~ 112+ 1·1' ~ 113 permutacija, !spred ARMEN "alazi se 113+(1-1)(5-5)' ~ 113+ 0·0' ~ 113 permutacija, Pre~a navcdcnom, permutacija ARMEN .Ie na t 1)+ J = 114.-tom mjestu u lekslkografskom urcder~ju pcrmutacija.
3,97 .. n~6, k,~2, k,=2, k3=1, ",=1, k,=I, k6=1 pa za indeks i permll!acii" MOSKVA II odnoslina SMOKVA kao pocetnll vrijedi: .
i = (2-1 )(6-1 )!+(2-1 )(6-2)'+( I-I )(6-3)'+( 1-1 )(6-4)1+( I-I )(6-5)'+( I-I )(6-6)'+ I = = 120+24+0+0+0+0+1 = 145.
Dakle, da~~ permutacija jc 145-ta permutacija u leksikografsKom uredenju permutacIJ3 u odnosl! na pocetnu.
3 .98. Rez~{ltat: Indeks date pc:mutacije je i = 15, pa je to petnaesta permutacija u lekslkografskom uredenJu permutacija.
212
3.99. Rezultat: i=13 3.10l. Rezultat: i=116 3.103. Rezultat: j=289 3.105. Rezultat: ;=81
3.100. 3.102. 3,104.
Rezultat: i= 17 Rezultat: i=85 Rezultat: j~55
3,106. Neka pocetna permutacija ima n elemenata. Kako za indeks i perrnutacije vrljedi
i = (k,-l) (n-l)! + (k,-1)(n-2)!+( k3-1) (n-3) ! + .'+ 1,
to mo:l..emo pisati i-I ~ (k,-I) (n-I)! + r1
odnostlo, ~~:::: kj -1 + -"-' --, gdje je I"! braj permutacija koje se
(n~l)! (n~I)!
nalaze ispred pcrmutacije PI U onom skupu pennutacija kad kojih se na prvom
mjestu nalazi k-ti elemenat pocetne permutacije (~:~', . ", .. Kaka jc k,-I;>:O i r, < (n-I)!, to je (k,-I) kOllcmk ,r, ostatakkoJI so. aablJe dijeljenjem broja (i-I) brojem (n-1)!. Zato je prvi elemenat permutaCIJe (Pi) 1I1deksa i (k,-l)+ 1- demenat pocetne permlltac;je (p,). . lzdvojimo prvi elemenat permutacije i posmatramo (n-l) pr~.ostahh el~menata pocetne pcnnutacije. Neka Se drugi ctemenat trazenc pennutaclJc PI nalazl na kr tom mjestu. Tada vrijedi:
1', +1 = (k,-I)(n-2)'+ r2+1, jer se ispred one permutacije u ieksikograf'S~i ure~el1?m s.kupu svi/h pe~·?1Uta~ij~ preostalih (n-l) elcm~nata pocetne permutaclJc, kOJ3 Ima mdeb: lrl +l}, rWiaZl tacna (kz-l)(n-2)!+ f2+1 perl1l11tacija, gdjeje r2 broj permutacija kojesena!aze ispred traz.ent; permutacije (Pi) u onom skupu permutacija (od nwl elementa) kod kojih se na prvom mjestu nalazi k2 ·-ti elemenat.
r1 fl. ---. = k, ·-1 + ---- , (n - 2)! (n-- 2)'
Otudaje
Dakle, drugi elemenat trazene permutacije poznatog indeksa (Pi) naiazi se na k~ -tom mjestu medu preostalih (n-1) elemen~ta nakon sto.i: iz pocetne pe.~mu~acij,~ (PI) izdvojen k\ -ti elemenat kao prVl .elemenat trazene pc:mutacIJe. free! elcmenat se odreduje analogno prethodnom 1 postupak se nastavlJa, sve dok se ne iscrpe svi dementi pocetne pennutacije. Rij~simo sada konkrctno postavljeni zadatak. Pocetna permutaeija jc I 2 3 ~1 a indeks trazene je j= 10. Prema prethodnim razmatranjima vrijedi:
~2~2.~2.~1+2-(4-1)' 3' 6 31
pa je prvo elemenat dcsetc permutacije 2w dernenat pocetne, a to je 2. Izdvajanjern clementa 2 iz pocetne,dobije se 2 (134). Nastavljajllci postupak
3 3 I ---=-=1+-(4-2)' 2! 2'
odredujemo drugi elemenat trazene pennutacije i dobije se da je to drugi elemenat odnosno 3. lzdvajanjem ovog elementa i stavljanjem na drugo mjesto traiene permutaeije 23(14) preostali skup ima dva elementa i to (14).
213
Odredirno treci element trazene permutacije. Kako je
I I 0 ---.~-~I+-(4-3)1 1! J!'
to je treCi element traiene permutacije drugi element permutacije (14), a to je 4. Traiena, deseta, permutacijaje 2341.
- 107 I 15 -J i 4 2 2 'd' d· . .). . z ---::;:: - = + -, VI Imo a Ie prvl element trazene permutacije treci (4-1)' 31 31 .
element pocetne, a to je c. lzdvajanjem treceg elementa dob~jemo permutaciju koja ima tri elementa c(abd). Nasl'avimo po stupak odredivajuci drugi element trazene permutacije.
Kako je ~ = 2 = J -1- ~-, to je drug! element trazene permutacije druai (4·-2)' 2' 2' . . ~
element permutacije (abc), odnosno, to je b. Kako jc ovoga puta ostatak pri dijeljcnju 0, to je trazena (petnaesta) permutacija cbacL
3.108. Odredimo pry! e!emenat. Kako je 50 - 1 49 '"' 1 , .. ---::;:: ~ ::;:: L + ~. to JC prVl element (5-1)' 41 4"
pedesetc permutac.ijc 3-61 elemenal pocctne, paje to 3 (1245). Preostala pcrmutacija jc (1245). Potraiimo dmgi element trazene permutacije mecitl elernentimn preostalc..
V" iOl 'd'i 'Tk' I' ,,,-aKO .JC --- = + -- to J'e rugl e cmenl j. a·o lmamo (va ,-'leY'"lenra trazene 3! 31' ¥ ,
pcrmutacije 3] (245) -pri ccmu je nova preostaia perml.ltacija sa tTl eiementa (245)<
Kako je 1 1
- = 0+- to je treCi eJement trazene permutaclje :2 (prvi elemem u 2 t :2! '
pennutactji 245). Do sada smo odrcdili tri prva e1ementa trazene permutacije 1 to
"O{4 C ) Od" .. . I N I··.. k d b" 1 0 J j _\. J . _ redlmo cctvrtl e ernent. 'HstaV.l3Jucl postupa·, 0 lIe 5e: ~ = 1 +~. 03 . 1\ 1: ' ,
lC cetvrti eiement 5, a posljednji elementje 4. Pedesda permutacija od permutacije 12345 kao pocetne .Ie 3 i 254.
3.109. Rezultat: Ps = ALPE 3..1 BL Rezllitat: p,,~ MORE :1 J Ii. Rezultat: p,,~ META :::.112. Rezuttat: P'1()= cebda ~ 1 1 ""' ,!.,I.J. Rezultat: p" ~ BOSN A 3.1K Rezultat: P7.1= DRrNA 3.115. Rezultat: P65 ~ IMENA 3.116, Rezultat: Pm ~ EUROPA 3,117. Rczultat: p", ~KIMETA 3.llS. Rezultat: pm ~ UZITAK 3.119. Rezuitat: P"!I!I ~ MEGABiT 3.120. Rezultat: 6 3.121. Rezultat: 120 } .122. Pet djccaka za oknlgli sto mozemo smjestitl na 4! = 24 razliCita nacina. Za djevojcicc ostaje pet mogucih mjesta i na njih ·ih mizemo smjestitl na 5-4 ~ 20 naCina. Trazeni razmjestaj se maze uraditi na 4! ·5·4 = 480 naclna.
214
__ 51 -- 61. 7' 3.123. P5(,,)~-~10. 3.124. P'(32,=-=60. 3.125. P7(4.2'~ -~105
, 3121 ' 3!21 4!21
3.126. Ovdje se radi 0 permutacijama s ponavljanjem od tri elementa pri cemu se
I 1· d t z t . - nl 41 24 12 jedan e ement ponav)a va pu a. a 0 je P ::: - ;:::; - = - = . . , " nl! 2! 2
Trazene permutacije su: AABC AACB ABAC ABCA ACAB ACBA BAAC BACA BCAA CAAB CABA CBAA
3.127. aaabbb, aababb, aabbab, aabbba, abaabb. ababab, ababba, abbaab, abbaba, abbbaa, baaabb, babbab, baabba, babaab, bababa, babbaa, bbaaah, bbaaba, bbabaa, bbbaaa,
3.128< Ovdje se radi 0 permutacijama sa ponavljanjem od pet elemenata pri cemu se jedan element ponavlja dva puta, a drugi tri puta. Zato je ukupan broj
.. --- 5! 120 ovih permutaclJa P, :::; 2l3! = 12 = 1 0 .
Tra.zene permutacije su: 22444 24244 24424 24442 42244 44224 42424 42442 44242 44422
3.129. Ovdje sc radi 0 permutacijama s ponavljanjem od 10 clemenata pri ccmu se jedan element ponavlja dva puta, jedan tri puta i jedan cetiri Jluta. Zato je
"1 "-p 10' ukupan broJ OVI) permutaclJa -10;::: -- = 525. . 213!4!
3" 130. U rijeci MAMA nalaze se 4 slo\'3 pri cemu se 510vo A pojavljuje dva puta i :::10\10 M dva puta. Ukupan broj permutacija kojc sa mogu form irati od slova
. "~,, I' 41 . navedcne flJecl Je -<4 = 2!2! :::; 6.
3,131. U rijeci SARAJEVO nalazi se 8 slova pri cemu se jedno pojavUuje dV3 puta. Ukupan broj permutacija koje se mogu form irati od slova navedene:
., .'" n 81 20160 r~lecl Je r~ = 21"" , .
3 132. U rijcci MA TEMA TIKA nalazi se 10 slova pri cemu so slovo A pojavijuje tri puts, 510vo M dva puta, slovo T dva puta. Ukupan broj permutacija koje
- 10' se mogu formlrati od slova navedenc rijcci .ie F" = -- = 151200.
, 3!2!2!
- II! 8'160 1110 1',,(57? II)~----~ 1 _ .. _J. "~,-, , 5!2!2!1!1! - .
101 8! 3.134. Rezultat: --- ---~151200-I0080~i41120.
3!2!2! 2!2~
3.135. Rczullat: _~~_,,~~15120()-30240~120960. 3!~~ Y2! .
215
3.136. Traieni brojjednakje broju pcrmutacija oJ pet elemenata s ponavljanjem
pri cc;nu se dva elementa pojavljuju po dva puta. P., =: ~:;:;; 30. 2121
3.137. Dati scstocifreni broj napisan je sa cetiri razlicite eifre i to 1, 3, 4 i 5. S ovim ciframa maze se napisati 41=24 razlicitih cetverocifrenih brojeva u kojima se svaka cifra pojavljuje samo jedan puta. Cetverocifreni broj m07£ se napisati i sa tri cifre ako se jcdna (ma koja) pojavljuje dva puta. Takvih brojeva je u nasem sJucaju
4! 4. -:::::: 4· I2:=:: 48. 1sto taka se cetverocifreni broj maze napisati s dvije cifrc, ako se 2!
jedna (rna koja) pojavljuje tei puta iii ako se obje pojavljuju po dva puta, Ovakvih
brojeva je 4· ~ :;:;; 4·4 :::0 J 6 j odnosno, 6.2::;0 6·6:::: 36 . Na kraju, cetverocihen broj 3! 2!~ .
;;e moze napisati sa svakom od cifara datog brQja.
'lk b' ~ 'c 'I b' '4' 4! 4 4' 4! 4! ,J lipan roJ cetvcrOCl{rC11l1 nuev<1jC i.+ 4'~2""+ -+6'--+4.--=128.
31 2121 4!
;.138. RczultaL: 51+5 '~+30·~+30'~+20·~+5.2= 2025. 2fHIIl! 2!21l! 3!J!l! 4!l! 51
81 . :,139, --- ~ 5040, 2!2121 3,140, PIO(5,3,2)~~'~~2520,
5!3!2! .- 9!
.141. P9(4,3,2)~--'-~1260, 4!3!2!
(4 ,-I)' .142, lspred M(AAM) nala?i se (3 --1\--":' ~ 3 pcrmulacije, ' 2!2!
lspred
Ispred
MA(AM) nalazi se 3+ (1-·1) (4 - 2)' ~3+0~3 permlltaeije, 2!
MAM(A) nalazi so 3+(2-1)(4-3)!~3+1~4 permulaeije. Dakle, rijee MAMA je peta permutacija od AAMM kao poednc,
143,lsprcd O(AKLOV) nalazi se (4'_1)(6-1)!~3' 120 =180 pcrmutaeija, 2! 2 .
144,
!spred OL(AKOV) nalazi so [80+(3-1)(6-2)!~[80+2'4!~228 permlllacija
!spred OLO(AKV) nalazi sc 228+(3-1 )(6-3 )!~228+ 12=240 permutacija, lspred OLOV(AI() nalazi Se 240+(3-1 )(6-4 )!=240+4~244 permlltacija, lspred OLOVK(A) nalazi so 244+(2-1 )(6-5)'=244+ I ~245 permlllacija. Rijec OLOVKAje 246-a perrnulaeija od "rijeci" AKLOOY kao pocelne,
. ,(8-1)' , Ispred S(AAEJORV) nalazl sc (7 -J) 2! -~ 15 120 perlllillacija,
ned SA(AEJORV) nalazi se 15120+(1 -I) (8 - 2)! ~ 15120 permutaeija, 21
Ired SAR(AEJOV) nalazl se 15120+(5-1)(8-3)!~15120+4'5!~15600 permulacija
,red SARA(EJOV) nalazi se 15600+ (1-1)(8 -4)!~ 15120+0 ~ 15600 permulaeija.
red SARAJ(EOY) nalazi se 15600+(2-1 )(8-5)!=15606 permlltacija, Isp d SARAJE(OV) nalazi se 15606+(I-I)(8-6)!=15606 permutaCI]a, ISP~:d SARAJEV(O) nalazi se 15606+(2-1)(8-7)!~15607 permutacija, 1s
Pred SARAJEVO nalazi se 15607+(1-1)(8-8)!~15607 permut~CI]~,
Isp "d' SARAJEVO 15607+ b t 5608,-, permutaclJa 00 date Vldllll0 aJe , .
permutacije kao pocetne, I 69778 3 145, Rezultat: 17967 3.146. Rezu tat:
, I I' 99262 3.148. Rezultat 4032001, 3.147, Rezu ta., .,' d' di 3.149, Zadatak rjesavamo analogno zadatku 3,106, sarno sto se ov Je ra 0
permutacijarna s ponavlJanJem. _
' _ "', 94-1 ~2.:'.~I+ 33 Odredirno prvo slovo trazene permlltaclJe, Kako Je (6 ~ I)! 60 60
2' ,. d' 'I 'ato(1+1=2) pa;ctoslovoF, t ' rve> 5[0\10 trazene permutacIJc, lUgO S ovo a ' .. o JC P , , d 1
lzdvojimo ova slovo F(AUKZ). Sada odredtlJemo ruga S ovo.
~_.:::-; 33 ~ I + 21 .. Aka bi ovdjc uzeli drugo slovo, to hi bila slovo 1 koje je (6::_2)' 12 12
2!
, I . 33 drugo slovo u grupi istih slova, Kaka se uvijek uzima prva 510vo to Je raz omak 12
, k 33 - t+ 2t Izdvoj"',n1o i drugo slovo FI(AIKZ), nap!san aD 12· -- 12'
PostupaL nastavljamo dijdjcnjem ostatka 2l.
, k' 21 - 21 - 0 ,,:J, to 1'0 slil'edete slovo cetvrlo slovo ad (AIKZ), ka TO Je --.-- - - -.J -. , ,'" __
(6-·3)! 6 6
d t· . slovo Z TzdvaJoanjem ovog slova dobije se FIZ(AIK). Po stupak se o nosno, 0 Je " _'0 _. •
nastavlja.
Iz -. _3_;= ~ = 1 + ~ zakljucujemo daje slijede6e s10vo drugo 510vo u (AIK) , pa (6-4)! 2 2
izdvajanjem i ovog slova dobijamo FIZI(AK).
iz ~_,, __ ~ __ u :::: ~ =: J + 0 zakljucujcmo Ja je slijedecc 510vo drugo slovo u (AK) , pa (6-5)1 1
izdvajanjem i ovog slova ~o~ija~:lO" r:I~n~(A). Trazena permutactJaJe flJec j·lZU"A,
3,150, Rezultat: MARAMA "' o 151 Odredimo I)rvo 510vo trazene permutaclJe. j, ,
, 99262 -I _ 99261 _ 6 + 8541 to je prvo slovo 6+ 1=7, Kako Je (10 -1)1 15120 - 15120
3!2!2!
M( , A AEIKMTT) Sada odredujemo drugo slovo lzdvajanjem ovog slova dobije se n., ,
racunajuci
217
s ostatkom 8541. 8541 8541 8541
(I 0 ?) 1 ~:;:;- = 0 + -- . Ako bi oyclje uzeli trece slovo, to hi
- -. .0.060 3360 3!2!
bilo slovo A. Medutim, kod permutacija s ponavljanjem uvijek se uzima prvo slovo iz grupe jednakih slova (elemenata). Dakle, drugo slovo traZene pennutacije je A. Sad a imamo MA(AAEIKMTT). Nastavimo postupak odredivanjem treceg slova.
. 8541 8541 981 . KakoJe -(-1'0--3)' --=6+ ---. tOJe treee slovo (6+1=7) sedruo 810vo od
_-__ : 1260 1260
2!2!
(AAEIKMTT), odnosno, to je T. lzdvojimo i avo slovo MAT(AAElKMT). Postupak se nastavlja.
981 981 261 _;;",:-:c:== - 0::: 2 + "~-~ => Slijedece (cetvrto) slovo je (E), pa sc njegovim 360 360
21 izdvajanjem dobije: MATE (AA1KMT).
261 261=4","'~ . , => SliJedece slovo je pet I elcmenat preostaiog SkUpZl (10-5)1 60 6() - -.---- .. ~ ..
21 slova (M), pa se njegovim iZdvajanjem dobijc: MATEM (AAIKT).
(l ~~ :::: ~~ :::: 0 + ~2~ => SJijedcce 510yo (A) je prvo u preostaiQrn skupu slova.
2' pa se njegovim izdvajanjem dobije: lv'lA TEMA (AiKT). Ako hi, sada, napisali
21 , 9. 1 b' d 'b . d I I [/ I " . ... ~- = l: +-_. lspa 0 1 a tre a uzctJ _ rugo S ovo \A). ,,-a w se uV!Jck UZll11a r)fYO slovo 12 [2 . ' t, - ~
21 21 . u grupi istib slova to je ovdje napisano 12 = 0+ 12 ' uzeto prvo slave ! postupak se
dalje nastavUa. 21 21 3
----=--=3+-- => (10-7)' G 6
Sliiedecc slovo je cetvrto pa sc njegovim
izdvajanjem dobije: MATEMAT (AIK). 3 3 1
.::-=l+~ (lO-g)! L L
=> Slijcdece siovo je drugo 0), pa se njegovim
izdv,\janjem dobije: MATEMATI (AK). 1 I
-.-~~------ "" -- = 1 + 0 => Slijedecc slovo je drugo (K), pa sc njegovim (10-9)1 1
izdvajanjem dobijc: MATEMAT1!( (AJ. Kako je ostatak 0 to preostalo slovo treba samo dopisati i dobije se trazena permutacija. To 5e MA TEMATIKA. 3.152. lNFORMATTKA
218
3.3. Kombinacije
3.153.
3.154.3) c' =-~=120
IU 71(10-7)! c) 495 d) 4950
3.155.a) C; +C;=6+8=14 9·8·7·6·5·4·3
b) 2C:-C;=2---- 1=71 7·6·5·4·3·2·1
cJ 102
3.1
3C:~~ +C:(~1=3TJOO =103 b) --254 '. ]! 13 ~_" _.3 13 \·1- 11 . 1J_~ ___ 1,-,4,--' .:.:1::.;', 1_ '""'_ """, __ -- ... C:~ =364 iF2~ lO~j~ 11!3! lJ!(l4-11)1
b) c) +C~-=C~, =~=J65.
.(} " 8[·3!
~, 158.a) 3·6 '3
\0
2!
Rl b)
4 c) 25 i 6
» 159. SV(Jkc dvije tacke odredujujedml pravu! Rczultat: C~ = 15
:<160. Rezuhat:
3. i 62. Rczuhat: m'I1'- ntn-=:}
t; 3.163. Rezllital: C; = 21
2 el)
3
3.1 c~ _ 6 = 9 b) C~: - g ;=:;c 20 c) C~() 10 = 36
n(;1--]) n(n- 1)-2n n(n-3) d =C 2 -n';o::-' --- - ,'1:;::;---,--=-,-,-. "'11 2. 2- L,
3. j 67. Grupa od 6 djcvojaka !nOli: se formlrati na == 924 razlicita nacina.
Grupu od 6 mladica m01e1110 fOfmirati lla C~() == 210 razlicitih nacina. Tako
se s~st raz,licitih plcsnih pal'ova moie form irati na: ,924210= 194040 nacina.
3.168, Broj rukovanjaje: C;,:::o 105.
3.169
3.J70. C:5 =1221759. .. J.17l. Ako djecak uzme jahuku, t.ada II Korpi ostaju 4 jabuke i 8 krusak~ o~ kOj~l ~e.
moze> form irati 4·8=32 para koji sadrze jabuku i krusku. U siublJu da (~eCaK izabere krllsku, tad a djevojcica ima na raspolaganju 5·7=35 parova sa
219
jabukol11 i kruskom. Vidimo da djevojcica ima veci izbor ako djecak , izabere krusku.
3.172. Akoje broj ucesnika n, tada vrijedi: C;. = 45 ¢; 11' -n-90 = 0 => n= J O.
15 ·l4· 13 3. J 73. Rczultat: 3!·ci5 :;;, 6· 6 ,= 2730.
3.174. Prema datom lIvjetu .Ie 5· C,~ 0::: C}/~_2' odakle se dob~je kvadratna jednacina
n2~J7n+42=O cija su rjesenja n=14 i 0=3. 3.175. Trazeni braj je braj kombinacija pete klase od l5 eiemenata, odnosno
c' =~-=3003. )5 5!.1O!
3.176. Trencr moze da form ira 300 razlicitih ekipa za pocetak utakmice, jer je
C~ . C~ . C: "" 300.
'r " . b . j' " . C· 100·99·98 161"(0 3 177. raZCl1l roJ lstlca 1(' _ i'ul' :;;:;;; .------- "'" f). - 3·2,!
, 50·49·4li 1'17 0' I'x'"' y' . ,," ~ , 3 l73. Ucenik moze na C;(! = --"'.,-~ = . -<- J raz ICltm nllcma !zvrSltt !ztJor 3 -2·1
svoja tri pitanja.
3.179. U~enik moze na 120·1\9118·117·116 19(· c7°0 4 I····' "' "'" ---~'-'.---~--'-~- = )..J 0 2 raz iCltlt1 nacmrl 5·4·3·2·1
izvrsili izbo!" syojih pet zadataka.. 16 15 i " I' I" I'
3.180. Rezultat: CI~ ~ -·6·.~.~· 3~iT = 8008.
3.181. Rezultat: CI~=1365.
3.] 82. Traz.cni broj je broj komhinacija trecc kluse od 25 e!emenata pomnozen s brojel11 permutacija od 1ri elemcnta.
(251 25' 25·24·23,
Rezultat: 1<3!=-----· 3!=-·------:::;; 1..1800. ,3 / 3!·22! I
/1:')\ 3 183. Kako se izbor grupe od sest novinara moze zvrsiti na I -J =5005 nacina, a u
'.6
svako!11 ses1ocianom skupu se l110ze izabrati gJavni urcdnik na (, nacina, to 'IS':
se trazeni izbor mOl,e uraditi na 61 J= 30030 nacin<l. \6/
3.185. Prvi ucellik moze da l"ormtra ( 6\ lJ)::'c IS parova knjiga (kombinacije drug~
klase od 7 c!emcnata), a drug! (7)\ = 21 . Ova dva ucenika knjige mogu 2 .~ ~
razmijeniti na 15·21 =315 !lacina.
3.186. Cz +C~ +C~ +C~ +C~ :::: J5 +20 + J5+6 + 1:::: 57.
220
" 187. prva cifra moZe biti rna koja ad devet .cifara 1, 2, 3, 4, 5, ~.' 7, 8, 9. Drug~ ~itra moze biti rna koja od deset cifara razliclta ad pr:e. To.znaci da za .~ru~u cl~r~ c 9 mogu6ih slucaJ·cva. Treca cifra se Illora razhkovatl ad prve dVIJC cl~re I za unamo .. 7 'f Uku n bra) . ostoji 8 mogucnosti. Za cetvrtu cifru postOJI mogucnos L ~a . ~Jl.tvl Perocifrenih brol'eva koji imaju sve cifre razliciteje: 9,9,8,7 = 45,,6. ce . b) 330 0188 ) C" +C' +C' +C' = 1+9+45+165=220 .). .a g 9 !(l II·
3.189.a)
c)
3 190.a)
3.19I.a)
3,J92,
3.193.
3.194.
3.195.
b)
c)
3 197.a)
b)
b) VI2!-C~O _11·10-45
V; 6·5
b) 0
65 30
c) 0
13
6
c) -(2n) :
221
3.198.3) o • C" C" -I 1 (n+2Xn+l) .. 2n+4+n2+3n+2 en T ".·1 + n+2- +n+ +- 2 2
(11+3)(11+ 2)
2
(11+3)(11+2)(n+I)! (11+3)!_C"+1
(11+1)!2! (n+l)!(n+3 .. n .. I)!- ,,,'
b) C~.'2 + c~:i + 2c~=i (n-2)! + (11·2)! +2. (11·2)!
k!(I1-k-2)! (k-2)!(n-k)! (k-I)!(I1-k-1)!
+~~+ n -n =~~-::;;::C (11-2).! [(I1-k)(I1-k-l) k(k-I) 2k(n-k)] (n-2)! (2) n! ,k
k!(n-k)! I I I k!(n-k)! k!(n-k)! n
3.199.3) c' +6C~ +6C' ~n+6. n(n-I) +6 . .".(11-1)(11-2) n I. n 2 6
= n + 3n(n -·1) + n(n -I)(n·· 2) = n+3112.311+11' .3n2+211 = ,,3
(~_+_lc:k _C k 1.e k -} C"l!n+l_II.CH ~ k_~~!~~~_",_~~~~ = n k + 1 ) ,,~I (Ck\l __ tl+J_CkCk-l
nl k+ 1 '~IJ ,,/!-)
il~k ',H n-k 1~-~-1- . (~!~_ = ---.ls_' _1 _ =
(_l} ___ 11+1\I,Ck-1 n n+1 \ k k + 1 ) /1--1 k k + 1
= __ ._~(n-k)
n(k+I)-k(n+\)
3.200.a) C:: +2C:~'i +C~-<-2 =
k(n-le) k(n-k) , =~--=K.
kn+n-kn-k n-k
n! 111 n! ~-"-'~ + 2 - ------.... + .. ...c:: __ k!(n-le)! (k+l)!(I1-k-1)! (k+2)!(n-·k-2)!
n' I, n-k (n-k)(n-k-I)'J'-... ie' (11 .. k)ll' +2· j;·:;"]+-(k+2)(kl.1) _.
_ ~-'1!~_. (I<:. + I)(/( +2) + 2(11 - k)(k+ 2) + (n- k)(n·· Ie -1) k!(n·- k)! (k+2)(k+ 1)
=~I_'!~._._n_2_t-~~:- 2 __ ___ n_! _. (11+2)(/1 + 1)", (11-1<)1 (kI2)(k+l)k! (n--k)! (k ·1· 2)1
b) C~-l.·3C~-H+3C~1-2+C::n =
11! ~ ~ n! :-:-:------:-:-: + 3 . + 3 . + ----.----= kiln Ie)' (k+1)'(n-Ic-l)1 (k+2)!(n-/;-2)1 (k+3)!(n-k-3)!
... . nl ii + 3. ~=~., }.I!'_-k)(n -k.::.12.,. (n -kiln - Ie-l)(n - Ie - 2) "J~ k!(n-k)!L Ic+! (k+2)(k+l) (k+3)(k+2)(k+l)
n! kl(n Ie)!
(lc + 3)(k + 2)(k + 1).,. 3(11 - k)(k + 3)(k + 2) + 3(k + 3)(n -k)(n k-1) .+ (Ic + 3)(k + 2)(k + I)
222
• (n-k)(n-k-l)(n-k- 2) ~ + (k + 3)(k + 2)(k +1)
n' 11'+6n2+11n+6 n! (n+3)(n+2)(n+1)~ = k!(n~k)!· (k+3)(k+2)(k+l) _. k!(n-k)!· (k+3)(k+ 2)(k+1)
(n+3)(n+2)(n+l)n' (n+3)! ~Ck:!.
(k+3)(k+2)(k+1)k!(n-k)! (k+3)!(n-k)! "'
. ,. ,.. . d· C" C' C' + . C" 2" dobije set 3.201. Kortsteci clnJenicu a Je ,,+ ,,+ " ... -r 'n:::: ,
C~ +2C;, +3C~ +,..+(n-l)C~ = = C 2 +2C 3 +3C~ + ... +(n-·l)C~+2"-2"='
n 1\ " 2 C") 2J1-
= C2 +'1C:- +3C 4 + -+(n-l)C n +(Co +C 1 +C n + ... + !J - -n '- '!J "n ... - 11 n n
3.202,
3.204.a) c~ -C~ ;::: 0 8!(x-8)!
56 ~(x - R)(x -7) :=:;> x= 14.
b) x ~ 16
3.205.a)
b) C; ~351
0) C; = 455
3.20G.a)
b) x= 16
c)
3.207.a) 5 3.208.a) x = 3
¢:> xCx -1) ~ 2\ ¢:> x2.x-42~O 2'
<c,o x(x-J)~351 (-.0 x2,x·702~O 2'
x=27.
¢> x(x -1)(::...~ = 455 ¢::; x'·3x'+2x.2730=O
3! w (x- i 5)(xi'+-12x-t 182) = 0
=> x=lS.
(V + ')1
¢:> .2 .. .'c: ~ 50 <c,' x+ J = 50 x!·l!
b) 4 b) x = 5
c) 3, 14 c) x= 4
(2x+l)! _ (2x+2)! S __ -5( 2)1 1
(x+l)!x! X+ ,.x. 223
b)
8 5(2x+2)
I x+2 x~6
S(x+2) ~ 5(2x+2)
c)
x =3.
x=4. x ~ 8
3.210.a) 3C~:1 = 5C~~~1 ¢;> 3· (2x)!
(x+I)!(x-I)! (2x-l)!
5·_····- ¢;> x= 5. (X-l)I X !
b) x~10 c) x~5
3.211.a) x~5 b) C:;~ + 2C;, ~ 7(x -I) => x'-3x-IO ~ 0 ~> x~ 5.
¢;> 10(x+l) = 3(x-2)(x-3) ¢;' 3x'-25x+8 = 0 => x = 8
¢, 3 (x+2)=2(2x + I) => x = 4.
,";;-) 55 cJ ~"2 ~ - ¢;> (x+3)(x+2) = II 0
V:~l 12 ¢;> x'+5x- i 04 = 0 ~> x ,= 8.
3.213.a) CL>o; =38:'13 ~:) 47x2'-257x~150=O => x = 6.
b) J = II :50 8x'-91x+33 ~ 0 => x=ll.
3.2J4,a) _ (2x)1 _. (2x -(- 1)[
(x + I)!(x -1)1' (x -I)!(x + 2)! 16:29
x+2 16 .----... =~ 2x+ I 29
¢::> x=14.
b) C~~14[: V:+I ;:::: 7 : 15
3.215.21) x=5
¢;> (x-2)(x·3)=56 ¢;. x'-5x-50~O ~> x~lO.
b) F6
3.216.a) C~ < 6 x(x-l) ~-~--<6
o "-
¢;' (x+3)(x-4)<O
c) xE{I,2} => xE{1,2,3}. b) xE{I,2,3,4}
3.217.a) C~ <C: x! xl ---~--<
5!(x-·5)1 4!(x--4)!
1 1 -<--5 x-4
c)
5 => ~->I => x-4<5 => x<9.Kakojex?5,toje xE{5,6,7,8}
x"-4 x1 xlII b) C~ s;c: ¢:;> ----~~ .. -- s-~---·-- ¢> _ <_~ .. __
5!(x-5)1 3!(x-3)1 20 (x-3)(x-4)
¢:> (x-3)(x--4-):::;20 ¢ x2-7x-8s0 => xE{5,6,7,8}.
'" IS! 151 Cj"s- >c's ¢::> --.. ~-~--> ... --,-- ¢;> , (x-2)!(l7-x)1 x!(IS-x)!
I >--
(17'-x)(16-x) x(x-I)
¢:~> (17 --x)(16-x) <x(x-l) ~ x> -¥- Prema uvjetIma zadatka mora bIt!
x-2<15 i x<15, odnosno x<15, paje XE{9, 10, [[,12,13,14, 15}. 3.218.a) C::: <21 ¢;> x(x+I)<42 ¢;> x2+x-42<0 => xE{I,2,3,4,5}.
b) C:"'2 > 5C; ~> (x+2)(x+ 1»20(x-2) ¢;> x' -17x+42>0 => XE {xENlx> 14}.
224
3.219,a)
r !"
lX+ -)(x-6) ¢;> 2 >0
21(2x-5)(x-3)
¢;> (13-x)(12-){) > (x+2)(x+l) =>
¢;> 4(x+3)(x+2)<143 <:;> 4x2+20x-119" 0
17 7 => xE{I,2,3l, ¢;> --<x<-1 2
3.220.a) x'-9x-22 < 0 ~> XE{S, 6, 7, 8, 9, IO}. ~>
13( +') => Jl < 19 b) C" 'CHI <13:7 ~> 7(2x+I)< x_
f:k~: :~,: {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11~:(;: ~' ~~' n!1 ¢::>
n! -153 lc~ = 153 I
,2!(n - 2)!
3.221.a)
¢;> )(k+2)(k+I)=(n-k)(n-k-l)
l n(n-I)~306 {(k+2)(k + 1)~(18-k)(I7 -k)
=> n = 18
{.
(k+2)(k+l)=(l8-k)(17-k) ¢;>
n = 18 {38k = 304
n = 18
b) Rezultat: n ~ 5, k ~ 2. 19 b) x ~ 12, Y = 5
c) c)
3.222.a)
3.223.
x=4,9,14, ,'" y=3,6,9,12, ...
{C1+1 'C' , =5:5 u+l' 11+.
C '+I 'C'" =5:3 n+l' II-tl
{C'" (" "n+1::;:; ")1+1 ¢;>
3ck +1 = SCk -1 n+l n+!
r (n+I)! (n+I)!
(k + 1)I(n ':-i)! kiln - k:;:));
1 (n+I)! 5 (n+I)1 13 k)1 ~(k 1)1 -(k+\)!(n-. - .(n-k+2)!
lk+l=n-k+l
3 5k(k + I) ¢;>
(n-k)! (n-k+2)! {2k ~n
3(n - k + 2)(n - k+ 1) ~ Sk(k + 1)
{2k =n
3(2k - Ie + 2)(2k - k + 1) = 5kCk + 1)
¢;> {2k = n 3(k + 2)(k + I) ~ SIe(k + I)
~> k~ 3, n =6,
225
3.224. Rezultat: n = 34, k = 14.
3 225 Ck • C'+I . Ck+2 3'1' I , . '11+2' n+2' n+2 = 5"' .
3.226.
3.227.
(n) ("+1\ (n+l) k: k )\k+1 =3:4:8 ¢
14. 11! =3.~~
k!(n-k)! k!(I1-k+ I)!
8. n! =3. (11+ I)! k!(n·- k)! (k + I)!(n·- k)!
{'4(n - k + 1) = 3(n + J)
8(k + I) = 3(11 + I)
q=5:~ R C, ~
{n =2k+1
8k=3n+1 ¢ n=5,k=2.
14(~) ={ n;l)
{~)={:::)
E.
1
4 3(n+l)
n-k+1
8=3(n+l) . k+1
In-.4k =-1
l3n-8k=5
C; = 10: AB, AC, AD, AE. BC, BD, BE, CD, CE, DE.
C; = 10: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
3.228. C; = 6: A, B, C, D, E, F.
C: = 15: AB, At, AD, AE, AF,BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF.
C; = 20: ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD,
BCE, BCF, BDE, BDF, BEF, CDE, CDF, CEF, DEF. 3.229. Tri crvene kuglice mozemo izdvojiti na C; :::. lO nacina, C;etiri zelene
kuglice se mogu izdvqjiti na CS4
:::: 70 nacina. Sedam kuglica rnedu kqjima su
tri crvene i fetid zelene, iz kutije se mogu uzeti na C; . CS4
:::; ] 0·70 :::; 700 nacina.
3.230. -; _ (7 +3 -I) _(9) _ 9·8· 7 _ C,- - ----84. 3 3 3·2·1
3.23I.a) -, l'5) C,= 2 =10
-, (13)' C, = . = 1287 , 5
c)
3.232.a) 28 b) 56 c)
226
-, 3.233.a) C, = 190
b) C; =11+15 -3
C" 'C 2 =15'7 3.234.a) n+2' n- ,
¢ (n+2)(11+1) =12 (n -1)(11 - 2) 7
¢ 4n2 -33n+8 = 0 -4
b) VI~+2: Cn~2 = 36: 5
(n + 2)(n + l)n ¢
~+I)n(n=_1)(n- 2)
24
. (";1)=190
n2+n-380 = 0
(11 + 1)11 = 190 2
=> n= 19.
n'-n-30 = 0 => n = 6.
(n + 2)(11 + 1)11 . n(n -1)(11- 2) = 15: 7 6 . 6
¢ 7(n+2)(n+l) = 15(n-I)(n-2)
=> n = 8.
36 ¢
5
(n + 2)(11 + I)n 36
(
n+ll =5 4 )
24(11+2) 36
(n-l)(11 - 2) 5
¢ 10(/1 + 2) den -1)(11 - 2) ¢ 3n'-190-14=0 => n=7.
227
4. SKUP REALNIH BROlEV A
4.1.a) b)
---ilfiL> o I ,2. x o 1"2 J3 x
4.2.a) b) cJ
---~~~ -2 -I 0 1 2 3 4 5 ( -4 -3 -2 -1 0 I -3 -2·-1 0 1 2 3 x
4.3.a) ~ ~ 0,8 b) ~ ~ 0,28571428571 4... c) ~ ~ 0,833333333333 ...
4.4.a) 0,3 ~:i 4.5. (a-b)';,:O
4.6. (a-b)'?o 0
c) 0,5234 "" 5234-5 =: 5229 . 9990 999()
a2 -2ab+b2 ?: 0 a2_2ab+b2 ?: 0
(a+b)2;,: 4ab
¢:;> a2+b2 2. 2ab. ~ a2+ 2ab+l/ ?: 4ab
4.7.
4.8.
4.9.
~> a+b?2M. 2 2 !
a + b ? 2ab I a2+c222ac~ => 2a2 +2b2 +2c2 ?:2ab+2ac+2bc
b' , . I - +c~ ?:2bci )
a b -+--2 b a
(a-b)';,: 0
=> a2 +- b? + c2 ? ab + be + ca .
a' +b' .. 2ab (a-b)2. ~-. -->0 =>
ab au-' a h -+~2:2 b a
b ' , 1 ') ] ? ~ t-(a+ t=a-+2aJ+1Y"=a-+b··+2ab::;;1+! =2 => ---J2<a+h<..J2.
4.10. Nekaje a ~ 1 +x. Tadaje b ~ 2-" ~ I-x i "rijedi: a4
+b4 = (I +X)4 +- (1_x)4 = 1 +4x+6x2 +4x:' +- X4 +- 1-4x+6x2 _ 4x3 +- X4 = ~ 2+12,,2+2x' ~ 2(l+6x'+x');,: 2 .
4.11. lab-a., a-cl ~1(ab-a)+(a-'c)l:-; lab aHa'cl~
~ lal·lb -ll+1a - cl < I· 8 + 2 ~ 10.
4.12.a) F9 ~131~3 b) J0.1)2 ~H~3 c) .J3-2.J2 ~.j(1-J2)2 ~11-J2I .. J2-l
4.lh) a~-3, a~3 b) aE 0 c) a E (-w, 0) 4.14.a) lal :-;3 ¢:> -3 $a$3 ¢:> aE[-3,3].
b) lal?o 2 ¢:> as: -2 , az2 ¢:> aE (-w ,-2] U [2, _). 228
c) la -II :-; I ¢:> -I $ a- 1 $ I ¢:> o :s; a :-; 2 ¢:> aE[0,2].
c) .j(a_2)2 ~la-2i
a<O 5 ) Q~lal b) j;;< ~a2 4.1 .a va-
d) .j(a-3)2·U ~ia-3t-lal ~ 3-2a, {
3 ,
0::;;a<3.
a 2:3
4.16.a)
c)
4.17.a)
b)
4.18.a)
b)
0)
-3,
Ja+a
I I --~ ~ a, a > 0 la[+a= 2
2 l-a2+a~o, 0$0 la-a 0 --=O~ a2:
b) lal~a= -~ .. a 0 __ .::=-a, a<
l 2
3~.:"."-=13;, a;,:O d) lal+2a ~1f3;, a?oO
2 a 2 ':'. a<O -;-' a<O ~2'
f;'+2.Jx---I-+Jx-2~ ~.j(Jx-1 +1)2 +,J(Jx-l- I)2 ~ =Ifx'=i + HFx=l -II = fx'=i + 1+1-~ ~ 2.
Jrx-+-2-J~x=--=1 +Jx-2~ =kJx-l +1)' +kJ;--1-l)2 ~
~IJ~-l + II +Ifx'=l-II = ~ + l+.Jx-i-l = zfx'=i
2ala-2\ a 2 -5a+6
r 2a(a - 2) =..3:':'..., a?o 2 2ala-21 l(a-2)(a-3) a-3
~ (0-2)(a-3) =1 -2a(a-2) _ -2a 0<2
l(a-2)(a-3) - a-3'
. r 4a(a-3) ~~, a?o3 ;ala-31 .~ (a-2)(a~3) a-2
a' .. Sa + 6 I _-~4=a(",a:...-_o=-,)_" - 40 , a < 3 !(a-2)(a-~3) a-2 ,
. r~-4)_=-,,-._, a?4
_~~i..=l(a-l)(a-4) a-I
a' -50+4 . . a(o~=~, a<4 (0--1)(a-4) a-I
4.19.a) aER . d d't' clutne b) Posmatracemo tri intervaia realnih brojeva i u nJima 0 re 1 laps
vrijednosti navedene u datoj jednacini. 1) a E (-w, -2) => 10 + 21 ~ 10 ·Ii ¢:> -(a+2) ~ -(a-I) ¢:> 0·a=3 ~> aEO
229
2) aE [-2, 1] => la+21=la-11 <0:> 3+2=-(a-l) <0:>2'3=-1 => a=-i. 2
3) aE (-2,+00)=> la+21=la-11 <0:> a+2=a-l <0:> 0·a=-3 => xE0.
Dakle, navedenu jednacinu sa apsoJutnim vrijednostima zadovoljava samo
jedanreaJanbrojaitoje a=-~. c) aE(-00,-2)U(4,+00).
4.20.3) Ix+ 21 = 3 <0:> x = 1 , x = -S.
b) 12x-ll=5 <0:> x=-2, x=3.
c) Ix2-11=(X-l)(x+l) <0:> xE(-oo,-I]U[l,+oo).
4.21.a)
4.22.a) y= El={ 1.,x>O x -Lx<O
\
Y J~-_
c) y = IX+31
o
I
b) y =! ={1' X>O I"~ -1,x<O
__ ~o x --+--~x 1 -I I
o
230
y
x
'\
5. NIZOVI. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ GRANICNA VRIJEDNOST NIZA. GEOMETRIJSKI RED
5.1. Pojam niza. Opci Clan. Monotonost. Ogranicenost
5.1.3)
5.2.a)
5.3.3)
5.4.a)
5.5.a)
5.6.8)
4,5,6,7, 8, 9~ _ .. b) 3,5,7,9, 11,13, ... 4+3 7 7
b) 4-12 8
a =--=--=- a =~--""---' 4'+1 16+1 17 ' 4+5 9
I I b)
5 5 a3 =5,a.; =:; a =_ .. - a4 =4 ' 3 '
4 7 4 b)
1 -I 1 -1 1 2. 1,
5'17'13' -
4'5' 6'7 3 '
I I 1 I 1 - - -, , 2' 6' 24 b) J, J, 2, 6, 24,120, ...
c) 5,5,5,5,5,5 •...
c) 1
a4 ::::S
cJ oJ =2,a 4 =6
cJ 1 1
0, 2,0, 2,0,.
.,=.,+3=4+3=7; a)=.2+3=7+3= 10; a4=a)+3= 10+3 =13. a, = a4+3 = 13+3 = 16,
b) .,=3,-1 =4-1 =3; 3,=8,-1 =3-1 =2; ",,=a,-1 =2-1 = 1; as = a4-1 = 1-1 =0 .
c) a,=2a,-2=8-2=6; a3=10; a,=18; a,=34. 5.7. a2~2al+5:::::6+5=dl, a3 =2a2 +5=27, 04=2aJ +5=59.
as =204 +5=123. Traz.eni nizje: 3,11,27,59,123, ...
5.8.a) a" = n b) a,,=n+2 5,9.a) a,,=211 b) 0,,=2n-l
5.10 .• )
5.12.a)
5.14 .• )
5.15.a)
5.16 .• )
5.17.3)
5.18.a)
5.1 9.a) .
0" == n2 b)
G,,=5n+3 b)
n a ::::-
J! n+ 1
1 a =~-
II 2n-l
n a,
2n(n+l)
a = 1+-·--( 1 r 11 n+l
2 n ... 1
a =---11 2/1 + 1
°,,:=/12- 1 5.11.a) 0,,=3n+1 b) 0,,=511-8
0,,=6n-5 5.13.a) G" =2" b) a" =2n'-1
n+l b) an =
n
0) a = n , (n+l)(n+2)
n2
b) a =-II 2(n+1)
( 1)" b) G,,= 3--;; 2 11
-1 + 1
b) a =~---n 21l -1
) 2 3 4 5 67 8 9 10 11121314
231
b)
I
2
1" • r 32 64 16
> 4
C)--~---~'--~~--~----7)
o 2
3 2 5 3
5 3 7 4
5.20.a)
3
(k -I)' a, :::;:---
, 3k b)
(k-4)2 a
k_
3 3(k - 3) d)
(n - 6)' a -----"-5- 3(n-5)
c)
Q'+i 2(n+I)+3 2n+3+2 2 I 5.21.a) --=----= =1+-->
an 2n+3 2n-+3 2n+3 => a,,+1 > an,(\fnEN).
Dakle, dati niz jc monotone rastu6L
b) .::'~±l an
1
. (n+I)2
1 ,,2
, n'
(n+
Dakie, nizje monotono opadajuci. (n + l)n
"'\ .9'l!±.L= -2-=n+l=!1-1+~=1+~>I VJ an !!ip-Q n-l 11--1 n-l
2 (\:In E N, n > 1), pajc dati niz 01011010110 rastu6i.
3(11+ 1)
5 22 ) ~!/'±'L .. a 6(11+1)+5
3n 6n+5
(n + 1)(6/1 ~ 5)
(6n+ll}n
1 l+·---~>J
6n' + J In
=> an+1 > an' (\in E: N), paje dati niz monotono rastu6i.
-=--:-(fi.:':.12 b) a"+, =2(n+l)-I=,c,6:::..'12Fn-l) < J
a" 7-n (2n+I)(7-n) => a lHI < aI!' (vn E N),
2n-1 pajc dati niz monotorlo opa& ... juci
c) Niz je monotono rastuci 5.23.a) Nizje monotone rastuci. b) Nizje monotono opadajucL
c) Nizje rnonotono rastu6i 5.24.a) Kako je maksimum funkcije a = _xz+4x+5 u tacki X = 2, to je najveci
clan datog niza az = 9.
232
b) NajveCi je prvi clan niza al = 4. c) Najvecije drugi clan niza a2=16.
5.25.a) a, = 9. b) a, = 16 c) a, = 4. 5.26.a) Najmanji je treci clan niza a3 = -1.
b) Najrnanji je cetvrti clan niza '" = -9. c) Najmanji su drugi i treci clan niza az = a3 = -30.
5.27.a) a3=-18 b) ",=-98, a5=·98 c) a,=-261 5.28.a) Nizje ogranicen odozdo i vrijedi a,,;:::: 1.
3 b) Nizje ogranicel1 i vrijedi: 0 < -, S 3.
n n
c) Nizjeograni~.·.'p ivrijedi: 0<-,-<1. n +1
? 5n+ 2 3 5.29.a) _ < -- < 2n
2 2" 1 S.30.a) - < -- = l--~-- < 1
3-211 +1211 +1
c) n 2 +3n ?
1 < <-n2+2n+l
5.3 l.a) 1'1+2 2 n+2 2 __
an =-11-=1+~:$3, a:, =~-.=1+~>1, l<a l1 5,.3.
b)
c)
5.32.a)
o <a = --"---:-~ = 211+ l-n-1 211+ l_~ = l--"~ - 11 211+1 2n+1 2n+1 2n+l 211+1
(-·n" O<a =5+--:- <6.
" n
n I 0< --<-
2n+1 2
n ( )" 0< --211 + 1
b) Prirnjenorn binomne formule dobije se:
<I.
a =(l+~)" =1+"..~+".~'-1)._~+ l1(n-l)(n-2) .J,+ + n(n-lL .. ·2.!.~, /I 11 1\ n 2! nZ 3! n- ... n! nil
= J + J +~(l_~)l + ~ (11-.2·)(ll-3.)+ .. +,!,( J -~ Y J _3.\.( l-~~ I 2! n 3!" 11 n n!\ nJl nJ \ J1 J
, I I 1 ,I . I ~ ~ ~I~ <_ ~ 1-1-1+-+-+'-+ ... ,- <l-t .. I+-+ 2 + 3 + ... + n-I Y.
21 3' 41 n! 2 2 2 2
l'IY' ... --
S druge stranc vrijedi I < 1 + -;;) , paJe dati IlIZ ogranlcen.
c) 1 < Q" =(I+~r =[(I+~rr < 3' (Vidi zadatakpod b»).
233
5.2. Aritmeticki niz (aritmeticka progresija)
5.33.a) 4,6,8,10,12,... b) -3, 1,5,9,13,... c) 22,21,20,19,18, ... 5.34.a) 1,-2,-5,-8,-11,... b) 0,-2,-4,-6, .. , c) -12,-14,-16,-18" ..
5.35.a) 1,3,5,7; 9, II b) -3, 1,5,9, 13,17; c) 10, 1;,8, 1;,6, ~ 5.36.a) a, - a, = a, + 2d -., = 2d => 2d = 6 => d = 3.
b) a9 - '4 = a, + Sd - (a, +3d) = 5d => 5d = 16-6 => d = 2. c) '4D - a" = 29d => 29d = 87 => d = 3.
5.37.a) a,- a] = a, + 2d -., = 2d => 2d = -2 => d =-1. b) ag-.5='] +7d-(a, +4d) = 3d => 3d=-12 => d=-4, c) a", a,o = 20d => 20d = -20 => d =-J.
5.38.a) a,=a,+d => a,=a,-d=IS-8=10. b) .,=a,+4d => a]=a,-4d=30+12=42. c) 3g=ar+8d => al=a9-8d=80-63=17.
5.39.3) a,=a,+2d => a,=a,-2d=18+2=20, b) a, = -33, cJ a, 'C 76,
5.40,a) 5,8, iI, 14, 17, hJ 4,7,10,13,16, 0) 7,4, I, -2,-5 5.4La) -5,0,5,10,15, b) 2,3,4,5,6, c) 26,24,22,20,18
5.42.a) -I, -21 ,2,7..2, ,5, b) "~ ! I '2.,7. c) ~ 0 _ ~ _3. _.3.
, 3'3"335"55'5 5,43, a,=3+3(1+])=9, a2=3+3(2+1)=12, 3,=3+3(3+1)=15, 5.44. as = 23. 5,45. 330~ a,+29d ~ -3 -I- 29·2 ~ -3 + 58 ~ 55.
/7 ') 19 ]] 5.46. 32o=al+19d=4+19'l2-4 =4--i~-2' 5.47 .• ,=-4, d~3.
5.48,a) a"=a,+(n-l)d~> a13=5+12,13=161. b) .]5=52 c) a",=35, 5.49,3) a,,=a,+(n-I)d => a2l~10+10~20. il) a[(,~-5 c) a,,= 16. 5.50. a15=3J+(n-l)d=200+(J5-1)·(-S)=200-70= 130. 5,51.a) 37= .,+6d = 33 . b) 38= -7 c) all = 8. 5.52 .• ,+(n-l)d=206 => 8-3(n-l)=206 => n=67 => a67=206, 5.53, lz a o = a, + (n -I)d , naiazimo ) 6+(0- J )(-2)=0, odakle je n=9,
5,54, Trebalo bi daje za nck; prirodan broj J1 ;spunjeno 287=1+(n-l) 4, odnosno, 2(n'1)= 143. a to je nemoguce jer brqj 143 nije djeljiv sa 2,
5.55. Da bismo odredili deseti cian, treba prvo nac; razliku ovog aritrnetickog niza. Koriste6i se formulom opsteg clana
~ a a !i', an = a 1 +(n-i)d nalazimo daje d =~,(n > I), U nasem
11-]
I .' , d 33 - 3 5 Zb' I) s uca]u]e = -- = , . og toga]e all) = 3+(10- ·5 = 48, 6
5.56. Nekaje drugi clan x2 Tada vrijedi: a, = x' i a7 = (x+ 1)2 Dalje je:
234
at + d =: x2
} => 2 + d:::; x2
}
Q,+2d=(x+l)' 2+2d= +2x+l
Tra:;eni nizie: 2,9,16,23,30, ...
=> => 2+d=X'} d=7} x2~2x-3=O x=3
a, + -ld = ll} a J +7d=ll}
a, +l7d=26 => d=% 5.57, =>
aJ =.!.] 2 =>
d='i 2
alOO = 149,
5.58,3)
=>
b)
5.59,3) 5,60.a)
h)
5.61.a)
b)
a, +a4 = 22}
a3 + as = 34
2a, +12=221
d =4 J G)+G,=32} a ~a·:;:::o 15 .J ,
=> ill ;;;::0 61 <
d = 5 J
=>
=>
=>
2a] +3d = 22} 2a,+6d=34
~:!}. 2a, + 4d = 321
3d = 15 J
. => 2a l +3d = 22}
3d = 12
Nizje: 5, 9,13,17,21, ...
=> 2a, +20= 32l d =5 J
Trazeni nizje: 6, 11, 16,21,26, ...
10,21,32,43,54, . 1,2) 5, 4, 5, 6, 7, 8, 4,8,12,16,20,24, ...
b) 12,27,42,57,72, ...
9,8,7~6,5.4)3~2, 1, .... 16,12,8,4) 0, -4, -8, -12, ...
a +2d=~' If ' 6
5 1 a] +a5 :::::"3 I
;, => =>
'2.·lf ?.+d) = 65 651 il2 'a4 :;;: 72j 6 6 72 J
. .. i 7 10 l3 TraZenl l1tZJC: -, ~, -1~' -1'1' ...
3 IL "" "" 11 - 5d 1
-{J1 1 a=--- l 2a, +)( =, . ,1 2 I
=> (a,'+d)'(a, +5d)=13J => lSd' -22d-69=Oj 00+0,=111 , . , 02 . 06 :::: ].J J
23 28 => d=3,a,=-2 i d=-15,a) =3·'
Postoje dva niza koji zacloyoljavaju date uvjete ito: , 28 117 94 71 48 25
-2, I, 4, 7,10,13,17,... 3' '\5' 15' 15'15'15""
5.62,a) 110 a,.fa , +d). f:l , +3d)=110 3
1 +a~ +a 5 ::::0 24'} => a 1 +3 1 +2d+a) +4d =24}
a]·a 2 ·a 4 :::::: ~ ~
}
aJ =8-2d } => a, =21. a,+2d=8 ., I => (8-2d).(8-d)-(8+d)=11O => (d_3)·(d'-d-67)=10 d=3 J
Trazeni nizje: 2, 5, 8, 11, 14, l7, 20, ---235
b)
1- 5ct ' a J + az + as ::::: J } a = -- - I -- 3} => I 3 l _ a j --
a3.a
4,a
5=15 1->'
_ 28d'+39d'+12d-404=OJ d=2
Trazeni niz je: -3~ -1, I, 3, 5, 7, 9, ,_,
5.63. 18 -
S18 =2[2a1 +(18-I)d]=9.[2.3+17.2]=9.40=360.
5.64. 14 r-
S14 =2-tZal +(l4-1)d]=7. [-18+15 ·5]= 7 ·57 =399.
5.65.a) Trazi se zbir n .clanova aritmetickog niza cijije prvi clan 1 i razlika d = 1. Otuda le:
1+2+3+4+ ... +n =S" =%[2a1
+ (n -1)d]=%[2+ (n -1)]= ::(n2+ I) .
b) 1+2+3+4+ ... +100= S100=~~O[2+(IOO-I)]=50.I01=5050.
cJ 1+3+5+7+ ... +99 = 520[2+(50-'1)2J=25.100=2500
d) 2+4+6+8+ ... +100= 5;[2.2+(50-1).2]=25.102=2550
p 5.66.a) SI2 = ; (2a, + lid) = 6(6 + 22)"d 68 b)Sw = I; (2a, +9d) =5(-81 27) =90
20 5.67.a) S," = 2 [2a, +19d]=396 b) 30, J 1365
SJo=--L2a,+29d =-2' 4
5.68.a) Aka je n paran broj, tada vrijedi: 1-2+3-4+ ... +(-I)""'n = (1 +3 +5+ ) -{2 + 'I + 6 + ... ) = (*)
pri cemu jc u svakoj zagradl suma od 1 clanova aritmetickog niza.
Zato, dalje, vrijedi:
* = n r . (n '\ ' n r (n • 1, n () 41 2, 2-112J--14+:;--,ljl,2J=-[2+n-2J--"[4+n-2]=--". L / 4 L \"'- 4 4 " 2
Ako je n neparan broj, n:= ~k+ 1, tada vrijedi: .. }:2n-4+ ... +(-I)""n = (I +3 +5+ ... )-(2+4+6+ ... ) =(*)
pi ~ ccn~~ .Ie u ~rvoJ zagradl SHmn od k+ 1, a u drugoj k 61anova arltmetlckog llIZU. Zato, dalje, vrUedi',
(*_"+lr- - Jk f -)- -2 l2+(k+l·-1)·2 -'2 l4 +(k-I).2]=(k+l).(k+I).-k(k+l) .. k-rl=n:l.
b) 12~i~ +32~42+52~62+ ... +(_lt+ln2= L.
.= (1-2)(1 +2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6) + ... = - 3 - 7 - II - 15 - ... =- (*. Ako JC n paran broJ, lada vrijcdi: )
(*)= -%[6+(%-I}+-~(6+2n-4)=-~(J+n)=-n(n?+I). Ako je n neparan broj, n=2k+ I, tada je: -
236
5,70.
C*) = -~ Ii> +(k -I)· 4]+ (2k + I)' =-}(2+ 4k) +(2k + 1)' =
, n(n+l) = -k(1+2k)+n =--.
2 a, =109-85=24. S" =9(48+17·5)=1197.
I 5 => 6d=alO -a4 =3 => d""'2 ~ a l =2"'
S51 = ~(5+50~)=735. 5.71.lmamo daje a, =SI = 1.Iz S2 = 10, dobijamo G, =S2 -8, =9.
Kakoje d=a2 -a j :::::8, toje a3 =a2+ d =17 5.72. a,,+1 = S,_" - S, = 5(n+ 1)'- 4(n+ 1}--(511' - 411) =IOn+1 = 10(n+ 1 )-9.
Otuda je: a, = IOn-9. , 4~4,311+1 4-4,311
5.73. a 1=8 ,-,\ ,""'----------n+ - n+ - n+ 311+1 31'
Nizje' -~ -~, - ~ . 3' 9' 27 , ...
5.74. a"" = S,," - S, = 2(n+ I)' + 3(n+ 1)-- (2n2+ 3n) = 4n+5 = 4(11+ 1)+ 1.
Otuda je: an = 4n+ 1. TraZeni nizje: 5, 9~ 13, 17, ...
Kakoje a,,+I- a,,= 4n+5 - (4n+l) = 4,
to je niz aritmeticki s razlikom d = 4.
5.75. S" =%[2a, +(I1-I)d] => 1520=%[2+(n-1)3] => 1520=::(311-1) 2
=> 3040 = 3n' - n => 311' - n - 3040 = 0 => n = 32.
5.76. S" =::[2a, +(11-1)d] ~ 3528=:'[4+4(11-1)] ~ 1764=n·n => n=42. 2 2
5.77. Rezultat: n = 80 . 5.78.4x-I-(2x+3)=2x+3-(x+l) => 2x-4= x+2 => x=6.
Nizje: 7,15,23, ... SiO = 430. 5.79. Rezultat: X = -3. Nizje: -6, -8, -10, .. '
5.80. 10 5
=> ~(2a, +9d)=4·-(2a, +4d) 2 2
=> 20l +27 =4al +24
=> al=~.' Nizje:~, 2.,~, ~, ... L. 2 2 2 2
x~l x-2 x-3 1 n X-l(X-1 1) x-I 5.81. =;.-+-x-+-~+"·+-;: = '2(a, +a,)= -2- =;.-+-;: =-2"
3n+ 1 5.82. Rezultat:
2
237
5.83.a) a,,= a, + (n-I)d
b) a,,=a, + (n-l)d
5.84.a) n = 14, S,,= 287. 5.85.a) a,,= a, + (n-I)d
b) d = 2, S30 = 930.
5.86.a) d = 1, S" = 72 .
5.87.a) S,,= ~(a, + a,,)
b) n~ll, d = 4.
=>
=>
=> =>
=> =>
=>
=>
38 = 3 +5n-5 => 5n= 40
n= 8. 8
Sg= -(6+7·5)=164 2
22 = -5 +3n-3 => 3n = 30 n = 10 Sn= 85.
b) n = 21, S,,=210. 37=1+18d => 18d=36 d=2; 8 14 =361.
1 _ 84 b) d= -, S21=-.
5 5 28" 2·459
n=·---=--=17 a1 +an 54
d=a,,-a, =51-3=48=3 n-I 16 16' .
5.88.a) d=a,,-a, =50 =2. b) n=30 d-=-~ n-l 25 ' 2
5.89.a) a,,= a, + 32d = 34, S,,= 1056
5.90.a) a" = a, + 13d = -9, S,,= ,-35
5.91.a) n=IO,a,,=a,+9d=28 5.92.a) n=18,a,,=a,+ 17d=23
11
b) a,,=a,+2Id=58, S,,=183.
b) a,,=a, +39d= 83, S,,=415. 4
b) n=12,a,,=a,+2Id=-12. b) n=22,.,,=a, +21d=32.
5.93.a) Sf! = "2(a l +all ) => 2S" 28 a l + GI! "" --, => an = ~n ~ a
l => a,,:;:;: 22
n n
a" =a, +(n-J)d => a -a 22-10
d~-"--' ~-~=1. b) • = 18 d=3 n-l 12 Il,
5.94.a) au = -38, d =-4 b) a,,= -60, d =-10 5.95.a) a" = (/, + (n -I)d => a , =a" -(n-l)d=50-49=1.
n Sn =2(a1 + a/!) =>
SO 8" =2(1 + 50) = 1275.
b) a, ~ 5, S" = 725. 5.96.a) '1 = -7, S" = -585. b) a, = 4, S" = -205.
5.97.a)
=>
b) 5.98.a)
238
a,,:~ +(n-I)d} 22=a, +(11-1)21 (/, =24-217
S" -2(a, +a,,) => 132=~(a, +22) J => 132=~(24-2n+22)
a , =24-2n} => a, =24-2n} n=ll,a, =2} 132=n(23-n) n'-23n+132=0 => n=12,(/,=0
n = 8, a, = 6 ; (n = I, '1 = -8). n ~ 23, a, = I . b) n=10, a,=18.
5.99.a)
b) I 5
5.100.a) d=-- G, =-4' 4
a" =a, +(n-l)d} => a" =a,g+(S-1)'5'} 5 101 ' all =al +35} ..~ n =
Sn =2(a1 +011) 172='2(al +Qn} 43=al +a"
=> => b) a,= 9, a = a,,=a l +35} a,,=39'l 45
43=2a l +35 G!=4J' 1l2' 5.102.a) a,= 100, a,,=O. b) a,=32, a,,=-128. 5.103.a) Na lijevoj stran! jednacine je zbir clanova aritrnetickog niza s razlikom
d=3. Suma tih clanovaje210. Zatovrijedi:
S,,=210 => ~[2a, +(n-l)d]=210 => ~[21-3(n-I)]=210
=> n(3n-l)=420 => 3n'-n--·420=0 => n= 12. x = a12 = 34. b) n=15, x=59.
5.104.a) x = 55 b) lOx + 5·29 ~ 155 => x = L 5.105. Na lijevoj strani jednacine imamo zbir (x-J) clanova aritmetickog
niza Ciji je prvi clan x -\ i razlika d = - J.. . Zato se jednacina moze x x
rjesavati ovako:
x~ 1 [2 x~ I +(X-2)(-;)] =3
¢;> x-I. 2x-2-x+2 3 .'d x-I =6 x= 7.
2 x
5.106.a) a2+a6=241 _> Q!+.d+Qj+5d=24 }
a3 -as =-6[ a1 +2d-(oj +4-d)=-6 =>
2uI +6d = 24l -2d=-6 J
=> a, = 3} . Rezultat: 3; 6, 9, 12, ... d=3 )
5.107.a) 1,2,3,4, ... b) 6,4,2,0, -2, -4, ...
239
5.108.a) 10.7.4. 1. ,2 •... b) 1.3,5,7,9, 11, ...
5.109.a) => a] +al +d +aJ +2d.:;::::. t2} al (a l + d)(al + 2d) = 28
=>
=>
a l +d=4 }' => al +d=4 1 al ·4·(4+d)=28 (4-d).(4+d)=7]
a,+d =4} => al +d =4} 16-d'=7 d=±3
Rezultat: 1,4,7,11, ... iIi 7,4, I, -2, ...
=> a, = I, d =3 } a):;:;:;7,d=-3 '
b) Rezultat: 8,4,0, -4, -8, ...
5.110.a) a,+d=6 }
a/ +(a, +d)' +(a, +2d)' =158 => a, +d=6 \
5.111.
(6-d)' +6' +(6+d)' =158!
=> °1 :::::6- dl 2d' = 50 J
Rczultat: 1, 6, 11.... iii 1 t, 6, 'I, ...
", =1, d=5 L
b) Rezultat: 1,,:J, 2 .s_ 2' '2'
a,+a,+a,=2 } 1 2 ? 14 =>
{JI +a~ +ao-=-, > 9
=>
T ' .. .. I 2 razenl br01eVI su; - - 1
, 3 ' 3'
a l ::::: 11, d = -5 J
iIi o 3 1 1.., 2' 1, 2"
a, +d=3. 1 2
3 => , (2 \ . '41
a,' +,_)1 +(a, +2d)' =-'--J \3 9
a l=l, d =j, odnosno, al = ~, d = _±.
iii 1. 3. .1. . 3' 3
6 .. ./6 6+./6 5.112. ---6-,1, -6-'
5.113. Nekaje x najn:mqji trazeni ncparni broj. Posmatrajmo niz brojeva: x, x+I, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6,
5.114.
Prema datom uvjetu vrijedi: X;+("+2)2+(x+4)2+()(+6)' = (x+ 1 )'+(x+3)'+(x+5)'+48 x +6x-27=0 => x=-9 x=3.
Postoje dva niza brojeva koji ispunjavaju date u\jete ito: ' -9, -7, -5, -3 i 3,5,7,9.
Sn at +a13 2a, + !2d 1 => SIll an·_ l2 +an 2 2a1 +(2n-14)d 2
=> a l +6d 1
- => 2(a, +6d) = a, + (n -7)d a, +(n-7)d 2 => al = (n-19)d.
lz drugog uvjeta dobije se:
240 '.' )
~4+al1 =:: => a l +a,,_3 3
2a, +(n+2)d =::. 2a, + (n -4)d 3
=> (n-22)d = -2al.
Zamjenom ranije dobivene vrijednosti za ai, dalje vrijedi: (n-22)d = -2(n-19)d => n-22 = -2n+38 => n = 20.
5.115. Trazisesumaniza: 10, 12, 14, 16, ... ,96,98.0vajnizjearitmeti6ki s razlikom d = 2 i ima 45 clanova. Zato za njegovu sumu S vrijedi:
S = neal + a,) = 45(10+ 98) 45(10+98) = 45.54 = 2430. 2 2 2
5.116. Rezultat: S 45(11 + 99) = 45·55 = 2475 . 2
5.117. Opsti cian prvog niza je oblika 17+4m, a drugog 16+5n, gdje .Ie m,nE p,I,2,,3, ... }. lzjednakosti 17+4m=16+5n slijedi 5n=4m+1. Rjesenja posljednjejednacine u skupu prirodnih brojeva su slijedeei parovi (m, 0): (1,1), (6,5), (Il, 9), (16, 13), ... Zajedoicki clanovi dvije progresijc cine slijedeeu progresiju: 21, 4.1, 61, g 1," .. Zbir prvih 100 Clanova posljednjeg niza jednakje
5.1 i8.
, 21+21 +99·100 SlOe =21+41+ ... + .. + (21 +99·20) = --------. toO = 101100.
2
a, = 18 1 s,,, =4s"f
(JI +4d =-l8 i
=> 22" [2a, + (2n --1)d]= 4~ [2a, + (n -I)d]f
" )
=> G, +4d = 18} => 2a l ::;;; d
a l,::: 2f' . d =4)
Trai",ni nizje: 2, 6,10, 14, 18, ...
n-l f- ] -[2+(n-2)·1 =n n--I
n=n => n=3. 2
. _ n(n + 1) 5.120. 30, = 1+2+3+ ". T n - --- .
2 5.121. Pretpostavimo da je n=2k, paran broj. Tada vrijedi.
2
1- 2 + 3 : 4 + ... + (-I ),,-I n = 1- 2 + 3 - 4 + ... + (2k-l) - 2k =
= 1+3+5+ ... +(21;.-1) __ (2+4+6+ ... +2k) = .1.:,:2k-l. k _ 2+2k. k =_k =_rl. 222
Ako je n = 2k- i, neparan broj, tada vrijedi: 1-2+3-4+ ... +(-1)""'0= 1-2+3-4+ ... -(2k-2)+(2k-l)=
= I +3+5+ ... +(2k-l) - ( 2+4+6+ ... +(2k+2» =
1+2k-l 2+2k-2 2 • n+1 = ----·k-----·(k-l)=k -k(k-I)=IC=--. 222
5.122. Pretpostavimo da je n=2~ paran broj. Tada vrijedi. 1-2'+3'-4'+ ... +(-I)"·'n' = (1'-2')+(3'-4')+ ... +(2k-I)'-(2k)'=
= (1- 2)(1 +2)+ (3- 4)(3+4) + ... + (2k-I-2k)(2k-l+2k) = = -(1+2) -(3+4) - ... - (2k-1 +2k) = - (1+2+3+4+ ... +(2k-l) + 2k) =
2k(I+2k) __ n(n+l)
2 2 Ako je n=2k+ 1, neparan broj, tada vrijedi:
241
5.123. s" = n'p} Sk =k'p
=>
n[2a, + (n- ])d]
2
2
n2p =>
k'p 2a, +(n-l)d
2a, +(k-l)d
2
n
k => 2a,=d; d=2p.
p·p·2p 3 =1'
2 2 5.124. Neka je d razlika dobijenog aritmetickog niza. Tada vrijedi:
a, =2'0'0 =20=a, +9d => 9d = 18 => d=2. Traieni niz je: 2, 4, 6, 8, 10, ] 2, 14, 16, 18, 20.
5.125. a -a Gj = 3, as "" 17 . Prirnjenoll1 formute d =-" --..!.. dobijamo
n-]
d 17 .... 3 2 . . "k" 0 5 7 17 =--= ,pajeantmctlc'lnIZ5, ,,"', . 7
5 .126. Neka je d razlika dobijenog aritmetickog niza. Tada vrijedi: a, = !l,a" = 22 = a, + lId => lId = 22-11=11 =>
Trazeninizje: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20,21,22. 5.127. Nekaje d' razlika dobijenog aritmetickog niza i r broj umetnutih
'I T d "ed' d .. 22 - 4 canova. a avnJ 1: d'=-=--=3. r+l 6
Trazeninizje: 4,7,10,13,16,19,22.
5.128. S .. n(a, +a,,) n(-3+31) =14n n 2 2 => 252
n= -=18' .. 14 '
d'= d = 31+3 =2. (n-2)+1 17
Trazen; nizje: -3, -1,1,3,5,7,9,11,13,15, "" 31. 5.129. Neka su duZine stranica a, b, c. Tada je: b = a+3, c = a+6, pa prema
Pitagorinoj teoremi vrijedi:
(a+6)2= ,'+(a+3)' => a' - 6a - 27 = ° => a = 9. Duzine stranica trougla su: a = 9, b = 12, c = 15. 0 = 36, P = 54.
5.130. <P=~(2'+T'). 2
5,131.a) Ako je a, b, c aritmeticki niz, tadaje 2b = a+c, pa za posmatranu kvadratnu jednacinu vrijedi:
ax2+2bx+c = 0 ¢:> ax2+(a+c)x+c = 0
¢:> ax(x+ I) +e(x+ 1) ~ ° ¢:>
=> x=-l. 242
ax2+ax+cx+c = 0 (x+l)(ax+c) = 0
5.132. Ako su a 2, b2 i c i clanovi aritmetickog niza, tada vrijedi:
e2 _b'=b'_a2 => (e-b)(c+b)~(b-a)(b+a) =>
Dalje je: I a+c-a-b c-b
a+b a+c (a+b)(a+c) (a+b)(a+c)
c-b I b-a I _ b-a b+c-a-c = :;'+b' a+c ~'c+b' a+e - (c+b)(a+c) (c+b)(a+c)
b+c a+c I I
1 I L 5135 +-- C-+ .... , ~ C--. . j;;; +,J:;; j;;; + Va} .J an + VaIH!
F, -.[;;; .[;;; - Fa; J;;:: -) a,,+, + r:-, c- , + ... + r:- 2 C)2 (F,)' -(.[;;;)' (va,) -(va,) (va,,) + (va,,+1
243
ra: ~ f;; + Fa; - Fa; + ... + J~-:: -" Fa::: a)~a2 a2 -a3 Gn+On+!
~ E -r;; + r;: -Fa; + + .Ja: --,r;::: ~ .Ja:- J-;:~ ,fa= - ,fa~
5_136.
5.137.
5.138.
5.139.
=>
244
-d -d -d -d d
1. 1
JO.: + Fa; + n. + ~an_l + ~l =
1 ra; -ra; ra::; -,r;;: J;; +J;;;'~ -.Ja2 + ... + .Jafl~) +-Ja:'-Fan-! -ra;= ,fa,-F, ++ ra::; -ra; ~ ,fa, -Fa; + .. +ra::; -ra; =
a j -a2 011_1 -an -d r::- ,-
_, __ :c __ .. _.,_.'- = :1.9::. -,j a i 11 - 1
d 3:....:_ q,1 . j:;:: +.J 01
n--1
=:> 2a j (m-n)=(n 2 -n-m2 +m)d => 2a!=-(m+n-l)d.
S m+nr,) , ] tn+fl[ 1Ii+J1 =-2~-l",-,al +(m+n-l)d =-2~ -(m+n-I)J+(m+n-l)d]=O.
0m-,-iI = am -+ ndt am_II = am -nd)
0'"+11 = 0", + nd 1 alltHi = a" + mdJ
~>
=>
=>
x=a",+ndl
y=om-ndJ
a" + md = alii +- nd =>
x+y X al1=--~+(n-m)·
2 2n 1 . - m(al + a ) _2 . m m(2a,+(m-l)d)
SII - ~_ n-(o\ + a -)-- = ,;(20; + (n ---1)d) 2 ' !>
= x+..l:: d= x-y a", ----2 ~ 2n·
in 201 + (fn -1)d . - = ----.-- -- , pa JC 2ma, -+ m{ n -l;'J ~ 2na + rI,{ m -- i)d, odakk J' c n +(n-l)d .' !
m(2a j -d)=n(2a l -d) , tj.zbog m:;t.n, d
ill =--. Daljc vrijedi: 2
d n a +(m-1)d -;;-+(m-·I)d '"'Ill _ 1 ' L. ~ - - ..... ----- = -----
G" aJ+(n-l)d d ~ + (n-l)d 2 ,
d + 2(m -I)d _ 1 -+ ?(m - I) 2m-1 d+2(n-l)d - 1+2(n-l) = 2n-1
5.140. Dokazimo. prvo, daje an+a3n = 2S2n · Zaista, vrijedi: 3 n+a3n = 3 n+a2n+1I = an+a2n+nd = 3j+(n-l)d+a2n+nd = al+(2n-l)d+a2n=
= a2n +a211 = 2a2n-Dalje se dobije:
=>
5.141.
=>
=>
ala + 2d) = s.in2a; Ii a ,a
--·=lg--a+2d 2
(a + 2d)' = 4cos' ~ t ,a ,
a=(a+2d)lg-2 j
a + 2d = ±2· 1 + c20s~-1
a =(a + 2d) tg 2 ":J I 2
a + 2d = i(l + cosa)}. sin 2
a, a=+----
-1 + COSet
=>
2S 2S- 1 2 +a +0. = __ 11 +------1!!.. a1 n .)11 n 3n ~
a +a = S2n J \ 211 n
- S" S,,, I a l +a1" --+ n 3"
a +-a ==!i£!L \ 2" n
=>
=>
=>
=>
=>
,a I a+2d = :±:2cos--2
,a a=(a+2d)lg---
2 ,
a + 2d = ±(I + casal} ,a
a=(a+2d)lg--2
a + 2d: ±(.l +o05a)1 a .. - ±(l- coso:) J
d = ±cOSCt 1 a~±(I-cosa)J'
Postoje dva niza koji zadovoljavaju postavljene uslove ito: I-cosu, I, l+cosa, 1+2cosa, .... ; -t+cosa, -1, -I-cosu, -1-2cosa, ...
5.142. Da bi dati brojevi bili clanovi aritmetickog niza, mora da vrijedi: log2 + log(l' +3) = 210g(2' -\), odnosno,
log(2·2' +6) = log(2' + 1)2 2·2' +6 = (2' +1)2
=> 2' = 5 =>
(2,)2_ 4-2' -5 = 0
log 5 x~-~.
log2 245
5.143. Neka su duzine stranica cetverougla a, b c i d napisane u rastucem nizu. Kako je ovaj niz aritmetlcki, to je a+d = b+c, ako su aid suprotne stranice, po teoremi 0 tangentnom cetverouglu, zakljucujemo da se U ovakav cetverougao maze upisati kruznica.
5.3. Geometrijski niz (geometrijska progresija)
5.144.a) 6,12,24, 48, 96, ... b) -2,-2,-2,-2, 2,-2" .. ;
c) 8, -4, 2, -1, 2' -4' ... 5.145.a) 5.146.a)
c) 5.147.a)
4, -4,4, -4, 4, .. . b) 16,4,1,... c) 32,4,2, ... 3, 6, 12,24, .. . b) 4,12,36,108, ... 10, 100, 1000, 10000, ... L -4, 16, -64,... b) 5, -10, 20, 0040, ...
J 2 8 32 cJ -2,8,-16,32, ...
5.148.3) J J J
1'3'9 "27 , ... b) 2'3'9'27'" 2 1
c) S,-S' 10 '~20'
5.149.3) a7 64
q=-~=-=2 G6 32
c) q= 10
5.150.a) a l2 1 4 I
q=-=--:-=-a" 5 5 4
2 b) q=-
5
3 a4 16 5.15!.a) q=3,a,=aq' => a=--=-
q' 27
5.152.a) Neposredno nalazimo a, = J, =~-7 7
5
c)
1 b) a=- c)
2
I q= 12
7 a=-
81
. 5 5 , a, = 7' = 49 . Kako je
q='-"-. to ie: q= 49 =2- b) Q, =-·I,q=~i at ~. j 7
c)
7
5.153. Nekaje a" =~128. Tada.ie-128=(~1) 2"-',odakleje 128=2"-',
tj, 27 = 2n"~1 , pa .Ie n=8. Daleje, broj --128 jc osmi clan geometrijskog niza.
1 5 ('j' 5 q=±;;,aJ=lO, GS=-g ,,11 a]=-10, G5=--'--)' _ 8 5.154.
5.155. Uputa: a, , -- =q :::::> q' ~ 64 ~> q=2 iii q =-2. a2
5.156. II-I => 25160 =~H ~H' => (~±r' a" =QI-q
2048
246
=> (~±f +H' => n=12.
5.157 a,,~a,·q"-' => ~6;61=~3Hr => G)' =Gf => n=10.
5.J58.a) a,=a,.q"'=3.26 =192. b) a,=a"q'= 10.(_3)6=7290.
5.159.a) alO= a,·q9= I·G)' ~ ;4' b) a9=a,.q8=-5{~H ~~ 6:61'
, => a,= 131072 ~ 2 . 5.160.a) a,=a"q => a,·4" =131072 4'
4 11 > b) a, = a"q ,a" = a"q = =>
4 II -1= a,·q ,1= a,'q q' =-1 =>
5.161. => :,:11 =>
5.162, SIJ 0,(1 ~q") I~q
s" II-I
G j -G1q :,~ 162~32 q
422 I-q
=> 422 - 422q = 162 ~ 32q => 390q = 260 => 2
q~3
l~q
=> 'Gr~~~~(H => n = 5.
.. . , 2 k n-k n 5.163. Posmatrajmo geometfljskl nlZ: a, aq, aq, ... , a9 ',:": aq ,"', aq .
Clanovi aqk i aqn-k su jednako udaljeni od kraJnJlh clanova (prvog i posljednjeg) j vrijedi aqk,aqn-k = a2qhl.k = a2qH = a·aqB.
,,(,,-I) 2 n ,,1-<2+)-', +(11-1) a" q-'-
5.164. a·aq·aq· .... aq = a .q ~.
5.165. U trazenom nizuje a,= a = 1 i a,= aq' =64. Otudaje: g' = 64 => g' ~ 2' => q = 2. Tra'i.eni nizje: 1,2,4,8'4 16,32,64.
5.166. Utrazenomnizujea,=a=3 i a,= aq4 =243 .OtudaJe 3q =243 => q' =81 => q' =3' => q=3. Trazeni nizje: 3,9, 27, 81,243 .
2 l' 4, 5)2_ 26(1+ +q2)'= 5.167. ('4+ a,+ a,) = (a,q'+ a,q Ta,q ~a,q q 7 8
= a,'q6(1+ q+ q')(1+ q+ q2) = (a,+ a,q+ a,q2)( a,q'+ a,q + a,q) =
= (a4 + as + a(,)2 = (a!+a2+a3)(a1+a8+a9) .
=> ~~r'l => k.Jf, ~q1 =>
~~q"P ,,-~ =qI 5.168.
k-~ =,,~.
5.169.
247
5170 a 'a = aqm-l.aqn-I=a2 m+n-2_ 2 k+s-2_ k-l 5,1 . . m n q - a q - aq ·aq = avas .
5171a) a ~1 q~2 n~15 S ~ -I 1215
- 1 , , ,~, ~, ~ , c 15 ~ a, ~ , -- ~ 32767 ,
q-I 2-1
b) al=l,q=_2,n=15,S'5~a,qlS-~=1 _215
_1 21s
+J q
_1 ---~-~-~10923, -2-1 3
5, 172.a)
5,173,3)
( 161" 1-, ~'"""' 27 i 2) 1--
5,174,a) S,,~1'·"-\--. =_L 1- ,1"(; 2-16
-19
4(2 - 16) 2 2
b) S,- 91(5 + flO) 125
5.175. S/1 a,(q"~J)
q - J
5,176,a) S ~a~ II 1 q --1
=>
635 =':1.(27
--I) 2~1
~ 3g -1 6)60~a -
I 3-1
1048575
1048576
19(2 + 16) 8
741 b) S,,~--,-, 8
=> (3' -1)0, = 2,6560
=> 2,6560 2,6560 ell =~_~=~ ____ =7
3" -I 6560 -- , b)
5,177. S "
a,(q" ~I)
q~1
5,178, il2 + a4 = 30 i
a2 • 04 = 144 J
=> aq(l+Q')=301
aq' = 12) 248
~> 3069 = 0, (210 ~ I~ 2 1 => 3069 = 1023a l => al=3 .
aq+ac/ =30} aq(l + q') = 301 ~> =>
at]· aqJ = 144) (aq2)' =144 J
aq(l+q') _l,tl! 6(1 + q':= 15q} => aq2 12 =>
aq' = 12 aq' = 12
=>
l' q= 2, q =""'i} =>
a(/ = 12
a (q'O -1) 3(2'0 ~ 1) .::.c2....----'-_ = __ .. _ = 3069, odnosno,
q-,1 ' 2~1
a(!~qlO)
l~q
( (qllli ( I 'I 48'l' 1 ~-. I 481 I )
, 2) ) = ----"- ~ 1024_ = 961 023 = :J.Q69
l-.I. .I. 1024 32 2 2
q" -I 5,179,a) S" =a'0
5,180,a) n=5
3" -1 => 3280=--
3-1 => 3280·2 = 3" -1
=> n = 8. b) n= 10 b) n ~ 7
5,181.a) s" =a\ ,
q" -11 q-l! => ,,_I I
a" = Q].q J
4" -I} 5461=(1·--\ 4-1 =>
4096=a\.4,,-1
16383=4al·~"-I-al~ 4096 = a
l .4" I j
=>
b)
16383 ~ 4,4096 - Q, 1 4096 = (I] ·4"": J
, q"-J S,,=a l ·--q-I
=>
=>
~> 390624 = 5, a, ' (-5)"" + "'}
78125=a, ,(-5),,-'
Q,=--I 1 =>
78125 = ~(-5)"-' J ),182,a) a,=I, n=11 5.183.a) an= aqll-!
q" -1 35 -1 243 -·1 SIt =a·~···· =--=--= 121.
q-l 3-1 2
5,184,a) n=6 S =63 , " 8
=>
=>
~>
65104=a ' (-5)" -I ! -5 ~·l
78125=a, ,(-5)'"
390624 = 5 ' 78125 + {I, 1 78125 = a, ,(-5)"-' J
a, =--l~ n =8 J
b) a, ~ 12, n = 10 => 81 = 3n
-1 => n "--": 5 .
b) n ~ 8, S" = 765
b) n = lOS = _ I 023 '" 16
5,185,a) a,,=aq"" ~> 512=q'0-' => 512='1" =>
S" ~ 1023
q"=2" ~> '1=2, b) q = 3, S" ~ -4368
- 186) = 0 S _ 255 ). .a q ..-.., "-'32 b) q =.1. s - -~~ 3' /I 3
249
an = aqJH 1 5.187.a) S ~aq""lf ~>
n q-l J
=> => J6~q"-'} 15q ~ 30
b) n=4, q=3. 1 5.188.a) n~5, q=-. 3
5.189.a) 1 255 an = 64' Sll =6"4
5.190.a) 32 6305 a ~-- S = .. --11 729' II 29'16
5.191.a) n-lleparan, an = 8
5.192.a) n = 6,
5.193.a) a = !,
5 194 ) a = 5 S = 3906 ..3 , " 625
5.195.a)
=>
G_ +a~ =:61 I ~ ?
a2 +a3 =30)
a,(J+q)~6 1 G,q(1 + q) ~ 30 I GI (I+q) 6 J
=>
=>
~>
=>
b) J q="4'
b) all = 100,
b) 81
a l1 =16 , b) n ~ 7,
b) n ~4,
b) a =20,
b) a = 16,
aJ + Glq:;;;: 6 !
~lq+alq2 =30( =>
a,O"'QJ=6} =>
q~5
Trazeni nizje 1, 5, 25,125, ... b) a=I, q = 6. Trazen; nizje I, 6, 36,216, ...
5.196.a) G2 +aJ =6~ 0; . a4 = 5 J
=> G1q+a1;2 =6} a i • aJq ::::: 5 )
250
=>
=> 5q2 -26q+5=O~ G]
2q3 =5 J
=>
=>
Dobiii smo dva ni7..a: 25, 5, 1, ... i ~., 1, 5, 25, .. .
b) a1 =81, q=~; a j =*' q=9. Nizovi su: 81, 9,1, ... i
n = 5.
s~~ , 1000'
S ~463 /l 144
an = 320 5
3 11 =4" s = 315
, 8'
S = 85 '- n 8'
a,(1+q)=61
a,q(l+'1)=30J
1 9,1,9,81, ...
1 1 5.197.0) a, =-10, q=-IO; a, ~-12, q='i2'
b)
Nizovi SUi -10, I, - 1~' 1~0 ' ... 1 1 -12,-1,--,--, .0.
12 144
a, + a, ~ 18 } a4 - a. ~ 300
=> G1 +a)q=18 1 a1q3 - G1q2 0::;: 300 J
=> a,(1+'1)=18 }
G,(q3_ q2)=300
a,(1+'1)=18 1 a,(1+Q)=18}
=> -Q-'1 +- qq 2 = 31°8° f => => J 3q3 -3q' -50q-50=O
=>
Trazeni nizje: 3,15,75,375, ...
=> a+aq+al =-141 => a·aq2 = 16J
a+4+4q=14( => G+4Q =10}
aq=4 J aq=4 =>
a+aq+(aq)'q=141
aq = ±4 I
=> a=IO-4Ql a=2,q~2}
( => 1 Dobili smo dva niza koj! q~2, q~~J Q=8, q~2 .
ispunjavaju postavljene uvjete ito: 2, 4, 8~ ... i 8, 4, 2, ...
1 '1' I 1 2 b) Rezultat: 2, I, 2' .. · II 2' , , ...
, 21} a+aq+ aq- =4 =>
a-aq=-3
=> an +'1+q2) = 2}] a(l-g) 3
a(l-q)=3 .
4(1 + q + q') ~ 7(I_q),i
a(l-q), .. 3 J =>
1 ) q=-,a=4
4 .. 3'
q =-J,a =4 => 4q' +l1Q -3=O} =>
a(l-q)=3
Postoje dva niza ~oji zadovoljavaju uyjete ito:
4, <, ... i %, -~, ~? 121 77 49
b) Rewltat: 25,5, 1,... I 3" -3 ':;
5.200.a) => a(1+q+q2)~39}
a' (1 + q2) = 90
251
=>
90(l+q+q')' __ 392) 1 + q'
2 90 a =--~ 1 + q'
=> 10(I+q+q')' =169(I+ Q2 )}'
, 90 a = 1 + q2
109' + 20q' -139q' + 20q -159 ~ O}-=> ,90 =>
q =3 }' 2 90 =>
a- = J + q2 a =--1 +q'
Traieni nizje: 3,9,27, .. . b) Traieni nizje: 9,3, 1, .. .
5.201. al+a!q+alq2+alq3+ ... +atqJl·! = (aj+alq2+ ... )+( alQ+alq3+ ... ) = Snep + Spar. Dalje je: Spar = Rlq + a1q3 + '" = q(aj+alq2+ ... ) = q,Sllep'
5.202. a,+a,q+a,q'-la,q'+a,q4+a ,q'=1820 ¢? a,(I+q+q'+'1"+'14+'15) = 1820 ¢? a,(1+3+9+27+81+243)=1820 ¢? a,=5.
Trazeni nizje: 5,15,45,135,405,." 5.203. Neka je £II, 32, a3, ... , an, ... geometrijski niz (progresija), Nekaje ak
ma koji clan ovog niza razlicit od prvog ciana (k> 1). Tada vrijedi: ak·j"ak-'1= (llqk.2·ajqk = aj2q2b2 = (ajqk"i:': = (aky2,
sto znaci da je ::ik geomctrijska sredina clanova ak_! I ak+\'
5.204. Nckaje ai, a2, a:;, .. " all, .. geometrijska progresija. Nekaje all ma koji clan Dve progrcsije razlicit od prvog clana (n> 1) i neka je n prirodan broj. Clanovi progresije koji su od clana all udaljeni za k st! 3,,_k i all"He. Zato vrijedi:
n-k-l ni-k·! 2 in"; ( no!)' _ )' an·k,aJl+k= a!q ·alq = al q' - = a!q = lan _. ,
sto znaci da je all geometrijska sredina clanova ~-k i an-+k.
Traicni nizje 7, -14, 28, -56.
a,(1+lj')=-49}
a,'1(I+'1)=14 ¢?
a1(I+q3) = -491
a,L](l+q) 14 f a 1'1(I+'1)=14 J
2q 2 + 5'1 + 2 = o} a,q(l+q)=14 _
=> q = -2, a!=7.
5.206. Kako su a, b, c, d cranovi geometrijskog niza, to vrijedi: b= aq, c = aq2 i d = aq3, pa mozemo pisati slijede6e:
( 2 b2 - 7) (b'-' j d' (~ ., ---, ? 4, 2 2 ., 4 - 2 6 a + -cc- -+c-+)= a'+a-'f+a'q) (a q +a"'1 +a q)=
= a4q'( 1 +'1'+~4) (l+q2+q") = a'q'( 1 +'1'+'1')' = (a''1+a2,/+a2q5)'
= (ab+bc+cd) . 5.207. Kako su a, b, c, d clanovi geometrijskog niza, to vrijedi: b2 = ac,
c2 = bd i be = ad, pa mozemo pisati slijedece: (a_c)' + (b_C)2 + (b_d)2 = a'-2ac+c'+b2-2bc+c'+b'-2bd+d2 =
= a'-2b2+c'+b'-2ad+c'+b2_2c'+d' = a2-2ad+d' = (a-d)'.
252
5.208. Kako su a, b, c clanovi geometrijskog niza~ to vrijedi: b = aq i c=aq2, pa mol-emu pisati slijedece: (a+b+c) (a-b+c) = (a+a'1+aq') (a-aq+a'1')= a2(I+q+q2)(l_q+q')=
= a2 (1+q2+q4) = (a2+ a 2q2+ a2q4) = a2+b2+c2 .
5.209. b = aq"-' => '1"-'! => q =,,-~.
ail-V;; _ bll-!jb n:j7;_I1Vb
J- 2n~
,- "X ,Y => a - Ix}' q = -; a -111 -";J" " y n -- 21!Jxm-~'
5.211. (a,+a,'1 ~ S" a,+a,q+a,q') ~ S,,) ~> a,(l+q) = 4, a,q2= 9
=> (I, +3q = 10 f
3q'-IOq+3=OJ
=> al= I, '1=3. Ss= !+3+9+27+81=121.
~>
=>
Postoje dva niza koji ispunjavajll date lIvjete i to: 1,3,9,27, ... ; 9, 3, 1, ... 5.213. Neka su trazeni brojevi: a, aq i aq2. Tada vrijedi:
=>
Q + aq + aq2 :: 211 (} + aq + aq2 == 211 1 1. 1 _ 7 ~ => ac/ + aq + a 7 r =>
+----1---1 -~I --, ~,-"""-I a aq aq- 12J a~q~ 12J
a+aq+aq2 =211 _. c ( -->
aq =0 J u,,-6+6q~211 => a+6q~15f
aq=o J aq=6 J
Postoje dva niza koji ispunjavaju date uv.lcte ito: 3,6, 12,24, ... ; 12,6,3, ...
3--x 7+x
a+aq+aq' =211
~~~, ~ :2 J
I 5.214. => (3-x)' ~(x+2)(7+x) x+2 3--x
=> 15x;;:~-5 => X=---- . 3
253
T " . .. 5 [0 20
razemmzJe: - ,-,-. 3 3 3
5.215. Da bi navedeni izrazi bili clanovi geomertijskog niza, mora biti: (2x+3), = (3-2x)(3+x) => 4x2 + 12x + 9 = 9 + 3x - 6x - 2X2
=> 6x2+ 15x=Q => x=O, x=-~. 2
1 TraZeni nizje: 3,3,3, odnosno, 8, -2, 2"'
a3+a3q3+a3q6=584} => a3+64+64q3=584l 5.216. J
a·aq· aq 2 =64 a 3q' =64
5.217.
=> a3
+64q 3 =520} => a3
+64q 3 =5201
a 3 q 3 0 _64 (520--64q 3)q3 =64 r => =>
Trazeni brojevi su: 2, 4, 8, odnosno, 8, 4, 2.
aq+26=31 }
a+ (aq)q = 26
a+aq+a(/ =311 =>
a+aq2 =26j
(26 - 5q)q = 51 => f a+ 5q =26 J
=> 5q' - 26q + 5 = o} a+5q=26
Trazeni brojevi su: 1, 5, 25, odnosno, 25, 5, 1.
q=~, a=8}
q = 2, a = 2
=> aq =51
a+ 5q = 26 J q = 5, a = 1 '}
=> 1 . q=S,a=25
a2, +a6 =341 5.2IS.a) a, +a, = 68.
f Sri =63
G,q(l +q4 l =34! => a,q2(l+q4)=68
S" =63
a,q(l+q')=34
=> q=2 =>
254
q!1 -1 a,----=63 q -1
b) 01 + 02 + 03 = 26 }
ai 2 + a
22 + o} 2 = 364
a l =1 1 a, =] I => q=2 ' => q=2
2" =64! n=6
=>
a2(1_ q2")
I-q 5.220. a' (1- q''') .
l-q '3 ' a1 + a2 + a3 + 04 :::: 30 I
5.221. 2 2. 2 2 f 01 +02 Ta) +a4 =340j
=> a,(1+q+q-+q )=30 l
a,2(l+q2 +q' +q6)=340J
a,(l+q+q2+ q3)=30)
=> Q.:+-q+q2 +q2)2 900 =>
1 + q2 + q4 + q' 340
a,(1+q+q' +q3)=301
14q' _17q 5 _3q4 _ 34q3 .. 3q' -17q + 14~O J a,(l + q + q2 + q3) = 30 }
3 2 3 17 14 14q -17q -3q-34-----, +,=0
q q- q- j
~>
a,(l+q+q2+q')=30 1 14Clq3 + J.. lJ-17[q2 + J._] -3(q +.1.1_ 34 = 0 f
q3 q2 q) J =>
G,(I+q+q'+q3)=30
=> 14l(q+H -{q+~JJ-17l(q+~)2 -2J-{q+~)-34=O '3 11 2' 11 a,(\+q+q-+q)=30, q+-=I f a,(l+q+q +q-)=30, q+-·=I
=> 14(13 ... 31)-17(1 2 -2)-31-~4=OJ => 1413 -42t-17t2 +34-31-3:=OJ
2' 1 a,(l+q+q +q )=.30,q+-=t
=> q => a,(l+q+q2 +q')=30, q+~-=I} q
=>
5.222.
14t3 -171 2 -451=0 5 9
t=O,t=~,t=--2 7
a] =2, a l =16\ 1 f - Trazeni nizje: 2, 4, 6, S, odnosno, 16, S, 4, 2.
q=2, q=2 J
a+aq+aq2 ~62 f log a+ log aq + iogaq- ::::0 3 J
2 6" 1 a+aq+aq = ,t. ~ =>
logaq=IJ
a+ 10q = 52} aq ~ 10
~>
~>
=>
~>
a(1+q+q')=62 f 310ga + logq = 3)
a+IO+ 109 = 621 aq = 10 J
a+ 10q =521
(52-10q)q =10 J
255
5.223.
=> a=52-lOq l Sq2 -26q+S=OJ
a=2, q=5} I .
a = 50, q =-5
Postoje dva niza koji zadovoljavaju date uvjete ito: 2,10,50,100, ... ; 50,10,2, ...
Prema datim uvjetima vrijedi:
I log" x _ log" x log" x
=> og"x+------+ j
log" ax log" ax2
log" ax
1 => 1+ +----.
l+log"x 1+21og"x 1+3Iog"x
Ako uvedemo smjenu log" x = t , nakon srcdivanja, dobije se:
5.224.
5.225.
256
t(3t 2 +6t+2)=O => -3±13 t! = 0, (2.3 = --3"- .
Kako t = 0 ne zadovoljava prirodu zadatka, to postoje dva rjcsenja ito:
-3·13 -3-13 3
log" x = ---, iog,,-~ x: = c 3 -3-'/3
3+13 =13+1, log ,x=5-J3, Ox
1 + . 3
9 + 5J3 A I d b" d .,. log ,x = ---, - na ogno se 0 IJC ruga qesenJe. ~ 3 '.
Za 5 sati desi se 10 razmnoZavanja, pa ukupno nastane 2!0 = 1024 bakterija. Za jedan dan (24 sata) desi se 48 razmnozavanja, odnosno nastane 2.18 = 1048576·1048576·256 =16777216 . 16777216", 2814749767· loj bakterija.
= a(l-q")[a(l-q3,,) SiS,,,, S2,,)
l-q I-q a(1 ... q2"J]=
l-q
'(1 ") [I 3" 1+ ,,,] 2(1 ") '''+ ,,, a -q . -q - . q = a -q .=':L._q_= I· .... q l-q 1-q I-q
? __ q311+q2f!+q411_ q 3J1 a-· - .
(1-'1)'
n '" 211 , .4/J) '(-I II 211, 311)+(1 2 11 !- 211) a2 .:c..::~:"1.. ........ :,:.q -- -'I -.q Tq - q .. q
(1_'1)'
0 2 (1_4''')' _2(l_q2")(I_q")+(I_q,,)2
O-q)'
,',
.!
5.226. Kako je Sn = ajqn-l , to vdjedi:
S S n-I 11-3 11- 11-2 Qlq -arq
Dakle, ovaj izraz je funkcija od q. 5.227.a) Pomnozimo sumuSn sa q i formirajrno razliku na slijedeci nacin:
S" = 1 + 3q + 5q2 + ... + (2n + l)q"
S,,'q ='1+3'1' +5q' + ... +(2n-l)q" +(211+1)'1'0+1
=> SfJ-Sn . q "" 1 +2q +2q2 + ... +2q" -(2n+ l)q,,+l
=> S,,(1-q)=1+2(q+q' + ... +q")-(2n+l)q"".
Akoje q '7' 1, tadaje
b)
1 " 1+ 2'1 -='l.... - (211 + l)q"+1
S = __ ....... !_-2,q ___ _ n l-q
~::q +2q(l-q")-(l-q)(211+ l)q,,+1
(1- (1)'
1- q + 2q - 2q'''' - (211 + 1)'1,0+1 + (211 + l)q'H2
(I-q)'
i + q - (211 + 3)q" .... 1 + (211 + l)q'o+'
(I ... q)'
Ako je q~l, tadaje S" = 1 + 3 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2 , kao zbir prvih 11+1
Clanova aritmetickog niza, ciji je prvi clan jednak 1 razlika 2.
I 11 X"+1 ,,",] (11 + I)(n + 2) S" =-- (n+l)x ,x'7'l;S,,' ,x=l.
I-x I-x 2
8 ) S _ 2S = 3 + 211 - 3 5.22.a n n 211
b) S -..1. s =1+( .. ..1.+ n 2 n 22
211 -n-3 => Sn;::::: 2+ 2fi
5.229.a) Imamo daje 2 = 3·1,5 = 6·1, 11= 12·1, ... , 3·2"'" -1 = 3·2"'" -1. Sabiranjem svih ovihjednakosti dobijamo
2+5+11+ ... +(3·2,,-1 -1) =3(1 +2 + 2' + ... + 2,,-1) -11 =
2!i -1 =3·---n=3(2" -I)-n.
2-1 b) ..1.[n(n+l)+8(2" -1)].
4
257
5.230. Kolicnik trazenog geometrijskog redaje
q ~ 44°;6 ~ '!j2048 ~ ';{i' ~ 2, paje trazeni niz: 2,4,8,16,32,64,128,516,1024,2048,4096.
5.231. Rezultat: 1,3,9,27.
5.232. Rezultat: 64, 16,4, 1, ~., I~ .
5.233. Nekaje broj interpoliranih Clanoya r. Tada yrijedi:
.. , I} 3 .. , 3t 189~3·~ 189~·q .q-q-! ~> q-I
96 = 3qr+' 96 = 3qr+l )
~>
~> 189q-189~96q-3} ~> 3Iq~62} => 32 = qr+1 32 = qr+1
Trazeni nizje: 3,6,12.24,48,96.
5.234. Ako je kolicnik trazene progresije q', tada vrijedi q'= vq- = Vi. , pa je
trazen i n iz:
1, '5.,;(4,2,2'5.,2;(4,4,4'5.,4'14, g, 8'5.,8;(4,16.
5.235. Ako je kolicnik trazene progresije q', tada yrijedi q'= vq = V5, paje
trazeni niz:
1. V5, V25, Vi25, 5, 5 V5, 5 V25, 5 Vi25 ,25,25 V5 ,25 V25, 25 ;[1'25 . 125.
. ( I,' ( I \' (. I)' ( 1 " 5.236. !x+~") + X2+2) + X~+-3- +"'+1 x"+---;:; I = \ ~ ,x x \ xj
258
'2 1 '2 1 '21 2n 1 = x~+ +-"T+X + + +x + +6+"'+X +2'+~= x x X
246 2" (I I I 1) = 2n+(x +x +x ... +x )+l--i+-4 +-+ ... +- =
x X x 6 X2n
') l~· = 2n + x- ,_~.c'--- +
1
1-( ~y . X)
1 I--
x'
? 1 1 2 3 J? 1 - an 2 1 - b n
= a"' +a" + ... +0"+ -b +h" + ... +b ll+) =a- ·--+h ._-I-a I·b
S" =-- a ---·-+b-·-- . I r 2 I-a" , I-b") a-b I-a J-b
5.238.
5.239.
(1)" _ 1 I. lin _ 1- 2' -"-~ - l+~+-..,..--+ ... +---·-------
2' 2' 2' 2~ r 1 r 1-·
2
.1- ;" n _ ( I) n _ 2 n _ ~I~_-,,- T-y,-·2 l-y, -y;--2-y,--y;--2- 2,,-1 2/1'
2
Dr" d' (1 n I 4 I n a.le vf1Je I; S" -= 2 2- 2"-1 -y;-) = - 2"-2 -? 1+11+111+1111+11111+ ... + 111 ... 1~
~ "jed",,,,,,
~ I + (10+ 1) + (100+ 11) + (1000+ 1 I I) + ... + (100 ... 0 + IlL 1 ) ~ '...........y---' ._...,.........-J ,,-I "uk, "_ij"dilllC<!
~(I + 10+ 100+ 1000+~)+(1 + 11 + 1111 + .. + UU)= ,,-I ""I" "-lied",,,,,,
10" -I 10"-' -I 10"" --I 10-1 ~ --+---+ + ... +-- =
10··1 10-1 10-1 10-1
~ .I. (1 0" + 10"" + W,·, + ... + 10)_.I.11 + 1 +1 1' ... + 11= 9 9l~1 II S(l/lIfa/w )
1 10"-1 n 1O"-l n = --JO·-~--~I0------.
9 9 9 81 9
5.4. Aritmcticki i geometrijski niz-kombinoyani zadaci
5.240. Neka su traz,cni brojevi: 3, aq, aq2. Tada vrijedi:
a + aq2 :::.~ 2(aq + S) f a- 2aq +aq2 = 16l a(aq2+64)~(aq+8)2) => 4a·aq~4 j
, I a(I-2q+q")= 16 l
a(4-q)=4 J
=> a(l '~'.2:.CJ..:" '1'l = I.() 1
a(4-q) 4 r ~>
a(4-q)=4 J q ~ 3, (q ~ -5)1
~> (4 '\ ~ a = 4, l a = ()) J
1-2'1+q2 =4(4' Q)} =>
a(4-q)=4
'12 +2q-15=01
a(4-'1)=4 J
Trazeni niz brojevaje: 4,12,36.
259
5.241. Neka su trazeni brojcvi a, aq i aq2. Tada vrijedi:
a+aq+aq2 =21} a+ aq2 -3"'" 2aq
~> a(l+q+q2) ~21} ~> a(l-2q+q2)=3
{~2qq: '1;2 = 7) a(l--2q+q2)=3
=> => 2'1' -5'1+2=01
a (1-2'1+'1')=3 J
I
J'
q =2, q=2
a=3, a=12
Traicni brojevi su: 3,6, 12 , 5.242. Ncka su trazeni brojevi a, a+d
a+a+d+a+2d=181
(a+d)' =(a+l)(a+2d+2»)
odnosno, 12, 3, 6. i a+2d, Tada vrijedi:
=> a+d=6 ~ a 2 + lad + d l = a 2 + lad -+- Ja + 2d + 2 J
=>
Ttazeni blOJcvi suo 2,6,10 0 olinosno, it. 6, L
a=2,0=111. d=4, d=-SJ
5.243. 2b2-ab J 0' => c2=2b2-ab=b(2b-a). Kako je c geomctrijska sredina od b i 2c-a. to je niz b, c, 2b-a geometrijski.
).2<.14. Prcma datim mjetima 1ra11 se niz: a, aq, aq2, aq(2q-l). DaIjeje: 2 1
1 } a(I+2q -'1) =~Il a+aq(2'1~l)=21f __ > a(l+2q2-q)=21 , => aq(l +'1) 18 r
aq+a'1- =18 a'1(l+'1)=18 , aq(I+'1)=18 ,
=> 6(1+2Q'-Q)=7Q (I+ Q)}
aq(l + q) = 18
=> '1=2, ~8=%) a= '1(1+'1)
=>
~ " . b .. 3 6 I? 18 1 75 45 27 9 J razcm rOleVl su: , ,~, , oc nUSHO. -, _, _. _. , '444'4
5'1 '-13Q +6=O}
aq(l+'1)=IS
q=2, a=3 1 3 75 ! .
'1=5' a=4'J
;.245. Rezultat: 32, 16, 8,0; 2,6, 18,30. ;.246. Neka su dati brojevi a, a+d, a+2d. Tada vrijcdi:
=> => => =>
,60
a+a+d+a+2d = 300 ~> a+d ~ 100. Gcomctrijski niz je: a+ I 0, a+d, a+2d+310, pa vrijedi:
a+d a+2d+310 => (a+d)' ~ (a+10)(a+2d+310)
a+l0 a+d a'2ad+d' ~ a'+2ad+ 31 Oaf 10a+20d+31 00 d2 =320a+20d+3100 ~> d'=320(lOO-d)+20d+3100 d2~32000-320d+20d+3100 => d'+300d-35100=O d= 90, a =10. Trazeni, pozitivni brojevi su: 10, 100, 190.
5.247. Neka su dati brojevi a, a+d, a+2d. Tada vrUedi: a+a+d+a+2d ~ 21 => a+d = 7.
Geometrijskj nizje: a+1, a+d+], a+2d+19, pa vrijedi:
a+d+l a+2d+19 => (a+d+I)'~(a+l)(a+2d+19) a+1 a+d+l ~> a2-32a+31=0 => a= 1 ,d=6 (ilia=31,d~-24).
Trazeni brojevi su, 1,7,13, odnosno, 31, 7, -17. 5.248. Neka su dati brojevi a, aq, aq2 Tada vrijedi:
a+aq+aq' ~ 26 => a( l+q+ q') = 26 Aritmeticki nizje: a+ 1, aq+6, aq2+3, pa mozemo pisati:
(a+1)+ (aq2+3) = 2(aq+6) ~> a - 2aq + aq2 = 8 => a(1-2q+ q') = 8.
lz (*) j (**), dijeljenjem, dobije se:
a(l+q+q') 26
a(I--iq:, q2) = 8 =>
=> 3q'-10q+3~O
l+q+q'
1-2'1+q2
1 q =3, '1 ~ -.
3 Kako je a(l +q+ q') ~ 26, to se dobije a = 2 i a = 18. Trazeni brojevi su: 2, 6, 1 S, odnosno, 18, 6, 2.
5.249. Neka su trazeni brojevi a, b, c. Tada vrijedl: a, b, c cine geometrijski niz; a, b, c-4 '- cine aritrncticki niz; a, b-l, c-S - cine geometrijski niz.
13
4
(*)
(**)
Koristcci osobine geometrijskog i aritrnetickog niza, dobije se:
~:::C+C_4 ) (b- 1)2 =a(c -5)
b' ~ ac } 2b=a+c-4
b1 ~ lb + 1 = ac - Sa
=>
9b' -,34b+21 ~O
8b+ 21 c~--
5 2b-J
a~--
5
=>
~>
b' = ac 1 8b+ 21 c=---,,/
S ,
a = 2bs-1 j
b=3 b=2 'r " 9
49 c:::::9, c=~ , 9 , 1 I
(I::::.:j a=-, 9
Postoje dva niza brojeva koji zadovoljavaju postavljene usiove ito: 1 7 59
1,3,9; 9'9'9
a l + a1q + Gill =:: J 14} 5.250. Uputa: a, +3d ~ a,q
at + 24d ::::.: a1q2
a l + Qlq + G j q2 = 114 1 G, +3d=a j q I
QICJ+21d= ajq 2 j
261
aJ + a1q + Gj q2 = 114
=> q' -8q + 7 = 0
d G,q('1-I) 21
=> a, =2, q=7, d=4} a, =38, q=l,d=O '
Rezultat: 2, 14,98 iii 38,38,38, 4 16 64
5251, 4,8,16; 25' - 25' 25' 5.252, 3,6,12; 27,18,12,
5253, Razlika aritmetickog niza je d= 1 0, kolicnik geometrijskog niza je
q = ±J3, a, = q' = 9.
5.254. Prema datim uslovima vrijedi:
a=a, +4d} b-C="20d} b=a, +l~d => c-a=32d
c=a l +30d) a-b=-12d
=> ac = b'} b 12' -=q a
G'.+ 4d '" a,q' ) DaUe vrijedi: a j + 16d = a1ql6
a1 + 36d = G1qJ6
=> 12d = a,q' (ql2 -I) 1 20d = G,q" ('1 20 -1)1
=> 12d = a,q'i'I12
-,I) => 3 ql2_1 => 3'1"-8'1"+5=0 20d a,q" (q211 -I) '5 = q12 (q2O -I)
=> (q·-l)(q+ 1) [3qi2(q4 +c/ +q2 +q+ l)(q' -q' +q' -'1+ 1)-5(q' +q+ I)(q' -q+ I)(q' + I)}O
Sada mozemo pisati: => q=±L
b 32d b32d b 8d
a8d (ac)12d~:O:: ~gdbi4-:r - a'i;d --
= (,17 I'd ='196d = (±I)96d =1, \Q)
5.255. a, b, C - aritmeticki niz => a-b = b-c, (a+c = 2b). 2 x, y, Z - geometrijski niz => y = XZ.
xh-c . yc-a . za-h :,~ xa-h . za-b . ye-a :::::: (xz )C!'-IJ . y,'-a (y2 )U"'/> . yC-O =
= y2a--2b'h'-(1 = yu+c-2b = y2h--2b ::::: yO = I.
5.256. Kako su 3, b i c clanovi geometrijskog niza, to .Ie b2=ac , pa daije vrljedi:
1 1 1 1 I ", 21 I 2 ~--+-- "'" ogN a + ogxc = ogNac "'" IOgNO- "'" ogN) =-- , log" N iog c N 'iogh N
, " d ' , 1 sto znaCl a su lzrazl --~, --~, log" N 10gb N
262
clanovi aritmetickog niza. log, N
5.5. Granicna vrijednost niza
5257.a) la 1- 1 <00001 ~> 2">10000>8192=2" => n> 13, ! " - 2" "
Pocev od 14, clana svi clanovi datog niza su manji od O,OOOL
b) la,,1 =111- n+1 I = I_I -I = _1_ < 0,0001 => n+2 > 10000 => n> 9998, n+2 ,n+2 n+2
Pocev od 9999, clana svi clanovi datog niza su manji od 0,0001, c) Pocev od 10001, clana svi clanov; datog niza su manji od a,DOO1.
5.258, la" -II=II-.!.-II~I-.!.I=.!.<E => .!.<2. => n>IO, n n n n 10
Vidimo da se u intervalu (l-r., 1+r.), odnosno u r.-okolini broja (tacke) 1 nalaze sVl clanovi niza osim prvih 10 clanova.
, I I 111 I 5.259,a) la,,-21=12+--2 = - ~-<E n I nl n
=> 1 1 -<-n 100
U E-okolini broja 2 nalaze se svi clanovi niza pocev od aWl.
b) la" -01= ~-- = - =_'_<8 I ( I)" I I I I ' n+l n+l 11+1
1 1 => --<
n+1 100
U E-okolini broja 0 nalaze sc svi clanovi niza pacey od awo.
5.260,a) la,,_II~lln+l_tl.I.I=.I.<E => _~<_1_ , 11 I In n n 100
U E:-okolini broja 2 nalaze se svi clanovi ni7.lt pocev ad alOl.
b) la _31=13n+I_31~1-141~~<E => ~<_I-" . r n+5 - 11+5 11+5 11+5 100
U E.-okolini broja 3 nalaze se svi clanovi ni7.lt pacev od a)~9(,.
5.261.a) la" -51 ~ I~I ~ ~ < E => ~ < 10~0 Izvan s-okoline broja 5 nalazi se 2000 clanova niza.
b) la -OI~I-I_I=-_I_<E ~> __ I~<_I_ " I 211+ I 2n+ 1 211+1 1000
Izvan E-okoline braia 0 na!azi se 500 clanova niza. I 1
~> 11 >]00,
=> n>99.
=> n> 100,
=> n> 1395,
=> n >2000,
=> n> 500,
1
2n - 1 I I ' A', 12n-l,.2nl I ~ 5.262,a) ,-n--- 2no ~ --,-, - <]0 ~<- =>n>10.
n 10
b) 12n"1_21<_I~ ~ 2n-I- 2nl<...1.,. '" I n 100 n 100
1
2n -1 I I ~ I 1 c) -,-,--2 <jooo -;;<1000
i I - < - => n> 100. n 100
=> n >1000.
263
14n I 14n-4n-41 4 . 4 .263. la,,·"41~ ---41~ ~~-.. ~--<E ,akoJe n>N(")~--!, n+l, n+1 n+l E
gdje je £>0 rna koji pozitivan braj, navedena nejednakostje tacna, paje 4
granicna vrijednost niza i vrijedi " ,,4n 4 Bm a, :;;;; 1m -- ~ . II--++OCO I JI-+-W. n + 1
.264.a) 1.n.~-3_Hn+~-nH~H;<E ,akoje n>N(E)~;' gdjeje £>0 ma koji pozitivan broj, navedena nejednakostje tacna, paje I
n+3 granicna vrijednost niza i vrijedi lim ._-:= 1.
13n-2 31 13n-2-3n'l 1-31 3 . 3
b) ~~41=~-1=4~=4;;-<E ,akoJcn>N(E)=4s'
gdjeje 3>0 111a koji pozitivan broj, navedena nejednakostje tacna, pa su
~ granicna vrijednost niza i vrijedi 4 '
c) In. ~n_II~ln'+I:-n'I~I,.";_I~'_<c 11 I n In n
"
311-2 3 1111--=-<
411 4
k . 1
,a oJe n>N(c)~-, E
gdje je E>O ma koji pozitivan broj, navedena nejcdnakost je tacna, paje 1
. n 2 +n granicna vrijednost niza i vrijedi IUn --n
2 = L
rI-,+~
.265.a) Treba, za svako E > Oodrediti no taka da se svi cianovi niza sa indeksom
.266.a)
vecim on no nalaze u 8. - okolini tacke 2, tj. da su na rastojanju manjem
odE. ad tackc 2: Ian - 21 < 8. . Ta nejednakost, za nas niz, gIasi
1
2n + 3 I 7 --- -2 < E , odnosno -- <E
n+S n+5
r 7 l Zato uzimamo no = I - -- 5.J'
LE .
7 i ispunjena jeako je 11 > - - 5 .
E
l-n
7+2 ol=I/:~I= 1':+2 <E
n- + 2 I n- + 21 n- + 2 => £ n' - n + 2(£ -I) > O. Ako je
1+ /1·;·8£(1-£) n > N(E) = \i , gdjc ic £>0 ma kako mal en pozitivan braj,
2£ . navedena nejednakostje tacna, pa .Ie 0 granicna vrijednost niza i vrijedi.
I' n+2 0 ll11 --= .
11-)+«:' 111 + 2
b) 1711
' :~+44 7Hn:~I= 11+44 <E => En2~n-44>O => aka
264
., '}
5.267.a)
5.268.a)
~--
je n > N(E) = 1 +..j 1 + 176£ ,gdje je £>0 rna kaka malen pozitivan braj, 2"
navedena nejednakostje tacna, paje 7 granicna vrijednost niza i vdjedi
lim 7n2 +n+4~=7.
//·-Hoo n 1
1 <s => 9c:n2+3c:-l>O => akoje 3(3n' + J)
'ff-3£ .. b' d n> N(E) = -- ---', gdjc je 6>0 rna kako malen pozltIvan raJ, nave ena 3 E
nejednakost je tacna, pa je % granicna vrijednost niza i vdjedi
5n 2 + 2 5 lim ---;:':;:-.
, (-1)" 11m --~O
11 ...... +<;0 n + 1
!!-H(]cO 311 2 +1 3
( 1 \" b) 'im,--i~O
r!---'>+"'\ 2)
b) lim --~-=3 1i--++'" I
cosn
c) . 1 +(-1)"
hm ----='0
c) ( 10\
lim 5+~ J= 5. H_Hw n I
5.269.a) 2 b) 5
c) o
5.270,a) , za IT
n>N(E)=,/-. V ~
I ' 'I I I I
5.271.a) a I~~~'I=--<B => ~>
, Il' J log --:--.J I c )
n>--~"~"- , !og2 " 12//+3 2"+3
5.272. Ocito je an =!! +~ = 1 + ~ > 1 za svako n EN. S druge strane vrijedi n n
n+l I k' "d 'd b' all :0::: -- = 1 + -- ~ 2, za rna "oJu vnJc BOst pnfo nag raja n. n 11
Znaci nizje ograniccn. n+2
11(/1 + ?) /12 + 2n . d an+l n + 1 -PosmatnlJmo 0 nos: -- - --- = .. -~:;::.
an .- n+1 (n+1)2 n 2 +211+1
n
Kako je an+J < 1 ,to je Q n+1 < an' pa .Ie niz opadajuci.
a"
-c;-,--<I, +2n+1
Kakoje 1
,I n + I I III 1 ," N() . l' 1 all -1\ = '1-- -I, = - = - < S ,Clmje n> r;, to Je lmall :::;: , n Inn n ...... <IJ
265
lim-n-=lim n = lim 1 ::::2..1irn-I-=2.._~=~ 'Ho'2n+3 H< { 3) ,,-~ ( 3) 2 ""W, 3 2 1+0 2 2 1+- 21+,-- 1+-,
2n 2n 2n
5.274,a)
-~-;:-4 Iim(l3~-2-4) . 3--211--4n 2 n 2 11 IH_ n,o n 0-0-4 4
b) 11m - lim "':--'0-,,~-, 5-211+3,,' ,,~'" 5 2 l' (5 2 ") 0-0+3 3 ~,-.. ---+3 1m ------,+.)
n 2 n ,,-+0: n 2 n
33 l' (- 33) ,33 5+, un )+-- 5+ l11n·-5.275.a) lim ~:!_.~]2 = lim __ 11_ ""- X--~U:;( ")' X--4<h 11_::::. 5+0 =: 5.
H~ ,,-11'~ _ 11 , 11 I I' 11 1,- 0 1------- InTI l----- - uu-
n x---wo n x---+co n
5,276,a)
_ 3 I 2, )+ +-::;-
lim Sn .3n+1 = lim-.. - .. ~=1. n--}Ob --1- 2n - 4 /I--'W) '" 2 4 3
5+---'-' n n 2
b)
5.277.a) Uputa: Podijelimo brojnik i nazivnik sa n4:
266
3 3~-,
2
1 . 1 ~--
b) U t I'd" I' b"k . "k 2 5/1' -I n' pu a: 0 IJC imo roJnI 1 naZlVnI sa n : lim--=lim~--=+w. n-taJ n 2 + 9 !1--'y:X) 9
1+~
5.278.a) 3
b) -I
(""") (2),"2 .;;,,-;-2 ::-:: __ + 1
. 2"+2 +5"+2 . - 5,,-'2 ' '5 +1 5.279.a) Inn --,-, - -~ lim -'-2---- ~ 25 lim ~ 25.
,H,H 2 +5" ,HW ,,12" I ,HW (2Y' 51--+1) -1+1
\5" / 5)
b)
(3"") ( )"" 4"11 ----,,-+1 ~ +'1 ",,+1 +4,,-1-1 4,,+1
lim :...---- ,= lim \ = 4 lim 4 = 4. ,,~"" 3" +4" "~,,, ./3") ,HW (3)"
41-+1 - +1 \ 4" 4
,(5 3 F3) ,-;;-:- 11 _-;; --~n '" + J - n3 ,=-
J. 5n-3];;+"\In4-3/1 I' ";11 __ --"-' 1m 2 = 11n
!!---""y- 11 + 5n + 1 "--;+-0;
5.280.a)
-if.).
5.281.3) J b) 2
5.282.a)
5.283.a) 2
5.285.3) 0
b) 50
2 5.284.a) 3
b) -. 3
b)
3"[d'2.)" -7+1,J . 3· 2f1i
-J
_ 7 . 3" + 1 _ . \. 3 3" b) lIm J --J - hm [ 1
11--4-+"'-< 2"'1' __ 5·3"1 +6 II--H«' (2
1" 6 ".
.,n 2' 15 .) l3/ ~ +3;;-J
3
2
7
15
267
5.286.a)
b)
5.287.a)
b)
5.288.a)
5.289.a)
5.290.a)
268
n! . 1 I' I 0 lim ;;;;: hm---::::; lru-= ; n---,>-m (n + l)!--nt 11-',",,0 (n + 1) -1 n_CIJ n
(n~I)!(~+I) . 3n+(n--I)!. (n~l)!
hm ------ ~ 11m ------'''-'---~-~ /HW (n -l)!+ n! 11-'-7'" (n -1)1 (J + n)
3n 3 I ----- + 1 --- + -lim In ~ 1)_1_ = lim J~ ~ 1)1_~-,,_
I. (3 (\ '01 ---+-1
,HW (n~I)1 n)
/'I---}"" I + n J1-+oJ 1 I -+ 11
(I \ 1iml-+ll n-+CIJ n )
Up uta: Podijcliti brojnik i nazivnik sa 2"; Rezultat 1;
Uputa: Pudije!iti brojnik i nazivnik sa 3/1 ; Rczultat 3. r--
. (~ '1 __ ' (1-' -'"--- 'I ->in] +3n +n Inul-vn---+3n-nJ--Iulll\Jn +3f1-n). r;-
II-->-+«\ J "_hX \ V /1 2 + 3n + n
3n 3
2
1
2
0+0. =0. 0+1
n' +(VI.-.n')' = lim \ ~
""oc, ,~(,~)_ n -n\lI--n" + Vl-n~
lim 0 ,,-_. n' + n!Jn' -I +( !JI-n')'
b) 0
5.291.a) 2 b) 0
5.292.a)
5.293.a)
5.294.a)
n(n + I)
I· 1+2+ ... +n 1.----2---- . n+1 1 1m = Im---=hm-~=-
n-+<e 11-)00 n 2 n-'?:c, 2n 2 b)
2
b) 4 3
2" --1 2" 1+/ < "')2, -1211 -- 211 1 --"-;;--
lim ~'.<..- T ••• • =lim 2-l.;;;:41im-~--=41im-LX= n-W· 1 +5+5 2 + ... +5 fi ,,_.)(1:. 5" -I /1_.,,,, 5" ._} 'Hoc l-.~
5-1 5"
nmr:c __ I] limr(3.)" ---,-] "-,actS" 5" I/--)OC 5 5" 0-0
4·--__ ~ __ ""'4·~~~··L =4.-~=0
iim(l- J..) li111(1 _.1.. 'J' 1 . 11--,", 5/1 11---+00 5"
b) lil11l(j3 +_1 + __ t....+ .. +_FJ 'J'=lim[fi-]-m~'I=_3fi lim(l-r~)")=_3FJ 11---+"" J3 3J3 3" -I 114« I 2 II-+<: , 3 ?
/ J --- '.-3
5.295_a) 3
2 b) . (I I 1 I)
;'~li~+~:3"+3-4+···+ n·(n+l) =
lim(I-2+2 _2+2 _2+ .. +_1 __ 1_+2 __ 1_1 = lunIJ--1-)= 11----=\ 2 2 3 3 4 /1··-1 11 11 n+1) n-)oo\ n+1
=1-lim-I-=1-0=1. 5.296.a) 3 b) 1I-)cfJn+l 2 3
5.297.a) . (7 29 133
hm i -+--+-" n,,+wl JO 10 2 ]OJ'
I. (5+2 25+4 125+8 5" +2" ') m11--+--+_~---l- +-10-,,-)1= n->,,\ 10 10 2 10" ..
= limU_+.3.:i..+~25 + ... +_~~+..:z..+-±"+Jl._+ +_2_")= "-'"\10 10' 10' 10" 10 10' 10' .. 10"
hm --+-+-, + ... +-_."- +lun -+-_.+. -_ + ... +_ = . (5 25 125 5"), (2 4 8 2" ) 'H~ 10 10 2 10" 10" 'H<xo 10 lO2 10" 10"
269
= lim( L l-(U' +lim[~.l-(H'l= l+~=~. ,.-.,,110 1 J ,Hro 10 I 4 4 l 1-2 1-5
I I l{1 2 I)" " 5.298. Za svako k vrijedi:----=- =-. ------+-- ,sto mozemo . k(k+I)(k+2) 2 k k+1 k+2
primijeniti na svaki sablrak posmatrane sume:
S =~[(~_"-+~)+(~_"-+~)+(~_"-+~)+.../_I _"-+_1 )+ " 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ~n-I n n+1
( i 2 I i) I (I I I I n(n + 3)
+ ;;--n+l+n+2/ =2' 2-n+I+"+2) 4(n + 1)(17 + 2)
5.299.a) 2 f ,,2 4+- ( \' r
5 J' lim(±n+s) =l lim 411+5 \ :::::' lim __ n. ::::: 4+0 I =4. ,,~" 2n-3 ,,,~oc2n-3) l"~"2-~ 2-0;
b) 'l'4n2 -4n2 +7!' _(I' 4n'-4n2 +7)' -64 11m ) - I 1m 1 ~ -).
JI--->m n3 + 90n2 - 6 ~"---W' n' + 9011"' - 6
c) . (n--I)' (. n __ 1)8 hm .-- = l1m-- ::::::1. "--~"" 11 + 5 ,,-'p., n + 5
5.300.a)
( 3-2+1~·l) =llim n n
"---+'/' 7 5 2+-----n n2
b) I, ( 2n3
+l1n-9 18
_ 2'=0-6 1m ---------1 - ;..) <
II-}Gt)~ n3 - 5n2 + 6n - 4)
5.30 La) =>
n
243
32
r y
lim _I _ 5 lim I 2. j ( )" n-HO<Jl 3 + ~ 1)-)+00\ 3
Kako je lim (!)n = 0 , a Hjeva strana gornje nejednakosti pozitivna, to 1l--4+oo 3
270
5.302,a)
b)
c)
5.303.a)
( J" mora'biti liml-J- = 0, paje i lim (_n_)" = O. JI--)'t«! I ,,-->-teO 3n+ 1 3+-n
3 1+-
lim--·!!. n+3 lim ~~ H-+"'l_~ 1+0
Iim2 n- 1 = 2"-"'n-l :::::2 II :::::2 H ) ::::2,
n~fXJ
2n J_311+4
b) 0 c) 0
b) lim 3 ~2-;;:] = 9.
5.304.a) f, - (r;- 1',,- \ -_"_ ( ~:! VJl"-H~1I 1~!I ->-l-Ii
2 ' '1.,2" ,,-.-1+11 ,.r;?:;, lim(.J"-II""l hm,!\Ii+I_I/\-==-- hm A_--.1 llln2 /I +1-,,= 2""''''\ ) =2"'''';' J)1I2,lw= 2"~ J"l,kjHl
n--"w
b) ~--'-
lim 5vnl+n+2-.n = J c)
5.305.3)
1---7 j§7- I I 4+--. n+ . 4n+7 .
Ilin .-- ~ llim -- = lim __ ]_1 = 14 = 2 n-Wj n - 2 ~ 11'-~CG 11-- 2 \ I!--~,t:: 2. .
)--. n
) I · ~4j;;+1 4 C 1m3 _ =, /I--'too In-3
1 ) 36-
5.306.a) lim ,18n2
+n+36 = lim 18112
+n.'!}i = fum 18+,;;-+-;:;
2n2
-5n+25 II--'t" 2n2
-511+25 II""""" 2_2+~_~ V n n-
b) lim 3 H~
.-----0-----54n
3 + IOn + 8 ~ 3 2nJ - 3n2 + n +] 25 .
271
5.307.a)
b)
c)
5.308.a)
b)
5.309.a)
c)
5.310.a)
b)
c)
5.311.3)
lim(IOon+~)= loi lim n + 8) = log[lim 1+;]= IOg(1 + 0)= logl = O. n_Y£\ /;> n-3 \1 n-.<nn--3 n-~O'O 3 1-0 • 1--
n
lim log,-'-- = log, ltm--- =log,16=4 (
1611+3) (. 1611+3) n-+Cl} n+55 n-+ro n+55
( 50n' +ni (. 50n' +n] lim log, , = log,!tm , = log, 25 = 2 . n-",,"l, 2n- - 66 ) n-.oo 2n - 66
[ 51 10+-
IOn + 5 (. IOn + 5 . n lim log --- = logi Illn ·_--1 = log Illn -. --j = log 1 0 = l. JJ--'l-W'n+l00 i\rI--''''' 11+100) n---tool+~OO
n
. 26n-55 1 0
lllulo-----= n.::. n'0"- 13n + 1 i
. ( Ii'" I. ( 1 ," l' , lim! i + -) =1 lim' I +-) I = e 11-'>""\ n [ 11--+00 \ n I
. L "
( 1 Y". 1
lim I + -! = Inn j
,,"Y'" n) """""'(,1)" II =;:;)
. ( 5\" . ( 5 )1" , hmll+-I=hmli+-' =e.
11---700\. n) 11---+""\ 11
( 1,'n
b) lim 1+-1 =,,' II---'?C<J\. 11)
( 1 "11 ( 1 \41!'~ r ( 1 ''tJl~ lim 1 + _ .. J = lim i + '-'-J' = llim 1+·-- I n--+ro\ 4n 11-+""\ 4n Il-}ru 4n)""
lim (I - .1.)" = lim (I + .::1) ,,(-I) = Cllim 'll + .::.I.')'" ]-' = e-' II-+CC n n".-?oo n IJ---J.OO 11 e
2 -2 ~ 2 ( )" ( 1-"'<-')
b) limll-- =lim 1+-- =e-' 11400\' n 11-,,0:> n /
272
c) . ( 1 )'" . ( 1 )'( 1) . ( -J) '"OJ . ( 1 \.' lim l-~ =hm J-- 1-- =hm 1+- hm l--I=e ~ "''''''ct;, 3n it-)''-' 3n 3n 'Hoc' 3n 11-"~ 3n)
= lim (I + _1_2_1!.11~2'60 . lim(l + -.J3..-_)-16 = eGO -1 = eGO
/I--}ctJ n + 2) il-}UJ n -+ 2
5.313.a) .. ('1+2)" . (n-I+3\" . ( 3)" . ( 3 )"'i'" 11m --- ·-:;;;;hm ---) =hm 1+-- =11111 1+--n'--W' /1--1 n-')'<C n-l n-.'L n-1 n-')oc.· n-l
( ) "~'H' ( . \'~" ( '\ = lim I + _3_, := lim 1 + _3_) 3 • lim 1 + _3_) = e3 .j = e" .
JI-,)",\ n-1 n-4"'- n-1 iI_P::_ n-1
b) ( )"" (I' 1 )'''' ( I )""H) lim -~ =lim ~ =lim l+--=- -! =e-1•
lJ-"", n+1 /1-)"" n+l, "--,,CO n+1
(2n Ii'" (2n" 1-2)'" . ( -2 )2"~"(_'1
c) lun -- = llInl "'" lIm 1 + -- ~ I'J >«- 2n-t I li---->" 2n+l fI-4'" 2n+l_
211+1 ( ) 211+1 ( )
=lim(l+~ \)'-':::2----'--2 -I = lim(l +~)'-":::'i'" -2 'lim(l+~)-I = e 1 -I =e-2 """\ 2n + 1 ,,-,0 2n + I ,,~,,~ 2n + I
5.6. Beskonacni gcometrijski red.
5.314.a) 1+2+4+8+16+ ... +2" +2''''+ 1 1 I
b) 1+._+-+_.+ ... 3 9 27
5.315.a) 1,3,6,10,15,21, ...
3 7 15 31 5.316.a) 1, 2' 4' 8' 16' ....
b) 1 3 II 25 137 , 2'6' 12'60'"
b) 3 7 23 163 2' 6' 12' 60' ...
5.317. Za red al + az + a3 + a4 + a5 + a6 + .'. kazemo da je konvergentan i cia iroa sumu s, ako je niz pJegovih parcijalnih suma
5j = aJ, S2 = al + a2, S3 = al + a2 + a3, S4 = aj + a2 + a) + a4,
273
~=al+~+~+~+~'~=~+~+~+~+~+~ •....• ~=~+~+~+~+~+~+ ... +~,
konvergentan i ako vrijedi lim s" ::::: S • II-W;
5.318. Red kod koga su sabirei clanovi beskonacnog geometTijskog niza, naziva se geometrijski red.
5.319. Niz parcijalnih suma ovog reda je: s! = a) S2= a + aq, 53 = a + aq + aq2, ...•
Sn= a + aq + aq2 + aq3 + aq4+ ... + aq4 = a. 1- q" =_a_.(l_qN) . J-q I-q
C) d' I' I' a n) a a lu aJe Ims" = nn--·(I-q =--·lim(1-q") =--·(1-lim q"). n---too n---tool-q l-q n .. "~"" l-q r/-W)
I) Aka je q ;" I. tada je !~ q" = +ao , pa je red divergentan.
2) Ako je q < -I , tada je lim q" = ±oo, pa je red divergentan. "~¥':-
3) Akojeq=-I,tadaredosciliraizmedu--1 i 1,pajedivergentan.
4) Aka je Iql < 1, tadaje, tada limq" = 0, paje lims" = _a_ = s, ired ie !I~-W n_W_ l-q .
konvergentan sa sumom s.
Dakle, vrijedi: a + aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... = _G_. 1ql < 1. 1- q
a 24 S=--=--=48
I-q 1-! 5.320.a)
2
5.321.a) 64 + 32 + 16 + 8 + ... = ~-;-=128 J- ..
2
5.322.a) 8=2, b) S=!Q. 9
5.324.a)
5.325.a)
5.326.a)
b) 128
3
4 5.323.a)
7'
b)
b)
b)
3
__ 2_ =1 I
1+ 2
2
8n'
7
c- 2a 4a -5.327.a) 2a + a,; 2 + a + .... =-----r:; = ------r:: = 2a(2 +.J2)
l-"~ 2-...)2 2
274
b)
b) 2
9a(3+..fi) 7
5 328 ) D . d .. k' k I'" 'k 2-..fi. " . . .a atl re je geometnJs 1 SOlem om q =-2-' pn cernu Je
b)
5.329.a)
5.330.a)
5.331.a)
5.333.a)
5.334.
[2-2..fi[ < 1, paje konvergentan i njegova sum a Sje:
..fi+1 ..fi+1
s= ..fi-L= ..fi-I = 2(..fi+1) J- ~=Ji ..fi ..fi (..fi -I)
2
..fi + 1
~ (..fi+l)'
2..fi (..fi -1)
b)
b)
IO+7J2 ---
12 + 7,/3
6
4
a b)
1-1- x 5.332.a) S~_I_ b)
l-sinx S= __ I
l+cosx' 1 I
S~-1-lgx
b) s~-~. l+lgx
S~(a'_h2). __ 1 --_0 (a'-b21,(a-b) .
] a-b 1 1---~·-
a-b 2 4 I 8 I 16 i
5.335.a) 14 b) -+J+~--+-+-+---'!'" 5 25 2 125 4 625 8
2
= 13.+...4:.+_8_, +_16_+ 1+(1---21 +-41, ---8
1, +J)~ 1_
5_2 +-1+11 ~%+%~~ \5 25 125 625 .J _
5 2
5.336.a)
5.337.a)
I I I I 5 -.--+-.--~-
3 I_I. 9 1-! 8 9 9
I I 3 4 9 16 -+-+-+-+ .. -+---+ ... 6 9 24 45 96 225
2 I 3 I 13 b) -.--+~.--~--.
5 I-J.. 25 I_I 24 25 25
= (±+ :4 + :6 +}(~+4~+ ;:5 +) =
275
4 5 2 5 6+5 11 1 1 1 1 6'1_~ +9'1_<1 -
-;-+--=-+-=--".:;;-- . 6 9 3 9 9 9
5.338.
4 5 5 2 5 2 5
18+ 10 +6+ 5 +2 +-+-+-+- + -+ ... 2 3 4 9 8
= 18+6+2+-+-+ .. , + 10+5+-+-+-+ = ( 22)( 555) 39 248'"
_18._1_+10._1_. = 18'~+IO.2 =27+20=47. 1-~ 1-~ 2
3 2
5.339. I' ' a-x .. (a-x -q=(---~.)- , Iql=1 --J <1, za x>O, xf:-±a. a+x \a+x
a+x a'''r-x
s= a-x _ (a_xi' l-l-:
(0 + X)3
4ax(a-xl
a+x)
5.340. S=20.
5.342. S=-"- => q=I-.".=I_~=:_2=_.:'. l-q· S 21 3 3
5.344.a) S=_S_ 5 2-x 1-(x-l)
Redje: 5 + 5(x-l) + 5(x-I)' + ...
b) S=_8_= 8 4+x 1-(x-3)
Redje: 8 + 8(x-3) + 8(x-3)' + ...
5.345.a) S =_1 __ = __ 1 _ l+x l-(-x)
Red je: 1 - x + Xl _ x3 +- ...
b)S=_6_= 6 3 - 2x 1-· (2x - 2)
5.346.a)
Redjc: 6 + 12(x-l) + 24(x-l)' + '" s~ x~~= __ x-~l __
x-2 i-(3-x)
Redjc: (x+l) + (x+l)(3·x) + (x+l)(3-x)' + ...
bJ S=4x+2= 4x+2 3x-l 1-(2-3x)
5.341.
5.343.
=>
=>
=>
=>
=>
=>
b) 7 2
I q=--2 .
a=2
a=5, g=x-l.
a= g, q =x-3.
a = I, q = -x.
a = x+ I, q = 3-x.
a = 4x+2, q = 2-3x.
Redje: 2 (2x+l) + 2(2x+ 1) (2-3x) + 2 (2x+ 1)(2-3x)' + ...
276
5.347. S=_G_ I-q
=> a = S(I-q) = 243,3. = 162 3
5.348. Akojered a+aq+aq2 + ... , tada vrijedi:
Otuda je:
a = 9(l-q)
=>
a 2 2 ') 2 4 81 --=9 a+aq-+aq+_.=-1- q 2
=> Sl(l-q)' 81
(l-q)(1+q) 2
q =~., a = 6. Trazeni red je: 6 + 2 + f + ....
=> 1-'1 =~ 1 +'1 2
5.349. Ako je red a+aq+aql + ",. , tada vrijedi:
5.350.
5.351.
a 3 " ~ 6 108 --;:0= 3 i a +a"q~+aJq + ... = -1-'1 13
Otuda je: a = 3(l-q) => 1-· q 13
27(1 :-q)3 108
(1_'1)(1+'1+'1') 13
=> 1-2q+q' 4 => 13(1-2q+Q')=4(1+q+Q') 1+q+q1 13
=> 1 -r - . d' 2 2 2 2 q=-. razel1l re Je: +-+- +-+ ,.« 3 3 9 27
=> 3q' ·-10'1+3 =0
a+aq2 = 20l aq+ac/ =9J
=> a(l+Q')= 201 => a(l+Q')=20 1 a(q+q4)=9 J 9(i+q')=20(q+q4)J
=> a(l+q2)=201 a(l+q')=20 1
20'1' 9'1 2 +20q-9=,OJ => (2'1-1)(10'1' +5q2 -2.q+9)=of
=> a(l+q')=~ol => a=161 ~ a 16 32
q=2: j q=~ f' i) =l=q= 1-( .. ~ ] 4 1023:
(/ -f-Qq +aq- +Q(j +aq = --to 32
S=~ l-q
=>
10231 a(l+q+q' +'13 +'1 4 )= __ \
32 (
a=32(1-q) J
=> 32(1-q)(1+q+q' +q3 +q4)=_I~~31 a=32(1-q) f
=> 32(1_'15)= I023l
32 I a=32(I-q) J
=> 1024 f => 1 1024 => '15=1_10231 0 5 =_1_ }
a=32(1-q)J a=32(1-q)
q=l} => a2=aq=6. a = 24)
277
5.352. s~ I~q } a-aq~24
=> a = 96(I-q)} a(l-q)=24
=> -> I a=96(1- q)} a=48}
96(1-q)' =24 q~2
5.353.
5.354.
Trazeni redje: 48 + 24 + 12 + 6 + 3 + ...
a+aq+aq' +aq' ~15} ~ 3 2 =>
a+aq" =-'(aq+aq ) 2
=> a(l+ q + q'+q3)=15}
2(l-q + q2) = 3q =>
=> ( 1 1 1) ._)
a 1~~;4+8 =t) =>
a(l+q+q' +q')=15l 2(l+q3)=3(q+q') J
a(l+q+q' +q3)=IS}
2q2-Sq+2=O
=> a~8}
1 . q=-
2
Suma redaje: a 8
S=-~ =16.
7 a l_ q 6
-'"'-=a----8 I-q I-q
=> 6 1. q =-
8
I-q 1--2
~>
=>
7 6 -=I-q 8
. .[2 q='i:-.
2
~> 6 7 q =1--
8
5.355. Nekaje Irazeni red: 1+q+q2+q'+ .... Tada vrijedi: 1=3·-q
···· I-q => 1 l' , . d' l~ 1 I 1 q =-. razem re JC: ,-+-+-+
4 4 16 64
5356. Prema datom uslovuje: G" =4'1°"'1 ,odakle siijedi: -q
5.357.
278
353 Trawni nizje: 2' 4' 1, 4' 2' ...
=>
2x+ 1 = 3x-4 ¢) x = 5 = S5.
10-.1.~ __ L=_
5 2
d~.1. . 4
5.358. 1 1 1 J 2 4'
d~2-]+2-4+8-i6+"'= 1+- 3
2
5.359.a) XE{l, 2, 3, 4, 5, ... , k, ... }. Vjerovatnoce suo
P(X=l)= .!. P(X~2)~ ."..1., P(X=3)= ."..". . .!., 5" 55 555 444 J
P(X~4)= 5555"" pa je zakon raspodjele vjerovatnoca dat formulom
(4)'" 1 P(X=k)= 5 '5' k~l, 2, 3, 4, ....
b) M(X) = 1.'!'+2 . ."..'!'+3.(.".y.'!'+4.(.".)3.'!'+5.(.".)' . .!.+ ... ~ 5 5 5 5J 5 5 5 5 5
5.360.a)
5.361.a)
5.362.a)
5.363.a)
= Hl+2~+3(H +4(H +sH)}·· =i(I_I±J ~5. \ 5
Broj prosjecno utrosenih metaka do pogotka eiljaje 5. , ,
r-:= I 1 II! 1 J J I J 2 ,
J2~2~2J2.J2.= =2'2. i4 .28 .216 .232 ... = 22"'t'ii+i6+n+ ,--
=2 2 =2'=2 . , ,
, ,
1 II!
7. I 3. 1+ log2 sin x + log2~ Sin X + og2 smx+ .. 2
3
2 !_.! =3 2 =3' =3.
2 i
b) 3'+' ~ 7m
=> ~> 2 -21og 2 sinx "" 3 => 2log 2 sinx =-1
279
. I ...fi n ,_ 3n 2'- k Z => log2sll1x=-"2 => smx=2- => x=4"+2ItJl, x=4+ fOl, E _.
, _1_~4 3
b) 2!+-<+x2, =16 => 2 i-" = 24 ~> => x=-
I-x 4
3x+x2 -;-x.1+ dJ3 - ~ x 3 3
c) => 31--< ::;;;; 3 2 => ~-~- => x=-. I-x 2 5
5.364.a) 0,3 = 0,33333333333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 3
3 3 3 3 3 ~ 1O_'l~-'-= ~+-+~-+~~+--+. _ .. 10 100 1000 10000 100000 . 1 _ -'- 9 3
10
b) O,Si=0,515151515J...=0,51 +0,0051 +0,000051 + ...
51 51 51 51 51 _ [00 5[ = -+~~+----+ + ~ --=.-~
100 [0000 1000000 100000000 ... 1 _ ~.. 99' 100
c) 2,43 = 2,43434343 ... ~ 2+0,43 + 0,0043 + 0,000043 + ... 43 43 43 43
=2+-+--·+ +~--+ .. [00 10000 1000000 100000000
43
= 2 +....io-o' ~2+ 43 ~3"-.l ~ 243~.3. 1-...1. 99 99 99
100 25
25 25 25 100 25 5.365.a) 0,25~0,2S2525 .. ~-+~~+. + ... ~~--~-100 10 000 1 000 000 1 __ 1_ 99
b)
c) 0 41435~ 41435-41 ~ 41394 ~ 6899 . , 99900 99900 16650
100 435
c) 999
• 59 - 5 54 3 b) 0,59='90~90~5
542 542 ~ 15+---
5.367.a) ••• ••• IS 0542 15 . 0 . 999
015542~O.lS+000542~~+-'~-=.-+ 99" ~ ___ ~ , '100 100 100 100 100 15·999+542
999 15·999+542 15·1000-1S+542
100 99900 99900
b) 0 3726i = 37261-372 =. 36889 , 99000 99000
c)
280
15542-15 15527 -:C9C::9'C::)0C:0-' ~ -99-90-0
o 83-ii= 8371-8 = 8363 , 9990 9990
5.368.a)
c) 146472-146 9990
5.369.a) 3,21635 321635-321 321314
73163
4995
99900 99900
b) _5,43374=.543374-54 _~~_~ c 512551 .. . .. 99990 99990 9999 . ) -49950
5.370.a) Uputa: PnmlJel1ltl formulu za zbir n clanova geometrijskog niza. . 7
Rezultat: -. 8
5.371.a) lim (2-1)(2+1) (3-1)(3.:':.2. (4-1)(4+1) .(n-l)(n+l) n~ 2·2 3·3 4.4
4 b) 3
b) 1.
5.375. Stranice trouglova su: a ~ !!. !2 '- , 2' 4' 8"") pa za Sumu povrsina P vrijedi:
2/'; . ({[ Y .,fj (,")' .,fj p= .'i._" + ...2_) __ + \ 4 ___ + a'.,fj a'.,fj a'.,fj
4 4 4 "::::-4-+-'16-+--6-4-<
P =27.,fj em2
5.376. Stranice opisanih trouglova su: a, !:::: a/3 30 JaJ3 9a 2 ' 4' 8 '16' ... ,
pa za SUInt! povrsina vrijedi:
_ 2d 2 d 2 2d 2 d 2 pa 7.2 sumu povrsina vrijedi: p __ + ~ + _~ + _ -j .••
4 4 16 16
d'
~2_=-d2 1
1--2
281
5.379. Radijusi upisanih kruznica su redom:
a13 a13 a13 a13 a13 -6-' 12' 24' 48 ,%, ..
Zbir povrsina krugova je:
p ~(a:)'n +( a~)'n +( a:)'n +( a:)'n +~ 3a2n 3a2n:
= ~=~= 4a2n: =: a
2n
1-.1. 3 36 9 4 4
5.380. Dijagonala prve upisane kocke je 2r i ako je duzina njene ivice a, tada
vrijedi: (2r)' ~ 2a' + a2 ~> a = ~ = 2r13 13 3'
I'd" k I . \ . a rJ3 ,a lJUS U prvu 'oc (U uplsane optc JC rl = 2" = -3-'
Duzina ivice kocke upisane u toptu radijusa f] je a l = 15 Zbir povrsina svih opisanih kocki je:
,., 2 1 4,.2 4r2 4r2 6a-+60, +6a, +,..=6·-+6·-+6-e
, 3 9 27
Zbif povrsina svih opisanih lopti je: , ,
4r' =6
3
2r
3
I , --I ~12r . 1--
3
2222 r r 2 2 4r n + 4rj n + 4r2 TI -+ ... = 4r 1t + 4· ~3-n + 4· 91t + ... = 4· r 'JT • = 61' TI •
1--3
5.381. Radijus prve upisane lople je r = "-. 2
I) " I . k k . 2 ... . aJ3 IJagona a prvc uplsane oc e Je r = a , pa Je nJena lVlca a l = 3-- .
R d·· . ltd k k' a, aJ3 a lJUS uplsane op e u rugu 'oc U Je rl :;;;; -i" = -6 . Zbir povrsilla svih opisanih kockt .Ie:
Zbir povrsilla svih opisanih lopti je: 2 3a 2
2 1 3a 2n 4r2n+4r,2rc+ ... =4·~n+4 n+ "-an 4 36 ... - "--1 ~-2-
J--3
282
5.382. I I s=-_· =16
2 3 + 1 1 1---
~>
2 x + 1
=>
5.383. 1
S=logx· =3 l-logx
~>
3 => logx=~ =>
~ 4
---"-- =16 2" + I 2" + I -J
2x + 1 => x = -4.
logx=3-3Iogx ~> 4logx~ 3
x=VlOOO
5.384. S= J +a+a'+a3 +a4 + ... +a"+ ...
5.385.
5.386.
5.389.
+ ... + a!\+ ...
I-a a
1- a a'
I-a
a J-a
aX
I-a
1 a _ a 2 1 1 1 -I 1 S=--+--T--+ ... ~--·(l+a+a- + .. )- '
I-a I-a I-a I-a -1-a·l-a~(l-a)2·
s=!+ 2 +2+~+ .. +_~_.+ .. 2 21 2,1 2"
I I J I I =-+~+~+~+ + "1 2 22 23 24 .. y ......
J J J I +~+~+-.+ .. + ... _-+ ..
2- 23 24 2N I J I
+-+~+ .. +-+ .. 23
24 2"
so ~ .1.._1_+.1.._1_ +_1 1 ~ I~ 1 (±+±+i+ ) ~2±_I_l =2. ---+ ... 2 1_.1. 4 J_I 8 1- I 1--
2 2 2 2 2 3 5
5.387. 5.388. 0 4 ]6 3J3
5.390. 2
5.391. -2 3
283
(7 29 133 641 5"+2")_
"39) lim ~+-+--+-4 + ... +--,- -~. _. 'HOC 10 102 103 10 n
)r . ",)1 _ . [( 5 25 125 ~25 ~ 2-+~+~+~+ .. +~ JI - lun 1--+-' +-103 + 104 + ... + 3 + 10 102 10-' 104 n3
11·"""',,1010 n ~
[[
1 (5)" Ij
l-l/
.. 2-)" 1 ~ ()" f' ()")l = r L -(10 +2-__ 10_ = lim 1- ~ +~" 1- ~ =
,,';;; 10 1_2 10 1-"- I "" 2 4 \ 5 J ]0 JO J
r 1- 5 (J)" 1 (1)"1- 5 o-~-.o= 2 = ,!~ 4-~2 -45 - 4- 4 4'
L ~
. (1 1 J" ___ 1 __ )= 5.393. lim I --- + --- + --4 , ... + ( I)
" ....... ""\1.2 2·3 3· n· 11+
= lim(I-~ + ~ _ ~ + ~_~ + .. + ~ __ 1_.) /J-}0 22334 nn+l
( 1 \ . 1 , = lim!I---)=l-ltm--=I- 0= ..
,,_.""\ 11 + ] f/_+UJ n + J
284
6. FUN K C I J A
6.1. Aka svakom elementu skupa A na neki nacin, po nekom zakonu, pravilu, pridruzimo tacno jedan elemenat skupa B, kazemo da imamo funkciju sa A u B. Ako je clemenat YEB pridruien elementu xEA, po nekom pravilu f, tada pisemo y = f(x).
6.2. Funkcija se maze zadati pomocu tabele, pomocu mreze, pomocll sheme, pomoou grafika, ali so najcdoe zadaje formulom (y = f(x» koju zadovoljavajll element xEA i njemu pridruzeni element (njegova sIlka) YEB .
6.3.a) f(l) = 3·1+!1 = 3+11 = 14 b) frO) = II c) f(-7) = 3·(-7)+11 = -10
6.4.a) flO) = I, f(6) = 5, 1'(2) = 3, f(II) = 315. 6.5. 1\2)=5, f(11)=3, f(20)=5-21og19, iOOI)= l.
6.6 . f(b)- f(a) _ 1/ __ a' = (b-a)_~~c_al=b+a. b-a b-a b-a
f(a+h)-f(a-h) __ (a+h)' --(a-h)' (a+h+a--h)(a+h-a+h) _ 2a·2h ----~ --_.- -=- ---=2(1.
2h 2h 2h 2h
6.7.a) /(2)= 145; b) j(-I)=3 c) j(a)=a2 _ 1 + 2-".
2+a
2 2.' 2-(a2 +1)' d) /(a +1)=(a +1) +, 2+ ".
(a +1) 2+(a +1)
6.8. fm=\~~, /(-3)=14, /[-1)=0, /(rt)=-rr', l-~)=o.
\. 2
6.9. 5 \ ,4 lex)
+1=4·(1+5x +x )=-4-' x X
1 +X6 =--=f(x) x' . 6.10.
6 11 N k · x d . t... d' .. e aJe -=t,ta ay::: X=- I vnJe 1: x+ 1 1-/
f(t)+ 3fl(11=_2t 'I I) 1--/
r(~1+3f(t)= 2~1) \t) 1---
t
=> f(t)+3/~I=~-1
\1) 1-1 (I \ 2
fl-)+3 f (t)='\J' i-1J
285
=> f(I)+3f(!)=~ 1 t I-I
(1\ -6
-9f(I)-3f tj= I-I, + 21-6
=> -8f(I)=-+-1-( I-I
=> -8f(l) = 21+~ 1-/
=> f(t) 2(1+3) 1+3
=--- Dakle, fix) 8(1-1) 4(1-1)
x+3
4(x -I)
6.12. Ni ujednom sJucaju fuukcije nisujednake:
a) fix) = ixl, pa je f(x) = g(x) za x:?: 0 i fix) ¢ g(x) , x<O.
b) Za x>O je.f(x) = g(x), dok za x < 0 funkcija g(x) nije definisana, a funkc(ja .f(x) jeste.
6.13.a) Za X ¢ 0 je fix) = g(x), za x = 0, .f(x) nije definisano, a g(x) jeste.
b) Za x> I jej(x) = g(x), za x = I, fix) nije definisal1a, a g(x) jeste. 6.14.a) Funkcijaje definisane za sve vrijednosti varijable x osim za one za kojeje
nazivnikjednak nulL Kako .Ie x-l= 0 za x =1, to funkcija nije definisana za x=l. Oblast definisanosti ave funkcije (iii njena domena) je skup realnin brojeva: (-00, J) u (1, + w) .
b) (-ro,-S)u(-5, +00) c) (-w,-2)u(-2,+w)
6.15.a) Nazivnik je uvijek pozitivan, pa je domena funkcije skup svih realnin brojeva R.
b) Kako je nazivnik x' - 4x = xc,- - 4) = 0 jednak nuli za x = ° i za x = 4, to je
oblast definisanosti funkcije: (-00,0) u(O, 4) u (4, + ex).
c) (-oo,O)u(O,5)u(5,+m).
6.16.a) Kako je x 2 - x - 6 = 0 za x = -2, x = 3, to je funkcija definisana za sve
vrijednosti varijable x koja zadovoljava usiav: x E (--00, - 2) u( -1, 3) u (3,+ 00).
b) xE(-oo,2)u(2, 3)u(3,+ w). c) X E (--w,O)u(O, I)u(l,+oo).
6.17.a) i b) Kako je treci korijen definisan za sve vrUednosti potkor:jene velicine, to je oblast definisanasti date funkcije skup R.
c) Kako je nazivnik razlomka razlicit od nule za x:;t: -1, to je oblast definisanosti funkeije x E (~-oo, -1) u( -I, + 00).
6.18.a) Drugi korijen je definisan samo za nenegativne vrijednosti potkorjene velicine. Zato mora bitl x-3 ~ 0 ==> x ~ 3. Oblast definisanosti funkcije
je XE~, +00).
b) Data funkcija je definisana u onqj oblasti u kojoj je kvadratna funkcija y = x2_4 nenegativna: x E (-oo,-2]U[2, + co), c) x E [-2, 5 J
6.19.a) xc(-w,2]u[1,+ro) b) xE(-ro,-2]u\3,+oc) c) xE[-J,7] 6.20.a) Funkcija je definisana Z-'l one vrijednosti varijable x za kQju su definisana
obakorijena. xEfl,+oo) b) xE(-oo,-3]U13,+oo)
6.21.a) Funkcija je definisana ako je_X_" 0
. . x + 1 => xE(-oo,-I)u[O,+oo)
286
i d
b) (-2,-1]u[5,+oo)
6.22.a) XE(-ro,-%)u(k,+oo)'
6.23.a) Logaritamska funkcijaje definisana ako je vrijednost logaritmanda
6.24.a)
6.25.a)
b)
6.26.a)
6.27.a)
6.28.a)
b)
6.29.a)
b)
6.30.a)
b)
c)
6.31.a)
6.32.a)
6.33.a)
b)
6.34.3)
b)
6.35.a) b)
pozitivna. U datom s]ucaju mora biti x + 1 > 0 => x>-1. ObJast definisanosti je skup svih realnih brojeva x za koje vrijedi:
xE(-l,+oo). b) XE( -00, ±)-=> XE(-OO, O)u(l, +00) b) xE(-oo,-l)u(I,+w).
x -->0 x-I
cosx> 0 =>
sinx> 0 ~>
x~2
X::f.-~+2+k1T A Z 2 ' (E ~ .
--1 ::; x < 0 iii 0 < x ::; 1 ;
" " --+2kn <x<-+2kn:, kEZ. 2 2
O+21m <x<n +2kn, kEZ.
b)
b)
1<x<4
3" x:;t;--+kn, kEZ. 4
Morabiti J--COSXoftO,tj. x oft 2kn ,gdjeje kEZ c) x>8
1- tgx > 0 => tgx < 1 => x+ 3; ,-~)u( -~,n I J
-_·$x:-S:-3 3
x-I ·-1:0::--:0::1 =>
2 ~>
-I :o::_x_:O::l x+I
~> XE(-l, +00).
sin x2 0 ~> O+2kn :O::x:O::(2k+l)n, kEZ.
b) 3S:x<6
b) 2';x,;7
Funkcija je definisana za X + 3 > ° i log(x+ 3) > O. Otuda je: ( X > -3 , X + 3 :2: J) ~> (x> -3 , X :2: -2 ) => x:2: -2 .
I-x 2-x:2:0, -j::;::--::;;l =>
4 f.<o 3< <5) \c' _L, - ._X_ => --3sxs2
x 2 -9x+8>O, x 2 -4x-32~O
-2<x<-1
~> xS:-4, x>8.
2 2"-18.2"+32>0 =>
XE(-J, J)u(l, +''0). 2 < 2' < J6 => 1 < X < 4.
287
6.36.a) Funkcijajc definisana za sve vrijednosti varijable x za koju cos2x 1< 1m
nije jednak nuli, odnosno, x*-"4 + 2' k E Z .
b) x E (-eo, - 2}J [2, + eo), 6.37,a) Domenajeprazanskup, b) xE(3, 4)u(4,+oo)
6,38,a) Uputa: Koristiti tabelu! Rezultat: x E (-5, l)u(2, + 00),
b) Kakoje brojnik definisan samo akoje sinx=l, toje domena funkcije skup 1t
brojeva oblika x = - + 21m, k E Z , 2
6.39,a) 6AO,a)
6ALa)
6A2,a)
6,43,a)
x E[O, 2) b) x E( 5, 6]
-1 0; yO; I; b) -lo;yo; 1 c) Y E ~, 5 J Yd,3] b) YE[l, %] c) fJO ]
YEl'9,lO
r~- 4 Kako jc y = 6sinx + 8cosx = v6 2
-+- 8 2 sin (x +a) a = arctg -::;. to je skup ~
vrijcdllosti date funkcije Y E E- 10, J 0], b) Y E [- J 3, J 3]
3 y + 2 , ,-- , bl ' -- d' 1 'j' Iz X=-- aooJjal11odaJeo aSlVflJC nost! ~CI)<y< II l<y<-+oo. y-I
b) YE(-oo,l)u(l,+cn) ,iIi y,< 1. c) YE(-oo,-5)u(-5,+oo) iii y,<-5
6.44,a) Kako je y = 5x' - 8x + j 0 = s(x - ~)' + 354 , to je najmanja vrijednost
" 34, "" 'l-34 I funkcljc Y = 5 ' pa JC oblast vflJednostl mterval 5' + YJ) .
b) yE[6, +eo) c) YE(-W, -2]
6.45.a) Funkcija ~ x2 + X + 2 ima maksimum jednak ~, pa data funkcija ima
, 3, ", d' 3 S d t b't' 0 maksunum 2" sto znact a JC Y -S"2' ruge s -mne 1110ra 1 J y:? ,
3 dakIe, oblast vr;jednosti funkcije je 00; y 0; '2 '
b) XE[O, IOJ YE[O, 5] 0) xE[-8, 2} YE[O, 5]
[-2X, x<-1
= j 2, -Isx<i . Skicirajmo grafik date funkcije.
I 2x, x ~ I
288
y
2
o
Sa slike vidimo da je oblast vrijednosti funkcije skup
[2, +00),
b) y=-Jx' --6x+9 --Jx' -lOx +25 =~ +)(x-5)' =lx--31+lx-51=
[-2, x<3
= j2x - 8, 30; x < 5 , Skicirajrno grafik date fimkcije,
l 2, x;, 5
y
-2 5 x
Sa slike vidirno da je oblast vrijednosti funkcije skup [-2,2] ,
6.47,.) lrgument date logaritamske funkcije nalazi se u intervalu (0,4], paje skup vrijednosti date funke;j'e (_00,log4J- b) YE[log3,log7],
o II 7 6AS.a) log, ":"::s;y~l b) log) -:s;y:51og
J-
2,2 '43 43
6.49.a) Najveca vrijednost nazivnika je ! 6, paje oblast vrijednosti funkcijc
skup realnih brojeva y koji ispunjavajo uvjet: Y E ( -- 00, - ± J b) Y E [--12, 0) c) Najmanja vrijednost nazivnikaje
- ~ = -9 (u ovom slucaju data funkcija ima m,jvecu vrijednost
18 k b' k " -9 = -2 ), Skup vrijednosti timkcije je s up roJeva y OJI
zadovoljavaju uvjet: YE [-w, -2),
(X_I)' 2 6.50,a) y = 7:l => y(x' + I) = (x -- I)' => (y -1)x + 2x + y--l = 0
__ -2±~4-4(Y--l)' _2±2Jl-(y-l)' _ -l±[v~ ->X=-' 2(Y-l) ~> x=~'-- --> x y-l
~> y--h"O, y(2-Y)20 => YE[O, l)u~, 2]. b) Y E(-CO,O)U(O, +00) c) YE(O,+OO)
289
1t 1t 6.51.a) --:O:y:O:-
2 2 b) xE[-2,0], YEt-","] 6.52.a) 0 S Y ,;" b) OSyS4"
1 6.53.a) 0<--<1
1 +x2
X, b) Funkeija je neogranicena. e) 0 < --2 < 1
I+x 6.54.a) 4:0: sinx+5 :0: 6 b) -4sys -2 eJ -fissinx+cosxsfi
6.55.a) Kako je 0 < y < 8 za svaku vrijednost promjenljive x iz dalog intervala, to je posmatrana funkeija ogranicena u intervalu (0, 2).
b) Kako je lim y = lim _1_ = -00, to . data fuukcija nije ogranicena x-+ !-O x--)o I-O Xl ~ 1
u intervalu (-1, 1).
6.56.a) iz lim 2 I = lim 1 = -00 zakljucujemo da funkcija x-~ 1+0 X - 4x -+ 3 x-,~ 1+0 (x - 3)(x -1)
nije ogranicena u intervalu (1, 3).
b) Funkc(ja je ogranicena u intervalu( -I, 4) jer je - 1<
vrijednost varijable x iz datog intervala.
3x < 2 za svaku +5
6.57.a) Funkeijaje stalno rastueajer vrijedi: Xl < Xl => lXI < 2X2' => 2x!+5 < 2X2+5 => YI < Y2 za sve vrijednosti iz skupa R.
b) Fuukeija je opadajuea u skupu R. c) Funkcija je opadajuea u intervalima (-00, 0) (0, +00).
6.58.a) Funkeijaje opadajuea u intervalu (0, +00). b) Funkcija je rastuea u intervalu (-00, +00).
c) U intervalima (-~ + 1m < x < ~ + k:rr} k E Z, funkcija je rastuca,
. I' (" ,- 3" ) . fi .. a u mterva Ima "4 + 1\.1< < X < 4 + krr , k E Z, unkclJa opada.
6.59.a) fe-x) = f(x), paje funkeija parna b) Parna, e) Neparna 6.60.a) Parna b) fe-x) = (-xi - 3(-x ) = _x3 + 3x = --( X' - 3x) "" -f(x), pa
je funkeija neparna c) Neparna 6.61.a) fe-x) = _x3 + 5x +3 = -( x3
_ 5x -3). Vidimo da ova funkeijanije ni parna ni neparna. b) Funkeija je parna. c) Funkeija je parna.
6.62.a) Parna b) Neparna e) NUe ni parna ni neparna. 6.63.a) Funkcijaje parna. b) Funkcija nije ni parna ni neparna.
c) Funkcija je neparna. 6.64.a) Parna b) Nije ni parna ni neparna. c) Nije ni parna ni neparna
6.65.a) Kakojey(-x)=V(-x-I)2 +Vc-x+2)' =if(;'~2)2 +V(x--Il' "'y(x),
to je funkcija parna.
290
-x-5 x+5 ~X-5)-' x-5 b) f(-x)=log--- =Iog--=lo -- ~-log--=-f(x)., -x+5 x-5 x+5 x+5
Vidimo da je posmatrana funkcija neparna. '"X' --(-r) r -X'
6.66.a) y(-x) = a +2a ,. a :a y(x), funkeijajeparna;
b) Funkeija je neparna; 6.67.a) Funkcijaje neparna. b) Fuukcija nije ni parna ni neparna.
6.6&.a) Kako je f(-x) = 3(-x)' . ~ - 5sin(-x) = -3x'· v:;: + 5sin x =
= - (3x' . V:;:.- 5sin x) = --l(x), to je funkeija neparna.
b) Funkeija je parna. 6.69. Sve trigonometrijske funkcije su periodicne.
2n 21t 1t a)T~5 b)T=6=)
~ if 4n: e) J =.-~.-
3 3 4
6.70.a) Osnovni period date funkcije je najmanji zajednicki sadrziiac osnovnih perioda funkcija y = sin2x i y = sin3x.
. 211 21<. zs( 2") 2 KakoJe '[,,=-=1t, T)=---.toJe T=N n,- =:n:. . 2 - 3' 3
b) T,=2;,T2 =2: i'~> T=NZS(2;',i)=2:n:
c) '[" =3~ =1t l' = 2" => T = NZS (n, 2"1=211 . 2 '5' 5)
6.7I.a) 1'=4" b) T=8" 6.72.a) Kakoje sin21tX=sin(21tX+2rr)=sin[21t(x+I)], tojeosnovni
period ove funkeije jcdnak 1. b) Period je 21t (a" 0) .. a
c) Pretpostavimo da je T period funkcije. Tacla za sve x vrijedi 'I
sin"1(x+T):;:;:sin4 x, tj. [sin 2(x+T)+sin2 x][sin 2(x+T)-sin 2 x}O. Kako izraz u prvoj zagradi nije identicki jednak nuli, mora biti
sin\x+T)~sin2 x:o::Q ¢;> !-cos(2x+2T) _1-cos2x ::;;;0, -g. 2 2
cos2x~ cos(2x+2T) =0, odnosno, 2sin(2x+T)sinT=O,
kako sin(2x-l- T) nije jednako uufa to sve x, to mora biti sinT= 0 => T =1t .
6.73.8) Data funkcija je zbir dviju periodicnih funkcija. Osnovni period prve
funkcije je 2; = ~, a period druge je ~. Osnovni period date funkcije je
najmanji zajednicki sadrzilac od It i .::.-, odnosno, to je n . 3 4
b) Osnovni period funkcije je 1t .
291
6.74.a) Odredicemo osnovne periode svake 00 tri funkcije od kojihje sastavljena data funkcija i nad najmanji zajednicki sadrzilac tih perioda.
Z F() 2' 2x .. d' a j! X ::::; Sin - , osnOVlll peno Je r; == 3n . 3
Za fz(x)=cos~,osnovniperiodje T1 =6n. 3
Za/() 3x . 'd' r_ 4" 3 x =tg 4 , osnovm peno JC 3 - 3 .
T=NZS(~, T2 , T3 )=NZS(3rc, 6rc, 4; )=12rc
b) l' = NZS(1;, 1'2,1;) = NZS(121t ,~, 14rc) =84rc . 5 2 5
6.75.a) Pretpostavimo daje T period date funkcije. Tada vrijedi (x+T)+sin(x+T) = x +- sinx => sinx - sin(x+T) = T
=> 2sin x-x-T cos x + x + T =T => 2x+T T 2 2 C05-2-= -1'
2sin --,-2
Kako je na desnoj strani posljednje jednakosti konstanta, a vrijednost lijeve strane zavisi ad x, to ne postoji broj T koji bi bio period date funkcije.
b) Pretpostavimo daje T period date funkcije. Tada vrijedi cos(x+ T)' = cosx' => (x+ T)' = ±x' + 2krc .
lz posljednjc jednacine vidimo da T zavisi ad x, pa ne posloji broj T koji bi bio period date funkcije i funkcija nije periodicna.
c) Prctpostavimo da je T period date funkcije. Tada vrijedj sin(x+T)'~ sinx' ~> (X+T)2 = x2 + 2krc iii (x+T)' ~ rc-x' + 2kn.
1z posljednjihjednacina vidimo da T zavisi od x, pa ne postoji broj T koji hi bio period date funkcije.
6.76.a) x ~ 3 b) x =-5 c) x=3 iii x~4 cJ x =-4 6.77.a) x ~ 1m, kEZ b) x =-4
(x + 7)(x - 3) Y = " Za x<-7, -4<-x<1, x> 3 , funkcija je pozitivna, a za
(x+4)(x-l) 6.78.a)
·-7<x<-4, 1<x<3, funkcijajenegativna.
Nule funkcije su XI = -7 i x, = 3. b) y>O zax> 1, y<Ozax< 1, y=Ozax= L c) y>O za-J <x< I v x<-3, y<Ozax> 1 v -3<x<-1,
y~O zax=-3.
6.79.a) y> 0 za x < 2 ili x>3, y < 0 za x<O ili 2 < x < 3, y = 0 za x = 2 iii x=3. b) Funkcijaje pozitivna u svim tackama u kojimaje definisana. c) Y > 0 za x> 1, y < 0 za x < 1 i x if:; -3, Y = 0 za x = -3 ili x = 1.
292
6.80.a)
b)
6.8La)
3x + 4y -- 11 = 0
3x+2xy-4y-l ~O
8+3sinx y=---
1-2x'
=> 4y ~ -3x + 11
=> 2y(x-2) = 1 - 3x
b)
=> -3x + 11 y=
4
=> 1-3x y=---.
2(x - 2)
x 2 +8x+2 y=
1-3x
b) v~-2x-4 I' '\ 'I
c) y=-J'X+5
\ \ 1 \ 'I
6.84.a) y = ifi b) " y= lx-II
~ / /~:
/ ~'I /
6.85.a) y.= x2 , j
\ /
b) \\y ~ ~_;2 -4/
·1 / \ ' ! \1/-.·
-;-C;-C;-" .\"~--i \T' 'ri-lj --.---T . i
\ I J ":1/
1 \
1\ 'I \ .',1 \ \
eJ y=x;'.+l . . ,I . \ ! : \ 'i /
, i ,
\ 1 / ..'(
293
6.87.a) y = 2' b) Y = 3'
," . I '1 f
JJ jJ 1~ :1 "''--j''
6.88.a) y = logx b) Y = log(x-2) I'
:1 r -, .lr--T J
y
6.89.a) y = sinx
IT rc
6 3
294
r / I !
1) /1
.1 c) y = log(x+2)
r (
.~
b) y = sinlx
/
y c) y;=cosx
6 6 3
-I
- -6 6 3 2 3
" 2IT 6
6.90.a) y=2(5/+7)-5=JOI+9. b) y=[(2t-I)+I]' -3=4,'-3 6.9I.a) y=sin(t'+I)+2 b) y=ln(e4+2)-·1 6.92.a) (f 0 f)(x) = f(f(x» = J - f(x) = I-(l-x) = 1-1 + x =x.
I x-I b) (gog)(x)=g(g(x))=---'-
1- g(x) I 1- -
I-x
c) (hoh)(x)=x x
. I I-x-1 x 6.93.a) (f 0 g) (x) = f(g(x») = 1- g(x) = J --- =-...:.~
J-x I-x x-I • I I 1 ]
b) (g of)(x) = g(f(x» = 1- f(x) 1-(1- x) ;;. c) (f 0 h)(x) = I-x
, 6.94.a) [(f 0 g) 0 h ](x) = (f 0 g)h(x) = f(g(h(x») = 1- g(h(x» = I 1- ~(X)
=1 1 1 x--J
--'--=1---=1------=1 +x-1=x. I-h(x) 1--"'-. x--1-x
x-I
b) (fo(goh»(x)=x. c) (fo(hoh»(x)=I-x
6.95.a) f(x+ I) = x-2 = (x+ 1) - 3 => f(x) = x-3 b) f(2x) = 4x-1 = 2(2x) - 1 => f(x) = 2x-1 .
c) f(x') = 9x = 9N => f(x) = 9Fx, x;o:O.
6.96.a) rr'::)=6X+3 =12·'::+3 => f(x)=J2x+3. . ,2 2
b) Uvedimosmjenu X;I=I.Tadaje x=3t+I,paje
f(t) =8(3t + 1)+2 = 241 + 10 => f(x) = 24x + 10.
) U d· . x+ 1 T d .. d' I . c ve lIno smJenu - =1. a a VTlJC I X =--, paJe x t-l
1() 3 l3 => 3 t = . I-I = 1--1 I(x) = x-I'
295
6,97,
f( 0 ~3n) = f(O) +/(3n)
f( n ~ 2n) fen) +/(2n)
2f(n) = f(O) + f(3n)j
2f(n) = f(n)+ f(2n)
=> f(n)=f(2n)=fe n ;3n)=f(3n);f(3n) f(3n) ,
Kako je f(3n) = f(2n) = fen) , za svako n, to je f(x) = const
c) f 'ex) = 5x~3
11'1 1-2 x+3 1
f(x) = ,I 2lt + I \ I =x ,-"
\ , 5x _ 0 jr'(x)=~_J , 1~2x
6,99,a) r'ex) = x;~
6,100,a) r'(x)=;Jx
b) r'(x)o,.,Jx~5,x?c5 c) r'(x)=~log,x,x>O
b)
,.> f"() 3x+5 , - x =~- X'e' x-2' -
6.101.a, Y:= 10 IX
y=2 /
( y = log2x
6,]02,a) y=x'-3
/
=> 3y+5
x=~-
y-2
0) F'(x) = l4-x', 0,; x'; 2
c)1' y=Y +1
I =x
\ r! / I" I l /
I ! /
\ 1/'" \ ! I r;--::--1±vh4x ~-\Jt' ~-L"==~2 '-"'-
_,-,8±J4-X , \ i
296
6,103,a) y=±Jx+16 b) -1±J49+12x
V=--~-
, ,6
I I
i
\ I
=lx2 -16
/ )
6,104,a) y=10 X+
2 -5 b) y = In(x±Jx' -J)
6,2, Granicna vrijednost funkcije
l±.,Jl-x' c) y = =-'---"
x
6, I 05 ,aJ Kada x teii ka 2, tada brojnik tezi ka I I, a nazivnik ka 1, pa je
lim 4x+3 =i.!=1l r--+Z 2x-3 I
b) lim 3x+5 3'{-2)+5 = ~6+5 =2=1. oj 0 x--+-Z4x+7 4-(-2)+7 -8+7 -1
6,106,a) lim(X2
-3X+l +1) 02
,,3,0+1 +1=2 x-><J x~4 O~4 4
c) 1
6,107,a) 2
6, 108,a) 00
6.1 09,a)
6,110,a) 2
66
lim(4-~)= 4 6,11 La) " ...... "'\ x
n 6,112,a) 3
6,1l3,a) -00
6.l14.a) +00
b) 0
b) - ctga
b) I
cos 2 a b) 4
b) 4
b) +00
b) 0
cJ ,2
c) I ,fi
c) 2
c) 3
c) 8
c) ± 00
c) 0
297
6.llS.a) +00 b) - 00 c) - 00
6.116.a) Kada x tez; ka 3, naz;vnik razlomka te:!:; ka nuii, pa izraz treba transformisati i skratiti prije uvrstavanja vrijednosti za x:
I· x'-9 -I' (x-3)(x+3) I' x+3 3+3 Illl-,--- 1m :::;:; Im--~--=2.
x-t3 X - 3x x-~3 x(x - 3) x--+3 X 3
b) lim x',-16 ~ lim (x-4)(x+4) = lim x-4 = -4-4 =1. X+-42x +8x X-l--4 2x(x+4) X-4-4 2x -8
6.117.a) I· (x_I)' I' x-I Im---= lln--=O
x_1 x(x -1) x~l x
6 118 ) I· x + 2 I' x + 2 I' 1 . .a 1m ~ 1m . ~ nn -- = +00 • x·-.-;2+0 -4 X-42+0(x-2)(x+2) X-}2+ox-2
6.119.a) -5 b) -3 6.120.a) lim x(x -+ l)(x -+ 2) H-' (x + 2)(x - 3)
2 5 '
1 + ... __ .
I, X x3 0 Im----=
X_}W I 3 1 --+ x 2
6.121.a)
.. x'-8x+15 . (x-3)(x-5) . x-3 I 6.122.a) 11m ~ =11111- =iJm--=-.
x-.}) x~-25 x-d(x-5)(x+5) :r45 X+S 5
b) I
3 6.U3.a)
3(X-l)(X+~) b'.) I' 3x' -x-6 _ i' 3 i' 3(x-i)
1m - IITI = UTI ---H_'6x'+10x+4 .H~'.6( \)( 2) ,".,'.6(x+l)
3 3 x+ X+- 3 3
5
6.124.a) . x'-x'-x+I_. x'(x-I)-(x-·I) .. (x-I)(x'-J)
itm}-'- 2 - hm . = Inn = H'X +x -x-I H!x'(x+l)-(x+l) X->1(x+l)(x2-1)
. x-I 1-,1 0 = Inn--=-=-=O.
x·~l x+l 1+1 2
b) 10
b) 3
b) 3
b) 0
. x~-x3-x+l b) lim
X---}; X' _5x 2 +7x-3 I. (x -l)(x _1)(x 2 + x + 1) lm~-~-~---~
HI (x -1)(x~ I)(x 3) -lim x
2
+x+ 1=_2 ,,-.1 x-3 2
6.125.a)
b) 4
298
I 6.126.a) "4 b) 2 6.127.a) 3 b) 3
6.128.a) Nakon dlieljenja brojnika i nazivnika sa x' , dobije se: 3
5 4 3 5+ 4 lim x + = lim x_ -=5. b) 0 H.· Jx" +lOx' +100 H'"RfO 100 1+-+--
X4 x8
6. J 29.a)
~-~+ II __ ~- ~ = hm x x[; V x 3 0-0+ 1--0 1
,~., 11 10 5+0-0 5 5+----
X-- 2 x
/ll-..3~-.3.1 · x - 2.J:: -3, .J:: x) . .J::
b) Inn = hm------=lim-=-<XJ. H" 1~.2.J:: H".J::( 1 'I H'-2
6.130.a)
\.J::- 2) · (J 6). x+3-6. x-3 J 11m --~""'."- = inn--o --= hm----.:::::~.
•. " .x-3 x' -9 H) x' -9 H3 (x-3)(x+3) 6
b) lim ---x =Iim----=hm--=hm--~O · (x. ) x) - x) + 9x . 9x . 9
Jc~''''' Xl -9 _~~,; x'"·'''- Xl -9 "--->oc x2 -9 x-I"-' x-2. x
6. 13 La) I!m --- '.- = lim ::::: lim ::::: lim --~_ . (1 2). x+J-2. x-I . 1 1 X--)I\x-l x~-1 x-}I x2 _1 x··,> 1 (x--l)(x+l) X-41x+l 2'
6. J 32.a) . (2X'-4X-24 ! 1m 2~---'=-: ,-· ..... 4 x --16
= Ull :::; lm--=-J ) I' 2x' -3x-20 I' 2x+5 13 4-x r->4 -16 .-04 x+4 8'
11
b) "2
b) 12
6.133.a) -3 b) 5
6.134. Neposrednim uvrstavanjem vrijednosti x=O dobije so rezultat. a) 0
( r--J (x-N~Xx+~) 6.135.a) J.2]~o:) ,x-vx
2 +4x =}!".! x+Jx2+4x
-4
b) 0
_ i' x' - (x' + 4x). - 4x I' __ -c4~~ - Im·- = lim -- = Im-X-++"-' x+,Jx2+4x _t-} +<">0 _,_,JX2+4x x-++oc R
X, 1+ 1+-1+ F,:O' ~-2 .
b) 5 2
x
299
6.136.a) Uvoaenjem srnjene x ~ -t, dobije se:
lim (x+ J;;;:=7X)~ lim (-t + if + 7t) ~ ... --. ~W /--, +00
. (-t+Jt'+7tXt+~1 . t'+7t-t' =hm )=hm r:;
H+oo t+~ H+ov t +"lJt 2 +7t
7t I' 7 7 7 = (~:r;t"'t+it2+7t =,l~ R I+JI+O 2
'V 1+ 1+-t
b) -54
_ (~1+x2 --xXJ1+x2 +X) . (r:-:] 2 ) I' . hm " +x ~X = un 6.137.a) lim 1 ~O
X--HW Jl +Xl +- x x~,,+oo\ X_l-C<>o JI+x2 +x
b) }In;,,( JI +x2
_ x) ~ x~d F+7 + Ixi) = +00;
II·nli.0-FxL(0+Fx)~lirn I a ~O 6.138.a) I' J
X--,>«.' X+G +.Jx x--+w ..jx+ a +- x
b) 0
_. . _. (Jx+E-E)(JuE+fx) 6.1J9.a) ImJ Jx+E -EI- Itm ,-" ~ -
"_'.H,"O\ ) x->-"" • "Ii x +- E +-.J x
,. ". C = hm x+vx -x = lim "X / ,'\IX hm _~~l~_
,~-" ~vx +E n,· Jx+E +EI E X~ __ JuE +1
.Jx
6.141.a)
300
2 bJ -
2
0) 00.
6.142.a)
6.143.a)
1
4 b) 2
,E Fa Fal =Hlli---=----=-=-
H".Jx+Fa Fa+Fa 2Fa 2
6.144.a) 6 b) 2 3
6.145.a) I. I-E _I' (1--Fx)(l+FxJ Inl--- 1m ,~I I-x' HI (1-x 2 )(1 + J.;:) 1
. I-x 1m HI (1- x)(1 + x)(1 +.Jx)
1 ~ lim. 1 _. I H I (I + x)(1 + Ix) (1 + 1)(1 +.Jl) 4
e)
c)
0)
b)
c) lim .Jx-2 --lim (,f;-2)(,f;+2) (3+.J2.X+T) H'3-ili+! H 4 (,f; + 2)(3 - ·J2x + 1)(3 + .J2x + 1)
_I' (x-4)(3+£x+T) l' (x-4)(3+£x+T) - 1m _ UTI =~,=,-"c:..:......:=,-,-.:..!..
x-H (,f;+2)[9-(2x+l)] H4 (,f; +2)(8-2x)
~IHn (x-4)(3+J2x+i) = lim -(3 + J2x+i) =_~ d42(,Jx+2)(4-x) r·,4 2(Fx+2) 4
144
132
4
6 146 ) I· x-2.. (x-2j(.[;+7 +3) I' (x-2)(Jx+7 +3)
, .a 1m - urn ::;: lffi--- _ = H'Jx+7-3 H2(Jx+7-3)(,Jx+7+3) . .-+2 eJx+7)2-32
,--. (x-2)(vx+7+3) .,--;; r;:;-
~ hm~---- =hm('\Ix+7+3)=v2+7 +3=6. x··..,.2 x - 2 x~>2
b) sFa 2a
c) 8
6.147.a) I) I· x+2E-3 l' (x-3)'-(2Fx)' x+4+SJ2 4 ) 1m tm ._--HI X -sE+4 x->l(x+4)2_(SFx)2 x-·3-2J2 --'3
6.148.a) 1 -6
b) ~ 6.149.a) 2 b) ~ 6. I 50.a) +00
4 b)
301
I, sin2x-,cos2x-l
6.\51.a) 1m . x....,.::'- cosx-smx ,
I. sin2x-(cos2x-sin2 x)-I 1m = x_~ cosx-sinx
4
sin2x-cos2 x+sin2 x-I lim . I
, 2sinxcosx-2cos2 x . 1m
x---+::" cosx-smx ~-->~ cosx-sinx , , = lim 2cosx(sinx-cosx) ·-lim2cosx=-2.cos~=-J2.
Jt cosx-sinx 11: 4 x~4 x'""*4"
.. ( siux 2) 1< sinx-sin2
x I' sinx(l-sinx)_ b) lIm ---tg x = un 2 = 1m . 2 -
x---+:. cos2 x X-}~ cos x x---+?'~ l-sm x , 2 2
sinx(1-sinx) smx = lim = lim =--=-
t~~~(l-sinx)(l+sinx) x_4~1+sinx 1+1 2 . 2 2
x-3-Jx-3. .. (Jx-3)2 -Fx=3 . ..r;;.:3 .(..r;;.:3 -I) 6.152.a) lim urn ~ = lim ~.- =
x~+3+D 20 x - 3 x-+3+0 2;; x - 3 X-}}+O 2v x -- 3
= lim .r;=}·-l =fj-3::~= .. _ b) x-:.3+() 2 2 2 4aj; - b"
615 -. I -1' J4X2+2+2~X=~_c-. 3.a) 11m /'r-:;--:~'- 1m· (~ , y r-:;- )
x....,.·.oo xl '\I4x2 +2 -2X) x-Hw x ..j4x 2 +2 -2x;", v4x1 +2 + 2x
,---- I 2. , 2 J4+}, +2 , v4x2 +2+2x . ,4x .,.2+2xi,x _ j',m ____ x_ .. __ .
2.
= hm -'--'--'- = 11m ..:...-----.,-- - .. x-)-+"" x( 4x 2 + 2 4x 2 ) 'f->-+"" 2x I: x-++'" 2
. Jl+x+x' -.r=~+x: _. (l+x+x2)-(I-x+x2) 6.154.a) hm ----.,--... --- -InTI -. . ( r r;--., .
_H·(l x··~x x-+°Cx2 - x)l -vl+x+x2 +vl-x+x2 ! , /
b) i
.2, Inn I \ =-1
6.155.3)
6.156.a)
302
.HO( l)(JI . ·2 /' ,2 I ,x-- +X+X +'\ll-X+): /
lim.[;: +rX=I -I =Iim( fi .:::~ + Jx·j t 12. b) .J6 x-+I Jx2 --.1 1'--)1\ P -1 Jx2 ~) 2
cos~ x I-sin2 x lim -~--. = lim ,.---''---c;
T---+ ~ 1..Ls1n3 x ,H''0 (l. +sinx)(l-sinx+sin2 x) 2 2
_. (l-sinx)(1+sinx) ,. I' I-sinx - hm --.------.. -- - 1m ,
x-">~ (1-1-sinx)(1 ~-sinx+sln2 x) X--t ~ I-sin x+sin 2 x , 2
6
. 3n l-sm~ I I 2 2 + --"-_. =---=-
I . 3" . 2 3" 1+1+1 3 -sm~+sm ~
2 2
6.157.a) sin2a
b) J2 2
b) :fi 4
c) ,2
c) J2 2
6158 ) I· 4x+8_ I' 4(x+2) _ lim 4 -• .a 1m - 1m - '2 3
",., +8 '~'2(x+2)(X2 -2x+4) H-2X -2x+4
b) -I c) 2
. x . X (~)2+lj8_x·~+(~)2 6.159.a) !";2Vs-x -vs:;:;: ~";6lJ8=~::'VS'+x' (VS-x)' +'VS-x .Q8+; ·,(V8+ xii
. x reVS_x)2 +V8-x ·lJs+x +(lj8+x)21 Inn .:.:J!'..'..:..::.....:ccc_:""::,,,--,,-,,,:,, x-d' 8-x-(x+8)
_ .. xr('J8':::-;) 2 d8-x ,V8+~ + (lJs +xd - lim~~~"::"'''::'''-c~....-..::...~~~~--x-v -2x
. (Z/s.-x)'+ljs-x,V8+X+(lJS+X)2 _ 4+2·2+4 b) 0 =I~ ~.
,--,0 -2 -2
6.160.a) Ako uvedemo smjenu 23 + x = Z3 , tada je x = Z3 -·23
z = lj23 + x, pa kada x -+ 4, tada z -+ 3 . Otuda je :
lim x-4 limz3
- 27 =lim(z2+3z+9)=27. x--t4V23+x-x ;;--+3 z-3 ;--+3
~ I . (V1+xl_I)(V(l+x2)2 +Vi+x2 +1) b) r . I + x' I
x~IJ- x 2 =(~,~ x2(W+x2)2+Vl+X2+1)
, 1 1 5
=!~,'ci~-;(V(1+x2): + VI; x' +1) ~~~V(l+x2)2 ~Vi+x2+1=3 c) 3
6.161.a) Uvocienjem smjene x + 1 = y5, dobije se:
. V(X+l)'-1 . ;f7-I_. i-I_I' (y_I)(y2+y+l) " hm .- = ltm - ilm --;;-- - 1m· 4 ~ ?
X-}O X y-)-1 yS ~l y-+} y) -1 )'--l-l(y-l)(y + yj + y- + y+l)
y2+y+l 1+1+1 3 =iim I? 15 )Hly4+}F+y~+y+l 1+1+1+1+
303
3 0)
4
,I'> ~ (,1- \2 , , '..;x' -2'[;+1 ,nix-I)' , \Ix -11 ,!.Ix-!
6.163.a) lim ··-=hm-----=hm -----J ~ (illn--i x-+! (x __ l)2 x--+l (x-I/ X--+l~ x-I ,'--->1 xl)
9 b) 3 c) 2
2 3
6,164,a) H-H lim x r;; ".Iim(x +k + a) = 3a X-HI .J X - '\i a x--+a
6,165,a) )' sin3x I' sin3x 3 '1' sin3x 3 1 3 lm--= Im----· =.) llll--= . ::::: . x--+o 3 X-}O 3x x-tO 3x . sinmx ". sinmx . sin!
b) hm---=m·lIm---=m·itm--=m·j =m .<--+0 X x--+O mx 1--+0 t
c)
6. 1 66,a)
6,167.a)
304
3 sinx
b) ~ 2
c)
lUTI--hm--=lim - .... ,-- =hm--' L'Il--=!·-·-=l. . tg x _. .~ . (smx 1) . sinx I'] ] 1"-).0 X ,,-->D X ... -->0 X COSX x-J.O X x-"~) cosx cosO
c) lim sinax , __ 1_ ~ 1im(sin= 'ax,~,-l-J = ~ x·-+O sin J)x cosax x.....,.o ax sin /3x f3x J3 5 6,168,a) b) 9 c) 8 2
6,169,a) Uvesti smjenu: x ~ a+1L Rezultat: 2 b) 4
) U t " '>']' arcsinx . y eves I sffiJenu: y = arcsmx = x=smy. lm--- = hm-;-- = 1. x--->o X Y--->0smy
6,170,a) 2sin2':. 2sin':::"sin'::
I' ]-cosx_I' 2 I' 2 2 1m --- - ll1l--'-- = 1m ---"~-"-
x--+o x 2 x-~ x 2 x---7D 4.~.,:::
2 2 2 2
b) 2
. ? 5x . 2 5x sm - --,- SIn ~,-.- / \' . 1- cos 5x _ . 2 25. 2 25 {. sin t
\";6 -~ - ~u:i ---;,-'- ~ 2:u:i (~J ~:2 U~ -,-)
sin x .
25
2 0) 2
6,171.a) 1}, b) lim tgx - ~m x lim SOS x lim ~in x . .!..=--.:~S x I = . ------ -smx ( \
,"-,>0 x' ~----70 xJ ,-,"","0 X Xl cosx)
]' r sinx 2sin1 ~J I . sinx . sin
2 ~ 1 I = tml'--'-o -- ::::;:-·1lll1--·111n------;;:-·lim--:-. c)
x----70 X x-cosx 2 .. ....0 X x....o (,~J' r---->f)cosx 2 2
I 6,172,a) 2
6.173,a) 2
b) a c) %, Uputa: Rastaviti razliku kubova,
b) 2 ,Uputa: Uzeti smjenu arctg8x = t. c) 8
6,174,a) '. 2sinx-:-~cosx+a sin_x_-_a
lim sm .:?:...~ = lim __ 2 2 _ = Hm --:-:-,2~ . cos ~.+._a = cosa. _~-,>4 x-a x----l>a 2.x __ E, X-,>/J X a 2
2 2
b) 2 ' 7 25in a - Sln_a 0) cos' a
6,175,a) lim sin3x 1im (l+~)sin3x lim (l+~)sin3x HO]_~ HO(I+Jl-x)(j-~) x-,O I-l+x
_ ' (1+~)sin3x , ,sin3x ,,-- . - hm '--=o,ltm--(I+-,Jl-x)=3,j,2=6, b) -9 0) 4
x---+ 0 X x---+o 3x n
6,176,a) 6E b) 2 cos,,-
305
6.1 77,a) 3 b) l' l+xsinx-cos2x l' 1+xsinx-cos2 x+sin 2 x 1m 1m, ~
,--.0 sin 1. X r~.O Stn - x
l ' xsinx+2sinlx l' x+2sinx . (x \ 1m . 1. =: lm--. -- = lim --+21= 1+2 =3.
'H·D sm x x-.O sm x X-l-O sin x )
6.178,a) -1 b U ' . a-x a
) vestl smlenu -- ~ t, Rezultat: -, '2 11:
, , sin 2 x .J! + xsinx + cosx
lim ' 7~;;;;;;;;;'-'-' r-4fJ J) + xsinx - cosx -.11 + xsinx + cosx
6.179,a) 1" sm x 1m
r->oJl +xsinx -cosx
I, sin2x(.Jl+xsinx+cosx) I' sin 2 x(.Jl+xsinx+cosx) 1m 2 = 1m
x-tO 1 +xsinx-cos x .1:---+0 sin2 x+xsinx
I' sinx(.J1+xsinx+cosx) I' JI+xsitL;+cosx 1m = 1m -'-''--=='---==
X-)O sinx+x .y-.O sinx+x
r;-:----
I' vl+xsinx +cosx Iln
X--}O X 1+--
sin x
sin x
J1+O+cosO ~~~1. 1·,·1 2
b) 40
6,ISO.a) b) - 2
c) (
. \ lim 1 + arcsmx) x-,() X I, x + arcsin x _ '" x(l+~!'~';.~-:~-)
1m ------ !1ffi-----"A 0 X + 2tgx ,.", ( Igx) . ( tgx.) . XlI + 2 .---,-~, hm 1 +- 2· _.-
x >:-40 x
2
3
6 . g I ) 1' s . ic.cn+( x:...· +_1",) . I .a Iln-x--t ,-I x J +- I
lim sin(x + 1) X4 .• , (x + l)(x' - x + 1)
, sin(x + I) 2 . sin(x + I) ~l!m ,(x -x+I)= Inn ·lim(x2-x+l)~3.
x--+-! x+l x--t-l (x+1) x--+-l
b) - 4 c) 2
6,182.a) Uvedirno smjenu x-I ~ 2..(l . Ondaje x = 2.'(l + 1 I kada x...,.1 , IT n
d 0 '- "d']' I nx . [llX n(lCC \] ta a a-+ . LatovrlJe 1: tm.(x-- ) tg-= 11m -_·_-tg- -+1.1 ~ X~} I 2 {l ---> 0 7r 2 n: }
,( 1[ )
.. -1 2([ ( n )J- . 2a $Inlet + '2 =!lm -tg a+- = ltm-'
n-",uL'it 2 0: ..... 0 IT cos(a +i-) 2 . ( (l ) 2 =--hm --·cosa =--1[c>"-->o\sina n"
2 b) c)
6,183.a) Nekaje x-~ = z, Tadaje x= z+~ I, ako x"",~, onda z...,. 0,
pa imamo
306
Sin(x-"--) lim 3 = lim sinz = lim sinz x--+~ 1- 2cosx 0-).0 I-2e0s( Z +- ~) ;-·-~O l-cosz+ J3 sin z
2sin~cos-=- cos":' 2 2 2 1 .13
·.£--=Iim ' '40. 2 r:;3 2 = .,fj~ 3
Sill +- ~ j cos --2 2
= lim :---+0 . 2 z r;;. Z Z
2sm --+2v3sm--cos--2 2 2
b) Uvedimo smjenu, X - 2 = z, tj. x = z + 2. Tada, ako x...----? 2, onda z --+ 0 , pa imamo
I. X2 -4 I' z(z+4) Im--= nn
x--+2 n ~~ n C08- cos·· (z + 2)
4 4
n ,z(2+4) 4, "4z. 16 hm---=-·-lnn--·hm(z+4)=,--.::;-)() . 1t 'it .:0->0 _ 1t ::--+0 1t
-SIn--Z sm~z
4 4 x -sinx sinx 1---- , l' sinx [- lln-'-
6.184,3) l ' :x._-_S:.,iC-":':'X nTI-;H·'" 1---5x
x x lim 1 -5 X--->'"" X
I
5
3 cl -, 2
b) Uvesti smjenu: I
X-TI =U. Rezultat: --. 2
0) -I
. l-cos2x l-cos2a cos 2a - cos 2x
6,ISS.a) 2
b) lim 2 2 -. lim 2 :;-){)', Xl __ a2 :;_'('( xl ~ a 2
"" lim sin(x +0: )sin(x -a.) = sin 2a . '~a (x+a)(x·-ix) 2a
6.186.a) Uvodenjem smjene 1- x = a. i transformacijom izraZ3, dobije se:
lim smx-··cosx
X-}~ It - 4x
.' Sin("--u'J -COs(~-u I ,. smx-cosx r 4 ,)
,~'~ 4(~' _ x) . = ul~o 4a = 4
.1£ n. n .n. sm----cosa -cos ~ s!na. -cos~---cosa. -Sln--Slna
lim 4 4 4 ._..:.4±-_ o:-~O
J2 . sin a J2 ..}'2 hm .. ·-----·]=--,
4 0:---+0 a 4 4
K k . cosx. cosx d' .
b) a OJC Iim------=lIm-----,uve llTIOsmJcnu ,~~TI -2x "i 2(~-X)
" ~-X=Ci I 2
nastavimo transformacije izraza:
307
I" COSX
,~m" 2(110 ) ? --x - 2
6. J B7.a) Uvesti smjenu
lim co{%-a) I. sina 1 . sina 1 .m--=-·llrn --=-.
x_o 2a x·,-+02a, 2x--)oOa, 2
IT X -~ ~u . Rezultat: -J.
2
c) 2
b) I· tgnx I· tgn (a - 2) I· tg(na - 2n) I· tgna . tgnu 1111 ~-= 1m Iln :;:;:: 1m -- = 1t hm~- = 11:
c)
'---+-2x+2 0:--+0 a 0:--+0 a a-.-.;.O a ",.....,.0 TIet
.. tg'x - 31gx l1rn~-~~-~
x-~~ cos( x+ ~-) I. tgX(tg'x-3) I· tgx(tgx-fl)(tgx+J3) 1I~~ ()"lm ..
<-'3 coslx+~ <-'~ cos(x+~)
19x s+-l) Sin(x+})
tgx( 19x '"- tg ~-)l( 19x + ta~) cosx COS!:- IT cosx cos-
3 ,. " 3 0 3. 3 :~~ I-IT ( n -)1 . -- !~J ~~~~~"";'---c~~.
COl2-l3-X)J ) Sin(}-x)
sm x----6.18B.a)
. ( rr ) .. 3 11m ' ".+~ ! - 2cosx
)
I. sina . sino, U11 ---"-~~-'- = !Jrn -~~--c,cc-~","
u--+ 0 1-2COS( a+- ::::._) ct-J. 0 I +2Sin(a - ~ J \ 3 6/
308
_~~~~_ sina. = lim sina = !im---;~=~-
(H- 0 1 +2sina GOS~- -2 coso:. sin::- ct --, I) I-j:.J3 sina - cosa 6 6
2sin~cos~ 2sin~cos~ = lim 2 2 ". = lim ____ 2 2
,,_-) 0 r:::. 1 a . 0 a ;(J ~ a (, U 1+-v3smu-cos " +sm~ - 2.J3sin---cos:~+2sin2----
a cos-
2 2 2 2 2
= lim 2 cosO 1 .fi cosO+sinO = J3 +0 = 13 =-3-
a--).O -fj cos~+sin a 2 2
b) I-sin':: I-sin~ -a
lim ~~_2 = lim 2 l-cos~ l_cos2 ~+sin2 ~
lim _~~_2_ = lim 2 2 a---).O a u---).O ex [!-,. 0 X-He 'it - x a
lim _~_2_ = lim __ 2_, sin ~ = lim __ 2_. lim sin::' = 1· sin 0 =- 0 . 2siI/CL- r sin ~ J sin ~
<:<->0 a a---).() ex 2 a-d) ex u~O 2 c) 1
~ ~
~ 2 2
6.l89.a) Iz 2sin:':.cos:':. ~sinx slijedi 2 2
x sinx Aid b·· cos - = --- . na ogno se 0 lJe: 2 2sin~
2 . X sm-
X " cos-=-~--.
. X Slfi-
X 4 cos-=-~-, ... ,
. X SIO--
cos~=~. 4 2sin.::
4 8 2sin::'
8
2" . X 2s!U 2H
Dalje, vrijedi: lim cos'::'· cos":'· cos'::'· .... cos~ = <~.- 2 4 8 2"
. x . sm"~
lim~·_~_2 _ JH". 2sin':::: 2sin ~
2 4
. x sm-
_ .'L
2sin':: 8
. x SIn--
... ~=!im sinx
2sin ~ Il->'" 2" sin~ 2" 2"
sin x sinx sinx
= ~_...........2f.. __ =_~x'c-~ __ = _X_ sinx x
2" 2" b) Kako je cos x ·cos 2x<cos 3x· ... , cos nx -1 =
sinx
lim....--lf-= n->'" • X
5lU-
~ x
2"
cos x -I + cos x· (cos 2x -I) + cos x cos 2x(cos 3x -1) + ... +
+ cos x cos 2x cos 3x· .... cos(n -l)x(cos nx-1)
- 2sin 2 !: sin 2'::'
1 cosx-l 2 1 2 1 II.mcoskx-l ".,_k
2• Im--·-·--=!im-.. ---=--lim---=-- -_
x_,O x 2 x--}o x 2 2 x-).o x 2 2' x···>() 2
4 . I' cosx·cos2x cos3x· ... ·cosnx-l
to Je: x~~~ x2
I. cos x -1 + cos x(cos 2x -l) + ... +cosxcos lxcos3x .... (co.snx --]) = ml ......
x-"o x 2
lim cosx -1 x-, (} I
. cosx(cos2x-l) +1' cosxcos2x(cos3x-l) + 1m ~ 1m < +. x·"O x~ _,'---).0 x2
+
+ t. cosxcos2xcos3x·,.,·cos(n·-l)x(cosnx-l) ~. ~ .
1 9 n 2 1 2 ---2---· ... --~--(1+4+9+16+ ... +n )
2 2 2 2
n(n + 1)(2n + 1)
12
309
6.190.a)
b)
6.191.3)
b)
6.192.a)
5 I+~
lim 2' +5 ~lim~= 1+0 =1 x-."':,2x _5 x---'>'" 5 1-0
I-~ 2'
r ]'" ,
. 4 ,x . _ I . I (·4 / 1 I
hm(I+-1 =hm 1+-:- =hm(I+-i =[Iimll+-)] r---,>{l) x) x---'>oo'l ~ ("-)'" !) i-}«: t
" 4
c) 5
,
. ( I)' ( I )-"-" r ( )'1" c) ~lm l-~ =1il1lll+- =i lim 1+! =e-I ,---'>00 x x---,>OC ~X 11.-)", t
L j
Iim(I+:~)X=lim[1+-31]' =lim(I+!I¥ =lim[(I+~)'lj = -I""'J-OO 3x X-'>OC x 1---,>",,\ f) /--too \ !
-2 J
, = lim 1+~1 E =e 3 [ r 1\' 1:; ~
/--?W\. () J 5
b) c 4 oj lim [(l' 1+2. r]' = lim eX = +CD. X-cO"'" x) x---+m
6.193.a) Uvodenjem smjene x~!, dobije se: limQ +x)~= liml(J +!)' = e. • { x-;. 0 I_·_'<f:, (
b) lim(1 + 2x)L lim[(1 + 2x) ,';]2 = Ilim(1 + I) ;]' = e2 X-')O x---+(} 1'--+0
cJ I · (I 4) '~' I' [I (4 )]=~«:.,) l' [ 1--~-1 1m -~ x = 1lTI + - X .. 4;: = nTI 1+(-4x)J-4X = x---'>o x---tO \'--+0
, ~-4
= lim [I + (-4x)]::;'; . [1 + (-4X)]-' ='ll lim(1 + (-4X)l=L j' . lim(J + (-4 x»'" =e·4
.\---+0 f-"'O x---?O . .
6.194.3) Iim[(J + !:.)'; 1';''''' = em'. X-~(J) X
1
b) Iime'=1 x-:.oo
c)
6.195.a) , "
e 2 b) Iim(2x+3)n-, = Iim(2X+3)'(2x+3)i = .---"'\2x+l Y-.y,( 2x+l \.2x+l
310
. = lim(I+_~2_)'(2X+3)i = li.1I+!f .lim(2x+3)i = x-w; 2x+l 2x+l /..:;.\ I) x-W: 2x+l
I·~ 1)1~~ 4( 1\'( 1)"~J .~ I)' "!{ 1)-i = J I+~ ·1=1 I+~)I 1+- ~ h I+~ ·1 I+~ =e r-v.o [ {->,OC t t /."", t I···~ t
c) ( 5 )2.,. (I)~' [( I)'l'i [ ( I)'l~ '.' lim 1 + - = lim 1 + - := lim 1 + - := lim 1 + - I == e 3 x~o 3x /-){J t H() t J /-lo() t J
6.196.a)
b)
1 [
, I . n(l+x) -I
hm = In lim(l+x)' 1'=lne=l; x-~O x x-~O
J
I. _In-'.( 1_+""mx::=..) lin
\'-70 x lim In (I + ",x); = Inf lim(1 + 11-0:)';] = X--40 I X-J>Q
L
= In[lim(l + mx);;;''''] = In[li111(1 + mx);!,;]"' = In e'" = In. .1'---+0 x-}o
c)
6.197.a)
b)
. . 3. sin3x _ sinx
I" sm3x-smx I" 3x x 1m = 1n1 -
x---,>(I In(J + x) 'x-->il !.~J.!-.:I- x)
3-1
I x
Uvoaenjem smjene --"-- = 1 ,dobije se : x+1
=2.
lim (x arcsin ~)= Hmlr(~ -l)arCSin t] = lim( ~arcsint-arcsin tl = X----»Cf) x+l 1-'t0 t ,--J.o\t )
I" arcsin t I' . = 'It lln ---- 1m arcsmi =1'(.J -0 ""'11:.
1-.-). 0 t 1---+ 0
c) Uvesti smjenu 3..=f. Rezultat: 4. x
6,198.a) Uvedimo smjenu e' -I = 1 , e' = 1 + 1 => x = In(l +1). Tadaje
. eX -1. f hm--=I(m~-'-x--»o X 1-40 1n(1 + t)
I. 1 1m
HO In(1 +1)
t
lim---'-7 I-)() !
In(l + I)'
1
I 'l l"lii:1:( 1 + t)' J
-=1 Ine .
b) lim_T_-_l=lim 1 =In7.Iirn--I-=In7.~~-,I,-~ ,->I> x HO l~( I +12 HO i11.Q-=':.Q I [I' (1 )!]
I In7·-=ln7
Ine In7 t n 1m +1
/...-)00 -\
311
. 0)
6.199.a)
I· aX -I I' til' I I I lm--= 1m = na· 1m = na·--= na. x-,\-O X Hoa In(1 +/) 1-+0 ~ lne
Ina In(l + I)'
8'_1 .8'-1 X -- ltm--·
lim~-=-]=]im_x_=Ho x =ln8=2In2. x....,.o eX -1 X--)oO eX -1 . eX - 1 In e
IUll--' x X--J-O X
7X(IOX -1) 10'-7' 7'
c) lim --- = iim -"--___ "' x-'>o x 2 + X ,\---to x(x + 1)
lim x---+o
(1.0y _ i 7) . 7'
x+1 x
(I~J-] = lim \. 7 .... lim ~ = in ~. ~ = In ~.
x-+o X x---+o X + 1 7 0 + I 7
6.200.a) Uvodenjem smjene e --2x - 1 = t , dobije se: e -2x = 1 + t ,pa je
312
I ·2x I (I I) 2 I (I) In (l + I) D I' .. d' ne '=n +. => - x=n +1 => x ,..,' aJcvrlJeJ: -~
. eO" -1. t . - 2 . - 2 lUll---= 11111---- = Inn = hm--=-~ .----,>D x H.oln(l+t) l-toln(l+I) 1--,>0
-'~-t- in(1 +/)'
-2 I
iim In(l +t)' HO
2 -2 = -----------2 r 'l- Inc - .
II1'llim(1 -I- t)' j HO
b) lim .. = lim l.=lim 1 1---+ 0 In (1 + xl) 1---+0 1n(1 + xt) 1---+0 ~
x--;{--". xln(l+xtY'
, xlimln(1 + xt) " f-~O
=--=- c) Sina . xlne x
6.20 La) I· x +5x+4 -I' I 8x-l -1m -Im-!- -( ' )X ( )'
X-~'" x2-3x+5 X--}OO x2-3x+S
b)
6.202.a)
IlIllX'Clg 1x lilJ\Xl.CO.S~x !illl--~~~'co~' = e'--7(1 = e'--' 11 sin"x = ex: .• iI SHl' x = el.cosO :.-:: e.
--:~---.sin1tx.clgn:x lim sinltx.clgn:x -1 b) lim(l+sinn:xr:lgrrx=lim(1+sinnx)SlllltX ::::e"->I =e
x---+t 'I----} I
c)
6.203.a) n", Kin ,-
linlXX = !in1exh,,· =e'·--+o =e{J =]. b) Ihnx"nx = lilTI e<,nxlnx = eO = 1 .
x-,U .,--",0 x-+ () x---'> Ij
c) .!.. Iln(lo,) ~:.(ln'-}I"x I,,,, !~Qr1!L~.::
lim (lnx) , =- 11m e). = lim e hI-'" x = e·H-'r'lO It", r = eO =! x---++oo _,.-.,.-,.",. x-~+ao
6.204.a) Za x -+ 2 data funkcija je beskonacno mata vetieina. b) Zax-+±3. c) Zax-+ 1 i x-+2.
6.205.a) Zax-+ 2kn:, kEZ. b) f(x)~Sinx+cosx~J2sin(x+~} 4k~1
Funkcija je beskonacno mala veiicina za x --+ -- IT., k E Z . 4
c) Funkcija .Ie beskonacno mala velicina za x -+ 3.
6.206.a) b)
6.207.a) 6.208.a)
6.209.a)
Funkcijaje beskonacno velika velicina za x --+ ex:.
X--++OO c) x---+----co
x-+4 b) x->±l x --+ +00 b) x --+ ~OO
x--+~+/at,kEZ 2
b) x->n+kn,kEZ
cJ x-+±4 c) x--+±oo
c) x--++oo
313
6.3. Asimptote funkci.ie
6.210.a) Kada x -+ +00 , tada y -+ 0+0. Kada x -+ -00 ,tada y -+ 0-0. Horizontalna asimptotaje prava y=O. Vertikalna asimptota je prava x=2.
b) Horizontalna asimptota je prava y= 1, a vertikalna x= 1 ,
c) Horizontalna ~Simptotaje prava y = ~,a vertikainaje prava x = O.
H · 1 . . l' . I' ( 4 '\ onzonta ,na aSlmptota .Ie prava y= JeT Je 1m 1 ~ 2 J:::: 1 . x-~'" X /
6.2ll.a)
Vertikalna asimptota je prava x=O, jer je x~~~o( 1 - ~2-) = -00
lim l(l-~) ~ -00. x->OHi x~
x 2 + 1
b) Kakoje lim '."-";-~ = lim x2
+1 = lim(I+~)= 1, to data funkcija ima );~'~"" x x--. '" X-). co x
kosu asimptotll cij i je koeficijent pravca k= J. Odredimo segment n na y-osi:
. (x2+1 I . x 2 +1_x2 • 1
n = hm -- - x) = hm ----- = lim - = 0 . r---,> ""\ x x-} co X x-+ 0') X
Kosa asimptota jc prava y = x. Vertikalna asirnptotaje prava x = O.
c) Vertikalna asimptota je prava x = -1. Kosa asimptotaje prava y=x - 1.
6.212.a) Kako je ~2 - 3x + 4> 0, funkcijaje definisana za svako realno x i nema vertikalnih asimptota. Kako je lim y = 0, to je prava y = 0
x ........ :bn
horizontalna asimptota. b) Vertikalna asimptotaje pravax = O.
6.213.a)
0)
6.214.a)
Kako je lim l'. = 2 i lim (y - 2x):::: 1 , to je prava y = 2 x + 1, x ........ ±u;; X x-t±<f"
kosa asimptota funkcije.
Vertikalne asimptote: x = -5 i x =.I., horizontalna asimptota v = O. 2 . Prava y = 1 je horizontalna asimptota.
1 . V = -" x =-3 • 2 - b) y=4x-4,x~ I.
6.215.a) Kosa asimptotaje praya y = x. b) Y =-x 6.216.a) Vertikalne asimptote Sll prave x = 2 i x = -2.
314
K . . 1
osa aSlmptota Je y = - x. 2
b) Kosa asimptotaje prava y = x - L Vertikalna asimptotaje prava x = O. 6.217.a) VertikaJna asirnptotaje praya x = O. Kosa asirnptotaje praya y = x + 6.
(b);x= J, y=x-4 -6.218'01 y=x, y=-x b) x=-l, x= l,y=x,y=-x
6.219.a) Horizontalna asimptotaje y = -1. Vertikalna asimptotaje x =l.
6.4.
6.220. 6.221.
e
b) Horizontalna asimptota je y = Jr.
Prirastaj argumenta i prirastaj funkci,je
Lly = 3(X+i.\X)·- 3x = 3(2+ I) - 6 = 3 . M(x) = f(x+Llx) - f(x) = (x+Ax)2- 2(x+Llx) + 2 - (x' - 2x + 2) =
6.222.
= (5+2)'- 2(5+2) + 2 - (5'- 10 + 2) = 49 - 14 + 2 - 25 + 10 - 2 = 20.
Lly = E+il:x -,J; = JI.44+0,25 -JI,44 ~ 1,3-1,2 =0,1.
[ Llx = 0,5, Ay = 2,75. 6.224. Llf(x) = --.
- - 5] 6.223.
6.225. Lli (x) = ;,(2;4- T2 . 6.226. AP=(a+Aa)'-a2 = 144-IOO=44em2 . 6.227.a) Ay = 3(X+L\X) + 2 -(3x+2) = 3x+3Llx +2 -3x -2 = 3Llx .
b) I\Y = (x+Ax)' + 1 _(x' + I) = x' +2xLlx +(Llx)' + 1 ,. x2 - 1 = = 2xLl" +(Llx)' = Ax(2x +Llx).
c) Ay = 2(x+Llx)' - (x+Llx) + 5 -{lx' -x +5) = = 2x' +4;vh +2(Ax)2 - x - Llx + 5 - 2X2 + x -5 = 4xAx - Ax +2(Ax)'
6.228.a) M(x) = 3' = 3' (3'" - I).
. . 2' I\X ( Axl b) Af(x)=sm(x+Ax)-smx= '$II1'2COS x+'2),
c) M(x) = tg(x+Llx) - tgx =
x+Llx+1 x+1 6.229.a) Lly = .
x+tix--l x~-l
-2~x
(x+ Ll.x -I)(x -I)
-7!lx b)
(x+Ax-3)(x-3)
sin ,0.x
cos(x + Llx) cos x
Sx + Ax + l)lx -1) - (x + Ll.x -1)(x+ I)
(x+Ax--I)(x-l)
I (x+Ax)(x+1)
e) og . (x+Ax+ l)x
315
6.5. Neprekidnost funkcije
6.230.a) x ~-3 b) x~3,x~7 6.23I.a) Tacka prekidaje x ~ 6. 6.232.a) x ~ -3, x ~ 3.
b) x=-5 c) b) x ~ I c)
x= I,x=-3 x~-3
6.233.a) x ~ 2, x ~ 3 b) x=-IO x=-"- x=~ , 2' 2
1< 6.234.a) x=-2,x~2 b) x=2+k1r., kEZ.
6.235. Funkcijaje neprekidna za sve x, jer su sve funkcije y=O, y=x,
y =-r +4x-2 i y = 4-x neprekidne i lim I(x) = flO) = lim I(x) = 0, lim f(x) = f(l) = lim I(x) = I, x-Hl- ,-4tH x--->l-- x_,\,
lim I(x) = f(3) = lim f(x) = I x-}3-- )(->3+
6.236. Odredimo lijevu i desnu granicnu vrijednost date tlmkcije u tacki .2x8 2x8
x =4: lun -~=--'=-CJJ tim --=--=+0':-' r-->4-Dx-4 0-0 '".-.-4-I-ox-4 0+0 .
Kako lijeva i desna granicna vrijednost nisu jcdnake, to funkcija u tacki x = 4 nema granicflu vrijcdnost i irna prekid.
6.237. Kako data funkcija nije definisana za x=6, a
I . x' 36 I' (x - 6)(x+ 6) I' Bn --- = lin all (x -+ 6):= 12,
x-+6-D X - 6 x-+6--o X - 6 x··-)6-()
I· x' -36 I' (x-6)(x+6) an ---- = IIll lim (x + 6) = 12,
x---;.u+o X - 6 .\:---;.(0+0 X - 6 .,-....... 6+0
vidimo da u ta6ki x=6 funkcija ima prekid (koji se moze odstrauiti). 6.23 B.a) Funkcija y=f{x) je neprekidna u datoj ta6ki, ako je graniella vrijednost
prirastaja te funkcije u toj tacki, kada ~x-+O, jednaka null. Odredimo prirastaj date funkcije i njenu granicnu vrijednost pri .6x......,..O :
Ll.y = (x+Ll.x)' - x2 ~ (X+LlX-X)( X+LlX+X) = LlX (2·0+LlX) = (LlX)' ;
lim (.~x y = O. Dakle, funkcijaje neprekidna u tacki x=O. &·40
b) lim If sill (". + Llx I-sin ".l '0 2 lim sin Ilxcos (~". + flxL 2· sinOeos (~1t~+o 1= 0 ~'~'OL U ) 3 ~ ,'hO 2 3) \ 3 )
6.239.a) lim (2"'" _23) = lim 23 (2'" -I) c, 8· lim (2~' -I) =8(1-1) = 0
;:,x-}O /.U·",,~D Ar-.O
b) lim[ 3x+31lx_~_'_~~"--J' = lim~~~:3Llx)(I+I2).-3rl+I'+2Llx+(Llx)'] noHO l+(x+Llx)' I+x' 'HO ll+I'+2flX+(Llx)2]c1+I')
= lim E:+:3Llx)2-3 2+~flXJ+(Ll.X)2L (3+3.:,<Jl~-3L2~2·0.:':.02)= 6-~_O ,,,~o 2+2LlX+(Ll.x)' 2 (2+2·0+0')·2 4 _ ..
6.240.a) Kako je lim f(x) = lim(x' - 2x + I) = 0 f( I) = 0, to je je funkcija x ..... I X--41
neprekidna u tacki x = 1.
316
b)
6.24I.a)
k . I' f() I' ~I +~c~os--=2.:.:.x Ka oJe 1m x =- 1m x .... ::..· ;<'-7::" cosx
4 4
to znaci da je funkcija neprekidna.
1 +cos~ 2
1t cos-
4
I~O=12=I(~J, 12
Kakoje Iimf(x) = I~= f(l), toje funkcija neprekidna za x=1. HI
b) Kako je lim lex) = ° = f(-2), to jefunkcija neprekidna za x=-2. x-+ -2
6.242.a) Kakojezasvako Xo ER ispunjeno f(x)-/(xo)=c-c=O,tose
za dato E > 0 maze izabrati proizvoljno 0 > 0 , pa ce za svako x sa
osobinom Ix-xol<8 biti l/(x)-f(xo)I=O<£.
b) Za data E > 0 dovoljno je izabra!i £ ~ 8 , pa ce za sve x E R , za koje je
Ix-xol <0, biti i !f(x)- l(xo)1 =Ix-xol <8
c) Za dato E > 0 izaberimo 0 = E , Neka sada x E R pripada 6 - okolini
tacke xo' g. nekaje lx-xol <0. Tada vazi
If(x)- f(xo)1 = Isinx -sinx,1 = [2sin x-2xo cos x+
2:".'!.\;; 21Sin x~xo I.
6.243.a) lim 4)1= lim[3(x+&j-5-(3x-5l:!= lim [3x+3&-5 -3x+ 5]= {\\:-l>O l1y....,Q ~x-40
= lim pbx 1= 0 . Kaka je iim Ay == 0 , to je data funkcija neprekidna u svakoj M ...... O !!..<_., 0
tacki svoje domene. b) lim Lly= iim[2(x+Llx)+I-(2x+1)]= Jim [2x+2Llx+I-2x-I]= lim[2Llx]=O.
Ar ..... O /,),x-"}O .:ir--40 I.\x,··,o
Kako je lim D:Y =- 0 , to je data funkcija neprekidna u svakoj ta6ki svoje M··,.I)
domene.
c) lim fly = lim [x + Llx)2 +5--(x' +S)} lim [r' + 2xLlx + (.".x) , +S-x'.-5} !n·..,.O N;-40 Ax·-}O
= lim LlxI2X+ rue]= 0 . Kako je lim Ay = 0, to je data funkcija &--,0 Ax---'> 0
neprekidna II svakoj tacki svoje domenc. 6.244.a) Odredimo granicnu vrijednost prirastaja funkcijeN(x) kada prirastaj
argumenta b.x"-+ () :
I · f() I' [ ('" ] 2 j' . x+Llx+X . X+Llx-x an 4J x = 1m cos x+DA)-cosx =- 1m Sin Stn----= D,X,-> 0 A,-.,.O Ar->O 2 2
o I' . If nx'\.,i,\" .. =-'';' lfi1Sm x+-lsm-=-~2slllxsmO=O
& .... 0 I, 2) 2 . .
Kako je lim D.f(x) =- 0, to je funkcija neprekidna u svakoj tackL .'lx-> 0
b)
317
c) lim &f(x) = lim (ex+"" _eX) = e" lim (e'" -I) =ex (eo -I) = 0 /\.'1"-40 &._0 6x....,.O
6.245,a) lim &y= lim [(x + L'u;)' -2(x+~)_(x2 -2x)} &_0 "'-,-+0
= lim [x2 +2xL'u; + (L'u;j' -2x-2L'u;-x' +2x} lim [ZxL'u;+ (L'u;)2 -2L'u;} L\y -+0 1\.--)0
= (Zx' 0 + 0' - 2,0) = 0, Kako je lim L>y = 0 , to je funkcija neprekidna &~O
za svako x iz svoje domene. b) lim &y = lim [cos2(x + L'u;) -cos2x ]=- lim [sin(2x + L'u;)sinL'u;]= 0,
11,1"-;.0 &--+0 /\.x--+o
c) lim &y= lim [J3(x+L'u;)' -2 -J3x' - 2Jl =[N -2 -J3x2 -2J=O, &-+0 !.I.r·-).O
I, + 'I' [\ g( +' I 1= I' I x+L'u; I I' x+L'u; Im~v:::: 1m 0 X+Ll.:'f)-Ogx- 1m og~-=og IlTI--=logl=O &-+0 M-tO llx-.KJ X !l.t-,loO X
6.246,a)
b) lim&Y=lim[X+6x xl=~_,2'~=o, ';.>"-.0 {",-.o x+.6 .. :\:+5 x+5J x+5 x+5
c) Kako je nazivnik u datoj racionalnoj funkciji uvijek pozitivan, to je funkcija neprekidna kao koiicnik dviju neprekidnih funkcija.
6,247,a) l( k ' I' f") I' x2
9 \' (x-3)(x+3) , a oJe Ill!. \X = llTI--= 1111-- =hm(x+3)=6,tosc x,,+'" x·-+3 X - 3 x·-+3 X - 3 x---'I'3
data funkcija m07£ dodefinisati do neprekidne funkcije u tacki x=3 na
JX
2 -9 j(Xl+2X+1 \' d " ~o I( --, x:t:3 b) , x*-l sJe eClnacm: ,'x)=1 x-3 f(x)~ x+1
I 6, x=3 l 0, x=-I
6,248.a) ~Sinx
x;t:O f(x) = -,;-'
l I, x=O l~-~' x,;o
b) f(x) = 4x 1 - x=o 4'
r 2-.Jx;4 b) f(x)=J sin4x '
l-I~ , 6,249,a)
x=o
318
7. DIFERENCIJALNI RACUN
7.1. Srednja promjena funkcije. Srednja i trenutna brzina
&y = y, - y, = 13,75 - 7 = 6,75. 7,1. &x = x, - x, = 0,5
&v = 6,75 =13 5, L'u; 0,5 '
7.2, &y = 52-33 =~=19,
7.3.
7.4,a)
b)
7,5,
7,6,
7,7,
,2t 1t SIn--SlTI--
1 1---
L'u; 4-3 1
o 3 .=-,=-.=~=- ~O,4777, 311 --n n 211: 1t 2t
2 6 6 3
lim _&_v = lim "-3(,,':...· +--=/',.;"x,-} -....=2_-· ... Cc:.3"x_-...:2:c-) ,lim 3Ax = 3 , x----}() Ax x-:.D Ax X-tO Ax
-L'u;
lim &y = Iim;:;'-£:-";: lim (x+L'u;)x lim -1 x-·.o!\.y x-·",o L\x X-.).O L~X x----+O(x+Lix)x 4'
v =.1'(1 2 )-.1'(1,) s(4)-s(2)=86-6=40mls, ," I, -I, 4-,2 2
v" ,S(I,)-S(t,) =s(3)-s(0) =!.Q2- s(0) =54, 12 -1, 3-0 3-0
() I' " I' s(t)-s(t,,} I' 213_312+5-(2t,,3_3102+5)
v to :;;;;: 1m F = nTI -_. nTI I-~ to 81 /-+ to t-to !-} to t-to
71331'+5713+31' 5 2(t3 _1 3 )_3(1 2 __ I') lim - - - ~ 0 ~ (l - lim 0 () "
1----+10 (-to I-~I{l t-to
_ \. (I-I,,) ~(t2+tlo+lo')-3(1+1,,)] I' fo( 2 ') 3( I)]' -1m - lml-t+tto+to - (+o
l----+fQ t -to 1-)-/1)
= 2(1" 2
+to to + I,,') - 3(10 + I,,} = 610' - 610 = 610 (i" --I) ,
/:;s 4-(-2) 6 0
Vsr = b.t:;;;;: 4-1 3=':"
319
7.2. Prvi izvod (prva derivacija) funkcije. Opci metod odredivanja izvoda (derivacije)
7.8.a) Koristeci definiciju prvog izvoda y funkcije y =f( x ) :
I· Ay I' f(x + Ax) - f(x) . • .. d t· k" f = 1m - = 1m • PrJ trazenJu IZVO a un Clje, Ax~D Ax Lit-JoO Ax
postupamo na sljedeci nacin: J) Trazimoprirastaj t-y=f(x+Ax)-f(x) funkcijey=f(x);lInasem
konkretnomslucajllje t-y=(X+Ax)-x,ij. t-y=Ax;
2) Podijelimo prirastaj b.y funkcije prirastajem & nezavisno
. I" I • . . L1y LIx promJcn Jive; U oVom s ucaJu Je iit' = At: = I ;
3) Sam izvod zadane funkcije dobijamo kao limes od ~y. kad Llx -~ 0, LIx
d ·· by I' LIx I' 1 P . I' o nosno, Y- = Hill .-:::::; 1111 --:::;: lIn ::::: 1. rema tome, IZVO( iunkcije ,:1,' .• () D..x 4>:-.0 & ,;x-H)
y = x je J" "" t, odnosno, x' = !.
b) Ay = 2(x+ Ax) + 5 -(2x+ 5) = 2Ax.
. Ay . 2Ax Y = 11m -= hm --=2; (2x+5)'=2.
/i,_·}O Ax D.x40 L1x
. Ay . 3(x+Ax)-I-(3x-·I) . 3t-x c) y" = lun -. = hm _.-.. = 11m -- = 3 .
I\X-}O lix 6.x....-;.0 Ax L\x-~{J &
. Ay . (x+t-X)'_X2 . 2xAx + (Ax)' 7.9.a) v"=hm-=l!m------=I!m =2x. (x 2 )'=2x .
• ' ,6x-.-+o L1x hl-JoO & I~X--+O Llx
I. t-y I' (x+Ax)'+3-(x' +3) I' 2xAx + (t-x)' b) Y= Iffi-= 1m . = 1m =2x.
Ar---'>O Lu: I1x--+O L1X l\x---j.(l L\x
'_1' t-y_ l· (X+Ax)2-S-(X'-S) . 2xAx+(Ax)' c) y- Inl--- 1m :::: lIm =2x.
/.\X--+o Ax Ax'-~O .6x Ih--+O ffi
. I' Ay I' (x+ilx)'+3(x+-"'x)··(x'+3x) 7.10.a) V = 1m -= 1111 - = - 4x---70 L1.x 6x-... 0 L1x
= 11'111 2xAx._:+:.(Ax)' :+:,}L'.x . ilx(2x + Ax + 3) iun -.-----= lim (2x + Ax + 3) = 2x + 3.
6x~)0 A,'C I~X--+() At Ar--+O
b) I· L'.y. I' (x+AxJ'-2(x+Ax)-Cx'-2x) .:v = 1m -- = 1m . 6x---'>0 A'C 1)."(---)0 L1x
. 2xAx+(Ax)' -2Ax Ax(2x+Ax-·2) = hm -.-----= lim .------= lim(2x+Ax-2)=2x-2.
4x--+O /J,x ru----,>O Ax Ax---,>O
I· L'.y I' (x + Axl' +4(x+Ax)+6-(x' +4x+6) c) Y= llll--= 1m f).x--l>O L1x Ilx--+D L1x
320
2xAx + (Ax)' +4Ax . Ax(2x+Ax+4) . = Jim hm· = hm(2x+Ax+4)=2x+4.
Ill----'>O Ax Ax--+O Ax Ilx--+O
. Ay . 6-2(x+Ax)' -(6-2x') . -4xAx-2(Ax)' 7.11.a) y'=hm--=hm hm----'---'-
Ar---,>O Ax Ar--+O Ax Ill---l>O Ax = lim (-4x -2Ax) = -4x.
""~O
b) Y = lim Ay = lim -5(x + Ax)' + 3(x+Ax)+ II-(-Sx' +3x+ 11) =
ru---l>0 Ax A,,--+O ~
.. -lOxAx-5(Ax)'+3Ax I' -"'x(-10x-SAx+3) 10 3 = 11m - 1m - x + .
&--+0 Ax 8,x-),0 Ax 3 ,_ 3 , "(x+Ax) -8(x+Ax)-16-(·-x -8x-16)
) I· Ay .' 2 2 c Y' = Im-= urn --- ._= ilx--+O .6.x 6r--+O .1.x
3xAx+~(Ax)' -SAx Ax(3X+.J. Ax - S) = lim 2 = lim 2 =3x.-8.
Ax--+O tu; Ax--+O Ax
Y· = II'm Ay = 11'm [(X+Ax)3+ 2}(x3
+2) 7.12.a) .0.x--}O Llx At---'>O Lu:
= lim 3x'Ax+3x(Ax)' + (Ax)' = lim Ax[3x' + 3xAx+ (t-x)'] 3y2
.1x--+O Lu: Ax--+O &x
b) y = lim Ay = lim (cx + Ax)3 +(x+Ax)' +(X+Ax)}(x' +x' +x) = A,,-;.O & I.\x---)O Ax
. 3x'Ax+3x(Ax)' + (Ax)3 + 2xAx+ (Ax)' +Ax_ =~ -
ffi---'>O & = lim Ax0x' +3xAx + (Ax)' +2x+Ax+l)=
8,x---'>o Ax
= lim [3X2 + 3xL'ix + (.6.xi + 2x + !J,x + 11= 3x2 + 2x + 1 . Ax-tO
c) y= lim Av"" lim [ex+Ax)3-3(x+Ax)'+2(X+-"'x)+IJ-ex'-3x'+2x+l) Ar·--+O Llx Ax--+O .6.x
. 3x'Ax + 3x(Ax)' + (Ax)' -6xAx-3(Ax)' +2Ax = hm .... __ .c..:.:="-'--_="":" ___ ...:...="--' .6x-~O .d.x
= lim Axpx' + 3xAx+ (Ax)' -6x-3Ax+2]= .0.x--+O Ax
= lim ~x' + 3xLlx + (LIx)' - 6x - 3L1x + 2} 3x' - 6x + 2. !\.x--+o
7.13.a) Ay=(x+Ax)' -x' =x' +(~}3 'LIx+(~}, . Ax' +(;}' Llx3 +( :r' -x';
321
7.14.a)
b) L1y a Ax" -~(~ + Ax);
·~5 -5
c) L1y =Tx+&"),- I Ox&x + 5(&x)' lOx + SAx
Ax(x+Ax)2X2~= (X+AX)2X2' Ax Ax
7.15.a)
b)
CJ
322
y = lim &y = lim r IOx+5Ax ~I =!.Q (-5) =!.Q &--+0 L\...v l\x--"'O~ (x + L\x)2 X2..l xJ ' x 2 x 3 •
Ay~ =~; -,{; _ 1 . (,{;)~ &x &x -Jx+Ax+'{;' 2,{;' Ay J x + ,\x .,: 3 - .J;+3 &x
i1x Ax &x( Jx + &x + 3 + rx+ 3)'
y'= lim L\y = lim 1 Ax~} 0 J.lX 6.x--+ 0 J x + Llx + 3 + J;:+ 3
1
=2Jx+3 .
.~. = J2(" +Ax)~· 5 - .J'b~ r:::--; ~ ;
AX(\I2x+ 2L\x~-5 + -J2x-5) .
I . .0. v " 2 1 y'= lIn -' = ,1m ;===~~~-~===-j=. 4.:>:-}0 fix tu---H) J2x +. 2Lu - 5 + J2x - 5 ;I2x .- 5
7.16.a)
Ax sin-
k · I' . 2 1 Ka oJe 1m --= , 1~.x-·*0 Llx
2
to je y = cos x .
.N:
b) "y=2sin(x+&)-2sinx= 4CO{X+ ~}iO~; :=2CO{X+~}'l!~; . 2
Ax sm-
Kakoje lim __ 2_=.1, toje y:::o(2sinx),=2cosx. ,:\"x-+o 6...'(
2 A sinfu
c) Ay" 3sin2(x+Ax)~3sin2x=6cos(2x+L\x)sinL\x; t =6cos(2x+AX:)'-Ax-~-'
7.17.a)
cJ
. sin M. 6 7 Kako 50 11111 ___ .0;:;:: 1, to .Ie y' = (3 sin 2x)' = ) cos ~X -,.\,'""() ~
Ax' ;' &x"\ Ax &)' (1'0:"\ sin ~:;:
fly = cos(x + Iu) - cosx = -2sin\' x + --2 j'sin ~2 ; ~ = -sinl x + -2 ). ~£~'='----. • Ax. .-
2
Ax sin---
. I" 2 1 Kako Je 11n ---- = , I'\X--7 () A,y
. 3N: SlH-
IT' • I' 0 I ,ako JC nn ~.=-~ 0:: ,
• &r-; 0 3L\X
2
y =-~2asin2x.
toje Y' ::::::(cosx),;:::;:::--sinx.
toje Y' ",,(cos3x)'=~3sin3x.
323
7.3. . Osnovna pravila za izvode (Pravila deriviranja)
7.18.a)
b)
7.19.a)
b)
c)
7.20.a) b) c)
7.2I.a) b) cJ
324
Kada x dobije prirastaj fu: , tada i funkcije u i v, koje zavise od x, dobiju svoje prirastaje ito: u dobije prirastaj l1u, v dobije Llv, a y primi /1y.
Tadaje Lly=(u+Llu+l'+LlvJ-(u+v), tj,
Lly =Llu + Lll'; y' ~ Iim(LlU +LlV)=U" +1". Llx .Ax.Ax .G.tryO Ax Ax
y'=(u-l')'=u'-v'. cJ (ku),=ku'.
Llv LIu Lll' Lll' Lly=(u+LIu)(l'+Lll') -uv =vLlu+uLlv+L\uLlv; -"- =-v+u-+llu-;
LIx LIx Llx LIx
d .. . I' Llu. Llv • k kada ilx -----* 0, on a sv 1 pflraStaji pa 1 t'1u teze nu 1, a -I - teze a LIx LIx
Lly u'iv'.Prematome,y=lim -=U'V+Uv'+O·v' Hi
lix"""'O L\-y
(u· v)'=u'·v+ U· v'.
Llu Lll' u+Au 11 vAu-uL1v
v--u--Lly=----= .;
v+Llv v v(v+Av) Llx LIx.
v 2 + vllv
Ay U'V-t/'V y' = lim - = , ti.
DX---+OAx v 2 +v.O (~ \ = lrv- ltV'
v) 1'2'
I. Lly I' (u+Llu)"-u"_ lm--= 1m -
IJ.X---+O Ax II.x---+O Ax
• U" + (;}"-'LlU + (;}"-2 (Llu)' +...+(Llu)"-u" = hm .
6x---+0 Ax
,,-ILl n(n -1) "'(LI )' (LI )" nu u+----u u +,.,+ u = lim ____ --"2'--_______ ~
LIx
I· LIz< [ n-I n(n -I) "-"LI ) = nn- nu +----u (11 A3; ....... O At 2
(LI )'HJ + ... + .11 =
= u'lnu l1-
1 +- n(n ''''.22 un-2 .o+ ... +Ol=nun-1ul. L 2 J
y' ~ (5x)' = 5x' = 5. y'=(llx+17)'=(llx)'+ 17'= llx'+O= 11. y' = (2x5
), = 2·(x5), = 2·5x' = 10x4
.
y' = (6x-x')' = (6x)' - (x'), = 6x' - 2x = 6 - 2x. y' = (4x3 + X + 3)' =(4x]),+(x),+(3), = 4(x3)'+ I + 0 = 12x' + 1. y' = (-8x' + 12x3 +200 I)' =( -8x'),+(12x3),+(200 I)' = -48x'+36x' .
\. 1
7.22.a) y'= -24x b) y'=12x' +x
! 1 3
= 2x ~2 + 4x -"3 + 4x -"2.
7.25.a) , [~J' I ~ .. , 1 _l 1 1 1 I 1
y'=(.Jx) = x' =-·x' =-·x 2 =-'-, =-'-r = r' 2 2 2 - 2 vX 2vx
x' I
b) F,=_3_+ 5 , 2.Jx
3 =_2_
3'E
7.26,a) y'= ~ b) y'= ~ - '.Ix' c) y'= IOL3 7.27.a) y'=3a(n+l)x" +Sbn(3-n)x'-" b) y'=2x" +3x"-'
7.28.a) v,=_"I __ , __ I_.+ x9 b) v'=- 4~' +~fi +~ . 2.Jx 2x'[': 4"1 2 31vl
7.29.a) y' = (x-3)'(2x+ 15) + (x-3 )(2x+ 15)' = 1 ·(2x+ 15) + (x .. 3}2 = = 2x+15+2x-6 = 4x+9.
b) y' = (x'_3x+8),(x3+4x2_6) + (,,'-3x+8)(x3+4x'-6)' =
= (2x-3)()(3+4x'-6)+(x'-3x+8)(3x'+8x) = 5x4 +4x8 -12x'+52x+ 18
7.30.a) Y'=24x 2(X3 -1). b) y'= (2x' + .Jx)'(V-; - 17) + (2x3 +.Jx) ('E -17)'
= (l6X 2 +. lr! (ZIx -17) + (2x' + .Jx). -3~' 2" x) 3c.,jx-
1 3 b) Y=--. x 1 7.3 La)
x'
P·x-I-x' O'x-I·I
c) V'=( x')' ix ')'(x+l)-x2 (x+l)'
. lX+I (x+l)'
2x(x+l)-x'
(x+l)'
x 2 +2x
(x+ I)'
7.32.a)
7.33.a) 7.34.a)
7.35.a)
6 Y'=-~~-'-
(x-b)
13 . 8x y' = - (3x-S)' c) y=-(;:,=3)"'
y'(x) = 6x, y'(2) = 12. b) y'(x) = -15x' + 2, y'(-l) = -13. y'(x) = 4x3
- 8x - 1, y'(O) ~-1 b) y'(I) = 4.
["(1)=183 b) f'(8)=.!.. 3
325
7.4. Izv,od (derivacija) slozene funkcije
y'= (5x + 3)3 J = 3(5x + 3)' ,(5x + 3)'= 15(5x + 3)' 7.36,a)
b) [(x 2
_7)5 J = 5(x' -7)"'(x2 -7)' = 5(x' _7)4, 2x = IOx(x 2 _7)4.
c) y'= [(3x' + 5x - 19)2 J =2(6x + 5) (3x 2 + 5x- 19).
7.37.a) r- r "1' I "-, I -' 5 y'=(;/5X)'=l(5X)2 =-,(5x)' ·(5x)'=-·(5x) i .5=---. _ 2 2 2Fx
b) Y'=(4,h+2X-· X2 i'=4'(..}1 +2x:'7) '=4· (1+2x-x2
), / J ')
2;11 + 2x·- x-
=2. 2 2x 4(1 x)
..}r+2x-x2 fJ·t.2x~X2·
c) y' ~(X-I)(5 2X)J=[(X-.1)(5::-2:»)' 2..}(x - 1)(5 2x)
(x - 1)'(5 - 2x) + (x - 1)(5 - 2x)' 2..}(x ~'i;(5 = 2>.) ..... _-
_(5-2x)+(x-l)(-2) 7-3x
2f(x 1)(5-2x) = 2Ji.;~1)(5-=2x) .
7.38.a) y'=[1(2+3X)'l =[(2+3X)~l' =~(2+3x)f-I(2+3X)' =', 2 _ .. ..J _ :J :J2 + 3x
b) y'= [(l_'X2)-4J =-4(J-x2r4-t(l_x')' =8x(I -x')" =_'~" O-X')5
c) y'=I(3-4X2 )k] , =~(3-4X')}-'(3-4X')' ='-4x(3-'4x')-~ = -4x ..
~ - ~4X2
7.39.a) y'= [(x - 2)..) x' + 1 J = (x- 2),.[;?;1 + (x - 2)( J~2'-;:]) =
b)
7.40.a)
326
--ix' + I +(X-2).1:.' + I)' = -ix' + 1 + x(x- 2)
2&+1 ..}x'+I·
r;;--- (x+I)' 2(x+l)..12x-1 +~.
12x-I
(.J3X- v~J'2~-~)~;L;fhL 3
3 3 3x+1 = 2& + 2,3x]3;-'2;J3x .
Y'=[ ~ + II]' -( ~]' +( II] _. (~) + m = b) V~ 'Ix V~ Vx RSx Jf
2 -- 2 -3x-l x
7.41.a)
7.5.
7.42.a)
6x-2-6x - I
2 RSX + ----;-H = 2(3x- I). --.... 2x -3x _.] X
(Ix2 + 1 r 2&' '+'-1 (2x _ 1)(,,2 +ll'. 2Fx2-;:] _ x~2';::-1l
2.Jx2 +1 vx-+l
2(x';- 1)-x(2x-l)
( ' I) ~ Xk + '\IX +!
X2 + 1
2X2 +2-·2x2 +X
(x' +I)..}X' +1
Izvod (derivacija) iogaritamske funkcije
"y = log" (x + Ax) -log" x = log,JI + Ax); \ x
x+2
". y =.2.. IOga(1 + Ax). Aka uzmemo 2:: =.1. AxLix x xn
. 1 n . (*), ondaJe -=-, paJe
"x x
327
t.y I (I) 1 ( j )" Lu =;nloga 1+;; =;Iogu 1+;; . Prema(*)zakljucujemo: kad
Llx-+O, onda n-+oo paje y = lim t.y = limr..1.. IOg (1+..1..1"]=..1..1 , ar--»O& 1I~''lX a n) X oga e .
7.43.a)
Buduci da je log e = _1_ to ,'e' (log x)' __ 1_ . b} (I)' 1 1 a Ina' ,. U' -xIna' nXO:;:::xlne=-:;
y,=(5x/=2=..1.. b) Ji=(x-3/=_~_ 5x 5x x x-3 x-3· c) yt=lnx+ 1
, .. (3x-15)' 3 1 ,(4x' -3x-ll)' y - 3x-15 . 3x-15 = x-5 b) Y = ~~2'----".:"-
4x -3x-11 4x'-3x-1I (x' -2x+3) , 2x-2
(x2
-2x+3)lnI0 (x' ·2x+3) InIO'
7.44.a) 8x-3
cJ
, (x 4)' 4x3 4
y=-.-=~-.-x4 X4 - X
7,45.a) b) y'= 4(1nx)3 .(Inx)' = 4(1nx!:' x
c) y'=[ln(lnx)J = (In x)' = __ 1_ Inx xlnx
7.46.a) ,,_ fI:::' _ (lnx)' 1 Y -hlnx) - 2JI,;:; = 2xfl~x'
b) 11'= (2+ln' x)' (in 2 x)' 2Inx·(lnx)·
.' 2J2+1n 2 x 2.j2+in 2 x 2J2+ln 2 x Inx
cJ v'= (~::t ~l2'0(;:.~;~+I)(X-!X . x+1 x+1
x-l-x-I - _. ----L=_l _. = -2
X + I x' -I . x-I x-I I
7.47 .• ) y'=2111X' .(Inx')' =2Inx'. 2x = SlllX x2
X
, b) y'= '
x(3 + lux) c) y!=2xlnx+x~2
I 7.48.a) (x 3 -x)' 3x2 --1 1+-2h 2..,/x + I
(x 3 -x)ln2 (x) -x)ln2 b) y'=
(x+..,/x)lnIO 2",(';:;:+ I) III I 0 c) 12x3
(2·+3x 4) InlO
7.49.a) Y' = logx + loge b) 2
x(l + Inx)'
328
(1+3<)' I -3x' -_._-( ~+.~~)' l 1-3x
2
0) y'=--F==~......L...
(l + 3x2)' (1- 3x2) -(I + 3x2)(1- 3x2)' ~-"'-'--(1"'::-3x')2"---'
7.50.a)
b)
7.6.
I + 3x~ IlllO . I + 3x~ InlO 1-3x2 1-3x2
6x~1- 3x') - (l + 3;,:')( -6x)
= __ . (l ... 3X22_2 __ _
21 + 3x2
.inlO 1-3x2
1+3x' ~+3X2 2· ---, -_ .... InlO 1-3x2 1-3x2
12x
1-3x' 2·(l+3x') ·11l10
6x 4 •
(1-9x )·lnIO
2x 1 + 2Jl:7 _ jJ;;2 + x
x+,,/1 +X2 ~ J1+X2(X+Jl+XZ-)
y' J x& - a6
Izvod (derivaclja) eksponencijalnc funkcije
7.5l.a) y::::a" => Iny~rn(/ => Iny:= xlna
~> (lny)' = Ina y' => -=lna => y':::::ylna => y'=axlna.
7.52.a) y'= _e- X
7.53.a)
_~ -x e -e 7.54.a) y'~--
2
y
b) (eX)' =exlne=ex c) y'=2e2,
b) y'= 3e 3x+
5 c) y'::::: _"2e-2x+ll
c)
cJ
7.SS.a) y'::::.6(2x_I)2/2x-l)' b) i=15e5x--!(e5X-i_l)2 c) y=e 1-"_e-2 ,-
7.56.a) y'~6a""'lna b) y'=(8x 2 -11)',12'X'-lIln12=16.128".lIln12
c) y = (3 - ..,/x)' . 44,·j; in 44 Cc _ in;: . 44, .. J;. 2..Jx
7.57.a) Prelaskom na logaritamsku bazu 5 dobije se y :::: _!-. odakle se racuna logs x
329
prvi izvod: y'= (-I_J' "log, x
I
xln5 (log, x)'
-I
~ln5(1og,x)' '
b) y,=(-I_\ =---rlnlL -J , ,.log x ) (log x)' x In I O(logx)'
c) y' -I
7.58.a) b) v'=-="~ x+ 1
(x + I) In 7Uog(x + I)],
2X2 -2x+2 c) y'~
x 2 + 1 x
7,59,a) y'=_e-'(x2 +4x) b) y':= eX lnx+~ x
c) y'=a'e'(I+lna)
7.7. Izvoo (oeriv3ci,ja) trigonometrijskih funkci,ia
7,60,a)
cos x cos x + sin xsin x
cos" x
7.61.a) y'= l--cosx
7.62.3) y' = 2xcosx - x2sinx
, cos- x
7,63,a) I -2(xsinx+2cosx)
v-= • x.1
I bi v' = -- .. -~. ~ sin 2 x
b)y'=l+cosx
2 cJ )" =-
cos 2 2x
cJ y'= l-tg'x ') r3
b) y' = 3x~ctgx ----:--:;- c) y' = 2x+sinx sm" x
b) ' 1 1'=--" I-sinx
) ,sinx-cosx+l
C Y = " 2 (J~smx)
7,64,a) y = e"(tgx + cos-2 x); b) y =e"(ctgx-sin-' xl , (l cosx)'(l +cosxJ-(I-cosx)(1 + cos x) ,
c) v = - ,-----'-------'-~----, = , 0+C05X)'
__ .sinx(l+cosx)+(l--cosx)sinx -~--- .
(l+cosx)2
7.6S.a) y =e~'"(sinx+cosx) b) Y' =c"(l+sinx+cosx) c) y'==ex+xex+cosx
7.66.a) y'= (sin3x), = cos3x- (3x),= 3cos3x
b) y = -5sin5x c) y ~ --;-cos 7x
7 "7) ,~' '7 b) 2 5' 6tg5
X .n.<1 y:=Lsmxcosx::::SIn_X /;:;:;:- sin2x C) y=6tg x·(tgx) =--Cos
2 X
7,68,a) y'= 15sin' 2x, (sin 2x)' ~ ISsin 2 2x, cos2x, (2x)' =30sin' 2x' cos2x
b) y'=12sin 2 xcosx::::6sin2xsinx
7.69.a) Y' =cosx-3sinx;
330
c) \ I 7 X . X Y =-~cos -sm-
222 b) y'=2sin 2 x
3 2 7,70,a) y'=3(tgx)' -2(ctgx)' =--+--
cos? x sin2 x
b) y'=2-12cos3x,
7.71.a) Y'=--2sin(2x--~) 21gx
c) y'=2tgx(lgx)'-3=--2-- 3 . cos x
7.7La) y'=3xcos3x-2sin3x b)
1 ' I 7,73,a) v'= ,(lnx) =--,-
. cos2 1nx xeDS Inx
3sin2 x + 2eas2 x
sin2 x,eos? x
b) y'
2sin2x c) y'=
I ,I 1 ,6 b) y=-,(tg3x) =--'--,-,(3x) =-sl'I-,6-x
tg3x tg3x cos~ 3x
2+sin2 x
sin2 x·cos2 x
-1
3ctg3x.~ 4
c) y = -tg4x
, ~. sin Fx -2 x-}
7,74,3) y-~-'-' - 4Jxcos~
c) y'=(x+!)2tg~+1
2
bJ sin' xcos~ x
b) y'=--,-cos x
" I ' 7.76.a) y' = 2x In xcos x + xcosx -x- n XSIl1 x b)
b)
y':::::: 2xe x sin x
3Igx-- 1 In 3 v'=---'
7,/7,3)
c)
7.S.
)"-;;c;-sinx·2""-'· -ln2 . cos 2 X
" , y'"",2x·10"'" InlO·cosx
Izvod (ocrivacija) illverznc funkcije. Izvoo fUllkcija koje su illverzne trigonometrijskim funkcijama
7. 78.a) Ako je y = arcsinx, tada je X = sin y, pa, prema formuii y~ =-x' y
b) y = arccox =>
=>
x = siny
, , ,
(arcsmx)'= --" ~ (siny)'
(arcsin x)' ::::::: J •
,JJ "x'
=>
=> 1
(arcsin x),= _.--cosy
=> (arcsin x)' I
~1_sin2 y ::::::: Jl~x2 331
7.79.a) Kakoje x~tgy, toje 11 1 11 ,I
J'~=-=--~-~,--.'~,-~--,~~--?; (arctgx) =--2; x~v 1 ~~)'+sm ~ l+tg-y l+x- l+x
cos2
Y cos2 y
, I b) (arcctgx) ~---.
I+x' ,(3x)' 3
7.80.a) y ~. . ~1-(3X)2 .J1-9x2
12x 7.8I.a) y' Jl~36x'
1 "lOx 7 87 0) )/~----·(5x) ~ . -. • 1 + (5x') , ] + 25x4
1 ,,~. 9x 2
7.83.a) y'~~--, -, ·(3x) ~-6 . 1+(3x) 1+9x
b 7.84. a) y'
IblN -x' b)
7.85.a) y,,,;_b __ b I +X2
b) y,=~_l_ l+x1
7.86.a) Xl
y'=--, b) X
y'= arccos 1 +x- 3
cJ y' (arcsinx)2Jl~~x2
, . xsinx 7.87.a) y- = s1l1xarctgx+xcosxarcfgx+-~,
1 +Xk
r r- ," eX arccos Fx eX b) y'=e- ..Jxarccos,;x+·-----~ _
2.[; 2-11 ~x ji-="-;? ~ x-J 1 ~. x 2 arcs in x + x
c) y'= . eX Jl=x 2
7.88.a) b) y'
332
b) ~5
y'= .JI ~ 25x'
b) y' ~2(x-2)
Mx~2)4
b) 6
y'=--, 9+4x~
b) ~I
y'= 16+
cJ , [ y~~-
Jx~x2
x
) ' 2 c y = .. 1+
7.9. Logaritamski izvod (derlvacija) funkcije
7.89.a) y=x x => Iny= Inx,I' ~> lny=xlnx ~> (lny)' ~(xlnx)
~> v' ~=lnx+l ~> y'=y(lnx+l) ~> y=xxlnx. y
b) y'~3x3x(lnx+ I) c) y'~ xix + 1/ [2In(X + I) + -"'--] x+1
7.90.a) , (. l''''Cnsinx I) b) ""',,., [ In x arcsin x I y= smx --,-+ y'=x +--~, cos- X .JI~X2 x)
c) y'= 2x1nx-
1 lnx
7.10. Mjdoviti zadaci 0 izvodu (dcrivaciji) fuukcija
7,91.a) y'~5(3~2x)4·(-2)~~10(3~2x)4
) t 2x+3
7.92.a Y"" ~-2-VX2 +3x
, 2x+ 1 7.93.a) f (x) ~ r;;-
2x;!2x
7.94.a) /'(x)=6(x·3)(x' --6x+7)2
7.95.a) , 3x3
y;;;:;;_ ...... -
.Jx' ~ 3
b) y'=2(4~2x~x])(~2~3x2)
?x-5 b) y'= _. ..
3'J(x' ~ SX)2
b) f'(x).. ~2Fx J(2x 2 + 1)3
b) /,(X)~~8X(X2 ~3)·5
b ' c-i8;;;X~5 ~ ) y=-3Vx'+1
1 San y=--_.-(ax+b)"+l
b) ,2an(a + x)'"1
y~ ( )'" 2 I
) , 2 x}-2Inx-l X - I 2 c V= .--. n . x 7.96.a)
7.97.a)
b) ,4In(2x+3) y= 2x+3 "
Q'-X
,~ 4xln(x' -4) c) y - ? ... -.
x" ~4
b) y=4·42XI-lln4_3e-3X
333
-I 2 ·-4 b) y'
ctg'.fb:· sin' f;2;;' 3'J4x 2 = 3'J4x 2 sin 2V2;;' J/= _3.. sin In 2 3x·ln3x c)
x
7.100.a) X(I 'X)
y' 2e. -e =2e x ,h_e2x •
JI-e 2x
7.1 0 l.a)
7.102.a)
b) y = 3x 2 arccos x + xJl-x2
2 14-x + J(4-x)x =Y-x-'
-1 b) y'=-'~
2.Jl- x'
7.103.a) y'= -6 sin 3x cos 3:\· e sin1 3:>: COS
2 3x -+ 6 cos 3x sin 3xe sin2 3x =
= 3sin6x_eSiIlL}xsin23x.
7.I04.a) In(sin .;:;:)
2';:;: CO~2';:;:
7 I 05) , cos' x
. .a Y=---1+sin 2 x
b) v'=--'~ . x ~ x tg- cos~
2 2
1--sin 2 x cos1 xsin 2 x
sinx
7.1 06.a) y' x(x + I)(x + 2)
7.107.a) f'(x)=-J--+ e" +1 1+
6
2S111 X b) v .
. (I+cosx)'
b) v'= 2_ . x.Jl +X2
J. ~. --'-SIl1X-COS- xsmx= 2
x cos x
sinx sinx
b) y'= _ arc~gx x'
, tgx . b) Y=··-x-. +sm6x
cos x
7.108.a) /'(x) =. c05(e052 (tg)x)). 2(cOS(lg'x») (-sin(tg'x»· 311'2 X· - .. ~
cos x
b)
7.109.3)
7.11 O.a)
x+2 J/= ----. 2,/x+3 ;j(1;xJX'13')'
/,(X) =4,/'(3) =4
f'(x) = 4x' ,/'(3) = 108
7.lll.a) (,(x)=8x-3, /'(-])=-11
x 4 7.112.a) F(x)="'F~=+-
'(x+I)2'
334
b) FCx)=2x-l, Fe-I).
b) f'(x)=3x 2 +8,1'(--1)=11.
b) (,(x) = 2eos2x, f'( ~}. /,(0)=4 b) /,(2-IT)=Jl
12
\i
7.113.3) ('(.[3).5.[3
7.114.a)
7.115.a)
7. ;]6.3) b)
['(1)=2e2
.1"(0).,,-4 4
f'(x) = 3x2+6x+3= 0 f'Cx)=3x2 ,12x+12=O
b) ['(1)=0
b) f'(5) • ..!.. . IS
=> x2 +2x+l=O => x', 4x +4 = 0
=> =>
=> x2+2x+ 1 =0 => 7.117.a) f'(x)=36x'+36x,7=O 1 7
Xl =--'X2 =--6 6
4 b) x, =1 x, =_.-
" 3
7.IJ9.a) sinx-cosx=O
7.118.3) X = J
=> tgx= J
b) -sin x-4sin xcosx = ()
b), X I•2 =-2±f1Q
IT => x=-+kn:, kEZ
4 => sinx (I + 4cosx) = 0
. I => smx=O ,COSX=-- =>
4 x = kn, x = ± arccos(-_. 2. j + 21m, kEZ.
4;
7.120.a) -3sinx + 4cosx = 3
. x x ( ,x ., x') ( ,x ., x) => -6Slli"2cos"'2+ 4 COS"2- S1n 2)=3 cos 2:+ sm -2
=> .. _6sinEcos~+cos2'::'_7sin2':::'","O 2 2 2 2
x x 1 tg-·-l, tg- •. _ 2 2 7
=>
x =:.:.+ 21m, x =2arctg~+2Jm, k E Z 2 4
=>
b) " rc x = -- +kn: x =-+2kn:, k E Z 4 ' 4
7.0. lzvo<l (derivaci.ia) iml'iicitno zadane funkcijc
7.121.a) 2x+3y+7=0 => (2x+3y+7)'=O
=> 2+Jy'=O "'">
7.122.a) (y')' = (lOx)' 5
=> 2yy' = 10 => y';;::,y
7.123.3) (x' + 1')' = 25' => (x'),+ (y2)' = ()
=> , x
y=--y
=> (2x), + (3y)' + 7' = 0 5
b) v'=-. 12
b) y'.2 y
=> 2x + 2yy' = 0 x
b) y'=--4y
335
7.124.a)
7.125.a)
7.126.a)
~>
7.127.a)
7.128.a)
~>
~>
~>
, x y~-'
4y
, 2x+y y~-.--.
x+8y
(x' +y'- 8xy)' ~ 0
(3y2 8x)y' ~ 8y _ 3x2
, 3x2 _ yeXY +]
y = -'3 2 xv+1 Y -XC-
, 3
(X' +y-lnx-4)'=0
(eY' IIlX )'+(y2 inx)'=O
~>
=>
b) y'~2. 8y
-, , e - y
b) y~--,-e Y +x
3x'+3y'y' -8y -8xy' ~ 0
8y-3x' 3x'+2y y' b) .1", -c;---"-
3.1" -8x 3.1" -2x
b)
(ey-l1nx + y 2 Inx-4)'=O
.4lnx 4 ,2 e' (y Inx)'+2YY'lnx+L~o X
ey41l1X(l4y3yt in x + Y,41 + 2yy' in x + Y."..2 = 0 .X J .~
? 'I v4 -' 2ylnx· y'·(2y-e Y nx + 1) = _..:.-.._e}'lnx
X X
'* .• 3 1" In.>: => 2Inx.y'.(2j/e Y Illx+l)=_J',ye'
X 3', '
Y +y-eJ' 1].1 2 => y'~ b) .<y(2e' -3x )
2x(2y2ey41nx + 1) l~x . Y' l-x2yeY
7.129. 4x3 - 6 (2xy' + 2X2 y.y') + 36y'y'-lOx + 30yy'= 0
>236'6' 3 = X - xy- X yy'+18yy'-5x+15yy'~O
7.130.
7.131.a)
=>
=>
=>
336
=>
2xsiny + y'x2cosy +3y2y'cosx-/sinx-3-2y' = 0 3, 2' , Y smx- xsmy-2
y = _. 2 •
X cosy-3y2 sinx-2 ~>
e"O' (ylnx)'-e"") (xlny)'~ 0 => X' (Y'lnX + ~) _ y' (In y + x:~) = 0
xYy'lnx+xY .2::._ y' Iny- yX. xy';:-" 0 X Y
V t X xy' X y x- y lnx- Y '-=y Iny-x Y .--
y X
=> xyy'lnx-x2y'= xylny- y2 =>
=>
b) (xsiny+ysinx)'=O
7.132, 2xsin y +X2 y'eosy + y'siny - 2y'sin2y:::: 0
xy' y y'lnx-~=[ny--
y X
x(y Inx - x)y'~ y(x Iny - y)
y(xlny-y) y'
x(ylnx-x)
ycosx+siny xcosy+sinx
. n -7rSlfi-
=> y'(x) ~ __ -2xsin y => vf!:.) _"7' ___ ",,2 ___ = -1L
(n)' n 2' .n x 2 cosy-2sin2y+siny - \.2 l2 'cos2 - smn: +S1n 2
7,12, L'Hospitalovo pravilo za odreil.ivanjc vrijednosti izraza
bl"ka 00 " () Ol'~j~
CD 0
7.133.a) -\ . e"-e-" . e"+e'
U
"
b) Illn--~=hm---~2 ,,->oln(x+1) ~-+O 1
) \' sin6x_I' 6cos6x 6' c, Im---'m--~=. "---l>0 X ,,---+0 1
7.134.a)
I ) 3x+- 4
, X +i1lX-l. X hm------:;;: lIm-- ~,,-+1 e" -e ,,---+1 e" e
lnx sinx, cosx b) lim ' ·=lim--X-=lim--~=hm .
HOl+31nsinx "---l>03'~~SX Ho3xcosx ,,·.J.°3cosx-3xSlllX sinx
) I· Inx_I'-; I' 1 0 c lm~4 - nn--3 = Im~4 = , r-··,'" X ,,--,"- 4x X--j.'" 4x
7.135.a)
2 2
---2 2X2
I, n: - arctgx I' l+x I' un = Im~--= 1m 3 x-,oc if;? -1 x-~<;o 3 ~ x-').q;; -
·e·' 3(1+x')e X
4x = lim -~---':':"'----cc
HOO 6xeL 3(1+x2)(- :,)e~ 2
3
X+!
3
337
b)
c)
7.136.a)
b)
8.l37.a)
b)
Iimln(x~l) =iim' x-I = lim sin2ra :::lirn2nsinnxcos'ltX =0.
x-+I ctgnx -<--+1 ___ 1 .~"""l I-x ", ... 1 -1 sin 2nx
I, e"'-I -I' eJ': 1 lm--- lffi--~=-.
;r",,,,osin2x r-+02cos2x 2
I, l-cos3x -I' 3sin3x I' -9 cos 3x 1m - 1m ---;;;:; 1m -,-::-=:.::... x-~Ol-cos5x x-+o5sin5x r--+o-25cos5x
I' l-cosx I' sinx I' cosx 1 1m = lm-~= lill--=-.
X--4(i ;<-,0 2x r-->O 2 2
9
25
r "x X x Xc
c) ]' x-sinx 0 lm--,--= . ,,_.0 x
1• e ]. e I' e I' e I' e 1m 4= 1m --] = 1m -~.,::::: 1m --::::: 1m -=+00. x->+«>x ;r,,·)-4x x-->+""12x~ x-->-24x r-++<:<24
I· x' -'I' 5x' I' 20x' I' 60x' I' 120x I' 120 0 lm-- Im-= Im-~= lIn--= IIn-~= Im-~ x--->«:· eX x---+a, eX r--,<)t' eX ,-.-).<:(, eX x-->"'- eX X-~'" eX •
I· 3x+2_I' 3 0 ::: Im--- lm--~
7.I3S.a)
b)
c)
:r-+OC' !.- r-'>oo ~
4e 2
I. ( ) x I' ,,-x. x I' -2 . x 1m n-x 19-= 1m ----S111-= Im---~·sm-·=2.
X--+1I: 2 x-".1t X 2 x---+1o • X 2' cos- -sm
2 2
1. I ]. Inx ]' :;: I' imx nx= 1m = llll--I-=- Imx=O. x-,o x-->O x--> 0 >:---)0
x ,
x
I, 'I I' Inx I':;: 1 I' 2 0 ' lruX nx= Im-I-::: tm---:;;;:-- nnx = .
",··".0 x-->o r---70 2 2 r---)oO
x 1 x 3
7 139 ) N k . (. )" T . . I I' In sin x . , .a e aJe y~ SlUX . aaaJe ny=x nSU1x~--I-,paJe
x cosx
I. I I" In sin x I" -;;; I" x2
cosx I' ~2"x-,c.::.o.::.sc:x_-,_x.:..'_s"ic:n.::..x 1m ny"'" Im--~:::;;; m1----=- IID---=- In) -,,~o X-}O 1 r_~() I X---j>(} sinx x __ .U cosx
x
Kakoje limlny=O,toje iimy=l,odnosno, lim(sinx}"=l. "40 x-,() x---+o
c) limx'= 1. x-~O
, 7.140.a) lim Cn - 2x) ''',' ~l c) lirnx l- x "'" e-- j
x--tl
33&
x---+.::. 2
O.
l I
7.14I.a)
b)
c)
7,142.a)
b)
7,143.a)
b)
7.13.
7.144.a) 7.145.a)
7. I 46.a)
7.147.a)
hm -- -- = hm-----= hm :::::: Inn _ =-. . (1 [). e" -\-x. e" -1 . e' I
x---+O X eX-l x...--).ox(eX_I) x ........ oex_l+xex X"0-0e x+e
x +xex 2
11m ---- =Ilm---=hm . . (1 J). x-sinx. }-cosx
",.-,0 xsinx Xl X", .. o x2 sinx x--->o2xsmx+x2 cosx
= lim sin x Iim- ._""~c::::o~sx"-__ _ " ...... 0 2sinx +4xcosx-x2 sin x r-->O 2cosx+4cosx-6xsinx-x
2 cos x 6
Iim(_~ __ J )=_.1.. >:->1 x-I Inx 2
• < arcsinx . 'Jt~X2 . Jl-x2 1 lim(ctgx·arcsmx)=hm--- = hm----= ltm--l--~ . \"->() ",-->0 I ;,---)0 1 x-,O
clg:< sin 2 x
ctg 2x
1 _ eZ" _ 2e2r
lim(l--e2X )ctgx= lim-- = lim-I- =-2.
x--+ 0 '.'-) (I tgx ](--, () c) lim (xelgnx) ~ ~ .
;;:40 1C
I
y=(3x+2"Y =>
=>
I
cos 2 X
In(ox + 2') inv=----, x
~> lim(3x+2')-' =2, x--+'"
b:vodi (derivaci.ie) viseg reda
. . In(3x+2X) => lIm Iny= hm-~---
x-+"" X--H" X
~c) lim(/g2x)""" ~ O. HO
y'= 3x2 --88, y"= 6x b)
b)
y'::::: 10x4 + 22x, yt/=40x3
+22
:/ "''''" x3 + 335 ""'> y" =-~ 3x2
)'- ;;::; cosx, }". = -sin x .
y' ~ 2x' -21 x' => y" = 8x3 .. 42x
b) .v =-sinx,y" =-cosx.
y' :;:;; 3sin 2 xcosx, J'" = 6sinxcos2 x -.- 3sin 3
x 2-21nx
b) y"~ --c;---
7.148.a) y =-2sin2x,Y' =-4cos2x. b) Y''7-,,6e1x
, y"=12e2x
x+l-x+l 2 ,,-4(x+l) -4 7.149.a) y' ---~. y ='--'--~--~3
(x+l)' - (x+l)2' (x+l)4 (x+l)
b) y' x 2 _4_2x2
(x2_4)2
_4_x2 •
(x 2 -4)"
2x(x' + 12) y"
(x' _4)3
339
, 1 I 2 I x 7,150.a) y ~ -x(21nx-3)+-x'-~-x(21nx-3)+-
2 4 x 2 2 ~> y"=lnx.
b' ,1'3 I ) Y =-SlU x--xcos3x 9 3
~> y" = x sin 3x.
7.151.a) y"' = 120x' - 24 b) y' = -120x3
7.152.a) y .... = -8cos2x b) y'" = 125 sin 5x
7.153.a) ylll = 8e2,X b) "' 2 Y =--(x + 1)'
7 154 ) 11":::; I-I,nx., "III 21nx-3 Iff t 3 . .8 I I ~ Y =3 In 3
x x
7.155.a) y'~ -situ ~ cos( x +~), y"~ "cosx ~ cos( x +2'~}
if: =: sinx:::; COS(X+3.~) .... l,(IJ) =coslf
x + n .~_I 2 ' '. 2)
b) ill) = aX In ll 3
7.156.a) /")=5'ln"5+(-I)"5"In"5 b) i')~k"c'"
7.14. Difcrencijal fuukci.ic
7.157.a) dy ~ y'dx ~ 4xdx b) dy ~ cosx dx c) dy = -sinxdx
7.158.a) dy ~ y'dx ~ 75x' b) dy =3ax2dx dx c) dy=--
2,J;; 2
7.159.a) (.~v == -2sin 2x dx b) dy= 31g x dx c) dy = 5e5xdx cos 2 x
7.160.a) dy = Ze"dx bJ dy = 3a3"'dx c) dv = 2dx - 2x-5
7.161.a) dy = 2(3x·2}3dx bJ dy = 24(6x+ 1)3dx c) dy = .18(S-6x)'dx
7.162.a) dy = [(x2 -lx'+5)]]dx =3(x' - 2x+5)2(2x-Z)dx=6(x-l)(x2 -2x+5/dx
xdx b) dy 0) dy = clgxdx
Jx' +5 7.163.a) lz date jednacine dobije se:
2dx-3dy = 0 =>
340
3dy= 2dx ~> dy= 2dx 3
i 1
bJ
c)
7.164.a)
Zxdx + 4ydy = 0
xdx dy=-
6y
dv= dx . 1+
=> 2ydy = -xdx =>
b) dy= dx
JI-x' c)
d xdx
y=--. 2y
dy= dx
2(x-I)-2x -2 7.165.a) dy= dX=~~-2dx
(x_I)' (x-I) b) d
-lldx y=
(2x - 5)2
c) x 2 + 1
dy=----dx x 2
2 3 b) dy -2sin 2 2x-2.c,OS2X-2cos2 2x dv = 7.166.a) dy = 15x cos 5x, sm 2x
_ - 2 - 2 cos 2x d . _ ? 1 + cos 2 X - sin 2 x d _ - x--... · x-
sin 2 2x sin 2 2x
4cos' x 1 dx=----dx
4sin 2 xcos 2 x sin 2 x
x,jy c) dy=-~
x 2 .-16 dx , kbdx
7,167.a) dy= b) <zv=(lnx--2)dx 0) av=--,--25 . l+e~
7.168. Ax = -0,02; Ay = Ax(3x2+3x4x+(Ax)2) = -0,242408; ely = 3x'dx = -0,24 7.169. dy = (3X2-8x)dx; Ay ~ dy = (3·3'-8·3)·0,01 = (27-24)·0,01 = 0,Q3. 7.170. Za funkciju y = f(x) vrijedi: f(x+ilx) = f(x) + ily.
Kako je ily '" dy, to je f(x+ilx)" f(x) + dy. a) f(2,Ol) "'f(2) + dy =2 + (4-1)·0,01 =2+0,03=2,03, b) f(l ,02) d(l) + dy = -I + (3-2)·0,02 = -I + 0,02 = -0,98.
7.171.a) tg46° '" tg45° + dy = I + ,I 0 ·0,0 1745 = 1 + 0,0349 = 1,0349. cos 45 .
b) .J5i5 '" .J49 + ~ -1 = 7+ ..!.. = 7,071428. 2-J49 - 14
c) VI-S,g", Vi6+-4~·(-O,2)=2+-1-.(-0,2)=2-0,00625= 1,99375, 4t16' 4·8
7.172.a) aresinO,SI '" arcsinO,5+ I 1 -0,01 ~ ':'. + O,ll5 = 0,535.
I '1)' 6 v1-lz b) arcc050,98" 0,2. c) arctgl,02 '" 0,8.
341
7.15. Geometrijsko znacenje prvog izvoda. Tangenta i nonnala na grafik fnnkcije. Prim.iena prvog izvoda u geometriji i fizici
7.173. Odredimo prvi izvod i njegovu vrijednost za x = 3 (=XQl, a zatim odredimo vrijednost funkcije Yo= f(3).
f'(x) = 2x => f'(3) = 6; f(3) = Yo = 9 - 4 = 5. Iednacina trazene tangente je:
y - Yo = f'(xo) (x-XQ) => y - 5 = 6(x-2) => 6x - y - 7 = O. 7.174. Odredimo prvi izvod i njegovu vrijednost za x = -2, a zatirn odredimo
vrijednost funkcije za x = -2. f'(x) = 2x+5 => f'(-2)=-4+5=1; f(-2)=4-10+3=-3.
Jednacina traZene tangente je: y - Yo= f'(XQ)(x-xo) => y + 3 = I (x+2) => x - Y - ] = O.
lednacina trazene normale je: I
y"Yo= - f'exo) (x-xo) => y+3=-I(x+2) => x+y+5=O.
7.175. Ako je tangenta paralclna sa x-osorn , aoda je njen koeficijent pravca jednak nuli, sto znaci da ja prvi izvod 1] toj tacki jednak nuli.
f'(x)=2x-2=O => x= I; f(1)= 1-2 =-J. Trazena tackaje T(I, -I).
7.176. Odrediti prvi izvod i njegovu vrijednost za x = i. f'(x) = 2x -2 => f'(1) = 0 => tgo: = 0 => (X = O.
Ugao nagiba tangente u tacki, s apscisom je x=] je O.
7.177. f'(x) = 2x - 4 = tg45° => 2x - 4 = 1 => 2x = 5 5 => X=-.
2
T " ta"k' (5 31 razena c a Je M -'--j' . 2 4
7.i78. Tacke presjeka date krive sa x-osom dobiju se kao rjesenja jednacine: x' - 4x = 0 .. => x(x' - 4) = 0 => x = 0, x = -2, x = 2.
Dobil; sma tri tacke i to A(-2, 0), B(O, 0), C(2, 0) II kojima grafik krive sijece x-osu. Treba odrediti vrUednost prvog izvoda u svakoj od ovih tacaka. Kako je y'(x) = 3x' - 4, to je y'(-2) = 8, y'(O) ~,4 i y'(2)';' 8. Jednacine trazenih tangenata SU, redom:
y - y(-2) = y'(-2)(x+2) => Y = 8(x+2) Y - yeO) = y'(O)(x-O) ~> y = -4x y - y(2) = y'(2)(x-2) ~> y ~ S(x-2)
=> => =>
8x-y+ 16=0. 4x+y =0.
8x-y-16=O.
7.179. Kako je koefictient pravca date prave k = 1, nu osnovu datog uvjeta
jey'(x)=I,odnosno . .1.=1 => x=1 => y~O. M x (1,0) .
7.180.a) y'=cosx; y'(O)~I; Y'(1I)=-L Utacki xo =0 presjekjepoduglomod
45' a u tack; x, =11 pod uglom od 135' . b) 135"
342
7.181. Y' =4x+l. Zax = 2je Y' = 7, a vrijednost funkcijey= 5. Jednac;na traiene tangenteje y- 5 = 7 (x- 2) iii y = 7 x-9.
7.182. y'=3x'+2x => k, =y'(-J)=I,k,=y'(O)=O. Tangenteutackama (-1, 0) ; (0, 0) suo y = x+ I , Y = 0
7.183. Y' =e'; presjeenatacka say-osomje (0,1); y'(O)=L Jednacina tangente y-I = 1 (x-O),tj.y=x+ l;normala y~'x+l.
7.184. Presjeena tacka datih krivih dobije se rjesavanjern jednacine x2 =x2-2x+4 => 2x=4 =>
Odredimo jednacinu tangente za x = 2 krive y = x' : y'(x) = 2x-2, y(2)= 2, y(2) = 4 => Y - 4 = 2(x-2) => 2x - Y = O. Odredimo jednacinu tangente za x = 2 krive y = x' - 2x + 4:
y'(x) = 2x, y'(2) = 4, y(2) = 4 => y - 4 = 4(x-2) => 4x - Y - 4 = O. Ugao izmedu tangenata oznacimo sa a, a kako su koeficijenti pravca dobijenih tangenata k, = 2 i k2 = 4, to je:
k -k 4-2 2 tgo. =-'--' :--=-
1+k2k] ]-18 9
2 (J. = arctg-.
9
x' 7.185. -=& => x' =8x => x(x-2)(x'+2x+4):O => x=O, x=2.
2
y'(x) ~ ( Ex)' = l => y'(O) = +00 => Tangenta je: x = O.
y'(2) = ~ => Tangentaje: y= S+2-fi.
T angente na drug" krivu u istim tackama suo y = 0, y = 2x - 2 .
7.186.a)ib) Y=~2; presjecnetackesu(-5, 0) i (o,-~); Ako ~-~ 2
"glove, redom, oznacimo sa 0: i 13, tada je: tgu: _.I., tg P : _2 . 7 2
c) Presjecne tacke Sll A(-5, 0) i B(3,8); fga = __ i, tg 13 = i 3 3
7.187. Ugao izmedu krivih je ugao izmedu njihovih tangenata u presjeel10j tacki M(l, I). Tangente na krive u tacki M suo
I 1. 2 v=-x+- 1 y=-x+. ·22
Za ugao izmedu krivih, odnosno njihovih tangenata, vrijedi: 1 3
k -ki-(-l) 2 tga =-'--' : -,-=3 => 0: =arctg3",71,565°.
I+k,k, 1+.1..(-1) 1 2 2
7.188. M(-2, 1), x-2y+4=0,2x-y+5=O.
343
7.189. Koeficijent pravca date prave je k = - ~ , 8to je, II isto vrijeme, i vrijednost 4
prvog izvoda date funkcije y = vex). Rjesavanjem tako dobijene jednacine odreduje se apscisa dodirne tacke.
2x+2yy' =0 => x+yy'=O => , x
y=-- => 3 x
--::::;:--4 y
4x => y=--
3 y
Uvrstavanjern ove vr~iednosti za y u jednacinu kruznicc dobije se kvadratna jednacina cija rjesenja su x=±3. Dodirne tacke tangenti su: M(3, 4) i M(-3, -4).
19 3 ' 3 '8 4 P . d .. d 7. O. y' = x-+2x; x-+2x = => x = -2, x == -. ostoJe VlJe tangente ate 3
krive s datim koeficijentom pravca. Dodirne tacke ovih tangenti su
M(-2, -4) i M'(~' 1;J-). Jednacine tangenti suo
8x-y + [2=0 i 216x-27y-176=O. 7. J 91. Treba odrediti presjeene tacke datih Iinija. Rjesenjem sistema datih
jednacina dobiju se cetiri tacke: M(-4, -3), N(-4, 3), P(4, 3) i Q(4, -3). U jednoj, ma kojoj, ad ovih tacaka treba odrediti tangentu na svaku liniju. Odredimo tangente u tacki P( 4, 3).
Tangentanakruznicuje: y-3 =y'(4)(x-4)
=> • y-3 = -. .'i:(x--4) 3
Tangenta na hiperholuje: y-3 = y'(4) (x-4)
4 => y-3 = -(x--4)
3
4 => y-3 = _. -4)
y(4)
=> 4x + 3y·- 25 = O.
4 => y-3 = --'-!x-4)
v(4) .
=> 4x _. 3y - 7 = O.
Ugao izmedu ovih tangenti je, prema definiciji, ugao izmedu
posmatranih krivih u lacki p, Ako ovaj ugao oznacimo sa u, tada je: 4 4 8
tga ~ "2 -k, = -"3-"3 _..J._ ~ 24 [ +Ii,k, , 4 ( 41 . 16 7
1""3(-:3) 1- 9 => 24 73°44'2"" a=arclg-~ 5.
7
7.192. Tacke prcsjeka Sl! M(2, 4) i N(-2, 4). tga. 1 =~ l85 , (XI =arctg( ~~5-)~ 8 8
foCt., =- a, =arcfa -, C> 15' °15
7.193. Presjecne tackc su A(l, 2) i B(l, -2). Krive su normalne.
7.194. 2yy' = 2p => y' = E; Tangenta: y - y, = .E.(x - x,) y y,
=> Yly- yI2=pX-pXI => )'ly-·2pXI==PX~PXI => Y1Y=P(X+xJ.
344
7.195. IzjednaCine linije dobije se: y'(x) = x+ y2
2))-1+6/
1+(-1) ,
7.196.
7.197.
7.198.
2 1 ---=-=> y'(l) =
2.[·(-1)+6(-1)' -2-6 4
. I Jednaclna tangente Je: Y + 1 = ',.l(x -I) => x - 4y - 5 = O.
Jednaelna normale je: y + I = - 4(x -1) => 4x + Y - 3 = O.
8x -72 M(-9,-S); y'(x)=9y' y'(-9)~ _72~I=k.
Jednacina tangente .ie: y + 9 = k(x + 8) => =>
Jednacina normale.ie: y + 9 = -I(x + 8) =>
Xl / -+.:...-.-::::;:\ => a2 1/
Jednacina tangente .ie: y-y, = k(x-x,) =>
=>
=> =>
y+9=x+8 x-y-l =0. x+y+ 17=0.
blx] k ,,'(Xl) = --" - = . , a-Yr
XtX + Yil = 1. 0
2 b2
vet) = s'(t) = 12I'+2t; v(4) = 200 (m/s), all) = s"(t) = 241+2; a(4) = 98(m/s'). vet) = s'(I) = 30t' +8t+ 5; aCt) = v'(I) = 60t + 8. v(2) ~ 141 m/s; a(2) = 128 m/s'. . _ vet) = t' - 8t' + 1St = 0 => t = 0 S, t = 3 s, 1=) S.
7.199.
7.200. 7.201. vet) = Vo - gl = 90 - gt. Kako je u najvisoj lacki tijela brzina jednaka
.. 90 V' . k . nuli, to je 90 - gt = 0 , odakle se doblJe 1 ~ Ii" ~ 9 s, ISllla na oJu
se podiglo tijelo za 1 ~ ~ sje h = f;) =90· ~-~ (9; J ~ = 8100 _ 8100= 4050 ~405 m.
g 2g g => a(2) = O. 7.202. vet) = s'Ct) = 9t2 -36t; aCt) = v'(t) = 1St - 36
7.203. art) = v'(t) = 31'+5; a(3) = 32 m/s'. 7.204. U trenutku t l\ido se nalazi u tacki B(t + t', 0). Udaljenost taoaka A i B,
u tom trenutku, prema Pitagorinoj teoremi, je
set) = Ji' ... (/ + f') 2 = -.11 +{' + 21] + f4 . Brzina udaljavanja tacke B od A je
( r , )' 21+61' +41'
v(t) = s'Ct) = "l+r +21' +1' = J ' . 2 1+t2 +2/' +t
345
B· ~k k I. (I) 6 rzma tac e u trenut u t =: - Je v - == -. 2 2 5
7.205. Zakon puta tijela pox-osi, prema Pltagorinoj teoremi,je
x(t) = J&ct)]'--l =J(t+2)'-1 =.JC-;;t'~+~4~t+3.
Brzina kretanja tUela je vet) = x'(t) = {+ 2 ,odnosno, v(l) = ~._ . .J{'+41+3 2.fi
7.206. Brzina kretanja je: vet) = s'(t) = 6t+ 1, a nakon 5 sekundi je v(5) = 31 m/s. Kineticka energija je mv2/2 = 9610 J.
7.207. Ako visinu trapeza oznacimo sa x, a manju osnovicu sa C, tada su
stranice trapeza c+x, x, c i x.fi _ Koristeei dati ohim, dobije se:
2c+2x+xii=4+4.fi => 2c=4+4.fi-2x-x.fi.
. . 2c+x 4+4.fi -x-x.fi PmTsma trapeza Je Pix) = -_. x = . x .
2 2 P'(x) = 0 za x = 2, pa je povrsina trapeza maksimalna za x = 2.
7 708 N k d" I' lOP ~. ~ I' () x(IO·- x) ._ . e a su l]agona ex! -x. ovrsma cetveroug a Je P x :::: . 2
K k · P' () JO - 2x 5 . ,,~ I' a 0 Je ,x = -2- =:: - x, to je povrsma cetveroug a naJve6a i
1znosi P(5) = ~, kada su dUag?nalejednake i svaka iznosi po 5.
7.16. Ispitivanje fnnkcija prim.ienom izvoda
7.16.1. Odreilivanje intervala monoton()sti Junkcije
7.209.a) Domena funkcijeje skup R. y' = 4x - 12 = 4(x-3); 4x - 12 = 0 => x = 3. Odredimo znak prvog izvoda u intervalima (-<Yo, 3) i (3, +co). U intervalu (-00,3) je y' = 4(x-3) < 0 , paje tu funkcija opadajuea. U Intervalu (3, +00) je y' = 4(x-3) > 0 , pa tu funkcija raste.
b) y'=-8x+ 16=8(-x+2); -x+2=0 => )(=2. U intervalu (-00,2) je i = 8(-x+2) > 0, pa tu funkclja rastc. U intervalu (2, +00) je y' = 8(-x+2) < 0, pa tu funkcija opada.
7.210.a) Uintervalu(-oo, 10) jey'>O,pafunkcijaraste.
346
U intervalu (10, +00), je y'<O i funkcija opada.
b) U intervalu (- 00, i) funkcija opada, au intervalu (i, + 00) funkcija
rasLe.
7.21 La) y' = 4x3 + 4 = 4(x'+I); x' +1 = 0 => x =-1. U intervalu (-00, -.1) je y' < 0, pa tu funkcija opada. U intervalu (-I, +00) je y' > 0 , pa to funkcija raste.
b) y'=6x2 -30x+36=6(x2 -5x+6);x'-5x+6=0 => x=2, x=3. U intervaiu (-00,2) je y' > 0, pa tll funkcija faste. U intervalu (2, 3) je y' < 0 , pa tu funkcija opada . U intervalu (3, +00) je y' > 0, pa tu funkcija raste.
7.212.a) U (-00, 0) i (10, +00), y'<O, Y opada; u (0,10), y'>O, Y raste.
b) U(-oo,-I) i (..t.,+oo),y'>O,yraste; u(-I,..t.),y'<O,yopada. 2 2
7.213.a) U (-00,2-J2), y'<O, yopada; u (2 + J2,+oo), y'>O, yraste.
b) U (-00, -2) i (0, +00), y'>O, Y raste; u (-2, 0), y' < 0, Y opada.
7.214.a) v'=-~ => y'<o za x,cO => yopadaucijclojdomeni. . x
2 b) v'= 8x-- =>
• x , 0 1 Y"'" zax=±-. 2 => U intervalu (0, ±) , y' < 0,
pa je funkcija opadajuca, a u intervahl (1, + OJ) .Ie y' > 0, pa jc funkdja
rastuca.
7.215.a) U I _.- + 21m. ~.,. 2kn y' > 0, y raste; (n n) l 4 ' 4 '
U (~+21m' ~+21m ), y' < 0, y opada.
b) U I---+Im, -+kn . y >0, yraSle; (n 7n), " ~ 12 12 .
U -+Im, -·+kn y <0, vopa a. ( 7n Iln )' d ,12 . 12 ' ,
7.216.3) Y'~-2xe" => y'=o za x=O => uintervalu (-00,0) jey'>O,
paje funkcija rastuca, a u intervalu (0, +CfJ)je y' < 0, paje funkcija opadajuca.
b) y'=(x-2)e X => y'=O za x=2.
7.217.a)
Kako je \;Ix E (-00, 2), y' < 0, to .Ie U ovom intervalu funkcija opadajuca.
U intervalu (-00, 2) je y!< 0, paje funkcija rastuca.
k· . . d r 1 2+3.Jx . . '. Ka .0 JC prvi IZVO y' 0;;:; 1 + v x + X· ----r= := --~ pozlt!van za svaku
2.Jx 2
vrUednost varijable x iz domene funkcije, to .Ie funkcija u intervalu [0, +00) rastuea.
347
b) 2x-3 '0 3.. I ( 3)' y' = , y < za x < - , pa JC u mterva U I - 00, --3x +5 2 , 2
rastuca. U intervalu (~, + ()'J I funkcija opada. .2 )
7.218.a) Damena funkcijeje (-00, -2) u (-2, 2) u (2, +00). U intervalirna (-00, -2) i (-2, 0), y' > 0, y raste. U intervalirna (0,2) i (2, +00), y' < 0, yapada.
b) Domena funkcijeje (-00,0) u (0, +00). U intervalima (-00,0) i (0, +00), y' > 0, Y raste.
7.219.a) U (~+1m' 5; +1m). kEZ,y'>O,yraste.
(
1C 11: '\ U -ti·+1m'3+1mj- kEZ,y'<O,yopada.
b)' II ( - ~ + 21m 2kn'l y' > 0 y ruste . \ 2 ' ;' , ..
( 3rr \
U 2krr, -- + 2k1t i, y' < O. v Ol)acia. 2 ) ,
7.16.2. Odre(tivllllje ekstrema [unkcije
funkcija
7220 ) 3 ._bLi ~ ti(x-I), v' ~ 0 za x ~ 1. I
.a v' = ~ .:>-x), y' = 0 za x = -> 3 -~"1 x -00 -+ ! J -'> +00 ,
y' I ,
- 0 + , xc -00
y' _.
+ 0 -y rastc lm!I);=9 Cloada I y opada iVmin=8
----i rast~
7.221.a)
b)
7.222.a)
x
y! = 3(x2+1»O za svako x. Funkcija y je stalno rastuca i nema ekstremnih vrijednosti.
i = 4(x-2)(x2+2x+4), y' = 0 za x = 2; Ymin = y(2) = -48. 1 y' ~x(2x+I)(x-2), y' ~ 0 za x ~ 0, x ~ 2. X~--.
. " -I 1
I ,-------,
----+ +cOl -w .-,> --2
-+ 0 -+ 2 I ----~I
- -v' 0 +- .- 0 I o I J-L-. 3
opada I y""" ~ -8 I R ·.,+s.el
L~J Opada ,
nlm ~ -- raste )',,,ux = 0
16 « J b)
y",,, ~ y(2) = 57.
348
7.223.a) y'=(x-3)e', y' ~ 0 za x ~ 3. ProlazeCi kroztacku x=3 prvi izvod
mijenjaznakjcrje: y'(3-h)~-heJ-'<O i y'(3+h)~heJ-'>O,za h>O,
pa za x=3, funkcija ima minimum i vrijedi YIll''':::: -e} .
b) y'= (x + l)e' , y' ~.O za x ~ -1. Prolaze6i kroz tacku x ~ -I prvi izvod
mijenja znakjer je: y'(-l-h) ~-he+"< 0 i y'(-I+h) ~ he+'> 0, za
h> 0, pa za x = -1, funkcija ima minimum i vrijedi I
Y!l1ln =--;.
c) I
Ymin =-~ za X=-. e e
, 2J4-x-J Y=_' __ ~ yl=O . 2J4-x
7.224.a)
b) v' = 2 (In x - J) , y' ~ 0 za x ~ e, Ymi" = y( e) = 2e . . In 2 x
x(3x2 + 8) c) i y'=O za x=O, Ymin =y(O)~~O. Jx' + 4 '
7.225.a) IO(x·-lJ .. Pl" k y'= 3' ,y'=Ozax= l,uza x=2y'nepostOJ1. ·roazec! roz 3;Jx--2
-!Oh 0 . tacku x ~ J prvi izvod mijenja makjer je: y'( I-h) ~ 0 V >,
o - h-l
y'( l+h) ~ . Jl~h < 0, za h>O, pa za x =1, tunkcija ima maksimum 3'Jh-i
i vrijedi Ymax = 3, U tacki x = 2 funkcija ima minimum Ym;n = 0
1t+6J3-12 1< 5n-6J3-12 5n h) )'max:::: 12 ' za x=12' Ymin:::: 12 za x=12"
16 _ _16 c) y'= (2 - x)(2 + xl, y' ~ 0 za x ~ -2, ,,=2, y"i"~ y(-2) ~--:;-, y",,- y(2) -'1'
o '
7.226.a) y'= x(x + 2) y' - 0 za x ~ 0, ,,~-2. e 7. + + 1)2" -x .x
1--:-< -2 -+ i 0 I ~> +00 I x !_oo ~>
~y' - I 0 I I - 0 + -
I I
opada 8 raste iY"'::j Clpada I y Ymin=3
b) ' .. (x-2)(x-8) y' ~ 0 za x ~ 2, x ~ 8. y - (x 5)' ' -
x -00 -+ 2 I -l> 5 -+ 8 -+ +00
y' + 0 - - 0 +
y raste ,Vmal( -1 opada opada Ymin 11 raste
349
c) y'=x2(x~3) y'=O za x=O x=3 , , x -00 -+ 0 -+ 3 I -+ +00
y' - 0 - 0 I +
y opada 0 opada Yrni"=~ 2}1 raste.
7.227.a) , x(x~4)
y =~----- y' = 0 za x= 0, x= 4. (x~2)' '
x _00 -+ 0 --> 2 -+ 4 > +00
y' + 0 - - 0 +
y raste Ymax- 0 opada oDada Ymin= 8 rastc
b) , (x+3)(x+l)
y=-' (X+2)2 ' y'=O zax=-3,x=-L
x -00 --) I -3 > -? -+ I -I --> +~ ",t - I 0 + + , 0 -
I-~
oDada IVmi"~ 6 1 y raste \ raste iy ~? oDada max -
0) y'= 2(3x ~ 2) (x..-::.12 ),' = 0 2 .. zax=-,x=l. 3(2+Xl)2 ' 3
2 I
I I ~~-+ - -+ 1 -+ +
3
I \ - 0 + 0 -I y I opada
11 I I Ymin= 7- raste Ymln.= 1 opad
,
7.16.3. Odreilivanje intervala konveksnosti (konkavnosti) fnnkcije
7.228.a) 0) c)
y' = 2x, y" = 2 > 0 => Funkcija y je konkavna u cijeloj domeni. y' = -2x, yH = -2 < 0 :=> Funkcija y je konveksna u cijeloj domeni. y' = 2x+4, yU = 2 > 0 => Funkcija y je konkavna u cijeloj domenL
7.229.a) y" = 6(x-3), y" = 0 za X .. 6.
," - 0 + ~_oo. -+ Irf -., ~: ",'
y konv~i:sna I 1 Ko~'k~vna 7.230 ~ v" = 6(,l<,-9) v" = 0 za X ~ 9
.--~ .. -'-'LL ~
--X -00 -+ 9 -+ +00
i~ - 0 + y konveksna Konkavna
350
b) y" = 6(x 2) y" - 0 za X" 2. - ~ ~
X -00 .~>
y" -y
" konveksna
2~-+ ~ 00 I I
~ 01 +
I Konkav
b) y" = 6(x-2), y" = O_za X = 2. X ~OO -+ 2 -+ +CX) yU - 0 + y konveksna konkavna
1±.J5 7.231.a) y"=12(x'-x-l),y"=O zax"~-2-'
1- .J5 l+.J5 -+ +oc X -00 -> -- -+ --
2 2
y" + 0 - 0 +--
y konkavna p.t. konveksna P.t. Konkavna
b) y" ~ 6(x+2), y" ~ 0 za X ~ -2. U (-00, -2) funkcija yje konveksna, all (-2, +00) Y jo konkavna.
7.232.a) y' ~ 5x4+5, y"~20x3, y" ~ 0 za x = O. u (-00, 0), y"<O, y konveksna.
U (0, +00), y">O, y konkavna.
b) y"= 4(x' 5~ 3) , y"~O 72 x" ~ ±J3 . U intervalima (~oo,~ 13) i (0,13), x ..
y"<O i yje konveksna. lJ intervalima (~13, 0) i (13,+00) , y">O i y je
konkavna. 7.233 .• ) y" ~ (2+x)e', y" ~ 0 za x = -2. U intervalll (-00, -2) jo y"<O, a y je
konveksna. U intervalu (-2, +ro), y" > 0) a y jc konkavna.
b) y"~ 21nx~3 ,y"~ 0 za x ~e.Je; U intervalu(O, e,le) y"<O, y je
konveksna. U intervaln (e,f;, +0) y1l>0, y je konkavna.
c) U (---00,2) ,y"<O,y konveksna; II (2, +w),y">O, ykonkavna.
7.16.4. Odredivanje prevojllih tataka jUIlkcije
4 7.234.a) y' = 8x - 9x2 ,yll = 8 -18x; yH= 0, 2..1. x=-"'9'
. (4 128\ Prevojna tackaJc P -, ---j.
\ 9 243 2
b) y'=3x'-4x+l0 .. y"=6x-4; y"~O,zax= 'C;". o
(2 1641 Prevojna tackaje Plj -' -27 )"
7.235.a) b)
v' = 3x2 +. 6x - 5, y" = 6x + 6; y"= O~ za x = -1. Prevojna tackajc PC-I, 1), )/ = x2 _ 6x + 8, y" =; 2x - 6; y!l= 0, za X = 3. Prevojna tackaje P(3, -6).
.. ( ) 7.236.a) y"~x-2, y"=Oza x=2; Pl2,~% .
b) 5 5 2 ~10x(3~x2) r;:
,~ ~ X ,,_. y" = 0 za X ~ 2 x ~ ±-J3 . prO 0) y~ (l+x')"Y ~ (l+x2)' ' " , ,
351
p[±f3, ± 5f} 7.237.a) y'=4X3_ 36x2+ 108x,y"= 12x2_72x+108= 12(x-3)'; y"=O,zax=3.
Kako pri prolazu kroz x = 3 drugi izvod ne mijenja znak, to data funkcija nema prevojnih tacaka.
b) y' = 4x'-24x' + 48x, y" = 12x' -48x+48 = 12(x-2)'; y"= 0, za X = 2. Kako pri prolazu kroz x = 2 drugi izvod ne mijenja znak, to data funkcija
nema prevojnih tacaka.
7.238.a) Y,=9-.o:' ,,2x(x2 '-27) r;::
9'Y =_. ·2 3 ,y"=Oza x=O, X 23 =±3,,3.
+ (x + 9) ..
1',(0,0), p,r-3f3, _F3), I'll(3f3, f3J.
.\ 12' 12
b) Y'=~~(X-5)2, y,,=~,L~ 3 3 3 ~5
10 -,~~ . Drugi izvod nikada nije 9;)x-5
jednak nulL Kako drugi izvod DC postoji za x =5, to je u inter-valu (-00, 5), y"<O, a y konveksna funkcija,-a u intervalu (5, +(0), y">O, y je konkavna funkcija. Ovo znaci daje tacka PC5, -34) prevojna tacka.
7 )39 \ ! _7" ..., .. 1, "4 2x 2 .. , .a; y=e _. -LXe -, y = (x-I)e-', y"=O za x=I;P(I,e').
b) y'=-2xe-"", y"=2(2x' -IV"+'. p{ -~, e'J;), Po( ~, e 2 Fe).
7.16.5, Crtanje grafikafunkcije
Opca sllema lspltivllnja funkcije sastoj; se od slijedecilt koraka: j . Odreifivanje definicionog podrucja (domene) funkcife 2. lspitivanje parnosii, ncparnosti funkcije 3.- Ispitivanje periodicnostifimkcUe 4. Nule, presjek s y-osom i zl1akfunkcije. 5. Ponasanjc junkcije na krajevima intervala d(finisanosti 6. Odredivanje asimptota krive 7. Nalolen}!' intervala monotonostifunkcije. 8. Odreilivonjc ekslremajunkcije. 9. Odretlivonje prevojnih tacaka 10. Odreaivanje intervala konveksnosli (konkavnosti) 11. Kori§lc1?jem podataka iz prethodnih tataka skiciranje grafikafunkc{ie.
7.240. Domena funkcije y = x' - 9x' + 23x -15 je skup R. Funkcija nije n; pama ni neparna. Funkcija nije periodicna.
352
, 'i
/1 ;i
Tacke presjeka sa X-osom dobijamo rjesavanjem jednacine x3 - 9x2 + 23x-15 = 0 ¢> (x-l)(x-3)(x-5) ~ 0 ¢> x = I, x = 3, x = 5. Grafik timkcije sijece x-osu u navedenim tackama i to su nule funkcije. Tacka presjeka grafika i y-oseje (0, -15). Kako je funkcija detinisana uRi ima tri nule, to se znak funkcije moZe odrediti pom06u slijedece tabele:.
Iz tabele neposredno citamo: U intervalima (-00, I) i (3,5), funkcija y je negativna. U intervalima (1,3) i (5, +(0), posmatrana funkcija y je pozitivna.
Ponasanje funkcije na krajevima intervaia definisanosti:
lim(x'-9x2 +23x-15) = lim [x'(x--.9)+(23x-15)]=-oO. .x-+-OG X-"'-OG
lim (x' -9x2 +23x-15) = lim ~'(x-9)+(23x-15)]=+00. X-++OG X-++OG
Funkcija nema asimptote. Intervale monotonosti odredicerno uz pomoc prvog izvoda funkcije.
, 3' 18 23 ' 0 6 4-13 y=x- x+ => y= zaxI2=±--. 3
Tacke u kojimaje prvi izvodjednak nuli podijelile su domenu funkcije na intervale (-00, Xi)V(X" x,) vex"~ + 00). U inteTValima (-00, Xi) i (x" + 00) je y'>O, pa je funkcija rastuca. U intervatu (Xl, X2) vrijedi y'<O, pa funkcija opada. Na osnovu iznesenog mozerno zakljuciti da funkcija u tacki X = XI ima rnaksimum, au tacki x = X2 minimum. Odredimo drugi izvod funkcije. y"=6x-18 = 6(x-3).
y"= ° => 6(x-3)=O => x=3.
Za x = 3 funkcija ima prevojnu tacku. Prevojna tackaje (3, 0).
Tacka u kojima je drugi izvod nula, prevojna tacka, dijeli oblast definisanosti na intervale u kojima je funkcija konveksna , odnosno, konkavna. Potrebno je ispitati znak drugog izvoda u svakom od tih intervala.
U intervalu (-00, 3) je y"<O, pa je funkcija konveksna, dok je u intervalu
(3, + 00), y">O, pa je funkcija konkavna.
Koristeci navedene zakljucke, dobije se grafik kao na 81. 7 .240.
353
-2 -1
-1
,20
7.24 L Y ~ x' - 3x' + 2
,I'
~ SI.7.241. /:
I
y
Y ~ x 3 - 9x2 + 23x - 1 5
SI.7.240.
I \ f \\1
f \
(\ "I" I \ '~':
{ "
I \ , I
J
7.243, y=2x 3 _3 2 -23x+12 7.244.
I
~ I ·10 -H -D "7 -I; -'i -'I t
i S1.7.243,j
354
I I
/ 1 2 3 f ~ 6
::~ \ l \ /
111 v a ,10 .g -ll _I -;; -S .~ -j -2 I
r 1'1 I I'
SI.7.244. I I, , 1 -'i
\ f -6
J ., 1
SL7.242.
l I J , , " l B ~
. I \ , \ ;
I I Ii , I ~
7.245. 7.246fY ~ _X
4 + 2x' + 3
/~/\ f \
\
SI. .246.
-II
SI.7.247.
7.24~,
'I "/ ,
x' -4 y=:--
x
x' Y=~- 7.250.
x 2 --]
ex + I)(x - 3)
Yl 2x
ill /11 ,/
~~~=;=t~~;=~~~:-~~~j~'~'~~~~ l' -'; ~ -J ) •• ,.,l .. ,,111 1 j !., ~ -j ,/1 'f
~~-c--,f;ffc-r-,:-c.,-"" -:"""',, -li1~ //
SI.7.248. , :1 SI.7.249./ • SI.7.25(L
:1 7.251. Domena funkc\je y =.+ je skup R. Funkcija je neparnajer vrijedi
x +1 fe-x) ~ -f(x). Funkeija nije periodicna. Grafik funkeije sijcce x-osu u tacki
x=O (nuta funkcije). Grafik funkcije sijece y-osu u tacki sa apscisom x=O. Znaci grafik prolazi kroz koordinatnl pocetak. U intervalu (-w, 0) funkeijajc negati~na, a u intervali (0, +00) je pozitivna. Na krajevima intervala ponasanje funkcije je sJijede6e:
l ' x J' 1 ( J' x l' 1 0 1m ~-= ;m __ :0::), 1m :0:: nTI --.~ . X-+-a) Xl + I x-+-ro 1 x-++ru + 1 X ..... Hw 1
x+ x+-x x
Vidimo da funkcija ima horizontalnu asimptotl1 ito je prava y=O (x-osa). Intervale monOi'onosti odredicemo uz pomoe- prvog izvoda funkcije.
, x'(x2 +1)-x(x l +J)' x:l---r1_2x 2 I_Xl
V ~--- (x' + I) 2 ~ (x' +1)2 = (x' :;-i),' ] _Xl
=> ----=0 (x' + 1)2
=> x=-l, x= 1.
Tacke u kojirna je prvi izvod jednak nuJi podijelile su domenll funkcije na intervale (-00, - J )u( -I, 1) u(l, + 00). U inlcrvaJu (-00, -J) je y'<O, paje funkcija opadaju6a.
355
U intervalu (-1, I) vrijedi y'>O, pa funkcija raste i u intervalu (I, +00) vrijedi y'<O, pa funkcIJa opada. Na osnovu lznesenog maze se zakljuciti da funkcija u tacki
1 '.. I I x = - llna mtnlInum Ymin= _. -, au tacki x = I maksimum V =-2 . max 2"
Odredimo drugi izvod funkcije. y"= [ J- x' )' = _ 2X(X2 - 3) (x'+I)' O+x')3 .
y"=Q => 2x(x'-3)=O => x, =0. x =- '3 x - r:::3 '2 vJ, 3 -"\1..3.
Za Xl = 0, X z = -J}, X3 = J3 funkcija ima prevojne tacke.
Prevojne tacke SUO (0., D), [- J], - ~) i [J], ~J. Tacke u .~ojjma je drugi izvod nuia dijele oblast definisanosti na intervale u kojima J(' funkcIJ3 ko~v~ksna , odnosno, konkavna. Potrebno je ispitati znak drugog izvoda II svakom od tlh mtervala.
U ,n(ervalima (- 00, - J]) i (0., J]) , je y" < 0., pa je funkcija konveksna, dok ie
u intervalima (- J3, 0) i (13, + 00) , y" > 0, pa je funkcija konkavna. "
Koristeci navedene zakljucke dobije se grafik kao fla SI.7.25!,
-T,l
SI.7.254.
356
7.252'.
YI"\ . l., '~I S1.7.252 ~
4 7.255. y=x--.r;
."
SI.7.25S.
x 2 -x-6 7.253. y = "-"'::"'----'C x-2
( !Si.7.253 . I
7.256. l(x)=(x' -4x+3)e"
'\
\ \ i
V S1.7.2 6. ,
·8
7.256. Nule suo x = I, x = 3. Horizontalna asimptota y = 0 za
7.257.
x=+-oo; f'(x)=(x' -2x-l)e' - maksimumulacki x, =1-.J2, minimum u tack; x, = \ +.J2; rex) = (x' -3)e" , prevojne tacke su za
x = -J] i x = J] (SI.7.256.).
x 2 x
'"'j SI.7.257.
7.258. Domenaje (-00, 0] u (2, +00). Vertikalna asimptotaje prava x = 2. Horizontalnih asimptota nema, Postoje dvije kose asimptote ito:
.£
y = x+ I i y,o - x - I. U intervalima (-00, 0] u (2, 3) funkeija opada,
a u intervalu (3, +00) raste. Minimum funkcije je Ymi!l = y(3) = 3fj
Grafik funkeije predstavijen je na sliei 7.258.
20'1 I
]5
·4
I(X)=) x' x-2
6 8 10
SI.7.2S8.
7.259.
I , I I , I
3/, (x)=2x-Nx-
SI.7.2S9.
- 7.260.
i
j
\ ' 3 \r(X)~X +8 "i '2 \ X '(
7.26 _ f(x) ",3h_x'
SL7.260' S1.7261.
! I . --_.-'..._--'.
7.262. , x \f(x)~lh-, ~_--"-2
SV.262. ,
7.264. f(X)~(X-3)r
S1.7.264.
7.263. lex) ~ In: .Jx
S1,7·263 .
SL7.265.
7.26 l(x)=sin2x-x u intervalu (O,n) 7.2r'
o ~ z::,n: 2n ~ Jt
6 3 3 6 -I
\ ~/
-3
358
J ,,~''''''''--'''--~L:// ,
_~..!! _~ o~::?: 2Jr ~ 11: ~ 4n _~ 23663236632
8. INTEGRALNI RACUN
Neodredeni integral 8.l. 8.1.1. Osnovne formu1e integriranja. Neposredno integriranje
8. La)
8.2.a)
8.3.a)
8.4.a)
8.6.a)
8.7.a)
fmc ~ x + C jer je (x+C)' = 1+0 =1. b) 3
x3 f x2
.. (X2 ) b) xmc~T+C,JerJe T+C =x -+C 3
x '2 -+C 12.
f4xdx=4f xdx ~2x' +C
1 --+C
4X4
1 . -'-0 +C 2x'
b) x" -+C 16
b) ~+c 4
1 b) ----+C
3x2
1 b) -+C
6x'
c) 7
,6
cJ .:':....+C 6
" c) x -+C 34
6
c) :~+C 4
c) 2x -4 + C
c) I
--+C x ,
c) __ 9_+ C 13x u
, , f(X2-3x)dx~ fx'mc- J3xmc= Jx'mc-3fxmc~~ -3
x2·+C. 8.8.a)
b) 10 " 7 2r; C' ~X VX __ xvxJ + . 9 5
8.12.a)
c) , 3 -r::
2vx +-xvx +C. 4
359
b)
8.13.a)
cJ
8.14.a)
8.15.a)
8.16.a)
8.17.a) 8.18.a)
8.19.a)
8.20.a) 8.2l.a) 8.22.a)
b)
,J; +C c) 4xif; + c. 2 5
lv;? +s?Jx3 -4x+C 2
b) 7 ;J7 4 ,J; 3 'V -x x' --x x+-x x 12 3 8
V".,{;? 3x x +6 x' +C.
5 4'
b) 2a' f4'dx=-+C -+C cJ 3lnx+C
In4 Ina
2eX +C b) 4a" -··-+x+c c) x+lnx+C Ina
y b)
5' eX +-+C --3e" +x+C c) e2x
+J + C
1n2 InS -4cosx+C b) 3sinx + C c) 3 - sinx + C -2cosx-5x+C b) -4COSX+Slnx+C c) -COSX + C
1 C b) -!ctgx+C c) 3 -fox+ --tgx+C 3 0 2 4
2arcsinx+C b) 3arccosx + C c) 6arctgx+C arcs inn + C b) arcsin(3x) + C c) arctg(5x) + C tgx - 5ctgx + C.
f(4x3 +3x2 -2x-8)dx= J4x'dx+ f3x2dx- f2xdx-. J8dx= 4 ~ .,
o;:;;4~+3~-2£-8x+C = X4 +X3 _x 2 -8x+C. 432
3
8.23.a) x' -x' +3x+C b) X 2 • ~+x -x+C c) x J +4sinx+C
8.25.a)
3
I b) 3Inlxl+2x--x'+C c)
2
1 3x2 X4
b) -x+-+-+C c) 7 14 28
5'· eX --+C I + InS
I 2e r +-+C
2x' 8.26.a) Transformacijom podintegralnog izraza dobijamo:
b)
8.27.a)
360
f(X+2)3 dx= r3+6:".~~~J2X+8dx •• nX2+6X+12+~)dx= x x Jl x
= .I. x 3 +3x2 + 12x +81nlxl + C. 3 '
.I. x 3 +6x-2.+C 3 x
cJ
x' +5 4 -2 - = 1 + -2 - . Rezultat: x +1 x +1
x + 4arctgx + C.
i. x ' -4x+4Inlxl+C. 2
b) fx2
+!Odx=JX2
+1+9dx = (X'+1+_9_ldx= fl1+_9_)dx= x 2 + 1 x 2 + 1 Jl x 2 + 1 x 2 + I) J\ x 2 + I
= fdx + J-l- dx = Jdx + 9 J-f::- = x + 9arctgx + C . x +1 x +1
c) fSill.2X+6dx= {(l+~-)dx= fdx+6J .~ =x-6ctgx. sm 2 x J\" sm 2 x sm x
8.28.a) Koriste6i sin 2 x+cos 2 X= I dohije se:
J dx Jcos2x+sin2x. f dx f dx t C • 2 2 =. ax= -.-,-+ --,-=-ctgx+ gx+
sm xcos x sm 2 xcos 2 x sm x cos- x
b) J' cos2x dx=fcos2x,-sin2xdx=f~_J~= sin2 xcos 2
X sin1 xcos 2 x sin 2 x cos 2 X
= -ctgx-tgx+c.
c) J4+C~g2Xdx cos x
r 4dx + fC1g'x dX=4f~+ J~ = leos 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x
8.29.a)
b)
c)
8.30.a)
8.31.a)
c)
8.32.a)
cJ
b)
= 4tgx-ctgx + C.
ftg2Xdx=f.~in:xdx= rl-COzs2Xdx= r ~ _ fdt=tgx-x+C. cos x Jeos x Jcos x J
f 2 fCos'x IJ -s il1'x. fdx f-ctg xdx= --dx= _ dx= --_.- dx=-ctgx-x+C sin 2 x sin t x sin 2 x .
3 tgx - 4sinx + C.
2 321,
- cosx+-...jx 2
b) tgx+C c) 2X2 -3ctgx+C
5e~ -4cosx+C b) r(sin':::'+cos~)2dx= J~ 2 2
= (( sin 2 ~ + 2sin ~cos=- + cos 2 2.1dx= [0 + sinx)dx= x - cosx + C. J~ 2 2 2 2) J
3ex +ctgx+C
3- 3 Vx b) 3
_xJVX+~X43 x+C ---_ -3x+C 5 J3 V;
2.[; -·3Inx 6 I
8.33.a) arcsin x -In\x + ~ 1 +:x21 + C +-+C x
~(lax+x)+C 2 b
c) 3tgx -5 sinx + C
8.1.2. lntegracija metodom zamjene
8.34.a) Nekaje x + 2 = I, gdjc je I nova promjenljiva. Diferenciranjem obje strane jednakosti dobijamo dx = dt. Slijedi,
8
f(n2)' dx= Jt7dl= Ig +C.
361
Vracanjem na "staru" promjenljivu x, dobijamo l(x + 2)' dx = .!.(x + 2)8 + C . 8
b) ~(7+3Z)6+C 18
c) Neka je 4x+ I = t. tada je dx = dt , pa vrijedi 4
5 _ (7-3x)' +C 8.3 .a) 24
b) (5x-2)' +C 20
c) Nekaje2x3 +1 =t. Diferenciranjem obje stranejednacine dobijamo
d (2x' + I) = dt, 6x2dx = dt, odak!e je x'dx = dt . Slijedi, 6
, ~+J 5
IV " I'r, dt 1 f ell' I -'(2x" +1)'x2dx= Vt' -=- I'dt=---+C=-t' +C= 66 6:1+ 1 10
1 ~ =_(2x3 +1)3 +C.
10
3
8.36.a) Uzmimo: 2 + 3 x = t. Tadaje 3 dx = dt iii dx = dt , paje 3
f 7 f 7 dt I I' (2 + 3x)' (2+3x) dx= I ·_=-·_+C= +C. 3 3 8 24
1(4,12 I b) - -X-5j +C c) ---+c
16 3 3(2-z3 )'
8.37.a) Stavijanjem Z3+ 4 =I,dobijamo 3z'dz=dtiz'dz=dt. OtudaJ'e . 3
f z'dz rdt I fdt I I. z' ·~4 = J3( =3 ! = 3lnltl+c =3"lnl=' +41+c
Ip-b)-U'+1)3+ C 3 .
8.38.a) ~Vr(x-_-4)~4 +C 4
8.39.a) ';}2 - 3; + C
c)
bJ :1J(x-a/ +C c) '!:..!.j(X_4)2 +C 5 2
b) '!:..lj(4z-3)4+C c) .!.lj(3X+IJ'+C 8 5
8.40.a) Uvodenjem smjene 5x3+ 1 = t' dobije se: 15x2dx = 2tdt, odnosno,
, 21 dt . J' r::-;-:-x dx=15,pa j e x v5x'+ldx=
362
f r, 21dl 2 f' 2 I' 2 I 3 3 = vr-=- rdl=-·-+C=-V(5x· +1) +C 15 15 15 3 45
bJ 3 5 ,,...,-: 3 r;;--;::-T2 _·(x -l)Vx' -I+C c) -'V(l+2x) +C W 4
8.41.a) Slavljanjem sin x = t, dobijamo cos x dx = dt. Otudaje:
f · 5 . J' 5 /6 I . 6 SID xcosxdx= t dt=(j+C=6sm x+C.
1 5 b) --cos x+C
5
7 . 6 8.42.a) -S111 X+C 6
b) .!..sin' x+C 4
c) I . 8 C ~sm x+ 8 1 8 c) -·-cos x+c 8
1) d · . 3' I 2 d I" d.. 2tdt .. d' 8.43.a) vo en.lem smJene smx- = t 0 )lJe se cosXu..( = -3-' pa vriJe t:
J.J3sin x-I cos x dr: = Sf 0 2tdt = ~ f(2d( =!:... ~ +C = 3 3 3 3
~ 2(3sinx-l)J3sinx-1 +C. 9
b) 3(I:--cosx) 'Jl.-cosx+C
4 c) -'2J2-sinx +C
~.440a) Uvoaenjern srnjene cosx = t dobije se sinxdx = -dt, pa vrijedi:
j 3Sil1X dx ~ I-3d! = -3 fd! = -31nltl + C ~ -3lnlcosxl + C .
cosx t (
b) -lnlcosxl+C. c) Inlsinxl+C
8.45.a) f I fSin4Xd(4X) tg4xdx=-
4 cos4x
b) .!. Inlsin 7xl + C 7
1 -- inlcos4xl+C.
4
8.46.a) Stavljanjem 3+cos'x~t,dobijamo d(3+cos'x)=dt,tj.
-2cosxsin xdx = dr iIi sin2xdx = -dt.
f sin':Jxdx fdt r~.!. ,I, r.;:----,-,-' ~ = - -- = - ( 2 ell = -2( 2 + C = -2v3 + cos x + C .
-J3+C05'X .Ji J
b) !'lg2x+C c) -'!:..cos5x+C 2 5
8.47.a) ~tg px+C n
c) 1 ,
b) --ctg px+C --cos3x- +C p p 9
.1. In (2 + 3 cost) + C b) __ I_,_+C c) __ I_+C 3 3S111°\ t 2-sint
8.48.a)
.!.(1 + sint)' + C ~l +sin't +C c) t C b) {o_+ 3 "2
8.49.a)
363
• 2 l-cos21 8.50.a) sm 1= ;
2 r·, fl-coS21 If d Jsm"ldt= 2 dl="2 (I-cos21) 1=
1 I. =-I--sm21+C
2 4
1 .1 b) -1+-'-sin21+C
2 4 c) ~ln(1+sin2t)+C
2
8.51.a) 6sin(~+2 )+C b) 15sin~+~cos3z+C 3 3
c) 3 2Igx---+C
cos x
8.52.a) 3e 2' + C c)
1 x' -e +C 2
b) _36e -o·50+1 +C
c) 1 " -e +C 2
8.53.a) 1
b) ., +c --+C z-e 2e'
0) e SlIlx + C 8.54.a) e Fx +c b) I ,r< ---e- +C 2
8.55.a) S. I -mJena -=u; -ex +C b) Smjena eX = u~ • x arCSlne
x c) arctgeX
2sinFx+C b) 1 •
8.56.a) -arctgx L +C 2
0) I ;. - arctgx + L 3
8.57.a) .llnltgxl+C 2
b) 1 ,
+C --cos(x' -I) 2
oj
8.58.a)
cJ
Smjena: t = u2; lii - 2arctgJ! -+ C
1 cosx..., r .- ~ arctg -- + C b) arctge' + C
a a
, .[;;dx 2t 2 dt ( I \ Uputa:x=t",dx=2Idt, ---=--=2 l---jdl l
]+x 1+t2 1+/2
Rozultat: 2(.[;; - arctg'[;;) + C
8.59.a) Smjena: x2+! = l' => d d f xd< r;-: X x:;:;; t t; J 2 == V x· + 1 -+ C
x +1
c) Inix' -II+C.
8.60.a) Transformacijom podintegralnog izra:l.Jl dobijamo:
f~-= dv = f d< -=~ f dx
J5-7x' lll-~x'i J5 C 7 x' ,/5 r(..fi)' 5) Vi 5 f- J5x
NekaJ'e J7 x = I' .J5' , Tako dobijamo
364
1. I. ..fi l7afcsmt+C= r.:;arcsInyx+C ,7 v7, 5
b) arcsin Inlxl + C cJ 3arcsin~ -2..}1_x2 +c
3.~(l+ Inl)3 +C I
-2Jl-sinx +C b) _In(l+e3X) +C c) 3 . 3
8.6I.a)
3 In(l +Z2) +C Inil2 - 311 + C --lnll+2zl+C b) c)
2 8.62.a)
1 Inllnxl+C _ln 2 x+C b) c) In(l +lnt)+C
2 8.63.a)
8.64.a) Transformacijom podintegralne funkcije, dobije se:
. x. . llx . 1 (5 6) I. "I. SItl-SUlXSln-:::smx·- cos x-cos x =-slllxcos..,x--smxcos6x= 2 2 2 2 2
I, 1, _ sin6x cos4x sin7x cos5x = -(sm6x+cos4x)--(sm7x +cos~x) =--+--------. 4 4 4 4 4 4
Jsin~sinxsin..!....!!-cb;= nsin~+ cos4x _ sin7x _. COS5X)dx= 2 2 Jl 4 4 4 4
= ~(_COS6X +- sin4x +- cos7x _ SinSx)+c 4 6 4 7 ·5
b) Podintegralna funkcija se moze transformisati na siijedeci nacin:
cos( 3n _ 2x ')
(31t 1 4 -cos2x+sin2x
ctg - -" 2x jcos4x (. ) cos4x = . cos4x = 4) . 3n 2 cos2x+sm2x
S1l1~-X
4
-cos2x+sin2x . 2 . = . (cos' 2x-slll 2x)=-(cos2x-·sm2x)2 =
cos2x +- sm2x
B.6S.a)
= -1+2sin2xcos2x.Otudaje:
fetge: -2X}OS4xdx = Je-l+2sin2Xcos2x)dx=
= - f dx+ J 2sin 2xcos 2xdx =
1 "C 1 = ·-x--cos- 2x+ 1 =-x--2 2
~5os4x ""C 2 .,
c054x+1 cos 2 2x-sin 2 2x+l 2cos 2 2x
clgx -lgx cosx sinx
sinx cosx sin X cos x
-x-'!cos4x+C. 4
2sinxcosxcos2 2x cos2x
. 2 1. 4 = sm2xcos X""'-Slfi x. 2 fCOS4X+l 1 J' I ='-'---'-dx=- sm4xdx=--cos4x+C.
ctgx-tgx 2 8
b) -tg(I·2x) + C c) -~lnI1-5xl+C
365
8.66.a)
b)
8.1.3.
..!.In(t2 +1) +arctgt+C 2
1+sin2x 2 (Cosx+sinx)2 ___ c:...:.= +COS X= . -+COS 2 X=
( 5") cosx+smx cos(2x·-2,,)ctg x-'~ -cos2x·_·--.-4 cosx-smx
(cosx+sinx)(cosx-sinx). 2 cos2x 2 '"I -'-----'.-'-:-----..... T COS X - ---+ COS X = -1 + cos- x =
-cos2x -cos2x
r~" 1 + cos2x 1 cos2x = _. i + J = -- + --- . Rezultat: \ 2 2 2
lntegrali oblika
8.67.a) f~ "" f / d'r \ = J2 J ct:, . Uvodenjem srnjene ~ -;;;:. u dobije x + a a2[ x: + 1 1 a ( ~)- + 1 a
\.0 / \a
se dx = adu, pa dalje vrijedi:
f·--· dx - = -~ f~ = !arctgu +C= -~.an:[g~+C. x 2 + 0
2 a u 2 +] a ~ a a 1 x
b) _marctg-+C c) 2 2
I x -- areta - + C 6 b 6
8.6R.a) Transformacijom podintegralnog izraza dobijamo:
J 3dx 3 d< 3 J dx
2S+x2 ::.:: 25 = 25 -r'x )2'
1 + 1 + ~-. 25 ,5
Stavljanjcm !: = f , dobijamo dx = 5 dt . 5 .
3dx =.q--"'-=]. f~L=!2 f~=~mrtgt+c=2((fc(rr>::+c 25~ (lx \2 251+P 251+r1 5 5 6 5
b)
R.69.a)
366
1+ .... ! \5)
I I --arctg - + C 2 2
f-1··+··,.dx4·x2
" }_. J d(2x) - 1 . arctg2x + C . 2 1+(2x)' 2
c) arctl!.~+C " 10
b) fdx dx 1 dx
x' +5 ~ I ~(~ =s'l( X )2 5 --+1 I -. +1 5) 15
d(~1 15'1 15) 5 (;J +1
I x ~ -arctg-+C
15 15 8.70.a) J dx J ...:cd:::...x _
x'-a' ~ '(x-a)(x+a) . fJ.. (_1 __ -1-IJdX ~ 2a x-a x+a
~_l (f~ -J~-)=J.-(lnlx - al-Inlx+ al)+C ~..!..Jnlx-al+c. 2a\ x-a x+a 2a 2a x+al
b) ..I. 1nlx -t,c. c) J..1nlx-S\+c, 6 x+3! 10 x+5,
8.71.a) f 4 f dx ?( f dx f dx I 2 I II + xl C --dx=4 --I --)= ll'-- + I-X' (1-x)(l+x) -l I-x ]+x II-x,'
b) ..I.lnl.1..0··:+:'>::·I!.+C c) ..I.lnlll+3xl+c. 2 10-x 3 1-3x
8,72.a) J..1nll+xll+c b) J..lni3+2xl'+c c) ..!..lnI4+sxl+c 10 I-x 12 13-2x 20 ,4-5x
f dx ol( I 1 '\ J r( I 1 'L. I Ix-21 8.73.a) (x-2)(x+3) = Js x-2 ~':':-+iJ'"=5 Jl:;:-2 -:"+3[,=5 1°1':':-+31+C
1 1 1 I x -II Rezultat: -In -- . 3 x+2 3(x -I) 3(x + 2)
c) Uputa: -c;----:-x+2
( x-..IJ' +2' 2; 4
Smjena x _..I = fi t, dx = _.fi_7 dl; Rezultat: _2.fi_7 arcli_2X_-_l) + C. 22 2 7 l.fi
J dx r dx JX+3=tl' cit 8,74.a) :"'+6x+1O= J(X+3)2 +1 Cldx = cit = l{, +1 =arclgt+C~
8.75.a)
c)
1 x-4 = arctg(x+3)+C b) -arcl;:--+C c) 2 2
I '\X-91 -In--. +C 8 X-I
r _2x ...,-..,.--:--:-: In ----
2(1n3 -ln2) 3' + 2'
] x 3
-arctg~-+C 6 2
b) -In-- --arctgx+C 1 IX-II I 4 x+ I 2
367
8.76.a) f f, ,dx , a -x
x b) arcsin"::'+C c) arcsin ":::+c = arcsin - +C
a 2 3
8.77.a) .!. arcsin 2x + C b) J • 5x C c) J . 4x C -arcsln-+ -arCSln~+
2 5 2 4 9
8.78.a)
I r;:---:;I b) In!x+v4+x :+C c) Inlx+~'I+C
8.79.a) Inlx+fu7I+c b) .!.lnI5X+.i4+25X'I+c 0) ~lnI9.nJ4+8JX'I+c 5 I 9 ,
8.80.a) J dx -iX+1=tl_ r dt ,[c:Y+ I)' + 4 - 1m = dl - • j;2;4
tnll + .J7i~l+c = In\x+ 1 + Jx2 +2x+ 51 + C .
. x-3 b) arcsm-~+C
3
I . 8x-5 c) 2'arCSln J8CJ + C .
fHA. Metoda parcijalne integracije
8.81.a) Primijenimo rnetodu parcijalne integracije. Neka je u = x, dv = eX dx . Tada
je d u = d x, v = eX . Pomocu formule za parcijalnu integraciju:
b)
c)
368
JUdI' = dv - JVdu j dobije se :
fxexdx=xe x - fexdx.:::::xe x _ex +C=e"\x-l)+C.
lu~lnl~,dv~dJ dx
flnl¥<=1 _dx _ IOXlnl~- fx-:-=xlnl~- Jdx=xlnl~-x+C du~- v--x x I x'
, . . 21nlxl u = In-Ixl,dv = dx, du =--, v=x;
x
f In2lx~ =x In'lxl-2 flnlxl ~ x In 'Ixl- 2x Inlxl + 2x + C .
8.82.a) u = arcsinx, dx = dx; Rezultat: x arcsin x + ~ + C
I 2 c) xarctgx-~ln(l+x ) +c 2
b) xarccosx-~.h_x2 +c
8.83.a) u = x, dv = sinxdx; du = dx, V = -cosx: f xsin xdx=-X'cosx+ f cosxdx =-xcosx+ sinx+ C
b) xsinx + COSX + C c) -(x+2) cosx + sinx + C !u=arctgx,dv=xdx 2 2,
f iX I fX = xarctgxdx =1 dx. x 2 =-arcLgx-- --, =
du=--?v=- 2 2 l+x 1 +x~ 2
8.84.a)
x' I II + x' -1 x' I (f' f dx I =2-arctgx-2 ~x2--,b:=2arctgx-2 dx- 1+x2)=
j +1 x =-arctgx -(x arctgx)+C=--arctgx---+C.
2 2 2 - 2
b) f ' lu=x2,dv=cosxd,'I, . J" x cosxdx= =x'smx-2 xsmxcb:=
J Idu = 2xdx, v = sin xl
lu =- x,dv = sinxdx I ,. J =1. =x-smx-2(-xcosx- -cosxdx)
lau = dx, v.::::: -cosx
= x 2 sinx + 2xcosx - 2. Jcosxdx = x 2 sinx + 2xcosx - 2sinx + C .
lu=lnx,dv=xdxl ? ? 2 'I I x-lnx FX x-lux x Jxlnxd'{= d<: x 2 =---J-dx=----+C
Idu=--,v=- 2 2 2 4 x 2 I
0)
8.85.a) u=x 2 ,dv=e"dt:; du=2xdt, v=er: Sx 2 exdr=x 2 eX -2 fxexdx= . J
= IU=X,dvoe'd~l=x2eX -2(xe' _ fe'dx) =e'(x2 -2x+2) du=ax, v.:::::e
+C
b) f ju=e"',dv=sinxdx I f eX sinxdx =1 x I =-e'- cosx+ eX cosxdx =
Idu=e d'(,v=-cosx
'[u=e'\' dV=COSXdxl c ~ :. .' =-excosx+e"sinx- Jexsinxdx du='c dx,V=SIllX 1
=> fe"sinxcb:=-eYcosx+cxsinx- Jexsinxdx
, r ('·dxe(. 'C' => 2 ... e" sinxw.:-=-e r cosx+ex srnx => Je' snn; =2 smx-cosx)+
c) fe' cosxdx = .~~ (sinx+cosx)+C. J' 2
369
8,86.a) U <integralu JSin x sin x dx uzmimo: sin x = U, sin x dx = dv, paje
cos x dx = du, -cos x = v. Pomocu formule za parcijalnu integraciju dobije se:
f · , d' f 2 dx sin 2x J I . 2 d Sin X X=-SII1XCOSX+ cos x =--2-+ ( -sm x) x,
d I·· f' 2 J. sin 2x fdx . f' 2 d x sin 2x C aJcJc 2 sm XtL\'=-"'--2+ ,tj. SII1 x x="2'--4-+ .
Do istog rezuliata dolazimo aka primijenimo forrnulu sin 2 x 1-- cos2x
2
b) sin 2x x C --+-+ 4 2
c) -xctg x+ lnsinx+C
8.87.a) '~= In' x,dv= dx 1 I" = Inx,dv = d<1
Jln 2 xd--.:= _ 21nx ~ =;dn2 x-2Jlnxdx= _dC, __ =
du =--·dx,v- x Idu-~,v -J: x I I x I
2 " = xlo x-2(xlnx- Jdx) =xln-x-2xlnx+2x+C.
b) 'Iu =lnx,dv= dx
J lnx~c!2=I' ,=_In,x + fd'(_= __ ~nx -~+C. x~ dx 1 X x 2
X x du=-,v=-~
x x,
c) I dx I
f xd--: U=X dl'=-------::- = I ' . cos 2
X I = xtgx + In!cos xl + C . cos2 X .
dt.! = dv, v = tgx
8,88.a) 'ixJx2 +a2 +~"11x+Jx2 +a
21+c c) _ arcsin x -Inl l +.Jl-x.:'.LC.
x x I
b) 1 12---', ,,' 1 "I -x'l/x -a --lnx+Jx~ -a +C 2 ' 2
8.89.a) Uputa: Prvo livesti smjenu a zatim koristiti mctodu parcijalnc
. '" R I x4-2x2+2.exz +C mtegraclJc. ezu tat: 2
b) Uputa: Uvcsti smjenu lnx = t, a zatim koristeci x = elm,: = c f i metodu parcijalne integracije izracunati vrijednost dobijenog integral<:L
R I x(sinlnx--coslnx) C
ezu tat: " ,---- + 2
c) Uputa: Koristi smjenu fx "'" f, a 72tiln metodom parcijalne integracije
dodi do rezultata: - 2/;; cos.Jx + 2 sin .Jx + C . , 8.90.a) x~a .x
C'
---Va" -x~ +-arCS111-+ ' 2 2 a
b) ,J;F;;- , 1 .J~I x ? " a. 2 - a-+x~ +~Inx+ a +x2 ,+C 2 2 i
c) Uputa: Uved! smjenu ·hx -I ~ I. {;~ J2x-i ,
x arctgv2x + 1 - --- + C 2
370
8.1.5. Neke primjene Ileodreilellog integrala
8.91. !Cako jev= ds ,tojeds=vdt,paje s= f(4t' -31+I)dl= 41' _2C+ t +c. . dt 3 2
8.92. s= J(3t' +2)dt=t3 +2t+C; 5(2)= 100 => 8+4+C = 100
=> C = 88. S=tl +2t+88,
8.93. v(t)= J(-41+16)dl=-2t'+16I+C; 5(1)= 16 => -2+16+C = 16
=> C = 2 => vet) = -21' + 16t + 2 .
2 3
s(1) = fv(t)dt = I( _21' + 161+ 2)d! = - 31
+ 8t' + 2t + C,;
sell = 25 =>
·-·2t', 2 47 set) = ---,.,_.- 'T' 81 + 21 + ._.- .
3 3
-~ +8+2+C! =25 3
- f 2 fl+cOS2x x sin2x C 8.94. f"(x)= cos xdy= dr=~+--+ . 2 2 4
=>
=>
c = 47 , 3'
~=~+c 4 4
=> C=O => Fex) =!: + sin2x . 2 4
8.95. F(x) = fxdx=X; +C => f'(x)= I => x= 1. Kakopravay=x-l
oodiruje grafik funkcije y = r(x), to dodirna tacka 1ma koordinate X = 1, 1 I x' 1
Y. =1-1 -"0, pa.ie; ,-+C=O => C=-- => F(x)=---. 2 2 2 2
8.2. 8.2.1.
8.96.a)
c)
8.97.a)
Odredeni integral l\leposredno izracunavauje odretlenog il1tegrafa
J x" 51 2' 21
xd: '"-I 2 2 2 2 ,
In4
371
b)
c)
8.98.a)
b)
0)
8.99.a)
8.100.a)
2 'I' f' 2" 2 1. X' 8 4 j(2x-x )dx ~ x L -3 ~4-3=3'
(} , o 7.,0 J!(l ,.,, __
I(5 ')dx ~ 5x! ,x 'I' _ 125 Lo _ 62) x+x -I ,-~ --------. -5 2 1-5 3 H 2 3 6
" , ~, ) - Z I "IT fsinxdx=-cosx =-i cos~-cosO =-(0-1)=1. ~ 0 \ 2 ,
;[" r IT) ~./ rei (rei (nli~ jll~X+- dx = Jsmlx+~)dl x+~ I=-COS X+:;-li =
n \ 3/ :': 3 \ .) j j )1:: , , IT
:-I2rr n:l I -coS---+cos- =-. IT 3 2 2 6"
" 'r' . )'- r:; 'r ' 1t 1, . l 'It 12 • 211: . n .,,;3 ,cos'lx+ IdX=SIIl x+-I =sm--slfi-=--i. ;! 6) 6:: 3 2 2 3 J
7
3 0)
(j 6 6 (j G
jex - 3)2dx ~ f(X2.-6x+9)dx~ Ix'dx-6 JxdY+9 fdx 3 :\ 3 3
b) 'I' I' X 6
"3 -6· 21. + 9xl. ~72-9-3(36 3 '.'
9)+9(6··3)=9.
8.10La) b) -Ji cj
372
0)
l72 c) 117
3
2
8.2.2.
8.102.a)
b)
lzracunavanje odreaenog integrala metodom zamjene
3
. du! 3x-l=u'dx=-1
, 4 l(3x-l) dx=
, 3 I S sl8
X= I => II =2 =3 fu 4dll = ~5\ ,
1
4 dx
f(SX+2\3 () ,
x=3=> u=8 2 2
I dl! 5x+2 = lI;d¥ =-
l 5 Dd I· lUi x=O=> u=2 =5 J;;J=-lOu21~ x=4=>u=22 I 2 ~
I I , I
4x-l=u;dx=-
32768 -32
15
22
109i2
5
I . dul
, 41 23 ~1 123 3 )'(";'- , J3'-- . ~rl ,r-- )'-
cJ ~4x .. lffi-~ Ix=l=> u=3 ~..'. 'Judu=---::-u'.Ju =-(23c;{23-3-:J3) , , 4 16 I, 16
8.I03.a)
b)
I !x=6=>u=23 I 3 '
1 I
~ 2x=u;1 l~ 1 I~ J fSiI12xd:r= dul"~- fsinudu=--;::-cosu ,= _. J dx=- 2" £.:: 4 ~. 2 I ' , I 3
I " X 4 ~
2=u; 1=2 Isinudu=-2cosuIJ =J3-12. dx:::::.2du ::. 6
6
'~l( n) 4x-~~u;ll 'ff' I l'f 0 0) J5m 4x-- dx;= , =- smudu=--cosul. =
2 au I 4 4. I': Jt dx=~ 2 4 I 4
8.104.a) 0)
g.IOS.a)
b)
IT I ,
"3. J. ' I 2 d I J I· 7 rsmxus =icosx=t, 1= r-=----i= fr 4dt= __ ' = __ '. CI
1 cos4
x Isin xdx = -dtl r t4 1 31'ik 3 '
2
J3 -I 6
373
8.2.3.
8.106.a)
b)
c)
8.107.a)
b)
Metoda parcijalne integracije u odreilenom inlegralu
, . . dx
Jarcsin x dx = u :;;:; arCSIn x; du = r:------=
vI-x 2 = dv=dx; V=X
• 1 1 xdx = xarCSlnxl o -f ~
0.vl Xl I
, dl = 1-x- =t; xdx=-':2
Ix ~ 0 => t = I, x = 1 => t = 0
_ .., I 0 dl 'it rio 1I , -- x arcsin xl + - J~ = ~ + -VI =.- -, . . ° 2,.Ji 2 ., 2
o lu = arccos x; dll = - _"dx~= " d f .1._' ,0 f x x '" arccosxu;(=I" -x ::;;; xarccosx'Ll + 7- 2 =
.,vl- x uj dv=d'(;v=x
I · dl I ' __ )-x~ =l; xdx=-- . If) 1 f dt 3rr ri l 3n -I. . 2 l=xarcsmx:_j-2~Jt=-2---Jt'o=-2 -J. x=-]::::>f:::::O,x=O=>f=l ()
, , 'f xdx [aretgx dx = xarctgxl - -~o = 1t •
'" "I 1 + x~ , " lu ~ x;du = dxl n;" n 2 ~ 2 n __ fxcosxdX = Idv=cosxdx;,=xsinx!g -'Jsinxdx =2"+cosxj{; =~-l.
() jv = sin x I 0 2
I dx , lu=arctgx;dU=-~2 2 1\ 12
r l+x x i lJxdx Jxarctgxdx=1 ') =-arctt-,1X1 -- ~--=
I ~·c 2 i 2 1 + x 2
dv=xd'(: V=-' lU 0 . 2
n 1, d n 1 = 8 - 2"x - arctgx)!o = -4 - 2"
4 7
c) Jxll1xd\' = 81n4-4- e~ .
374
8.2.4. Primjena odreilenog iniegrala na izracunavanje povrsille ral'ni/Z figura
8.108. Kriva y=-x 2 +2x sijecex-osuutackarna Xl =O'X2 =2,pajetrazena
2 4 povrsina p= fe-x' +2x)dx=3" (S1.8.108.)
° 8.109. Date linije se sijeku u tackama 0(0, 0) A(I, 1), pa je povrsinajednaka
vrijednosti odredenog integrala:
'f(X_X2)dx=[X2 _ X3
)1'
=.!.-!=.!. (S1.8.109.) 23,236 .
o io
Y= x 2
r I
y:::: _x 2 -+ft2x
S1.8.109. SI.8.1lO.
2 0 'I" 8 8.110. TrazenapovrsinajeP= f(x-2)'dx= fu 2du=u3
=- (S1.8.110.) o -2 -2 3
2 2
8.llI.P=4,5(S1.8.111.) 8.1l2.P= j(-x2 +2x+3)dx_ f(2X-l)dx=332
-2 -2
y=x+ 1. y=(x_l)2
/' S1.8.1 1 1.
375
2 32 8.113. P~2 f(4-X2)dX~2
8.114.
8.11S.
8.116.
8.117.
8.118.
376
o
p~ 1(-x215)dt-IGx2+2)dt~21(-~x'+3}u~2(x: +3X)I~ =4n. ""n -fi 0
Apscise prcsjecnih tacaka su ±2. Trazena povrsina je
p= R~X2+2)dt- Jx'dt= IGX2+2-X}~=2R2-~X')dx= I: ,,2 -2 -2 0
f 'I i
'I
I
, S1.8.1 6.
I J
) /
.1 !7.
Krive se sijeku u tackama ( 0, 0 ) i ( 2, 4 ). Trazena povrsina je
p = {-I8X dx - Ix' dyo ]l2J2) -x' JdY ~ ~ . o 0 0 3
,2 I' 2 2:1 2 P = f2xdX -f~dX~X I +-.
x 2 I x'
I I Ii
20 6
(SI.8.117.)
(SI.8.118.)
2
81.8.118. SI.8.119.
8.119. Jednacina tangente je y ~ x + ±. Povrsina figure (vidi SI.8.119.) je:
!~. 1 1
'R 1\ 2 (' )12 ( ,311, p~ . x+-Jdt- r(2x-x2)dx= =-+..: I -l' x2_=-)1
_~ 4 t 2 4 ._! 3 0 4 4
7
8.120. Tangente imajujednaciney=4x-4 i y=-4x-4. 2 2 31' f 2 f x '" 12 16 P~ 2 x dx-2 (4X-4)dx~2'~1 -2(2x' -4x) 10 ~1.(SIK!20.) o 0- ,) 0 ~
377
Dalje vrijedi: C dx f I (y
( x) r dl- r
::;:; f r =arcsin.::1 om ro
7t
2 ' " ,x
r Ji -II \r;
u=xdu=dx c
J x(xdx) ,
-,---- ~ xdx f xdx ~ dv= V= o vr- --x- 122") ~.2
vr~ -x~ "\Jr" -x-
I
-Jr' _x21
r'··-~-' 1 ~-xJr' -x'i + rJr' -x'dx~ fJr2 -x'dx~-P""r'"
, ' 4
Otudaje: " " 1
4·-~ 4 kru~a =>
b- 2 . 1 x-., f ' ;;:X => y=h 1--
=>
Nekaje
~> 2I~"". => 1 ~ ll1l. D IJ" P 4bI b 2 4 a e Je: ,0,,, " ~ a 7t .
8.2.5. Primjenu odreiienog integra/a na izracullilvanje zapremille obrtllog tijela
8.123. - cos 2x dx" (x sin 2x )1" -It ----~ 224
\l 0
n' 2
2 , I' "f4 f· 4n I' =71 --.;:dx = 4n JX -dy = --'1 = 2n . I .t 1 ): I
8.124.
8.125. , , 21' 'I' T tC2 4:n:X 'It.X r ~v, -V, ~n J(vX) dx-n Jx dX~2 --5-1 o 0 0 ()
JC 11': 31£
2 5 10
378
8.126. " 214 y)2dy~7t fydy=~ ~8n. o 2 0
4
SI. 8.126.
8.127. (S1.8.127.).
8.128.
8.129.
8.130,
y ~ 4x -x' 11
i l,
(S1.8.126.)
512" 35
\ \ \
16rr
3
8n 3
379
8.2.6. Primjena odreilenog integraia nu izracunavanje povrsine obrtnog tijela
5 5
8.131. p< ~2n Jx~cb:~2J2n fxcb:~J21t X'I: ~25nJ2. " 0 6 6
8.132. p< ~ 21t f3x,n:;:9cb: ~ 6JiOn fXd, ~ 3JiOn x'l: ~ 96n Fa . ,
2- II+9x 4 =t ~ ~1i7,
I' .,--, i . 'f" r: dl n I' P_ = 21t x J '\I I +9x dx = i,36x"dx:;:; dt = 21t vI -:;:;: --I . 36 18 3'
o I 3 dt ! -I IX dx = --- 2 I
I 36
611t 8.133.
1728
8.] 34. Posmatrajmo kruznicu Xl + l = r2. Rotacijom ove kruzlltce oko x-ose (ili y-ose) nastaje sfera cijaje povrsinajednaka trazenoj povrsini lopte. Otudaje:
8.135.
380
b
'I J . 2L ~ ··2x li.~>; =2n: ~y- l+U:') w:, y=2-vl-·.r, v'=-,------. a . '/1-x'
1 ,~~-., ,v4 -y' P =4n J~-'-
1 0 o ~
8.2.7. Primjena odreilenog integrala no izracunavanje preilenog pUla
w
J ? 3 2 dO 8.136. s= (3t'-21+5)dt=(t -I +51)10 ~950m.
o , 8.137. s, = J(61' -4t)dl=(2I' _21')1: =8 m.
o 5
S5 = [(61 2 -4t)dl ~ (21] _21')1: ~ 104 m 4
8.138. Tacka ce se zaustaviti kada bude v = 0 ,ocinosno, 24t - 6t2 = 0
" => t = 4. Preaeni put]e '" _ "I 2 ~ _ 14 s= 1<241-6r)dl=(l21 -21) ~64 m • 0
!O
8.139. s= i9.8!dlo"490 m o
8.2.8. Primjena odreilenog integra/a na izracunuvanje rada SUe
8.140. Prema HookoVOITI \0 zakonu vrijedi: F = kx, odnosno, 6' = k·O,008 , odakle so dabije k = 75.
0,0); 21o.0R Izvrseni fad Aje: A = f75xdr::= 75·~ :;:;~J.
J 2 25 c "
8.141. Kakoje: F=kx,odnosno, 10=k.O,012,toje k~2500 3
(} 012 2I(1,()12
Izvrseni rad A je: A = . r 2500 x d, ~ 2500 . .:':... ~ ..i. ~ 0,06 J . . J 3 3 2' 100 o 10
o.or' x2Io,[tJ 9 k=SOO. A~ 500xdx=500···- =~~0225J.
J 24()' => 8.l42. 30 ~ k·O.006
II,(}J
/I'" fii xdx = 16 J "
=>
L. 'f320000 d.' 320000 x. 'I' _, .', .. , ~-9-x ,= --9- -2-1 ,,44J
c " 0,05
o °
=>
=>
=>
9 z=--=009m.
100 '
320000 k=~--.
9
8.144. fkxdt=25 => k=20000. ".I , 1°·' /I ~ J20000X cb: ~ 20000 .~. = 100 J o ° °
10' Roben Hooke (l635 w 1703) - engleski uzicar
381
LITERA TURA:
L M. Alekseev: ELEMENTARNA MATEMATIKA-rescnie zadae "Visa skola" Kiev" 1989.
2. Dr. S. Arsianagic : MA TEMA TICK A INDUKCIJA, "OTlSAK", SARAJEVO, 2001.
3 . N. Dzuhur: MATEMATIKA sa zbirkom zadataka za 4. razred srcdnje skole !!Svjetlost ll Sarajevo, 2000
4. A. Hadziaganovic:ZBIRKA RUESENIl-l ZADA TAKA IZ MA TEMA TIKE odabrana poglavlja za nadarene ucenike srednjih skola,
"GRIN", GRAC ANle A, 2000. S. S. Mintakovic: Zl3lRKA ZADATAKA lZ ALGEBRE III dio
Zavod za izdavanje udzbenika, Sarajevo, 1967. 6. D. S. Mitrinovic: Matcmaticka indukcUa. Binomna formula. Kombinatprik<l.
Zavod za izadvanje udzbenika SR Srbijc, Beograd, 1970. 7. TRIANGLE matcmaticki casopis za ucenike i nastavnike osnovnih i
srednjih skola, lJdruz.enje matcmaticara BiHo Sarajevo 1998-2000. 8. Lj. Radovic: MATEMATTKA 4 za cetvrti razred masinske struke
nYesclin MasleSa" Sarajevo, 1985. 9. B. T. Vene: ZBlRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za IV razred gimnazije
Zavod za udzbenike i nastavna srcdstv3, Be0grad, 1976. 10. S. Yukadinovi6,V. Stojanovi6: TvIATHEMATISKOP 6 - odabrani zadaci za
cetvrti razred srednjc skoie, "MATHEMATISKOP" , Beograd, 19n.
382
SAD R Z A J
PREDGOVOR................ 3
I. MATEMA TICKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 5 1.1. Matematicka indukcija ..... """" .......................................... " .. ""... 5 1.2. Binomna fannula .... " ..... " ........................................ " ........ " .. "" ..... 10
2. TRIGONOMETRlJSKI I EKSPONENCIJALNI OBLlK KOMPLEKSNOG BROJA 18
3. 3.1. 3.2. 3.3.
KOMBINATORIKA Varijacije .............. .. Penl1utac~ic .. . Kombinacijc .
4. SKUP REALNIH BROJEVA (R).
5. NTZOVL ARlTMETICKI I GEOMETRIJSKI NTZ
29 32 37
42
GRANICNA VRIJEDNOST NIZA. GEOMETRlJSKI RED 5.1. Pojam niza. Op6 clan. MonotonosL Ogranicenost ............ . 45 5.2. Aritmeticki niz (aritmeticka progresija).............................. 47 5.3. Geol11etrijski niz (geol11etrijska progresija)........................ 54 5A. Aritl11eticki i geol11etrijski niz-komhinovani zadaci ...... ,... 60 5.5. Granicna vrijednost niza . ........................ 61 5.6. Beskonacni geometrijski red"" .. """""'"'''''''''' 66
6. FUN K C I J A 6.1.
6.2. 6.3. 6.4. 6.5.
Osobine Iunkcije. Oblast dctinisanosti (domena). Oblast vrijcdnosti (kodol11ena). Ogranicenost. Pamost (ncpamost). Periodicnost Znak i nule funkcije. lnverzna funkcija date funkcije .... Granicna vrijcdnost funkcije.. . ............. . Asin1ptote funkcije ........ " ........ . Prirastaj argumenta i prirastaj funkcije Neprekidnost funkcije" . """""'"
7. DIFERENCIJALNI RACON
72 78 85 86 87
7. I. Srednja promjena funkcije. Srednja i trenutna brzina .. ".""........ 89 7.2. Prvi izvod (prva derivacija) funkcije.Opci metod odredivanja izvoda 90 7.3. Osnovna pravila za izvode. (Pravila deriviranja }........... ... ......... ..... 91
383
7.4. lzvod (derivacija) sloionc funkcije ............................................ . 7.5. Izvod (dcrivacija) logaritamske funkcije ..................................... . 7.6. lzvod (derivacUa) eksponencUalne funkcije .................................. .. 7.7. Izvod (derivacija) trigonometrijskih funkcija ........ "" ....................... . 7.8, Izvod (dcdvacija) inverzne funkcije. Izvod funkcija kaje su inverzne
trigonometrij skim funkcijama .... , ...... " ......................................... "", .. 7.9. Logaritamski izvod (derivacija) funkcije ......................................... . 7.10. Mje§oviti zadaci 0 izvodu (derivaciji) funkcija. . ..................... . 7.11. Izvod (derivacija) implicitno zadane funkcijc. . ..................... . 7.1.2. L'Hospital-ovo pravilo za odredivanje vrijednosti izraza
7.13. 7.14.
bl 'l 00. 0 (k . 00 o. ) o 1 ",a -·1 -- "_aD I ,CD, 1 ,co-en. . .................... . 00 0
lzvod (dcrivadja) viseg reda ............................................... . Diferencijal funkcijc.Geomctrijsko znacenje ....................... .
7.15. Geomctrijsko znaccnje prvog izvoda. Tangenta i norrnala na grafik funkcije. Primjena prvog izvoda u geometriji i fizici ... ,., .......... ..
7.16. Ispitivanje funkcija primjenom izvoda ..... " ....... .. 7 .16.1. Odrcc1ivanjc infervala monotonostifunkcijc ................. .. 7" J 6.2, Odredivanjc ek.,·;trema (Jwjve{e i F/Qjmanje vrlj"ednos/i) jirnkc(je 7.163. Odrcltival1je intervala konveksnosti (konkavnosti) funkc{ie ..... .. 7.16.4. Odrcc1ivGnje prevojnih tacakajimkcije ........................... ........... . 7.16.5. CrtQ!~ic grq/ikajimkcUe ............................................... ..
8. I N 'I' E G R A L N I RAe U N 8.1 8.1 i. 8.1.2.
8.1-.3.
8. i A. 3.1.5.
Neodreilelliintegra!. .. .............................. . Osnovncformule inlegriranja. Neposredno il1legrirQ1~je_ lnlegracija metadom zan~jene promjenljive ........... .
"_dx ... [dx fd¥ lnlegrali oblika: J -x' ± a" • J a' - x' ' J x' + a'
l\!Jeloda parcijaine il1tegracije ............ , Neke primjenc neodredenog integraia .. .. Odredeni integral.
92 93 93 94
95 96 96 98
98
99 100
101 104 ]04 iOS 106 106 J07
108 108 III
113
114 114
115 8.2. 8.2.1. 8.2.2. 8.2.3. 8.2.4. 8.2.5. 8.2.6. 8.2.7. 8.2.S.
Neposredno izracunavmy'c odreiienog integrala....................... 115
384
!zr(l('unovonjc odreifenog infegralo mefodam zamjene............ 116 Metoda parcijalnc inlegracijc U odredcnom inlegraiu.............. 116 Primjeno o<ire{lenog iniegralo no izracunavonje povr§ine ravnihfigura 116 Priny'ena odrcdenog inlegrala na izracunavanje zapremine obrtnog tijela 117 PrimjcnG odrcc1enog integrala na izracunavonje povrsine obrtnog lUcia ! 18 Prill/jena odreaenog integrala na izrac'unavanje preaenog pula 118 Primjena odredenog integrala na izracunavanje rada sile.......... 119
RJESENJA,UPUTE,REZULTATl LITERATURA
121 382
