Zentralprojektion

„Perspektive“

Die geometrischen Grundlage der räumlichen Skizzen und Schaubilder

Darstellende Geometrie:

Ein Teilgebiet der Geometrie ist die Darstellende Geometrie.

Die 1. Aufgabe der Darstellenden Geometrie ist

die Abbildung räumlicher Gegenstände in der Zeichenebene.

Abbildungsverfahren:

• Parallelprojektion und

• Zentralprojektion

Diese Abbildungsverfahren liefern:

maßhaltige (oft unanschauliche) als auch

anschauliche Abbildungen plastisch-räumlicher Gegenstände.

„Maßhaltige“ Abbildung:

Darstellung der:

• „wahren“ Form

• „wahren“ Längen von Strecken

• „wahren“ Größen von Winkel

Sie können direkt aus den Zeichnungen abgelesen werden.

Diese Zeichnungen vermitteln nicht immer eine Vorstellung von der „plastisch – räumlichen“ Form und der Wirkung des Gegenstandes.

Das Lesen solcher Abbildungen erfordert

• Übung und

• räumliches Vorstellungsvermögen

Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralsparkasse“ Wien

Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralparkasse“ Wien

Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralsparkasse“ Wien

„Anschauliche“ Abbildungen

Darstellung von

• Form• Räumliche Anordnung• Oberflächenqualitäten• Licht und Schatten

• Spiegelung und Reflexion

Abbildungsverfahren:

• Militär- und Kavalierprojektion (allgemeine Parallelprojektion)• Axonometrie (senkrechte Parallelprojektion)

• Zentralprojektion („Perspektive“)

Die 2. Aufgabe der Darstellenden Geometrie ist

• die Behandlung und Lösung räumlicher Konstruktionsprobleme in der Zeichenebene.

Projektion:

Die Abbildung des Raumes auf eine Ebene

Z

Bild

eben

e

Zeichenebene

Projektionsstrahl

Standebene

Objekt

Projektion : Abbildung

Projektionszentrum: Augpunkt Z

Bildebene: Zeichenebene

Projektionsstrahl: Sehstrahl r

Punkt im Raum: Objektpunkt P

Bild des Punktes P: Bildpunkt Pc

Pc = ZP *

Verschwindungsebene:

Fernelemente: Fernpunkt Qu

Ferngerade gu

Fernebene u

Zusammenfassung:

Voraussetzung für die Zentralprojektion

Jedem Punkt des Raumes wird ein Punkt in der Bildebene zugeordnet.

Jeder Geraden im Raum wird eine Gerade in der Bildebene zugeordnet. (Geradentreue)

Ein Punkt der mit Z zusammenfällt kann nicht abgebildet werden

Eine Gerade die Z enthält bildet sich als Punkt ab (projiziernde Gerade)

Eine Ebene die Z enthält bildet sich als Gerade ab

Elemente einer Ebene die Z enthält und parallel zur Bildebene ist bilden sich auf der Ferngeraden der Bildebene ab. („die Bilder liegen im Unendlichen“)

•

•

•

•

••

Abbildungsverfahren

Zentralprojektion:

Parallelprojektion:

Geradentreu

(Linearität)

Doppelverhältnistreu

Geradentreu

(Linearität)

Parallelentreu

Teilverhältnistreu

Zentralprojektion:

Modell: Pyramide

Kegel

Parallelprojektion:

Modell: Prisma

Zylinder

Zentralprojektion:

Parallelprojektion: Militärprojektion

Kavalierprojektion

Senkrechte Parallelprojektion

Allgemeine Parallelprojektion

Kotierte Prejektion Axonometrie

ZugeordneteNormalrisse

Zweitafelverfahren

PerspektivitätIst die Zuordnung zweier verschiedener Ebenen aus einem Zentrum, das in keiner der

beiden Ebenen liegen darf. Den Punkten der einen Ebene werden Punkte der anderen

zugeordnet. Zu den Punkten zählen auch die Fernpunkte.

Perspektivitätszentrum : Z

Perspektivitätsachse : a

Zuordnungsgerade: r

2 zugeordnete Ebenen:

Zugeordnetes Punktepaar: P - P‘

Perspektivität

• die Zuordnungsgeraden sind gerichtet und gehen

von Z aus;

• Zugeordnete Punkte liegen auf

Zuordnungsgeraden;

• Liegen mehrere Punkte auf einer Zuordnungs-

geraden so fallen die zugeordneten Punkte in

einem Punkt zusammen (Inzidenz);

• Einer Geraden wird wieder eine Gerade

zugeordnet;

• Zugeordnete Geraden schneiden einander auf

auf der Schnittgeraden (Perspektivitätsachse) der

beiden zugeordneten Ebenen.

Perspektivität

Fluchtpunkt : F

Verschwindungspunkt: V

Spurpunkt: S

Fluchtpunkt der Geraden g: Fg

Spurpunkt der Geraden g: Sg

Perspektivität

Die Bilder paralleler Geraden haben bei Zentralprojektion

einen Punkt in der Bildebene gemeinsam: den

Fluchtpunkt.

• Parallele Gerade haben einen Fluchtpunkt

• Parallele Gerade im Raum gehen nicht in parallele

Geraden der Bildebene über

• eine Zentralprojektion ist nicht parallelentreu

• eine Zentralprojektion ist nicht teilverhältnistreu

Perspektivität

Fluchtpunkt : F

Fluchtgerade: Fg

Fluchtebene: F

Verschwindungspunkt: VVerschwindungsgerade: vVewrschwindungsebene:

Spurpunkt: S

Spurgerade: Sg

Perspektivität• Zu jeder Ebene im Raum gibt es eine zu ihr parallele

Fluchtebene durch Z. Diese schneidet die Bildebenein der Fluchtgeraden der Ebene.

• Die zur Bildebene parallele Verschwindungsebene durch Z schneidet eine beliebige Ebene im raum in der Verschwindungsgeraden der Ebene.

• Die Schnittgerade einer beliebigen Ebene im Raum

schneidet die Bildebene in der Spurgeraden der Ebene.

• Fluchtgerade, Verschwindungsgerade und Spurgerade einer Ebene sind stets zueinander parallel.

• Parallele Ebenen haben eine Fluchtgerade gemeinsam.

• Die Fluchtpunkte aller Geraden einer Ebene liegen auf der Fluchtgeraden der Ebene. Parallele Geraden haben einenFluchtpunkt gemeinsam.

Perspektivität• Die Verschwindungspunkte aller Geraden einer Ebene liegen

auf der Verschwindungsgeraden der Ebene.

• Ist eine Gerade a der Ebene a parallel zur zur Spurgeraden der Ebene a, so ist die zugeordnete Gerade der Ebene b ebenfalls

parallel zur Spurgeraden. • Das Teilverhältnis bleibt bei Perspektivität (Zentralprojektion)

nicht erhalten: ein Mittelpunkt einer Strecke geht nicht in denMittelpunkt der zugeordneten Strecke über.

• Bei Perspektivität (Zentralprojektion) bleibt das Doppelverhältnis erhalten.

Unter Doppelverhältnis versteht man das Verhältnis derTeilverhältnisse, in das die Punkte C und D die Strecke ABteilen:

(AC : CB) : (AD:DB)

Ende der Vorlesung

Thema der 3. Vorlesung:

Perspektive Kollineation -

Perspektive Affinität