1

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

A. Bir Fonksiyonun Tanım Kümesi Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir 1. Polinom Fonksiyonunun Tanım Kümesi

0ax.

1a...

1nx.

1na

nx.na)x(f

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır. Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi RA olur. Örnek:

5x82

x)x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığını

bulalım. Çözüm:

5x82

x)x(f bir polinom fonksiyonudur. Polinom

fonksiyonlarının en geniş tanım kümesi reel sayılar kümesi olduğuna göre, RA dir. 2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

)x(Q

)x(P)x(f şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

0)x(Q için tanımsızdır. 0)x(Q denkleminin çözüm

kümesi Ç = B ise )x(f fonksiyonunun en geniş tanım

kümesi (tanım aralığı) BRA olur. Örnek:

x43x

x43x)x(f

fonksiyonunun en geniş tanım kümesini

bulalım. Çözüm:

Verilen )x(f fonksiyonu 0x43

x denklemini

sağlayan x değerleri için tanımsızdır. Buna göre,

0)2x).(2x.(x0)42

x.(x0x43

x

2 xveya -2 xveya 0x dir.

0x43

x denkleminin çözüm kümesi }2,0,2{Ç

olduğuna göre )x(f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi,

}2,0,2{R dir.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım

Kümesi

n pozitif tam sayı olmak üzere, n2 )x(g)x(f şeklindeki

fonksiyonlar 0)x(g için tanımlıdır. 0)x(g eşitsizliğinin

çözüm kümesi Ç= B ise )x(f fonksiyonunun en geniş tanım

kümesi (tanım aralığı) BA olur. Örnek:

12x2x)x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığını

bulalım. Çözüm:

12x2x)x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığı

012x2

x eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Buna göre,

4 xveya 3x012x2

x tür.

012x2

x eşitsizliğinin çözüm kümesi,

4,3R,43,Ç olduğuna göre, )x(f fonksiyonunun en geniş tanım 4,3RÇ tür.

2

Örnek:

4x

1

x

1 492x)x(f

fonksiyonunun en geniş

tanım aralığını bulalım. Çözüm:

)x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığı

492x ile

4x

1

x

1

nin tanımlı olduğu aralıkların

kesişim kümesidir.

492x un tanım kümesi 09

2x eşitsizliğinin çözüm

kümesidir.

092

x ise 3x veya 3x tür.

,33,1

Ç dur.

4x

1

x

1

nin tanım aralığı 0

4x

1

x

1

eşitsizliğinin

çözüm kümesidir.

4x00)4x.(x

40

4x

1

x

1

tür.

4,02

Ç tür.

Buna göre )x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığı,

4,32

Ç1

ÇÇ tür.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım

Kümesi

n pozitif tam sayı olmak üzere, 1 n2 )x(g)x(f

fonksiyonu, )x(g in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır.

)x(g in tanım kümesi B ise )x(f fonksiyonunun en geniş

tanım kümesi (tanım aralığı) BA dir.

Örnek:

3x4)x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığını

bulalım. Çözüm:

Kökün derecesi tek sayı olduğu için, )x(f in tanım kümesi

x4 in tanım kümesiyle aynıdır. x4 in tanım aralığı reel

sayılar kümesi olduğundan )x(f in tanım aralığı RA dir.

B. Parçalı Fonksiyonlar Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir. Örnek:

0x , x

0x , x)x(f fonksiyonu parçalı fonksiyondur.

Örnek:

-1 x , 0

1x1- , 2x

1x , 1x2

)x(f fonksiyonu parçalı fonksiyondur.

Örnek:

f ve g fonksiyonları R den R ye tanımlıdır.

2x , x1

2x , x4)x(f ve

0x , 1x

0x , 2x)x(g olduğuna

göre, )1)(gf()5(g)5(f değerini bulalım.

Çözüm:

25 olduğuna göre, 205.4)5(f dir.

05 olduğuna göre, 415)5(g tür.

12

1)11()1(g)1(f)1)(gf( dir.

3

Buna göre, 171420)1)(gf()5(g)5(f dir.

Örnek:

f ve g fonksiyonları R den R ye tanımlıdır.

2x , x1

2x , x4)x(f ve

0x , 1x

0x , 2x)x(g olduğuna

göre, )x)(gf( fonksiyonunu bulalım.

Çözüm:

0x , x1

2x0 , x1

2x , x4

2x , x1

2x , x4)x(f

0x , 1x

2x0 , 2x

2x , 2x

0x , 1x

0x , 2x)x(g

0x , x2

2x0 , 1x-2x

2x , 4x2x

)x)(gf(

Örnek:

2x , x1

2x , x4)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

Örnek:

0x , 1x

0x , 2x)x(g fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

C. Mutlak Değer Fonksiyonu

BA:f reel değerli fonksiyon olsun.

0f(x ) , f(x )-

0f(x ) , )x(f)x(f)x(f

şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna mutlak değer

fonksiyonu denir. Örnek:

RR:f , 2x)x(f olduğuna göre )x(f fonksiyonunu

bulalım. Çözüm:

2 x, 2x

2 x, 2x

02- x, 2)-(x-

02- x, 2x2x)x(f

Örnek:

RR:f , 1x)x(f olduğuna göre )x(f fonksiyonunu

grafiğini çizelim.

4

Çözüm:

1 x, x1

1 x, 1x1x)x(f

Kural Mutlak değerin tanımını ve yukarıdaki grafiği göz önüne

alalım. )x(f in negatif olmadığı yerde )x(f in grafiği )x(f in

aynısıdır. )x(f in negatif olduğu yerde )x(f in grafiği )x(f

in grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.

Bu durumda )x(fy in grafiğini iki adımda çizebiliriz.

1.Adım: )x(fy in grafiği çizilir.

2.Adım: Ox ekseninin üst tarafında kalan eğri aynen

bırakılır. Ox ekseninin altında kalan kısmın Ox eksenine göre simetriği alınır.

Örnek:

RR:f , 42

x)x(f olduğuna göre )x(f

fonksiyonunu grafiğini çizelim. Çözüm:

42

x)x(f fonksiyonunun işaretini inceleyelim.

2x2- , 2x4

2 xve 2 x, 42x4

2x)x(f olur.

Buna göre 42x)x(f fonksiyonunun grafiği aşağıda

çizilmiştir.

2.Yol

Örnek:

RR:f , )x(fy

fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. Buna

göre )x(fy in

grafiğini çizelim.

Çözüm:

)x(f fonksiyonu 0x6 aralığında negatif değerler,

diğer yerlerde negatif olmayan değerler almıştır.

Buna göre 0x6 aralığındaki ( x ekseni altındaki)

görüntünün x eksenine göre simetriği alınarak )x(fy

fonksiyonunun grafiğini çizilmiş olur.

)x(fy fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

5

Örnek:

RR:f , 1xx)x(f fonksiyonunun grafiğini

çizelim. Çözüm:

0x , 1x2

0x1 - , 1

1x , 1x2

)x(f olur.

Örnek:

2yx fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: Koordinat düzleminin 1. bölgesinde 0x ve 0y

olduğundan 2yx olup bu doğrunun 1. bölgede kalan

kısmı alınır.

2. bölgede 0x ve 0y olduğundan 2xy olup bu

doğrunun 2. bölgede kalan kısmı alınır.

3. bölgede 0x ve 0y olduğundan 2yx olup

bu doğrunun 3. bölgede kalan kısmı alınır.

4. bölgede 0x ve 0y olduğundan 2yx olup bu

doğrunun 4. bölgede kalan kısmı alınır. Buna göre, istenen grafik aşağıdaki gibi olur.

Örnek:

1xy fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

1xy olduğuna göre,

0y için 1xy olur.

0y için x1y1xy olur.

Örnek:

R2,1:f , 1xx)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

0x1- , 12x-

2x0 , 11xx)x(f

6

Örnek:

R2,2:f , 1xcosxcos)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

1xcos.2)x(f0xcos2

3x2

dir.

1)x(f0xcos2

x2

3

dir.

1xcos.2)x(f0xcos2

x2

dir.

1)x(f0xcos2

3x

2

dir.

1xcos.2)x(f0xcos2x2

3

dir.

Bu durumda 1xcosxcosy fonksiyonunun grafiği

aşağıdaki gibi olur.

D. İşaret Fonksiyonu

RRA:f bir fonksiyon olmak üzere,

0f(x ) , 1-

0f(x ) , 0

0f(x ) , 1

)x(f)x(fsgn şeklinde tanımlanan

fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir. Örnek:

11sgn

1101sgn

12

1sgn

Örnek:

0x122x3xsgn denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm:

0x122x3x0x122x3xsgn

0)12x2

x.(x

0)3x).(4x.(x

4 ,0 ,3.K.Ç olur. Örnek:

192xsgn denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm:

3x392x092x192xsgn

3,3.K.Ç olur.

Örnek:

1xsgn)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

7

Çözüm:

1x , 1

1x , 0

1x , 1

01x , 1

01x , 0

01x , 1

1xsgn olur.

1xsgny fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Örnek:

RR:f , 6x2

x)x(f olmak üzere )x(fsgn ifadesinin eşitini bulalım. Çözüm:

06x2

x)x(f için,

01a ve 023ac42

b olup 0)x(f dır.

Buna göre 1)x(fsgn dir. Örnek:

RR:f , 3x22

x)x(f olmak üzere )x(fsgn fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

1x3- , 1

1 xveya 3x , 0

1 xveya 3x , 1

)x(fsgn olur.

)x(fsgny fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

Örnek:

RR:f , x2sgn)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

2x2x0x2 dir.

2x22x0x2 dir.

2x veya 2x2x0x2 dir.

2 xveya 2x , 1

2 xveya 2x , 0

2x2 , 1

x2sgn)x(f olur.

x2sgny fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

8

Örnek:

RR:f , )x(fy

fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. Buna göre )x(fsgny in

grafiğini çizelim.

Çözüm:

)x(fy fonksiyonu 4x , 1x ve 4x için sıfıra eşit

olmaktadır. Bu nedenle, bu değerler için 0)x(fsgn olur.

4x ve 4x1 için )x(fy fonksiyonu negatif

değerler almaktadır.

Bu nedenle, 4x ve 4x1 için 1)x(fsgn olur.

1x4 ve 4x için )x(fy fonksiyonu pozitif

değerler almaktadır.

Bu nedenle, 1x4 ve 4x için 1)x(fsgn olur.

Örnek:

R2,2:f , )xsgn(sin)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

0)0sgn())2sgn(sin()2(f2x dır.

1))xsgn(sin()x(f0xsinx2 dir.

0)0sgn())sgn(sin()(fx dır.

1))xsgn(sin()x(f0xsin0x dir.

0)0sgn())0sgn(sin()0(f0x dır.

1))xsgn(sin()x(f0xsinx0 dir.

0)0sgn())sgn(sin()(fx dır.

1))xsgn(sin()x(f0xsin2x dir.

0)0sgn())2sgn(sin()2(f2x dır.

Bu durumda )x(fy fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi

olur.

E. Tam Değer Fonksiyonu 1. Tam Değer Kavramı x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük

tam sayıya x in tam değeri denir ve x ile gösterilir.

x bir reel sayı olmak üzere, x ten küçük olan en büyük tam sayı t ise,

ZR:f ,

Z x, t

Zx , xx)x(f olur.

Örnek:

88

815,8

915,8

Kural

Za , 1axaax dir.

9

Örnek:

43

2x

eşitliğini sağlayan x değerinin çözüm aralığını

bulalım. Çözüm:

152x12143

2x44

3

2x

17x14 olur.

2. Tam Değer ile İlgili Özellikler

a) Her Rx ve Za için, axax dır.

b) Her Ry,x için yxyx dir.

Örnek:

8 x.3x denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

8x.28x.3x8 x.3x

14x44x

3x4 olur.

Örnek:

0 x2 denklemini sağlayan tam sayıların toplamı

kaçtır? Çözüm:

2 x- 0 x - 20 x2

2x11x2

-1x2- veya 2x1 olur.

Buna göre x in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı; -2+2 = 0 dır. Örnek:

542

x denkleminin çözüm aralığını bulalım.

Çözüm:

102

x992x542x542

x

10x3 veya 3x10 olur.

Örnek:

42x2x denkleminin çözüm aralığını bulalım.

Çözüm:

42x2x42x2x

2x4x.2

3x2 olur.

Örnek:

010x.92

x.2 denkleminin çözüm aralığını

bulalım. Çözüm:

ax olsun. Buna göre,

010a92

a2010x.92

x.2

0)5a2).(2a(

2

5a veya 2a dir.

2

5x veya 2xax dir.

10

2

5x olamaz. Çünkü Zx dir.

3x212x22x olur.

Örnek:

113x2 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı

değeri kaçtır? Çözüm:

4x8x.2113x.2113x2 tür.

Bu koşula uygun en büyük tam sayı 3 tür. 3. Tam Değer Fonksiyonu

RRA:f , x)x(f şeklinde tanımlanan fonksiyona

tam değer fonksiyonu denir. Örnek:

R1,2:f , x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

2x1x2

1x0x1

0x1x0

1x1x

Örnek:

R2,1:f , xx)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

1x)x(f1x0x1

x)x(f0x1x0

1x)x(f1x2x1

022)x(f2x2x olur.

Bu durumda )x(f fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olur.

Örnek:

R2,2:f , )xsgn(.x.x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

1x2 ise; xx , 2x ve 1)xsgn(

olup x2)1).(2).(x()x(f tir.

0x1 ise; xx , 1x ve 1)xsgn(

olup x)1).(1).(x()x(f tir.

0x ise; 0x , 0x ve 0)xsgn( olup

00.0.0)x(f dır.

1x0 ise; xx , 0x ve 1)xsgn(

olup 01.0.x)x(f dır.

11

2x1 ise; xx , 1x ve 1)xsgn(

olup x1.1.x)x(f tir.

2x ise; 2x , 2x ve 1)xsgn(

olup 41.2.2)x(f tür.

Buna göre fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

Örnek:

R2,2:f , sinx)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm:

2x ise 00)sin(-2)2(f

2

3x2

ise 0xsin)x(f1xsin0

2

3x

ise 11)

2

3sin(-)

2

3(f

x2

3 ise 0xsin)x(f1xsin0

0x ise 1xsin)x(f0xsin1

2x0

ise 0xsin)x(f1xsin0

2x

ise 11)

2sin()

2(f

x2

ise 0xsin)x(f1xsin0

2x ise 1xsin)x(f0xsin1

2x ise 02sin)2(f

Bu durumda fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur.

Örnek:

} 2y . x : RRy)(x , {A bağıntısının grafiğini

çizelim. Çözüm:

Zx ve Zy dir. 2y . x ise,

2y , 1x veya 1y , 2x veya

2y , 1x veya 1y , 2x dir.

Öncelikle 2y , 1x koşulunu sağlayan noktaları

düzlemde gösterelim.

2x11x dir.

1x22y dir.

Şimdi bütün noktaları gösterelim.

0y11y , 3x22x dır.

3y22y , 0x-1-1x tür.

2y11y , -1x22x dir.

12

Örnek:

} 2y-x : RRy)(x , {A bağıntısının grafiğini

çizelim. Çözüm:

1y-x22y-x olur.

Çözümlü Sorular

1. 1x27)x(f fonksiyonunun en geniş tanım

aralığını bulunuz. Çözüm:

1x27)x(f fonksiyonunun en geniş tanım aralığı

01x27 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.

71x2771x201x27

3x46x28 olur.

2. 42x

)x4log()x(f

fonksiyonunun en geniş tanım

aralığını bulunuz. Çözüm:

0x4 ve 042

x olmalıdır. Bu durumda,

4x ve 2x dir.

Buna göre f fonksiyonunun en geniş tanım aralığı

2,24, olur.

3. )xsgn(1

x)x(f

fonksiyonunun en geniş tanım

aralığını bulunuz. Çözüm Paydayı sıfır yapan x değerleri için f fonksiyonu tanımsızdır. Buna göre,

0x1xsgn0)xsgn(1 olur.

0x için f fonksiyonu tanımsızdır. Buna göre f

fonksiyonunun en geniş tanım aralığı, ,0 olur.

4. RR:f , )xsgn(xx)x(f fonksiyonunun

4,5 aralığındaki ifadesini bulunuz. Çözüm

4,5x ise, xx , 5x , 1)xsgn( dir.

4,5x ise, 6x15x)x(f olur.

5. 615

x denklemini sağlayan kaç tane x tam sayısı

vardır?

13

Çözüm

85

x7161

5

x661

5

x

40x35 olur.

Buna göre, verilen denklemi sağlayan tam sayılar 35, 36, 37, 38, 39 olmak üzere, 5 tanedir. 6.

Yandaki şekilde )x(fy

fonksiyonunun grafiği

verilmiştir. )x(f)x(f)x(g

olduğuna göre )x(gy

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm Verilen grafiğe göre,

)x(f)x(f0)x(f2x olup,

0)x(f)x(f)x(g dır.

)x(f)x(f0)x(f2x olup,

0)x(f)x(f)x(g dır.

)x(f)x(f0)x(f2x2 olup,

)x(f.2)x(f)x(f)x(g tir.

7. 5

x5)x(f olduğuna göre )12(f kaçtır?

Çözüm

3254,255

125)12(f tür.

8. 6 xx denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

Zx olduğundan 6xx6 xx

3xx.2

4x3 tür.

9. 2 2x.3x denkleminin çözüm aralığını

bulunuz. Çözüm

Z2x olduğu için,

22x.3x2 2x.3x

22x.3x

26x.4

2x8x.4

1x2 olur.

10. 3x)3xsgn( denkleminin çözüm kümesini

bulunuz.

14

Çözüm

3x için 33)0sgn(33)33sgn(

330 olup denklemi sağlamaz.

3x için 1)3xsgn( dir. Buna göre,

2x3x13x)3xsgn(

olup denklemi sağlar.

3x için 1)3xsgn( dir. Buna göre,

4x3x13x)3xsgn(

olup 3x olduğundan denklemi

sağlamaz. Buna göre denklemin çözüm kümesi Ç={2} dir.

11. 3,2x olmak üzere 0x.5x.9x

x.x

denkleminin kökleri 1

x ve 2

x olduğuna göre,

)32

xsgn()11

xsgn( değeri kaçtır?

Çözüm

3,2x ise 2x dir. Buna göre,

010x92

x20x.5x.9x

x.x

0)5x2).(2x(

21

x ve 2

5

2x dir.

)32

5sgn()12sgn()3

2xsgn()1

1xsgn(

)2

1sgn()3sgn(

011 olur.

12. x1x)x(f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm

1-2x- , 1- x

1 , 1x

x-1-x- , 01x

x-1 x, 01x)x(f

13. 06x.22

x.2.2 denkleminin çözüm aralığını

bulunuz. Çözüm

ax.2 olsun.

06a2

a206x.22

x.2.2

Z2

3a veya 2a0)3a2).(2a(

2

1x11x222x.2 olur.

14. )4x2

xsgn(34

x denklemini sağlayan kaç

tane tam sayı vardır? Çözüm

0a ve 0 olduğundan dolayı her Rx için

04x2

x olup 1)4x2

xsgn( dir.

134

x)4x

2xsgn(3

4

x

4x814

x22

4

x tür.

Konu Bitmiştir.

15