Zusammenfassung: Determinanten

Definition:

Entwicklungssätze:

mit und Unterdeterminante

(streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante)

Eigenschaften v. Determinanten:Multilinearität, Vorzeichenwechseln beim Vertausch v. Zeilen oder Spalten,Null bei zwei gleichen Zeilen oder Spalten, Multiplikationstheorem, Inverse

existiert, mit

Def: Orthogonale Matrix: oder, äquivalent:

Eigenschaft:

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die quadratische Matrix vermittelt eine lineare Abbildung:

Definition: Eigenvektor, Eigenwert

Ein (nicht-Null) Vektor heißt "Eigenvektor" (EV) von falls

(also )

heißt der "Eigenwert" (EW) von zugehörig zum Eigenvektor

Anwendungen in der Physik, insbesondere für die Bestimmung der charakteristische Schwingungen eines Systems, z.B.- Bestimmung der Normalmoden von gekoppelten harmonischen Oszillatoren- Bestimmung der Eigenzuständen und Eigenenergien eines Quantensystems

Eine Gleichung der Form (3) heißt "Eigenwertgleichung".

Beispiel 1: Nullmatrix

Jeder beliebige Vektor ist EV der Nullmatrix, mit EW

Beispiel 2: Einheitsmatrix

Jeder beliebige Vektor ist EV der Einheitsmatrix, mit EW

Oft wird der Zusammenhang zwischen und mit einen Index angedeutet,und nennt man den Eigenvektor oder

Diagonalmatrizen haben kanonische Basisvektoren als EV und Diagonalmatrixelemente als dazugehörige EW.

Betrachte kanonische Basis von :

j-te Stelle

Spaltenvektor:

Dann:

Also:

Beispiel 3: Diagonalmatrix

(nur Diagonalmatrixelemente sind ungleich 0)

j-te Stelle

Diagonalisieren einer MatrixAngenommen, ein Satz von n linear unabhängigen EV (also eine Basis für ) ist bekannt, mit EW

Betrachte Matrix , deren Spaltenvektoren durch diese EV gegeben sind:

also:

Eigenvektor jDann:

Diagonalmatrix

Spalte j von A(v1, ..., vj, ... vn) = A vj

Das Inverse v. existiert, da per Annahme eine Basis bilden

Man sagt: " ist ähnlich zu " ("Äquivalenzrelation") falls derartiges existiert.

heißt diagonalisierbar, falls ähnlich einer Diagonalmatrix ist.

(Bedingungen für Diagonalisierbarkeit: siehe Vorlesung Lineare Algebra )

Bestimmung der Eigenvektoren und Eigenwerte

Sei mit EV und EW

Also:

nicht invertierbar.

Denn: wäre invertierbar, dann würde aus (48.6) folgen:

im Widerspruch zu (1)

(4) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung an alle EW von , somit nützlich für deren Bestimmung!

Laut (31.1) ist eine Matrix genau dann nicht invertierbar, wenn ihre Determinante Null ist:

Dann ist die Matrix

Def: "charakteristisches Polynom der Matrix ":

Laut (48.4) liefern die Nullstellen von die Eigenwerte von

ist ein Polynom n-ten Grades [höchste Potenz v. ist , kommend von

Fundamentalsatz der Algebra: (Doktorarbeit v. Gauss (1799)! Siehe Lin. Alg. Vorlesung)Ein Polynom n-ten Grades hat genau n (möglicherweise komplexe) Nullstellen.

ist ein EW von

beim Berechnen v. (1) ]

Die Nullstellen müssen nicht alle verschieden sein. Sind zwei Nullstellen gleich, heißen sie "entartet".

[siehe Gl. (4) unten]

Rezept zur Bestimmung von EW: Berechne , finde dessen Nullstellen!

Beispiel 4: Finde EW und EV von

Allgemein: die quadratischen Gleichung

hat zwei Lösungen, gegeben durch:

Die zwei EW sind durch die zwei Lösungen der quadratischen Gleichung (3) gegeben:

Check:

Bestimme zunächst EW, via Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

Fortsetzung Beispiel 4: Bestimmung der EV:

j=1: EV zu

Eigenwertgleichung:

(Zeilenvektoren sind offensichtlich linear abhängig)

Lösung von (2): z.B.(oder alle Vielfache)

Check: erfüllt (3) die EW-Gl. (1) ?

j=2: EV zu

(Zeilenvektoren sind offensichtlich linear abhängig)

Lösung von (4): z.B.(oder alle Vielfache)

Check: erfüllt (6) die EW-Gl. (1) ?

Setze EW in EW-Gleichung (1) ein, löse resultierendes lineares Gl-System nach :

Zusammen-fassend:

hat EV

hat EV

Konstruiere nun die Matrizen und , die diagonalisieren!

EV als Spalten:

Check:

Inverse von

Allgemein gilt für das Inverse einer 2x2-Matrix (siehe

Check (48.1):

Beispiel 5: 3x3 Matrix

Finde EW und EV der Matrix

Charakteristisches Polynom:Entwicklung nach Spalte 1 liefert sofort:

Nullstellen sind offensichtlich:

j=1: EV zu

Eigenwertgleichung:

Setze EW in EW-Gleichung (4) ein, löse resultierendes lineares Gl-System nach :

Lösung: (oder Vielfache davon)

j=2: EV zu

Lösung: (oder Vielfache davon)

j=3: EV zu

Lösung: (oder Vielfache davon)

EV als Spalten:

Check:

via (31.3), oder durch Ausprobieren!

Check (48.1):

Entarteter Unterraum

Def: hat das charakteristische Polynom eine -fache Nullstelle bei ,

dann kommt derselbe Eigenwert mal vor und wird er "m-fach entartet" genannt.

Falls m linear unabhängige EV mit demselben EW existieren,

bilden sie eine Basis für einen m-dimensionalen "Eigenraum":

Check:

in diesem Eigenraum ist ebenfalls ein EV mit EW :

Jeder Vektor

Bemerkung: Diagonalisieren nicht immer möglich:

Beispiel 6:

Charakt.Polynom:

Nullstellen sind komplex:Diagonalisieren im Reellen nicht möglich (wohl aber im Komplexen).

Beispiel 7:

Charakt.Polynom:

Doppelte Nullstelle:

Nur ein Eigenvektor (statt zwei):

ist nicht diagonalisierbar, da das zwei linear unabhängige EW erfordern würde!

Kriterien dafür, dass diagonalisierbar ist: siehe Lin. Algebra Vorlesung

Zur Kenntnisnahme: falls nicht diagonalisierbar ist, was kommt dem am nächsten?

Die "Jordan-Normalform":Die einzigen nicht-Diagonalelementeliegen direkt über der Diagonale,und sind gleich 1. Die Diagonalelementedirekt links und direkt unter einer solchen 1 sind gleich.

z.B.:

Diagonalisieren symmetrischer Matrizen

Def: ist symmetrisch, falls

Satz: Für symmetrische Matrix sind die EV zu verschiedenen EW orthogonal.

Beweis: und seien zwei verschiedene EW, mitzugehörigen EV und :

Falls

Transposition von (4):

Linksmultiplikation:

(oder )

Satz: Für eine symmetrische reelle Matrix sind alle EW reell.

Sei eine komplexe Lösung von , mit komplexen EV

Dann gilt:

Komplex konjugieren:

ist reell:

Also ist

ein EW von mit EV

Laut Argumentation auf Seite M59 gilt Gl. (59.9) auch hier:

explizit als Skalarprodukt:

ist reel.

(Zahl größer als Null) streng >, da

Satz: Symmetrische reelle Matrizen sind diagonalisierbar

Beweisidee: Man zeigt, dass immer n linear unabhängige Eigenvektoren existieren (Details: Lineare Algebra Vorlesung), und argumentiert dann wie auf Seite M47.

Folgerung von

mit (Spaltenvektoren sind die EV)

Wir wissen bereits von (58.2): EV zu verschiedenen EW sind orthogonal.

Ferner: EV in einem entarteten Unterraum (d.h. mit gleichem EW , siehe 56.3) können paarweise orthogonal gewählt werden:

Sei

mit aber (linear unabhängig, d.h., nicht parallel)

d.h. entartet

Ziehe von dessen Projektion auf ab:

Per Konstruktion:

Check:

Ferner ist, laut (56.5), ebenfalls ein EV mit EW .

Wiederholtes Anwenden dieser Konstruktion ("Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren") liefert eine Orthogonalbasis für .

Durch Normieren derer Basisvektoren erhält man eine Orthonormalbasis für

Dasselbe Verfahren kann für alle EW wiederholt werden.

Das Inverse von ist die Matrix, deren Zeilenvektoren durch diese EV gegeben ist:

Eigenvektor j

Fazit: für eine symmetrische, reelle Matrix können die n EV so gewählt werden, dass sie eine Orthonormalbasis für bilden:

Diese Wahl macht das Diagonalisieren von besonders einfach:

Eigenvektor j

Wir wissen bereits:EV als Spaltenvektoren:

Denn:

Fazit: Diagonalisierung einer symmetrischen, reellen Matrix: sei ein Satzvon orthonormierten EV der Matrix mit zugehörigen EW .

wird durch folgende "Ähnlichkeitstransformation" "diagonalisiert":

EV als Spalten-

EV als Zeilen-vektoren

Bemerkung: laut (62.2) & (62.3), gilt:

S ist eine orthogonale Matrix, beschreibt also eine "Drehung"!

Fazit: die Diagonalisierung von symmetrischen reellen Matrizen ist durch Drehungenerreichbar:

mit

Bemerkung: symmetrische Matrizen (oder deren Verallgemeinerung im Komplexen,"hermitesche Matrizen", mit ) finden in der Physik sehr viele Anwendungen:

- kleine Schwingungen um Gleichgewichtslage: EV liefern "Normalmoden", EW deren charakteristische Frequenzen.

- Quantenmechanik: Observablen werden durch "hermitesche Operatoren", salopp gesagt, "hermitesche Matrizen", beschrieben. Eigenwerte des Hamilton-Operators (Energie-Operators) liefern die "Eigenenergien" eines Quantensystems