1

∆ιαγώνισµα Α΄ τετραµήνου στα Μαθηµατικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γ΄ Λυκείου

∆ιάρκεια: 2 διδακτικές ώρες

2.1 ως 2.3: Μιγαδικοί αριθµοί

Εισηγητής: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

Ονοµατεπώνυµο: ……………………………………………………………………..

Ηµεροµηνία: …………………………………… Τµήµα: ……………......

Θέµα Α

Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε 1 2z , z ∈C ισχύει: 1 2 1 2z z z z= .

Μονάδες 10

Α2. Τι ονοµάζουµε µέτρο του µιγαδικού z = x + yi, x, y∈R .

Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα αναφοράς σας

τη λέξη "Σωστό" αν η πρόταση είναι σωστή και "Λάθος" αν η πρόταση είναι

λανθασµένη, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε µία από τις προτάσεις: α, β, γ, δ

και ε.

α) Αν 1 2z , z ∈C µε 1 2z z= , τότε ισχύει πάντα ότι 1 2z = z .

β) Αν z∈C , τότε ισχύει πάντα ότι 2 2| z | = z .

γ) Αν 1 2z , z ∈C , τότε ισχύει πάντα ότι 1 2 1 2 1 2| z | | z | z + z | z | + | z |≥ ≥- .

δ) Αν z∈C και ρ > 0, τότε η εξίσωση | z |= ρ απεικονίζει πάντα στο µιγαδικό επίπεδο

κύκλο µε κέντρο το Ο(0, 0) και ακτίνα ρ.

ε) Αν 1 2z , z ∈C , τότε ισχύει πάντα ότι _________ ___ ___

1 2 1 2z + z z + z= .

Μονάδες 10

Θέµα Β

∆ίνονται οι z,u∈C και w∈R όπου 3 2z z 2 0− + = ,

uw

iu 2=

− και u 2i≠ − .

Β1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης στο µιγαδικό επίπεδο είναι

κορυφές ισοσκελούς τριγώνου.

Μονάδες 7

Β2. Να αποδείξετε ότι | u i | 1+ = .

Μονάδες 8

Β3. Να αποδείξετε ότι οι z 1 i= + και 5 2 5 5

u i5 5

− −= − + είναι οι µιγαδικοί για τους

οποίους το | z u |− γίνεται µέγιστο.

Μονάδες 10

2

Θέµα Γ

∆ίνονται οι *z∈C , w∈C όπου | 3z 2 |= | 2z 3 |- - και

iw iz

z= − .

Γ1. Να αποδείξετε ότι | z | 1= .

Μονάδες 8 Γ2. Να αποδείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού w κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα.

Μονάδες 9

Γ3. Να εξετάσετε αν η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών z και iw− παίρνει ελάχιστη

τιµή.

Μονάδες 8

Θέµα ∆

∆ίνονται οι 1 2z , z , w∈C µε 12z 1 2− = , 2z 3= και 2

1 1 10

| w 4i | | w 4i | | w 16 |+ =

− + +.

∆1. Να αποδείξετε ότι 1 2 1 2

2 3| 2z z 1| 3z z

3 2+ − = + − .

Μονάδες 7

∆2. Να βρείτε το µέγιστο και το ελάχιστο του 1 2z z+ .

Μονάδες 6 ∆3. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w.

Μονάδες 6

∆4. Να αποδείξετε ότι 1

3 13w z

2 2≤ − ≤ .

Μονάδες 6

Καλή Ε πιτυχία