ZDENĚK NEVOSÁD – JOSEF VITÁSEK GEODÉZIE IIIfast.darmy.net/opory - I Bc/GE07-Geodezie_III--P01-Geodezie_III... · vysokÉ uČenÍ technickÉ v brnĚ fakulta stavebnÍ zdenĚk

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

ZDENĚK NEVOSÁD – JOSEF VITÁSEK

GEODÉZIE III PRŮVODCE 01

PRŮVODCE PŘEDMĚTEM GEODÉZIE III

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Průvodce předmětem Geodézie III · Průvodce 01

© prof. Ing. Zdeněk Nevosád, DrSc., doc. Ing. Josef Vitásek, Csc., Brno 2005

Obsah

- 3 (176) -

OBSAH

1 Úvod ...............................................................................................................7 1.1 Cíle ........................................................................................................7 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................7 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................8 1.4 Klíčová slova.........................................................................................8

2 Geodetické základy na území ČR ...............................................................9 2.1 Polohová bodová pole v ČR..............................................................9

2.1.1 Katastrální triangulace ........................................................10 2.1.2 Vojenská triangulace...........................................................10 2.1.3 Jednotná trigonometrická síť katastrální (JTSK)..............11 2.1.4 Astronomicko-geodetická síť................................................14 2.1.5 Základní družicová síť ..........................................................15 2.1.6 Geodynamická síť GEODYN ...............................................16 2.1.7 Síť permanentních stanic CZEPOS ......................................17 2.1.8 Body ČSTS a PGZ................................................................17 2.1.9 Podrobné polohové bodové pole (PPPB)..............................18 2.1.10 Volba zhušťovacích bodů a jejich stabilizace.......................19

3 Vybrané základní matematické operace ..................................................23 3.1 Výpočet směrníku (jižníku) a délky ze souřadnic...............................23 3.2 Metoda nejmenších čtverců (MNČ)....................................................25 3.3 Transformace rovinných souřadnic.....................................................28

3.3.1 Shodnostní transformace.......................................................29 3.3.2 Podobnostní transformace.....................................................29 3.3.3 Konformní transformace.......................................................30 3.3.4 Afinní transformace ..............................................................31 3.3.5 Projektivní transformace.......................................................31 3.3.6 Polynomické transformace....................................................32 3.3.7 Obecný průměr posunů identických bodů ............................32 3.3.8 Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou

nejmenších čtverců................................................................33 3.4 Transformace prostorových souřadnic................................................35

3.4.1 Převod mezi pravoúhlými souřadnicovými systémy ............36 3.4.1.1 Podobnostní transformace.....................................................36 3.4.1.2 Afinní transformace ..............................................................37 3.4.1.3 Formální úpravy....................................................................38 3.4.1.4 Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou

nejmenších čtverců................................................................39 3.5 Výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů....................40

3.5.1 Lineární interpolace ..............................................................41 3.5.2 Interpolace obecnými aritmetickými průméry......................42 3.5.3 Splajnové funkce...................................................................43

3.6 Přesnost transformace .........................................................................44 3.6.1 Metoda nejmenších čtverců ..................................................44


- 4 (176) -

3.6.2 Relativní polohová přesnost ............................................... 45 3.6.3 Souřadnicové odchylky identických bodů ........................ 47 3.6.4 Stupeň (míra) identity (homogenity).................................... 48 3.6.5 Závěr k transformacím souřadnic........................................ 50

4 Kritéria polohové přesnosti....................................................................... 51 5 Budování polohových bodových polí...................................................... 57

5.1 Určení polohy bodů z úhlů a délek (přibližné metody výpočtu) ........ 57 5.1.1 Rajon .................................................................................... 57 5.1.2 Polygonové pořady a sítě ..................................................... 59 5.1.2.1 Základní typy pořadů ........................................................... 61 5.1.2.2 Speciální typy polygonových pořadů. .................................. 69 5.1.3 Protínání vpřed ..................................................................... 75 5.1.3.1 Protínání vpřed z orientovaných směrů................................ 75 5.1.3.2 Protínání vpřed z úhlů .......................................................... 77 5.1.4 Protínání z délek................................................................... 79 5.1.5 Protínání zpět........................................................................ 82 5.1.5.1 Cassiniho řešení.................................................................... 82 5.1.5.2 Collinsovo řešení.................................................................. 84 5.1.6 Hansenova úloha .................................................................. 85 5.1.7 Měřické body určené na přímkách a kolmicích, průsečíky

přímek, průsečík se sekční čarou.......................................... 87 5.1.7.1 Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce ........................ 87 5.1.7.2 Pevná měřická přímka.......................................................... 89 5.1.7.3 Volná měřická přímka.......................................................... 90 5.1.7.4 Průsečík dvou přímek........................................................... 92 5.1.7.5 Úhel dvou přímek................................................................. 93 5.1.7.6 Průsečík měřické přímky se sekční čarou ............................ 94

5.2 Terestrické sítě.................................................................................... 95 5.2.1 Úhlové sítě............................................................................ 96 5.2.2 Délkové sítě........................................................................ 101 5.2.2.1 Měřítková změna............................................................... 104 5.2.2.2 Šikmé délky........................................................................ 104 5.2.3 Výškové sítě ...................................................................... 105 5.2.4 Kombinované sítě – současná koncepce terestrických sítí. 107 5.2.4.1 Rovinné sítě - (2D)............................................................. 108 5.2.4.2 Prostorové sítě - (3D) ......................................................... 108

5.3 Družicové polohové systémy ......................................................... 111 5.3.1 Globální polohový systém (GPS)..................................... 111 5.3.2 Světový geodetický systém WGS 84 .............................. 116 5.3.3 Přijímací stanice a její základní části ................................. 117 5.3.4 Měřické metody.................................................................. 119 5.3.4.1 Určení časového intervalu.................................................. 120 5.3.4.2 Měření Dopplerovy frekvence ......................................... 123 5.3.5 Určení polohy bodu............................................................ 123

Obsah

- 5 (176) -

5.3.6 Diferenční globální polohový systém (DGPS) ...............128 5.3.7 Aplikace družicových měření v geodézii.........................130

5.4 Družicové sítě ...................................................................................132 5.4.1 Vyrovnání simultánních měření v prostorových souřadnicích132 5.4.2 Vyrovnání simultánních měření v rovinných souřadnicích a

výškách Bpv........................................................................138 5.5 Spojené družicové a terestrické sítě ..................................................141

5.5.1 Vyrovnání družicových vektorů a terestrických veličin .....142 5.5.2 Zpracování družicových měření DGPS, RTK terestrických

veličin..................................................................................150 5.6 Místní sítě..........................................................................................152

5.6.1 Vyrovnání rovinných souřadnic.........................................154 5.6.2 Vyrovnání rovinných souřadnic a výšek.............................154

6 Postup budování polohových bodových polí ..........................................157 7 Dokumentace polohových bodů a databáze ...........................................161 8 Vyhledávání geodetických bodů..........................................................165 9 Závěr ..........................................................................................................169

9.1 Shrnutí ...............................................................................................170 10 Studijní prameny ......................................................................................173

10.1 Seznam použité literatury..................................................................173 10.2 Seznam doplňkové literatury ............................................................176

Úvod

- 7 (176) -

1 Úvod

Předložený text je z velké části průvodcem třetí teoretické části předmětu Geo-dézie, zabývající se přehledem bodových poli v ČR, jejich budováním a pře-devším metodami výpočtu a vyrovnání souřadnic určovaných bodů, včetně jejich analýzy přesnosti. S geodetickými bodovými poli úzce souvisí i technic-ká dokumentace a příslušné databáze.. Podkladem pro průvodce Geodézií III jsou skripta „Geodézie IV“ vydaná akademickým nakladatelstvím CERM, s.r.o. v Brně v roce 2002. Tématika je však rozšířena o nové informace o geo-detických sítích a o metodách jejich budování, které jsou už použity v připravovaném novém vydání skript v r. 2006. Látka je probírána v rozsahu bakalářského studia oboru geodézie a kartografie.

Autorem kapitol 1. až 4. a 5.2. až 9. je prof. Zdeněk Nevosád. Autorem kapito-ly 5.1 je doc. Josef Vitásek. Autoři děkují za redakční úpravu Ing Leoši Brklo-vi, za naskenování 12 obrázků Ing. Jiřímu Vondrákovi, PhD., a Ing. Tomáši Švábovi.

1.1 Cíle

Průvodce má usnadnit studium látky předepsané zkoušce. Jde především o dobrou znalost vývoje Geodetických základů a bodových polí na území Česka s důrazem na současný stav. Hlavním cílem třetí části předmětu Geodézie je porozumět používanému matematickému aparátu, rovinným a prostorovým transformacím souřadnic, jednoduchým metodám a technologiím výpočtu sou-řadnic bodů a souřadnicovému vyrovnání různých druhů geodetických sítí a potřebným analýzám přesnosti včetně základních kritérií přesnosti. K tomu se nutně řadí i podrobnější seznámení studujících s postupem budování bodových polí počínaje od projektu sítí a stabilizace bodů, přes měřické výpočetní práce až k vytvoření databází geodetických bodů.

1.2 Požadované znalosti

Student má u zkoušky prokázat dobrý přehled o základních a podrobných po-lohových a výškových bodových polí na území Česka, o základní gravimetric-ké sítí a hlavních mezinárodních sítích, jejichž součástí jsou i sítě v ČR. Nut-ným předpokladem k pochopení výpočetních metod a technologií při budování geodetických sítí je i znalost matematických operací používaných zejména k určení polohy bodů a k souřadnicovému vyrovnání a k příslušným odhadům přesnosti. Předpokládá se znalost hlavních transformačních postupů včetně aplikací MNČ a metod analýzy přesnosti .

K základním znalostem vyžadovaným při zkoušce patří výpočty souřadnic jed-notlivých nebo několika polohových bodů a s nimi spojená přibližná řešení, především souřadnic bodů určených rajóny, polygonovými pořady, jednodu-chými metodami protínání a souřadnic měřických bodů. Stejně důležité jsou i metody souřadnicových vyrovnání různých druhů terestrických sítí (úhlových, délkových a kombinovaných), družicových sítí (měřené vektory a souřadnice) a vyrovnání spojených sítí (terestrických a družicových). Studenti mají také


- 8 (176) -

ovládat základní technologie družicových měření a družicových metod určová-ní polohy bodů. Dále je třeba znát význam, charakteristiky a odlišnosti sou-řadnicových vyrovnání tzv. místních sítí.

K požadovaným znalostem studentů se řadí i technologie budování geodetic-kých bodových polí, hlavní metody vyhledávání geodetických polohových bodů, technická dokumentace, struktura a používání databází bodových polí v ČR.

1.3 Doba potřebná ke studiu

Pro absolventy střední průmyslové školy stavební 65 hodin a pro absolventy jiných středních škol 78 hodin.

1.4 Klíčová slova

Polohové geodetické základy (PGZ), základní a podrobné polohové bodové pole (ZPBP a PPBP), základní a podrobné výškové bodové pole (ZVBP a PVBP), Jednotná trigonometrická síť katastrální JTSK, souřadnicový systém JTSK (S-JTSK), ETRS 89, NULRAD, Astronomicko-geodetická síť (AGS), GEODYN (Geodynamická síť v ČR), ČSTS (Česká státní trigonometrická síť), CZEPOS, S-42 a S-42/83, souřadnicové systémy rovinné a prostorové, katast-rální triangulace, Křovákovo kuželové zobrazení, stabilizace bodů polohových, výškových a gravimetrických.

Směrník, jižník, metoda nejmenších čtverců (MNČ), rovnice oprav, souřadni-cové přírůstky, váhová matice, matice váhových koeficientů, rovinné souřadni-ce, prostorové souřadnice, družicové veličiny (prostorové vektory, družicové souřadnice); transformace rovinných a prostorových souřadnic: shodnostní, podobnostní konformní, afinní a polynomické transformace, transformace obecnými průměry posunů identických bodů, výpočet parametrů transformač-ních rovnic MNČ, výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů, přesnost transformace, stupeň (míra) identity.

Kritéria polohové přesnosti (střední souřadnicové chyby, střední souřadnicová chyba, střední polohová chyba, střední křivka chyb, střední elipsa a elipsoid chyb

Rajón, polygonový pořad (vetknutý, jednostranně a oboustranně orientovaný, volný), protínání vpřed, protínání zpět, protínání z délek. Hansenova úloha, měřické body.

Terestrické sítě (úhlové, délkové, výškové a kombinované, Evropský terestric-ký referenční systém ETRS 89. Družicové polohové systémy (GPS, GLO-NASS, GALILEO), geocentrický systém WGS 84, družicové měřické metody, družicové metody určení polohy bodů, diferenční globální polohový systém (DGPS), metoda Real Time Kinematic (RTK), družicové sítě. Spojené druži-cové a terestrické sítě. Technologie budování bodových polí. Software.

Vyhledávání stabilizací geodetických bodů. Dokumentace polohových a výš-kových bodů. Databáze polohových a výškových bodů.

Geodetické základy na území ČR

- 9 (176) -

2 Geodetické základy na území ČR

Geodetické základy se dosud dělí na polohové, výškové a tíhové [1], [5], [7 ], [8] [15], [16], [20], [35], [36], [37], [54]. Polohové základy jsou definovány referenčním elipsoidem, souřadnicovým systémem a jeho počátkem a orientací, polohovými geodetickými základy (PGZ) a u rovinných souřadnicových sys-témů kartografickým zobrazením. Výškové základy se vztahují k ploše geoidu, kvazigeoidu nebo elipsoidu, jsou definovány základní výškovou sítí (nivelační nebo elipsoidickou) a zvoleným výškovým systémem. Tíhové základy jsou určeny zvoleným tíhovým systémem a základním a základním tíhovým bodo-vým pole. V posledních letech se stále více prosazuje snaha o vybudování spo-lečných geodetických základů, které by tvořila síť bodů s přesnými údaj polo-hovými výškovými a tíhovými.

O výškových a tíhových základech pojednává např. Geodézie II [22], Geodézie III [21] a publikace [1], [36], [37]

2.1 Polohová bodová pole v ČR

Polohové bodové pole se dělí podle přílohy k vyhlášce č.31/1995 Sb. na zá-kladní polohové bodové pole (ZPBP) a na podrobné polohové bodové pole (PPBP) [47]. V nařízení vlády Sb. zák. č. 116/1995 jsou závaznými polohový-mi souřadnicovými systémy v ČR rovinný systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK), rovinný systém 1942 (S-42) a trojrozměrné (druži-cové) systémy: světový geodetický referenční WGS 84 a evropský terestrický referenční systém ETRS [47]. Pro všechny běžné geodetické práce se využívá vesměs S-JTSK. Ve WGS 84 jsou měřeny všechny družicové body nových geodetických polohových základů (GPZ) a zhušťovací body (ZhB). Družicové sítě jsou vedeny v ETRS 89 a jsou zpravidla transformovány do S-JTSK. Sys-tém WGS 84 je využíván v armádě ČR a v NATO. Družicový systém WGS 84 slouží kromě vojenských aplikací především k navigaci v letecké, lodní a po-zemní dopravě. Je také využíván v různých mezinárodních projektech. Platnost vojenského systému S-42 a jeho další verze S-42/83 skončila k 1.lednu 2006. K tomuto datu mají vyjít změny v nařízení vlády a v jeho příloze, které upřes-ňují současný stav geodetických referenčních systémů a závazná mapová díla na území státu.

Až do počátku devadesátých let minulého století se do ZPBP (ZBP) řadily bo-dy býv. Československé státní trigonometrické sítě a později České státní tri-gonometrické sítě (ČSTS). Tato síť se převážně shodovala s Jednotnou trigo-nometrickou sítí katastrální (JTSK), budovanou od dvacátých do šedesátých let minulého století [35].

V posledních letech se vedle názvu ZPBP (ZBP) používá také termín polohové geodetické základy (PGZ). PGZ jsou prakticky spojeny s budováním celostátní družicové sítě v ETRS 89. Geodetické základy spravuje v ČR Zeměměřický úřad (ZÚ) v Praze [24], [46]. Polohové geodetické základy tvořilo v roce 2001 10 bodů referenční sítě (NULRAD), 63 bodů Astronomicko-geodetické sítě (AGS) a kolem 28 900 bodů České státní trigonometrické sítě (ČSTS). Kromě toho se do PGZ řadí i 35 bodů geodynamické sítě, označované názvem GE-


- 10 (176) -

DODYN [1], [20]. K starším sítím patří ČSTS a AGS. Družicové sítě NULRAD a GEODYN představují moderní a nejkvalitnější polohové geode-tické základy. Naprostá většina bodů PGZ je totožná s body Jednotné trigono-metrické sítě katastrální I. až V. řádu (JTSK).

Polohové základy se na území ČR budovaly až do osmdesátých let minulého století v rovinných souřadnicových systémech. S nástupem družicových metod na konci minulého století se začaly budovat prostorové polohové základy, které lze definovat třemi nejdůležitějšími faktory: zaměřenou prostorovou sítí polo-hových bodů, zemským elipsoidem a s ním souvisejícím geocentrickým sou-řadnicovým systémem.

Na území ČR bylo postupně budováno několik základních polohových sítí [3], [7], [35 ]. K nejvýznamnějším patří

- katastrální triangulace za býv. Rakouska-Uherska (1821 – 1840), - II. vojenská triangulace za býv. Rakouska-Uherska (1862 – 1898), - Jednotná trigonometrická síť katastrální na území býv. Českosloven-

ska (1920 – 1957), - Astronomicko-geodetická síť na území býv. Československa (1931 –

1954), - družicová síť NULRAD a DOPNUL, - geodynamická síť GEODYN, - družicová síť CZEPOS.

2.1.1 Katastrální triangulace

Území Čech, Moravy a Slezska bylo pokryto částí plošné trigonometrické sítě, sloužící ke katastrálnímu mapování v měřítku 1:2880 a později 1:2500 a 1:2000. Rakousko-Uhersko bylo rozděleno na několik poledníkových pásů, aby nedocházelo k větším skreslením délek a ploch v Cassiniho příčném válcovém zobrazení. Čechy byly zobrazeny v souřadnicové soustavě s počátkem v Gusterbergu a Morava s počátkem ve Svatém Štěpánu ve Vídni (obr. 2.1). Velmi malá část území (Hlučínsko) má počátek v trigonometrickém bodě Pšov. Použitý referenční elipsoid má velkou poloosu a = 6376 045 m a zploštění 1/f = 310. Bližší údaje uvádějí např. [2], [3], [6]. Staré katastrální soustavy jsou významné ještě v současné době, protože je v nich zmapováno asi 70 % katast-rálních map.

2.1.2 Vojenská triangulace

Kvalitní trigonometrická síť I. řádu byla vybudována ve II. vojenské triangu-laci [3]. Síť byla vypočtena na Besselově elipsoidu a umístěna na základním bodě Hermannskogel, kde byly zaměřeny astronomické souřadnice a azimut výchozí strany. Na území ČR byl její rozměr ovlivněn geodetickou základnou u Josefova. Pozdější měření a výpočty prokázaly, že síť byla stočena asi o 7″ až 10″. Chyba v orientaci byla způsobena hlavně tížnicovou odchylkou, která v době budování sítě nebyla známá.

Síť je významná pro vytvoření JTSK.


- 11 (176) -

2.1.3 Jednotná trigonometrická síť katastrální (JTSK)

V letech 1920 – 1927 došlo k vybudování základní trigonometrické sítě I. řádu, nepřipojené k sítím sousedních států. Jejím cílem bylo rychlé vyhotovení geo-detických polohových základů, na které se mohla napojit podle potřeby všech-na další geodetická měření. Z časových důvodů nedošlo k potřebným novým

Obr. 2.1 Souřadnicové soustavy založené za Rakouska-Uherska

Obr. 2.2 Základní trigonometrická síť I. řádu


- 12 (176) -

astronomickým měřením a k zaměření délkových geodetických základen. Do sítě byla převzata starší úhlová měření z II. vojenské triangulace na 42 bodech v Čechách a na 22 bodech na Podkarpatské Rusi. Na ostatních bodech byly měřeny vodorovné úhly Schreiberovou metodou. Síť obsahovala celkem 268 bodů a vytvářela 456 trojúhelníků. Byla označena sítí I. řádu JTSK.

Postup budování JTSK je popsán např. v [15], [20].

Průměrná délka stran trojúhelníkové sítě I. řádu byla kolem 25 km. Do základ-ní sítě byly postupně vkládány sítě II. až V. řádu. Budování JTSK v jednotlivých částech území republiky postupovalo nerovnoměrně v různých časových odstupech až do roku 1957. Přitom průměrná délka stran trojúhelní-kových sítí dosáhla u II. řádu 13 km, u III. řádu 7 km, u IV. řádu 4 km a v podrobné síti V. řádu 1,5 km až 2,5 km. Z uvedených statistických dat je zřejmé, že průměrná vzdálenost sousedních trigonometrických bodů se zmen-šuje se snižováním řádu sítě o jeden stupeň téměř na polovinu. Hustota bodů se tak postupně zvyšuje téměř na čtyřnásobek. Všechny řády sítě tvoří jen triangu-lační sítě bez jakýchkoliv délkových měření, protože v době jejího budování nebyly ještě známy elektronické dálkoměry a metoda měření dlouhých geode-tických základen invarovými dráty byla příliš nákladná a zdlouhavá.

S-JTSK byl zaveden v r. 1927. Kartografickým základem se stalo konformní kuželové zobrazení v obecné poloze a Besselův elipsoid. Ten byl nejprve na-hrazen Gaussovou koulí. Posunem vrcholu velmi plochého kužele nad Finský záliv a zmenšením poloměru náhradní koule o setinu procenta dosáhl autor zobrazení Ing. Křovák nižších hodnot maximálního délkového a plošného

Obr. 2.3 Schéma souřadnicového systému JTSK


- 13 (176) -

skreslení [2], [3]. Délkové skreslení se tak pohybovalo v rozmezí od – 0,10 m do + 0,14 m na jeden kilometr délky. Schéma souřadnicového systému v zobrazovací rovině je na obr. 2.3. Průběh délkového skreslení je znázorněn např. v publikaci [3] Další údaje o Křovákově zobrazení jsou např. ve skriptech [20].

Je třeba mít na zřeteli, že S-JTSK byl vybudován v první polovině 20. století, kdy geodetické základy ve vyspělých zemích tvořily přesné úhlové trojúhelní-kové, tzv. trigonometrické sítě. Rozměr sítí byl odvozován z délek geodetic-kých základen, měřených invarovými dráty. Byly zpravidla dlouhé několik kilometrů a zaměření každé základny trvalo asi dva roky. Výjimku tvořily jen krátké rajóny a polygonové pořady s délkami zpravidla do 200 m.

Pro úhlové sítě bylo vhodné volit konformní zobrazení, zachovávající do znač-né míry měřené úhly a umožňující snadno zhušťovat bodová pole jen úhlovým měřením. První problémy začaly vznikat asi od šedesátých let minulého století se stále rostoucím objemem délkových měření světelnými dálkoměry. Tyto nesnáze se ještě rozšířily při začleňování přesných družicových měření (prosto-rových vektorů) do JTSK. Vlivem místních měřítkových deformací bylo nutné k zachování homogenity bodového pole deformovat přesná dálkoměrná a dru-žicová měření. Proto vznikla snaha zkorigovat stávající S-JTSK na nový málo odlišný S-JTSK/95, který by dostatečně zkorigoval uvedené deformace a umožnil mnohem lépe začleňovat do sítě družicová měření a délky.

První verze S-JTSK/95 byla vypracována na základě systému S-42/83, který v té době obsahoval nejkvalitnější základní polohové bodové pole v býv. Čes-koslovensku. Druhá verze je již založena na GPZ zaměřených v rámci družico-vé sítě DOPNUL doplňované v rámci tzv. výběrové údržby zajišťované Ze-měměřickým úřadem v Praze a na základě zaměřování zhušťovacích bodů KÚ 1 (sídlících v bývalých krajích). Třetí rozpracovaná verze předpokládá zpřes-nění systému, pracovně označovaného S-JTSK/YY na základě nového vyrov-nání 3500 bodů PGZ. Bližší údaje najde čtenář v článku [7].

Geodetické zeměpisné souřadnice φ, λ se ve čtyřech etapách převáděly na pravoúhlé rovinné X,Y [20], [53]. Postup převodu je popsán včetně základních matematických vztahů v [2].

Budování JTSK, která je na území Česka v podstatě totožná s ČSTS, se projek-tovalo na základních triangulačních listech (ZTL) o rozměrech 50 km x 50 km a triangulačních listech (TL) s rozměry 10 km x 10 km [46] (viz stať 7). Sou-stava ZTL vznikla konstrukcí rovnoběžek s osami X,Y rovinné souřadnicové soustavy, vedenými ve vzdálenostech po 50 km. Jeden ZTL má tedy obsah 2500 km2 a v měřítku 1:100 000 rozměr 0,50 m x 0,50 m. ZTL se označovaly římskými číslicemi spojenými ve dvojčíslí tak, aby zároveň poskytovaly in-formaci o pravoúhlých souřadnicích jejich jihozápadního rohu. Např. DC – MCCC udává souřadnice jihozápadního rohu ZTL Y = 600 km, X = 1300 km. Dalším dělením rovnoběžkami s osami X,Y po 10 km vzniklo v každém ZTL 25 triangulačních listů (obr. 7.1). Jejich obsah je 100 km2 a rozměr v měřítku 1:20 000 opět 0,50 m x 0,50 m. K označení TL se používá arab-ských číslic, vyjadřujících souřadnice jejich jihozápadního rohu . Např. 580 – 1280 definuje souřadnice Y = 580 km, X = 1280 km. V ZTL se projektovala poloha bodů vyšších řádů JTSK s vyznačením jejich určení měřenými vodo-rovnými směry. V TL byla vyznačena trojúhelníková síť IV. řádu a trigonome-


- 14 (176) -

trické body V. řádu, tzv. podrobné trigonometrické sítě. Bližší informace o budování sítí II., až V. řádu jsou uvedeny např. v publikacích [53], [16].

JTSK byla prakticky dobudována v 50. letech minulého století. Pak byla perio-dicky revidována, obnovována a doplňována. Dělení na sítě II. až V. řádu tak postupně začalo ztrácet na významu. Proto dnes na území ČR je tato trigono-metrická síť nazývána Českou státní trigonometrickou sítí (ČSTS). JTSK tvoří základní polohové bodové pole i v dalších rovinných a prostorových systé-mech. Po druhé světové válce to byly prozatímní systémy S-1946 (prakticky nepoužívaný) a S-1952 [35]. Později byla také transformována do vojenského systému S-42 a byla znovu vyrovnána v S-42/83 [34].

2.1.4 Astronomicko-geodetická síť

Cílem JTSK bylo vybudování jednotných geodetických polohových základů na území býv. Československa. Vzhledem k rychlosti jejího budování měla síť některé nedostatky, především chybu v orientaci sítě, převzaté z II. Vojenské triangulace Rakouska-Uherska, nižší měřítkovou stabilitu, způsobenou nepří-tomností délek vhodných geodetických základen, nižší přesností převzatých astronomických souřadnic a azimutů a nižší homogenitou základní trigonomet-rické sítě I. řádu [35]. Proto bylo rozhodnuto vybudovat nové kvalitnější geo-detické polohové základy. Vznikla tak v letech 1931 až 1954 Astronomicko-geodetická síť (AGS) [3], [20] (obr. 2.4), sestávající ze 144 bodů, 53 astrono-mických bodů, 6 základen zaměřených invarovými dráty a s gravimetrickým měřením na více než 600 bodech I. a II. řádu JTSK. Průměrná délka stran troj-úhelníkové sítě se zvětšila oproti síti I. řádu JTSK na 36 km. Síť byla částečně spojena s trigonometrickými sítěmi sousedních zemí a za tehdejších politic-kých podmínek se stala součástí Jednotné astronomicko-geodetické sítě (JAGS) bloku tzv. Varšavské smlouvy. AGS tak tvořila na území býv. Česko-slovenska geodetické polohové základy vojenského souřadnicového systému označovaného S-42 [34]. Souřadnicové vyrovnání se uskutečnilo v Moskvě. Bylo pro něj použito Krasovského referenčního elipsoidu. Rovinné souřadnice X,Y jsou uváděny v šestistupňových pásech Gaussova zobrazení. Do tohoto

Obr. 2.4 Astronomicko-geodetická síť


- 15 (176) -

systému bylo převedeno i celé ZPBP (trigonometrické body I. až V. řádu JT-SK). V pozdějších letech byla JAGS modernizována a vznikl novější souřadni-cový mezinárodní systém S-42/83. U národní sítě AGS na území býv. Česko-slovenska došlo především k zaměření nových a k zpřesnění některých jiných měřených veličin. Podrobnější údaje najde čtenář ve skriptech [20] a v publikaci [35].

V současné době je význam této nejpřesnější trigonometrické sítě spíše histo-rický, protože nebyla použita v S-JTSK a jak již bylo uvedeno S-42/83 skonči-la svou úlohu v armádě s rokem 2005.

Kontrolní otázky

Jaký je vývoj geodetických polohových základů na území ČR?

Jaké jsou současné geodetické polohové základy na území ČR?

Jaký byl postup budování JTSK ?

Popište Křovákovo kuželové zobrazení!

Jaké byly vlastnosti a výhody Křovákova zobrazení a JTSK pro katastr a mapování v době jejich vzniku ?

Jaké výhody má přinést připravovaný S-JTSK/95?

Definujte ZTL a TL a jejich účel!

Jaký byl význam AGS a jaké byly její aplikace pro geodetické základy?

Jaký byl vývoj souřadnicových systémů na území ČR od 19. století?

Poznámka Pokud nebudete schopen odpovědět na některou z kontrolních otázek, je třeba abyste si doplnil své znalosti ve skriptech [20] a v publikacích [2], [35], [53].

2.1.5 Základní družicová síť

PGZ procházejí od 90. let minulého století modernizací. Všechny body jsou zaměřovány družicovými metodami a byly připojeny k evropskému referenč-nímu rámci EUREF [35]. Staly se tak součástí evropského geocentrického sys-tému ETRS 89. Nejprve bylo v r. 1991 v mezinárodní měřické kampani EU-REF-CS/H-91 určeno pomocí družicových metod (GPS) 6 bodů na území býv. Československa, z toho 3 body v ČR. Na to navazovalo zaměření dalších 12 bodů, z toho 7 bodů v ČR [7], [35]. Vznikla tak referenční síť, označovaná NULRAD a obsahující v ČR celkem 10 bodů. Stala se v letech 1993 a 1994 základem k zaměření plošné družicové sítě DOPNUL (obr. 2.5), sestávající ze 176 bodů (včetně bodů sítě NULRAD). Z toho bylo dále využito 174 bodů.

Protože průměrná vzdálenost bodů sítě DOPNUL je kolem 21 km, bylo nutné rozšířit družicovou síť o vybrané body ČSTS, vyhovující jak pro družicová měření, tak i pro budování zhušťovacích bodů (ZhB) a ostatních podrobných polohových bodů. Rozšíření sítě DOPNUL začalo v r. 1996 a má skončit v r. 2006 [39]. Celkem má obsahovat tato síť, tvořící nové PGZ a uskutečňovaná


- 16 (176) -

v rámci projektu tzv. výběrové údržby trigonometrických bodů, asi 3 500 bodů s průměrnou vzdáleností sousedních bodů kolem 5 km. Uvedená hustota bodů umožňuje jednoduché připojení prakticky všech zhušťovacích a podrobných polohových bodů. Jedním z důležitých kritérií při výběru trigonometrických bodů do družicové sítě ETRS 89 je jejich dostupnost. Je třeba zdůraznit, že body družicové sítě PGZ v ETRS 89 jsou vesměs shodné s vybranými body ČSTS. Mezi body družicové sítě nemohly být kvůli své poloze zvoleny body AGS. Výjimku tvoří 9 bodů, které jsou součástí sítě NULRAD a 7 bodů sítě DOPNUL [24].

2.1.6 Geodynamická síť GEODYN

Geodynamická síť ČR bodů tvoří první etapu moderních integrovaných geode-tických základů sdružujících prostorovou polohu bodů a charakteristiky tího-vého pole. Tato síť je součástí základního polohového bodového pole. Podle

• stanice geodynamické sítě ■ stanice EUVN

Obr. 2.6 Geodynamická síť ČR (GEODYN)

Obr. 2.5 Družicová síť DOPNUL


- 17 (176) -

projektu byly body sítě zaměřeny třemi metodami: družicovými metodami GPS, nivelací a gravimetricky. Síť je tvořena 32 body (obr. 2.6 [7]) a je propo-jena se středoevropskou geodynamickou sítí GEGRN [7]. Byla změřena ve 4 kampaních v letech 1995 a 1996. Bližší údaje jsou uvedeny např. v článku [7].

2.1.7 Síť permanentních stanic CZEPOS

K snadnému, rychlému a dostatečně přesnému určování polohy ZhB a ostat-ních PPB se v několika evropských státech vybudovali anebo budují sítě per-manentních stanic DGNSS (Differential Global Navigation Satellite System) např. německý SAPOS, rakouský AGREF, francouzský RGP anebo slovenský SKPOS. V Česku byl zpracován a realizuje se ve spolupráci VÚGTK a ZÚ v Praze projekt permanentní sítě DGPS (Differential Global Position Satellite Systém). Síť DGNSS byla nazvána CZEPOS (Czech Positioning Systém) a obsahuje 26 bodů (z toho 22 základních a 4 body záložní), které jsou anebo budou současně body PGZ. Síť je uvedena na obr. 2.7 [9], [54].

Projekt CZEPOS předpokládá vybudování 22 (26) stanic DGNSS, vzdálených od sebe kolem 60 km, což zajistí, aby vzdálenost k nejbližší permanentní stani-ci při určování polohy zhušťovacích a podrobných bodů nepřesáhla 40 km. Celkem 22 stanic má být umístěno na střechách budov Katastrálních pracovišť. Externí součástí sítě jsou i stávající dvě permanentní stanice GOPE (Pecný), TUBO (VUT v Brně), ZU v Plzni a TU v Ostravě. Bližší údaje jsou uvedeny např. v [7], [54].

V současné době je CZEPOS dokončována a probíhají testovací měření.

2.1.8 Body ČSTS a PGZ

Stabilizace bodů ČSTS a družicových PGZ jsou až na výjimky shodné. Poloha trigonometrických bodů budovaných původně v sítích I. až V. řádu (JTSK)

• stanice základní sítě о stanice vnější (externí) Obr. 2.7 Síť permanentních stanic CZEPOS


- 18 (176) -

byla vybírána (projektována) tak, aby jejich stabilizace nebyly ohroženy, umožňovaly pokud možno jednoduchou signalizaci a byly využitelné k připojení různých druhů polohových sítí podrobného polohového bodového pole zaměřovaných úhlově. Na území býv. Československé republiky byly většinou trigonometrické body zřizovány na kopcích a vyvýšených místech, zejména pokud se týká bodů I. až IV. řádu, protože vzdálenost sousedních bo-dů IV. řádu se pohybovala kolem 4 km. Jen v rovinatých oblastech (nížinách) nemohla být tato zásada zcela dodržována. Byly zde podle potřeby vybírány body s trvalou signalizací, jakou je obvykle věž kostelů, zámků apod., s podmínkou, že je možné měřit osnovy vnitřních směrů. Pro body V. řádu, jejichž určení bylo dovoleno i bez měření osnov vnitřních směrů, byly často voleny věže kostelů a zámků, protože byly v blízkém okolí dobře viditelné, nevyžadovaly stabilizace ani signalizace a umožňovaly kvalitní určování bodů podrobného polohového pole [16], [53]

Trigonometrické body jsou zpravidla stabilizovány [45] povrchovou značkou a dvěma podzemními značkami, povrchovou značkou a jednou podzemní znač-kou, povrchovou značkou nebo čepovou nivelační značkou s křížkem (s otvo-rem) zabetonovanými ve skále se dvěma zajišťovacími body (nebo se čtyřmi zabetonovanými nivelačními značkami), kovovým čepem s křížkem osazeným do ploché střechy stavby (střešní stabilizace) se dvěma zajišťovacími body nebo dvěma konzolovými značkami zapuštěnými do svislé plochy staveb (boč-ní stabilizace). Trigonometrický bod s trvalou signalizací je vždy doprovázen dvěma zajišťovacími body, zvolenými tak, aby mezi nimi byla realizovatelná vzájemná záměra [46]. Schémata těchto stabilizací jsou uvedena ve skriptech [20].

Kontrolní otázky

Jak vznikala základní družicová síť na území ČR?

Jaký je rozdíl mezi prostorovými souřadnicovými systémy WGS 84 a ETRS 89?

Proč není stabilizace bodů sítě DOPNUL shodná s body JTSK?

K čemu slouží síť GEODYN a jaký je její účel?

Jaký význam má síť permanentních stanic CZEPOS pro geodetické práce?

Jaký je rozdíl mezi pojmy ČSTS a PGZ?

Jaké jsou hlavní druhy stabilizací bodů ČSTS a DOPNUL?

Poznámka Nebudete-li si jisti s odpovědí na některé otázky, je třeba si znovu projí látku ve skriptech [20].

2.1.9 Podrobné polohové bodové pole (PPPB)

Podrobné polohové bodové pole se podle přílohy k vyhlášce č.31/1995 Sb. dělí na zhušťovací body a ostatní body [39], [46]. Předtím se body PPBP dělily na několik tříd přesnosti, s nejvyšší relativní přesností charakterizovanou střední


- 19 (176) -

chybou 0,02 m. Zhušťovací body nebyly systematicky udržovány, takže do-cházelo k jejich ztrátám a zničení. Proto byl v r. 1995 schválen projekt zhuštění bodového pole, spojený s revizí dosavadních bodů a systematickým budováním nových bodů. Zhušťovací body jsou dnes převážně určovány technologiemi GPS. Mohou být také připojovány terestrickými metodami na vybrané body trigonometrické body a body sítě DOPNUL. Do zhušťovacího bodového pole jsou zařazovány i objekty vhodné k orientaci, např. věže kostelů apod. Vybu-dování zhušťovacího bodového pole v ČR bylo dokončeno v r. 2004. Měřické práce vykonávalo sedm Katastrálních úřadů (KÚ I) v býv. krajích. Celkový počet zhušťovacích bodů v ČR je odhadován kolem 35 000 [7], [39]. Hustota bodového pole byla stanovena na jeden bod na 1 km2 v extravilánu a na dva body na 1 km2 v intravilánu. V rozsáhlejších lesních komplexech a na místech s nevhodným příjmem signálů nelze přímo zaměřovat body družicovými tech-nologiemi. Proto se tu zpravidla zhušťovací body zaměřují terestrickými meto-dami až v případě navazujících geodetických prací.Všechny družicově určené body jsou vedeny v geocentrických souřadnicích (X, Y, Z) a v rovinných sou-řadnicích S-JTSK. Po skončení všech měřických prací se uvažuje, že síť zhuš-ťovacích bodů bude v jednotlivých regionech znovu vyrovnána v rámci rozší-řené družicové sítě DOPNUL [7], [39]. V připravovaném novém zeměměřic-kém zákoně dochází k oddělení zhušťovacích bodů od ostatních bodů. Poloho-vá bodová pole se tak prakticky dělí na tři druhy: polohové geodetické základy (PGZ), zhušťovací polohové body (ZhB) a podrobné polohové bodové pole (PPBP).

Charakteristikou přesnosti polohového určení bodů je v současné době relativní střední souřadnicová chyba mXY = 0,02 m pro zhušťovací body a mXY = 0,06 m pro ostatní body. Mezní odchylka nesmí překročit dvaapůlnásobek uvede-ných chyb. Kromě střední souřadnicové chyby odvozené z vyrovnání MNČ je možno polohovou přesnost odhadnout ze souřadnicových odchylek, získaných přibližnými metodami vyrovnání (výpočtu) souřadnic bodů.

Správou a údržbou zhušťovacích bodů jsou pověřovány Katastrální úřady. U ostatních podrobných polohových bodů jsou KÚ pověřeny jen jejich správou.

2.1.10 Volba zhušťovacích bodů a jejich stabilizace

Výběr polohy bodů a druhy jejich stabilizací jsou uvedeny ve vyhlášce č.190/1996 Sb. [48]. Poloha bodů se vybírá tak, aby jejich stabilizace nebyla ohrožena, bod bylo možné snadno signalizovat a aby byl dobře použitelný k dalším měřickým pracím.

K volbě zhušťovacích bodů jsou vhodné zejména trvalé objekty, rovné střechy domů, nivelační kameny a hřebové značky zasazené seshora a trvale signalizo-vané body. Nevhodné jsou tovární komíny a stožáry různého účelu. Jako ostat-ní podrobné polohové body se hodí různé objekty trvalého rázu a místa, která nepřekážejí využívání pozemků. Často se volí v blízkosti dopravních komuni-kací.

Zhušťovací body se stabilizuji dvěma značkami, jednou povrchovou a druhou podzemní. Povrchovou značku tvoří zpravidla kamenný hranol o výšce 0,70 m s opracovanou hlavou o rozměrech 0,16 m x 0,16 m x 0,10 m. Na horní čtver-cové ploše hranolu je vytesán křížek. Podzemní značka je kamenná deska s minimálními rozměry 0,20 m x 0,20 m x 0,07 m. Má také uprostřed vytesán


- 20 (176) -

křížek. Obě značky musí být umístěny ve vzdálenosti alespoň 0,20 m tak, aby středy křížků ležely na svislici s mezní odchylkou do 5 mm. Pokud nelze pou-žít podzemní značky, zřizuje se jeden zajišťovací bod, stabilizovaný buď stej-ným kamenným kvádrem jako u zhušťovacích bodů nebo jiným způsobem, vhodným ke kvalitní stabilizaci, např. kovovou značkou osazenou v objektu. Pokud hrozí poškození bodu, zřizuje se ochranné a signalizační zařízení, kte-rým je zpravidla červenobílá tyč (trubka) opatřená tabulkou s nápisem „GEO-DETICKÝ BOD – POŠKOZENÍ SE TRESTÁ“. Ochranná tyč se umisťuje ve vzdálenosti 0,75 m od stabilizační značky. K trvale signalizovaným bodům se umisťují dva zajišťovací body, stabilizované v maximální vzdálenosti 500 m od zhušťovacího bodu tak, aby mezi nimi byla možná přímá záměra. Schéma-tické nákresy základních značek jsou uvedeny např. ve skriptech [20].

Ostatní body podrobného polohového bodového pole se obvykle zřizují na ob-jektech se stabilizační značkou (např. na nivelačních kamenech, tíhových stabi-lizacích, hraničních kamenech mezi obcemi, na mostcích nebo propustcích s nivelační hřebovou značkou), na šachtách různých podzemních vedení (mimo zastavěné části obcí) a na různých technických objektech, poskytujících trvalou signalizaci (rohy budov apod.). Pokud se nenajdou vhodné objekty, stabilizují se ostatní body také kamennými kvádry jako zhušťovací body. Je možné použít i jiné kameny, pevně osazené k jinému účelu, pokud mají minimální rozměry 0,12 m x 0,12 m x 0,60 m, a doplnit je křížkem nebo důlkem. Lze také použít vysekaného křížku do opracované rovinné plošky skály, kovových konzol, čepových značek na budovách, čepů a ocelových trubek v betonových blocích (s minimálními rozměry trubky 30 mm v průměru, o tloušťce stěny 3 mm a délce 0,60 m nebo trubky dlouhé 0,50 m s plastovou hlavou o minimálních rozměrech 80 mm x 80 mm x 50 mm) a kovových značek (o délce 0,1 m s minimálním průměrem 8 mm a s plochou hlavou o průměru 25 mm, pokud jsou zatlučeny do zpevněného povrchu, nebo o délce 0,04 m a s hmoždinkou, pokud jsou zapuštěny do pevných konstrukcí.

Ze stabilizačních značek bodů podrobného polohového pole musí být zajištěna orientace na sousední body stejné nebo vyšší přesnosti. V zastavěném území se průměrná vzdálenost sousedních bodů zkracuje na 700 m a někdy klesá i na 300 m nebo až 150 m.

Další podrobnosti jsou uvedeny v příslušných předpisech a vyhláškách, např. [6], [46], [48].

Kontrolní otázky

Na jaké druhy bodů se dělí PPBP?

Jaké jsou stabilizace zhušťovacích bodů a ostatních bodů PPBP?

Čím se řídí volba polohy zhušťovacích bodů?

Jaká je hustota zhušťovacích bodů?

Jakými metodami se zaměřuje poloha zhušťovacích bodů?


- 21 (176) -

Poznámka Budete-li mít nesnáze s odpovědí na některou otázku, vraťte se ke studiu této problematiky ve skriptech [20].

Vybrané základní matematické operace

- 23 (176) -

3 Vybrané základní matematické operace

K porozumění geodetické výpočtů v rovinných nebo prostorových souřadni-cových systémech je potřebná znalost základních matematických vztahů a ope-rací, zejména analytické geometrie, vyrovnávacího počtu, vektorového a mati-cového počtu a teorie chyb a matematické statistiky. Jednoduché základní vzorce a rovnice, které se často používají k řešení různých geodetických vý-počtů a souřadnic bodů jsou uvedeny v publikaci [54]. Týkají se základních vzorců rovinné a sférické trigonometrie.

3.1 Výpočet směrníku (jižníku) a délky ze souřadnic

Směrník σAB je orientovaný úhel, který svírá spojnice AB (směr, délka) s kladným směrem osy X (obr. 3.1). Rovnoběžka s kladným směrem osy X tvoří vždy levé rameno úhlu. Směrník nabývá jen kladných hodnot od 0 gon do 400 gon (0g až 400g, 0o až 360o, 0 až 2π) a to ve směru pohybu hodino-vých ručiček. Délkou sAB se označuje vzdálenost obou bodů A, B v zobrazovací rovině.

Výpočet směrníku σAB a délky sAB v zobrazovací rovině je běžnou úlohou geodetických výpočtů [15], [30].). K řešení úlohy je třeba znát rovinné souřad-nice XA, YA; XB, YB dvou bodů A, B.

a) b)

Obr. 3.1 Směrník a délka spojnice dvou bodů A, B v rovině

Směrník je obecný pojem ve všech souřadnicových pravoúhlých rovinných systémech. V S- JTSK je nazýván j i ž n í k e m , protože rovnoběžky s kladnou částí osy X směřují přibližně k jihu. Směrník se vypočte ze vztahu (obr. 3.1 a)

AB

ABAB XX

YY−−

= arctgσ nebo AB

AB

AB

ABAB s

XXs

YY −≡

−= arccosarcsinσ . (3.1)

Směrníky se dělí do čtyř kvadrantů. Podrobnosti jsou uvedeny ve skriptech [20].


- 24 (176) -

Délka sAB je dána Pythagorovou větou

( ) ( )22ABABAB YYXXs −+−= . (3.2)

Přesnost výpočtu směrníku a délky je závislá na přesnosti souřadnicových roz-dílů [15] skutečných chyb (3.2)

( ) ( ).cossinYBYA

AB

ABXBXA

AB

AB

ssABεε

σρεε

σρεσ −−−=

Za předpokladu, že skutečné souřadnicové chyby vznikají jen ze zaokrouhlení a dosahují maximálně absolutní hodnoty |5| mm, bude absolutní velikost chy-

by směrníku charakterizovat vztah ABsAB

014.00 ρεσ ≤≤ , kde sAB musí být do-

sazeno v metrech.

Protože skutečné chyby nejsou známé, je třeba k odhadu přesnosti použít středních souřadnicových chyb mXA, mYA, mXB, mYB . Výsledná střední chyba mσΑΒ se získá součtem kvadrátů jednotlivých členů rovnice [15], [20]

.

coscos

sinsin

22

222

2

22

22

222

2

222

YBAB

ABYA

AB

AB

XBAB

ABXA

AB

ABAB

ms

ms

ms

ms

m

σρ

σρ

σρ

σρσ

++

++=

Střední souřadnicové chyby mají zpravidla stejnou velikost mXY ≈ mXA ≈ mXB ≈ mYA ≈ mYB , takže po úpravě bude

.2XY

AB

ms

mAB

ρσ = (3.3)

Z výrazu vyplývá, že velikost chyby směrníku je nepřímo úměrná délce sAB . Čím větší je délka sAB , tím menší je vliv zaokrouhlení souřadnic na chybu ve vypočteném směrníku σAB. Přehled o velikosti střední chyby mσBA v závislosti na délce sAB poskytuje tabulka 2.3 ve skriptech [20], sestavená pro střední chybu mXY ≈ 3 mm.

V praxi bývají střední souřadnicové chyby vyrovnaných nebo jinak vypočte-ných bodů zpravidla větší než chyby ze zaokrouhlování jejich souřadnic. Platí to i pro body ČSTS v S-JTSK.

Skutečná chyba εsAB vypočtené délky sAB se odvodí z rovnice (3.2)

εsAB = cos σAB εXB – cos σAB εXA + sin σAB εYB - sin σAB εYA .

Nepřekračují-li chyby ze zaokrouhlení souřadnic absolutní hodnotu |5| mm, nabývá skutečná chyba εsAB hodnot v mezích 0 ≤ │εsAB│≤ 14 mm.

Odpovídající střední chyba msAB vypočtené délky je dána rovnicí

.sinsincoscos 222222222BABAABBABAABAB YYXXs mmmmm σσσσ +++=


- 25 (176) -

Stejně jako u střední chyby směrníku je možno považovat střední souřadnicové chyby přibližně za stejně veliké a označit je střední souřadnicovou chybou mXY. Pak platí

.2 XYs mmAB= (3.4)

Z rovnice je patrné, že střední chyba msAB ve vypočtené délce sAB je praktic-ky konstantní. Platí to jak pro chyby ze zaokrouhlení, tak i pro střední souřad-nicové chyby charakterizující přesnost polohy bodů z vyrovnání nebo jiných geodetických výpočtů. Např. pro střední souřadnicovou chybu mXY = 3 mm je odpovídající odhad střední chyby msAB v délce sAB 4,3 m. Pro střední sou-řadnicovou chybu mXY = 15 mm je msAB = 21 mm.

3.2 Metoda nejmenších čtverců (MNČ)

Metoda nejmenších čtverců je základní matematickou metodou používanou v geodézii jak k výpočtu aritmetických průměrů měřických souborů tak zejmé-na k vyrovnání všech druhů geodetických sítí. V geodetických pracích je třeba používat dostatečných (pronikavých) kontrol, které zajišťují a ověřují spolehli-vost výsledků měření. Při budování bodových polí jde zpravidla o vhodně vo-lené nadbytečné veličiny. Protože měřené veličiny jsou vždy zatíženy malými chybami, nevyhovují v malé míře přesně matematickým (geometrickým, fyzi-kálním a jiným) vztahům, které mezi nimi musí platit. Proto dochází k jejich vyrovnání. Jeho cílem je připojit k výsledným měřeným veličinám /

iL takové opravy vi, aby všechny vyrovnané veličiny Li přesně splňovaly uvedené podmínky. K vyrovnání měřených veličin lze použít různých matematických metod. MNČ. Je známá téměř dvě století. Jde o zkrácený název metody nej-menších čtverců oprav vi měřených veličin /

iL [4], [16]. Matematická formu-lace MNČ je

Σpi vi2 ≡ vTP v = min., (3.5)

kde v =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nv

vv

M2

1

, P =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

np

pp

L

MMMM

L

L

00....

0000

2

1

, pi = 2im

k , k = konst.

pro i = 1,2, …. n.

Symbolem 2im se značí střední chyba metody měření, která bývá nahrazová-

na odhadem střední empirické chyby 2im , pi váha měřených veličin Li a in-

dex n vyjadřuje počet měřených veličin Li′.

MNČ je kvalitním matematickým zpracováním měřených a jiných veličin. Mimo jiné poskytuje jednoznačné určení oprav. Přitom podmínka minima čtverců oprav značně omezuje a zabraňuje výskytu velkých absolutních oprav, pokud ovšem nejsou měření zatížena hrubými a systematickými chybami. K výpočtu lze použít dvojího postupu, buď zprostředkujícího anebo podmín-kového (korelátového) vyrovnání. Obě metody dávají totožné výsledky.


- 26 (176) -

K určení souřadnic bodů na počítačích se zpravidla používá zprostředkujícího vyrovnání. Podrobné odvození je např. v publikacích [4], [16], 20]. Odvození vychází ze základních rovnic

( )tii XXXfL ....,, 21= pro i = 1,2, …. n, (3.6)

kde iL jsou skutečné hodnoty měřených anebo jiných veličin, jX funkce z nich odvozené (v souřadnicových výpočtech zpravidla souřadnice určova-ných bodů) pro j = 1,2, …. t .

Výsledky měření jsou blízké jejich správným hodnotám iL , ale obecně se s nimi neshodují. Vyrovnané hodnoty Li, které se také v malé míře liší od sku-tečných hodnot iL se získají připojením oprav vi k měřeným veličinám /

iL

Li = ii vL +/ .

Pomocí Taylorovy řady a zanedbáním členů druhých a vyšších řádů lze rovnici napsat ve tvaru

Li = fi ( tooo XXX ....,, 21 ) tt

iii XXL

XXL

XXL

δδδ∂∂

++∂∂

+∂∂

+ ....22

11

,

kde joX pro j = 1, 2, …. t jsou přibližné hodnoty vyrovnaných neznámých funkcí a δXj jejich souřadnicové přírůstky. Pro vyrovnávané funkce Xj platí vztah

Xj = joX + δXj .

Pak rovnice oprav vi mají obecný tvar

vi = ai δX1 + bi δX2 + …. + zi δXt + ℓi ≡ kiT δx + ℓi , (3.7)

kde ki = [ai, bi, …. zi] T, δx = [δX1, δX2, …. δXt] T,

a t

ii

ii

ii X

Lk

XL

bXL

a∂∂

=∂∂

=∂∂

= ...,,,21

, ℓi = fi (Xo1, Xo2, … Xot) - /iL ≡ Loi - /

iL

Obecně lze rovnice oprav vyjádřit vektorem

v = A δx + ℓ , (3.8)

v = ,2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nv

vv

M A = ,222

111

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnn zba

zbazba

L

MMMM

L

L

δx = ,2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tX

XX

δ

δδ

M ℓ = .2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tl

M

l

l

Počet rovnic oprav je totožný s počtem měřených veličin n a počet nezná-mých t s počtem vyrovnaných veličin.

K výpočtu extrémní hodnoty původní funkce (3.6) je třeba ji derivovat podle vektoru neznámých δx a položit rovnu nule. Po úpravě se odvodí normál-ní rovnice

N δx + n = o , (3.9) kde N = AT P A a n = AT P ℓ


- 27 (176) -

Řešením normálních rovnic bude

δx = - N -1 n . (3.10)

Vektor neznámých vyrovnávaných funkcí je dán výrazem

x = x| + δx , (3.11) kde xT = [X1, X2, …. Xt] , x|T = [ /

t// X....,X,X 21 ] .

Z rovnic oprav vi se vypočte střední jednotková chyba (pro váhu po = 1)

ν−Σ

=n

vpmO

2

,

kde ν značí počet nutně měřených veličin a jmenovatel n - ν ≡ r počet nadbytečně měřených veličin.

Odhad vektoru středních chyb mX vyrovnaných neznámých Qx je dán diago-nálou kovarianční matice

Mx = mO2 Qx , (3.12)

kde matice váhových koeficientů Qx se rovná inverzní matici N -1 koeficien-tů normálních rovnic (3.9)

Qx ≡ N -1 =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tttt

t

t

QQQ

QQQQQQ

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

.

Vektor kvadrátů středních chyb mX vyjadřuje vztah

mX =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tt

O

Q

QQ

mM22

11

2 ≡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

22

21

tX

X

X

m

mm

M. (3.13)

MNČ se v současné době používá zejména k vyrovnání sítí PGZ a souřadnic zhušťovacích bodů prostorových souřadnicích a k souřadnicovému vyrovnání polohových sítí v zobrazovací rovině. U ZhB a PPBP se obvykle vyrovnávají malé plošné sítě nebo jeden, popřípadě několik bodů. Důvodem není ani tak snaha o dosažení zvýšené polohové přesnosti určovaných bodů, ale především požadavek zachování potřebné homogenity bodového pole. K výpočtu zpravi-dla slouží jednoduchý univerzální program na samočinných počítačích, který využívá všech nadbytečných nebo kontrolně měřených veličin.

Metody nejmenších čtverců se mimo jiné také používá výpočtu parametrů transformačních rovnic (statě 3.5.8 a 3.6.2.7).

Kontrolní otázky

Co je směrník a jak se liší od různých druhů azimutů?

Jak se počítají směrník (jižník) a délky ze souřadnic?


- 28 (176) -

Jaký je princip metody nejmenších čtverců (MNČ) a jaký je její účel v geodetických výpočtech?

Jaké jsou základní vektorové a maticové vztahy pro vyrovnání zprostředku-jících veličin?

Jak se odhaduje přesnost vyrovnaných neznámých a jejich funkcí?

Poznámka Budete-li mít nesnáze v odpovědích na některé otázky, nepokračujte v dalším studiu látky a vraťte k opakování uvedené problematiky. Bez porozumění zá-kladních matematických vztahů při výpočtu směrníku a MNČ nemůžete poro-zumět dalšímu textu.

3.3 Transformace rovinných souřadnic

Transformace souřadnic slouží k převodu polohových bodů z jednoho souřad-nicového systému x,y do druhého X,Y. Někdy bývá k předběžnému určení polohy bodů používán místní souřadnicový systém ξ,η , z kterého je pak třeba body převést do stávajícího souřadnicového systému X,Y. Obecně je možno psát transformační rovnice ve tvaru

X = f (x, y; ao, a1, a2, ….) , Y =g(x, y; bo, b1, b2, ….) , (3.14)

kde X, Y jsou výsledné souřadnice (např. v celostátním souřadnicovém systé-mu JTSK) souřadnice x, y ve starém nebo pomocném systému a ao, a1, a2, …., bo, b1, b2, …. vypočtené parametry (konstanty).

Při transformaci je důležité dodržet některé zásady:

- identické body, jejichž souřadnice jsou známy v obou souřadnico-vých soustavách, mají být dostatečně spolehlivé a kvalitní,

- všechny ostatní transformované body mají ležet uvnitř mnohoúhel-níku, spojujícího okrajové identické body,

- každému bodu v jedné souřadnicové soustavě má korespondovat jen jediný bod druhé soustavy,

- při transformaci každého bodu se má uplatňovat převážně vliv nej-bližších identických bodů.

K hlavním druhům transformačních metod patří [16]:

- shodnostní transformace, - podobnostní transformace, - konformní transformace, - afinní transformace, - projektivní transformace, - transformace s celistvou racionální funkcí (polynomická), - obecný průměr posunů identických bodů.


- 29 (176) -

3.3.1 Shodnostní transformace

Je charakterizována rovnicemi (obr. 3.2 a) [3], [16], [20]

X = Xo + x cos ω – y sin ω ≡ Xo + a x – b y (3.15)

Y = Yo + x sin ω + y cos ω ≡ Yo + b x+ a y ,

Rovnice se často uvádějí ve tvaru

u = uo + R t , kde u = ,⎥⎦⎤

⎢⎣⎡YX uo = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

O

OYX , (3.16)

R = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≡⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −abba

ωωωω

cossinsincos

, t = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx ,

Xo, Yo jsou souřadnice počátku Oxy systému x, y v systému X, Y , ω úhel pootočení souřadnicových os x, y vzhledem k systému X, Y . Vektor uo vy-jadřuje translaci souřadnicového systému x, y a matice R jeho rotaci. K určení tří parametrů transformačního klíče (Xo, Yo, ω) je třeba znát alespoň tři souřadnice dvou identických bodů. Transformované í obrazce mají v obou systémech stejný tvar a velikost.

V některých učebnicích a skriptech jsou transformační rovnice odvozovány pomocí vektorů. Odpovídající odvození najde čtenář ve skriptech [20].

Obr. 3.2 Shodnostní a podob-nostní transformace

Obr. 3.3 Afinní transformace

3.3.2 Podobnostní transformace

Liší se od shodnostní jen zavedením měřítka µ = S.s-1, kde S je délka v systému X, Y a odpovídajicí délka s v systému x, y. Rovnice mají tvar [16], [30]

X = Xo + µ x cos ω – µ y sin ω ≡ Xo + a x – b y, (3.17)

Y = Yo + µ x sin ω + µ y cos ω ≡Yo + b x + a y .


- 30 (176) -

Jejich maticová úprava je

u = uo + µ R t nebo u =uo + Rµ t , (3.18)

kde Rµ = µ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ωωωω

cossinsincos

≡ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −abba

.

Transformované obrazce zachovávají v obou systémech jen tvar, ale mají obecně různou velikost. K určení čtyř parametrů Xo, Yo, µ, ω je třeba znát alespoň všechny čtyři souřadnice dvou identických bodů.

Pokud se transformační rovnice odvozují v jednoduchých geodetických vý-počtech jen ze dvou identických bodů M, N (stať 5.1), mohou se parametry a,b transformačních rovnic vypočítat přímo ze souřadnicových rozdílů ∆xMN = xN - yM, ∆yMN = yN - yM. Pak parametry a, b v rovnicích (3.18) jsou dány vy-tahy

.,2222MNMN

MNMNMNMN

MNMN

MNMNMNMN

yxXyYx

byx

YyXxa

∆+∆

∆∆−∆∆=

∆+∆

∆∆+∆∆= (3.19)

Odvození je uvedeno ve skriptech [20].

Ze známých parametrů A,B lze snadno vypočítat měřítko µ a úhel ω, který svírají osy X,x nebo Y, y

µ2 = a2 + b2 , ω = arctg .ab

(3.20)

V běžné geodetické praxi se vyskytují formální úpravy podobnostní transfor-mace, jejichž účelem je podstatně zkrátit počet cifer transformovaných souřad-nic. Často se používají redukované souřadnice Xr,Yr, xr,yr na těžiště T iden-tických bodů v obou souřadnicových soustavách

,,,, TiirTiirriirTiir yyyxxxYYYXXX −=−===−=

kde XT, YT, xT, yT jsou souřadnice těžiště. Pak transformační rovnice (3.17) nabývají tvaru

X = XT + µ xr cos ω – µ yr sin ω ≡ XT + a xr – b yr, (3.21)

Y = YT + µ xr sin ω + µ yr cos ω ≡ YT + b xr + a yr .

Jiná úprava spočívá v redukci souřadnic na posunuté počátky obou souřadnico-vých soustav do blízkosti transformovaného polohového bodového pole. Prak-ticky se redukce dosahuje odečtením konstant, sestávajících z prvních kon-stantních cifer souřadnic. Po transformaci se konstanty opět připočítávají k transformovaným souřadnicím [16].

3.3.3 Konformní transformace

Transformační rovnice jsou odvozeny pomocí komplexních čísel [3], [16]. Výsledkem jsou vztahy

X =a +b x –d y +e(X2 –Y2)– 2f(X Y)+g X (X2 –3Y2) +h Y (Y2 –3X2) + … (3.22)

Y =b +d x+ c y +f(X2 –Y2)+2e(X Y) +h X (X2 –3Y2) +g Y (Y2 –3X2) + …


- 31 (176) -

U konformní transformace se zachovává tvar elementárních (diferenciálních) obrazců. Porovnáním s předcházejícími rovnicemi (3.18) je možno konstatovat, že při zanedbání nelineárních členů se transformační vztahy zjednoduší na po-dobnostní transformaci. Když se omezí rovnice na lineární a kvadratické členy, získají se rovnice tzv. konformní kvadratické transformace se šesti neznámými parametry (a,b,c,d,e,f) a při vynechání členů čtvrtého a vyšších řádů vzniknou rovnice kubické konformní transformace s osmi ne-známými parametry (a,b,c,d,e,f,g,h).

Všechny typy konformních transformací zachovávají jen tvar diferenciálních obrazců.

3.3.4 Afinní transformace

Je dána obecně rovnicemi [3], [16]

X = Xo + µx x cos ωx – µy y sin ωy ≡ Xo + a x – b y , (3.23)

Y = Yo + µx x sin ωx + µy y cos ωy ≡ Yo + c x + d y ,

kde µx , µy jsou rozdílná měřítka v osách x, y , ωx, ωy úhlová stočení os x, y vzhledem k osám X, Y (obr. 3.3) a a = µx cos ωx, b = µy sin ωy, c = µx sin ωx, d = µy cos ωy .

Maticová úprava rovnic má tvar

u = uo + Rω Mµ t , (3.24)

kde Rω = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

YX

YX

ωωωω

cossinsincos

, Mµ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

y

x

µµ0

0, RωMµ = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −dcba

.

K určení šesti parametrů transformačního klíče Xo,Yo, µx, µy, ωx, ωy je třeba znát alespoň šest souřadnic tří identických bodů. Afinita je zvláštním případem kolineace, kdy jeden z bodů promítání se posune do nekonečna.

Ke zjednodušení afinní transformace dochází volbou stejného úhlu stočení ω os x, y , takže platí ωx ≡ ωy = ω . Transformace se nazývá ortogonální afinní transformací [3] a je dána vztahem (3.16), (3.24)

u = uo + R Mµ t (3.35)

(X = Xo + µx x cos ω – µy y sin ω , Y = Yo + µx x sin ω + µy y cos ω ) .

Počet určovaných parametrů transformačního klíče se snížil na pět Xo,Yo,µx, µy, ω.

3.3.5 Projektivní transformace

Projektivní (kolineární) transformaci vyjadřují obecně rovnice [3], [16]

1

111

++++

=ybxa

cybxaX , 1

222

++++

=ybxa

cxbxaY . (3.26)

Všechny přímky v jednom systému se převádějí opět jako přímky do druhého systému a zachovává se na nich dvojpoměr bodových čtveřic.


- 32 (176) -

3.3.6 Polynomické transformace

Představuje obecné matematické pojetí transformačních rovnic pomocí růz-ných typů řad. Známé jsou např. mocninové řady [16]

X = ao + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y2 + … (3.27)

Y = bo + b1 x + b2 y + b3 x2 + b4 xy + b5 y2 + …

Teoreticky lze rozšířit transformační klíč na libovolný počet členů. V běžné praxi se zpravidla transformace omezuje jen na členy druhého nebo třetího řádu.

3.3.7 Obecný průměr posunů identických bodů

Transformační rovnice mají formu obecných aritmetických průměrů posunů identických bodů (obr. 3.4) [16], [35]

X = x + ∑∑ ∆−u

ij

u

j xpp11

1)( , Y = y + ∑∑ ∆−u

ij

u

j ypp1

1

1)( , (3.28)

kde ∆xi ≡Xi – xi , ∆yi ≡Yi - yi jsou rozdíly souřadnic identických bodů, u je-jich celkový počet (použitých k transformaci) a pj váhy dané výrazem

( ) ( )22,.ijijjk

jj YYXXs

skonstp −+−== .

a) b)

Obr. 3.4 Obecný aritmetický průměr

V rovnici značí sj délku mezi transformovaným bodem Pj a identickým bodem Tj. Exponent k se zpravidla volí 1 nebo 2. Jung prokázal, že vý-hodnější je volba k = 2, při které se jednak do značné míry zachová konform-nost transformace, jednak se výrazněji na výsledky převodu projeví vliv nej-bližších identických bodů [3], [16]. Proto bývá tato transformace nazývána Jungovou. Používala se od 30. let minulého století zejména v Německu


- 33 (176) -

k transformaci malých sítí zhušťovacích a podrobných bodů. V ČR byla použi-ta k transformaci bodů V. řádu JTSK do S 42/83 koncem osmdesátých let.

Analýza transformační metody prokázala, že je třeba při výpočtu dodržovat další zásady, kromě těch, které jsou uvedeny v úvodu statě 2.5:

- transformovat lze jen za podmínky, že odpovídající souřadnicové osy obou systémů jsou rovnoběžné (x || X, y || Y),

- pokud se volí ve vahách exponent k = 1, počítají se souřadnice transformovaných bodů jen z nejbližších okolních bodů; pro k = 2 je vhodné používat i druhou řadu identických bodů přibližně ve dvojnásobné vzdálenosti,

- je třeba analyzovat rozptyl polohových odchylek identických bodů ∆si ( ≡ ∆xi

2+∆yi2)0,5 nebo souřadnicových rozdílů ∆xi, ∆yi;

- nespolehlivé identické body je třeba z výpočtu vyloučit, - značnou pozornost je třeba věnovat volbě vah pj, respektive expo-

nentu k ve jmenovateli.

3.3.8 Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou nejmenších čtverců

Parametry transformačního klíče se až na výjimky odvozují z nadbytečného počtu identických bodů. Takovými výjimkami mohou být např. jednotlivé po-lygonové pořady, některé jednoduché metody protínání a výpočty souřadnic měřických bodů. Ve všech ostatních případech, zejména při doplňování bodů PGZ a určování zhušťovacích bodů, má být vždy počet identických bodů nad-bytečný. Proto je dále uvedena jen aplikace MNČ pro podobnostní transforma-ci, která je v geodetických pracích hojně používána (stať 3.2). Postup u všech transformačních metod je podobný. Rovnice oprav jsou obecně dány vektory (3.18) [3], [20]

v = un - u′n , (3.29) kde

v = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Y

X

vv

, un = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Y

X

uu

, u′n = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡/

/

Y

X

uu

a vX = [vX1, vX2, …. vXn]T , vY = [vY1, vY2, …. vYn]

T,

uX = [X1, X2, …. Xn]T, uY = [Y1, Y2, …. Yn]T,

/Xu = [ //

2/1 ....,, nXXX ]T , /

Yu = [ //2

/1 ....,, nYYY ]T.

Souřadnice Xi, Yi označují souřadnice identických bodů a // , ii YX souřadnice vypočtené transformačními rovnicemi. Po úpravě mají rovnice oprav tvar

v = An x + un , (3.30)

kde An = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−−

yx

xy

ttjottoj

, tx = [x1, x2, …. xn]T, ty = [y1, y2, …. yn]T,

j = [1, 1, …. 1]T, o = [0, 0, …. 0]T ,

x = [Xo, Yo, a, b]T ≡ [Xo, Yo, µ cos ω, µ sin ω] .


- 34 (176) -

Z rovnic oprav se sestaví normální rovnice

N x + n = o , (3.31) kde N = An

T PAn, x = [Xo, Yo, a, b]T ≡ [Xo, Yo, µ cos ω, µ sin ω], n = An

T P ℓ, P je diagonální váhová matice, zpravidla se stejnými vahami pi = 1, a ℓ = /

nu .

Vektor x vyrovnávaných neznámých vyjadřuje rovnice

x = -N-1 n . (3.32)

Transformační rovnice mají tvar (2.23)

u = uo + µ R t , kde uo = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

o

oYX ≡ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

YYXX

o

o

δδ

/

/

.

Výpočet se zjednodušuje zavedením redukovaných souřadnic rXi, rYi, rxi, ryi identických bodů v obou souřadnicových soustavách. Pak souřadnice těžiště XT, YT jsou v transformačních rovnicích shodné se souřadnicemi počátku Xo, Yo soustavy x, y . Počet normálních rovnic se tak sníží ze čtyř na dvě a matice An a vektor ℓn nabývají tvaru

rAn = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

yrxr

xryr

tttt

, rℓn = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Yr

Xr

l

l , (3.33)

kde =xr t [rx1, rx2, …. rxn]T , =yr t [ry1, ry2, …. ryn]T ,

rℓX = [rℓ1, rℓ2, …. rℓn]T, rℓY = [rℓY1, rℓY2, …. rℓYn] ,

ℓXi = rXi (≡ Xi –Xo) , ℓYi = rYi (≡ Yi-Yo).

Odhad středních chyb vyrovnaných parametrů je vyjádřen vztahem

mx = mo2 Qx , (3.34)

kde vektor středních odchylek mx, střední jednotková chyba mo a matice váhových koeficientů Qx znamenají

mx =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

2

2

b

a

Yo

Xo

mmmm

, mo = ν−

Σn

vp 2

,

Qx =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

bbbabYobXo

abaaaYoXoa

YobYoaYoYoYoXo

XobXoaXoYoXoXo

QQQQQQQQQQQQQQQQ

.

Další podrobnosti jsou uvedeny v článku „K transformacím souřadnic“ ve sborníku referátů: Profesor Josef Vykutil – 90. Hlavní úřad vojenské geografie Praha. VZÚ 2002, str. 73-78.


- 35 (176) -

K zachování potřebné homogenity bodového pole je třeba transformované bo-dy opravit o vliv souřadnicových odchylek okolních identických bodů. Použí-vané jsou zpravidla opravy vypočtené pomocí Jungovy transformace (stať 2.7.2) nebo pomocí splajnových funkcí (stať 2.7.3). Pro transformaci jen něko-lika bodů v podrobném polohovém bodovém poli se používají i jednodušší úpravy výpočtu oprav.

Kontrolní otázky

Jaké jsou základní druhy rovinných transformací?

Co je shodnostní a podobnostní transformace a jaký je jejich význam pro praxi?

Popište konformní transformaci a její využití v geodézii!

Čím je charakteristická afinní a projektivní transformace a kde se využívají v geodézii?

Co jsou polynomické transformace a jaké jsou jejich výhody a nevýhody?

Jaká je matematická definice transformace s obecným aritmetickým průmě-rem posunů identických bodů?

Jaká je technologie výpočtu parametrů transformačních rovnic pomocí MNČ?

Poznámka Je třeba dobře rozumět všem základním druhům transformací, protože jsou běžně používány ve většině geodetických úloh týkajících se bodových polí. Jestliže Vám některá kontrolní otázka činí potíže, znovu si prostudujte přísluš-nou látku ve skriptech nebo v doporučené literatuře.

3.4 Transformace prostorových souřadnic

Stejné druhy transformací jako u rovinných souřadnic je možno použít i pro prostorové souřadnice. Systémy transformačních rovnic je však třeba rozšířit ze dvou na tři souřadnice. K základním typům prostorových transformací patří převod zeměpisných souřadnic a elipsoidických výšek na geocentrické nebo topocentrické souřadnice a naopak, např.[3], [10], [20].


- 36 (176) -

3.4.1 Převod mezi pravoúhlými souřadnicovými systémy

Obr. 3.5 Schéma dvou souřadnicových systémů

V geodetické praxi přichází obvykle v úvahu transformace mezi dvěma prosto-rovými souřadnicovými systémy v souvislosti s družicovými metodami a s fotogrammetrií. Zejména se používají podobnostní a afinní transformace, které jsou dále stručně popsány. Podrobněji jsou uvedeny některé používané úpravy výpočetního postupu a vyrovnání MNČ u podobnostní transformace. Obecnou polohu obou souřadnicových systémů znázorňuje obr. 3.5.

3.4.1.1 Podobnostní transformace

Řešení se u shodnostní transformace rozkládá na tři dílčí rotace α, β, γ v osách x, y, z a tři dílčí translace Xo, Yo, Zo (obr. 3.6). U podobnostní (Helmertovy) transformace přistupuje ještě sedmý parametr měřítko µ [20], [28]

Podrobné odvození transformačních rovnic je uvedeno ve skriptech [20]. Transformační rovnice jsou dány vektorovou rovnicí

u = uo + µ R t , (3.35)

kde

u = [X,Y,Z]T , uo = [Xo,Yo,Z]T , R = ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

≡ [r1, r2, r3] , t = [x, y, z]T

a µ je měřítko společné pro všechny tři osy. Přitom x, y, z značí souřadnice bodů pomocné soustavy, z které se převádějí na souřadnice X,Y,Z dané sou-stavy a Xo,Yo,Zo posuny počátku pomocné soustavy.

Rotační matice R je odvozena z postupného otáčení pomocného souřadnico-vého systému x, y, z kolem os X,Y,Z (obr. 3.8) o úhly α, β, γ. Rotační matice R je dána součinem dílčích rotačních matic R = Rγ Rβ Rα.. takže


- 37 (176) -

R= (3.36)

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−+

βαβαβγβαγαγβαγαγβγβαγαγβαγαγβ

coscoscossinsinsinsincoscossinsinsinsincoscossincoscossincossinsincossinsinsincoscoscos

.

Podrobné odvození je ve skriptech [20] na str. 32 a 33.

Pokud jsou rotační úhly α, β, γ malé, k čemuž často dochází při zpracování družicových sítí, rotační matice se zjednoduší na tvar [20]

R = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

11

1

δαδβδαδγδβδγ

. (3.37)

a) b) Obr. 3.6 Otáčení souřadnicového systému x, y, z kolem os x, y′, z″ o úhly α, β, γ

3.4.1.2 Afinní transformace

U zjednodušené (ortogonální) afinní transformace se na rozdíl od podobnostní transformace zavádějí různá měřítka µx, µy, µz v souřadnicových osách x, y, z . Transformační klíč vyjadřuje rovnice [3], [32]

u = uo + R Mµ t . (3.38)

a)


- 38 (176) -

Většina symbolů je stejná jako v rovnicí (3.35) s výjimkou měřítkové matice Mµ, která je dána výrazem

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Z

Y

X

Mµ

µµ

µ

000000

.

K sestavení transformačních rovnic je třeba určit devět parametrů, tři složky translace, tři složky rotace a tři měřítka. Transformované geometrické útvary vykazují tvarovou deformaci v závislosti na rozdílnosti jednotlivých dílčích měřítek.

3.4.1.3 Formální úpravy

V odborné literatuře se objevují různé formální úpravy transformačních rovnic (např.Wolf a Moloděnskij [7], [28]). Podle prvního autora se rovnice pro po-dobnostní transformaci (3.35), (3.37) upravují na tvar

u = /ou + CW δx, (3.39)

kde

u = [X, Y, Z]T , /ou = [ /// ,, ooo ZYX ]T , CW =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

01000010

0001

xyzxzyyzx

a δx = [δXo, δYo, δZo, δµ, δα, δβ, δγ]T.

Vyrovnané parametry transformačních rovnic jsou dány výrazy

.,,,1,,, ///

δγγγδβββδαααδµµδδδ

+=+=+=+=+=+=+=

ooo

oooooooo ZZZYYYXXX

Vhodnou úpravu výpočtu parametrů transformačních přináší redukce souřadnic bodů na těžiště, které je dáno vztahy

,,,;,,nz

zny

ynx

xnZ

ZnY

YnX

X iT

iT

iT

iT

iT

iT

Σ=

Σ=

Σ=

Σ=

Σ=

Σ=

kde n je počet identických bodů a i = 1,2,3,…..n. Redukované souřadnice jsou

rXj = Xj – XT , rYj = Yj – YT , rZj = Zj – ZT ;

rxj = xj – xT ; ryj = yj – yT , rzj = zj – zT ,

kde index j = 1,2,3, …. k a k je počet identických bodů.

Rovnice se dají vyjádřit ve tvaru

u = uT + CT δxT , (3.40)

kde u=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ZYX

, uT =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

T

T

T

ZYX

, CT =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

00

0

xyzxzyyzx

rrr

rrr

rrr

, δxT = [δµ,δα,δβ,δγ]T.


- 39 (176) -

3.4.1.4 Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou nejmenších čtverců

U prostorové transformace se parametry transformačního klíče vesměs odvozu-jí z nadbytečného počtu identických bodů. Identické body mají být rovnoměrně rozloženy v transformované oblasti a z důvodu zachování homogenity bodové-ho pole mají všechny transformované body ležet uvnitř obrazce vytvořeného okrajovými identickými body. Postup u všech transformačních metod je po-dobný. V dalším textu je uvedena aplikace MNČ jen pro podobnostní trans-formaci. Postupy u jiných transformačních metod jsou obdobné a využívají zpravidla rozvoje transformačních rovnic v Taylorovu řadu. Prostorové transformace se často používá při zpracování družicových měření. Vychází se přitom z rovnic (3.35), (3.39) a (3.40). Pokud jde o vzájemný pře-vod topocentrických a geocentrických souřadnic, kdy odpovídající souřadnice x, X; y, Y; z, Z svírají spolu velké úhly α, β, γ, je vhodné nejprve vypočítat jejich přibližné hodnoty α′, β′, γ′ a pomocí nich převést souřadnice x, y, z na přibližné souřadnice X′, Y′, Z′. K určení malých přírůstků úhlů δα, δβ, δγ lze použít např. linearizovaných transformačních rovnic (3.39), (3.40) Rovnice oprav jsou obecně dány vztahem (3.29) [3]

v = un - u′n , (3.41) kde

v =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

Y

X

vvv

, un =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

Y

X

uuu

, u′n = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

/

/

/

Z

Y

X

uuu

; vx =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nX

X

X

v

vv

.2

1

, vy =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nY

Y

Y

v

vv

.2

1

, vz =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nZ

Z

Z

v

vv

.2

1

,

uX = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nX

XX

.2

1

, uY = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nY

YY

.2

1

, uZ = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nZ

ZZ

.2

1

; /Xu =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′′

nX

XX

.2

1

, /Yu =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′′

nY

YY

.2

1

, /Zu =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′′

nZ

ZZ

.2

1

.

Přitom Xi, Yi, Zi jsou souřadnice daných bodů a /i

/i

/i Z,Y,X souřadnice trans-

formované pomocí přibližných hodnot translace /// ,, ooo ZYX a rotace α /, β /, γ /.

Po úpravě vzniknou rovnice

v = un – δuo – (1+ δµ) δR ≡ An δx + ℓn , (3.42)

kde δuo = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

O

O

O

ZYX

δδδ

, δR = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

00

0

δαδβδαδγδβδγ

, µ =1 + δµ , An = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

Y

AAAX

,

AX= ,

0001.......

00010001

'''

'2

'2

'2

'1

'1

'1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

nnn YZX

YZXYZX

AY= ,

0010.......

00100010

'''

'2

'2

'2

'1

'1

'1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

nnn XZY

XZYXZY


- 40 (176) -

AZ = ,

0100.......01000100

'''

'2

'2

'2

'1

'1

'1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

nnn XYZ

XYZXYZ

δx = [δXo,δYo,δZo, δµ, δα,δβ,δγ]T,

ℓn =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Zl

l

l Y

X

, ℓX = ,.

22

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′−

′−′−

nn XX

XXXX

ℓY = ,.

22

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′−

′−′−

nn YY

YYYY

ℓZ =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′−

′−′−

nn ZZ

ZZZZ

.22

11

.

Další výpočet probíhá podobně jako ve stati 3.3.8 pro podobnostní transfor-maci v rovině. Rovnice jsou uvedeny ve skriptech [20].

Obdobný postup k odvození parametrů transformačních rovnic lze odvodit pro souřadnice redukované na těžiště identických bodů.

Po transformaci bodů je třeba z důvodů zachování homogenity bodového pole ještě ke všem transformovaným souřadnicím připočítat opravy vxj, vyj, vzj , zahrnující vliv odchylek δxi, δyi, δzi identických bodů.

Výsledné souřadnice Xj,Yj,Zj transformovaných bodů T = P, Q, R, … Z jsou po zavedení oprav dány výrazy

XJ = ., ///jZjjjYjjjXj vZZvYYvX +=+=+ (3.43)

Kontrolní otázky

Kde se v geodézii používají prostorové transformace?

Jaké jsou základní matematické vztahy definující shodnostní, podobnostní a afinní prostorovou transformaci?

Jaký je postup výpočtu parametrů transformačních rovnic MNČ?

Jaké znáte úpravy transformačních rovnic?

Poznámka

Pokud nebudete znát odpověď na některou z otázek, prostudujte si znovu tuto látku ve skriptech [20] nebo v jiné doporučené literatuře.

3.5 Výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů

Pro dostatečně kvalitní převod polohových bodů z jednoho souřadnicového systému do druhého je třeba k transformovaným bodům vypočítat souřadnico-vé opravy vx,vy,vz, závisející na souřadnicových odchylkách δX, δY, δZ (δX, δY) mezi danými a transformovanými identickými body. Pokud by souřadni-cové opravy nebyly určovány, docházelo by k menším nebo větším deforma-cím polohového bodového pole a to zejména v blízkosti identických bodů. Souřadnicové opravy lze odvozovat různými způsoby. K hlavním patří lineární


- 41 (176) -

interpolace v uzavřených obrazcích (zpravidla v trojúhelnících), interpolace obecnými aritmetickými průměry a interpolace pomocí splajnových funkcí. Ke zjednodušení jsou v dalším textu uvedeny postupy určení souřadnicových oprav jen pro rovinné souřadnice.

3.5.1 Lineární interpolace

Spočívá v lineárním rozdělování souřadnicových odchylek na transformované body, ležící uvnitř elementárních obrazců (zpravidla trojúhelníků), vytvářených z identických bodů. Princip metody je patrný z obr. 3.7 [16]. Např. ze souřad-nicových odchylek δXi pro i = A,B,C se sestrojí osnova rovnoběžných izo-čar (úseček), vyjadřujících souřadnicové opravy oXv v celých centimetrech (obr. 3.7 a). Po vynesení polohy transformovaných bodů se snadno z grafu sta-noví opravy jXv pro jednotlivé transformované body Pj. Ještě jednodušší je

určení oprav z izočar oXv vynesených na obr. 3.7 b opět po centimetrech, je-jichž velikost však končí hodnotou 5 mm. Grafické zjišťování velikosti oprav se dnes už prakticky nepoužívá. K výpočtu oprav lineární interpolací slouží obecné rovnice ve tvaru

O

ABAUCUACAUBUAUjU P

PvvPvvvv

)()( −+−+= , (3.44)

kde označují P0,PAC ,PAB obsahy celého trojúhelníku A,B,C a dílčích trojúhel-níků Pj,C,A a Pj,A,B, CUBUAU vvv ,, souřadnicové odchylky identických bodů A,B,C, index j transformovaný bod Pj a index U souřadnice X,Y (X,Y,Z) .

a) b)

Obr. 3.7 Lineární interpolace souřadnicových oprav

Určitým nedostatkem lineární interpolace je nahrazení skutečného průběhu izočar úsečkami. U více trojúhelníků polohové sítě jsou složité křivky izočar


- 42 (176) -

podstatě redukovány na polygonové čáry. Stejným postupem a lze určovat i opravy iZv transformovaných souřadnic Zi.

Lineární interpolace je starší metodou, která se dříve používala při transforma-cích polohových bodů v menších oblastech sítě.

3.5.2 Interpolace obecnými aritmetickými průméry

Souřadnicové opravy jYjX vv , transformovaných bodů Pj se počítají pomocí rovnic pro obecný aritmetický průměr

∑ ∑∑=∑== ==

−

=

− k

i

k

iii

k

iijii

k

iij YppYXppX

1 11

1

1

1 ,)(,}( δδδδ (3.45)

kde index i ≡ 1, 2, 3, … k označuje nejbližší okolní identické body, použité k výpočtu souřadnicových oprav. Váhy pi jsou voleny stejně jako při trans-formaci bodů (stať 3.3.7) buď nepřímo úměrné vzdálenostem si transformo-vaného bodu Pj od okolních identických bodů K nebo nepřímo úměrné kva-drátům vzdáleností 2

is

ii s

kp = , ,2i

i skp =

kde k je vhodná konstanta.

Použije-li se prvního typu vah, je třeba omezit výpočet souřadnicových oprav jen na nejbližší okolní identické body, protože opravy vzdálenějších bodů by mohly porušovat homogenitu transformovaného bodového pole (obr. 3.8 a). U druhého typu vah, který je považován za vhodnější, je vliv vzdálenějších iden-tických bodů podstatně menší. Přesto je lépe volit pro výpočet oprav identické body jen do určité vzdálenosti, zpravidla nepřesahující asi dvojnásobek vzdále-nosti blízkých identických bodů (obr. 3.8 b).

a) pro váhy j

j skp = b) pro váhy 2

jj s

kp =

Obr. 3.8 Příklady volby identických bodů k výpočtu souřadnicových oprav iYiX vv ,


- 43 (176) -

Podrobnosti k výpočtu souřadnicových oprav transformovaných bodů jsou uvedeny např. v publikacích [20], [35].

3.5.3 Splajnové funkce

Matematické výpočty a konstrukce křivek pomocí počítačů jsou v geodézii používány řadu let především ke konstrukci a zákresu vrstevnic, např. v softwaru MicroStation [43], [44]. Křivka v zobrazovací rovině X,Y je určena řídícím polygonem, jehož lomové body reprezentují stejné hodnoty výškové, jimiž prochází vrstevnice. V případě souřadnicových oprav vX, vY transformo-vaných bodů jde o izočáry stejných velikostí oprav pro jednotlivé souřadnice, vyjádřené např. v centimetrech. Každá křivka se rozděluje na úseky přímé a zakřivené, které je možno matematicky definovat. Zpravidla se používá částí křivek až třetího stupně (kubických křivek). Systém matematického řetězce vyplývá z obr. 3.9. Křivka je určena polygonem o vrcholech V1, V2, … Vn –1, Vn.

Část křivky je definována třemi polygonovými body VK-1,VK,VK+1. Libovolný bod V křivky určovaný mezi body VK, VK+1 je dán funkcí

PK(S) = [FK,X(s), FK,Y(s)] pro 0 ≤ s ≤ S,

kde FK,X, FK,Y jsou kubické polynomy, s je vzdálenost interpolovaného bodu PK od daného bodu VK a S je délka úseku VK, VK+1 (polygonové strany). Kubické polynomy jsou definovány vztahy

FK,X = aX s3 + bX s2 + cX s + XK, FK,Y = aY s3 + bY s2 + cY s +YK. (3.46)

Obr. 3.9 Určení části křivky

Matematický výpočet je v praxi složitější, protože vychází z bodů, které nemají stejnou velikost výšek nebo souřadnicových oprav, takže je třeba body izočar interpolovat. Podrobnější údaje o splajnových funkcích najde čtenář např. v publikacích [43], [44] atd.

Konstrukce izočar stejných oprav vX, vY ≡ konst. umožňuje stanovit jedno-značné opravy pro každý transformovaný bod. Kvalita výpočtu izočar je závis-lá na hustotě společných bodů a jejich míře identity.


- 44 (176) -

Kontrolní otázky

Jaký význam má výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů?

Jaký je princip metody lineární interpolace k určení souřadnicových oprav?

Jak se interpolují souřadnicové opravy pomocí obecných aritmetických průměrů souřadnicových rozdílů identických bodů?

Jaký je princip interpolace souřadnicových oprav pomocí splajnových funk-cí?

Poznámka Výpočet souřadnicových oprav je důležitou součástí transformace. Vynechá-ním této závěrečné fáze výpočtu vede zpravidla k porušení homogenity stávají-cího bodového pole, i když se v podstatě deformují měřené veličiny. Proto je třeba kontrolním otázkám věnovat zvýšenou pozornost.

3.6 Přesnost transformace

Kvalitě transformačních rovnic a transformovaných souřadnic nebývá v praxi věnována taková pozornost jako vlastním transformacím. Analýzy přesnosti vycházejí z různých hledisek a přístupů. Relativně méně se týkají parametrů transformačních rovnic. Větší pozornost je věnována přibližným odhadům přesnosti transformovaných bodů. Ve článku [18] jsou stručně uvedeny tři me-tody: odhady polohové přesnosti metodou nejmenších čtverců (MNČ), relativní polohová přesnost a odhady z vektorových odchylek identických bodů.

3.6.1 Metoda nejmenších čtverců

Při výpočtu parametrů transformačních rovnic (stať 3.3.8 a 3.4.1.4) [18]

nNxxxx 1−−′≡+′= δ

se z matic váhových koeficientů

nNQX1−=

vypočte chybová matice

=XM 2om QX ,

jejíž diagonálu mX tvoří kvadráty odhadnutých středních chyb parametrů x ≡ [Xo, Yo, Zo, µ, α, β, γ]T transformačních rovnic - např. stať 3.3.8 a rovnice (3.8) až (3.13)

=2Xm 2

om [QXoXo, QYoYo, QZoZo, Qµµ, Qαα, Qββ, Qγγ]T (3.47)

Chybová vektor mT transformovaných souřadnic T (≡ P, Q, R, …. Z) sestává z kvadrátů odhadovaných středních souřadnicových chyb

mT = [ 222222 ...,;...,;...,ZZPZZYPYZXPX mmmmmm ]T (3.48)


- 45 (176) -

a je diagonálou kovarianční matice ST danou rovnicí [16], [20]

ST = 2om FQxFT ≡ 2

om QT .

Prvky obdélníkové matice F jsou parciální derivace transformovaných sou-řadnic u podle vyrovnávaných parametrů (neznámých) x (δx). Odhady středních chyb jsou závislé především na kvalitě identických bodů a na jejich konfiguraci. Charakterizují spíše kvalitu transformace souboru identic-kých bodů bodového pole jako celku a neposkytují jednoznačnou informaci o míře identity jednotlivých bodů nebo částí sítě. Je to způsobeno zejména zjed-nodušeným výpočtem polohové přesnosti, kdy se v kovarianční matici používá střední jednotkové chyby mo nebo směrodatné odchylky σo

kn

pvmo −Σ

=3

22 ,

npv

o 3

22 Σ=σ . (3.49)

V rovnicích značí vi souřadnicové opravy, n počet identických bodů a k nutný počet souřadnic těchto bodů k odvození transformačních rovnic.

3.6.2 Relativní polohová přesnost

Podrobnější informace o kvalitě jednotlivých identických bodů nebo částí bo-dového pole poskytují odhady relativních odchylek, které jsou odvozovány jen ze souřadnicových odchylek δXi, δYi, δZi omezených oblastí sítě, tvořící jedno-duché obrazce a sestavené jen ze sousedních identických bodů. Zpravidla jde o trojúhelníky a čtyřúhelníky, výjimečně o víceúhelníky (obr. 3.10). Takové od-hady středních odchylek jsou významné pro různé další navazovací geodetické práce uvnitř obrazců. Odhad středních relativních odchylek vyjadřují vztahy [18]

kde δXoj, δYoj, δZoj jsou průměrné odchylky (opravy). Střední hodnoty rozdílů rσXoj, rσYoj, rσZoj souřadnicových odchylek charakterizují relativní polohovou přesnost v jednotlivých obrazcích. Přitom indexy j = 1, 2, 3, … značí číslo obrazce a indexy 1 až k pouze identické body, týkající se tohoto obrazce. Jed-noduššími a přehlednějšími kritérii relativní přesnosti jsou střední hodnoty rσXYZoj rozdílů souřadnicových odchylek a střední hodnoty rσSoj relativních délkových odchylek, platících pro zvolený obrazec.. Symbol tj značí počet identických bodů v testovaném obrazci.

,,31

,)(1

)50.3(,)(1,)(1

,1,1,1

222222

1

22

1 1

2222

1 1 1

joZrjoYrjoXrjoSrjoSrjoXYZr

k

joZij

joZr

k k

joij

joYrjoij

joXr

k k k

ij

joij

joij

jo

ZZt

YYt

XXt

Zt

ZYt

YXt

X

σσσσσσ

δδσ

δδσδδσ

δδδδδδ

++==

−=

−=−=

===

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑


- 46 (176) -

K snadnějšímu porozumění odhadů relativní polohové přesnosti slouží příklad jednoduché rovinné sítě na obr. 3.10. Představuje síť 12 identických bodů A,B,C, … L v rovinném souřadnicovém systému X,Y . Polohové bodové pole bylo rozděleno na j = 9 základních obrazců, z toho 8 trojúhelníků a jeden šestiúhelník. U každého identického bodu jsou ve zvětšeném měřítku vyznače-ny vektory odchylek. Číselné údaje o velikostech souřadnicových odchylek a odhadech středních hodnot odpovídajících odchylek jsou v tabulkách 3.1 a 3.2. Tabulka 3.1: Rovinné souřadnicové odchylky δXi, δYi (3.50) a střední hodnoty sou-

řadnicových odchylek δXYi a délkové odchylky δS i na jednotlivých identických bo-dech i = A, B, … L. Odpovídající střední hodnoty souřadnicových odchylek σX, σY,

σXY a délkových odchylek σS (3.52), (3.53).

i δXi (mm) δYi (mm) δXYi (mm) δSi (mm) Střední hodnoty odchylek

A 21 43 33,8 47,9

B -32 48 40,8 57,7 σX = 27,2 mm,

C -20 22 21,0 29,7

D 25 24 24,5 34,7 σY = 28,0 mm,

E 43 -12 31,6 44,6

F 24 -29 26,6 37,6 σXY = 27,6 mm,

G -19 -27 23,3 33,0

H -6 -29 20,9 29,6 σS = 39,0 mm

I -21 -16 18,7 26,4

J -29 17 23,8 33,6

K -26 -32 29,2 41,2

L 40 -9 29,0 41,0

Obr. 3.10 Příklad vektorů odchylek jednoduché sítě identických bodů


- 47 (176) -

Tabulka 3.2: Odhady středních hodnot souřadnicových a délkových odchylek jSjXYjYjX σσσσ ,,, a odpovídající odhady středních hodnot relativních odchylek

jSorjXYorjYorjXor σσσσ ,,, (3.50) v základních devíti obrazcích (obr. 3.10).

J j jXσ

(mm)

jYσ

(mm)

jXYσ

(mm)

jSσ

(mm)

jXorσ

(mm)

jYorσ

(mm)

jXYorσ

(mm)

jSorσ

(mm)

1 26,4 39,7 33,7 47,7 26,0 10,3 19,8 28,0

2 31,2 29,3 30,2 42,8 9,6 22,8 17,5 24,7

3 26,1 33,5 30,0 42,5 24,5 11,8 19,3 27,2

4 18,8 25,2 22,2 31,4 18,8 24,5 21,7 30,7

5 30,7 22,0 26,7 37,8 26,0 21,4 23,8 33,7

6 18,5 26,7 23,0 32,5 18,5 24,5 21,7 30,7

7 30,5 23,9 27,4 38,7 25,9 7,6 19,1 27,0

8 22,1 25,8 24,0 33,9 18,0 21,2 19,7 27,8

9 32,2 21,6 27,4 38,8 31,9 20,0 26,6 37,7

Střední hodnoty souřadnicových a délkových odchylek jSjXYjYjX σσσσ ,,, v tabulce 3.2 se vztahují k jednotlivým obrazcům j a jsou vypočteny z výrazů

.,21,1,1 2222

1

22

1

222jYjXjSjS

ujXYi

u

jjYi

jjX Y

tX

tσσσσσδσδσ +=∑ =∑ == (3.51)

Tabulka 3.2 prokazuje, že střední hodnoty relativních odchylek jSorjXYor σσ , jsou obvykle menší než střední hodnoty odpovídajících odchylek SjXYj σσ , vypočtených ze všech souřadnicových odchylek δXi, δYi. V pěti obrazcích jde dokonce o výrazné snížení použitých ukazatelů polohové přesnosti. Podobné závěry lze vyslovit i z porovnání stejných relativních odchylek s příslušnými odhady odchylek jSjXY σσ , v první části tabulky 3.2.

3.6.3 Souřadnicové odchylky identických bodů

V praxi se někdy používají zjednodušená kritéria v posouzení polohové přes-nosti transformace, která mají menší spolehlivost, protože zjednodušují odhad polohové přesnosti transformovaných bodů jen na střední hodnoty vektorových odchylek identických bodů. Souřadnicové odchylky δXi, δYi identických bo-dů Pi charakterizují rovnice [18]

// , iiiiii YYYXXX −=−= δδ pro i = A., B, C, … N, (3.52)

kde Xi, Yi, jsou souřadnice identických bodů a // , ii YX souřadnice stejných bodů získaných z transformačních rovnic.


- 48 (176) -

Pro součty oprav platí

∑ ∑ =n n

ii YX1 1

,0, δδ

kde n označuje počet identických bodů.

Pro každý identický bod lze vypočítat buď velikost vektorové odchylky δSi nebo střední hodnoty souřadnicové odchylky iXYZσ , pro které platí rovnice

22222

31, iiXYiii SYXS δσδδδ =+= . (3.53)

Střední hodnoty souřadnicových odchylek σX, σY, souřadnicové odchylky σXY a délkové odchylky σS, charakterizující celou síť identických bodů, jsou dány vztahy

.,21,1,1 222

1 1

222222YXS

n n

SXYiYiX Yn

Xn

σσσσσδσδσ +==== ∑ ∑ (3.54)

Odhady středních hodnot souřadnicových a délkových odchylek (3.53), (3.54) mají povšechný statistický charakter. Nerozlišují rozdílnou kvalitu různých částí sítě a týkají se jen identických bodů bez přihlédnutí k souřadnicovým opravám transformovaných bodů T ≡ P, Q, R, … Z. Proto jsou kritéria (2.63) závislá na zvolené transformační metodě a poskytují tak zkreslené informace o polohové přesnosti transformovaných bodů, jak je patrné v posledním sloupci tabulky 3.1.

3.6.4 Stupeň (míra) identity (homogenity)

Pomocí vektorových odchylek, vyjádřených souřadnicovými odchylkami (3.52)

,, //iiiiii YYYXXX −=−= δδ

kde Xi, Yi jsou souřadnice identických bodů v S-JTSK a // , ii YX odpovídají-cí souřadnice, získané z transformačních rovnic, se analyzuje míra identity jed-notlivých identických bodů. U nejbližších okolních bodů kolem každého iden-tického bodu (obr. 3.11), kterých bývá zpravidla pět až sedm (minimálně tři), se odvozují polární souřadnice polohových odchylek v zobrazovací rovině

i

iiiii X

YarctgYXS

δδ

αδδδ =+= ,)( 5,022 , (3.55)

kde značí δSi délku odchylkového vektoru a αi jeho směrník.

Průměrné rozdíly oiio YX δδ , , vztahující se k testovanému bodu Pi jsou dány vztahy

∑=∑===

e

ii

iio

e

ii

iio Y

tYX

tX

11

1,1 δδδδ , pro e = 1, 2, 3 … ti .


- 49 (176) -

K stanovení míry identity jednotlivých společných bodů Pi slouží odhad středních rozdílů polohových odchylek iSσ [20]

5,022 )( iYiXiS ∆Λ += σσσ ,

kde iYiX ∆∆ σσ , jsou odhady středních rozdílů souřadnicových odchylek.

5,0

2

1

5,0

1

2 )(1)(1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∑ −= ∆∆

eioi

iiY

eioi

iiX YY

txx

tδδσδδσ . (3.56)

Podle vhodně zvolených kritérií σK je třeba posuzovat stupeň identity testova-ného identického bodu. Pro zhušťovací body je možno volit např. hodnotu σSmax = 0,02 m. Pro některé případy lze volit nižší nebo vyšší hodnotu σSmax.

Kontrolní otázky

Jaký je postup při odhadu přesnosti parametrů transformačních rovnic?

Jak se odvozuje polohová přesnost transformovaných bodů pomocí MNČ?

Jaký je princip odhadu relativní polohové přesnosti transformovaných bo-dů?

Jak se odhaduje polohová přesnost transformovaných bodů pomocí vekto-rových odchylek identických bodů?

Jaké jsou rozdíly mezi uvedenými třemi metodami odhadu polohové přes-nosti transformovaných bodů?

Co je to stupeň (míra) identity bodů v transformacích bodových polí (bodů) a jakým způsobem se zjišťuje?

a) v trojúhelníku b) v mnohoúhelníku

Obr. 3.11 Polohové vektory odchylek identických bodů a určovaného bodu


- 50 (176) -

Poznámka Nebudete-li znát odpověď na některou z kontrolních otázek, prostudujte si po-zorně znovu stať o výpočtu souřadnicových oprav!

3.7 Závěr k transformacím souřadnic

Transformacím souřadnic je v geodetické literatuře věnována už dlouhodobě značná pozornost, např. [3], [11], [16], [20]. V době, kdy nebyly k dispozici počítače, byly přibližné metody univerzálními způsoby výpočtu souřadnic zhušťovacích bodů a transformace se požívaly u vetknutých pořadů (stať 5.1.2), Hansenovy úlohy(stať 4.1.6) [20] a v některých dalších geodetických úlohách. Důležité byly zejména transformace trigonometrických sítí do jiných souřadnicových systémů a zobrazovacích rovin. V býv. Československu to byly např. převody JTSK do systémů S-52, S-42 a V. řádu JTSK do S-42/83, kdy se k transformacím základního polohového bodového pole volila kon-formní transformace. Přesnosti transformovaných bodů však nebyla věnována potřebná pozornost. Hlavním důvodem bylo značné zachování úhlojevnosti i na kilometrové vzdálenosti, což bylo důležité vzhledem k tehdejším téměř uni-verzálním úhlovým metodám budování sítí zhušťovacích bodů (s výjimkou polygonových pořadů).V inženýrské geodézii se dobře uplatňuje podobnostní transformace, která dovoluje vhodně analyzovat jak posuny bodů a deformace částí místních sítí, tak i kvalitu výchozích bodů. Ve fotogrammetrii se k převodu snímkových souřadnic do ortogonálních systémů používají také afinní a projektivní transformace.

Počítače dovolují odvozovat složité transformační postupy, takže zejména po nástupu družicových měření a s nimi souvisejícím spojováním družicových a terestrických sítí, se objevily analýzy řady polynomických tvarů transformač-ních rovnic s mnoha členy. Se zvyšujícím se počtem vhodně volených členů se samozřejmě snižují maximální absolutní hodnoty souřadnicových oprav z vyrovnání MNČ. Problémem však zůstává kvalita transformačních rovnic. Snižování maximálních absolutních oprav identických bodů, související se zvyšováním počtu členů transformačních rovnic, může sice vést formálně k závěru, že se kvalita transformace zvyšuje, ale na druhé straně se také mohou uměle snižovat velké polohové chyby identických bodů starší sítě, způsobené změnami stabilizací některých bodů anebo jinými příčinami. Proto se dnes v mezinárodní geodetické praxi vesměs používá podobnostní (Helmertovy) transformace (statě 3.3.8 a 3.4.1.4), která dovoluje spolehlivě analyzovat míru identity bodů. Podobnostní transformace se také stala hlavní metodou k různým převodům souřadnic určených družicovými metodami.

Kritéria polohové přesnosti

- 51 (176) -

4 Kritéria polohové přesnosti

Kritéria polohové přesnosti jsou důležitým prostředkem k hodnocení kvality určení polohy bodů v geodetických pracích. Odhaduje se vesměs relativní přesnost polohy bodů. Jak bylo již zdůrazněno ve stati 2.4, jsou v projektech geodetických prací měřeny vhodné nadbytečné veličiny, které vedle kontroly poskytují možnost jejich vyrovnání zpravidla MNČ anebo jinými metodami různé kvality. Nadbytečné veličiny umožňují na základě jejich oprav anebo různých odchylek odhadovat jak přesnost měřených a vyrovnaných veličin, tak i polohového určení bodů.

K odhadu polohové přesnosti bodů se používá různých kritérií [16], [20]. V rovině jsou to zejména střední souřadnicové chyby mX, mY, střední křivka chyb, střední polohová chyba mP a střední souřadnicová chyba mXY. Odpoví-dající kritéria v prostoru jsou střední souřadnicové chyby mX, mY, mZ, střední elipsoid chyb, střední polohová chyba mP a střední souřadnicová chyba mXYZ.

Střední souřadnicové chyby mX , mY jsou obecně dány variancemi kovarianční matice QX (3.12). Pro libovolný bod P tedy platí vztahy

YYOYXXOX QmmQmm 2222 , == . (4.1)

U prostorových souřadnic přistupuje k odhadu polohové přesnosti bodu P ještě střední chyba mZ třetí souřadnice Z

.22ZZOZ Qmm = (4.2)

Z vyrovnání souřadnic se získají jen odhady středních souřadnicových chyb empirického charakteru, jejichž spolehlivost je závislá na vypočtené s t ředn í j edno tkové chybě mo (stať 3.2).

Odhady středních souřadnicových chyb se již počítaly u všech vyrovnaných rovinných souřadnic bodů ČSTS (trigonometrických bodů) a počítají se také u všech prostorových souřadnic vyrovnávaných MNČ v současně budovaných družicových sítích (GPZ a sítě zhušťovacích bodů). Tyto odhady chyb se počí-tají i v souřadnicových vyrovnáních přesných geodetických sítí v inženýrské geodézii.

Velikost souřadnicových chyb je závislá na orientaci souřadnicových os. Sou-řadnicové chyby jsou v podstatě složky polohového chybového vektoru mu. Při otáčení souřadnicového vektoru v rovině vytvářejí koncové body složek vektoru úpatnici střední elipsy chyb, tzv. střední kř ivku chyb (obr. 4.1). Střední křivka chyb je geometrickým místem bodů středních souřadnicových chyb a poskytuje informaci o jejich velikostech ve všech směrech v rovině od určovaného bodu. Při výpočtu jejich extrémních hodnot lze zjistit, že má jednu maximální a jeden minimální hodnotu. Obě složky jsou na sebe kolmé a jsou zároveň dvěma osami střední křivky chyb. Křivka má také čtyři inflexní body, symetricky rozmístěné vzhledem k jejím osám.


- 52 (176) -

Obr. 4.1 Znázornění základních kritérií polohové přesnosti v rovině

V prostoru vytvářejí střední souřadnicové chyby prostorový chybový útvar, který má obdobné vlastnosti jako střední křivka chyb v rovině. Chybový útvar má tři osy souměrnosti, totožné s osami středního elipsoidu chyb.

Konstrukce střední křivky chyb a odpovídajícího chybového útvaru je poměrně složitá, takže se k odhadu polohové přesnosti vyrovnávaných bodů GPZ (ČSTS) a jiných přesných bodových polí používá zpravidla střední elipsy chyb (v rovině) a středního elipsoidu chyb (v prostoru). Jsou určeny svými poloosami c, d (obr. 4.1) nebo c, d, e [4].

Rozbory středních souřadnicových chyb prokázaly že jejich součet kvadrátů je u každého vyrovnávaného bodu konstantní a nezávislý na orientaci souřadni-cových os. Platí tedy pro rovinné a prostorové body vztahy

2Y

2X

2P2 mmm += ≡ konst., 2

Z2Y

2X

2P3 mmmm ++= ≡ konst. (4.3)

Druhá odmocnina z kvadratických součtů mP se nazývá střední poloho-vou chybou a je skalární hodnotou. Používá se k odhadu polohy vyrovná-vaných bodů PPBP, zejména u ostatních bodů.

Protože poloosy střední elipsy a elipsoidu chyb jsou extrémními hodnotami středních souřadnicových os a jsou na sebe vzájemně kolmé, musí zároveň i jejich součty kvadrátů dávat kvadrát střední polohové chyby

222P2 dcm += (v rovině), 2222

P3 edcm ++= (v prostoru). (4.4)

Pokud se sestrojí kolem určovaného bodu kružnice o poloměru mP (obr. 3.1), je patrné, že plocha kruhu je vždy větší než odpovídající plocha uzavřená střední křivkou chyb nebo střední elipsou chyb. Stejný závěr platí o objemu koule o poloměru mP a středního elipsoidu chyb.

V ČR se často jako kritéria polohové přesnosti bodů používá střední sou-řadnicová chyba mX Y v rovině a mX Y Z v prostoru. Střední souřadnicová chyba je opět jen skalárem a je dána kvadratickým průměrem středních sou-řadnicových chyb, takže platí

mX Y = 2

mm 2Y

2X + nebo mX Y Z =

3mmm 2

Z2Y

2X ++ . (4.5)


- 53 (176) -

Střední souřadnicová chyba je přímo úměrná střední polohové chybě

mX Y = 2

mP2 , mX Y Z = 3

mP3 .

Rovnice (4.4) prokazují, že střední polohová 2mP je teoreticky v rovině o 41 % větší než střední souřadnicová chyba mXY. V prostoru je střední polohová chyba 3mP o 73 % větší než střední souřadnicová chyba mXYZ.

Nevýhodou střední souřadnicové a střední polohové chyby je skutečnost, že jsou skalárními veličinami a neposkytují přehled o velikostech střední chyby v poloze v různých směrech.

Důležitým faktorem v chybové analýze je pravděpodobnost φ , že vyrovnaný bod leží uvnitř vypočtené střední elipsy chyb nebo středního elipsoidu chyb, popřípadě v kruhu opsaném střední polohovou chybou nebo střední souřadni-covou chybou [15]. Z teorie chyb je známo, že maximální pravděpodobnosti 2φe, 3φe polohy bodu uvnitř střední elipsy chyb nebo elipsoidu chyb jsou dány hodnotami [4]

2φe (t=1) ≈ 0,393 , 3φe(t=1) ≈ 0,199 .

Pokud by se měly obě pravděpodobnosti zvýšit na velikost pravděpodobnosti 1φ(t=1) ≈ 0,683 základní střední chyby m ≡ σ u jednorozměrných veličin, bylo by nutné zvětšit parametr t (= ε/ m ), tj. poloosy střední elipsy chyb nebo elipsoidu chyb na hodnoty t2 ≈ 1,51 nebo t3 ≈ 1,88.

Pravděpodobnosti platí jen za předpokladu, že je přesně známá základní střední chyba m (základní střední jednotková chyba om ). U empiricky získaných středních chyb m (mo) je pravděpodobnost závislá na počtu n měřených ve-ličin a r nadbytečně měřených veličin [4]. Rozdíl n – ν = n′ je počet stupňů volnosti vyrovnání polohové sítě, na kterém jsou závislé pravděpodobnosti jednotlivých druhů polohových chyb, odvozených z oprav vi měřených veli-čin. Proto se dříve při testování velikosti středních polohových chyb uváděly násobné koeficienty 1t, 2t, 3t, kterými se dosahovaly na základě Studentova rozdělení pravděpodobností teoreticky stejné pravděpodobnosti 1φ, 2φ, 3φ pro všechny jednorozměrné, dvojrozměrné a trojrozměrné chyby. Zpravidla byla pravděpodobnost volena pro jednorozměrnou střední kvadratickou chybu (68,3 %) nebo střední pravděpodobnou chybu popřípadě střední průměrnou chybu. V posledních letech se často používá zvolené hladiny významnosti α, zpravidla α = 0,05 nebo α = 0,01, která udává pravděpodobnost φ ≈ 0,95 nebo φ ≈ 0,99 ve vypočtených intervalech spolehlivosti, vyjádřených polohovými chybami mXα = 1 tα mX, mYα = 1tα mY, mZα = 1 tα mZ (střední souřadnicové chy-by), mXYα = 2 tα mXY, , mPα = 2tα mPα

(střední dvourozměrné polohové chyby) a mXYZα = 3 tα mXYZ, mPα

= 3 tα mP (střední trojrozměrné polohové chyby). Násobné koeficienty 1tα, 2tα, 3 tα jsou uvedeny např. v publikacích [4], [10]. Vybrané hodnoty těchto koeficientů jsou sestaveny v tabulce 4.1 pro stupně volnosti α = 1, 2, 5, 10, 20, 50 a 100.

Největších změn dosahují koeficienty tα pro nízký stupeň volnosti. Přibližně od n′= 5 a vyšší hodnoty se zmenšují koeficienty relativně pomalu. Ve větší míře se intervaly spolehlivosti zavádějí zejména v zahraničí.


- 54 (176) -

Tabulka 4.1. Koeficienty 1tα, 2 tα , 3 tα vypočtené ze Studentovy funkce rozdělení prav-děpodobnosti pro vybrané stupně volnosti n′ a pro hladinu významnosti α = 0,05

[4], [10].

n′ 1tα 2 tα 3 tα

1 12,7 20,0 25,4 2 4,30 6,16 7,58 5 2,57 3,40 4,03 10 2,23 2,86 3,34 20 2,09 2,64 3,05 50 2,01 2,52 2,92 100 1,98 2,48 2,84

K projektům polohových bodových polí a zejména k optimalizaci projektů spe-ciálních místních sítí se často počítají odhady středních elips chyb určovaných bodů. Jejich výpočet a zákres se zajišťuje pomocí počítače a vhodných pro-gramů. Odvození parametrů středních elips chyb vychází z kovarianční matice MX (stať 3.2). Pro každý určovaný bod se vybírá čtvercová submatice Kj o čtyřech členech, obecně vyjádřených vztahem

Kj = ,2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

jYjYjXjY

jYjXjXjX

mmmmmm

(4.6)

kde index j = 1,2,3, … t označuje určovaný bod Pj.

Ze submatic se vypočtou základní tři parametry střední elipsy chyb, tj. její po-loosy c,d a úhel ω, který obě poloosy svírají se souřadnicovými osami X,Y (obr. 3,1). Pomocí extrémních hodnot středních souřadnicových chyb mX, mY se odvodí rovnice [4], [10]

(4.7)

),(21),(

21,

22 222222

22 jYXjYXYX

YXj gmmdgmmc

mm

mmtg

jjjj

jj

jj −+=++=−

=ω

kde )4( 2222jYjXjYjXj mmmmg +−= .

Pro zákres středních elips chyb na grafickém podkladu sítě určovaných bodů se volí vhodně velké měřítko.

Kontrolní otázky

Jaká jsou základní kritéria polohové přesnosti bodů?

Jak se vypočtou střední souřadnicové chyby ?

Co je střední souřadnicová chyba a střední polohová chyba?

Jak jsou definovány střední křivka chyb a střední elipsa chyb a jaký je jejich význam pro souřadnicové výpočty?


- 55 (176) -

Jaká je pravděpodobnost jednotlivých základních kritérií přesnosti a pro ja-kou pravděpodobnost (hladinu významnosti) se mezinárodně upravují?

Poznámka

Pokud si nebudete jisti s některou odpovědí, znovu si prostudujte skripta [20], popřípadě doporučenou literaturu [4], [10].

Budování polohových bodových polí

- 57 (176) -

5 Budování polohových bodových polí

Stručná informace o vývoji polohových geodetických základů (PGZ) je uvede-na ve stati 2.1. Podrobněji se budováním PGZ zabývá vyšší geodézie. K jejich hlavním znakům v dřívějších dobách, kdy byly zpravidla tvořeny trigonomet-rickou sítí, patří, kromě zaměření geodetické sítě bodů terestrickými metodami, volba referenčního elipsoidu, umístění geodetické sítě na elipsoidu a její orien-tace. V posledním desetiletí se geodetické základy v ČR budují výhradně dru-žicovými metodami v geocentrických prostorových souřadnicích. Také k za-měření několika desítek tisíc zhušťovacích bodů se používají družicové meto-dy.

V těchto skriptech je nejdříve věnována pozornost terestrickým metodám určo-vání polohy jednotlivých nebo několika zhušťovacích a podrobných poloho-vých bodů, tvořících zpravidla podklad pro další běžné geodetické prá-ce. Základními veličinami měřenými převážně terestrickými systémy (nazýva-nými často totálními stanicemi nebo elektronickými tachymetry) a nivelačními přístroji, jsou osnovy vodorovných směrů, šikmé délky, zenitové úhly a převý-šení. K výpočtu souřadnic se často používají přibližné metody, vycházející z nutného počtu měřených veličin (stať 5.1). Pak následují stručná odvození souřadnic různých druhů menších nebo větších sítí, zaměřených stejnými te-restrickými veličinami a vyrovnávaných metodou nejmenších čtverců (stať 5.2). V další části textu je informativně popsán globální polohový systém (GPS) s důrazem na principy souřadnicového vyrovnání družicových sítí (stať 5.3 a 5.4). V závěru jsou charakterizovány principy základních typů souřadni-cových vyrovnání spojených družicových a terestrických sítí (stať 5.5) a míst-ních (lokálních) sítí (stať 5.6).

5.1 Určení polohy bodů z úhlů a délek (přibližné me-tody výpočtu)

Při měření terestrickými přístroji se současně s polohou nově určovaných bodů určuje i třetí rozměr, jejich výška. Metody určení polohy a výšky bodů závisí od požadované přesnosti.. V následujících odstavcích budou uvedeny základní metody umožňující určení polohy bodů vycházející z nutného počtu měřených veličin. Způsoby určení výšek či převýšení jsou uvedeny v [49] a [21].

5.1.1 Rajon

Pod pojmem rajón se rozumí orientovaná a délkově zaměřená spojnice daného a určovaného bodu.

Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA) a další body o daných souřadnicích B (XB, YB)… k určení orientovaného jižníku αAP viz [29]. Zprostředkujícími veli-činami jsou měřená délka SAP a měřené směry ψi, i + 1 na daném bodě A viz obr. 5.1.


- 58 (176) -

Obr. 5.1 Výpočet rajónu

Souřadnice bodu P lze určit pomocí rovnic

APAAPAPAP XXSXX ∆+=⋅+= αcos , (5.1)

APPAPAPAP YYSYY ∆+=⋅+= αsin ,

kde ∆XAP = XP - XA, ∆YAP = YP - YA .

Znaménka souřadnicových rozdílů ∆XAP, ∆YAP jsou dána znaménky sinu a co-sinu αAP.

Poznámka Do vzdálenosti menší než 1500 m od stanoviska je možné budovat PBPP po-mocí rajónů. Při dlouhých rajónech je však třeba zvážit homogenitu sítě.

V případě určení polohy nově určovaného bodu je nutné provést orientaci as-poň na dva body. Při délce rajónu větší než 800 m je nutné měřit směry ve dvou skupinách. Délka rajónu nesmí být větší než nejvzdálenější orientace viz [50]. Délku rajon je nutné před výpočtem souřadnic bodu převést do zobrazo-vací roviny viz [22]

V některých případech se měří zprostředkující veličiny na bodě, jehož souřad-nice určujeme. Z měřených a daných veličin se vypočítá na místo orientované-ho jižníku αAP jižník σAP a poloha nově určovaného bodu se vypočítá podle rovnic (5.1)

Polohová přesnost nově určovaného bodu

Předpokládá se, že poloha daných bodů je bezchybná. Při určování polohové chyby se vychází z rovnic (5.1).

Y

X

SAPB

αAP

P

A


- 59 (176) -

Podle [51] jsou střední souřadnicové chyby m x , m y rovny 2

2222 cos ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+⋅=

ρα α AP

APAPSAPX

mYmm ;

22222 sin ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+⋅=

ρα α AP

APAPSAPY

mXmm .

Poznámka Podrobně i s příkladem je o přesnosti nově určovaného bodu pojednáno v [20].

Kontrolní otázky

Co se rozumí pod pojmem rajon?

Co potřebujeme znát pro výpočet souřadnic rajonu.?

V kterém směru se projeví chyba v měřené délce a v kterém chyba v měřeném směru?

5.1.2 Polygonové pořady a sítě

Hustota bodů základního bodového pole (ZBPP) nedostačuje pro účely polo-hopisného měření ve velkých měřítkách, ani potřebám mapování. Z těchto dů-vodů je nutné (ZBPP) doplnit o další body určené nejenom polohově, ale i výš-kově. Jinými slovy vybudovat tzv. podrobné bodové polohové pole (PBPP). Za současného stavu se PBPP podle [50] dělí na:

- zhušťovací body

- ostatní body podrobného bodového polohového pole.

Kategorie zhušťovacích bodů (dříve bodů podrobného bodového polohového pole 1. třídy přesnosti) má předepsanou přesnost danou základní střední sou-řadnicovou chybou velikosti 0,02 m vztaženou k nejbližším bodům ZBPP. Zhušťovací body se v současnosti budují převážně technologií GPS.

Kategorie ostatních bodů podrobného bodového polohového pole (dříve bodů 2. třídy přesnosti a nižší) je charakterizována přesností danou základní střední souřadnicovou chybou 0,06 m vztaženou k nejbližším bodům ZBPP.

Ostatní body podrobného bodového polohového pole se převážně určují poly-gonovými pořady a rajóny nebo využitím technologie GPS. Mohou být také určeny metodami protínání a trojúhelníkovými řetězci. V současnosti jsou tyto body budovány tam, kde se vyžaduje při zeměměřických pracích vyšší hustota bodů. O budování ZBPP a PBPP je pojednáno v [20], [40], [49].

Polygonový pořad je definován jako průmět prostorové lomené čáry do roviny. Jeho vrcholy jsou polygonové body. Spojnice polygonových bodů se nazývají polygonové strany. K určení polohy polygonových bodů se měří na polygono-vých bodech osnovy směrů, z nichž se určí vrcholové úhly. Délky stran se měří dvakrát - tam a zpět. Orientace pořadů se děje směrovým připojením z koncových bodů pořadů na body ZBPP, zhušťovací body a body PBPP.


- 60 (176) -

Z naměřených osnov směrů se na koncových bodech vypočítají orientované jižníky.

Soubory polygonových pořadů tvoří polygonovou síť .

Poznámka

V případě, že na počátečním a koncovém bodě pořadu je možná jen jedna ori-entace, vypočítají se směrová připojení z jižníků vypočtených z daných sou-řadnic na počátečním a koncovém bodě a měřených směrů na těchto bodech. K potlačení vlivu chyb z centrace se používá u polygonových pořadů trojpod-stavcové soupravy (nucené centrace).

Pokud jsou koncovými body polygonových pořadů body ZBPP, které jsou tr-vale

signalizovány (např. věže kostelů) bývají u těchto bodů zbudovány zajišťovací body, které mají stejnou polohovou přesnost jako body, ke kterým jsou zřizo-vány. Tyto body se používají jako koncové body polygonových pořadů.

Jsou-li zajišťovací body zničeny, nebo nebyly nalezeny, připojují se měření na body ZBPP nepřímo viz [22]

Polygonové pořady o kterých je podrobně pojednáno v [20] je možno dělit na:

a) základní typy polygonových pořadů (1 až 3)

b) speciální typy polygonových pořadů (4 až 6)

1. Polygonový pořad oboustranně připojený a oboustranně orientovaný - jedná se o základní polygonový pořad viz obr. 5.2.

2. Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně orientovaný viz obr. 5.3.

3. Polygonový pořad vetknutý - (oboustranně připojený bez orientací na koncových bodech) viz obr. 5.4.

4. Polygonový pořad jednostranně připojený a jednostranně orientovaný (dříve nazývaný volný polygonový pořad, končí na určovaném bodě) viz obr. 5.5.

5. Polygonový pořad uzavřený s orientací na počátečním bodě (začíná a končí na stejném bodě) obr. 5.6.

6. Polygonový pořad uzavřený neorientovaný ( v místní souřadnicové soustavě – žádný z bodů pořadu není dán souřadnicemi ) obr. 5.7.

Poznámka V následujících odstavcích týkajících se polygonových pořadů bude uveden jen zkrácený postup výpočtu a chybových rozborů. Podrobné pojednání je uvede-no v [20].


- 61 (176) -

5.1.2.1 Základní typy pořadů

5.1.2.1.1 Polygonový pořad oboustranně připojený a oboustranně oriento-vaný

Jsou dány souřadnice počátečního a koncového bodu pořadu A (XA,YA), B (XB,YB) a souřadnice dalších bodů k orientaci pořadu viz obr. 5.2.

K určení orientovaného jižníku αA1 na počátečním bodě, αB3 na koncovém bo-dě jsou měřeny osnovy směrů ψAi, ψBi a na polygonových bodech směry ψi-

1,i+1 k určení 'iω . Dále pak délky polygonových stran Si,i+1 viz obr. 5.2.

Poznámka U tohoto typu pořadu jsou měřeny tři nadbytečné veličiny uvnitř pořadu (jedna délka a dva vrcholové úhly) a další veličiny při orientacích na dva a více orien-tační směry. Dochází tedy při výpočtu k vyrovnání úhlovému a souřadnicové-mu.

Obr. 5.2 Polygonový pořad oboustranně připojený a oboustranně orientovaný

Postup výpočtu 1. Ze souřadnic daných bodů a osnov měřených směrů na počátečním a

koncovém bodě se vypočítají orientované jižníky αA1, αB3 viz [29].

2. Z naměřených směrů na vrcholech polygonového pořadu se vypočítají úhly '

1ω

1,1,'

−+ −= iiiii ψψω .

3. Z orientovaných směrů αA1, α3B a vrcholových úhlů 'iω se vypočte úh-

lový uzávěr Oω

'

33 BBO ααω −= , (5.2)

A SA1 S12 S23

S3BB

αA1

ω1

ω2

ω3

αB3

1

2

3

Y

X


- 62 (176) -

kde Rin

iiAB 2

1

'1

'3 −+= ∑

=

ωαα ,

i2R značí počet odečtených 2R při výpočtu jednotlivých jižníků.

4. Vypočtený úhlový uzávěr Oω se porovná s dovolenou odchylkou ∆ω. Je-li splněna podmínka ωω ∆≤O , pokračuje se dále ve výpočtu.

V případě překročení ∆ω je nutné po ověření daných a zprostředkují-cích veličin měření opakovat.

5. Následuje rozdělení Oω a to rovnoměrně nejenom na všechny vrcholo-vé úhly '

iω , ale i na orientované jižníky 1Aα , 3Bα .

nO

vi

ωω = ; ωωω vii += ' ; ωαα vAAi += 1

' ; ωαα vBB += 3'

3 .

kde n je počet bodů, na kterých bylo měřeno.

6. Vypočítají se vyrovnané jižníky viz [20]

iAA vωασ += '11

RA 21'

112 −+= ωσσ (5.3)

7. Následuje výpočet přibližných souřadnicových rozdílů ∆ Xi,i+1, ∆ Y i,i+1 z vyrovnaných jižníků 1, +iiσ a délek stran 1, +iiS . (V případě uvedeném na obr. 5.2 bude)

BBB

AAA

SX

SX

33'3

11'1

cos

cos

σ

σ

⋅=∆

⋅=∆MM ;

BBB

AAA

SY

SY

33'

3

11'1

sin

sin

σ

σ

⋅=∆

⋅=∆MM ; (5.4)

∑ ++ ⋅=∆4

11,1,

' cos iiiiAB SX σ ; ∑ ++ ⋅=∆4

11,1,

' sin iiiiAB SY σ .

8. Vypočtou se souřadnicové uzávěry OX, OY ze souřadnicových rozdílů daných bodů ∆XAB, ∆YAB a ze souřadnicových rozdílů vypočtených z rovnic (5.4 ) '

ABX∆ , 'ABY∆

'ABABX XXO ∆−∆= ; '

ABABY YYO ∆−∆= .

9. Vypočte se polohový uzávěr OP viz [20] 22YXP OOO +=

Polohový uzávěr musí splňovat podmínku

PPO ∆≤ ,

kde ∆P je mezní hodnota odchylky polohového uzávěru. Její velikost závisí na požadované přesnosti.

Je-li splněna tato podmínka přistoupí se k výpočtu oprav 1, +iixv ,

1, +iiyv .


- 63 (176) -

Pokud není splněno, že OS ≤ ∆S je nutné po kontrole vstupních prvků opakovat měření.

10. Vypočítají se opravy a vyrovnané souřadnicové rozdíly 1, +∆ iiX ,

1, +∆ iiY .

Jelikož se polygonové pořady měří terestrickými přístroji, je správnější rozdělit OX, OY rovnoměrně na vypočtené souřadnicové rozdíly '

1, +∆ iiX , '

1, +∆ iiY , potom bude:

11, −=

+ nO

v XiiX ;

11, −=

+ nO

v YiiY .

Souřadnicové rozdíly po opravách budou mít tvar

1,

'1,1, ++∆=∆ ++ iiXiiii vXX ;

1,'

1,1, +++ +∆=∆iiYiiii vYY .

11. Následuje výpočet vyrovnaných souřadnic určovaných bodů

11 AA XXX ∆+= ; 11 AA YYY ∆+=

1212 XXX ∆+= ; 1212 YYY ∆+= (5.5)

2323 XXX ∆+= ; 2323 YYY ∆+=

BB XXX 33 ∆+= ; BB YYY 33 ∆+= .

Poznámka: Doposud se převážně rozdělují OX, OY nejčastěji úměrně absolutním hodnotám souřadnicových rozdílů (nerovnoměrně).

1,1,

1, ++

+∆⋅

∆=∑ ii

ii

XiiX X

XO

v ; 1,1,

1, ++

+∆⋅

∆=∑ ii

ii

YiiY Y

YO

v

Takto rozdělované opravy na jednotlivé souřadnicové rozdíly neodpovídají současné realitě. Při měření terestrickými přístroji jsou délky měřeny v podstatě se stejnou přesností. V dřívějších dobách byly OX, OY rozdělovány úměrně k délkám stran, což mělo při tehdejší technice měřených délek opod-statnění. Uvedený způsob rozdělování odchylek je v současnosti vhodný pro S-JTSK, ve kterém jsou často souřadnicové odchylky převážně způsobeny nižší kvalitou S-JTSK než měření terestrickými přístroji.

Polohová přesnost nově určených bodů Pro snadnější odvození obecných rovnic se volí přímé pořady jen s jednou ori-entací na počátečním bodě o stejně dlouhých stranách, položené ve směru ně-které souřadnicové osy (v těchto případech ve směru osy Y). Dále se předpo-kládá, že jak orientační směry, tak i dané souřadnice jsou bezchybné. Tedy úhlová odchylka je tvořena jen chybami ve vrcholových úhlech. ωi. Odvozené závěry prakticky platí i pro pořady mírně zakřivené. Uvedené zjednodušení bude platit i při určování přesností ostatních typů pořadů.


- 64 (176) -

Z uvedeného je patrno, že chyby měřených délek 1, +iiS mají vliv jen na veli-kost souřadnicové odchylky OY (nazývanou podélnou odchylkou). Podobně všechny chyby v měření směrů (vrcholových úhlů ωi) ovlivňují jen souřadni-covou odchylku OX (nazývanou příčnou odchylkou).

K odvození středních chyb u tohoto typu pořadu se kromě uvedených zjedno-dušení předpokládá, že na koncovém bodě byla měřena jen jedna orientace.

Další poznatky k dané problematice jsou uvedeny v [15].

Podle [15] mají odvozené střední chyby 1,

,,+iiiYiX mmm σ tvar

( )( ) ( ) ( )( )NN

jjNjjNjjNjsmmiX 112

331411222

−+−+−−−

−−⋅= ω

( )( )1

1−

−−=

NjNjmm sYi

( )NNjjNNNmm

ii 1121212 223

1, −+−+

=+ ωσ ,

kde 2,1 +=+= nNij

Z chybových rozborů uvedených v [15] jsou střední chyby iYm stejné jako u

polygonových pořadů vetknutých, jednostranně orientovaných a oboustranně připojených ukončených na dané body.

Naproti tomu se vlivem úhlového vyrovnání snížily velikosti středních chyb 1,

,+iiiX mm σ . Stejně jako u ostatních typů pořadů jsou střední souřadnicové

chyby iYiX mm , maximální uprostřed pořadu a směrem k oběma koncovým

bodům se zmenšují. Naopak střední chyby jižníků polygonových stran jsou minimální uprostřed pořadu a maximální u první a poslední polygonové strany.

Poznámka U všech typů pořadů se podle [15] přesnost vyrovnaných souřadnic a směrníků bude často lišit od přesnosti teoretické. Skutečné chyby měřených veličin mají jednak náhodný charakter, tj. náhodnou velikost i znaménko, jednak mohou být přítomny v měřených veličinách systematické chyby různého druhu, popřípadě i malé hrubé chyby, způsobené různými příčinami. Teoretickou přesnost a s ní spojené chybové rozbory lze aplikovat na celé soubory polygonových pořadů, kde se již uplatňuje z hlediska pravděpodobnosti zákon velkých čísel.

Nesprávné je také odvozovat přesnost polygonových bodů z vypočítaných sou-řadnicových odchylek ωOOO YX ,, . Samozřejmě velké odchylky ukazují na malou přesnost měřených veličin nebo malou přesnost polohy připojovacích bodů, popřípadě orientačních směrů na připojovacích bodech. Malé souřadni-cové odchylky a malé úhlové odchylky nejsou ještě důkazem vysoké přesnosti určení souřadnic všech polygonových bodů. Příčinou malých odchylek může být příznivé seskupení větších skutečných chyb měřených veličin, i když od-povídající skutečná polohová přesnost určení jednotlivých bodů není zdaleka


- 65 (176) -

tak vysoká. Ze souřadnicových odchylek YX OO , a úhlové odchylky ωO je možno opět usuzovat na přesnost určení měřovaných bodů jen u celého soubo-ru pořadů, měřovaných se stejnými chybami metody měření délek a úhlů.

5.1.2.1.2 Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně oriento-vaný

Jsou dány souřadnice koncových bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a souřadnice C (XC, YC) … k orientaci polygonového pořadu na počátečním bodě. Měřeny jsou zprostředkující veličiny ψA,i na počátečním bodě pořadu a 1,1 +− iiψ na vrcholech pořadu. Dále pak délky stran Si,i+1 viz obr. 5.3. Uvedený typ pořadu je rozdílný oproti pořadu uvedenému v 5.1.2.1.1 tím, že je možné provést orientaci jen na počátečním bodě, což neumožňuje úhlové vyrovnání.

Tento typ pořadu může být použit v případě, že jeho délka je kratší než 1,5 km

[51]. Obr. 5.3 Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně orientovaný

Postup výpočtu

1. Vypočítá se orientovaný jižník (směrník) αA1 [29].

2. Vypočítají se souřadnicové rozdíly '1, +∆ iiX , '

1, +∆ iiY .

3. Vypočítají se OX, OY a polohová odchylka OP, která se porovná s ∆P.

4. Vypočítají se opravy vX, vY, o které se opraví '1, +∆ iiX , '

1, +∆ iiY .

5. Vypočítají se vyrovnané souřadnice určovaných bodů.

Poznámka Postup výpočtu mimo bod 1) je stejný jak je uvedeno v 5.1.2.1.1.

A SA1 S12

S2BB

αA1

ω1

ω21

2

Y

X C


- 66 (176) -

Polohová přesnost nově určovaných bodů Podle [15] jsou při vyrovnání polygonového pořadu přibližnými metodami střední souřadnicové chyby

1,,,

+iiiYiX mmm σ shodné s chybami pro vetknutý

polygonový pořad uvedenými v odstavci 5.1.2.1.3. Tato okolnost je způsobena značným zjednodušením při odvození středních chyb, uvedených v odstavci 5.1.2.1.1.

Poznámka Ve skutečnosti souřadnice bodů určených polygonovým pořadem oboustranně připojeným a jednostranně orientovaným jsou mnohem spolehlivější s lepší měřickou kontrolou, než určení polohy bodů vetknutým pořadem. Při výpočtu vetknutého pořadu se nemusí projevit ani některá hrubá chyba v jednom vrcho-lovém úhlu ωi, pokud nezpůsobí nedovolený polohový uzávěr OP.

5.1.2.1.3 Polygonový pořad vetknutý

Poznámka

Uvedený typ pořadu je možno použít v případě, že má nejvýše 4 strany a jeho délka nepřekročí 1,5 km viz [51]. Při využití tohoto typu pořadu je nutné vzít v úvahu, že hustota stávajícího PBPP je větší tak, že vetknutý polygonový po-řad může způsobit zhoršení homogenity bodového pole viz [40].

Polygonový pořad vetknutý lze řešit dvěma způsoby:

a) klasicky,

b) podobnostní transformací.

B

A

2

1

S2B S12

SA1SAB

S‘AB

y

x

ω2

ω1

ω

X

Y

Obr. 5.4 Polygonový pořad vetknutý


- 67 (176) -

Pro výpočet souřadnic nově určovaných bodů jsou dány souřadnice připojova-cích bodů A ( XA , YA ), B ( XB, YB ). Zprostředkujícími veličinami jsou smě-ry ψi–1, ψi+1 a délky stran Si,i+1. Úkolem je v našem případě vypočítat souřadnice bodů 1 a 2 viz obr. 5.4.

Postup výpočtu

1. Nejprve se zvolí pomocná souřadnicová soustava viz obr. 5.4.

2. Vypočítají se jižníky 1, +iiσ v pomocné soustavě.

RA 2'1 =σ

1'12 ωσ =

RB 22'12

'2 −+= ωσσ .

3. Vypočítají se souřadnicové rozdíly '1, +∆ iix , '

1, +∆ iiy

1'

11'

1 cos AAAA sSx =⋅=∆ σ ; OSy AAA =⋅=∆ '11

'1 sinσ

'1212

'12 cosσ⋅=∆ Sx ; '

1212'12 sinσ⋅=∆ Sy (5.6)

'22

'2 cos BBB Sx σ⋅=∆ ; '

22'2 sin BBB Sy σ⋅=∆

∑ ++ ⋅=∆

n

iiiiAB Sx1

'1,1,

' cosσ ; ∑ ++ ⋅=∆n

iiiiAB Sy1

'1,1,

' sinσ

4. Pro kontrolu se vypočítá délka SAB z daných souřadnic a délka 'ABS ze

souřadnic v pomocné soustavě. Vypočte se 'ABABS SSO −= a porovná

se s mezní odchylkou ∆S. V případě, že SOS ∆≤ , pokračuje se s dalším výpočtem. V případě nesplnění uvedené podmínky je nutné vykonat nové měření. K určení souřadnic lze použít dvou výpočtů:

a) Pomocí úhlového stočení ω a délkového zkreslení.

b) Pomocí podobností transformace.

ad a) Výpočet pomocí úhlového stočení a délkového zkreslení

1) Vypočte se úhel stočení ω viz obr. 5.4.

Nejprve se vypočítají jižníky ABσ , 'ABσ .

AB

ABAB XX

YY−−

= arctgσ ; AB

ABAB xx

yy−−

= arctg'σ .

Z rozdílu jižníku se určí úhel stočení ω 'ABAB σσω −= . (5.7)


- 68 (176) -

2) Vypočítají se jižníky v systému S-JTSK opravením již-níků vypočítaných v místním souřadnicovém systému o úhel stočení ω .

3) Vypočítají se přibližné souřadnicové rozdíly '1, +∆ iiX ,

'1, +∆ iiY a souřadnice nově určovaných bodů Xi, Yi postupem

uvedeným v 5.1.2.1.1.

ad b) Výpočet souřadnic bodů pomocí podobnostní transformace

Poznámka Pokud je při řešení výpočetních úloh v následujících odstavcích použito transformace budou neznámé parametry pro rozlišení shodnostní a podobnostní transformace rozlišeny symboly. Při shodnostní transformaci bude parametr a 1 = cosω a a2 = sinω2. U podobnostní transformace je parametr λ 1 ´= µ cos ω a λ 2 = µ sin ω. Nejprve se vypočítají souřadnice bodů v místním souřadnico-vém systému stejným způsobem, jak je uvedeno v bodě 1 až 3 ( ad a ) v tomto odstavci. Následuje sestavení rovnic pro výpočet parametrů λ1, λ2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

2

1

λλ

ABAB

ABAB

AB

AB

xyyx

YX

;

λ⋅= AX . (5.8)

Z toho

XA ⋅= −1λ .

Po výpočtu parametrů transformace λ1, λ2 se sestaví rovnice pro souřadnicové rozdíly 1, +∆ iiX , 1, +∆ iiY

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

++

++

+

+

2

1

1,1,

1,1,

1,

1,

λλ

iiii

iiii

ii

ii

xyyx

YX

, (5.9)

po výpočtu souřadnicových rozdílů se vypočítají souřadnice no-vě určovaných bodů.

V případě uvedeném na obr. 5.4 mají rovnice pro výpočet sou-řadnic určovaných bodů tvar

12111 AAA yxXX ∆−∆+= λλ ; 12111 AAA xyYY ∆+∆+= λλ

12212112 yxXX ∆−∆+= λλ ; 12212112 xyYY ∆+∆+= λλ (5.10)

BBB yxXX 22212 ∆−∆+= λλ ; BBB xyYY 22212 ∆+∆+= λλ .


- 69 (176) -

Poznámka Při výpočtu souřadnic určovaných bodů transformací se neurčují jižníky 1, +iiσ . V případě potřeby se vypočítají ze souřadnic nově určených bodů.

Polohová přesnost nově určených bodů Odvození středních chyb je u vetknutých polygonových pořadů složitější, pro-tože se nejprve určují souřadnice v pomocné souřadnicové soustavě a pak se transformují do dané soustavy.

Podle [15] mají střední souřadnicové chyby iYiX mm , tvar

( )( ) ( )16122221

2

−++−−

−−=N

jjNjNjNjsmm YX i;

( )( )1

1−

−−=

NjNjmm sYi

,

kde j = i + 1; N = n + 2.

Střední souřadnicové chyby směrníků 1, +ii

mσ mají tvar

( )16662 22

1, −+−−

=+ N

jNjNNmmii ωσ .

Na základě rozboru výsledných středních chyb [15] se dá konstatovat, že k největšímu růstu středních chyb dochází v příčném směru, kde hodnota

iXm do-sahuje několikanásobku vlivu střední chyby měřeného úhlu na délku polygo-nové strany ( )sm ⋅ω . Mnohem méně narůstá střední chyba

iYm ve směru pořa-du. Obě uvedené střední chyby dosahují maximálních hodnot uprostřed pořadu. Od středu pořadu k oběma koncovým bodům se jejich velikosti systematicky snižují. Opačný charakter má střední chyba

1, +iimσ , kde největší chyby jsou

v prvním a posledním jižníku. Jejich velikosti se snižují ke středu pořadu. Nejmenší hodnoty dosahují uprostřed pořadu.

5.1.2.2 Speciální typy polygonových pořadů.

Pro některé případy v geodetické praxi není možné využít polygonových pořa-dů uvedených v odstavcích 5.1.2.1.1 až 5.1.2.1.3. Jedná se především o práce v oblasti inženýrské geodézie, kde jsou kladeny vysoké požadavky na přesnost zprostředkujících veličin, tedy i určovaných veličin. Z těchto důvodů nelze pro mezní odchylky použít hodnot pro PBPP, ale speciálních odchylek stanove-ných pro různé typy prací.


- 70 (176) -

5.1.2.2.1 Polygonový pořad jednostranně připojený a jednostranně oriento-vaný (volný polygonový pořad)

Uvedený typ pořadu je znázorněn na obr. 5.5. Pořad je orientován jen na počá-tečním bodě, tedy není na konci úhlově ani délkově navázán na bod daný sou-řadnicemi, což neumožňuje kontrolu úhlového ani délkového vyrovnání.

Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA) a souřadnice bodů C (XC, YC) …, což umožňuje jednak kontrolu, že stojíme na správném bodě a současně se kvalit-něji určí orientace polygonového pořadu [29]. Zprostředkujícími veličinami jsou měřené směry Aiψ na daném bodě, 1,1 +− iiψ , na určovaných bodech a délky stan 1, +iiS .

Obr. 5.5 Polygonový pořad jednostranně připojený a jednostranně orientovaný

Postup výpočtu

1. Vypočítá se orientovaný jižník (směrník) 1Aα .

2. Z naměřených směrů 1, +iiψ , 1, −iiψ se vypočítají vrcholové úhly ωi a již-

níky '1, +iiσ viz 5.1.2.1.2

3. Vypočítají se souřadnicové rozdíly 1, +∆ iiX , 1, +∆ iiY

4. Vypočítají se souřadnice nově určovaných bodů

Polohová přesnost nově určených bodů Podle [15] mají střední souřadnicové chyby i-tého bodu polygonového pořadu tvar

A SA1 S12

S23

αA1

ω1

ω21

2

Y

X

3

C


- 71 (176) -

( )( ) 1;6

121−=

−−⋅= jmmjjjsmm sYX ii ω .

Střední chyby 1, +ii

mσ směrníků 1, +iiσ jednotlivých polygonových stran 1, +iiS se

určí podle rovnice

jmmii ωσ =+1,

Střední chyby nXm ,

nYm posledního bodu pořadu mají velikost

1;6

)12)(1(−=

−−= NmmNNNsmm sYX nn ω

kde j = i + 1; N = n + 2. Podle [15] jsou střední chyby

iXm v kolmém (příčném) směru k pořadu již u pořadu se šesti stranami rovny téměř desetinásobku hodnoty sm ⋅ω . Nepřízni-vé hromadění chyb v příčném směru je velkou nevýhodou delších polygono-vých pořadů. Střední chyba v podélném směru

iYm a střední chyba 1, +ii

mσ roste

mnohem pomaleji.

5.1.2.2.2 Polygonový pořad uzavřený

Polygonové pořady uzavřené jsou charakterizovány tím, že koncový bod pořa-du se ztotožňuje s bodem počátečním.

a) Polygonový pořad uzavřený s orientací na počátečním bodě Jsou dány souřadnice stanoviště A (XA, YA) a další body o daných souřadnicích, zprostředkujícími veličinami jsou měřené směry 1Aψ na daném bodě 1,1 +− iiψ , na určovaných bodech a délky 1, +iiS . Úkolem je určit souřadnice bodů Xi, Yi

viz obr. 5.6.


- 72 (176) -

Obr. 5.6 Polygonový pořad uzavřený s orientací na počátečním bodě

Postup výpočtu

1. Vypočítá se orientovaný jižník (směrník) 1Aα [29]

2. Vypočítá se úhlový uzávěr Oω

- v případě měření vnitřních úhlů je součet úhlů v n-úhelníku roven

( ) Rnn

i 221

−=∑ω

- v případě měření vnějších úhlů je součet úhlů v n-úhelníku roven

( ) Rnn

i 221

+=∑ω

úhlové odchylky Oω při měření vnitřních a vnějších směrů se ur-čí z rovnic

( ) ∑−−=n

iRnO1

'22 ωω ; ( ) ∑−+=n

iRnO1

'22 ωω

Je-li ωω ∆≤O rozdělí se úhlový uzávěr rovnoměrně na jednotlivé

úhly 'iω

iii vωωω += '

Není-li splněna tato podmínka je nutné po kontrole vykonat nové měře-ní.

3. Vypočítají se jižníky 1, +iiσ jednotlivých stran

A

SA1

S12

S23

αA1

ω1ω2

1 2

Y

3

ω4

S34

S4A ω3

4

X


- 73 (176) -

iAA vωαα += '

11

R

R

AAA

A

2

2

41

2112

−+=

−+=

ωσσ

ωσσMMMM

4. Vypočítají se přibližné souřadnicové rozdíly '1, +∆ iiX ; '

1, +∆ iiY

11'

1 cos AAA SX σ⋅=∆ ; 11'1 sin AAA SY σ⋅=∆

AAA SX 44

'4 cosσ⋅=∆

MM

AAA SY 44'

4 sinσ⋅=∆

MM (5.11)

1,1 1

1,'

1, cos +++ ⋅=∆∑ ∑ ii

n n

iiii SX σ ; 1,1 1

1,'

1, sin +++ ⋅=∆∑ ∑ ii

n n

iiii SY σ

Jelikož polygonový pořad začíná a končí na stejném bodě, měla by být

∑ =∆ +

n

ii OX1

1, a ∑ =∆ +

n

ii OY1

1, .Součty v rovnicích (4.11) představují

hodnoty OX, OY.

5. Další zpracování je shodné s postupem uvedeným v 4.1.2.1.1 .

Polohová přesnost nově určovaných bodů

U polygonového pořadu uzavřeného s orientací na počátečním bodě je poloho-vá přesnost za daných předpokladů přibližně stejná, jak je uvedeno v odstavci 4.1.2.1.1.

b) Polygonový pořad uzavřený neorientovaný

Uvedený typ polygonového pořadu se řeší v místní souřadnicové soustavě.

Jsou měřeny směry 1,1 +− iiψ a délky stran 1, +iiS . Do jedné strany se vloží kladná osa x viz obr. 5.7.Z měřených směrů se na jednotlivých vrcholech polygonové-ho pořadu vypočítají úhly ω´

i Vypočítá se úhlový uzávěr ( viz. 5.1.2.2.2.a. ), rozdělí se opravy vω na jednotlivé úhly '

iω a vypočítají se vyrovnané jižníky

1, +iiσ .


- 74 (176) -

Obr. 5.7 Polygonový pořad bez orientace na počátečním bodě (v místní sou-řadnicové soustavě)

Další zpracování je shodné s postupem uvedeným v 5.1.2.1.1.

Polohová přesnost nově určovaných bodů Polohová přesnost je přibližně stejná jak je uvedeno v odstavci 5.1.2.1.1.

Kontrolní otázky

Jaké metody se používají pro budování bodů ZBPP a PBPP ?

Jaká je předepsaná přesnost pro ZBPP a PBPP a čím je charakterizována ?

Jaké máme typy polygonových pořadů ?

Co si představujete pod pojmem orientovaný směrník ?

Co je dáno a jakým způsobem se vypočtou souřadnice určovaných bodů

polygonového pořadu oboustranně orientovaném a oboustranně připojeném ?

Jaký je rozdíl mezi polygonovým pořadem oboustranně připojeným a jed-nostranně

orientovaný a polygonovým pořadem oboustranně orientovaným a obou-stranně

připojeným ?

Jaké metody jsou pro výpočet polygonového pořadu vetknutého ?

Co si představujete pod pojmem polygonový pořad jednostranně připojený

a jednostranně orientovaný ?

S23

S34

S45

ω3 ω4

3 4

y

x

5 ω2

S12

ω5

2

S15

ω1


- 75 (176) -

Jaké známe polygonové pořady uzavřené a jak se od sebe liší ?

5.1.3 Protínání vpřed

Při protínání vpřed se poloha nově určovaného bodu získá z měření na daných bodech. Zprostředkujícími veličinami jsou osnovy směrů - protínání vpřed z orientovaných směrů. V dřívějších dobách, kdy byla malá hustota bodového pole a omezené možnosti výpočetní techniky, se velmi často používala metoda protínání vpřed z úhlů. Zcela výjimečně, a to v inženýrské geodézii se k určení polohy bodů užívá protínání z délek, kdy se délky měří z daných bodů. V současnosti při budování PBPP se dálkoměry umísťují na určovaných bo-dech, což má spíše charakter protínání zpět. Podrobněji o určování polohy bo-dů metodami protínání vpřed je pojednáno v [ 20 ].

5.1.3.1 Protínání vpřed z orientovaných směrů

Úkolem je určit souřadnice bodu P (XP, YP) viz obr. 5.8. Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB). Zprostředkujícími veličinami jsou měřené osnovy směrů na daných bodech, kde kromě směrů na určovaný bod se měří na další body o daných souřadnicích.

Obr. 5.8 Protínání vpřed z orientovaných směrů

Z naměřených osnov směrů se vypočítají orientované jižníky (směrníky)

αAP, αBP viz [29] .

Výpočet souřadnic určovaného bodu P se převede na analytické řešení průsečí-ku dvou přímek daných ve směrnicových tvarech viz obr. 5.8.


- 76 (176) -

Přímka m je dána bodem A a směrnicí αAP, přímka n bodem B a směrnicí αBP.

m: Yp = KA XP + QA ⇒ YP - KA XP = QA ,

n: YP = KB XP + QB ⇒ YP - KB XP = QB ,

kde KA = tg αAP; KB = tg αBP.

Rovnice přepsané do maticového zápisu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

B

A

P

P

B

A

QQ

XY

KK

11

.

Posune-li se souřadnicová soustava do bodu A viz obr. 5.8, bude QA = 0 a QB = ∆YAB - ∆XAB . KB.

Potom rovnice přejde na tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∆−∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

BABABAP

AP

B

A

KXYXY

KK 0

11

. (5.12)

Z rovnice se vypočítají souřadnice bodu P

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−∆⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

BABAB

AB

BAA

A

P

P

KXYKK

KKXY

XY 0

111 .

Tedy

ABA

BAP K

KKQYY−

+= ; BA

BAP KK

QXX−

+= , (5.13)

kde BABABB KXYQ ∆−∆= .

Posunutím počátku do bodu B je možno určit souřadnice bodu P z bodu B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆−∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡011

1 BAABAAB

BAP

P XKYKKKKX

Y.

V rovnici označíme ABAABA QXKY =∆−∆ .

Souřadnice bodu P se vypočítají z rovnic

BBA

ABP K

KKQYX−

+= ; BA

ABP KK

QXX−

−= . (5.14)

Polohová přesnost určovaného bodu Při určování přesnosti se opět předpokládá, že poloha daných bodů je bez-chybná.

Při odvození se vychází z rovnic pro výpočet orientovaných jižníků BPAP αα ; viz [29].

Podle [15] jsou střední chyby v orientovaných jižnících dány rovnicemi


- 77 (176) -

B

BBP

A

AAP t

tmmt

tmm 1;1 2222 +=

+= ΨΨ αα ,

kde Ψm jsou střední chyby v měřených směrech; BA tt , z počtů směrů měře-ných na stanoviscích, ze kterých byly určovány BA ZZ , .

Za předpokladu BA tt = je ααα mmmBPAP

== . Potom bude střední chyba v poloze nově určovaného bodu dána rovnicí

γα 2

2222

sinBPAP

PSSmm +

= .

V případě 1== BA tt bude střední chyba v poloze bodu stejná jako u protínání vpřed z úhlů viz 5.1.3.2.

Za předpokladu, že Ψm u protínání vpřed z měřených úhlů a protínání vpřed z měřených směrů je 1, ⟩BA tt , bude poloha nově určeného bodu protínáním vpřed z měřených osnov směrů přesnější než z měřených úhlů, neboť se zvyšu-jícím se počtem orientací se hodnoty střední chyby zmenšují.

5.1.3.2 Protínání vpřed z úhlů

Jsou dány dva body o daných souřadnicích A (XA, YA), B (XB,YB). Úkolem je určit souřadnice bodu P (XP, YP). K určení jeho polohy byly na daných bodech měřeny vodorovné směry. Na bodě A směry ψAB, ψAP a na bodě B směry ψBP, ψBA viz obr. 5.9. Z naměřených směrů se určí úhly α, β.

Obr. 5.9 Protínání vpřed z úhlů


- 78 (176) -

ABAP ψψα −= ; BPBA ψψβ −= . (5.15)

S využitím shodnostní transformace se určí souřadnice nově určovaného bodu.

Poznámka

Souřadnice daných bodů A, B jsou v civilním sektoru převážně v systému S-JTSK. Tato soustava bude považována za hlavní (značena velkými písmeny) do které se budou transformovat souřadnice bodu P (xp ,yp) v pomocné sou-řadnicové soustavě (značena malými písmeny).

Postup výpočtu Osa x pomocné soustavy se vloží do spojnice daných bodů A, B. ( shodnostní transformace ). Za počátek se zvolí bod A viz obr. 5.9. Souřadnice identických bodů v pomocné soustavě budou A (0, 0), B (SAB, 0).

Transformační parametry vypočítané z rovnic uvedených 3.3.1 mají tvar

AB

AB

SXa ∆

=1 ; AB

AB

SYa ∆

=2 . (5.16)

K sestavení zobrazení pro výpočet souřadnic bodu P v hlavní souřadnicové soustavě je nutné nejprve určit souřadnice bodu P v pomocné soustavě.

Podle obr. 5.9 lze psát:

αcotg⋅∆=∆ APAP yx ; βcotg⋅∆=∆ APPB yx . (5.17)

Sečtením a odečtením rovnic ( 5.17 ) určíme ∆ xAP a ∆yAP

J

Sy ABAP =∆ , (5.18)

kde J = (cotgα + cotgβ) .

αcotg⋅=∆J

Sx ABAP . (5.19)

Zobrazení pro bod P bude mít tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

aa

xyyx

YX

YX

APAP

APAP

A

A

P

P

Dosazením za a1, a2, ∆xAP, ∆yAP z rovnic 5.16, 5.18, 5.19 přejde rovnice na tvar

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

AB

AB

AB

AB

ABAB

ABAB

A

A

P

P

SY

SX

JS

JS

JS

JS

YX

YX

α

α

cotg

cotg.

Po úpravě bude


- 79 (176) -

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

AB

AB

A

A

P

P

YX

JYX

YX

αα

cotg11cotg1 .

Z toho

J

YXXX ABABAP

∆−∆+=

αcotg ; J

XYYY ABABAP

∆+∆+=

αcotg (5.20)

Obdobně se dají určit souřadnice bodu P od bodu B

J

YXXX ABABBP

∆+∆−=

βcotg ; JYXYY ABAB

BPβcotg∆−∆

−= (5.21)

Polohová přesnost nově určovaného bodu

Podle [15] je střední polohová chyba Pm dána rovnicí

γω 2

2222

sinBPAP

PSSmm +

= ,

kde ωm je střední chyba úhlů, γ je úhel při určovaném bodě P, SAP, SBP strany v trojúhelníku.

Nejvhodnější poloha bodu P vzhledem k bodům A, B, kdy je střední polohová chyba minimální, je podle [15] v případě, kdy

83

ABBPAP SSS == .

Z uvedeného vztahu vyplývá, že střední polohová chyba je minimální v případě rovnoramenného trojúhelníku, který má úhly βα = = 39,18gon a =γ 121,63gon.

Poznámka

Protínání vpřed z úhlů se v praxi používá minimálně. Ve většině případů se určuje poloha bodů z orientovaných směrů.

5.1.4 Protínání z délek

Protínáním z délek se rozumí určení polohy nově určovaného bodu pomocí měřených délek viz obr. 5.10.

Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB). Úkolem je určit souřadnice bodu P (XP, YP). Zprostředkujícími veličinami jsou měřené délky '

APS , 'BPS .

Pokud je to možné, měří se pro kontrolu i délka 'ABS .

Měřené délky 'APS , '

BPS , 'ABS se nejprve převedou do roviny Křovákova zobra-

zení.


- 80 (176) -

Obr. 5.10 Délkové protínání

Postup výpočtu Naměřené délky se opraví o fyzikální redukce - vliv tlaku a teploty a přístrojo-vé opravy - součtová konstanta, matematické redukce. Dále pak následuje pře-vedení délek do roviny příslušného zobrazení (v našem případě do S-JTSK). Takto se vypočítají délky APS , BPS , ABS . Podrobně o převodech délek do zob-razení je pojednáno v [22].

Pokud byla měřena délka mezi danými body, porovná se s délkou ABS vypoč-tenou ze souřadnic a to přímo v terénu . Vypočte se O S = SAB - SAB

Je-li OS menší než mezní odchylka ∆S pokračuje se dále ve výpočtu. K výpočtu se použije transformace. Do spojnice daných bodů A, B viz obr. 5.10 se vloží osa x. Do bodu A se umístí počátek pomocné souřadnicové soustavy. Souřad-nice identických bodů v pomocné soustavě jsou

A (O, O), B (SAB, O). Ze souřadnic identických bodů se vypočítají transfor-mační koeficienty a1, a2, které jako v 5.1.3.2 mají tvar

AB

AB

SXa ∆

=1 ; AB

AB

SYa ∆

=2 . (5.22)

Pro výpočet souřadnic bodu P v hlavní souřadnicové soustavě (v tomto případě S- JTSK) je nutné určit souřadnice bodu P v pomocné soustavě.

Z obr. 5.10 lze psát

222APAPAP Sxy =∆+∆ ; ( ) 222

BPAPABAP SxSy =∆−+∆ . (5.23)


- 81 (176) -

Odečtením druhé rovnice od první je

AB

BPABAPAP S

SSSx2

222 −+=∆ . (5.24)

Dosazením rovnice do první rovnice (5.23) bude 22APAPAP xSy ∆−=∆ .

Zobrazení pro bod P v maticovém zápisu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

AB

AB

APAP

APAP

ABA

A

P

P

YX

xyyx

SYX

YX 1 .

Z toho

AB

ABAPABAPAP S

YyXxXX

∆∆−∆∆+= ,

AB

ABAPABAPAP S

YxXyYY

∆∆+∆∆+= (5.25)

Polohová přesnost nově určeného bodu Při určení přesnosti v poloze nově určovaného bodu se opět předpokládá bez-chybnost daných bodů a SBPSAPS mmm == .

Při odvození se vychází z rovnic

( ) ( ) ( ) ( ) 222222 ; BPBPBPAPAPAP SYYXXSYYXX =−+−=−+−

Podle [15] jsou střední souřadnicové chyby YX mm , dány rovnicemi

22

222

sinsinsin

SAPBP

X mmγ

σσ += ;

22

222

sincoscos

SAPBP

Y mmγ

σσ +=

a střední polohová chyba rovnicí

22

2

sin2

ωγmmP ⋅= ,

kde γ je úhel při určovaném bodě a ωm střední chyba v určovaném úhlu.

Z uvedené rovnice je patrno, že nejvýhodnější poloha bodu P (minimální polo-hová střední chyba) vzhledem ke spojnici daných bodů je v případě γ = 100gon

Kontrolní otázky

Co je dáno a co je nutné měřit při protínání vpřed z orientovaných směrů ?

Bude poloha nově určovaného bodu přesněji určena protínáním vpřed z orientovaných směrů a nebo z měřených úhlů ?


- 82 (176) -

Zdůvodněte proč Vámi vybraná metoda za předpokladu, že mψ bude v obou případech stejná dává přesnější výsledek ?

Pokud nebudeme měřit stejnosměrné úhly u protínání vpřed z úhlů bude bez nákresu úloha jednoznačně zadaná ?

Při protínání vpřed z délek je možné pro výpočet použít přímo naměřených délek ?

Je postačující pro spolehlivost určení polohy bodu protínáním vpřed jen jedna kombinace?

5.1.5 Protínání zpět

Při určování polohy bodu metodami protínání vpřed byly měřeny zprostředku-jící veličiny na daných bodech. U určování polohy bodu metodou protínání zpět jsou zprostředkující veličiny měřeny na bodě, jehož poloha se určuje. Zprostředkujícími veličinami jsou vodorovné směry měřené na tři body o da-ných souřadnicích ( nutný počet ).

Pro výpočet protínání zpět je celá řada výpočetních postupů, které vždy vychá-zely z úrovně výpočetní techniky.

V uvedeném odstavci bude vysvětleno protínání zpět - Cassiniho řešení, které se k výpočtům nejvíce používá. Pro zajímavost a jednoduchost i Collinsovo řešení.

5.1.5.1 Cassiniho řešení

Myšlenka řešení vychází z Thaletovy poučky o obvodových úhlech nad průmě-rem kružnice. Sestrojí se kružnice k1 procházející dvěma danými body A a B a bodem P jehož poloha se určuje viz obr. 5.11. Spojí-li se bod B se středem kružnice S1 protne tato přímka kružnici v bodě T. Vznikne tak pravoúhlý troj-úhelník BTA. Protože tětiva AB leží proti úhlu ω1, bude úhel ω1 i při vrcholu T.

Obr. 5.11 Cassiniho řešení


- 83 (176) -

Stejným postupem se vytvoří kružnice k2 procházející body B, C, P. Spojnice bodu B se středem kružnice S2 protne kružnici k2 v bodě U. Vznikne pravoúhlý trojúhelník BCU a při vrcholu U bude úhel ω2. Body B a P leží v průsecích obou kružnic, proto úhly nad průměry obou kružnic jsou podle Thaletovy věty pravé viz [ 20 ].

Dané a zprostředkující veličiny:

Jsou dány tři body A (XA, YA), B (XB, YB), C (XC, YC) a měřené směry ψPA, ψPB, ψPC na určovaném bodě.

Postup výpočtu

1. Z naměřených směrů se vypočítají úhly ω1, ω2

ω1 = ψPB - ψPA ; ω2 = ψPC - ψPB

2. Vypočítají se jižníky σAB, σCB a délky stran SAB, SBC.

3. Vypočítají se souřadnice bodů T, U.

( ) ( ) 1cotgωABABBT YYXXXX −−−−= ,

( ) ( ) 1cotgωABABBT XXYYYY −+−−=

( ) ( ) 2cotgωBCBCBU YYXXXX −−−+= ,

( ) ( ) 2cotgωBCBCBU XXYYYY −+−+=

4. Vypočítají se směrnice přímek m kT (T - U) a přímky n kB (B -P)

TU

TUT XX

YYk

−−

= ; T

B kk 1

−= .

5. Vypočítají se souřadnice bodu P jako průsečík dvou přímek

( ) TTTPTPTPTTP XkYXkYXXkYY −=−⇒−=− ,

( ) BBBPBPBPBBP XkYXkYXXkYY −=−⇒−=− .

V maticovém zápisu budou mít rovnice tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

BBB

TTT

P

P

B

T

XkYXkY

XY

kk

11

.

Z toho

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

BBB

TTTTB

BTP

P

XkYXkYkk

kkXY

111 .

Po úpravách bude

( )BT

TBBTBTTBP kk

YkYkXXkkY−

−+−= ;

( )BT

BBTTTBP kk

XkXkYYX−

−+−= . (5.26)

Výpočet souřadnic bodu P se dá také řešit průsečíkem dvou přímek daných ve směrnicových tvarech viz 5.1.3.1.


- 84 (176) -

Řešení úlohy selhává pokud obě kružnice k1 a k2 splynou v jednu kružnici. Po-tom dané body i bod určovaný leží na jedné kružnici - kritická kružnice. Úloha nedává řešení také v případě, nachází-li se body v blízkosti této kružnice. Při výpočtu se to pozná podle toho, že jmenovatel v rovnicích (5.26) je nebo se blíží nule.

Polohová přesnost nově určovaného bodu Více informací o polohové přesnosti nově určeného bodu je uvedeno v [ 20 ]

Při odvození se opět předpokládá, že dané body jsou bezchybné. Při výpočtu se vychází z rovnic

ω1 = σ PB - σ PA , ω 2 = σ CP - σ PB

Chyba v poloze bodu podle [ 15 ] je dána výrazem

( ) ( )[ ]2

122

222

22 cos2cos2

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−++⋅−+= Ψ

ρωω

mrrrrrrrrA

m PBPAPBPAPCPBPCPBP ,

kde iP

iP Sr 1

= .

Z rovnice je patrno, že střední polohová chyba Pm je funkcí pěti proměnných - délek PCPBPA SSS ,, a úhlů 21 ,ωω . Podle [15] je Pm minimální za předpokla-du PCPBPA SSS == a 21 ωω + = 135gon.

5.1.5.2 Collinsovo řešení

Collinsova metoda výpočtu je uvedena jen graficky, bez odvození se struč-ným popisem. Toto řešení se často používalo v dřívějších dobách. Tak jako 5.1.5.1 jsou dány souřadnice bodů A, B, C a zprostředkující veličiny ω1, ω2. Více o tomto řešení se můžete dozvědět např. v [ 15 ].

Bodu A, C a bodu P, jehož poloha se určuje, se opíše kružnice viz obr. 5.12. Prodlouží se spojnice PB, která protne kružnici v bodě Q (Collinsův bod). S využitím Thaletovy věty o obvodových úhlech nad tětivou se úhly ω1, ω2 objeví v trojúhelníku A,C,Q. Jelikož jsou dány souřadnice bodů A, C a úhly ω1, ω2 , je možno vypočítat souřadnice bodu Q viz 5.1.3.2. Ze známých sou-řadnic bodů A,B,C,Q se určí úhly α, β, které se objeví v trojúhelníku A,C,P a opět z daných souřadnic A, C a úhlů α, β se určí souřadnice určovaného bodu P. Jak je patrno, celá úloha se řeší dvojím protínáním vpřed z měřených úhlů.

Úloha nemá řešení pokud určovaný bod P leží na spojnici A, C - kritická přím-ka a nebo pokud určovaný bod leží v její blízkosti.


- 85 (176) -

Kontrolní otázky

Jaký je nutný počet daných bodů k určení polohy nového bodu metodou pro-tínání zpět?

Vysvětlete princip řešení metodou Cassiniho.

Kdy Cassiniho metoda nedává řešení?

Vysvětlete princip řešení metodou Collinsovou.

Kde nedává Cassiniho metoda řešení?

Proč se upřednostňuje Cassiniho řešení před Collinsovým?

Jakým způsobem provedeme kontrolu vypočtených souřadnic?

5.1.6 Hansenova úloha

Úloha, která se používala v dřívějších dobách (malá hustota bodového pole a možnost tehdy použitelné měřící techniky), řeší současné určení souřadnic dvou bodů. Jsou dány dva body o souřadnicích A (XA, YA); B (XB, YB). Na bo-dech, jejichž poloha se určuje 1, 2, jsou měřeny vodorovné osnovy směrů. Z osnov směrů se vypočítají úhly α1, α2, β1, β2. Úkolem je určit souřadnice bodů 1 (X1, Y1), 2 (X2, Y2) viz obr. 5.13.

Obr. 5.12 Collinsovo řešení


- 86 (176) -

Obr. 5.13 Hansenova úloha

Postup výpočtu Do spojnice 1, 2 se vloží kladná osa x pomocné soustavy. Její počátek se umístí do bodu 1. Délka S12 se neměří, ale volí se délkový modul ( v tomto případě pro jednoduchost S12 = 1 = b).

Poznámka Lépe je volit délku b přibližné délce základny .

K sestavení zobrazení pro výpočet transformačních parametrů λ1, λ2 je nutné určit souřadnice identických bodů v pomocné soustavě viz obr. 5.13. Je-li b = 1 bude

JxA

2cotgα= ;

JyA

1= ,

NxB

1cotgα= ;

NyB

1=

kde J = cotgα2 + cotgβ2, N = cotgα1 + cotgβ1.

Zobrazení pro identické body má tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

2

1

λλ

ABAB

ABAB

AB

AB

xyyx

YX

.

Z této rovnice se vypočítají λ1, λ2.

Souřadnice bodů 1, 2 se určí z rovnic


- 87 (176) -

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

11

11

1

1

λλ

AA

AA

A

A

xyyx

YX

YX

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆−∆

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

22

22

2

2

λλ

AA

AA

A

A

xyyx

YX

YX

.

Rozepsáním maticového zápisu se obdrží souřadnice

bodu A:

21111 λλ AAA yxXX ∆−∆+= , 21111 λλ AAA xyYY ∆+∆+= ;

bodu B: (5.27)

22122 λλ AAA yxXX ∆−∆+= , 22122 λλ AAA xyYY ∆+∆+=

Úloha nemá řešení tehdy, leží-li některý z daných bodů na spojnici určovaných bodů 1, 2.

Kontrolní otázky

Kolik je nutný počet daných bodů pro řešení?

Osnovy směrů se měří na daných nebo určovaných bodech? Je nutné měřit délku pomocné základny?

Je vhodné volit délku b = 1 a nebo přibližně odpovídající délce 1,2?

5.1.7 Měřické body určené na přímkách a kolmicích, průsečíky přímek, průsečík se sekční čarou

Při podrobném měření se veškeré měřené body určují v souřadnicích. Tyto body se zaměřují z bodů o daných souřadnicích, které se převážně budují při podrobném měření polygonovými pořady. Body o daných souřadnicích tvoří kostru daných bodů - měřickou síť, kterou je nutno v řadě případů doplnit o další body. Způsoby určení jsou uvedeny v tomto odstavci.

5.1.7.1 Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce

Jsou dány souřadnice dvou bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a zprostředkující veliči-ny měřené délky sA1, s12, s2B. Hledanými veličinami jsou souřadnice bodů 1 (X1, Y1), 2 (X2, Y2) viz obr. 5.14.


- 88 (176) -

Obr. 5.14 Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce

Postup výpočtu Z daných souřadnic bodů A, B se vypočítá délka SAB, která se porovná s délkou měřenou BAm ssss 2121 ++= ( je potřeba zvážit kdy je nutné délku sm převést do zobrazovací roviny). Jelikož dané délky a měřené jsou zatíženy chybami bude mAB sS ≠ . Vypočítá se rozdíl délek OS, který se porovná s mezní odchyl-kou. Pokud je nutné převést délku sm do zobrazovací roviny, nejprve ji převe-deme a potom porovnáme s délkou SAB vypočtenou ze souřadnic.

mABS sSO −= ; SOS ∆≤ . (5.28)

Je-li splněna podmínka (4.28) je možné přistoupit k výpočtu, při kterém je po-užito transformace viz obr. 5.14. Opět osa pomocné soustavy x je vložena do spojnice bodů A, B a počátek do bodu A. Souřadnice identických bodů A, B a bodů 1, 2 v pomocné soustavě jsou:

A (0, 0); B (sm, 0); 1 (sA1, 0); 2 (sA2, 0).

Zobrazení pro identické body v maticovém zápisu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

2

1

00

λλ

m

m

AB

AB

ss

YX

(5.29)

Z rovnice ( 5.29 ) vypočteme λ1 a λ2

m

AB

sX∆

=1λ ; m

AB

sY∆

=2λ .

Zobrazení pro souřadnicové rozdíly ∆Xij, ∆Yij bude

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

2

1

00

λλ

ij

ij

ij

ij

ss

YX

.


- 89 (176) -

Z toho

1λijij sX =∆ ; 2λijij sY =∆ .

Podle obr. 5.14 bude

111 λAA sXX += ; 211 λAA sYY += ;

11212 λsXX += ; 21212 λsYY += ; (5.30)

122 λBB sXX += ; 222 λBB sYY += .

Poznámka

Při výpočtu souřadnic je nutné pro kontrolu správnosti výpočtu dodržet postup jak je uvedeno v rovnicích (5.30).

5.1.7.2 Pevná měřická přímka

Při měření podrobných bodů je někdy výhodné zaměřit je k měřické přímce nebo polygonové straně metodou pravoúhlých souřadnic (metodou ortogonál-ní).

Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a zprostředkující veličiny staničením a kolmicemi (sA1, k1C); (s12, k2D); s2B, které jsou současně souřadni-cemi v pomocné souřadnicové soustavě. Hledanými veličinami jsou souřadnice bodů C (XC, YC), D (XD, YD). K výpočtu bude opět použito transformace viz obr. 5.15.

Obr. 5.15 Pevná měřická přímka

Postup výpočtu Postup zpracování i s výpočtem parametrů je stejný jako v 5.1.7.1.

Zobrazení pro výpočet souřadnicových rozdílů bude mít tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

2

1

λλ

ikjk

jkik

ik

ik

skks

YX

. (5.31)


- 90 (176) -

Z toho

21 λλ jkikik ksX −=∆ ; 21 λλ ikjkik skY +=∆ .

Podle obr. 4.15bude

2111 λλ CAAC ksXX −+= ; 2111 λλ ACAC skYY ++= ;

2112 λλ CDCD ksXX ++= ; 2121 λλ skYY CDCD +−= ; (5.32)

2212 λλ DBDB ksXX ++= ; 2212 λλ BDDB skYY +−= ;

kde ( )CCCD kkk 12 +−= ;

Při výpočtu je nutné postupovat tak, jak je to uvedeno v obr. 5.15.

Polohová přesnost nově určovaných bodů

Za předpokladu, že poloha daných bodů je bezchybná je přesnost v poloze no-vě určovaného bodu závislá na přesnosti úsečky ijs , kolmici jkK , přesnosti zařazení paty kolmice do spojnice daných bodů a na přesnosti vytyčení pravé-ho úhlu.

Podle [30] bude střední chyba v poloze bodu dána vztahem

2

2

2222ωρ

ms

mmmm jk

jkij

KjKSP ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

a střední polohová chyba je daná vztahem 2

222⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ραAP

APAPSP

mSmm .

5.1.7.3 Volná měřická přímka

Tak jako 5.1.7.2 jsou opět dány souřadnice dvou bodů k jejíž spojnici je nutné zaměřit podrobné body metodou pravoúhlých souřadnic. Překážkou při měření je, že není přímá viditelnost mezi danými body. V tomto případě se volí vhod-ně zvolená přímka, ke které se dají pomocí úseček a kolmic zaměřit jak dané body tak i body, jejichž souřadnice se mají určit viz obr. 5.16.


- 91 (176) -

Obr. 5.16 Volná měřická přímka

Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a zprostředkující veličiny úsečkami sij a kolmicemi kjk daných a nově určovaných bodů ke zvolené mě-řické přímce.

K výpočtu je opět použito transformace.

Postup výpočtu Kladná osa x pomocné soustavy se vloží do zvolené měřické přímky. Počátek soustavy se může volit libovolně. V případě uvedeném na obr. 5.16 v patě kolmice spuštěné z daného bodu A. Nejprve je nutné vykonat kontrolní výpočet a to porovnáním délky SAB vypočítané ze souřadnic s délkou sAB vypočítanou z naměřených veličin.

22ABABAB YXS ∆+∆= ; ( ) 2

142

14 skks ABAB ++= (5.33)

Vypočítá se OS a porovná s mezní odchylkou ABABS sSO −= ; SOS ∆≤ . Bude-li překročena mezní odchylka, je nutné po kontrole vstupních prvků vy-konat nové měření.

V pomocné souřadnicové soustavě mají identické body souřadnice A (O, k1A), B (S14, -k4B) a určované body C (s12, -k2C), D (s13, - k3D).

Rovnice pro výpočet transformačních parametrů viz obr. 5.16 budou mít tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

2

1

14

14

λλ

skks

YX

AB

AB

AB

AB ; (5.34)

kde ( )BBAB kkk 14 +−= , ( )34231214 ssss ++= ;


- 92 (176) -

z toho

( )ABABABAB

YkXsS

∆−∆= 14211λ , ( )ABABAB

AB

XkYsS

∆+∆= 14221λ .

Souřadnice C a D se vypočítají z rovnic uvedených v (5.1.7.2). Pro kontrolu správnosti výpočtu se musí končit na bodě B viz obr. 5.18.

2112 λλ ACAC ksXX ++= ; 2121 λλ skYY ACAC +−= ;

2123 λλ CDCD ksXX −+= ; 2231 λλ skYY CDCD ++= ; (5.35)

2134 λλ DBDB ksXX ++= ; 2341 λλ skYY DBDB +−= ;

kde ( )CAAC kkk 21 +−= , ( )DCCD kkk 32 += , ( )BDDB kkk 43 +−= .

5.1.7.4 Průsečík dvou přímek

Jsou dány přímky m a n. Přímka m je dána body A, B o souřadnicích A (XA, YA), B (XB, YB). Přímka n je dána body C, D o souřadnicích C (XC, YC), D (XD, YD). Úkolem je určit souřadnice průsečíku P (XP, YP) viz obr. 5.17.

Obr. 5.17 Průsečík dvou přímek

Rovnice přímek mají tvar

m: 0111

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

BB

AA

PP

YXYXYX

; n: 0111

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

DD

CC

PP

YXYXYX

. (5.36)

Rozepsáním rovnic se obdrží

m: ( ) AAAPAPAPAP XkYXkYXXYY −=−⇒−=−

n: ( ) CCCPCPCPCCP XkYXkYXXkYY −=−⇒−=− ,

kde ABAk σtg= , CDCk σtg= .

Rovnice v maticovém zápisu budou


- 93 (176) -

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

CCC

AAA

P

P

C

A

XkYXkY

XY

kk

11

(5.37)

Z toho

bxA =⋅ , bAx ⋅= −1

V případě, že det A ≠ 0 vypočítají se souřadnice bodu P

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

CCC

AAAAC

CAP

P

XkYXkYkk

kkXY

111

rozepsáním rovnice a úpravách bude

( )

CA

ACCACACAP kk

YkYkXXkkY

−−+−

= , ( )

CA

CCAAAcP kk

XkXkYYX

−−+−

= (5.38)

Poznámka Výpočet průsečíku dvou přímek lze vypočítat i ze vzorců uvedených v 5.1.3.1.

5.1.7.5 Úhel dvou přímek

Jsou dány dvě různoběžné přímky m a n. Přímka m je dána body A, B o sou-řadnicích A (XA, YA), B (XB, YB). Přímka n body C, D o souřadnicích C (XC, YC), D (XD, YD). Úkolem je určit úhel, který svírají dané přímky viz obr. 5.18.

Obr. 5.18 Úhel dvou přímek

Obě přímky rozdělují roviny na čtyři konvexní neorientované úhly, z nichž dva a dva mají stejnou velikost.


- 94 (176) -

Nejprve se vypočítají směrové vektory u, v . Postup výpočtu i s příklady je uveden např.v [5].

( ) ( )21 ,, uuYYXXAB ABAB =−−=−=u , (5.39)

( ) ( )21 ,, vvYYXXCD CDCD =−−=−=v ,

dosazením do vzorce pro skalární součin bude

22

21

22

21

2211cosvvuu

vuvu

+⋅+

+=ϕ . (5.40)

Jestliže je žádoucí určit úhel ψ, může se vypočítat ze vztahu ϕπψ −= , nebo přímo a to tak, že ze směrových vektorů se opačně orientuje např. v.

Potom u = (u1u2); -v = (-v1, -v2)

22

21

22

21

2211cosvvuu

vuvu

+⋅+

−−=ψ .

Poznámka

Úhel dvou přímek se dá také určit rozdílem jižníků σAB, σCD:

ABCD σσϕ −= . (5.41)

5.1.7.6 Průsečík měřické přímky se sekční čarou

Měřická přímka je určena body A (XA, YA), B (XB, YB), z nichž každý leží na sousedních mapových listech (sekcích) viz obr. 5.19. V řadě případů je potřeba měřickou přímku zobrazit. Proto je nutné určit souřadnice průsečíku se sekční čarou P (XP, YP).

Obr. 5.19 Průsečík měřické přímky se sekční čarou


- 95 (176) -

Podle obr. 5.19 lze psát

( )AB

ABAPAP YY

XXYYXX−−

−=− , ( )APAB

ABAP YY

YYXXXX −

−−

+= .

V případě potřeby určení průsečíku měřické přímky s osou Y bude

( )AB

ABAPAP XX

YYXXYY−−

−=− , ( )APAB

ABAP XX

XXYYYY −

−−

+= . (5.42)

Kontrolní otázky

Při výpočtu souřadnic bodů na měřické přímce a na kolmici se pro výpočet λ1,λ2 použije délka měřená nebo délka vypočtená ze souřadnic?

Jakým způsobem provedeme kontrolu, že vypočtené souřadnice bodů na mě-řické přímce nebo na kolmici jsme určili správně?

Jakým způsobem ověříme, že při určování souřadnic bodů metodou volné měřické přímky skutečně vycházíme a končíme na bodech o daných souřad-nicích?

Jaký zvolíme výpočetní postup při určování souřadnic metodou volné měřic-ké přímky, abychom současně kontrolovali správnost souřadnic nově určo-vaných bodů?

Jakými metodami lze vypočítat průsečík dvou přímek?

Jakým způsobem určíme souřadnice průsečíku přímky se sekční čarou?

5.2 Terestrické sítě

Názvem terestrické sítě jsou ve skriptech [20] označovány geodetické sítě, jejichž body jsou zaměřeny jen terestrickými veličinami. K nim patří přede-vším osnovy vodorovných směrů, zenitové úhly a šikmé délky, měřené univer-zálními přístroji (tzv. totálními stanicemi) a nivelační převýšení (měření nive-lačními přístroji). K tomu mohou přistupovat azimuty měřené astronomicky nebo gyroteodolity a souřadnicové rozdíly, získané inerciálními měřickými systémy (IMS). Měřické metody, zpracování měření a měřických souborů a převod výsledných měřených nebo fiktivních veličin do rovinných nebo pro-storových souřadnicových systémů byly probírány v předchozích částech předmětu geodézie a čtenář je najde např. v publikacích [21], [22], [29].

Všechny geodetické sítě se vyrovnávají MNČ. K snadnějšímu pochopení jsou nejdříve probírána souřadnicová vyrovnání jednoduchých typů sítí, tj. sítě úh-lové, délkové a výškové. Teprve pak dochází k odvození souřadnicového vy-rovnání sítí kombinovaných, které se dnes v praxi převážně používají. Pokud se používá rovinného zobrazení S-JTSK a normálních výšek Bpv, jsou výchozí měřené veličiny definovány osnovami směrů ψij v Křovákově zobrazovací ro-vině, zenitovými úhly zij (vztaženými k tečné rovině referenčního elipsoidu), šikmými délkami dij, nivelačními převýšeními nhij (normální převýšení), azi-muty Aij v Křovákově zobrazení a odpovídajícími souřadnicovými rozdíly ∆Xij, ∆Yij, ∆Hij (odvozenými z měření IMS).


- 96 (176) -

5.2.1 Úhlové sítě

Úhlové sítě jsou nejstarším typem budovaných polohových sítí, protože běžná geodetická měřická technika až do šedesátých let minulého století sestávala převážně z teodolitů a nivelačních přístrojů. Prakticky sestávaly základní polo-hové sítě z trojúhelníků se všemi měřenými vodorovnými úhly. Proto se nazý-valy trigonometrickými sítěmi. Pouze u zhušťovacích sítí nemusela síť tvořit trojúhelníky, ale poloha všech bodů byla určena dostatečně hustými osnovami vodorovných směrů a krátkých délek, zpravidla do 150 m až 200 m.

Odvození vyrovnání úhlové sítě v zobrazovací rovině vychází z příkladu spo-lečného určení rovinných souřadnic dvou bodů P (XP,YP), Q (XQ,YQ) na obr. 5.20. Oba body jsou polohově připojeny na nejbližší dané body K ≡ A,B,C,D a orientačně navazují na další známé body K ≡F,G. Měřené osnovy směrů ψPi, ψQi na bodech P,Q včetně společné oboustranné záměry ψPQ, ψQP a směrů na body A,B,C,D,E se nazývají vn i t řn í smě r y . Směry z okolních bodů ψAP, ψDP, ψAQ, ψDQ na body P,Q se nazývají v n ě j š í směry. Pro přesné sítě a dlouhé záměry se převádějí měřené směry do zobrazovací roviny [15]. U zhušťovacích bodů a u krátkých záměr jsou korekce tak malé, že se obvykle zanedbávají

Obr. 5.20 Schéma úhlové sítě se dvěma určovanými body P,Q

Pro každý měřený směr ψij je třeba sestavit rovnici oprav ij

vψ . Rovnice oprav

je možno odvodit pro směry ψPQ a ψQP , měřené mezi určovanými body P,Q. K odvození obecného tvaru rovnic oprav se v dalším textu používá označení určovaných bodů symbolů T,U ≡ P, Q, R, …. Pak opravy směrů ψTU, ψUT měřených mezi libovolnými dvěma určovanými body T,U vyjadřují vztahy [16], [20]

vψTU = σTU - αTU , vψUT = σUT - αUT , (5.43)

kde σTU , σUT jsou vyrovnané směrníky mezi oběma body (σUT = σTU ± 200 gon) a αTU , αTU odpovídající vyrovnané orientované směry.


- 97 (176) -

Směrníky jsou dány rovnicemi

σTU = arctgTU

TU

XXYY

−−

, σUT = arctgUT

UT

XXYY

−−

.

Orientované směry αTU , αUT se vypočtou pomocí orientačních posunů osnov směrů αoT , αoU podle vztahů

αTU = ψTU + αoT , αUT = ψUT + αoU , αoT = T

TKTK

t)( ψσ −Σ , αoU =

U

UKUK

t)( ψσ −Σ

,

kde tT, tU jsou počty měřených směrů v osnovách na určovaných bodech T,U a indexy K označují opět okolní dané body, na které byly měřeny směry ψTK, ψUK .

Vyrovnané souřadnice a orientační posuny se vyjádří součty jejich přibližných hodnot ////// ,,,,,

UoToUUTT YXYX αα a vyrovnávaných přírůstků δXT,δYT, δXU,δYU, δαT,δαU

.,

,,,,//

////

UooToo

UUUUUUTTTTTT

UUTT

YYYXXXYYYXXX

δαααδααα

δδδδ

+=+=

+=+=+=+=

Rozvojem směrníků σTU , σUT v Taylorovu řadu se zanedbáním členů druhé-ho a vyšších řádů lze napsat

σTU = ,/U

U

TUU

U

TUT

T

TUT

T

TUTU Y

Yf

XXf

YYf

XXf

δδδδσ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+

σUT = ,/U

U

UTU

U

UTT

T

UTT

T

UTUT Y

Yf

XXf

YYf

XXf

δδδ

δδδσ +∂∂

+∂∂

+∂∂

+

kde přibližné směrníky

≡/TUσ arctg //

//

TU

TU

XXYY−−

, ≡/UTσ arctg //

//

UT

UT

XXYY

−−

a parciální derivace

.cos

,sin

,cos

,sin

,cos

,sin

,cos

,sin

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

TU

TU

U

UT

TU

TU

U

UT

TU

TU

T

UT

TU

TU

T

UT

TU

TU

U

TU

TU

TU

U

TU

TU

TU

T

TU

TU

TU

T

TU

SYf

dSX

fc

SYf

bSX

fa

SYf

dSX

fc

SYf

bSX

fa

UTUT

UTUT

TUTU

TUTU

σρ

σρ

σρ

σρ

ρρ

σρ

σρ

σρ

ψψ

ψψ

ψψ

ψψ

=∂∂

≡−=∂∂

≡

−=∂∂

≡=∂∂

≡

=∂∂

≡−=∂∂

≡

−=∂∂

≡=∂∂

≡


- 98 (176) -

Rovnice oprav nabývají tvaru

vψTU = aψTU δXT + bψTU δYT + cψTU δXU + dψTU δYU – δαT + ℓψTU , (5.44)

vψUT = aψUT δXT + bψUT δYT + cψUT δXU + dψUT δYU – δαU + ℓψUT .

Přitom aψTU = aψUT ≡ -cψTU = -cψUT , bψTU = bψUT ≡ -dψTU = -dψUT a

., ////UoUTUTToTUTU

ασασ ψψ −=−= ll

Rovnice oprav mají maximálně pět neznámých veličin, pokud směr je měřen mezi dvěma určovanými body, tj. čtyři souřadnicové přírůstky a jeden přírůstek orientačního posunu. Pro směry měřené mezi jedním daným a jedním určova-ným bodem se počet neznámých snižuje na tři, tj. dva souřadnicové přírůstky a jeden přírůstek orientačního posunu. Rovnice oprav pro směry měřené mezi danými body obsahují jen přírůstek orientačního posunu.

Některé výpočetní postupy využívají tzv. r e d u k o v a n ý c h r o v n i c o p r a v , které vznikají eliminací vyrovnávaných orientačních posunů [16]. Redukované rovnice se odvozují zvlášť pro každou zaměřenou osnovu směrů. Např. rovnice oprav pro osnovu směrů na bodě P mají tvar (obr. 5.20)

vψPQ = aψPQ δXP + bψPQ δYP + cψPQ δXQ + dψPQ δYQ - δαP + ℓψPQ ,

vψPA = aψPA δXP + bψPA δYP + - δαP - ℓψPA , (5.45)

vψPB = aψPB δXP + bψPB δYP + - δαP - ℓψPB ,

: : : : :

vψPK = aψPK δXP + bψPK δYP + - δαP - ℓψPK .

Jejich součet je (pro i = Q, A, B, … K)

ΣvψPj ≡ 0 = δXP ΣaψPj+ δYP ΣbψPj+ δXQ cψPQ + δYQ dψPQ – tP δαP + ΣℓψPj ,

kde tP je počet měřených směrů na bodě P a index j označuje okolní body, na které byla osnova směrů měřena.

Z rovnice se vypočte přírůstek orientačního posunu δαP a dosadí do původ-ních rovnic oprav. Po eliminaci orientačního posunu nabývají r e d u k o v a n é r o v n i c e o p r a v tvaru

vψi = PiQPQQPQPPiPPiYdXcYbXa ψψψψψ δδδδ l++++ , (5.46)

.

,,,,

P

PPPP

t

t

ddd

t

ccc

t

bbb

ta

aa

Pi

PiPi

PQ

PQPQ

PQ

PQPQ

Pi

PiPi

Pi

PiPi

ψψψ

ψψψ

ψ

ψψψ

ψψψ

ψψ

lll

Σ−=

−=−=Σ

−=Σ

−=

Eliminací orientačních posunů se výrazně sníží počet normálních rovnic. Jestli-že původní rovnice oprav obsahují 2u + s neznámých (u je počet určovaných bodů a s počet zaměřených osnov směrů), redukované rovnice oprav mají jen 2u vyrovnávaných neznámých souřadnicových přírůstků.


- 99 (176) -

Souřadnicové vyrovnání libovolného počtu určovaných bodů má s redukovanými rovnicemi oprav obecný tvar (stať 3.2) vψ = Aψ δu + ℓψ, (5.47)

kde vψ = ,

A..

AAA

.

.AA

A,

v..

vvv

.

.vv

N

B

A

Z

Q

P

N

B

A

Z

Q

P

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

δu =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

Z

Q

Q

P

P

YX

YXYX

δδ

δδδδ

.

., ℓψ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

N

B

A

Z

Q

P

.

.

.

.

l

l

l

l

l

l

.

Subvektory a submatice označují jednotlivé osnovy měřených směrů na určo-vaných i daných bodech (P,Q,R, … Z; A,B,C, …N).

Z normálních rovnic

Nψ δu + nψ = o,

Kde Nψ = ,, ψψψψψψ PAnAPA TT =

se vypočte vektor neznámých

δu = .1ψψ nN −− (5.48)

Váhová matice Pψ je diagonální

Pψ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

N

A

Z

P

P.00.0......0.P0.00.0P.0......0.00.P

, kde pij = 2jim

k

ψ

.

Pokud je použito na všech bodech stejné měřické metody a délky záměr nejsou příliš rozdílné, volí se zpravidla váha všech měření stejná a rovna jedné.

Z vypočtených oprav vψ se odhadne střední jednotková chyba mψo pro váhu po = 1

2omψ =

ν−n1

ψψψ vPvT ,


- 100 (176) -

kde n je počet všech měřených směrů a ν (≡ 2u + s) počet nutně měřených směrů (neznámých).

Odhad středních souřadnicových chyb mx určovaných bodů poskytuje diago-nála Vx kovarianční matice Mx (stať 3.2)

Mx = 2omψ Qx , mx = Vx j , Qx = N 1−

ψ , (5.49)

mx = [ 2222 ...,,,ZQPP YXYX mmmm ], j = [1,1, 1, … 1]T.

Typickými úhlovými sítěmi na území ČR jsou JTSK a AGS. JTSK byla vybu-dována postupně. Do trigonometrické sítě I. řádu byly postupně vkládány sítě II. až V. řádu [15], [20]. Celá JTSK byla zaměřena ve dvacátých až padesátých letech minulého století.

M ě ř e n é a z i m u t y ATU zkvalitňují orientaci sítí a jejich částí. K vyrovnání azimutů dochází, pokud jsou zaměřeny ve společné síti nebo její části alespoň dva azimuty. Pak odvození rovnice oprav vychází ze vztahu

vαTU = σTU - αTU - δω . (5.50)

Po rozvoji v Taylorovu řadu (stať 3.2) má rovnice oprav vypočteného směrníku αTU , odvozeného z azimutu ATU , podobný obecný tvar jako u vodorovných směrů ψTU (5.44)

vαTU = aαTU δXT + bαTU δYT + cαTU δXU + dαTU δYU – δω + ℓαTU. (5.51)

Koeficienty aαTU , bαTU , cαTU , dαTU jsou totožné se směrovými koeficienty

aψTU , bψTU , cψTU , dψTU a δω je úhlové stočení souřadnicových os X,Y, které se např. u JTSK pohybuje kolem 2 mgon, a absolutní člen ℓαTU = TU

/TU ασ − .

Přibližný směrník /TUσ je vypočten z přibližných souřadnic /

U/

U/

T/

T Y,X,Y,X určovaných bodů T,U. Měřené azimuty se uplatňují jen v rovinných souřadni-cích.

Z e n i t o v é ú h l y slouží v rovinných sítích k převodu šikmých délek dij na délky ijs v dané zobrazovací rovině. Někdy se však vyrovnávají současně i výšky HV určovaných bodů T,U (= P,Q,R, …). Zenitové úhly se opravují o opravu ze standardní refrakce δkij [16], [20], popřípadě i o opravu δtij, vyplýva-jící z tížnicové odchylky, jde-li o elipsoidické výšky. Opravené zenitové úhly jsou dány výrazy

kzij = ijij kz δ+/ , ezij = /ijz + δkij+ δtij.

Podrobnější údaje jsou v publikacích skriptech [16] a [20].

Zenitové úhly odlišné od 100 gonů mají vliv i na rovinné souřadnice Xt,Yt ur-čovaných bodů. Obecný tvar výsledné rovnice oprav vzTU mezi určovanými body T,U vyjadřuje rovnice

(5.52)

,TUzUTUzUTUzUTUzTTUzTTUzTTUzTUz HfYeXdHcYbXav l++++++= δδδδδδv níž je šest neznámých souřadnicových přírůstků δXT, δYT, δHT, δXU, δYU, δHU


- 101 (176) -

a absolutní člen TUTUz zZTU

−= /l . Symbol /TUZ označuje zenitový úhel vy-

počtený z přibližných souřadnic ////// ,,,,, UUUTTT HYXHYX

pomocí vztahu odvozeného z normálového řezu náhradní koule Země (viz obr. 4.25 na str. 90 ve skriptech [20])

=/TUZ arctg 222

2

TUoT/

T/

U

TUo/

U

s)HR()HH(R

s)HR(R

+−−

+. (2.53)

Z rovnice je možno odvodit zenitové koeficienty rovnice oprav, jejichž přibliž-né hodnoty jsou

.S

zsinf,

Ssinzcos

e,S

coszcosd

,S

zsinc,

Ssinzcos

b,S

coszcosa

/TU

/TU

TUz/TU

/TU

/TU

TUz/TU

/TU

/TU

TUz

/TU

/TU

TUz/TU

/TU

/TU

TUz/TU

/TU

/TU

TUz

ρσ

ρσ

ρ

ρσ

ρσ

ρ

−=−==

==−=

Další podrobnosti jsou uvedeny v publikacích [16], [20].

Rovnice oprav jsou vhodné pro souřadnicové vyrovnání přesných prostorových polohových sítí a místních sítí v inženýrské geodézii (stať 5.4.1 a 5.6).

Kontrolní otázky

Jaké jsou nedostatky sítě úhlových sítí (včetně JTSK) z hlediska současné přístrojové techniky?

Jaký je počet neznámých ve vyrovnání úhlových sítí?

Jaký je postup výpočtu rovnic oprav měřených vodorovných směrů?

Co jsou redukované rovnice oprav vodorovných směrů a jak se odhaduje přesnost vyrovnaných souřadnic?

Jak se volí váhy měřených vodorovných směrů a jak se odhaduje přesnost vyrovnaných souřadnic a jejich funkcí?

Jaký je rozdíl mezi rovnicemi oprav vodorovných směrů a azimutů?

Jaký tvar mají rovnice oprav zenitových úhlů?

Poznámka K porozumění metod vyrovnání je nutné dobře znát tvar rovnic oprav a postu-py výpočtů MNČ včetně analýzy přesnosti. Nebudete-li znát odpovědi na některé otázky, je třeba se vrátit k prostudování dané látky, popřípadě si vyžá-dat konzultaci.

5.2.2 Délkové sítě

Délkové sítě se začaly projektovat po druhé světové válce. S rozvojem prvních elektronických dálkoměrů se začaly budovat i samostatné délkové sítě, V současné době se samostatné délkové sítě používají jen výjimečně.


- 102 (176) -

Pokud se odvozují rovinné souřadnice určovaných bodů, převádějí se měřené šikmé délky dij do zobrazovací roviny a v dalším textu se označují symbolem sij. Přitom indexy i, j označují jak body dané K = A,B,C, … tak i body určo-vané V ≡ T,U (=P,Q,R, …).

Rovnice oprav TUSv mezi dvěma určovanými body v zobrazovací rovině vy-chází ze vztahu [20]

Obr. 5.21 Jednoduchá délková síť se dvěma určovanými body

vSTU = STU – sTU , (5.54)

kde STU = fS je délka vypočtená z vyrovnaných souřadnic obou určovaných bodů T,U.

Vyrovnaná délka je součtem přibližných souřadnic /U

/U

/T

/T Y,X,Y,X a jejich

vyrovnaných přírůstků δXT, δYT, δXU, δYU. Rozvojem v Taylorovu řadu je

vSTU = ,sYYf

XXf

YYf

XXf

S TUUU

SU

U

ST

T

ST

T

S/TU −

∂+

∂+

∂∂

+∂∂

+ δδ

δδ

δδ

kde /TUS je délka vypočtená z přibližných souřadnic

=/TUS [ 2//2// )()( UTUT YYXX −+− ] 0,5 .

Po výpočtu parciálních derivací

,sin,cos //TUTUS

T

STUTUS

T

S bYf

aXf

σσ −=≡∂∂

−=≡∂∂

// sin,cos TUTUSU

STUTUS

U

S dYf

cXf

σσ =≡∂∂

=≡∂∂

je konečný tvar obecné rovnice oprav mezi dvěma určovanými body T,U

,TUSUTUSUTUSTTUSTTUSTUS YdXcYbXav l+δ+δ+δ+δ= (5.55)

kde TUSTUSTUSTUS dbca −=−= , a ./TUTUTUS sS −=l

Rovnice oprav TUSv pro délku mezi dvěma určovanými body má čtyři nezná-mé souřadnicové přírůstky δXT, δYT, δXU, δYU. Pro délky měřené mezi jedním určovaným a jedním daným bodem se sníží počet neznámých na dvě, protože


- 103 (176) -

obě souřadnice daného bodu jsou konstantní. Např. pro opravy PKSv délek sPK,

měřenými mezi určovaným bodem P a danými okolními body K ≡ A,B,C,E platí podle obr. 5.21 rovnice

.KPKPKPKP SPSPSS YbXav l++= δδ

Z rovnic oprav se známým způsobem sestaví normální rovnice, vypočtou ne-známé souřadnicové přírůstky a odhadnou střední souřadnicové chyby.

Vektorový zápis souřadnicového vyrovnání délkové sítě, podle něhož se ob-vykle programuje výpočet na počítačích, je dán základními rovnicemi [20]

vs = As δu + ℓs , kde δu = ss nN 1−− , =2osm

ν−n1

ssTs vPv , (5.56)

,AA

A,vv

vTK

TU

jT

TU

s

ss

s

ss ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= δu=[δXP, δYP, δXQ, … , δYZ]T, ss

Tss APAN = ,

ns= sTs PA ℓs , =

TUsv [YZPRPQ sss v...,v,v ]T, =

KTsv [KZQKPK SSS vvv ...,, ]T,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ZTs

RTs

PTs

TUs

A

AA

A.

,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

KZ

KQ

KP

jT

s

s

s

s

A....

.A

.A

A

000

0000

, ℓS =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

KZ

KQ

KP

s

s

s

l

l

l

. ,

Ps = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

TK

TUS

sPP

, psij = .2ijsm

k

=TUsP

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

YZ

PR

PQ

S

S

S

p

pp

000....000000

, TKSP =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

KZ

KQ

KP

s

s

s

P

PP

000

0000

......

,

Odhad vektoru mx kvadrátů středních souřadnicových chyb je dán diagonálou Vx kovarianční matice Mx = 2

osm Qx , kde

== −xSx mNQ ,1 [ 2222 ...,,,

ZYQXPYPX mmmm ]T .

,, 2

22

ijijo

ss

sss m

kpn

vpm =

−Σ

=ν

kde střední chyby msij rovinných délek sij se buď odhadují podle přibližného vzorce ms = a + b s.10-6 nebo se volí konstantní pro všechny délky.


- 104 (176) -

5.2.2.1 Měřítková změna

Vzhledem k místním měřítkovým deformacím starších sítí, ke kterým patří také JTSK, a k možné přítomnosti systematických chyb v měřených délkách, je žádoucí, k zachování homogenity bodového pole a k dosažení dobré kvality vyrovnání, zavádět do rovnic oprav měřítkovou změnu δµs (µs – 1). Udává o jakou hodnotu se měřítko délek odchyluje od místního měřítka, které je ne-přesně považováno za rovné jedné. Zavedením místního měřítka dochází k záměrné úpravě měřených délek, které je třeba vhodně vložit do používaných geodetických polohových základů. Obecné rovnice oprav TUSv mezi určova-nými body T,U a mezi určovaným bodem T a daným bodem K se tak rozší-ří na tvar [16], [20]

UsUsTsTss YdXcYbXav TUTUTUTUTU δ+δ+δ+δ= - TUs δµs + ℓsTU , (5.57)

vsTK = asTK δXT + bsKj δYT - KTs δµs + ℓsTK .

Pak se poněkud změní vektorový zápis souřadnicového vyrovnání

+= µµδuAv ss ℓs , δuµ = µµ ss nN 1−− (5.58)

a počet nadbytečně měřených délek se zmenší v rovnici pro odhad střední jed-notkové chyby mso o jednu. Všechny submatice

KTTU ss AA , se rozšíří o zá-

porné jednotkové subvektory –j a vektor neznámých δuµ se zvětší o nezná-mou δµs.

5.2.2.2 Šikmé délky

Předcházející souřadnicové vyrovnání délkové sítě nevyužívá přímo měřených šikmých délek dij, ale fiktivních délek, převedených do zobrazovací roviny. Obvykle tato záměna nemá podstatný vliv na výsledky vyrovnání. V oblastech, kde jsou větší výškové rozdíly mezi sousedními body a zejména v přesných místních polohových sítích, je však vhodné sestavovat rovnice oprav

ijdv

přímo pro měřené šikmé délky ijd . Délku dTU je možno vyjádřit rovnicí

5,0

2///

/2 )( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

++

= TUT

UTUTU HH

HrHr

sd . (5.59)

Rovnice je odvozena pomocí kosinové věty z odpovídajícího trojúhelníku v rovině normálového řezu náhradní koule Země o poloměru r = (MN)0,5. Bližší podrobnosti najde čtenář v publikacích [16], [20]. Ve vztahu značí

// , UT HH přibližné hodnoty výšek určovaných bodů T,U a TUs délku převe-

denou do hladinové plochy o výšce /TH .

Rovnice oprav TUdv je dána základním vztahem

TUTUTUd dDv −= , (5.60)

kde TUD je délka vypočtená z vyrovnaných souřadnic XT,YT,HT,XU,YU,HU a

TUd délka měřená. Po dosazení přibližných souřadnic


- 105 (176) -

////// ,,,,, UUUTTT HYXHYX a jejich přírůstků δXT,δYT, δHT,δXU,δYU,δHU a po rozvoji rovnice v Taylorovu řadu nabývá rovnice oprav tvaru [16]

,TU

TUTUTUTUTUTUTU

ddTU

UdUdUdTdTdTdd

d

HfYeXdHcYbXav

l+−

+++++=

δµ

δδδδδδ (5.61)

kde

.

,cos,sincos,sincos

,cos,sinsin,sincos

/

/////

/////

TUTUTUd

TUTUdTUTUTUdTUTUTUd

TUTUdTUTUTUdTUTUTUd

dD

zfzezd

czbza

−=

===

−=−=−=

l

σσ

σσσ

V rovnici je uvedena jako sedmá neznámá měřítková změna δµd, která do značné míry sníží systematický rozdíl různých měřítek dané sítě bodů a dél-kových měření. Absolutní člen TUdl je rozdílem přibližné délky /

TUD , vy-

počtené z přibližných souřadnic a měřené délky TUd .

Rovnice oprav TUdv měřených délek se využívají ve společném souřadnico-vém vyrovnání rovinných souřadnic a výšek bodů určených osnovami směrů, šikmými délkami a zenitovými úhly, např. v přesných polohových místních sítích.

Kontrolní otázky

Jaký je postup výpočtu rovnic oprav délek v zobrazovací rovině?

Jaký má smysl zavedení měřítkové změny do rovnic oprav a proč často tato neznámá v používaných software chybí?

Jak se liší rovnice oprav pro měřené šikmé délky od oprav délek v zobrazovací rovině?

Poznámka Nemůžete-li odpovědět na některou otázku, prostudujte si znovu látku o délko-vých sítích.

5.2.3 Výškové sítě

Protože problematika vyrovnání výškových sítí byla probírána ve skriptech Geodézie III [21, je zde text omezen jen na nejnutnější souhrn rovnic potřeb-ných v dalších statích. Všechna výšková měření se začleňují do ČSNS (České státní nivelační sítě). Převýšení se zpravidla měří nebo odvozují třemi základ-ními metodami: geometrickou nivelací, trigonometrickým určováním převýše-ní a z elipsoidických výšek, získaných z družicových měření. Vyrovnání nive-lačních pořadů a sítí a výškových trigonometrických sítí, stejně jako převod elipsoidických výšek do výškového systému ČSNS, je uvedeno v Geodézii III [21].


- 106 (176) -

Rovnice oprav TUhv vypočtených převýšení /TUh vycházejí ze základního

vztahu (obr. 4.25 v [20])

/TUTUh hHHv

TU−−= . (5.62)

kde hTU = (HU – HT ) je převýšení mezi vyrovnávanými výškami HT, HU libovolných dvou určovaných bodů T,U.

Vyrovnané výšky HT,HU jsou dány výrazy

UUUTTT HHHHHH δδ +=+= // , ,

kde // , UT HH označují přibližné výšky a δHT,δHU jejich přírůstky odvozené z vyrovnání. Rovnice oprav vycházejí ze základního vztahu (5.62)

Po dosazení a úpravě lze psát

,TUTU hTUh HHv l+−= δδ kde ///

TUTUh hHHTU

−−=l . (5.63)

Pro převýšení hKT mezi výškou HT určovaného bodu T a danou výškou HK bodu K nebo danou výškou HL bodu L a určovanou výškou HU bodu U platí rovnice oprav

vhKT = δHT + ℓhKT ,

vhUL = - δHU + ℓhUL .

Obecně je

+= HAv hh δ ℓh , (5.64)

kde vh = =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Hvvv

UL

KT

TU

h

h

h

δ, [δHP, δHQ, … δHZ]T , ℓh = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

UL

KT

TU

h

h

h

:l

l

l

.

Subvektory ,TUhv ℓTU se vztahují k opravám převýšení mezi určovanými výš-

kami bodů T,U a subvektory KThv ,

LUhv , ℓhTK , ℓhLU k převýšením mezi

jedním bodem daným a jedním určovaným. Vektor δH obsahuje jen vyrov-návané přírůstky výšek bodů.

Z rovnic oprav (5.63) se odvodí normální rovnice, vektor δH vyrovnaných přírůstků δHT přibližných výšek /

TH a odpovídající vektor mH (≡

[ 222 ,...,ZQP HHH mmm ]T), jehož prvky tvoří odhady kvadrátů středních chyb

2Tm vyrovnaných výšek HT (≡ /

TH + δHT ). Podobně je možno vypočítat od-

had vektoru HFm , obsahující kvadráty středních chyb 2

HFm funkcí vyrovna-ných výšek FH. Vyrovnání je charakterizováno vztahy (5.65)


- 107 (176) -

Nh δH +nh =o, δH= -Nh-1 nh, 2

om =ν−n

1hh

Th vPv , Mh = 2

om Qh, Qh= 1−hN ,

kde Nh = APA hTh , nh = h

Th PA ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Z

Q

P

h

h

h

h

P00

0P000P

P

.....

.

.

.

Váhové matice PhT sestávají z diagonálních členů phTU , LUhTKh PP , , jejichž indexy T,U = P,Q, … Z se vztahují k určovaným výškám bodů a K = A,B,C, …A k daným výškám bodů.

5.2.4 Kombinované sítě – současná koncepce terestrických sítí

V současné době se zpravidla zakládají terestrické polohové sítě (různého dru-hu a účelu), buď jako sítě rovinné s osnovami vodorovných směrů a s délkami převedenými do zobrazovací roviny, v nichž se navíc odvozují i výšky v baltském systému, anebo sítě prostorové V obou případech se měří univer-zálními aparaturami (totálními stanicemi) osnovy vodorovných směrů ψij, ze-nitové úhly /

ijz a šikmé délky dij. V běžných geodetických pracích se často vyskytují polohové sítě malého rozsahu s jedním nebo několika málo určova-nými polohovými body. Sítě mají rozmanitou konfiguraci a strukturu, jak pro-kazují příklady na obr. 5.22. Další schémata projektovaných sítí jsou uvedena např. v [15], [16]. V ukázkách jsou vybrána kvalitní určení polohových bodů, respektující jak zachování homogenity stávajícího bodového pole, tak potřeb-nou geometrickou kontrolu měřených veličin. Projekty sítí mají zachovávat především dvě hlavní zásady: zaměřované body mají navazovat na nejbližší dané body a každý bod má být určen alespoň jednou nebo dvěma nadbytečný-mi veličinami.

Obr. 5.22 Příklady polohových sítí malého rozsahu

Často se používají k výpočtu souřadnic zhušťovacích a ostatních bodů přibliž-né postupy, uvedené ve stati 5.1 a doprovázené různými kontrolními veličina-mi. Je třeba uvést, že i tyto jednoduché sítě je výhodné vyrovnávat metodou nejmenších čtverců. Význam obecného postupu vyrovnání nespočívá jen v dosažení vyšší kvality a homogenity polohové sítě, ale ve společném využití všech měřených veličin a ve kvalitnějším odhadu středních souřadnicových


- 108 (176) -

nebo polohových chyb. Důležitým předpokladem je však dobře sestavený pro-gram, který respektuje dostatečnou variabilitu zadávání relativních vah pro různé druhy měřených veličin a pro různé měřické metody.

5.2.4.1 Rovinné sítě - (2D)

K souřadnicovému vyrovnání rovinných sítí (X,Y) mají být měřené veličiny převedeny do zobrazovací roviny [15], [10]. Přitom korekce osnov vodorov-ných směrů jsou zpravidla zanedbatelné. Je však třeba převádět měřené šikmé délky dij na délky rovinné sij pomocí měřených zenitových úhlů /

jiz a vztahů uvedených v Geodézii II [22]. Prakticky se uplatňují ve vyrovnání MNČ dva typy rovnic oprav

ijvψ pro osnovy směrů ψij a

jiSv pro rovinné délky sij.

Ve vektorovém vyjádření platí (stať 5.2.1 a 5.2.2) [16] (5.66)

xAv δ= + ℓ, N δx + n = o , N = ATP A , n = ATP ℓ , δx = -N-1n ,

=2om

ν−n1 vPvT , =FM 2

om FQ ,

kde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Svv

v ψ , vψ = [vψP,vψQ,…vψZ, vψA, vψB,… vψN]T,

vS = [vSP,vSQ,…vSZ]T⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

SAA

A ψ , δx =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

S

u

δµδαδ

, δu=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

Q

P

u

uu

δ

δδ

., δuT = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

T

T

YXδδ

,

δα = [δαP,δαQ, … δαZ; δαA,δαB, … δαN]T ,ℓ = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Sl

lψ , P = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

SPPψ ,

ℓψ = [ℓψP,ℓψQ,…ℓψZ, ℓψA, ℓψB,…ℓψN]T, ℓS = [ℓSP,ℓSQ,…ℓSZ]T.

Subvektory a submatice jsou odvozeny v souřadnicovém vyrovnání úhlových a délkových sítí ve statích 5.2.1 a 5.2.2. Subvektory vψT., vψK označují opravy směrů ψTi, ψKi na určovaných bodech T = P,Q,,…, Z a na daných bodech K = A,B, … Z, subvektory vS se týkají oprav rovinných délek sTU, sTK a sub-vektory ℓψT , ℓψK, ℓS vyjadřují absolutní členy rovnic oprav měřených směrů a délek mezi určovanými body a mezi určovanými a danými body (v rovině). K dosažení dobré homogenity bodového pole se doporučuje používat v rovnicích oprav měřítkovou změnu δµs (stať 5.2.2.1).

5.2.4.2 Prostorové sítě - (3D)

Prostorové terestrické sítě, v nichž se vyrovnávají jak rovinné souřadnice Xi,Yi zhušťovacích bodů v zobrazovací rovině (S-JTSK), tak i jejich výšky Hi v baltském výškovém systému (Bpv), se zpravidla zaměřují univerzálními mi aparaturami (sestávajících z teodolitů a dálkoměrů) viz Geodézie II [22]. Vý-sledkem měření jsou osnovy vodorovných směrů ψij, šikmé délky dij a zeni-


- 109 (176) -

tové úhly /ijz . K výpočtu výšek Hi se kromě trigonometricky určených převý-

šení thij mohou používat převýšení nhij zaměřených geometrickou nivelací, popřípadě převýšení ehij odvozená z elipsoidických výšek // , jeie hh , určených z družicových měření GPS.

V geodetické praxi se rozlišují dva základní typy souřadnicového vyrovnání. První, přibližná metoda, je založena na vyrovnání fiktivních veličin, tj. vodorovných délek sij, převedených ze zaměřených šikmých délek dij do zobrazovací roviny, a převýšení thij odvozených z měřených šikmých délek dij a zenitových úhlů zij (≡ /

ijz + δkij) [20]. Druhý, kvalitnější způsob, vychází z vyrovnání jen přímo měřených veličin, tj. z osnov vodorovných směrů ψij, zenitových úhlů /

ijz a šikmých délek dij.

a) Přibližná metoda souřadnicového vyrovnání poskytuje obvykle dostatečně spolehlivé výsledky, takže je používána v některých programech a softwarech. Je obecně charakterizována stejnými obecnými rovnicemi jako u předcházejí-cích rovinných sítí. Vektory a matice však navíc obsahují složky pro převýšení h

=v⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

s

vvvψ

,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

h

s

AAA

Aψ

, ℓ =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

s

l

l

lψ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

h

s

P000P000P

Pψ

. (5.67)

Podobně se rozšíří i vyrovnané přírůstky souřadnic o neznámé δHi, takže bude

=Xδ [δu, δα]T, δu = [δuP, δuQ, … δuZ]T, δuP = [δXP, δYP, δHP],

δuQ = [δXQ, δYQ, δHQ], ……. , δuZ = [δXZ, δYZ, δHZ] .

Výsledné souřadnice určovaných bodů P,Q, … Z tvoří součty přibližných sou-řadnic ///////// ,,,.....,,,,, ZZZQQQPPP HYXHYXHYX a jejich přírůstků δXP, δYP, δHP, δXQ, δYQ, δHQ, … δXZ, δYZ, δHZ

.,,

.........................................................................

,,,

,,,

///

///

///

ZZZZZZZZZ

QQQQQQQQQ

PPPPPPPPP

ZHHHZYYXXX

HHHYYYXXX

HHHYYYXXX

δδδ

δδδ

δδδ

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

Odhad středních souřadnicových chyb poskytuje vektor

mx = [ 222222222 ,,....,,,,,,ZZZQQQPPP HYXHYXHYX mmmmmmmmm ],

jehož prvky jsou shodné s diagonálou kovarianční matice Mx = 2Om Qx .

b) Přesný postup souřadnicového vyrovnání vychází jen z přímo měřených veličin ψij, /

ijz , dij, popřípadě z nivelovaných převýšení nhij (≡ //ij HH − ) ane-

bo z převýšení ehij (≡ //ieje HH − ), získaných z elipsoidických výšek metodou

GPS. Jednotlivé typy rovnic oprav uvedené již v předcházejících statích pro


- 110 (176) -

veličiny měřené na určovaných bodech T ≡ P,Q, … Z nebo mezi určovanými a danými body K ≡ A,B, … N (ψij, zij, dij, hij) mají tvar

,

,

)68.5(,

,

TUhUTUhTTUhTUh

TUdSTUUTUdUTUdUTUdTTUdTTUdTTUdTUd

TUzUTUzUTUzUTUzTTUzTTUzTTUzTUz

TUTUTUUTUTTUTTUTU

HfHcv

dHfYeXdHcYbXav

HfYeXdHcYbXav

YeXdYbXav

l

l

l

l

+++=

+−+++++=

++++++=

+−+++++=

δδ

δµδδδδδδ

δδδδδδ

δαδδδδ ψψψψψψ

kde

.

,,,////

/////

TUeTeUeTUhTUnTUTUh

TUTUTUdTUTUTUTUzTUMoTUTU

hHHnebohHH

sSzkZ

δδ

δψασψ

−−=−−=

−=−−=−−=

ll

lll

Koeficienty u neznámých přírůstků souřadnic δXT,δYT,δZT, δXU,δYU,δZU jsou uvedeny v rovnicích (5.46), (5.52), (5.60) a (5.63).

Vektory a matice v rovnicích oprav a v normálních rovnicích mají tvar

(5.69)

v =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

d

z

vvvvψ

, A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

d

z

AAAAψ

, ℓ =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

d

z

l

l

l

lψ

, δx = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

δµδαδu

, δu =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

R

Q

P

u

uuu

δ

δδδ

., δα=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

N

A

Z

P

δα

δαδα

δα

.

.

,

δµ = δµ , P =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

d

z

P0000P0000P0000Pψ

.

Váhové submatice Pψ, Pz, Pd, Ph jsou tvořeny vahami jijijiji hdz pppp ,,,ψ

jednotlivých měřených veličin

.,,, 2222ji

jiji

jiji

jiji

jih

hd

dz

zm

kpm

kpm

kpm

kp ====ψ

ψ

Důležitým předpokladem kvalitního vyrovnání souřadnic je správný odhad středních chyb.

Konstantu k je možno zvolit libovolně, např. k = 2om . Výsledné souřadnice

určovaných bodů P,Q, … Z a odhady jejich středních chyb jsou dány stejnými vztahy jako u předcházejícího přibližného postupu vyrovnání.


- 111 (176) -

5.3 Družicové polohové systémy

K prvním významným družicovým systémům používaným v padesátých a še-desátých letech minulého století k budování geodetických základů se řadí Se-cor a balónové družice Geos a Pageos. Družicový systém NNSS (Navy Navi-gation Sattelite Systém). Začal se využívat k navigaci v r. 1967. Současně sloužil k zaměřování polohových bodových polí, k upřesnění tvaru a rozměru geoidu a k měření zemského tíhového pole. Je znám pod jménem TRANSIT. Jeho činnost byla ukončena na počátku devadesátých let. Koncem osmdesá-tých let byl postupně uváděn do provozu podstatně kvalitnější a výkonnější navigační systém GPS-NAVSTAR. Jeho polohová přesnost je tak vysoká, že prakticky nahradil dřívější metody budování bodových polí pomocí měřených úhlů (osnov směrů) a délek. V sedmdesátých letech se začal v Rusku vyvíjet družicový navigační systém GLONASS (Глобальная навигационная спутникoвая система). Systém je podobný GPS a je pod správou ruského mi-nisterstva obrany [23]. V současné době se připravuje z iniciativy evropských států projekt nového navigačního družicového systému nazvaný GALILEO, který má být uveden do provozu v letech 2006 až 2008.

Družicová měření se používají v běžných geodetických pracích již řadu roků. Proto bylo nutné zařadit družicové metody společně s terestrickými metodami již do předmětu geodézie, který je zařazen do bakalářského studia. V této stati jsou uvedeny jen základní pojmy o družicovém systému GPS, které umožňují se seznámit s principy určování prostorové polohy bodů, jejich relativních po-loh a diferenčních metod. Podrobné znalosti o družicových systémech získají studenti ve vyšších ročnících magisterského studia, zejména v předmětech ge-odetická astronomie a kosmická geodézie, vyšší geodézie a geofyzika a geody-namika.

5.3.1 Globální polohový systém (GPS)

Globální polohový systém (GPS – Global Positioning System) uváděný také jako NAVSTAR (Navigation System Timing and Ranging) je pasivní družico-vý rádiový navigační systém, kterým je možno určit prostorové souřadnice (SD) bodů kdekoliv na povrchu Země nebo na pohybujících se objektech (lodě, letadla, auta, rakety apod.). Je spravován ministerstvem obrany USA a je určen především k navigaci. Vedle vojenských aplikací je možno jej používat pro různé civilní účely, mezi jiným i v geodetických pracích [10], [11], [13], [28], [42], [52].

Celý komplex GPS se dělí na tři segmenty: řídicí, kosmický a uživatelský. Vý-voj systému začal v 70. letech na základě požadavků ozbrojených sil USA, aby bylo pro uživatele zajištěno bezprostřední a plynulé získávání přesných infor-mací o poloze objektů na povrchu Země a o poloze, rychlosti a času pohybují-cích se objektů. Od r. 1978 byly postupně vypouštěny družice a budován řídicí segment. V roce 1993 byla možná navigace na kterémkoliv místě a v kterémkoliv čase.

Řídicí (kontrolní) segment OCS (Operational Control Segment) sestává ze tří částí: z hlavní řídicí stanice, z monitorovacích stanic a ze stano-višť pozemních antén. Hlavní řídicí stanice je umístěna na letecké základně Falcon AFB v Colorado Springs v USA. Zde se shromažďují data z monitoro-


- 112 (176) -

vacích stanic, vypočítávají parametry drah jednotlivých družic a sledují a syn-chronizují jejich palubní hodiny. Hlavní monitorovací stanice jsou rozmístěny na ostrovech Hawaj a Kvajalein v Tichém oceáně, Island Ascension v Atlantiku, Diego Garcia na Čukotských ostrovech v Indickém oceáně a v Colorado Springs (obr. 5.23) . Na každé stanici je přesný cesiový normál (atomové hodiny) a přijímač k nepřetržitému měření tzv. pseudovzdáleností k viditelným družicím. K výpočtu přesných efemerid se používá ještě dalších 13 stanic (Táhiti, Alaska, Ekvádor, USA, Argentina, Maspolamas, Anglie, Jižní Afrika, Bahrain, Yakutsk, Jižní Korea, Austrálie a Nový Zéland). Po-zemní antény jsou umístěny u tří monitorovacích stanic (Ascension, Diego Garcia a Kwajalein). Rozmístění stanic uváděné na počátku devadesátých let je na obr.5.24. Úkolem řídícího segmentu je předávání vypočtených efemerid a parametrů družic na všechny družice, dříve jednou až dvakrát denně, nyní asi po dvou hodinách. Platnost navigační zprávy je 4 hodiny. Řídící segment kontroluje chod celého systému a vysílá datové a korekční zprávy jednotlivým družicím.

Obr. 5.23 Rozmístění řídícího segmentu

Obr. 5.24 Ukázka družice GPS

Kosmický segment (obr. 5.23 a 5.24) se v současné době skládá z 27 až 28 aktivních družic, z nichž některé mají náhradní funkci. Nezbytný počet družic je 24, aby byla zajištěna plná operační schopnost systému. Jejich funkcí je generovat a vysílat nosné frekvence, kódy a navigační zprávu. K jejich důleži-tým součástem mimo jiné patří sluneční baterie (o ploše 7,25 m2), atomové hodiny a počítač. Družice se pohybují v šesti orbitálních rovinách (obr. 5.25), vždy po čtyřech družicích. Mírně eliptické dráhy družic jsou téměř kruhové


- 113 (176) -

(s velkou poloosou 26 560 km ±50 km), svírají s rovníkovou rovinou přibližně 55° ±3° (inklinace) a excentricita . Výška družic nad Zemí je asi 20 200 km a oběžná doba je přibližně 12 hvězdných hodin (11h 58m občanského času). Dru-žice jsou stabilizovány ve třech osách pomocí infračervených čidel a gyrosko-pů, které zajišťují kolmé nastavení plochy článku ke Slunci. Korekční motorky slouží ke změnám polohy družic a jejich orientace. Stav družic je proměnlivý, protože staré se ruší v závislosti na jejich technickém stavu a podle potřeby jsou nahrazovány novými družicemi [52].

Rovnoměrné rozložení družic a jejich výška zajišťuje z každého místa na Zemi přijímat kdykoliv rádiové signály nejméně ze čtyř a zpravidla z více družic. Překážky v blízkosti družicových přijímačů mohou však narušit anebo zamezit zaměření polohy bodů.

Obr. 5.25 Schéma orbit družic GPS

Družice vysílají signály na dvou nosných frekvencích L1,L2 v kódech C/A a P. Do roku 2009 se připravuje pro autorizované uživatele vysílání dalšího M-kódu. Pro civilní uživatele GPS bude signál rozšířen o frekvenci L5. Signály jsou generovány pomocí palubních časových standardů. Stabilita atomových hodin na družicích je v rozmezí 1.10-13 až 1.10-15. Obě nosné frekvence, přená-šející kódy a datové zprávy, jsou odvozeny ze základní frekvence fo = 10,23 MHz. Mají velikost L1 ≡ 154 fo = 1575,42 MHz, L2 ≡ 120 fo = 1 227,60 MHz, což odpovídá vlnovým délkám 190 mm a 244 mm. Použitím dvou frekvencí se snižuje chyba ετ měřeného časového intervalu τ způsobená nepřesnou zna-lostí vrstev ionosféry.

C/A kód je dvojkový s taktovou frekvencí 1,023 MHz. Má délku 1023 bitů s opakovací periodou 1 ms. Pro rozlišení družic se používá 32 variant C/A kódu. P kód je složitější. Jeho pseudonáhodná sekvence má frekvenci 10,23 MHz a délku 266,4 dne (asi 37 týdnů). Celkový počet 2,36.1014 bitů se dělí na 37 týdenních sekvencí o délkách 6,187 104.1012 bitů, které jsou přiděleny kaž-dé družici. Týdenní sekvence se opakují vždy v 0 hod světového času a to o půlnoci ze soboty na neděli, což je začátek tzv. GPS týdne. Pořadové číslo tý-denní sekvence je identifikačním znakem družice. Každý bit v obou kódech je


- 114 (176) -

časovou značkou systémového času GPS, jehož vztah k mezinárodnímu systé-movému času TAI je pro každou družici jiný a je dán vztahem [23]

TAI – GPS = 19 s + Co + DC,

a) Trimble R 8 b) Ashtech

c) Leica GRX 1200 d) Topcon GP-SX 1

Obr. 5.26 Některé typy družicových přijímačů

e) Geotracer

2000 RTK


- 115 (176) -

kde Co je průměrná oprava systémového času (zpravidla několik mikro-sekund) a DC oprava času družice na průměrný systémový čas (zpravidla až několik desítek ns).

Navigační zprávu tvoří u každé družice datový řetězec, vysílaný na obou nos-ných frekvencích rychlostí 50 bitů za sekundu. Kompletní zpráva obsahuje 25 rámců (Frame) o 1500 bitech. Každý rámec trvá 30 s a je rozdělen na pět částí (Subframe) o velikosti 300 bitů. Celá navigační zpráva trvá 12,5 minut. Mimo jiné jsou v navigační zprávě uvedeny: číslo GPS týdne, předpověď přesnosti určované psudovzdálenosti, údaje o kvalitě družice, údaje pro výpočet korekcí palubních hodin, palubní efemeridy (parametry dráhy) družice, informace o ionosféře, údaje o ostatních družicích atd. [23].

Uživatelský segment tvoří družicové přijímače různých typů, které přijí-mají signály z družic, dekódují je a zpracovávají je. Některé přijímače jsou používány samostatně, jiné jsou součástí různých systémů. Některé typy druži-cových přijímačů jsou na obr. 5.26.Signály přijímané z družic slouží k určení tranzitních časů a tím i k výpočtu pseudovzdáleností /

id mezi anténou přijí-mače a anténami družic. Dále přinášejí informace o družicových hodinách, drahách družic (tzv. efemerid), o stavu (kvalitě) družic a specifické informace pro vojenské aplikace. K přenosu informací je zvolena technologie tzv. rozpro-střeného spektra, což umožňuje utajení zpráv pro běžné uživatele a zvyšuje odolnost systému proti aktivnímu rušení.

K měření tranzitního času τ se využívají dva pseudonáhodné kódy: C/A (Clear Access nebo Coarse Acquisition), přístupný všem uživatelům, a kód P (Protected nebo Precision), přístupný jen vybraným, tzv. autorizovaným uživa-telům, aby se zamezilo vojenskému zneužití systému GPS. Kód P může být pomocí kódu W převeden na kód Y. Kódy jsou posloupností hodnot 0 a 1 a jsou dány přesnými matematickými definicemi. Modulace pomocí kódů zvyšu-je odolnost vůči aktivnímu rušení, zvyšuje přesnost měření tranzitního času τ, umožňuje rozlišit signály jednotlivých družic a zabezpečuje využití signálů jen příjemci, znajícími jejich strukturu.

Systém GPS poskytuje dvě služby: přesnou polohovou službu (PPS) a stan-dardní polohovou službu (SPS). Přesná polohová služba je přístupná jen auto-rizovaným uživatelům. Autorizaci poskytuje ministerstvo obrany USA. Udělu-je ji vojenským uživatelům USA, NATO a některým dalším. Standardní polo-hová služba je přístupná všem uživatelům a není vázána na přímé poplatky. Armáda ČR se stala autorizovaným uživatelem GPS v prosinci roku 2001. Mi-nisterstvo obrany USA plánuje pro autorizované uživatele služby PPS vysílání nového M-kódu a pro civilní aplikace rozšíření družicových signálů o frekven-ci L5 [52].


- 116 (176) -

Obr. 5.27 Schéma posunu signálů Obr. 5.28 Schéma korelační technologie

Ke zpracování přijatého signálu se obvykle používá kódové korelační techniky. Družicový přijímač generuje referenční kód, který je shodný s vysílaným kó-dem družice. Oba signály jsou vůči sobě posunovány tak, až dojde k maximální korelaci. Tím se získá časový posun τ′, odpovídající

tranzitnímu času τ. Schéma korelace je uvedeno na obr. 5.27 a 5.28. Na obr. 5.28 jsou schématicky znázorněny odpovídající úseky obou porovnávaných kódů. Porovnávané úseky jsou rozděleny na elementární části, tj šířky impulsů. Pak lze sledovat a porovnávat maxima a minima obou signálů. Lomená čára na horní části obrázku charakterizuje přijatý signál, který je deformován oproti

kódu generovanému v přijímači. Přesto lze vyznačit symbolem „x“ ta místa, kde se maxima a minima shodují. Pokud nedochází ke shodě obou porovnáva-ných úseků, je souhlas v souladu s pravděpodobností náhodných jevů přibližně padesátiprocentní. Teprve když posun zkoumaného úseku odpovídá měřenému časovému intervalu τ′, vzroste náhle souhlas odpovídajících maxim a minim na vysoké procento, jak je uvedeno na spodní části obrázku 5.28. Korelační technologie měření časového posunu τ′ umožnila volit intenzitu vysílaných kódů na úrovni šumu a přitom signály mohly být přijaty anténou o rozměrech několika centimetrů. Prakticky se pro stanovení posunu τ′ obou signálů použí-vá korelační funkce, která tlumí vliv náhodných chyb, způsobených fluktuace-mi v přijímaném signálu.

Další podrobné údaje najde čtenář např. v publikacích [11], [13], [23], [28], [52].

5.3.2 Světový geodetický systém WGS 84

Geodetický systém WGS 84, spojený s družicovým systémem GPS, je defino-ván polohou a orientací os pravoúhlé souřadnicové soustavy, parametry refe-renčního elipsoidu a gravitačním modelem Země a geoidu.

Souřadnicový systém WGS 84 je pravotočivý a geocentrický. Jeho počátek je v těžišti Země. Osa X je průsečnice referenčního nultého poledníku IERS (In-ternational Earth Rotation Service) a roviny procházející počátkem systému a kolmou k ose Z (rovinou rovníku). Osa Y je průsečnicí poledníkové roviny,


- 117 (176) -

definované délkou 90˚, s rovinou rovníku. Osa Z směřuje do referenčního pólu IERS (obr. 5.29).

Obr. 5.29 Souřadnicový systém WGS 84

Střed referenčního elipsoidu WGS 84 je také totožný s těžištěm Země (s počát-kem pravoúhlého souřadnicového systému). Referenční nultý poledník prochá-zí Greenwichem. Elipsoidické souřadnice se označují symboly B,L,H. Vyja-dřují geodetickou zeměpisnou šířku, geodetickou zeměpisnou délku a elipsoi-dickou výšku (výšku nad elipsoidem WGS 84). Elipsoid WGS 84 je geocent-rický hladinový rotační elipsoid, sloužící k zjednodušené definici geometric-kých a dynamických parametrů Země. Parametry elipsoidu jsou uvedeny např. v tabulce 4.1 ve skriptech [20].

Podrobnější údaje o geocentrických a referenčních souřadnicových systémech a jejich pohybech, o časových systémech, o pohybech družic a o určení jejich souřadnic jsou např. v publikaci [11].

5.3.3 Přijímací stanice a její základní části

Družicový přijímač má několik základních částí: anténu s blokem anténní elek-troniky, měřicí část s procesorem, řídicí a zobrazovací jednotku a médium pro ukládání dat [23].

Antény mají buď pevnou anebo řízenou směrovou charakteristiku. Antény s řízenou směrovou charakteristikou se používají v prostředí rušení ve vojen-ských letadlech a slouží k nastavení minima charakteristiky ve směru rušiče. Měření jsou vztažena k fázovému centru, které obecně není shodné s geometrickým centrem antény. Proto při přesných geodetických pracích se bere ohled na excentricity antén. Součástí geodetických přijímačů bývá stínění proti odraženým signálům od povrchu terénu. Anténní elektronika bývá spoje-na s anténou. Jejím hlavním účelem je zesílit přijímaný signál, filtrovat rušivé signály, chránit anténu před atmosférickou elektřinou, dílčí testování přijímače a převod signálu na požadovaný kmitočet.

Signál je veden z antény do měř icí části . Tam se signál zpracuje a procesor zajišťuje potřebné výpočty, především polohy antény a další. Podle funkce přijímací části se rozlišují tři typy přijímačů: vícekanálový (obsahuje minimál-ně čtyři kanály pro samostatné zpracování signálu z jednotlivých družic), sek-


- 118 (176) -

venčně měřící jedno- nebo dvoukanálové (měření k družicím jsou postupná) a multiplexní (jednokanálové s menší přesností).

Řídicí a zobrazovací jednotka (zpravidla obrazovka nebo LCD displej) je určena k obsluze přijímače přes softwarové rozhraní.

Zaváděč dat umožňuje zavádění různých dat, např. traťové body pro naviga-ci, kryptografické klíče SA a A-S atd.

Společnou charakteristikou přijímačů je především doba potřebná k do-sažení prvních údajů o poloze zaměřovaného bodu po zapnutí přijímače, způsoby výběru družic a autonomní sledování integrity.

Doba potřebná k určení souřadnic bodu je podkladem k rozdělení měřických metod na tzv. teplý, studený a horký start. Teplý (normální) start předpokládá, že v přijímači jsou již vyhodnoceny přibližný čas a poloha a v paměti jsou ulo-ženy efemeridy družic. Doba měření bývá 2 až 2,5 minuty. Studeným startem se nazývá případ, kdy žádný z předchozích údajů není k dispozici. Pak se doba měření prodlužuje nejméně na 12,5 minut. Horkým startem se rozumí jen čas reakvizice (obnovení) určení polohy. Po několik hodin je doba měření jen v desítkách sekund.

Pro přesné práce si přijímače mohou vybírat družice ke kvalitnímu určení polohy (rychlosti a času). Používají k tomu zpravidla čtyř kritérií: kvalita (zdraví) družice, faktor DOP (vliv geometrie rozložení družic), faktor URA (odhadnutá chyba ve vypočtené pseudovzdálenosti) a elevační úhel (výškový úhel družice nad horizontem, bývá minimálně 5o).

Typy přijímačů se posuzují podle jejich významu pro praxi. Zpravidla se uva-žuje jejich konstrukce, použití a přístup ke službám GPS [23].

Geodetické a mapovací přijímače, referenční stanice DGPS (diferenční globál-ní polohový systém – stať 5.3.5) a některé typy navigačních přijímačů jsou vybaveny dalšími možnostmi nastavení parametrů, které přispívají k význam-nému zvýšení spolehlivosti výsledků měření. Jsou to např. různé druhy masek (elevační, PDOP a SNR), nastavení stáří korekce při DGPS, režimy autonom-ního určení polohy a režimy určení polohy DGPS. Elevační masky se pou-žívá k nastavení minimálního elevačního úhlu pro zpracování družicových signálů. Výrobci doporučují minimální úhel v rozmezí 8° až 15°. Maska PDOP je určena k nastavení přípustné velikosti polohových chyb zaměřova-ných bodů, vyplývající z konfigurace (geometrického rozmístění) družic. Maska SNR slouží k nastavení minimálního poměru intenzity signálu a šumu. Pokud nejsou nastavené hodnoty u masek PDOP a SNR splněny, přijí-mač takové signály nezpracovává. Stář í korekce u DGPS výrazně ovlivňuje polohovou přesnost zaměřovaných bodů. Proto výrobce doporučuje určité stáří používané korekce, kterou by uživatel pro zvolenou polohovou přesnost určení bodů neměl překročit. Existují tři základní režimy auto-nomního určení polohy bodu: 3D, 2D a 2D/3D. V režimu 3D jsou vý-sledkem zpracování signálů přijímaných nejméně ze čtyř družic, prostorové souřadnice zaměřovaného bodu a časová korekce hodin přijímače. Nastavení režimu 2D umožňuje určení polohy zaměřovaných bodů v rovinných souřadni-cích a současně korekci hodin přijímače jen ze signálů tří družic. U DGPS se rozlišují dva režimy, obvykle označované GPD a GPD/GPS. V režimu GPD se využívá k výpočtu souřadnic bodů jen diferenčních korekcí. Při přeru-


- 119 (176) -

šení jejich příjmu se využívá poslední přijaté korekce až do stanovené doby jejího stáří. V režimu GPD/GPS přechází po přerušení příjmu korekce výpočet na autonomní určování polohy bodů.

Kontrolní otázky

Jaké znáte družicové systémy používané pro geodetické práce?

Popište globální polohový systém!

Z čeho sestává řídící (kontrolní) systém?

Z čeho sestává kosmický segment GPS?

Jaké signály vysílají družice GPS?

Jaké družicové přijímače GPS znáte?

Jaký je princip kódové korelační techniky u družicových přijímačů?

Čím je určen světový geodetický systém WGS 84?

Jaké jsou základní části přijímací stanice GPS?

Poznámka

Nebudete-li znát na některé otázky odpovědi, znovu se vraťte ke studiu této látky ve skriptech a v doporučené literatuře.

5.3.4 Měřické metody

Činnost GPS spočívá v určování polohy bodů na povrchu Země a na pohybují-cích se objektech, v určování rychlosti pohybujících se objektů a v měření ča-su. V družicových přijímačích se zpracovávají družicové signály a rekonstruují jejich nosné vlny, jejichž frekvence L1,L2 jsou zatíženy Dopplerovským posu-nem. Přijaté rádiové signály z družic slouží k měření několika druhů veličin [23], [52]:

- kódová měření (měření časových intervalů τi′),

- měření fázových rozdílů ∆ψ' mezi kódy C/A nebo P(Y) genero-vanými v přijímači a přijatými z družic

- měření fázových rozdílů ∆φi′ mezi nosnými vlnami generovaný-mi

v přijímači a

přijatými z družic,

- měření dopplerovských frekvencí fDi,

- interferometrická měření drah signálů ke dvěma přijímačům.

V geodetických pracích se vesměs odvozují tranzitní časy τi′ z kódových mě-ření a z měření fázových rozdílů ∆φi′, vyjadřující diferencovaný celý počet vlnových délek. Pro vojenské účely jsou často používány přijímače s měřením fázových rozdílů ∆ψ, které poskytují o něco nižší přesnost určení polohy bodů. Dopplerovské frekvence fDi mají význam především k určení rychlosti pohy-


- 120 (176) -

bujícího se objektu, na kterém je umístěn přijímač. Z jejich integrálů FDi lze však také určit polohu přijímače. Interferometrická měření umožňují např. určit směry a sklony [23].

5.3.4.1 Určení časového intervalu

K určení pseudovzdáleností di′ mezi anténami družic a přijímačů je třeba sta-novit odpovídající tranzitní časy τi′. Lze je odvodit korelační technologií z kódových měření, z měřených fázových rozdílů anebo kombinací obou druhů měření [20].

Časové intervaly τi′ získané z kódových měření jsou zatíženy zejména chybou z asynchronizace atomových hodin družice s hodinami přijímače (jde v podstatě o dva časové systémy). Pseudovzdálenosti di′ se počítají ze vztahu

di′ = vi τi′ . (5.70)

Také rychlosti vi šíření signálu podél jejich celých drah jsou zatíženy chybami z nepřesné znalosti indexů lomu Ni.

Časové intervaly τi′ je možné změřit jak s kódem C/A tak s kódem P (Y). Každý bit je zároveň časovou značkou signálů přicházejících do přijímače a referenčního signálu generovaného přijímačem. Přesnost určení pseudovzdále-ností se přibližně udává hodnotou 1 % délky bitu kódu nebo ještě nižší velikos-tí. Pro kód P (Y) je 1 % asi 0,3 m a pro kód C/A asi 3 m. Pro výpočet správné délky d mezi družicí a pozemní stanicí platí rovnice

d = v (tR – tT) + v (∆tR – ∆tT)

kde značí tT čas vysílání určitého prvku kódu (bitu), tR čas příjmu stejného prvku přijímačem, ∆tT, ∆tR opravy palubních a pozemních hodin a v průměrnou rychlost šíření signálu. Po dosazení tR – tT = τ′, ∆tR – ∆tT = δt se rovnice zjednoduší na tvar

d = v τ′ - v δt . (5.71)

Oprava ∆tT je družicemi vysílána v navigační zprávě, takže teoreticky zůstává v rovnici jen neznámá oprava ∆tR pozemních hodin přijímače. Opravu je mož-no prakticky určit nebo vyloučit, pokud se délky měří současně ke čtyřem a více družicím. Ze známých poloh družic a ze čtyř měřených časových intervalů τi′ se obecně dají vypočítat tři prostorové souřadnice X,Y,Z antény družicové-ho přijímače na určovaném bodě a oprava ∆tR. Výsledné souřadnice se vyrov-návají MNČ prostorovým protínáním z délek z mnoha souborů měřených délek di′.

Kvalitnější určení pseudovzdáleností vychází z fázových rozdílů ∆Φi′. Jejich měření je obdobné jako u elektronických dálkoměrů [17]. Vychází z rovnice

∆Φ′ = ΦT – ΦR ≡ 2π n + ∆φ / , (5.72)

kde ΦT, ΦR = ΦT – ω τ značí fáze stejného signálu v čase t na palubní a pozemní stanici.

Určovaný fázový rozdíl ∆Φ′ sestává z celého počtu n period 2π nosných vln, tzv. ambiguity a ze zbytku ∆φ′, pro nějž platí 0 ≤ ∆φ′ ≤ 2π. Vzhledem k tomu, že lze měřit jen fázový rozdíl ∆φ′, a k přítomnosti chyb palubních a pozemních hodin, bude přibližná hodnota ∆Φ′ vyjádřena vztahem (obr. 5.30)


- 121 (176) -

∆Φ′ ≡ ωvd ′ = 2π n + ∆φ′.

Z toho délka

d′ = vnπϕλ

2′∆

+ ≡ n λ + ∆n λ pro 0 ≤ ∆n ≡nπϕ

2′∆ ≤ 2π , (5.73)

kde λ značí nosnou vlnovou délku signálu. Celý počet nosných vlnových dé-lek lze určit např. kombinací kódových a fázových měření anebo z jiných nad-bytečných měření.

Chyba měřeného fázového rozdílu nepřesáhuje jednu setinu periody 2π (1 %), což pro vysílané nosné vlnové délky (λ1 ≈ 0,19 m, λ2 ≈ 0,24 m) odpovídá chy-bě délky d′ asi 2 mm. V rovnici zbývá určit celý počet period n (ambiguitu). Ambiguity pro jednotlivé družice se vypočítávají speciálními postupy z dalších měření [11].

Obr. 5.30 Schéma fázového rozdílu ∆Φ

Obr. 5.31 Plynulé měření fázového rozdílu ∆φ′


- 122 (176) -

K určování polohy bodů se podle potřeby používají první, druhé nebo třetí di-ference δΦ měřených fází ∆Φi′, které umožňují eliminovat některé systema-tické vlivy. Např. při plynulém měření fázového rozdílu ∆Φ′ signálu z jedné

družice v časovém intervalu ∆t = t2 – t1 není fázový rozdíl zatížen opravou z palubních hodin ∆tT (obr. 5.31). Měří-li se fázové rozdíly ∆Φ1′, ∆Φ2′ sou-

Obr. 5.32 První fázová diference IδΦ

Obr. 5.33 Druhá fázová diference IIδΦ

Obr. 5.34 Určení třetí diference IIIδΦ


- 123 (176) -

časně ke stejným družicím ze dvou pozemních stanic (obr. 5.32), opět se vy-loučí oprava z palubních hodin výpočtem první diference IδΦ = ∆Φ1′ – ∆Φ2′.

Metoda tzv. druhé diference spočívá v současném měření ke dvěma a více dru-žicím (obr. 5.33). Druhá diference IIδΦ = IδΦ1 - IδΦ2 má tu důležitou vlast-nost, že je oproštěna od oprav palubních hodin i hodin přijímače. Lze vypočítat i třetí diferenci IIIδΦ jako rozdíl dvou druhých diferencí (obr. 5.34), čímž se vyloučí i neznámá n, vyjadřující celý počet vlnových délek λ.

5.3.4.2 Měření Dopplerovy frekvence

Dopplerův kmitočet se k přímému určení délky v geodetických aplikacích prakticky nepoužívá [20]. Vlivem vzájemného pohybu družice a přijímače se mění jejich vzdálenost a dochází k frekvenčnímu posunu, tzv. Dopplerově frekvenci

fD = λ

rv2 ,

kde vr je relativní rychlost obou objektů (bodů) a λ nosná vlnová délka.

Dopplerova frekvence umožňuje určovat rychlost přijímače, počet celých pe-riod (ambiguit) při kinematických měřeních a také polohu přijímače [17]. Dop-plerovy frekvence se zejména používá ke korekcím fázových a kódových mě-

ření. Korekce jsou dvě ρff D a fD λ ∆tR . Dosahují velikosti i několika desí-

tek metrů. Podrobnosti najde čtenář např. v publikaci LAURILA, S.,H.: Electronic Surveying and Navigation, Awilley –Interscience Pablication, John Willey & sons, New York – London – Sydney – Toronto 1976.

5.3.5 Určení polohy bodu

Polohu bodu lze pomocí GPS odvodit různými metodami. Obvykle se dělí pod-le druhu určujících veličin, způsobu určení bodů, konfigurace a struktury sítě, pohybu přijímače, účelu měření a s tím související polohové přesnosti, rychlos-ti výpočtu souřadnic bodů, atd.

a) Podle druhu určujících veličin se obvykle rozlišuje určení polohy bodů pomocí pseudovzdáleností /

id (obr. 5.35) a pomocí Dopplerových frek-vencí (obr. 5.36). U obou způsobů je nutné znát přesně dráhy družic a jejich souřadnice v době měření. Souřadnice družic lze vypočítat z efemerid vysíla-ných v navigační zprávě. Pro budování kvalitních polohových geodetických základů je vhodnější získat přesnější souřadnice až po skončení měření (post-processing).


- 124 (176) -

Obr. 5.35 Schéma určení polohy bodu pomocí vzdáleností di

Geometricky je dána poloha zaměřovaného bodu prostorovým protínáním ze tří délek di. Protože však v měřených pseudovzdálenostech /

id se objevuje kromě tří prostorových souřadnic ještě neznámá časová korekce δt [20], [23], zvyšuje se počet nutně měřených délek na čtyři.

Určení polohy bodu z měřených délek ukazuje schematicky obr. 5.35. Pro kaž-dou pseudovzdálenost /

id (20) lze sestavit jednu rovnici, jejíž obecný tvar je

di = /id - vi δt, (5.73)

kde di jsou opravené vzdálenosti mezi anténami družic a δt = ∆tR – ∆tT (stať 5.3.4.1)

Pseudovzdálenosti /id jsou dány vztahem

/id = ni λ + λ

πϕ2

/i∆

. (5.74)

Vyrovnané délky di lze vyjádřit pomocí vyrovnaných prostorových souřadnic X,Y,Z

di = ( ) ( ) ( )[ ] 5,0222 ZZYYXX iii −+−+− (5.75)

V rovnicích značí δt korekci hodin přijímače, Xi,Yi,Zi souřadnice i-té druži-ce v okamžiku měření, λ nosnou vlnovou délku a ∆φi′ měřený fázový rozdíl. Ambiguity ni je možno odvodit z více měření, např. při nepřetržitém měření fázového rozdílu, z Dopplerových frekvencí atd. K výpočtu souřadnic se pou-žívá MNČ.

Obr. 5.36 Schéma určení polohy bodu pomocí Dopplerovy frekvence


- 125 (176) -

Dopplerovy frekvence se užívalo k určení polohy bodu u družicového systému Transit. U GPS je také možno určit polohu bodů pomocí Dopplerova kmitočtu. Podrobné údaje a odvození polohy bodu je uvedeno ve skriptech [16].

b) Způsoby určení polohy bodu se zařazují do tří základních skupin: absolutní, relativní a diferenční.

K absolutnímu určení polohy bodů se využívají zpravidla pseudo-vzdálenosti /

id odvozené z transitních časů τi′ (obr. 5.35). K výpočtu souřad-nic je třeba znát i souřadnice odpovídajících bodů na drahách družic. Vypočí-távají se z efemerid vysílaných v navigační zprávě. Polohová přesnost určení jednoho bodu je udávána v desítkách metrů. U geodetických metod se snižuje polohová chyba na metry a může v současné době dosáhnout po zavedení všech korekcí až velikosti kolem 0,5 m při zpracování měření v postprocessingu.

Obr. 5.37 Schéma relativního určení polohy bodu

Metody relativního určení polohy bodů dosahují obvykle podstatně vyšší přesnosti než absolutní metody. Proto jsou používány pro přesné geode-tické práce, jako je např. budování světových, kontinentálních, národních a místních polohových sítí, vytyčovací práce apod. Geometrický princip metod je znázorněn na obr. 5.37. Psedudovzdálenosti /

id , odvozené z fázových měře-ní minimálně ke čtyřem stejným družicím, se měří simultánně (současně) ale-spoň ze dvou bodů P,Q. Dvojice přijímačů tvoří základnu, jejíž vektor d je v prostorovém souřadnicovém systému vyjádřen buď souřadnicovými rozdíly ∆X, ∆Y, ∆Z nebo délkou d a prostorovým orientovaným směrem α. Kvalitní způsoby určení relativní polohy bodů dosahují vysoké přesnosti, vyjádřené odhadem chyby měřené základny kolem (5 ÷ 10) mm + 1.10-6 d. Často se odhad chyby uvádí ve tvaru (5 ÷10) mm + 1 ppm. Relativní polohová chyba vektoru je tedy řádově menší než absolutní polohová chyba. Prakticky může dosahovat polohová chyba vektoru o délce až několika desítek kilometrů hod-noty menší než 0,01 m.

Pro diferenční metody GPS se používá zkratka DGPS. Principem metod je současné využití nejméně dvou přijímačů, z nichž jeden, tzv. referenční, je umístěn zpravidla na známém geodetickém bodě. Další jeden nebo více přijí-


- 126 (176) -

mačů slouží k určování relativní polohy bodů. Všechny přijímače musí měřit pseudovzdálenosti alespoň ke čtyřem stejným družicím. Ze známých souřadnic referenčního bodu se vypočítají buď přímo korekce k družicově určeným sou-řadnicím zaměřovaných bodů, nebo korekce k měřeným veličinám. Korekce jsou vysílány např. rádiem k ostatním přijímačům anebo se později zavádějí do následujících výpočtů polohy určovaných bodů. Korekce obvykle zajišťují vyšší polohovou přesnost než metody absolutního určení polohy jednotlivých bodů. Při společném použití pseudovzdáleností /

id a fázových rozdílů /iϕ∆

v režimu C/A kódu lze dosáhnout přesnosti pod 1 m. Jsou-li měřeny fázové rozdíly /

iϕ∆ , dá se snížit chyba až na jeden centimetr. Uvedené metody s mě-řením fázových rozdílů bývají při kinematickém měření polohy bodů také označovány zkratkou RTK (Real–Time kinematic). Diferenční metody včetně RTK jsou v praxi často využívány [7], [40], [42]. Podle toho, v jakém časovém intervalu jsou diferenční korekce počítány, rozlišují se diferenční metody v reálném čase nebo s využitím postprocessingu.

c) Volba konfigurace a struktury sítě závisejí na požadované kvalitě určovaných bodů a počtu nasazených přijímačů. Jedním z nejdůležitějších po-žadavků zachování homogenity daného polohového bodového pole je zásada důsledně vkládat nové zaměřované body mezi body dané sítě tak, aby projek-tované body ležely uvnitř mnohoúhelníku vytvořeného z okrajových připojo-vacích bodů. Další zásadou je, aby poloha každého nového bodu byla nezávisle kontrolována.

d) Měřické metody se dělí na statické a kinematické. Podle názvu je zřejmé, že u statických metod se určuje poloha nepohybujících se přijímačů, postavených na zvolených bodech. Kinematické metody jsou založeny na ur-čování polohy bodů pohybujícího se přijímače, např. v autě, lodi, letadle baló-nu a apod. Některé měřické metody jsou uvedeny na obr. 5.38. Na obr. 5.38 a) je znázorněna standardní statická metoda, typická pro PGZ a ZhB. Relativní poloha bodů se zaměřuje simultánně v měřických sestavách se dvěma nebo více družicovými přijímači. Další obr. 5.38 b) znázorňuje tzv. rychlou metodu, označovanou anglickým názvem Stop and Go. Jeden přijímač je stále na daném bodě A. Druhý nebo i další přijímače nepřetržitě měří a krátkou dobu, obvykle několik sekund (postačuje 10 – 15 sekund), se zastavují na určovaných bodech P,Q,R, … U statických metod se měří družicovými přijímači na každém bodě obvykle několik minut až několik hodin se zvolenými intervaly záznamů mě-řických výsledků ke každé družici. Intervaly dosahují řádově velikosti několika sekund [11]. Vznikají tak velké statistické soubory výsledků, které se po zave-dení korekcí vyhodnocují a z nich se odvozují jak určované velikosti pseudo-vzdáleností, tak odhady jejich přesnosti a přesnosti vypočtených vektorů mezi dvojicemi zaměřovaných bodů.

Princip kinematické metody je zakreslen na obr. 5.38 c. Jeden přijímač je stále umístěn na výchozím daném bodě A. Druhý přijímač se pohybuje a nepřetržitě proměřuje stanovenou trasu ve zvolených časových intervalech, např. dvě se-kundy, anebo měří polohu jen na vybraných bodech.


- 127 (176) -

a) Standardní statická b) Rychlá statická metoda c) Kinematická metoda metoda

Obr. 5.38 Základní měřické metody GPS

a) dva přijímače

b) tři přijímače Obr. 5.39 Příklady projektování polohových sítí

Na dalším obr. 5.39 je schematicky uvedeno několik příkladů projektování a zaměření menších částí bodových polí se simultánním využitím dvou a tří při-jímačů. Stejně jako u terestrických sítí představují projekty družicových sítí kvalitní metody zaměření bodů. Body jsou navázány na okolní dané body a nadbytečně měřené veličiny poskytují dobrou kontrolu měřených souřadnico-vých rozdílů (vektorů).

e) Využití družicových při j ímačů GPS je mnohostranné [23], [52]. Ge-odetické práce tvoří jen zlomek měřických aplikací s družicovým systémem v technické praxi. Byl vyvinut pro vojenské účely, především k určování polo-hy různých bodů a objektů, k navigaci lodí, letadel, vrtulníků, aut, tanků, říze-ných střel, k zaměřování letišť, k určování času, k určování náklonů a směrů.


- 128 (176) -

Dnes je nepostradatelný k navigaci v letecké a lodní dopravě včetně rybář-ských a rekreačních lodí, v některých druzích sportu atd. Často jsou družicové přijímače součástí různých komplexních systémů, např. inerciálních navigač-ních systémů a řídících a dispečerských systémů. V geodetických pracích jsou nejvíce používány k zaměřování polohových bodových polí (geodetických po-lohových základů a zhušťovacích bodů), k určování polohy jednotlivých bodů a objektů, v mapování, k navigaci letadel a vrtulníků při leteckém snímkování, k vytyčování bodů, k vyhledávání stabilizací geodetických bodů, k zaměřování posunů a deformací a k dalším speciálním pracím. Typickým znakem geode-tických měření s GPS je vysoká relativní polohová přesnost určení polohy.

f) Podle rychlosti výpočtu prostorových nebo elipsoidických souřadnic zaměřovaných bodů se obvykle rozlišují metody s bezprostředním určením souřadnic RTK (Real-Time kinematic) a metody, u nichž se registrují měřická data a teprve později se zpracovávají (postprocessing). K výpočtům souřadnic bodů dochází buď ještě v polních podmínkách nebo až na počítači v kanceláři.

g) Podle pohybu při j ímače se měřické metody dělí stejně jako u způso-bů určení polohy bodů na statické a kinematické. Přitom se rozeznávají statická absolutní, kinematická absolutní, statická relativní a kinematická rela-tivní určení polohy.

V geodetických pracích byly zpravidla až do nedávné doby výsledkem měření GPS vektory mezi dvojicemi bodů. Jednotlivé vektory jsou vyjádřeny souřad-nicovými rozdíly v pravoúhlém souřadnicovém systému X,Y,Z nebo v elipsoidických souřadnicích B,L,H. Ukázka měřického protokolu jednoho vektoru mezi body je v tabulce 4.2 ve skriptech [20]. V posledních několika letech se stále více využívá metody DGPS a RTK, a to nejen v souvislosti s výstavbou sítě CZEPOS, ale i k zajištění různých stavebních a jiných prací v inženýrské geodézii.

5.3.6 Diferenční globální polohový systém (DGPS)

Diferenční metody, založené na principu relativních měření, zvyšují přesnost určování polohy bodů ve srovnání s absolutními metodami [9],[40], [42]. Vy-cházejí z předpokladu, že v simultánních měřeních dvěma nebo více přijímači GPS se vyskytují stejné (společné) chyby. Platí to zejména pro blízké přijíma-če. S jejich rostoucí relativní vzdáleností se některé chyby mohou poněkud lišit. Jeden z přijímačů se volí jako referenční (referenční stanice) a umisťuje se na známém geodetickém bodě. Společné chyby jsou tvořeny především zpož-děním signálů při průchodu atmosférou, chybami družicových hodin a chybami efemerid. Korekce vypočtené pro referenční stanice na známém (daném) geo-detickém bodě se přenášejí na ostatní zaměřované body a jsou přibližně pova-žovány za totožné. Chyby vznikající v přijímači mohou být odstraněny jen dodatečným zpracováním.

Metody DGPS využívají různých druhů korekcí, zavádějí je v různém čase a na různých místech. Rozlišují se korekce souřadnic přijímače, korekce měřených veličin a korekce polohy a času družic. Korekce polohových souřadnic se získají jako rozdíly daných souřadnic referenční stanice a souřadnic vy-počtených z měření přijímačem na tomto bodě. Nevýhodou těchto korekcí je požadavek, aby k určení polohy zaměřovaných bodů byly použity stejné druži-


- 129 (176) -

ce. Korekce měřených veličin jsou používány častěji. Jde o korekce kódových a fázových měření. Korekcí polohy a času družic se využí-vá zpravidla jen u velkoplošných DGPS. Pak musí být zřízena síť sledovacích stanic na velkém území, které předávají měření do hlavní stanice. Zde se pravi-delně vypočítávají a vysílají uživatelům korekce prostorové polohy družic, korekce chyb hodin družic a mapa korekcí ionosférického zpoždění nad celou oblastí.

Korekce se vysílají v celé zájmové oblasti zpravidla pomocí rádia. K základním požadavkům na rádiový kanál patří: pokrytí celého území, dosta-tečná přenosová rychlost a spolehlivost přenosu. S kvalitou přenosu korekcí souvisí také volba frekvenčního pásma rádiového kanálu.

Pro geodetické metody určování polohy bodů se používá fázových měření a budují se sítě referenčních stanic pro zvolené území (někdy celého státu), které mají řídící a vyhodnocovací centrum. Řídicí stanice vyhodnocuje měření refe-renčních stanic a vypočítává diferenční korekce pro libovolný bod uvnitř sítě referenčních stanic. V současné době je známý zejména systém RTK (Real-Time kinematic). Je založený na zpracování fázových měření v reálném čase a aplikuje se k přesnému určování polohy včetně řízení stavebních a povrcho-vých důlních strojů a v mapování. [42]. V ČR se také už druhým rokem konají zkušební měření v pražském regionu společností bys@t [42] s cílem vybudovat celostátní síť RTK. Zároveň bylo zpracováno několik projektů celostátní sítě RTK. Podle konečného projektu se v letech 2004 a 2005 uskutečnila výstavba referenčních stanic na celém území ČR. Systém RTK je vybudován např. na území Německa a buduje se na Slovensku. Jeho hlavní výhoda spočívá ve sku-tečnosti, že je možno používat jen jeden družicový přijímač k spolehlivému určení bodu na několik centimetrů, zpravidla kolem 0,02 až 0,04 m. K přenosu korekcí lze použít různých cest, např. přes družice, velkoplošný rádiový přenos pomocí dlouhých vln nebo pásma VKV, Internet, místní privátní přenos, pake-tový (balíkový) přenos atd. Bližší údaje o DGPS najde čtenář např. v publika-cích [11], [40] a [42].

Vybudované síť CZEPOS (obr. 2.7), sestávající z 22 základních stanic, po-krývá celou ČR [9]. Má sloužit k zjednodušenému určování zhušťovacích bodů pomocí družicového systému GPS. Síť bude poskytovat dva hlavní výstupy:

- data pro zpracování geodetických a navigačních měření po ukon-čených měřeních (postprocessing) a

- služby pro určení polohy bodů v reálném čase.

Data pro dodatečné zpracování budou k dispozici registrovaným uživatelům přes webové rozhraní v souborech ve formátu RINEX (Receiver Independent Exchange format) s volitelným rozsahem a obsahem. Služby budou trojího druhu: pro DGPS, pro kinematiku v reálném čase (RTK) ve formě virtuálních referenčních stanic a pro kinematiku v reálném čase (RTK) ve formě plošných korekcí.

Služby pro RTK budou k dispozici buď přes Internet nebo přes GSM.

Výhoda sítě CZEPOS spočívá jednak v zjednodušeném přístrojovém vybavení, tvořícím jen jeden družicový přijímač a jedné aparatury k měření terestrických veličin, jednak v relativně rychlém získání souřadnic určovaných polohových bodů T.


- 130 (176) -

5.3.7 Aplikace družicových měření v geodézii

Využití GPS je značně široké. Družicové systémy byly vyvíjeny přednostně pro vojenské potřeby, především k navigaci lodí, letadel, raket, pozemních vo-zidel, vojenských jednotek atd. V mnohem větší míře však dnes slouží k navigaci všech druhů civilních dopravních prostředků. Vývoj družicových systémů je také od počátku úzce spojen s geodézií a geodetickou astronomií. V současné době tvoří družicový systém GPS jednu ze základních přístrojo-vých technik v různých geodetických oblastech, především při budování geo-detických polohových bodových polí, v geodynamice, v mapování, ve foto-grammetrii, v geografických informačních systémech, v inženýrské geodézii atd. O významu GPS v geodézii a v ostatních příbuzných disciplinách svědčí četné odborné semináře a konference na mezinárodní i národní úrovni, četné učebnice, monografie odborná pojednání v různých časopisech a sbornících, např. [11], [13], [20], [28], [39], [40], [41], [42], [52].

V Česku se od počátku devadesátých let se začalo orientovat budování po-lohových geodetických základů (PGZ) na družicové metody (stať 2.1.5, 2.1.6 a 2.1.7). Se zvyšujícím se počtem geodetických družicových přijí-mačů se také v druhé polovině devadesátých let přešlo na systematické využití GPS při určování polohy zhušťovacích (stať 2.1.10). V současné době se zařadila družicová měření hlavními metodami určování polohy bodů jak v GPZ tak i v PPBP.

Družicové metody našly také značné uplatnění v různých speciálních geodetických pracích. V letech 1995 a 1996 byla opakovaně zaměřena v Česku Geodynamická síť [1]. Zeměměřický úřad používá GPS při zaměřo-vání státních hranic [7], [38]. [39]. Přesná družicová měření slouží ke sledování posunů a deformací ve speciálních (místních) sítích, např. [20]. Stále častěji se využívá GPS ve vytyčovacích pracích, kdy pomocí vhodně umístěné referenční stanice a souřadnic projektovaných bodů se na displeji řídící a zobrazovací jednotky objevují údaje o souřadnicových rozdílech polohy antény a vytyčova-ného bodu. Ve fotogrammetrii se používá GPS jednak k navigaci fotogrammet-rických letadel a k určování souřadnic letadel při snímkování, jednak k zaměřování souřadnic vlícovacích bodů. Některá další uplatnění družicových metod v geodézii najde čtenář např. v publikacích [38], [39], v časopisech Ge-odetický a kartografický obzor, Zeměměřič a v řadě dalších publikací..

Všechny druhy geodetických prací s GPS vycházejí z určování prostorové po-lohy bodů. Souřadnice každého bodu jsou vyrovnávány z mnoha sérií vypočte-ných pseudovzdáleností mezi anténou přijímače a družicemi. Obecně lze vyjá-dřit vyrovnání prostorových pravoúhlých souřadnic určovaných bodů pomocí vektoru oprav v měřených veličin. Linearizované rovnice oprav mají tvar [17]

v = A1 δx1 + A2 δx2 + A3 δx3 + A4 δx4 + ℓ ≡ ii

i xAδ∑=

4

1+ ℓ , (5.76)

kde vektory v, ℓ mají počet prvků totožný s počtem měřených veličin, subma-tice Ai obsahují parciální derivace měřených veličin podle vyrovnávaných parametrů xi (pro i = 1,2,3,4) a vektor ℓ tvoří absolutní členy rovnic oprav. Přitom vektor x1 je složen z dynamických parametrů (Kepplerovovské ele-


- 131 (176) -

menty, souřadnice pólu atd.), vektor x2 obsahuje souřadnice určovaných bodů, vektor x3 parametry atmosféry a x4 parametry spojené s korekcemi hodin a s počtem celých ambiguit (period nebo nosných vlnových délek). Vektory δxi, vzniklé při linearizaci rovnic oprav, označují přírůstky vyrovnávaných nezná-mých.

Zpravidla se rovnice oprav omezují jen na výraz

v =A2 δx2 + A4 δx4 + ℓ , (5.77)

což je pro vyrovnání jednodušší a řešení je stabilnější.

Vyrovnání se týká absolutního určení polohy bodů, které zpravidla neposkytuje dostačující polohovou přesnost pro geodetické aplikace. Z důvodů zvýšení přesnosti se v geodézii používá relativních metod určení vektorů mezi dvoji-cemi simultánně určovaných bodů anebo relativního určení souřadnic více bo-dů ve zvolené konfiguraci simultánních družicových měření (bodů zaměřova-ných ve společné měřické sestavě). Pak výsledkem měření GPS jsou vektory mezi dvojicemi bodů anebo absolutní souřadnice více bodů zpravidla se stej-ným anebo málo odlišným systematickým chybovým polohovým vektorem.

Složky jednotlivých vektorů mezi dvojicemi bodů jsou vyjádřeny souřadnico-vými rozdíly v pravoúhlém souřadnicovém systému X,Y,Z nebo v elipsoidických souřadnicích B,L,eH. Velké vektory chyb v poloze bodů jsou prakticky stejné a přesnost simultánně určených souřadnicových rozdílů Xj′-Xi′, Yj′-Yi′, Zj′-Zi′ (Bj′-Bi′, Lj′-Li′, eHj′-eHi′) se zvyšuje až o několik řádů vzhle-dem k původně vypočteným absolutním souřadnicím jednotlivých bodů. Ukáz-ka zápisu takového polohového vektoru je uvedena např. v tabulce 4.2 skript [20].

Kontrolní otázky

Jaké jsou základní měřické metody u družicových přijímačů?

Jak se měří odvozují časové intervaly z kódových měření a jaké je jejich přesnost?

Jak se určují ambiguity?

K čemu slouží první, druhá a třetí diference ∆Ф při zpracovávání měřených fázových rozdílů?

K čemu slouží měření Dopplerovy frekvence?

Jaký je princip určení polohy bodu pomocí pseudovzdáleností a pomocí Dopplerovy frekvence?

Jaký je princip určení relativní polohy bodu metodou GPS?

Jaký je princip diferenčních metod GDS (DGPS, RTK)?

Jaké znáte základní měřické metody?

K čemu všemu se využívá družicových měření?

Popište metodu DGPS!

Jaký je význam metody RTK v současné době?


- 132 (176) -

K čemu slouží družicové metody v geodézii?

Jak lze obecně vyjádřit vyrovnání prostorových souřadnic určených druži-covými metodami?

Poznámka

Nebudete-li si vědět rady s odpovědí na některou otázku, znovu si prostudujte příslušnou problematiku, popřípadě si vyžádejte konzultaci u učitele předmětu.

5.4 Družicové sítě

Zpracování družicových měření a odpovídající souřadnicové vyrovnání je zpravidla založeno na MNČ. Metody souřadnicových výpočtů lze rozdělit na přesné a přibližné. V přesných geodetických pracích, jako jsou např. měření v PGZ, při zjišťování posunů a deformací apod., vycházejí výpočty zpravidla z měřených vektorů a z měřických sestav (sérií). V každé sestavě se společně odvozují absolutní prostorové souřadnice kXi, kYi, kZi (obr. 5.40) dvou anebo více simultánně (společně) určovaných bodů ve WGS 84. Index i značí určo-vaný bod a k měřickou skupinu (sérii). Jak již bylo zdůrazněno, souřadnice bodů v každé sestavě jsou zatíženy konstantními systematickými chybami, dosahujícími běžně několika metrů. Celkově se projevují jako translace vzhle-dem ke geocentrickému počátku WGS 84.

V současné době se mohou zhušťovací body určovat i metodami DGPS a RTK, jejichž výsledkem jsou souřadnice DXT, DYT, DZT. Přitom index T značí určo-vané body (T = P, Q, R, S, …). Pokud se měří poloha bodů jen těmito meto-dami, jsou uvedené souřadnice definitivní. V případech společného používání jak metod DGPS a RTK, tak i simultánních měření na dvou nebo několika bo-dech, je vhodné považovat oba druhy uvedených souřadnic za přibližné a vy-rovnávat je MNČ.

Všechny výpočty probíhají výhradně na počítačích v softwarech, dodávaných výrobci družicových přijímačů, nebo podle specializovaných programů. Kvali-ta výpočetních programů není stejná a je závislá na metodice a technologii mě-řických prací, na teoretickém řešení geodetických úloh, na použitých přibliž-ných matematických operacích, na způsobech vylučování a snižování vlivu systematických chyb, na velikosti odvozených vektorů a také na vzdálenostech sousedních bodů. Vzhledem k existenci řady výpočetních postupů jsou v dal-ším textu uvedeny jen principy hlavních metod souřadnicového vyrovnání dru-žicových měření a s nimi spojených převodů a transformací. Nejdříve jsou pro-bírána vyrovnání polohových bodových polí, zaměřených simultánně dvěma anebo více družicovými aparaturami [20]. Pak jsou uvedeny principy zpraco-vání družicových a terestrických měření.

5.4.1 Vyrovnání simultánních měření v prostorových souřad-nicích

Hlavní metody souřadnicových vyrovnání polohových bodových polí (PGZ, ZhB a jiných sítí) z družicových vektorů a z měřických sestav je možno rozdě-lit na e t a p o v á a p ř í m á [20].


- 133 (176) -

a) V geodetické praxi se často používají metody e t a p o v é h o v y r o v n á n í družicových měření. Jejich základem bývá spojení měřických sestav (sérií, skupin simultánně měřených bodů) do volné sítě, která je vůči správné poloze polohových bodů posunuta o konstantní souřadnicové posuny cXo, cYo, cZo. Posuny mohou dosahovat až několik desítek metrů, v závislosti na kterou mě-řickou sestavu jsou ostatní sestavy napojeny. V další etapě se volná síť trans-formuje do daného bodového pole. Obě etapy zpravidla využívají metody nej-menších čtverců (MNČ).

S o u ř a d n i c o v é v y r o v n á n í v o l n é s í t ě . K exaktnímu spojení měřic-kých sestav je vhodná např. prostorová podobnostní transformace (stať 3.4.1). Při zhušťování bodového pole na menším území, např. u ZhB a u PPBP, je možno výpočet zjednodušit a zanedbat relativně malé měřítkové změny a malá relativní úhlová pootočení všech tří os. Ke spojení samostatných měřických sestav (obr.5.40) v zprostředkujícím vyrovnání se tak rovnice oprav zjednodu-šují na tvar

kvXi = vXi - kXi - /Xk c , kvYi = vYi - kYi - /

Yk c , kvZi = vZi - kZi - /Zk c (5.78)

pro i = A,B, .. N; P,Q, .. Z, kde kvXi,kvYi,kvZi jsou souřadnicové opravy a kXi, kYi, kZi souřadnice bodů, zís-kané ze simultánních družicových měření v jednotlivých sestavách k = 1,2,3 … s. vXi,vYi,vZi jsou vyrovnané souřadnice všech bodů volné sítě,

/// ,, ZkYkXk ccc relativní souřadnicové posuny měřických sestav vzhledem ke zvolené základní měřické sestavě a indexy i označují jak body určované (T = P,Q,R, … Z) tak body dané (K = A,B,C ….N).

a) dva družicové přijímače b) tři družicové přijímače Obr. 5.40 Schématický nákres měřických sestav spojovaných ve volnou síť

Rovnice oprav se upravují na tvar (5.79)

kvXi = +− /Xki cX δδ kℓXi , kvYi = δYi - /

Yk cδ + kℓYi , kvZi = iZδ - /Zk cδ + kℓZi ,

kℓXi = v oiX - kXi - /Xok c , kℓYi = v oiY - kYi - /

Yok c , kℓZi = v oiZ - kZi - /Zok c ,

kde oivoivoiv ZYX ,, jsou přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnic bodů ve volné síti, iii ZYX δδδ ,, jejich korekce (přírůstky) odvozené z vyrovnání,

/// ,, ZokYokXok ccc přibližné hodnoty souřadnicových posunů jednotlivých měřic-kých sestav k (translace) a /// ,, ZkYkXk ccc δδδ korekce (přírůstky) souřadnico-


- 134 (176) -

vých posunů vypočtené z vyrovnání. Pro vyrovnané souřadnice bodů volné sítě a pro vyrovnané souřadnicové přírůstky platí známé vztahy [20], [19]

ioiviv XXX δ+= , ioiviv YYY δ+= , ioiviv ZZZ δ+= , (5.81)

///XkXokXk ccc δ+= , ///

YkYokYk ccc δ+= , ///ZkZokZk ccc δ+= .

Všechny relativní souřadnicové posuny /Xok c , /

Yok c , /Zok c pro k = 2,3,4 … s se

vztahují ke zvolené první měřické sestavě (k = 1).

Rovnice oprav jsou dány vektorem

vv = Av δx + ℓv , (5.82)

kde vv =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

v

vv

s

.2

1

, Av =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

A

AA

s

.2

1

, δx = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡cuδδ

, ℓv =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

l

ll

s

.2

1

,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

.

.

Q

P

B

A

uu

uu

u

δδ

δδ

δ ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′′

=

c

cc

c

sδ

δδ

δ.

2

1

, kv =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mk

fk

ek

v

vv

., kA =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mk

fk

ek

A

AA

.,

δui =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

i

i

i

ZYX

δδδ

, /ckδ =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

/

/

/

Zk

Yk

Xk

ccc

δδδ

, kℓ =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mk

fk

ek

l

l

l

. .

Indexy k =1,2,3, … s u subvektorů kv , kℓ a submatice kA se vztahují k souřadnicím bodů v k-té měřické sestavě. Podobně subvektory /ckδ obsahují souřadnicové posuny (translaci) k-té sestavy. Subvektory δui (i = A,B,C, …N; P,Q,R, …Z) tvoří souřadnicové přírůstky δXi, δYi, δZi všech zaměřova-ných bodů. Indexy e, f, … m se vztahují jen k souřadnicovým opravám bodů v jednotlivých měřických sestavách.

Normální rovnice mají známý tvar (stať 3.2)

Nv δx + nv = o (Nv = PAnPAA Tvvv

Tv =, ℓv)

a neznámé vyjadřuje vztah

δx = - vv nN 1− .


- 135 (176) -

Počet rovnic oprav je shodný s počtem zaměřených souřadnic bodů ve všech sestavách (1,2,3, …. k). Celkový počet neznámých ν je součtem trojnásobku počtu t určovaných bodů a trojnásobku počtu sestav k (ν = 3 t + 3 k).

Po odhadu střední jednotkové chyby

ν−Σ

=n

pvmo

22

se odhadne i velikost středních souřadnicových chyb iii ZYX mmm ,, jako sou-

čin střední jednotkové chyby mo a příslušných odmocnin váhových koeficien-tů QXiXi, QYiYi, QZiZi, které tvoří prvky diagonály kovarianční matice Mv =

2om Qv (stať 3.2)

,,iYiYoiYiXiXoiX QmmQmm 2222 == 2

iZm = iZiZo Qm2 .

Matice Qv váhových koeficientů je dána známým vztahem [20]

Qv = 1−vN .

Jak již bylo uvedeno, při spojování jednotlivých měřických sérií by bylo teore-ticky správné uvažovat kromě složek translace ( /// ,, ZYX ccc ) a rotace (δα, δβ, δγ) i malou změnu měřítka kdµ. Výpočetní programy souřadnicového vyrovnání volné sítě používají často i dalšího zjednodušeného postupu, spočívajícího jen ve spojování vektorů vypočtených z jednotlivých měřických sestav, i když jde o simultánní měření na více než dvou bodech.

V druhé etapě se volná síť převádí p r o s t o r o v o u p o d o b n o s t n í t r a n s f o r m a c í do dané polohové sítě. Výpočet postupuje podle rovnic uvedených ve stati 3.4.1.

V závěru souřadnicového vyrovnání se ověřuje k v a l i t a i d e n t i c k ý c h b o d ů (stupeň identity) a vypočítávají se souřadnicové opravy transformova-ných bodů některou z metod uvedených ve stati 3.6.4. b) Přímé vyrovnání vychází také z absolutních souřadnic kXi, kYi, kZi, získa-ných v jednotlivých k-tých měřických sestavách. Tyto souřadnice jsou přímo používány k souřadnicovému vyrovnání určovaných bodů v dané prostorové síti. Obecný tvar rovnic oprav je podobný jako u etapového zpracování [20]

kvXi = Xi – kXi – kcX , kvYi = Yi – kYi – kcY , kvZi = Zi - kZi - kcZ , (5.83)

kde Xi,Yi,Zi jsou vyrovnané souřadnice určovaných bodů a kcX,kcY,kcZ souřad-nicové posuny.

Hlavní rozdíly spočívají v tom, že odpadá souřadnicové vyrovnání přírůstků daných bodů a že souřadnicové posuny kcX, kcY, kcZ (translace) se přímo vzta-hují k daným bodům souřadnicového systému (ETRS 89 nebo WGS 84). Translace jsou tedy při přímém vyrovnání obecně rozdílné od translací v předcházejícím etapovém vyrovnání. Rovnice oprav kvXi, kvYi, kvZi lze tak rozdělit na souřadnicové opravy určovaných bodů (T = P,Q,R, … Z) a bodů daných K = A,B, … N). Stejně jako v rovnicích (5.79) je možno po úpravě psát


- 136 (176) -

kvXT = δXT - kδcX + kℓXT , kℓXT = XoT – kXT – kcXo,

kvYT = δYT - kδcY + kℓYT , kℓYT = YoT – kYT − kcYo,

kvZT = δZT - kδcZ + kℓZT, kℓZT = ZoT– kZT – kcZo , (5.84)

kvXK = -kδcX + kℓXK, kℓXK = XK – kXK – kcXo,

kvYK = -kδcY + kℓYK , kℓYK = YK - kYK - kcYo,

kvZK = -kδcZ + kℓZK , kℓZK = ZK - kZK - kcZo,

kde XoT,YoT,ZoT označují přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnic XT, YT, ZT souřadnice daných bodů a kcXo,kcYo,kcZo přibližné hodnoty vyrovnaných sou-řadnicových posunů.

Další postup souřadnicového vyrovnání je obdobný s předcházejícím vyrovná-ním volné sítě. Výsledkem jsou vyrovnané souřadnice XT,YT,ZT určovaných bodů pro T = P,Q,R, … Z

.

,,/

//

TZkZokTkT

TYkYokTkTTXkXokTkT

ZccZZ

YccYYXccXX

δδ

δδδδ

+++=

+++=+++= (5.85)

Po výpočtu vyrovnaných souřadnic se zjišťuje stupeň identity daných bodů (stať 3.6.4).

c) Prostorové souřadnicové vyrovnání je vhodné i pro geodetické polohové sítě (PGZ a zhušťovací bodové pole) v r o v i n n é m z o b r a z e n í , např. v S-JTSK. K výpočtu je možno použít různých metod. Zde je stručně uvedena základní čtyřetapová varianta, kterou vyjadřuje přehledné schéma

rXK, rYK, HK → RK,DηK → ŠK,DK → UK,VK →1. etapa → BBK,BLK → WBK,WLK,eHK → pXK, pYK, pZK

2. etapa → kXi, kYi, kZi → vXi, vYi, vZi

(5.86)

3. etapa /// ,, ipipip ZYX → vXT, vYT, vZT → pXT, pYT, pZT

→ wBT,wLT,eHT → BBT,BLT → UT,VT

4. etapa

→ ŠT, DT → RT, DηT → rXT,rYT,HT

V p r v n í e t a p ě se postupně převádějí rovinné souřadnice daných bodů r XK, rYK a jejich výšky HK v baltském systému z S-JTSK na polární (RK, DηK), kartografické na kouli (ŠK, DK), zeměpisné (UK, VK), zeměpisné (BBK, BLK) na elipsoidu Besselově, zeměpisné (WBK, WLK, eHK) na elipsoidu WGS 84 a na prostorové souřadnice pXK, pYK, pZK. Podrobnosti jsou uvedeny ve skrip-tech [20].


- 137 (176) -

Elipsoidické výšky eHK (T = P,Q,R, …Z) bodů K se počítají jako součet kvazigeoidických výšek HK a převýšení kvazigeoidu nad elipsoidem ζK [21]

eHK = HK + ζK . (5.87)

Druhá etapa spočívá ve spojení měřických sestav kXi,kYi,kZi ve volnou síť vXi,vYi,vZi pro i = A,B, … N; P,Q,R, … Z (rovnice 5.78 až 5.82)..

Ve třetí etapě je třeba převést souřadnice vXi,vYi,vZi bodů volné sítě do sítě odpovídajících identických bodů prostorovou podobnostní transformací ( /// ,, ipipip ZYX ). Pak dochází k výpočtu oprav vXT, vYT, vZT určovaných bodů (T = P,Q,R, …Z), např. některou metodou uvedenou ve stati 3.5. Tím se získají vyrovnané prostorové souřadnice

TZTpTpTYTpTpTXTpTp vZZvYYvXX +=+=+= /// ,, . (5.88)

Ve čtvrté etapě se převádějí vyrovnané souřadnice určovaných bodů do Křovákova zobrazení (rXT, rYT) a vypočtou se jejich výšky HT, obráceným postupem než v 1. etapě.

Prostorové souřadnicové vyrovnání rovinných (zpravidla starších terestrických) sítí je poněkud odlišné od výše uvedených družicových sítí. Souřadnice pXK,pYK,pZK bodů JTSK, získané převodem z rovinných souřadnic Křovákova zobrazení, se totiž vztahují k triangulační síti, vybudované v období 20. až 50. let minulého století. I když byla udržována a některé její části obnovovány, jde o síť, která je zatížena jak místními měřítkovými odchylkami, tak odchylkami v její orientaci. Proto je nutné u etapových vyrovnání transformovat nejprve volnou družicovou síť (vXi,vYi,vZi) podobnostní prostorovou transformací (stať 3.4.1.4) do převedeného bodového pole JTSK (pXK,pYK,pZK) a přihlédnout k této okolnosti i při zpětném převodu vyrovnaných souřadnic určovaných bo-dů do S-JTSK.

Kontrolní otázky Jaké jsou základní skupiny metod souřadnicového vyrovnání družicových vektorů v prostorových souřadnicích?

Jaké jsou zpravidla etapy etapového vyrovnání prostorových souřadnic?

Co je principem přímé metody souřadnicového vyrovnání.

Jak se člení etapy souřadnicového vyrovnání při převodu rovinných souřad-nic daných bodů a jejich výšek na prostorové souřadnice?

Poznámka Nebudete-li znát odpověď na některou z otázek, znovu a pečlivěji prostudujte metody vyrovnání v prostorových souřadnicích ze skript [20].


- 138 (176) -

5.4.2 Vyrovnání simultánních měření v rovinných souřadni-cích a výškách Bpv

Podobně jako u prostorových souřadnic jsou etapová a přímá vyrovnání zá-kladními metodami zpracování družicových simultánních měření v zobrazovací rovině (např. S-JTSK).

a) U e t a p o v ý c h v y r o v n á n í postupuje výpočet podle schématu

(5.89)

ikikik ZYX ,, → vXi,vYi,vZi → ///// ,;,, iBiBieiWiW LBHLB → // , ii VU →

→ // , ii DS(

→ // , ii DR η → // , irir YX → // , irir YX → TTrTr HYX ,, .

Použité symboly mají stejný význam jako ve schématu (5.86).

Nejprve se spojí měřické sestavy (kXi,kYi,kZi) ve volnou síť (vXi.vY.,vZi), stejně jako při zpracování družicových měření v prostorových souřadnicích. Ve druhé etapě se volná síť převede do zobrazovací roviny S-JTSK ( // , irir YX ). Třetí etapu tvoří rovinná podobnostní transformace, kdy se souřadnice bodů převá-dějí na // , irir YX . Součástí etapy je zjišťování míry identity společných bodů

v obou soustavách ze souřadnicových odchylek δXi = rXi - r/iX , δYi = rYi -

r/

iY . Po výpočtu souřadnicových oprav vXT,vYT (stať 3.5) jsou výsledné sou-řadnice rXT, rYT určovaných bodů vyjádřeny vztahy

., //TYTrTrTXTrTr vYYvXX +=+=

Zvlášť se odvozují výšky HT , zpravidla transformací elipsoidických výšek /ie H na identické (výškové) body s výškami HK , pomocí vztahu (5.87) [21]

HT = eHT - ζT .

Transformace se zjednoduší posunutím počátku obou soustav do těžiště iden-tických bodů.

b) Přímé vyrovnání vychází z postupného převodu prostorových souřad-nic ikikik ZYX ,, jednotlivých měřických sestav k (bodů simultánně měřených

družicovými přijímači) do zobrazovací roviny S-JTSK ( // , ikrikr YX ). Rovnice oprav kvXT , kvYT a kvXK , kvYK rovinných souřadnic pro určované body (T = A,B,C, …N) a pro dané body (K = P,Q,R, …Z) mají obecný tvar obdobný s rovnicemi (5.79) přímého vyrovnání v předcházející stati 5.4.1

,

,

TT

TT

YkYkTYk

XkXkTXk

cYv

cXv

l

l

+−=

+−=

δδ

δδ

,

,/

/

YokTkrTorTYk

XokTkrTorTXk

cYY

cXX

−−=

−−=

l

l (5.90)


- 139 (176) -

,,

,,/

/

YokKkrKrKYkKYkYktKYk

XokKkrKrKXkKXkXkKXk

cYYcv

cXXcv

−−=+=−

−−=+=−

ll

ll

δ

δ

kde rXoT, rYoT označují přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnic, δXT,δYT souřadnicové přírůstky (korekce), // , TkrTkr YX rovinné souřadnice určovaných

bodů, // , KkrKkr YX rovinné souřadnice daných bodů převedené z k-té měřické sestavy do zobrazovací roviny a rXK, rYK souřadnice daných bodů. Souřadni-cové posuny kδcX (= kcXo+kδcX), kδcY (=kcYo+kδcY) k-té měřické sestavy jsou při přímém vyrovnání obecně rozdílné od souřadnicových posunů v etapovém vyrovnání.

Další postup je podobný jako u přímé metody vyrovnání prostorových souřad-nic ve stati 5.4.1. Výsledkem jsou vyrovnané rovinné souřadnice XT,YT určo-vaných bodů a souřadnicové posuny kcX, kcY jednotlivých měřických sestav

rXT = k ., //TYkTkrTrTXkTkr YcYYXcX δδ ++=++ (5.91)

c) U některých způsobů přímého vyrovnání se zavádějí do vyrovnání f i k -t i v n í m ě ř e n é veličiny [20]. Z družicově zaměřených prostorových sou-řadnic v jednotlivých měřických sériích (kXi,kYi,kZi) nebo ze souřadnic vyrov-nané volné sítě ),,( ///

iviviv ZYX se odvozují fiktivní veličiny v zobrazovací rovině. Prakticky se převádějí prostorové vektory dij na rovinné vektory sij spojené s S-JTSK nebo se zvoleným místním souřadnicovým systémem. In-dexy i, j označují libovolné dvojice daných a určovaných bodů K (≡ A,B,C, … N), T (≡P,Q,R. … Z), mezi kterými byl družicově určen prostorový vektor. Vektory sij převedené do zobrazovací roviny jsou určeny buď rovinnou dél-kou ijs a směrníkem τij nebo rovinnými souřadnicovými rozdíly ijX∆ , ijY∆ . Uvedené veličiny se počítají např. podle rovnic

,])()[( 5,022irkjrkirkjrkij YYXXs −+−= τij = arctg

irkjrk

irkjrk

XXYY

−

−, (5.92)

nebo ijX∆ = krXj – krXi, ijY∆ = krYj – krYi , (5.93)

kde index kr před souřadnicemi značí, že jde o rovinné souřadnice převedené z k-té měřické sestavy do zobrazovací roviny (r).

Rovnice oprav pro oba druhy fiktivních rovinných veličin, odvozených z vektoru dTU mezi dvěma určovanými body T,U mají obecný tvar [20]

TUS

v =TUTUTUTUTU SSTUUSUSTSTS sYdXcYbXa l+−+++ δµδδδδ , (5.94)

vτTU = aτTU δXT + bτTUδYT + cτTU δXU + dτTU δYU - δω + ℓτTU ,

kde TUTU SS ca ≡− = cos τTU ,

TUTU SS db =− = sin τTU , TUTUS sSTU

−= /l ,

aτTU ≡-cτTU = ,sin

/TU

TU

Sτ

ρ /cos

TU

TU

Sdb

TUTU

τρττ =≡− , TUTUTU

τστ −= /l ,

5,022/ ])()[( UorTorUorTorTU YYXXS −+−= ,


- 140 (176) -

nebo

TUXv = δXU – δXT - δωδµ //

TUSTU YX ∆+∆ + (rXoU – rXoT – TUX∆ ), (5.95)

TUYv = δYU - δYT - δωδµ //

TUSTU XY ∆−∆ + (rYoU – rYoT – TUY∆ ) .

V rovnicích značí rXoT , rYoT , rXoU , rYoU přibližné souřadnice určovaných bo-dů, δXT, δYT, δXU, δYU souřadnicové přírůstky, // , TUTUS σ , // , TUTU YX ∆∆ ozna-čují přibližné délky, směrníky a souřadnicové rozdíly, vypočtené z uvedených přibližných souřadnic UorUorTorTor YXYX ,,, určovaných bodů a ze souřadnic bodů daných. Symboly δµS, δω jsou změna měřítka a úhlové pootočení.

Pro vektor vypočtený mezi jedním určovaným bodem T a druhým daným bo-dem K se rovnice zjednodušují na tvar

TKSv = aSTK δXT +bSTK δYT – TKs δµS + ℓSTK ,

vτTK = aτTK δXT + bτTK δYT - δω + ℓτTK ,

nebo TKXv = aXTK δXT - δωδµ //

TKSTK YX ∆+∆ + ℓXTK ,

TKYv = bYTK δYT - δωδµ //TKSTK XY ∆−∆ + ℓYTK .

Pro vektory, určené jen mezi danými body, zůstávají v rovnicích oprav členy s neznámými δµS, δω a absolutní členy.

Počet neznámých a tedy i počet normálních rovnic u je dán výrazem

u = 2(t – ν) + 2 ,

kde t je počet všech bodů a ν počet daných bodů. Z rovnic oprav se vypočtou normální rovnice, přírůstky souřadnic a nakonec vyrovnané souřadnice. Váho-vé matice jsou vyjádřeny obecnými vztahy

P = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

τP00Ps nebo P =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆YP00∆XP

,

kde SP , Pτ, P∆X, P∆Y jsou váhové submatice pro délky ijs , směrníky τij a souřadnicové rozdíly ∆Xij, ∆Yij družicově určených a do zobrazovací roviny převedených vektorů dij. Získají se pomocí transformace kovariančních matic Pij odvozených při výpočtu souřadnic z družicových měření. K vyrovnání lze také použít přibližných vah

2ijS

ijS mkp = , 2

ijij m

kpτ

τ = , 2ijX

ijX mkp∆

= , 2ijY

ijY mkp∆

= ,

kde střední chyby ijSm rovinných délek ijs se buď odhadují podle přibližné-

ho vzorce 610−+= ijijS sbam nebo se volí konstantní pro všechny délky.

Střední kvadratické chyby ijYijXij mmm ∆∆ ,,τ se vztahují k odvozeným směrní-

kům τij a k souřadnicovým rozdílům ijij YX ∆∆ , .


- 141 (176) -

Konstantu k je možno zvolit libovolně, např. k = 2om . Výsledné souřadnice

určovaných bodů P, Q, … Z a odhady jejich středních chyb jsou dány stejný-mi vztahy jako v dřívějších vyrovnáních, např.ve stati 5.4.1.

Kontrolní otázky Jaké základní skupiny metod souřadnicového vyrovnání družicových mě-ření v rovině znáte.

Jaký je princip etapového vyrovnání v rovinných souřadnicích?

Jaký je postup přímého vyrovnání družicových vektorů převedených do ro-viny?

Co jsou to fiktivní měřené veličiny a jak se využívají při přímém souřadni-covém vyrovnání v rovině?

Poznámka Pokud nejste schopen správně odpovědět na položené otázky, musíte si pozor-něji zopakovat látku.

5.5 Spojené družicové a terestrické sítě

Vybudované polohové bodové pole je třeba podle potřeby obnovovat, doplňo-vat a vkládat do něho zhušťovací body nebo plošné sítě, sloužící k mapování nebo jiným geodetickým účelům. Zpravidla jde o zhušťovací a podrobné polo-hové body, které se vyjadřují rovinnými souřadnicemi X,Y v S-JTSK a výš-kami H v baltském výškovém systému (Bpv). K určení polohy nových bodů se používá družicových měření a veličin měřených terestrickými systémy. Vý-sledné souřadnice určovaných bodů se vypočítávají různými metodami, spočí-vajícími v etapovém nebo v obecném přímém souřadnicovém vyrovnání. Na obr. 5.41 jsou uvedeny příklady spojených družicových a terestrických sítí, které odpovídají kvalitnímu a spolehlivému určení polohy bodů a respektují homogenitu stávajících polohových bodů [20].

Základní druhy měřených a fiktivních veličin u spojených družicových a terest-rických sítí jsou:

- družicové vektory dij ,

- družicové souřadnice DXT, DYT, DZT ,

- terestrické veličiny ψij , zij , dij , nhij .

V geodetické praxi se dosud u spojených sítí družicových a terestrických pře-vážně používala kombinace družicových vektorů dij a terestrických měření. Vybrané metody jejich vyrovnání jsou stručně popsány ve stati 5.5.1. V současné době, kdy je dobudovávána síť CZEPOS, přichází stále více v úvahu zpracování družicových souřadnic (DGPS, RTK) a terestrických mě-ření. Základní postupy jejich zpracování jsou schématicky uvedeny ve stati 5.5.2.


- 142 (176) -

Jedním ze základních požadavků na souřadnicové výpočty v zobrazovací rovi-ně S-JTSK je zachování homogenity bodového pole (ČSTS). Metody souřad-nicového vyrovnání spojených sítí mohou být různé. Některé dále uváděné výpočetní postupy spočívají na rozdělení souřadnicových vyrovnání do dvou nebo více etap. Jako příklad jsou schematicky popsány dvě metody. Jedna se-stává ze dvou a druhá ze tří výpočetních etap. Třetím popisovaným postupem je obecná metoda vyrovnání, kdy se společně vyrovnávají družicová měření i veličiny, zaměřené terestrickými systémy. Uvedené tři metody (stať 5.5.1) se vztahují jen k měřeným družicovým vektorům dij. Čtvrtá metoda se týká sou-časných družicových metod DGPS nebo RTK, kdy společně zpracovávají po-lohové body s družicovými souřadnicemi DXT ,DYT, DZT a terestrické veličiny (stať 5.5.2)..

V této stati jsou voleny indexy T pro družicově určované body a indexy U pro body určené terestrickými veličinami.

Podrobnější údaje o metodách projektování a vyrovnání společných sítí jsou uvedeny např. v skriptech [20], ve článku „K společnému projektu družico-vých a terestrických polohových sítí“ ve sborníku [42] na str. 88 až 90 a v připravované publikaci [54].

Obr. 5.41 Příklady spojených družicových vektorů a terestrických sítí

5.5.1 Vyrovnání družicových vektorů a terestrických veličin

a) Často je používána d v o u e t a p o v á m e t o d a , spočívající na odděle-ném vyrovnání prostorových souřadnic bodů zaměřené družicové sítě a na ná-sledujícím samostatném vyrovnání veličin zaměřených terestrickými systémy (osnov vodorovných směrů, délek a zenitových úhlů) [20].


- 143 (176) -

Schéma výpočetního postupu:

1. etapa

kXi,kYi,kZi vypočtené souřadnice

→

iviviv ZYX ,volná síť

→ /// ,, ieiwiw HLB elipsoid

WGS 84

→ /iB

/iB L,B

Besselův

elipsoid

→

ivrivr YX , zobrazova-cí rovina

→ // , irir YX

podobnostní

transformace

→ vXT , vYT souřadnico-vé opravy

→ rXT, rYT, HT

vyrovnané souřadnice

2. etapa (5.96)

Ψij, /jiz , dij

měřené směry, úhly a délky

→ rXU, rYU, HU


V p r v n í e t a p ě se prostorové souřadnice kXi,kYi,kZi, získané v jednotlivých sériích, spojují do volné sítě ),,( iviviv ZYX a ta se převádí do zobrazovací roviny ).,( ivrivr YX Pak se podobnostní transformací převede síť do daného

polohového bodového pole ( // , irir YX ). Po výpočtu souřadnicových oprav vXT,vYT určovaných bodů T se získají jejich vyrovnané souřadnice rXT,rYT, jak je např. uvedeno ve stati 5.4.2. Zvlášť se převádějí elipsoidické výšky

Te H na výšky HT v Baltském systému (Bpv), např. postupem uvedeným ve stati 5.4.2 a postupem uvedeným v Geodézii III [21].

Ve d r u h é e t a p ě dochází k vyrovnání souřadnic rXU, rYU bodů U, urče-ných osnovami směrů ψij, šikmými délkami dij a zenitovými úhly /

ijz . Indexy i, j označují jak dané body K a družicově určované body T tak i body U zaměřované terestrickými metodami (zpravidla terestrickými univerzálními přístroji). Souřadnicové vyrovnání je uvedeno ve stati 5.4.

b) Některé metody převodu sestávají ze t ř í e t a p . První etapa bývá shodná s předcházejícím postupem a je ukončena převodem souřadnic /// ,, iviviv ZYX z volné družicové sítě do zobrazovací roviny . Přitom výšky Hi se odvozují opět postupem uvedeným ve stati 5.4.2 a v geodézii III [21]. Ve druhé etapě dochází k souřadnicovému vyrovnání bodů určených osnovami směrů ψij, zenitovými úhly /

ijz a délkami dij (sij) v transformované volné družicové síti, čímž se zís-

kají souřadnice /// ,, UvrUvrUvr ZYX bodů U zaměřených terestrickými metodami. Ve třetí etapě se celá síť transformuje do sítě identických bodů v zobrazovací rovině a získají se přibližné rovinné souřadnice // , TrTr YX ; // , UrUr YX . Po vý-počtu souřadnicových oprav UYUXTYTX vvvv ,;, (stať 3.5) se získají konečné


- 144 (176) -

vyrovnané souřadnice určovaných bodů rXT, rYT, rXU, rYU. Zvlášť se opět odvo-zují výšky bodů HT,HU v baltském výškovém systému, přičemž indexy T označují body určované družicově a indexy U body určené z terestrických měření.

Schéma výpočetního postupu:

1. etapa

kXi, kYi, kZi vypočtené souřadnice

→ iviviv ZYX ,, volná síť

→ ///// ,;,, iBiBieiwiw LBHLB WGS 84 Bessel

→ /// ,, ivivrivr HYX S-JTSK

2. etapa (5.97)

ψij, /jiz , dij

měřené směry, zenitové úhly a délky

→ /// ,, UUvrUvr HYX


3. etapa

→ //// ,,, UrUrTrTr YXYXtransformace souřadnic

→UYUXTYTX vvvv ,,,

souřadnicové opravy

→ rXT,rYT,HT,rXU,rYU,HU

vyrovnané

souřadnice

Oba uvedené postupy převodu a vyrovnání dávají uspokojivé výsledky, je-li stupeň identity společných bodů v zobrazovací rovině a v měřené síti v požadované kvalitě.

c) K výpočtu vyrovnaných rovinných souřadnic bodů, určovaných kombinací družicových měření a měřených osnov směrů a délek, je účelné použít o b e c n é m e t o d y v y r o v n á n í . Výpočet probíhá buď v zobrazovací rovi-ně (X, Y) a v baltském výškovém systému (Bpv) anebo v prostorových souřad-nicích. V této stati je popsán princip souřadnicového vyrovnání v rovině. Teh-dy je třeba nejprve transformovat prostorové souřadnice (kXi, kYi, kZi), získané v jednotlivých měřických sériích (k) do rovinného zobrazení ),( //

ikrikr YX a

vypočítat elipsoidické výšky /ie H . Do obecného souřadnicového vyrovnání je

možno zahrnout i vyrovnání výšek. Pak se obecné rovnice oprav rozšíří i na měřené zenitové úhly /

ijz , nivelovaná a trigonometricky určená převýšení nhij,

thij a převýšení ehij určená z měření GPS (elipsoidických výšek).

Pro všechny měřené veličiny je třeba sestavit rovnice oprav. Jsou odvozeny z rovnic, vyjadřujících závislost mezi měřenými veličinami a vyrovnanými souřadnicemi [16], [19], [20]:

družicově určené souřadnice → rXi = YkikririXkikr cYYcX +=+ , , (5.98)


- 145 (176) -

fiktivní souřadnicové rozdíly (z družicových vektorů a z měření inerciálními měřickými systémy)

→ ikrjkrij XXX −=∆ , =∆ ijY ,ikrjkr YY −

fiktivní polární souřadnice z družicových vektorů

→ τij=arctgij

ij

XY

∆

∆, 5,022 )( ijijij YXs ∆+∆=

vodorovné směry → ψij = σij – αi ,

směrník → σij (αij) = arctg irjr

irjr

XXYY

−

− ,

azimut → Aij = arctg irjr

irjr

XXYY

−

− + γ ,

zenitový úhel → zij = arctgoijiij

oijj

dHrHHr

sHrr

)()(2

)(22 +−−

+ ,

rovinná délka → sij = [( jrjr XX − )2 + ( jrjr YY − )2] 0,5,

šikmá délka → dij = 5,022 ])([ iji

jij HH

HrHr

s +++

+,

nivelovaná a trigonometricky určená převýšení→ nhij = H j -Hi , thij = Hj -Hi,

družicově určená převýšení → ehij = Hj - Hi + eδhij .

Rovnice oprav mají tvar (stať 5.2 a 5.4):

pro družicově určené a do zobrazovací roviny převedené souřadnice

)99.5(,,

,,/

/

oiiii

oiii

YkikrorYkYkYkiYk

XkikrorXkiYkXkiXk

cYYcYv

cXXcXv

−−=+−=

−−=+−=

ll

ll

δδ

δδ

,,

,,/

/

YokjkrojrjYkiYkYkjjYk

XokjkrojrjXkjXkXkjjXk

cYYcYv

cXXcXv

−−=+−=

−−=+−=

ll

ll

δδ

δδ

pro souřadnicové rozdíly ijij YX ∆∆ , (fiktivní měřené veličiny vypočtené z družicových vektorů GPS nebo IMS, převedených do zobrazovací roviny (stať 5.4.2):

),(

,)(

////

////

ijirjrijijijijY

ijirjrijijijijX

YYYXYYYv

XXXYXYXv

∆−−+∆−∆−−=

∆−−+∆+∆−−=

δωδµδδ

δωδµδδ

pro délky ijs a jejich směrníky τij (fiktivní měřené veličiny vypočtené z družicových vektorů, převedených do zobrazovací roviny – stať 5.4.2):


- 146 (176) -

),(

),(/

/

ijijjijjijiijiijij

ijijSijjijsjijsiijsiijsijs

YdXcYbXav

sSsYdXcYbXav

ττδωδδδδ

δµδδδδ

τττττ −+−+++=

−+−+++=

pro vodorovné směry ψij (stať 5.2.1):

ijvψ = ρ

ij

ij

S ′′σsinδXi - ρ

ij

ij

S ′′σcos

δYi - ρij

ij

S ′′σsinδXj + ρ

ijS ′′σcos δYj – δαi + (σ′ij - α′ij),

pro směrníky αij (stať 5.2.1):

ijvα = j

ij

ijj

ij

iji

ij

iji

ij

ij YS

XS

YS

XS

δσ

ρδσ

ρδσ

ρδσ

ρ′

′+

′

′−

′

′−

′

′ cossincossin- δω

+ (σ′ij – αij),

pro azimuty Aij (stať 5.2.1):

ijAv = jij

ijj

ij

iji

ij

iji

ij

ij YS

XS

YS

XS

δσ

ρδσ

ρδσ

ρδσ

ρ′

′+

′

′−

′

′−

′

′ cossincossin- δA+

(σ′ij – γ - Aij), ,

pro zenitové úhly zij (stať 5.2.1):

,)(

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

ijijijjij

ijj

ij

ijijj

ij

ijij

iij

iji

ij

ijiji

ij

ijijz

zkZHS

zY

Sz

XS

z

HS

zY

Sz

XS

zv

ij

−−′+′

−′

′+

′

′+

+′

+′

′−

′

′−=

δδρδσ

ρδσ

ρ

δρδσ

ρδσ

ρ

pro vodorovné délky sij (stať 5.2.2):

jisv = -cos σ′ij δXi -sin σ′ij δYi + cos σ′ij δXj + sin σ′ij δYj – sij δµS+ (S′ij – sij);

pro šikmé délky dij (5.2.2.2):

jidv = -cos σ′ij sin zij δXi –sin σ′ij sin zij δYi –cos σ′ij δHi +

+cos σ′ij sin zij δXj +sin σ′ij sin zij δYi + cos σ′ij δHj - djid δµ + ( jiji dD −/ ),

pro nivelovaná a trigonometricky určená převýšení nhij, thij [21]:

ijhn v ≡ tvhij = δHj – δHi + (Hoj - Hoi – hij),

pro převýšení ehij vypočtená z družicově určených elipsoidických výšek keHi, keHj [21]:

ijhe v = δHj – δHi + (keHj – keHi - ehij). V rovnicích vyjadřují symboly δXi,δYi, δXj,δYj, δHi,δHj vyrovnávané přírůstky souřadnic, jojorjorioiorior HYXHYX ,,,,, přibližné souřadnice a výšky vy-

rovnávaných bodů, kcX (= kcXo+kδcX), kcY (= kcYo+kδcY) vyrovnané souřadnico-vé posuny bodů měřické sestavy v družicových sítích, ijij YX ∆∆ , souřadnicové rozdíly vektorů určených družicově (převedených do zobrazovací roviny) nebo


- 147 (176) -

zaměřených inerciálními měřickými systémy, sijo délky na náhradní kouli o poloměru r, sij délky na náhradní kouli o poloměru r+Hi, /

ijσ přibližné hod-

noty směrníků σij , /ijS , /

ijD přibližné hodnoty rovinných délek sij a šikmých délek dij, δµ, δµS , δµd měřítkové změny, δω stočení sítě, αij směrníky vy-počtené z orientace směrů, /

ijα jejich přibližné hodnoty, δαi vyrovnané pří-

růstky směrníku )( / δααα += ijij , γ konvergenci a eδhij opravy družicově ur-čených převýšení ehij z nerovnoběžnosti kvazigeoidu a elipsoidu. V rovnicích pro fiktivní měřené veličiny značí //// ,,, jkrjkrikrikr YXYX přibližné souřadnice,

ijijijij ssss dcba ,,, délkové koeficienty, ijdcbaijijij ττττ ,,, směrníkové koefici-

enty, // , ijijS τ vypočtenou délku a směrník z přibližných souřadnic a /ijs , τij

délku a směrník vektoru v zobrazovací rovině.

Počet neznámých ν je dán součtem dvojnásobného počtu t bodů určovaných jen v rovině, trojnásobného počtu h bodů určovaných i výškově, počtu r měřených osnov směrů, jednou měřítkovou změnou a jedním úhlovým stoče-ním

u = 2t +3h + r + 2 .

Pro přesné práce je účelné zavádět různé změny měřítka ds δµδµδµ ,, , u dé-lek ijs převedených z družicově určených vektorů a u délek měřených světel-nými dálkoměry dij(sij). Z rovnic oprav se vypočtou normální rovnice, přírůst-ky souřadnic a nakonec vyrovnané souřadnice. Obecně je možno charakterizo-vat společné souřadnicové vyrovnání družicových a terestrických měření např. rovnicemi (stať 5.2.4.1 a 5.4.2)


- 148 (176) -

,onxN,xAv =++= δδ l Mx = 2om Qx, ,nNx 1−=δ (5.100)

kde ν−n

mo12 vPvT ,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

h

d,s

z

Y

X

vvvvvvv

v

α

ψ

, ,

AAAAAAA

A

h

d,s

z

Y

X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

α

ψ

ℓ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

d,s

z

Y

X

l

l

l

l

l

l

l

α

ψ

nebo

v = ,,

,

,

,

,

,

,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

ds

z

Y

dX

h

ds

z

Y

dX

AAAAAAA

A

vvvvvvv

α

ψ

τ

α

ψ

τ

ℓ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

d,s

z

,Y

,X

l

l

l

l

l

l

l

α

ψ

τ∆

τ∆

δx =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k

cu

δδαδδ

nebo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

k

ux

δδαδ

δ ,

δu =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Z

Q

P

P

Y.

XYX

δ

δδδ

, δc =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZS

Z

Y

X

c

ccc

.1

1

1

, δα =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

N

A

Z

P

δα

δαδα

δα

.

.

, δk =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

.δωδµδµδµ

s

d

.


- 149 (176) -

Váhová matice P je dána vztahem

P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

h

ds

z

Y

X

P0000000P0000000P0000000P0000000P0000000P0000000P

,

α

ψ

nebo P = ,

,

)(

)(

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

∆

h

ds

z

Y

dX

P0000000P0000000P0000000P0000000P0000000P0000000P

α

ψ

τ

kde PX, PY, P∆X, P∆Y,( τPPd , ), Pψ, Pz, Pα, Ps,Pd, Ph, jsou váhové submatice pro souřadnice převedené z družicových měření (X,Y,Z nebo B,L,eH), pro fik-tivní měřené veličiny Y,X ∆∆ (nebo ,d τ), pro měřené vodorovné směry ψ, pro zenitové úhly z, pro azimuty a směrníky (A,σ), pro měřené délky rovinné s a prostorové d a pro převýšení hij.

Přibližné váhy pd, pτ, px, py, pψ, ps jsou odvozeny z odhadů odpovídajících středních chyb měřených veličin a jsou dány známými vztahy [4], [16], [20]

.,,,,,

,,,,,,

222222

222222

hh

dd

ss

zz

dd

YY

XX

YY

XX

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

mcp

======

≈≈≈≈≈≈∆

∆∆

∆

αα

ψψ

ττ

Přesnější váhy družicových měření a fiktivních veličin z nich odvozených je možno získat transformací příslušných kovariančních matic.

Společné vyrovnání všech druhů měřených veličin poskytuje dobré výsledky a má některé výhody před postupným etapovým vyrovnáním bodového pole. Předpokladem je správný odhad vah a dobrá konfigurace a struktura projektu sítě. Jedním z významných faktorů je zavedení měřítkové změny a úhlového pootočení do rovnic oprav. Oba druhy těchto veličin je žádoucí uchovávat v databázi polohového bodového pole, protože poskytují informace o místních deformacích a o jejich změnách.


- 150 (176) -

5.5.2 Zpracování družicových měření DGPS, RTK terestric-kých veličin

Výstavbou sítě CZEPOS se staly aktuálními společné soubory družicových souřadnic a terestrických veličin [7].

Základní metody souřadnicových výpočtů se dělí na zpracování v prosto-rových souřadnicích a v rovinných souřadnicích. K zjednodušení výkladu je zvoleno vyrovnání v zobrazovací rovině.

K výpočtu souřadnic určovaných bodů je možno přistupovat dvěma cestami:

- přibližnou metodou, kdy zaměřené družicové souřadnice jsou de-finitivní a vyrovnávají se jen terestrická měření,

- přesnější metodu, kdy zaměření družicové souřadnice se vyrovná-vají společně s terestrickými veličinami.

Za kvalitní souřadnicové vyrovnání je třeba považovat společné vyrovnání družicových souřadnic (DGPS a RTK) a terestrických veličin. Příklad spojené družicové sítě DGPS nebo RTK a zhušťovacích bodů určených terestrickými veličinami je znázorněn na obr. 5.42 a 5.43.

Obr. 5.42 Schéma družicově určených bodů T ≡ P, Q, R, S


- 151 (176) -

Obr. 5.43 Schéma bodů U ≡ 1,2,… 7 určených terestrickými veličinami

a) Při odděleném zpracování družicových a terestrických měření se pokládají souřadnice určené metodami DGPS a RTK za definitivní [54].

Nejprve se převádějí prostorové souřadnice daných bodů K a zaměřené sou-řadnice družicově určených bodů do zobrazovací roviny a na normální výšky podle schématu

X, Y, Z; DX, DY, DZ → rX /, rY /; r DX /, r DY /; rH /

dané souřadnice a souřadnice v zobrazovací

souřadnice DGPS, RTK rovině a v systému Bpv

Pak se vyrovnávají jen terestrická měření (5.101)

Ψij , zij , dij , nhij → /// ,, UrUrUr HYX

terestrické veličiny vyrovnané souřadnice v systémech rX /, rY /, H /

Na závěr se převádějí vyrovnané souřadnice do geodetické sítě /// ,, UtUtrUtr HYX →

UZUYUX vvv ,, → rXU , rYU , HU

transformace do souřadnicové opravy výsledné souřadnice geodetické sítě

b) Společné souřadnicové vyrovnání družicových souřadnic (DGPS, RTK) a terestrických veličin [54].

Vyrovnání lze rozdělit na tři části. Nejdříve se opět dané i zaměřené souřadnice se převedou do zobrazovací roviny. Následuje společné vyrovnání družico-vých souřadnic a terestrických měření a výpočet končí transformací vyrovna-ných souřadnic všech určovaných bodů do dané geodetické sítě. Postup je zná-zorněn na schématu.


- 152 (176) -

Převod prostorových souřadnic:

X, Y, Z; DX, DY, DZ → rX /, rY /; r DX /, r DY /; rH /

dané souřadnice a souřadnice v zobrazovací

souřadnice DGPS, RTK rovině a v systému Bpv

Souřadnicové vyrovnání: (5.102)

rX /, rY / → r DX /, r DY /; ψij , sij → rX/V , rY/

V , αi , µS souřadnice rovinné souřadnice bodů vyrovnané souřadnice,

daných bodů DGPS, RTK a terestrické orientační posuny a

veličiny měřítko délek

Transformace do dané polohové a výškové sítě:

rX/V , rY/

V , H /V → trX/

V , trY/V , trH / → XV , rYV , H

vyrovnané souřadnice transformované sou- výsledné sou-

a výšky řadnice a výšky řadnice bodů

V ( = T, U)

Kontrolní otázky Jaké druhy veličin přicházejí v úvahu při společném vyrovnání družicových a terestrických veličin?

Jaký je princip dvouetapové a tříetapové metody vyrovnání družicových vek-torů a terestrických měření?

Popište obecnou metodu společného souřadnicového vyrovnání družicových a terestrických veličin!

Jaké jsou základní metody souřadnicového vyrovnání družicových souřad-nic (DGPS, RTK) a terestrických měření?

Poznámka Znalost výpočetních metod je důležitá k pochopení problematiky souřadnico-vého vyrovnání polohových bodových polí. Proto je třeba porozumět princi-pům jednotlivých typů výpočetních postupů a v případě, že ani po novém dů-kladném pročtení látky máte nedostatky v odpovědích na otázky, vyžádejte si konzultaci.

5.6 Místní sítě

Místní geodetické polohové sítě, nazývané často lokálními sítěmi, se zakládají z různých důvodů. Rozsáhlejší sítě se budují tehdy, je-li polohová přesnost ČSTS nedostačující [20], [21]. Příkladem jsou místní sítě ve větších městech (v Praze, v Brně apod.) a na poddolovaných územích (v Ostravě, ve Slaném apod.). Menší speciální a přesné sítě se projektují zpravidla ke sledování posu-nů a deformací významných objektů, např. přehrad, velkých staveb, jeřábových drah, vysokých pecí, cementárenských a vápenných pecí, ke sledování pohybu


- 153 (176) -

terénu (vrchních geologických vrstev), k vytyčování tunelů, velkých staveb, podzemních děl atd.

K zaměřování místních sítí ve městech, na poddolovaných územích apod. jsou vhodné kombinace družicových přijímačů s přesnými terestrickými systémy a přístroji. Obvyklým znakem rozsáhlejších místních sítí je vedle vysoké relativ-ní polohové přesnosti i větší hustota bodového pole, kdy průměrná vzdálenost sousedních bodů je kratší než u býv. trigonometrické sítě V. řádu. Hustota bo-dů bývá často větší než u sítě zhušťovacích bodů (ZhB). U speciálních míst-ních sítí malého rozsahu, sloužících ke sledování změn objektů se obvykle měří jen osnovy vodorovných směrů, zenitové úhly, délky a převýšení přesnými terestrickými přístroji. U některých místních sítí, sloužících k vytyčování bodů nebo spojených s měřením v podzemí, se také kombinují družicová měření s terestrickými. V dolech se vedle terestrických měření uplatňují i přesné iner-ciální měřické systémy. Vzdálenosti bodů bývají rozdílné a pohybují se zpravi-dla v rozmezí od několika desítek až do několika set metrů.

Konfigurace bodů sítě a její struktura jsou různé a závislé na účelu sítě. Všech-ny body mají být spolehlivě určeny z nadbytečného počtu měřených veličin. Projekt sítě vychází z požadované relativní polohové přesnosti zaměřovaných bodů a tuhosti sítě. Velkou pozornost je třeba věnovat nejen projektu místních sítí, stabilizaci bodů, metodice a technologii určení posunů a deformací, ale i matematickému zpracování výsledků, např.[16]. U bodů, zakládaných ke sle-dování změn objektů jsou voleny speciální stabilizace (např. hloubkové, že-lezobetonové), které se často zřizují již při stavbě sledovaných objektů (např. přehrad) nebo stabilizace pevně spojené s konstrukcí objektu (např. terčů u cementárenských a vysokých pecí, u jeřábových drah, u mostů atd.).

Místní sítě, budované pro technické účely ve větších městech, se také napojují na okolní body státní sítě (ČSTS) nebo družicové sítě (GPZ), aby je bylo mož-no později transformovat do S-JTSK a využít i pro ostatní běžné geodetické práce. Typickým znakem místních sítí, sloužících ke sledování posunů a de-formací objektů je jejich periodické proměřování ve vhodných časových inter-valech, obvykle od několika měsíců do několika roků. Pak kvalita stabilizace bodů sítí (včetně připojovacích) je rozhodující k spolehlivému určení jejich polohových změn.

U řady speciálních místních sítí v inženýrské geodézii bývá odděleno určení a výpočet rovinné polohy bodů od určení a výpočtu jejich výšek. K výpočtu ro-vinných souřadnic Xi, Yi bodů sítě se využívá jak terestrických tak družico-vých měření (osnov směrů ψij, vodorovných délek ijs získaných z měřených

šikmých délek a zenitových úhlů, popřípadě družicových vektorů ijd , převe-dených do zvolené roviny). Výšky Hi jsou odvozovány zvlášť z nivelačních měření. Touto metodikou se obvykle budují např. místní sítě ke sledování změn na vodních přehradách. V jiných místních sítích se z terestrických měření společně určují jak rovinné souřadnice Xi, Yi tak výšky Hi všech bodů sítě.

Souřadnicové vyrovnání speciálních místních sítí tvoří základní výpočetní část. V druhé části se jednak zkoumá kvalita daných (připojovacích) bodů, jejichž neměnná poloha je zajišťována hloubkovými stabilizacemi nebo značkami za-betonovanými ve skále, jednak se určují posuny zvolených a kvalitně stabilizo-vaných bodů. Polohové změny bodů se obvykle odvozují pomocí podobnostní


- 154 (176) -

transformace volné sítě. Posuny bodů se spojitě sledují od první měřické etapy. Ke zvýšení spolehlivosti sledování posunů bodů se doporučuje, pokud možno, používat stejných měřických přístrojů a pomocných zařízení. S bližšími údaji o místních sítích se studenti seznamují v předmětech inženýrské geodézie a úče-lové geodetické sítě.

5.6.1 Vyrovnání rovinných souřadnic

K souřadnicovému vyrovnání místní sítě (MNČ) v zobrazovací rovině se sesta-vují různé výpočetní programy, které obvykle vycházejí z rovnic oprav ijSv dé-

lek ijs (převedených do roviny z měřených šikmých délek ijd a zenitových úhlů z′ij), z rovnic oprav ijvψ měřených směrů ψij a z rovnic oprav

ijijS v,v ψ délek ijs a směrníků τij, nebo z rovnic oprav vxij, vyij souřadnicových

rozdílů ijij Y,X ∆∆ , vypočtených z měřených vektorů (stať 5.4.2).

Postup vyrovnání je podobný jako u terestrických, družicových a spojených terestrických a družicových sítí (stať 5.2, 5.4 a 5,5) [16], [20]. Základní rozdíl spočívá v zavedení místního souřadnicového systému x,y, jehož počátek a ori-entace os se definuje tak, aby souřadnice všech bodů byly kladné. K jednoznačnému určení systému je třeba zvolit tři souřadnice dvou bodů sítě. Zpravidla se zaměřená síť vyrovnává jako síť volná. Po sestavení rovnic oprav měřených veličin a odpovídajících normálních rovnic se postupně vypočtou vyrovnané souřadnice xi,yi všech bodů sítě a jejich odhady středních souřadni-cových chyb.

U místních sítí malého rozsahu není nutné převádět měřené veličiny do zobra-zovací nebo jiné roviny. Pokud je místní síť vybudována k určování posunů a deformací, vyrovnává se v každé měřické etapě zvlášť a transformuje se pomo-cí identických bodů na síť vyrovnanou v první měřické etapě. Pak je možno postupně zjišťovat a testovat polohové změny bodů.

5.6.2 Vyrovnání rovinných souřadnic a výšek

Společné vyrovnání prostorových souřadnic Xi, Yi, Hi bodů místní sítě před-pokládá kvalitní měření nejen šikmých délek dij , osnov směrů ψij a zenito-vých úhlů )( //

ijijijij kzzz δ+= , ale také přesné měření výšek terestrického sys-tému (teodolitu a dálkoměru) a záměrných terčů. U speciálních místních sítí, které slouží k zjišťování posunů a deformací a které mají obvykle malý rozsah, se používá nucené centrace přístrojů a terčů a přesných metod určení jejich výšek nad stabilizovanými body. Pokud je např. požadavek určit souřadnice bodů s relativní polohovou chybou do 3 mm, neměly by chyby ve výškách mě-řických přístrojů a terčů přesáhnout chyby 1 mm až 1,5 mm. Metoda souřadni-cového vyrovnání je stejná jako u kombinovaných terestrických sítí ve stati 5.2.4. Tvar rovnic oprav je shodný s rovnicemi ve stati 5.5. Sestavení koefici-entů a absolutních členů normálních rovnic, výpočet neznámých a odhad střed-ních souřadnicových chyb určovaných bodů jsou totožné s postupy uvedenými ve statích 5.2, 5.4 a 5.5.


- 155 (176) -

Kontrolní otázky K jakému účelu jsou budovány místní sítě a jaké je jejich základní rozděle-ní?

Jaký jsou postupy vyrovnání místních sítí v rovinných souřadnicích?

Jaké znáte metody vyrovnání místních sítích v rovinných souřadnicích a výš-kách nebo v prostorových souřadnicích?

Poznámka Nebudete-li si vědět rady v odpovědi na některou otázku, důkladněji si prostu-dujte látku ve skriptech!

Postup budování polohových bodových polí

- 157 (176) -

6 Postup budování polohových bodových polí

Budování základních a zhušťovacích polohových bodů sestává z několika etap. Vzhledem k udržovaným geodetickým základům v ČR Zeměměřickým úřadem v Praze je v této stati věnována větší pozornost postupu zřizování zhušťovacích a jiných bodů, které se převážně určují z družicových měření GPS [24]. Pouze v případech, kdy není účelné z technických nebo ekonomických důvodů tech-nologie GPS, zaměřují se polohové body pomocí terestrických měření (úhlů a délek).

Postup určení zhušťovacích bodů ve zvolené lokalitě lze rozdělit do několika etap: přípravné práce, rekognoskace, stabilizace a ochrana bodů, měřické prá-ce, souřadnicové výpočty a vyrovnání a dokumentace. Přípravné práce.

Projekt sítě vychází vždy ze známých (daných) bodů, ležících v zhušťované lokalitě, tj. z bodů trigonometrických, z dříve určených zhušťovacích bodů a bodů orientačních (s méně přesnými souřadnicemi). Připojovací body mají být rozloženy na celém zhušťovaném území. Je žádoucí, aby se všechny zhušťova-cí body nacházely uvnitř mnohoúhelníku tvořeném z okrajových daných bodů v zájmovém území.

V přípravných pracích se nejprve sestrojí předběžný projekt zhušťovacích bo-dů. Na mapě se zvýrazní poloha daných (připojovacích) bodů a předběžně se navrhne poloha nových bodů. Přitom vzdálenost sousedních bodů nemá pře-kročit 1 km nebo 1500 m. Pro vybrané dané body se zhotoví výpisy geodetic-kých údajů. Současně se připraví i nivelační údaje těch nivelačních bodů, které jsou vhodné buď jako dané výškové body nebo k nivelačnímu připojení zamě-řovaných bodů.

a) Rekognoskace

Podle předběžného projektu se v další etapě zhušťování bodového pole reko-gnoskují stávající (připojovací) body a upřesňuje se poloha nově určovaných bodů. U každého daného bodu se kontroluje povrchová stabilizace (značka) a ochranné zařízení. Výsledky kontroly se uvádějí do záznamu o rekognoskaci. Nevhodné body se ze zhušťování vyřadí anebo se u trigonometrických bodů požádá ZÚ o jejich přestabilizaci.

Výběr polohy nových bodů se řídí několika požadavky, k nimž zejména patří využitelnost bodu pro geodetické práce, snadné zaměření bodů, umístění stabi-lizace bodů na nejméně ohrožených místech, přístupnost bodů a souhlas maji-tele nemovitosti se stabilizací. Současně se stanoví druh stabilizace a ochrany bodů.

Na základě rekognoskace vznikne konečný projekt sítě zhušťovacích bodů a jejich očíslování.

b) Stabilizace a ochrana bodů

Všechny určované body se stabilizují před měřením. Základní druhy stabilizací jsou uvedeny ve stati 2.2.1. Nejčastějším typem ochrany bodů je ochranná tyč v betonové patce s výstražnou tabulkou [6], [49]. Používá se také betonový sloupek nebo betonová skruž. Pro každý bod se vyhotoví místopis, pokud


- 158 (176) -

možno, se dvěma různými místopisnými prvky. Oznámení o stabilizaci bodů musí být doručeno vlastníku pozemku nebo budovy, kde je značka umístěna.

c) Měřické práce.

V konečném projektu sítě zhušťovacích bodů je na základě rekognoskace sta-noveno, které body se měří družicovými metodami (technologií GPS) a které terestrickými metodami. V technologickém postupu se dělí zaměření bodů podle jejich druhu na body připojovací a určované. U družicových měření GPS se rozlišují body staniční, z nichž se postupně zaměřuje několik okolních bodů, a na body navazované. K základním způsobům měření se řadí tzv. GPS rajóny, GPS protínání a GPS obrazce. Pod označením GPS rajóny se rozumí postupy, kdy jeden družicový přijímač je v měřickém sestavě na jednom (staničním) bodě a další jeden nebo více přijímačů postupně zaměřují ostatní body (nava-zovací). Název GPS protínání byl přisouzen měřické technologii, v které jsou stálé stanice umístěny na dvou nebo více bodech (staničních) a ostatní družico-vé přijímače měří postupně na ostatních bodech (navazovacích). Třetím měřic-kým postupem jsou GPS obrazce, kdy se bodové pole rozkládá podle počtu používaných družicových přijímačů (nejméně tří) na měřické sestavy o třech anebo více simultánně zaměřovaných bodech.

Všechny určované body musí být zaměřeny nezávislou kontrolou. Významnou úlohu v přípravě měřických prací má dobře připravený plán časového postupu měření a přesunů družicových přijímačů na jednotlivé body. Délka observace je závislá na zejména na vzdálenosti zaměřovaných bodů, na počtu a konfigu-raci družic (hodnoty DOP) a na typu přijímačů. Při vyhovujícím DOP se měří dvoufrekvenčním přijímačem a do vzdálenosti bodů do 10 km nejméně 10 mi-nut a jednofrekvenčním přijímačem nejméně 30 minut [49]. Každá dílčí síť zhušťovacích bodů se připojuje nejméně na dva body DOPNUL. Po dokončení sítě CZEPOS a jejím uvedení do provozu se zaměřují zhušťovací body meto-dami DGPS a RTK.

U bodů určovaných terestrickými systémy se měří osnovy směrů nejméně ve dvou skupinách a délky tak, aby rozdíly jejich dvojího měření nepřesáhly 0,02 m (do 1 km) až 0,03 m (nad 1 km). K určení zhušťovacích bodů se používají plošné sítě, polygonové pořady, protínání a rajóny [6]. Výšky bodů se určují pomocí družicových měření GPS, technickou nivelací a trigonometrickým ur-čováním výšek.

e) Výpočetní práce.

K výpočtům vektorů a k souřadnicovému vyrovnání sítí z měření GPS se pou-žívají vhodné firemní softwary dodávané se zakoupenou přístrojovou techni-kou, nebo speciální softwary. Vhodné jsou postupy vycházející z MNČ a schématicky popsané např. ve statích 5.2, 5.4 a 5.5. Výpočetní postupy ve stati 5.4 se týkají samostatných družicových sítí. Ve stati 5.2 je uvedeno souřadni-cové vyrovnání jen terestrických sítí.. Obecný postup společného vyrovnání družicových a terestrických měření je naznačen ve stati 5.5.

f) Dokumentace

Budování zhušťovacích bodových polí je zakončeno zpracováním technické dokumentace, do které patří technická zpráva, záznam o rekognoskaci (ZOR, hlášení závad a změn na připojovacích bodech), seznam rovinných souřadnic a

Postup budování polohových bodových polí

- 159 (176) -

výšek (S-JTSK,Bpv), seznam nových a dosavadních čísel zhušťovacích bodů (kapitola 8), náčrt všech bodů, měřické a výpočetní dokumenty, geodetické údaje zaměřených zhušťovacích bodů a potvrzení o oznámení zřízení měřic-kých značek.

Podobným postupem jako sítě zhušťovacích bodů, které jsou zřizovány na ce-lém území Česka, s výjimkou větších zalesněných oblastí, se budují místní sítě. Liší se zejména nároky na relativní polohovou přesnost určovaných bodů, úče-lem místních sítí, stabilizacemi bodů, technologií měření, metodami zpracování apod. (stať 5.6). Někdy jsou požadavky na kvalitu místních sítí vyšší než u zhušťovacích bodů. Podrobnosti o místních sítích jsou uváděny v předmětu inženýrská geodézie.

Podrobné polohové bodové pole, zakládané pro potřeby mapování se obvykle vyznačuje poněkud nižšími požadavky na polohovou přesnost určovaných bo-dů, jednodušší stabilizací, která může být i dočasná, a také jednoduššími mě-řickými metodami a výpočetními postupy. Požadavky na kvalitu podrobných polohových bodů jsou závislé na účelu, ke kterému jsou zřizovány, např. [24], [46], [48].

Kontrolní otázky Jaké jsou etapy budování polohových bodových polí?

Jaký je postup při projektování polohového bodového pole?

Jaký je cíl rekognoskace a jaké jsou základní typy stabilizace zhušťovacích bodů?

Jaké jsou základní metody určování zhušťovacích bodů a odpovídající mě-řické metody?

Jak probíhají výpočetní práce a jaké jsou součásti dokumentace budované-ho bodového pole?

Poznámka Jde o jednoduchou látku, kde byste neměl mít problémy s jejím pochopením.

Dokumentace polohových bodů a databáze

- 161 (176) -

7 Dokumentace polohových bodů a databáze

Až do počátku devadesátých let minulého století měla dokumentace trigono-metrických a části zhušťovacích bodů převážně formu grafickou. Pro každý bod byl vyhotoven tiskopis „Geodetické údaje“, který obsahoval všechny důle-žité informace o geodetickém bodu, především jeho číslo, název, číslo triangu-lačního listu, rovinné souřadnice a výšku, údaje o stabilizaci bodu a o přidruže-ných bodech, místopis, katastrální území a další. Od r. l991 probíhal ve VÚ-GTK výzkum, jehož cílem bylo vypracování nové koncepce databází trigono-metrických a zhušťovacích bodů, který by umožnil dát do provozu centrální databázi v ZÚ a oboustrannou distribuci dat mezi Katastrálními úřady 1 (KÚ 1) a ZÚ. Po několikaletém vývoji byla dokončena koncepce modelu databáze ZPBP a zhušťovacích bodů [33]. Základem struktury je tabulka center bodů. Jsou v ní uloženy odděleně souřadnice bodů a je sledován jejich vývoj. K centru jsou vztaženy přidružené body, místopisy a údaje o podzemních značkách. Body jsou členěny podle ZTL a TL a jsou u nich uvedeny údaje o jejich umístění v mapových listech ZM 50 a SMO 5 a číslo katastrálního území včetně parcelního čísla. Databáze také obsahuje orientace na okolní body, mís-topisy centra a přidružených bodů, geocentrické souřadnice v ERTS 89 (pokud byly měřeny) a další údaje. Databáze obsahuje především 20 tabulek s údaji o bodech, 21 tabulek spojených s lokalizací bodů a několik dalších tabulek.

Prakticky jsou v databázi ZÚ k dispozici všechny údaje o trigonometrických bodech, požadované v Geodetických údajích, a některé další záznamy, důležité pro revizi a údržbu bodů. Databáze byla připravována a postupně naplňována i pro vedení úplných údajů pro ZhB. Také se ještě uvažuje o novém vyrovnání ZhB v jednotlivých regiónech a oblastech, jejichž zaměření bylo dokončeno v roce 2004. Nové souřadnicové vyrovnání by mělo navazovat na rozšířenou síť družicových polohových základů DOPNUL, jejíž zaměření má být skonče-no v roce 2006. Na přelomu dvacátého a jednadvacátého století byly pro potře-by geodetické praxe vyhotoveny formuláře k vyhledání geodetických údajů o trigonometrických a zhušťovacích bodech. Příklady formulářů k vyhledání trigonometrických a zhušťovacích bodů a jejich geodetické údajů jsou na obr. 8.1 a 8.2 skript [20]..

Od počátku roku 2004 jsou geodetické údaje o trigonometrických a zhušťova-cích bodech přístupné na Internetu pod značkou „http//dataz.cuzk.cz“. Podobně jsou přístupné i nivelační údaje o bodech ČSNS pod heslem „http//nivelace.cuzk.cz“.

Vyhledávání v databázi je v současné době možné třemi způsoby:

• podle úplného čísla (číslo TL a číslo bodu) s možností výpisu bo-dů ze zadaného TL, zadaného listu mapy ZM-50 nebo SMO-5,

• zadaným středem území (X,Y) a vzdáleností,

• podle katastrálního území,

• pomocí ZTL a TL na území ČR.

Databáze poskytuje kompletní informace o číslech a souřadnicích bodů a jejich umístění na mapových listech a ostatní geodetické údaje. Údaje o trigonomet-rických bodech jsou doplněny družicové body. Správu zajišťuje ZÚ v Praze.


- 162 (176) -

Správou zhušťovacích bodů jsou pověřeny Katastrální úřady. Jejich kompeten-ce jen vyznačena na přehledce triangulačních listů. Data mají být průběžně aktualizována. Databáze obsahuje celkem 69 000 center trigonometrických a zhušťovacích bodů a přes 35 000 bodů přidružených, včetně bodů zničených a všech změn souřadnic.

Současná databáze může poskytovat geodetické údaje ve formě tisku nebo vý-stupu do grafického souboru pro požadované body. Jedním z výstupů je i zápis vybraných bodů do souborů. Pro potřeby ZABAGED, migrace do ISKN, do-kumentace KÚ, pozemkové úřady a další zájemce jsou poskytovány hromadné výpisy souřadnic do souborů. Databáze je zálohována exportem dat na pracov-ní stanici jeho uložením na ZIP disk.. Databáze je systematicky aktualizována.

Číslování bodů základního polohového pole a zhušťovacích bodů vychází z triangulačních listů. Číslování bodů podrobného bodového pole je vedeno podle katastrálních území, např. [6], [12].

Obecně má číslo každého základního polohového bodu (trigonometrického bodu) tvar 0009 EEEE CCCO, kde čtyřčíslí EEEE je vyhrazeno pro číslo trian-gulačního listu (obr. 7.1). Trojčíslí CCC označuje pořadové číslo základního bodu v rozsahu 1 až 199 nebo zhušťovacího bodu v rozmezí 201 až 499 [50].

a) číslování ZTL b) rozdělení ZTL na triangu lační listy (ZL)

Obr. 7.1 ZTL a TL

Body podrobného polohového pole mají být uváděny ve tvaru PPP 0000 CCCC, kde PPP označuje pořadové číslo katastrálního území v okresu podle SPI a CCCC pořadové číslo podrobného polohového bodu v rozmezí 501 až 3999. Dočasně stabilizované body se číslují jako pomocné body vždy pro kata-strální území. Mají stejný tvar jako ostatní body, pouze jejich pořadové číslo začíná od 4001.

Údaje o číslování bodů jsou převzaty z předpisů a vyhlášek [50], [51] . V současné době jsou k dispozici úplné databáze trigonometrických bodů v ZÚ. Číslování databází ZhB není ještě jednotné a v některých KÚ 1 se poně-kud liší. Je používáno typu číslování 10 nebo 12 cifer v několika kombinacích. Deseticiferné číslování má dva tvary 09 TTTT CCCP pro ZhB a XX 0000 CCCC pro podrobné polohové body. V prvním případě označuje TTTT číslo triangulačního listu, CCC číslo bodu (1 až 499 včetně základních polohových

Dokumentace polohových bodů a databáze

- 163 (176) -

bodů) a P číslo přidruženého bodu. U ostatních (podrobných) bodů je XX pra-covní číslo katastrálního území, CCCC číslo bodu (501 až 3999). U dvanáctici-ferných čísel se rozšiřuje prvé dvojčíslí u ZhB z 09 na 0009. U podrobných bodů se nahrazují cifry XX čtyřčíslem KKKO, kde KKK značí číslo katastrál-ního území v okrese podle SPI (souboru popisných informací) a O se nahrazuje pořadovým číslem sousedního okresu katastrálního území.

Správou polohových geodetických základů je podle příslušných zákonů a naří-zení vlády a vyhlášek, např. [45], [46], [47] pověřen ZÚ v Praze. Podrobnosti jsou uvedeny v článku [24]. Správa se týká především projektování základních bodových polí, stabilizací bodů, měřických prací, souřadnicového vyrovnání a dokumentace geodetických základů, jejichž důležitou součástí je databáze, údržba a modernizace.

Kontrolní otázky Co obsahují geodetické údaje o polohových bodech?

Jaké jsou základní databáze pro polohové a výškové bodové pole v ČR?

Jaké jsou způsoby vyhledávání polohových bodů v databázi ZÚ?

Jaká je koncepce číslování bodů základního polohového pole a zhušťova-cích bodů?

Poznámka Pokud budete chtít další informace o současných databázích ZÚ najdete je na Internetu ZÚ nebo ČÚZK.

Vyhledávání geodetických bodů

- 165 (176) -

8 Vyhledávání geodetických bodů

Při rekognoskaci polohového bodového pole nemusí být nalezena stabilizace některého bodu. U bodů PGZ, které mají zpravidla jednu povrchovou a dvě podzemní značky, se kontroluje neporušenost povrchové stabilizace, ochranné-ho zařízení a zajišťovacích a orientačních bodů. Při pravidelných kontrolách pracovníky ZÚ se pro každý bod vyhotovuje o výsledcích rekognoskace zá-znam. Zhušťovací body, zaměřené v posledních letech, mají obvykle jednu povrchovou a jednu podzemní značku a ochranné zařízení. Není zatím stano-veno jak bude probíhat jejich údržba, zda budou pravidelně kontrolovány stabi-lizace jen u vybraných bodů, kdo bude kontrolu zajišťovat, popřípadě v jakých časových intervalech. U podrobných polohových bodů, které jsou stabilizová-ny vesměs jen jednou značkou, probíhá kontrola jen při navazujících měřic-kých pracích.

Pokud není povrchová značka bodu nalezena, je možno vyhledat podzemní značku nebo zasypanou povrchovou značku různými metodami [16]. Dělí se do několika skupin, tj. vyhledání stabilizace

- pomocí místopisu,

- z družicových měření,

- z terestrických měření.

Nejjednodušší je vytyčení stabilizace hledaného bodu z místopisných údajů (měr), které jsou pořízeny pro každý bod PGZ a u většiny zhušťovacích bodů (kapitola 7), a jsou zakresleny v Geodetických údajích. Příklady takových mís-topisů jsou na obr. 8.3 až 8.5 ve skriptech [20].

Jednoduché je vytyčení stabilizační značky bodu z vektoru určeného ze simul-tánních měření se dvěma družicovými přijímači. Referenční přijímač je umís-těn na vhodném známém bodě A a druhý přijímač v bodě P, v předpokláda-ném místě hledaného bodu B (obr. 8.1). Pomocí transformace se automaticky převádějí prostorové souřadnice kXA, kYA, kZA, k XP, kYP, kZP do zobrazovací roviny, např. S-JTSK, v němž jsou známy souřadnice obou bodů (XA,YA; XB,YB). Transformací zaměřených prostorových souřadnic jsou současně vy-počteny rovinné souřadnice stanoviska druhého přijímače XP,YP. Podle vyty-čovacího programu se odvodí souřadnicové rozdíly ∆XPB , ∆YPB a vzdálenost a směr k vytyčované poloze stabilizace bodu B. Pomocí těchto měr se iterač-ním postupem najde hledané místo značky. Jednoduché je vyhledání bodu po-mocí DGPS nebo RTK, kdy měřič sleduje na displeji údaje o směru a vzdále-nosti hledaného bodu a pohybuje se s anténou přímo k vytyčované poloze bo-du.


- 166 (176) -

Obr. 8.1 Vytyčení bodu B Obr. 8.2 Vytyčení bodu B

pomocí GPS rajónem

Družicové přijímače lze použít k vyhledání bodu především v družicových sítích, které v současné době tvoří jak rozšiřovaná síť DOPNUL, tak i sítě zhušťovacích bodů budované v posledních letech jen pomocí GPS. Polohu ostatních bodů trigonometrické sítě a zhušťovacích bodů v terénu, kde vlivem různých překážek, lesních komplexů a odražených družicových signálů nelze použít družicových přijímačů, je nutné vytyčit polohu hledaného bodu terest-rickými metodami. Jsou založeny na veličinách měřených terestrickými systé-my, především na osnovách směrů,zenitových úhlech a délkách. Podstatou terestrických metod je určení pomocného bodu P v blízkosti hledaného bodu B.

K základním terestrickým metodám vyhledání stabilizace bodu B patří rajón, polygonový pořad a protínání ze směrů a délek. Na obr. 8.2 je poloha B urče-na směrníkem σAB a vodorovnou délkou sAB , vypočtenými ze známých sou-řadnic bodů A,B. Předpokladem jsou volné záměry mezi body A,B a orientač-ními body M,N.

Obr. 8.3 Vytyčení bodu B Obr. 8.4 Vytyčení bodu B protínáním

polygonovým pořadem ze směrů a délek

Vyhledávání geodetických bodů

- 167 (176) -

V nepřehledném terénu je vhodné použít polygonového pořadu, vedeného mezi danými body A,C tak, aby jeden z polygonových bodů, např. Q na obr. 8.3, ležel v blízkosti určovaného bodu B. Z vyrovnaných souřadnic bodu Q (XQ,YQ) a ze souřadnic hledaného bodu B (XB,YB) se vypočtou vytyčovací prv-ky sBQ, σBQ a z bodu Q se rajónem vytyčí poloha hledaného bodu B.

Další jednoduchou metodou je určení pomocného bodu P, ležícího v blízkosti hledaného bodu B, protínáním ze směrů a délek. Např. na obr. 8.4 je bod P určen měřenými směry ψPA, ψPC a délkami sPA, sPC na dané body A,C. Z vyrovnaných souřadnic XP, YP a známých souřadnic XC, YC se vypočtou prvky rajónu σPB, sPB a vytyčí se poloha bodu B.

Řada starších metod vyhledání stabilizace bodů, založená zejména na různých metodách protínání jen ze směrů a úhlů nebo jen z délek, je uvedena např. v publikaci [16]. Metody byly významné v době, kdy se k určování polohy bodů používaly osnovy směrů, měřené teodolity, a později i první typy elek-tronických dálkoměrů.

Kontrolní otázky Jaké jsou hlavní metody vyhledávání stabilizací geodetických bodů?

Jaké jsou postupy vyhledávání stabilizací geodetických bodů?

Jak se vyhledávají geodetické body pomocí družicových metod?

Poznámka Při studiu věnujte současně s textem pozornost obrázkům, které znázorňují jednotlivé metody vyhledávání bodů.

Závěr

- 169 (176) -

9 Závěr

Student má při zkoušce s geodézie III projevit následující znalosti o:

• vývoji polohových, výškových a gravimetrických základů na úze-mí ČR,

• Jednotné trigonometrické síti katastrální,

• Křovákově konformním kuželovém zobrazení,

• vývoji systému S-JTSK 95 a jeho účelu,

• přehledně o Astronomicko-geodetické síti a jejím využití,

• vývoji družicových geodetických základů,

• družicových sítích DOPNUL a jejím rozšíření, GEODYN a CZE-POS,

• současné ČSTS a PGZ a jejich stabilizaci,

• podrobném polohovém bodovém poli na území ČR a jeho součas-ném stavu,

• zhušťovacích bodech a jejich stabilizaci,

• podrobně o výpočtu směrníku (jižníku) a délky a odhadu jejich přesnosti,

• principu MNČ s důrazem na souřadnicové vyrovnání, o základ-ních vztazích včetně odhadů přesnosti,

• základních transformačních metodách v rovině v prostoru s důrazem na podobnostní transformaci,

• výpočtu parametrů transformačních rovnic MNČ,

• transformaci pomocí obecných průměrů posunů identických bodů,

• metodách výpočtu souřadnicových oprav transformovaných bodů,

• přesnosti transformace souřadnic,

• stupni (míře) identity společných bodů při transformaci souřadnic,

• základních kritériích polohové přesnosti bodů,

• přibližných metodách výpočtu souřadnic polohových bodů, uče-ných rajóny,

• polygonovými pořady, protínáním vpřed, protínáním z délek, pro-tínáním zpět, Hansenovou úlohou,

• výpočtu souřadnic měřických bodů a průsečíku měřické přímky se sekční čarou,

• budování terestrických sítí a základních metodách jejich souřadni-cového vyrovnání,

• sítích úhlových, jejich vyrovnání a o jejich významu,


- 170 (176) -

• sítích délkových, jejich vyrovnání a o jejich významu,

• zavedení místního měřítka délek a využití šikmých délek v délkových sítích,

• podrobně o souřadnicovém vyrovnání kombinovaných terestric-kých sítí včetně odhadů přesnosti,

• výškových sítích a činnosti družicových systémů a jejich využití v geodézii,

• družicových přijímačích,

• podrobně o měřických metodách v geodézii s důrazem na určení časového intervalu

• geodetickém systému WGS 84 a o ETRS 89,

• metodách určení polohy bodů pomocí družicových metod,

• diferenčním globálním polohovém systému DGPS a RTK,

• aplikacích družicových metod v geodézii,

• základních druzích družicových sítí,

• metodách vyrovnání družicových vektorů,

• metodách souřadnicového vyrovnání spojené sítě družicové a te-restrické,

• zpracování spojené sítě DGPS a RTK s terestrickými veličinami,

• přehledně o vyrovnání místních sítí,

• etapách budování polohových bodových polí,

• základních metodách vyhledávání stabilizací bodů,

• základní dokumentaci a databázích geodetických bodů.

9.1 Shrnutí

Studium předmětu Geodézie III je založeno na dobrých znalostech z předmětů Geodézie I a II. Dále je třeba znát základní matematické metody získané v předmětu matematika. Úvodní část studia tvoří získání dobrého přehledu o vývoji a současném stavu geodetických sítí na území v ČR. Za hlavní náplň studia je třeba považovat zpracování měřených a fiktivních veličin různými postupy souřadnicových vyrovnání a z nich vyplývající odhadů přesnosti. K získání celkového přehledu o budování polohových bodových polí je třeba věnovat pozornost i etapám budování polohových sítí, principu číslování bodů a databázím bodů.

Informace

K předložené látce jsou napsána skripta Geodézie IV [20] a z velké části při-praven rukopis doplněného vydání opět z názvem Geodézie IV – Geodetické sítě a jejich budování. Za základní studijní prameny je třeba považovat publi-

Závěr

- 171 (176) -

kace [3], [7], [8], [9], [11], [18], [20], [21], [22], [29], [33], [35], [42],[49] a platné zákony, vyhlášky a technologie v resortu ČUZK.

Korespondenční úkoly Zadání a pokyny k řešení úloh Vám budou zasílány na Vaše elektronické adre-sy, které bude nutné před zahájením semestru zaslat pověřenému pracovníkovi ústavu.

Studijní prameny

- 173 (176) -

10 Studijní prameny

10.1 Seznam použité literatury

[1] Beneš, F.: Správa a modernizace výškových základů. Sborník referátů ze semináře: Prostorový referenční rámec v ČR. Ústav geodézie, FAST, VUT v Brně, 2001, str. 11-14.

[2] Böhm, J.: Matematická kartografie. Donátův fond, VŠT Dr. E. Beneše v Brně.1951.

[3] Böhm, J.: Vyšší geodézie, díl 2. ČVUT v Praze, 1990.

[4] Böhm, J., Radouch, L., Hampacher, M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. GKP v Praze, 1990.

[5] Budínský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL v Praze, 1983.

[6] Bumba, J.: Geometrický plán. Příručka pro vyhotovitele a uživatele. Linde Praha a.s., Praha 1999.

[7] Černohorský, J., Kolář, R., Kostelecký, J., Šimek, J.: Rozvoj geodetic-kých základů České republiky v kontextu EUREF. Geodetický a karto-grafický obzor, č. 4-5, 2004, str. 63-79, Vesmír, s.r.o., Praha.

[8] Kolář, R., Kostelecký, J.: Zavádění pravidel určování polohy bodů PPBP a podrobných bodů katastru nemovitostí technologiemi GPS do právních předpisů. Sborník referátů ze semináře: Vývoj metod a tech-nologií GPS v geodézii. ECON Brno, 2005, str. 24-28.

[9] Kostelecký, J., Řezníček, J.: Síť pozemních stanic GPS pro určování polohy na permanentních stanicích. Sborník referátů ze semináře: Vý-voj metod a technologií GPS v geodézii. ECON Brno, 2005, str. 10-14.

[10] Kratochvíl, V.: Polohové geodetické sítě – aplikace metody nejmenších čtverců a transformace. VA v Brně, 2000.

[11] Kratochvíl, V., Fixel, J.: Globální systém určování polohy – GPS. Vyu-žití v geodézii. VA v Brně 2001.

[12] Machaň, J.: Evidence a registry podrobných bodových polí – současný stav a a jeho přechod do zdokonaleného ISKN. Sborník referátů ze se-mináře: Prostorový referenční rámec v ČR. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2001, str. 40-44.

[13] Mervart, L.: Základy GPS. ČVUT v Praze, 1993.

[14] Michalčák, S., Sokol, Š.: Geodézie. STU Bratislava, 1999.

[15] Nevosád, Z.: Geodézie IV. Základní souřadnicové výpočty. VAAZ v Brně, 1981.

[16] Nevosád, Z.: Geodézie VI. Vyrovnání geodetických sítí. VAAZ v Brně, 1984.

[17] Nevosád, Z.: Geodézie VII. Elektronické dálkoměry a teodolity. VA v Brně, 1993.


- 174 (176) -

[18] Nevosád, Z.: Odhady přesnosti transformovaných bodů. Sborník referá-tů ze semináře: Současný stav a vývoj bodových polí. ECON Brno 2004, str. 69-74.

[19] Nevosád, Z.: New measurements in horizontal geodetic ne-tworks.Reports on geodesy, Proceedings of the international seminar Podbanské. Waszawa 2001, str.21-27.

[20] Nevosád, Z., Vitásek, J., Bureš, J.: Geodézie IV – Souřadnicové vý-počty. FAST VUT v Brně, CERM 2002.

[21] Nevosád, Z., Vitásek, J.: Geodézie III. VUT v Brně, Vutium 2000.

[22] Nevosád. Z., Soukup, F., Vitásek, J.: Geodézie II. VUT v Brně, VUTI-UM 1999.

[23] Olšovský, V.: Globální systém určování polohy GPS – úvod do studia. VA v Brně, 1999.

[24] Provázek, J.: Správa a modernizace geodetických polohových základů. Sborník referátů ze semináře: Prostorový referenční rámec v ČR. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, 2001, str. 5-10.

[25] Ratiborský, J.: Geodézie 10. ČVUT v Praze, 2000.

[26] Srnka, E.: Matematická kartografie. VAAZ v Brně, 2001, str. 5-10.

[27] Staněk, V., Hostinová, G.: Geodézia v stavebnictve. Jaga grup, Brati-slava 1999.

[28] Švábenský, O., Fixel, J., Weigel, J.: Základy GPS a jeho praktické apli-kace. CERM VUT v Brně, 1995.

[29] Vitásek, J., Nevosád, Z.: Geodézie I. VUT v Brně, CERM 1998.

[30] Vitásek, J., Pažourek, J.: Vybrané kapitoly z geodézie. VUT v Brně, CERM, 1993.

[31] Vitásek, J., Soukup, F.: Geodézie 1/3, VUT v Brně, Ediční středisko, Brno 1986.

[32] Vykutil, J.: Vyšší geodézie. Kartografie, Praha 1982.

[33] Zajíček, L.: Databáze základních bodových polí a zhušťovacích bodů. Sborník referátů ze semináře: Současný stav a vývoj bodových polí. ECON Brno 2004, str. 8-10.

[34] Geodetický systém 1942/83 na čs. území. Topografická služba čs. ar-mády. Praha 1992.

[35] Kolektiv autorů: Geodetické referenční systémy v ČR. Vývoj od klasic-kých ke geocentrickým systémům. VÚGTK a VZÚ, Praha 1998.

[36] Vývoj gravimetrických základů na území České republiky. ZÚ v Praze, 1997.

[37] Vývoj výškových základů na území ČR. ZÚ v Praze, 1997.

[38] Sborník referátů se semináře: GPS a speciální geodetické práce. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2000.

Studijní prameny

- 175 (176) -

[39] Sborník referátů ze semináře: Prostorový referenční rámec v České republice. Správa a modernizace. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2001.

[40] Sborník referátů ze semináře: GPS – diferenční systémy a RTK. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2002.

[41] Sborník referátů ze semináře: Současný stav a vývoj bodových polí. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2004.

[42] Sborník referátů ze semináře: Vývoj metod a technologií GPS v geodézii. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno, 2005

[43] MicroStation 95. Uživatelská příručka. Bentley Systems, 1995,

[44] Bartoš, S.: MicroStation – průvodce programem, verze V5. Geodis Br-no, s.r.o., 1995.

[45] Zákon č. 200 ze dne 29. září 1994 o zeměměřictví a o změně a doplnění některých zákonů souvisejících s jeho zavedením.

[46] Vyhláška č. 31/1995 Sb. Českého úřadu zeměměřického a katastrálního ze dne 1. Února 1995, kterou se provádí zákon č. 200/1994 Sb. o ze-měměřictví a o změně a doplnění dalších zákonů, souvisejících s jeho zavedením.

[47] Nařízení vlády č. 116/1995 Sb., kterým se stanoví geodetické referenční systémy, státní mapová díla závazná na celém území státu a jejich pou-žívání.

[48] Vyhláška č.190/1996 Sb., kterou se provádí zákon č. 265/1992 S., o zápisech vlastnických a jiných věcných práv k nemovitostem, ve znění zákona č. 210/1193 Sb. a zákona č. 90/1996 Sb., a zákon České národní rady č. 344/1992 Sb., o katastru nemovitostí České republiky (katast-rální zákon), ve znění zákona č.89/1996 Sb.

[49] Technologický postup pro revizi a zřizování zhušťovacích bodů. ČÚZK, Praha 1997.

[50] Návod pro obnovu katastrálního operátu mapování ve znění dodatku č. 1 ČÚZK č.j. 21/1977-23, 5239/1999-23. Český úřad zeměměřický a ka-tastrální.

[51] Návod pro vedení katastru nemovitostí ČÚZK č.j. 80/1999-23.

[52] Global Positioning Systém GPS. Geografická služba AČR. Praha 2002.

[53] Návod jak vykovávati katastrální měřické práce. Praha 1940, 1952, Bratislava 1954.

[54] Rukopis nového vydání: Geodézie IV – Geodetické sítě a jejich budo-vání. Brno 2005.


- 176 (176) -

10.2 Seznam doplňkové literatury

[55] Odborný časopis: Geodetický a kartografický obzor. Vesmír, s.r.o., Praha.

[56] Odborný časopis: Zeměměřič. Klaudian, s.r.o., Praha

Documents

ZDENĚK NEVOSÁD – JOSEF VITÁSEK GEODÉZIE IIIfast.darmy.net/opory - I Bc/GE07-Geodezie_III--P01-Geodezie_III... · vysokÉ uČenÍ technickÉ v brnĚ fakulta stavebnÍ zdenĚk