ZeitreihenanalyseWS 2004/2005

• Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften

• Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen

• Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum

• Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse

• Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis

• Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden

• Skalierung, (Multi-)Fraktale

• Komplexität und Information von Zeitreihen

• Wavelets

Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis

Beobachtete Zeitreihen haben aber oft ein langes Gedächtnis:

Wiederholung: Das Gedächtnis M einer Zeitreihe ergibt sich aus denAutokorrelationskoeffizienten

k

kM

Langes Gedächtnis M

Z.B. wenn für grosse Abstände 10mit /1 ak a(algebraisches Abklingen)

Problem der ARMA/ARIMA(p,q)-Modelle: Autokorrelation fällt exponentiell für grosse Abstände ( )dqpk

reellmit)()()()( dtBtxB d

Modellierung beliebig langreichweitiger Korrelationen:Fractional Autoregressive Integrated Moving Average (FARIMA) Modelle

)(B Autoregressives Polynom der Ordnung p

)()( 1 ii txtBx Rückwärtsschiebeoperator

)(B Moving Average Polynom der Ordnung q

dd B)1( Differenzenoperator

Reihenentwicklung:

...6

)2)(1(

2

)1(1)()1()( 32

0

Bddd

Bdd

dBBk

dBB

k

kdd

D.h. alle vorangegangenen Zeitpunkte tauchen auf (bis zum Abbruch)!

)(tx Beobachtungen, )(t unkorreliertes (Gaußsches) Rauschen

Verhalten von FARIMA(p,d,q)-Modellen

0d N o r m a l e s A R M A - M o d e l l ,k u r z r e i c h w e i t i g

ganzzahlig0d N o r m a l e s A R I M A - M o d e l l ,k u r z r e i c h w e i t i g

-0.5d i n v e r t i e r b a r

0.5d s t a t i o n ä r

0.50 d L a n g e s G e d ä c h t n i s

Verhalten der Autokorrelation:d

k k 21

d heißt Persistenz-Parameter (d=0 keine, d=0.5 maximale Persistenz)

Vorgehen bei der Konstruktion von FARIMA(p,d,q)-Modellen an Beispielen

(Montanari et al., WRR 33, 1035-1044 (1997); WRR 36, 1249-1259 (2000))

• x(t): 51 Jahre tägliche Werte, 18748 Datenpunkte; 122 Jahre monatliche Werte, 1466 Datenpunkte

• Elimination von periodischen Instationaritäten: Desaisonalisierung mit geeignetem Verfahren

• Berechnung der Autokorrelation für die desaisonalisierte Reihe und Abschätzung der benötigten Terme für den Differenzenoperator

• Ggf. Transformation der Daten, um Normalverteilung zu approximieren (Box-Cox-Transformation), nicht immer nötig• Bestimmung einer ersten Schätzung für d (Hurst-Analyse)• Wahl von p und q und Ermittlung der optimalen Koeffizienten mit Maximum Likelihood-Verfahren

• Auswahl des besten Modells mit dem Akaike-Informations-Kriterium

• Untersuchung der Residuen (unkorreliertes Gaußsches Rauschen?) mit dem Portmanteau-Test

• Simulation der Zeitreihe mit dem besten Modell und Vergleich von Autokorrelation und Wahrscheinlichkeitsverteilung• Falls erfolgreich: Abflussgenerator gefunden!

Langreichweitige Autokorrelationen sind klar vorhanden. Die Entwicklung des Differenzenoperators sollte ca. 100 Terme umfassen.

Beispiel: Lago Maggiore-Zufluss

Die Portmanteau-Statistik zeigt: optimales Modell ist FARIMA(1,0.38,1), genauer:

)()23.01()()1)(11.01( 38.0 tBtxBB

...aber auch, dass das Restrauschen nicht Gaußsch ist!

Das Restrauschen ist nicht signifikant korreliert

Das Restrauschen ist nichtmit einer Normalverteilung verträglich

Die Simulationen mit dem optimalen Modellliefern AKFs und pdfs, die die Beobachtungen sehr gut widerspiegeln

Das Hurst-Phänomen

Beobachtung (Hurst 1951):

Der Wertebereich q oder die Höhe von Extremereignissen hängt vonder gewählten Zeitauflösung oder Aggregation k wie eine Potenzfunktion ab:

Hkq H: Hurst-Koeffizient (-Exponent)

Theoretische Rechnung: Bei Prozessen erster Ordnung (Random Walk, ARIMA(0,1,0), Brownsche Bewegung) gilt

5.0H

Beobachtung an Nil-Hochwässern (2000 Jahre):04.079.0 H

D.h. die Extremereignisse wachsen sehr viel schneller an:Persistenz

Das Nilometer bei Kairo:

Längste hydrologische Zeitreihe der Welt:621-1921 A.D.

aus: Sutcliffe and Parks (1999)

Nil-Abfluß

Nile runoff 1872 - 1996

Years

Beispiel Nil: Autokorrelation

Nil-Wahrscheinlichkeiten

Die R/S Methode zur Hurst Statistik

k

iik tXY

1

)( Teilsummen

kn

niitXk

knX1

_

)(1

),( Fenstermittel

)(),,( nknnin YYk

iYYkinD

Abweichungen vom linearen Verhalten

),,(min),,(max),(00

kinDkinDknRkiki

Bereichsstatistik

kn

ni i knXtXk

knS1

2_

)),()((1

),( Standardabweichung im Fenster

),(/),(),( knSknRknq Mandelbrots Test Statistik

Man plottet log q gegen log k und bestimmt die Steigung H

Eigenschaften des Hurst-Exponenten

• Klassifikation von Prozessen:• Persistenz (H > 0.5), • Anti-Persistenz (H < 0.5), • Brownsches Rauschen (H = 0.5)

• Regen meistens in der Nähe von H=0.5

• Typischer Abflusswert (Weltmittel) : H=0.73 (Nil ist ein Extremfall)

• Theoretischer Zusammenhang mit dem Persistenzparameter: d=H-0.5 (manchmal nicht gut erfüllt, s. später)

• Prinzipielles Problem: Langsame Instationaritäten (sehr lange Mittelwertdrifts), die durch Trendtests nicht erkannt werden, führen zu H>0.5 genau wie "echte" Persistenz

Hurst-Koeffizienten Nil (Hurst 1951)

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

641-740 741-840 841-940 941-1041 1042-1142 1143-1242 1243-1344 1345-1445 1446-1741 1741-1866 1867-1946

Lehstenbach Hurst-Statistik

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0,5 1 1,5 2 2,5 3

log k

log q

Abfluss, H=0.84

Regen, H=0.63

Steinkreuz Hurst Statistik

-0.1

0.4

0.9

1.4

1.9

2.4

2.9

3.4

3.9

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

log k

log

q

Regen, H=0.68

Abfluss, H=0.96

Im Regensignal ist ein endliches Gedächtnis (Abflachen) zu erkennen

Hurst-Exponenten von Flüssen (weltweit)

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

Obera

mm

erga

u

Fische

n

Fürste

nfeld

bruc

k

Inkh

ofen

Günzb

urg

u.d.

Mün

dung

Gün

z

Dilling

en

Donau

wörth

Ingo

lstad

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Kelheim

Obern

dorf

Hofkir

chen

Achlei

ten

Mitte

nwald

Leng

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Bad T

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Garm

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u.d.

Par

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Koche

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Man

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