לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
0
0
שטחיםשני
. צבע כל פונקציה בצבע אחר ורשום את הפונקציה המתאימה1
. מלא את הטבלה2
3)(64. 1שאלה מספר 2 xxxfy
7)(16 . 2שאלה מספר 2 xxfy
7)(1. 3שאלה מספר 3 xxfy
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 3y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 0y
x פונקציה עליונה x
)(64 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
3x
פונקציה תחתונה
1x 0y
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 7y
x פונקציה עליונה x
)(1 גדול/ימין 3 xxf קטן/שמאל
2x
פונקציה תחתונה
1x 7y
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 7y גדול/ימין
3x
פונקציה תחתונה
0x 0y
x פונקציה עליונה x
)(16 ןגדול/ימי 2 xxf קטן/שמאל
4x
פונקציה תחתונה
3x 0y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
1
1
3)(96. 4שאלה מספר 2 xxxfxy
xxxfxy. 5שאלה מספר 6)(84 2
. 6שאלה מספר 2)3()(5 xxfxy
12112)(56. 7שאלה מספר 2 xxxfxyxy
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 3 xy
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
3x
פונקציה תחתונה
1x 96)( 2 xxxf
x פונקציה עליונה x
xxxf גדול/ימין 6)( 2 קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
2x
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
4x
פונקציה תחתונה
0x 84 xy
x פונקציה עליונה x
)()3(2 גדול/ימין xxf קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
3x 0y
x פונקציה עליונה x
5 גדול/ימין xy קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
1x 0y
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
3x
פונקציה תחתונה
2x 12 xy
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
4x
פונקציה תחתונה
3x 112 xy
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
2
2
xxxfxxxg. 8שאלה מספר 7)(3013)( 22
)(56)(34. 9שאלה מספר 22 xxxfxxxg
. 11שאלה מספר 3
213
21 )(33)( xxgxxxf
xxgxxxf. 11שאלה מספר 352 )(82)(
x פונקציה עליונה x
)(3013 גדול/ימין 2 xxxg קטן/שמאל
5x
פונקציה תחתונה
3x 0y
x ליונהפונקציה ע x
xxxf גדול/ימין 7)( 2 קטן/שמאל
7x
פונקציה תחתונה
5x 0y
x פונקציה עליונה x
)(34 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
3x
פונקציה תחתונה
1x
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxg קטן/שמאל
5x
פונקציה תחתונה
3x 0y
x פונקציה עליונה x
3 גדול/ימין
21)( xxg קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
0x 0y
x פונקציה עליונה x
)(33 גדול/ימין 3
21 xxxf קטן/שמאל
2x
פונקציה תחתונה
1x 0y
x פונקציה עליונה x
xxg גדול/ימין35)( קטן/שמאל
3x
פונקציה תחתונה
0x 0y
x פונקציה עליונה x
)(82 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
4x
נהפונקציה תחתו
3x 0y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
3
3
)(166)(162 12שאלה מספר 2 xxgxxxf
xyxgxxxf. 13שאלה מספר 44)(4)( 2
)(16)(163212. 14שאלה מספר 22 yxxxgxxf
)(41)(2424. 15שאלה מספר 2 xyxxgxxf
x פונקציה עליונה x
)(166 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
2x 0y
x פונקציה עליונה x
)(162 גדול/ימין xxg קטן/שמאל
8x
פונקציה תחתונה
0x 0y
x פונקציה עליונה x
xy גדול/ימין 4 קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
0x 24)( xxxf
x פונקציה עליונה x
)(4 גדול/ימין xg קטן/שמאל
2x
פונקציה תחתונה
1x 24)( xxxf
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 16y גדול/ימין
4x
פונקציה תחתונה
0x 16)( 2 xxf
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 16y גדול/ימין
8x
פונקציה תחתונה
4x 3212)( 2 xxxg
x פונקציה עליונה x
24 גדול/ימין xy קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
5.0x 241)( xxf
x פונקציה עליונה x
)(24 גדול/ימין xxg /שמאלקטן
5.0x
פונקציה תחתונה
0x 241)( xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
4
4
שטחיםשני
חורף תש"עמועד 58133מבחן בגרות : 1שאלה מספר
)(64נתונה הפונקציה 2 xxxf
) ראה ציור( y= 3מעבירים ישר
y= 3מצא את נקודות החיתוך של הישר . (א)
. xf)(עם גרף הפונקציה
xf)(מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה .(ב)
x= 3על ידי הישר , y= 3על ידי הישר
ועל ידי הצירים.
) השטח המקווקו בציור(
פתרון:
. xf)(עם גרף הפונקציה y= 3)א(. מצא את נקודות החיתוך של הישר
)3,3()3,1(
13
2
24
)1(2
)3)(1(416)4(
340
643
3
64)(
21
2,1
2,1
2
2
2
xx
x
x
xx
xx
y
xxxf
נקודה החיתוך בין הישר לפונקציה
3y
)0,0(
y
x
3x
)3,1( )3,3(
)3,0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
5
5
, y= 3די גרף הפונקציה ,על ידי הישר )ב(. מצא את השטח המוגבל על י
ועל ידי הצירים. x= 3על ידי הישר
תשובה סופית:
(ב) )3,1()3,3()א( 3
27
3
243 S
3
27
3
243
21
T
T
S
SSS
x פונקציה עליונה x
642 גדול/ימין xxy קטן/שמאל
3x
קציה תחתונהפונ
1x 0y
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)64(
)064(
)0()64(
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1
3
24
3
149
)1(62
)1(4
3
)1()3(6
2
)3(4
3
)3(
62
4
3
2
2
2323
2
23
2
3
1
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 3y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 0y
dxS
dxS
dxS
)3(
)03(
)0()3(
1
1
1
1
0
1
0
1
0
3
03
)0(3)1(3
3
1
1
1
1
1
0
S
S
S
xS
3y
)0,0(
y
x
3x
)3,1( )3,3(
)3,0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
6
6
.2112 א' קיץ תשע"ב מועד 13835מבחן בגרות : 2שאלה מספר
)(16בציור שלפניך מוצג גרף הפונקציה 2 xxf
A היא אחת הנקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- x .
B 7היא אחת מנקודות החיתוך של הישרy עם גרף הפונקציה
)ראה ציור(
. Bו A)א( מצא את שיעורי הנקודות
)ב( מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה
x -, על ידי ציר ה 7yעל ידי הישר
)השטח המקווקו בציור(. y -ועל ידי ציר ה
פתרון:
. Bו A)א( מצא את שיעורי הנקודות
Aנקודה
)0,4(
44
16
16
160
0
16)(
2
2,1
2
2
2
A
xx
x
x
x
y
xxf
A
Bנקודה
)7,3(
33
9
9
167
7
16)(
2
2,1
2
2
2
B
xx
x
x
x
y
xxf
B
)0,4(A
)7,3(B
y
x
7y
)0,0( 0y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
7
7
x -, על ידי ציר ה 7yל על ידי גרף הפונקציה על ידי הישר )ב( מצא את השטח המוגב
)השטח המקווקו בציור(. y -ועל ידי ציר ה
תשובה סופית:
)0,4()7,3()א( BA )ב(3
224
3
2321 S.)
3
224
3
2321
21
T
T
S
SSS
x פונקציה עליונה x
162 גדול/ימין xy קטן/שמאל
4x
פונקציה תחתונה
3x 0y
dxxS
dxxS
dxxS
)16(
)016(
)0()16(
2
2
2
2
2
2
4
3
4
3
4
3
3
23
393
242
)3(163
)3()4(16
3
)4(
163
2
2
33
2
3
2
4
3
S
S
S
xx
S
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 7y גדול/ימין
3x
פונקציה תחתונה
0x 0y
dxS
dxS
dxS
)7(
)07(
)0()7(
3
1
1
1
0
3
0
3
0
21
021
)0(7)3(7
7
1
1
1
1
3
0
S
S
S
xS
0y )0,0( )0,4(A
)7,3(B
y
x
7y
1S 2S
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
8
8
ח"מועד חצב ברק תשס 35113מבחן בגרות : 3אלה מספר ש
)(1נתונה הפונקציה 3 xxf
7yונתון הישר
מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה א.
. x –עם ציר ה (1)
7yעם הישר (2)
, f(xמצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) ב.
על ידי הצירים ו ,7yעל ידי הישר
קו בציור (ו)השטח המקו
פתרון:
מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה .(א)
. x –( עם ציר ה 1)
7y( עם הישר 2)
)0,1(
11
1
10
0
1)(
3
3
3
3
x
x
x
y
xxf
)7,2(
28
8
17
7
1)(
3
3
3
3
x
x
x
y
xxf
y
x
7y
)0,0(
)0,1(
)7,2(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
9
9
,על ידי הצירים 7y, על ידי הישר f(x. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )(ב)
קו בציור(ו)השטח המקו
: סופית תשובה
)7,2(( 2)א )0,1(( 1)א )ב(4
111
4
147 S
4
111
4
147
21
T
T
S
SSS
x ליונהפונקציה ע x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 7y
dxS
dxS
dxS
)7(
)70(
)7()0(
1
1
1
1
0
1
0
1
0
7
07
)0(3)1(7
7
1
1
1
1
1
0
S
S
S
xS
x פונקציה עליונה x
13 גדול/ימין xy קטן/שמאל
2x
פונקציה תחתונה
1x 7y
dxxS
dxxS
dxxS
)8(
)71(
)7()1(
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
4
14
4
3712
)1(84
)1()2(8
4
)2(
84
2
2
44
2
4
2
2
1
S
S
S
xx
S
7y
y
x
)0,0(
)0,1(
)7,2(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
10
10
"טתשס חורףמועד 35113מבחן בגרות : 4שאלה מספר
בציור שלפניך מוצגים
)(96הפרבולה 2 xxxf
)(3והישר xxg
B –ו Aים בנקודות פגשנהפרבולה והישר ה
(A משמאל ל- B )
.f(x)השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה . מצא את (א)
.f(x)חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה . (ב)
ועל ידי הצירים g(x)הישר על ידי
) השטח המסומן(
פתרון:
.f(x)מום של הפונקציה השיעורים של נקודת המקסי . מצא את (א)
( B -משמאל ל A) B –ו Aהפרבולה והישר נפגשים בנקודות
( B -משמאל ל A) B –ו Aבנקודות x – ה שיעורי מצא את )ב(
נגזרת ראשונהm=0
3
62
620
0)('
62)('
x
x
x
xf
xxf
פונקציה
y=?
)0,3(
9)3(6)3()3(
96)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהMax/min
max2)('' xf
נקודת הקיצוןmax)0,3(
ABנקודות
61
2
57
)1(2
)6)(1(449)7(
067
0396
396
)()(
2,1
2,1
2
2
2
BA xx
x
x
xx
xxx
xxx
xgxf
ABנקודות
)9,6(
93)6(
6
)4,1(
43)1(
1
3)(
B
y
x
A
y
x
xxg
)0,0( y
x )0,3(
)4,1( A
)9,6( B
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
11
11
ידי הצירים ועל g(x)הישר על ידי .f(x)חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )ג(.
) השטח המסומן(
:תשובה סופית
)0,3(max)א( )4,1()9,6()ב( BA 6
16
3
22
2
13 S
6
16
3
22
2
13
21
T
T
S
SSS
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 31 xy
dxxS
dxxS
dxxS
)31(
)310(
)31()0(
1
0
1
0
1
0
1
1
1
2
13
02
13
)0(32
)0()1(3
2
)1(
32
1
1
1
42
1
2
1
1
0
S
S
S
xx
S
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
3x
פונקציה תחתונה
1x 962 xxy
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)96(
)960(
)96()0(
23
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
22
3
169
)1(92
)1(6
3
)1()3(9
2
)3(6
3
)3(
92
6
3
2
2
2323
2
23
2
3
1
S
S
S
xxx
S
)0,0( y
x )0,3(
)4,1( A
)9,6( B
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
12
12
"טתשס מועד א' 13835מבחן בגרות : 5שאלה מספר
xxxfשלפניך מוצגת פרבולה בציור 6)( 2
84ומוצג הישר xy
B –ו Aהישר והפרבולה נחתכים בנקודות
A מימין ל– B
.Bשל הנקודה x –מצא את שיעור ה (1) (א)
Cבנקודה x –הישר חותך את ציר ה (2)
.Cקודה של הנ x –מצא את שיעור ה
מצא את השטח המקווקו בציור ) השטח המוגבל (ב)
(.x –על ידי הפרבולה , על ידי הישר ועל ידי ציר ה
פתרון:
.Bשל הנקודה x –( מצא את שיעור ה 1)א
Cבנקודה x –( הישר חותך את ציר ה 2א)
.Cשל הנקודה x - מצא את שיעור ה
Cנקודות
)0,2(
2
48
840
0
84
C
x
x
x
y
xy
C
ABנקודות
082
0846
846
)(
2
2
2
xx
xxx
xxx
yxf
24
2
62
)1(2
)8)(1(44)2(
2,1
2,1
BA xx
x
x
ABנקודות
)8,4(
88)4(4
4
)16,2(
168)2(4
2
84
A
y
x
B
y
x
xy
)0,0(
y
x )8,4(A
B)16,2(
C)0,2(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
13
13
(.x –י הפרבולה , ע"י הישר וע"י ציר ה "ע מצא את השטח המקווקו בציור ) השטח המוגבל ב()
: תשובה סופית
)16,2( (1א) B (2א) )0,2(C (ב) .31
31 1789 S
x פונקציה עליונה x
xxxf גדול/ימין 6)( 2 קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
2x 84 xy
dxxxS
dxxxxS
dxxxxS
)82(
)846(
)84()6(
2
1
2
1
2
1
0
2
0
2
0
2
3
19
3
190
)2(82
)2(2
3
)2(1)0(8
2
)0(2
3
)0(1
82
2
3
1
1
1
2323
1
23
1
0
2
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 0y גדול/ימין
2x
פונקציה תחתונה
0x 84 xy
3
1178
3
19
21
T
T
S
SSS
dxxS
dxxS
dxxS
)84(
)840(
)84()0(
2
2
2
2
0
2
0
2
0
8
08
)0(82
)0(4)2(8
2
)2(4
82
4
2
2
22
2
2
2
2
0
S
S
S
xx
S
y
)0,0( x )8,4(A
B)16,2(
C)0,2(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
14
14
"טתשס חורףמועד 13835 מבחן בגרות : 6שאלה מספר
)()3(2בציור מוצגת הפרבולה xxf
5ומוצג הישר xy
( B –מימין ל A) B –ו Aהפרבולה והישר נפגשים בנקודות
נימום של הפרבולה.של נקודת המי x –מצא את שיעור ה .(א)
של נקודת המינימום של הפרבולה. x –מצא את שיעור ה)ב(
מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה , על ידי הישר , .(ב)
x –ועל ידי ציר ה y –על ידי ציר ה
)השטח המקווקו בציור (
פתרון:
.פרבולהשל נקודת המינימום של ה x –. מצא את שיעור ה (א)
נגזרת ראשונהm=0
3
62
620
0)('
62)('
x
x
x
xf
xxf
פונקציה
y=?
)0,3(
9)3(6)3()3(
96)(
)3()(
22
2
2
f
xxxf
xxf
נגזרת שנייהMax/min
min2)('' xf
נקודת הקיצוןmin)0,3(
ABנקודות
41
2
35
)1(2
)4)(1(425)5(
045
0596
596
)(
2,1
2,1
2
2
2
BA xx
x
x
xx
xxx
xxx
yxf
A
)0,0(
y
x
B
A )4,1(
)1,4( )5,0(
)0,3(
ABנקודות
)1,4(
15)4(
4
)4,1(
45)1(
1
5
B
y
x
A
y
x
xy
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
15
15
מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה , על ידי הישר , .(ב)
) השטח המקווקו בציור ( x –ועל ידי ציר ה yעל ידי ציר ה
: תשובה סופית
)ב(. )0,3()א(. 6
17
2
14
3
22 S
x פונקציה עליונה x
5 גדול/ימין xy קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
1x 0y
dxxS
dxxS
dxxS
)5(
)05(
)0()5(
0
1
0
1
0
1
2
2
2
2
14
2
140
)1(52
)1()0(5
2
)0(
52
2
2
22
2
2
2
0
1
S
S
S
xx
S
6
17
2
14
3
22
21
T
T
S
SSS
x פונקציה עליונה x
)(96 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
3x 0y
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)96(
)096(
)0()96(
2
1
2
1
2
1
1
3
1
3
1
3
3
22
93
16
)3(92
)3(6
3
)3()1(9
2
)1(6
3
)1(
92
6
3
1
1
2323
1
23
1
1
3
S
S
S
xxx
S
)0,0(
y
x
B
A )4,1(
)1,4( )5,0(
)0,3(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
16
16
א' תש"ע .מועד 35813מבחן בגרות : 7שאלה מספר
)(56נתונה פרבולה שמשוואתה 2 xxx f
)ראה ציור(.
12היא Aמשוואת הישר המשיק לפרבולה בנקודה x y.
112היא Bמשוואת הישר המשיק לפרבולה בנקודה x y.
,Aשל הנקודה x –. מצא את שיעור ה )א(
.Bשל הנקודה x –ואת שיעור ה
. מצא את השטח המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הפרבולה.)ב(
) השטח המקווקו בציור(.
פתרון:
,Aשל הנקודה x –מצא את שיעור ה . (א)
.Bשל הנקודה x –ואת שיעור ה
Aנקודה
2
2
04
)1(2
)4)(1(416)4(
044
01256
1256
)(
2,1
2,1
2
2
2
Ax
x
x
xx
xxx
xxx
yxf
Aנקודה
)3,2(
3
1)2(2
2
12
A
y
y
x
xy
A
Bנקודה
4
2
08
)1(2
)16)(1(464)8(
0168
011256
11256
)(
2,1
2,1
2
2
2
Bx
x
x
xx
xxx
xxx
yxf
Bנקודה
)3,4(
3
11)4(2
4
112
B
y
y
x
xy
B
Cנקודה
)5,3(
5
11)3(2
112
3
124
11212
C
y
y
xy
x
x
xx
yy
y
x
B A
C
)3,4( )3,2(
)5,3(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
17
17
מצא את השטח המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הפרבולה.. (ב)
) השטח המקווקו בציור(.
: תשובה סופית
24)א(. AB xx )ב(3
2
3
1
3
1TS
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
4x
פונקציה תחתונה
3x 112 xy
3
2
3
1
3
1
21
T
T
S
SSS
dxxxS
dxxxxS
dxxxxS
)168(
)11256(
)112()56(
2
2
2
2
2
2
4
3
4
3
4
3
3
1
213
121
)3(162
)3(8
3
)3()4(16
2
)4(8
3
)4(
162
8
3
2
2
2323
2
23
2
4
3
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
3x
ה תחתונהפונקצי
2x 12 xy
dxxxS
dxxxxS
dxxxxS
)44(
)1256(
)12()56(
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
223
)2(42
)2(4
3
)2()3(4
2
)3(4
3
)3(
42
2
3
1
2
2323
1
23
1
3
2
S
S
S
xxx
S
y
x
B A
C
)3,4( )3,2(
)5,3(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
18
18
3013)(
7)(
2
2
xxxg
xxxf
תשס"ו 2116ברק /מועד חצב 35113מבחן בגרות .8שאלה מספר
נתונות שתי הפונקציות
)ראה ציור(
נקודת החיתוך בין של x –שיעור המצא את א.
הגרפים של שתי הפונקציות.
חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים ב.
x –י ציר העל ידו של שתי הפונקציות
השטח המקווקו בציור()
פתרון:
מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. .(א)
f(x) חיתוך עם ציר ה- x
)0,7()0,0(
70
)7(0
0
7)(
21
2
xx
xx
y
xxxf
בין הגרפים החיתוךנקודת
)10,5(
10
)5(7)5(
5
306
030137
30137
)()(
2
22
22
y
y
x
x
xxxx
xxxx
xgxf
g(x) חיתוך עם ציר ה-x
)0,10()0,3(
103
2
713
)1(2
)30)(1(4169)13(
30130
0
3013)(
21
2,1
2,1
2
2
xx
x
x
xx
y
xxxg
)0,3( )0,0( )0,7( )0,10(
)10,5(
y
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
19
19
x –על ידי ציר ה של שתי הפונקציות חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים . (ב)
) השטח המקווקו בציור(
:סופית תשובה
)ב( )10,5()א( 3
222
3
111
3
111 S
3
222
3
111
3
111
21
T
T
S
SSS
x פונקציה עליונה x
)(3013 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל
5x
תחתונה פונקציה
3x 0y
dxxxS
dxxxS
)3013(
)0()3013(
2
1
2
1
5
3
5
3
3
111
2
140
6
129
)3(302
)3(13
3
)3()5(30
2
)5(13
3
)5(
302
13
3
1
1
2323
1
23
1
5
3
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
xxxf גדול/ימין 7)( 2 קטן/שמאל
7x
פונקציה תחתונה
5x 0y
dxxxS
dxxxS
)7(
)0()7(
2
2
2
2
7
5
7
5
3
111
6
545
6
156
2
)5(7
3
)5(
2
)7(7
3
)7(
2
7
3
2
2
2323
2
23
2
7
5
S
S
S
xxS
)0,3( )0,0( )0,7( )0,10(
)10,5(
y
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
20
20
.2112 קיץ תשע"ב מועד 13835מבחן בגרות : 9שאלה מספר
בציור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות:
56)(
34)(
2
2
xxxg
xxxf
.Aבנקודה x -שני הגרפים חותכים את ציר ה
.Cגם בנקודה x -חותך את ציר ה גרף
.Bגם בנקודה x -חותך את ציר ה גרף
.C -, ו A ,B)א(. מצא את שיעורי הנקודות
)ב(. קבע איזו מבין הפונקציות מתאר גרף
. נמק ואיזו מביניהן מתאר גרף
, )ג(. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף
x -ועל ידי ציר ה על ידי גרף
)השטח המקווקו בציור(.
פתרון:
.C -ו , A ,B)א(. מצא את שיעורי הנקודות
. נמק ואיזו מביניהן מתאר גרף קבע איזו מבין הפונקציות מתאר גרף )ב(.
)(56מתאים לפונקציה גרף 2 xxxg 0,1()0,3(מתאים לנקודות( BA
)(34מתאים לפונקציה גרף 2 xxxf 0,1()0,5(מתאים לנקודות( CA
g(x) חיתוך עם ציר ה-x
560
0
56)(
2
2
xx
y
xxxg
)0,5()0,1(
51
2
46
)1(2
)5)(1(436)6(
21
2,1
2,1
CA
xx
x
x
f(x) חיתוך עם ציר ה-x
340
0
34)(
2
2
xx
y
xxxf
)0,3()0,1(
31
2
24
)1(2
)3)(1(416)4(
21
2,1
2,1
BA
xx
x
x
גרף גרף
גרף
גרף
y
x
C B A )0,1( )0,3( )0,5(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
21
21
x -ועל ידי ציר ה , על ידי גרף )ג(. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף
קו בציור(. )השטח המקוו
:סופית תשובה
)0,5(,)0,3()0,1()א(. ABC ב(. גרף(= )(xg , גרף= )(xf .)ג(3
19
3
154 S
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxg קטן/שמאל
5x
פונקציה תחתונה
3x 0y
3
19
3
154
21
T
T
S
SSS
dxxxS
dxxxS
)56(
)0()56(
2
2
2
2
5
3
5
3
3
15
33
18
)3(52
)3(6
3
)3()5(5
2
)5(6
3
)5(
52
6
3
2
2
2323
2
23
2
5
3
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
)(56 גדול/ימין 2 xxxg קטן/שמאל
3x
פונקציה תחתונה
1x 34)( 2 xxxf
dxxS
dxxxxxS
dxxxxxS
)22(
)3456(
)34()56(
3
1
3
1
3
1
1
22
1
22
1
4
13
)1(22
)1(2)3(2
2
)3(2
22
2
1
1
22
1
2
1
3
1
S
S
S
xx
S
y
x
C B A )0,1(
)0,3( )0,5(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
22
22
מועד חורף תשס"ז 35113מבחן בגרות : 11שאלה מספר
נתונים הגרפים של שתי הפונקציות :
33)( 3
21 xxxf
3
21)( xxg
)ראה ציור(
מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. א.
טח המוגבל על ידי הגרפיםחשב את הש ב.
x –של שתי הפונקציות על ידי ציר ה
) השטח המקווקו בציור ( 2xועל ידי הישר
פתרון:
מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. .(א)
נקודת החיתוך
1
33
05.0335.0
5.0335.0
)()(
3
33
3
x
x
xxx
xxx
xgxf
נקודת החיתוך
)5.0,1(
5.0
)1(5.0
5.0
3
3
y
y
xy
y
x
2x
)5.0,1(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
23
23
חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים .(ב)
) השטח המקווקו בציור ( 2xועל ידי הישר x –שתי הפונקציות על ידי ציר ה של
:סופית תשובה
5.0125.0375.0)ב( )5.0,1()א( S
x פונקציה עליונה x
)(335.0 גדול/ימין 3 xxxg קטן/שמאל
2x
פונקציה תחתונה
1x 0y
2
1
8
3
8
1
21
T
T
S
SSS
dxxxS
dxxxS
)335.0(
)0()335.0(
3
2
3
2
2
1
2
1
8
3
8
512
)1(32
)1(3
4
)1(5.0)2(3
2
)2(3
4
)2(5.0
32
3
4
5.0
2
2
2424
2
24
2
2
1
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
)(35.0 גדול/ימין xxg קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
0x 0y
dxxS
dxxS
)5.0(
)0()5.0(
3
01
3
1
1
1
0
8
1
08
1
4
)0(5.0
4
)1(5.0
4
5.0
1
1
44
1
4
1
1
0
S
S
S
xS
y
x
2x
)5.0,1(
1x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
24
24
ע"אתש 2111פברואר מועד 35113ות מבחן בגר: 11שאלה מספר
822בציור שלפינך נתונה הפרבולה xxy
A ו– C .הן נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים
.C –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(
היא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון Bנתון כי )ב(
ראשית הצירים(. – Oסמ"ר ) 12הוא OBCכך ששטח המשולש
.Bמצא את שיעורי הנקודה
מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )ג(
x –ועל ידי ציר ה BOעל ידי הישר
) השטח המקווקו בציור(
פתרון:
.C –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(
דה על גרף הפונקציה ברביע הראשון היא נקו B)ב( נתון כי
סמ"ר 12הוא OBCכך ששטח המשולש
(O – .)ראשית הצירים
.Bמצא את שיעורי הנקודה
Aנקודה
)0,4(
24
2
62
)1(2
)8)(1(44)2(
820
0
82
2
2,1
2,1
2
2
A
xx
x
x
xx
y
xxy
A
Cנקודה
)8,0(
8
8)0(2)0(
0
82
2
2
C
y
y
x
xxy
Bנקודה
)5,3(
5
8)3(2)3(
3
2
812
2
2
B
y
y
x
x
xOCS
B
B
B
BOמשוואת
xy
xy
m
xxmyy
3
5
)0(3
50
3
5
03
05)0,0(
)( 11
y
x
C
B
A O )0,4(
)5,3(
)8,0(
)0,0(
?h
12S
y
x
C
B
A
O
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
25
25
x –ועל ידי ציר ה BOעל ידי הישר מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )ג(
) השטח המקווקו בציר(
: תשובה סופית
)0,4()8,0()א( CA .)5,3()ב(B .)ג(6
110
3
22
2
17 S
x פונקציה עליונה x
822 גדול/ימין xxy קטן/שמאל
4x
פונקציה תחתונה
3x 0y
6
110
3
22
2
17
21
T
T
S
SSS
dxxxS
dxxxS
)82(
)0()82(
2
2
2
2
4
3
4
3
3
22
243
226
)3(82
)3(2
3
)3()4(8
2
)4(2
3
)4(
82
2
3
2
2
2323
2
23
2
4
3
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
xy גדול/ימין35 קטן/שמאל
3x
הפונקציה תחתונ
0x 0y
dxxS
dxxS
)(
)0()(
3
5
01
3
51
3
3
0
2
17
02
17
2
)0(
2
)3(
2
1
1
2
3
52
3
5
1
2
3
5
1
3
0
S
S
S
xS
y
x
C
B
A O )0,4(
)5,3(
)8,0(
)0,0(
1S 2S
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
26
26
2111מועד נובמבר 35113מבחן בגרות : 12שאלה מספר
1662הפרבולה xxy
B –ו Aבנקודות x –חותכת את ציר ה
.Cבנקודה y –ואת ציר ה
. A ,B ,Cחשב את שיעורי הנקודות א.
חשב את השטח ב.1S המוגבל על ידי הפרבולה
) השטח המקווקו בציור(. ACועל ידי הישר
על ידי הפרבולה ACהוא השטח המוגבל על ידי הישר 2S ג.
2Sהשטח חשב את )השטח האפור בציור( x –ועל ידי ציר ה
פתרון:
. A ,B ,Cא. חשב את שיעורי הנקודות
ABנקודה
)0,2()0,8(
28
2
106
)1(2
)16)(1(436)6(
1660
0
166
2,1
2,1
2
2
BA
xx
x
x
xx
y
xxy
BA
Cנקודה
)16,0(
16
16)0(6)0(
0
166
2
2
C
y
y
x
xxy
ACמשוואת
162
)8(20
208
160)0,8(
)( 11
xy
xy
m
xxmyy
y
x
C
B A O )0,8( )0,2(
)16,0(
y
x
C
B A
O
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
27
27
חשב את השטח ב.1S ועל ידי הישר המוגבל על ידי הפרבולהAC .)השטח המקווקו בציור (
x –ועל ידי ציר ה ה על ידי הפרבול ACהוא השטח המוגבל על ידי הישר 2S ג.
2S)השטח האפור בציור( חשב את השטח
132 שטחים חיסורפעולת נבצע 2Sכדי לחשב את 3S הפרבולה נגדיר את שטח ג. SSS
תשובה סופית:
)0,8()0,2()16,0()א( CBA )ב( 3
1851 S )ג(
3
181
3
117642 S
3
181
3
185
3
21662
132
S
SSS
x פונקציה עליונה x
166 ןגדול/ימי xxy קטן/שמאל
8x
פונקציה תחתונה
0x 162 xy
dxxxS
dxxxxS
dxxxxS
)8(
)162166(
)162()166(
2
01
2
01
2
1
8
8
8
0
3
185
03
185
2
)0(8
3
)0(
2
)8(8
3
)8(
2
8
3
1
1
2323
1
23
1
8
0
S
S
S
xxS
x פונקציה עליונה x
166 גדול/ימין xxy קטן/שמאל
8x
פונקציה תחתונה
2x 0y
dxxxS
dxxxS
)166(
)0()166(
2
23
2
3
8
8
2
3
2166
3
117
3
1149
)2(162
)2(6
3
)2()8(16
2
)8(6
3
)8(
162
6
3
3
3
2323
3
23
3
8
2
S
S
S
xxx
S
y
x
C
B A O )0,8( )0,2(
)16,0(
y
x
C
B A O )0,8( )0,2(
)16,0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
28
28
2111קיץ 35113: מבחן גנוז בגרות 13שאלה מספר
)(24 נתונה פרבולה שמשוואתה xxxf .מעבירים שני ישרים
ישר אחד משיק לפרבולה בנקודת המקסימום שלה,
וישר אחר משיק לפרבולה בראשית הצירים.
)ראה ציור( Aהמשיקים נפגשים בנקודה
מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפרבולה. (1א. )
מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימום. (2)
מצא את משוואת המשיק לפרבולה בראשית הצירים. ב.
.Aשל הנקודה מצא את השיעורים (1ג. )
חשב את השטח המוגבל על ידי שני המשיקים (2)
ועל ידי הפרבולה )השטח האפור שבציור(
פתרון:
( מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפרבולה.1א. )
( מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימום2)
לפרבולה בראשית הצירים.ב. מצא את משוואת המשיק
.A( מצא את השיעורים של הנקודה 1ג. )
נגזרת ראשונהm=0
2
42
240
0)('
24)('
x
x
x
xf
xxf
פונקציה
y=?
)4,2(
)2()2(4)2(
4)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהMax/min
max2)('' xf
נקודת הקיצוןmax)4,2(
Aנקודות
)4,1(
1
44
A
x
x
yy
ימוםמשיק למקס
4
)2(04
0)4,2(
)( 11
y
xy
m
xxmyy
משיק לראשית הצירים
xy
xy
fm
xxmyy
4
)0(40
4)0(24)0(')0,0(
)( 11
)4.1( )4,2(
y
x
A
O
)4,0(
)0,0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
29
29
חשב את השטח המוגבל על ידי שני המשיקים ועל ידי הפרבולה )השטח האפור שבציור( (2ג. )
: תשובה סופית
)max)4,2 (.1)א (2א.) 4y (ב.) xy 4 (1ג.) )4,1(A (2ג.)
3
2
3
1
3
1S
3
2
3
1
3
12
21
S
SSST
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 4y גדול/ימין
2x
פונקציה תחתונה
1x 24 xxy
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)44(
)44(
)4()4(
2
12
2
12
2
2
2
2
2
1
3
1
3
12
3
22
)1(42
)1(4
3
)1()2(4
2
)2(4
3
)2(
42
4
3
2
2
2323
2
23
2
2
1
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
xy גדול/ימין 4 קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
0x 24 xxy
dxxS
dxxxxS
dxxxxS
)(
)44(
)4()4(
2
1
2
1
2
1
1
0
1
0
1
0
3
1
3
)0(
3
)1(
3
1
33
1
3
1
1
0
S
S
xS
)4.1( )4,2(
y
x
A
O
)4,0(
)0,0(
1S
2S
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
30
30
2111קיץ 35113: מבחן גנוז בגרות 14שאלה מספר
)(24 גרף הפרבולה שמשוואתה xxxf
מעבירים שני ישרים. .B -ו Aבשתי נקודות xחותך את ציר ה
ישר אחד משיק לפרבולה בנקודת המקסימום שלה,
.Bוישר אחר משיק לפרבולה בנקודה
)ראה ציור( kהמשיקים נפגשים בנקודה
מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפרבולה. (1א. )
מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימום. (2)
.Bא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה מצ ב.
.kמצא את השיעורים של הנקודה (1ג. )
חשב את השטח המוגבל על ידי שני המשיקים (2)
ועל ידי הפרבולה )השטח האפור שבציור(
: תשובה סופית
)max)4,2 (.1)א (2א.) 4y (ב.) 164 xy
(.2ג) k)4,3( (.1ג)3
2
3
1
3
1S
y
x A
K
B
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
31
31
מועד חצב/ ברק תש"ע 35813מבחן בגרות . 15שאלה מספר
בציור שלפניך נתונים שני הגרפים של שתי הפונקציות:
3212)(
16)(
2
2
xxxg
xxf
של מצא את שיעורי נקודות החיתוך (1)א()
.( B,C) הנקודות x –עם ציר ה xg)(גרף הפונקציה
מצא את שיעורי נקודת החיתוך (2)
.( A. ) הנקודה y –עם ציר ה xf)(של גרף הפונקציה
xהעבירו ישר המקביל לציר ה Aדקוד דרך הק )ב(.
כמתואר בציור. y –העבירו ישר המקביל לציר ה Cודרך הנקודה
חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות
השטח המקווקו( .על ידי הישרים המקבילים לצירים )ו
פתרון:
.(B,C) הנקודות x –עם ציר ה xg)(( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה 1)א
מצא את שיעורי נקודת החיתוך (2)
. yעם ציר ה xf)(של גרף הפונקציה
.( A) הנקודה
BC קודותנ
)0,8()0,4(
84
2
412
)1(2
)32)(1(4144)12(
32120
0
3212)(
2,1
2,1
2
2
CB
xx
x
x
xx
y
xxxg
BB
Aנקודה
)16,0(
16
16)0(
0
16)(
2
2
A
y
y
x
xxf
xמשוואת המקביל לציר ה
16
)0(016
0)16,0(
)( 11
y
xy
m
xxmyy
y
x
A
O B C
)16,0(
)0,4( )0,8(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
32
32
ל לציר העבירו ישר המקבי Cודרך הנקודה xהעבירו ישר המקביל לציר ה Aדרך הקדקוד )ב(.
כמתואר בציור. חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות y –ה
ועל ידי הישרים המקבילים לצירים ) השטח המקווקו( .
תשובה סופית:
)0,4()0,8( ( 1)א CB 16,0( (2)א(A (.)ב 3
274
3
121
3
153 S
3
274
3
153
3
1212
21
S
SSST
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 16y גדול/ימין
8x
פונקציה תחתונה
4x 32122 xxy
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)4812(
)321216(
)3212()16(
2
2
2
2
2
2
8
4
8
4
8
4
3
153
3
1117
3
2170
)4(482
)4(12
3
)4()8(48
2
)8(12
3
)8(
482
12
3
2
2
2323
2
23
2
8
4
S
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 16y גדול/ימין
4x
פונקציה תחתונה
0x 162 xy
dxxS
dxxS
dxxS
)(
)1616(
)16()16(
2
1
2
1
2
1
4
0
4
0
4
0
3
121
03
121
3
)0(
3
)4(
3
1
1
33
1
3
1
1
0
S
S
S
xS
y
x
A
O B C
)16,0(
)0,4( )0,8(
1S 2S
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
33
33
2112 אוגוסט ברק/ מועד חצב 13835מבחן בגרות : 16שאלה מספר
xxxxfנתונה הפונקציה : 23)(
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , )א(.
וקבע את סוגן ) ענה בלי להסתמך על הגרף (
פונקציה העבירו משיק לגרף הפונקציהמנקודת המקסימום של ה )ב(.
רשום את משוואת המשיק . ( 1)
מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק,( 2)
xyעל ידי בישר ועל ידי גרף הפונקציה
)השטח המקווקו בציור(
פתרון:
הפונקציה , וקבע את סוגן ) ענה בלי להסתמך על הגרף ( מצא את נקודות הקיצון של )א(.
מנקודת המקסימום של הפונקציה העבירו משיק לגרף הפונקציה )ב(.
. ( רשום את משוואת המשיק1)
נגזרת ראשונהm=0
3
11
6
42
)3(2
)1)(3(44)2(
1230
0)('
123)('
21
2,1
2,1
2
2
xx
x
x
xx
xf
xxxf
פונקציה
y=?
),(
)()()()(
)1,1(
)1()1()1()1(
)(
27
5
3
1
3
12
3
13
3
1
3
1
23
23
B
f
A
f
xxxxf
נגזרת שנייהMax/min
min42)(6)('
max42)(6)1('
26)(''
3
1
3
2
f
f
xxf
נקודת הקיצוןmax)1,1(
min),(275
31
את המשיקמשוו
1
)1(01
0)1,1(
)( 11
y
xy
m
xxmyy
Cנקודה
)1,1(
1
1
1
C
x
x
y
xy
yy
),(275
31
A
x
Cy )1,1(
B
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
34
34
A
x
Cy )1,1(
B ),(275
31
)1,1(
xy( מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק, על ידי בישר 2)ב ועל ידי גרף הפונקציה
)השטח המקווקו בציור(
תשובה סופית:
)1,1(max)א( min),(275
32 1 (.1)בy (. 2)ב
12
11
12
5
2
1S
12
11
12
5
2
12
21
S
SSST
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 1y גדול/ימין
0x
פונקציה תחתונה
1x xy
dxxS
dxxS
)1(
)()1(
0
1
0
1
1
1
2
1
2
10
2
)1()1(1
2
)0()0(1
21
1
1
22
1
2
1
0
1
S
S
S
xxS
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 1y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x xxxy 23
dxxxxS
dxxxxS
)1(
)()1(
23
2
23
2
1
0
1
0
12
5
012
5
2
)0(
3
)0(
4
)0()0(1
2
)1(
3
)1(
4
)1()1(1
2341
2
2
234234
2
234
2
1
0
S
S
S
xxxxS
2S 1S
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
35
35
"טתשסב' מרץ מועד 13135מבחן בגרות : 17ספר שאלה מ
)(241הפרבולה xxg חותכת את ציר
. ראה ציור.B -ו Aבנקודות x –ה
.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)
.Aמצא את משוואת המשיק בנקודה (1. )(ב)
.Bמצא את משוואת המשיק בנקודה (2)
שב את שטח המוגבל על ידי גרף הפרבולהח .(ג)
ועל ידי שני המשיקים ) השטח המקווקו בציור(. פתרון:
.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)
.Aמצא את משוואת המשיק בנקודה (1(. )ב)
.Bמצא את משוואת המשיק בנקודה (2)
ABנקודות
)0,5.0()0,5.0(
25.0
25.041
410
0
41)(
2,1
22
2
2
BA
x
xx
x
y
xxg
Aמשיק לנקודה
4)5.0(8
8)('
m
xmxf
24
)5.0(40
4)0,5.0(
)( 11
xy
xy
m
xxmyy
Bמשיק לנקודה
4)5.0(8
8)('
m
xmxf
24
)5.0(40
4)0,5.0(
)( 11
xy
xy
m
xxmyy
)0,5.0(
x
y
A O B )0,5.0(
x
y
A B
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
36
36
חשב את שטח המוגבל על ידי גרף הפרבולה .(ג)
ועל ידי שני המשיקים
) השטח המקווקו בציור(.
תשובה סופית:
),0(),0(. (א)21
21 BA 24(1)ב xy
24. (2)ב xy (ג) 3
1
6
1
6
1S
3
1
6
1
6
12
21
S
SSST
x פונקציה עליונה x
24 גדול/ימין xy קטן/שמאל
0x
פונקציה תחתונה
5.0x 241 xy
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)144(
)4124(
)41()24(
2
1
2
1
2
1
0
5.0
0
5.0
0
5.0
6
1
6
10
)5.0(12
)5.0(4
3
)5.0(4
)0(12
)0(4
3
)0(4
12
4
3
4
1
23
23
1
23
1
0
5.0
S
S
xxx
S
x פונקציה עליונה x
24 ל/ימיןגדו xy קטן/שמאל
5.0x
פונקציה תחתונה
0x 241 xg
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)144(
)4124(
)41()24(
2
2
2
2
2
2
5.0
1
5.0
1
5.0
0
6
10
6
1
)0(12
)0(4
3
)0(4
)5.0(12
)5.0(4
3
)5.0(4
12
4
3
4
2
23
23
2
23
2
5.0
0
S
S
xxx
S
)0,5.0(
x
y
A O B
2S 1S
)0,5.0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
37
37
מועד ב' תש"ע 35813מבחן בגרות : 18שאלה מספר
)(4נתונה הפרבולה 2 xx f
על הפרבולה ברביע הראשון. , הנמצאת Bנקודה מ
.y –לציר ה BAואנך .x –לציר ה BCהעבירו אנך
)ראה ציור( )5,0(הם Aנקודה שיעורי ה
.ABמשוואת הישר מצא את .(א)
.Bמצא את שעורי הנקודה )ב(.
.ABCOהפרבולה מחלקת את שטח המלבן )ג(.
(O לשני שטחים ) 1 ראשית הצירים S השטח המנוקד בציור .
2 S חשב את היחס השטח המקווקו בציור 2
1
S
S
פתרון: .ABמשוואת הישר מצא את .(א)
.Bמצא את שעורי הנקודה )ב(.
ABמשוואת
5
)0(05
0)5,0(
0
y
xy
m
mלצירמקבילx
Bנקודה
5
42
y
xy
)5,1(
11
1
45
2
2
B
x
x
x
A
)5,1(
2S
1S
x
y
A
O
B
C
)5,0(
)0,1( )0,0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
38
38
לשני שטחים ראשית הציריםABCO (.O )הפרבולה מחלקת את שטח המלבן )ג(.
1 S . 2השטח המנוקד בציור S . השטח המקווקו בציור
חשב את היחס2
1
S
S
:תשובה סופית
. )ג( B)5,1()ב(. 5ABy. (א)13
2
43
1
3
2
2
1 S
S
13
2
43
1
3
2
2
1 S
S
x פונקציה עליונה x
קטן/שמאל 5y גדול/ימין
1x
פונקציה תחתונה
0x 4)( 2 xxf
dxxS
dxxS
dxxS
)1(
)45(
)4()5(
2
1
2
1
2
1
1
0
1
0
1
0
x פונקציה עליונה x
)(4 גדול/ימין 2 xxf קטן/שמאל
1x
ה תחתונהפונקצי
0x 0y
dxxS
dxxS
)4(
)0()4(
2
2
2
2
1
0
1
0
3
140
3
14
)0(43
)0()1(4
3
)1(
43
2
33
2
3
2
1
0
S
S
xx
S
3
20
3
2
)0(13
)0()1(1
3
)1(
13
1
33
1
3
1
1
0
S
S
xx
S
)5,1(
2S
1S
x
y
A
O
B
C
)5,0(
)0,1( )0,0(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
39
39
מועד ב' תש"ע 35113מבחן בגרות : 19מספר שאלה
)(4נתונה הפרבולה 2 xx f
, נמצאת על הפרבולה.1שלה הוא x –ששיעור ה Aהנקודה
העבירו משיק לפרבולה , Aדרך נקודה
(ראה ציור), -1וישר נוסף שהשיפוע שלו הוא
יק.( משוואת המש1. מצא את )א
( משוואת הישר הנוסף.2)
הוא השטח המוגבל על ידי הפרבולה S 1. ב
)השטח המנוקד בציור ( y -על ידי הישר הנוסף ועל ידי ציר ה
2 S הוא השטח המוגבל על ידי הפרבולה
)השטח המקווקו בציור ( y -ק ועל ידי ציר העל ידי המשי
חשב את היחס 2
1
S
S
פתרון:
מצא את משוואת המשיק. (. 1א)
משוואת הישר הנוסף.מצא את (. 2א)
הישר הנוסףמשוואת
61
511
)1(15
1)5,1(
xy
xy
xy
m
Aנקודה
)5,1(
54)1(
1
4
2
2
A
y
x
xy
Aמשיק לנקודה
2)1(2
2)('
m
xmxf
32
522
)1(25
2)5,1(
)( 11
xy
xy
xy
m
xxmyy
O
2S
1S
x
y
A )5,1(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
40
40
y -וגבל על ידי הפרבולה על ידי הישר הנוסף ועל ידי ציר ההוא השטח המ S 1. (ב)
הוא השטח המוגבל על ידי הפרבולה על ידי המשיק ועל ידי ציר S 2)השטח המנוקד בציור (
)השטח המקווקו בציור ( חשב את היחס y -ה2
1
S
S
:תשובה סופית
32. (1א) xy ,6 ( 2)א xy (ב) .2
13
1
3
1
6
1
2
1 S
S
2
13
1
3
1
6
1
2
1 S
S
x פונקציה עליונה x
61 גדול/ימין xy קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
0x 4)( 2 xxf
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)21(
)461(
)4()61(
2
1
2
1
2
1
1
0
1
0
1
0
x פונקציה עליונה x
)(4 גדול/ימין 2 xxf קטן/שמאל
1x
פונקציה תחתונה
0x 32 xy
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)12(
)324(
)32()4(
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
3
1
3
10
3
1
)0(12
)0(2
3
)0()1(1
2
)1(2
3
)1(
12
2
3
2
2
2323
2
23
2
1
0
S
S
S
xxx
S
6
11
6
110
6
11
)0(22
)0(
3
)0()1(2
2
)1(
3
)1(
223
1
1
2323
1
23
1
1
0
S
S
S
xxx
S
2S
1S
x
y
A )5,1(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
41
41
2112מועד חורף 35813מבחן בגרות : 21שאלה מספר
)(4בציור שלפניך מוצג גרף הפונקציה 3 xxf
העבירו משיק לגרף הפונקציה. x= 2בנקודה שבה
מצא את משוואת המשיק.( 1א. )
.x –מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ( 2)
את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, 1S -נסמן ב ב.
.y –וציר ה x -המשיק )שאת משוואתו מצאת בסעיף א ( ציר ה
x –את השטח המוגבל על ידי המשיק , ציר ה 2S-נסמן ב
) השטח המקווקו בציור( y -וציר ה
21הראה כי SS .
פתרון:
( מצא את משוואת המשיק.1)א.
.x –( מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה 2)
xחיתוך המשיק עם צי ה
)0,1(
11212
12120
0
1212
xx
x
y
xy
Aנקודה
)12,2(
124)2(
2
4
3
3
A
y
x
xy
Aמשיק לנקודה
12)2(3
3)('
2
2
m
xmxf
1212
122412
)2(1212
12)12,2(
)( 11
xy
xy
xy
m
xxmyy
2S
1S x
y
)12,2(A
)0,0(
)0,1(
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק
42
42
המשיק )שאת משוואתו מצאת בסעיף א את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, 1S -נסמן ב ב.
y -וציר ה x –את השטח המוגבל על ידי המשיק , ציר ה 2S-.נסמן ב y –וציר ה x -( ציר ה
21 הראה כי ) השטח המקווקו בציור( SS .
נגדיר ב 3S הפונקציה המשיק וציר ה את כל השטח המוגבל על ידי- y את שני השטחים והוא כולל
213 SSS
: ה סופיתתשוב
1212( 1)א xy 621)ב( )0,1(( 1)א SS
x פונקציה עליונה x
43 גדול/ימין xy קטן/שמאל
2x
פונקציה תחתונה
0x 1212)( xxf
dxxxS
dxxxS
dxxxS
)1612(
)12124(
)1212()4(
3
3
3
3
3
3
2
0
2
0
2
0
12
12012
)0(162
)0(12
4
)0()2(16
2
)2(12
4
)2(
162
12
4
3
3
2424
3
24
3
2
0
S
S
S
xxx
S
3S
x
y
)12,2(A
O
)0,1(
2S
1S x
y
)12,2(A
O
)0,1(
)12,0(
2Sמציאת שטח
62
1212
S
1Sמציאת שטח 6612131 SSS