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Lösungen
zur
Technischen Mechanik
- Elastostatik -
Ausgabe 2016
Copyright / Urheberrechtsbelehrung © IFME 2016, Institut für Mechanik, Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Sämtliche Texte, Bilder und andere veröffentlichten Informationen unterliegen - sofern nicht anders gekennzeichnet - dem Copyright des IFME oder werden mit Erlaubnis der Rechteinhaber veröffentlicht. Jede Verlinkung, Vervielfältigung, Verbreitung, Erfassung in optischen oder elektronischen Medien, Sendung und Wieder- bzw. Weitergabe der Inhalte ist ohne schriftliche Genehmigung des IFME ausdrücklich untersagt. Warenzeichen: Alle Warenzeichen sind Warenzeichen der jeweiligen Eigentümer.
Lösungen zur Aufgabensammlung Elastostatik (Ausgabe 2000, 2016) 2. Zug und Druck Lösung 2.1
22
22
2
2
2
2
2
322
2
322
*2
2
2
2
68,2127)(
1
4
1
311
)(
)(4
)()()()(
31
4)(
)0(:31
4)(
14
)(
0)(4
:
1)()(4
mmN
DFhghz
hzD
F
hz
hz
hz
zgz
zdzAzAzFz
Fhz
hzzDgzF
FCFzFRB
Chz
hzzDgzF
CdzhzDgzF
dzzdgdF
hzDzddzzdgdF
L
L
L
L
L
L
G
−=−⋅⋅−==
+
−
+
++⋅⋅−=
==
−
++⋅⋅⋅−=
−=⇒−==
+
++⋅⋅⋅−=
+
+⋅⋅⋅−=
=⋅⋅⋅+↓
+=⋅⋅⋅=
∫
πρσ
πρσ
πσ
πρ
πρ
πρ
πρ
πρ
Lösung 2.2
↑ : F z gV z A z a b z ab zlN( ) ( ) ( ) ( )= = ⋅ = +
ρ 0 1
[ ]
σ ρ
ρ
σ ρ
= = = +
=+
+
= + ⋅
=+ ⋅+
= +
F zA z
gV zA z
b z bzl
g
zl
z
zl
V z b b z a z
g l z zl z
ab zl
z
N ( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
0
0
0
1
12
2
1
12
12
2 12
2
z = l σ ρ( )l gl=34
dFG
zd(z)
FL
FL+dFL
dz
z
FN(z)b(z)
b0
ρgV(z)
( )[ ]
( )2ln2341
)2ln1(22
1)(ln22
1
212
21
)()(
2
22
,0
2
0 00
2
0
−=∆
−+=
+−+=
++=
++
==∆ ∫ ∫∫∫
Egll
llEglzlzlz
Eg
dzlz
zldzzEgdz
lzlzz
Egdz
zEAzFl
l
l lllN
ρ
ρρ
ρρ
Lösung 2.3
FL - FG(z) = 0 FL = FG(z) = ρgA . (l-z) FL(z = 0) = FLmax = ρgAl σmax = ρgl = 463 Nmm-2 für l = 6000m
dw dz zE
dz
w z gE
l z dz w z
w l gE
l z dz glE
m
l m Nmm
z
l
= =
= − + =
= − = =
= =
∫
∫
εσ
ρ
ρ ρ
σ
( )
( ) ( *) * ( )
( ) ( ) ,
:
0
0
2
2
0
12
6 61
10000 771max
Mindeststreckgrenzen für St 60 : σF = 324Nmm-2; 30MnCrSi6 : σF = 590Nmm-2; 50CrMo4 : σF = 883Nmm-2; Lösung 2.5
( )σπ
εσ
ε νε ε
σ ε ε
= − = = = − = +
= − = − = =
FA
Ad
Ed d
Nmm
d mm
q q
q
; ; ; ;
, ; , ; , ; ,
2
1
2 1
41
127 3 0 000618 0 000185 20 0037
Lösung 2.6
↑ − = = = =
= ≤ ⇒ = =
= = ≤ =
:
,
,
F mg F mg mg F F
FA
A mg mm
A mm für T Nmm
Nmm
S S L S
Szul erf
zul
gew vorh zul
1 1 1
1 2
22 2
0 2
2 294 3
297 35 99 1 100
sinsin
αα
σ σσ
σ σ
1. Verlängerung der einzelnen Abschnitte: ∆l1, ∆l2 Für ∆l1 + ∆l2 < δ ist FL = 0, für ∆l1 + ∆l2 > δ ist FL ≠ 0
z
l
FL(z)
FG(z)
mg
FS1
FS2
α
Hookesches Gesetz:
( )
( )
( )
22
max12
3
21
22
2
11
1
21
2122
2
11
1
2222
1111
31
107,216,28*:0*
*0
;
mmN
AFAAwegen
NFKTeZahlenwertFistTTFür
llTTF
AEl
AEl
llTF
llTAE
lAE
lF
TAE
FllTAE
Fll
L
L
L
thL
thL
thL
thL
thL
−==⇒<
⋅−==∆
=∆<∆+⋅
=∆=∆⇒=
+
−+∆⋅−=
=+∆⋅+
+
∆⋅+=∆
∆⋅+=∆
σ
αδ
δα
δα
αα
Lösung 2.7
↑ : τ⋅π⋅d⋅h - F = 0 F = τ⋅π⋅d⋅h = 15,7 kN
Lösung 2.8
( )
1 2 6 29 30
2 9 88 10
3 9 88 50
2 2 2
2 2
2 2
. ( ) ,
. ( ) ,
. ( ) ,
Abscheren Bolzen Fd
Nmm
Nmm
Bolzen Fd
Nmm
Nmm
Zug Blech Fa d
Nmm
Nmm
vorh zul
Lvorh Lzul
vorh zul
τπ
τ
σδ
σ
σδ
σ
= = < =
= = < =
=−
= < =
Pressung
Lösung 2.9
Dehnung der Bleche zwischen den beiden Bolzen:
εδ
εδ
ε εδ δ
δδ δ
12
12
1
2
1 2 1 21
1
1
2
12
1 22 1
2
22
25 714 4 286
= =
+ = = ⇒−
=
=+
= = − =
FEa
FEa
F F F F FEa
FEa
F F kN F F F kN, ,
Lösung 2.10 1. Flächenpressung Bolzen/Buchse
↑ ⋅ − = ⇒ = = =: ,p d F d Fp
mm d mmerf1 12
11
1gew40 4 56 42 60π
π
2. Zug in der Buchse
( )↑ ⋅ − − = ⇒ = + =
=
: ,σπ
σπ40
469 81
70
22
12
2 12
2
d d F dF
d mm
d mm
erf
gew
3. Flächenpressung Bund der Buchse
( )↑ ⋅ − − = ⇒ = + =
=
: ,p d d F d Fp
d mm
d mm
erf
gew
2 32
22
32
22
3
40 4 78 57
80
ππ
4. Abscherung des Bodens der Buchse
↑ ⋅ − = =⋅
= =: ,τ πτ π
d h F h Fd
mm h mmerf1 1 11
1gew0 10 62 12
5. Abscherung des Bundes der Buchse
F22
F22
F12
F12
F
(1)(2) 0,5F0,5F
F
p1
F
σ
F p2
F
τ
↑ ⋅ − = =
⋅= =: ,τ π
τ πd h F h F
dmm h mmerf gew2 2 2
220 9 099 10
Spannungsnachweis für die Buchse:
( )
( )
1 4 17 68 20
2 4 48 97 50
3 4 42 44 50
4 22 11 25
5 22 74 25
112 2 1 2
22
12 2 2
232
22 2 2 2
1 12 2
2 22 2
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
p Fd
Nmm
p Nmm
Fd d
Nmm
Nmm
p Fd d
Nmm
p Nmm
Fd h
Nmm
Nmm
Fd h
Nmm
Nmm
zul
zul
zul
zul
zul
= = < =
=−
= < =
=−
= < =
= = < =
= = < =
π
σπ
σ
π
τπ
τ
τπ
τ
Lösung 2.12
Das System ist einfach statisch unbestimmt. Gleichgewicht: →: FS1 = FS3 ↑: FS2 = -2FS1cosβ
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 23
32
max
3
3
23
2
31
12
12
1
2
222
1
111
31231
198cos21cos2
79cos21cos2;6,45
cos21cos
cos2coscoscos
;
coscos
mmN
lE
AF
kNlEAFkN
lEAFF
lAEFF
EAlF
EA
lF
EAlFl
EAlFl
llllll
S
SSS
SSS
S
SS
=+
⋅==
=+
⋅=−=
+⋅
−==
−−=
−=
=∆=∆
==−∆=∆=∆
ββδσ
ββδ
ββδ
δβββδβ
ββδ
FS1
FS2FS3
β β
∆l1
∆l2
∆l3
δ
β
Fτ
Lösung 2.13 Das System ist einfach statisch unbestimmt.
σ
β β
β β
β ββ β
iSi
i
S S
S S
FA
i
B F a F a F aF F F
l a l a
= =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅ =
= = = =
1 2
2 2 02 2
55
22
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 11
22
,
:
; ; ;
sin sinsin sin
sin sinsin sin
Kleine Verformungen: ∆
∆
l al a1 1
2 2
2= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
ϕ β
ϕ β
sinsin
εσ
α ε α
ϕ β ϕ ϕ β ϕ
ii
ith i
i
iSi i i
i
ithE
Tl
lF E A
ll
T
ll
ll
= + ⋅ = = − ⋅
= = = =
∆∆ ∆
∆
∆ ∆
; ;
;1
1
21
2
2
222
25
12
sin sin
In die Gleichgewichtsbedingung eingesetzt, erhält man
( )
( )
( )
( )
ϕα β β
β β
α
β α β β β
β β
β α β β β
β β
βα β β β
=+ +
+=
+ +
+
=− −
+>
=+ −
+>
= ⇒ =−
= ⇒ =−
2 2
4sin
2 2 55
22
4 525
24
4 24sin
0
2 2 24sin
0
0 42
0
1 2
1 2
11 2 1 2
1 2
22 2 1 1
1 2
1 11
2 1 2
2 2
FEA
TF
EAT
FFsin EA T
FFsin EA T
F T FsinEA
F T Fsin
th th
Sth
Sth
Sth
S
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
sin sin
sin
sin sin sinsin
sin sin sinsin
sin sin sin
3 3
2 2 2
3 3
2 2 2
3 3
2
2 2
( )2
2 2sin sin sinβ
α β β β2
2 1 12EA th −
Verschiebungen des Kraftangriffspunktes für die beiden Grenzwerte: vF(∆T1) = 2a ϕ(∆T1) und vF(∆T2) = 2a ϕ(∆T2) Zahlenwerte: ∆T1 = 44,9°K; ∆T2 = -44,4°K; FS1(∆T1) = 0; FS2(∆T1) =2√2 F = 1414,2N FS1(∆T2) = 5F = 1118,0N ; FS2(∆T2) = 0 vF(∆T1) = 1,35mm; vF(∆T2) = 1,06mm
FBVFBH
BFS1
F
FS2
β1β2
ϕ aϕ 2aϕ
∆l1∆l2B
Lösung 2.14
FL1(z) = - F* ∆ ∆l F lE A
l F lE A
Fl
E A11 1
11 1
1 1= − = = =* ; * *δ
δ
F ≥ F*
2211
22
11
11
22
11
22
11
21
22
112
22
112
222
111
21
11
22
2
11
1
22
22
11
1112
21
1
*
1
*0*1
0*)2(
0)1(
0
;)2(
0)()(:)1(
AEAEAEFl
AElFl
AEAE
FAEAEF
FFF
AEAE
FFFFFAEAEF
FFAEAEF
FFF
lAE
AElF
AElF
AElFl
AElFlll
FzFzF
L
LL
LL
LL
LL
LL
LL
LL
++
−==∆
+
+−=−−=
+
−−==−+
+
−=+−
+=++
⋅=+−
=∆=∆∆+=∆
=++↓
δ
δ
δ
Lösung 2.15
)4(02)3(0342:)2(:
)1(0:
12
21
21
=∆−∆=−+
−−=↑
=→
llFaaFaFB
FFFFF
SS
SSBV
BH
Gleichungen (3) und (4): 4 2 3 02 2 0
2 1
2
2
1
11
1
22
F F FF l
EAF l
EAF A
AF
S S
S SS S
+ − =
− = ⇒ =
FL1(z)
F = F*
z
F
FL1(z)
FL2(z)
∆l1∆l2 δ
BFS1 FS2
F∆l1 ∆l2
4 2 3 0
32
1
2
611
1090 9 32
1
2 1
922
818 2
90 9 2 0 109
21
22
21
2
12
1
22
2
F AA
F F
F F AA
F N F F AA
F N
F N l F lEA
mm
S S
S S
BVS
+ − =
= ⋅+
= = = ⋅+
= =
= = =
, ,
, ,∆
Lösung 2.16
→ =
↑ = − +
− − =
= −
: ( )
: ( ): ( )
( )
F
F F F qa
B F a qa F al f
BH
BV C S
S C
0 1
2 2
2 2 0 32 4
2
∆
Für die lineare Feder gilt: f FcC= und damit wird aus
Gleichungen (3) und (4) 2 2
2 0
14
24
14
14
F F qaF lEA
Fc
F qaclEA
Fqa cl
EAclEA
F qaclEA
S C
S C
S C BV
− =
+ =
=+
= −+
=+
; ;
Lösung 2.17 Allgemein gilt:
mmlmm
NAA
FundFAAFFF
llE
lE
lll
Z
GZ
G
GGZZGZ
G
G
Z
ZZG
3296,0;10221
0.122:
20
0
=∆+=⋅=
=−==+=+↑
∆=−∆=∆+∆
σσ
σσσσ
σσ
B2qa FS
FC
f ∆l
F
F
GZ Zl
∆lG∆lZ
∆l
2 0 3296 40
1 2104 6
2
1 218 5
3 0 3296 0
2 532 4
2
2
. ,
,
,
. ,
,
∆
∆
∆
∆
∆
l mm und F kN
E ll
FE A
E AE A
Nmm
F E A ll
A E AE A
Nmm
l mm und
F E A ll
kN
Z
ZG G
Z Z
G G
G
Z Z
GZ Z
G G
G
Z Z
= =
=+
+=
=−
+
= −
= =
= ⋅ =
σ
σ
σ
Lösung 2.20
Forderung : εT = ε
επ π δ
π δδ
δδ
ε αεα
ε
αδ
α
εδ
σ εδ
( ) ( )( )
rr r
r r r
T Tr
rE E
r
T TT
T T T
=− −
−=
−≈
= = = =
= = ⋅ =
2 22
∆ ∆
↑ : p b r d b t d⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =ϕ σ
ϕ22
0sin
Linearisierung mit sin d dϕ ϕ2 2
≈ p tr
E tr
= ⋅ =σδ
2
Lösung 2.21
Gleichgewichtsbedingungen: ↓ : F1 + F2 + F3 + F4 + FG = 0 ( 1 ) dI : F2 a - F3 a = 0 F3 = F2 ( 2 ) dII : F4 a - F1 a = 0 F4 = F1 ( 3 )
Verformungsbedingung : ( ) ( )w w w w wFG= + = +
12
121 4 2 3 ( 4 )
Allgemein : w F lEA
EA i EAii
ii= = ⋅
( )( )
( 2 ) und ( 3 ) in ( 4 ): F lEA
F lEA
F lEA
F lEA
F F1 1 2 21 24 2 3
54
56
+ = + = ( 4a )
pdAσA1σA1
dϕ
1/2dϕ1/2dϕ
FG
F1 F2
F3 F4
aa a
I
III
II
z,w
F i
i . EA
( 2 ), ( 3 ) und ( 4a ) in ( 1 ) : 2F1 + 3F1 + FG = 0 F F FG1 415
= = −
F F FG2 33
10= = −
w F lEA
F lEA
F lEA
w F lEAG G
G= +
= = −12 4
58
18
1 1 1
Lösung 2.22
↓ : FS1 + FS2 + FS3 + F = 0 ( 1 ) A : FS2 a + 2 FS3 a + F x = 0 ( 2 )
w F lEAiSi i= ( 3 ), ( 4 ), ( 5 )
1.) w1 = w2 = w3 F aEA
F aEA
F aEA
F F F FS S SS S S S
1 2 32 1 3 1
32
2 23
12
= = = = ( 6 ), ( 7 )
( 6 ) und ( 7 ) in ( 1 ) : F F F F F FS S S S1 1 1 123
12
613
+ + = − = −
( 6 ) und ( 7 ) in ( 2 ) : 23
53
10131 1
1F a F a Fx x FF
a aS SS+ = − = − =
2.)
σ σ σ11
22
336
134
133
13= = − = = − = = −
FA
FA
FA
FA
FA
FA
S S S
3.)
( )w w w2 1 312
= + ( 6’ )
( 1 ) bis ( 5 ) und ( 6’) liefern FS1 + FS2 + FS3 = - F ( 1’ )
F a F a FaS S2 32 23
+ = − ( 2’ )
32
122 1 3F F FS S S= + ( 6’ )
FS1 + FS2 + FS3 = - F (I) FS1 -3 FS2 + 2FS3 = 0 (II) F F FS S2 32 23
+ = − (III)
I - II : 4 FS2 - FS3 = -F III + 2.(I - II) : 9 832F FS = −
F F F F F F
wFaEA
wFaEA
wFaEA
S S S2 3 1
2 3 1
827
527
1427
49
1027
1427
= − = − = −
= − = − = −
x FA
FS1 FS2 FS3
w1 w2 w3
Lösung 2.23 1.)
A : FAl. 2a - FM a = 0
F F lF l
E AF lE A
Fl
E A N
Al M AlAl Al
Al Al
M Al
Al Al
MAl
Al Al
= = = =
= ⋅ =
12 2
2 2200
∆ δ
δ
2.)
A : FAl
. 2a - FSt a = 0 Fst = 2 FAl ( 1 )
∆ ∆l l F lE A
F lE AAl St
Al Al
Al Al
St St
St St
+ = = +δ ( 2 )
( 1 ) in ( 2 ) liefert
mmAE
lFlw
NFN
EE
ll
AEl
F
Al
AlAlAlK
St
St
Al
Al
St
Al
AlAl
5,2
110055021
==∆=
==+
⋅=δ
Lösung 2.24
B : 2 FS1 a + FS2 a = 0 ( 1 )
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
l F aEA
l F aEA
T a
l lF aEA
F aEA
T a
F F F F TEA
F EA T F EA T
S ST
S ST
S S S S T
S T S T
11
22
1 21 2
2 1 1 1
1 2
22
2
2 4 225
45
= = + ⋅
= = + ⋅
= − + =
= = −
α
α
α
α α
FAl FAl
FMA
FAl FAl
FStA
FS1 FS2
A
B
∆l1∆l2
3.Flächenträgheitsmomente Lösung 3.1
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i A c y c y A c I c I c y A ci Si Si i xxi yyi Si i2 3 4 4 2 4
1 6 0 0 12 18 0
2 9 5 45 2434
34 225
Σ 15 45 2454
754 225
Damit y c c I c I c c I cS xx xx yy= = = +
= −
= =4515
3 2454
225 11454
135 6054
754
4 4 4 4; ; ;
Lösung 3.2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i A h y h y A h I h I h y A hi Si Si i xxi yyi Si i2 3 4 4 2 4
1 40 0,5 20 83,33 213,33 10 2 -24 0 0 -32 -72 0
Σ 16 20 51,33 141,33 10
y h h I I h IS xx xx yy= = = = − ⋅
= =2016
1 25 61 33h 61 33 2516
16 36 33h 141 33h4 4 4 4, ; , ; , , ; ,
Ixy = 0; I1 = Iyy; I2 = Ixx Lösung 3.3
Zerlegung der Sechskantfläche in vier gleiche Teilflächen. Diese werden weiter in zwei Dreiecke zerlegt.
Das Flächenträgheitsmoment des Kreises ist I Id
xxK yyK= =π 4
64
Wegen mehrfacher Symmetrie gilt: Ixx = Iyy und Ixx = IxxK - IxxS
Ibh
xxD =3
12
y y,
xS1
S2
S1S2
y y,
x
x
y
x
y
b
h
h s
Is s s s
s
I I d s
xxS
xx yy
=
=
−
=
= = −
3
4 312
2 2 312
5 3144
645 3144
3 3
4
44π
Lösung 3.4
Für I20 entnimmt man DIN1025: A = 3,35 . 103mm3; Ixx = 21,4 . 106mm4; Iyy = 1,17 . 106mm4; h = 200mm; b = 300mm; c = 400mm
Gurte:
463
433
232 1033,53
12;1033,33
12;104 mmtcImmctImmctA yyxx ⋅==⋅==⋅=⋅=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i A mm x mm y mm I mm I mm y A mm x A mmi Si Si xxi yyi Si i Si i
2 4 4 2 4 2 4
1 3,35.103 150 0 21,4.106 1,17.106 0 75,38.106
2 4 .103 0 105 0,03.106 53,3.106 44,1.106 0 3 4 .103 0 -105 0,03.106 53,3.106 44,1.106 0 4 3,35.103 -150 0 21,4.106 1,17.106 0 75,38.106
Σ 14,7.103 42,87.106 109,0.106 88,2.106 150,8.106
Ixx = (42,87 + 88,2) .106mm4 = 131,1 .106mm4; Iyy = (109,0 + 150,8) .106mm4 = 259,8 .106mm4; Lösung 3.5 1. Differenz zweier Rechtecke
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
Ib h b h h h b mm
Ih b h b b b h mm
xx
yy
=+ +
−− −
= + + + = ⋅
=+ +
−− −
= + + + = ⋅
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
3 3 2 34 4
3 3 2 34 4
12 12 63b
63h 5 352 10
12 12 63h
63b 1 88 10
,
,
2. Dünnwandiger Träger, d.h. δ << h,b (Vernachlässigung von Größen, die in δ klein von höherer Ordnung sind)
x
y
s
h 0,5h
0,5s
1
2
34
( )
( )
I h b h h h mm
I b h b b b mm
xx
yy
= + ⋅
= + = ⋅
= + ⋅
= + = ⋅
212 2 6
3b 5 333 10
212 2 6
3h 1 867 10
3 2 24 4
3 2 24 4
δδ
δ
δδ
δ
,
,
Lösung 3.6
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i A a x a y a x A a y A ai Si Si Si i Si i2 3 3
1 15 -1,5 2,5 -22,5 37,5 2 7,5 1 1,667 7,5 12,5 Σ 22,5 -15 50 x a a y a aS S= − = − = =
23
0 667 209
2 222, ; , ;
Fortsetzung der Tabelle: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]I a I a I a y A a x A a x y A axxi yyi xyi Si i Si i Si Si i
4 4 4 2 4 2 4 4
31,25 11,25 0 93,75 33,75 -56,25 10,42 3,75 3,125 20,84 7,5 12,5 41,67 15 3,125 114,59 41,25 -43,75 I xx = (41,67 + 114,59)a4 = 156,26a4; I yy = (15 + 41,25)a4 = 56,25a4 I xy = (3,125 + 43,75) = 46,875a4
I I y Axx xx S= − =2
(156,26 - 111,09)a4 = 45,17a4 I I x Ayy yy S= − =2
(56,25 - 10)a4 = 46,25a4 I I x y Axy xy S S= + = (46,875 - 33,317)a4 = 13,56a4
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen:
( ) ( ) ( )I a a1 22 2 4 445 71 0 54 13 56 45 71 13 57, ( , , , ) , ,= ± − + = ±
I1 = 59,28a4; I2 = 32,14a4
°==−
=−
= 1,4604056,156,13
17,4528,59tan 011
01 ϕϕxy
xx
III
Lösung 3.7 A = 13,0cm2; xS = 1,6538cm; yS = -2,6538cm; Ixx = 80,78cm4; Iyy = 38,78cm4; Ixy = -32,31cm4; I1 = 98,31cm4; I2 = 21,24cm4; ϕ01=-28,49°
Lösung 3.8 A = 18,0cm2; xS = 0; yS = 0; Ixx = 246cm4; Iyy = 61,5cm4; Ixy = -90cm4; I1 =282,63cm4; I2 = 24,87cm4; ϕ01=-22,15° Lösung 3.9 A = 530cm2; yS = 36,54cm; Ixx = I1 = 39,756 . 104cm4; Iyy = I2 = 30,71. 104cm4
Lösung 3.10 A = 105cm2; yS = 8,63cm; Ixx = I1 = 1579cm4; Iyy = I2 = 817,5cm4
Lösung 3.11
( )A D d mm cm
I I I I ID d d
cm
I I cm
p xx yy
= − = − ⋅ =
= = = = = − + ⋅
=
= =
π π π
π π π
2 24 2 2 2
1 2
4 42
24
1 24
46
4 410 6 10 73 83
2 2 2 232
632
354
923 43
461 72
,
,
,
Biegung Lösung 4.1
→ =
↑ + − =
− − =
− =
= = = = −
= =
:
:
:
:; ; ;;
F
F F ql
C F l ql M
G F l qlF ql F F ql M qlF F ql
CH
B CV
B C
B
B CH CV C
GH GV
0
2 0
3 4 0
2 2 00
0
2
2
2
( )
0 2 00 0
12
1 2
1 2
1 1 2
1 1 12
2 2
≤ ≤ ≤ ≤
= =
= − = −
= − = −
z l z lF z F zF z q l z F z ql
M z qlz qz M z qlz
L L
Q Q
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
Aufgabe 3.2 (Flächenmomente): Ixx = 36,33h4
Maximalwerte für y: Unterseite y = e1 = 3,25h Oberseite y = -e2 = -1,75h Spannungsverteilung an der Einspannstelle (Maximales Moment)
σ
σ
σ
zxx
z
z
y qlI
y
y e qlh
Druckspannung
y e qlh
Zugspannung
( )
( ) ,
( ) ,
= −
= = − ⇒
= − = ⇒
2
1
2
3
2
2
3
0 0894
0 0482
Lösung 4.2
FQ(z) = q(l-z) - F FQ(0) = ql - F = 6kN; FQ(l) = -F = -4kN
FQ(z*) = 0 z l Fq
m* ,= − = 0 6
2ql
FB
FB
2ql
FGV
FGH
MC
FCV
FCHz1 z2
12
2ql
ql
ql
ql2
-
-
+
+
FQ-Verlauf
M-Verlauf
σzy
Zugsp.
Drucksp.
z l-z F
q(l-z)M(z)
FQ(z)
M z F l z q l z M kNm M l
M z kNm
( ) ( ) ( ) ; ( ) ; ( )
( *) ,
= − − − = − =
=
12
0 1 0
0 8
2
M kNmM
WW ab b
Mb
Ma
bM mm
mm
b mm a mm
Nmm
Nmm
zul
erfzul
gew
vorh zul
max maxmax
maxmax max
max
= = = =
= = ≤
= =⋅
=
= ⇒ =
= < =
16 12
12 32
12 12 10200
39 15
40 20
187 5 200
2 3
3 3
3
6 33
2 2
;
,
,
σ
σ σ
σ
σ σ
Lösung 4.3
Symmetrie a = 500mm
F F qa kN
M F a Nmm
M F a Nmm
M F a qa Nmm
MW
W d
A B
A
A
A
= = =
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
= ⋅ − = ⋅
= =
12
10
22 5 10
5 1032
18
6 25 10
32
16
26
32 6
3
,
,
;σπ
σ σ
σ σ
σ
11
12 1
1
22
22
2
1
22
2
32
33
32
117 95 49 76
299 52 69 9
87 37
max
max 2
max
= = = =
= = = = =
= =
MW
Nmm
MW
Nmm
MW
MW
Nmm
MW
Nmm
MW
Nmm
, ,
, ,
,
Symm.117,95
49,76
99,5
70
87,4in Nmm-2
6kN +-
z*
4kNFQ(z)
+-1kNm
0,8kNm
M(z)
1 2 3
FA FB
0
a
+
- FB
FA
5kNm 6,25kNm
+
Lösung 4.4
→ =
↑ + − − =
⋅ − − =
= =
:
:
:
F
F F ql F
B F l ql Fl
F N F N
BH
BV C
C
C BV
0
012
2 0
6000 1500
2
FBV FCz1 z2
FBH
qlF
( )
0 0
12
1 2
1 1 2
1 1 12
2 2
≤ ≤ ≤ ≤
= − ⋅ =
= ⋅ − ⋅ = − ⋅ −
z l z lF z F q z F z F
M z F z q z M z F l z
Q BV Q
BV
( ) ( )
( ) ( )
Mmax= 9 . 105 Nmm Lt. Aufgabe 6.1(Statik) ist Ixx = 151,25c4
Maximalwerte für y: y = e1 = 6,5c (Unterseite) y = -e2 = -3,5c (Oberseite)
mmcgewählt
mmmmccmmc
ce
IWmm
MW
erf
xxerfbxerfbxerf
5,7:
28,73,23
1091093,23
3,23;109
333
333
3
1
33
zul
max
=
=⋅
==⇒⋅=
==⋅==σ
gZugspannunmm
Ncy
ungDruckspannmm
Ncy
NmmMcIyI
My
z
z
xxxx
z
⇒=−=
⇒−==
⋅−===
2
2
5max
4max
4,49)5,3(
7,91)5,6(
109;4
605;)(
σ
σ
σ
Lösung 4.5
→ =
↑ + − − =
⋅ − − =
= =
:
:
:
F
F F ql F
B F l ql Fl
F N F N
BH
BV C
C
C BV
0
0
2 12
0
2000 4000
2
( )
0 02
0 4 012
0 0 2 0 2 0
1 2
1 1 2
1 1 12
2 2
≤ ≤ ≤ ≤
= − ⋅ = − = −
= =
= ⋅ − ⋅ = ⋅ −
= = = =
z l z lF z F q z F z F kNF kN F l
M z F z q z M z F l z
M M l kNm M kNm M l
Q BV Q C
Q Q
BV C
( ) ( )( ) ; ( )
( ) ( )
( ) ; ( ) ( ) ; ( )
1500N
4500N
+-
1500N
FQ
150mm 9.105Nmm
-+
1,125.105Nmm
σzy
Zugsp.
Drucksp.
FBVFCz1 z2
FBH
qlF
+
-
+
2kNm
4kN
2kN
σ σπ
πσ
σ σ
maxmax
erf
max
max
vorh
W
W
= ≤ = −
=
−
= ⇒ =
= ⇒ = = = ⋅
= = < =
M W D dD
dD
D M D mm
D mm d D mm W mm
M Nmm
Nmm
zul
erf
zulerf
gew vorh
vorh zul
3 4
3 4
4 3
2 2
321 3
4
321 3
463 6
6434
48 1 759 10
113 68 115
,
,
,
Lösung 4.6
( ) 222222
*2
*222
2
21111
1
2254)4(;
21)0(
21)(
0)()()(
4021)()(
0
qlFllMqlMzlqFzzM
lqFzzFFzlqzF
lz
qzzMqzzF
lz
Q
−=−=+−=
−=⇒=++−=
≤≤
−=−=
≤≤
2max
2max
222
*2
*2
29
23
0)(29)4(
23)2(
21)4(
22.23.1
qlMqlM
lMqllMqllMqllM
lzlzqlFqlF
==
=−==−=
==
==
M W
W dzulmax =
=
σ
π 3
32
32 32
92 32
23 32
3 27 29 32
1 09
3 4910 2 1090
23
23
3
2
3
2
ql d ql d
q dl
Nmm
q dl
Nmm
F ql N F ql N
zul zul
zul zul
= =
= = = =
= = = =
πσ
πσ
πσ
πσ, ,
z1z2
q
F
2ql2ql
ql
0,5ql2
1,5ql2
0,5ql2
3ql
qlql
4,5ql20,5ql2
+- -
+
-+
-
--
Lösung 4.7 M ql
für I h mm A mm
I mm W mmM
Iy
xx x
xx
max
max
= −
= =
= ⋅ = ⋅
= ⋅
12
20 200 3350
2 14 10 2 14 10
2
2
7 4 5 3
: ; ;, ; ,
σ
Verstärkter Träger:
( )y
b c h c
b c Amm
I I A y b c h c y mm
M y
S
xxv xx S S
v v
= −⋅ ⋅ +
⋅ += −
= + ⋅ + ⋅ + −
= ⋅
=
12 22 2
2 22 923 102
27 4
,
,
σ max
xxvI
Maximale Zugspannung:
[ ] %7,35%100%
:%2I2I
max
vmaxmax
xxv
maxvmax
xx
maxmax
=⋅−
=∆
−+−⋅=
−⋅=
σσσσ
σσ
inAbweichung
ychMhMS
Lösung 4.8
σ
σ
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
z M zW z
M z F z W z bh z
h z h zl
W z bh zl
z F z
bh zl
xx
x
max
max
= = ⋅ =
= +
= +
=⋅
+
2
002 2
02
2
6
1 26
1 2
6
1 2
Ort der max. Biegespannung entweder an der Einspannstelle (max. Moment) oder an der
Stelle, an der d z
dzσmax ( )
= 0 ist.
d zdz
Fbh
zl
zl
zl
zl
zl
zl
zl
σmax ( )=
+
− +
+
=
+
− = =
6 1 2 4 1 2
1 20
1 2 4 0 12
02
2
4
( ) 20
max20max 3
243
2 bhFll
bhFll
==
σσ
x
xv
h(z)
z
h03h0
σmax(z)
z 0,5ll
σmax
Die absolut größte Spannung beträgt σmax =34 0
2Fl
bh und tritt an der Stelle z l=
2 auf.
Lösung 4.9
σ
σ
maxmax
max
max
W= = = ⋅ =
⋅= ⋅
=
M M Fl Nmm W bh mm
Nmm
44 10 6
61 25 10
320
52
3 3
2
,
F
-+σ Lösung 4.10
zul
zulzul
hFllhbmeTrägermass
hFlb
bhMlFM
σρρ
σσσ
2
22max
maxmax
6
66
=⋅⋅⋅=
===⋅=
Die Masse des Trägers wird bei gleicher Tragfähigkeit um so kleiner, je größer die Höhe h wird. Die Höhe h kann jedoch nicht beliebig vergrößert werden, weil sonst die Stabilität verloren geht und der Schubeinfluß berücksichtigt werden müßte (wandartige Träger). Lösung 4.11
M Nmm
Ibh b s h t
mm
MW
WI
mmmm
Nmm
xx
xx
max
maxmax
max
= ⋅
= −− −
= ⋅
= = = ⋅
=
8 10
122
1212 921 10
1001 292 10
61 92
6
3 36 4
5 3
2
;( )( ) ,
,
,
*
**
**
*
σ
σ
( )( )
)%71(605,13510976,14
154,191044.24,242
75W
100671,1100
10671,1012
**2
**33**
2*
2max
max
35463
*
mvonkgmmmkgsdm
kgVmcmlAVcmthsbbhA
mmNM
mmmm
IWmmsdII
LL
xxxxxx
≈=−==⋅⋅=
=⋅=⋅=⋅=
=−−−=
==
⋅==⋅=−=
ρπρ
σ
Einsparung an Material von 29% bei einer Spannungserhöhung von 21%.
FFF
F
Mmax=0,4Fl
x x
dx x
Lösung 4.12
)(71,145,3123232)(
5,312)(1025)(22
.3
4,10832
1025,110102
.2
2,5432
156251025,1.1
3221)(
3 2332
3
2310
13
356
03
360
3
zdmmzzmmWzd
zmmzMWzNzMblzb
dmmW
d
mmMWNmmMlz
dmmW
d
mmMWNmmMbz
dWzFzM
erferf
zulerf
erferf
zul
FerfF
erferf
zul
AerfA
=⋅⋅=⋅⋅
==
⋅==⋅⋅=−≤≤
===
⋅==⋅==
===
==⋅==
=⋅=
ππ
σ
π
σ
π
σ
π
Lösung 4.13
mmhlzh
mmzb
zMzh
zbhzM
WzM
FzzM
zulzul
21,173)(
25,12)(6
)()()(6)(
)(
0
2max
===
⋅=====
−=
σσσ
Da die Höhe des Trägers in der gleichen Größenordnung wie die Länge liegt, sind die ermittelten Spannungen nur Näherungen. Lösung 4.14
( )
( ) ( )
A bt h t t
ebt t h t t h t
bt h t t
bt h t
b h t
WM
mm WM
mm
Ibt
bt et t h t
t h th t
e
erfz erfd
xx
= + −
=⋅ + − ⋅ +
+ −=
+ −
+ −
= = ⋅ = = ⋅
= + −
+
−+ − + −
( )
( ) ( )
( )
,,
212
12
1 102 5
0 4 10
12 2 12 2 2
2 2
6 3 6 3
3 2 3 2
max
zul
max
zulσ σ
M Fl Nmm MI
e MI
h e
eh e
e h
Azul
dzul
A
xx
A
xx
zul zulzul
dzul
= − = − ⋅ = = ⋅ − = ⋅ −
= = = =−
⇒ =
60 10 25
2 525
7 2
6 σσ
σ σ
σ σ σ σσσ
maxz maxd
maxz maxd
( ) ( )
,
b
e t
x x t
h S
y
72
23h 4 7
4 7
2 2 2 2
⋅+ −+ −
= ⇒ =+ −
−bt h t
b h th b
ht th t
Annahme: h = 320mm ⇒ b = 289,474mm; e = 91,4285mm; h - e = 228,5715mm Wz = 1,3193 . 106mm3 > 1 . 106mm3
Wd = 0,5277 . 106mm3 > 0,4 . 106mm3
Annahme: h = 280mm ⇒ b = 260mm; e = 80mm; h - e = 200mm ; h e
e−
= 2 5,
Wz = 1,0053 . 106mm3 > 1 . 106mm3
Wd = 0,4021 . 106mm3 > 0,4 . 106mm3
Verbesserung mit Regula falsi ergibt: h = 279,32mm und b = 259,5mm, d.h. damit gewählt h = 280mm und b = 260mm. Lösung 4.15
Es gilt:
+≤≤−≤≤
+−⋅=
≤≤−⋅=
=
2222
22
).(
01
00011
000
hhyhundhyhhfüryE
hyhfüryE
HypotheseBerny
ρσ
ρσ
ρε
M Ey
bdy Ey
bdyM
E bh EE
hh
h
hh h
= +
=
+ +
−
+
∫∫21
121 1 2 1
0
2
1
2
0
003
1
0
1
0
302
02 1
02
ρ ρ ρ
Spannungen im Grundmaterial:
σ =⋅
+ +
−
M y
bh EE
hh
03
1
0
1
0
3
121 1 2 1
Spannungen in der Auflage:
σ =⋅
+ +
−
EE
M y
bh EE
hh
1
0
03
1
0
1
0
3
121 1 2 1
Zahlenwerte:
F = 1000N; M F l Nmm=⋅
=4
50000
Grundmaterial: σ σG y h Nmm
=
= =02 02
77 max
Auflage: σ σ σ σ σA G A AEE
Nmm
h hh
Nmm1
1
02 2 1
01
02 146 2 2
2
53 9= = =+
= =, ; , max
h0
h1
y E0
E1
E1
h1
h0
h1
σG
σA1 σA2
Lösung 4.16 Annahme: Beton überträgt auch Zugspannungen!
)4(
12
112
1
4412
4
)3(
4
04
)2();1(
)(
23
23
02
22
3
02
0)(
0
2
02
0)(
000
0
aEAEAEAEAbhE
M
aEAEAEAEAbhE
EadnaEdnbhEM
aaEdnydAyEydAM
aEAEA
EA
hbAunddnAMit
aEdnhbEdAF
aEyEyE
schunsymmetriy
SSBB
SSBBB
SSBB
SSBBB
SSB
SA
BA
SSBB
SS
BS
SBA
L
SSSBBeton
B
⋅+⋅
+=
⋅+⋅
+=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=
⋅
+⋅⋅+
+=⋅=
⋅+
−=
⋅≅⋅=
=
+⋅⋅+⋅⋅⋅≅=
+≅
+=
+=
+=
∫∫
∫
ρ
ρ
επρ
πρ
ερ
περ
σ
ρε
π
ερ
πεσ
ερ
ερ
σερ
σ
ερ
ε
Mit (4) ist ε0 aus (3) zu bestimmen und aus (1) und (2) ergeben sich σBeton und σS. Zahlenwerte:
Mql
Nmm A mm A mm
aus mm aus
aus yh
Eh N
mm
yh
Eh N
mm
aus Ea N
mm
S B
Beton B
Beton B
S S
max = = ⋅ = ≅ ⋅
= ⋅ = − ⋅
=
= ⋅ +
=
= −
= ⋅ − +
= −
= ⋅ +
=
− − −
26 2 4 2
6 10
6
0 2
0 2
0 2
850 10 314 16 8 10
4 1 1 2715 10 3 5 023 10
12 2
8 72
2 29 08
2 44 8
; , ;
( ): , ; ( ): ,
( ): ,
,
( ): ,
ρε
σρ
ε
σρ
ε
σρ
ε
Lösung 4.17 x und y sind Hauptachsen, Mb wirkt nicht in Richtung einer Hauptachse und muß zerlegt werden, d.h. schiefe Biegung.
σ( , )x yMI
yMI
xbx
xx
by
yy
= ⋅ + ⋅
Mit dem Koordinatensystem aus der Skizze erhält man:
Mbx = - Mb cos30° = -866 Nm und Mby = - Mb sin30° = -500 Nm
I bh mm I hb mm
x y Nmm
y Nmm
x
x y y x
xb
yh N
mm
xx yy= = ⋅ = = ⋅
= − ⋅ − ⋅
= ⇒ = −
= = − = −
=
36 4
36 4
3 3
2
120 72 10
120 32 10
1 194 1 563
0 1 31
2 267 1
, ; ,
( , ) , ,
( , ) ,
, ,
σ
σ
σ σmax
Lösung 4.18 Größte Beanspruchung an der Einspannstelle! Max. Spannung an einem Eckpunkt des Querschnittes, d.h.:
mmbmmbFl
hh
Flb
hFlb
hFlb
hbFl
bhFl
hblFM
bhlFM
MMx
My
M
gewzul
zul
zulzulzul
607,5824
1112
06246246
W
6W22
WWII
3
2
22
22max
2
yymax
2
xxmax
y
ymax
x
xmaxmax
yy
ymaxmax
xx
xmaxmax
==
⋅+±=
=−⋅−⇒=+=
=⋅=
=⋅=
+=+=
σσ
σσσσ
σ
Nur das positive Vorzeichen ist physikalisch sinnvoll. Lösung 4.19 Die Biegung erfolgt in zwei Ebenen, jeweils um eine Hauptachse.
F FF
F F F F z l M
z l M
z l M
z l M
By Cy Bx Cx
y
= = = = ≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
12 2 1
2
1
2
234
14
0 2
0 2
0
0 3
; ;
(
30°
Mb
x
y σ = 0
F1ly-z-Ebene
+34 2F l
-x-z-Ebene
F1
y-z-EbeneFBy FCy
l l 2lFBx FCx
F2
x-z-Ebene
Angriffsstelle von F1:
( )σ x y z konst M z lI
yM z l
Ix
M z l F l Nm M z l F l Nm
x
xx
y
yy
x y
, , . ( ) ( )
( ) ( )
= ==
⋅ +=
⋅
= = = = = − = −
1 2
1 1 2 2
2
2 7000 12
1750
Aus der Tabelle für I 16: Ixx = 9,35 . 106 mm4, Iyy = 0,547 . 106 mm4
( )σ
σ σ
x y Nmm
y Nmm
x
x mm y mm Nmm
, , ,
( , ) ,
= ⋅ − ⋅
= = − = =
0 75 3 2
37 80 178 4
3 3
2max
Angriffsstelle von F1:
( )
M z l F l Nm M z l F l Nm
x y Nmm
y Nmm
x
x mm y mm Nmm
x y( ) ( )
( , ) , ,
, ,
1 1 1 2
3 3
2
12
3500 34
2625
0 375 4 8
37 80 207 6
= = = = = − = −
= ⋅ − ⋅
= = − = =
σ
σ σmax
Lösung 4.20
σ = +MI
yMI
xx
xx
y
yy Mbx = Mx Mby = - My
I th bt h th h
I tb ht b tb b
Flth
y x
xx
yy
= ⋅ +
= +
= ⋅ +
= +
= −
212
22
16
3b
212
22
16
3h
67 10
3 22
3 22
3
( )
( )
σ
Spannungsnullinie : σ = =0 710
oder y x
x
z
y
xy
S
xy +
+
-
-+
-
Lösung 4.21 Sind x und y keine Hauptachsen, so gilt für Schwerpunktskoordinaten bei schiefer Biegung:
( )
σ( , , )( ) ( ) ( ) ( )
( )
x y zM z I M z I
I I Iy
M z I M z II I I
x
mitM M M
Ic c
c cc c
c
I c c c c c c c
I c c c
x yy y xy
xx yy xy
x xy y xx
xx yy xy
x b y
xx
yy
xy
=⋅ + ⋅
⋅ −⋅ +
⋅ + ⋅
⋅ −⋅
= =
=⋅
+
+
⋅=
=⋅
+
+
⋅=
= − ⋅ ⋅
2 2
32
2 34
32
2 34
2
0
22
122
32
212
10
2 212
2 12
212
52
2 0 2 12
32
+ = −
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= ⇒ =
= − = = ⋅ =
0 3
532
316
0 65
22 13
320 40625
4
4 4
3 3
c
x yMc
yMc
x
x y y x
x c y c Mc
Mc
b b
b b
σ
σ
σ
( , )
( , )
( , ) ,max
Lösung 4.22
( )
2II
max2I
33
46422
4642
232
23
464223
223
2
22
90)3023,20(
100)5025,0(
430),(
5.12),(
1048,032130)(
2130
1064,04213
123
213
12)3(
1036,12
1731233
123
0200021)(
)()()()(),,(
mmNmmcymmcx
mmNmmcyx
xyyx
xmm
Nymm
Nyx
mmcccccccI
mmcccccccccI
mmcccccccccI
MNmqllM
mit
xIII
IlMIlMy
IIIIlMIlM
lzyx
xy
yy
xx
yx
xyyyxx
xxyxyx
xyyyxx
xyyyyx
=−=−=−=−=
=−====
−=⇒=
⋅⋅−⋅⋅−=
⋅==
⋅
−⋅−+
−⋅⋅−=
⋅==
+
⋅+
+
⋅=
⋅==
+
⋅+
+
⋅=
=−=−=
⋅−⋅
⋅+⋅+⋅
−⋅⋅+⋅
==
σ
σσ
σ
σ
σ
A
x
y
Mb
σ = 0
yc c
cc
xc c
cc
S
S
=+
=
=+
=
32
152
632
92
32
6
3 3
2
3 3
2
Lösung 4.23 Statik Aufgabe 3.7: A = 13cm2; xS = 1,6538cm; yS = 2,6638cm; Ixx = 80,78cm4; Iyy = 38,78cm4; Ixy = -32,31cm4
z = 0: Mx = -F1l = - 106Nmm; My = F2l = 106Nmm; FL = - F3 = -104N
25
24
23
22
21
22
1,187)5,16,5,43(
6,154)5,53,5,6(
5,100)5,53,5,16(
9,171)5,26,5,16(
153)5,26,5,43(
)0()0()0()0()0,,(
mmNmmymmx
mmNmmymmx
mmNmmymmx
mmNmmymmx
mmNmmymmx
xIII
IMIMy
IIIIMIM
AFzyx
xyyyxx
xxyxyx
xyyyxx
xyyyyxL
−=−=−=
−===
−===
=−==
−=−=−=
⋅−⋅
⋅+⋅+⋅
−⋅⋅+⋅
+==
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Lösung 4.24
NFFNFF
NFFNFF
BHBV
AHAV
80032;333
31
40031;667
32
21
21
====
====
03
30
36 67 10
323 3
3 33 10
30
34 10
323
8 10
2
2 2 1 24
14
2 24
4
≤ ≤
= +
− = = ⋅
= − = ⋅
= +
= = ⋅
= = ⋅
z l
M z F l z F z M F l Nmm
M l F l F l Nmm
M z Fl
z M Fl
Nmm
M l F l Nmm
x AV x AV
x AV
y AH y AH
y AH
( ) ( ) ,
,
( ) ( )
yS
xS
S
σ = 0
I
II
xy
A B
z2x y
F1 F2
( ) ( )
220
204
202
202
20
420
420
2022
21
22
21
222
22
222
122
12
1
22
112
2222
2
2
23
24
32
32
21422
33
22
22
2
2,12)()(1069,7)()()(
10918,410906,5
95,223
2031
91
32
92
31
310
2
22)(
8,13)(1067,8)()(3
4,12)0(1078,7)0()0()0(
628332
)()()(
mmN
WzMzNmmzMzMzM
NmmzMNmmzM
mmzlFFFFzzFlFzFzFlF
FFz
MFFF
zM
MMz
MM
zMM
dzzdM
mmN
WMNmmMMlM
mmN
WMNmmMMM
mmdWzMzMzM
resyxres
yx
AHy
AVx
yx
yy
xx
res
lresl
yl
xres
resyxres
yxres
==⋅=+=
⋅=⋅=
==⋅+−
==+++−−
==−=−==+
+=
==⋅=+=
==⋅=+=
==+=
σ
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂
σ
σ
π
Für z2 = z20 = 22,95mm nimmt die Biegespannung im Bereich 2 ein Minimum an. Lösung 4.25
( )
yc c
cc
I c c c c c c c c c
S
xx
=⋅
=
=⋅
+ ⋅
+
⋅+ ⋅
=
9 518
52
912
9 52
912
9 52
174
2
2
32
2 22
24
F z F M z FcFA
M zI
y Fc
Fcc
y
SpannungsnullinieFc
Fc
y y c c
Fc
Fc
Fc
Nmm
L
zL
xx
z
y c
( ) ( )( )
( )
,
,
= = −
= + = −
=
− = ⇒ = =
= + = ==−
3
183
1740
18 580
299
3 22
183
5856
52242 9
2 4
2 3 0 0
3 2 2 2 2
σ
σ
σmax
x xy0
ySS
S1
S2
y
F
3c
zFL(z) M(z)
Lösung 4.26
σzL x
xx
y
yy
L x y
FA
MI
yMI
x
F F M F h M F b
= + ⋅ + ⋅
= = ⋅ = ⋅2 2
Maximale Spannung tritt an der Lastangriffsstelle auf.
σ
π
π π
σ σ σ
zL x
xx
y
yy
xx yy
z zul zul
FA
MI
h MI
b
A b h d mm
I bh d mm I hb d mm
Fmm
F mm N
max
max
= + ⋅ + ⋅
= ⋅ − = ⋅
= − = ⋅ = − = ⋅
= ⋅ ⋅ ≤ ⇒ ≤ ⋅ = ⋅−
2 2
43 544 10
12 642 434 10
12 641 314 10
1 625 101 10
1 62586 10
2 3 2
3 46 4
3 46 4
32
32 3
,
, ,
,,
Lösung 4.27
( )
0 012
0
12
12
12
1 2
1
1 12
2
≤ ≤ ≤ ≤
= =
= − = −
= − = −
z b z b
F qb F
F qb qz F qb
M qbz qz M qb b z
L L
Q Q
σ σσ σmax
max
x
max
W= ≤ ⇒ = = = ⋅
MW
M qbmmzul xerf
zul zul
23 3
231 2 10,
Gewählt: I 10 mit Wx = 34,2 . 103mm3 und A = 1,06 . 103mm2.
FLx
y
z FMx
My
F h⋅
2F b
⋅2
qb z1
z2
0,5qb
0,5qb
FL
+
FQ
0,5qb
0,5qb
qb +
-M
+
+
0,5qb2
Spannungsnachweis:
22
22
2
x
maxmax
1602,151
5,1467,422W
mmN
mmN
mmN
mmN
Wqb
AqbM
AF
zulvorh
x
L
=<=
+=+=+=
σσ
σ
Die Zugspannung ist wesentlich kleiner als die Biegespannung.
Lösungen 4.31 und 4.32
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
EIv z M z
M z F l z q l z
EIv z q l z F l z
EIv z q l z F l z C
EIv z q l z F l z C z C
′′ = −
= − − −
′′ = − − −
′ = − − + − +
= − − − + +
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
12
12
16
12
124
16
2
2
3 21
4 31 2
RB v ql Fl C C ql Fl
v ql Fl C C ql Fl
EIv z ql zl
zl
Fl zl
zl
F EIv z ql zl
zl
v z l v
: ( )
( )
( )
. : ( ) ( )
′ = = − + + ⇒ = −
= = − + ⇒ = − +
= −
+ −
− −
+ −
= ⇒ = −
+ −
= =
0 0 0 16
12
16
12
0 0 01
2416
124
16
124
1 4 1 16
1 3 1
3 28 0 124
1 4 1
3 21 1
3 2
4 32 2
4 3
44
33
44
E
B B
qlEI
v z l v ql Fl F ql
=
= = = ⇒ = − =
4
4 3
8
3 29 0 0 18
13
38
. : ( )
Lösung 4.33
( ) ( )
F F F F
z a z a
M z F z Fz M z F a z F a z
B C
B C
= =
≤ ≤ ≤ ≤
= = = − = −
23
13
0 0 223
2 13
2
1 2
1 1 1 2 2 2
;
( ) ( )
M(z)l-z F
zy,v
A Bq
q
F
z1 z2
F
FB FC
EIv z Fz EIv z F a z
EIv z Fz C EIv z F a z C
EIv z Fz C z C EIv z F a z C z C
RB ÜB v z Cv z a C a C
v z a v z Fa C
′′ = − ′′ = − −
′ = − + ′ = − +
= − + + = − − + +
= = ⇒ =
= = ⇒ + =
= = = ⇒ − +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
/ : ( )( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 12
1 2 22
3
1 13
1 1 2 2 23
3 2 4
1 2
2 3 4
1 23
23
13
2
13
16
2
19
118
2
0 0 02 0 2 0
0 19 1
34
1 22
12
3
12
2 32
43
49
0 13
23
59
0 49
89
a Fa C
v z a v z Fa C Fa C
C Fa C C Fa C Fa
= − +
′ = = ′ = ⇒ − + = +
= = = − =
( ) ( )
v z FaEI
za
za
v z FaEI
za
za
za
v v z a v z FaEIF
( ) ( )
( ) ( )
1
31 1
3
2
32 2
22
3
1 2
3
95
188 4 6
0 49
= −
= + −
+
= = = = =
Lösung 4.34
( )
F F F F
z a z a
M z F z Fz M z F a z
B C
B
= =
≤ ≤ ≤ ≤
= − = − = − −
12
32
0 2 012
1 2
1 1 1 2 2
;
( ) ( )
EIv z Fz EIv z F a z
EIv z Fz C EIv z F az z C
EIv z Fz C z C EIv z F az z C z C
RB ÜB v z Cv z C
v z a Fa C a C Fa
′′ = ′′ = −
′ = + ′ = −
+
= + + = −
+ +
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ + = = −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/ : ( )( )
( )
1 1 2 2
1 12
1 2 222
3
1 13
1 1 2 222
23
3 2 4
1 2
2 4
13
1 1
1214 2
112 2 6
0 0 00 0 0
2 0 23
2 0 13
2
1 22
1 3 322 0 2
3′ = = ′ = ⇒ + = =v z a v z Fa C C C Fa( ) ( )
v z FaEI
za
za
v z FaEI
za
za
za
v v z a FaEI
mit I c v mmF F
( ) ( )
( ) , ,
1
31 1
3
2
32 2
22
3
2
34
124
64 3
151 25 26 45
= − +
= +
−
= = = = =folgt
Lösung 4.35
( ) ( )
q z qz
a bM z F z q z z
q z q a za b
M z F a z F z q z a z
B
B C
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 01
1 1 1 12
2 02
2 2 2 2 22
16
16
= ⋅+
= − ⋅
= ⋅++
= + + − ⋅ +
EIv z q za b
F z
EIv z q za b
F z C
EIv z qz
a bF z C z C
B
B
B
′′ =+
−
′ =+
− +
=+
− + +
( )
( )
( )
1 013
1
1 014
12
1
1 015
13
1 1 2
161
2412
1120
16
z1 z2
F
FB FC
FBz1z2 FCD
q0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
EIv z qa za b
F a z F z
EIv z qa za b
F a z F z C
EIv z qa za b
F a z F z C z C
B C
B C
B C
′′ =++
− + −
′ =++
− + − +
=++
− + − + +
( )
( )
( )
2 02
3
2 2
2 02
4
22
22
3
2 02
5
23
23
3 2 4
161
2412
12
1120
16
16
RB/ÜB:
( )[ ] ( ) ( )[ ]
1 0 0 0
2 0 16
1120
3 0 0 16
1120
4 0 16
1120
1120
16
16
1 2
1 12
0
4
2 4 13
0
5
1 2 3 12
0
4
2 04 4 3 2 2
. ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
:
( )
v z C
v z a C F a q aa b
v z C C a F a q aa b
v z a v z C C F a q aa b
Verschiebu ng des Punktes D
EIv EIv z b q a b a F b F a b a b a
B
B
B
D C B
= = ⇒ =
= = ⇒ = −+
= = ⇒ = = −+
′ = = ′ = ⇒ = = −+
= = = + − − − + + −
Ermittlung der Auflagerreaktionen:
( ) ( )
( ) ( )( )
← = ↑ + − + = − + =
=+
= =+ −
=
=
: : :
, ,
,
F F F q a b B F a q a b
F q a ba
kN F q a b a ba
kN
EIv kNm
BH B C C
C B
D
0 12
0 13
0
13
81 667 16
2 5 833
12 223
0 02
0
2
0
3
Ermittlung von I: Im 1.Bereich ist FQ = 0 möglich.
( )
( )
− ++
= ⇒ = + =
=
= = = −+
= − ⋅
= ≤ ⇒ = = ⋅
F qz
a bz
Fq
a b m
M z kNm relat Extremwert
M M z a F a qa
a bNmm
MW
WM
mm
BB
B
zul erfzul
12
0 2 0 904
3 516
16
22 62 10
188 5 10
01
2
10
1
1 0
36
3 3
**
*
,
, ( . )
( ) ,
,
max
maxmax maxσ σ
σ
I 20 gewählt mit W = 2,14 . 105mm3 und I = 2,14 . 107mm4
v mm mmD =⋅
⋅ ⋅=
12 223 102 1 2 14 10
2 7212
12
,, ,
,
Lösung 4.36 RB/ÜB:
( )
( )( )
12
0
22
0
3 0 0
4 0
1
1 2
2
2
.
.
.
.
v z l
v zl
v z
v z
v z l
=
=
′ =
= ′ =
= =
= =
42322
32
422211
311
3222
3221
211
222211
222211
21
41
61
241)(
61)(
21
21
61)(
21)(
21
21)()(
21
21)()(
02
0
CzCFlzzFqzzEIvCzCFzzEIv
CFlzzFqzzvEICFzzvEI
FlzFqzzvEIFzzvEI
FlqzzFzMFzzM
lzlz
AV
AV
AV
AV
+++−=++=
++−=′+=′
+−=′′=′′
−−=−=
≤≤≤≤
( )GG B F l ql Fl F ql F
aus Fl C l C
aus Fl C C
aus C
aus ql F l Fl C l C ql Fl
C ql Fl C Fl ql
EIv z Fl zl
zl
ql zl
AV AV
AV
: :
.:
.:
.:
.:
( )
− − = ⇒ = +
+ + =
+ =
=
− + + = ⇒ = −
= − = −
=
−
+
+
12
12
0 12
1 148
12
0
218
3 0
4 124
16
14
0 124
16
124
724
18
148
244 7 3
482
2
31 2
21 3
4
4 3 33 3
3 2
13 2
23 4
1
31
31
41
−
=
−
+
−
−
+
= = = = −
= = =
1
242
123 2
048
6 124
13
0 333
2
42
42
32
32
32
22
12
4 4
EIv zql z
lzl
zl
Fl zl
zl
zl
v v zCEI
qlEI
Fql
qlEI
mm mmC
( )
( ) ,
Lösung 4.37
Symm. Rahmen mit antimetr. Belastung, Antimetrieschnitt → = ↑ − = = = ⋅ +
= − = −
: :F F F F M F l F l
F F F
AH AV QC C AV AH
AV AH
12
0 02
2
A B
CF
z1
z2FB
FAH
FAV
z1
z2FQC
FAVA
C0,5F
FAH
Aus dem Gesamtsystem: F F F F F F F F FAV BV BV AH BH BH+ = = + − = =0 0 12
M z F z M z F l F zEIv z F z EIv z F l F z
EIv z F z C EIv z F lz F z C
EIv z F z C z C EIv z F lz F z C z C
RB ÜB v z Cv z
AH AH AV
AH AH AV
AH AH AV
AH AH AV
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/ : ( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 12
1 2 2 22
3
1 13
1 1 2 2 22
23
3 2 4
1 2
2
12
12
16
12
16
0 0 00
= = +
′′ = − ′′ = − −
′ = − + ′ = − − +
′ = − + + = − − + +
= = ⇒ =
= = 0 0
0 12
20
18
148
12
01
12
4
1 22
1 3
23 3
3 32
⇒ =
′ = = ′ = ⇒ − + =
=
= ⇒ − − + = =
C
v z l v z F l C C
v zl
F l F l C l C Fl
AH
AH AV
( ) ( )
EIFl
EIFl
EIFllzvv
FlC
F 4312)(
31
333
1
21
=+−===
=
Lösung 4.38
→ = ↑ =
= − ⋅ − ⋅
: :
:
F F F F
A M F l F l
AH AV QC
A QC
12
2 2
00)0(
021
481
81
810
2
21)0()(
00)0(00)0(:/
61
21
21)(
61
21)(
21)(
21)(
)()()()(
11
3332
2
312
21
42
21
42332
22
222211
31
211
3222221
2111
2211
2211
=⇒==′
=+−−−⇒=
=
=+−−⇒=′==′
=⇒===⇒==
++−−−=++−−=
+−−−=′+−−=′
−−−=′′−−=′′++=+=
Czv
lClFlFlMlzv
CClFlMzvlzv
CzvCzvÜBRB
CzCzFlzFzMzEIvCzCzFzMzEIv
CzFlzFzMzvEICzFzMzvEI
zFlFMzvEIzFMzvEIzFlFMzMzFMzM
AVAHA
AHA
AVAHAAHA
AVAHAAHA
AVAHAAHA
AVAHAAHA
FBH
vF
FBVFAV
0,5 l
CF
FAH
z1
z2FQC
FAV
C0,5F
FAH
MA
− − =
+ + =
M l F l C
M l F l F l C
A AH
A AH AV
12
14
14
124
23
2 23
GG. einsetzen liefert: F F F F M Fl
F F F F M Fl
QC AV A
BH BV B
= − = − = −
= = =
37
37
27
12
37
27
; ;
; ;
v v z lFl
EIFlEI
FlEIF = = = − + =( )1
3 2 2
12 7584
Lösung 4.39
Auflagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen:
F F F F FF F F F
GH BH GV BV
AH AV
= = = =
= = −
0; ;;
635342332
222211
311
53322221
211
32211
32211
)(61
21)(
61)(
)(21)(
21)(
0)()()(0)()()(
CzCzEIvCzCFzFlzzEIvCzCFzzEIv
CzvEICFzFlzzvEICFzzvEI
zvEIFzFlzvEIFzzvEIzMFzFlzMFzzM
+=+++−=++−=
=′++−=′+−=′
=′′+−=′′−=′′=−==
Rand- und Übergangsbedingungen:
613
31
653
233
332
312
21
42
21
61)0()(.6
00)(.5310
61
210)(.4
21)0()(.3
00)0(.200)0(.1
ClCFlzvlzv
ClClzv
FlClCFlFllzv
CCFlzvlzv
CzvCzv
−=+−⇒=−==
=+⇒==
==++−⇒==
=+−⇒=′==′
=⇒===⇒==
C Fl C Fl C Fl
v v z l v z CEI
FlEIF
12
63
52
1 36
3
56
23
23
0 23
= = − =
= = = − = = − =( ) ( )
FBH
vF
FBVFAV
CF
FAH
z1
z2 FGV
FAVA
FGHF
FAH
FGV
z3
FBV
FBH
FBH
vF
FBVFAV
G.F
FAH
Lösung 4.40
Die 6 Gleichgewichtsbedingungen liefern: FBH = 0 FBV = 0 MB = 0 FGH = 0 FGV = 0 FC = 2qa
( )M z M z qz M z q a z
EIv z EIv z qz EIv z qz qaz qa
EIv z C EIv z qz C EIv z qz qaz qa z C
EIv z C z C EIv z qz C z C EIv z qz
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 22
3 32
1 2 22
3 32
32
1 1 2 23
3 3 33
32 2
3 5
1 1 1 2 2 24
3 2 4 3 3
0 12
12
0 12
12
12
16
16
12
12
124
124
= = − = − −
′′ = ′′ = ′′ = − +
′ = ′ = + ′ = − + +
= + = + + ′ = 433 2
32
5 3 6
16
14
− +
+ +
qaz qa z
C z C
1 0 0 02 0 0 0
3 01
240
124
4 0 0 05 0 0
6 0 16
18
1 2
1 1
24
3 4 33
3 6
1 2 4
2 33
3 5 53
. ( ). ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( )
v z Cv z C
v z a qa C a C C qa
v z Cv z a v z C
v z a v z qa C C C qa
= = ⇒ =
′ = = ⇒ =
= = ⇒ + + = = −
= = ⇒ =
= = = ⇒ =
′ = = ′ = ⇒ + = =
EIqaazvv
az
az
az
az
EIqazv
zvazvvaz
az
EIqazv
zv
D
G
4)(364
24)(
0)0()(24
)(
0)(
4
33
23
33
43
4
3
212
42
4
2
1
===
+
+
−
=
=====
−
=
=
Lösung 4.41
Die 6 Gleichgewichtsbedingungen liefern:
2qa
z1 z2 z3FC
-M(z)
0,5qa2
3qa
z1 z2 z3FC
MB
FBV FGV
FGHFBH
F F qa M qa
F F qa F qa
BH BV B
GH GV C
= = =
= = =
0 34
34
0 34
94
2
( )
( )
42332
422211
31
211
322
3221
2111
222211
222211
81
241)(
61
21
43)(
83
61)(
21
43)(
43
21)(
43)(
21
43)(
43)(
CzCqazqzzEIvCzCzazqazEIv
CqazqzzvEICzazqazvEI
qazqzzvEIzaqazvEI
qzqazzMzaqazM
++−=++
−=
+−=′+
−=′
−=′′−=′′
−=−−=
( )
63523
233
433
5322
3333
23
233
233
41
61
241)(
21
21
61)(
21
21)(
21)(
CzCzqaqazqzzEIv
CzqaqazqzzvEI
qaqazqzzvEI
zaqzM
+++−=
++−=′
+−=′′
−−=
1 0 0 02 0 0 0
3 2 013
2 01
244 0 0 0
5 014
6 2 0 16
18
1 2
1 1
24
3 4 33
3 6
1 2 44
2 33
3 5 53
. ( ). ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( )
v z Cv z C
v z a qa C a C C qa
v z C
v z a v z C qa
v z a v z qa C C C qa
= = ⇒ =
′ = = ⇒ =
= = ⇒ − + + = =
= = ⇒ =
= = = ⇒ =
′ = = ′ = ⇒ − + = = −
0)(36424
)(
4)0()(63
24)(
38
)(
33
23
33
43
4
3
4
212
32
42
4
2
31
21
4
1
===
−
+
−
=
=====
+
+
−
=
−
=
azvvaz
az
az
az
EIqazv
EIqazvazvv
az
az
az
EIqazv
az
az
EIqazv
D
G
-M(z)
0,5qa2
0,75a
0,75qa2
932
2qa
-+
Lösung 4.42
( )
F F F F
M z F z M z F a z
B C D C
C C
= =
= = −
13
23
13
231 1 2 2( ) ( )
( )EIv z F z EIv z F a z
EIv z F z C EIv z F az z C
EIv z F z C z C EIv z F az z C z C
C C
C C
C C
′′ = − ′′ = − −
′ = − + ′ = − −
+
= − + + = − −
+ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 12
1 2 2 22
3
1 13
1 1 2 2 22
23
3 2 4
13
23
16
23
12
118
23
12
16
RB/ÜB: 1 0 0 0
2 2 29 2
3 0
4 0 29
5 2 0 23
23
32
0 94
111 8
1 2
1 12
2 4
2 32
1 22
1 3
23
. ( )
. ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
,
v z C
v z a h C F a EI ha
v z h C EI h
v z a C F a EI ha
v z a v z F a C C
F a EI ha
F EI ha
N
C
C
C
C C
= = =
= = = +
= = =
= = = −
′ = = ′ = − + =
− + = = =
∆∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
Lösung 4.43
( )
F F F F
M z Fz M z F a z
B D= =
= = −
23
13
23
13
21 1 2 2( ) ( )
( )EIv z Fz EIv z F a z
EIv z Fz C EIv z F az z C
EIv z Fz C z C EIv z F az z C z C
′′ = − ′′ = − −
′ = − + ′ = − −
+
= − + + = − −
+ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 12
1 2 2 22
3
1 13
1 1 2 2 22
23
3 2 4
23
13
2
13
13
2 12
19
13
16
z1 z2FB
0
FC
FD
z1 z2FB
0F
FD
C
RB/ÜB:
Na
hEIFFahEI
FaCFaCFaC
CCFazvazv
CaCFaazv
CaCFahEIhazv
CaCFazvazv
Czv
8,1277
18187
94
95
92
31)0()(.5
02980)2(.4
185)(.3
91)0()(.2
00)0(.1
33
34
21
23
312
21
433
2
433
2
413
21
21
=∆
==∆
===
=+−=′==′
=++−==
++−=∆∆==
=+−===
===
Lösung 4.44
M(z1) = - FC z1 M(z2) = M0 - FC (a+z2)
( )EIv z F z EIv z F a z M
EIv z F z C EIv z F az z M z C
EIv z F z C z C EIv z F az z M z C z C
C C
C C
C C
′′ = ′′ = + −
′ = + ′ = +
− +
= + + = +
− + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 0
1 12
1 2 2 22
0 2 3
1 13
1 1 2 2 22
23
0 22
3 2 4
12
12
16
12
16
12
RB/ÜB: 1 0 0 0
2 0 16
3 0 12
4 2 0 103
2 2 0
5 2 0 4 2 0
1 2
1 23
1 4
1 22
1 3
23
02
3 4
22
0 3
. ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( )
. ( )
. ( )
v z C
v z a v z F a C a C
v z a v z F a C C
v z a F a M a C a C
v z a F a M a C
C
C
C
C
= = =
= = = + =
′ = = ′ = + =
= = − + + =
′ = = − + =
M0
z1z2 FC
MB
FB0
aM
94F0a9F4M:4in
a2MaF3
13C:2 aus
a2MaF29C:3 aus
a2Ma4FC:5 aus
0CC0
20
3C4
02
C1
02
C3
==−
+−=
+−=
+−=
C M a C M a C C3 0 4 02
1 229
227
0 0= = = =
Die Gleichgewichtsbedingungen liefern:
F F Ma
F M M
M z M za
M M a M
M z M M za
M M M a M
B C BH B= = = =
= − = = −
= − +
= = −
49
0 13
49
0 0 49
49
1 0 59
2 13
00
1 01
0
2 0 02
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+
+
−
=
=
134
15272)(
272)(
22
23
2202
312
01
az
az
azaMzEIv
azaMzEIv
212
43
45
32
1530)(
2
2
1
2
2,1
2
222
2
2
=
=
±=
+
−==
az
az
az
az
az
azd
zdv
Lösung 4.45
Die Aufgabe ist einfach statisch unbestimmt. Gleichgewichtsbedingungen: ← − =
↑ + − =
⋅ − ⋅ =
:
::
F F
F F qaB F a F a
AH BH
AV BV
AV AH
0
2 00
M(z)+
-49 0M
59 0M
13 0M -
v(z)
+
32 a
vmax= 8EIMa2
FAH
FAV
FBH
FBV
z1 z2
z3
C
q
( )
( )
( )
( )
M z F z qz M z q a z
EIv z qz F z EIv z q a z
EIv z qz F z C EIv z q a z C
EIv z qz F z C z C EIv z q a z C z C
AV
AV
AV
AV
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 12
2 22
1 12
1 2 22
1 13
12
1 2 23
3
1 14
13
1 1 2 2 24
3 2 4
12
12
12
12
16
12
16
124
16
124
= ⋅ − = − −
′′ = − ⋅ ′′ = −
′ = − ⋅ + ′ = − − +
= − ⋅ + + = − + +
M z F zEIv z F z
EIv z F z C
EIv z F z C z C
BH
BH
BH
BH
( )( )
( )
( )
3 3
3 3
3 32
5
3 33
5 3 6
12
16
= − ⋅
′′ = ⋅
′ = ⋅ +
= ⋅ + +
RB/ÜB: 1 0 0 02 0 0 0
3 0 124
16
0 16
124
4 0 01
240
124
5 0 16
0 16
6 016
12
16
1 2
3 6
14 3
1 12 3
24
4 44
33
5 52
1 23 2
13
. ( ). ( )
. ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
v z Cv z C
v z a qa F a C a C F a qa
v z qa C C qa
v z a F a C a C F a
v z a v z qa F a C qa C
AV AV
BH BH
AV
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ − + = = −
= = ⇒ + = = −
= = ⇒ + = = −
′ = = ′ = ⇒ − + = − + 3
3 22
53
3 32 37 0 1
216
13
16
. ( ) ( )′ = = ′ = ⇒ + = − + = +v z a v z F a C qa C C F a qaBH BH
Ergebnisse aus GGW und RB/ÜB:
aus 6. folgt mit den GGW F qa F F qaAV AH BH= ⇒ = =3
163
16 und F qaBV =2916
Momentenverlauf:
( )
( )
M z qz a z F z qa qz z a M z qa
M z q a z
M z qaz
Q( ) ( )
( )
( )
* * * *1 1 1 1 1 1 1
2
2 22
3 3
12
38
316
03
169
512123
16
= −
= − = = =
= − −
= −
Verschiebung des Punktes C:
( )v v z aEI
C a CqaEIC = = = + =( )2 3 4
41 316
516
2qa0,5qa2
316
2qa
M(z)
-9
5122qa
316 a
-
-
Lösung 4.46 Das System ist einfach statisch unbestimmt und symmetrisch. Symmetrieschnitt:
M z F zEI v z F z
EI v z F z C
EI v z F z C z C
BH
BH
BH
BH
( )( )
( )
( )
1 1
1 1 1
1 1 12
1
1 1 13
1 1 2
12
16
= − ⋅
′′ = ⋅
′ = ⋅ +
= ⋅ + +
M z F a qbz qz
EI v z qz qbz F a
EI v z qz qbz F az C
EI v z qz qbz F az C z C
BH
BH
BH
BH
( )
( )
( )
( )
2 2 22
2 2 22
2
2 2 23
22
2 3
2 2 24
23
22
3 2 4
12
12
12
12
16
14
124
112
12
= − + −
′′ = − +
′ = − + +
= − + + +
RB/ÜB: v z C
v z a F a C a
v z C
v z b F ab qb C
v z a v zI
F a CCI
BH
BH
BH
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2
13
1
2 4
23
3
1 21
21
3
2
0 0 0
0 16
0
0 0 0
20 1
21
240
01 1
2
= = ⇒ =
= = ⇒ + =
= = ⇒ =
′ =
= ⇒ − + =
′ = = ′ = ⇒ +
=
Daraus folgt:
2
1
3
3
1
2
2
1
1
2
2
32
11232
12432
14
II
ab
qbC
II
ba
qabC
II
baa
qbFBH
⋅+⋅=
+⋅⋅−=
+⋅⋅=
Zahlenwerte: FBH = 2,778 kN FBV = 20 kN Maximale Verschiebung im Bereich 1:
′ = ⇒ + = = − =v z F z C z CF
aBH
BH
( )* * *1 1
21 1
10 12
0 2 33
mm
II
baEI
bqazvv 5728,032
1336
)(
1
21
22*1max1 −=
+⋅
⋅−==
M0
z1
z2
q
FBH
F qbBV =12
Maximale Verschiebung im Bereich 2:
v v zb qb
EI
ab
II
ba
II
ab
II
ba
II
qbEI
ab
II
ab
II
mm2 2
4
2
2
1
1
2
2
1
1
2
4
2
2
1
2
1
2 384
20 36 9
2 3 2 3384
3 10
2 31 653max = =
=
+ +
+
+
= ⋅+
+= ,
Lösung 4.47
0
0 2 12
1 1 1
2 2 2 2 22
≤ ≤ =
≤ ≤ = + + −
z a M z F z
z a M z F z F a z qz
B
C B
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
EIv z F z EIv z qz F F z F a
EIv z F z C EIv z qz F F z F az C
EIv z F z C z C EIv z qz F F z F az C z C
B B C B
B B C B
B B C B
′′ = − ⋅ ′′ = − + −
′ = − ⋅ + ′ = − + − +
= − ⋅ + + = − + − + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 22
2
1 12
1 2 23
22
2 3
1 13
1 1 2 2 24
23
22
3 2 4
12
12
16
12
16
124
16
12
RB/ÜB: 1 0 0 0
2 0 16
3 0 0 0
4 013
5 2 0 23
43
2 23
0
1 2
1 12
2 4
1 2 32
24 3 3 3
. ( )
. ( )
. ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( )
v z C
v z a C F a
v z C
v z a v z C F a
v z a qa F F a F a F a
B
B
B C B B
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
′ = = ′ = ⇒ = −
= = ⇒ − + − − =
Mit der Gleichgewichtsbedingung D F a F a qa F qa FB C C B: 3 2 2 0 32
2+ − = = − erhält man
F qaB = −13 und F qaC =
32 und aus den restlichen Gleichgewichtsbedingungen FBH = 0 und
F qaD =56
v v z aEI
qa qa qa qaqa
EIK = = = − + +
=( )24 4 4 4
41 124
736
16
19 8
Lösung 4.48
q(z) = A + Bz + Cz2
′ = +q z B Cz( ) 2
B CK
Dz1 z2
0
FB FCFD
z FCFBV
MB
FBH
q Aq l B Cl l
q l q q Bl Cl Cql
Bql
q z qzl
qzl
qzl
zl
( )( )
( )
( )
0 0 00 0 2
2
2 2
0 02 0
20
0 0
2
0
= ⇒ =
′ = ⇒ = + ⋅ −
= ⇒ = + + = − =
= −
= −
EIv z q z qzl
qzl
EIv z F z q zl
q zl
C
EIv z M z q zl
q zl
C z C
EIv z qzl
qzl
C z C z C
EIv z q zl
q zl
C z C z C z C
Q
′′′′ = = −
′′′ = − = − +
′′ = − = − + +
′ = − + + +
= − + + + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
13
13
112
112
160
12
160
1360
16
12
0 0
2
0
2
0
3
2 1
0
3
0
4
2 1 2
0
4
0
5
2 12
2 3
0
5
0
6
2 13
22
3 4
RB:
00)0(.4
021
601
1210)(.3
021
61
3601
6010)(.2
00)0(.1
2
322
13
03
0
32
23
14
04
0
4
=⇒=′′
=+++−⇒=′
=+++−⇒=
=⇒=
Cv
ClClClqlqlv
lClClClqlqlv
Cv
Aus (2) und (3): C q l C q l1 0 3 0
319120
180
= − =
Auflagerreaktionen:
↑ − = = = − ′′′ = − =F F F F EIv C F q lC Q C Q C( ) ( ) ( )0 0 0 0 19
1201 0
F F l EIv l q l q l q l
F F q l
M M l EIv l q l q l q l
M q l
BV Q
BV B
B
B
= − = ′′′ = − −
= =
= − = ′′ = − −
=
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0
02
02
02
02
13
19120
61120
13
112
19120
11120
C
B
FCFQ(0)
MB
FBV
M(l)FQ(l)
Lösung 4.49
Die Gleichgewichtsbedingungen liefern: FBV = qa FGV = qa FCV = qa FGH = qa FCH = qa FBH = qa
M z F z qz qa z za
M z F a z qa a zM z F z qaz
BV
GH
CV
( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 12
112
2 2 2
3 3 3
12
12
= − = −
= − = −
= =
Grafische Darstellung des Biegemomentes:
EIv z qz qaz EIv z qaz qa
EIv z qz qaz C EIv z qaz qa z C
EIv z qz qaz C z C EIv z qaz qa z C z C
EIv z qaz
EIv z qaz C
EIv z qaz C z C
′′ = − ′′ = −
′ = − + ′ = − +
= − + + = − + +
′′ = −
′ = − +
= − + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 12
1 2 22
1 13
12
1 2 22 2
2 3
1 14
13
1 1 2 2 23 2
22
3 2 4
3 3
3 32
5
3 33
5 3 6
12
16
12
12
124
16
16
12
12
16
RB/ÜB: 1 0 0 02 0 0 03 0 0 0
4 0 13
5 2 14
12
6 0 12
56
23
1 2
2 4
3 6
2 33
1 3 13
5
3 2 53
33
13
. ( ). ( ). ( )
. ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( )
v z Cv z Cv z C
v z a C qa
v z a v z a C qa C
v z a v z C qa C qa C qa
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= = = ⇒ = +
′ = = ′ = ⇒ = + = =
v z qaEI
za
za
za
v z qaEI
za
za
za
( ) ( )1
41
41
31
2
42
32
22
244 16
63 2=
−
+
=
−
+
v z qaEI
za
za
v v z a v z a qaEIG( ) ( ) ( )3
43
33
1 3
4
65 2 2
3= −
+
= = = = =
FBH
FBV z1
z2
z3
FGV
FGV
FGH
FGH
FCV
FCH
qa2
+
+
+
0,5qa2
Lösung 4.50
FC = v(z2 = 0) . c
( )
( )
( )
( )
M z qz M z q a z F z
EIv z qz EIv z q a z F z
EIv z qz C EIv z q a z F z C
EIv z qz C z C EIv z q a z F z C z C
C
C
C
C
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 12
2 22
2
1 12
2 22
2
1 13
1 2 23
22
3
1 14
1 1 2 2 24
23
3 2 4
12
12
12
12
16
16
12
124
124
16
= − = − + +
′′ = ′′ = + −
′ = + ′ = + − +
= + + = + − + +
RB/ÜB: 1 0
12
43
2 0 23
13
2 32 3
2 44 3
. ( )
. ( )
′ = = ⇒ = −
= = ⇒ = −
v z a C F a qa
v z a C qa F a
C
C
3 0 12
43
4 0 256
1 2 1 32 3
1 2 2 4 14 3
. ( ) ( )
. ( ) ( )
′ = = ′ = ⇒ = = −
= = = ⇒ = − = −
v z a v z C C F a qa
v z a v z C C C a qa F a
C
C
F v z c qaEI
F aEI
c F qacEIa
c
F c qa
v v z CEI
qaEI
F aEI
v c qaEI
v c qaEI
qaEI
qaEI
CC
C
C
DC
D D
= = ⋅ = −
⋅ ⇒ =
+
→ ∞ =
= = = = −
→ = → ∞ = − =
( )
( )
( )
( ) ( )
2
4 3
3
12
4 3
4 4 4 4
0 1724 3
17
8 3
178
0 2 56
0 2 2 8548
1148
Lösung 4.51
( )
( )
M z F z qz
M z F l z F z ql l z
F l ql F F ql z
C
C B
C B C
( )
( )
1 1 12
2 2 2 2
22
12
12
12
= −
= + + − +
= − + + −
l
q0
A B Cl
z1z2FB FC
FAHMA
FAV
FC z1z2
MA
FA
D
( )
( )
( )
EIv z qz F z
EIv z qz F z C
EIv z qz F z C z C
EIv z ql F F z F l ql
EIv z ql F F z F l ql z C
EIv z ql F F z F l ql z
C
C
C
B C C
B C C
B C C
′′ = −
′ = − +
= − + +
′′ = − − − −
′ = − − − −
+
= − − − −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 12
1
1 13
12
1
1 14
13
1 1 2
2 22
2 22 2
2 3
2 23 2
2
12
16
12
124
16
12
12
12
16
12
12
23 2 4+ +C z C
RB/ÜB :
( )
( )
1 0 0 0
2 0 124
16
0
3 0 0 0
4 0 16
12
12
0
5 0 12
12
0
6 0 16
12
1 2
14 3
1
2 4
23 3
3
22 2
3
1 23 2
1 3
. ) ( )
. ) ( )
. ) ( )
. ) ( )
. ) ( )
. ) ( ) ( )
v C
v l ql F l C l
v C
v l ql F F l ql F l C l
v l ql F F l ql F l C
v l v ql F l C C
C
B C C
B C C
C
= =
= − + =
= =
= − − + −
+ =
′ = − − + −
+ =
′ = ′ − + =
′ = −
′ = −
′ − − =
2 16
124
6 18
13
4 13 4 24 0
12 3
33 2
:
:
:
C F l ql
C ql F l
ql F F
C
C
B C
′ − − =
′ − ′ − = =
′ =
5 9 4 443
0
4 5 4 283
0 37
41928
:
( ) ( ):
( ):
ql F F
ql F F ql
F ql
B C
C C
B
Gleichgewichtsbedingungen :
→ =
↑ + + − = = −
+ − − = =
:
:
:
F
F F F ql F ql
A M ql F l F l M ql
AH
AV B C AV
A B C A
0
0 328
32
2 0 128
2 2
Biegelinie :
0168
7 12 5
056
2
1 1
41
41
31
2 2
42
32
22
≤ ≤ =
−
+
≤ ≤ = −
+
−
z l v z qlEI
zl
zl
zl
z l v z qlEI
zl
zl
zl
( )
( )
Lösung 4.52
Ermittlung der Intensität der Streckenlast : q(z) = A + B z + C z2
q A
q l q q Bl Cl
q l Bl Cl
q z qzl
zl
F z q z dz q zl
zl
K
EIv M z F z dz q zl
zl
K z K
M K F F K F
Q
Q
Q C C
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ; ( )
0 0 0
212
14
0 0
4
42 3
46 12
0 0 0 0
0 02
2
0
2
0
2 3
2 1
0
3 4
2 1 2
2 1
= =
= = +
= = +
= −
= − = − −
+
− ′′ = = = − −
+ +
= = = =
∫
∫
EIv z q zl
zl
F z
EIv z q zl
zl
F z C
EIv z q zl
zl
F z C z C
C
C
C
′′ = −
−
′ = −
− +
= −
− + +
( )
( )
( )
46 12
424 60
12
4120 360
16
0
3 4
2
0
4 5
22
1
0
5 6
23
1 2
z
q(z)
EIlFc
RB :
′ = − + =
= − + + =
= = ⋅ = ⋅
v l q l F l C
v l q l F l C l C
F F c v F cCEI
C
C
Q C C
( )
( )
( ) ( )
0 110
12
0
0 145
16
0
0 0
03 2
1
04 3
1 2
2
∆=
∆
−∆
−=4
02
330
1 907,
1811
10lqC
EIcllqC
Lösung : F q l c
EI clEI
und mit clEIC =
⋅ +
= +
7
90 13
13
04
3
3
∆
v z q lEI
zl
zl
clEI
zl
clEI
zl
( ) =
−
−
− −
+
04 5 6 3 3 3
1013
19
754
1 1 118
79∆ ∆ ∆
Lösung 4.53
M c c vF c f c v a
A A A
BV B B
= ⋅ = − ′
= ⋅ =
ϕ 1
2
0 56
( ) ( )( ) ( )
M z M F zM z M F a z Fz
A A
A A
( )( ) ( )
1 1
2 2 2
= +
= + + −
EIv z M F z
EIv z M z F z C
EIv z M z F z C z C
EIv z F F z M F a
EIv z F F z M F a z C
EIv z F F z M F a z C z C
A A
A A
A A
A A A
A A A
A A A
′′ = − −
′ = − − +
= − − + +
′′ = − + − +
′ = − + − + +
= − + − + + +
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 12
1
1 12
13
1 1 2
2 2
2 22
2 3
2 23
22
3 2 4
12
12
16
12
16
12
RB/ÜB :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 0 0 0
2 0 12
16
3 0 12
4 0 12
0
1 2
1 22 3
1 4
1 22
1 3
22
3
v C
v a v M a F a C a C
v a v M a F a C C
v a F F a M F a a C
A A
A A
A A A
= =
= − − + =
′ = ′ − − + =
′ = − + − + + =
GGW:
↑ − + =
→ =+ − − =
:::
F F FF
A M Fa F a M
A BV
BH
A BV B
00
2 0
MB
A Bz1 z2 FBV
F
FBH
MA
FA
Lösungen : F F M Fa F F M FaBV A A B= = − = =5
141142
914
142
Lösung 4.54
M M M M
v MEI
uMEI
v l MEI
l u l MEI
l
x y
x
x
y
y
x y
= = −
′′ = − ′′ = −
= − =
0 0
02
02
2 2
cos sin
cos sin
α α
α α( ) ( )
f u vM l
E I I
y x
x y
= + = +
−
2 2 02
2 22cos sin tan = -
II
cot
=M cos
IM sin
I
2 2y
x
0
x
0
y
α αβ α
σα α
Neutrale Faser : σ α γ= = ⋅ = ⋅0 y II
xx
y
tan tan x
Mit tan = -II
coty
x
β α und tan tanγ α=II
x
y folgt tan = -cotγ β oder γ = β + 90°, d.h. f ist
senkrecht zur neutralen Faser. Lösung 4.55 x, y sind keine Hauptachsen:
( )
( )
Ev M I M I
Eu M I M I I I I
x y y xy
y x x xy x y xy
′′ = − −
′′ = − − = −
1
1 2
∆
∆∆
( )M F l z M
I t a ata ta
I ta at a ta t a
I at a a taI
taI
ta
x y
x
y
xyy xy
= − − =
= + =
= +
= =
= − +
= − = = −
0
812
2 83
212 2
23
79
2 267
1 97
1
32 3
3 23 2 6
2 23
3 3
∆
∆ ∆
n.Ffx,u
y,v
βγ
x
y
z My
Mx
x
y
F
S
a
a2a
lz
( )
( )
EvI
MF
tal z
Ev Fta
lz z C RB v
Ev Fta
lz z C z C v
EuI
M Fta
l z u
EuF
talz z C u
Eu Fta
lz z C z C C
yx
xyx
′′ = − = −
′ = −
+ ′ =
= −
+ + =
′′ = − = − − ′ =
′ = − −
+ =
= − −
+ + =
∆
∆
67
67
12
0 0
67
12
16
0 0
97
0 0
97
12
0 0
97
12
16
3
32
1
32 3
1 2
3
32
3
32 3
3 4 1
: ( )
( )
( )
( )
0 0 0 02 3 4; ; ;C C C= = =
z = l : v lFl
Etau l
FlEta
( ) ( )= = −27
37
3
3
3
3
Lösung 4.56
A mm y mm x mm
I mm I mm I mm
I I I mm
S S
xx yy xy
xx yy xy
= = =
= ⋅ = ⋅ = − ⋅
= − = ⋅
1850 47 16 14 66
322 68 10 55 77 10 75 37 10
12315 23 10
4 4 4 4 4 4
2 8 8
; , ; ,, , ,
,∆
M z q lz q z EvM I
EuM I
xx yy x xy( ) = − ′′ = − ′′ = −
12
120 0
2
∆ ∆
( )
( )
EvI q z lz RB v v l
EvI q
z lz C u u l
EvI q
z lz C z C C C
EuI q z lz C
I q l
EuI q
z lz C CI q l
EuI q
yy
yy
yy
xy yy
xy xy
xy
′′ = − = =
′ = −
+ = =
= −
+ + = =
′′ = − =
′ = −
+ =
=
∆
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
0 2
0 3 21
0 4 31 2 2 4
0 21
03
0 3 23 3
03
0
20 0 0
213
12
0 0 0
21
1216
0 0
2 24
213
12 24
2
: ( ) ( )
( ) ( )
112
16
4 33 4z lz C z C−
+ +
x
y
Sf
xy
z
0
lq021
Lösung :
EvI q l z
lzl
zl
EuI q l z
lzl
zl
yy
xy
=
−
+
=
−
+
∆
∆
04 4 3
04 4 3
242
242
Speziell für zl
v mm u mm f u v mm= = = − = + =12
4 5 6 07 7 562 2: , , ,
5. Torsion und Scherung Lösung 5.1 Mit Mt = F . b = konst. folgt
ϕϕ π
ϕ ϕπ
ϕ π π
τπ
= ⋅ ⇒ = =
°°
= ⇒ =°
⋅°
⋅ ⋅ =
= = =
MGI
l Ml
GI mit I d
Ml
G d Nm
MW
Md
Nmm
t
tt t t
t
t
t
t
4
4
3 2
32
360 22
360 320 271
16 172 79
),
,
Lösung 5.2 Leistung P M M n F b n
Nms
W
Spannung Md
F bd
Nmm
Verdrehwin kel M lGI
F b lG d
lGd
t t
t
t
t
= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = =
= =⋅
=
= =⋅ ⋅
= = ⋅
= ⋅ ⇒ °= °
−
−
ω π π
τπ π
ϕπ
τ
ϕ ϕ
2 2 150 8 150 8
16 16 11 32
32 2 0 953 10
0 953 10 0 546
3 3 2
42
2
, ,
,
,
, ,)
Lösung 5.3
M F d Nm
M F d Nm
1 11 3
2 22 3
22 10
21 10
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
M M M NmM z M M z M M M
MW
d M mm mm mm
d mm d mm
MW
d M mm mm
d mm d mm
t t
tzul
zul
gew
tzul
zul
gew
0 1 23
1 0 2 0 1 2
10
13
03
6 33 3
3 3
22
24
23 3
4 4
3 10
16 16 3 10100
10 16 30 53 5
53 5 55
16 10 16 10 37
37 40
= + = ⋅
= − = − + = −
= < ⇒ ≥ =⋅ ⋅
=⋅
=
≥ =
= < ⇒ ≥ =⋅
=
≥ =
( ) ( )
,
,
τ τπτ π π
τ τπτ π
max
max
Verformung der Zahnräder wird vernachlässigt.
( ) ( )ϕ
ϕ ϕ
= − − − − − − − = − ⋅
= − ⋅
−
−
MGI
l l b MGI
l MGI
l l b
mit dt t t
erf
0
13 1 1
2
11
2
23 2
2
2
3 87 10
5 10
,
:
M0
M1
M2
l3-l1-b1 l-l3-b2
z1 z2
Lösung 5.5 1. Relative Spannungserhöhung:
11
3
2
12
32
231
1
13,1
16)2(16)1(
.
τττ
πτ
πτ
=
=
==
=
DD
DMund
DM
konstM
tt
t
Relative Spannungserhöhung: 13% Relative Drillungszunahme:
11
4
2
12
42
241
1
21
177,1
32)4(32)3(
.
ϕϕϕ
πϕ
πϕ
=
=
==
===
DD
DlMund
DlM
lllundkonstM
tt
t
Relative Drillungszunahme: 17,7% Lösung 5.6
( )14 4
100 100 25
216
1
100 1 100 1
11 100 16
151
22 2
2
3 4
4
.
% % %
.
% % %
m A l D l m A l D d l
m mm
dD
MW
MW
WD
W WdD
WW d
D
v v h h
v h
v
vt
tvh
t
thtv th tv
h v
v
tv
th
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
−⋅ =
⋅ =
= = = = −
−
⋅ = −
⋅ =
−
−
⋅ = −
ρπ
ρ ρπ
ρ
τ τπ
τ ττ
⋅ =
−
⋅ = −
⋅ =
−
−
⋅ = −
⋅ =
100 6 7
3 100 1 100 1
11 100 16
151 100 6 74
% , %
. % % % % , %ϑ ϑϑ
h v
v
tv
th
II d
D
Lösung 5.7
( )
M c c M
M l zGI
M zGI
MG
l zI
zI
I D I I dD
t t tt
t
t
t
t
t
t tt t t
= ⋅ ⇒ =
=−
+ =−
+
= = −
ϕϕ
ϕπ
1 2 1 21
4
2 1
4
321
( )
−⋅
−=⇒
−
+−== 132
1
3214
44
44 dDl
cDGz
Dd
zzlDGcM ttt
ππ
ϕ
Lösung 5.8 Leistungsbilanz: PC = PB + PD → PD = 70kW P = M . ω = M . 2πn M M M
M Pn
Nms
sNm
MP
n
Nms
sNm
M Pn
Nms
sNm
B D C
CC
BB
DD
+ − =
= =⋅ ⋅
⋅=
= =⋅ ⋅
⋅=
= =⋅ ⋅
⋅=
0
2
150 10 60
2 2007162
2
80 10 60
2 2003820
2
70 10 60
2 2003342
3
3
3
π π
π π
π π
mmdmmdG
MdGIM
mmdmmdMdWM
zul
tiizul
t
t
zul
tiizul
t
t
5,9910332
8,826,8616
214max
213max
≥≥≥⇒≤=
≥≥≥⇒≤=
ϑπϑϑ
πτττ
gewählte Durchmesser: d1 = 110mm, d2 = 100mm relative Verdrehung des Punktes C gegenüber B: ϕ
πCBB
t
BM lGI
M lG d
= = = ⋅ −1
1
1
14
332 3 691 10,
relative Verdrehung des Punktes D gegenüber C: ϕ
πDCD
t
DM lGI
M lG d
= − = − = − ⋅ −2
2
2
24
332 5 158 10,
relative Verdrehung des Punktes D gegenüber B: ϕ ϕ ϕDB CB DC= + = − ⋅ −1 4667 10 3, Lösung 5.9 reiner Schubspannungszustand, α = 45°, d.h. in Richtung der größten Normalspannung,
( )
( ) ( ) ( ) 161112
2452sin21
23
2121
dEM
EEGWM
tt
t πνε
νε
γν
γτ
εγαεεεαεεγ
⋅+⋅
=⇒+⋅
=⋅+
=⋅==
=⇒°==−=−=
B C DMB
MC
MDl1 l2z1 z2
+-
MB
MD
z
ϕ
B CD
ϕDB
ϕCB
Lösung 5.11 Anordnung I: Stahlwelle
[ ]
τπ
ϕπ
ϕ
maxtmin
= = =
=⋅
= = ⋅ °= °−
MW
Md
Nmm
M lGI
M lG d
t t
t
t
t
16 65 2
322 61 10 1 5
3 2
42
,
, ,
Anordnung II: Stahlwelle und Kupferrohr über Scheiben starr miteinander verbunden
( )( )
ϑ ϑ
τπ
τπ
ϕ ϕ
st cutst
st tst
tcu
cu tcut tst tcu
tst tcust
cu
tst
tcut tcu
st
cu
tst
tcutcu
t tcust
cu
tst
tcutcu tcu t tst t
stmaxtst
tst
tstcumax
tcu
tcu
tcud s
d
st cutst
st st
MG I
MG I
M M M
M MGG
II
M MGG
II
M
M M GG
II
M M M M M
MW
Md
Nmm
MW
M
d
Nmm
M lG I
= ⇒ = = +
= ⋅ = ⋅ +
= ⋅ +
= = =
= = = = =−
=
= = =
−
1 2 44 0 41 0 59
16 38 4 16
132 34
1 54
3 2
13 2 2
14
14
, , ,
, ,
, [ ]⋅ ° = °−10 0 8832 ϕ ,
Lösung 5.12
( )
( )
( )
ϕπ
ϕπ
τπ
= = − = = −
= −⋅−
= =−
M lGI
M Fr I I r r
r F lG r r
MW
r Fr r
t
tt a t p a i
a
a i
t
t
a
a i
22
4
4
4 4
4 4
2
4 4max
Lösung 5.13
M M I d W d
MW
MW
Md
M aG d
M aG d
M aG d
M aG d
M aG d
aG d
aG d
M aG d
M aG d
M aG d
t ti i ti i
ti tmin
AB
AB
= = =
= = =
= −⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
= −⋅
+⋅
+⋅
= −
⋅= −
⋅
04 3
0 0 0
13
0
14
0
24
0
34
0
24
0
14
0
14
0
24
0
34
0
14
0
14
32 1616
32 3 32 32 2 16 32
128M 48M 64 235516
147 19
π π
τ τπ
ϕπ π π π π
ϕπ π π π π
max maxi
,
Lösung 5.14
τ η η
τη η
τη τ
ϕ η ηπ
ϕη π
max
max
= = = =
= = ≤ ⇒ ≥ =
= ⇒ = = + = =
= + = = =
= + = + = ⋅ −
MW
W bh fürbh
Mbh
Mh
h M mm
h mm b mm und d b h h mm
M lGI
M lGI
I bh mit und I d
M lG h
M lG d
t
tt
tzul
zul
t tt t
22
2
22
0
23
0
2
3
2 2
0 1
1
0 2
21 3
33 2
4
0 1
34
0 24
2
2 0 246
2 215
15 30 5 33 54
0 22932
232
0 010649 0 0039748 1 46238 10
,
,
,
, , ,
Lösung 5.15
00 3
1 1 1 1
2 2 2 1 2 1
≤ ≤ =
≤ ≤ = + =
z l M z Mz l M z M M M
t
t
( )( )
τπ
τπ π
τ τ
ϕ ϕπ
ϕ ϕ ϕ ϕπ
ϕ ϕ ϕπ π π
ϕ
ϕ
ϕ
11
3 21 2
31
3 2
0
1
02
1 2 1 14
1
01 2
1 11
1 14
1 02 211 14
1 14
1 14
2 2 6
3 3 12
14
12 2 14
2 2
2
1 1
max max max max= =+
= =
= = =
= − = =
= + = + =
∫ ∫
∫ ∫
Mr
M Mr
Mr
d MGI
dz M lGI
M lG r
dMGI
dzM lGI
M lG r
oderM l
G rM l
G rM l
G r
t
l
t
t
l
t
( )
M1M2
l1l2z1z2
12
Lösung 5.18 Schubspannung:
τ
τ τ
τ τπ
= = ⋅
=⋅ ⋅
= =⋅ −
⋅
=
=⋅ ⋅
= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
MW
mit W A t
Mah t
Nmm
M
ah ah t
Nmm
Mah t
Nmm
Ma h t
Nmm
t
tt m
t t
t t
2
222 22
24
29 63
22
44 442
2 2
28 29
1 2 2 2
3 2 4 2
, ,
, ,
Drillung:
( )( )
1144
1143
1142
1141
44
2
444
22
2
3
44
22
2
244
2
1
2
0263,010263,00678,010678,0033,01033,002065,0102065,0
222223
10255,2122
410877,0
221
24
1080,1
42
21
414
1088,224
14
−−−−−−
−−−−−−
=⋅≈=⋅=
=⋅==⋅=
⋅−
+≈
⋅≈
⋅
=⋅=
++
=
⋅=
+++
−
=⋅=+
=
==
∫
mmmmmmmmmmmm
hahaU
mmU
t
ha
Immaha
t
ah
I
mmahaa
t
ahahImm
hat
ahI
dst
AImitGIM
Ellipse
Ellipse
tt
tt
mt
t
t
ϑϑ
ϑϑ
π
π
ϑ
Lösung 5.19
( )
M W
W hb cc
hb n hb
c c
M Nmm
W A bh Wl b h
M Nmm M Nmm
t t
t
t
t m t
i i
t t
= ⋅
= = = = ⇒ = = =
= ⋅
= ⋅ = = =+
= ⋅ = ⋅
∑
τ
η η
δ δδ
δ
δ δ
δ
1 22 1
2
21 2 2
14
2 1 3
323
13
2
24
34
1 5 0 196 0 852 0 231
532 10
2 2
13
23
345 6 10 27 36 10
, , , ,
, ,
minmax
( )
M GI
I c hb M Nmm
I Ads
s
b hb h
bh
h h I h M Nmm
I l b h h M Nmm
I I I
t t
t t
tm
t t
t i i t
t t t
= ⋅
= = ⋅
= =+
= = = = = ⋅
= = + = ⋅ = ⋅
=
∫
∑ −
ϑ
δ δ δ
δ δ
δ δ δ
1 13
14
2
2 2 2
2 1
1 2 2
4
24
33
23
13 3 4
34
1 2 3
588 10
4 42 2
23
120
110 30
337 6 10
13
23
1936
10 5 345 10
1 0 574 0 0091
( )
,
,
: : : , : ,
Lösung 5.20
MA + MB - MT = 0 Mt(z1) = MA Mt(z2) = MA - MT
′ = = ⋅ +
′ =−
=−
⋅ +
= = ⇒ =
= = = ⇒ =
= = ⇒−
+ =
=+ ⋅
=
+ ⋅
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
/ : ( )
( ) ( )
( ) ( )
z MGI
z MGI
z C
z M MGI
z M MGI
z C
RB ÜB z C
z l zM lGI
C
z l M M lGI
M lGI
M Mll
II
Mll
dd
A
p
A
p
A T
p
A T
p
A
p
A T
p
A
p
AT
p
p
T
11
11
1 1
22
22
2 2
1 1
1 1 21
12
2 22
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
0 0 0
0
0 0
1 1
= − =
+ ⋅
= = = =+
4
2
1
1
2
4
1 11
1 14
1
24
2
1
32
M M M Mll
dd
z l M lGI
M
G dl
dl
B T AT
CA
p
Tϕ ϕπ
( )
MA
z1
MT MB
z2
A BC
l1 l2
d1 d2
Lösung 5.21
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( ) 2
22
maxgeschl
maxoff
223
maxgeschl2maxoffmax
222
33
222
3
2212
26
82
223
4223
28442
232
31
23242
31
313
1
dcbcbcb
cbdbc
dGcbbcM
GdcbM
GIM
cbdM
dcbM
WM
bcdcb
dsdAIcbddAW
bcddlI
bcdbcdldd
dlW
geschl
off
tgeschl
toff
t
t
tt
t
t
mtgeschlmtgeschl
itoff
i
i
toff
++=
+=
+=
+==
=+
==
+=
⋅===
+==
+=+===
∫
∑
∑∑
ϑϑ
ττ
ϑϑϑ
τττ
Lösung 5.22 I r I r z I rt t t1 0
42
43 0
412
12
132
= = =π π π( )
( )
40
0
40
034
0
03
04
64
0
024
0
01
321
00
62
32281
22
61)(
rGlM
rGlM
rGlMdz
rGM
rGlM
MMGIM
dzd
lzrzr
E
l
lz
E
tt
t
πϕ
πϕ
ππϕ
πϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
=
==−
==
++=
==
−=
∫
Lösung 5.23
I r t r t I r
M M M
t t
Al St
Al St= = =
+ − =
2 16 12
0 1
13 3 4
0
π π π
: ( )
ϕ ϕAl StAl
Al t
St
St tSt
St t
Al tAl
M lG I
M lG I
MG IG I
MAl St
St
Al
= = =( )2 in (1) einsetzen und nach MAl umst.:
M MG IG I
M
MI
r M r
AlSt t
Al t
Al
tAlzul Alzul
St
Al
Al
=+
=
= ≤ =
00
1 03
1
47
74
τ τ π τmax max
M0MStMAl
zr0 r(z)
3l
12 0r
Lösung 5.24
∆l der Feder: ∆l FcC=
v h M F h F Mht C Ct= = =2 4
4ϕ
t
t
GIlM
=ϕ
2. Bredtsche Formel th
th
th
hh
tdsAI m
t3
22
4
222
)2(44=
+
⋅==
∫
1. Bredtsche Formel thtAW mt2
min 42 ==
clGhtacG
Ghtclth
achWM
Ghtcl
achM
Ghtcl
chM
hcthGhlMa
hcGIhlM
hcM
GIlMh
cFhlva
t
tt
tt
tt
t
t
tC
2214
421
4
2144
142
412
422
2max
3
+=
+
==
+
=
+=
+=
+=+=+=∆+=
τ
ϕ
FC
FC
v 2h ϕ
Lösung 7.1 Ermittlung der Lager- und Schnittreaktionen:
lq41F0lq
21Fl2:B
l3qF0lql2qF:
lq41F0FF:
A2
A
BVBV
BHBHA
==−
==−−↑
==−←
M ql F M ql F qlD LD C LC= − = = = −12
0 14
22 2;
Querschnitt D :
A at Ita
ata
ta
MI
y ql
tay
D xx
D
xx
= = ⋅ + ⋅
=
= = −⋅
4 212
22
23
2 23
3 23
2
3σ
Querschnitt C :
A at I ta ta
FA
MI
y qlat
qlta
y
yal
pos
C xx
LC
C
C
xx
= = ⋅ =
= + = − +⋅
= =
4 212
16
24
64
013
33
2
3
2
σ
σ * ( . )
[ ] [ ]23)(23)( 41
241
2 −=+−=− al
taqla
al
taqla σσ
Lösung 7.2
B: Fl + FC . 7l = 0 F FC = −17
D F l F M l Fl
A r I r
FA
MI
y
y rFr
l
r
Fr
lr
y r Fr
lr
L
DL
D
D
: ( ) ( )
( )
:( )
, ,
, ,
3 337
16643 4
21
163 2
7 643 4
0 08 0 04
2 2 0 08 0 06
2 4
2 2
2
= = −
= − = −
= +
= − =−
+⋅
−
= +
= − = +
ππ
σ
σπ π
σ
FA
FBH
FBV
FLD
MD
FQD
FLC
MC
FQC
FA
q q
q q
xy
+
-y
y
y*
+-
y
x
x
z
F
FC D
D B
l
Lösung 7.3 F F F aM z F z b
L L
x
1 1 2
2
0+ + =
= −
( )( ) ( )
a.) σ σ σ= = =FA
F A F ALL L1 1 1 2 2 2
bhF
bhF
EbhFFbhbhE
bhAbhAFAEAE
ngunghkeitsbediVerträglicE iii
12
11
11
2112211
21
22
2314
32
31
320
:
−=−=
−=−=
⋅+
===++
===
σσ
εε
εε
εεεεσ
b.) z = l Mx( z ) = - F2 l Ebenbleiben der Querschnitte :
ϕ ϕ
εϕ
ϕ σ ε
σ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
σ ϕ σ
= ′ = ⋅
= = = ′ = ⋅
= =
= ′ +
= ′
+
−
= ′ = − ′ = −
= ′ =
∫
∫∫
v w y
y dwdz
ddz
y y y E y y
M ydA dA bdy
b E y dy E y dy b E h h h
M b Eh Für M F l folgt F lEbh
und damit
E y Mbh
y
h
hh
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 13 3
34 2 3
727
277
277
12
22
3
2
0
3 3 3 3
32
23
1 1 3 12
2
2 2 3 22
2
397
1087 2
547
h F lbh
E y Mbh
y h F lbh
= −
= ′ =
= −σ ϕ σ
σ σ σG a b= +( ) ( )
x
yz
F1
F2
MFL1
FL2
y
σ1 σ2
ε
y
σ1σ2
ε
Lösung 7.4
A a yA
a a a a a
FA
MI
y F F M F e
y a y a
FA
FeI
y FA
FeI
y
FEA
FeEI
y FEA
FeEI
y
a FeEI
FEA
a FeEI
FEA
FEA
FEA
F EA F a
S
LL
B C
B B C C
B B C C
B C
B C
B C
= = ⋅ + ⋅
=
= + = − = − ⋅
= − =
= − − = − −
= − − = − −
= + = − −
+ = − +
= − +
= −
5 1 2 12
3 52
1710
1710
2310
1710
2310
1723
4023
1723
2 2 2
σ
σ σ
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε ( )2
823 17E
B Cε ε+
Lösung 7.5 Spannungen:
( )[ ]
( )[ ]
232212321
22yxyx
zxyy
zyxx
22z22z
mmN3,75σ
mmN2,50σσ
mmN3,75σ0σσ
mmN2,50
ν1ν
bFσσ0σσ
σσνσE10ε
σσνσE10ε
mmN3,75
bFσ
mmN3,75
bFσ
:bFall:aFall
−=−==−===
−=−
−====
+−==
+−==
−=−=−=−=
Vergleichsspannungen:
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
2424
222
4222
4
223223
213
232
2214313
25,175,3
5,275,375,35,202175,375,300
21
25,175,35,275,375,30
::21
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
bFallaFall
VV
VV
VV
VV
==
+−++−+=−+++=
=+−==+=
−+−+−=−=
σσ
σσ
σσ
σσσσσσσσσσ
S
yS
y
z
Lösung 7.6
232221
6
34
4
222
23
22
2
22
34,9434,94100:
010891089100
80050
01000
50080
0
mmN
mmN
mmNLösung
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
mmN
zyzxz
zyyxy
zxyxx
−===
=⋅+⋅−−
−
−
−−
==−
−−
σσσ
σσσ
σ
σ
σ
σστττσστττσσ
( )
( ) ( ) ( )[ ] 22
132
322
214
2313
23212211
6,19121
34,194
100100
mmN
mmN
mmN
mmN
V
V
VV
=−+−+−=
=−=
=+−===
σσσσσσσ
σσσ
σσνσσσσ
Lösung 7.7 1. Torsionsmoment:
P M M n M Pn
Ws Nme t t te= ⋅ = ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ω π
π2
2312 52 10 312 52 103 3, ,
2. Erforderlicher Wellendurchmesser:
ϕ
πϕ
πϕ= = ≤ ⇒ ≥ =
=
M lGI
M lG d
d M lG
mm
gewählt d mm
t
p
tzul
t
zul
32 32 259 2
260
4 4 ,
:
3. Spannungen und Sicherheiten:
( ) ( )[ ]
22,298,1573
92,1096,1824
13,377,11141121
3,48222
56,9016
83,184
4222
4
3222
3
2222
2
112
22
1
23max
22
=⇒=+=
=⇒=+=
=⇒=+++−=
==⇒=+
+=
===
−=−==
smm
N
smm
N
smm
N
Rsmm
N
mmN
dM
WM
mmN
dF
AF
V
V
V
V
eV
t
t
t
L
τσσ
τσσ
τσνσνσ
στσσσ
πτ
πσ
Lösung 7.9 Maximales Biegemoment an der Einspannstelle: Mmax = F . b = 2 . 106 Nmm Maximales Torsionsmoment im Bereich: Mtmax = F . a = 1 . 106 Nmm σ
πτ
πmaxmax
maxtmax= = = =
32 163 0 16 40 73 2 3 2Md
Nmm
Md
Nmm
, ,
Hauptspannungen:
σσ τ
σσ1 3
2
2 21 1 4172 6
9 60,
,,
= ± +
=−
=max max
max2N
mm
Vergleichsspannungen nach der Hauptspannungshypothese: σ σVN
mm1 1 2172 6= = ,
Vergleichsspannungen nach der Hauptdehnungshypothese: σ σ νσVN
mm2 1 3 2175 5= − = ,
Vergleichsspannungen nach der Schubspannungshypothese: 2313 2,182mm
NV =−= σσσ
Vergleichsspannungen nach der Gestaltänderungshypothese:
( )[ ]σ στσ
σ σ σ σVN
mm4
2
12
32
3 12
21 312
177 6= +
= + + − =max
max
max
,
Anmerkung: Der Einfluß der Querkraftschubspannung wurde vernachlässigt. Die max. Vergleichsspannung tritt an der Einspannstelle am Querschnittsrand oben und unten auf. Lösung 7.10 Biegemoment an der Einspannstelle: M q a kNmbmax = =2 20
2
Torsionsmoment an der Einspannstelle: M q a kNmtmax = =12
0 502 ,
Maximale Biegespannung: σ πmax =⋅
=M
dN
mmbmax 32
163 03 2,
Maximale Torsionsspannung: τπmax
tmax= =16 20 43 2
Md
Nmm
,
Vergleichsspannungen nach der Gestaltänderungshypothese:
σ στσV
Nmm4
2
21 3 166 8= +
=max
max
max
,
Lösung 7.11 Momente an der Einspannstelle: Biege- und Torsionsmoment erreichen an der Einspannstelle ihr Maximum.
( )( )
M F F a Nmm
M F F b Nmm
bmax
tmax
= − ⋅ = ⋅
= − ⋅ = ⋅
2 80 10
60 10
1 24
1 24
Spannungen: ( )σπmax =
⋅ ⋅−
M DD D
bmax a
a i
324 4 ( )τ
πmax =⋅ ⋅
−
M DD D
tmax a
a i
164 4
Der erforderliche Innendurchmesser folgt aus der Beziehung σ στσ
σV zul4
2
1 3= +
≤max
max
max
( )σπ
πσ
zula bmax
i
tmax
bmax
i aa bmax
zul
tmax
bmax
D MD
MM
D DD M M
Mmm
≥−
+
≤ − +
=
321 3
2
321 3
242 3
4
2
4
2
4
Da4
,
Gewählt: Di = 42 mm
Spannungsnachweis: σ σVvorh zulN
mmN
mm= < =154 8 1602 2,
Lösung 7.12
Schnittkräfte und -momente: F1 + F2 – FAy – FBy = 0 F1 3a - FAy 2a + F2 a = 0 FAy = 2500N FBy = 500N FAx = -500N FBx = 1500N MxI = FBy a = 25 . 104 Nmm MxII = -F1 a = -50 . 104 Nmm MyI = 0,5 F1 a = 25 . 104 Nmm MtI = MtII = -2MT = -20 . 104 Nmm FNI = FNII = -F0 = -5000N
Resultierendes Biegemoment im Querschnitt I - I: M M M NmmresI xI yI= + = ⋅2 2 435 355 10,
Gesamtnormalspannung im Querschnitt I-I: σπ πI
resMD
FD
Nmm
= + =32 4 31 43
02 2,
Torsionsspannung im Querschnitt I-I: τπI
TMD
Nmm
=⋅
=2 16 8 13 2,
Spannungen im Querschnitt II-II: σ
π πIIxIIM
dFd
Nmm
= + =32 4 1243
02 2 τ
πIITM
dN
mm=
⋅=
2 16 23 83 2,
Vergleichsspannungen nach der Gestaltänderungshypothese: σ σ τ σ σ τVI I I VII II II
Nmm
Nmm
= + = = + =2 22
2 223 34 4 3 130 6, ,
F1
F0
F2
FAy FByF0
MxI
MxII
MT
F1
MT2MTFAx
FBx
MyI
IIIx
yz
Lösung 7.13 Biege- und Torsionsmomente an der Einspannstelle:
FN = 0 M Fa M Fa M Fax y t= = =2 3 3 M M M Fa Fa Nmmres x y= + = + = = ⋅2 2 64 9 13 1 8028 10,
Spannungen: ( ) ( )
( )
σπ
τπ
σ σ τπ
max max
max max
=⋅
−=
⋅−
= + =−
+
32 16
3 32 32
4 4 4 4
2 24 4
22
M dd d
M dd d
dd d
M M
res a
a i
t a
a i
Vmaxa
a ires
t
Erforderlicher Innendurchmesser: Aus σ σVmax zul≤ folgt
d dd
MM
mmi aa
zulres
t≤ − +
=4 2
2
432
32
94 9π σ
, digew = 94mm
σ σvorh zulN
mmN
mm= < =103 24 1202 2,
Lösung 7.14 Kräfte: F N
F F N F F N
F r F r F rr
F N
F F N F F N
u
a u r u
u u u u
a u r u
1
1 1 1 1
1 1 2 2 21
21
2 2 2 2
4500
1637 9 1743 0
0 10800
3930 9 4183 2
=
= = = =
⋅ − ⋅ = ⇒ = =
= = = =
tan tantan
tan tantan
βαβ
βαβ
, ,
, ,
Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt: FAy = - 5581,3N FBy = -3101,9N FAx = 3665,1N FBx = 8877,9N
Biegemomente:
( )M F l Nmm
M F l l F l Nmm
M F l Nmm
M F l Nmm
M F l F r Nmm
M F l Nmm
x Ay
x l Ay u
x r By
y l Ax
y r Ax a
y Bx
1 14
2 1 2 1 24
2 34
1 14
1 1 1 14
2 34
30 7 10
38 27 10
18 61 10
20 16 10
39 81 10
53 27 10
= − ⋅ = ⋅
= − ⋅ + − ⋅ = ⋅
= − ⋅ = ⋅
= − ⋅ = − ⋅
= − ⋅ − ⋅ = − ⋅
= − ⋅ = − ⋅
,
,
,
,
,
,
FF
3Fa3Fa
2Fa
A
1
2
B
xy
z
Torsionsmoment: M M F r Nmmt r t l u1 2 1 1
454 0 10= = − ⋅ = − ⋅, Längskräfte: F F F N F F F NN l a a N r N l a1 1 2 1 2 22293 0 3930 9= − = − = = − = −, , Resultierende Biegemomente: M M M Nmm
M M M Nmm
res x y r
res x y
1 12
12 4
2 22
22 4
50 27 10
65 59 10
= + = ⋅
= + = ⋅
,
,
Spannungen: Normalspannung rechts vom Rad 1:
σπ π1
13
22 2
32 4123 5= +
⋅=
Md
Fd
Nmm
res N ,
Torsionsspannung:
τπ1 3 2
1664 1= =
Md
Nmm
t ,
Normalspannung links vom Rad 2:
σπ π2
23
22 2
32 4159 9= +
⋅=
Md
Fd
Nmm
res N ,
Torsionsspannung: τ τ2 1 264 1= = , N
mm
Vergleichsspannung rechts vom Rad 1: σ σ τV
Nmm4 1
212
213 166 1= + = ,
Vergleichsspannung links vom Rad 2: σ σ τ σV V
Nmm4 2
222
2 423 194 7= + = =, max
Vergleichsspannung links vom Rad 1:
4221
3
21
21
16,89
432V
lNlyxl mm
NdF
dMM
σππ
σ ==++
=
Lösung 7.15
Die maximalen Spannungen treten im Querschnitt für x = 0 und y h= ±
2 auf.
Maximale Biegespannung: σmax = = =MW
Mbh
Nmm
bx
x
bx6 2402 2
Maximale Schubspannung: τ κ κ κmax =
⋅ = = =bh
Mbh
Nmm
für bh
t2 2101 2 4 07,
Maximale Vergleichsspannung: σ σ τVN
mm42 2
23 297= + =max max
