Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/06... · 2018. 11. 20. · Posudzovanie = výpočet napätí adeformácií (pretvorení), ktoré

1

Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v Žiline

Katedra technických vied a informatiky

Základy mechaniky

pevných telies

Téma 6:

ÚVOD DO MECHANIKY PODDAJNÝCH TELIES

- Ciele a úlohy PaP, vzťah zaťaženie – pretvorenie –

napätosť, metóda mysleného rezu, základné druhy

namáhania

2

Úvod

Pevnosť a pružnosť (PaP) – časť mechaniky telies, skú-

majúca závislosti medzi mierou pretvorenia (deformácia) a

stavom vnútorných síl (napätosť), vyvolaných zaťažením.

Mechanika poddajných telies (častejšie náuka o pevnosti a

pružnosti prvkov konštrukcií - PaP) je súčasť technickej

mechaniky. Skúma účinky síl pôsobiacich na poddajné telesá,

najmä charakter vnútorných síl a napätosť telesa, mieru pretvo-

renia a definuje vzájomné súvislosti medzi nimi.

Skutočné teleso, vystavené pôsobeniu síl, silových polí,

zmene teploty a pod. mení svoj tvar a rozmery, t.j. deformuje

sa. Pretvorenie (deformácia) je výsledkom premiestnenia kon-

krétnych elementárnych (veľmi malých) objemov telesa.

Teleso (materiál) pretvoreniu odporuje, vznikajú v ňom

vnútorné sily a tie v telese vyvolávajú mechanické napätie.

3

Úvod

PaP sa nezaoberá:

Vnútornými silovými účinkami – udržiavajúcimi nezaťažené

teleso v pevnom tvare, pretože nie sú závislé od vonkajších

vplyvov na teleso. To je oblasť záujmu tzv. materiálového

inžinierstva.

PaP sa zaoberá:

Vnútornými silovými účinkami – vznikajúcimi v dôsledku zaťaže-

nia telesa vonkajšími silami – a vyjadrujú odpor voči premiest-

neniu častíc telesa (ako zmena polohy v štruktúre materiálu) a

snažia sa ich vrátiť späť do rovnovážneho stavu, v ktorom boli

pred zaťažením a následnou deformáciou. Budeme hovoriť o

tzv. doplnkových vnútorných silách.

4

Úvod

Vznikajúce vnútorné silové účinky môžu negatívne ovplyvniť

mechanické vlastnosti materiálu = pevnosť (únosnosť) a majú

tiež schopnosť do istej miery odstrániť / zmenšiť trvalé

deformácie vyvolané zaťažením telesa = pružnosť materiálu.

Vonkajšie

zaťaženie

Premiestnenie

pretvorenie

Vnútorné sily a ich

intenzita Napätie

Napätosť

Obr.1.1 Obr.6.1

Mechanické

napätie

5

6.1 Ciele, úlohy a základné pojmy náuky o PP

PaP skúma:

• účinky pôsobenia vonkajších zaťažení na reálne (t.j. pod-

dajné, nie idealizované) telesá,

• odozvu deformovateľného telesa na pôsobenie vonkajšie-

ho zaťaženia – hlavne napätosť a deformáciu.

Základné úlohy náuky o PaP:

- analýza a popis deformácie (pretvorenia) telies, v dôsled-

ku pôsobenia vonkajších zaťažení ,

- analýza a kvantifikácia vnútorných silových účinkov a z

nich vychádzajúcej napätosti v telesách pod zaťažením,

- definovanie zásadných súvislostí medzi nimi.

6


Základný cieľ PaP:

• posúdiť únosnosť (pevnosť) prvku konštrukcie,

• navrhnúť optimálne rozmery prvku tak, aby nenastala jeho

porucha (vplyvom tzv. medzného stavu) a to buď

- prekročením pevnosti materiálu alebo

- vplyvom jeho neprimeranej deformácie.

Základné typy pevnostných výpočtov:

1. Posudzovanie = výpočet napätí a deformácií (pretvorení),

ktoré vzniknú v prvku konštrukcie účinkom vonkajších zaťažení

alebo vplyvom teplotných zmien.

2. Dimenzovanie = určenie rozmerov a prierezu prvku tak,

aby napätia (tzv. pevnostné dimenzovanie) alebo deformácie

(tzv. tuhostné dimenzovanie) boli ≤ dovoleným (návrhovým)

hodnotám.

7


Vplyvom vonkajšieho zaťaženia dochádza k premiestneniu

častíc objemu telesa, teleso sa deformuje (zmena jeho rozmeru,

tvaru i objemu. Takúto zmenu nazývame deformácia.

Deformácia je základnou mierou pretvorenia telesa.

1. Deformácia – ako miera pretvorenia telesa

Príklady:

- pri naťahovaní prúta dochádza k jeho predĺženiu,

- pri ohýbaní prúta sa mení jeho tzv. krivosť,

- pri krútení prúta dochádza k vzájomnému pootočeniu prierezov.

Deformácia = vzájomná zmena polohy častíc telesa, ktorá

je obvykle sprevádzaná zmenou rozmerov a tvaru telesa.

8


Ak silové účinky vyvolávajúce deformáciu postupne zmenšu-

jeme až na nulu, teleso sa vplyvom vnútorných síl (vznikajúcich

pri deformácii telesa) snaží obnoviť pôvodný tvar a rozmery.

Deformácia zanikne a to buď čiastočne alebo úplne.

Podľa toho rozoznávame deformácie:

Pružnú (elastickú) – časť výslednej deformácie, ktorá po

odstránení zaťaženia telesa zanikne.

Trvalú (plastickú) – časť deformácie, ktorá aj po odstránení

zaťaženia zostane.

Záver: prvky reálnych konštrukcií vplyvom vonkajšieho zaťa-

ženia menia svoje rozmery a tvar – deformujú sa. Veľkosť

a charakter deformácie závisí predovšetkým od

veľkosti a druhu vonkajšieho zaťaženia,

rozmerov prvku a

mechanických vlastností použitého materiálu.

9


2. Mechanické napätie – ako miera intenzity vnútorných síl

Prvky nosných konštrukcií musia byť navrhnuté tak, aby spoľah-

livo odolávali vonkajšiemu zaťaženiu. Mierou intenzity pôsobenia

vnútorných síl v objeme telesa je tzv. mechanické napätie.

Mechanické napätie je mierou pevnosti konštrukcie.

Aby sa teleso neporušilo, nesmie napätie v ňom vznikajúce

prekročiť určitú medznú hodnotu – obvykle tzv. medza pevnosti

RP, určená pre konkrétny konštrukčný materiál.

Stupeň pevnostných požiadaviek = či je rozhodujúca:

únosnosť konštrukcie (mosty, budovy, žeriavy, výťahy, ...),

tuhosť konštrukcie (hriadele, rotory, ......),

vonkajší tvar a rozmery konštrukcie (tvar lodí, trupy rakiet,

krídla lietadiel, .....).

10


CIEĽ PaP = HĽADANIE KOMPROMISU:

okrem zásadnej požiadavky – zaistenie spoľahlivej a bezpeč-

nej funkcie každého prvku (tvar, prierez, rozmery, materiál)

je vyžadovaná aj ekonomicky optimálna konštrukcia (optimálne

využitie materiálu, efektívne technológie výroby a montáže, ...).

Obidva uvedené požiadavky - spoľahlivosť / hospodárnosť -

si však navzájom odporujú.

Spoľahlivosť – obvykle vedie k väčším rozmerom a množstvu

použitého materiálu a tým zvýšeniu výdavkov na konštrukciu,

Hospodárnosť – menšie rozmery prvkov, t.j. znižovanie ná-

kladov na ich zhotovenie, avšak určitú mieru rizika zlyhania.

Podklady pre správne – optimálne – vyriešenie tohto rozporu

ponúka práve náuka o PaP.

11


Základné pojmy mechaniky poddajných telies:

• Pevnosť - schopnosť pevného telesa odolávať pôsobeniu za-

ťažujúcich síl, tzn. schopnosť telesa zvládnuť (preniesť) určité

zaťaženie bez porušenia jeho integrity.

• Pružnosť - schopnosť pevného telesa, vytvoreného z konkrét-

neho materiálu, nadobudnúť po prerušení vonkajšieho zaťaženia

svoj pôvodný tvar a rozmery.

• Tuhosť - miera odporu pevného telesa deformovať sa (zmeniť

tvar a rozmery) v dôsledku vonkajšieho zaťaženia.

• Stabilita tvaru - schopnosť pevného telesa aj po jeho zaťažení

zachovať počiatočný stav tzv. pružnej rovnováhy na teleso

pôsobiacich silových účinkov.

12


Veličiny a jednotky v náuke o PaP:

• Základné jednotky – dĺžka (m) a hmotnosť (kg).

• Odvodené jednotky – plošný obsah (m2), objem (m3), hustota

/ merná špecifická hmotnosť (kg.m-3), objemová tiaž (N.m-3), sila

(Newton, N=kg.m.s-2), mechanické napätie (Pascal, Pa=N.m−2=

kg.m−1.s−2), moment sily (N.m), (príp. energia (práca, teplo)

(Joule, J=kg.m2.s−2) a niektoré ďalšie.

• Násobky a diely jednotiek – normalizované predpony (podľa

STN 01 1300). Napr. predpony kilo=103, mega =106, giga=109,

resp. mili=10-3, mikro=10-6 a pod.

Poznámka:

Výnimkou je hmotnosť - pri tvorbe násobkov a dielov vychádzame z gramu.

Mechanické napätie - praktické aplikácie v MegaPascaloch (MPa=N/mm2).

13


3. Základné predpoklady a hypotézy v rámci PaP

Žiadne reálne teleso nie je dokonale pružné a ani dokonale

homogénne. Vo výpočtoch nie je možné zohľadniť rôznorodosť

vlastností, príp. chýb reálnych materiálov a preto bolo nutné

prijať niektoré zjednodušujúce predpoklady. Tieto vychádzajú z

teoreticky aj experimentálne overených hypotéz o štruktúre a

vlastnostiach materiálov a charaktere ich pretvorenia.

Predpoklady a hypotézy pri riešení reálnych telies:

• Materiál spojito vyplňuje objem daného telesa, t.j. nezohľad-

ňuje sa diskrétna atómová štruktúra materiálu homogénne

teleso, tzn. materiál je homogénny.

• Vlastnosti materiálu vo všetkých bodoch a smeroch považu-

jeme za rovnaké, tzn. materiál je izotropný.

14


• Materiál je ideálne pružný - splnené pre reálne materiály iba po

určitú hodnotu zaťaženia – tzv. medzu pružnosti RP resp.(σp).

• Myslené rovinné rezy, kolmé na os telesa, zostávajú aj po

deformácii stále rovinné a kolmé vzhľadom k deformovanej osi

telesa.

• U väčšiny nosných konštrukcií a obvyklých konštrukčných ma-

teriálov sú deformácie v porovnaní s rozmermi telies menšie

rádovo = tzv. hypotéza malých deformácií.

• Závislosť medzi napätím a deformáciou je lineárna, uvažovaná

v medziach tzv. Hookeov zákona (tzn. po medzu úmernosti RU).

15

6.2 Vonkajšie zaťaženie a vnútorné sily

Jednotlivé prvky konštrukcií v spojení s inými prvkami tvoria

konštrukčný celok, ktorý je buď v pokoji (napr. stožiar, strecha,

mostná konštrukcia, a pod.) alebo je v pohybe (časti točivých

elektrických strojov, pohony, mechatronické systémy a pod.).

Zo statiky už vieme, že prostredníctvom stykových plôch sa

prenášajú silové účinky, ktorými ostatné časti konštrukcie

pôsobia na analyzovaný prvok - tvoria vonkajšie zaťaženie.

PaP uvažuje s rovnakými druhmi vonkajšieho (primárne-

ho i sekundárneho) zaťaženia a spôsobmi ich pôsobenia na

telesá, ako v statike.

Vonkajšie zaťaženie a vnútorné sily

Na prvky konštrukcií (sústavy telies) v ich reálnych podmien-

kach nasadenia pôsobí rad účinkov, ktoré obvykle rozdeľujeme

na silové účinky: vonkajšie a vnútorné.

16


1. Vonkajšie silové účinky – všetky mechanické účinky pre-

nášané na skúmaný prvok z prostredia, ktoré ho obklopuje. V

mechanike silové účinky chápeme ako mieru vzájomného

mechanického pôsobenia medzi materiálnymi objektmi.

• Vonkajšie sily prenášané na teleso z okolia kontaktom:

majú charakter tzv. povrchových síl (t.j. osamelá sila F, spojité

zaťaženie rovnomerné / nerovnomerné – priečne zaťaženie q,

osové zaťaženie n). Zaťaženia vo forme osamelých silových

dvojíc (t.j. osamelo pôsobiace momenty M) alebo spojito

rozložených silových dvojíc (spojité momentové zaťaženie m).

• Vonkajšie sily prenášané na teleso bezkontaktne: majú

charakter tzv. objemových (hmotových) síl. Pôsobia na každú

hmotnú časticu telesa priamo a často na istú vzdialenosť (napr.

gravitačná sila, zotrvačná sila a pod.).

17


2. Vnútorné sily - veľkosť a charakter vnútorných silových

veličín v každom elementárnom bode PDT závisí okrem vonkaj-

šieho zaťaženia a materiálu prvku aj od veľkosti plochy (t.j.

plochy na ktorej sú vnútorné silové účinky uvažované).

Pri analýze PDT je vhodnejšie intenzitu pôsobenia výslednice

P vnútorných silových účinkov v pomyselnom reze vyjadriť pros-

tredníctvom inej veličiny – tzv. mechanického napätia.

Mechanické napätie p (ako vnútorný tlak v objeme telesa) –

vyjadruje pomer medzi veľkosťou výslednej vnútornej sily P a

styčnou plochou A, na ktorú sila pôsobí. Platí:

p = P / A.

Mechanické napätie vyjadruje intenzitu pôsobenia vnútor-

ných síl v jednotlivých hmotných bodoch telesa.

18


Vieme už:

reálne telesá sa vplyvom vonkajšieho zaťaženia deformujú –

menia svoj tvar, rozmery, a nepatrne aj objem,

zaťažením vyvolané pretvorenie telesa sprevádza vznik

vnútorných silových účinkov (pnutie, vnútorný tlak = snaha

teleso naťahovať, stláčať, ohýbať, krútiť a pod.); tieto pôsobia

proti vzniku deformácie, t.j. snažia sa obnoviť pôvodný stav,

veľkosť vnútorných síl, pôsobiacich v ľubovoľnom priereze

má práve takú veľkosť (zákon akcie a reakcie), aby ich

účinok bol vždy v rovnováhe s účinkom síl vonkajších.

Pre kvantifikáciu miery účinku vonkajších síl na deformovaný

prvok je nutné určiť odozvu vo vnútri prvku, tzn. určiť veľkosť a

zmysel vnútorných silových účinkov. To je možné využitím

známej metódy mysleného rezu.

19

6.3 Metóda mysleného rezu a druhy namáhania

Teleso na Obr.6.2 rozrežme mysleným rovinným rezom θ na

dve konečné časti A, B.

PĽP PPĽ

Obr.6.2

A A

PABPBA

20


Príklad:

Určte výslednicu vnútorných

síl v priečnom reze prúta

podľa Obr. 6.3.

Prút je zaťažený silou od

vlastnej tiaže G a osovou

ťahovou silou F, pôsobiacou

na voľnom konci.

Obr. 1.4

a) b) GA

časť

B

časť

A

X

X

F

F

Obr.6.3

PBA

PAB

Výslednicu vnútorných síl P

získame zo statických podmie-

nok rovnováhy vonkajších a

vnútorných síl na telese.

21


Priečnym rezom , fiktívne (iba myslene) rozdelíme prút

na dve časti – časť A a časť B (obr. 6.3b).

Uvažujme napr. iba časť A: pôsobením síl F a GA (vlastná

tiaž časti A) by sa časť A po jej oddelení začala pohybovať.

Zaťažený prút je vplyvom jeho uchytenia kĺbovou väzbou (z

nej vyplýva väzbová reakcia) v rovnováhe a preto musia byť

v rovnováhe aj obidve myslene oddelené časti A aj B.

m n

V prípade priameho, osovo zaťaženého, prizmatického prúta

ležia sily F, GA, PBA na spoločnej nositeľke a podľa obr.6.3b platí

PBA – GA – F = 0 PBA = GA + F

Výslednica vnútorných síl PBA je teda v rovnováhe s účinkom

časti B na časť A. Podľa „zákona akcie a reakcie“ analogicky

musí pôsobiť aj časť A prúta na časť B silou PAB = PBA.

22


2. Namáhanie a druhy namáhania

Uvažujme PDT zaťažené všeobecnou priestorovou sústavou

síl F1, F2, ..., Fn, ktoré sú v rovnováhe (obr. 6.4a). Predstavme si

toto teleso rozdelené ľubovoľnou rovinou Φ na dve časti (časť A

a časť B), každá s určitou, konečnou, veľkosťou.

Obr. 1.5a

A

F2 F4

F1 F3

Obr.6.4 a

Časť A Časť B

23


Výslednica vnútorných síl P a sústava vonkajších síl Fi musia

taktiež tvoriť rovnovážnu priestorovú sústavu síl.

Vo všeobecnom prípade:

- smer výslednej sily P

vzhľadom na rovinu mys-

leného rezu je ľubovoľný,

- pôsobisko sily P (bod C)

obvykle nie je totožné

s ťažiskom T plochy mys-

leného rezu Φ - Obr.6.4b.

Obr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

Mx Mz

F1

F2

S

A

Obr.6.5 b

P

M

Obr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

Mx Mz

F1

F2

S

A

Obr.6.5 bObr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

Mx Mz

F1

F2

S

A

Obr.6.5 b

P

M

A

Obr.6.4 b

24


Ak preložíme výslednicu P do ťažiska T mysleného rezu Φ

a rozložíme ju do zložiek v smere súradnicových osí x, y, z (os

x je kolmá na rovinu rezu = normála plochy rezu, obr. 6.4b)

získame zložky výslednice vnútorných síl P – ozn. Px, Py, Pz.

Zo statiky vieme, že k preloženej sile P (z C→T) je potrebné

(aby sa jej účinok na teleso nezmenil), pripojiť k jej zložkám Px,

Py, Pz, aj prislúchajúce silové dvojice, ktorých účinok v smere

súradnicových osí predstavujú momenty Mx, My, Mz.

Takto v ťažisku plochy prierezu dostaneme celkom 6 zložiek

tzv. vektora (výslednice) vnútorných silových veličín P a to:

• tri zložky vnútorných síl - Px=N, Py=Ty, Pz=Tz a

• tri zložky momentové (silové dvojice) - Mx, My, Mz .

25


Zo statiky vieme, že zložky vektora sily P predstavujú:

Px = Nx – normálová (osová) sila,

Py = Ty, Pz = Tz – posúvajúca (priečna, tangenciálna) sila,

Mz, My – ohybový moment v rovine (xy resp. xz) ako aj

Mx – krútiaci moment.

Znamená to:

• pre teleso v priestore môžeme napísať celkom 6 podmienok

rovnováhy, z ktorých je možné určiť 6 neznámych zložiek

vnútorných silových veličín,

• metódou mysleného rezu môžeme určiť všetky vnútorné

silové veličiny v ľubovoľnom priereze zaťaženého telesa.

Vo všeobecnom prípade sú vnútorné silové veličiny v každom

myslenom reze telesa rôzne.

26


Platia zásady, ako pre riešenie vnútorných síl u nosníkov:

• nulovú os volíme rovnobežnú s osou telesa, príp. s osou telesa

ju stotožňujeme,

• hodnoty vnútorných silových veličín vynášame kolmo na os a

ich priebehy aj kolmo na os šrafujeme,

• kladné hodnoty síl zobrazujeme nad nulovú os, záporné pod

nulovú os, kladné momenty obvykle kreslíme na stranu

naťahovaných vlákien (t.j. pod nulovú os),

• charakteristické hodnoty priebehov zakótujeme,

• dodržiavame konvenciu o znamienkach vnútorných veličín:

27


Znamienková konvencia pre kladné hodnoty:

• Normálová sila vyvoláva predĺženie, záporná skrátenie.

• Posúvajúca sila v reze je kladná, ak má so zreteľom na

ľubovoľný bod, mysleným rezom oddelenej časti telesa,

otáčavý účinok v zmysle smeru pohybu hodinových ručičiek.

• Ohybový moment spôsobuje skrátenie (stlačenie) horných

vlákien telesa a predĺženie (natiahnutie) dolných vlákien.

• Krútiaci moment pri pohľade do plochy mysleného rezu otáča

odrezanú časť v zmysle pohybu hodinových ručičiek.

28

6.4 Mechanické napätie a druhy napätia

Vo všeobecnom prípade zaťaženia telesa sú vnútorné sily v

myslenom reze rozložené nerovnomerne. To má za následok aj

nerovnomerné zaťaženie jednotlivých hmotných bodov prierezu

vnútornými silovými veličinami.

Pre určenie charakteru rozloženia vnútorných síl v diskrétnych

hmotných bodoch, ležiacich v rovine mysleného rezu, by nám

však statické podmienky rovnováhy nestačili. Pomocou nich je

možné určiť iba jednotlivé zložky výslednice vnútorných síl P.

Mechanické napätie

Aby bolo možné určovať a porovnávať účinok vnútorných síl

v rôznych prierezoch (t.j. s rozličnou veľkosťou plochy prierezu)

na telese, bolo nutné zaviesť veličinu, charakterizujúcu pomer

vnútorných síl na jednotku prierezovej plochy, ktorú

nazývame mechanické napätie (ozn. p).

29


Vyberme veľmi malý element s plochou ∆A z plochy rezu Φ, na

ktorý pôsobí elementárna vnútorná sila ∆P (obr.6.6a).

Rozložme silu ∆P, ktorá môže vo všeobecnosti s normálou

roviny rezu zvierať ľubovoľný uhol φ, do smeru normály (tzn.

kolmo na rovinu rezu) a tangenty (pôsobí v rovine rezu) vzhľa-

dom k ploche rezu Φ.

Obr. 1.11 a

Δ T

Δ N

Δ P

S

F1

F2

A

Obr.6.6a

A

Časť

I

Podľa obr.6.6a platí :

∆N = ∆P . cos φ

∆T = ∆P . sin φ.

30


Mechanické napätia:

p – je tzv. všeobecné napätie,

ktoré je ľubovoľne sklonené vzhľa-

dom k rovine rezu Φ o uhol ,

Obvykle napätie p rozkladáme na :

σ = ∆N / ∆A - normálové napätie, je kolmé na rovinu rezu Φ

= ∆T / ∆A - šmykové napätie, leží v rovine rezu.

Obr. 1.11 b

σ

τ p

Φ

F1

F2

A

S

Obr.6.6 b

A

Časť I

Záver: Iné mechanické napätie, ako normálové (ťahové,

tlakové) alebo šmykové (posúvajúce) v PaP neuvažujeme.

31


Normálovému napätiu σ pre rozlíšenie priraďujeme :

znamienko plus - keď zmysel sily ∆N smeruje von z plochy Φ

(ako na obr. 6.6a) a ide o napätie ťahové.

znamienko mínus - keď zmysel sily ∆N je opačný (smeruje

do plochy rezu) a ide o napätie tlakové.

na orientácii (zmysle a smere) šmykového napätia

obvykle nezáleží; záleží iba na jeho veľkosti.

Základná merná jednotka mechanického napätia je Pascal

(Pa). Jeho veľkosť a rozmer vyplýva z definície:

-2

-2

[1 Pa] = [1 N.m ]

[1 MPa] = [1 N.mm ]

32

Ak v uvažovanom reze pôsobí iba jedna zo zložiek výslednice

vnútorných síl, rozoznávame 5 základných (jednoduché, čisté)

druhov namáhania a to:

ťah, tlak, šmyk, krútenie a ohyb.

Základné druhy namáhania

V určitých prípadoch zaťaženia telies budú niektoré z vnútor-

ných veličín (síl a momentov) nulové, iné sú zasa nenulové.

Podľa toho, koľko zložiek je nenulových a ktoré to konkrétne

sú, rozlišujeme základné druhy namáhania telies :

• Jednoduché (čisté) - v uvažovanom myslenom reze pôsobí

vždy iba jediná z uvedených zložiek.

• Kombinované (zložené) - v ťažisku plochy mysleného rezu

pôsobí súčasne viac zložiek výslednice vnútorných síl P.

6.5 Základné druhy namáhania a ich charakteristika

33

Obr.6.5


34

Jednoduché (čisté, prosté) namáhanie: prípad, keď v uva-

žovanom reze Φ pôsobí iba jediná zo zložiek výslednice

vnútorných síl Pi resp. Mi , pre i = x, y, z.

Kombinované (zložené) namáhanie: prípad, keď v rovine

rezu Φ pôsobí súčasne viac zložiek vnútorných síl a momentov,

t.j. vzniká súčasne viac druhov jednoduchého namáhania.

Riešenie kombinovaného namáhania je založené na využití

princípu superpozície (t.j. sčítania, zloženia účinkov od

jednotlivých jednoduchých druhov namáhania, z kombinácie

ktorých riešené zložené namáhanie pozostáva).


35


Charakteristika jednoduchých (čistých) druhov namáhania

1. Čistý ťah / tlak

Zo zložiek výslednice vnútor-

ných síl P (Obr.6.4b) pôsobí –

je nenulová – iba zložka Px=N,

ktorá je na rovinu rezu Φ vždy

kolmá.

A

Obr. 1.5b

P

Px=N

Py

Pz

My

Mx Mz

F1

F2

S

A

Obr.6.4 bA

Časť I

36


Najjednoduchší prípad namáhania ťahom: tenká priama tyč

konštantného prierezu, zaťažená osovou silou F pôsobiacou v

ťažisku prierezu (Obr.6.7b). Najjednoduchší prípad tlakového

namáhania: centrické zaťaženie tyče podľa Obr.6.7c.

Obr. 1.6

a) b) c)

Obr.6.7

A

37


• Napätosť: v myslenom reze vzniká výslednica vnútorných síl

P, ležiaca na normále prierezu, preto pri namáhaní ťahom /

tlakom vzniká iba normálové napätie σ (+σ pre ťah, -σ pre

tlak). V praxi sú na ťah / tlak namáhané napr. prvky stožiarov,

mostné piliere, nosné steny, vodiče el. vedenia, laná a pod.

• Pretvorenie: pri namáhaní ťahom sa teleso predĺži, pri

namáhaní tlakom sa teleso skráti.

Zmena počiatočnej dĺžky prúta l sa označuje l [mm] a nazýva

sa absolútne predĺženie (skrátenie). Platí:

Častejšie sa používa veličina, tzv. pomerné predĺženie, ako

pomer absolútneho predĺženia l ku dĺžke prúta l pred jeho

zaťažením. Označuje sa [-]. Platí:

/l l

1l l l

38


2. Čistý šmyk

V myslenom reze θ vznikajú iba zložky výslednice P vnútor-

ných síl - Py alebo Pz (Obr.6.5b) príp. jedna z nich = namáhanie

čistým šmykom. V takomto prípade je priečna sila v reze určená

vektorovým súčtom obidvoch zložiek.

Najjednoduchší prípad šmykového namáhania: strihanie

materiálu (Obr.6.8b) iné pomenovanie - namáhanie strihom.

• Napätosť: výslednica vnútorných síl P leží v myslenom reze θ,

pri čistom šmyku preto nevzniká normálové napätie, vzniká

iba napätie šmykové .

Na obr.6.8c je iný praktický prípad namáhania šmykom, napr.

šmyk v drieku nitu, resp. skrutky (rezy a, b).

39


• Pretvorenie: ak majú vonkajšie sily snahu voči sebe posunúť

dva blízke rovnobežné prierezy. Výsledkom je posunutie

prierezu v smere výslednice pôsobiacich síl, ktoré je určené

buď hodnotou absolútneho šmyku s alebo tzv. skosom .

A

Obr. 1.7

a) b)

c) Obr.6.8

F

-F/2

-F/2

40


3. Čisté krútenie

Keď v myslenom reze θ zo zložiek výslednice vnútorných síl P

vzniká iba moment Mx = Mk, t.j. moment, ktorého rovina pôsobe-

nia je totožná s rovinou rezu θ (Obr.6.9).

Obr.1.8 Obr.6.9

A

41


Najjednoduchší prípad: krútenie tyče (hriadeľa) kruhového

prierezu. Moment s krútiacim účinkom na teleso nazývame

krútiaci moment (Mk). Krútením sú v praxi namáhané napr.

hriadele točivých strojov.

• Napätosť: krútením telesa vzniká

aj šmykové, aj normálové napätie.

Šmykové napätie je oveľa väčšie.

• Pretvorenie: je charakterizované pootočením (skrútením)

dvoch susedných prierezov, v zmysle pôsobiaceho otáča-

vého účinku. Charakteristická veličina deformácie pri krute:

uhol skrútenia , určujúci vzájomné pootočenie jedného

prierezu telesa voči druhému.

42


4. Čistý ohyb

Keď v myslenom reze Φ z vnútorných silových veličín pôsobí

iba moment My alebo moment Mz. Príp. obidva momenty naraz

= prípad tzv. šikmého ohybu (obr.6.10a).

Obr.1.9a Obr.6.10a

Geometrický súčet (výslednica) momentov My a Mz je ohybo-

vý moment a obvykle sa označuje Mo.

A

43


Ľubovoľný rez Φ, vedený telesom, je vplyvom zaťaženia silou

F, namáhaný nielen ohybovým momentom MO, ale aj priečnou

silou T = F. Účinok T sa často pri analýze ohybu zanedbáva.

• Napätosť: ohybom telesa vzniká normálové, aj šmykové

napätie. Normálové napätie je však významne väčšie.

• Pretvorenie: pri ohybe vyvolanom priečnym zaťažením dôjde

k zmene „krivosti“ nosníka. Vertikálne posunutie bodov telesa =

priehyb. Po celej dĺžke telesa vzniká tzv. priehybová čiara.

Obr. 1.9b

F

Priehybová čiara

F

44

Obr.1.10

a) b)

Obr.6.11


5. Vzper, vzperný tlak

Je iba špecifický prípad namáhania tlakom. Ide už skôr o

namáhanie kombinované (kombinácia tlak + ohyb).

Aj v prípade vzperu pôsobí v myslenom reze θ iba zložka Px

= N (tlaková sila, Obr.6.11a).

A

45


Ak je priečny prierez prúta oproti jeho dĺžke malý (štíhly prút),

po prekročení určitej hodnoty osovej sily F dôjde k vybočeniu

priamej pozdĺžnej osi prúta – tzn. tyč sa prehne, príp. až zlomí

strata stability prvku / konštrukcie (Obr.6.11b).

Dôsledok: ak namáhame tyč malého prierezu (obr. 6.11c) tlakom,

v závislosti na zaťažení a materiáli, môže tyč náhle vybočiť z osi,

prehne sa a pri pokračujúcom zaťažení (v závislosti od pružných

vlastností materiálu) – sa môže úplne porušiť = zlomiť.

Takéto namáhanie štíhlych prútov nazývame vzperný tlak.

Obr. 1.10c)

F F Obr.6.11 c

Zlyhať takto môžu takmer všetky (najmä štíhle, príp. tenkosten-

né profily) konštrukčné prvky namáhané tlakom, ako sú tlakom

zaťažené prúty stožiarov, antén, podporných skruží a pod.

46

6.6 Pretvorenie telies vplyvom zaťaženia a zmenou teploty

1. Pomerná pozdĺžna deformácia = pomerné predĺženie

Ak namáhame priamu tyč ťahom (obr. 6.17a), tyč sa predlžuje

a jej prierez sa zužuje (t.j. priečne rozmery sa zmenšujú).

Zúženie prierezu tyče je u

bežných konštrukčných ma-

teriálov oproti jej predĺženiu

obvykle zanedbateľné.

Dôkaz: vyberme z tyče ele-

ment nekonečne malej výšky

dy, umiestnený vo vzdiale-

nosti y od votknutého konca

tyče (obr.6.17a).

a)

Obr. 1.12

b)

F Obr.6.17

47


Zaťažením tyče silou F sa element predĺži o dĺžku ∆dy (obr.

6.17 b). Pomer medzi predĺžením ∆dy a výškou elementu dy sa

nazýva pomerné predĺženie ε a pre vybraný element platí

(6.6)dy

dy

Ak je pomerné predĺženie ε vo všetkých bodoch prierezu a vo

všetkých priečnych rezoch rovnaké, celkové predĺž. tyče bude

(6.7)

z čoho pre pomerné predĺženie celej tyče ε vyplýva

(6.8)

Pomerné predĺženie ε [-] je bezrozmerná veličina.

0 0 0

.l l l

l dy dy dy l

l

l

48


2. Pomerná priečna deformácia (zúženie / rozšírenie)

Súčasne s deformáciou v pozdĺžnom smere – t.j. predĺženie /

skrátenie tyče, zaťaženej osovou silou (ťah / tlak) alebo vplyvom

zmeny teploty tyče - dochádza aj k pretvoreniu v priečnom

smere – t.j. ku skráteniu / predĺženiu jej priečnych rozmerov.

Dôkaz: zo skúšobnej tyče (obr.

6.19a) vyberme elementárny hra-

nolček veľmi malých rozmerov

(obr. 6.19b).

Obr. 1.16

a)

b)

σx

σx

σ σ F F

Obr.6.19

Jeho priečne zúženia v smere osi

y sú definované ako

(6.10)

xy

dy

dy m mE E

49


Analogicky, pre priečne zúženia v smere osi z platí

(6.10)EmEmdz

dz x

z

Súčiniteľ

(6.11)

nazývame Poissonova konštanta. Predstavuje pomer relatívne-

ho predĺženia tyče x k jej relatívnemu priečnemu skráteniu y

resp. z, vznikajúcemu pri namáhaní ťahom.

x

y

m

Je bezrozmerná; |m|>1 a je závislá iba od materiálu súčasti.

Dôsledok: skrátenie / predĺženie priečnych rozmerov tyče

(v oblasti platnosti tzv. Hookeovho zákona a pre izotropné

materiály) – je úmerné nielen pôsobiacemu napätiu σ, ale aj

pomernému osovému predĺženiu εx.

50


V praxi častejšie využívame prevrátenú hodnotu m, tzv.

Poissonovo číslo μ (v niektorých zdrojoch aj označenie ν)

(6.12)1 y

xm

Hodnota je taktiež bezrozmerná. Pre väčšinu materiálov na-

dobúda hodnoty z intervalu 0 < < 0,5.

resp.

Pre izotropné materiály: nezávisí na smere zaťažovania (na-

pr. pre oceľ m=10/3, =0,3). Pre anizotropné materiály: závisí

od smeru zaťaženia voči prirodzenej štruktúre (napr. drevo).

Z definície platí, že Poissonovo číslo je vždy kladné, pretože

predstavuje absolútnu hodnotu podielu pomerných deformácií.

yE

z

E

51


Pre väčšinu materiálov však platí, že sa pri ich naťahovaní v

priečnom smere zužujú a teda . Preto niektoré

zdroje uvádzajú definíciu Poissonovho čísla aj v tvare

(6.13)

0 a 0x z

y

x

Z uvedeného vyplýva: neexistujú dva rôzne materiály, ktoré

by mali rovnaké Poissonovo číslo, pretože jeho hodnota zá-

visí iba na druhu materiálu tzv. 2.materiálová konštanta!

Materiál Materiál Materiál Materiál

Hliník 0,32 – 0,36 Oceľ 0,24 -0,30 Mosadz 0,32 – 0,42 Betón 0,16 -0,20

Bronz 0,32 – 0,35 Olovo 0,42 Liatina 0,23 – 0,27 Guma 0,49

Tab.2 Hodnoty Poissonovho čísla pre vybrané materiály

52


3. Uhlové pretvorenie (pomerné skosenie, skos)

Uvažujme elementárnu plochu ABCD s rozmermi dx, dy (obr.

6.18). Plocha ABCD sa vplyvom zaťaženia vyvolávajúceho vz-

nik šmykových napätí pretvorí.

Ak je pretvorenie malé – zme-

nu výšky dy na dy´ je možné za-

nedbať.

Ak však pretvorenie zanedbať

nechceme alebo nemôžeme,

posunutie bodu A do bodu A´ je

možné vyjadriť ako

.v tg dy Obr. 1.13 Obr.6.18

v

dy´

53


Ak by sme uvažovali malé pretvorenie a teda uhol

je veľmi malý ( ), potom možno vzťah napísať v tvare

.

Uhol bude potom definovaný v tvare

(6.9)

dy dy

.v dytg

dy

v

a nazýva sa pomerné skosenie (skos), resp. uhlové pretvore-

nie (nakoľko dochádza k zmene pravého uhla v elementárnom

hranolčeku – Obr.6.18). Pomerné skosenie [ - ], je rovnako ako

pomerné predĺženie , veličina bezrozmerná.

Obidve veličiny – predĺženie aj skosenie - sú uvažované ako

hlavné parametre pre popis a kvantifikáciu pretvorenia.

54


4. Dĺžková rozťažnosť pri zmene teploty

Zmena teploty vyvoláva tiež pretvorenie telesa. Pri takto vy-

volanej deformácii vnútorné sily nevznikajú (okrem staticky

neurčito uložených konštrukcií = prebytočné väzby znemožňujú

voľnú zmenu rozmerov prislúchajúcu zmene teploty).

Ak je tyč (obr.6.20), po celej dĺžke vystavená konštantnej

zmene teploty o ∆t [oC], zmení svoju dĺžku l [m] o prírastok resp.

úbytok dĺžky lt [m]. Platí

(6.14)

kde t je tzv. súčiniteľ teplotnej

dĺžkovej rozťažnosti.

Obr. 1.14

Obr.6.20

. .t tl t l

Ak je kladné = ohrev, ak je ∆t

záporné = ochladenie.

55


Potom je možné určiť aj pomerné predĺženie tyče v tvare

(6.15)

Pre súčiniteľ teplotnej dĺžkovej rozťažnosti platí

.

Platí: súčiniteľ t určuje veľkosť pomerného predĺženia t pri-

padajúceho na jednotku teplotnej zmeny. Rozmer je 1/Celziov

stupeň [1/ oC = oC-1].

. .t tt

l t l

l l

tt

t

.t t t

56


Staticky neurčitý prípad: napr. ak je tyč na obidvoch koncoch

pevne votknutá (obr.6.21) - dĺžka tyče sa vplyvom zmeny teploty

nemôže zmeniť a preto v nej vzniká aj napätie σt. Pre veľkosť

normálového napätia platí

(6.16). . .t t tE t E

Tab.1: Súčinitele teplotnej rozťažnosti αt

pre niektoré kovy

Materiál t [oC-1] . 10-5 Materiál t [

oC-1] . 10-5 Materiál t [oC-1] . 10-5

Hliník 2,25 Oceľ 1,2 Meď 1,65

Bronz 1,75 Zinok 3,54 Liatina 1,04

Obr. 1.15

σt

Obr.6.21

57

6.7 Základný vzťah napätie – deformácia, Hookeov zákon

Základný vzťah napätie – deformácia, Hookeov zákon

Vplyvom vonkajšieho zaťaženia sa PDT deformuje a vzniknu-

tá deformácia vyvolá vznik vnútorných síl a im odpovedajúcich

napätí v jednotlivých elementoch vo vnútri telesa.

Je teda zrejmé, že napätie je priamo závislé od deformácie,

pričom uvedený vzájomný vzťah ovplyvňujú iba mechanické

vlastnosti použitého konštrukčného materiálu.

Takmer všetky poznatky o mechanických vlastnostiach

konštrukčných materiálov boli získané experimentálne –

realizáciou tzv. mechanických skúšok vlastností materiálov.

Jednou z najrozšírenejších skúšok mechanických vlastností je

trhacia skúška ťahom, pri ktorej je možné kvantifikovať vzťah

medzi normálovým napätím a pomernou deformáciou .

58


Sila F sa počas skúšky postupne

zvyšuje, pričom automatické zapi-

sovacie zariadenie trhacieho

stroja vykresľuje priebeh závislosti

medzi ťahovou silou F a absolút-

nym predĺžením skúšobnej tyče l

(= závislosť F → l ).

Ťahová skúška mechanických vlastností materiálov

Princíp experimentu: pri známej zaťažujúcej sile F, priereze

A a dĺžke l normalizovanej skúšobnej tyče (Obr.6.12), meriame

zmenu l pôvodnej dĺžky tyče vyvolanú vplyvom danej ťahovej

sily F. Pri experimente skúšobnú tyč normalizovaného tvaru a

rozmerov (STN 420310 až STN 420317) plynulo zaťažujeme

čistým (centrickým) ťahom. Silový účinok vyvodzuje tzv. trhací

stroj (Obr.6.13).

Obr.6.12

59


Trhací strojZariadenie pre skúšku jednoosovým ťahom

Obr.6.13

60


Znamená to, že v každom časovom okamihu je možné kon-

krétne vyvodzovanej sile F priradiť jednoznačné predĺženie l.

Pri známych rozmeroch tyče (počiatočný prierez A a dĺžka l) je

možné odmeraním skutočného predĺženia ∆l a záznamom

závislosti medzi F a l zostrojiť tzv. ťahový diagram.

Problém: Takto získaný diagram závislosti F(l) - na vodorovnej

osi je vynesené l a na osi zvislej je sila F - bude mať určitý

tvar, ktorý však závisí aj od rozmerov skúšobnej tyče (l)

(Obr.6.14).

Platí: čím bude, pri inak rovnakých podmienkach skúšky,

skúšobná tyč dlhšia, tým väčšie bude pri rovnakej sile F jej

celkové predĺženie l.

61


Obr.6.14

62


Riešenie: aby bol ťahový diagram od rozmerov skúšobných

vzoriek nezávislý a porovnateľný s ťahovými diagramami

pre iné materiály, na zvislú os sa namiesto sily F vynáša

normálové napätie nezávislosť na prierezovej ploche A

skúšobnej tyče a na vodorovnú os sa namiesto absolútneho

predĺženia l vynáša pomerné predĺženie nezávislosť

skúšky na dĺžke l skúšobnej tyče (= závislosť → ).

Pre objasnenie parametrov diagramu trhacej skúšky - na obr.

6.15 je uvedený ťahový diagram závislosti normálového napätia

a pomerného predĺženia (,ε) – pre mäkkú konštrukčnú oceľ.

Analýza diagramu: až po bod U - graf priamkový (lineárny)

priebeh závislosť pomerného predĺženia na napätí

uvažujeme ako lineárnu. Znamená to: predĺženia skúšobnej

tyče rastú priamo úmerne so zvyšujúcim sa napätím.

63


Úsek diagramu 0U

zviera s vodorovnou

osou uhol α, ktorý je

relatívne blízky uhlu

/2, čo znamená, že

predĺženie skúšobnej

tyče rastie na tomto

úseku veľmi pomaly

v porovnaní s rastom

zaťažujúceho účinku. Obr.6.17

Obr. 1.17

=F/A

Obr.6.15

Po bod U - predĺženia

skúšobnej tyče rastú

priamo úmerne so

zvyšujúcim sa napätím.

64


BOD U - medza úmernosti (σU, príp. RU):

Najvyššiu hodnotu napätia, po ktorú rastie deformácia tyče

priamoúmerne s napätím nazývame medza úmernosti (bod U)

a napätie prislúchajúce bodu je napätie na medzi úmernosti

(ozn. σU, príp. RU). Na úseku 0U je pomer napätia a prislúcha-

júceho pomerného predĺženia konštantný a platí

konšt E

Takáto konštanta úmernosti medzi napätím a deformáciou sa

nazýva modul pružnosti v ťahu (Youngov modul pružnosti),

označuje sa E a má rozmer napätia (Pa). Modul pružnosti v ťahu

E predstavuje vlastne tangentu priamky 0U, pretože platí

(6.22)tg E

65


BOD P - medza pružnosti (σP, príp. RP):

Pri zaťažení tyče napätím, mierne väčším ako medza úmer-

nosti σU (až po bod P), sa tyč po úplnom odľahčení svojou pruž-

nosťou skráti až na pôvodnú dĺžku. Napätie v tomto bode – tzv.

napätie na medzi pružnosti (σP, RP) - je vyvolané iba predĺže-

ním tyče, ktoré je teoreticky iba pružné (elastické, vratné). Bod

P – medza pružnosti - leží obvykle vyššie, ale blízko bodu U.

Napr. pre bežné konštrukčné ocele sú body U a P veľmi blízko

seba a preto sa často v diagramoch z trhacej skúšky stotožňujú

– t.j. napätia od nuly až po medzu pružnosti sú považované

za následok elastických deformácií.

Znamená to: ak skúšobnú tyč odľahčíme v stave pod medzou

pružnosti σP, pružné (elastické) deformácie vymiznú a skúšob-

ná tyč nadobudne svoj pôvodný rozmer.

66


Po prekročení medze pružnosti (bod P / napätie σP) vzniká

popri pružnom, aj trvalé pretvorenie (predĺženie) a tyč sa po

odstránení zaťaženia už neskráti na pôvodnú dĺžku = zostane

trvalo plasticky predĺžená. Vplyvom napätia > P vznikajú

trvalé, plastické, deformácie.

Poznámka: Dokonale pružný materiál je

iba idealizáciou skutočných vlastností

materiálov. Presné merania preukázali,

že trvalé deformácie vznikajú už pri

pôsobení relatívne malých napätí aj vo

veľmi pružných materiáloch.

Norma STN 420354 preto taxatívne

určuje medzu pružnosti, ako hodnotu

napätia, pri ktorom trvalá deformácia

neprevýši určený podiel pôvodnej dĺžky

skúšobnej tyče ( = 0,005%) a označuje

sa σP 0,005 , resp. RP 0,005.

Obr. 1.17

=F/A

Obr.6.15

67


BOD K - medza klzu (σK, príp. RK):

Pri ďalšom zvyšovaní napätia sa čiara diagramu odchyľuje od

priamky plynulo k bodu K. Napätie σK (prislúchajúce bodu K) sa

nazýva napätím na medzi klzu. Od tohto bodu, napr. u mäkkej

ocele, sa skúšobná tyč s napätosťou väčšou ako σK začína

náhle predlžovať bez akéhokoľvek zväčšovania napätia. Tento

jav sa nazýva klzom (tečením) materiálu.

Napätia prislúchajúce bodu K nazývame hornou, resp. pre

bod K´ spodnou medzou klzu.

Medza klzu je taká veľkosť napätia, pri ktorom nastáva

výrazné predlžovanie tyče bez zvyšovania zaťaženia.

Dosiahnutie medze klzu je možné priamo vizuálne pozorovať

už počas skúšky. Leštený povrch tyče stráca lesk, stáva sa

matným. Na povrchu sa objavujú čiary sklonené pod uhlom 45.

68


Poznámka: Často je problémom určiť hodnotu medze klzu presnejšie, práve

z dôvodu problémového „zachytenia okamihu“ prechodu materiálu do stavu

tečenia. Vtedy je možné použiť tzv. konvenčnú (dohovorenú) medzu klzu

σp0,2, ktorá je definovaná ako napätie, pri ktorom plastické (trvalé, nevratné)

pomerné predĺženie dosahuje max. 0,2% z pôvodnej dĺžky tyče.

Počet týchto čiar postupne narastá – dochádza k štruktúrnym

zmenám kryštalickej mriežky materiálu.

V naťahovaných prútoch nastáva zmenšovanie plochy prierezu

z pôvodnej prierezovej plochy A na plochu A1 a skutočné napätie

sa preto zväčšuje. Platí

(6.23)1

skut

N N

A A

Za dolnou medzou klzu (bod K´) pracovný diagram znova

stúpa až po bod M, predstavujúci tzv. medzu pevnosti.

69


BOD M - medza pevnosti (σM, príp. RM):

Bod M prislúcha najväčšej hodnote napätia, ktorému hovoríme

napätie na medzi pevnosti σM, t.j. napätie, pri ktorom je ešte

materiál homogénny (celistvý). U húževnatých materiálov platí,

že po dosiahnutí medze pevnosti σM sa začína tvoriť lokálne

zúženie skúšobnej tyče, tzv. krčok.

Predlžovanie tyče potom pokračuje už iba v mieste krčku

a ostatná časť tyče sa takmer nepredlžuje.

Prierez krčku sa stále zmenšuje, deformácia aj pri znižujúcom

sa napätí pokračuje(až po bod N). Pri pokračujúcej skúške (tzn.

zvyšujúcom sa napätí nad medzu pevnosti σM) sa tyč roztrhne.

V okamžiku pretrhnutia je však skutočné napätie najväčšie,

pretože plocha krčku dosiahne v tomto okamihu minimum.

70


Obr. 1.17 Obr.6.15

71


Trhacie skúšky okrem iného tiež preukázali, že pri postupnom

znižovaní napätia sa tyč skracuje. Toto skracovanie vystihuje

priamka (2,2´) rovnobežná s lineárnym priebehom diagramu po

napätie na medzi úmernosti σU. Priamka pretína vodorovnú os

diagramu (ε) v bode 2´, čo dovoľuje definovať tzv. celkové

pomerné predĺženie tyče pri skúške ťahom v tvare

(6.24)kde pl je plastická a pr pružná časť pomerného predĺženia.

2 pl pr

Označenie ocele

podľa STN *

Najmenšia

medza klzu σK

[MPa]

Medza pevnosti

M [MPa]

Označenie ocele

podľa STN

Najmenšia

medza klzu σK

[MPa]

Medza pevnosti

M [MPa]

11 300 70-80% σm 280-400 11 600 300-330 600-720

11 343 180-210 390-420 12 080 1500 1800-2000

11 373 210-240 390-450 13 270 1230 min. 1450

11 423 230–260 420-520 14 220 600 min. 800

11 523 340–360 520-640 16 250 550-600 750-900

72


Okrem napätí charakterizujúcich medze úmernosti, pružnosti,

klzu a pevnosti je dôležitou materiálovou charakteristikou tzv.

plastickosť (tvárnosť). Je to vlastne spôsobilosť materiálu

zachovávať úplne alebo čiastočne deformáciu aj po odstránení

zaťaženia. Vyjadruje sa veľkosťou:

• pomerného predĺženia – tzv. ťažnosť

•pomerného priečneho zúženia prierezu

– tzv. kontrakcia ,

Určujú sa až po pretrhnutí skúšobnej tyče = vtedy v dôsledku

uvoľnenia vonkajších síl pružná deformácia zanikne úplne.

oo.100

pl l

l

oo.100

pA A

A

U väčšiny materiálov má napätie až po medzu úmernosti σu

priebeh diagramu pri skúške na ťah priamkový (Obr.6.15).

73


Na obr.6.16 je diagram ťahovej skúšky pre

liatinu, ktorá patrí medzi materiály s veľmi

nízko definovanou medzou úmernosti a ne-

jasne vyhranenou medzou klzu σK v ťahu.

Medza klzu σK sa nachádza veľmi blízko

medze pevnosti σM materiálu.

Obr. 6.18

α

σP

σK

σU

σM

Obr.6.16

Vlastnosti materiálov:

Materiál, pri ktorom nastáva porušenie až po výrazných

elasto-platických deformáciách, považujeme za materiál

húževnatý. Naopak materiál, pri ktorom k porušeniu celistvosti

prvku dochádza bez významnejších elasto-platických deformá-

cií, považujeme za materiál krehký.

74


Hookeov zákon pre oblasť tzv. lineárnej pružnosti

Na základe množstva trhacích skúšok rozličných materiálov

a ich výsledkov R. Hooke preukázal lineárnu závislosť medzi

napätím a deformáciou, platnú až po medzu úmernosti σU.

(6.25)

Slovné vyjadrenie:

( )tg const E

Pomer napätia a jemu pris-

lúchajúceho pomerného predĺ-

ženia je až po medzu úmernosti

(σU) daného konštrukčného

materiálu vždy konštantný.

Obr. 1.17 Obr.6.15

75


Uvedená pomerová konštanta je Youngov modul pružnosti

v ťahu (E).

Určenie veľkosti napätia prislúchajúceho danej deformácii:

(6.26)

Vzťah definuje hlavný zákon lineárnej pružnosti a pevnosti =

Hookeov zákon pre ťah / tlak.

. E

Je to jeden z najdôležitejších poznatkov v PaP.

76

6.8 Základné materiálové konštanty v PaP

Materiálové konštanty v lineárnej PaP

1. Modul pružnosti v ťahu

Modul pružnosti v ťahu E - z fyzikálneho pohľadu charakterizuje

mieru odporu materiálu proti deformácii pri namáhaní ťahom /

tlakom – tzn. pružnosť materiálu a závisí iba od druhu materiá-

lu (húževnatý – krehký) skúšobnej tyče. Platí: čím je hodnota E

väčšia, tým je priamka 0U v diagrame strmšia = reálne vystihuje

skutočnosť, že skúšobná tyč viac odporuje deformácii.

Často nazývaná ako - prvá materiálová konštanta, nakoľko

pomerné predĺženie závisí iba na druhu materiálu.

Z uvedeného vyplýva dôležitý záver – neexistujú dva rôzne

materiály, ktoré by mali úplne rovnaký modul pružnosti E!

77


Pretože pomerné predĺženie ε je bezrozmerné číslo, má

modul pružnosti v ťahu E rovnaký rozmer ako napätie:

E = [N.m-2] alebo [N.mm-2].

Z rovnice (6.26) je možné slovne formulovať i čisto teoretický

význam modulu pružnosti ako:

Youngov modul pružnosti E predstavuje také (pomyselné,

fiktívne) napätie, ktoré by spôsobilo predĺženie skúšobnej

tyče o jej celú pôvodnú dĺžku (ε = 1).

Napr. hodnota pre oceľ: E = 2,1.105 MN.m-2 = 2,1.105 N.mm-2.

Modul pružnosti rovnakých materiálov je závislý najmä na

technológií výroby a ich ďalšom tepelnom a mechanickom

spracovaní.

78


Hodnoty modulu pružnosti v ťahu E možno nájsť v stavebných,

strojníckych alebo iných technických tabuľkách.

* Drevo ako organický anizotropný materiál má rozdielne mechanické vlast-

nosti so zreteľom na prirodzenú štruktúru ...pozdĺž (║) a kolmo () na vlákna.

Materiál E.105 [MPa] Materiál E.105 [MPa] Materiál E.105 [MPa]

Nikel 2,1 Cín 0,43 Pieskovec 0,18

Oceľ 2,1 Olovo 0,21 Betón 0,15-0,25

Meď 1,15 Sklo 0,7 Drevo ║ 0,1-0,12*

Zinok 0,91 Liatina 6,7-1,2 0,005-0,01*

Zlato 0,78 Bronz 1,1 Bakelit 0,02-0,03

Striebro 0,75 Žula 0,49 Polyetylen 2,3.20-3

Hliník 0,72 Mramor 0,56 Tehlové

murivo

2,7.10-2

Tab.3. Hodnoty E pre vybrané materiály z technickej praxe

79


2. Modul pružnosti v šmyku

Ak je teleso z určitého materiálu namáhané čistým šmykom, je

možné skúškami, podobne ako pre normálové napätia pri na-

máhaní ťahom / tlakom, určiť vzťah medzi šmykovým napätím

a jemu prislúchajúcou deformáciou - pomerným skosením γ

(obr. 6.19).

Diagram sa podobá diagramu

skúšky v ťahu s medzami

úmernosti u (bod U), resp.

medzou klzu K v šmyku (bod K).

Obr. 1.19 Obr.6.19

Vyplýva z neho, že závislosť

medzi šmykovým napätím

a uhlovým pretvorením (skosom)

je až po bod U tiež lineárna.

80


Znamená to, že až po medzu úmernosti u platí tzv. Hookeov

zákon pre čistý šmyk v tvare

resp. (6.27)

kde G je ďalšia z materiálových konštánt, tzv. modul pružnosti

v šmyku G.

.G G

Nakoľko uhlové pretvorenie je bezrozmerná veličina, má

modul pružnosti v šmyku G (rovnako ako modul pružnosti v ťahu

E) rozmer napätia, tzn. [N.m-2], resp. [N.mm-2].

Hodnota modulu pružnosti v šmyku G, napr. pre oceľ je:

Go=8.104 MN.m-2 = 8.104 N.mm-2. Porovnaním hodnôt G a E

zisťujeme, že napr. hodnota modulu pružnosti ocele (Eo) je

približne 2,6-krát väčšia ako jej modul pružnosti v šmyku (Go).

81


Ak sú moduly pružnosti E, resp. G určitej látky vo všetkých

smeroch rovnaké (napr. oceľ, sklo a iné), hovoríme, že látka je

izotropná. Inak hovoríme o látkach anizotropných (drevo).

Materiály používané v technickej praxi považujeme spravidla

za izotropné a homogénne (rovnorodé), tzn. uvažujeme, že

majú vo všetkých smeroch rovnaké materiálové vlastnosti.

Pre izotropné materiály môžeme pomocou Poissonovho čísla

vyjadriť súvis medzi modulom pružnosti v ťahu E a modulom

pružnosti v šmyku G, definovaný v tvare

(6.28)

kde G je modul pružnosti v šmyku [MPa], E je modul pružnosti

v ťahu [MPa] a μ je Poissonovo číslo [-].

2(1 )

EG

82


3. Poissonovo číslo / Poissonova konštanta

Pomer relatívneho predĺženia tyče εx k jej relatívnemu priečne-

mu skráteniu (zúženiu) εy, príp. εz pri namáhaní ťahom vyjadruje

súčiniteľ m – tzv. Poissonova konštanta v tvare

x

y

m

Častejšie však využívame prevrátenú hodnotu – Poissonovo

číslo μ , pre veľkosť ktorého platí

1 y

xm

Hodnota je bezrozmerná veličina. Určuje sa experimentálne.

Pre väčšinu materiálov nadobúda hodnoty (0 < < 0,5).

83


Pre väčšinu materiálov však platí, že sa pri naťahovaní v

priečnom smere zužujú a teda ale a preto väčšina

autorov uvádza definíciu Poissonovho čísla v tvare

(6.13)

0x

y

x

Poissonovo číslo = 2.materiálová konštanta!

Dôležitý záver: Neexistujú dva rôzne materiály, ktoré by mali

rovnakú hodnotu , nakoľko závisí iba na druhu materiálu.

0z

84

6.9 Miera bezpečnosti a dovolené namáhanie

Miera bezpečnosti a dovolené namáhanie

Trhacia skúška podáva údaje o dôležitých mechanických

vlastnostiach materiálov. Ak z nej spoznáme medzu klzu (σK) a

medzu pevnosti (σM) konkrétneho materiálu, môžeme určiť pre

každú technickú úlohu aj veľkosť napätia, ktoré je možné pre

daný prvok z daného konštrukčného materiálu pokladať za

bezpečné. Toto prípustné napätie najčastejšie nazývame ako

dovolené namáhanie DOV.

Pri voľbe dovoleného namáhania pre oceľ, ako najrozšírenejší

konštrukčný materiál, je nutné si však uvedomiť, že oceľ pri

napätiach pod medzou úmernosti σU môžeme uvažovať ako

„dokonale pružný“, ale pri napätiach nad medzou úmernosti

(bod U) dochádza už k trvalému plastickému pretvoreniu.

85


Je jasné, že ak chceme pripustiť iba pružné (elastické, vratné)

deformácie, musí byť dovolené namáhanie nižšie ako medza

úmernosti σU daného konštrukčného materiálu.

Nakoľko presnejšie zisťovanie medze úmernosti je prakticky

náročné a jej poloha v pracovnom diagrame je výrazne závislá

od presnosti skúšky. Z uvedeného dôvodu pri určovaní hodnoty

dovoleného namáhania často využívame buď medzu klzu (σK)

alebo medzu pevnosti (σM).

Veľkosť dovoleného namáhania potom určujeme podľa rovníc

resp.

(6.30)

kde bk, resp. bM sú tzv. miery (koeficienty) bezpečnosti, s

ohľadom na presnosť hodnôt medzí klzu σK, resp. pevnosti σM.

KDOV

kb

M

DOV

Mb

86


Pri konštrukčných oceliach berieme obvykle pre výpočet dovo-

leného namáhania za základ medzu klzu σK. Pre krehké mate-

riály (liatinu a pod.) uvažujeme pri určovaní hodnoty dovoleného

namáhania obvykle medzu pevnosti σM .

Miera (koeficient) bezpečnosti závisí najmä od adekvátnosti

mechanického modelu konštrukcie, kvality použitých materiálov

a uvažovaných podmienok používania. Pre väčšinu konštrukcií

sú hodnoty miery bezpečnosti určené STN.

Pre dovolené namáhanie v šmyku platí

resp.

(6.31)

kde bk, resp. bM sú miery (koeficienty) bezpečnosti v šmyku.

Vzájomný vzťah medzi σdov a dov je určený tzv. hypotézami

pevnosti.

KDOV

kb

M

DOV

Mb

87


Je zrejmé, že ak má súčiastka plniť svoju funkciu s prislúcha-

júcou mierou bezpečnosti, musí platiť základná bezpečnostná

podmienka, definovaná v tvare

, resp. (6.32)

kde σmax a max sú maximálne hodnoty predpokladaného

(výpočtového) napätia, určeného pri analýze navrhovanej alebo

posudzovanej konštrukcie.

max DOV max DOV

88

Záver prednášky

Otázky????

Ďakujem za pozornosť

89


Jednotlivé komponenty mechanických konštrukcií (mostov,

stavebných objektov, strojných zariadení), prenášajúce účinky

zaťažujúcich síl, sú zhotovené z konkrétnych materiálov.

Vhodná voľba materiálu a určenie rozmerov (dimenzií) prvkov

musia okrem ich spoľahlivej funkcie, zabezpečiť aj hospodárnosť

využitia materiálových zdrojov.

Cieľ náuky o PaP – definovať výpočtové vzťahy na vyjad-

renie vzťahov medzi vonkajším zaťažením a optimálnymi

rozmermi konštrukčného prvku, vyrobeného z konkrétne-

ho materiálu, s definovanými mechanickými vlastnosťami.

Výpočtové vzťahy musia zaručiť najmä dostatočnú úroveň

bezpečnosti proti porušeniu prvku a garantovať jeho spoľahlivú

funkciu počas celej doby používania (tzv. doba technického

života).

Documents

Základy mechaniky pevných teliesfsi.uniza.sk/ktvi/leitner/2_predmety/ZMPT/Podklady/De/06... · 2018. 11. 20. · Posudzovanie = výpočet napätí adeformácií (pretvorení), ktoré