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Zufällige Auswahlverfahren in der empirischen SozialforschungTeil A1. Warum Zufallsstichproben?2. Beispiel: Studierendenbefragung
a. Grundgesamtheitb. einfache Zufallsstichprobec. geschichtete Zufallsstichprobed. Klumpenstichprobee. Disproportionale Zufallsauswahlen
3. Stichprobenfehler und Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels
Ausblick auf die nächste Woche
Teil B• Geschichtete Zufallsstichproben• Klumpenstichproben• Disproportionale Zufallsauswahlen• Zusammenfassung: Standardfehler in
einfachen und komplexen Zufallsstichproben
2
Teil 1
Warum Zufallsstichproben?
Jede dritte Frau klagt über häusliche Gewalt
Jede dritte Frau, die älter ist als 16 Jahre, ist laut Umfragen im eigenen Haus mindestens einmal Opfer von Gewalt gewesen. Weit mehr als die Hälfte dieser Frauen habe dabei gesundheitliche Schäden erlitten, berichtete das Bundesfamilienministerium […] Quelle: dpa/epd 24.11.2003
3
Jede dritte Frau klagt über häusliche Gewalt
Jede dritte Frau, die älter ist als 16 Jahre, ist laut Umfragen im eigenen Haus mindestens einmal Opfer von Gewalt gewesen. Weit mehr als die Hälfte dieser Frauen habe dabei gesundheitliche Schäden erlitten, berichtete das Bundesfamilienministerium […] Die erstmals in Deutschland erfolgte quantitative Befragung von Patientinnen der Ersten Hilfe fand im Rahmen eines Berliner Gesundheitsprojektes im Jahr 2002 statt. Quelle: dpa/epd 24.11.2003
Vorteile von Zufallsstichproben
• Selektivität– frei von „willkürlicher“ Auswahl– Auswahl erfolgt durch einen „teilnahmslosen“
Zufallsalgorithmus• Präzision berechenbar
– zufällige Abweichungen von den „wahren“ Werten möglich (Stichwort: Stichprobenfehler)
– das Ausmaß der Abweichungen ist jedoch quantifizierbar
4
Typische Aussagen aus einer empirischen Untersuchung• In Bielefeld geben Studierende
durchschnittlich 228,79 € für Miete aus.• 55,4 Prozent der Bielefelder Studierenden
sind Frauen.• Studierende der Physik studieren
durchschnittlich 5,5 Stunden pro Woche mehr als Studierende der Pädagogik.
Datenbasis: Stichprobe• Wie repräsentativ sind die Ergebnisse?• Besser: Sind Abweichungen von den
tatsächlichen („wahren“) Werten möglich?– systematische Abweichungen– zufällige Abweichungen
• Wie präzise sind die Aussagen bei Existenz von Zufallsfehlern?
• Mit welcher Sicherheit ist ein Rückschluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit möglich, wenn erstere nur eine Teilmenge erfasst?
5
Beispiele mit Angaben über Sicherheit und Präzision• Die Durchschnittsmiete Bielefelder Studierender
liegt mit 95% Wahrscheinlichkeit bei 228,79 € ±2,50 €.
• Mit 95% Wahrscheinlichkeit beträgt der Frauenanteil 55,4 Prozent (± 4,4 Prozent-punkte).
• Studierende der Physik studieren mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit durchschnittlich 5,5 Stunden pro Woche mehr als Studierende der Pädagogik.– Der zeitliche Mehraufwand beträgt mit 95%
Wahrscheinlichkeit 5,5 Stunden (± 0,34 Stunden)
Bestandteile der vorherigen Aussagen
Miete Frauenanteil Mehraufwand
Punkt-schätzer 228,79 55,4 5,50
Präzision(Standard-
fehler)1,272 2,2 0,170
Verteilungs-annahme
Tt=1,96
(Normal)z=1,96
Tt=1,96
Aussage ± 2,50 ± 4,4 ± 0,34
6
Teil 2
BeispielStudierendenbefragung
GrundgesamtheitFakultät Studierende Anteil Frauen Anteil Zeit Std Miete StdBiologie 1054 5.45% 604 57.31% 43 0.500 230.25 € 30.097Chemie 533 2.76% 186 34.90% 43 0.500 230.23 € 29.784Geschichte 1274 6.59% 588 46.15% 34 0.500 230.80 € 29.875Gesundheitswissenschaften 524 2.71% 326 62.21% 44 0.500 230.11 € 27.475Literaturwissenschaft 3358 17.38% 2495 74.30% 34 0.500 229.78 € 30.298Mathematik 752 3.89% 343 45.61% 35 0.500 230.21 € 30.688Paedagogik 2487 12.87% 1807 72.66% 30 0.500 229.58 € 30.069Physik 375 1.94% 57 15.20% 36 0.500 227.64 € 28.260Psychologie 1498 7.75% 887 59.21% 33 0.500 230.07 € 30.023Rechtswissenschaft 2485 12.86% 1193 48.01% 37 0.500 230.58 € 29.828Soziologie 1813 9.38% 1014 55.93% 30 0.500 229.73 € 29.897Technische Fakultaet 1089 5.64% 256 23.51% 35 0.500 230.80 € 29.791Wirtschaftswissenschaften 2080 10.76% 789 37.93% 36 0.500 229.62 € 29.918Insgesamt 19322 100.00% 10545 54.58% 34.78 3.796 230.00 € 29.926
7
Einfache Zufallsauswahl
Grundgesamtheit(Urne)
Stichprobe
Praktische Umsetzung• Lotterieverfahren• Zufallszahlen• Systematische Auswahl
– jedes x-te Element der Grundgesamtheit– mit Zufallsstart
• Art der Auswahl– ohne Zurücklegen: Mehrfachauswahl
ausgeschlossen. Mathematisch schwieriger.– mit Zurücklegen: Mehrfachauswahl möglich, aber
sinnvoll? Mathematisch einfacher.
8
Einfache Zufallsstichprobe (Definition)Sie ist durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet: • Die Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen,
ist bei jedem Auswahlschritt für alle noch nicht ausgewählten Untersuchungseinheiten der Grundgesamtheit gleich.
• Jede der denkbaren einfachen Zufallstichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor.
Beispiele für komplexere Stichprobendesigns• Schichtung: Zufallsauswahl von Studierenden
innerhalb der einzelnen Fakultäten• Klumpen: Zufallsauswahl von 4 Fakultäten mit
allen ihren Studierenden• Mehrstufige Auswahl
1. Zufallsauswahl von 4 Fakultäten2. Zufallsauswahl Studierender in diesen 4 Fakultäten
• Disproportionale Auswahlwahrscheinlichkeita. möglich bei Klumpenauswahlenb. Überrepräsentierung naturwissenschaftlicher Fakultäten
9
Gründe für komplexere Stichprobendesigns• Überrepräsentierung: Analyse spezieller
Subgruppen (Naturwissenschaften, Ost / West)• Schichtung: optimale Repräsentation der
Grundgesamtheit (Studienfach, Region)• Klumpen: praktische Erwägungen (beschränkte
Ressourcen, Auswahlgrundlage)• Mehrstufige Auswahl: Kombination der
vorherigen Überlegungen (ADM-Design)
Problematik komplexer Designs
1. Präzision: Standardformeln zur Berechnung der Standardfehler nicht anwendbar
2. Prognose: Überrepräsentation kann Hochrechnung verfälschen
3. Struktur: Überrepräsentation kann Schätzung der Unterschiede und Effekte verfälschen
10
Teil 3
Stichprobenfehler und Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittelwerts
02
h
34.4 34.6 34.8 35r(mean)
Durchschnittlicher Zeitaufwand in 10 (einfachen) Zufallsstichproben
• „Man liegt im Mittel richtig,“ wenn der Durchschnitt aller geschätzten Werte 34,78 beträgt (Erwartungstreue der Schätzung)
• Schließt aber Abweichung im Einzelfall nicht aus:– Schätzfehler (Stichprobenfehler) = geschätzter Wert – 34,78
• Daher wünscht man sich möglichst geringe Stichprobenfehler, alsoeine möglichst geringe Streuung der Schätzwerte (Effizienz der Schätzung)
Abweichung in Stichprobe 7 (35,02)
Wert in der GG: 34,78
11
0.5
11.
52
2.5
Den
sity
34 34.5 35 35.5r(mean)
Simulation der Stichprobenverteilung des geschätzten Zeitaufwandes
• 1000 Stichproben (Replikationen) jeweils mit n=500• Empirische Stichprobenverteilung: begrenzte Anzahl von
Replikationen (s. Histogramm)• (Theoretische) Stichprobenverteilung: unendliche Anzahl von
Replikationen (s. Normalverteilung)
Stichprobenverteilung des geschätzten Zeitaufwandes
• Erwartungstreue: Das arithmetische Mittel des geschätzten Zeitaufwandes über alle Stichproben entspricht dem durchschnittlichen Zeitaufwand in der GG.
• Effizienz: Streuung der Schätzwerte über alle Stichproben– Maß: Standardabweichung (Standardfehler des arithmetischen Mittels)
0.5
11.
52
2.5
Den
sity
34 34.5 35 35.5r(mean)
Std.abw. = 0,168
Arithm. Mittel = 34,78
12
Zeitaufwand und Mietausgaben
n Zeit (σ=3,796) Miete (σ=29.926)
50
500
33.5 34 34.5 35 35.5 36x
33.5 34 34.5 35 35.5 36x
220 225 230 235 240x
220 225 230 235 240x
Standardfehler des arithmetischen Mittels• Standardfehler
– Standardabweichung σ des untersuchten Merkmals (z.B. Zeitaufwand) in der Grundgesamtheit:
– Stichprobenumfang n• geschätzter Standardfehler
– Standardabweichung s in der Stichprobe
• Konfidenzintervall
nx σσ =
nsx =σ̂
nstx
nstx ⋅+≤≤⋅− µ̂
13
Zum Schluss
Wichtige Fachausdrücke
Deutsch Englisch Deutsch Englisch
Grundgesamt-heitsparameter
populationparameter
Stichproben-verteilung
samplingdistribution
Schätzwert estimated value Erwartungstreue Unbiasedness
Stichproben-fehler sampling error Effizienz Efficiency
Standardfehler standard error Konfidenz-intervall
confidenceinterval
14
Weiterführende Literatur• Kapitel 4 des Grundlagentextes gibt einen
Überblick über verschiedene Auswahlverfahren: – Groves, R.M. / Fowler, F.J. / Couper, M.P. /
Lepkowski, J.M. / Singer, E. / Tourangeau, R. (2004): Survey methodology. Hoboken, NJ: Wiley
• Weitere Hinweise finden sich in jedem Lehrbuch zur empirischen Sozialforschung, z.B. in Kapitel 6 bei:– Schnell, Rainer / Hill, Paul B. / Esser, Elke (1999):
Methoden der empirischen Sozialforschung. 6. Auflage. München / Wien: Oldenbourg
Zufällige Auswahlverfahren
Teil B• Wiederholung der letzten Sitzung4. Simulationsstudie
• Erwartungstreue und Standardfehler in komplexen Stichprobendesigns
5. Ausgewählte Formeln• Standardfehler des arithmetischen Mittels für ausgewählte
komplexe Zufallsstichproben
6. Komplexe Zufallsstichproben und STATA7. Zusammenfassung
15
Vor Beginn
Wiederholung der letzten Sitzung
Einfache ZufallsauswahlFakultät GG Stufe 1 Stufe 2
Biologie 1054
Chemie 533
Geschichte 1274
Gesundheitswissenschaften 524
Literaturwissenschaft 3358
Mathematik 752
Paedagogik 2487
Physik 375
Psychologie 1498
Rechtswissenschaft 2485
Soziologie 1813
Technische Fakultaet 1089
Wirtschaftswissenschaften 2080
Insgesamt 19322 500
16
Geschichtete ZufallsauswahlFakultät GG Stufe 1 Stufe 2
Biologie 1054 27
Chemie 533 14
Geschichte 1274 33
Gesundheitswissenschaften 524 14
Literaturwissenschaft 3358 87
Mathematik 752 19
Paedagogik 2487 64
Physik 375 10
Psychologie 1498 39
Rechtswissenschaft 2485 64
Soziologie 1813 47
Technische Fakultaet 1089 28
Wirtschaftswissenschaften 2080 54
Insgesamt 19322 500
Zufällige Klumpenauswahl (Bsp 1)
Fakultät GG Stufe 1 Stufe 2
Biologie 1054
Chemie 533 533
Geschichte 1274
Gesundheitswissenschaften 524 524
Literaturwissenschaft 3358
Mathematik 752 752
Paedagogik 2487
Physik 375 375
Psychologie 1498
Rechtswissenschaft 2485
Soziologie 1813
Technische Fakultaet 1089
Wirtschaftswissenschaften 2080
Insgesamt 19322 2184
17
Fakultät GG Stufe 1 Stufe 2
Biologie 1054
Chemie 533
Geschichte 1274
Gesundheitswissenschaften 524
Literaturwissenschaft 3358 3358
Mathematik 752
Paedagogik 2487 2487
Physik 375
Psychologie 1498
Rechtswissenschaft 2485 2485
Soziologie 1813
Technische Fakultaet 1089
Wirtschaftswissenschaften 2080 2080
Insgesamt 19322 10410
Zufällige Klumpenauswahl (Bsp 2)
Zweistufige ZufallsauswahlFakultät GG Stufe 1 Stufe 2
Biologie 1054
Chemie 533 533 125
Geschichte 1274
Gesundheitswissenschaften 524 524 125
Literaturwissenschaft 3358
Mathematik 752 752 125
Paedagogik 2487
Physik 375 375 125
Psychologie 1498
Rechtswissenschaft 2485
Soziologie 1813
Technische Fakultaet 1089
Wirtschaftswissenschaften 2080
Insgesamt 19322 2184 500
18
ÜberrepräsentierungFakultät GG Stufe 1 Stufe 2
Biologie 1054 53
Chemie 533 27
Geschichte 1274 32
Gesundheitswissenschaften 524 13
Literaturwissenschaft 3358 84
Mathematik 752 38
Paedagogik 2487 62
Physik 375 19
Psychologie 1498 37
Rechtswissenschaft 2485 62
Soziologie 1813 45
Technische Fakultaet 1089 54
Wirtschaftswissenschaften 2080 52
Insgesamt 19322 578
Problematik komplexer Designs
1. Präzision: Standardformeln zur Berechnung der Standardfehler nicht anwendbar
2. Prognose: Überrepräsentation kann Hochrechnung verfälschen
3. Struktur: Überrepräsentation kann Schätzung der Unterschiede und Effekte verfälschen
19
Teil 4
Eine SimulationsstudieErwartungstreue und Standardfehler in
komplexen Stichprobendesigns
Zur Erinnerung: Stichprobenverteilung des geschätzten Zeitaufwandes
• Erwartungstreue: Das arithmetische Mittel des geschätzten Zeitaufwandes über alle Stichproben entspricht dem durchschnittlichen Zeitaufwand in der GG.
• Effizienz: Streuung der Schätzwerte über alle Stichproben– Maß: Standardabweichung (Standardfehler des arithmetischen Mittels)
0.5
11.
52
2.5
Den
sity
34 34.5 35 35.5r(mean)
Std.abw. = 0,168
Arithm. Mittel = 34,78
20
Analoge Simulationsstudie für komplexe AuswahlverfahrenVermutungen1. Klumpenstichproben: Schätzwerte streuen
mehr, verringern also die Präzision (Klumpeneffekt)
2. Geschichtete Stichproben: Schätzwerte streuen weniger, erhöhen die Präzision (Schichtungseffekt)
3. Überrepräsentation: verstärkt die Eigenschaften der überrepräsentierten Elemente in der Stichprobe (Verzerrung)
Nochmal zur Erinnerung
Besonderheiten der Daten1. Miete: keine Unterschiede zwischen Fakultäten (jede
Fakultät ein Abbild der Grundgesamtheit)2. Zeit: große Unterschiede zwischen Fakultäten
Besonderheiten einiger Auswahlverfahren1. zweistufige Auswahl: nicht-intendierter Nebeneffekt
der Überrepräsentation kleiner Fakultäten2. Überrepräsentation: intendierte Überrepräsentation der
naturwissenschaftlichen Fakultäten
21
Ergebnisse der Simulation
von bis von bisEinfache Zufallsstichprobe 500 500 2.6% 2.6% 54.56% 0.0225Geschichtete Zufallsstichprobe 500 500 2.6% 2.6% 54.55% 0.0207Zufällige Klumpenauswahl 2184 10410 7.7% 7.7% 53.61% 0.0802Zweistufige Zufallsauswahl 500 500 1.1% 10.3% 48.61% 0.0765Überrepräsentierung 578 578 2.5% 5.0% 51.87% 0.0202zum Vergleich: GG 19322 19322 100.0% 100.0% 54.58% 0.4979Standardfehler (n=500, mit Z.) 0.0223Standardfehler (n=500, ohne Z.) 0.0220
Einfache Zufallsstichprobe 34.78 0.1684 230.02 € 1.3542Geschichtete Zufallsstichprobe 34.79 0.0220 229.98 € 1.3337Zufällige Klumpenauswahl 34.83 1.7487 230.01 € 0.2294Zweistufige Zufallsauswahl 36.20 1.9676 229.89 € 1.3079Überrepräsentierung 35.38 0.1398 230.06 € 1.1985zum Vergleich: GG 34.78 3.7960 230.00 € 29.9258Standardfehler (n=500, mit Z.) 0.1698 1.3383Standardfehler (n=500, ohne Z.) 0.1676 1.3209
Frau Std
Zeit StdAuswahlverfahren Miete Std
Stichprobenumfang Auswahlwahrsch.Auswahlverfahren
Geschichtete Stichproben• Im Mittel über alle denkbaren Stichproben ergibt
sich der tatsächliche („wahre“) Wert der Grundgesamtheit (Erwartungstreue).
• In der Regel streuen die einzelnen Stichprobenergebnisse viel weniger als in einfachen Stichproben (Schichtungseffekt).
• Es sei denn, die einzelnen Schichten sind verkleinerte Abbilder der Grundgesamtheit (s. Beispiel Mietausgaben).– technisch: Die arithmetischen Mittel der Schichten
unterscheiden sich kaum.
22
Klumpenstichproben• Im Mittel über alle denkbaren Stichproben ergibt
sich noch der tatsächliche („wahre“) Wert der Grundgesamtheit (Erwartungstreue).
• In der Regel streuen die einzelnen Stichprobenergebnisse aber viel mehr als in einfachen Stichproben (Klumpeneffekt).
• Es sei denn, die einzelnen Klumpen sind verkleinerte Abbilder der Grundgesamtheit (s. Beispiel Mietausgaben).– technisch: Die arithmetischen Mittel der Klumpen
unterscheiden sich kaum.
Überrepräsentierung• Überrepräsentierung kleiner Fakultäten
– Nicht-intendierter Nebeneffekt eines nicht sehr klug geplanten zweistufigen Verfahrens
– kleine Fakultäten: geringer Frauenanteil, hoher ZeitwandUnterschätzung Frauenanteil, Überschätzung Zeitaufwand
• Überrepräsentierung Naturwissenschaften– Intendierter Effekt des Auswahlverfahrens– Naturwissenschaften: geringer Frauenanteil, hoher
ZeitwandUnterschätzung Frauenanteil, Überschätzung Zeitaufwand
23
Teil 5
Ausgewählte FormelnStandardfehler des arithmetischen Mittels für
ausgewählte komplexe Zufallsstichproben
Zur Erinnerung:Konfidenzintervall Mietausgaben• Standardfehler
– Standardabweichung σ des untersuchten Merkmals (z.B. Zeitaufwand) in der Grundgesamtheit:
– Stichprobenumfang n• geschätzter Standardfehler
– Standardabweichung s in der Stichprobe
• Konfidenzintervall
nx σσ =
nsx =σ̂
nstx
nstx ⋅+≤≤⋅− µ̂
24
Einfache Zufallsstichprobe mit Zurücklegen• geschätzter Standardfehler
– Standardabweichung s in der Stichprobe
– n Stichprobenumfang
ns
srswrx =,σ̂
Einfache Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen• geschätzter Standardfehler
– Standardabweichung s in der Stichprobe
– n Stichprobenumfang
– N Umfang der Grundgesamtheit
– n/N Auswahlsatz
nsNn
ns
NnN
srsworx ⋅−≈⋅−−
= )1(1
ˆ ,σ
25
Designfaktor
– Formeln für den Standardfehler in komplexen Stichproben s. Handout
• Der Designfaktor gibt an, um welchen Faktor ich den Stichprobenumfang des komplexen Designs erhöhen müsste, um ähnlich präzise Aussagen wie bei einfachen Zufallsstichproben ohne Zurücklegen machen zu können.
2,
2,
ˆˆ
srsworx
komplexxdeffσσ
=
Teil 6
Komplexe Zufallsstichproben und STATA
26
STATA Informationen über das Survey-Design mitteilensvyset [pw=Gewicht], strata(Strata_id) psu(Psu_id)
fpc(Rate|GG_N)
• pw: gibt an, wie viele Einheiten der GG jedes Element der Stichprobe repräsentiert (Hochrechnungsfaktor)
• strata: Schichtindikator• psu: Indikator für Primary Sampling Unit
– Id für Klumpen, wobei bei mehrstufigen Designs nur die Klumpen der ersten Stufe interessieren (daher: primary sampling units)
• fpc: wahlweise Auswahlsatz oder Umfang der Grundgesamtheit
Survey-Design des vorliegenden Datensatzes beschreibensvydes
• Es müssen mindestens zwei PSUs pro Schicht vorliegen.
• Falls das nicht der Fall ist, müssen benachbarte Schichten zusammengelegt werden.
27
Survey-Prozeduren in STATA
help svy
• Durch Eingabe des Help-Kommandoserhalten Sie einen Überblick über die vorhandenen Auswertungsprozeduren.
• Im Handout verwende ich beispielhaft die Prozedur svymean.
Teil 7
Zusammenfassung
28
Zusammenfassung (1 von 2)1. Übliche Computerprogramme haben meistens nur
SRSWR implementiert.2. SRSWOR liefert kleinere Standardfehler.3. Wenn der Auswahlsatz sehr klein ist, unterscheiden
sich SRSWR und SRSWOR kaum.4. Proportional geschichtete Stichproben liefern
Standardfehler, die maximal so groß sind wie bei SRS (häufig sogar geringer).
5. Bei disproportionaler Schichtung ist die Lage nicht so klar. Sie erfordert auf jeden Fall für die Hochrechnung Gewichte. Bei sehr unterschiedlichen Gewichten erhöhen sich die Standardfehler.
Zusammenfassung (2 von 2)
6. Klumpenstichproben führen zu Standardfehlern, die mindestens so groß sind wie bei SRS.
7. Komplexe Stichprobendesigns beinhalten häufig sowohl Klumpen- als auch Schichtungseffekte.
8. Der Effekt auf die Standardfehler lässt sich wegen der gegenläufigen Effekte daher kaum a prior abschätzen.
29
Zum Schluss
Wichtige Fachausdrücke
Deutsch Englisch Deutsch Englisch(einfache)
Zufallsstich-probe
(simple) randomsample
proportionale Auswahl
proportionatesampling
mit / ohne Zurücklegen
with / withoutreplacement
disproportionale Auswahl
disproportionatesampling
geschichtete Stichprobe stratified sample
Klumpen-stichprobe cluster sample
30
Weiterführende Literatur• Abschnitt 10.7 des Grundlagentextes wiederholt einige Aspekte des heutigen Vortrages:
– Groves, R.M. / Fowler, F.J. / Couper, M.P. / Lepkowski, J.M. / Singer, E. / Tourangeau, R. (2004): Survey methodology. Hoboken, NJ: Wiley
• Der folgende Aufsatz weist darauf hin, dass Computerprogramme üblicherweise von einfachen Zufallsstichproben ausgehen und daher bei komplexen Stichprobendesigns falsche Ergebnisse liefern können:
– Lipsmeier, Gero (1999): Standard oder Fehler? Einige Eigenschaften von Schätzverfahren bei komplexen Stichprobenplänen und aktuelle Lösungsansätze. ZA-Information 44: 96-117
• Eine Einführung in die statistischen Grundlagen einfacher und komplexer Zufallsstichproben findet sich bei:
– Kalton, Graham (1983): Introduction to Survey Sampling. Quantitative Applications in the Social Sciences35. Newbury Park: Sage
• Die statistischen Grundlagen komplexer Stichprobendesigns werden behandelt bei:– Lee, Eun Sul / Forthofer, Ronald N. / Lorimor, Ronald J. (1989): Analysing Complex Survey Data.
Quantitative Applications in the Social Sciences 71. Newbury Park: Sage• Wer schließlich selber nachrechnen möchte, findet hier eine Menge von Anwendungsbeispielen:
– Levy, P.S. / Lemeshov, S. (1980): Sampling for health professionals. Belmont, CA: Lifetime Learning Pubs.