Transcript
Page 1: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο ΘΕΜΑ

Page 2: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 2

Έλυσαν οι

Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης

Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης,

Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος

Κώστας Ζυγούρης, Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος

Ηλίας Καμπελής, Νίκος Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος,

Γιώργος Γαβριλόπουλος, lafkasd

Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος

Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου

Τεύχος 1ο

Page 3: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 2787

Στο τρίγωνο AB του παρακάτω σχήματος η κάθετη από το μέσο M της B

τέμνει την προέκταση της διχοτόμου A στο σημείο E . Αν , Z είναι οι

προβολές του E στις , AB A , να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5 )

β) Τα τρίγωνα , BE Z E είναι ίσα. (Μονάδες 8 )

γ) 0ˆA E ABE 180 . (Μονάδες 12)

Λύση:

α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές, επειδή η

είναι μεσοκάθετος του B .

β) Τα τρίγωνα , BE Z E είναι ορθογώνια και

έχουν EB E και E EZ (κάθε σημείο της

διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της

γωνίας).

γ) Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων

προκύπτει ότι 1 2E E (1) .

Είναι ακόμα: 02

ˆA E 90 E και 01ABE 90 E

(ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο EB ).

Άρα: (1)

0 02 1

ˆA E ABE 90 E 90 E 0ˆA E ABE 180 .

ΘΕΜΑ 2788

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 0( 90 ) AB A 050B , το ύψος του A και σημείο E

, ώστε E B . Το σημείο Z είναι η προβολή του στην .

Page 4: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

ii) 0AE 10 . (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες 9)

Λύση:

α.i) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, επειδή η

A είναι μεσοκάθετος του .

α.ii) 0B 50 , οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AB

και από το ισοσκελές , έχουμε διαδοχικά:

0ˆ 40 και 0ˆ 50AE .

Αλλά η ˆAE είναι εξωτερική στο τρίγωνο AE , άρα:

ˆAEB AE 0ˆ 10 AE .

β) Είναι 0ˆ 90Z , 0ˆ 50 EZ (ως κατακορυφήν της AE ),

οπότε, 0ˆ 40 E Z .

ΘΕΜΑ 2792

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία

, ώστε να ισχύει A B . Επίσης θεωρούμε σημείο Oεκτός του

ευθυγράμμου τμήματος AB έτσι ώστε να ισχύουν O AΓ και O B .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. η γωνία 0O 60 (Μονάδες 9)

ii. οι γωνίες OA ,OB είναι ίσες και κάθε μια ίση με 030 . (Μονάδες 9)

Page 5: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

β) Αν το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος AB, να αποδείξετε ότι

2OM OA . (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Το τρίγωνο O είναι ισόπλευρο εκ κατασκευής και το ζητούμενο έπεται

άμεσα

β) Τα τρίγωνα

OA ,OB είναι

ισοσκελή , οπότε οι

γωνίες που

πρόσκεινται σε κάθε

βάση είναι ίσες κι

αφού οι εξωτερικές τους γωνίες 0O O 60 , το ζητούμενο έπεται άμεσα .

γ) Το OMείναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο , άρα και ύψος , οπότε το

τρίγωνο MOA είναι ορθογώνιο με 0A 30 , άρα OA

OM OA 2OM2

.

ΘΕΜΑ 2794

Σε τραπέζιο AB AB/ / είναι 2AB . Επίσης τα Z,H,E είναι τα μέσα των

A ,B και αντίστοιχα. Ακόμη η ZHτέμνει τις AE,BE στα σημεία , I

αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο AB E είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να δείξετε ότι, τα σημεία , I είναι μέσα των AE,BE αντίστοιχα.

γ) Να δείξετε ότι 3

ZH AB2

.

Λύση:

α) Είναι E 12

αφού το E είναι μέσο του και

1

AB/ / AB/ / E2

,

Page 6: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

έτσι το AB E είναι

παραλληλόγραμμο.

β) Το ZHείναι διάμεσος του

τραπεζίου AB , οπότε

ZH/ /AB/ / και

AB

ZH 22

.

Στο τρίγωνο A E το Z είναι

μέσο της A και Z / / E , έτσι το είναι μέσο του AE .

Ομοίως, στο τρίγωνο B E είναι H μέσο του B και HI / / E , έτσι το I είναι

μέσο του BE.

γ) Από 2ABAB AB 2AB 3AB

2 ZH ZH ZH2 2 2

.

ΘΕΜΑ 2796

Δίνεται κύκλος με κέντρο O και έστω ABμία διάμετρός του, το μέσο του

ενός ημικυκλίου και τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της B (προς

το B ) θεωρούμε σημείο E ώστε BE A .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα τρίγωνα , A BE είναι ίσα. (Μονάδες 8 )

ii) Η είναι κάθετη στηE . (Μονάδες 8 )

β) Να αιτιολογήσετε γιατί στην περίπτωση που το σημείο είναι

αντιδιαμετρικό του , η E είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9 )

Λύση:

α. i) Επειδή το είναι μέσο του ημικυκλίου,

θα είναι A B και 0ˆA 90 B .

Τα τρίγωνα , A BE έχουν:

Page 7: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

A B

A BE (από υπόθεση)

A EB (η γωνία εγγεγραμμένου

τετραπλεύρου

είναι ίση με την απέναντι εξωτερική).

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π).

α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι .

0ˆ ˆE A A 90 B B E .

β) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα 0ˆE 90

και επειδή η είναι διάμετρος του κύκλου,

η E θα είναι εφαπτομένη.

ΘΕΜΑ 2797

Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ˆA 2B και έστω A ύψος και BE διχοτόμος του

τριγώνου που τέμνονται στο Z.

α) Να αποδείξετε ότι:

i. 0B 60 και AZ BZ . (Μονάδες 10)

ii. 3

A BZ2

(Μονάδες 8)

β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο AZE είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις

άλλες γωνίες του τριγώνου AB . (Μονάδες 7)

Λύση:

Page 8: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

α) i. 0 0ˆ ˆA 2B A B 3B 3B 180 B 60 .

Από το ορθογώνιο

τρίγωνο AB , έχουμε

ότι 01A 30 κι ακόμα

00

160

B 302

, οπότε

το ABZ είναι

ισοσκελές , άρα

AZ BZ .

ii. Αφού AZ BZ και

από το BZ με 02B 30 , έχουμε ότι:

BZZ

2 ,

έπεται ότι: BZ 3

A AZ Z BZ BZ2 2

.

β) Αφού το τρίγωνο ΑZEείναι ισόπλευρο , έχουμε ότι 02A 60 , οπότε

0 0 0A 30 60 90 . Επίσης 0B 60 , οπότε 0ˆ 30 .

ΘΕΜΑ 2799

Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από

έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου A ,B , Z, H,ZK,H που είναι

στερεωμένα με έντεκα καρφιά A,B, , , ,E,M,H,K, ,Z . Αν το σημείο ,

είναι μέσο των τμημάτων A και B ενώ το σημείο E είναι μέσο των

τμημάτων Z και H , να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο.

β) Τα σημεία B, ,Z είναι συνευθειακά.

γ) Το τετράπλευρο A Z είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση:

Page 9: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται

στο E και είναι ίσες λόγω της υπόθεσης.

β) Για τον ίδιο λόγο και το AB είναι ορθογώνιο, έτσι:

B Z 90 90 180 άρα τα σημεία B, ,Z είναι συνευθειακά.

γ) Για τον ίδιο λόγο και τα σημεία A, ,H είναι συνευθειακά, οπότε

A / / Z 1 .

Το τετράπλευρο E είναι ρόμβος αφού και οι τέσσερεις πλευρές του είναι

ίσες ως μισά ίσων τμημάτων, οπότε E .

Τα τρίγωνα A και EZ είναι ίσα από αφού έχουν:

A E και ZE ως μισά ίσων τμημάτων και A EZ ως

παραπληρωματικές των ίσων γωνιών E . Έτσι A Z 2 .

Από 1 , 2 A / / Z άρα το A Z είναι παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 2802

Δίνεται ευθεία ( ) και δυο σημεία ,εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία να

μην είναι κάθετη στην ( ) . Φέρουμε , κάθετες στην ( ) και , μέσα

τωνκαι αντίστοιχα.

α) Αν τα ,είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) ,

i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή

ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την

απάντησή σας:

1) . (Μονάδες 4)

2) . (Μονάδες 4)

ii) να εκφράσετε το τμήμα σε σχέση με τα τμήματα , στις δυο

Page 10: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10

προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6)

β) Αν η ευθεία ( ) τέμνει το τμήμα στο μέσο του να βρείτε το είδος του

τετραπλεύρου (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε

ότι τα , ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+2)

Λύση:

α) i) Στην περίπτωση 1) όπου , έχουμε και / / αφού και

. Όμως οι / / δεν

είναι παράλληλες διότι αν ήταν το

τετράπλευρο θα ήταν

παραλληλόγραμμο άρα .

Άτοπο. Επομένως το

τετράπλευρο θα είναι

τραπέζιο.

Στην περίπτωση 2) είναι

και / / , επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης

είναι 0ˆ 90 συνεπώς το είναι ορθογώνιο.

ii) Στην περίπτωση 1) όπου το είναι τραπέζιο η είναι διάμεσος και

επομένως2

.

Στην περίπτωση 2) όπου το είναι ορθογώνιο θα είναι .

Page 11: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

β) Είναι / / . Συγκρίνουμε τα τρίγωνα , .

Είναι

1) 0ˆ ˆ 90 .

2) αφού μέσο της .

3) 1 2ˆ ˆ ως κατακορυφήν,

επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια

ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα

τρίγωνα είναι ίσα άρα και .

Συνεπώς το τετράπλευρο

είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι

διαγώνιοι του , διχοτομούνται και επομένως είναι . Οπότε το

μέσο της είναι το και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το είναι το μέσο

της , συμπερασματικά τα σημεία , ταυτίζονται.

ΘΕΜΑ 2804

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο AB , τα ύψη του B και E που

τέμνονται στο σημείο H και το μέσο M της πλευράς B .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) M ME . (Μονάδες 10)

ii) Η ευθείατέμνει κάθετα τη B και ˆAH, όπου ̂ η γωνία του τριγώνου

AB . (Μονάδες 5 )

γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου . (Μονάδες 10)

Λύση:

α.i. Τα ορθογώνια τρίγωνα , B EB έχουν αντίστοιχες διαμέσους ,M EM .

Άρα: B

M ME2

.

α. ii) Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AB , οπότε και το τρίτο ύψος

θα διέρχεται από το σημείο H . Δηλαδή, AH B .

Page 12: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 12

Τα τρίγωνα , AH AZ είναι ισογώνια, επειδή είναι

ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία 1A .

Άρα: ˆAH.

γ) Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του

τριγώνου . (Πόρισμα του σχολικού

βιβλίου).

ΘΕΜΑ 2806

Δύο κύκλοι ( , ),( , )K R τέμνονται στα σημεία A , B . Αν και είναι τα

αντιδιαμετρικά σημεία του A στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:

α) 0AB 90 (Μονάδες 5 )

β) Τα σημεία , , B είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

γ) Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία , , , K είναι τραπέζιο.

(Μονάδες 10)

Λύση:

α) Στον κύκλο ( , ) η γωνία

είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε

90

.

β) Ομοίως είναι και 0AB 90 (ως

εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο του κύκλου ( ) .

Άρα 0B 180 , δηλαδή τα σημεία , , B είναι

συνευθειακά.

Page 13: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

γ) Τα σημεία ,K είναι τα μέσα των πλευρών , A A αντίστοιχα, του τριγώνου

A . Άρα || K και K2

. Το τετράπλευρο λοιπόν, με κορυφές τα

σημεία , , , K είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, αφού

K).

ΘΕΜΑ 2808

Θεωρούμε παραλληλόγραμμο AB και τις προβολές , , , A B των κορυφών

, , , A B αντίστοιχα, σε μία ευθεία ( ) .

α) Αν η ευθεία ( ) αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο

ημιεπίπεδο και είναι 3, 2, 5 AA BB , τότε:

i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου O του παραλληλογράμμου από

την ευθεία ( ) είναι ίση με 4 . (Μονάδες 8 )

ii) Να βρείτε την απόσταση . (Μονάδες 9 )

β) Αν η ευθεία ( ) διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι

παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις

, , , AA BB ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8 )

Λύση:

α. i) Έστω ' η προβολή του O στην ευθεία ( ) .

Το τετράπλευρο AA είναι τραπέζιο

(δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο γιατί

AA ) και ΄ είναι η διάμεσός του

(Αφού είναι το μέσο του A και

|| || OO AA ). Άρα:AA 3 5

OO2 2

4 OO

α. ii) Ομοίως το τετράπλευρο BB είναι

Page 14: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

τραπέζιο και OO΄ είναι η διάμεσός του. Άρα: BB΄ 2

OO΄ 42 2

6 .

β) Οι αποστάσεις είναι ίσες.

Πράγματι, η ευθεία ( ) διέρχεται από το

κέντρο του παραλληλογράμμου

και έστω ότι είναι παράλληλη στις

,AB . Άρα θα είναι η μεσοπαράλληλή

τους, οπότε θα ισαπέχει από αυτές, άρα και

από τις κορυφές του

παραλληλογράμμου.

ΘΕΜΑ 2810

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο AB που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με

κέντρο O και ακτίνα . Τα τμήματα Z και είναι τα εφαπτόμενα τμήματα

του κύκλου στα σημεία και B αντίστοιχα. Αν το τμήμα H είναι κάθετο στο

τμήμα στο Z , να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7 )

β) Το τετράπλευρο A ZB είναι ρόμβος. (Μονάδες 8 )

γ) Το τετράπλευρο B H είναι τραπέζιο με B BZ και 2 H B .

(Μονάδες 10)

Λύση:

α) 0ˆB Z BZ 60 (είναι γωνίες χορδής και

εφαπτομένης ίσες με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη 0A 60 ). Επομένως το

τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο.

β) Τα τρίγωνα AB και ZB είναι ισόπλευρα, οπότε όλες οι πλευρές του

τετραπλεύρου A ZB είναι ίσες μεταξύ

Page 15: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

τους, άρα είναι ρόμβος.

γ) AZ B (ως διαγώνιες ρόμβου) και AZ H

(από υπόθεση). Άρα || B H , δηλαδή το

τετράπλευρο B H είναι τραπέζιο, αφού οι

, B H τέμνονται στο σημείο A . Αν M είναι το

σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου A ZB,

τότε θα είναι το μέσο της B , άρα τα σημεία

,B είναι τα μέσα των πλευρών ,A AH

αντίστοιχα, του τριγώνου A H . Επομένως:

2 H B και B AB A BZ .

Σημείωση

Το κέντρο O του κύκλου και η ακτίνα που δίνονται στην εκφώνηση, και το

σημείο E που δίνεται στο σχήμα, δεν χρησιμεύουν πουθενά.

ΘΕΜΑ 3691

Οι κύκλοι ( , )K και ( ,3 ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A . Μία ευθεία

εφάπτεται εξωτερικά και στους δυο κύκλους στα σημεία B και αντίστοιχα

και τέμνει την προέκταση της διακέντρου K στο σημείο E . Φέρουμε από το

σημείο K παράλληλο τμήμα στην που τέμνει το τμήμα στο .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο B K είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ K είναι 30o . (Μονάδες 8)

γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα 6E , όπου η ακτίνα του κύκλου ( , )K .

(Μονάδες 8)

Λύση:

α) Αφού είναι κοινή εφαπτομένη έχω BK και .

Page 16: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

Άρα B και ˆ ˆ90 oB .

Είναι K (υπόθεση )και ,

άρα K δηλ. ˆ 90 o .

Τότε το τετράπλευρο B K είναι

ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές

γωνίες.

β) Λόγω του α) BK ως απέναντι πλευρές

ορθογωνίου. Έτσι, 3 2 . Τότε στο

ορθογώνιο ˆ( 90 ) o τρίγωνο K , 22

K . Άρα

από θεώρημα, 1ˆ 30 o .

γ) Αλλά 2 1ˆ ˆ 30 o ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, των

παραλλήλων K που τέμνονται από E .Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο E ,

2ˆ 30 o . Επομένως 2 6

2

EE .

ΘΕΜΑ 3693

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 90

), και η διχοτόμος του B. Από το

φέρνουμε την κάθετη στην και ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η

ευθεία τέμνει την προέκταση της . Να αποδείξετε ότι:

(α) Το τρίγωνο E είναι ισοσκελές.

(β) Τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα.

(γ) Η ευθεία B είναι μεσοκάθετη των τμημάτων AE και Z .

(δ) Το τετράπλευρο AE Z είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση:

Page 17: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

(α) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB και EB έχουν την υποτείνουσα B κοινή και

AB EB . Άρα είναι ίσα και άρα θα έχουν και BA BE , δηλαδή το τρίγωνο

ABE είναι ισοσκελές.

(β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και BEZ έχουν: BA BE (όπως είδαμε στο (α)

ερώτημα) και την γωνία ABE κοινή. Άρα

είναι ίσα.

(γ) Αφού το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές και

η B είναι διχοτόμος της γωνίας B , άρα η B

είναι μεσοκάθετος του AE , διότι σε κάθε

ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται

από την κορυφή του είναι και διάμεσος και

ύψος.

Επίσης αφού και τα τρίγωνα και BEZ

είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα

έχουμε ότι B BZ και άρα και το τρίγωνο

B Z είναι ισοσκελές με κορυφή το B . Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από

την κορυφή Bθα είναι η μεσοκάθετος του Z .

(δ) Οι ευθείες ,AE Z είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία B. Kαι

εφόσον οι ευθείες ,E ZA τέμνονται (στο ) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο

AE Z είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι:

B BZ και BE BA .

Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : E AZ , οπότε το πιο πάνω

τραπέζιο είναι ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 3694

Δίνεται τρίγωνο ( B ) και η διχοτόμος . Φέρουμε από το B

κάθετη στην που τέμνει την στο E και την πλευρά Aστο H . Αν M

είναι το μέσο της πλευράς Bνα αποδείξετε ότι:

α)Το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)

Page 18: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

β) / / EM H . (Μονάδες 8)

γ) 2

. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Στο τρίγωνο αυτό η AE είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές

β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ABHη AE είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι

μέσο του BH . Έτσι, από το τρίγωνο BH προκύπτει ότι / / EM H .

γ) Είναι 2 2 2

, διότι AH AB , αφού το τρίγωνο ABH

είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα.

ΘΕΜΑ 3695

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του BEκαι που αντιστοιχούν στις πλευρές

A και AB αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:

Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB=A , τότε τα ύψη που

αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.

α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι

ισχύει. (Μονάδες 10)

γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.

Page 19: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

(Μονάδες 5)

Λύση:

α) Αρκεί να δείξουμε ότι BE . Γνωρίζουμε

ότι τα τρίγωνα Bκαι EB είναι ορθογώνια

ˆ E 90 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις

γωνίες Bκαι ̂ ίσες (καθώς το ABείναι

ισοσκελές με βάση B), συνεπώς ικανοποιείται

το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

(υποτείνουσα - οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα

είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία

τους ίσα, άρα BE .

β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση B ,

αν τα ύψη του BE και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ισοσκελές.

Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες Bκαι ̂ ίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα B

και EB είναι ορθογώνια ˆ E 90 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις

πλευρές BE και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας

ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι

ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες Bκαι ̂ ίσες

μεταξύ τους.

γ) Μια διατύπωση: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα

ύψη του είναι ίσα.

ΘΕΜΑ 3696

Δίνεται οξεία γωνία ˆxOy και δύο ομόκεντροι κύκλοι 1( , )O και 2( , )O με

1 2 , που τέμνουν την x στα σημεία K , A και την y στα ,B αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) A BK . (Μονάδες 8)

Page 20: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 20

β) Το τρίγωνο APB είναι ισοσκελές, όπου P το σημείο τομής των Aκαι BK .

(Μονάδες 8)

γ) Η O διχοτομεί την γωνία ˆxOy . (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Συγκρίνω τα τρίγωνα O K B και O A . Έχουν:

1

2

ˆ ˆ

OK O

OB OA OKB OA

O O

(Π-Γ-Π). Άρα,

A BK και 1 2 (1).

β) Συγκρίνω τα τρίγωνα KAP και PB . Έχουν:

2 1

1 2

1 1(*)

AK B

KAP PB

K

(Γ-Π-Γ).

(*) ισχύει λόγω (1), 1 2P P (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου 180o .

Άρα PA PB (2), δηλ. PAB ισοσκελές.

γ) Συγκρίνω τα τρίγωνα OAP και OBP . Έχουν: 2

(2)

OB OA

PA PB OAP OBP

OP

(Π-Π-Π). Άρα, 1 2 δηλ. ΟΡ διχοτόμος ˆxOy .

ΘΕΜΑ 3697

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς

τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για

Page 21: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 21

i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8)

ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Υποθέτουμε ότι , , είναι τα μέσα του

ισοσκελούς τριγώνου ( ) τότε:

E,Z έ A ,B

,Z έ AB,B

ABEZ/ /

2

A

Γ/

Z /2

AB A

EZ Z

. Άρα το είναι ισοσκελές.

β) i. Υποθέτουμε ότι τα , , είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου ,

τότε:

ABEZ/ /

2E,Z A ,BA

,Z έ AB,B Z/ /2

,E έ AB,AB

E / /2

έ

AB A B

EZ Z E

. Άρα το είναι

ισόπλευρο.

Page 22: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 22

ii) Υποθέτουμε ότι τα , , είναι τα

μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς

τριγώνου , A 90 o τότε:

Γνωρίζουμε ότι το σχηματιζόμενο

τρίγωνο είναι ισοσκελές από το

ερώτημα (α), μένει να δείξουμε ότι

είναι ορθογώνιο.

A 90Z AEA ZE# Z 90

ZE A

o

o .

ΘΕΜΑ 3698

Δίνεται τραπέζιο AB με AB , Oˆ ˆA= =90 , 2AB και ˆ ˆ3 B .Από το B

φέρνουμε κάθετη στη που τέμνει την A στο σημείο K και την A στο

E. Επίσης φέρνουμε την AE που τέμνει τη B στο σημείο . Να αποδείξετε

ότι:

α) Oˆ 45 . (Μονάδες 8)

β) B AE . (Μονάδες 9)

γ) 1

K4

. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Αφού AB τότε ˆ ˆ3

ˆ ˆ ˆ180 45

B

o oB ως εντός και

επί τα αυτά μέρη (...).

β) Αφού ˆ ˆ, 90 oBE BEA BE .

Τότε:

Page 23: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 23

Το τετράπλευρο ABE είναι ορθογώνιο αφού και ˆ ˆ 90 oA (τρεις ορθές). Άρα

AE B (διαγώνιες ορθογωνίου ίσες).

Ακόμη , AE B διχοτομούνται. Άρα μέσο του $AE$.

Λόγω του ορθογωνίου ακόμη, E AB (απέναντι πλευρές ορθογωνίου).

Τότε E E .

τρίγωνο BE ορθογώνιο με ?1

ˆ 45 . Άρα ισοσκελές, με BE E .

γ) Έτσι έχουμε AB E . Άρα το τετράπλευρο AB E είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι ,A BE διχοτομούνται. Άρα K μέσο A .

Τότε στο τρίγωνο AE τα ,K είναι μέσα, άρα 2 2 4

EK

.

ΘΕΜΑ 3699

Έστω παραλληλόγραμμο AB . Αν τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των

και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)

β) AE BZ . (Μονάδες 8)

γ) Οι E και τριχοτομούν τη διαγώνιο A του παραλληλογράμμου AB .

(Μονάδες 7)

Λύση:

α) AB|| EB|| Z , οπότε το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Θα δείξω ότι .

Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ,AB που τέμνονται από

την E ) και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ,AB που τέμνονται

από

Page 24: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 24

τη . Άρα , δηλαδή

AE BZ .

γ) Έστω , τα σημεία τομής

της A με τις ,E ZB

αντίστοιχα. Θα δείξω ότι

AM MN N .

Στο τρίγωνο

έχουμε: E είναι το

μέσο της και

/ / . Άρα, M είναι το μέσο της . Οπότε: AM MN .

Στο τρίγωνο M έχουμε: Z είναι το μέσο της και ||ZN M . Άρα, N είναι

το μέσο της M . Οπότε: MN M .

Επομένως, AM MN N .

Β τρόπος

Ας πούμε το μήκος της πλευράς AB 2 , 0 a a τότε προφανώς θα είναι :

AE EB Z Z .

α) το τετράπλευρο EBZ έχει τις

απέναντι πλευρές του Z,EB παράλληλες γιατί από την υπόθεση το

Page 25: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 25

τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης Z EB . Δηλαδή

Z / / EB που μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο EBZ είναι

παραλληλόγραμμο και άρα :

β) E / / ZB , οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες , συνεπώς ZB EB .

Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από: 0 0

1 2 ZB EB 180 ZB 180 EB .

γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην ZBκαι θα κόψει την ευθεία ABστο .

Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ZBείναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει

ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Θα είναι επομένως ίσες, οπότε:

Z B .

Ας είναι τώρα K, τα σημεία τομής της Aμε τις E,ZB αντίστοιχα.

Οι ευθείες E,ZB, είναι παράλληλες και τα τμήματα AE EB B θα

είναι λοιπόν και AK K . Αφού ως γνωστόν:

Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και

κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων

ευθειών είναι ίσα.

ΘΕΜΑ 3700

Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι 30

και το κέντρο του.

Φέρουμε .

α) Να αποδείξετε ότι η γωνία

χωρίζεται από τη και τη διαγώνιο σε

τρείς ίσες γωνίες. (Μονάδες 13)

β) Φέρουμε κάθετη στην στο σημείο η οποία τέμνει την προέκταση της

στο . Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 12)

Λύση:

60

γιατί 90 90 30 60

.

Page 26: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 26

Στο τρίγωνο έχουμε

180 30

.Άρα 60

.

Στο τρίγωνο έχουμε 30

.

Στο τρίγωνο έχουμε 60

.

Άρα 60

(ως κατακορυφήν).

Στο τρίγωνο έχουμε 30

.

Στο τρίγωνο έχουμε (

ισοσκελές ) άρα 30

.

β) Επειδή και 60

τότε

ισόπλευρο .

Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν ,

.

Άρα είναι ίσα.

ΘΕΜΑ 3701

Έστω ότι E,Z είναι τα μέσα των πλευρών AB, παραλληλογράμμου AB

αντίστοιχα.

Αν για το παραλληλόγραμμο AB επιπλέον ισχύει AB A , να εξετάσετε αν

είναι αληθείς ή όχι οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:

Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο.

Ισχυρισμός 2: AE =BZ

Ισχυρισμός 3: Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ,B .

α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον

αποδείξετε. (Μονάδες 16)

β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη

σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

Λύση:

Page 27: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 27

α) Ισχυρισμός 1: Είναι αληθής

αφού : Z/ /EB και Z EB

ως μισά ίσων τμημάτων .

Άρα τετράπλευρο EBZ είναι

παραλληλόγραμμο, αφού έχει

ένα ζεύγος πλευρές ίσες και

παράλληλες .

Ισχυρισμός 2: Είναι αληθής

αφού : AE =EBZ (εντός ,εκτός και επί τα αυτά των E//BZ ) , EBZ=BZ (εντός

εναλλάξ των / /AB ) .

Επομένως : AE =BZ .

Ισχυρισμός 3: Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ,B .

Αν υποτεθεί ότι αυτό συμβαίνει , τότε 1 2ˆ ˆ AE ,οπότε το τρίγωνο AE θα

είναι ισοσκελές , άρα 1

A AE AB2

.

Η τελευταία σχέση , εφόσον A AB μπορεί να είναι είτε αληθής , είτε ψευδής.

Άρα ο ισχυρισμός ότι Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ,B

είναι άλλοτε αληθής κι άλλοτε ψευδής . Ομοίως για την BZ

β) Ισχυρισμός 3: Ο ισχυρισμός είναι αληθής εφόσον , όπως είδαμε στο (α) ,

ισχύει : 1

A AB2

.

ΘΕΜΑ 3704

Έστω 1 2,( ) ( ) δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ

του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες.

α) Αν 1M είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την 1( ) και 2M το συμμετρικό του

1M ως προς την 2( ) , να αποδείξετε ότι:

i. 1OM OM .

Page 28: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 28

ii. Τα σημεία Μ, Ο και 2M είναι συνευθειακά.

iii. Το τρίγωνο 1 2MM M είναι ορθογώνιο.

β) Αν 3M είναι το συμμετρικό σημείο του 2M ως προς την 1( ) , τι είδους

παραλληλόγραμμο είναι το 1 2 3MM M M ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση:

(α) (i) Αφού η 1( ) είναι μεσοκάθετος του

1MM , (λόγω της συμμετρίας) , θα έχουμε

1OM OM .

(ii) Αφού και η 2( ) είναι μεσοκάθετος της

1 2M M άρα και το τρίγωνο 1 2OM M είναι

ισοσκελές. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα

1OMM και 1 2OM M είναι ισοσκελή, άρα τα

ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των

γωνιών των κορυφών τους. Άρα 1 2O O

και 3 4O O . Όμως 2 3 2 390 2 2 180 o oO O O O

1 1 2 2180 180 o oMOM M OM MOM .

Άρα τα σημεία 2, ,M O M είναι συνευθειακά.

(iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω , είναι

2 1 M O OM OM . Άρα στο τρίγωνο 2MOM η διάμεσος 1M O ισούται με το μισό

της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με

1 2 90 oMM M .

(β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ii) δείχνουμε ότι τα σημεία 3 1, ,M O M είναι

επίσης συνευθειακά και ότι το τρίγωνο 2 3OM M είναι και αυτό ισοσκελές.

Page 29: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 29

Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα

προηγούμενα, θα έχουμε: 3 2 1 OM OM OM OM . Συνεπώς στο τετράπλευρο

1 2 3MM M M οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το

τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 3705

Δίνεται ορθογώνιο AB και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα

τρίγωνα , , , ABE B Z H A .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 15)

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τι είδους

παραλληλόγραμμο είναι το EZH ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

Λύση:

α) 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆH 360 A A H 360 60 90 60 0ˆH 150 .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι: 0ˆAE ZBE Z H 150 .

Έχουμε ακόμα: H AE EB H και A BZ Z .

Άρα τα τρίγωνα , , , H A E BZE ZH είναι ίσα (Π-Γ-Π).

Οπότε, EZ ZH H E . Δηλαδή

το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος.

Page 30: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 30

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο,

τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος

θα είναι ισοσκελή, οπότε 0ˆ ˆH A E 15 .

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆH E H A A E 15 60 15 H E 90 .

Άρα το EZH είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος

με μία γωνία ορθή.

ΘΕΜΑ 3706

Θεωρούμε ευθεία ( ) και δυο σημεία A και B εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται

στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι

κάθετη στην ( ) . Έστω ΄ και ΄ τα συμμετρικά σημεία των A και B

αντίστοιχα ως προς την ευθεία ( ) .

α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο K , να

αποδείξετε ότι το K ανήκει και στη μεσοκάθετο του ΄ ΄ .

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΄ ΄ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)

Page 31: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 31

γ) Να βρείτε την σχέση των ευθειών και της ευθείας ( ) ώστε το

τετράπλευρο

΄ ΄ να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Τα συμμετρικά των , , ως προς ( ) είναι

τα ,́ ,́ . Άρα , KA KA KB KB AB A B .

Αλλά ( ) μεσοκάθετος του . Άρα KA KB.

Επομένως KA KB . Συνεπώς K ανήκει στη

μεσοκάθετο του ΄ ΄ .

β) Από ορισμό συμμετρίας, έχω ότι AA και

BB . Άρα / / (1) AA BB .

1η περίπτωση:

Αν AB A B τότε εξ ορισμού ΄ ΄ είναι τραπέζιο.

(και μάλιστα ισοσκελές αφού AB AB ).

2η περίπτωση:

Αν AB A B τότε εξ ορισμού ΄ ΄ είναι

παραλληλόγραμμο.

Άρα 2 2

AA BBAA BB .Έτσι AM BN . Συνεπώς το

ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι AA .

Τότε, AB AA . Επομένως το ΄ ΄ είναι

ορθογώνιο.

γ) Όπως προκύπτει από το β) , πρέπει A / /( ) .

Page 32: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 32

Όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση τα ερωτήματα β) , γ) δεν είναι

σωστά.(ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ).

ΘΕΜΑ 3708

Δίνεται τραπέζιο ( / / ) με τη γωνία

ίση με 30ο και έστω , τα

μέσα των διαγωνίων του. Οι μη παράλληλες πλευρές του και

προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι:

α) 2 (Μονάδες 10)

β) (Μονάδες 10)

γ) Σε ποια περίπτωση το είναι παραλληλόγραμμο; Να αιτιολογήσετε την

απάντηση σας. (Μονάδες 5)

Λύση:

Επειδή AB/ / θα είναι 01

ˆ 30 .

Ας πούμε AB , ,K ,A AEa b x y u .

α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB επειδή η κάθετη πλευρά AE βρίσκεται

απέναντι των 030 θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή AB 2AE

ή 2 (1)a u .

β) Με όμοιο τρόπο από το ορθογώνιο τρίγωνο E προκύπτει : 2AE ή

2( ) (2)b y u .

Page 33: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 33

Από τις (1) και (2) έχουμε : AB 2( ) 2 2 (3)b a y u u y .

Όμως για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγώνιων τραπεζίου

ξέρουμε ότι είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την (θετική)

ημιδιαφορά τους.

Δηλαδή και λόγω της (3), 2

K A2 2

b a yx y

.

γ) Το AB K είναι παραλληλόγραμμο όταν a y δηλαδή όταν .

εναλλακτικά :

Έστω τώρα ότι το AB K είναι παραλληλόγραμμο . Τότε AB / / K και άρα

a x a y ( λόγω του β ερωτήματος) . Μα τότε το τρίγωνο A B θα είναι

ισοσκελές με κορυφή το A και άρα 2 4 . Όμως 2 3 ως εντός εναλλάξ

των παραλλήλων AB που τέμνονται από την B . Έτσι και λόγω

μεταβατικότητας 3 4 . Δηλαδή η B διχοτόμος της γωνίας των 060 του

ορθογωνίου τριγώνου E .

Κάποιες παρατηρήσεις που προφανώς δεν υποχρεούται ο μαθητής να τις

γράψει .Η όλη κατασκευή του σχήματος ακολουθεί την παρακάτω πορεία .

Page 34: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 34

Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα γράφουμε ημικύκλιο . Ο κύκλος κέντρου

και ακτίνας τέμνει το ημικύκλιο στο E. Από τυχαίο σημείο B του E

φέρνουμε παράλληλη στην και τέμνει την E στο A .

Στην περίπτωση που το AB K είναι παραλληλόγραμμο το σημείο B επιλέγεται

ως τομή της E με τη μεσοκάθετο του B .

ΘΕΜΑ 3709

Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB/ /CDκαι oC 30

. Αν ,K Lτα μέσα των διαγωνίων

,BD AC αντίστοιχα και αν οι πλευρές ,DA CB προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα

στο E να αποδειχθεί ότι:

i) 2 .

ii) L AD .

iii) Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο ABKL είναι παραλληλόγραμμο;

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Λύση:

i) 30DCB ABE ως εντός εναλλάξ. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE

η πλευρά AE βρίσκεται απέναντι από

γωνία 30 κι έτσι είναι ίση με το μισό

της υποτείνουσας που είναι η AB .

Τελικά 22

ABAE AB AE .

ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο CDE η

πλευρά DE βρίσκεται απέναντι από γωνία 30 άρα2

CDDE .

Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με

την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή

)

2 2 2

iCD AB CD ABKL DE AE AD

όπως θέλαμε.

Page 35: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 35

iii) Η KL γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην ABθα πρέπει όμως να είναι και

ίση με αυτήν δηλαδή )ii

KL AB AD AB .

Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν AD AB .

ΘΕΜΑ 3711

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AB , A 90 και το ύψος του . Έστω

και E τα συμμετρικά σημεία του H ως προς τις ευθείες και Aαντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ό τι:

I. AH A AE . (Μονάδες 6)

II. Το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)

III. Τα σημεία , και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6)

β) Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω

από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

ΣΧΟΛΙΟ

Ζητείται πρώτα να δειχτεί ότι

το τρίγωνο EH είναι

ορθογώνιο και κατόπιν (!)

ότι Τα σημεία , και

είναι συνευθειακά.

Εδώ, προφανώς είναι λάθος η

σειρά των ερωτημάτων.

Αν ένας μαθητής δεν

αποδείξει πρώτα το (ΙΙΙ), θα

έχει κάνει λάθος, αν θεωρήσει

(αναπόδεικτα) ότι η E

διέρχεται από το A .

Page 36: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 36

Αν ένας μαθητής φέρει τη E , δίχως να περνά από το A θα πελαγώσει...

Δίνω μια λύση, παρατηρώντας ότι το ερώτημα (β) θα μπορούσε να απαντηθεί

ευκολότερα αν χρησιμοποιούνταν ομοιότητα τριγώνων ή Μετρικές σχέσεις

(ύλη Β΄ Λυκείου).

Αναρωτιέμαι αν υπάρχει λύση δίχως Απαγωγή σε άτοπο.

Λύση:

α) Ι)Λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A, B , είναι

A AH . Ομοίως, λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα

A, , είναι AE AH .

ΙΙΙ) Λόγω συμμετρίας είναι 1 2 3 4A A , A A και αφού 2 3A A 90 , θα είναι

1 2 3 4A A A A 180 , οπότε τα E, A, είναι συνευθειακά.

ΙΙ) Αφού στο τρίγωνο EH η διάμεσός του HAείναι το μισό της πλευράς E ,

θα είναι H 90 .

β) Για να ήταν με ακρίβεια διατυπωμένη η εκφώνηση, θα έπρεπε να

αναφέρεται: "Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι σε κάθε περίπτωση ίσα;"

Είναι ˆ ˆB , E αφού έχουν πλευρές κάθετες. Για να είναι ίσα, αρκεί να

έχουν ίσες υποτείνουσες, δηλαδή αρκεί να είναι B

AH2

.

Αν M μέσο της B , διαφορετικό σημείο από το H , είναι B

AM2

. Επειδή το

είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM , είναι αδύνατο να είναι AH AM .

Οπότε, τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα, μόνο όταν το ABείναι και

ισοσκελές.

Page 37: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 37

ΘΕΜΑ 3713

Δίνεται τρίγωνο με 2

και η διχοτόμος της γωνίας

. Από το

μέσο M της A φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο B που τέμνει την πλευρά

B στο N . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)

β) Το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)

γ) AN B . (Μονάδες 10)

Λύση:

α) ˆ

ˆ2

B

B , οπότε το τρίγωνο B είναι ισοσκελές με B .

β) ˆ MN B , γιατί οι γωνίες , MN B είναι εντός εκτός και επί τα αυτά

των παραλλήλων B , .

Άρα το τρίγωνο MN είναι

ισοσκελές με .

γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο

έχουμε 2

AMN M .

Δηλαδή η διάμεσος του

τριγώνου A N ισούται με το

μισό της πλευράς που

αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο

A N είναι ορθογώνιο με AN N AN B .

ΘΕΜΑ 3714

Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και , το καθένα ίσο με 120 .

Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

Page 38: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 38

α) Το τρίγωνοείναι ισόπλευρο.

β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.

γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και .

Λύση:

α) Είναι 60 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 120 .

Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες 60 .

β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν:

ως χορδές με ίσα

αντίστοιχα τόξα 60 ,

30 1 και

30 2 ως

εγγεγραμμένες σε τόξα 60 .

Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από

δύο γωνίες ίσες με 30 τότε οι

τρίτες γωνίες τους είναι:

180 2 30 120 .

γ) Τα τρίγωνα και είναι

ισοσκελή αφού έχουν από δύο

γωνίες ίσες (β ερώτημα) έτσι είναι:

3 και 4 .

Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και 4 .

Το τρίγωνο έχει και 60 από το ισόπλευρο τρίγωνο , οπότε

5 άρα το είναι και αυτό ισόπλευρο.

Page 39: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 39

Έτσι από τις σχέσεις 3 , 4 , 5 δηλαδή η χορδή

τριχοτομείται από τις χορδές και .

ΘΕΜΑ 3715

Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις 1 και 2 :

1 : Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι

πλευρών του είναι ίσες.

2 : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι

ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως

την απάντησή σας. (Μονάδες 20)

β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως

μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) Έστω παραλληλόγραμμο AB και , οι αποστάσεις των απέναντι

πλευρών του.

1 : Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

Τα τρίγωνα , ABE B Z είναι ίσα επειδή είναι

ορθογώνια, AB B (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και

ˆA(απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα

BE BZ , οπότε η πρόταση ισχύει.

2 : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του

παραλληλογράμμου είναι ίσες.

Τα τρίγωνα , ABE B Z είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια,

BE BZ (από υπόθεση) και ˆA(απέναντι γωνίες

παραλληλογράμμου). Άρα AB B . Δηλαδή το

Page 40: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 40

παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα

είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει.

β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των

απέναντι πλευρών του είναι ίσες.

ΘΕΜΑ 3717

Δίνεται τρίγωνο και Έστω , τα μέσα των πλευρών του και

αντίστοιχα.

α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και , τα

συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι / / .

β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , και , τα

συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία

, και είναι συνευθειακά.

Λύση:

α) Αφού τα , είναι τα

μέσα των πλευρών και

του τριγώνου θα

ισχύει / / 1 και

22

.

Τα , είναι και τα μέσα

των πλευρών και του

τριγώνου έτσι / / 3 και 42

.

Από 1 , 3 / / .

Page 41: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 41

β) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε:

Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / 52

.

Το είναι παραλληλόγραμμο

αφού / / / /2

επειδή το ενώνει τα μέσα δύο

πλευρών του τριγώνου .

Άρα / / 6 .

Από 5 , 6 / / / / .

Ομοίως / / / / .

Άρα τα σημεία , και είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια

παράλληλη διέρχεται προς το .

ΘΕΜΑ 3718

Το τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε

AZ και AE B . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

β) Η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος . (Μονάδες 9)

γ) Αν και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι

το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ZA και AEB:

Είναι ορθογώνια καθώς Z E 90 o έχουν ίσες υποτείνουσες A ,AB (πλευρές

ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες ˆ ,B (απέναντι παραλληλογράμμου) ,άρα

είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα AZ AE και το

τρίγωνο ZAE είναι ισοσκελές.

β) Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του

τμήματος ZE .

Page 42: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 42

Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει Z Z B BE E , άρα το

σημείο ισαπέχει από τα

άκρα του τμήματος ZE .

Ομοίως το σημείο A

ισαπέχει από τα άκρα

του τμήματος ZE , άρα

τα σημεία A, ανήκουν

στην μεσοκάθετο ευθεία

του τμήματος ZE .

γ) Τα σημεία M,N είναι

μέσα υποτεινουσών των

ίσων τριγώνων ZA και AEB, άρα οι διάμεσοι ZM,EN θα είναι ίσες μεταξύ

τους. Μένει να δείξουμε ότι MN/ /ZE .

Στο τρίγωνο AB :

Τα M,N είναι μέσα των πλευρών Aκαι ABαντίστοιχα, συνεπώς: MN/ / B .

Από το ερώτημα β) ZE A

ZE / / BA B

.

Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι MN/ /ZE .

Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ZM,ENδεν είναι

παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες , είναι

η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών.

Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου;

ΘΕΜΑ 3720

Δίνεται ρόμβος AB με 0ˆ 120 . Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του

σημείου A στις πλευρές και B αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι:

Page 43: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 43

i) Τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. (Μονάδες 8)

ii) A EZ . (Μονάδες 8)

β) Αν M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν

τις γωνίες του. Άρα 0ˆ ˆA A B 60 .

Τα τρίγωνα λοιπόν , A A B , ως

ισοσκελή με μία γωνία 060 , θα είναι

ισόπλευρα. Άρα τα ύψη ,

θα είναι και διάμεσοι.

Οπότε, τα σημεία E και Z

είναι τα μέσα των και B

αντίστοιχα.

α. ii) ||EZ B (Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος).

Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι A EZ .

β) B

MN||2

( M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα). Αλλά και

BEZ||

2

. Οπότε MN|| EZ , δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει

πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως A B , θα

είναι και EZ EM .

Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 3721

Στο ισοσκελές τρίγωνο AB ( ) AB A φέρουμε τις διαμέσους B και E . Μία

ευθεία παράλληλη στη βάση B τέμνει τις πλευρές και A στα Z και H

αντίστοιχα και τις διαμέσους B και E στα σημεία και K αντίστοιχα.

Page 44: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 44

Να αποδείξετε ότι:

α) BZ H . (Μονάδες 8)

β) τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα. (Μονάδες 9)

γ) ZK H . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Αφού B και ,BZ H τέμνονται στο Α,

το τετράπλευρο ZH B είναι τραπέζιο.

Αφού τρίγωνο AB ισοσκελές, τότε ˆ ˆB .

Συνεπώς ZH B είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Επομένως (1)BZ H .

β) 1 2

2ˆ ˆ (2)

ˆ ˆ

AE A

A AB AE A B

A A

Αφού B και ˆ ˆB τότε 1 2ˆ ˆ (3)Z H (ως παραπληρώματα ίσων γωνιών-εντός

και επί τα αυτά μέρη γωνίες).

Από (1),(2),(3) και το κριτήριο ( ) , τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα.

γ) Συνεπώς Z KH . Άρα ZK Z K KH K H .

ΘΕΜΑ 3722

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με και . Να αποδείξτε ότι:

α) Το τρίγωνοείναι ισοσκελές.

β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα.

Page 45: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 45

γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του είναι

ορθογώνιο.

Λύση:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή έτσι 1 .

, 1

οπότε το τρίγωνο είναι

ισοσκελές με 2 .

β) Επειδή και τα σημεία , ισαπέχουν από τα άκρα της

οπότε η είναι η μεσοκάθετος της δηλαδή .

γ) Αν , , , τα μέσα των , , , αντίστοιχα το τετράπλευρο

είναι παραλληλόγραμμο (γνωστή εφαρμογή).

Είναι / / και / / αφού τα , ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των

τριγώνων και αντίστοιχα, έτσι 90 ως παράλληλες σε

κάθετες ευθείες. Άρα το είναι ορθογώνιο.

ΘΕΜΑ 3723

Στο κυρτό εξάγωνο AB EZ ισχύουν τα εξής: ˆˆ , ˆˆ και ˆˆ .

Page 46: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 46

(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ˆ ˆ ˆ . (8 Μονάδες)

(β) Αν οι πλευρές και E προεκτεινόμενες τέμνονται στο H και οι πλευρές

και προεκτεινόμενες τέμνονται στο , να αποδείξετε ότι:

(i.) Οι γωνίες A και H είναι παραπληρωματικές. (10 Μονάδες)

(ii.) Το τετράπλευρο A H είναι παραλληλόγραμμο. (7 Μονάδες)

Λύση:

(α) Οι γωνίες κυρτού εξαγώνου έχουν άθροισμα 2·6 4 8 ορθές, δηλ.

8·90 720 . Αφού ˆˆ , ˆˆ και ˆˆ , είναι 720

ˆ ˆ ˆ 360 .2

(β) (i) Είναι

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ(180 ) A H HZE HEZ HEZ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(180 ) 180 180 360 180 180

2ος τρόπος

Το κυρτό πεντάγωνο AB H έχει άθροισμα γωνιών 2·5 4 6 ορθές, δηλ.

6·90 540 . Συνεπώς, ˆ ˆˆ ˆ ˆ 540 , H κι άρα

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ540 ( ) 540 360 180 . H

Αφού ˆ̂ A, έπεται ότι και ˆ ˆ 180 A H .

Page 47: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 47

(ii) Από το προηγούμενο υποερώτημα είναι / / A H . Επίσης,

ˆˆ ˆ ˆ 180 , H A H κι άρα / /AH .

Συνεπώς, οι απέναντι πλευρές του A H είναι παράλληλες, κι άρα είναι

παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 3724

Δίνεται κύκλος (O, )R με διάμετρο AB και δυο ευθείες 1 2, εφαπτόμενες του

κύκλου στα άκρα της διαμέτρου AB. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία εφάπτεται

του κύκλου σε ένα σημείο του Eκαι τέμνει τις 1 2, στα , αντίστοιχα.

α) Αν το σημείο Eδεν είναι το μέσο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι:

i. Το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο.

ii. A B .

β) Αν το σημείο E βρίσκεται στο μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο A B είναι ορθογώνιο.

Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου A B ως

συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου.

Λύση:

Page 48: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 48

α) i) Είναι A / / B ως κάθετες στην AB. Ακόμα ηδεν είναι παράλληλη στην

AB , διότι σε αντίθετη περίπτωση το AB θα ήταν παραλληλόγραμμο με μία

ορθή , άρα ορθογώνιο .

Τότε η EOως κάθετη στηνθα είναι κάθετη στην AB.

Τότε τα AOE ,BOE είναι τετράγωνα , οπότε το E θα ήταν μέσον της , που

είναι άτοπο .

ii) Αφού τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα, έχουμε: A B E E .

β) Απαντήθηκε στο α (i) ότι είναι ορθογώνιο. Η περίμετρός του είναι 6R .

ΘΕΜΑ 3725

Στο τετράγωνο ονομάζουμε το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο

σημείο του τμήματος . Φέρνουμε την κάθετη από το στην , που

τέμνει το τμήμα στο .

Να αποδείξετε ότι:

α) Οι γωνίες και του παρακάτω σχήματος είναι ίσες.

β) και .

γ) Το τμήμα είναι κάθετο στο .

Λύση:

α) Είναι ως οξείες με κάθετες πλευρές , .

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν και

ως μισά των ίσων διαγωνίων , του τετραγώνου.

Έτσι είναι και .

Τα και είναι ίσα από γιατί έχουν :

ως πλευρές του τετραγώνου,

Page 49: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 49

από (α) ερώτημα και

ως αθροίσματα των ίσων

γωνιών και με 45.

Οπότε .

γ) Στο τρίγωνο τα τμήματα

, είναι ύψη του που τέμνονται

στο , δηλαδή το είναι το

ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα και το

είναι το τρίτο ύψος του δηλαδή το

είναι κάθετο στο .

ΘΕΜΑ 3726

Θεωρούμε δύο σημεία A και B τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς

μια ευθεία ( ) τέτοια ώστε η ευθεία AB δεν είναι κάθετη στην ( ) . Έστω /A το

συμμετρικό του A ως προς την ευθεία ( ) .

(α) Αν η /A B τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο O , να αποδείξετε ότι:

(i) Η ευθεία ( ) διχοτομεί την γωνία /AOA .

(ii) Οι ημιευθείες OA και OB σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία ( ) .

(β) Αν K είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία ( ) να αποδείξετε ότι:

(i) KA KA΄ .

(ii) KA KB AO OB .

Λύση:

(α) (i) Αφού το A΄ είναι το συμμετρικό του A ως προς την ( ) , η ( ) είναι

μεσοκάθετος του AA΄και άρα OA OA΄ , οπότε το τρίγωνο AOA΄ είναι

Page 50: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 50

ισοσκελές . Άρα το ύψος του

OE είναι και διχοτόμος της

γωνίας της κορυφής του,

δηλαδή η ( ) διχοτομεί την

γωνία AOA΄ .

(ii) Έχουμε AOE EOA΄ , όπως

δείξαμε στο (i) και

BOK EOA΄ , ως

κατακορυφήν. Άρα

EOA BOK .

(β) (i) Αφού είδαμε ότι η ευθεία ( ) είναι μεσοκάθετος του AA΄ , θα είναι και

KA K ΄ .

(ii) Έχουμε: KA KB KA΄ KB BA΄ λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο

τρίγωνο KBA΄ . Συνεπώς: KA KB BA΄ BO OA΄ BO OA .

Β τρόπος

α) i. Επειδή τα και ' είναι συμμετρικά ως προς την η ευθεία είναι

μεσοκάθετος του '

οπότε ' 1 και

το τρίγωνο ' είναι

ισοσκελές.

Έτσι η μεσοκάθετος του

τριγώνου είναι και

διχοτόμος της γωνίας της

κορυφής δηλαδή της ' .

Page 51: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 51

ii. Αν είναι το σημείο τομής του ' με την , η οξεία γωνία που

σχηματίζει η ημιευθεία με την και η οξεία γωνία της με την ,

τότε: ' 2 αφού η μεσοκάθετος του ισοσκελούς τριγώνου

' ' είναι και διχοτόμος.

Όμως 2

' ως κατακορυφήν.

β) i. Αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος ' θα ισχύει

3΄ .

ii. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ' ισχύει:

3 1

4 ΄ ΄ ΄ .

Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο είναι: 5 .

Από 4 , 5 (μεταβατική ιδιότητα).

ΘΕΜΑ 3727

Στο τετράγωνοπροεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα και

την πλευρά κατά τμήμα .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) .

ii) .

β) Αν το συμμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία , να αποδείξετε

ότι το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Page 52: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 52

Λύση:

α) i. Έστω είναι η πλευρά του τετραγώνου .

Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:

και 2 .

Άρα και 1 ,

2 .

ii. Είναι 3

ως εντός εναλλάξ των

παραλλήλων , που

τέμνονται από τη .

90

.

β) Αν είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του , τότε το τμήμα

είναι μεσοκάθετος του , αφού το το συμμετρικό σημείο του ως προς

.

Άρα 4 και 5 .

1

4 , 5 .

Page 53: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 53

Οπότε το είναι τετράγωνο αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες, κάθετες

διαγώνιες και μία ορθή γωνία 90 .

ΘΕΜΑ 3728

Έστω ότι ο κύκλος ( , )O εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου P E στα

σημεία ,A και B .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. P AP. (Μονάδες 6)

ii. P PE E . (Μονάδες 8)

β) Αν A BE , να αποδείξετε ότι

i. το τρίγωνο P E είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

ii. Τα σημεία , και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5)

Λύση:

α. i) Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα σε

κύκλο από ένα σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα,

θα είναι: , PA PB A και E EB.

Οπότε: P PA A PA .

α. ii) P AP PB PE BE PE E

β. i) A BE

P PA A PB BE P PE

. Άρα το

τρίγωνο P E είναι ισοσκελές.

β. ii) Είναι O E (ακτίνα κάθετη στην

εφαπτομένη στο σημείο επαφής). Επειδή όμως

ο κύκλος ( , )O είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος

του τριγώνου P E και το τρίγωνο είναι

ισοσκελές, η διχοτόμος από την κορυφή A

διέρχεται από το σημείο O και είναι και

ύψος. Δηλαδή, PO E .

Από το σημείο όμως, υπάρχει μόνο μία

κάθετη στη E . Άρα, τα σημεία , και είναι συνευθειακά.

ΘΕΜΑ 3729

Θεωρούμε κύκλο κέντρου και εξωτερικό σημείο του . Από το φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήμα και . Η διακεντρική ευθεία τέμνει τον κύκλο

Page 54: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 54

στο σημείο . Η εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τα και στα σημεία

και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)

β) . (Μονάδες 8)

γ) η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με . (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Αρκεί να δείξουμε ότι P P .

Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική

ευθεία POδιχοτομεί την γωνία APB

που σχηματίστηκε από τα

εφαπτόμενα τμήματα PAκαι PB.

Συνεπώς : APO BPO .

Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα P

και P διαπιστώνουμε ότι είναι

ορθογώνια ˆ 90 o έχουν κοινή

κάθετη πλευρά P και όπως δείξαμε

πριν έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες

APO BPO . Συνεπώς είναι ίσα

τρίγωνα , άρα έχουν όλα τα

στοιχεία τους ίσα, θα είναι λοιπόν

P P .

β) Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα

τμήματα που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα PA PB συνεπώς

συνδυάζοντας και το συμπέρασμα του προηγούμενου ερωτήματος:

A PA P PB P B .

γ) Τα σημεία , είναι εξωτερικά του κύκλου και τα τμήματα A, και

, B είναι εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από αυτά, άρα ίσα μεταξύ τους.

Έχουμε:

A, B

P P P P P A B P PA PB

.

ΘΕΜΑ 3732

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB και το ύψος του A . Στο A θεωρούμε σημείο

H τέτοιο ώστε HA HB .Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της με την A .

Φέρνουμε την κάθετη στην , η οποία τέμνει την πλευρά B στο .

Page 55: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 55

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα τρίγωνα H Bκαι είναι ίσα. (Μονάδες 6)

ii) Z . (Μονάδες 6)

iii) Η ευθεία H είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 6)

β)Ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) i)Τα τρίγωνα H B και είναι ίσα,

επειδή είναι ορθογώνια και έχουν HB HA

(από υπόθεση) και BH AHZ

(ως κατακορυφήν).

α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του

ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι

H HZ . Άρα η H είναι

διχοτόμος της γωνίας ˆA B ( Το

σημείο H ισαπέχει από τις

πλευρές της). Επομένως τα

ορθογώνια τρίγωνα H και

ZH είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και ˆ ˆH H Z ). Άρα Z .

α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα

B AZ .

B B AZ Z B A , οπότε το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές.

Άρα η H που διχοτομεί τη γωνία ˆA B , θα είναι μεσοκάθετος της .

α) Στο τρίγωνο , τα ύψη , AZ B τέμνονται στο σημείο , που είναι και το

ορθόκεντρο του τριγώνου.

Page 56: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 56

ΘΕΜΑ 3734

Σε ισοσκελές τραπέζιο ( / / ) είναι .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 7)

β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου , ώστε το τετράπλευρο να

είναι ρόμβος. (Μονάδες

10)

γ) Αν επιπλέον είναι γωνία 120

και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται

στο σημείο , να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου .

(Μονάδες 8)

Λύση:

α) Γνωρίζουμε ότι AB A άρα

το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές

, συνεπώς A B AB .

Τα ευθύγραμμα τμήματα AB,

είναι παράλληλα και τέμνονται

από την B , άρα οι γωνίες

AB , B είναι ίσες μεταξύ

τους ως εντός εναλλάξ. Από τα

προηγούμενα προκύπτει ότι

A B B

που οδηγεί στο

συμπέρασμα.

β) Γράφουμε κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα A , έστω E το

σημείο τομής του με την πλευρά

, θα δείξουμε ότι το

τετράπλευρο ABEείναι ρόμβος.

Το ευθύγραμμα τμήματα AB,

Page 57: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 57

είναι παράλληλα (παράλληλες πλευρές τραπεζίου) , άρα θα είναι και τα

τμήματα AB και E παράλληλα, επιπλέον AB A E ,συνεπώς είναι ίσα ,

δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι

πλευρές του A ,BE θα είναι ίσες ,άρα ισχύει: AB A E BE και το

τετράπλευρο είναι ρόμβος.

γ) Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο EB είναι ισόπλευρο.

Πράγματι είναι

ισοσκελές καθώς:

B A BE , οι

γωνίες AB και EB

είναι ίσες ως απέναντι

γωνίες

παραλληλογράμμου

και η BE είναι

παραπληρωματική της

EB , άρα ίση με 60o , συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 60o

είναι ισόπλευρο.

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και

διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός

παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές.

Άρα: O 90 o .

01 1OB ABE EB 60 60 90

2 2 o o ,

B E 60 o ,

1 1

EO EB BE 60 120 1202 2

o o o .

ΘΕΜΑ 3735

Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB<ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας

A.

α) Να αποδείξετε ότι:

Page 58: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 58

i. A

1802 2

, όπου A

και

παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες

των , A

,

αντίστοιχα. (Μονάδες

10)

ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A

τέμνει την προέκταση της πλευράς

(προς το μέρος του ) σε σημείο . (Μονάδες 8)

β) Αν το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο στο A

και 15

, να αποδείξετε ότι

BΓ=2ΑΒ. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) i) A

180 1802 2 2

.

ii) B

xAB B B 180 1802 2

,

γιατί AB<ΑΓ 02

,

οπότε αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη των x και που τέμνονται από

την έχουν άθροισμα μικρότερο των 180 η x και η θα τέμνονται στο

ημιεπίπεδο της που δεν περιέχει το .

300

600

450

450

150

x

Z

Α

Β

Γ

Page 59: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 59

β) Είναι90

15 602

, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο

οπότε 30

και έτσι θα είναι 2

, δηλαδή BΓ=2ΑΒ.

ΘΕΜΑ 3737

Δίνεται τραπέζιο AB , τέτοιο ώστε 0ˆA 90 , 1

AB4

και 1

AB A3

.

Επιπλέον φέρνουμε BE.

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABE ορθογώνιο. (Μονάδες 6 )

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

(Μονάδες 10)

γ) Αν ,K είναι τα μέσα των και A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η A

διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος . (Μονάδες 9)

Λύση:

α)Το τετράπλευρο ABE είναι ορθογώνιο επειδή έχει τρεις γωνίες ορθές.

β) Είναι 4 AB , 3 BE A AB , AB E .

Άρα, 3 E E AB . Δηλαδή,

BE E , οπότε το τρίγωνο BE είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές.

γ) Το τετράπλευρο AB E είναι τραπέζιο και

το τμήμα K ενώνει τα μέσα των διαγωνίων

του.

Άρα ||K AB και E AB 3AB AB

K2 2

K || AB .

Page 60: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 60

Επομένως το AB K είναι παραλληλόγραμμο και αν M είναι το σημείο τομής

των διαγωνίων του, τότε θα είναι το μέσο του .

ΘΕΜΑ 3741

Σε παραλληλόγραμμο AB με γωνία A αμβλεία, ισχύει 2 AB A . Τα σημεία

E και Z είναι μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Από το

φέρουμε την H κάθετη στην προέκταση της .B Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο AEZ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8)

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)

γ) Το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας ZH . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) AB 2A AE A EZ AZ .

Άρα το τετράπλευρο AEZ είναι

ρόμβος.

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο H η

είναι η διάμεσος που

αντιστοιχεί στην υποτείνουσα,

οπότε ZH ZA ZE . Άρα,

τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο , έχουμε

HEZ EHZ .

Αλλά, HEZ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων

, που τέμνονται από την . Άρα , δηλαδή το τμήμα είναι

διχοτόμος της γωνίας ZH .

Page 61: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 61

ΘΕΜΑ 3745

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και το ύψος του στην πλευρά

. Στην προέκταση του θεωρούμε τμήμα . Στην προέκταση του

προς το μέρος του θεωρούμε τμήμα .

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ρόμβος.

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

γ) Το σημείο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Λύση:

α) Αφού το είναι ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου θα

είναι και διάμεσος.

Έτσι το είναι ρόμβος

αφού οι διαγώνιοί του

τέμνονται κάθετα,

διχοτομούνται και δύο

διαδοχικές του πλευρές είναι

ίσες

β) Το είναι μεσοκάθετος

του , έτσι οπότε

το τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

γ) Στο τρίγωνο το τμήμα είναι διάμεσός του και ισχύει:

2 2

22 2

3 οπότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου

.

Page 62: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 62

ΘΕΜΑ 3747

Δίνεται τρίγωνο με γωνία ίση με 120 και γωνία είναι ίση με 45 .

Στην προέκταση της προς το , παίρνουμε τμήμα 2 . Από το

φέρνουμε την κάθετη στην που την τέμνει στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι:

α) Η γωνία είναι ίση με 30 .

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

γ) Αν το μέσο της , τότε 90 .

δ) Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος .

Λύση:

α) 60 ως

παραπληρωματική της

120 .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο

θα είναι 30 .

β) Αφού στο ορθογώνιο

τρίγωνο είναι

30 τότε 2

2

άρα

το τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

γ) Είναι 2

και η διάμεσός του είναι

2

,

άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αφού η διάμεσος του ισούται με το μισό

της αντίστοιχής πλευράς, με υποτείνουσα , οπότε 90 .

Page 63: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 63

δ) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:

και 2 άρα είναι και δηλαδή το σημείο

ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος αφού ισαπέχει από τα άκρα του.

ΘΕΜΑ 3751

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διάμεσός του . Έστω ότι είναι το μέσο

της τέτοιο ώστε 2

και γωνία 120

.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6)

δ) Αν το σημείο είναι η προβολή του στην , να αποδείξετε ότι

2 .

(Μονάδες 8)

Λύση:

ΑΡΧΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ:

Η εκφώνηση «τυχαίο τρίγωνο »

είναι εντελώς άστοχη και η λέξη

τυχαίο πρέπει να παραληφθεί αφού

για να ισχύουν όλα τα δεδομένα

πρέπει τελικά να είναι ορθογώνιο

στο !!!

α) 60

ως παραπληρωματική

της 120

.

Page 64: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 64

2

, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μια γωνία 60 ,

άρα ισόπλευρο και όλες του οι γωνίες θα είναι 60 .

β) Η είναι διάμεσος του τριγώνου και ισχύει από (α) 2

,

οπότε το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο στο .

γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν:

1) , αφού μέσο της .

2) , αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

3) 120

, ως παραπληρωματική της 60

(κριτήριο Π-Γ-Π)

δ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι ύψος άρα και διχοτόμος και διάμεσος.

Άρα 2 2 2

, οπότε 2 .

Δούρειος ίππος.

Το τρίγωνο AB όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο

τρίγωνο , ( 0B 90 ) αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις:

3 7, ,

2 2

.

Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο

(γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;) σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον

θεματοδότη από τις ευθύνες του .

Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά

μας .

ΘΕΜΑ 3754

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο . Από την κορυφή φέρουμε

. Έστω , τα μέσα των πλευρών και αντιστοίχως, τότε:

Page 65: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 65

α) Να αποδείξετε ότι:

i. 90 .

ii. 2

.

γ) Αν 30 , να αποδείξετε ότι .

Λύση:

α) i. Τα τμήματα , είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων

τριγώνων και αντίστοιχα, οπότε:

2

και

2

δηλαδή τα τρίγωνα και είναι

ισοσκελή, οπότε:

1 και

2 .

1 , 2

90 .

ii. Το τμήμα ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, έτσι:

32 2

.

β) Αν 30 τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο θα ισχύει: 42

.

Από 3 , 4 .

Page 66: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 66

ΘΕΜΑ 3757

Δίνεται ορθογώνιο με κέντρο και , 2 . Στην προέκταση

της πλευράς (προς το) παίρνουμε σημείο ώστε .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)

ii. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9)

β) Αν η τέμνει την πλευρά στο σημείο , να αποδείξετε ότι .

(Μονάδες 8)

Λύση:

α) i. Αφού EA A B / / A θα είναι και EA / / B συνεπώς το

τετράπλευρο AEB έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και

επομένως είναι παραλληλόγραμμο. Άμεση συνέπεια: EB / / A (1) .

ii. Οι διαγώνιες του ορθογωνίου

είναι ίσες, έτσι αν θέσουμε B

θα είναι:

A B 2 και λόγω της (1)

( προηγούμενο ερώτημα) BE 2 .

Επίσης από την υπόθεση

E 2A E 2B E 2 .

Δηλαδή το τρίγωνο EB έχει και

τις τρεις πλευρές του ίσες άρα είναι

ισόπλευρο και ως γνωστό κάθε

γωνία του είναι από 060 .

β) Στο ισόπλευρο τώρα EB η EO

είναι διάμεσος γιατί οι διαγώνιοι

του ορθογωνίου AB διχοτομούνται . Έτσι όμως το EO είναι και ύψος στο

τρίγωνο αυτό και άρα προφανές ότι το Z είναι το ορθόκεντρο του , οπότε

αναγκαστικά η Z ο φορές του τρίτου ύψους του και άρα Z EB .

Page 67: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 67

Παρατηρήσεις:

Η άσκηση λύνεται και με άλλους τρόπους ( π.χ. με υπολογισμό γωνιών κ. λ. π.)

επέλεξα τον πιο πάνω τρόπο για να δοθεί έμφαση αφ ενός ότι ή απάντηση κάθε

ερωτήματος προκύπτει συνήθως από το ή τα προηγούμενα άλλα και αφ ετέρου

στην αξιοποίηση του ορθοκέντρου σε ασκήσεις καθετότητας που συνήθως δεν

περνά από τη σκέψη μεγάλης μερίδας ( και δικαιολογημένα ) μαθητών.

ΘΕΜΑ 3759

Δίνεται κύκλος ( , )O R με διάμετρο B . Θεωρούμε σημείο A του κύκλου και

σχεδιάζουμε το τρίγωνο AB . H προέκταση της τέμνει τον κύκλο στο

σημείο Z . Φέρουμε το ύψος του A , η προέκταση του οποίου τέμνει τον

κύκλο στο σημείο E .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. Z AB BE (Μονάδες 8)

ii. Το τετράπλευρο BEZείναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7)

β) Αν ˆ 30 , να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τραπεζίου BEZείναι ίση με

5R , όπου R η ακτίνα του κύκλου. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) i) Φέρνουμε τις BE, BZ, Z . Η O είναι

απόστημα στη χορδή , οπότε η

διχοτομεί το AE

, άρα AB BE .

Το ABZ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι

διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα AB Z .

ii) Είναι EZ/ /Bαφού είναι χορδές που

ορίζουν ίσα κυρτά τόξα. Επίσης είναι

EZ B (διάμετρος του κύκλου), άρα το

BEZείναι τραπέζιο, ισοσκελές.

Page 68: τραπεζα θεματων 2014 γεωμετρια α λυκειου 4ο θεμα τευχος 1ο

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 68

β) Είναι BA 90 ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο.

Έστω A B 30 , οπότε B

AB2

R , άρα και Z R.

Αφού E 60 EZ 60

B Z , οπότε AEZ 30 δηλαδή και AZ

EZ2

R .

Οπότε Περίμετρος BEZ = B 5 BE EZ Z R .