Zenbait zenbaki berezi

Zenbait zenbaki berezi

- 1 -

AURKIBIDEA

0 zenbakia

1 zenbakia

e zenbakia

i zenbakia

zenbakia

ф urrezko zenbakiak


- 2 -

SARRERA

Lan honen asmoa izan zen zenbaki berezi batzuei buruzko hainbat kuriositate biltzea.

Hasieran aukeratu genuen 0 zenbakia, 1 zenbakia, e zenbakia, zenbakia, i zenbakia,

zenbakia eta ф urrezko zenbakiak aztertzea, baina azkenean ezin izan dugu denak

landu, zenbaki horiei buruz aurkitu dugun informazioa uste baino askoz zabalagoa

izan baita.

Sortutako materiala DBHko eta Batxillergoko ikasleentzat da egokia. Irakurketa

moduan erabil daiteke kutsoan zehar behar den momentuan.

Ezin dugu ahaztu Matematikak zerikusi handia daukala hainbat kontzepturekin

(edertasunarekin, artelanekin, naturarekin,...) eta aspektu hau lana egitean kontuan

hartu izan dugu.


- 3 -

0 zenbakia

Zero zenbakia oso berezia da. Imajina ezazu Polonian euskarako irakaslea zarela, eta

gaur ikasleei irakatsi behar diezula zenbakiak euskaraz esaten. Ziur nago honelako

zerbait esaten edota idazten hasiko zinatekeela:

Polonierazko hitz bat ere esan barik zure ikasleek ulertuko lukete azaldu nahi diezuna.

Hori zenbakien ikurrak internazionalak direlako gertatzen da. Mundu osoan ezagutzen

da 1, 2, 3 edo 4 ikurren esanahia.

Baina burutazio hori oso garrantzitsua bada ere, ez da adibide horren xedea. Zein

zenbakitatik hasi zara? Zergatik ez duzu idatzi zero zenbakia? Ez al da zenbaki bat?

Txikitan zenbakiak esaten ikasi zenuenean, zerotik hasi zinen? Seguru aski, ez.

Badakizu zergatik? Beharbada, umeek zeroren beharrik ez daukatelako.

Matematikaren historian antzeko zerbait gertatu da.

Zero zenbakia uste duzun baino askoz gazteagoa da, orain dela 1.300ren bat urte

asmatu baitzen. Ordura arte, erronka ikaragarria zen kopuru handiak nolabait

adieraztea. Baina hala eta guztiz ere, matematikariek hainbat gauza garrantzitsu

asmatzeko gai izan ziren; adibidez, Pitagorasen teorema.

Zero zenbakiaren asmatzea

Gizakiok, matematika arloan, aztertu genituen lehenengo problemak errealak ziren.

Egunoroko bizitzan agertzen ziren arazoak ziren; adibidez, tratuak egitean sortutakoak.

Jakiteko zenbat ardi eman behar ziren zaldi baten truke, ez ziren, beharrezkoak ez

1 – Bat

2 – Bi

3 – Hiru

4 – Lau

5 - Bost


- 4 -

zero zenbakia, ezta zenbaki negatiboak ere. Horrelako egoerak ebatz daitezke zero

asmatu barik. Eta, jakina! Beharra ez zegoenez, ez zen asmatu! Zenbakiak kantitateak

adierazteko asmatu ziren, eta, ezer ez dagoenean, ez dugu zenbakien beharrik.

Bi gauza desberdin adierazteko erabiltzen dugu zero zenbakia. Lehena: zenbat

galderari erantzuteko, ezer ez dagoenean. Bigarrena: zenbakietan posizio hutsak

adierazteko. Lehenengo galderari zero zenbakia erabili barik erantzun dakiokeenez,

bigarrena aztertu behar dugu zero zergatik asmatu zuten ulertzeko.

Seguru aski entzunda daukazu gure zenbaki-sistema posizionala eta hamartarra dela.

Baina ulertzen duzu zer esan nahi duen horrek? Saiatuko gara hori azaltzen.

Demagun dendariak garela eta pinturak saltzen ditugula. Pinturak kutxatan sartuta

daude, eta kutxa bakoitzean 10 pintura daude. Kutxak maletatan sartuta daude, eta

maleta bakoitzean 10 kutxa daude.

Norbaitek 324 pintura eskatzen badigu, hona hemen zer eman behar diogun:

3 2 4

Eta 234 pintura eskatuz gero:

2 3 4

= 4 pintura

= 2 kutxa

= 3 maleta

= 4 pintura

= 3 kutxa

= 2 maleta


- 5 -

Lehenengo kasuan 2 zenbakiak 2 kutxa adierazten du, eta bigarren kasuan, berriz, 2

maleta. Zergatik? Erabiltzen dugun zenbaki-sistema posizionala delako. 324

zenbakian, 2a hamarrekoaren lekuan dago; beraz, 20 pintura edo 2 kutxa adierazten

du. 234 zenbakian, berriz, ehunekoaren lekuan dago; beraz, 200 pintura edo 2 maleta

adierazten du.

Sistema posizional batean arazoak sortzen dira posizio hutsak adierazteko. Adibidez,

0 zenbaki barik nola bereizten ditugu 230, 203 edo 23? Arazo hori konpontzeko

asmatu zen zero zenbakia.

Babilonian ere, K. a. 1700. urtean, zenbakiak adierazteko sistema posizional bat

erabiltzen zuten, baina hura ez zen hamartarra, hirurogeitarra baizik. Haiek 230, 203

eta 23 zenbakiak era berean idazten zituzten, baina testuinguruari esker bereizten

zuten zein zen zenbakia. K.a. 400. urtean hasi ziren ´´ ikurra erabiltzen posizio hutsak

adierazteko. Beraz, 203 idazteko honelako zerbait idazten zuten: 2´´3.

Erroman eta Grezian ez ziren erabiltzen sistema posizionalak; beraz, ez zuten zero

asmatzeko beharrik. Zortziaren edo bostaren kontzeptua bazeukaten, baina kontzeptu

hori adierazteko oso sistema desberdina erabiltzen zuten. Txikitan, eskolan denok ikasi

genituen erromatarren zenbakiak. Nola egiten zituzten erromatarrek eragiketak? Argi

dago ez zela sistema erosoa kantitateak azaltzeko, eta, batez ere, eragiketak egiteko.

Horregatik, sistema hori baztertu egin zen.

Erabiltzen dugun zenbaki-sistema (posizionala eta hamartarra) Indiatik datorkigu,

arabiarrek ekarrita. Beraz, Indian asmatu ziren guk erabiltzen ditugun zenbakiak, baita

zero zenbakia ere. Dirudienez, 0 ikurra hartu zuten etenik gabeko zirkuluaz eternitatea

eta izaterik eza adierazten zutelako. Lehenengo aldiz, 876. urteko idazki batean agertu

zen. Pasartea oso bitxia zen, benetako problema bat zen: jakin nahi zuten zenbat

landare jarri behar ziren lorategi batean, egunero tenplura 50 lore sorta eramateko.

Zeroren ikurra Indiatik dator, baina zero izena arabieratik: sifr hitzetik.


- 6 -

e zenbakia

Harrigarria badirudi ere, matematikari batentzat e ikurra letra bat izateaz gain,

zenbaki bat ere bada. Izan ere, zenbaki batzuk letra baten bidez adierazten dira.

Famatuena zenbakia da. Kasu horretan aukeratutako letra grekoa da.

Matematikan e zenbakia oso erabilia izan arren, zenbaki honen garrrantzia eta

jatorria ez dira oso ezagunak.

Hasteko, hona hemen gehienok zer dakigun zenbaki honi buruz:

Biaren eta hiruaren arteko zenbaki bat da. Beraz,

bere balioa idatzi nahi izanez gero, badakigu

lehenengo zifra 2a izango litzatekeela, eta

lehenengo zifra horren atzean koma bat jarri beharko

genuke. Hona hemen komaren atzean zenbaki horri

dagozkion hamartarrak: 718281... Hasi bai, hasiko

ginateke hamartarrak jartzen, baina bukatu? Ez

genuke sekula bukatuko. Izan ere, e zenbakiak

hamartar kopuru amaigabea du; gainera hamartar

horiek ez dute periodikotasunik, hau da, ez dira

errepikatzen. Horregatik, ez dugu zenbaki bidez

adierazten, baizik eta ikur baten bidez. Aukeratu den ikurra e letra da.

e zenbakiarekin topo egiteko modu bat

Historian zehar matematikariek hainbat arlotako problemak ebaztean e zenbakiarekin

egin dute topo. Guk interes konposatuaren adibidea aukeratu dugu e zenbakia

aurkezteko.

Demagun, bankura euro bat (hasierako kapitala) eramaten dugula, eta bankukoek

esaten digutela urtebete barru %100eko interesa

irabaziko dugula. Horrek esan nahi du epe hori

pasatu ondoren hasierako kapitala gehi interesak

edukiko dugula (beraz, 2€). Demagun, beste banku

batek interes berbera eskaintzen digula, baina

interesak bitan ordainduko dizkigutela; beraz, aldi

bakoitzean interesa %50 izango da. Orduan, 6

hilabete pasa ondoren 0,5€ irabaziko dugu eta


- 7 -

demagun diru hori hasierako kapitalari gehituko zaiola. Beraz, bigarren eperako

hasierako kapitala 1+0,5€ izango da, eta ondorioz, bigarren epeko etekina (1+0,5)0,5

izango da. Orduan, urtea pasa ondoren edukiko dugun dirua honako hau izango da:

2

2

2

115.01)5,01(5.015.05.015.015.05.015.01

Etekinak 4 aldiz (hiruhilabetean) ordainduz gero (%25 bakoitzean), diru hau lortuko

dugu: 4

4

4

1125,01

.

Ostera, 12 aldiz (hilero) ordainduz gero

12

12

11

Eta 360 aldiz (egunero) ordainduz gero

360

360

11

...

Argi dago hau ez dela benetako adibide bat, sinpleagoa izan da. Normalean interesak

ez dira %100 izaten eta hasierako kapitala ez da euro batekoa izaten. Baina, edozein

baldintzatan, interes konposatuaren problemak ebaztea

n

nn

a

11 segidan datza.

Kalkula ditzagun segida horren elementu batzuk:

1

11

11

a = 2

2

22

11

a =2,25

3

33

11

a =2,37037037

4

44

11

a =2,44140625

Hasierako kapitala

Lehenengo epearen etekina

Bigarren epearen etekina


- 8 -

5

55

11

a =2,48832

6

66

11

a =2,521626

Argi ikusten da segidaren terminoak gero eta handiagoak direla, baina ez du ematen

asko handitu direnik; beraz, ezin dugu espero segidaren limitea infinuta izatea. Ez du

ematen terminoak 3ra ere hurbilduko liratekeenik. Ziurrago egoteko, kalkula ditzagun

segidaren termino aurreratuagoak:

20

2020

11

a = 2,653297705144…

30

3030

11

a = 2,674318775870…

50

5050

11

a = 2,691588029073605…

Ematen du segidaren limitea 2aren eta 3aren arteko zenbaki bat izango dela. Terminu

gehiago kalkulatuko ditugu, eta emaitzak aztertuko ditugu

100

a 2,7048138294215…

000.1

a 2,716923932235…

000.10

a 2,718145926821…

000.100

a 2,7182682371…

000.000.1

a 2,71828046931…

000.000.10

a 2,718281692544…

000.000.100

a 2,7182818148673621…

Emaitzetan hamartarrak finkatzen doaz. Horri esker, 000.000.000.1

a zenbat balio duen ez

badakigu ere, ziur gaude lehenengo hamartarrak 718281 izango direla. Termino

altuagoak kalkulatuz gero, segidaren limitearen hamartar gehiago ezagut dezakegu.


- 9 -

Leonhard Euler (1707-1783)

Esan dugunez,

n

nn

a

11 segida funtsezkoa gertatu zen interes konposatuari

buruzko problemak ebazteko; horregatik, segida horren limitea oso zenbaki

garrantzitsua zen. Hamartarren kopurua amaigabea zenez, zaila zen zenbaki horretako

erreferientzia argiak egitea. Leonhard Euler matematikariak erabaki zuen e izena

jartzea.

Ez dago oso argi zergatik aukeratu ote

zuen e letra. Hainbat azalpen posible dago

Batek dio e zenbakiaren eta

esponentzialaren arteko lotura handiaren

ondorioz eman ziola (e letra esponentzial

hitzaren lehenengo letra baita). Beste

azalpen baten arabera, Eulerrek e letra

aukeratu zuen haren abizenaren lehenengo

letra zelako (egia esan, ideia hori nahiko

baztertuta dago gaur egun). Azkenik,

azalpen arruntagorik ere aurki dezakegu:

matematikan erabiltzen ez zen alfabetoko

lehenengo letra zelako (a, b, c eta d letrak

oso maiz agertzen ziren formula matematikoetan). Arrazoia edozein izanda ere, e

izena eman zion, eta harrezkero horixe erabili da zenbaki hori adierazteko.

e zenbakiarekin historia

XVII. mendean matematikariek e zenbakia lortu zuten emaitzatzat hainbat kalkulo

desberdin egitean, baina ez ziren ohartu emaitza horiek guztiak zenbaki bera zirela.

1618an John Napierrek erabili zuen e zenbakia lehenengo aldiz (izen hori ez zuen

erabili, jakina). Astronomian behar ziren kalkuluak errazteko asmoz logaritmoak

asmatu zituen, logaritmo neperianoak hain zuzen ere. Logaritmo neperianoen

definizioan konstante bat agertzen da. Nieperrek ez zuen argitu konstante horren

balioa, baina e zenbakia da.

1661ean Christian Huygensek. xy = 1 kurba aztertzeari ekin zion. Jakin nahi izan zuen

1 zenbakiaren eta beste zein zenbakiren artean hartzen duen kurba horrek 1 balioko


- 10 -

azalera bere azpian (irudian berdedun aldea). Zenbaki horri izena jarri zion, baina,

esan dugunez, e zenbakia da.

Jacob Bernoullik, interes konposatuaren problemak ebazteko

n

nn

a

11 segidaren

limitea aztertu zuen. Hori egitean zenbaki berezi bat aurkitu zuen eta b izena jarri zion.

1727an Leonhard Eulerr hasi zen e ikurra erabiltzen eta Mechanica lanean agertu zen

lehen aldiz publikatuta. Hala eta guztiz ere, hurrengo urteetan matematikari batzuek c

letra ere erabiltzen zuten, baina gehienek e letra erabiltzen zutenez, ikur hori hedatu

zen.

e zenbakia edozein lekutan

Interes konposatuaren problemaz gain, beste zenbait arlotan behar-beharrezkoa da e

zenbakia. Esate baterako, esponentzialki gehitzen edo gutxitzen den zerbait

aztertzean. Auzitegi-medikuek, e zenbakiari esker, jakin dezakete pertsona bat noiz hil

zen. Pertsona bat bizirik dagoenean, haren metabolismoak gorputzaren tenperatura

konstante mantentzen du, 36 ºC inguruan. Hiltzen den unean, gorputzak beroa

ekoizteari uzten dio, eta gorpua tenperatura galtzen hasten da. Lehenengo minutuetan

oso azkar jaisten da tenperatura, baina hoztu ahala, gero eta mantsoago galtzen da

beroa. Hori da jaitsiera esponentzialaren berezitasuna. Jaitsiera bezalakoa da

hazkunde esponentziala ere: balioa txikia denean, hazkundea ere txikia da, eta handitu

ahala, hazkundea ere handitu egiten da; eta asko handitu, gainera! Adibidez, feto

baten zelulen kopurua esponentzialki handitzen da.

Horretan guztian, non dago e zenbakia? Bada, e zenbakia hazkunde-erritmo berezi

horren oinarria da. Zerbaitek hazkunde esponentziala baldin badu, matematikoki

http://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Jacob_Bernoulli&action=edit&redlink=1


- 11 -

adierazteko e zenbakia erabili behar da, eta ez beste zenbakirik. Beraz, ezinbestekoa

da hazkunde esponentziala dituen aldagaien estimazioak edo aurreikuspenak egiteko.

Horregatik da hain garrantzitsua.

Nonahi agertzen da hazkunde esponentzialak. Esate baterako, konposatu kimiko

erradioaktiboak desagertzean (paleontologoek erabiltzen dute arrasto fosilak

datatzeko) edo bizidunen populazioen hazkundea aztertzean.

Amaitzeko beste adibide bat. Demagun kate edo kable bat bi zutoinen artean

zintzilikatzen dugula, alegia, katenaria bat dugula (trenentzako hari eroalea edo

argindarraren linea elektrikoa zintzilikatzen dutenean bezala). Bi zutoinen artean

dagoen kate-zati bakoitzaren kurba e zenbakiak definitzen du. Kurbaren formula

2

xx eey

da. Beraz, horrelako egiturak diseinatzen dabiltzan ingeniarientzat, e

zenbakia funtsezkoa da. Haien lanak ere e zenbakiaren menpe daude.

Laburbilduz:

e zenbaki baten ikurra edo izena da

e zenbaki hamartar kopuru amaigabea du

e = 2,7182…

n

ne

11lim


- 12 -

Infinitu zenbakia

Infinitua definitzea oso zaila da. Hiztegi arrunt batera jotzen badugu, hau aurkitzen

dugu: “amaierarik ez duena”. Definizioa xehea da eta zentzuzkoa dirudi. Intuizioak ere

hortik jotzen du, baina, orain, gure galdera hau da: ba al dago mugarik ez duen ezer?

Mugarik gabeko ezer ez balego, ez genuke ezer definituko. Beraz, mugarik ez duen

zerbait bilatu behar da. Hurrengo istorioak asmo hori dauka.

Istorioa oso paradoxa ospetsuan datza. Paradoxa hori Hilbertek aurkeztu zuen

lehenengo aldiz, gero bertiso ugari agertu dira. Honetan Hilbert bera agertzan da

protagonista.

Hilbert Hotela

Orain dela urte asko, Hilbert maisuak hotel bat zabaldu zuen. Ez zen hotel makala!

Jabea kontuan hartuta, ez da harritzekoa. Ez zen

munduko hotelik handiena. Cantor maisuak, ordurako,

hotel handiagoak irekita baitzituen, baina garestiagoak

ziren. Hilberten hotelak zenbaki arruntak beste logela

zituen; denak zenbatuta: 1, 2, 3, 4…,100, 321.456…

Batzuetan Hilbertek uste zuen hotela handikeria hutsa

izan zela, eta ez zuela inoiz beteko.

Egun batean alaba hurbildu zitzaion esanez:

-Aita, aita, gaur goizean hotela hutsik zegoen,

baina zenbaki arrazional talde bat etorri da eta hotela bete egin da.

- Hori da berri ona, hori! Zeintzu etorri dira?

- 4

1,

3

1,

2

1,

1

1… eta kopuru amaitezina izan arren, errez lortu dugu zenbaki

bakoitza logela banatan sartzea: 1

1 zenbakia 1. logelan dago,

2

1 2. logelan,

3

1 3.

logelan eta horrela egin dugu talde osoarekin.

-Primeran! Dirutza irabaziko dugu.


- 13 -

Hurrengo egunean 100 zenbaki famatuak heldu ziren hotelera. Hilberten adiskide

zaharrak ziren guztiak. Horien artean 0, 2 , e , , sen7, log12… zeuden. Hilbertek,

pena handiz, esan zien:

-Barkatu, baina hotela gainezka dago. Logela bat ere ez daukagu hutsik. Beste

hotel batera joan behar izango duzue.

e zenbakia haserretzear zegoen, baina Hilberten alabak esan zuen:

-Ez kezkatu. Hotela beteta badago ere, infinitu logela du eta, beraz, badago

lekurik denontzako. Hauxe egingo dugu. 1. logelako bezeroa 101. logelara joango da,

2. logelako bezeroa 102. logelara, 3 .logelako bezeroa 103. logelara eta horrela egingo

dute bezero guztiek.

-Oso ondo laztana! Hori eginez gero, lehenengo 100 logelak hutsik geratuko

dira, eta etorriberriak logela horietan sartuko dira. Baina, nola antolatuko dugu

hainbeste aldaketa? Infinitu aldaketa egin behar dira.

-Aita, oso erreza da.

Eta mikrofonoa eskuan hartuta esan zuen:

-Entzun arretaz mesedez. Bezero guztiek aldatu beharko duzue logela. Orain

daukazun logelaren zenbakiari 100 gehitu behar duzu, hori izango da zure logela

berria.

Zenbakiek oso arin egin zuten aldaketa

eta bezero berriak lehenengo 100

logelatara sartu ziren, bakoitza logela

batean. Baina, nora joan ziren azken

logeletako bezeroak? Bada, ez zen

arazorik egon. Hotelak infinitu logelak

zituenez, ez zegoen azken logelarik!

Hilbert zur eta lur geratu zen alabaren

gaitasuna ikusita. Aitatara eman zuela

pentsatu zuen.

Biharamunean zenbakia etorri zen

senide batzuekin. Familia osoa etorri

ez bazen ere, lerro amaezina zegoen

hotelaren aurrean. ...7,5,3

zenbakiak, zintzo-zintzo zeuden han, bata bestearen atzean.


- 14 -

Hilbertek ez zuen tutik esan. Uste zuen bere alaba ere ez zela arazo hori konpontzeko

gai. Oso neskato argia zen, baina, han infinitu zenbaki zegoen logelaren zain eta

hotela beteta zegoen. Alabari deitu zion eta neskatoak irribarrez esan zion:

-Lortuko ez dugu, ba! Berriro bezero guztiek aldatu behar izango dute logela.

Bezero bakoitzak oraingo logelaren zenbakia bider 2 egin behar dute.

Aita pentsakor geratu zen eta marmarka hasi zen:

-Beraz 1. logelakoa 2. logelara joango da, 2. logelakoa 4. logelara, 3. logelakoa

6.logelara, 4.logelakoa…

-Bai aita. Ulertu duzu. Hori eginez gero 1.a, 3.a, 5.a, hutsik geratuko dira, hots,

zenbaki bakoitiak dituzten logelak hutsik geratu dira.

-Eta zenbakia 1.logelan sartuko da, 3 zenbakia 3.era …

Eta horrela lortu zuten bezero berri guztei ostatu eman.

Infinutu zenbakia irreala da

Zenbat logela zituen Hilberten hotelak? Bada, Infinitu.

Baina, infinitu horrek zer adierzten du? Zenbakia da? Hiztegi arrunt batera joan

beharrean, Elhuyar Hiztegi Entziklopediara jotzen badugu, hau arkitzen dugu: “Adieraz

daitekeen edozein balio baino handiagokoa edo zehaz daitekeen edozein mugatik

haranzkoa den edonon izan daitekeen aldagaia”. Hori irakurrita pentsa dezakegu

infinitua zenbakirik handiena dela. Erreal zenbakien multzoan ezin dugu horrelako

zenbakirik aurkitu, beraz, infinitu zenbakia irreala izan behar du.

Infinutu zenbakiaren ikurra

Zenbaki guztiak ikur baten bidez idazten ditugu, adibidez, hiru zenbakien ikurra 3 da.

1655an John Wallisek erabili zuen lehengo aldiz ikurra infinitu zenbakia adierazteko

eta geroztik denok erabiltzen dugu ikur hori.


- 15 -

Eragiketak egin ditzakegu infinitu zenbakiarekin?

Jakina! Hilbert hotelaren istorioa erabiliko dugu adibide batzuk ikusteko.

100 zenbaki arrazionalak heldu zirenean bezero guztiek aldatu zuten logela:

Orain hotelean 100+ bezero daude; hotelean logela daude; bezeroak logelala

banatan daude. Beraz logelaren kopurua eta bezeroen kopurua berdinak izan behar

dira, ondorioz.

100

100 bezero berriak etorri beharrean 35 etorri balira, antzeko moduan ondorioztatuko

genukeen 35

Eta horrela jarraituz:

4 , 154 , 1300 …

Orain zenbakia eta bere infinitu senideak heltzen direnean gertatukoa aztertuko

dugu. Hotelean bezero zeuden, eta bezero berriak heldu ziren, beraz hotelean

bezero zeuden. Hotelean logela zeudenez eta bezeroak logelala banatan

zeudenez, logelaren kopurua eta bezeroen kopurua berdinak izan behar ziren,

ondorioz.

Hoteletik 5 edo 43 bezero joaten direla asmatuz gero, 5 edo 43

ondoriaztuko genuke.

Baina eragitarekin arazo larri bat sortzen da. Matematikan eragiketa bat egitean

beti emaitza berdina eman behar du. Baina kasu honetan ez da horrela gertatzen.

3.logela 2.logela 1.logela

1

1

2

1

3

1

4.logela

4

1

...


...


1

1

2

1

3

1

...

100 bezero berriak bezero


- 16 -

Lehen ondoriaztatu dugu 100 . Berdinketa honetatik atera

dezakegu: 100 .

Modu berean 35 kontuan hartuta, ondoriazten dugu 35 , edo

4 , eta abar.

Matematikan eragiketa batekin horrelako zerbait gertatzen denean esaten dugu eragite

hori indeterminazioa dela. Kalkulu prozesu batean indeterminazio den eragiketa bat

sortuz gero, pentsatu behar dugu irteera gabeko bidean sartu garela eta atzera egin

behar dugula beste bide desberdin bat aurkitzeko.

Infinitu zenbakiarekin eragiketa gehiago egin dezakegu. Aipatutakoak adibide bat baino

ez dira izan.

Laburbilduz:

Infinitua zenbakirik handiena da.

Infinitu zenbakia ikurraz adierezten dugu.

Zenbaki irreala da.

Eragiketak egin ditzakegu zenbakiaz.


- 17 -

URREZKO ZENBAKIA

Urrezko zenbakia oso zenbaki ezaguna eta erabilia izan da aspalditik. Naturan eta

gure gorputzaren proportzioetan agertzen da, eta artelanetan ere bai. Hala ere,

gehienontzat guztiz ezezaguna da. Lan honen asmoa da urrezko zenbakiaren berri

ematea.

Zenbaki honek –Φ(fi), alfabeto grekoko seigarren letrarekin idazten da–, hainbat

propietate interesgarri ditu. Horiek ikusi baino lehen, eman ditzagun zenbait datu:

Φ-ren balioa: Φ ...49896180339887.12

51

Beraz, Φ zenbaki irrazional bat da; hau da, infinitu zifra hamartar ditu,

periodorik gabe. (Beste modu batean esanda, ez da zenbaki arrazionala: ezin

da adierazi bi zenbaki osoren zatiketa eran).

Zenbaki honen berri greziarrek jakin zuten arren, fi izena XX. mendearen

hasieran eman zitzaion, Fidias eskultore greziarraren omenez, hark bere

lanetan erabili baitzuen.

Φ zenbakiari perfekzioaren zenbakia edo urrezko proportzioa ere esaten

zaio.


- 18 -

Φ-ren definizoa

Ikus dezagun modu bat Φ zenbakia lortzeko.

Segmentu bat hartu, eta moztu segmentu hori bi zati desberdinetan (a eta b):

a eta b urrezko proportzioan egoteko, berdinketa hau bete behar dute:

txikiazati

handiazati

handiazati

osoasegmento

b

a

a

ba

Formula hori garatuz gero, hau lortzen dugu:

2abba

22 abab

022 aabb

Berdinketa hori bigarren mailako ekuazio bat da, a ezezagun hartuta. Ekuazio hori

ebatziz:

2

242 bbba

2

5 2bba

2

5bba


- 19 -

2

51

ba

Orduan: 2

51

b

a

Eta a eta b zatiek urrezko proportzioa betetzen dutela kontuan hartuta

b

a,

honako hau ondorioztatzen da:

2

51

Urrezko laukizuzenak

Laukizuzen baten aldeek (a eta b) urrezko proportzioa betetzen badute, urrezko laukizuzena da.

Zein da urrezko laukizuzena?

Hori jakiteko, ikus dezagun ea haien aldeek urrezko proportzioa betetzen duten.

A

Beraz, A ez da urrezko laukizuzen bat.

B laukizuzena urrezko laukizuzen bat da.

a=4.8 cm

cm

b=2.5 cm

92.15.2

8.4

b

a

a=4.8 cm

b=2.96 cm

96.2

8.4

b

a

B


- 20 -

Nola marraztu daiteke urrezko laukizuzena

Karratu bat marraztuta, aldeetako batean erdiko M puntua adieraziko dugu.

Zirkunferentzia bat marraztuko dugu, M zentro hartuta eta MD segmentua erradio. Zirkunferentzia horrek AB zuzena C puntuan mozten du.

AC segmentua oinarritzat eta BD segmentua altueratzat duen laukizuzena urrezko laukizuzen bat da.

Adibidez, hasierako laukiaren aldea 2 cm-koa bada,

laukizuzen horren aldeen proportzioa hau da: 2

51

= Φ

D

A B M

A M B C

D

Urrezko

laukizuzena

Urrezko

laukizuzena


- 21 -

Urrezko laukizuzenen propietatea

Urrezko laukizuzen bat marraztuta, kontuan hartuko dugu lortzen den karratu handiena (1). Geratzen den laukizuzena (2) urrezko laukizuzen bat da.

Gauza bera egiten badugu urrezko laukizuzen horretan (2), irudian agertzen diren karratua (3) eta laukizuzena (4) lortzen ditugu. Aurrekoan bezala, laukizuzen hori ere urrezko laukizuzena da.

Behin eta berriro prozesu berbera egin ondoren: irudian agertzen diren laukizuzen guztiak proportzionalak dira eta urrezko laukizuzenak dira.

Propietate hori askotan erabili da artean. Hona hemen adibide bat:

Urrezko

laukizuzena 1 22 1 2

1 22

3

4


- 22 -

URREZKO ZENBAKIA ARTEAN

KEOPSEN PIRAMIDEAN

Urrezko zenbakiaren jatorria zaharra da. Ezin da jakin noiztik ezagutzen duen gizakiak. Egiptoarrek jada erabiltzen zuten; izan ere, Keopsen piramidean (K.a. 2600. urtea), zenbait neurritan ageri da.

Nola sortzen da Φ Keopsen piramidean?

Keopsen piramidearen oinarria lauki bat da. Lauki horren aldea 230 m-koa da, eta piramidearen altuera, 146,28 m-koa.

Beraz: AC = 2

m 230

= 115m eta AB=146,28m

Hala, hurrengo zatiketan: AC

AB

=

m 115

m 28,146

1,272m≈ AC

AB

=

...618,1azalera Alboko

azalera Guztirako

...618,1

2L

a


- 23 -

PARTENOIAN

Partenoian (K.a. 432. urtea) ere agertzen da. Fidias eskultore grekoak eraiki zuen Atena jainkosaren omenez.

Irudian frogatu ahal da:

CD

AB

.

Proportzio gehiagotan ere agertzen da

urrezko zenbakia:

AD

AC

eta

CA

CD

ESKOLA PITAGORATARRA (K.A. VI.MENDEA)

Pitagorasek Crotonan (Italia) eratu zuen eskolak filosofia, matematika eta natur zientziak zituen aztergai.

Eskolaren ikurra izardun pentagonoa zen, eta askotan agertzen da urrezko zenbakia.

Pitagoratarrak bizitza zenbakien bidez azaltzen saiatzen ziren, eta eskola haren leloa hau zen: Dena da zenbaki hutsa. Izardun pentagonoa aztertuz, edozein pentagonorentzat balio duen erlazio hau aurkitu zuten:


- 24 -

...618,1Aldea

Diagonala

Egiaztapena

AOB hiruki isoszelean, AOB angelua pentagono

erregular baten angelu zentrala da. Beraz: AOB = 360º : 5 = 72º Hiruki batean hiru angeluen batuketa 180º denez: OAB + OBA +AOB= 180º Hiruki isoszeles izateagatik: OAB=OBA Orduan: 2 OAB+AOB=180º

2 OAB+72º=180º 2 OAB=180º-72º 2 OAB=108º OAB=54º ABM hiruki laukizuzenean betetzen da:

...809.0º54AB

AMABM ABAMsenABAMsenABMABAMsen

Baina: AD=2*AM


- 25 -

Beraz:

...618,1...809,02...809,022

AB

AB

AB

AM

AB

AD

Aldea

Diagonala

Urrezko zenbakia aurkitu zuten, baina Φ ez zen haiek ezagutzen zituzten zenbakiak bezalakoa: ez zen zenbaki arrazionala. Nola azaldu ez zekitenez, erabaki zuten horren berri inori ez ematea. Zenbaki ez arrazionalak aurkitu zituzten.


- 26 -

”Vitrubioko gizona” (1492)

Φ zenbakia perfekzioaren zenbakia zela jotzen zuten , eta horrela irudikatu zuen Leonardo Da Vincik bere marrazki batean: Vitrubioko gizona.

Giza gorputzaren proportzioak ikertu zituen, eta, hala, lan honetan gizon bat agertzen da, karratu eta zirkunferentzia baten sartuta.

Nola agertzen da Φ?:

a

b

erradioan Zirkuluare

aldean Karratuare

Zure gorputzaren neurriekin lor dezakezu Φ, eragiketa hau egiten baduzu,:

inozilborreraoinetatik altura Zure

osoa altuera Zure

Luca Paciolik De divina proportione liburuan (Leonardo Da Vincik irudiz apainduta) urrezko zenbakia sakonki azaldu zuen.


- 27 -

URREZKO PROPORTZIOA NATURAN FIBONACCI-REN SEGIDA

Urrezko proportzioa ez da solik gizakiaren burutazio bat edertasunaren kontzeptua irudikatzeko, natura aztertzen ere agertzen da.

Fibonacci,-(1170-1250)-, matematikari buruzko lan ugari egin zituen arren, oso

ezaguna da hurrengo segida lortzeagatik untxien ugalketa aztertzen:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Segida horrek oso propietate interesgarriak ditu:

1. Segidaren edozein gai lortzen da bi aurrekoak batuz

1 = 0+1 2 = 1+1 3 = 1+2 5 = 2+3 8 = 3+5 13 = 5+8 21 = 8 +15 34= 13+21...

2. Segidaren bi gai ondoz ondoren zatiketa gero eta hurbilago dago Φ-tik:

1,618...55

891,617...

34

551,619...

21

341,615..

13

211,625

8

131,6

5

81,66..

3

51,5

2

32

1

21

1

1

Beraz:

Grafikoki:

Hau da:

1n

n

a

a

2

51lim

1n

n

a

a


- 28 -

Adibide batzuk ikusi baino lehenago, urrezko kiribila eta urrezko angelua zer diren azalduko dugu:

Urrezko kiribila

Irudiko kiribila zirkunferentzien koadranteak gainezarriz lortzen da, zeinen erradioak urrezko proportzioan hazten baitira.

Harrigarriena da horretan ere urrezko zenbakia agertzea, zeren eta Fibonacciren segida lortzen da:


- 29 -

Zenbait adibide naturan

Nautilusen maskorrean.

Bitxiloreen haziek 21 eta 34 kiribil dituzte.

Pinaburuen kiribil kopurua 8 eta 13 da, edo 5 eta 8.

Ekilore baten haziek 21 kiribil osatzen dtuzte ezkerrerantz, eta 34 eskuinerantz.


- 30 -

Oiloen arrautzaren geometrian ere agertzen da urrezko proportzioa.

Urrezko proportzioak planeten arteko distantzietan agertzen dira.

Karbono-atomoak ere, hots, diamanteak eta izaki bizidunen oinarrizko konposatuak urrezko egitura daukate.


- 31 -

Urrezko angelua

Landare baten orriak ez dira hazten zurtoinean zehar hala nola; izan ere, zenbat eta eguzkiaren argi gehiago lortzen duten, hobeto hedatzen dira.

Urrezko angeluari jarraituz sortzen dira.

Irudian ikus dezakegu zein ordenatan eta zein angelutan hazten diren orriak.

b=137.51º

a=222,49º

b

a


- 32 -

Surrealismoan

Hainbat argazkitan Hainbat eraikinetan


- 33 -

Poesian

A LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

Urrezko zenbakia eguneroko objetuetan


- 34 -

Bibliografia

http://eu.wikipedia.org/wiki/E_(zenbakia)

http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=13312 (Zientzia.net e zenbakiaren

bila Lakar iraizor, Oihane)

http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3472

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnad

o/ayuda.html

http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mujeres/monica/o

ro.htm

http://blogs.vandal.net/71189/vm/012222442008

http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=6964

http://eu.wikipedia.org/wiki/E_(zenbakia)

http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=13312

Documents

Zenbait zenbaki berezi