ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 1 ►
Л Е К Ц И Я 3
Лекция 3. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) последовательности и их свойства. Теорема о схо-димости монотонной ограниченной последовательности. Число «е». Неопределенные выражения. Числовые последо-вательности в экономике
◀Определение▶ Ч.п. { }nx называется бесконечно малой (б.м.) ‹ lim 0nnx
. По определе-
нию это означает:
0 ( ) : ( ) (0)nN N n N x U или, что то же, 0n nx x .
◆Примеры: следующие ч.п. являются бесконечно малыми: 1 ln
, ,!
nn n n
nx x x en n
(пояс-
нения см. далее в тексте) и др.
◀Определение▶ Ч.п. { }nx называется бесконечно большой (б.б.) ‹ 0 N
( ) : ( ) ( )nN n N x U или, что то же, nx .
Напомним, что окрестностью несобственного символа ¶ ( 0 ) числовой оси яв-
ляется множество ее точек вида:
При этом пишут:
(3.1) lim nnx
Если б.б., начиная с некоторого номера n , принимает только положительные или
только отрицательные значения, то пишут
(3.2) lim nnx
( 0 N ( ) : ( ) ( )nN n N x U или, что то же, nx ), или
Uε( • ) : ε – ε
x
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 2 ►
Л Е К Ц И Я 3
(3.3) lim nnx
( 0 N ( ) : ( ) ( )nN n N x U или, что то же, nx ).
(Вспомните, как определяются окрестности несобственных символов ч.о. , ).
Ясно, что (3.2) fl (3.1), (3.3) fl (3.1), но не наоборот!
Действительно, пусть ( 1) , { } { 1 , 2 , 3 , 4 , }nn nx n x . Видим: начиная с неко-
торого номера, все члены этой ч.п. произвольно велики по модулю, то есть ,nx n .
Однако ни (3.2), ни (3.3) места не имеют, т.к. знаки членов ч.п. чередуются.
◆Примеры: следующие ч.п. являются бесконечно большими:
, ln , 2005nn n nx n x n x e и др.
◆Замечание
Бесконечно большие числовые последовательности не относят к числу сходящихся,
но иногда говорят о них, как об имеющих «бесконечный предел» (в отличие от сходящихся,
то есть имеющих пределом конечное действительное число).
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
10. Сходимость некоторой ч.п. равносильна тому, что разность этой ч.п. и ее предела есть
бесконечно малая ч.п., то есть lim ,nnx a a
n nx a б.м.
Действительно, пусть lim nnx a
. Поскольку предел константы равен ей самой, то
limn
a a
. Тогда на основании свойств арифметических операций со сходящимися число-
выми последовательностями lim( ) lim limn nn n nx a x a
0a a , так что последователь-
ность ( )nx a бесконечно малая. Пусть, наоборот, ( )nx a бесконечно малая ч.п., т.е
lim( ) 0nnx a
. Учтем теперь опять, что lim
na a
и в силу того, что ( )n nx x a a , мо-
жем вновь утверждать: lim lim( ) lim 0n nn n nx x a a a a
.
Доказанное означает, что для любой сходящейся последовательности { }nx , имеющей
пределом число a , справедливо равенство n nx a , где n – бесконечно малая ч.п.
(коротко: бесконечно малая).
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 3 ►
Л Е К Ц И Я 3
20. Если ,n nx y – б.м., то ( )n nx y тоже б.м. Действительно, существование пределов (рав-
ных нулю) у ч.п. ,n nx y влечет его существование и у их суммы, а также равенство
lim( ) lim limn n n nn n nx y x y
0 0 0 , то есть ( )n nx y б.м., что и требовалось доказать.
Доказанное утверждение остается верным и для любого фиксированного числа сла-
гаемых.
◆Пример: 1 1 1
lim lim lim1 1 0n n n
nn n n n
: число бесконечно малых слагаемых в
сумме слева не является фиксированным, а зависит от n (оно равно n ) и растет с ростом n .
Именно поэтому здесь не может вызвать удивления то, что сумма бесконечно малых не яв-
ляется бесконечно малой – свойство 20. «не работает».
Легко видеть, что если ,n nx y – б.м., то и их произведение n nx y также является б.м.
Это же верно для произведения любого фиксированного числа б.м. (докажите самостоя-
тельно).
▲ Является ли частное двух б.м. также б.м.? Может ли это частное быть б.б.? Приведите
примеры.
30. Пусть nx б.м., а ny ограниченная ч.п. (знак фигурных скобок при обозначении число-
вых последовательностей часто опускают). Тогда их произведение – б.м.
Действительно, ограниченность ny означает, что 0 : ,nM y M n . Задав
произвольно 0 , подберем ( ) : nN N n N x M
. Для членов ч.п. n nx y с указан-
ными номерами n будет выполнено неравенство 0n n n nx y x y MM
. Но это
и означает что 0 ,n nx y n , то есть что произведение бесконечно малой и ограниченной
числовых последовательностей есть бесконечно малая числовая последовательность.
◆Пример: sin
lim 0 ,n
nn
т.к. 1
lim 0 ,n n
а sin 1 ,n то есть sin n ограниченная ч.п..
▲ Существует ли lim sinn
n
?
Пусть $ lim sinn
n a
. Тогда на основании свойств сходящихся ч.п. можем утверждать, что одновре-
менно существуют и тоже равны a пределы limsin( 1)n
n
, lim sin( 1)n
n
. После применения формул триго-
нометрии можем утверждать, что это означает:
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 4 ►
Л Е К Ц И Я 3
lim(sin cos1 sin1 cos )
lim(sin cos1 sin1 cos )n
n
n n a
n n a
.
Поскольку по предположению $ lim sinn
n a
, а cos1 – постоянное число, то существует предел
lim(sin cos1)n
n
, равный cos1a . Это повлечет в свою очередь существование предела второго слагаемого в
первом из уравнений системы, поскольку существуют пределы первого слагаемого и суммы (их разность дает
второе слагаемое). Отсюда последует $ lim cosn
n
в силу того, что sin1 0 . Обозначим этот последний пре-
дел через b . Тогда записанная выше система равносильна следующей: cos1 sin1
cos1 sin1
a b aa b a
, откуда после
сложения уравнений найдем (cos1 1) 0a 0a , т.к. cos1 1 . Тогда, как легко заметить, будет и
0b (вновь из-за sin1 0 ).
Итак, получится: lim sin 0
lim cos 0n
n
n
n
2 2 2 2lim(sin cos ) 0 0 0
nn n
, что невозможно, по-
скольку 2 2sin cos 1n n и потому 2 2lim(sin cos ) 1n
n n
.
Обнаруженное противоречие доказывает, что lim sinn
n
.
40. Из всех стационарных ч.п. бесконечно малой является лишь та, для которой
0 ,nx n (докажите самостоятельно).
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
10. Ч.п. nx – б.б. ‹ ч.п. 1
nx – б.м. ( 0nx ).
Действительно, пусть nx – б.б. Докажем, что 1
nx – б.м. По определению бесконечно
большой ч.п. nx , начиная с некоторого номера, будет произвольно велик. Но это означает,
что величина 1 1 1
0n n nx x x
станет настолько близка к нулю, насколько захотим.
Именно, 1
0 ( ) : ( ) 0n
N N n Nx
. Но это по определению как раз и озна-
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 5 ►
Л Е К Ц И Я 3
чает, что 1
lim 0n
nx , то есть
1
nx – б.м. (В обратную сторону докажите утверждение само-
стоятельно).
20. Если nx ограниченная ч.п., а ny б.б., то n
n
xy
– б.м. (используйте доказанное в п.10. и
свойство 30. бесконечно малых).
30. Пусть ч.п. nx ограничена по модулю снизу положительным числом m , то есть
0nx m , а ч.п. ny – б.м., причем 0ny . Тогда ч.п. n
n
xy
– б.б.
Действительно, зададим произвольное положительное . Поскольку ny б.м., то для
любого взятого найдется такое число ( )N , что для всех номеров ( )n N будет выпол-
нено неравенство nmy
(наряду с величина m
также может принимать произвольные
положительные значения), а тогда /
n nn
n n
x xx my y m m
.
Тем самым получили: 0 ( ) :N ( ) n
n
xn N
y . Но это по определению
означает, что n
n
xy
при n , то есть n
n
xy
бесконечно большая ч.п., что и требова-
лось доказать.
Справедливы также следующие утверждения: (доказательства можно найти в фунда-
ментальных курсах математического анализа, см. список литературы)
40. Если lim ( )nnx
и ( ) ,ny c c n , где c const , то есть ny ограничена снизу
(сверху), то lim( ) ( )n nnx y
.
◆Пример: lim[ ( 1) ]n
nn
, т.к. lim
nn
, а ( 1) 1 ,n n .
50. Пусть lim ( )nnx
. Тогда, если начиная с некоторого n , выполняются неравенства
0 ( 0),ny c c c const , то lim( ) ( )n nnx y
.
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 6 ►
Л Е К Ц И Я 3
nn
!n
, 1na a
, 0n
log , 1a n a
скорость роста при nÆ•
◆Пример: 1 / 2lim( log )n
ne n
, т.к. lim n
ne
(докажите!), а 1/ 2log n 1 0 , начиная с
2n (докажите!).
60. Пусть lim nnx
и для всех n , начиная с некоторого, 0ny c , c const . Тогда
lim( )n nnx y
.
◆Пример: 2 ( 1)
limsin
n
n
nn
, т.к. 2lim ( 1)n
nn
(докажите!), а
11
sin n , n , в силу
sin 1n . Заметим, что sin 0n , n (почему?).
Важно понимать различие между неограниченной и бесконечно большой ч.п. Так, ч.п.
(6) из Лекции 2: ( 1) 1{1, 2 , , 4 , }
3
n
nx n является неограниченной, т.к. она не ограничена
сверху. Однако эта ч.п. не является бесконечно большой, т.к. содержит сколь угодно малые
члены со сколь угодно большими номерами, тогда как в б.б. числовой последовательности
все члены, начиная с некоторого, превосходят по модулю любое наперед заданное положи-
тельное значение.
ШКАЛА РОСТА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ Ч.П.
Бесконечно большие последовательности можно сравнивать по скорости роста с
увеличением номера n .
Некоторые часто встречающиеся на
практике б.б. сведены в представленную диа-
грамму. Понимать ее надо следующим образом:
отношение любых двух включенных в нее б.б.
имеет пределом 0, то есть является бесконечно
малой, если его числитель расположен в изо-
браженной шкале ниже знаменателя (то есть
скорость роста числителя меньше скорости рос-
та знаменателя). В противном случае такое от-
ношение есть бесконечно большая (числитель
растет при n быстрее знаменателя). Если
же числитель и знаменатель являются б.б. с
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 7 ►
Л Е К Ц И Я 3
одинаковой скоростью роста, то пределом такого отношения будет некоторое действитель-
ное число, не равное нулю. Сделанное утверждение представляет собой теорему, которая
может быть доказана с привлечением некоторых дополнительных сведений о свойствах эле-
ментарных функций.
Нижеприведенные примеры поясняют сказанное.
◆Примеры:
1). lim!
n
n
nn
.
2). 2
0,003
loglim 0n
nn
.
3). 1 ln
lim lim limn
n n nn n n
n n e
(т.к. ln
lim 0n
nn
) = 0 1e .
В последнем примере использована возможность при вычислении пределов менять
местами операции нахождения предела и вычисления элементарной функции (здесь – экспо-
ненты): ln ln
limlim n
n nn n
ne e
. Условия, при выполнении которых такая перестановка корректна,
обсуждаются в данном курсе далее в лекции о непрерывных функциях.
Среди теорем о пределах важную роль играет следующая
ТЕОРЕМА
Доказательство проведем для монотонно возрастающей и ограниченной сверху ч.п.
Без ограничения общности будем считать, что 1 ,n nx x n (в противном случае отбро-
сим конечное число ее начальных членов, если монотонный рост в ч.п. начинается не с пер-
вого члена (такое изменение, как известно, не влияет на ее сходимость и величину предела).
Заметим сперва, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху ч.п. – ограничена.
Действительно, если 0 :M n nx M , то будет 1 2 3x x x M , так что полу-
чим 1 ,nm x x M n .
Монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная сверху (снизу) числовая
последовательность имеет предел.
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 8 ►
Л Е К Ц И Я 3
ПРИНЦИП ТОЧКИ СГУЩЕНИЯ1
◀Определение▶ Точка 0x называется точкой сгущения некоторого числового множества,
если в любой окрестности 0x содержится бесконечно много чисел этого множества.
◆Пример: для ч.п. ( 1)nnx точками сгущения являются 01 1x и 02 1x .
1. Докажем вспомогательное утверждение, известное под названием принципа точки
сгущения, который формулируется следующим образом
Пусть, для начала, заданный промежуток числовой оси есть отрезок [0;1]. Разобьем
его на 10 равных частей точками 0,1;0, 2; 0,9 . Тогда по крайней мере один из этих десяти
частичных отрезков содержит бесконечно много заданных чисел (иначе на всем отрезке [0;1]
их было бы лишь конечное количество). Пусть этот отрезок примыкает справа к числу 10, a ,
где 1a одно из чисел 0 – 9. Далее, делим этот отрезок тоже на 10 равных частей и выбираем
тот из полученных отрезков, который содержит бесконечно много чисел нашего множества.
Пусть этот отрезок примыкает справа к числу 1 20, a a , где 2a также одно из чисел 0 – 9.
Этот процесс можно продолжить, в результате чего получим конечную или бесконечную де-
сятичную дробь 0 1 2 30 ,x a a a .
Далее, поскольку: ●
а). каждое из чисел 1 1 2 1 2 30 , ; 0 , ; 0 , ;a a a a a a отличается от 0x не более, чем на
0 ,1; 0 , 01; 0 , 001;соответственно (например, 0 10,x a 2 30, 0 0,1a a )
б). все эти числа не превосходят 0x :
1 Автором этого принципа является К.Вейерштрасс.
Если на конечном промежутке числовой оси задано бесконечное множество чисел,
то у этого множества имеется по крайней мере одна точка сгущения.
x … 0x 10, a 1 20,a a
1 2 30,a a a
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 9 ►
Л Е К Ц И Я 3
в). к каждому из них примыкает справа отрезок длины 0 ,1; 0 , 01; 0 , 001; , содержащий
бесконечно много чисел заданного множества
● то в любой окрестности точки 0x оказываются все выделенные выше отрезки, как
только наше десятичное подразделение становится достаточно мелким.
К примеру, внутри 0,001 0( )U x окажется отрезок длиной 0,001, примыкающий справа к
числу 1 2 30,a a a , который содержит бесконечно много чисел нашего множества:
Тем самым доказано, что 0x – точка сгущения заданного числового множества. Для
произвольного отрезка [ , ]b b h аналогичное построение приводит к тому, что будет
0 1 2 30 ,x b h a a a .
2. Докажем теперь саму сформулированную выше теорему. Поскольку, как было от-
мечено выше, монотонно возрастающая и ограниченная сверху ч.п. { }nx ограничена, то есть
бесконечное множество ее членов лежит на конечном промежутке числовой оси, то в соот-
ветствии с принципом точки сгущения Вейерштрасса такая ч.п. имеет точку сгущения a . То-
гда ,nx a n . Действительно, если для какого-нибудь номера l окажется, что lx a , то
все оставшиеся члены ч.п. в силу монотонного роста 1 2l l lx x x выходили бы за ин-
тервал 1 1( , )l la x a x , который, будучи окрестностью точки a , содержал бы лишь ко-
нечное количество чисел множества { }nx . Это противоречило бы тому, что a – точка сгуще-
ния нашей ч.п.
Видим: справа от точки a нет элементов нашей ч.п. , а тогда там нет и других точек
сгущения. Но их не может быть и слева от точки a , т.к. для любой из таких точек сгущения
точка a была бы точкой сгущения ч.п. { }nx , лежащей справа, что невозможно по только что
доказанному.
отрезок длины 0,001, содержащий бесконечно много чисел данного множества
x 0x 1 2 30,a a a
x0 – 0,001 x0 + 0,001
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 10 ►
Л Е К Ц И Я 3
Вывод: монотонно возрастающая и ограниченная сверху ч.п. имеет единственную
точку сгущения. Тогда вне любой ее окрестности имеется лишь конечное число членов ч.п.
{ }nx .
Действительно, если бы нашлась окрестность точки a , вне которой содержалось бы
бесконечно много членов данной ч.п., то это бесконечное числовое множество в силу огра-
ниченности (все его числа – это и числа ограниченной ч.п. { }nx ) само имело бы в соответст-
вии с принципом Вейерштрасса точку сгущения, очевидно, отличную от точки a . Стало
быть, у ч.п. { }nx было бы более одной точки сгущения, что невозможно.
Но это означает, что lim nnx a
, что и требовалось доказать.
Для монотонно убывающей и ограниченной снизу ч.п. доказательство аналогично.
Оно сохраняется также и для монотонно неубывающей (невозрастающей) и ограниченной
сверху (снизу) числовой последовательности.
ЧИСЛО «e»
Доказанная выше теорема широко используется в математическом анализе.
Рассмотрим, например, ч.п. с общим членом
(3.4) 1
1n
nxn
.
_____________________________________________________________________________
Сделаем предварительно несколько важных напоминаний:
1. Факториал
◀Определение▶ !n 1 2 3 ( 1)n n – читается «эн факториал» и означает произведе-
ние всех натуральных чисел от 1 до n .
◆Пример: 2! 1 2 2 , 5! 1 2 3 4 5 120 .
По определению принимают 0! 1 (смысл этого соглашения пояснен ниже).
2. Бином Ньютона – так принято называть формулу, при помощи которой сумма двух
слагаемых возводится в произвольную натуральную степень:
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 11 ►
Л Е К Ц И Я 3
0
( 1)( 2) ( 1)!( ) ,
!( )! !
nn k n k k k
n nk
n n n n kna b C a b Ck n k k
, где
knC т.н. биномиальные коэффициенты; обозначение читается «цэ из эн по ка». Эти величи-
ны известны в математике также под названием «чисел сочетания из n элементов по k эле-
ментов», причем n , 0 ,1, 2 , ( 1) ,k n n .
◆Пример: 0 1 2 ( 1)! ! ! !1; ; ;
0!( 0)! ! 1!( 1)! 2!( 2)! 2n n nn nn n n nC C n C
n n n n
1 1 2 2( 1)! ! !;
( 1)!( 1)! ( 1)! ( 2)!( 2)! 2n nn n n n
n nn n nC n C C Cn n n n n n n
.
Применив формулу бинома для 1n , получим
1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 11 1 1 1( )a b C a b C a b C a C b a b , так что 0 1
1 1
1!1
0!(1 0)!C C
1! 1!1
1!(1 1)! 1!0!
, так что целесообразно принять указанное выше соглашение 0! 1 .
В дальнейшее используется следующий результат сравнения величин 12n и !n :
12 2 2 2 2 2n ( 1n раз)
! 1 2 3 4 ( 1)n n n
Сравниваемые величины представлены в виде произведений и расположены в двух
строках одна под другой таким образом, чтобы было видно, что каждый из множителей в
12n , начиная со второго, строго меньше каждого из множителей в !n , номер которого на
единицу больше. Это позволяет утверждать, что при 2n выполнено неравенство
1
1
1 1! 2
! 2n
nnn
.
_____________________________________________________________________________
Применив к ч.п. (3.4) формулу бинома Ньютона, получим
(3.5) 0 1 2 3
1 2 3( 1) ( 1)( 2)1 1 1 11 1 1 1 1
1! 2! 3!n n n n
nn n n n nnx
n n n n
11 0( 1)( 2) [ ( 2)] ( 1)( 2) [ ( 1)]1 1
1 1( 1)! !
n nn n n n n n n n n nn n n n
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 12 ►
Л Е К Ц И Я 3
1 1 1 1 2 1 1 2 12 1 1 1 1 1 1
2! 3! !
nn n n n n n n
.
Видим: 2 ,nx n . Далее, т.к. при 2n выполнено неравенство 1
1 1
! 2 nn (см.
выше), то верна оценка членов ч.п. (3.4) сверху:
2 3 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 12 2
2! 3! ( 1)! ! 2 2 2 2 2n n nx
n n
(дополним эту сумму
положительными слагаемыми до суммы бесконечной убывающей геометрической прогрес-
сии) 1 1 1
1 1 1 3 3,12 4 12
nx n
.
Итак, в (3.4) 2 3nx , то есть { }nx ограниченная ч.п. Далее, из (3.5) следует, что
1
1 1 1 1 2 1 1 2 12 1 1 1 1 1 1
2! 1 3! 1 1 ! 1 1 1nnx
n n n n n n n
1 1 21 1 1
( 1)! 1 1 1 nn x
n n n n
, т.к каждое из n первых слагаемых не
меньше соответствующего слагаемого в nx , а последнее ( 1)n -е слагаемое в сумме для 1nx
положительно.
Следовательно, (3.4) – монотонно возрастающая ч.п. По теореме о пределе монотон-
ной ограниченной последовательности 1lim 1
n
n n
. Этот предел играет важную роль в ма-
тематике, являясь одной из так называемых мировых констант:
1lim 1 2, 718281828459045
n
ne
n
2
Иррациональное число e – т.н. основание натуральных логарифмов3.
2 Любопытно отметить, что 1828 (эта группа цифр фигурирует в десятичной записи числа e подряд 2 раза) – год
рождения великого русского писателя Л.Н.Толстого, что позволяет желающим запомнить значение данной ми-
ровой константы с довольно большим количеством десятичных знаков.
3 Проведите следующий компьютерный эксперимент: визуализируйте функцию (1 1/ )xy x в области 0x
и убедитесь, что горизонтальной асимптотой ее графика при x является прямая y e .
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 13 ►
Л Е К Ц И Я 3
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пусть 0 , 0n nn nx y
, то есть ,n nx y бесконечно малые. Рассмотрим ч.п. { / }n nx y .
О ее пределе нельзя сказать «ничего определенного», т.к. теорема о пределе частного в рас-
сматриваемом случае неприменима. Ниже даны примеры всех мыслимых возможностей:
1). 21/ , 1/ /n n n n nx n y n x y n
, то есть { / }n nx y – б.б.
2). 21/ , 1/ / 1/ 0n n n n nx n y n x y n
, то есть { / }n nx y – б.м.
3). ( 1) 1/ , 1/ / ( 1)n nn n n nx n y n x y , то есть { / }n nx y не имеет предела
4). 2 / , 7 / / 2 / 7 2 / 7n n n n nx n y n x y
, то есть { / }n nx y имеет конечный пре-
дел.
Видим: в данной ситуации для нахождения предела частного { / }n nx y недостаточно
знать, что 0 ,n nx
0n n
y , а надо знать еще характер (скорость) стремления к нулю по-
следовательностей nx и ny .
◀Определение▶ Говорят, что выражение /n nx y при 0nx , 0ny представляет собой
неопределенность типа (0 / 0) «ноль делить на ноль».
Далее, при ,n nx y выражение /n nx y есть неопределенность типа
( / ) «бесконечность делить на бесконечность», а выражение n nx y – неопределенность
типа ( ) «бесконечность минус бесконечность».
При 0 ,n nx y выражение n nx y есть неопределенность типа (0 ) «ноль
умножить на бесконечность».
Показательно-степенное выражение , 0nyn nx x n порождает следующие неоп-
ределенности:
(1 ) «единица в степени бесконечность» при 1 ,n nx y
◆Пример: 1 1
1 , 1 ,n
n n nt x y nn n
;
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 14 ►
Л Е К Ц И Я 3
0(0 ) «ноль в нулевой степени» при 0 , 0n nx y
◆Пример: 11/ (1/ ) , 1/ , 1/nnn n nt n n x n y n ;
0( ) «бесконечность в нулевой степени» при , 0n nx y
◆Пример: 1 , , 1/nnn n nt n n x n y n .
Раскрыть неопределенность – значит найти соответствующий предел или доказать,
что он не существует.
При раскрытии неопределенностей нельзя непосредственно воспользоваться арифме-
тическими свойствами пределов. Однако часто это можно сделать после некоторых тожде-
ственных преобразований данного неопределенного выражения.
Кроме этого, полезными оказываются следующие результаты (приведены здесь без
доказательства):
1. Пусть 1,nx n и lim 0nnx
. Тогда
lim 1 1,pnn
x p const
.
2. Показательно-степенное выражение exp , ln , 0,nbn n n n n na A A b a a n имеет пре-
дел (конечный или равный )
lim
lim
lim
nn
nn
nn
A L
A
A
.
Некоторые из случаев, которые могут при этом представиться:
● Если lim , 0 ,nna a a
lim nn
b b
, то lim lim( ln ) lnn n nn nA b a b a L
lim nbnn
a
lim exp exp lim exp( ln ) exp(ln )bn nn n
A A b a a
ba . В частности, если здесь
1a , то 0L и lim 1nbnn
a
.
● Если lim , 0 ; 1nna a a a
, lim nn
b
, то
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 15 ►
Л Е К Ц И Я 3
, 0 1lim lim( ln )
, 1n n nn n
aA b a
a
exp( ) 0 , 0 1lim exp lim
exp( ) , 1nb
n nn n
aa A
a
4.
● Если lim , 0 ; 1nna a a a
, lim nn
b
, то
, 0 1lim lim( ln )
, 1n n nn n
aA b a
a
exp( ) , 0 1lim exp lim
exp( ) 0, 1nb
n nn n
aa A
a
.
● Если lim 0 0nna
(такой записью здесь желают подчеркнуть, что 0,na n ), то
lim(ln ) ln lim ln(0 0)n nn na a
5. Тогда в случае lim 0nn
b b
, где b или b ,
имеем lim lim( ln )n n nn nA b a
, а в случае lim 0nn
b b
, где b или b будет
lim lim( ln )n n nn nA b a
. В результате получаем
exp( ) 0, 0lim exp lim
exp( ) , 0nb
n nn n
ba A
b
.
В случае, когда lim nnA
, но не и не , в числовой последовательности nA
отыщется подпоследовательность 1 nA , имеющая предел , равно как и подпоследователь-
ность 2 nA , имеющая предел (докажите). Но тогда 1 1lim exp( ) exp lim( )n nn nA A
exp( ) и 2 2lim exp( ) exp lim( )n nn nA A
exp( ) 0 . Таким образом, последова-
тельность nbna не имеет предела в рассматриваемом случае.
Использованный выше прием т.н. экспоненциального преобразования показательно-
степенного выражения с последующим анализом показателя экспоненты (наиболее интере-
4 Символы exp( ) употребительны при обозначении пределов б.б. положительной последовательности
exp ,n n n nx A A
и б.м. последовательности exp ,n n n n
x A A
соответственно. С учетом этого
операции lim( )x
и exp( ) e остаются перестановочными и в случае, когда числовая последовательность
есть б.б положительная или б.б. отрицательная. Здесь формально можно считать, что область определения экспоненты содержит несобственные числа и (см. сноску на стр.17).
5 Запись ln(0 0) означает, что числовая последовательность lnn nx a есть отрицательная б.б. при
0 0n na
. Операции lim( )
x и ln( ) можно теперь считать перестановочными и при стремлении аргумента
логарифма справа к нулевому значению, которого нет в области определения логарифма (см. сноску на стр.17).
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 16 ►
Л Е К Ц И Я 3
сен случай, когда lnn n nA b a представляет собой неопределенное выражение типа (0 ) )
весьма плодотворен и будет использоваться далее при раскрытии показательно-степенных
неопределенностей для функций непрерывного аргумента.
3. Один из частных случаев предыдущего пункта, когда lim 1nna
, lim nn
b
, выделим осо-
бо. Именно, если lim 0,nn 0 ;n a , то
1
lim(1 ) .n
bn
n
anx
a
a e
◆Пример: 22
2
7 3lim
1
n
n
n nn
●
Положим 22
2
7 3
1
n
nn nt
n
. Поскольку
2 2
2
2
7 31
7 3lim lim 1
11 1n n
n n n nn
n
, а
lim(2 )n
n
, то nt неопределенность типа (1 ) .
Имеем: 2
2
7 21
1
nnn
(
2
7 20 ,
1n
n nn
)
2 2
7 22
1 17 2
2
7 21
1
n nn nnn
n
. Далее, по
утверждению 3. при 1a будет
2 1
7 2
2
7 21
1
nn
n
n en
, а
2
7 22 14
1 n
n nn
, так что, применяя
2., окончательно получаем
● 14e .
4. Связь среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармониче-
ского положительных чисел
Пусть 1 2, , , 0na a a . Тогда справедлива система неравенств
1
1 11
1 1
n nnn
a a a aa a
n n
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 17 ►
Л Е К Ц И Я 3
Входящие в эту систему выражения называются (справа налево): среднее арифмети-
ческое (сумма чисел, деленная на их количество), среднее геометрическое (корень степени,
равной количеству чисел, из их произведения) и среднее гармоническое (величина, обратная
среднему арифметическому обратных заданным числам величин). Равенства в системе реа-
лизуются одновременно и тогда и только тогда, когда 1 na a .
Указанная система неравенств часто используется вместе с теоремой «о двух мили-
ционерах» (см. Лекцию 2).
5. Операция вычисления предела перестановочна (говорят еще: коммутирует) с операцией
вычисления элементарной функции6 (об этом уже упоминалось выше).
◆Пример: Пусть lim / 2nnx
. Тогда lim(sin ) sin(lim ) sin( / 2) 1n nn n
x x
(использована
перестановочность lim sinn
с учетом того, что [sin( )]D x ).
Наряду с рассмотренным выше способом задания ч.п. при помощи формулы общего
члена, распространен и другой способ – при помощи т.н. рекуррентных формул, в которых
произвольный член ч.п. задается как функция некоторых предшествующих ее членов, а не
как явная функция номера n .
◆Примеры:
(3.6) 1). 1 1, ,n nx x d x a где d const , n .
Формула (3.6) задает последовательность чисел { , , 2 , }a a d a d – арифметиче-
скую прогрессию (÷) с первым членом a и разностью d .
(3.7) 2). 1 1, 0 , 0n nx x q x b q const , n .
Формула (3.7) порождает геометрическую прогрессию (∺) с первым членом b и зна-
менателем q : 2{ , , , }b bq bq
6 Строгая формулировка этого обстоятельства выглядит так: если все члены сходящейся ч.п. { }nx вместе с ее
пределом a лежат в области определения элементарной функции ( )f x , то lim ( ) lim ( )n nn nf x f x f a
.
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 18 ►
Л Е К Ц И Я 3
(3.8) 3). 2 1 1 2, 3, 4 , ; 1n n nx x x n x x .
Эта формула определяет числовую последовательность
{1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 ,13 , 21, } , в которой каждый член, начиная с 3-го, равен сумме двух пред-
шествующих ее членов. Эта ч.п. известна в математике как последовательность чисел Фибо-
наччи (Леонардо Пизанский, или Фибоначчи – итальянский богослов и математик XIII в.).
▲ Найдите формулы общего члена ч.п. (3.6) – (3.8).
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ЭКОНОМИКЕ
Хороший пример использования ч.п. в экономике – динамика банковского вклада, где
роль натурального номера n играет количество временных отрезков, прошедших с момента
размещения вклада в банке. Если размер вклада по истечении n таких отрезков (лет, кварта-
лов, месяцев, дней) обозначить через 1nx , а первоначальный вклад – как 1x , то ч.п.
1 2{ , , }x x будет описывать изменение величины вклада с течением времени.
В частности, если банк начисляет т.н. сложный процент из расчета %p годовых, то
1 1 , 1 , 2 ,100n n
px x n
– аналог формулы (3.7). Отсюда следует
(3.9) 2
1 1 11 1 1100 100 100
n
n n np p px x x x
– размер вклада по истечении
n лет.
Пусть теперь проценты начисляются не 1 раз в год, а k раз по %pk
. Тогда получим (в
результате nk начислений за n лет)
(3.10) 1 1 1100
k n
npx x
k
Ясно, что в пределе k выплата процентов становится непрерывной (ежегодно –
1k ; ежеквартально – 4k ; ежемесячно – 12k ; ежедневно – 365k ; ежечасно –
8760k ; ... ; непрерывно – k ).
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 19 ►
Л Е К Ц И Я 3
Если предел в (3.10) при k обозначить nx , то есть положить 1 1lim n nkx x
, то
найдем:
100 100 100100
1001 1 1 1 1lim lim 1 lim 1
100 100
pnk p kkn pn
p k p
n nk k k
p px x x x x ek k
.
Окончательно, формула
(3.11) 1001 1
pn
nx x e
описывает динамику банковского вклада в принятой выше схеме непрерывного начисления
процентов.
Видим: в соответствии с (3.11) вклад с течением времени растет ( 0p ) экспоненци-
ально. Экспоненциальный рост, как известно, является неограниченным: вклад становится
сколь угодно большим по прошествии достаточно большого времени.
▲ Сравните результаты (3.9) и (3.11) при 1 1 , 5% , 20x p n с целью выбрать банк для
наиболее выгодного размещения вклада. Оправдывается ли основанное на здравомыслии ут-
верждение, что при одинаковой годовой ставке именно схема непрерывного начисления
процентов (вклад растет «все время») оказывается наиболее выгодной? Проведите компью-
терный анализ ситуации.
Поскольку в (3.10) 1 1 ( 0) ,100
p p то 1100
n
n
p
, а тогда 1lim nnx
, то
есть бесконечное увеличение вклада с течением времени характерно и для закона (3.10).
Представим себе политика, который предлагает ограничить процент прироста, желая
воспрепятствовать неограниченному обогащению граждан.
Пусть в (3.9) /100p и с указанной целью предлагается сделать ставку банковского
процента зависящей от величины вклада: 0max
1 nxx
, где 0 max, x некоторые постоян-
ные. Тогда при 0nx процент максимален: 0 , а при maxnx x то есть по достижении
вкладом величины maxx , будет 0 , так что вклад перестанет расти. Получаем после под-
становки в первое равенство (3.9):
Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 20 ►
Л Е К Ц И Я 3
(3.12) 0 01 0 0
max 0 max
(1 ) 1 (1 ) 1 ,1
n nn n n n
x xx x x x
x x
где
0
0 max
1 , 11
nxx
. Введем теперь обозначение 0
0 max1n
nx
yx
. Тогда, умножив (3.12) на
0
0 max(1 )x
и обозначив еще 01 r , находим окончательно
(3.13) 1 (1 )n n ny r y y , где 0 1 , 1ny r .
Формула (3.13) называется логистическим законом изменения переменной y .
▲ Существует ли lim nny
в (3.13) и если да, то чему он равен?
Казалось бы, принятые меры приведут к стабилизации ny с ростом n и вклады будут
вести себя предсказуемо.
Оказывается, однако, что это так лишь для не очень больших значений параметра r . В
этом случае действительно $ lim nny
:
– точки удвоения периода
зона хаоса
значение ny при больших n 2-цикл 4-цикл
«Портрет» логистического закона (3.13)
2Y
1Y
r 4
зона существования
lim nny
r
O 1
0r
3
2/3
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 21 ►
Л Е К Ц И Я 3
При увеличении r указанный предел пропадает. Именно, если этот параметр превы-
сит пороговое значения 0 3r , то величина ny , начиная с некоторого значения номера n ,
будет колебаться (!) последовательно между двумя значениями ( 1Y и 2Y на рисунке).
С дальнейшим ростом r таких значений становится вместо двух 4, 8 и т.д. в результа-
те так называемой бифуркации7 удвоения периода. Далее, при некотором критическом значе-
нии 4r r (для наглядности ось абсцисс растянута) характер изменения переменной ny
становится нерегулярным: она хаотически колеблется в пределах некоторого промежутка,
так что предсказать величину вклада оказывается невозможно.
Как бы это ни было удивительно, но приведенные выше довольно простые соображе-
ния, имеющие целью контроль денежных потоков в сфере банковских услуг, поставленной
цели воспрепятствования неограниченному обогащению населения не достигают, а могут,
наоборот, привести к полной хаотизации положения на рынке таких услуг. Соответствующая
математическая модель, основанная на логистическом уравнении (3.13), является предметом
исследований на переднем крае современной науки в бурно развивающейся ее отрасли, име-
нуемой теорией хаоса.
Один из наиболее поучительных выводов из рассмотренного примера (каким бы три-
виальным8 этот вывод ни казался на первый взгляд!) состоит в том что
7 Бифуркация – от «bifurcus» (лат., раздвоенный) – буквально некоторое удвоение, например, удвоение периода колебаний
банковского вклада, как в рассмотренном выше примере. В широком смысле бифуркация понимается как качественное из-
менение (перестройка, скачок, метаморфоза), возникающее в некоторой физической, социальной, экономической и т.п. сис-
теме по достижении параметрами, управляющими ее динамикой (поведением), определенных пороговых значений, что ве-
дет к потере этой системой устойчивости и возникновению в ней качественно новых форм движения. 8 Тривиальный – обыкновенный, лишенный свежести и оригинальности. Оригинальный – подлинный, неподдельный, впол-
не самостоятельный, чуждый подражательности, своеобразный.
Простые меры воздействия даже на не очень сложные системы
не всегда приводят к простым и предсказуемым последствиям