VJEROVATNOCAISTATISTIKAZoranMitrovicElektrotehnickifakultetuBanjaluci2Sadrzaj1 Predgovor 52 Prostorvjerovatnoca 72.1 Prostorelementarnihdogadaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Relacijeioperacijesadogadajima . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Aksiometeorijevjerovatnoce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Osobinevjerovatnoce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Uslovnavjerovatnoca 153.1 Uslovnavjerovatnoca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Nezavisnidogadaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Fomulapotpunevjerovatnoce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Bajesovaformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Visestrukaispitivanja 274.1 Bernulijeva sema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Najvjerovatnijibrojpojavljivanjadogadaja . . . . . . . . . . . . 284.3 Puasonovaraspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Normalna(Gausova)raspodjela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Slucajnepromjenljive 355.1 Denicijainekiprimjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Zakonraspodjeleslucajnepromjenljivediskretnogtipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Funkcijaraspodjeleslucajnepromjenljive . . . . . . . . . . . . . 375.4 Slucajnepromjenljiveneprekidnogtipa. . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Pregledvaznijihraspodjela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4234 SADRZAJ6 Slucajni vektori 436.1 Slucajnivektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Funkcijaraspodjeleslucajnogvektora . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Uslovneraspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.4 Funkcijeslucajnihpromjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Numerickekarakteristikeslucajnihpromjenljivih 517.1 Matematickoocekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Varijansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.3 Kovarijansaikoecijentkorelacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Matematickoocekivanjeivarijansanekihraspodjela . . . . . . . 577.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 Karakteristicnefunkcije 618.1 Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Osnovneosobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.3 Karakteristicnefunkcijenekihraspodjela . . . . . . . . . . . . . . 658.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 Granicneteoreme 679.1Cebisevljevanejednakost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2 Nekegranicneteoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.3 Vrstekonvergencijauteorijivjerovatnoce . . . . . . . . . . . . . 699.4 Centralnagranicnateorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110Matematickastatistika 7310.1 Osnovnipojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.2 Ocjenjivanjeparametararaspodjela. . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.3 Intervalipovjerenjazanepoznatubinomnuvjerovatnocu . . . . . 7710.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811Slucajni procesi 7911.1 Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.2 LanciMarkova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8112Literatura 83Glava1Predgovor56 GLAVA1. PREDGOVORGlava2ProstorvjerovatnocaUslovinekogeksperimenta(opita)nemorajujednoznacnoodredivatirezul-tat. Naprimjer akoseeksperiment sastoji ubacanjunovcicarezultat nijejednoznacan, jersemozedesiti dapadnepismo(P)ili grb(G). Mozemorecida se u ovom slucaju radi o slucajnoj pojavi. Izucavanjem zakonitosti slucajnihpojavabaviseteorijavjerovatnoce.Teorijavjerovatnocesepocelarazvijatiu16. vijeku. Prvaknjigaizoveoblastije De Ludo Aleae (O igri kockom), koja je stampana 1663. godine. Njen autorje Girolamo Cardano. Osnivacem moderne teorije vjerovatnoce smatra se Alek-sandar Kolmogorov. Onje1933. godinedaoaksiomatskozasnivanjeteorijevjerovatnoce. Teorija vjerovatnoce je sastavni dio nekoliko naucnih oblastinaprimjer: teorijetelekomunikacija, teorijepouzdanosti, teorijeinformacija,teorijeautomatskogupravljanja.2.1 ProstorelementarnihdogadajaDenicija2.1. Skup svih mogucih ishoda nekog opita naziva sepros-torelementarnihdogadaja. Slucajandogadaj(dogadaj)jebilokojipodskupskupa. Nemogucdogadajoznacavamosa ,ajesigurandogadaj.Primjer2.1. 1. Baca se kocka i registruje broj koji je pao na gornjoj strani.NekajeAdogadajkojioznacavadajepaoparanbroj. Tadaje = {1, 2, 3, 4, 5, 6}iA = {2, 4, 6},gdjejekpaojebrojk.2. Novcicsebacacetiri putai registrujekolikojeukupnoputapalopismo.NekajeAdogadaj: brojpisamajednakjebrojugrbova. Tadaje = {GGGG, GGGP, . . . , PPPP}.Brojelemenataskupaje24= 16.DogadajA = {GGPP, GPGP, GPPG, PGGP, PGPG, PPGG}78 GLAVA2. PROSTORVJEROVATNOCAiima6elemenata.3. Novcicsebacadopojavegrba. Ovdeje = {G, PG, PPG, . . .}iimabeskonacnoelemenata.4. Gada se kruzna meta poluprecnika r i registruje udaljenost pogotka odcentramete. Nekaje oznakazapromasaj. Tadaje = {x R : 0 x r} {}.Uovomslucajuimaneprebrojivoelemenata.Primjer 2.2. Ukutiji senalazecetiri listicaoznacenabrojevima1, 2, 3, 4.Odrediti skupishoda, akoselistici izvlacejedanpojedandopojaveneparnogbroja(bezvracanja). = {1, 3, 21, 23, 41, 43, 241, 243, 421, 423}.2.2 RelacijeioperacijesadogadajimaUskupudenisemorelacijeioperacijesadogadajimanaistinacinkaoisaskupovima: AkodogadajAimpliciradogadajB,tooznacavamosaA B. DogadajiAiBsuekvivalentniakovrijediA BiB A. SuprotandogadajdogadajaAoznacavamosaACiliAivrijediAC= { : / A}. PresjekdogadajaAiBoznacavamosaA BivrijediA B= { : A B}. UnijudogadajaAiBoznacavamosaA BivrijediA B= { : A B}. RazlikadogadajaAiBjedogadajA\ BzakojivrijediA\ B= { : A / B}.Primjer 2.3. Nekaseopit sastoji ubacanjukockei nekajedogadaj Apaojeparanbroj, Bpaojeneparanbroj, Cpaojeprost broj. Odrediti dogadajeA B,B CiC. = {1, 2, 3, 4, 5, 6},A = {2, 4, 6}, B= {1, 3, 5}, C= {2, 3, 5},A C= {2, 3, 4, 5, 6}, B C= {3, 5}, C= {1, 4, 6}.2.3. AKSIOMETEORIJEVJEROVATNOCE 9Prebrojiva unija odnosno presjek dogadaja Ai, i N denise se na sljedeci nacin:_iNAi= { : (i N) Ai},

iNAi= { : (i N) Ai}.Navedimoinekeosobinedenisanihoperacijairelacija:1. A A = A, A A = A,2. A B= B A, A B= B A,3. A = , A = A,4. A = A, A = ,5. (AC)C= A, C= , C= ,6. A AC= , A AC= ,7. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C,8. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C),9. (A B)C= AC BC, (A B)C= AC BC.2.3 AksiometeorijevjerovatnoceU aksiomatskom zasnivanju teorije vjerovatnoce znacajan je pojam poljadogadaja.Denicija2.2. Nekajeprostorelementarnihdogadajai P()familijasvihpodskupovaod. Skup F P()nazivamopoljedogadajaakovrijedi:1. F,2. A F AC F,3. (i N)Ai F iNAi F.Primjer2.4. (i) Nekajeproizvoljanskupi F= {, }.Tadaje Fpoljedogadaja.(ii) Nekaje= {1, 2}, familija F= {, {1}, {2}, {1, 2}}jepoljedogadaja.(iii) Nekaje= {1, 2, 3, 4}, familija F= {, {1}, {3}, {2, 3, 4}}nijepoljedogadaja.Teorema2.1. Nekaje Fpoljedogadaja. Tadavrijedi:1. F,10 GLAVA2. PROSTORVJEROVATNOCA2. A, B F A B, A\ B F,3. Ai F, i N iNAi F.Denisacemo sada pojam vjerovatnoce koristeci aksiomatski pristup A. Kol-mogorova.Denicija 2.3. Neka je prostor elementarnih dogadaja i Fpolje dogadaja.FunkcijaP: F Rjevjerovatnocaakovrijedi:1. P(A) 0, (A F),2. P() = 1,3. P(+

i=1Ai) =+

i=1P(Ai) za sve Ai F, i N takve de ja AiAj= , i = j.Ove osobine redom zovu se: nenegativnost, normiranost i aditivnost.Broj P(A) jevjerovatnocadogadajaA. Uredenatrojka(, F, P) sezoveprostorvjerovatnoca.Navedimonekeprimjere.Primjer2.5. (Konacanprostorvjerovatnoca)Nekajen Ni= {1, . . . , n}, F= P() i pi0, i =1, . . . , n, takvi dajen

i=1pi=1.FunkcijaP: F RdenisanasaP(A) =

iIpi, I= {j: j A},jevjerovatnoca.Akoje pi=1n, i =1, . . . , nkazemodase radi o klasicnoj ili Laplasovojdenicijivjerovatnoce.Primjer 2.6. Odrediti vjerovatnoce svih mogucih zbirova pri bacanju dvijekocke.Primjer 2.7. (Geometrijskadenicijavjerovatnoce) NekajeskupuR2cijajepovrsina()pozitivnaikonacna. NekajeF= {A : Aimapovrsinu }.DenisimoP: F RtakodajeP(A) =(A)().UovomslucajufunkcijaPjevjerovatnoca. Ovdeseradiogeometrijskojdeni-cijivjerovatnoce.2.4. OSOBINEVJEROVATNOCE 11Primjer2.8. NakruznicipoluprecnikaRslucajnosuizabranetritackeA, BiC. KolikajevjerovatnocadajetrougaoABCostrougli?Rjesenje. Neka je x duzina luka kruznice koji spaja tacke A i B,a yduzina lukakruznicekojispajaBiC. IzbortacakaA, BiCjednoznacnoodredujebrojevex, yzakojevazi0 < x,0 < y,x +y< 2R.Znaci, = {(x, y)|x > 0,y> 0,x +y< 2R}.TrougaoABCjeostrougliakojex < R,y< R,x +y> R.SadajeA = {(x, y) |x < R,y< R,x +y> R}.Znaci,P(A) =m(A)m()=12R222R22=14.2.4 OsobinevjerovatnoceUovojsekcijinavodimonekeosobinevjerovatnocekojeslijedeizdenicije: Aditivnost,P(n

i=1Ai) =n

i=1P(Ai), Monotonost,A B P(A) P(B), 0 P(A) 1, Vjerovatnocasuprotnogdogadaja,P(AC) = 1 P(A), Vjerovatnocaunijedvadogadaja,P(A B) = P(A) +P(B) P(A B), Principukljucnosti-iskljucnosti,P(k_i=1Ai) =k

i=1P(Ai)

1i 0, negativnokorelisaneakojeXY< 0.Primjer7.10. Slucajne promjenljive Xi Ysu nezavisne sa zakonom raspodjele_0 11212_.NekajeU= min{X, Y }iV= max{X, Y }.NacikoecijentkorelacijeU,V .Rjesenje. Raspodjelaslucajnogvektora(U, V )jedatasljedecomtabelomU\V 0 10 0.25 0.51 0 0.25KoecijentkorelacijeU,V=E(UV ) E(U)E(V )_V ar(U)_V ar(V )=0.25 0.25 0.753434=13.7.4 Matematicko ocekivanje i varijansa nekih raspod-jela1. BernoullijevaP(X= 1) = p, P(X= 0) = 1 p.E(X) = p, V ar(X) = p(1 p).2. BinomnaB(n, p)P(X= k) =_nk_pk(1 p)nk, k = 0, . . . , n.E(X) = np, V ar(X) = np(1 p).3. GeometrijskaP(X= k) = p(1 p)k1, k = 1, 2, . . .E(X) =1p, V ar(X) =1 pp2.58GLAVA7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIHPROMJENLJIVIH4. HipergeometrijskaP(X= k) =_mk__n mr k__nr_ , k = 0, . . . , r, r m < n.E(X) =rmn, V ar(X) =rm(n m)(n r)n2(n 1).5. NegativnabinomnaP(X= k) =_k 1r 1_pr(1 p)kr, k = r, r + 1, . . .E(X) =rp, V ar(X) =r(1 p)p2.6. Poissonova P()P(X= k) = ekk! , k = 0, 1, . . .E(X) = , V ar(X) = .7. Uniformna U(a, b)f(x) =1b a, x [a, b].E(X) =a +b2, V ar(X) =(b a)212.8. Eksponencijalna E()f(x) = ex, x 0, > 0.E(X) =1, V ar(X) =12.9. Normalna N(, 2)f(x) =12e(x)222, x R.E(X) = , V ar(X) = 2.7.5. ZADACI 597.5 Zadaci1. AkojeX: U(a, b),odreditiE(X)iV ar(X).2. SlucajnepromjenljiveX:_ 2 0 214034_iY:_1 2 3 41535150_sunezavisne. OdreditiE(XY )iV ar(X +Y ).3. ZaslucajnupromjenljivuXvrijedi E(X)=10i V ar(X)=5. OdreditiE(X2), E(2X + 6)iV ar(3X + 5).4. NekajeXslucajnapromjenljiva. Pokazatidaje|E(X)| E(X2) +14.5. Xi Y sunezavisne slucajne promjenljive saPoasonovomraspodjelomP(). NaciE(X|X +Y= m).60GLAVA7. NUMERICKE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIHPROMJENLJIVIHGlava8Karakteristicnefunkcije8.1 UvodKompleksnaslucajnapromjenljivaZ=X+ iY jepreslikavanjeskupauskupC. MatematickoocekivanjeslucajnepromjenljiveZjekompleksanbrojE(Z)=E(X) + iE(Y ).Uovojsekcijiuvodimopojamkarakteristicnefunkcijekaomatematickoocekivanjekomplesneslucajnepromjenljive. Idejapoticeodmatematicara Ljapunova. Naime, on je koristio metodu karakteristicnih funkcijadabidosaodogranicnihteorema,kojeizucavamousljedecojglavi.Denicija 8.1. Karakteristicna funkcija slucajne promjenljive X: Rjefunkcija : R C,(t) = E(eitX).AkojefgustinaslucajnepromjenljiveX,tadaje(t) =+_eitxf(x)dx,a ako je sa pk= P(X= xk) dat zakon raspodjele diskretne slucajne promjenljiveX,ondaje(t) =

keitxkpk.NapomenimodasenaosnovuvezeizmedjuoriginalaislikeFurijeovetrans-formacijemozepokazatidavrijedif(x) =12+_(t)eitxdt,akojeXneprekidnogtipaipk=12_(t)eitxkdt,6162 GLAVA8. KARAKTERISTICNEFUNKCIJEakojeXdiskretnogtipa.Primjer8.1. Odrediti karaktristicnufunkcijuslucajnepromjenljiveXcijajegustinavjerovatnocef(x) =12e|x|.Rjesenje. Izdenicijekarakteristicnefunkcijedobijamo(t) =12+_eitxe|x|dx =12__0_eitxexdx ++_0eitxexdx__=11 +t2.8.2 OsnovneosobineOsnovneosobinekarakteisticnefunkcijesu:1. (0) = 1, |(t)| 1, (t) = (t).2. AkojeXslucajnapromjenljivaia, b R,tadajeaX+b(t) = eibtX(at).3. AkopostojimomenatE(Xn),tadaje(n)(0) = inE(Xn).4. AkosuXiY nezavisneslucajnepromjenljive,tadajeX+Y (t) = X(t) Y (t).Primjedba8.1. Matematickom indukcijom se pokazuje da za nezavisne slucajnepromjenljiveX1, . . . , XnvrijediX1++Xn(t) = X1(t) Xn(t).Kaoposljedicuosobine3. dobijamodazakarateristicnufunkcijuvrijedi(t) =n

k=0ikE(Xk)k!tk+o(tn),akopostojemomentiE(Xk), k = 1, 2, . . . , n.Sljedeciprimjerpokazujedanevrijediobrnutotvrdenjeu4.8.2. OSNOVNEOSOBINE 63Primjer8.2. Zakonraspodjeleslucajnogvektora(X, Y )odredenjetablicomY \X 0 1 30190291291903 02919PokazatidazakarakteristicnefunkcijeX+Y, X, YvrijediX+Y (t) = X(t)Y (t)alidasuslucajnepromjenljiveXiY zavisne.Rjesenje.hX(t) =39+39eit+39e3it=1 +eit+e3it3hY (t) =39+39eit+39e3it=1 +eit+e3it3SlucajnapromjenljivaX +Y imasledecizakonraspodjeleX +Y:_0 1 2 3 4 6192919292919_.Dakle,X+Y (t) =19(1 + 2eit+e2it+ 2e3it+ 2e4it+e6it) =_1 +eit+e3it3_2,paimamoX+Y (t) = X(t)Y (t).SlucajnepromjenljiveXiY suzavisnejerje,naprimjerP{X= 0} = P{Y= 1} =13, P{X= 0, Y= 1} =29,pajeP{X= 0}P{Y= 1} = P{X= 0, Y= 1}.Sljedecateoremajepoznatakaoteoremaoneprekidnosti.Teorema 8.1. Neka su (n(t)) i (Fn(x)) nizovi karakteristicnih funkcija i odgo-varajucihfunkcijaraspodjele. Akon(t) (t), jeneprekidnau0i Fjefunkcija raspodjele koja odgovara karakteristicnoj funkciji , onda Fn(x)F(x)usvakojtackinaprekidnostifunkcijeF.64 GLAVA8. KARAKTERISTICNEFUNKCIJEPrimjer8.3. NekajeX1, X2, . . . niznezavisnihslucajnihpromjenljivihtakvihdajeXk:_ 1 11212_, k = 1, 2, . . .iX=+

k=1Xk2k.DokazatidaXimauniformnuraspodjelu U(1, 1).Rjesenje. RaspodjeluzaXodredicemopomocukarakteristicnihfunkcija. ZaslucajnupromjenljivuXkkarakteristicnafunkcijajehXk(t) =12eit+12eit= cos t, k = 1, 2, . . . .NekajeYn=n

k=1Xk2k,posto su slucajne promjenljive X1, X2, . . . nezavisne,za karakteristicnu funkcijuslucajnepromjenljiveYnvrijediYn(t) =

nk=1Xk2k(t) =

nk=1 cost2k= cost2 cost22. . . cost2n==sin t2 sint2sint22 sint22sint222 sint23 sint2n12 sint2n=sin t2nsint2n.SadajeYn(t) sin tt, n +.Znaci,nizkarakteristicnihfunkcijaYnkonvergirazasvakot = 0kafunkciji(t) =sin tt, t = 0Posto, limt0sin tt= 1, se moze denisati u nuli h(0) = 1 da bi bila neprekidna.Posto je Yn(0) = 1 za svako n = 1, 2, . . . imamo da niz karakteristicnih funkcijaYnkonvergirazasvakot Rkafunkciji(t) =_sin tt, t = 01 , t = 0.Karakteristicnafunkcijazauniformnuraspodjelu U(1, 1),jeU=eiteit2it,kakojesin tt=eiteit2it,to na osnovu teoreme o neprekidnosti zakljucujemo da Xima uniformnu raspod-jelu U(1, 1).8.3. KARAKTERISTICNEFUNKCIJENEKIHRASPODJELA 658.3 Karakteristicnefunkcijenekihraspodjela1. BernoullijevaP(X= 1) = p, P(X= 0) = 1 p.(t) = 1 p +peit.2. BinomnaB(n, p)P(X= k) =_nk_pk(1 p)nk, k = 0, . . . , n.(t) = (1 p +peit)n.3. GeometrijskaP(X= k) = p(1 p)k1, k = 1, 2, . . .(t) =peit1 (1 p)eit.4. Poissonova P()P(X= k) = ekk! , k = 0, 1, . . . = e(eit1).5. Uniformna U(a, b)f(x) =1b a, x [a, b].(t) =eitbeitait(b a).6. Eksponencijalna E()f(x) = ex, x 0, > 0.(t) = it.7. Normalna N(, 2)f(x) =12e(x)222, x R. = eit2t22.66 GLAVA8. KARAKTERISTICNEFUNKCIJE8.4 Zadaci1. SlucajnepromjenljiveX1, X2, X3sunezavisnesaraspodjelama:P{X1= k} =12k,P{X2= k} =23k,P{X3= k} =45k,k N.Koristeci karakteristicne funkcije naci raspodjelu za slucajnu promjenljivuX,gdjejeX= X1 +X2 +X3.2. NekaXimabinomnuraspodjelu B(n, p). NaciE(X3).3. KarakteristicnefunkcijenezavisnihslucajnihpromjenljivihXiY suhX(t) = e2eit2ihY (t) =_14_10_3eit+ 1_10.OdreditiP(X +Y= 2), P(XY= 0)iE(XY ).4. Slucajna promjenljivaXima karakteristicnufunkcijuh(t). IzracunatiV ar(sin X) +V ar(cos X)prekoh(1).5. Slucajne promjenljive X1, . . . , Xn su nezavisne i vrijedi Xi: N(i, 2i), i =1, . . . , n.OdreditiraspodjeluslucajnepromjenljiveX= a1X1 +a2X2 + +anXn +b,gdjesua1, a2, . . . , an, brealnibrojevi.Glava9Granicneteoreme9.1CebisevljevanejednakostAkoznamofunkcijuraspodjelevjerovatnocamozemoodreditivjerovatnocudogadaja {|X| }, >0. Naprimjer, akojeXneprekidnaslucajnaprom-jenljivasagustinomf,ondajeP(|X| ) =_f(x)dx +_+f(x)dx.OvdedajemoocjenugornjegranicevjerovatnoceP(|X| ),akojeXnenega-tivnaslucajnapromjenljiva.Teorema9.1. (NejednakostMarkova)NekajeXnenegativnaslucajnaprom-jenljiva. AkopostojiE(Xk), k NtadajeP(X ) E(Xk)kzasvako > 0.Posljedica nejednakosti Markova je sljedeca nejednakost poznata kaoCebisevljevanejednakost.Teorema9.2. AkopostojiV ar(X),tadajeP(|X E(X)| ) V ar(X)2.Primjer9.1. SlucajnapromjenljivaXimapozitivnuvarijansu. PokazatidajeP_10 0).3. Niz(Xn)konvergirakaXuraspodjeliilislabokonergiraakojelimn+P(Xn< x) = P(X< x).4. Zadatop 1kazemodaniz(Xn)LpkonvergirakaXakojelimn+E|Xn X|p= 0.Akojep = 2kazemodaniz(Xn)konvergirausrednjemkvadratnom.Denicija9.2. Ako niz aritmetickih sredina (Xn) (Xn=1nn

i=1Xi), konvergirau vjerovatnoci ka1nn

i=1E(Xi) kazemo da za niz (Xn) vazislabizakonvelikihbrojeva.Akoniz(Xn)konvergiraskorosigurnoka1nn

i=1E(Xi)kazemodazaniz(Xn)vazijaki zakonvelikihbrojeva.Teoreme9.3, 9.4i 9.5zovuseBernulijev,Cebisevi Hincinovzakonvelikihbrojeva. To su slabi zakoni velikih brojeva. Navedimo i jedan jaki zakon velikihbrojeva.Teorema9.6. (Borel)ZaBernulijevu semuvrijediSnn p skorosigurno.9.4 CentralnagranicnateoremaTeorema9.7. Nekaje(Xn) niz nezavisnihslucajnihpromjenljivihsaistomraspodjelom, zakojejeE(Xn) =mi V ar(Xn) =2zasvaki n N. Tadavrijedilimn+P(Yn< x) =12x_et22dt,gdjejeYn=X1 + +Xn n mn.Primjer9.3. BrojljudikojiuduujednurobnukucuutokujednogminutaimaP(6)raspodjelu.a)Kolikajevjerovatnocadautokudvasataurobnukucuudebar700ljudi?9.5. ZADACI 71b) Koliko vremena treba da prode da bi sa vjerovatnocom 0.95 u robnu kucu uslobar700ljudi?Rjesenje. NekajeXislucajnapromjenljivakojapredstavljabroj ljudi koji uduurobnukucutokuitog minuta. Xiima P(6) raspodjelu, paje E(Xi) =6, V ar(Xi) = 6.BrojljudikojiuduutokunminutajeYn=n

i=1XiivrijediE(Yn) = 6n, V ar(Yn) = 6n.PostosuslucajnepromjenljiveX1, X2, . . . Xnnezavisneisveimajuisturaspod-jeluvazicentralnagranicnateorema,znaciraspodjelaYn E(Yn)_V ar(Yn)tezikanormalnojraspodjeli N(0, 1).a)P(Yn 700) = 1 P(Yn< 700),pakakojeP_Yn 7206 120< 0.745_ (0.745) 0.77,imamodajeP(Yn 700) 0.77.b)P(Yn 700) 1 _700 6n6n_,paiz1 _700 6n6n_= 0.95nalazimo700 6n6n= 1.645.Odavdedobijamodajen 124.15,pajetrazenovrijeme125minuta.9.5 Zadaci1. SlucajnapromjenljivaXdatajefunkcijomgustinef(x) =_xmm!ex, x 00, x < 0.Dokazati,koristecinejednakostCebiseva,dajeP(0 < X< 2(m+ 1)) >mm+ 1.72 GLAVA9. GRANICNETEOREME2. Pretpostavimo da nezavisne slucajne promjenljive X1, X2, . . . , X30, imajuuniformnu raspodjelu na [0, 1]. Neka je slucajna promjenljiva YdenisanasaY= X1 +X2 + +X30.KoristecicentralnugranicnuteoremuodreditiP(13 Y 18).3. SlucajnepromjenljiveXi, i = 1, . . . , nsunezavisneivrijediP_Xi=54_= P_Xi=45_=12, i = 1, . . . , n.NekajeY=n

i=1XiodreditiP(Y 0.001).Kolikajetavjerovatnocaakojen = 1000.4. Primjenomcentralnegranicneteoremenaniznezavisnihslucajnihprom-jenljivihsa P(1)raspodjelom,dokazatidajelimn+enn

k=0nkk!=12.5. Racunar vrsi obracun elektricne energije kod 100 korisnika. Vrijeme obracunaza svakog korisnika ima eksponencijalnu raspodjelu sa ocekivanjem 3 sekundei nezavisno je od drugih korisnika. Naci vjerovatnocu da ce obracun trajatiizmedu3i6minuta.Glava10MatematickastatistikaMatematickastatistikajebliskopovezanasateorijomvjerovatnoce. Ciljjeda se na osnovu rezultata eksperimenata donesu zakljucci o zakonima raspodjelainumerickimkarakteristikamaslucajnihpromjenljivih.10.1 OsnovnipojmoviSkupelemenatanazivasepopulacijaili generalni skup. Zasvaki posmatra se neka numericka karakteristika X() koja se naziva obiljezje.Primjer10.1. Populacija je skup svih stanovnika neke zemlje. Obiljezje svakogstanovnikajenpr. visinailigodinestarosti.Primjer 10.2. Svi proizvodi jedne fabrikecine populaciju. Obiljezje svakogproizvodajenpr. njegovacijena.Cestojekomplikovanoregistrovati obiljezjezasvaki elemenat populacije.Zato se obiljezje registruje na dijelu populacije (uzorak), pa se dobijena raspod-jelasmatraraspodjelomcijelepopulacije. Vaznojedauzorakdobroodrazava(reprezentuje) populaciju. Ovo se rjesava tako da se uzorak bira slucajno. Tadaje populacija skup svih mogucih ishoda . Prema tome, obiljezje X(), jeslucajnapromjenljiva. Dakle, trebaodrediti funkcijuraspodjeleF(x)slucajnepromjenljiveX. Uzorakobimanjentorka1, . . . , nslucajnihishodaizinazivaseslucajni uzorak.Slucajan uzorak (X1, . . . , Xn) je prostslucajanuzorak ako su slucajne prom-jenljiveXi, i = 1, . . . , nnezavisneisaistomraspodjelom. Posmatracemosamoprosteslucajneuzorkekoje cemojednostavnijezvatiuzorcima.Kadajeizabranuzorak, slucajnapromjenljiva(X1, . . . , Xn) postajentorka(x1, . . . , xn) Rninazivaserealizovani uzorak.NekajeXobiljezjesafunkcijomraspodjeleF(x)i nekaje(X1, . . . , Xn)prostuzorak. Funkcijakojasvakomx Rdodjeljujerelativnucestalost dogadaja(X< x) u n opita naziva seempirijskafunkcijaraspodjelei oznacava se sa7374 GLAVA10. MATEMATICKASTATISTIKASn.NekajeI(Xi 0vrijediP_p _Snn, Snn+__ 1 14n2. (10.1)Naime,nejednakost(10.1)slijediiznejednakostiCebisevaP_Snnp_ ) 1 p(1 p)n2i cinjenice da funkcija (p) = p(1 p) ima maksimum,koji je jednak14i koji sedostizezap =12.Interval_Snn,Snn+naziva se interval povjerenja za nepoznatu vjerovatnocup.Primjer10.4. Uslucajudajen=1000odrediti duzinuintervalapovjerenjakomesavjerovatnocom0.99pripadaparametarp.Rjesenje. Izuslova1 14n2=0.99, zan=1000dobijamo 0.316. Dakle,duzinaintervalapovjerenjaje0.632.NekaSnimabinomnuraspodjelusanepoznatimparametromp. Tadazanulex1ix2,(x1< x2)kvadratnogpolinomap(x) = (n2+c2n)x2(c2n + 2nSn)x +S2nvrijediP(x1 p x2) 2(c) 1. (10.2)Naime,naosnovuMuavr-LaplasoveteoremeimamoP_Sn np_np(1 p) c_ 2(c) 1.KakojenejednakostSn np_np(1 p) cekvivalentnasa(n2+c2n)p2(c2n + 2nSn)p +S2n 0tozanulex1ix2polinomap(x)vrijediP(x1 p x2) = P_Sn np_np(1 p) c_ 2(c) 1.78 GLAVA10. MATEMATICKASTATISTIKAPrimjer 10.5. Naosnovu10.2odrediti 95%interval povjerenjazanepoznatiparametarpakojen = 1000iSn= 540.Rjesenje. Izuslova2(c) 1=0.95dobijamoc=1.96. Kakojen=1000iSn= 540imamop(x) = 1003841, 6x21083841, 6x + 291600odakleslijedix1= 0.509, x2= 0.570.Dakle,ukonkretnomslucajudobijamodaje95%interval povjerenja[0.509, 0.570].10.4 Zadaci1. ObiljezjeXimaraspodjeluodredenugustinomf(x) =___c_cx_+1, x > c0 , x cgdjeje>0. Naosnovuuzorkaobimanocijeniti parametar. Ispitaticentriranosttakodobijeneocjene.2. ObiljezjeXimaraspodjeludatufunkcijomgustinef(x) =_2a2e2ax, x > 00 , x 0.Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne vjerodostojnosti ocijen-itiparametara. Dalijetakodobijenaocjenacentrirana?3. GustinaslucajnepromjenljiveXjef(x) =_x+1, x > 10 , x 1,gdjeje>0. Naosnovuuzorkaobimanocijeniti parametar. Ispitaticentriranosttakodobijeneocjene.4. Ako je u 1000 bacanja novcica pismo palo 525 puta, odrediti 99% intervalpovjerenjazanpoznatuvjerovatnocupadanjapisma.5. Akojeu100izvedenihslobodnihbacanjakosarkaspogodiokos75putaodrediti 95%interval povjerenjazanepoznatuvjerovatnocuubacivanjalopteukosujednombacanju.Glava11Slucajniprocesi11.1 UvodNekaje (, F, P) prostor vjerovatnocai T skupvrijednosti parametrat.Slucajni procesjefamilijaslucajnihpromjenljivih {Xt}, t T. Indeks t seobcno interpretira kao vrijeme, a za skup Tse uzima skup (0, +) ili neki njegovpodskup. AkojeT diskretanpodskup, tadaseradi oprocesusadiskretnimvremenom, a u protivnom imamo proces sa neprekidnim vremenom. Za slucajniproces mozemo reci da je funkcija, koja pri svakom ksiranom t Tje slucajnapromjenljivaX(t, ) = X(t), . Akoje= 0ksirano,tadajeX(t, 0)neslucajnafunkcijai zoveserealizacijaili trajektorijaprocesa. AkojeTprebrojivskup, tadase radi oslucajnomnizu, aakoje T neprebrojivtadaimamoslucajniproces.Nekajedatafunkcijaraspodjeleslucajnogvektora(X(t1), X(t2), . . . , X(tn)).Slucajni proces kodkoga susve konacnodimenzionalne raspodjele normalnenazivamoGaussovimslucajnimprocesom.Neslucajnafunkcijam(t) = E(X(t))jematematickoocekivanjeslucajnogprocesa,K(t, s) = E(X(t) m(t))(X(s) m(s))jenjegovakorelacionafunkcija.11.2 LanciMarkovaUdaljemposmatracemoslucajne procese kodkojihje skupT prebrojiv.Neka je dat niz slucajnihpromjenljivih(Xn), kodkoga sve slucajne prom-jenljiveimajuistekonacneili prebrojiveskupovevrijednosti (skupovestanja).7980 GLAVA11. SLUCAJNIPROCESISmatracemodajeskupvrijednosti {0, 1, . . . , }ili neki njegovpodskup. AkovrijednostkojujepostiglaslucajnapromjenljivaXnpotpunoodredjujezakonraspodjeleslucajnepromjenljiveXn+1i taj zakonraspodjelenezavisi odvri-jednosti koje supostigle slucajne promjenljive Xk, k k1> k2> . . . > kr.Ovaosobinagovoriotomedavjerovatnocadasedatisistemutrenutkun + 1nalazi u datom stanju,ako je poznato njegovo stanje u trenutku n,ne zavisi odponasanjatogsistemauproslostitojestprijetrenutkan.Vjerovatnoca da se slucajna promjenljiva Xn+1nadje u stanju j, ako je poznatodaseXnnalaziustanjuinazivasevjerovatnocaprelaza. Imamopn,n+1ij= P(xn+1= j|Xn= i).Akovjerovatnocepn,n+1ijnezaviseodnlanacjehomogen.Oznacimosapij(n) vjerovatnoce prelazaiz stanjai ustanje j zankoraka.MatriceMn=[pij(n)] sezovumatricevjerovatnocaprelazazankoraka.Kod njih su svi elementi nenegativni i zbir u svakoj vrsti je 1.} Koristeci teoremuototalnojvjerovatnociimamodajeza1 m n,pij(n) =

kpik(m)pkj(n m).TosujednacineKormogorova-Cepmena. MatricnioblikjeMn= MmMnm,odavdejeMn= Mn1 .Ako postoji prirodan broj n tako da su svi elementi matrice Mn strogo pozitivni,tadazasvakoj= 1, 2, . . . ,postojigranicnavrijednostlimn+pij(n) = pj,koja ne zavisi od i. Brojevi pjzovu se nalne vjerovatnoce. Finalne vjerovatnocesemogudobitiizsistemajednacina:

jpj= 1,

kpkpkj= pj, j= 1, 2, . . .Lanackojiimanalnevjerovatnocezoveseergodican.11.3. ZADACI 8111.3 Zadaci1. VjerovatnoceprelazaulancuMarkovazadanesumatricomM=__131313121316141214__(a)Dalijelanachomogen?(b)Kolikojep13,akolikojep23?(c)Kolikojep13(2)?(d)NaciM2.2. DokazatidalanacsamatricomvjerovatnocaprelazaM=_0 11 0_nijeergodican.3. Dokazatidajeergodicanlanacsamatricomprelazazajedankorak_14341323_inacinalnevjerovatnoce.4. LanacMarkovazadatjematricomprelaza____0 0 0 10 0 0 112120 00 0 1 0____.Ispitati da li je lanac ergodican i naci asimptotsko ponasanje vjerovatnocaprelazapij(n)kadn +.5. U kutiji se nalazi jedna bijela i jedna crna kuglica. Na slucajan nacin se izvlacipojednakuglica,pri cemuseonaodmahvracaukutijuzajednosajosjednomkuglicomsuprotneboje. NekajeXnbroj bijelihkuglicaukutiji prijentogizvlacenja. Dali jeXnMarkovski proces? Opisati stanjasistemai odreditivjerovatnoceprelazaujednomkoraku.82 GLAVA11. SLUCAJNIPROCESIGlava12Literatura83