GoTop--GoTop-- 計算機概論計算機概論 (( 第二版第二版 ) ) 吳權威 王緒溢編著 吳權威 王緒溢編著 11
第第 0303 章章 數位邏輯數位邏輯
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目錄3-1 符號邏輯與真值表3-2 布林代數與邏輯閘3-3 邏輯電路簡化技巧
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3-1 符號邏輯與真值表
3-1.1 什麼是符號邏輯 3-1.2 布林函數的真值表 3-1.3 用真值表找出布林函數
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什麼是符號邏輯? 符號邏輯就是以邏輯運算符號和邏輯運算元組合而成的邏輯運算式,邏輯的常數分別以 0和 1 來代表真和假。
邏輯常數 邏輯涵義
0 假
1 真
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邏輯運算符號: AND :代表「且」運算,以「‧」表示。 OR :代表「或」運算,以「 + 」表示。 NOT :代表「否」運算,以「,」或「 ̄」表示。
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邏輯運算元: 以英文字母 A、 B、 C…… 來表示,而運算元的值可能為 0或 1 ,因此又可稱為二元變數。
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邏輯運算式所表示的意義: (1) X Y‧
(2) X OR Y
(3) X OR Y AND Z
(5) A AND B AND C AND D
(2) X + Y (3) X + Y Z‧
(5) A B C D‧ ‧ ‧
(1) X AND Y
(4) A AND OR C
B (4) A ‧ + C
B
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AND (且)邏輯運算符號說明: 需要兩個運算元,只有當運算元均為”真”時,其結果為”真”,否則為”假”。
在 X Y‧ 式中,當 X=1、 Y=1 時,邏輯運算式 X AND Y 的值為 1 ,其餘的情況則為 0 。
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OR (或)邏輯運算符號的說明: 需要兩個運算元,只要有其中一個運算元為“真”時,其結果為“真”,只有當兩個運算元均為“假”時,其結果為“假”。
在 X + Y 式中,當 X=0 、 Y=0 時,邏輯運算式 X OR Y 的值為 0 ,其餘的情況則為 1 。
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NOT (否)邏輯運算符號說明: 只需要一個運算元,當運算元為“真”時,其結果為“假”,而當運算元為“假”時,其結果為“真”。
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布林函數 -1 : 布林函數( Boolean function )是指以邏輯運算式所構成的函數。例如:(1) F(X,Y)=X Y‧(2) F(X,Y)=X+ Y(3) F(A,B,C)=A ‧ + C
上述三個布林函數的名稱均為 F ,這三個函數的邏輯運算式不同,其運算結果也就不一樣。
B
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布林函數 -2 : 在邏輯函數中, AND 運算子必須優先運算,可以省略不用,例如:
F(X,Y)=X Y‧
表示為 F(X,Y)=XY
可使用括號來區別運算的先後次序,例如:
F(X,Y,Z)=X(Y+ Z) 上面的函數中, Y、 Z 先進行 OR 運算,其結果再與 X 進行 AND 運算。
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真值表: 在邏輯運算式中每一個變數只有 0和 1 兩種變化。
為了解布林函數的邏輯值,可以列出函數的真值表( True Table )。
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函數的真值表 -1 :
F(X,Y)=XY F(X,Y)=X + Y
X Y F X Y F
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
(1)(1) (2)(2)
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函數的真值表 -2 :
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用真值表找出布林函數: 已知某一邏輯函數的真值表內容,也可以透過真值表,寫出相對於真值表的布林函數。
例如:真值表 。
在上列真值表中顯示,當 A、 B 的邏輯值同為 0 或同為 1 時,邏輯函數值為 1 ,因此邏輯函數可表示為 。
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用真值表找出邏輯函數的另一個例子:
按一下滑鼠或鍵按一下滑鼠或鍵盤檢查答案盤檢查答案
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3-2 布林代數與邏輯閘 3-2.1 布林代數運算定理 3-2.2 邏輯閘 3-2.3 布林函數與邏輯電路 3-2.4 推算邏輯電路的真值表
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布林代數運算定理: 布林( George Boole )先生於 1854 年,發表布林代數理論。
建立了符號邏輯以及研究計算機基本原理的基礎。
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運算布林代數可直接引用的定理:
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布林函數的簡化過程與所應用的定理:
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邏輯閘: 邏輯閘( Logic Gate )是一種表示與推算數位邏輯電路的基本元件,目的是為了簡化使用的邏輯閘和邏輯電路的運作效率。
根據邏輯函數中的邏輯符號,使用相對應的邏輯閘,就可以設計出完整的邏輯電路圖。
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基本的邏輯閘名稱與圖形符號 -1 :
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基本的邏輯閘名稱與圖形符號 -2 :
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基本的邏輯閘名稱與圖形符號 -3 :
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基本的邏輯閘名稱與圖形符號 -4 :
上述的邏輯閘是最基本的電子元件,積體電路( IC )就是以邏輯閘為基礎的電子元件所組成。例如積體電路編號 7408的 IC 中,有四個 AND 閘,且每個閘有兩個輸入﹔而 7432 IC 中有四個 OR 閘,且每個閘有兩個輸入。
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邏輯函數的邏輯電路圖 -1 : 邏輯函數 F(X,Y,Z)=(X+Y)(Y+Z) 的邏輯電路圖表示如下:
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邏輯函數的邏輯電路圖 -2 : F(X,Y)= ( )( )
F(X,Y,Z)= XY+YZ+XZYX YX
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推算邏輯電路的真值表: 我們可以將推算邏輯電路圖的真值表,轉換為邏輯函數,以驗證所設計的電路圖是否正確。
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從邏輯電路圖推算真值表:
按一下滑鼠或鍵按一下滑鼠或鍵盤檢查答案盤檢查答案
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再看一次電路圖
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3-3 邏輯電路簡化技巧 3-3.1 最小項 3-3.2 最大項 3-3.3 SOP與 POS 的轉換 3-3.4 什麼是卡諾圖 3-3.5 用卡諾圖化簡二變數邏輯函數 3-3.6 用卡諾圖化簡三變數邏輯函數 3-3.7 用卡諾圖化簡四變數邏輯函數
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最小項 -1 : 所謂最小項( Minterm ),是指在邏輯函數中包含所有二元變數的積項( AND 邏輯運算)。例如F(X,Y,Z) 邏輯函數之最小項包括:
下列的積項則不屬於 F(X,Y,Z) 邏輯函數的最小項:
F(X,Y) 邏輯函數之最小項包括:
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最小項 -2 : 一個 n 個變數的邏輯函數共有 2
n 個不同的最小項。 可用 m0、 m1、 m2……mn-1等符號來代表各個最小項。
例如,兩個變數的最小項和符號表如下:
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三個變數的最小項和符號表:
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標準 SOP 形式: 任何邏輯函數都可以使用最小項的邏輯和來 表 示 , 這 種 表 示 方 法 稱 為 標 準SOP( Sum of Product ,簡稱為 SOP )形式。
例如下面的邏輯函數:
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簡化邏輯函數: 為了簡化表示的方式,最小項可以使用符號來表示如下:
再近一步簡化表示如下:
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最大項 -1 : 所謂最大項( Maxterm )是指在邏輯函數中包含所有二元變數的和項( OR 邏輯運算)。
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最大項 -2 : 例如 F(X,Y,Z) 三變數邏輯函數之最大項包括:
+ + 、 + +Z 、 +Y+ 、 +Y+Z 、 X+ + 、 X+ +Z、 X+Y+ 、 X+Y+Z
而下列的和項則不是 F(X,Y,Z) 邏輯函數的最大項:X+Y、 X+Z、 Y+Z 、 + 、 + 、 +
F(X,Y) 二變數邏輯函數之最大項包括: + 、 +Y、 X+ 、 X+Y
X Y X Y XZ Z
Z Z
ZZX Y Y X
Y
X
Y
X Y X Y
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最大項 -3 : 一個 n 個變數的邏輯函數共有 2
n 個不同的最大項。 可用 M0、M1、M2……Mn-1 等符號來代表各個最大項。
例如,兩個變數的最大項和符號表如下:
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三個變數的最大項和符號表:
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標準 POS 形式: 使用其最大項的邏輯乘積來表示,這種表示方法稱為標準 POS( Product of Sum ,簡稱為 POS )形式。
例如:下面的邏輯函數
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簡化邏輯函數: 為了簡化表示的方式,最大項可以使用符號來表示如下:
再近一步簡化表示如下:
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SOP 與 POS 的轉換 -1 : 使用 SOP和 POS 表示的邏輯函數可以相互轉換,每一個最小項都有一個對應的最大項。
下表是二變數邏輯函數之最小項和最大項的對應表。
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SOP 與 POS 的轉換 -2 : 從上張投影片的表中可以看到, ,因為
邏輯函數
SOP 簡化形式為
POS 簡化形式為
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SOP 與 POS 的轉換 -3 : 當三變數邏輯函數的 SOP 形式表示如下時:
F(X,Y,Z)=
則可以轉換為 POS 形式表示如下:
F(X,Y,Z) =
m(1,2,5,7)
)6,4,3,0(M
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什麼是卡諾圖? 卡諾圖( Karnaugh Map )是一種非常實用的簡化邏輯電路的圖解法。
卡諾圖是由邏輯最小項(或最大項)所組成的二維矩陣,在矩陣中填入所對應最小項(或最大項)的值( 1或 0 ),然後藉由矩陣中的二元數值,進行簡化的工作。
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兩個變數的卡諾圖表示方式: 兩個變數的卡諾圖,以最小項表示如下:
以最小項的符號表示:
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三個變數的卡諾圖表示方式: 三個變數的卡諾圖,以最小項表示:
以最小項的符號表示:
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四個變數的卡諾圖表示方式 -1 : 四個變數的卡諾圖,以最小項表示:
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四個變數的卡諾圖表示方式 -2 : 以最小項的符號表示:
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用卡諾圖化簡二變數邏輯函數: 二變數的邏輯函數只要使用布林代數,就可以輕易將邏輯函數簡化。
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使用卡諾圖化簡二變數邏輯函數F(X,Y)=X+Y 的操作方法如下:
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用卡諾圖化簡二變數邏輯函數的補充說明: 應用卡諾圖簡化過程中,最重要的技巧,是如何從步驟 4 變成為步驟 5 。在圈圈 A 中,若以最小項來化簡,過程如下:
X +XY=X( +Y) =X
當您熟悉圈圈的化簡技巧後,就能立即將圈圈 A換成為 X ,而將圈圈 B ,換成為 Y ,所以化簡後的邏輯函數為 X+Y 。
Y Y
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使 用 卡 諾 圖 化 簡 三 變 數 邏 輯 函 數 的操作方法如下:
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在圈圈 A 中,若以最小項來化簡,過程如下:
在圈圈 B 中,若以最小項來化簡,過程如下:
在圈圈 C 中,若以最小項來化簡,過程如下:
化簡後的邏輯函數為 XZ+XY+YZ 。
使用卡諾圖化簡三變數邏輯函數 的補充說明:
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使 用 卡 諾 圖 化 簡 四 變 數 邏 輯 函 數 的操作方法如下:
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