SilviaGilezan LjuboNedoviZoranaLuanin ZoranOvcinTatjanaGrbi JelenaIvetiBiljanaMihailovi KsenijaDoroslovakiZbirkareenihzadatakaizVerovatnoei statistikeNoviSad,2009.godineNaslov:Zbirka reenih zadataka iz Verovatnoe i statistikeAutori:dr SilviaGilezan, redovni profesor FakultetatehnikihnaukaUniverzitetauNovom Sadu,dr Zorana Luanin, redovni profesor Prirodno matematikog fakulteta Univerzi-teta u Novom Sadu,dr Tatjana Grbi, docent Fakulteta tehnikih nauka Univerziteta u Novom Sadu,mr Biljana Mihailovi, asistent Fakulteta tehnikih nauka Univerziteta u NovomSadu,mrLjuboNedovi, asistentFakultetatehnikihnaukaUniverzitetauNovomSadu,mr Zoran Ovcin, asistent Fakulteta tehnikih nauka Univerziteta u Novom Sadu,mr Jelena Iveti, asistent Fakulteta tehnikih nauka Univerziteta u Novom Sadu,Ksenija Doroslovaki, asistent pripravnik Fakulteta tehnikih nauka Univerzitetau Novom SaduRecenzenti:drMilaStojakovi,redovniprofesorFakultetatehnikihnaukaUniverzitetauNovom Sadu,dr Zagorka Lozanov-Crvenkovi, redovni profesor Prirodno matematikog fakul-teta Univerziteta u Novom Sadu,drDraganori, docentFakultetaorganizacionihnaukaUniverzitetauBeo-gradu.Autori zadravajusvaprava. Bezpismenesaglasnosti svihautoranijedozvoljenoreprodukovanje (fotokopiranje,fotograsanje,magnetniupisiliumnoavanjenabilokoji nain) ili ponovno objavljivanje sadraja (u celini ili u delovima) ove knjige.PredgovorUovoj Zbirci reenihzadatakaizverovatnoei statistikeodabranojei reeno205zadataka. Pri izboru i reavanju zadataka imali smo na umu studente master i doktor-skihstudijaFakultetatehnikihnaukaUniverzitetauNovomSadu, posebnoodsekeIndustrijskoinenjerstvoi menadment, Inenjerstvozatiteivotnesredine, Main-stvoiSaobraaj. Svakako,ovazbirkamoepomoiidrugimakojisuzainteresovaniza reavanje problema iz verovatnoe i statistike.Napoetkusvakog poglavlja dat jekratak teoretski uvod koji omoguava lake pra-enjedaljegsadraja. Zadacisureavani postupnoidetaljno. Ureenjimasuestokorieni graki prikazi.Poslednjih deset strana zbirke sadre ispitne zadatke u oblikuukomesedajunaispituizpredmetaStatistike metode napomenutimodsecima.Na kraju zbirke su date potrebne tablice funkcija koje se najee koriste u statistici.itaocima elimo uspean rad u savladavanju gradiva i polaganju ispita.Autori se zahvaljuju recenzentima Prof. dr Mili Stojakovi, redovnom profesoru Fakul-teta tehnikih nauka Univerziteta u Novom Sadu, Prof. dr Zagorki Lozanov-Crvenkovi,redovnomprofesoruPrirodnomatematikogfakultetaUniverzitetauNovomSaduiDoc. dr Draganu oriu, docentu Fakulteta organizacionih nauka Univerziteta u Beo-gradu, na korisnim primedbama i sugestijama.tampanjeknjigejenansirano odstraneTempusprojektaDoctoral School towardsEuropean KnowledgeSociety DEUKS, JEP200641099.AutoriNovi Sad15. mart 2009.Sadraj1 Kombinatorika, prostor verovatnoei verovatnoasluajnihdogaa-ja 11.1 Skupovi i operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Prostor dogaaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Verovatnoa dogaaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Sluajnepromenljive 392.1 Sluajne promenljive diskretnog tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Sluajne promenljive apsolutno neprekidnog tipa . . . . . . . . . . . . 572.3 Dvodimenzionalna sluajna promenljiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4 Transformacije i brojne karakteristike sluajnih promenljivih . . . . . 853 Statistika 1013.1 Deskriptivna statistika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2 Teorija ocena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2.1 Takaste ocene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2.2 Intervalne ocene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3 Statistiki testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.1 Parametarski testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.2 Neparametarski testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4 Uzoraka korelacija i regresija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604 Statistiketablice 1674.1 Gausova normalna raspodela N(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2 Studentovatnraspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3 Pirsonova2raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.4 Asimptotska raspodela-testa: vrednostiQ() . . . . . . . . . . . . . 1725 Ispitnizadaci 1731 Kombinatorika, prostor verovatnoei verovatnoasluajnihdogaaja1.1 Skupovi i operacijesaskupovimaUteoriji verovatnoe,dogaajisuskupovi. Iztograzlogaseeestobiti korieneneke poznate osobine operacija sa skupovima.NekajeXuniverzalniskup. ZaskupAkaemodajepodskupskupaX, uoznaciA X, ako vaix A x X. Neka suA,BiCpodskupovi skupaX. Skupovneoperacije su denisane sa:unijaskupovaAi BjeA B= {x : x A x B},presekskupovaAiBjeA B= {x : x A x B},razlikaskupovaAiBjeA \ B= {x : x A x/ B},komplementskupaA jeA = {x : x X x/ A} = X \ A,DekartovproizvodskupovaAiBjeAB= {(a, b) : a A b B}.Neke od osobina skupovnih operacija su: A = A, = X, A = A, A = , X A = A, X A = X, A B= B A, A B= B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A B= A B, A B= A B.[1] ZaA= {1, 2, 3, 4}, B= {2, 4, 6, 8}i C= {3, 4, 5, 6}napisati elementeskupovaA C,A BiB \ C.Reenje: A C= {3, 4}, A B= {1, 2, 3, 4, 6, 8}, B \ C= {2, 8}.[2] ZaA= {a, b, 1}, B= {b, 1, c}i C= {a, 1}napisati elementeskupovaA B,B C,A \ B,B \ A,A B,A Ci(A B) C.Reenje: A B= {a, b, 1, c}, B C= {1}, A \B= {a}, B \A= {c},A B= {b, 1}, A C= {(a, a), (a, 1), (b, a), (b, 1), (1, a), (1, 1)},(A B) C= {a, b, 1, c} {a, 1} = {a, 1}.[3] Za date podskupoveA = {1, 2, 3, 4, 5, 6},B= {x | x N, x jedeljivosa3 ix < 10} iC= {x | x N, x < 12 ix je prost broj} {1}univerzalnog skupaN napisati elemente skupova AB,BC,AB,AB, ABC,A \ B,B \ A, P(B),B2,(A B) Ci(A \ C) B.1Reenje: Dakle, za skupoveA= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B= {3, 6, 9} i C= {1, 2, 3, 5, 7, 11}jeA B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}, B C= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11}, A B= {3, 6},AB= A{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, . . .} = {1, 2, 4, 5}, ABC= {3, 6}C= {3},A \ B= {1, 2, 4, 5}, B \ A = {9}, P(B) = {, {3} , {6} , {9} , {3, 6} , {3, 9} , {6, 9} , B},B2= B B= {(3, 3), (3, 6), (3, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (9, 3), (9, 6), (9, 9)},(A B) C= {7, 8, 10, 11, 12, . . .} C= {7, 11},(A \ C) B= {4, 6} B= {3, 4, 6, 9}.[4] Graki ispitati kojesu od sledeih jednakosti tane:(a) A \ (B C) = (A \ B) \ C (b) A \ B= (A B) \ B(c) (A B) \ C= (A \ C) (B \ C) (d) (A B) \ C= (A \ C) (B \ C)(e) (A \ B) C= (A C) \ B (f) (A B) = A BReenje:(a)A BCA\ (B C) = (A \ B) \ C.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(b)A BA\ B= (A B) \ B..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(c)A BC(A B) \ C= (A \ C) (B \ C)... ...........................................................................................................................(d)A BC(A B) \ C= (A \ C) (B \ C). .... ........ ........... .............. ................. ................... ...................... ........................ .......................... ............................. ................................ .................................. .................................... ....................................... ........................................... ................................................ ..................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................... ............................ ............(e)A BC(A \ B) C........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................=A BC(A C) \ B......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2(f)A B(A B) = A B............ ............................ .................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ................................ ...................... ........1.2 KombinatorikaBinomnikoecijent:_nk_=n!k! (n k)!,n N,k N {0}. (0! = 1)Pravilo proizvoda: ako skup A1 ima n1 elemenata, skup A2 ima n2 elemenata,. . . , skupAkimankelemenata, i akosebirapojedanelementizsvakogodskupovaAipri emususvi posmatrani elementi razliiti, ovakvihizboraiman1 n2 . . . nk.Permutacije:Permutacijebezponavljanja: svielementiskupaA= {a1, a2, . . . , an}se rasporeuju u ureenun-torku; broj ovakvih rasporeda jePn= n!.Permutacijesaponavljanjem: iz skupaA = {a1, a2, . . . , ak} se biran1puta element a1, n2 puta element a2, . . . , nk puta element ak, i izabrani ele-menti se svrstavaju u ureenu n-torku onim redom kojim su birani; ovakvihizbora imaPnn1,n2,...,nk=n!n1!n2! . . . nk!, gde jen = n1 +n2 +. . . +nk.Varijacijebezponavljanja: iz skupaA = {a1, a2, . . . , an} sek n puta biraneki elementtakodasvi izabrani elementi budurazliiti (prethodnoizabranielementise nebirajuponovo), iizabrani elementise rasporeuju uureenun-torku ; ovakvih izbora rasporeivanja imaVnk=n!(n k)!=_nk_k!.Varijacije sa ponavljanjem: iz skupa A = {a1, a2, . . . , an} se k puta bira nekielement tako da se svaki put element bira iz celog skupaA (prethodno izabranielementi se mogu ponovo izabrati), i izabrani elementi se rasporeuju u ureenun-torku ; ovakvih izbora rasporeivanja imaVnk= nk.Kombinacije bez ponavljanja: iz skupa A = {a1, a2, . . . , an} se bira podskupodk n elemenata; ovakvih podskupova imaCnk=_nk_.Kombinacijesaponavljanjem: izskupaA= {a1, a2, . . . , an}sebirapod-skupukomeseelementi moguponavljati, ali takodaukupnoelemenatasaponavljanjima budek; ovakvih izbora imaCnk=_n +k 1k_.[5] OdmestaAdomestaBvodi 5puteva, aodmestaBdomestaCvode3puta.Koliko puteva vodi od mestaA do mestaCpreko mestaB?3Reenje:AB B B B BCCCCCCCCCCCCCCCBroj puteva je5 3 = 15(vidi pravilo proizvoda, strana 3)[6] Kolikoserazliitihvrstaznaakamoenapraviti akoseznakepraveuoblikukruga, trougla, kvadrataili estougla, i usvakuznakuseupisujejednovelikoslovoazbuke (A,B,V,. . . ,X) i jedna cifra (0, 1, 2, . . . , 9)?Reenje: Moguihoblikaima4, velikihslovaima30,acifaraima10,tepopraviluproizvoda razliitih vrsta znaaka ima4 30 10 = 1200.[7] Na koliko naina se moe izabrati5 knjiga iz kolekcijeod20 razliitihknjiga?Reenje: Izskupaod20knjigabiramopodskupod5knjiga(nijebitanredosledizabranihknjigai nemaponavljanjapri izboru), tesledi dajebrojmoguihizboraC205=20!5!15!=161718192012345= 15504.[8] Na koliko razliitihnaina uesnik u igri loto 7/39moe popuniti tiket?Reenje: Jedno popunjavanje krstiima 7 od 39 polja na tiketu je ekvivalentno izborupodskupaod7brojeva izskupaod39 brojeva,tesledidanaina popunjavanjaimaC397=39!7!32!= 15380937.[9] Na kolikorazliitihnaina moemo izabrati5 karata iz pila od52 karte tako dameu izabranimkartama bude(a) tano2 keca,(b) bar2 keca,(c) najvie2 keca?Reenje: U pilu od 52 karte se nalaze 4 keca, tako da se pri izboru 5 karata vri izboriz skupa od4 keca i48 karate koje nisu keevi.(a) Primenom pravila proizvoda dobijamo da je broj opisanih izbora k2= m n gdeje m broj naina da se od 4 keca odaberu 2, a n je broj naina da se od 48 karatakoje nisu keevi odaberu3. U oba sluaja se radi o izboru podskupa gde nemaponavljanja izbora (ne moe se dva puta birati jedna ista karta), te jem = C42in = C483, odnosno reenje glasik2= C42 C483=34246474832= 103776.(b) Bar2 keca se mogu izabrati nak2 + k3 + k4naina gde jeki, i {2, 3, 4} brojnaina izbora tanoi keeva. Brojeveki,i {3, 4} moemo dobiti na istovetannain kao broj k2 pod (a), te je k2= 103776, k3= C43 C482=4147482= 4512,k4= C44 C481= 1 481= 48, tj. reenje zadatka je103776+4512 +48 = 108336.4(c) Najvie 2 keca se mogu izabrati na k0+k1+k2 naina gde je ki, i {0, 1, 2} brojnaina izbora tano i keeva. Brojeve k0, k1, k2 dobijamo na isti nain kao k2, k3,k4pod (a) i (b), te je k2= 103776, k1= C41 C484=41 454647481234= 778320,k0=C40 C485=1 444546474812345=1712304, odnosnoreenjezadatkaglasi1712304 + 778320 + 103776 = 2594400.[10] Na koliko razliitihnaina se moe izabrati8 karata iz pila od52 kartetako dameu izabranimkartama bude(a) tano2 sedmice i3 keca,(b) tano2 sedmice i bar3 keca?Reenje: Oznaimosasibroj nainaizborai sedmica, sakjbroj nainaizborajkeeva,a saokbroj naina izborakkarata meukojima nema nisedmica nikeeva(takvih karata u pilu ima 5244 = 44). Analogno postupku iz zadatka [9], koristeipravilo proizvoda izraunavamo(a) s2k3o3= C42 C43 C443= 317856.(b) s2k3o3 +s2k4o2= C42 C43 C443+C42 C44 C442= 317856 + 5676 = 323532.[11] Horsesastoji od10lanova. Nakolikonainasemoebiratipo6lanovazanastup, za svaki od3 dana turneje hora,ali tako da(a) sastavi za nastup razliitih dana mogu biti isti,(b) sastavi za nastup razliitih dana ne mogu biti isti?Reenje:(a) Svakogdanasebirapodskupod6lanovaizskupaod10lanovahora(kom-binacijebezponavljanjaod10elemenataklase6). Dakle, primenompravilaproizvoda dobijamo da je broj izboraC106 C106 C106= 2103= 9261000.(b) Prvog dana se,naravno, sastav moe birati naC106=210 naina,drugog danajebroj izbora zajedanmanji,atreeg danajebroj izborajozajedanmanji.Sledidaprimenompravilaproizvodadobijamozaukupanbrojnainabiranja210 209 208 = 9129120.[12] Betovenjenapisaoukupno9 simfonija,Mocart27 koncerata za klavir,a uber-tovih gudakihkvarteta ima15.(a) Radiostanicauveernjojmuzikojemisiji svakogdanaputapojednuBetove-novu simfoniju i jedan Mocartov klavirski koncert. Koliko najvie dana zaredomstanica moe da pravi razliite emisije(emisijekojese razlikuju u bar jednoj oddve kompozicije koje emituje, pri emu ne smatramo razliitim emisije u kojimasu iste kompozicijeemitovaneobrnutim redosledom)?5(b) Ako urednikpomenute emisijesvakeveeriputa prvojednuBetovenovusimfo-niju,zatimjedanMocartovklavirskikoncert,inakrajujedanubertovgudakikvartet, koliko dugo urednik moe na ovaj nain da pravi emisije?Reenje:(a) Koristei pravilo proizvoda dobijamo da je broj razliitih emisija (broj moguihizbora) 9 27 = 243.(b) Naisti nainkaopod(a)sedobijadajebroj moguihnainaizboraemisija9 27 15 = 3645, to je (3645 = 9 365 + 360) priblino10 godina.[13] Napisatisvedvocifreneprirodnebrojevekojisemogu napisatiod cifara1, 2, 3, 4tako da se u jednom broju(a) ne mogu nalaziti iste cifre,(b) mogu nalaziti iste cifre.Reenje:(a) Ovakvih brojeva imaV42=12, i to su brojevi12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.(b) Ovakvih brojeva imaV42=16, i to su brojevi11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44.[14] Koliko ima etvorocifrenih prirodnih brojeva koji se mogunapisati odcifara1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 takvih da se u jednom broju(a) ne mogu nalaziti iste cifre,(b) mogu nalaziti iste cifre?Reenje:(a) V84= 1680.(b) V84= 4096.[15] Kolikoima petocifrenih brojevau kojima su sve cifre razliite?Reenje: Prvucifrua biramo izskupa {1, 2, . . . , 9},dakle postoji 9 moguihizbora.Nakontosmoizbrali prvucifru, ostalecifrebiramotakotoodelemenataskupa{0, 1, 2, . . . , 9}\{a} (ima ih 9) sastavljamo ureenu 4-orku kod koje su sve komponenterazliite. Broj ovakvih izbora je (varijacije bez ponavljanja)V94= 9 8 7 6= 3024.Primenom pravila proizvoda dobijamo da brojeva opisanog tipa ima9 3024 = 27216.6Drugi nain: Prva cifra broja ne moe biti nula, te emo traeni broj dobiti kaoa bgdejeaukupanbroj nizovaod5razliitihcifara(gdeiprvaciframoebiti 0),abjebrojnizovaod5razliitihcifarakodkojihjeprvacifra0. Nizoveod5razliitihcifara pravimo tako to iz skupa od10 cifara5 puta vadimo jednu po jednu cifru bezvraanja (ponavljanja), to se moe uraditi naa =V105=30240 naina. Nizove od5razliitih cifara kod kojih je prva cifra0 pravimo tako to iz skupa od9 cifara (cifra0 je potroena)4 puta vadimo jednu po jednu cifru bez vraanja (ponavljanja), tose moe uraditi nab = V94= 3024 naina. Prema tome, petocifrenih brojeva opisanogtipa ima30240 3024 = 27216.[16] Naahovskomturniruuestvuje12ahista. Akosvaki ahistatrebadaodigrapojednupartijusasvimostalimahistima, kolikoeukupnopartijabitiodigranonaturniru?Reenje: Bie odigrano onoliko partija koliko ima parova ahista, tj. koliko ima dvo-lanih podskupova skupa od12 ahista, a taj broj jeC122=12112= 66.[17] Dovrhaplaninevodi 5puteva. Nakolikonainaplaninarmoedasepopneispusti sa vrha ako(a) moe da se sputa istim putem kojimse popeo,(b) ne moe da se sputa istim putem kojimse popeo?Reenje: U oba sluaja se putza penjanjebira na5 naina, a putza sputanje se uprvom sluaju bira na5, a u drugom na4 naina, tako da reenje glasi(a) V52= 5 5 = 25,(b) V52= 5 4 = 20.[18] Kolikorazliitih estocifrenih brojeva moeda se napieod cifara1, 1, 1, 2, 2, 2?Reenje: Od zadanih cifara estocifreni broj pravimo tako to cifre rasporeujemo uniz (bitan je redosled i koristimo sve cifre), ali meu ciframa ima i jednakih, to znaida se radi o permutacijama sa ponavljanjem, te odgovor glasiP63,3 =6!3!3!= 20.[19] Koliko razliitih estocifrenih brojevamoe da se napieod cifara1, 2, 2, 3, 3, 3?Reenje: Na isti nain kao u zadatku[18] dobijamo reenjeP61,2,3 =6!1!2!3!= 60.[20] Iz grupe od10 mukaraca i8 ena treba odabrati6 osoba meu kojimanajmanje3 treba da budu ene. Na kolikonaina se moe izvriti ovakavizbor?Reenje: Neka je zi,i {3, 4, 5, 6} broj naina na koji se mogu odabrati i ena i6 imukaraca (ukupno6 osoba). Traeni broj naina izbora je z3 + z4 + z5 + z6. Kadapriizboru6osoba biramoienai 6 imukaraca,tadaizskupaod10mukaraca7biramo naC106inaina podskup od6 ielemenata,i izskupa od8 ena biramo naC8inainapodskupodielemenata, tenaosnovupravilaproizvodadobijamodaje zi= C106i C8i=_106i__8i_. Prema tome, z3=_103__83_= 120 56 = 6720, z4=_102__84_= 45 70 = 3150, z5=_101__85_= 10 56 = 560, z6=_100__86_= 1 28 = 28,te reenje zadatka glasi6720 + 3150 + 560 + 28 = 10458.[21] Kolikoserei(raunajuiibesmislene)moenapisatikoristeislovaa, b, c, d, etako da se svako slovo u rei javlja najviejednomi tako da re(a) obavezno sadri slovoa,(b) poinjeslovoma?Reenje: Neka je ki broj rei duine i, i {1, 2, 3, 4, 5}.Broj rei koje se mogu napisatiu skladu sa zadatim uslovima jek1 +k2 +k3 +k4 +k5.(a) Oigledno jek1=1,a re duinei, i {2, 3, 4, 5} pravimo tako to osim slovaa odaberemo joi 1 slova iz skupa {b, c, d, e}, a zatim ova slova reamo u niz.Izbori 1 slova iz skupa {b, c, d, e} se moe uraditi naC4i1naina, a izabranaslova i slovo a se zatim mogu poreati u niz na Pi naina (na primer, pri pisanjurei od 3 slova pored slova a moemo izabrati jo parove slova {b, c}, {b, d}, {b, e},{c, d}, {c, e} i {d, e}, pa ako smo odabrali npr. slova {b, d}, tada moemo napisatirei abd, adb, bad, bda, dabi dba); prema tome,koristei pravilo proizvoda, zai {2, 3, 4, 5} dobijamoki= C4i1 Pi, odnosnok2= C41 P2 =4!1!3! 2! = 8, k3= C42 P3 =4!2!2! 3! = 36,k4= C43 P4 =4!3!1! 4! = 96, k5= C44 P5 =4!4!0! 5! = 120.Dakle, moe se napisati1 + 8 + 36 + 96 + 120 = 161 re.(b) Prvi nain: analogno kaopod(a), osimtonakonizboraslovaodtihslovanepravimo proizvoljan niz, ve slovoa obavezno stavljamo na prvo mesto a ostalarasporeujemo u nizna proizvoljan nain, tako da jek1=1 iki=C4i1 Pi1,i {2, 3, 4, 5}, odnosnok2= C41 P1 =4!1!3! 1! = 4, k3= C42 P2 =4!2!2! 2! = 12,k4= C43 P3 =4!3!1! 3! = 24, k5= C44 P4 =4!4!0! 4! = 24.Dakle, moe se napisati1 + 4 + 12 + 24 + 24 = 65 rei.Drugi nain: pri pravljenju rei odi slova, slovoa obavezno stavljamo na prvomesto a zatim pravimo niz od i 1 slova od elemenata skupa {b, c, d, e}, tako dajek1= 1 iki= V4i1,i {2, 3, 4, 5}, odnosnok2= V41= 4, k3= V42= 4 3 = 12,k4= V43= 4 3 2 = 24, k5= V44= 4 3 2 1 = 24.Dakle, moe se napisati1 + 4 + 12 + 24 + 24 = 65 rei.81.3 ProstordogaajaNeka je skup, i neka je F P(). Familija Fpodskupova skupa je-polje nad, odnosno, ureeni par(, F) je prostordogaaja ukoliko vai:(1) F,(2) ako jeA F, tada je iA F,(3) ako je i N, Ai F, tada je i

i=1Ai F.U tom sluaju, elementi familije Fsu dogaaji, skupove i interpretiramo redomkao nemogu dogaaj i siguran dogaaj, a za dogaaj A F, njemu odgovarajuikomplementA Finterpretiramo kaosuprotandogaajdogaajaA. Elementeskupa nazivamo elementarnimdogaajima.Nekaje(, F)prostor dogaaja,inekasuA Fi B Fnekidogaaji. Uteorijiverovatnoe je uobiajeno da se umesto oznake AB koristi oznaka AB ili jednostavnoAB, a za disjunktne dogaaje A i B (AB= ) se umesto AB koristi oznaka A+Bimeseusamomzapisunaglaavadaseradi odisjunktnimdogaajima. Pri tomeoperacije sa skupovima (dogaajima) interpretiramo na sledei nain:AB - realizovalasuseobadogaajaAi B,A B - realizovaosebarjedanoddogaajaAiB,A +B - realizovaosebarjedanoddisjunktnihdogaajaAiB(radi o disjunktnim dogaajima, zatoA +Btanije interpretiramo sarealizovaosetanojedanoddisjunktnihdogaajaAiB),A - realizovaosesuprotandogaajdogaajaA.Prostor dogaaja(, F) ima jo i sledee vane osobine:(1) F,(2) ako je i {1, 2, . . . , n} , Ai F, tada je in

i=1Ai F,(3) ako je i {1, 2, . . . , n} , Ai F, tada je in

i=1Ai F,(4) ako je i N, Ai F, tada je i

i=1Ai F.[22] Eksperiment se sastoji od jednog bacanja kockice za igru. Posmatrajmo dogaaje:A - pri bacanju jedobijenparan broj,B - pri bacanju jedobijenneparan broj,C - pri bacanju jedobijenbroj manji od3.(a) Napisati skup elementarnih dogaaja(ishoda eksperimenta).(b) Napisati dogaajeA,BiCkao skupoveelementarnih dogaaja.(c) Koji su parovi dogaajaA,B,Cdisjunktni (nesaglasni,iskljuivi)?Reenje:9(a) Oznaimosa {i}, i {1, 2, 3, 4, 5, 6}dogaajpri bacanjujedobijenbroj i.Tada je = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.(b) A = {2, 4, 6}, B= {1, 3, 5}, C= {1, 2}.(c) Disjunktni su samo dogaajiA iB(A B= ).[23] Navesti skup elementarnih ishoda za sledeeeksperimente:(a) bacanje jednognovia,(b) bacanje jednogzlatnog i jednog srebrnog novia,(c) bacanje jednogzlatnog, jednogsrebrnog i jednog bronzanog novia,(d) bacanje kockiceza igru i jednognovia,(e) bacanje dva puta kockiceza igru,(f) izvlaenjejednekugliceiz kutijeukojoj senalaze 3bele, 4crvenei 2plavekuglice,(g) izvlaenje dve kuglice iz kutije u kojoj se nalaze3 bele,4 crvene i2 plave kuglice,pri emu jebitan redosled izvuenih kuglica,(h) izvlaenje dve kuglice iz kutije u kojoj se nalaze3 bele,4 crvene i2 plave kuglice,pri emu nije bitan redosled izvuenih kuglica,(i) registrovanje ispravnosti jedne sijalice,(j) registrovanje ispravnosti tri sijalice.Reenje:(a) = {G, P},gdejeG dogaaj pribacanjujepaogrb,aPjedogaaj pribacanju je palopismo.(b) = {GG, GP, PG, PP}, gdejeXYdogaajpri bacanjuzlatnognoviajepaloX {G, P},apribacanjusrebrnogY {G, P},gde jesaGskraenooznaengrb a saPpismo; primetimo da je || = V22= 4.(c) = {PPP, PPG, PGP, PGG, GPP, GPG, GGP, GGG, }, uzanalogneo-znake kao pod (b); primetimo da je || = V23= 8.(d) = {1P, 1G, 2P, 2G, 3P, 3G, 4P, 4G, 5P, 5G, 6P, 6G}, gde brojevi uindeksu predstavljaju broj dobijen na kockici, a slova predstavljaju odgovarajuustranu novia.(e) = {ij | i, j {1, 2, . . . , 6}}, gde jeijdogaaj pri prvom po redu bacanju jepao broji a pri drugom po redu brojj; primetimo da je || = V62= 36.10(f) = {b, c, p},gdejexdogaaj izvuenajekuglicabojex {b, c, p} gdenavedeno slovo predstavlja prvo slovo naziva odgovarajue boje.(g) = {bb, bc, bp, cb, cc, cp, pb, pc, pp}, gde je xy dogaaj prvo je izvue-na kuglica bojex {b, c, p} a zatim kuglica bojey {b, c, p} gde navedeno slovopredstavlja prvo slovo naziva odgovarajue boje; primetimo da je || = V32= 9.(h) = {bb, bc, bp, cc, cp, pp},gdejexydogaaj izvuenajejednakuglicabojex {b, c, p} ijojednakuglicabojey {b, c, p}gde navedeno slovo pred-stavlja prvo slovo naziva odgovarajue boje; primetimo da je || = C32= 6.(i) = {0, 1},gde je0dogaaj sijalicajeneispravna a1dogaaj sijalicaje ispravna.(j) = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111},gdejeijkdogaaj prvasi-jalica je u stanjui, druga u stanjuj, a trea u stanjuk,i, j, k {0, 1} pri emustanje0 znai da je odgovarajua sijalica neispravna, a stanje1 da je ispravna.[24] Radnikjeproizveo3artikla. NekajeXi, i {1, 2, 3}dogaaj i-tiprozvedeniartikal je ispravan(artikle razlikujemo po tome kojim redom su proizvedeni). PomoudogaajaXiiXiizraziti skup elementarnih ishoda kao i dogaajeA - svi artikli su ispravni,B - bar jedanartikalje neispravan,C - tano jedanartikalje ispravan,D - najviedva artikla su ispravna,E - bar dva artikla su ispravna,F - tano dva artikla su neispravna.Reenje: = {X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3,X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3},A = {X1X2X3},B= A = {X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3},C= {X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3},D = B,E= {X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3, X1X2X3},F= C.[25] Meta se gaa sa 3 metka. Neka je Si,i {1, 2, 3} dogaaj i-tim metkom je metapogoena. Preko dogaajaSiizraziti dogaajeA - ostvarena su3 pogotka,B - ostvarena su3 promaaja,C - ostvaren jebar1 pogodak,D - ostvaren jebar1 promaaj,E - ostvarena su bar2 pogotka,F - ostvaren jenajvie1 pogodak.11Reenje:A = S1S2S3,B= S1S2S3,C= B= {S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3},D = A = {S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3},E= {S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3},F= E= {S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3, S1S2S3},[26] Iz skupaX= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} se na sluajan nain bira jedan broj,i neka je = Xskup elementarnih dogaajatako dajei dogaajizskupaXjeizabranbroji. Za dogaajeA - izabrani broj je manji od7,B - izabrani broj je vei ili jednaksa6,C - izabrani broj je paran,D - izabrani broj je neparan,navesti odkojihseelementarnihdogaajasastoje, i reimaopisati dogaaje AB,A(B D), AB, AC, A D, A B C, ABCi ABCD.Reenje: Iz A= {2, 3, 4, 5, 6}, B= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, C= {2, 4, 6, 8, 10, 12},D = {3, 5, 7, 9, 11} slediAB= {6} je dogaaj izabrani broj je6(ili jednostavno izabrani broj je manji od7i vei ili jednaksa6),A(B D)=A {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} = {3, 5, 6} jedogaaj izabranjejedanodbrojeva3, 5, 6,AB= {7, 8, 9, 10, 11, 12} B= {7, 8, 9, 10, 11, 12} je dogaaj izabrani broj jevei od6,AC= {7, 8, 9, 10, 11, 12}C = {8, 10, 12} je dogaaj izabran je paran broj koji je veiod6,A D= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11}= {8, 10, 12}=ACjedogaajizabranjeparanbrojkoji jevei od6,A B C= = je nemogu dogaaj (izabrani broj nije manji od7, i nije manji ilijednak sa6, i nije paran, to je nemogue),ABC= {6} je dogaaj izabrani broj je6,ABCD= {6} D= jenemogudogaaj (izabrani broj jemanjiod7,ivei jeilijednak sa6, i pri tome je i paran i neparan, to je nemogue).[27] Baca se kockica za igru i posmatrajuse dogaajiA - na kockicije pao broj manji od4,B - na kockicije pao paran broj,C - na kockicije pao broj koji nijemanji od5.Navesti odkojihseelementarnihdogaajasastojei reimaopisati dogaajeA B,B C,B C,A C,A B C,C,BiA (B C).12Reenje: Oznaimo elementarnedogaaje,kaouzadatku[26],brojevimakoji pred-stavljajubroj koji je paonakockici. Dakle, skupsvihelementarnihdogaajaje = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a dogaaji A, B i C su zapravo skupovi A = {1, 2, 3}, B= {2, 4, 6}iC= {5, 6}. SlediA B= {1, 2, 3, 4, 6} je dogaaj pao je broj razliitod5,B C= {2, 4, 5, 6} je dogaaj pao je broj razliitod1 i3,B C= {6} je dogaaj pao je broj6,A C= je nemogu dogaaj (pao je broj koji je manji od4 i vei je ili jednak sa5,to je nemogue),A B C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} = je siguran dogaaj,C= {1, 2, 3, 4} je dogaaj pao je broj manji od5,B= {1, 3, 5} je dogaaj pao jeneparan broj,A (B C) = A ({2, 4, 6} {1, 2, 3, 4}) = {1, 2, 3} {2, 4} = {1, 2, 3, 4}.[28] Nanekoj raskrsnici seposmatrakretanjeautomobilaa1, a2i a3koji mogudaskreuili levoili desno, i saAi, i {1, 2, 3}jeoznaendogaaj automobil ainaraskrsnici skree desno. PrekoAiizraziti dogaajeX - sva tri automobilaskreu na istu stranu,Y - vieautomobila je skrenulo u levu stranu,Z - ni jedanautomobilnije skrenuo na levu stranu,W - prvi i trei automobilsu skrenuli na istu stranu.Reenje:X= {A1A2A3, A1A2A3},Y= {A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3},Z= A1A2A3,W= {A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3}.[29] etiri studenta polau ispit, iSi,i {1, 2, 3, 4} oznaava dogaaj i-ti student jepoloio ispit,i {1, 2, 3, 4}.Napisati skup elementarnih dogaaja i preko dogaajaSiizraziti dogaajeA - nijedanstudent nijepoloioispit,B - poloioje samo prvi student,C - poloioje samo jedan student,D - poloioje bar jedanstudent,E - poloilasu tano dva studenta,F - poloilasu najviedva studenta,G - poloilasu najmanjetri studenta,H - poloilasu najvietri studenta.Reenje: Siguran dogaaj = {S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4,S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4,S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4,13S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4}se sastoji odV24= 16 elementarnih dogaaja.A = S1S2S3S4,B= S1S2S3S4,C= {S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4},D = \ S1S2S3S4,E= {S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4},F= A C E,G = {S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4, S1S2S3S4},H= \ {S1S2S3S4}.[30] Brodimajednokormilo, tri kotlai dveturbine. NekaAdogaaj kormilojeispravno, nekasuBi, i {1, 2, 3}dogaaji i-ti kotaojeispravan, i nekasuCi,i {1, 2} dogaaji i-taturbinajeispravna. Brodmoedasekreeakojeispravnokormilo, bar jedan kotao i bar jedna turbina. Preko navedenih dogaaja,izraziti doga-ajX: brod moeda se kree.Reenje: Oznaimo saBdogaaj barjedankotaojeispravan,a saCdogaaj barjedna turbina je ispravna. Tada jeX= ABCgde jeB= B1B2B3= B1 B2 B3iC= C1C2= C1 C2.1.4 VerovatnoadogaajaNekaje(, F)prostor dogaaja. Verovatnoana(, F)jefunkcijaP: F [0, 1]za koju vai(1) P() = 1,(2) ako za niz dogaajaAi F,i N vai da jeAi Aj= za svei = j, tada jeP_

i=1Ai_=

i=1P(Ai).Ako za dogaajBvai P(B)>0, tada seuslovnaverovatnoaP(A|B)(dogaajaA pod uslovom da se ostvario dogaaj B) denie saP(A|B) =P(AB)P(B).Pri reavanju zadataka emo koristiti sledee vane osobine verovatnoe P() = 0 (1.1) P(A) = 1 P(A) (1.2)P(A|B) = 1 P_A|B_(1.3) B A P(B) P(A) (1.4) B A P(A \ B) =P(A) P(B) (1.5)14Za svaki konaan skup dogaaja S1, S2, . . . , SnvaiP(S1 S2 . . . Sn) ==

iP(Si)

i j}| = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 P(C) =1536=512 0.4167, |D| = |{(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}| = 4 P(D) =436=19 0.1111, |E| = |{(2, 6), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}| = 6 P(E) =636=16 0.1667, |F| = |{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), (6, 1)}| == 11 P(F) =1136 0.3056.[41] Projektnarma jeuestvovalana tri konkursa,na svakomsapo jednimprojek-tom. NekasuAi, i {1, 2, 3} dogaaji bieprihvaenprojekatnai-tomkonkursu,i poznatojedaje P(A1) =0.22, P(A2) =0.25, P(A3) =0.28, P(A1A2) =0.11,P(A1A3)=0.05, P(A2A3)=0.07i P(A1A2A3)=0.01. Opisati reimai izraunativerovatnoe sledeihdogaajaA1 A2,A1A2,A1 A2 A3,A1A2A3iA1A2 A3.Reenje:A1A2A3 A1A2 je dogaaj bie prihvaen projekat bar na jednom od prva dva konkursa,i vaiP(A1 A2)(1.7)=P(A1) +P(A2) P(A1A2) = 0.22 + 0.25 0.11 = 0.36. A1A2 je dogaaj nee biti prihvaen projekat ni na jednom od prva dva konkur-sa, i vaiP(A1A2) =P(A1 A2)(1.2)=1 P(A1 A2) = 1 0.36 = 0.64. A1 A2 A3je dogaaj bie prihvaenbar jedanprojekat, i vaiP(A1 A2 A3)(1.8)== P(A1) +P(A2) +P(A3) P(A1A2) P(A1A3) P(A2A3) +P(A1A2A3) == 0.75 0.23 + 0.01 = 0.53.22 A1A2A3je dogaaj nee biti prihvaenprojekatni na jednom konkursu, i vaiP(A1A2A3) =P(A1 A2 A3)(1.2)=1 P(A1 A2 A3) = 1 0.53 = 0.47. A1A2 A3je dogaaj projekatnee biti prihvaennaA1iA2ili naA3P(A1A2A3)(1.7)=P(A1A2) +P(A3) P(A1A2A3)(1.2)=0.64 +(1 P(A3)) 0.47 == 0.64 + 0.72 0.47 = 0.89.[42] Na putu do posla inenjer prolazi pored dva semafora. Verovatnoa da e se moratizaustaviti kod prvog iznosi0.4, a kod drugog0.5. Takoe je poznato da verovatnoa daemorati dasezaustavi barkodjednogsemaforaiznosi 0.6. Izraunati verovatnoedogaajaA - inenjere morati da se zaustavi kod oba semafora,B - inenjere morati da se zaustavi samo kod prvogsemafora,C - inenjere morati da se zaustavi kod tano jednog semafora.Reenje: Oznaimo saSi, i= {1, 2} dogaaj inenjeremoratidasezaustavikodi-tog semafora. Na osnovu datih podataka P(S1) = 0.4, P(S2) = 0.5 i P(S1S2) = 0.6izraunavamo P(A) = P(S1S2)(1.9)=P(S1) +P(S2) P(S1 S2) = 0.4 + 0.5 0.6 = 0.3, P(B) = P(S1S2) =P(S1 \ S1S2)(1.5)=P(S1) P(S1S2) = 0.4 0.3 = 0.1, P(C) = P(S1S2 +S1S2)(1.13)= P(S1S2) +P(S1S2) = 0.1 +P(S2\ S1S2)(1.5)== 0.1 + (P(S2) P(S1S2)) = 0.1 + (0.5 0.3) = 0.3.Komentar: verovatnou moemo esto interpretirati gra-ki;verovatnounekog dogaajaX moemo predstavitikao meru oblasti (npr. povrine) , izraeno u procentimap odnosno odgovarajuem brojup100 [0, 1]; u ovom zadatku(vidi sliku)bi toznailo: P(S1S2) =x, P(S1S2) =y,P(S1S2) = z,zyxS1S2P(S1) = x +y = 0.4, P(S2) = x + z= 0.5, P(S1 S2) = x +y +z= 0.6,te reavanjemsistema jednainax + y = 0.4x + z = 0.5x + y + z = 0.6x + y = 0.4 y + z = 0.1z = 0.2dobijamoz= 0.2,y= 0.1,x = 0.3, odnosnoP(A) =P(S1S2) = x = 0.3,P(B) =P(S1S2) = y= 0.1,P(C) =P(S1S2 +S1S2) =P(S1S2) +P(S1S2) = z +y= 0.3.23[43] Na kolskom takmienju iz plivanja uestvuje 45 dece. 15 dece pliva kraul i deln,30 pliva kraul i20 pliva deln. Izraunati verovatnoe dogaaja:A1- sluajno odabrano dete plivasamo kraul,A2- sluajno odabrano dete plivatano jednu od navedenihdisciplina,A3- sluajno odabrano dete plivadeln ili kraul,A4- sluajno odabrano dete ne pliva ni deln ni kraul.Reenje:Oznaimo saKdogaaj dogaaj sluajno odabrano deteplivakraul i saDdogaaj dogaaj sluajnoodabranodete pliva deln.Neka je sax oznaen broj dece koji plivaju kraul i deln,sa y broj dece koji plivaju samo kraul, sa z broj dece kojiplivaju samo deln i sa u broj dece koji ne plivaju nijednuod ove dve discipline.zyxK DuUkupan broj dece koji uestvuju na takmienju jen = 45. Na osnovu uslova zadatkasledix = 15,y= 30 x = 15,z= 20 x = 5 iu = 45 x y z= 10.Traene varovatnoe suP(A1) =yn=1545=13, P(A2) =y+zn=2045=49,P(A3) =x+y+zn=3545=79, P(A4) =un=1045=29.[44] Ispit iz Statistikih metodasastoji se iz dva kolokvijuma. Verovatnoa da Perapoloi barjedankolokvijumje0.5, dapoloi obakolokvijumaje0.1i verovatnoadapoloi prvi kolokvijumje0.25. Izraunati verovatnoe dogaaja:A - Pera e poloitidrugi kolokvijum,B - Pera e poloitisamo drugi kolokvijum,C - Pera e poloititano jedan kolokvijum,D - Pera nee poloiti nijedankolokvijum.Reenje:Oznaimo sa Ki dogaaj dogaaj Pera je poloioi-ti ko-lokvijum,i = 1, 2.Neka je sax oznaena verovatnoa daje Pera poloio obakolokvijuma, sayverovatnoadajePerapoloiosamoprvi kolokvijum, sa z verovatnoa da je Pera poloio samodrugi kolokvijum i sau verovatnoa da Pera nije poloionijedan kolokvijum.zyxK1K2uNaosnovu uslovazadatka sledi P(K1 K2)=x + y + z=0.5, P(K1K2)=x=0.1i P(K1)=x + y=0.25. Nekajeu=1 P(K1 K2)=1 x y z. Reavanjemsistema jednainax +y +z= 0.5 x = 0.1 x +y= 0.25 u = 1 x y z, dobijasex = 0.1 y = 0.15 z= 0.25 u = 0.5, tako da su traene verovatnoeP(A) = x +z= 0.35, P(B) = z= 0.25, P(C) = y + z= 0.4, P(D) = u = 0.5.[45] Na krosu uestvuje38 dece koji tre tri trke,T1,T2iT3. Sve tri trke tri5 dece.TrkeT1iT2tri7 dece,T1iT3tri8 dece, dokT2iT3tri12 dece. TrkuT1tri15dece, trkuT2tri20 decei trkuT3tri25 dece. Izraunati verovatnoedogaaja:24A - sluajno odabrano dete tri tano jednu trku,B - sluajno odabrano dete tri tano dve trke,C - sluajno odabrano dete tri bar jednu trku,D - sluajno odabrano dete ne tri nijednu trku.Reenje:Neka je p broj dece koja tre sve tri trke, q brojdecekoja tre samoT1iT2, rbroj decekojatre samoT1iT3,s broj dece koja tre samoT2iT2,t broj dece koja tre samoT1,u brojdece koja tre samoT2, vbroj dece koja tresamoT3i wbroj decekojanetreni jednutrku.T1T2T3pqr stuv wNa osnovu uslova zadatka sledip=5,q=7 p=2,r=8 p=3,s=12 p=7,t =15 p q r =5, u=20 p q s =6i v =25 p r s =10. Izp + q + r + s + t + u + v=38vidimodasvakodetetribarjednutrku,takodajew = 0. Broj dece koja tre bar jednu trku je38.Primenom Laplasove denicije verovatnoe dobijaju se traene verovatnoe:P(A) =t+u+vn=2138 0, 552631579, P(B) =q+r+sn=1238 0, 315789474,P(C) =p+q+r+s+t+u+vn=3838= 1, P(D) =wn=038= 0.[46] Silviajedekaramelu, okoladui biskvit. Verovatnoa da e jednogdana jesti svatri slatkiaje0.05, averovatnoadaejesti barjedanslatkije0.75. Verovatnoada e jesti karamelu i okoladuje0.15, karamelui biskvit0.25, a okoladui biskvit je0.2. Verovatnoadaejestikarameluje0.5,averovatnoadaejestibiskvitje0.4.Izraunati verovatnoe dogaaja:A - Silviae u toku jednogdana jesti samo okoladu,B - Silviae u toku jednogdana jesti bar dva slatkia,C - Silviae u toku jednogdana nee jesti slatkie.Reenje: PosmatramodogaajeKSilviautokujednogdanajedekaramelu, CSilvia u toku jednog dana jede okoladuiBSilvia u toku jednog dana jede biskvit.Na osnovu uslova zadatka jeP(KCB)=0.05,P(K C B)=0.75, P(KC)=0.15,P(KB) = 0.25,P(CB) = 0.2,P(K) = 0.5 iP(B) = 0.4.IzP(KCB) = P(K) +P(C) +P(B) P(KC) P(KB) P(CB) +P(KCB) dobijaseP(C) = 0.4.25K CB0.050.10.20.150.15x0yDalje slediP(A) = x = 0.1,P(B) = 0.1 + 0.05 + 0.2 + 0.15 = 0.5,P(C) = y= 1 P(K C B) = 0.25.[47] Tri strelcanezavisnojedanoddrugoggaajujednumetu. Verovatnoadaprvistrelacpogodi metuje0.3, drugi 0.4i trei je0.5. Izraunati verovatnoudogaajaAmeta je pogoena.Reenje: Meta je pogoena ako ju je pogodio bar jedan strelac, tako da jeP(A) =P(A1) +P(A2) +P(A3) P(A1A2) P(A1A3) P(A2A3) +P(A1A2A3),gde je saAioznaen dogaaj i-ti strelac je pogodiometu,i = 1, 2, 3.Kako strelci gaaju metu nezavisno jedan od drugog dobija se P(A1A2) =P(A1) P(A2) =0.30.4 = 0.12, P(A1A3) =P(A1) P(A3) = 0.30.5 = 0.15, P(A2A3) = P(A2) P(A3) =0.4 0.5 = 0.2, P(A1A2A3) =P(A1) P(A2) P(A3) = 0.3 0.4 0.5 = 0.06, tako da jeP(A) = 0.3 + 0.4 + 0.5 0.12 0.15 0.2 + 0.06 = 0.79.Drugi nain: Posmatramodogaaj Ametanijepogoena. Iz A=A1A2A3inezavisnosti slediP(A) =P(A1) P(A2) P(A3) = (1 0.3) (1 0.4) (1 0.5) = 0.21,tako da jeP(A) = 1 P(A) = 0.79.[48] Koliko iznosi verovatnoa da iz pila od32 karte3 puta zaredom izvuemo kraljaako(a) izvuenu kartu svaki put vraamo u pil,(b) izvuene karte ne vraamo u pil?Reenje: OznaimosaAi, i {1, 2, 3} dogaaj pri i-tomizvlaenjuebiti izvuenkralj. Dogaaj A: 3putazaredomebiti izvuenkralj moemopredstaviti kaoA = A1A2A3, te na osnovu (1.15) slediP(A) = P(A1A2A3) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A1)(a) ako izvuene karte svaki put vraamo u pil, tada svaki put izvlaimo iz pila saistim sadrajem kao i pri prvom izvlaenju, to znai da su dogaaji Ai nezavisni,tesledidajeP(A2|A1)=P(A2)=P(A1)i P(A3|A1A2)=P(A3)=P(A1),odnosnoP(A) = (P(A1))3= (432)3= (18)3=1512 0.0020.(b) P(A1) =432=18,26P(A2|A1) =331(ako je u prvom izvlaenju izvuen kralj, tada se drugi put izvlaiiz pila od31 karte u kojem se nalaze3 kralja),P(A3|A1A2) =230=115(ako su u prva dva izvlaenja izvueni kraljevi, tada setrei put izvlai iz pila od30 karata u kojem se nalaze2 kralja),P(A) =18 331 115=11240.[49] Ukutijisenalaze3zelenei 4belekuglice. Peraizvlai 3putapojednukuglicuiz kutije(a) bez vraanja izvuene kugliceu kutiju,(b) sa vraanjem izvuene kugliceu kutiju.Izraunati verovatnou dogaajaAPera e izvui bar jednu kuglicu bele boje.Reenje: Prvoemoizraunati verovatnousuprotnogdogaaja, tj. dogaajaAPeraneeizvui nijednukuglicubeleboje, papomounjegaverovatnoutraenogdogaaja. Oznaimo saZidogaaj ui-tomizvlaenjuPerajeizvukaokulicuzeleneboje,i = 1, 2, 3. Tada jeA = Z1Z2Z3iP(A) =P(Z1Z2Z3).(a) Pera izvlai kuglicubezvraanja prethodnoizvuene kugliceukutiju,tako daizvlaenja nisu nezavisna iP_A_=P(Z1Z2Z3) =P(Z1) P(Z2|Z1) P(Z3|Z1Z2) =37 26 15=135,odakle slediP(A) = 1 P_A_=3435.(b) Pera izvlai kuglicu tako to svaki put vrati predhodno izvuenu kuglicu u kutiju,tesuizvlaenjameusobno nezavisna tako da jeP(Z2|Z1)=P(Z2)=P(Z1) ,P(Z3|Z1Z2) =P(Z3) =P(Z1), tako da jeP_A_=P(Z1)3=_37_3,odakle jeP(A) = 1 P_A_= 1 _37_3 0.921282799.[50] Uiniji senalaze4jabukesorteajdaredi 5jabukasortezlatni delies. Lelasvakidan na sluajan nainbira jednu jabukukojupojede. Izraunati verovatnoudae Lela prvo pojesti sve jabukesorte zlatni delies.Reenje: TraenidogaajjeZLelaeprvihpetdanajesti jabukusortezlatni de-lies. OznaimosaZidogaaj Lela i-togdanajede jabukusortezlatni delies,i = 1, 2, 3, 4, 5. Tada jeZ= Z1Z2Z3Z4Z5iP(Z) = P(Z1) P(Z2|Z1) P(Z3|Z1Z1) P(Z4|Z1Z2Z3) P(Z5|Z1Z2Z3Z4)=59 48 37 26 15=1126.[51] MarkoputujeodmestaAdomestaC, prekomestaB, konstantnombrzinom.RazdaljinaodmestaAdomestaBje30km, arazdaljinaodmestaBdomestaCje10km. Usluajnomtrenutku tokomputovanjaganamobilnitelefonzoveprijatelj27daproverikadaeMarkostii u mestoC. Izraunati verovatnouda eMarkomoiprijateljuda kae da je ve proao mestoB.Reenje: Prostor dogaaja moemo opisati na kao = [0, 40] = {x | 0 x 40}, gdejexrazdaljinakojujeMarkopreaoodpoetkaputovanjadotrenutkatelefonskogpoziva. Potogaprijatelj zovetokomputovanja, ukupnorastojanjekojejeMarkopreaodotrenutkapozivajenajvie30km + 10km=40km. Dogaaj X: Markoemoi prijateljudakaedajeveproaomestoB moemopredstaviti kaoskupX= [30, 40] = {x | 30 x 40} .Svi elementarni ishodi x sujednakoverovatni (jerMarkopozivdobijapozivusluajnomtrenutku), ali sezadataknemoereiti naisti nainkaonpr. zadatak[31] (vidi Laplasovu deniciju verovatnoe) jer broj elementarnih ishoda nije konaan.Naime, i skup i skupXsu beskonani skupovi. Zadatak moe da se rei primenomgeometrijske denicije verovatnoe jer prostor moemo predstaviti kao du AC kojaje duinem() = 40 (merna jedinica nam je kilometar), a dogaajuXodgovara duBC koja je duine m(X) = 10. Kako su zadovoljeni svi uslovi za primenu (1.19), slediP(X) =m(X)m()=1040=14= 0.25.[52] Autobusstieustanicuu1:30asova, aodlazi u2:45. Anaibrankodolazena stanicu u sluajnim trenucima (svako za sebe) izmeu1 : 00 i2 : 00. Svako od njihulazi u autobus ako je doao u trenutku kada je autobus u stanici, a inae odlaze (npr.odustaju od putovanja). Izraunati verovatnou da e se bar jedna od navedenih osobanai u autobusu.Reenje:Jedan elementarni ishod moemo predstaviti kao ureeni par (a, b) [1, 2] [1, 2] gdeai bredompredstavljajuvremenakadasuAnaodnosnoBrankostigli nastanicu,teseskupsvihelementarnihishoda= {(a, b) | 1 a 2 1 b 2}moepredstaviti uravni kaokvadratsatemenimautakama(1, 1), (2, 1), (2, 2)i (1, 2)(mernajedinicanamjejedansat). Ovajkvadratjepovrinem()=1. DogaajuX: bar jedna od navedenih osoba e se nai u autobusu odgovara tada u ravni oblastX= {(a, b) | 1.5 a 1.751.5 b 1.75} (vidisliku). OblastXpovrinem(X) = 0.25 1 + 0.25 0.25 + 0.5 0.25 = 0.4375.ba11.51.7522 1 1.5 1.75XKako su zadovoljeni uslovi za pri-menugeometrijskedenicijeve-rovatnoe (elementarni ishodi sujednakoverovatni) jer se brojevi aib biraju na sluajan nain, pri-menom (1.19) dobijamoP(X) =m(X)m()= 0.4375.28[53] Na sluajan nain se biraju brojevia i b iz intervala [0, 1]. Izraunati verovatnouda e jednainax2+ax +b = 0 imati realna reenja po nepoznatojx.Reenje:Kao to je poznato, kvadratna jednaina ima realna reenja ukoliko je njena diskrimi-nanta nenegativna, te posmatrana jednaina ima realna reenja ukoliko je a24b 0,tj. ako jeb 14a2.Jedan elementarni ishod moemo predstaviti kao ureeni par(a, b) [0, 1] [0, 1], tese skup svih elementarnih ishoda = {(a, b) | 0 a 1 0 b 1} moe predstavitiu ravni kao kvadrat sa temenima u takama (0, 0), (0, 1), (1, 1) i (1, 0). Ovaj kvadrat jepovrinem() = 1. DogaajuR: reenja jednainesu realni brojevi odgovara tadaoblast R = {(a, b) | b 14a2} (vidi sliku). Povrinu ove oblasti moemo izraunatikorienjem intergralnog rauna:m(R) =1_014a2da =14a331|0=112.ba1411b =a24Kako su zadovoljeni uslovi za primenu geome-trijskedenicijeverovatnoe(elementarni is-hodisujednakoverovatni) jersebrojevi ai bbiraju na sluajan nain, primenom (1.19) do-bijamoP(R) =m(R)m()=112 0.0833.[54] Oko kockejeopisanalopta. Na sluajannainse bira takaiz lopte. Izraunativerovatnou da e biti izabrana taka izkocke.Reenje: SkupelementarnihishodamoemopredstavitikaoskupLtaakalopte, adogaaju K: izabrana taka pripada kockiodgovara tada skup K taaka kocke. Akoje ivica kocke duinea, tada je poluprenikr lopte jednak polovini telesne dijagonalekocke, tj.r =32a. Zapremina lopte jem(L) =43r3 =32a3,a zapremina kocke je m(K) = a3. Kako su zadovoljeni uslovi za primenu geometrijskedenicijeverovatnoe(elementarni ishodi sujednakoverovatni)jersetakabiranasluajan nain, primenom (1.19) dobijamoP(K) =m(K)m(L)=a332a3=23 0.3676.[55] Kulturni magazin se sastoji iz 3 dela: dela posveenog muzici (M), dela posveenogknjievnosti(K)idelaposveenoglmu(F). Sluajnoodabraniitalacitapojedine29delovesa sledeimdatim verovatnoama:deo magazina M K F MK MF KF MKFverovatnoa 0.14 0.23 0.37 0.08 0.09 0.13 0.05Opisati reima dogaajeM|K, M|KF,M|MKF,MK|Fi izraunati njihoveverovatnoe.Reenje: Zadane dogaaje moemo opisati na sledei nainM|K - ako italacita o knjievnosti, tada ita i o muzici,M|K F - ako italacita o knjievnosti ili lmu, tada ita i o muzici,M|M K F - ako italacita o bar jednoj oblasti, tada ita i o muzici,M K|F - ako italacita o lmu, tada ita i o muzici ili knjievnosti,a verovatnoe ovih dogaaja su: P(M|K) =P(MK)P(K)=0.080.23 0.3478,koristeiP(K F)(1.7)=P(K) +P(F) P(KF) = 0.23 + 0.37 0.13 = 0.47,P(M(K F)) = P(MK MF)(1.7)=P(MK) +P(MF) P(MKF) == 0.08 + 0.09 0.05 = 0.12dobijamoP(M|K F) =P(M(K F))P(K F)=0.120.47 0.2553,koristeiP(M K F)(1.8)== P(M) +P(K) +P(F) P(MK) P(MF) P(KF) +P(MKF) == 0.14 + 0.23 + 0.37 0.08 0.09 0.13 + 0.05 = 0.49dobijamoP(M|M K F) =P(M(M K F))P(M K F)=P(M)P(M K F)=0.120.49 0.2449,koristeiP((M K)F) = P(MF KF)(1.7)=P(MF) +P(KF) P(MKF) == 0.09 + 0.13 0.05 = 0.17dobijamoP(M K|F) =P((M K)F)P(F)=0.170.37 0.4595.[56] Ukutijisenalaze3obinanoviaijedandefektninovikojiimagrbsaobestrane. Na sluajan nain se iz kutije bira jedan novii baca2 puta.(a) Izraunati verovatnou da e oba puta pasti grb.30(b) Ako je oba puta pao grb, koliko iznosi verovatnoa da je iz kutije izabran ispravannovi?Reenje: Oznaimo dogaaje:H1- iz kutije je izabranispravannovi,H2- iz kutije je izabrannovisa grbom na obe strane,A - pri bacanjunovia e oba puta pasti grb,A1- pri prvombacanju novia e pasti grb,A2- pri drugombacanju novia e pasti grb.(a) Oiglednoje {H1, H2}potpunsistemdogaaja1(H1H2= i H1 + H2=),i primenom(1.18)sedobijaP(H1) =34i P(H2) =14. Dogaaj Amoesepredstaviti kaoA = A1A2, i na osnovu formule totalne verovatnoe (1.16) slediP(A) = P(H1) P(A|H1) +P(H2) P(A|H2) == P(H1) P(A1A2|H1) +P(H2) P(A1A2|H2)gde jeP(A1A2|Hi)=P(A1A2Hi)P(Hi)=P(Hi) P(A1|Hi) P(A2|HiA1)P(Hi)=P(A1|Hi) P(A2|HiA1),i {1, 2},odnosnoP(A1A2|H1) = P(A1|H1) P(A2|H1A1) =12 12=14,P(A1A2|H2) = P(A1|H2) P(A2|H2A1) = 1 1 = 1,te jeP(A) =34 14+14 1 =716.(b) Primenom Bajesove formule (1.17) se dobijaP(H1|A) =P(H1) P(A|H1)P(A)=34 14716=37.[57] U tri magacinase nalaze mainski strugovi, i to:magacin1: 10 strugova, od ega4 neispravna,magacin2: 6 strugova, od ega1 neispravna,magacin3: 8 strugova, od ega3 neispravna.Iz sluajno odabranogmagacinase nasumice odabirajedan strug.(a) Izraunati verovatnou da e odabrani strug biti neispravan.(b) Izraunativerovatnoudajeodabranistrugizmagacina2akoseznadajetajstrug ispravan.Reenje: Oznaimo dogaaje:A - odabrani strug jeneispravan,Hi- odabrani strug potieiz magacinai {1, 2, 3}.1ZapravojeH2= H1.31(a) Oigledno je {H1, H2, H3} potpun sistem dogaaja, i primenom (1.18) (magacinse bira na sluajan nain) se dobija P(Hi) =13, i {1, 2, 3}, a koristei navedenepodatakeobrojuneispravnihi ukupnombrojustrugovakoji surasporeenipopojedinimmagacinamaseprimenom(1.18)dobija P(A|H1) =410=25,P(A|H2) =16, P(A|H3) =38.Na osnovu formule totalne verovatnoe (1.16) slediP(A) =3

i=1P(Hi) P(A|Hi) =13 25+13 16+13 38=113360 0.3139 .(b) Koristei P_A_(1.2)=1 P(A) =247360 0.6861 i P_A|H2_(1.3)=1 P(A|H2) =56,primenom Bajesove formule (1.17) se dobijaP_H2|A_=P(H2) P_A|H2_P_A_ =13 56247360=100247 0.4049 .[58] Prva kutija sadri5 crvenih i6 belih kuglica, a druga kutija sadri4 crvenei4bele kuglice. Iz prve kutije se nasumice izvlai jedna kuglica i premeta u drugu kutiju.Zatim se iz druge kutije na sluajan nain izvlaijedna kuglica.(a) Izraunati verovatnou da e se iz druge kutijeizvui crvena kuglica.(b) Ako se zna da je iz druge kutije izvuena crvena kuglica, koliko iznosi verovatnoada je izprve u drugu kutiju premetena crvena kuglica?Reenje: Oznaimo dogaaje:A - iz druge kutije e se izvui crvena kuglica,Hc- iz prveu drugu kutiju je premetena crvena kuglica,Hb- iz prveu drugu kutiju je premetena bela kuglica.(a) {Hc, Hb} je potpun sistem dogaaja, i primenom (1.18) (kuglica se iz prve kutijebiranasluajannain)dobijaseP(Hc)=55+6=511i P(Hb)=611. Koristeipodatake o sadraju druge kutije u zavisnosti od toga da li je u nju iz prve kutijepremetena crvena ili bela kuglica se primenom (1.18) dobijaP(A|Hc) =4+14+4+1=59, P(A|Hb) =4+04+4+1=49.Na osnovu formule totalne verovatnoe (1.16) slediP(A) =P(Hc) P(A|Hc) +P(Hb) P(A|Hb) =511 59+611 49=4999 0.4949 .(b) Primenom Bajesove formule (1.17) dobija seP(Hc|A) =P(Hc) P(A|Hc)P(A)=511 594999=2549 0.5102 .[59] Od ukupne proizvodnje jedne zanatske radionice,50% se proizvodi na maini M1,20%namaini M2, i 30%namaini M3. Namaini M1seuprosekunapravi 3%neispravnih proizvoda (karta), na maini M2 u proseku 5%, a na maini M3 u proseku4%neispravnihproizvoda. Nasluajannainsebirajedanproizvodizposmatraneradionice.32(a) Izraunati verovatnou da e odabrani proizvodbiti ispravan.(b) Ako je odabrani proizvod ispravan, koliko iznosi verovatnoa da je on proizvedenna mainiM3?Reenje: Oznaimo dogaaje:A - odabrani proizvode biti ispravan,Hi- odabrani proizvodje proizvedenna mainiMi,i {1, 2, 3}.Analogno kao u zadacima[56],[57],[58], rezultati se mogu dobiti primenom formuletotalne verovatnoe (1.16) i Bajesove formule (1.17):(a) P(H1) =50100, P(H2) =20100, P(H3) =30100,P(A|H1) =1003100=97100, P(A|H2) =1005100=95100, P(A|H3) =1004100=96100,P(A) =3

i=1P(Hi) P(A|Hi) =50100 97100+20100 95100+30100 96100= 0.963 .(b) P(H3|A) =P(H3) P(A|H3)P(A)=30100 961009631000=288963 0.2991 .[60] Proizvodizraenujednoj radionici kontroliejedanoddvakontrolora. Vero-vatnoedaeproizvodnakontrolustii kodprvogodnosnodrugogkontroloraredomiznose0.6 odnosno 0.4. Verovatnoa da e proizvod proi kao proizvod koji zadovoljavastandardekodprvogkontroloraiznosi 0.94,akoddrugog0.98. Akojejedansluajnoodabraniproizvodpriznatkaoproizvodkojizadovoljavastandarde,kolikoiznosivero-vatnoa da ga jekontrolisao prvi kontrolor?Reenje: Oznaimo dogaaje:A - odabrani proizvodje zadovoljiokriterijumekontrolora,Hi- odabrani proizvodje kontrolisaoi-ti kontrolor,i {1, 2}.Analogno zadacima[56],[57],[58],[59], rezultati se mogu dobiti primenom Bajesoveformule (1.17):P(H1|A) =P(H1) P(A|H1)P(A),pri emu seP(A) moe izraunati primenom formule totalne verovatnoe (1.16):P(H1) = 0.6, P(H2) = 0.4,P(A|H1) = 0.94, P(A|H2) = 0.98,P(A) =P(H1) P(A|H1) +P(H2) P(A|H2).Dakle,P(H1|A) =P(H1) P(A|H1)P(H1) P(A|H1) +P(H2) P(A|H2)=0.6 0.940.6 0.94 + 0.4 0.98 0.5900 .[61] Dinar se baca dva puta. Ako je oba puta pao grb, iz kutije u kojoj se nalaze 2 belei 1 crna kuglicaizvlaise dvaputa zaredomkuglicasa vraanjemu kutiju. U ostalimsluajevima izvlai se dva puta zaredom kuglica sa vraanjem iz kutije u kojoj se nalaze1 bela i 2 crne kuglice.33(a) Izraunati verovatnou da e oba puta biti izvuena bela kuglica.(b) Ako je oba puta izvuena bela kuglica izraunati verovatnou dogaaja da grb nijepao oba puta.Reenje: Oznaimo dogaaje:H1- oba puta pao grb,H2- palo barjedno pismo,A - izvuene dvebele kuglice.DogaajiH1iH2ine potpun sistem dogaaja i njihove verovatnoe suP(H1) =14iP(H2) =34.(a) Na osnovu uslova zadatka slediP(A|H1) =23 23=49iP(A|H2) =13 13=19, teprimenom formule totalne verovatnoe (1.16) slediP(A) =14 49+34 19=736.(b) Primenom Bajesove formule (1.17) dobija seP(H2|A) =P(H2) P(A|H2)P(A)=37.[62] Izpilaod52karteizvlaisejednakarta. Ako jeizvuena tref karta,izvlaesedvekugliceistovremeno izkutijeu kojojsenalaze2 belei 3 crne kuglice,a u ostalimsluajevima, izvlaesedvekugliceistovremenoizkutijeukojoj senalaze4belei 1crna kuglica.(a) Izraunati verovatnou da e biti izvuene kuglice istih boja.(b) Akoseznadasuizvuenekuglicerazliitihboja, izraunati verovatnoudajeizvuena tref karta.Reenje: Upiluod52karteje13trefkaratai 39karatakojenisutref. P(H1)=1352=14i P(H2)=3952=34, gdejesaH1oznaendogaajizpilajeizvuenatrefkartaiH2= H1. Posmatramo dogaaj Aizvuene su kuglice iste boje. Dogaaj Ase realizuje ako se iz kutije izvuku2 bele ili2 crne kuglice.(a) UvrtavanjemP(A|H1) =(22) +(32)(52)=410P(A|H2) =(42)(52)=610u formulu totalne verovatnoe (1.16) dobija seP(A) =14 410+34 610=1120.(b) Primenom Bajesove formule (1.17) dobija seP_H1|A_=P(H1) P(A|H1)P(A)=P(H1)(1P(A|H1))1P(A)=13.34[63] Dveistovetnekovertesadrepo30karticanakojimajenapisano1000ili2000dinara. Uprvoj senalazi 20karticakojevrede1000dinarai 10karticakojevrede2000dinara. U drugoj koverti se nalazi podjednakbroj kartica kojevrede 1000dinarai 2000dinara. Takmiarukvizunasluajannainizvlai jednukovertui iznjetrikarticekojepredstavljajunjegovdobitak.(a) Izraunati verovatnou da e takmiar osvojiti5000 dinara.(b) Ako se zna da je takmiar osvojio 5000 dinara kolika je verovatnoa da je odabraoprvu kovertu?Reenje: Oznaimo saHidogaaj izabrana je koverta i,i = 1, 2. DogaajiH1iH2su jednakoverovatni tako da jeP(H1) = P(H2) =12.(a) Neka jeA dogaaj takmiareosvojiti 5000dinara. Kako takmiar izvlai3kartice on 5000 dinara moe da osvoji jedino ako izvue 2 kartice sa 2000 dinarai jednu kartice sa1000 dinara, tako da izP(A|H1) =(102 ) (201 )(303 )=9004060 0.22iP(A|H2) =(152 ) (151 )(303 )=15754060 0.39primenom formule totalne verovatnoe (1.16) se dobijaP(A) =12 0.22 +12 0.39 = 0.305.(b) Primenom Bajesove formule (1.17) slediP(H1|A) =P(H1) P(A|H1)P(A) 0.36.[64] Izskupa {1, 2, 3, 4, 5} nasluajannainsebirajedanbroj,azatimbezvraanjaizvuenog broja jojedan. Izraunati verovatnoe dogaaja(a) Adrugi broj je vei od prvog,(b) Bdrugi broj je za2 vei od prvog.Reenje: Oznaimo sa Hi dogaaj u prvom izvlaenju je izvuen broj i, i = 1, 2, 3, 4, 5.Oigledno je da su dogaaji Hi jednakoverovatni tako da je P(Hi) =15, i = 1, 2, 3, 4, 5.(a) IzP(A|H1)=44, P(A|H2)=34, P(A|H3)=24, P(A|H4)=14, P(A|H5)=0,primenom formule totalne verovatnoe se dobijaP(A) =15 44+15 34+15 24+15 14+15 0 =12.(b) IzP(B|H1)=14, P(B|H2)=14, P(B|H3)=14, P(A|H4)=0, P(B|H5)=0,primenom formule totalne verovatnoe se dobijaP(B) =15 14+15 14+15 14+15 0 +15 0 =320.35[65] PerabirajednuoddvekutijeK1i K2itodvostrukoverovatnijekutijuK1negokutiju K2, a zatim iz kutije izvlai 2 kuglice. U kutiji K1 se nalaze dve kuglice oznaenebrojem1 i tri kuglice oznaene brojem2. U kutijiK2se nalazi jedna kuglica oznaenabrojem1i etiri kugliceoznaenebrojem2. Akojezbirizvuenihbrojevajednak3izrunati verovatnou da jePera izvlaiokuglice iz prvekutije.Reenje: Oznaimo sa Hi dogaaj Pera izvlai kuglice iz kutije i, i = 1, 2. Iz P(H1)+P(H2)=1i P(H1): P(H2)=2:1sledi P(H1)=23i P(H2)=13. Oznaimo saAdogaaj zbir izvuenih brojeva je3. Na osnovu uslova zadatka slediP(A|H1) =(21) (31)(52)=35, P(A|H2) =(11) (41)(52)=25.Primenom formule totalne verovatnoe dobija seP(A) =23 35+13 25=815,te je traena verovatnoaP(H1|A) =P(H1) P(A|H1)P(A)=34.[66] Radnikidesvaki dannaposaoautobusom, tramvajemili biciklom. U50%sluajeva se opredeljuje za autobus, u 20% posto sluajeva za tramvaj, i u 30% sluajevazabicikl. Verovatnoadaezbogkanjenjaautobusazakasniti naposaoje0.05, usluajuizboratramvajataverovatnoaiznosi 0.1, abiciklomkasni saverovatnoom0.01.(a) Izraunati verovatnou sa kojomradnikkasni na posao.(b) Akojeradnikzakasnionaposao, kolikoiznosi verovatnoadajeonnaposaoiao biciklom?Reenje: Oznaimo dogaaje:Z - radnik odreenogdana kasni na posao,A - radnik na posao ideauotobusom,T - radnik na posao idetramvajem,B - radnik na posao idebiciklom.Analognokaouzadacima[56], [57], [58], [59], rezultati semogudobiti primenomformule totalne verovatnoe (1.16) i Bajesove formule (1.17) (dogaajiA,TiBinepotpun sistem dogaaja):(a) P(A) = 0.5, P(T) = 0.2, P(B) = 0.3,P(Z|A) = 0.05, P(Z|T) = 0.1, P(Z|B) = 0.01,P(Z) = P(A) P(Z|A) +P(T) P(Z|T) +P(B) P(Z|B) = 0.048 .(b) P(B|Z) =P(B) P(Z|B)P(Z)= 0.0625 .[67] Poreski inspektor e sutradan obii jednu od prodavnicaA iliB, pri emu e sejednakoverovatno odluiti za bilo koju od njih. U prodavnici A e zabeleiti nepravilnostu radu sa verovatnoom0.1, a u prodavniciBsa verovatnoom0.05.36(a) Izraunati verovatnou da e poreski inspektor sutradan zabeleiti neku nepravil-nost u radu.(b) Ako e poreski inspektor sutradan konstatovati da prodavnica koju je posetio radipravilno,koliko iznosi verovatnoa da e posetiti prodavnicuA?Reenje: Oznaimo dogaaje:N - inspektor e zabeleiti nepravilnostu radu,A - inspektor e posetiti prodavnicuA,B - inspektor e posetiti prodavnicuB.Analogno kao u zadacima [56], [57], [58], [59], [66], rezultati se mogu dobiti primenomformule totalne verovatnoe (1.16) i Bajesove formule (1.17) (potpun sistem dogaajaine dogaajiA iB):(a) P(A) = 0.5, P(B) = 0.5,P(N|A) = 0.1, P(N|B) = 0.05,P(N) =P(A) P(N|A) +P(B) P(N|B) = 0.075 .(b) Nje dogaaj inspektor e konstatovati da poseena prodavnica radi pravilno, injegova verovatnoa jeP_N_= 1 P(N) = 0.925. SlediP_A|N_=P(A) P_N|A_P_N_ =P(A) (1 P(N|A))P_N_ 0.4865 .37382 Sluajnepromenljive2.1 SluajnepromenljivediskretnogtipaSkupsvihmoguihishodajednogverovatnosnogeksperimentaje. SluajnapromenljivaXpredstavlja merljivufunkcijukoja preslikava skupuskuprealnihbrojevaR. SkupslikaodXoznaavamo sa RXizovemoskupvrednostisluajnepromenljiveX.Sluajna promenljiva je diskretnog tipa ako je skup vrednosti konaan ili prebrojiv.Tada ga moemo predstaviti u obliku RX= {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Sap(xi) obeleava-mo verovatnou dogaaja iji se elementi preslikavaju uxi, tj.p(xi) =P(X= xi) = P({ : X() = xi}), (2.1)pri emu vai da je

ip(xi) =

iP(X= xi) = 1. (2.2)Skupvrednostidiskretnesluajne promenljive RX= {x1, x2, . . . , xn, . . .}zajednosaodgovarajuim verovatnoama p(xi), i = 1, 2, . . . , n, . . . predstavlja zakon raspodelesluajne promenljiveX. Zakon raspodele sluajne promenljiveXnajee predstav-ljamo ematskiX:_x1x2. . . xn. . .p(x1) p(x2) . . . p(xn) . . ._. (2.3)Funkcijuraspodele sluajne promenljiveXoznaavamo saFX (x), x R ideni-emo saFX (x) =P{ : X() < x} =P(X< x) =

i:xi 0, ako je RX= {0, 1, 2, . . .} njen skup vrednosti i zai RXvaip(i) = P(X= i) =ii! e. (2.6)Sluajna promenljivaXima geometrijsku G(p) raspodelu sa parametrom 0 < p < 1ako je njen skup vrednosti RX= {1, 2, 3, . . .}, a odgovarajue verovatnoe su date sap(i) =P(X= i) = qi1p, (2.7)zai RX, q= 1 p.Akosluajna promenljivaXimabinomnu B(n, p)raspodelu i n , a p 0 inp = const, tada_ni_piqniii!e, (2.8)tj. verovatnoekojeodgovarajubinomnoj raspodeli konvergirajukaverovatnoamakoje odgovaraju Poasonovoj raspodeli.39[68] Firma na raspolaganju ima est telefonskih linija. Neka jeXbroj linija zauzetihu odreenomtrenutku. ZakonraspodelezaXdat je sa_0 1 2 3 4 5 60.1 0.15 0.2 0.25 0.2 0.06 0.04_.(a) Izraunati verovatnoesledeih dogaajaA - bar tri linijesu zauzete,B- manje od dvelinijesu zauzete,C- najmanjeetiri linijenisu zauzete,D- zauzeto jeizmeu dve i pet linija.(b) Izraunati FX (1.3) , FX (3) i FX (4.6) .(c) Nai funkciju raspodele FX (x) , x Ri graki je predstaviti.Reenje:(a) Traene verovatnoe su:P(A) =P(X 3) =P(X= 3) + P(X= 4) +P(X= 5) +P(X= 6) == 0.25 + 0.2 + 0.06 + 0.04 = 0.55,P(B) =P(X< 2) =P(X= 0) +P(X= 1) = 0.1 + 0.15 = 0.25,P(C) =P(X 2) =P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2) == 0.1 + 0.15 + 0.2 = 0.45,P(D) =P(2 X 5) ==P(X= 2) +P(X= 3) +P(X= 4) +P(X= 5) == 0.2 + 0.25 + 0.2 + 0.06 = 0.71.(b) Na osnovu (2.4) imamo da jeFX (1.3) = P(X< 1.3) =P(X= 0) +P(X= 1) = 0.1 + 0.15 = 0.25,FX (3) =P(X< 3) = P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2) == 0.1 + 0.15 + 0.2 = 0.45,FX (4.6) = P(X< 4.6) == P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2) +P(X= 3) +P(X= 4) == 0.1 + 0.15 + 0.2 + 0.25 + 0.2 = 0.9.(c) Primenjujui(2.4) odreujemo funkciju raspodele i njen grak40FX (x) =___0, x 00.1, 0 < x 10.25, 1 < x 20.45, 2 < x 30.7, 3 < x 40.9, 4 < x 50.96, 5 < x 61, x > 6,ExTFX 0.1 0.251 0.452 0.730.94 0.965160[69] Akoje RX= {0, 1, 2, 3, 4} skupvrednosti sluajnepromenljive X, i akojeP(X= i) = c (5 i), odrediti konstantuc tako daXbude sluajna promenljiva.Reenje: Dabi Xbilasluajnapromenljivaneophodnojedavai P(X=xi) 0i (2.2). Kakoje0 i 4imamodajec 0. Koristei uslov(2.2)daljeimamo5c + 4c + 3c + 2c +c = 1 odakle jec =115.[70] NekajeXbrojgumakojenisudovoljnonapumpanenasluajnoizabranomau-tomobilu.(a) Koja od tri ponuene funkcijeP odreuje zakon raspodele za sluajnu promenljivuX.xi0 1 2 3 4P(X= xi) 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05P(X= xi) 0.4 0.1 0.1 0.1 0.3P(X= xi) 0.4 0.1 0.2 0.1 0.3(b) Za funkciju koja odreuje zakon raspodele izraunati P(2 X4),P(X 2) i P(X = 0).(c) Nai funkciju raspodelesluajne promenljiveX.Reenje:(a) Za sve tri ponuene funkcije vai da su nenegativne, tako da jo treba proveritiukomsluajuvai uslov(2.2). Zaprvufunkcijuje4

i=0P(X=xi) =0.7, zadrugu je4

i=0P(X= xi) = 1 i za treu4

i=0P(X= xi) = 1.1, tako da jedino drugafunkcija odreuje zakon raspodele sluajne promenljiveX.(b) Traene verovatnoe su:P(2 X 4) =P(X= 2) +P(X= 3) +P(X= 4) = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5,P(X 2) =P(X= 0) +P(X= 1) +P(X= 2) = 0.4 + 0.1 + 0.1 = 0.6,P(X = 0) = 1 P(X= 0) = 1 0.4 = 0.6.41(c) Funkcija raspodele FX (x) =P(X< x), x R je FX (x) =___0, x 00.4, 0 < x 10.5, 1 < x 20.6, 2 < x 30.7, 3 < x 41, x > 4.[71] Od izvoaa radova se zahteva da podnesu jedan, dva, tri, etiri ili pet formulara (uzavisnosti od vrste posla) kod dobijanja graevinske dozvole. Neka jeXbroj formularakojisezahtevaodnarednogpodnesiocamolbe. Verovatnoa dasezahtevai formularaje proporcionalnasai, i = 1, 2, 3, 4, 5.(a) Odrediti vrednost konstante proporcionalnosti.(b) Izraunati verovatnou da e najmanje tri formulara biti zahtevana.(c) Izraunativerovatnoudaebrojformularakojisezahtevajubitiizmeudvaietiri.(d) Da li funkcijaP(Y= i) =i250, i = 1, 2, 3, 4, 5 moe biti zakon raspodele sluajnepromenljiveY ?Reenje:(a) Na osnovu uslova zadatka verovatnoa da se zahteva i formulara proporcionalnaje sai, te je P(X= i) = k i, i = 1, 2, 3, 4, 5. Na osnovu uslova nenegativnostidobijamo da je k 0, pa primenom(2.2) dobijamoi + 2i + 3i + 4i + 5i =1,odakle jei =115.(b) Traena verovatnoa jeP(X 3) = P(X= 3) +P(X= 4) +P(X= 5) =315+415+515=45.(c) Znai,P(2 X 4) = P(X= 2) +P(X= 3) +P(X= 4) =215+315+415=35.(d) Kako je5

i=1i250=1+4+9+16+2550=5550na osnovu(2.2)data funkcija ne moe bitizakon raspodele sluajne promenljiveY.[72] U kutiji se nalaze tri kuglice oznaene brojem1, etiri kuglice oznaene brojem2idvekugliceoznaenebrojem3. Nasluajannainizvlaimojednukuglicuizkutije.Neka jeXsluajna promenljivakoja predstavlja izvueni broj.(a) Nai zakon raspodelesluajnepromenljiveX.(b) Izraunati FX (2.5) , FX (1) , FX (2) i FX (5).(c) Nai funkciju raspodele,FX (x), za sluajnu promenljivuXi graki je predsta-viti.42Reenje:(a) Skupvrednosti sluajne promenljiveXje RX= {1, 2, 3}, priemusuodgova-rajue verovatnoeP(X=1)=39, P(X=2)=49i P(X=3)=29. Znai,traeni zakon raspodele sluajne promenljiveXje_1 2 3394929_.(b) Na osnovu (2.4) imamo da jeFX (2.5) =P(X< 2.5) = P(X= 1) +P(X= 2) =39+49=79,FX (1) =P(X< 1) = 0,FX (2) = P(X< 2) = P(X= 1) =39,FX (5) = P(X< 5) = P(X= 1) +P(X= 2) +P(X= 3) =39+49+29= 1.(c) Traena funkcija raspodeleFX (x) , x R i njen grak suFX (x) =___0, x 139, 1 < x 279, 2 < x 31, x > 3,ExTFX391792130[73] U kutiji se nalaze dve kuglice oznaene brojem 1, etiri kuglice oznaene brojem 3,i jedna kuglica oznaena brojem5. Na sluajannain izvlaimoodjednomdvekugliceiz kutije. Neka jeXsluajna promenljivakoja predstavljazbir izvuenih brojeva.(a) Nai zakonraspodelesluajne promenljiveX.(b) Izraunati FX (2) , FX (4) , FX (8) i FX (16.375).(c) Nai funkciju raspodele,FX (x), za sluajnu promenljivuXi graki je predsta-viti.Reenje:(a) Oznaimo sak{m,n},m, n {1, 3, 5} dogaaj izvuene su kuglice sa brojevimami n (priemujenebitanredosledizvuenihkuglica). SluajnapromenljivaXuzima vrednosti iz skupa{2, 4, 6, 8} pri emu jeP(X= 2) =P(k{1,1}) =(22)(72)=121,P(X= 4) =P(k{1,3}) =(21) (41)(72)=821,P(X= 6) =P(k{1,5} k{3,3}) =(21) (11) +(42)(72)=821i43P(X= 8) = P(k{3,5}) =(41) (11)(72)=421,tako da jeX:_2 4 6 8121821821421_.(b) Koristei (2.4) imamo:FX (2) =P(X< 2) = 0,FX (4) =P(X< 4) = P(X= 2) =121,FX (8) =P(X< 8) = 1 P(X= 8) = 1 421=1721,FX (16.375) =P(X< 16.375) = 1.(c) Funkcija raspodele sluajne promenljiveXi njen grak suFX (x) =___0, x 2121, 2 < x 4921, 4 < x 61721, 6 < x 81, x > 8,ExTFX1212921417216180[74] U kutiji se nalaze 4 bele i 6 zelenih kuglica. Pera izvlai jednu po jednu kuglicu bezvraanja izvuenekuglice u kutiju sve dokne izvue zelenu kuglicu. Sluajna promen-ljiva X predstavlja broj izvedenih izvlaenja. Nai zakon raspodele sluajne promenljiveXi izraunatiF2X+1 (5) iFX2 (6).Reenje: Skupvrednosti sluajnepromenljive X je {1, 2, 3, 4, 5}, aodgovarajueverovatnoe suP(X= 1) =P(Z) =610, P(X= 2) = P(BZ) =410 39=415, P(X=3) = P(BBZ) =4103968=110, P(X= 4) = P(BBBZ) =410392867=135, P(X=5) = P(BBBB) =410 39 28 17=1210, gde je sa Boznaen dogaaj izvuena je belakuglica i sa Z dogaajizvuenajezelenakuglica. TraenizakonraspodelejeX:_1 2 3 4 56104151101351210_.Primenom denicije funkcije raspodele dobija seF2X+1 (5) = P(2X + 1 < 5) =P(X< 2) = P(X= 1) =610,FX2 (6) =P(X2< 6) =P(6 < X 4.[79] etiri osobe izvlae na sluajan nain, jedna za drugom, po jednu ibicu od etiriponuene, od kojih je jedna kraa od ostalih. Izvuena ibica i osoba koja ju je izvuklase ne vraaju u igru. Sluajna promenljiva Xpredstavlja redni broj izvlaenja u kojemje izvuena kraa ibica. Nai zakonraspodelesluajne promenljive X.Reenje: Sluajnapromenljiva X uzimavrednostiizskupa {1, 2, 3, 4}. OznaimosaKidogaaj ui-tomizvlaenjujeizvuenakraaibica, i=1, 2, 3, 4. IzP(X=1) =P(K1) =14, P(X= 2) =P(K1K2) =34 13=14, P(X= 3) =P(K1K2K3) =34 23 12=14i P(X=4)=P(K1K2K3)=34 23 12=14dobijasetraeni zakonraspodeleX:_1 2 3 414141414_.[80] U kutiji se nalazi5 belih i3 zelene kuglice. Zoran na sluajan nain izvlai jednupo jednu kuglicu(a) bez vraanja(b) sa vraanjemdokne izvue kuglicuzelene boje. Nai zakonraspodelesluajnepromenljive Xkojapredstavlja broj izvlaenja.Reenje: Oznaimo sa B dogaaj izvuena je bela kuglica i sa Zdogaaj izvuenaje zelena kuglica .46(a) Broj izvlaenja moe biti {1, 2, 3, 4, 5, 6} tako da je traeni zakon raspodeleX:_1 2 3 4 5 6381556528328356156_,gdejeP(X=1)=P(Z)=38, P(X=2)=P(BZ)=58 37=1556, P(X=3)=P(BBZ)=58 47 36=528, P(X=4)=P(BBBZ) =58 47 36 35=328, P(X= 5) = P(BBBBZ) =58 47 36 25 34=356iP(X= 6) = P(BBBBB) =58 47 36 25 14=156.(b) Skup vrednosti sluajne promenljive Xje {1, 2, 3, . . .} = N. Kako se izvlaenjavre sa vraanjem dalje imamoP(X= 1) =P(Z) =38, P(X= 2) =P(BZ) =5838, P(X= 3) =P(BBZ) =585838, P(X= 4) =P(BBBZ) =58585838, . . .tako da sluajna promenljiva Xima geometrijsku G(38) raspodelu.[81] Dinarsebacatriputa. SluajnapromenljivaXpredstavljabrojpalihgrbova, asluajna promenljivaYuzima vrednost1 ako je palo vie grbova, a 1 ako je palo viepisama. Nai zakone raspodelasluajnih promenljivihXiY .Reenje: Oznaimo saPiiGidogaaje ui-tom bacanju dinara palo pismo, odnosnogrb, gdei {1, 2, 3}. SkupvrednostisluajnepromenljiveXje RX= {0, 1, 2, 3},askupvrednostisluajnepromenljiveY je RY= {1, 1}.Kakosubacanjadinarameusobno nezavisna imamo da jeP(X= 0) =P(P1P2P3) =P(P1) P(P2) P(P3) =12 12 12=18,P(X= 1) =P(G1P2P3 +P1G2P3 +P1P2G3) == P(G1P2P3) +P(P1G2P3) +P(P1P2G3) == P(G1) P(P2) P(P3) +P(P1) P(G2) P(P3) +P(P1) P(P2) P(G3) ==12 12 12+12 12 12+12 12 12=38.Analogno se dobija da jeP(X= 2) =38i P(X=3) =18. Za sluajnu promenljivuYimamo da jeP(Y= 1) =P(P1P2P3 +P1P2G3 +P1G2P3 +G1P2P3) ==P(P1P2P3) +P(P1P2G3) +P(P1G2P3) +P(G1P2P3) ==P(P1) P(P2) P(P3) +P(P1) P(P2) P(G3) +P(P1) P(G2) P(P3) +P(G1) P(P2) P(P3) ==12 12 12+12 12 12+12 12 12+12 12 12=12,P(Y= 1) = 1 P(Y= 1) =12.Traene sluajne promenljive su X:_0 1 2 318383818_i Y:_ 1 11212_.[82] Strelacgaametutriputa. Verovatnoapogotkausvakomnezavisnomgaanjuje0.9. Ako je meta pogoena najvie jedanom strelac dobija -5 poena, ako ostvari dvapogotkadobija5poena, aupreostalomsluaju10poena. Sluajnapromenljiva Xpredstavljabroj osvojenihpoena. Napisati zakonraspodelesluajne promenljive X.Reenje: Naosnovuuslovazadatkaskupvrednosti traenesluajnepromenljivejeRX= {5, 5, 10}, a dogovarajue verovatnoe suP(X= 5) =P(Strelac ima3 promaajaili2 promaajai1 pogodak) =0.13+_32_0.120.9 =0.028, P(X=5) =P(Strelac ima2 pogotka i1 promaaj) =47_32_0.92 0.1=0.243 i P(X=10)=P(Strelac ima3 pogotka)=0.93=0.729,tako da jeX:_5 5 100.028 0.243 0.729_.[83] Dinarsebacadokseprvi put nepojavi grbali najviepet puta. Nai zakonraspodelesluajne promenljiveXkoja predstavlja broj izvedenih bacanja.Reenje: Kako je RX= {1, 2, 3, 4, 5} iP(X= 1) = P(G1) =12,P(X= 2) = P(P1G2) =12 12=14,P(X= 3) = P(P1P2G3) =12 12 12=18,P(X= 4) = P(P1P2P3G4) =12 12 12 12=116,P(X= 5) = 1 12 14 18 116=116,gde je sa Gi i Pi oznaena pojava grba, odnosno pisma u i-tom bacanju (i {1, 2, 3, 4})imamo da je traeni zakon raspodele X:_1 2 3 4 5121418116116_.[84] Ukutiji senalaze2zelenei 3belekuglice. Ksenijanasluajannainizvlaijednu po jednu kuglicu(a) sa vraanjem dokne izvue kuglicu zelene bojeali najvie5 puta,(b) bez vraanja dokne izvue kuglicu zelene boje.Nai zakonraspodelesluajne promenljiveXkojapredstavlja broj izvlaenja.Reenje: Oznaimo sa B dogaaj izvuena je bela kuglica i sa Zdogaaj izvuenaje zelena kuglica .(a) Broj izvlaenja moe biti 1, 2, 3, 4, 5. Odgovarajue verovatnoe suP(X= 1) =P(Z) =25, P(X=2) =P(BZ) =35 25=625, P(X=3) =P(BBZ) =35 35 25=18125, P(X=4)=P(BBBZ)=35 35 35 25=54625i P(X=5)=P(BBBB) =35 35 35 35=81625, tako da jeX:_1 2 3 4 525625181255462581625_.(b) KadKsenijaizvlai kuglicebezvraanjaskupvrednosti sluajnepromenljiveXje RX= {1, 2, 3, 4}, a odgovarajue verovatnoe suP(X= 1) = P(Z) =25,P(X=2) =P(BZ) =35 24=310, P(X=3) =P(BBZ) =35 24 23=15i P(X=4) =P(BBB) =35 24 13=110i traeni zakonraspodeleje X:_1 2 3 42531015110_.[85] Uprvoj kutiji senalaze2bele, 3zelenei 4crvenekuglice. Udrugoj kutiji senalazi1 bela,2 zelene i3 crvene kuglice. Jelena na sluajannain bira dvekugliceizprvekutijei prebacujeihudrugukutiju. Nai zakonraspodelesluajnepromenljiveXkoja predstavljabroj belih kuglica u drugoj kutiji nakon premetanja.48Reenje: Nakon opisanog eksperimenta u drugoj kutiji moe biti 1, 2 ili 3 bele kuglice,tako dajeskupvrednosti sluajne promenljiveXskup {1, 2, 3}. Nakon prebacivanjaeudrugojkutiji biti jednabelakuglicaakoJelenaizprveudrugukutijuprebacidve kuglice koje nisu beleboje tako da jeP(X=1)=(72)(92)=712. Udrugoj kutijienakonprebacivanjabrojbelihkuglicabiti 2akoJelenaprebacijednubelukuglicuijednu kuglicu koja nije bele boje, tj. P(X= 2) =(21) (71)(92)=718. Broj belih kuglica ebititri ako Jelena izprve udrugukutijuprebaci dvebelekuglice tako da jeP(X=3) =(22)(92)=136. Traeni zakon raspodele jeX:_1 2 3712718136_.[86] Ukutijisenalazedvekugliceoznaenebrojem1,trikugliceoznaenebrojem2i etiri kugliceoznaene brojem3. Vlada na sluajannain bira odjednomdvekugliceizkutije. Nai zakonraspodelesluajnepromenljice X kojapredstavljaostatakprideljenuzbira izvuenih brojeva sa3.Reenje: Ostatak pri deljenjunekog broja sa trimoe biti 0, 1ili 2 tako dajeskupvrednosti sluajne promenljive X jednak {0, 1, 2}. Zbir izvuenih brojeva moe biti2, 3, 4, 5 i 6. Oznaimo saZ=idogaaj zbirjejednaki, i {2, 3, 4, 5, 6}. DaljeimamoP(X=0) =P(Z=3) +P(Z=6) =(21) (31)(92)+(42)(92)=636+636=1236,P(X=1) =P(Z=4) =(21) (41)(92)+(32)(92)=836+336=1136i P(X=2) =P(Z=2)+P(Z =5) =(22)(92)+(31) (41)(92)=136+1236=1336, tejetraeni zakonraspodeleX:_0 1 2123611361336_.[87] Meta se sastoji iz tri koncentina kruga. Pogodaku krugK1donosi10 poena, uprstenK25poenaiuprstenK31poen. Pogodakvanmetedonosi 1poen. Vero-vatnoadaestrelacpogoditi ukrugK1je0.4,uprstenK2je0.3i uprstenK3je0.2.(a) Ako strelac gaa metu jednim metkom, nai zakon raspodele sluajne promenljiveXkoja predstavlja broj osvojenihpoena.(b) Akostrelacgaametudvaputaigaanjasumeusobnonezavisna,naizakonraspodelesluajne promenljiveYkoja predstavljaukupan broj osvojenihpoenaReenje: Na osnovu uslova zadatka imamo da je verovatnoa pogotka van mete 0.1.(a) Jednostavno se dobija da je X:_ 1 1 5 100.1 0.2 0.3 0.4_.(b) Skupvrednosti sluajnepromenljiveY je RY= {2, 0, 2, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 20}.OznaimosaPi,jdogaaj dajestrelacpogodiometuui-tomgaanjuudeoKj, i {1, 2}, j {1, 2, 3} isaVidajepogodiovanmeteui-tomgaanju,i {1, 2}. Kako su gaanja meusobno nezavisna imamo da je49P(Y= 2) =P(V1V2) = 0.1 0.1 = 0.01,P(Y= 0) = P(V1P2,3) +P(P1,3V2) = 0.1 0.2 + 0.2 0.1 = 0.04,P(Y= 2) = P(P1,1P2,1) = 0.2 0.2 = 0.04,P(Y= 4) = P(V1P2,2) +P(P1,2V2) = 0.1 0.3 + 0.3 0.1 = 0.06,P(Y= 6) = P(P1,3P2,2) +P(P1,2P2,3) = 0.2 0.3 + 0.3 0.2 = 0.12,P(Y= 9) = P(V1P2,1) +P(P1,1V2) = 0.1 0.4 + 0.4 0.1 = 0.08,P(Y= 10) =P(P1,2P2,2) = 0.3 0.3 = 0.09,P(Y= 11) =P(P1,3P2,1) +P(P1,1P2,3) = 0.4 0.2 + 0.2 0.4 = 0.16,P(Y= 15) =P(P1,2P2,1) +P(P1,1P2,2) = 0.3 0.4 + 0.4 0.3 = 0.24,P(Y= 20) =P(P1,1P2,1) = 0.4 0.4 = 0.16,tako da je zakon raspodele sluajne promenljiveYY:_2 0 2 4 6 9 10 11 15 200.01 0.04 0.04 0.06 0.12 0.08 0.09 0.16 0.24 0.16_.[88] Na pravcu kretanja automobila se nalaze tri semafora. Verovatnoa zaustavljanjaautomobilana prvomsemaforuje0.4, na drugom0.6 i na treem0.5. Semaforiradenezavisnojedanoddrugog. Nai raspodelusluajnepromenljive Xkojapredstavljabroj semaforakojeje vozaautomobila proao do prvog zaustavljanja.Reenje: Oznaimo sa Zi dogaaj da je voza zaustavio automobil na i-tom semaforui {1, 2, 3}. Kako senaputukretanjaautomobilanalazetrisemaforaimamodajeRX= {0, 1, 2, 3} pri emu jeP(X= 0) = P(Z1) = 0.4,P(X= 1) = P( Z1Z2) = 0.6 0.6 = 0.36,P(X= 2) = P( Z1 Z2Z3) = 0.6 0.4 0.5 = 0.12,P(X= 3) = P( Z1 Z2 Z3) = 0.6 0.4 0.5 = 0.12.tako da je traeni zakon raspodele X:_0 1 2 30.4 0.36 0.12 0.12_.[89] Baca se kockica za igru Ne ljuti se ovee. Ako se pojavi broj manji od tri izvlaesedvekugliceizkutijeukojoj senalazetri zelenei dvebelekuglice. Usuprotnomseizvlaedvekugliceizkutijeukojojsenalazedvezeleneijednabelakuglica. Nekasluajna promenljiva X predstavlja broj izvuenih zelenih kuglica. Nai zakon raspodelesluajne promenljiveX.Reenje: ObeleimosaH1dogaaj dasepri bacanjukockicepojaviobroj manjiodtri, asaH2dogaaj dasepojaviobroj vei ili jednaksatri, koji inepotpunsistem dogaaja. Njihove verovatnoe suP(H1)=26=13i P(H2)=1 P(H1)=23.RaspodelusluajnepromenljiveX, odnosnoodgovarajueverovatnoe P(X=j),j RX= {0, 1, 2} moemo izraunati primenom formule totalne verovatnoeP(X= j) =

2i=1P(Hi) P(X= j|Hi) , j RX,pri emu je50P(X= 0|H1) =(22)(52)=110, P(X= 0|H2) =0(32)= 0,P(X= 1|H1) =(31) (21)(52)=610, P(X= 1|H2) =(21) (11)(32)=23,P(X= 2|H1) =(32)(52)=310, P(X= 2|H2) =(22)(32)=13.Uvrtavanjem u formulu totalne verovatnoe dobijamoP(X= 0) =13 110+23 0 =130,P(X= 1) =13 610+23 23=2945,P(X= 2) =13 310+23 13=2990,tako da je traeni zakon raspodele X:_0 1 213029452990_.[90] U kutiji se nalaze3 bele i1 zelena kuglica. Ljubo na sluajan nain izvlai jednukuglicu. Akoizvuebelukuglicubacaispravannovidvaputa. Akoizvuezelenukuglicu baca dva puta novi koji sa obe strane ima grb. Nai zakon raspodele sluajnepromenljive Xkoja predstavljabroj pojavljivanjapisma u opisanomeksperimentu.Reenje: ObeleimosaH1dogaaj Ljubojeizvukaobelukuglicu, asaH2doga-aj Ljubojeizvukaozelenukuglicu, koji inepotpunsistemdogaaja. Njihoveverovatnoe suP(H1)=34i P(H2) =14. Raspodelu sluajne promenljiveX, odnosnoodgovarajue verovatnoe raunamo primenom formule totalne verovatnoeP(X= j) =2

i=1P(Hi) P(X= j|Hi) , j RX= {0, 1, 2},pri emu jeP(X= 0|H1) =12 12=14, P(X= 0|H2) = 1 1 = 1,P(X= 1|H1) =12 12 2 =12, P(X= 1|H2) = 0,P(X= 2|H1) =12 12=14, P(X= 2|H2) = 0.Uvrtavanjem u formulu totalne verovatnoe dobijamoP(X= 0) =34 14+14 1 =716,P(X= 1) =34 12+14 0 =616,P(X= 2) =34 14+14 0 =316,tako da je traeni zakon raspodele X:_0 1 2716616316_.[91] IzkvadrataKsatemenimautakama(0, 0), (1, 0), (1, 1) i (0, 1)nasluajannainsebiratakaA(x, y). Ako suobekoordinateizabranetakemanjeod12izvlaise dva puta po jedna kuglica sa vraanjem iz kutije koja sadri1 zelenu i 2 bele kuglice.Usuprotnomseizvlai jednakuglicaiz istekutije. Nai zakonraspodele sluajnepromenljive Xkoja predstavljabroj izvuenih zelenih kuglica.Reenje:51H1= {(x, y) :0 x 12 0 y 12} iH2=K \ K1.Primenom geometrijske denicije verovatnoe dobija seda jeP(H1) = (12)2=14iP(H2) = 1 P(H1) =34.Primenom formule totalne verovatnoeP(X= j) =2

i=1P(Hi) P(X= j|Hi) ,j RX= {0, 1, 2}, gde je-x6y112H2H1112dd dddddddddddddddddddddddddddddddddddddd ddP(X= 0|H1) =23 23=49, P(X= 0|H2) =23,P(X= 1|H1) =23 13 2 =49, P(X= 1|H2) =13,P(X= 2|H1) =13 13=19, P(X= 2|H2) = 0,dobija seP(X= 0) =14 49+34 23=2236,P(X= 1) =14 49+34 13=1336,P(X= 2) =14 19+34 0 =136,tako da je traeni zakon raspodeleX:_0 1 222361336136_.[92] Bacajuse bela i zelena kockica. Nai zakone raspodela za sluajne promenljive(a) Y -zbir palihbrojeva,(b) Z-razlika izmeu broja palogna beloj i broja na zelenoj kockici,(c) U-maksimum palih brojeva.Reenje: Skupelementarnihdogaajaje= {ij | i, j {1, 2, . . . , 6}}, gdejesaijoznaendogaajdasenabelojkockicipojaviobroj i, anazelenojbroj j, gdejei, j {1, 2, . . . , 6}. Kako su svi elementarni dogaaji jednakoverovatni imamo da jeP(ij) =136.(a) Skupvrednostisluajne promenljiveY je RY= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},a odgovarajue verovatnoe suP(Y= 2) =P(11) =136,P(Y= 3) =P(12 + 21) =236,P(Y= 4) =P(13 + 22 +31) =336,P(Y= 5) =P(14 + 23 +32 +41) =436,P(Y= 6) =P(15 + 24 +33 +42 +51) =536,P(Y= 7) =P(16 + 25 +34 +43 +52 +61) =636,P(Y= 8) =P(26 + 35 +44 +53 +62) =536,52P(Y= 9) =P(36 +45 +54 +63) =436,P(Y= 10) =P(46 +55 +64) =336,P(Y= 11) =P(56 +65) =236,P(Y= 12) =P(66) =136.Znai, traeni zakon raspodele jeY:_2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136236336436536636536436336236136_.(b) Skup vrednosti sluajne promenljiveZjeRZ= {5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, a odgovarajue verovatnoe suP(Z= 5) =P(16) =136,P(Z= 4) =P(15 +26) =236,P(Z= 3) =P(14 +25 +36) =336,P(Z= 2) =P(13 +24 +35 +46) =436,P(Z= 1) =P(12 +23 +34 +45 +56) =536,P(Z= 0) = P(11 +22 +33 +44 +55 +66) =636,P(Z= 1) = P(21 +32 +43 +54 +65) =536,P(Z= 2) = P(31 +42 +53 +64) =436,P(Z= 3) = P(41 +52 +63) =336,P(Z= 4) = P(51 +62) =236,P(Z= 5) = P(61) =136.Znai, traeni zakon raspodele jeZ:_ 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5136236336436536636536436336236136_.(c) SkupvrednostisluajnepromenljiveUje RU= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Odgovarajueverovatnoe suP(U= 1) =P(11) =136,P(U= 2) =P(12 +21 +22) =336,P(U= 3) =P(13 +23 +31 +32 +33) =536,P(U= 4) =P(14 +24 +34 +41 +42 +43 +44) =736,P(U= 5) =P(15 +25 +35 +45 +51 +52 +53 +54 +55) =936,P(U= 6) =P(16+26+36+46+56+61+62+63+64+65+66) =1136,pa je zakon raspodele sluajne promenljiveU:_1 2 3 4 5 61363365367369361136_.[93] Strelac gaa metu. Verovatnoa pogotka u svakomnezavisnom gaanjuje0.6.53(a) Ako strelac na raspolaganju ima etiri metka, nai raspodelu sluajne promenljiveXkoja predstavlja broj ostvarenih pogodaka.(b) Ako strelac na raspolaganju ima sto metaka, nai raspodelu sluajne promenljiveYkoja predstavljabroj promaaja.(c) Akostrelacgaametudoprvogpogotkanai raspodelusluajnepromenljiveUkoja predstavlja broj ispaljenihmetaka.(d) Akostrelacgaametudoprvogpromaajanai raspodelusluajnepromenljiveVkoja predstavljabroj ispaljenihmetaka.Reenje: Na osnovu uslova zadatka imamo da je verovatnoa pogotka0.6, a verovat-noa promaaja, kao suprotnog dogaaja,0.4.(a) Skup vrednosti sluajne promenljiveXje RX= {0, 1, 2, 3, 4} pri emu su odgo-varajue verovatnoeP(X=i)=_4i_0.6i 0.44i, i RX,takodasluajnapromenljivaXima binomnu B(4, 0.6) raspodelu.(b) SkupvrednostisluajnepromenljiveY je RY= {0, 1, 2, . . . , 100}pri emusuodgovarajueverovatnoeP(Y =i)=_100i_0.4i 0.6100i, i RY, takodasluajna promenljivaYima binomnu B(100, 0.4) raspodelu.(c) SkupvrednostsluajnepromenljiveUje RU= {1, 2, 3, . . .}priemusuodgo-varajueverovatnoeP(U=i) =0.4i1 0.6, i RU, takodasluajnapromenljivaUima geometrijsku G(0.6) raspodelu.(d) Skupvrednost sluajnepromenljiveV je RV= {1, 2, 3, . . .}priemusuodgo-varajueverovatnoeP(V =i) =0.6i1 0.4, i RV, takodasluajnapromenljivaVima geometrijsku G(0.4) raspodelu.[94] Verovatnoa da student poloi kolokvijumizStatistike je0.75. Pretpostavimodastudenti polau kolokvijumnezavisno jedan od drugog.(a) Ako na kolokvijumizae250 studenata nairaspodelusluajnepromenljive Xkoja predstavlja broj studenata koji e poloiti kolokvijum. Izraunati verovatnoedogaajaA-kolokvijumepoloiti 185studenata i B-kolokvijumepoloitibar 7 studenata.(b) Ako nakolokvijumizae100studenata nairaspodelusluajnepromenljive Ykojapredstavljabroj studenatakoji neepoloiti kolokvijum. Izraunati vero-vatnoe dogaajaC-kolokvijumnee poloiti3 studenta iD-kolokvijumneepoloiti bar 3 studenta.(c) Ako asistent pregleda studentske radove dok jedan student ne poloi nai raspodelusluajnepromenljiveUkojapredstavljabroj radovakojeeasistent pregledati.Izraunati verovatnoedogaajaE-asistent epregledati tanopet radova iF-asistent e pregledati najviepet radova.54(d) Ako asistentpregledastudentskeradovedokjedanstudentne padnenai raspo-delusluajnepromenljiveV kojapredstavljabroj radovakojeeasistent pregle-dati. Izraunati verovatnoe dogaajaG-asistent e pregledati tano dva rada iH-asistent e pregledati bar dva rada.Reenje: Na osnovu uslova zadatka imamo da je verovatnoa da student poloi kolo-kvijum0.75, a verovatnoa da ne poloi kolokvijum 0.25.(a) SkupvrednostisluajnepromenljiveXje RX= {0, 1, 2, . . . , 250}priemusuodgovarajue verovatnoeP(X= i) =_250i_0.75i 0.25250i, i RX, tako dasluajna promenljivaXimabinomnu B(250, 0.75) raspodelu. Traene verovat-noe su P(A) = P(X= 185) =_250185_0.75185 0.25250185 0.05376856 i P(B) =P(X 7)=1 P(X0, imagustinu i odgovarajuu funkciju raspodeleX (x) =_aeax, x > 0,0, x 0;FX (x) =_1 eax, x > 0,0, x 0.(2.19)GustinasluajnepromenljiveX: E(a).X (x)xaFunkcijaraspodeleslu. prom.X: E(a).FX (x)x1SluajnapromenljivasaVejbulovom V(,)raspodelom, saparametrima>0,> 0 ima gustinu i odgovarajuu funkciju raspodeleX (x) =_x1e(x), x > 0,0, x 0;FX (x) =_1 e(x), x > 0,0, x 0.(2.20)GustinasluajnepromenljiveX: V(, ).X (x)x24680.5 1 2=10=0.5=10=1=10=2Funkcijaraspodeleslu. prom.X: V(, ).FX (x)x0.510.5 1 2=10=0.5=10=1=10=259GustinasluajnepromenljiveX: V(, ).X (x)x0.511.5=2=0.5=2=5=2=10Funkcijaraspodeleslu.prom.X: V(, ).FX (x)x0.510.5 1 2=2=0.5=2=5=2=10[99] Knjigauitaonici seiznajmljujenajduenadvasata. Nekasluajnapromen-ljivaXoznaavavremezadravanjaknjigekodsluajnoizabranogstudenta. Gustinasluajne promenljiveXdata je saX (x) =_12x, 0 x 20, x/ [0, 2].(a) Izraunati FX (1.2), FX (1), FX (3.5),azatimnaifunkcijuraspodeleFX (x)za svakox R.(b) Kolika je verovatnoa da e knjiga biti izdata izmeu sat i sat i po vremena?(c) Izraunati verovatnoeP(X 1),P(X> 1.5) iP(X= 1).(d) Graki predstaviti funkciju gustineXi funkciju raspodeleFX.Reenje:(a) Direktnom primenom formule(2.13), dobija seFX (1.2) =_1.2X (x)dx =_00 dx +_1.2012 xdx = 0 +14 x21.20= 0.36.Analogno slediFX (1) =_1X (x)dx =_10 dx = 0,kao iFX (3.5) =_3.5X (x)dx =_2012xdx = 1.Za pronalaenje funkcije raspodele, razmotriemo sledea tri sluaja:i) Zax 0, vai da jeFX (x) =_xX (t)dt =_x0 dt = 0.60ii) Za ksiranox iz intervala(0, 2], tj. ako je0 < x 2, dobija seFX (x) =_xX (t)dt =_00 dt +_x012 t dt = 0 +14 t2x0=14x2iii) Ako jex > 2, dobijamoFX (x) =_xX (t)dt =_00 dt +_2012 t dt +_x20 dt = 0 +14 t220+ 0 = 1.Konano, iz i), ii) i iii) dobija seFX (x) =___0, x 0,14x2, 0 < x 2,1, x > 2.(b)Verovatnoadogaajadaeknjigabiti izdataizmeusati sati povremenajeverovatnoadasluajnapromenjivaXuzimavrednosti izmeu1i 1.5. Naosnovu(2.12) dobija seP(1 X 1.5) =_1.5112 xdx =14 x21.51=(1.5)24124= 0.3125.Primetimodaistirezultatmoemo dobitiipomoufunkcijeraspodeleFXodreenepod (a), tj.P(1 X 1.5) = FX (1.5) FX (1) =(1.5)24124= 0.3125.(c) Na osnovu (2.12), dobija seP(X 1) =_1X (x)dx =_00 dx +_1012 xdx = 0 +14 x210=14= 0.25.Traenu verovatnou moemo izraunati i ovako: P(X 1) =P(X< 1) = FX (1) =14.Slino,P(X> 1.5) =_21.512 xdx =14 x221.5= 1 0.5625 = 0.4375 ili pomou funkcijeraspodeleP(X> 1.5) = 1 P(X 1.5) = 1 FX (1.5) = 1 1.524= 0.4375.Na osnovu osobine gustine (2.10), koja je zadovoljena za svaki realan broj a, dobija seda jeP(X= 1) = 0.(d) Graci gustineXi funkcije raspodeleFXsu:ETxX (x)12ETxFX (x)1261[100] Profesornikadanezavri asprezvona, ali zavri utokuprveminutenakonzvona. NekaXpredstavlja vreme (izraeno u minutima) koje proe od zvona do zavr-etka predavanja. Gustina zaXdata je saX (x) =_kx2, x [0, 1]0, x/ [0, 1].(a) Odrediti konstantuk.(b) Nai funkciju raspodelezaX.(c) Kolika je verovatnoa da e as biti produen najduepola minute?(d) Kolika je verovatnoa