第 25 课　梯　形

基础知识 自主学习

1 ．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形． 的梯形叫做等腰梯形．2 ．等腰梯形的判定方法： (1) 的梯形； (2) 相等的梯形； (3) 相等的梯形．

要点梳理

两腰相等

同一底上的两个角对角线

两腰相等

3 ．梯形转化为三角形或四边形常见的辅助线：

4 ．梯形的中位线定理： 梯形的中位线平行于上、下两底，且等于两底和的一半．

[ 难点正本　疑点清源 ]

1 ．类比平行四边形定义，理解梯形定义 有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或平行的一组对边的数量关系，梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的一组对边必相等，梯形平行的一组对边必不相等．

2 ．梯形中经常用到的添辅助线方法 在解决梯形问题时，常常要视已知条件来添加某些辅助线，将梯形化为三角形或平行四边形 ( 或矩形 ) ，从而使分散的条件相对集中，找

出原题的解答． (1)当已知条件中含梯形两腰时可延长两腰，把梯形问题转化为三角形问题来解决；或平移一腰或过上底两端点作高，把梯形转化为平行四边形和三角形来解； (2)当已知条件中含梯形对角线时，可平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形或三角形来解； (3)当已知对角线中点时，可将顶点与该中点连接并延长与另一底相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题来解； (4)当已知一腰中点时，可把一顶点与中点连接并延长与另一底相交；或过这腰中点作梯形另一腰的平行线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题来解；或取梯形另一腰的中点，构成梯形中位线问题．

基础自测

1． (2011· 临沂 ) 如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC， AB＝CD， AD＝ 2， BC＝ 6 ，∠ B＝ 60° ，则梯形 ABCD

的周长是 ( 　　 )

A． 12 B． 14

C． 16 D． 18

答案　 C

解析 作 AE⊥ BC，DF⊥ BC，垂足分别为 E、F.

易证△ ABE≌ △ DCF，BE＝CF＝12(BC－AD)

＝12× (6－2)＝2.

又∵ ∠ B＝60°，∴ AB＝4，梯形 ABCD的周长

AB＋BC＋CD＋DA＝4＋6＋4＋2＝16.

2． (2011· 宜昌 ) 如图，在梯形 ABCD 中， AB∥CD， AD

＝ BC ，点 E、 F、 G、 H 分别是AB、 BC、 CD、 DA 的中点，则下列结论一定正确的是( 　　 )

A. ∠HGF ＝∠ GHE

B ．∠ GHE ＝∠ HEF

C ．∠ HEF ＝∠ EFG

D ．∠ HGF ＝∠ HEF

答案　 D

解析 连接 AC、BD.

∵ G、H分别是 CD、AD的中点，

∴ GH∥12AC，GH=

12AC.

同理，EF∥12AC，EF=

12AC.

∴ 四边形 EFGH是平行四边形．

∴ ∠ HGF＝∠ HEF.

3． (2011· 台州 ) 如图，在梯形 ABCD

中， AD∥BC ，∠ ABC＝ 90° ，对角线 BD、 AC 相交于点 O. 下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是 ( 　　 )

A ．∠ 1 ＝∠ 4

B ．∠ 1 ＝∠ 3

C ．∠ 2 ＝∠ 3

D． OB2＋ OC2＝ BC2

答案　 B

解析 当∠ 1＝∠ 4时，由∠ ABC＝90°，得∠ 1＋∠ OBC＝90°，

∠ 4＋∠ OBC＝90°，得∠ BOC＝90°，AC⊥ BD；

当∠ 2＝∠ 3时，由 AD∥ BC，∠ ABC＝90°，得∠ BAD＝90°，

∠ OAD＋∠ 3＝90°，得∠ AOD＝90°，AC⊥ BD；

当 OB2＋OC2＝BC2时，∠ BOC＝90°，AC⊥ BD；故选 B.

4．(2011·安徽)如图，四边形 ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，

AB＝AD＝2 2，CD＝ 2，点 P在四边形 ABCD上，若 P

到 BD的距离为32，则点 P的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案　 B

解析 在 Rt△ ABD中，AB＝AD，得∠ ADB＝45°，

∴ 点 A到 BD的距离为2

2 AD＝2

2 × 2 2＝2>32；

又∵ ∠ ADC＝90°，∴ ∠ BDC＝45°，点 C到 BD的

距离为2

2 CD＝2

2 × 2＝1<32.所以点 P在 AB、AD

上时，存在 P到 BD的距离为32，这样的点 P有两个．

5． (2011· 潍坊 ) 已知直角梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ BCD＝ 90° ， BC＝ CD＝ 2AD , E、 F 分别是 BC、 CD 边的中点，连接 BF、 DE 交于点 P ，连接 CP 并延长交 AB 于点 Q ，连接 AF ，则下列结论不正确的是 ( 　　 )

A． CP 平分∠ BCD

B ．四边形 ABED 为平行四边形 C． CQ 将直角梯形 ABCD 分为 面积相等的两部分 D ．△ ABF 为等腰三角形

答案　 C

解析 连接 BD，由∠BCD＝90°，BC＝CD，得∠CBD＝∠CDB，

又 EC＝12BC＝

12CD＝CF，∠BCD是公共角，得△ BCF≌△ DCE，

∴ ∠CBF＝∠CDE，∴ ∠BDE＝∠DBF，PB＝PD.

又∵ PC＝PC，∴ △ BCP≌△ DCP，∠BCP＝∠DCP，CP平分∠BCD；

∵ AD∥ BE，BE＝12BC＝AD，∴ 四边形 ABED是平行四边形；

由△ BCF≌△ DCE，得 BF＝DE，

又由□ABCD得 AB＝DE，所以 AB＝BF，

所以△ ABF是等腰三角形；故结论 A、B、D正确，选 C.

题型分类 深度剖析

【例 1 】　如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC， AB＝ CD

＝ AD， BD⊥CD.

(1)求 sin∠DBC 的值； (2)若 BC 长度为 4 cm ，求梯形 ABCD 的面积．

题型一　梯形的相关计算题

解 (1)∵ AD∥ BC， ∴ ∠ ADB＝∠ CBD. 又∵ AB＝AD， ∴ ∠ ADB＝∠ ABD，

∴ ∠ CBD＝∠ ABD＝12∠ ABC.

又∵ AB＝CD， ∴ ∠ ABC＝∠ C. ∵ BD⊥ CD， ∴ ∠ BDC＝90°，∠ DBC＋∠ C＝90°， ∴ 3∠ DBC＝90°，∠ DBC＝30°，

∴ sin∠ DBC＝sin30°＝12.

(2)∵ BC＝4， ∴ CD＝2，BC边上的高＝ 3，

∴ S 梯形ABCD＝12× (2＋4)× 3＝3 3 (cm2)．

探究提高　掌握梯形的面积公式；或者根据条件，将梯形问

题转化为三角形问题来加以解决．

知能迁移 1 (2011· 河南 ) 如图，在梯形 ABCD

中， AD∥BC ，延长 CB 到点 E ，使 BE＝ AD ，连接 DE

交 AB 于点 M.

(1) 求证：△ AMD≌△BME ； (2) 若 N是 CD 的中点，且 MN＝ 5， BE＝ 2 ，求 BC 的

长．

解 (1)证明：∵ AD∥ BC，∴ ∠ A＝MBE，∠ ADM＝∠ E.

在△ AMD和△ BME中，

∠ A＝∠ MBE，AD＝BE，∠ ADM＝∠ E，

∴ △ AMD≌ △ BME.

(2)解：∵ △ AMD≌ △ BME，∴ MD＝ME.

又∵ ND＝NC，∴ MN＝12EC.

∴ EC＝2MN＝2× 5＝10.

∴ BC＝EC－EB＝10－2＝8.

题型二　等腰梯形

【例 2 】　如图，在等腰梯形 ABCD 中，∠ C＝60°， AD∥BC ，且 AD＝ DC， E、 F 分别在 AD、 DC

的延长线上，且 DE＝ CF， AF、 BE 交于点 P.

(1) 求证： AF＝ BE ； (2) 请你猜测∠ BPF 的度数，并证明你的结论．

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解： (1) BA∵ ＝ CD＝ AD ， ∠BAE ＝∠ ADF ， AD＋ DE＝ CD＋ CF ，即 AE＝ DF ， ∴△BAE ADF(SAS)≌△ ， [3分 ]

∴AF＝ BE.[4分 ]

(2) 猜想∠ BPF＝ 120°.[5分 ]

证明：由 (1) 得△ BAE≌△ADF ， ∴∠ABE ＝∠ DAF.[6分 ]

∴∠BPF ＝∠ ABP ＋∠ BAP ＝∠ BAE.

又∵ AD∥BC ，∠ C ＝∠ ABC＝ 60° ， ∴∠BPF ＝∠ BAE＝ 120°.[8分 ]

探究提高　利用等腰梯形的性质“同一底上的两个底角相

等”直接求得∠ BPF 的度数．

知能迁移 2 (2011· 芜湖 ) 如图，在梯形 ABCD

中， DC∥AB， AD＝ BC, BD 平分∠ ABC ，∠ A＝ 60°.

过点 D作 DE⊥AB ，过点 C作 CF⊥BD ，垂足分别为 E、F ，连接 EF ，求证：△ DEF 为等边三角形 .

解 证明：∵ DC∥ AB，AD＝BC，∠ A＝60°，

∴ ∠ ABC＝∠ A＝60°.

又∵ BD平分∠ ABC，∴ ∠ ABD＝∠ CBD＝12∠ ABC＝30°.

∵ DC∥ AB，∴ ∠ BDC＝∠ ABD＝30°，

∴ ∠ CBD＝∠ CDB, ∴ CB＝CD.

∵ CF⊥ BD，∴ F为 BD中点．

又∵ DE⊥ AB，∴ DF＝BF＝EF.

由∠ ABD＝30°，得∠ BDE＝60°，∴ △ DEF为等边三角形．

题型三　直角梯形

【例 3】 (2011·枣庄)如图，直角梯形 ABCD中，AD∥ BC，

∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交 AB于 E，

DF平分∠EDC交 BC于 F，连接 EF.

(1)证明：EF＝CF；

(2)当 tan∠ADE＝13时，求 EF的长．

解　 (1) 证明：过 D作 DG⊥BC于 G.

由已知可得，四边形 ABGD 为正方形 .

∵DE⊥DC ， ∴∠ADE ＋∠ EDG＝ 90° ＝∠ GDC ＋∠ EDG ， ∴∠ADE ＝∠ GDC.

又∵∠ A ＝∠ DGC ，且 AD＝ GD ， ∴△ADE≌△GDC .

∴DE＝ DC ，且 AE＝ GC.

在△ EDF 和△ CDF 中， ∠EDF ＝∠ CDF， DE＝ DC， DF 为公共边， ∴△EDF≌△CDF.

∴EF＝ CF.

探究提高　涉及直角梯形的问题，常作高构造矩形和直角三角形来解决问题．

(2)解：∵ tan∠ ADE＝AEAD＝

13， ∴ AE＝GC＝2.

设 EF＝x，则 BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4.

由勾股定理，得 x2＝(8－x)2＋42.

解之，得 x＝5, 即 EF＝5.

知能迁移 3 (2011· 潼南 ) 如图，在直角梯形 ABCD

中， AB∥CD， AD⊥DC， AB＝ BC ，且 AE⊥BC.

(1) 求证： AD＝ AE ； (2)若 AD＝ 8， DC＝ 4 ，求 AB 的长．

解 (1)连接 AC. ∵ AB∥ CD， ∴ ∠ ACD＝∠ BAC. ∵ AB＝BC， ∴ ∠ ACB＝∠ BAC. ∴ ∠ ACD＝∠ ACB. ∵ AD⊥ DC，AE⊥ BC， ∴ ∠ D＝∠ AEC＝90° . ∵ AC＝AC， ∴ △ ADC≌ △ AEC. ∴ AD＝AE.

(2)由(1)知：AD＝AE，DC＝EC. 设 AB＝x, 则 BE＝x－4，AE＝8. 在 Rt△ ABE中，∠ AEB＝90°， 由勾股定理得： 82＋(x－4)2＝x2， 解得：x＝10，即 AB＝10.

【例 4 】 (2010· 咸宁 ) 如图，直角梯形 ABCD 中， AB∥DC ，∠ DAB＝ 90° ， AD＝ 2DC＝ 4， AB＝ 6 ，动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 沿线段 AB

向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度， 从点 C 沿折线 C－ D－ A 向点 A 运动， 当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动， 过点 M 作直线 l∥AD ，与线段 CD 的交点为 E ，与折线 A－ C－ B 的交点为

Q ， 点M 运动的时间为 t(秒 ) ． (1)当 t＝ 0.5 时，求线段 QM 的长； (2)当 0<t<2 时，如果以 C、 P、 Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值； (3)当 t>2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R ，请探究 是否为定值，若是，试

求这个定值；若不是，请说明理由．

题型四　梯形的相关综合题

CQRQ

解 (1)过点 C作 CF⊥ AB于 F，

则四边形 AFCD为矩形．

∴ CF＝4，AF＝2.

此时，AM＝1× 0.5＝0.5，

Rt△ AQM∽ Rt△ ACF.

∴QMAM＝

CFAF.即

QM0.5＝

42，

∴ QM＝1.

(2)由于∠ DCA为锐角，当 0<t<2时，

点 E在线段 CD上，有两种情况：

①当∠ CPQ＝90°时，点 P与点 E重合，

此时 DE＋CP＝CD，即 t＋t＝2，

∴ t＝1.

备用图 1

②当∠ PQC＝90°时，如备用图 1，

此时 Rt△ PEQ∽ Rt△ QMA，

∴EQPE＝

MAQM.

由(1)知，EQ＝EM－QM＝4－2t，

而 PE＝PC－CE＝PC－(DC－DE)

＝t－(2－t)＝2t－2，

∴4－2t2t－2

＝12.

∴ t＝53.

综上所述，t＝1或53.

备用图 2

(3) CQRQ为定值

2 23 .

证明：当 t>2时，如备用图 2， PA＝DA－DP＝4－(t－2)＝6－t. 由(1)得，BF＝AB－AF＝4， ∴ CF＝BF， ∴ ∠CBF＝45°， ∴ QM＝MB＝6－t. ∴ QM＝PA. ∴ 四边形 AMQP为矩形． ∴ PQ∥ AB. ∴ △ CRQ∽△ CAB.

∴CQRQ＝

BCAB＝

CF2＋BF2

AB ＝4 2

6 ＝2 2

3 .

探究提高　梯形问题常与三角形、平行四边形、矩形等综合，

考查综合分析的能力．

知能迁移 4 (2011· 茂名 ) 如图，在等腰△ ABC 中，点 D、 E 分别是两腰 AC、 BC 上的点，连接 AE、 BD 相交于点 O ，∠ 1

＝∠ 2.

(1) 求证： OD＝ OE ； (2) 求证：四边形 ABED 是等腰梯形； (3)若 AB＝ 3DE, △DCE 的面积为 2, 求四边形 ABED 的面积．

解 (1)证明：如图，∵ △ ABC是等腰三角形，

∴ AC＝BC , ∴ ∠ BAD＝∠ ABE.

又∵ AB＝BA，∠ 2＝∠ 1，

∴ △ ABD≌ △ BAE(ASA)，

∴ BD＝AE.

又∵ ∠ 1＝∠ 2，∴ OA＝OB，

∴ BD－OB＝AE－OA，即 OD＝OE.

(2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴ ∠ OED＝∠ ODE，

∴ ∠ OED＝12(180°－∠ DOE)，

同理：∠ 1＝12(180°－∠ AOB)．

又∵ ∠ DOE＝∠ AOB，∴ ∠ 1＝∠ OED，∴ DE∥ AB.

∵ AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，

∴ AD与 BE不平行，∴ 四边形 ABED是梯形．

又由(1)知，△ ABD≌ △ BAE，∴ AD＝BE，

∴ 梯形 ABED是等腰梯形．

(3)由(2)可知：DE∥ AB，∴ △ DCE∽ △ ACB，

∴△ DCE的面积△ ACB的面积＝

DE

AB2，

即2

△ ACB的面积＝

DE

3DE2＝

19，

∴ △ ACB的面积＝18，

∴ 四边形 ABED的面积

＝△ ACB的面积－△ DCE的面积＝18－2＝16 .

易错警示16 ．正确使用定理，养成严格论证的习惯

试题 求证：梯形对角线中点的连线平行于两底并且等于两底差的一半．

已知：如图，在梯形 ABCD中，M、N分别为对角线 AC、BD的中点，

求证：① MN∥ AB，MN∥ DC；

② MN＝12(AB－CD)．

学生答案展示 证明：取 AD、BC的中点 E、F，连接 EM、FN.

∵ M、N分别为 AC、BD的中点， ∴ EM、FN分别为△ ADC和△ BCD的中位线，

∴ EM＝12DC，NF＝

12DC，

∴ EM＝FN. 同理，在△ ADB中，EN为中位线，

∴ EN＝12AB，MN∥ AB∥ DC.

∵ MN＝EN－EM＝12AB－

12DC＝

12(AB－DC)，

∴ MN＝12(AB－DC)．

剖析　以上证法的错误之处在于没有经过证明就承认E、M、 N 三点共线，于是就认为 EN 是△ ADB 的中位线，这就犯了没有根据就下结论的错误，并当成已知条件去用的毛病．

正解 如图，连接 CN，并延长 CN交 AB于 E. ∵ ∠1＝∠2，DN＝NB，∠3＝∠4， ∴ △ DCN≌△ BEN. ∴ CN＝NE，DC＝EB. 在△ CAE中，M、N分别为 CA、CE的中点，

∴ MN∥12AE，MN=

12AE.

∵ AB∥ DC， ∴ MN∥ DC.

∴ MN＝12AE＝

12(AB－EB)＝

12(AB－DC)．

批阅笔记　在证题中一定要做到推理过程中步步有根据，养成严格论证的习惯，正确使用定理．梯形问题可转化为平行四边形和三角形的问题去研究 .

思想方法 感悟提高方法与技巧 由于梯形只有一组对边平行，引申出的性质很少，因而解有

关梯形的题目，一般要添加辅助线，所以要熟悉梯形常用的辅助线和它们的作用． 1. 作一腰的平行线：可以起到平移一腰和一个底角的作用，使两腰和同一底上两底角会聚到一个三角形中．对于只涉及梯形的腰、底角、上下底之差的题目，常常利用这条辅助线． 2. 从上底两顶点作高线：这两条高线把梯形分为两个直角三角形和一个矩形，矩形以梯形的上底及高为长、宽；涉及梯形的高线、面积的题目，常常利用这种辅助线． 3. 过一个顶点，作一条对角线的平行线，与所对底边的延长线相交：把一条对角线平移出来，造成一个由两条对角线上、下底之和组成的三角形．涉及梯形对角线或上下两底之和的题目，常常利用这种辅助线．

4. 延长两腰使之相交：这种辅助线使得便于应用平行线分线段成比例定理．

失误与防范 1 ．梯形定义及性质中的易错点： (1)梯形的两底还可分为上底和下底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底； (2)等腰梯形的性质“在同一底上的两个角相等”，常

被错误地说成：等腰梯形两底上的角相等，或等腰梯形两底角相等，要坚决杜绝上面的说法，对于定理应准确记忆并加以理解．

2 ．有关梯形问题，往往会由于对梯形概念的内涵理解不准确，只注重一组对边平行，而忽略另一组对边不平行的条件，导致解题错误． 例如：命题“梯形的中位线能与它的一条底边长相等”是否正确？ 错解：正确．当中位线与它的一条底边长相等时，照是梯形． 错因剖析：梯形的一组对边平行而另一组对边不平行．若梯形的中位线与它的一条底边长相等，不妨设梯形的中位线长为 l ，上、下底长分别为 a、 b， b＝ l ，则 l＝ (a＋ l) ，即 a＝ l. 这样梯形

的上、下底平行且相等，变成了平行四边形，不再是梯形．

完成考点跟踪训练 25