Міністерство аграрної політики та продовольства України
Аграрно-економічний коледж
Полтавської державної аграрної академії
РОБОЧИЙ ЗОШИТ №2
для практичних занять
з навчальної дисципліни
«Вища математика»
Розділи: «Вступ до математичного аналізу»
«Диференціальне числення функції однієї змінної»
для студентів денної форми навчання
спеціальностей
5.03050901 «Бухгалтерський облік»,
5.03050801 «Фінанси і кредит»
ПОЛТАВА - 2012
2
Укладачі: Сувальська О.В. – викладач вищої категорії природничо-
математичних дисциплін Аграрно-економічного коледжу ПДАА.
Губарь Н.Л. – викладач вищої категорії, викладач-методист,
голова циклової комісії природничо-математичних дисциплін
Аграрно-економічного коледжу ПДАА.
Рецензент: Семенюта А.Ю. – викладач природничо-математичних
дисциплін Аграрно-економічного коледжу ПДАА.
РОЗГЛЯНУТО І СХВАЛЕНО НА ЗАСІДАННІ
ЦИКЛОВОЇ КОМІСІЇ
ПРИРОДНИЧО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН
ПРОТОКОЛ № ___ ВІД __________2012Р.
Робочий зошит для практичних занять з навчальної дисципліни «Вища
математика» для студентів спеціальностей «Бухгалтерський облік» та
«Фінанси і кредит» є зошитом з друкованою основою, побудованим згідно
вимог щодо проведення практичних занять та відповідно до програми
навчальної дисципліни у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації.
Робочий зошит №2 складається з передмови, тематичного плану
навчальної дисципліни, переліку практичних занять, практичних робіт з
розділів курсу «Вступ до математичного аналізу», «Диференціальне
числення функції однієї змінної», додатки.
Кожне практичне заняття містить тему, мету, питання для
самопідготовки, план, термінологічний словник ключових понять, зразки
розв’язання типових задач, завдання для практичного виконання та
самостійної роботи.
Самостійна робота в більшості передбачає індивідуальне виконання
завдань.
Робочі зошити №1 – №3 включають в себе 16 практичних занять
передбачених програмою і послідовно доповнюють один одного.
3
ЗМІСТ
Передмова…………………………………………………………………...... ..…4
Тематичний план вивчення дисципліни…………………………………...... ..…5
Перелік практичних занять………………………………………………….. …..6
Розділ 3. Вступ до математичного аналізу ……………………………… ..…7
Практичне заняття №6. Обчислення границь. Дослідження функцій на
неперервність .………………………………………………………………..
…..7
Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї змінної …………… ….30
Практичне заняття №7. Обчислення похідних функцій та диференціалів . ….30
Практичне заняття №8. Екстремум функції. Опуклість графіка функції.
Точки перегину ………………………………………………………………
….45
Практичне заняття №9. Розв’язування задач економіки за допомогою
екстремумів …………………………………………………………………..
….59
Практичне заняття №10. Дослідження функцій та побудова графіків …... ….70
Список використаної та рекомендованої літератури………………………. ….89
4
Серед усіх наук, що відкривають людству
шлях до пізнання законів природи, наймогутніша,
найвеличніша наука – математика.
С. Ковалевська
Теорія без практики мертва та безплідна,
практика без теорії неможлива чи згубна. Для теорії
потрібні головним чином знання, для практики, крім
того, і вміння.
Академік О.М.Крилов
Передмова В сучасному суспільстві працевлаштування та досягнення мети будь-якою
людиною найчастіше тісно пов’язано з умінням вдосконалювати: свої
здібності, комунікабельність, фізичний стан, навички уважної розумової
творчої праці. Важливі також: цілеспрямованість, знання іноземних мов,
вільне володіння комп’ютерною технікою, навички логічно і коротко
виражати свої думки, організаційні здібності, культурний рівень.
Стратегічним напрямом розвитку освіти України в ХХІ столітті є
забезпечення інтелектуального і етичного розвитку людини на основі
залучення її в різноманітну, самостійну, доцільну діяльність у різних галузях
знань. Швидке оновлення знань, включаючи базові, ставить перед вищими
навчальними закладами завдання підготувати фахівців, здатних:
– адаптуватися до умов сучасного суспільства, які швидко змінюються;
– самостійно набувати необхідні для успішної роботи знання і навики,
застосовувати їх на практиці для вирішення різноманітних задач;
– самостійно, критично мислити, уміти бачити виникаючі в реальній
дійсності проблеми і шукати раціональні шляхи їх вирішення,
використовуючи сучасні технології.
Значну роль в підготовці сучасного конкурентоспроможного фахівця
відіграє процес вивчення математичних дисциплін.
Основним завданням курсу “Вища математика” є математичне
забезпечення спеціальної підготовки майбутніх економістів, а саме:
ознайомлення студентів з основами математичного апарату, необхідного при
розв’язанні теоретичних і практичних задач, пов’язаних з майбутньою
трудовою діяльністю; набуття студентами уміння самостійно вивчати
навчальну літературу з математики; розвиток логічного мислення і підняття
загального рівня математичної культури; прищеплення навичок
математичного дослідження прикладних завдань. Особлива увага при
вивченні вищої математики приділяється практичним заняттям.
Робочий зошит для практичних занять з навчальної дисципліни «Вища
математика» є зошитом з друкованою основою, призначений для
5
використання студентами економічних спеціальностей денної форми
навчання при вивченні окремих розділів курсу.
У робочому зошиті подано тематичний план вивчення дисципліни,
перелік практичних занять, практичні заняття з розділів курсу «Вступ до
математичного аналізу», «Диференціальне числення функції однієї змінної»,
додатки.
Кожне практичне заняття містить: тему, мету, питання для
самопідготовки, план, термінологічний словник ключових понять, зразки
розв’язання типових задач, добірку завдань для аудиторної та самостійної
роботи.
Для допомоги у підготовці до практичних занять, а також для виконання
самостійної роботи в зошиті подано список рекомендованої літератури.
Тематичний план вивчення дисципліни
№
п/п
Назва розділу, модуля,
теми програми
Обсяг годин
за робочою навчальною
програмою
Всь
ого
аудиторні, з
них
сам
ост
ійні
лекції
Практ
ичні
Вступ 2 2
1 Елементи лінійної алгебри 16 6 6 4
2 Аналітична геометрія 12 4 4 4
3 Вступ до математичного аналізу 10 4 2 4
4 Диференціальне числення функції однієї
змінної
22 4 8 10
5 Диференціальне числення функції
багатьох змінних
12 2 4 6
6 Інтегральне числення 22 4 4 14
7 Диференціальні рівняння 12 2 4 6
Всього 108 28 32 48
6
Перелік практичних занять
Назва розділу, теми практичного заняття Кількість
годин
Розділ 1. Елементи лінійної алгебри 6
Практичне заняття №1. Методи обчислення визначників.
Дії над матрицями 2
Практичне заняття №2. Розв’язування систем лінійних
рівнянь методом Крамера 2
Практичне заняття №3. Метод Гаусса та його застосування 2
Розділ 2. Аналітична геометрія 4
Практичне заняття №4. Обчислення елементів трикутника
за допомогою системи координат 2
Практичне заняття №5. Криві другого порядку. Пряма і
площина в просторі 2
Розділ 3. Вступ до математичного аналізу 2
Практичне заняття №6. Обчислення границь. Дослідження
функцій на неперервність 2
Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї змінної 8
Практичне заняття №7. Обчислення похідних функцій та
диференціалів 2
Практичне заняття №8. Екстремум функції. Опуклість
графіка функції. Точки перегину 2
Практичне заняття №9. Розв’язування задач економіки за
допомогою екстремумів 2
Практичне заняття №10. Дослідження функцій та побудова
графіків 2
Розділ 5. Диференціальне числення функції багатьох
змінних 4
Практичне заняття №11. Диференціювання функцій двох
змінних 2
Практичне заняття №12. Знаходження екстремумів функцій
двох змінних 2
Розділ 6. Інтегральне числення 4
Практичне заняття №13. Розв’язування вправ на
інтегрування функцій 2
Практичне заняття №14. Обчислення визначених інтегралів.
Застосування визначеного інтегралу 2
Розділ 7. Диференціальні рівняння 4
Практичне заняття №15. Розв’язування диференціальних
рівнянь з відокремлюваними змінними 2
Практичне заняття №16. Лінійні диференціальні рівняння
першого порядку 2
7
Розділ 3. Вступ до математичного аналізу.
Практичне заняття № 6.
Тема: Обчислення границь. Дослідження функцій на
неперервність.
Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Границя функції та
неперервність», набути навички і вміння по обчисленню границь
послідовностей і функцій Навчити студентів досліджувати функції на
неперервність, визначати вид точок розриву функції, схематично
будувати графіки функцій
Питання для самопідготовки:
- Поняття функції, області визначення функції, числової послідовності,
модуля дійсного числа.
- Зростаюча (спадна) послідовність.
- Окіл точки х0, поняття границі функції, односторонні границі.
- Геометричний зміст границі функції.
- Нескінченно великі, нескінченно малі функції.
- Основні теореми про границі функцій.
- Перша та друга важливі границі.
- Поняття неперервності функції в точці, на проміжку, точки розриву.
План практичного заняття
1. Розв’язування вправ на функції. Обчислення границь послідовностей.
2. Обчислення границь дробово-раціональних функцій в точці і на
нескінченності.
3. Обчислення границь функцій, що містять корені.
4. Розв’язання вправ на використання першої та другої визначних
границь.
5. Дослідження функції на неперервність. Знаходження точок розриву
функції, та визначення їх виду.
8
Термінологічний словник ключових понять
Функція — це така відповідність між множинами D та E, при якій
кожному значенню змінної Dx відповідає одне й тільки одне значення Ey .
Область визначення функції — це множина всіх значень аргументу, для
яких можна обчислити значення функції.
Послідовність — це числова функція nfy , область визначення якої є
множина натурального ряду чисел.
Границя а послідовності хn — це таке число а, для якого при довільному
,0 яким би малим воно не було, існує номер N, такий, що для всіх номерів
Nn виконується нерівність axn .
Нескінченно мала величина — це така послідовність ,n для якої .0lim
nn
Нескінченно велика величина — це така послідовність хn, для якої при
довільному числі М ,0 M яким би великим воно не бу-
ло, існує номер N такий, що при всіх Nn виконується нерівність .Mxn
Границя функції — а) Число b називається границею функції xf при
ax , якщо для будь-якого числа 0 існує число 0 , таке що при
axax i виконується нерівність bxf (означення границі функції
«мовою »).
б) Число b називається границею функції xf при ax , якщо для будь-
якої послідовності значень аргументу axx nn , , що має границею число а,
відповідна послідовність значень функції nxf має границею число b
(означення границі функції «мовою послідовностей»).
Односторонні границі функції — а) Якщо при axax функція має
границю, то ця границя називається лівосторонньою границею функції в
точці ax .
б) Якщо при axax функція має границю, то ця границя називається
правосторонньою границею функції в точці .ax
Лівостороння та правостороння границі функції в точці є односторонніми
границями цієї функції.
Перша особлива границя — .1sin
lim0
x
x
x
Друга особлива границя — .1
1lim ex
x
x
Функція неперервна в точці, якщо в цій точці нескінченно малому
приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції. Функція
9
є неперервною на проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього
проміжку.
Точка розриву функції — це точка х = х0, в якій порушується хоча б одна з
умов рівності xfxfxfxxxx
)(limlim00 00
.
Точка розриву 1-го роду — а) Точка х = х0 називається точкою розриву 1-го
роду (розрив неусувний) для функції ,xfy якщо односторонні границі
(зліва і справа) функції у цій точці існують, але не рівні між собою, тобто
.limlim00 00
xfxfxxxx
б) Точка х = х0 називається точкою розриву 1-го роду (розрив усувний)
для функції ,xfy якщо односторонні границі функції у цій точці існують,
рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції у цій точці, або
функція у цій точці не існує, тобто
.000
limlim00
xfxfxfxxxx
Точка розриву 2-го роду — точка х = х0 називається точкою розриву 2-го
роду для функції ,xfy якщо в цій точці не існує хоча б одна з
односторонніх границь (зліва чи справа).
Завдання для практичного виконання:
Приклад 1. Знайти область визначення функції
1
1ln
x
xy .
Розв’язання.
Функція визначена, якщо 01x та .01 x Таким чином, областю
визначення функції є: (– 1, 1) (1, + ).
Приклад 2. Знайти область визначення функцій
1) 2
13arcsin321
xxy ;
2)
44
2ln2
хx
хy .
Розв’язання.
10
Приклад 3. Визначити, яка із заданих функцій парна чи непарна:
а) xxxy sin232 ; б) ;22 xxy в) .52 xxy
Розв’язання.
а) Оскільки xfxxxxxxxf sin2sin2 3232 , то функція
непарна.
Приклад 4 . Довести, що границею послідовності 5
32
n
nxn є число а = 2.
Розв’язання.
Задамо число ,0 тоді
5
7
5
7
5
102322
5
32
nnn
nn
n
naxn .
З нерівності axn маємо 5
7
n або .5
7
n Звідки
5
7
N .
Приклад 5. Знайти .726
6532
23
limnn
nnn
n
11
Розв’язання.
726
6531
726
653
22
323
2
23
limlimnn
n
nnnn
nn
nnn
nn
.
Приклад 6. Знайти
.1
1...
32
1
21
1lim
nnn
Розв’язання.
.1011
11
1
11...
3
1
2
1
2
11
1
1...
32
1
21
1
lim
limlim
n
nnnn
n
nn
Приклад 7. Знайти 173
12
72lim
n
n n
n
Розв’язання.
Виконавши перетворення і використавши формулу en
n
n
11lim ,
знаходимо:
122
24limlimlim
)173(12
8
8
12
)173(12
8
8
12
173173
12
13624
12
13624)173(
12
8
8
12
11lim
8
12
11lim
12
812lim
12
72lim
eeeeen
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
n
n
Приклад 8. Знайти 52
23
83lim
n
n n
n
Розв’язання.
12
Приклад 9. Знайти 15172
1314lim
2
2
2
xx
xx
x
Розв’язання.
За теоремою про границю частки дістанемо
111
11
15348
13284
1521722
132142
)15172(lim
)1314(lim
15172
1314lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
x
x
x.
Приклад 10. Знайти 152
37lim
2
2
2
xx
xx
x
Розв’язання.
Приклад 11. Знайти .3
92
2
3lim
xx
x
x
Розв’язання.
Тут чисельник та знаменник дробу прямують до нуля при 3x
(невизначеність вигляду
0
0). Оскільки
3
33
3
92
2
xx
xx
xx
x
x
x 3 при ,3x
то .23
3
9limlim
32
2
3
x
x
xx
x
xx
Звідси .23
92
2
3lim
xx
x
x
Приклад 12. Знайти 15172
1314lim
2
2
1
xx
xx
x
13
Розв’язання.
Приклад 13. Знайти .0
0
1
123
23
1lim
xxx
xxx
x
Розв’язання.
Розкладемо на множники чисельник та знаменник дробу:
.02
0
1
1
11
11
11
11
1
1
lim
limlimlim
1
2
2
12
2
123
23
1
x
x
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
Приклад 14. Знайти
0
0
10020
100023
3
10lim
xxx
x
x
.
Розв’язання.
14
Приклад 15. Знайти .0
024lim
0
x
x
x
Розв’язання.
Помножимо чисельник та знаменник дробу на суму :24 x
.4
1
24
1
24
44
24
2424limlimlim
000
xxx
x
xx
xx
xxx
Приклад 16. Знайти 3
915lim
3
x
xx
x
Розв’язання.
15
Приклад 17. Знайти
.0
0115 3
0lim
x
x
x
Розв’язання.
Покладемо ,1 5yx тоді
Приклад 18. Знайти .1234
43223
23
lim
xxx
xxx
x
Розв’язання.
Поділимо чисельник та знаменник на старший степінь х, тобто на х3:
.4
1
1234
4321
1234
432
32
32
23
23
limlim
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
Приклад 19. Знайти 15172
1314lim
2
2
xx
xx
x
16
Розв’язання.
Приклад 20. Знайти
3438 22
lim xxxxx
.
Розв’язання.
Помножимо та поділимо заданий вираз на 382 xx 342 xx
.22
4
341
381
4
3438
4
3438
3438
3438
34383438
3438
22
2222
22
22
2222
22
lim
limlim
lim
lim
xxxx
xxxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
x
xx
x
x
Приклад 21. Знайти .2
1
3
1
03lim
x
x
x
Розв’язання.
Якщо ,03x то .3
12;02,
3
11
3
1
03
3
1
lim
x
x
x xx
Якщо ,03x то .02;2,3
11
3
1
03
3
1
lim
x
x
x xx
Приклад 22. .2
11
2
1
22
2sin
2sin2
0
0cos12
2
02
2
02
0limlimlim
x
x
x
x
x
x
xxx
17
Приклад 23.
.0
02sin1
2lim
x
x
x
Розв’язання.
Для того щоб скористатися першою особливою границею, потрібно
виконати таку заміну змінної х, щоб нова змінна прямувала до нуля,
наприклад .yx
.8
1
416
4sin2
4sin2
2cos1
22sin1
0
2sin1
2
2
02
2
0
20
20
2
limlim
limlimlim
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
yx
yx
x
x
yy
yyx
Приклад 24. xtgxctgx
74lim0
Розв’язання.
Для обчислення границі цієї функції використаємо дві з основних формул
тригонометрії x
xctgx
sin
cos і
x
xtgx
cos
sin , а також першу важливу границю
.1sin
lim0
x
x
x Маємо
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxtgxctg
xxxxxx
44
4sin
77
7sin
lim4sin
7sinlim1
4sin
7sinlim
7cos
4coslim
7cos
7sin
4sin
4coslim74lim
000000
.4
7
4
7
1
1
4
7lim
4
4sinlim
7
7sinlim
4
7lim
4
4sin7
7sin
lim0
0
0
00
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
x
Приклад 25. xxtgx
5sin3lim0
Розв’язання.
18
Приклад 26. 12
2
3lim
x
x x
x
Розв’язання.
.1
1
31
21
21
31
12
1
31
2
3
10
22
23
2
2
12
12
lim
limlim
ee
e
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Приклад 27. Дослідити на неперервність функцію .sin xy
Розв’язання.
Область визначення функції .sin RDxy
Візьмемо довільне ,0 RDx надамо 0x приросту ,x тоді приріст функції
y буде
.2
cos2
sin2sinsin 00000
xx
xxxxxfxxfy
Розглянемо
.02
cos
2
2sin
2cos
2sin2 0
00
00limlimlim
xx
x
xx
xx
xy
xxx
Звідси функція xy sin неперервна ,0 Rx тобто на всій області
визначення.
Приклад 28. Показати, що при х = 4 функція 4
x
xy має розрив.
Розв’язання.
Знаходимо .4
,4
limlim0404
x
x
x
x
xx
19
Таким чином, функція при 4x не має ні правої, ні лівої скінченної
границі. Звідси, х = 4 є точкою розриву 2-го роду.
Приклад 29. Дослідити на неперервність функцію 5
252
x
xy .
Розв’язання.
У точці х = 5 функція має невизначеність .0
0
В інших точках дріб
скорочується на х – 5, оскільки .05 x Звідси, при 5x .5 xy Легко
показати, що
.10limlim0505
yyxx
Таким чином, при х = 5 функція має усувний розрив. Його можна усунути,
якщо домовитися, що при х = 5 у = 10.
Звідси можна вважати, що функція 5
252
x
xy неперервна при всіх
значеннях х, якщо вважати, що рівність 55
252
x
x
x справджується при всіх
значеннях х, включаючи і саму точку х = 5. У цьому випадку графіком
функції буде пряма лінія .5 xy
Приклад 30. Дослідіть функцію3
2
x
xy на неперервність на всій
числовій прямій.
Розв’язання.
20
Домашня самостійна робота.
Завдання 1. Знайти область визначення функцій:
1) 5log 2 xy ;
2) 1arccos
15log 2
11
x
xxy ;
3) 15arcsin5
1
x
xy .
Розв’язання.
21
Завдання 2. Побудувати графіки функцій:
а) y = sin x + 2; б) y = –2 x2, в)
4
π cos xy , г) 1
3
1 xy .
Розв’язання.
22
Завдання 3. Знайти границі функцій згідно свого варіанту
(№ варіанту –порядковий номер по журналу):
1. 1)25152
252542
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 2, б) x0 = 5, в) x0 = ;
2)xx
x
x
35
1
1lim ; 3) xxctg
x
26sin
0lim
; 4)
35
5
4lim
n
n
n
n.
2. 1)282
82672
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =1, б) x0 = -4, в) x0 = ;
2)2
84
2lim
x
xx
x; 3)
x
xarctg
x 5
7
0lim
; 4)
54
32
52lim
n
n
n
n.
3. 1)5015
251522
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 5, б) x0 = -5, в) x0 = ;
2)xx
x
x
62
4
4lim ; 3)
xtg
xtg
x 4
5
0lim
; 4)
32
63
13lim
n
n
n
n.
23
4. 1)532
8532
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -2, б) x0 = 1, в) x0 = ;
2)3
42
3lim
x
xx
x; 3)
xtg
x
x 2
3sin
0lim
; 4)
4
45
35lim
n
n
n
n.
5. 1)583
71362
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -2, б) x0 = -1, в) x0 = ;
2)6
93
6lim
x
xx
x; 3)
x
x
x 4
8arcsin
0lim
; 4)
15
34
14lim
n
n
n
n.
6. 1) 34
7432
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =2, б) x0 =-1, в) x0 = ;
2)3
51
3lim
x
xx
x; 3)
x
xarctg
x 5
7
0lim
; 4)
33
62
32lim
n
n
n
n.
7. 1) 232
2082
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -1, б) x0 = -2, в) x0 = ;
2)xx
x
x
182
8
8lim ;3)
x
x
x 5
4sin
0lim
; 4)
127
72
82lim
n
n
n
n.
8. 1) 2110
61042
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -2, б) x0 =3, в) x0 = ;
2)7
217
7lim
x
xx
x;3)
x
x
x 5sin
3sin
0lim
; 4)
83
102
42lim
n
n
n
n.
9. 1) 1514
172032
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -3, б) x0 = -1, в) x0 = ;
2)xx
x
x
816
4
4lim ;3)
x
x
x 18
17arcsin
0lim
; 4)
73
174
84lim
n
n
n
n.
10. 1) 15172
13142
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =2, б) x0 =1, в) x0 = ;
2)3
915
3lim
x
xx
x; 3) xxtgctg
x
74
0lim
; 4)
173
12
72lim
n
n
n
n.
11. 1) 8103
202
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =4, б) x0 = -4, в) x0 = ;
24
2)68
1
1lim
xx
x
x;3) xxctg
x
2sin6
0lim
; 4)
112
9
8lim
n
n
n
n.
12. 1) 8103
561282
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =2, б) x0 = -2, в) x0 = ;
2)xx
x
x
1016
3
3lim ; 3)
xarctg
x
x 5
7
0lim
; 4)
83
172
12lim
n
n
n
n.
13. 1) 2732
322
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =2, б) x0 =3, в) x0 = ;
2)3
28
3lim
x
xx
x; 3)
xtg
xtg
x 19
17
0lim
; 4)
178
104
94lim
n
n
n
n.
14. 1) 2673
81242
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =3, б) x0 =2, в) x0 = ;
2)xx
x
x
137
3
3lim ; 3)
xtg
xtg
x 9
5
0lim
; 4)
123
84
14lim
n
n
n
n.
15. 1) 10122
21202
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =1, б) x0 = -1, в) x0 = ;
2)7
59
7lim
x
xx
x; 3)
x
x
x 7arcsin
2
0lim
; 4)
146
72
42lim
n
n
n
n.
16. 1) 1543
3522
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =2, б) x0 =3, в) x0 = ;
2)4
71
4lim
x
xx
x;3)
xarctg
x
x 4
3
0lim
; 4)
23
52
32lim
n
n
n
n.
17. 1) 62
2742
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =0, б) x0 =2, в) x0 = ;
2)xx
x
x
62
2
2lim ;3)
x
xtg
x 5sin
2
0lim
; 4)
72
43
23lim
n
n
n
n.
18. 1)65
3522
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =4, б) x0 = -3, в) x0 = ;
2)х
xx
x
5
91
5lim ; 3)
xctg
xctg
x 3
5
0lim
; 4)
23
4
6lim
n
n
n
n.
25
19. 1)252
101132
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -3, б) x0 = -2, в) x0 = ;
2)xx
x
x
73
2
2lim ; 3)
x
x
x 2arcsin
4
0lim
; 4)
3
65
35lim
n
n
n
n.
20. 1)472
81432
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =2, б) x0 =4, в) x0 = ;
2)2
37
2lim
x
xx
x; 3) xxctgtg
x
32
0lim
; 4)
53
34
54lim
n
n
n
n.
21. 1)25152
252542
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 3, б) x0 = 5, в) x0 = ;
2)xx
x
x
35
1
1lim ;3) xxctg
x
62sin
0lim
; 4)
32
5
4lim
n
n
n
n.
22. 1)282
82672
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =-1, б) x0 = -4, в) x0 = ;
2)2
84
2lim
x
xx
x; 3)
x
xarctg
x 6
7
0lim
; 4)
52
32
52lim
n
n
n
n.
23. 1)5015
251522
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 3, б) x0 = -5, в) x0 = ;
2)xx
x
x
62
4
4lim ; 3)
xtg
xtg
x 4
3
0lim
; 4)
3
63
13lim
n
n
n
n.
24. 1)532
8532
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 2, б) x0 = 1, в) x0 = ;
2)3
42
3lim
x
xx
x; 3)
xtg
x
x 2
4sin
0lim
; 4)
42
45
35lim
n
n
n
n.
25. 1)583
71362
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 2, б) x0 = -1, в) x0 = ;
2)6
93
6lim
x
xx
x; 3)
x
x
x 4
6arcsin
0lim
; 4)
15
34
14lim
n
n
n
n.
26. 1) 34
7432
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =-2, б) x0 =-1, в) x0 = ;
26
2)3
51
3lim
x
xx
x; 3)
x
xarctg
x 3
7
0lim
; 4)
34
62
32lim
n
n
n
n.
27. 1) 232
2082
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 1, б) x0 = -2, в) x0 = ;
2)xx
x
x
182
8
8lim ;3)
x
x
x 5
3sin
0lim
; 4)
125
72
82lim
n
n
n
n.
28. 1) 2110
61042
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = -2, б) x0 =3, в) x0 = ;
2)7
217
7lim
x
xx
x;3)
x
x
x 5sin
3sin
0lim
; 4)
83
102
42lim
n
n
n
n.
29. 1) 1514
172032
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 = 3, б) x0 = -1, в) x0 = ;
2)xx
x
x
816
4
4lim ;3)
x
x
x 8
7arcsin
0lim
; 4)
72
174
84lim
n
n
n
n.
30. 1) 15172
13142
2
lim0
xx
xx
xx при: а) x0 =-2, б) x0 =1, в) x0 = ;
2)3
915
3lim
x
xx
x; 3) xxtgctg
x
53
0lim
; 4)
73
12
72lim
n
n
n
n.
Розв’язання.
27
28
29
30
Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї
змінної.
Практичне заняття № 7.
Тема: Обчислення похідних функцій. Застосування диферен-
ціалу до наближених обчислень.
Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Похідна функції. Диференціал
функції», набути навички і вміння по обчисленню похідних заданих
функцій, користуючись таблицею похідних і правилами
диференціювання функцій; набути навички і вміння по наближеному
обчисленню значень виразів за допомогою диференціала функції і
формули наближених обчислень.
Питання для самопідготовки:
- Приріст аргументу, приріст функції, границя функції в точці.
- Основні теореми про границі.
- Поняття похідної функції, геометричний і механічний зміст похідної.
- Таблиця похідних.
- Основні правила диференціювання функції.
- Похідні вищих порядків.
- Поняття диференціалу функції. Знаходження диференціала функції
через похідну.
- Формула наближеного обчислення значення функції за допомогою
диференціала.
План практичного заняття
1. Знаходження похідної суми, добутку і частки функцій.
2. Знаходження похідної складеної і оберненої функцій. Обчислення
похідних функцій заданих неявно і параметрично.
3. Розв’язування вправ на обчислення диференціала функції.
31
4. Застосування диференціала до наближених обчислень.
5. Застосування похідної та диференціала до розв’язування задач з
економіки.
Термінологічний словник ключових понять
Похідна функція – це границя відношення приросту функції до приросту
аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
x
хfxхf
x
fхf
xx
)()(limlim)(' 00
000
Геометричний зміст похідної – похідна xf чисельно дорівнює
кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції xfy у точці
з абсцисою х.
kx
fхf
x
tglim)('
00
Механічний (фізичний) зміст похідної – Миттєвою швидкістю тіла, що
рухається вздовж лінії s=f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t:
Похідна другого порядку від функції xfy – похідна від похідної
першого порядку y . Позначається ,, xfy 2
2
dx
yd.
Похідна n-го порядку – похідна від похідної (n–1)-го порядку 1ny .
Позначається n
nnn
dx
ydxfy ,, .
Диференціал функції однієї змінної – це добуток xxf .
Застосування диференціалу до наближених обчислень –
xxfxfxxf .
Застосування похідної та диференціала до розв’язування задач з
економіки.
а) Задача про продуктивність праці.
Нехай функція и=и(t) виражає кількість виробленої продукції и за час t.
Тоді середня продуктивність праці в момент t0 визначається як границя
середньої продуктивності праці за час від t0 до t0+∆t при ∆t→0, тобто
tut
uWW
tcep
t
00limlim .
Похідна обсягу виробленої продукції щодо часу и'(t0) – це
продуктивність праці в момент часу t0.
б) Граничний ефект виробництва.
32
Граничні витрати. Витрати виробництва К будемо розглядати як
функцію випущеної продукції х. Нехай ∆х – приріст продукції, тоді ∆К –
приріст витрат виробництва і х
К
- середній приріст витрат виробництва на
одиницю продукції.
Похідна К'=х
К
x
0lim виражає граничні витрати виробництва і наближено
характеризує додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової
продукції.
Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції,
що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами,
а тільки змінними (на сировину, паливо і т.п.).
Граничний виторг. Нехай U(х) – виторг від продажу х одиниць товару.
Тоді границя
xUх
xU
x
0lim називається граничним виторгом. Аналогічно
визначаються граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність,
гранична ціна.
Якщо функція у=f(х) моделює деякий економічний процес, то похідна
xf
х
xf
x
0lim виступає як швидкість зміни цього процесу з часом або
стосовно іншого досліджуваного фактора, тобто характеризує його
граничний ефект.
Завдання для практичного виконання:
Приклад 1. Знайти похідні суми, добутку і частки функцій:
а) xxxy ln3 32 , б) хxy 3 , в) х
xy
13 , г)
12
2
x
xxf
Розв’язання.
а) xxxy ln3 32
Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому
xxxy ln3 3
1
2 .
xxx
xxxy
1
3
16
1
3
123
3 2
3
2
.
б) хxy 3
33
в) х
xy
13
Для знаходження похідної скористаємося формулою 2
///
v
uvvu
v
u
.
xx
x
x
xxxx
x
xxxxxy
2
1352
1)13(23
2
/)()13(/)13()(/
г) 12
2
x
xxf
Приклад 2. Знайти 12533
1 23 ххху , 35
9
1
3
2xxy , ),4(2 хху
)123( 2 ххху
Розв’язання.
34
Приклад 3. Знайти похідні складених функцій:
а) 3 235 1126 xxxy ; б) 32sin xy , в) 5
2
5 1
35ln
x
xy ,
г)
1ln
2xxy , д) xxtgy cosln
2
1 2
Розв’язання.
а) 3 235 1126 xxxy
Диференціюємо функцію за формулою unuu nn 1
1363011263
213630
11263
211261126
3
2
11261126
24
3 35
24
3
135351
3
235
3
2353 235
xxxxx
xx
xxxxxxxxx
xxxxxxy
б) 32sin xy
в) 5
2
5 1
35ln
x
xy
1
2
35
2
1
5
35
5
5
21ln35ln
5
2
1
35ln
1
35ln
5
4
5
45
5
2
55
2
5
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
xy
г) 1ln 2 xxy .
35
д) xxtgy cosln2
1 2
Приклад 4 . xtgxy sin .
Розв’язання.
Маємо:
xx
xtgy
yxxtgy cos
sin
1,sinlnln x
xx
xsinln
cos
11sinln
cos
122
,
x
xxx
xyy
xtgsinln
cos
11sinsinln
cos
11
22.
Приклад 5. Знайти похідну xy з рівняння 0ln 23 yexyx .
Розв’язання.
Продиференціювавши за х обидві частини рівняння, дістанемо
023 22
yy xeyexy
yx .
Звідки
y
y
yex
yxxyey
2
2
1
32
.
Приклад 6. Обчислити похідну для функції yx arcsin .
Розв’язання.
Задана функція обернена до функції xy sin .
Згідно з теоремою про похідну оберненої функції можна записати
Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо
36
21
1arcsin
xx
.
Приклад 7 . Знайти диференціал dy функції 2xy :
1) при довільних значеннях х та x ;
2) при х = 20, x = 0,1.
Розв’язання.
1) xxxxdy
22 ;
2) якщо х = 20, x = 0,1, то 41,0202 dy .
Приклад 8. Знайти диференціал dy функції 132 xtgxy .
Розв’язання.
Приклад 9. Знайти диференціали першого порядку таких функцій:
2
23435
1,
12
1,arcsin,4sinln,2,1
х
ху
xyxухухуху
Розв’язання.
37
Приклад 10. Знайти диференціали другого порядку для функцій
xyxxу cosln,10342
Розв’язання.
Приклад 11. Обчислити наближено 27 .
Розв’язання.
Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:
25
212522527 , звідки
25
215
25
212527
.
38
При обчисленні 25
21 введемо функцію xxf , тоді
xxf
2
1 .
Формула xxfxfxxf у нашому випадку запишеться так:
xx
xxx 2
1, де
25
2,1 xx .
Інакше 04,125
11
25
2
12
11
25
21 .
Дістанемо 2,504,1527 .
Приклад 12. Обчислити наближено значення 51,0sinarc .
Розв’язання.
Розглянемо функцію xy arcsin . Візьмемо х=0,5, x =0,01 та, застосовуючи
формулу xxxxx
arcsinarcsin)(arcsin , одержимо
513,0011,0
601,0
5,01
15,0arcsin51,0arcsin
2
.
Приклад 13. Обчислити наближено за допомогою диференціала:
07,1arctg , 101030 ,
Розв’язання.
39
Приклад 14. Функцію y від x задано параметричними рівняннями:
t
tay
tax0
sin
cos.
Знайти похідну dx
dy: а) при будь-якому t ; б) при
4
t .
Розв’язання.
а)
tctg
ta
ta
ta
tay x
sin
cos
cos
sin; б) 1
4
4ctgy
tx
.
Приклад 15. Обсяг продукції и (ум. од.) цеху протягом робочого дня є
функцією и= –t3–5t
2+75t+425, де t – час (год.). Знайти продуктивність праці
через 2 год. від початку роботи.
Розв'язання.
Продуктивність праці визначається похідною и'(t). Тоді
и'(t)=(–t3–5t
2+75t+425)'= –3t
2–10t+75.
Знаходимо: продуктивність праці у момент часу t=2, тоді
и'(t)=–3∙22–10∙2+75=–36–20+75=19(од.)
Відповідь. Продуктивність праці через 2 год. від початку роботи становить
19 одиниць.
Приклад 16. На основі статистичних досліджень фірма встановила
функцію прибутку від ціни р за одиницю продукції: f(р)=–50р2+500р.
Визначити граничний прибуток фірми залежно від ціни р, розрахувати його
при р =2: р=5; р=10 (тис. грн.).
Розв'язання.
40
Граничний прибуток визначається похідною f'(р). Тоді
f'(р)=(–50р2+500р)'= –100р+500,
обчислюємо
f '(2)=–100∙2+500=300 (тис. грн.),
f '(5)=–100∙5+500=0,
f '(10)=–100∙10+500=–500 (тис. грн.).
Висновок. 1) При збільшенні ціни одиниці продукції до 5 тис.грн.
прибуток зростатиме і буде найбільшим при р=5 тис.грн.; f(5)=1250 тис. грн.
2) Якщо ціна одиниці продукції, починаючи з 5 тис.грн.,
збільшуватиметься, то прибуток фірми зменшуватиметься. Так, при р=8 тис.
грн. прибуток фірми дорівнюватиме f(8)=–50∙82+500∙8=800 (тис.грн.). У
цьому випадку фірма зазнає порівняно з оптимальним варіантом збитків на
1250–800=450 (тис. грн.)
Домашня самостійна робота.
Приклад 1. Знайдіть похідні заданих функцій (№ варіанту –порядковий
номер по журналу):
1. а)xxexy sin2 б)
12
31 2
x
xy в)
5
4
4 25
3
xe
xxy
2. 822
2sin)14
1)3ln)
xyв
x
xyбexxya x
3. xyвx
xyбxxtgxya ln1sin)
25
81)cos2)
2
4. xx eyвx
xyбexxya 2sin
337 )
1
71))
5. 3
5
3ln1)43
41))1(sin2) xyв
x
xyбxxarctgxya
6. x
yвx
xxyбexxya x
2sin2
1)
24
58))1(arcsin3)
45
7. xyвx
xxyбarctgxxxya sin1ln)
23
4)3ln)
543
8. 85
102 sin)23
1))1ln(371) xyв
x
xyбxxxya
9. 5
22
2)4()
16
62)cos)5(
4) xtgyв
x
xxyбxx
xya
10. xyвx
xxyб
xxxya
1sin)
4
3)
5
ln23) 6
3
11. xyвx
xxyб
xxxxya
1cos)
5
4)
3
ln4sin3) 5
2
41
12. 11ln)2
63)arccos5sin) 2
4
3
xeyв
x
xyбxxxya
13. 5
6
4
26ln1)
1
35)arcsin
4) xyв
x
xyбxx
xya
14. 12)18
47)ln7
1) 2
2
6
xtgyв
x
xyбxx
xya
15. xyвx
xyбxe
xya x 21sin)
52
42)5
4
73) 2
32
16. 1arcsin)13
61)
4
sin2) 2
2
43
xyв
x
xyб
xxxya
17. 32ln
1)
1
93)cos
1
5
1)
2
23
xyв
x
xyбxx
xxya
18. )4(sin
10)
3
41)32)
23
423
xyв
x
xyбexxya x
19. xx eyвx
xyбxexxya sin2
34 4)
52
43)5cos)
20. 4
6
22)
38
71)
4
14sin3) xtgyв
x
xyбxe
xxya x
21. xyвx
xyб
xxxya 4ln1)
3
64)7
1arccos)
35
22. 32sin
1)
4
63)cos2
3
1
7
1)
2
24
xyв
x
xyбx
xxya x
23. )4(cos
5)
2
41)32)
22
334
xyв
x
xyбexxxya x
24. xx eyвx
xyбxexxya cos2
33 4)
53
45)7cos)
25. 21ln)2
41)arcsincos5) 3
3
3
xeyв
x
xyбxxxxya
26. 46
52
39ln1)
1
34)arcsin
4)
xyв
x
xyбxx
xya
27. 12)49
35)ln7
15) 2
22
5
xctgyв
x
xyбxx
xya
28. xtgyвx
xyбex
xxya x 31)
82
41)6
3
72) 2
32
3
29. x
yвx
xxyбexxya x
2cos4
1)
26
34))12(arccos3)
43
30. tgxyвx
xxyбarcctgxxxya
1ln)
25
2)4ln) 2
534
Розв’язання.
42
Приклад 2. Розв’яжіть приклади згідно свого варіанту (№ варіанту –
остання цифра порядкового номера по журналу):
1. Обчисліть наближене значення n а , замінивши в точці х=х0 приріст
функції n xy диференціалом.
1) n=3, a=502, x0=512 6) n=3, a=349, x0=343
2) n=4, a=267, x0=256 7) n=4, a=605, x0=625
3) n=5, a=234, x0=243 8) n=5, a=255, x0=243
4) n=6, a=685, x0=729 9) n=6, a=773, x0=729
43
5) n=7, a=142, x0=128 10) n=7, a=156, x0=128
2. Обчисліть наближено (Для логарифма 0043.0100
4343,0'lg
x
Mx )
1) 93,0arctg , 61sin , 101lg 6) 745,0arccos , 32cos , 1003lg
2) 707,0arcsin , 46cos , 102lg 7) 12,1arcctg , 47sin , 98lg
3) 45,0arccos , 61ctg , 99lg 8) 63,0arccos , 46ctg , 1011lg
4) 06,1arcctg , 63tg , 1001lg 9) 47,0arcsin , 28tg , 999lg
5) 89,0arctg , 29cos , 12lg 10) 96,0arcctg , 31sin , 105lg
Розв’язання.
44
Практичне заняття № 8.
Тема: Екстремум функції. Опуклість графіка функції. Точки
перегину.
45
Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Дослідження функції на
екстремум», набути навички і вміння знаходити інтервали
монотонності, екстремуми функції, проміжки опуклості графіка
функції, точки перегину.
Питання для самопідготовки:
- Поняття зростаючої, спадної функції.
- Дослідження функції на зростання (спадання).
- Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум.
- Опуклість і вгнутість функції. Точки перегину. Дослідження функції на
опуклість, вгнутість.
- Найбільше й найменше значення функції на відрізку.
План практичного заняття
1. Розв’язування вправ на знаходження інтервалів монотонності і
екстремумів функції.
2. Застосування похідної до дослідження функції на опуклість (вгнутість)
графіка функції.
3. Розв’язування задач на найбільше найменше значення функції на
відрізку.
Термінологічний словник ключових понять
Похідна функція – це границя відношення приросту функції до приросту
аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
x
хfxхf
x
fхf
xx
)()(limlim)(' 00
000
Екстремуми функції – а) При значенні х1 аргументу х функція f (x) має
максимум f (x1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерівність
11 xxxfxf . б) При значенні х2 аргументу х функція f (x) має мінімум f
(x2), якщо в деякому околі точки х2 виконується нерівність 22 xxxfxf .
Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.
46
Опуклість та вгнутість кривої – крива на проміжку називається
опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) від будь-якої
її дотичної на цьому проміжку.
Точка перегину – точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від
вгнутої.
Асимптота кривої – пряма , якщо відстань від змінної точки М кривої до
цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.
Еластичність функції yEx –границя відношення відносного приросту
функції у до відносного приросту змінної х при 0x .
Завдання для практичного виконання:
Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції 28 xxy .
Розв’язання.
Область визначення функції – уся числова вісь x .
Знайдемо похідну xy 28 . Функція диференційована на проміжку
x .
Для визначення проміжку зростання функції розв’яжемо нерівність
,028 x 4x , тобто функція зростає на проміжку 4 x .
При визначенні проміжку спадання функції маємо 8 – 2х < 0, тобто
x4 .
Приклад 2. Знайти інтервали зростання та спадання функції
xxy 1 .
Розв’язання.
Приклад 3. Дослідити на максимум і мінімум функцію 1323
23
xxx
y .
Розв’язання.
1. Знаходимо першу похідну 342 xxy .
47
2. Знаходимо дійсні корені рівняння 00342 xfxx . Звідки
3,1 21 xx .
Похідна скрізь неперервна. Значить, інших критичних точок для заданої
функції не існує.
3. Досліджуємо критичні значення. Для цього область визначення функції
, здобутими критичними точками розбиваємо на три інтервали
1, , (1, 3), ( ,3 ).
Виберемо в кожному інтервалі по одній точці і обчислимо значення
похідної в цих точках:
030,1,0 yx ;
0132422,3,12 2 yx ;
01134444,,34 2 yx .
Знак похідної на кожному з трьох інтервалів збігається зі знаком похідної
в обраній точці відповідного інтервалу (табл. 1).
Таблиця.1
х (– , 1) 1 (1, 3) 3 (3, + )
y + 0 – 0 +
у 3
71max y 13min y
З таблиці видно: при переході (зліва направо) через значення
х = 1 похідна змінює знак з «+» на «–». Звідси, при х = 1 функція має
максимум:
3
711312
3
11 2
3
max y .
При переході через значення х = 3 похідна змінює знак з «–» на «+».
Звідси, при х = 3 функція має мінімум:
1133323
33 2
3
min у .
Відповідь: 3
71max y , 13min у .
Приклад 4 . Дослідити на екстремум функцію 21 xxy .
Розв’язання.
48
Приклад 5. Знайти інтервали опуклості та вгнутості графіка функції 2xey .
Розв’язання.
Маємо 22
2
14,2 2 xx exyxey
.
Друга похідна y перетворюється в нуль, коли
49
02
12 x , звідки 2
1,
2
121 xx .
При переході через точки х1 і х2 друга похідна змінює знак. Таким чином,
точки
eM
1,
2
11 і
eM
1,
2
12 є точками перегину графіка функції.
Результати дослідження заносимо в табл. 2.
Таблиця 2
х
2
1,
2
1
2
1,
2
1 2
1
,
2
1
y + 0 – 0 +
у Перегин Перегин
Із цієї таблиці бачимо, що графік функції на інтервалах
2
1, і
,
2
1 вгнутий, а на інтервалі
2
1,
2
1 – опуклий.
Приклад 6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості графіка функції
1564 234 хxxxy .
Розв’язання.
50
Приклад 7. Визначити на проміжку
2
3,3 найбільше й найменше
значення функції 333 xxy .
Розв’язання.
1. Знаходимо максимуми й мінімуми функції на проміжку
2
3,3 :
1,1,033,33 21
22 xxxxy ;
061,6 yxy .
Таким чином, у точці х = 1 маємо мінімум: 11min y .
Далі, 061 y , тобто в точці х = = –1 маємо максимум: 51max y .
2. Визначаємо значення функції на кінцях проміжку:
153,8
15
2
3
yy .
3. Таким чином, найбільше значення заданої функції на проміжку
2
3,3
є: 5)1(max yyнайб , а найменше – 153 yyнайм .
Приклад 8. Знайти найбільше та найменше значення функції 23 xxxf
на сегменті 3,2 .
Розв’язання.
51
Приклад 9. Визначити асимптоти кривої x
xxy
122 .
Розв’язання.
1. Оскільки
xx
x
xxy
xxx
12lim
12limlim
0
2
00,
то пряма х = 0 (вісь Ох) є вертикальною асимптотою.
2. Нехай похила асимптота має рівняння bkxy , тоді
.21
2limlim
;112
1limlim2
xxyb
xxx
yk
xx
xx
Отже, пряма 2 xy — похила асимптота для графіка функції
Приклад 10. Знайти асимптоти кривої 2
3
x
xy .
Розв’язання.
52
Самостійне розв’язування вправ.
І варіант ІІ варіант
Дослідити задані функції на зростання (спадання) та екстремуми. Знайти
проміжки опуклості (вгнутості) графіка функції і точки перегину.
45 24 xxy 5,12205,8 23 xxxy
Розв’язання.
53
Домашня самостійна робота.
54
Завдання 1. Знайти найменше та найбільше значення функції )(xfy на
відрізку ];[ ba (№ варіанту – порядковий номер по журналу):
1. ].3;0[),22ln( 2 xxy 2. ].5;0[),1/(3 2 xxy
3. ].0;2/1[,)1/()12( 2 xxy 4. ].2;2[,)2( 1 xexy
5. ].2/3;1[),42ln( 2 xxy 6. ].1;1[),1/( 23 xxxy
7. ].2;1[,)/)1(( 3xxy 8. ].1;0[,3xxy
9. ].1;0[,4 xey 10. ].2;1[,/)4( 23 xxy
11. ].0;2[, xxey 12. ].1;2[,)2( xexy
13. ].3;0[,)1( xexy 14. ].2;2[),9/( 2 xxy
15. ].;/1[,/)ln1( eexxy 16. ].3;1[,24 xxey
17. ].1;3[,/)8( 45 xxy 18. ].2;1[,12
x
x
e
ey
19. ].1;/1[,ln 2exxy 20. ].0;4[,13 xexy
21. ].3;1[),1/()22( 2 xxxy 22. ].3;5/4[,)1( 3 2 xxy
23. ].3;3[,26 xxey 24. ].4;1[,/)(ln xxy
25. ].1;3[,2163 34 xxy 26. ].2;1[,155 45 xxxy
27. ].5;0[,)3( xexy 28. ].2/;0[,cos2/3 xy
29. ].4;1[,108 4 xxy 30. ].20;16[,764/ 32 xxy
Розв’язання.
55
56
Завдання 2. Знайти екстремуми функцій, точки перегину та
інтервали опуклості і вгнутості графіків функцій (№ варіанту – остання
цифра порядкового номера по журналу).
1. а) 3649143
1 23 xxxy , б) 1
12
x
y
2. а) 1191432520
1 23 xxxy , б) 1
12
x
y
3. а) 5,12205,8 23 xxxy , б) 42
x
xy
4. а) 5469163
1 23 xxxy , б) x
xy
42
5. а) 1872152920
1 23 xxxy , б) 127
12
xx
y
6. а) 5,17265,9 23 xxxy , б) xxy
7. а) 14583
1 23 xxxy , б) 3 xxy
8. а) 75551920
1 23 xxxy , б) 1ln 2 xy
9. а) 5,125,2 23 xxxy , б) 12
3
x
xy
10. а) 2833183
1 23 xxxy , б) 2
36
x
xy
Розв’язання.
57
58
59
Практичне заняття № 9.
Тема: Розв’язання задач економіки за допомогою екстремумів.
Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Дослідження функції на
екстремум», набути навички і вміння розв’язувати економічні задачі за
допомогою екстремумів і диференціального числення.
Питання для самопідготовки:
- Поняття зростаючої, спадної функції.
- Дослідження функції на зростання (спадання).
- Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум.
- Опуклість і вгнутість функції. Точки перегину. Дослідження функції на
опуклість, вгнутість.
- Найбільше й найменше значення функції на відрізку.
- Функції, що використовуються в економіці.
План практичного заняття
1. Розв’язування прикладних задач на застосування похідної та відносної
похідної (еластичності).
2. Дослідження динаміки функцій в економічних процесах.
Термінологічний словник ключових понять
Похідна функція – це границя відношення приросту функції до приросту
аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
x
хfxхf
x
fхf
xx
)()(limlim)(' 00
000
Екстремуми функції – а) При значенні х1 аргументу х функція f (x) має
максимум f (x1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерівність
11 xxxfxf . б) При значенні х2 аргументу х функція f (x) має мінімум f
(x2), якщо в деякому околі точки х2 виконується нерівність 22 xxxfxf .
Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.
60
Опуклість та вгнутість кривої – крива на проміжку називається
опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) від будь-якої
її дотичної на цьому проміжку.
Точка перегину – точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від
вгнутої.
Асимптота кривої – пряма , якщо відстань від змінної точки М кривої до
цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.
Граничні витрати виробництва виражаються похідною К'=х
К
x
0lim , яка
наближено характеризує додаткові затрати на виробництво одиниці
додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва
(кількості продукції, що випускається) х і визначаються не постійними
виробничими затратами, а тільки змінними (на сировину, паливо і т.п.).
Еластичність функції yEx –границя відношення відносного приросту
функції у до відносного приросту змінної х при 0x .
))(( xfEx
)(
lim)(
)(
lim00 xf
x
x
хf
x
x
xf
xf
xx
x
xf
xf
x
x
)(lim
)( 0.)(
)(xf
xf
x
Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться
функція у = f(x) при зміні незалежної змінної х на 1%:
x
xxfE
х
fx
))(( .
1) Якщо 1))(( xfEx , то функція називається нееластичною (відносний її
приріст спадає) tgtg1)(xfEx (рис. 1).
2) Якщо 1))(( xfEx , то функція називається еластичною (відносний
приріст її зростає) 1))(( xfEx tgtg (рис. 2).
Геометрична ілюстрація
х
у
х
у
О х
f(x)
f(x)
х
Рис. 1 Рис. 2
.tg
tg
)(
)(
)(
)())((
x
xf
xf
xf
xfxxfEx
61
Завдання для практичного виконання:
При розв’язування практичних економічних задач особлива увага
приділяється вмінню інтерпретувати знайдені результати.
У задачах фінансового змісту функція, яка моделює деяку фінансову
залежність (сумарні витрати, загальна вартість виробленого продукту,
попит на товар, сумарний виторг тощо), задана. Потрібно дослідити її на
максимум (мінімум) й інтерпретувати результати.
Приклад 1. Загальна вартість вироблених q одиниць деякого продукту
визначається функцією С=100000+1500q+0,2q2 (грн.). Скільки одиниць
продукції потрібно виробити, щоб мінімізувати середню вартість одиниці
продукції?
Розв'язання.
Середня вартість одиниці продукції визначається діленням загальної
вартості на кількість вироблених одиниць. Наприклад, якщо загальна
вартість десяти одиниць продукції дорівнює 275 грн., то середня вартість
одиниці продукції становить 275:10=27,5 (грн.).
Записавши функцію (математичну модель), яка визначає середню
вартість одиниці продукції:
qqq
Cqf 2,015000
100000 , досліджуємо її.
Дослідження моделі, 2,0100000 2 qqf .
Якщо 0 qf , то 2,0100000 2 q або 50000020
1000002 б
q .
Звідси 11,707q (од.).
Перевіряємо критичну точку за допомогою другої похідної:
000056,011,70720000011,707;200000 33 fqqf
Таким чином, мінімум досягається при 11,707q .
Інтерпретація. Виходячи з економічного змісту задачі, одержаний
результат можна заокруглити до цілих одиниць, 707q од. Мінімальна
середня вартість одиниці продукції дорівнює:
f(707)=100000:707+1500+0,2∙707=1782 (грн.).
Економічні задачі на дослідження функціональних залежностей між
величинами мають специфічні особливості. При розв'язуванні таких задач
використовується поняття еластичності функції (відносної похідної
функції).
В економіці розглядають кілька видів еластичності.
62
1. Еластичність попиту щодо ціни:
q
p
dp
dq
p
dp
q
dqqEp ,
Еластичність попиту щодо ціни наближено визначає, як зміниться попит
на даний товар, якщо його ціна зросте на 1% і характеризує чутливість
споживачів до зміни цін на продукцію.
У більшості випадків функція попиту є спадною, оскільки з підвищенням
ціни на товар попит на нього знижується. У таких випадках
0dp
dq
Щоб виключити від'ємні числа при визначенні еластичності попиту,
приймається, що
p
dp
dq
q
pqEp
Якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною більша за
одиницю, то попит називають еластичним (цілком еластичним у разі
нескінченно великої еластичності попиту).
Якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною менша від
одиниці, то попит називають нееластичним (цілком нееластичним у разі
нульової еластичності попиту). Схему, що ілюструє зазначену
закономірність, зображено на рис. 3.
Ep(q)
– О
Еластичнийпопит
Нееластичнийпопит
– 1
Рис. 3
І, нарешті, якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною
дорівнює одиниці, то говорять про попит з одиничною еластичністю.
Приклад 2. Якщо функція попиту q=10-р, то еластичність попиту за
формулою qq
p
dp
dq
q
pqEp
дорівнює:
p
p
p
p
dp
dq
q
pqEp
101
10
Тоді, при р = 2, 4
1
8
22 qE .
Це означає, що при ціні р = 2 підвищення її на 1% знизить попит на 4
1%.
2. Еластичність попиту за доходом:
63
q
I
dI
dq
I
dI
q
dqqЕ
i / ,
що виражає відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на будь-яке
благо в разі зміни доходу споживачів цього блага на 1%. Додатна
еластичність попиту за доходом характеризує нормальні (якісні) товари, а
від’ємна – малоцінні (низькоякісні) товари.
Наприклад, високий додатний коефіцієнт попиту за доходом у галузі
означає, що її внесок у економічне зростання більший, ніж частка у структурі
економіки, і вона має шанси на розширення й розвиток у майбутньому.
Навпаки, якщо коефіцієнт еластичності попиту на продукцію галузі за
доходом має невелике додатне чи від’ємне значення, то на неї очікує застій і
перспектива скорочення виробництва.
3. Перехресна еластичність попиту за ціною:
j
i
j
i
j
j
i
ijj q
p
dp
dq
p
dp
q
dqqEp / ,
що характеризує відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на одне
благо в разі зміни ціни на інше благо (яке заміщує або доповнює його у
споживанні) на 1%. Додатна перехресна еластичність попиту за ціною
свідчить про заміщуваність благ, а від’ємна – про доповнюваність.
Приклад 3. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис.грн.) і
випуском продукції х (млрд. грн.) виражається функцією у=–0,5х+80. Знайти
еластичність собівартості при випуску продукції 60 млрд грн.
Розв'язання.
За формулою )(уEx )()(
xfxf
x знаходимо:
160805,0
5,0)(
х
х
х
хуEx
При х=60 6,0)(60 уEx , тобто при випуску продукції 60 млрд грн.
збільшення його на 1% призведе до зниження собівартості на 0,6%.
Приклад 4. Обсяг продукції и (ум.од.) цеху упродовж робочого дня
визначається функцією: 320805 23 tttu , де t – час (год.).
Знайти продуктивність праці через дві години від початку роботи.
Розв’язання.
64
Приклад 5. Залежність між витратами виробництва у (ум.од.) та обсягом
випущеної продукції х (од.) виражається функцією 304,010 xxy . Визначити
середні і граничні витрати при обсязі продукції, що дорівнює 5 одиниць.
Розв’язання.
65
Приклад 6. Функція попиту DQ і пропозиції SQ від ціни р виражаються,
відповідно, рівняннями: 1,7 pQpQ SD .
Знайти: 1) рівноважну ціну; 2) еластичність попиту і пропозиції для цієї
ціни; 3) зміну доходу (у процентах) при збільшенні ціни на 5% від
рівноважної.
Розв’язання.
66
67
Дослідження динаміки функцій в економічних процесах.
В економіці розглядають такі функціональні залежності:
—між попитом DQ на даний товар і його ціною р : DQ = f ( р ) ;
—між попитом DQ на даний товар і доходом r від його реалізації (при
умові, що фактори, від яких залежить попит на товар, не змінюються):
DQ=f ( r ) ;
—між пропозицією SQ на деякий товар і його ціною р: SQ =f ( р ) ;
—між витратами виробництва К та обсягом продукції Q:К=f ( Q ) ; ,
—між виторгом V від продажу товару і попитом q: V=f ( q) ;
— між фінансовими нагромадженнями підприємства А та обсягом
випуску продукції Q: А= f ( Q ) .
Особливістю пропонованої системи задач є те, що в них, як правило,
задана функціональна залежність між величинами в економічних,
фінансових ситуаціях. Вимагається дослідити цю залежність при виконанні
певних вимог.
Розглянемо задачі двох видів:
1) на дослідження зміни функціональної залежності (зростає або спадає)
при виконанні певних вимог;
2) на дослідження динаміки зміни цієї залежності (зростає або спадає
повільніше чи швидше).
Приклад 7. Підприємство виробляє за місяць х одиниць продукції.
Залежність фінансових нагромаджень підприємства від обсягу випуску
продукції виражається формулою А(х)=–0,01х3+300х–500. При яких
значеннях х одиниць продукції фінансові нагромадження підприємства
зменшуються?
Розв'язання.
А'(х)=–0,03х2+300. Якшо А'(х)<0, то –0,03х
2+300<0, 3х
2–30000>0, або
х2–10000>0. Нерівність справедлива при х<–100 і х>100.
Інтерпретація. Якщо випуск продукції перевищує 100 одиниць, фінансові
нагромадження підприємства зменшуються.
Приклад 8. На підприємстві змінні витрати місячного обсягу (х тонн)
випуску продукції визначаються функцією: 300802
9
10
1 23 хххК . Як
змінюються витрати залежно від випуску продукції щомісяця?
Розв'язання
68
Домашня самостійна робота.
Завдання. Функція попиту DQ і пропозиції SQ від ціни р виражаються,
відповідно, рівняннями: 43,310 pQpQ SD .
Знайти: 1) рівноважну ціну; 2) еластичність попиту і пропозиції для цієї
ціни; 3) зміну доходу (у процентах) при збільшенні ціни на 5% від
рівноважної.
Розв’язання.
69
70
Практичне заняття № 10.
Тема: Дослідження функцій та побудова графіків.
Мета: узагальнити та систематизувати теоретичні знання з теми «Похідна
функції та її застосування», набути навички і вміння проводити повне
дослідження функції за допомогою похідної та навчитися будувати
графіки функцій.
Питання для самопідготовки:
- Область визначення функції.
- Парні (непарні) функції.
- Періодичні функції.
- Нулі функції.
- Дослідження функції на зростання (спадання).
- Екстремум функції. Необхідна і достатні умови дослідження функції на
екстремум.
- Опуклість (вгнутість) функції на інтервалі. Точки перегину.
- Види асимптот графіка функції, їх знаходження.
План практичного заняття
1. Дослідження функції за допомогою похідної
2. Побудова графіків функцій за проведеним дослідженням
Термінологічний словник ключових понять
Функція – це така відповідність між множинами D та E, при якій кожному
значенню змінної Dx відповідає одне й тільки одне значення Ey .
Область визначення функції – це множина всіх значень аргументу, для
яких можна обчислити значення функції.
Екстремуми функції – а) При значенні х1 аргументу х функція f (x) має
максимум f (x1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерівність
11 xxxfxf . б) При значенні х2 аргументу х функція f (x) має мінімум f
71
(x2), якщо в деякому околі точки х2 виконується нерівність 22 xxxfxf .
Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.
Опуклість та вгнутість кривої – крива на проміжку називається
опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) від будь-якої
її дотичної на цьому проміжку.
Точка перегину – точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від
вгнутої.
Асимптота кривої – пряма , якщо відстань від змінної точки М кривої до
цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.
Загальна схема дослідження функції за допомогою похідної.
1. Знайти область визначення функції.
2. З’ясувати , чи є функція парною, непарною, періодичною.
3. Знайти нулі функції, т/б точки перетину графіка функції з осями
координат, (якщо це не важко).
4. Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції,
якщо вони існують, і знайти односторонні границі в точках розриву.
5. Знайти проміжки монотонності функції.
6. Знайти екстремуми функції.
7. Знайти проміжки опуклості графіка функції і точки перегину.
8. Знайти асимптоти графіка функції, якщо вони існують.
9. Побудувати графік, використовуючи знайдені результати
дослідження.
Завдання для практичного виконання:
Приклад 1. Дослідити функцію 2
1
12
x
xy і побудувати її графік.
Розв’язання.
1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх
значеннях х за винятком значення х = 1. Звідси її область визначення
xx 1;1 .
2. Дослідимо функцію на парність та непарність. Підставивши замість
значень х значення (-х), отримаємо:
21
12
x
xxy =
xyxy
x
x
21
12
Отже, функція ні парна, ні непарна. Дана функція не є періодичною.
72
3. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат:
з віссю Ох: у = 0,
0;
2
1,
2
1,012,0
1
122
xxx
x;
з віссю Оу: х = 0, 1;0,11
1
y .
4. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:
2
01
20101 1lim
1
1
12limlim
xx
xy
x
xx.
Як ліворуч, так і праворуч точки х = 1 маємо нескінченний розрив.
Точка х = 1 – точка розриву другого роду.
5-6. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання
функції, результати заносимо у табл. 1:
0;
1
2
1
12121234
2
yx
x
x
xxxy
002 xx – критична точка.
При yx 1 не існує, але у цій точці сама функція теж не існує. Дослідимо
критичну точку х = 0 на екстремум:
при
04
1
8
21 yx ;
при
08
8/1
1
2
1yx .
Таблиця 1
х 0, 0 (0, 1) 1 ,1
y – 0 + Не існує –
у ymin (–1) Не існує
Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з
«–» на «+», через це в точці х = 0 функція має мінімум:
11
1min
y .
У точці х = 1 функція не визначена. При x1 0 xy , отже, функція
на цьому інтервалі спадає.
7. Точки перегину та інтервали опуклості й вгнутості графіка функції
знаходимо за допомогою другої похідної:
73
0;
1
122
1
161246
23
yx
x
x
xxxy
2
10122 xx ;
при х = 1 y не існує, але в цій точці не існує і сама функція.
Дослідимо точку 2
1x :
при
0
8
1
2
1221
4yx ;
при 021
20 yx .
Друга похідна, проходячи через 2
1x , змінює знак, отже, точка перетину
кривої з цією абсцисою є точкою перегину.
Знайдемо її ординату:
9,09
8
12
1
12
12
2
y .
Таким чином, точка
9
8;
2
1 – точка перегину.
У точці х = 1 функція не визначена. При 01 yx , значить, графік
функції вгнутий.
Результати дослідження заносимо у табл. 2.
Таблиця 2
х
2
1,
2
1
1,
2
1 1 ,1
y + 0 + Не існує +
у Перегин
(– 8/9) Не існує
8. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.
Рівняння похилої асимптоти знаходимо у вигляді bkxy :
;0
1
12limlim
2
xx
x
x
xfk
xx
.01
12limlim
2
x
xkxxfb
xx
74
Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).
На підставі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої
побудови візьмемо додатково точки на рис. 1:
(–5; – 0,3),
3,
3
2, (2; 3), (3; 1,3).
y
x1
– 1– 3– 4 – 2
1
– 1
– 2
2
2
3
3 4
2
1
2
1
• •O
Рис. 1
Приклад 2. Дослідити засобами диференціального числення функцію
xfy і побудувати її графік.
4
24
2
2
x
xy
Розв’язання.
1. Дана функція є дробово-раціональною. Вона визначена на всій
множині дійсних чисел, оскільки знаменник в нуль не обертається, тобто
.;yD
2. Дослідимо функцію на парність та непарність. Підставивши замість
значень х значення (-х), отримаємо:
Дана функція не є періодичною.
3. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат.
4
24
2
2
x
xy .
75
Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю абсцис.
Отже графік функції перетинає вісь Ох в точці А(-2;0).
Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю ординат.
Отже, графік функції перетинає вісь Оу в точці В(0;-4).
4. В області визначення дана функція є неперервною, тобто дана функція
неперервна на всій числовій прямій.
5-6. Дослідимо функцію на монотонність. Інтервали монотонності
відокремлюються точками екстремуму та точками розриву функції.
Знаходимо похідну заданої функції:
Знаходимо критичні точки функції:
Отримані дві критичні точки функції
розбивають область визначення функції на
проміжки. З’ясуємо знак похідної на кожному
проміжку: похідна додатня на інтервалах (-∞;-2),
(2;+∞), і від’ємна на інтервалі (-2;2).
Отже, функція зростає на інтервалах (-∞;-2), (;+∞) і спадає на інтервалі
(-2;2).
76
Знайдемо екстремуми функції. Оскільки при переході через критичну
точку х=2, похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, то точка х=2 є
точкою мінімуму функції. Знайдемо мінімум функції:
8
8
164
4)2(
224)2(
2
2
min
fy .
Оскільки, при переході через критичну точку х=-2, похідна функції
змінює знак з плюса на мінус, то точка х=-2 є точкою максимуму функції.
Знайдемо максимум функції:
7. Знаходимо інтервали опуклості та вгнутості кривої, що є графіком даної
функції. Ці інтервали відокремлюються точками, в яких друга похідна
дорівнює нулю, і точками розриву функції. Знайдемо похідну другого
порядку і стаціонарні точки. Маємо:
Маємо три стаціонарні точки функції, отже, отримаємо чотири інтервали
на яких з’ясуємо знак другої похідної і відповідно інтервали опуклості та
вгнутості функції. Дістанемо:
Функція вгнута на інтервалах 32;032; , оскільки на цих
інтервалах 0'' у .
77
Функція опукла на інтервалах
;320;32 , так як 0'' у .
Точки 32,32,0 321 xxx є точками
перегину графіка функції.
8. Знаходимо асимптоти кривої. Вертикальних асимптот функція не має.
Шукатимемо похилі та горизонтальні асимптоти у вигляді
kxxfb
x
xfbkxy
xx
)(lim,limkде, .
Маємо:
4
)2(4limk
2
2
xx
x
x
Оскільки знайдена границя дорівнює нескінченності, то задана крива не
має похилої та горизонтальної асимптоти.
9. Будуємо графік даної функції, використовуючи результати
дослідження (рис. 2).
Рис. .2 Графік досліджуваної функції
4
24
2
2
x
xy
Приклад 3. Дослідити функцію xfy і побудувати її графік 3
2
х
ху .
Розв’язання.
78
79
80
81
Домашня самостійна робота.
Завдання. Дослідити функцію засобами диференціального числення і
побудувати її графік (№ варіанту –порядковий номер по журналу).
1. 3649143
1 23 xxxy , 21
8)(
xxf
.
2. 162073
1 23 xxxy , 16
7)(
2
x
xxf .
3. 1136
1 23 xxxy , 4
6)(
2
x
xxf .
4. 76 23 xxy , 9
3)(
2
x
xxf .
5. 13152 23 xxy , 4
)2(4)(
2
2
x
xxf .
6. 89 23 xxy , 3
2)(
2
xxf .
7. 11123 xxy , 3
5)(
2
2
x
xxf .
8. 433
1 23 xxy , 9
)3(7)(
2
2
x
xxf .
9. 1343 23 xxxy , 5
5)(
2
2
x
xxf .
10. 3452 23 xxxy , 1
1)(
2
2
x
xxf .
11. 233
1 23 xxy , 21
2)(
xxf
.
12. 2833183
1 23 xxxy , 16
4)(
2
x
xxf .
13. 5,125,2 23 xxxy , 4
2)(
2
x
xxf .
14. 75551920
1 23 xxxy , 9
9)(
2
x
xxf .
15. 14583
1 23 xxxy , 4
)2()(
2
2
x
xxf .
16. 5,17265,9 23 xxxy , 3
6)(
2
xxf .
82
17. 1872152920
1 23 xxxy , 3
3)(
2
2
x
xxf .
18. 5469163
1 23 xxxy , 9
)3()(
2
2
x
xxf .
19. 5,12205,8 23 xxxy , 5
)(2
2
x
xxf .
20. 1191432520
1 23 xxxy , 1
1)(
2
2
x
xxf .
21. 14583
1 23 xxxy , 4
)2()(
2
2
x
xxf .
22. 17169 23 xxxy , 6
6)(
2
xxf .
23. 3025205
1 23 xxxy , 4
4)(
2
2
x
xxf .
24. 316102
1 23 xxxy , 4
)2()(
2
2
x
xxf .
25. 12168 23 xxxy , 8
)(2
2
x
xxf .
26. 964246
1 23 xxxy , 2
1)(
2
2
x
xxf .
27. 1543 23 xxxy , 7
7)(
2
2
x
xxf .
28. 346 23 xxxy , 4
4)(
2
2
x
xxf .
29. 232
1 23 xxy , 21
5)(
xxf
.
30. 1624183
1 23 xxxy , 16
8)(
2
x
xxf .
Розв’язання.
83
84
85
86
87
88
89
Список використаної та рекомендованої
літератури
Основна
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів, Т.1.-
К.:НАУ,2002.
2. Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів:“Новий
світ–2000”,2004. 3. Бугір, М. К. Математика для економістів: посібник / М. К. Бугір. – К. :
Академія, 2003. – 520 с.
4. Долгіх, В. М. Вища математика для економістів. Ч. 1. Алгебра та
математичний аналіз: навч. посібник для самостійного вивчення дисципліни :
у 2 ч. / В. М. Долгіх, Т. І. Малютіна ; Державний вищий навчальний заклад
“Українська академія банківської справи Національного банку України”.
Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. 97 с.
5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. –
К.:А.С.К., 2001.
6. Дубовик В.П., Юрик І.І. Збірник задач з вищої математики. –
К.:А.С.К., 2001.
7. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика.
Практикум. .-К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.
8. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика. Довідник для
студентів вищих навч.закладів: Навч. посібник. 2-е вид., виправлене і доповн.
-К.: Діал.,2003.
9. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр
“Академія”, 2002.
10. Валєєв К. Г., Джалладова І. А., Лютий О. І. та ін. Вища математика:
Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. /— Вид. 2-ге, перероб. і доп. —
К.: КНЕУ, 2002. – 606 с.
11. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-
х ч. — К.: КНЕУ, 2001. — Ч. 1. — 546 с.
Додаткова
12. Алгебра і початки аналізу: В 2-ч./Под ред. Яковлєва Г.М. – К.:
13. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М.
Высш.шк..,1990.
14. Добржицкая И.Т. Краткое руководство к решению задач по высшей
математике. – Минск, 1971.
15. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. – К.: Вища шк..,
1985
16. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. пособие для втузов. – М.:
Высш. шк.., 1990.