МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯИ НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО0ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно�методическое пособиедля первого курса студентов всех специальностей,

студентов бакалавриата всех направленийи слушателей факультета непрерывного обучения

Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера

Кафедра высшей математики

Москва 2010

ББК 22.3

Введение, методические указания и рекомендациипо изучению дисциплины подготовил

профессор Н.Ш. Кремер

Варианты контрольных работ подготовили:доцент Л.Р. Борисова, к.ф.�м.н. Е.М. Воробьева, профессор И.М. Тришин,

доцент М.Н. Фридман, доцент А.Ю. Шевелев (г. Москва); ст. преп.Г.Н. Саблина (г. Архангельск); доцент Е.М. Исаенко (г. Владимир);

доцент А.В. Качалкина, доцент Н.Л. Рубцова (г. Волгоград);профессор В.С. Поленов (г. Воронеж); доцент И.А. Зенкина (г. Калуга);

доцент Г.Б. Заболотских (г. Киров); профессор В.Г. Курбатов (г. Липецк);доцент Л.Д. Казмина (г. Новороссийск); ст. преп. Т.В. Ершова,

профессор А.Н. Жаров (г. Ярославль).

Учебно�методическое пособие обсужденона заседании кафедры высшей математики

Зав. кафедрой кандидат экономических наук, профессор Н.Ш. Кремер

Учебно�методическое издание одобрено на заседанииНаучно�методического совета ВЗФЭИ

Проректор, председатель НМС, профессор Д.М. Дайитбегов

Математический анализ и линейная алгебра. Учебно�методическое посо�бие для первого курса студентов всех специальностей, студентов бакалавриатавсех направлений и слушателей факультета непрерывного обучения / под ред.проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ, 2010.

В учебно�методическом пособии приведен обзор основных понятий и поло�жений дисциплины «Математический анализ и линейная алгебра», даны ме�тодические рекомендации по ее изучению, выделены типовые задачи, представ�лены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки поданной дисциплине, приведены варианты контрольных работ для студентовпервого курса всех специальностей, студентов бакалавриата всех направленийи слушателей факультета непрерывного обучения, а также методические ука�зания по их выполнению.

ББК 22.3

© Всероссийский заочныйфинансово�экономическийинститут (ВЗФЭИ), 2010

3

ПредисловиеСовершенствование деятельности в любой области экономики

(управлении, финансово�кредитной сфере, маркетинге, учете, ауди�те) в значительной мере связано с применением математическихметодов исследования.

Цель курса математики в системе подготовки экономиста – осво�ение необходимого математического аппарата, помогающего анали�зировать, моделировать и решать прикладные экономические зада�чи, при необходимости с применением ПЭВМ.

Задачи изучения математики как фундаментальной дисциплинысостоят в развитии логического и алгоритмического мышления, вы�работке умения моделировать реальные экономические процессы,освоении приемов исследования и решения математически форма�лизованных задач, овладении основными методами математики.

В соответствии с учебными планами института курс математи�ки включает три самостоятельные дисциплины: 1) «Математичес�кий анализ и линейная алгебра»; 2) «Теория вероятностей и матема�тическая статистика»; 3) «Экономико�математические методы и при�кладные модели», которые изучаются студентами всех специально�стей и направлений бакалавриата.

Кроме того, в цикл естественно�научных дисциплин входит дис�циплина «Эконометрика», изучаемая студентами большинства эко�номических специальностей на третьем курсе.

Дисциплина «Математический анализ и линейная алгебра» яв�ляется фундаментом математического образования экономиста.

4

В соответствии с программой для экономических вузов эта дисцип�лина включает следующие разделы: «Линейная алгебра и элементыаналитической геометрии на плоскости», «Дифференциальноеи интегральное исчисление», «Дифференциальные уравненияи ряды».

Дисциплины «Теория вероятностей и математическая статисти�ка», «Экономико�математические методы и прикладные модели»и «Эконометрика» ориентированы на применение математическихметодов в прикладных экономических задачах.

По дисциплине «Математический анализ и линейная алгебра»студенты первого курса всех специальностей, студенты бакалавриа�та всех направлений и слушатели факультета непрерывного обуче�ния сдают курсовой экзамен после выполнения предусмотренныхучебным планом контрольных работ № 1 и № 2, задания к которымприводятся в данном пособии.

По дисциплине «Математический анализ и линейная алгебра»рекомендуется следующая литература.

5

ЛитератураОсновная1

1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред.Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ�ДАНА, 2010.

2. Высшая математика для экономистов: Практикум /под ред.Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ�ДАНА, 2010.

3. Высшая математика для экономических специальностей: учебники практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. Части I, II. – М.: Высшее образо�вание, 2010.

4. Математический анализ и линейная алгебра. Методические указа�ния по компьютерному тестированию. – М.: Вузовский учебник, 2007.

5. Математика. Методические указания по проведению и выполне�нию контрольных работ с использованием КОПР. – М.: ВЗФЭИ, 2009.

Дополнительная1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для эконо�

мистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно�справочное пособие/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009.

2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: учеб�ное пособие. – М.: Физматлит, 2006.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов: учеб�ник. – СПб.: Питер, 2005.

4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика вэкономике: учебник. Части 1, 2. – М.: Финансы и статистика, 2007.

5. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра:Курс лекций. – М.: Эксмо, 2006.

Интернет�ресурсы1. Компьютерная обучающая программа (КОПР1).2. Электронные учебно�методические комплексы (ЭУМК).3. Электронные тестовые базы LAN�TESTING и STELLUS.4. Электронные ресурсы в системе STELLUS.5. Электронная библиотека.

1 Студентам предлагаются на выбор учебники (учебные пособия) [1] и [2] или[3]. При этом можно использовать учебные пособия предыдущих лет издания.

6

Введение

Цель настоящего учебно�методического пособия – помочь студен�там в организации занятий при изучении общего курса математики.

Студенты дневных групп изучают дисциплину «Математичес�кий анализ и линейная алгебра» на первом курсе в течение учебногогода, а в конце его (в период летней экзаменационной сессии) сдаютэкзамен. В начале учебного года (в октябре) студенты вызываютсяна установочные занятия, в процессе которых им читаются лекции иорганизуются практические занятия. Обучение проводится по пер�вым семи темам (см. с. 12–20 данного пособия). Именно этот мате�риал необходим для выполнения контрольной работы № 1.

В зимнюю сессию, на которую дисциплина «Математическийанализ и линейная алгебра» не выносится, для студентов дневныхгрупп читаются лекции и проводятся практические занятия по ос�тальной части курса. Во втором семестре студенты выполняют конт�рольную работу № 2. Часть практических занятий может прохо�дить в течение всего учебного года в межсессионный период, по суб�ботним и воскресным дням (по расписанию).

Студенты вечерних групп изучают дисциплину «Математичес�кий анализ и линейная алгебра» на первом курсе в течение всегоучебного года (в период экзаменационных сессий аудиторные заня�тия не проводятся). За это время они выполняют две контрольныеработы (№ 1 – в первом семестре, № 2 – во втором семестре).

Контрольные работы для студентов как дневных, так и вечернихгрупп выполняются по вариантам из данной брошюры с последую�

7

щим собеседованием по каждой работе. При этом в соответствиис учебным планом контрольные работы (одна или две) по отдель�ным (или всем) специальностям и направлениям подготовки могутпредусматривать частичное использование компьютерной обучаю�щей программы (КОПР) (подробнее об этом см. методическое посо�бие [5]).

В учебных планах отдельных (или всех) специальностей и на�правлений подготовки по данной дисциплине может предусматри�ваться компьютерное тестирование (подробнее об этом см. методи�ческое пособие [4]).

Изучение дисциплины завершается курсовым экзаменом, кото�рый проводится в летнюю экзаменационную сессию.

Для освоения данной дисциплины, как отмечено выше, в вузепроводятся лекционные и практические занятия. В то же время ос�новной формой обучения в условиях заочного вуза является само�стоятельная работа студента с учебниками и учебными пособиями.Дополнительно для самостоятельного изучения дисциплины реко�мендуется компьютерная обучающая программа КОПР1 по дисцип�лине «Математический анализ и линейная алгебра», обзорная лек�ция и электронная учебно�методическая литература (интернет�ре�сурсы), размещенные на сайте института.

В помощь студентам в институте и его филиалах функциониру�ют учебно�методические кабинеты, в которых студент может ознако�миться с образцами контрольных работ и авторскими текстами лек�ций, осуществить выход в Интернет, поработать с интернет�ресурса�ми института, компьютерными обучающими программами и элект�ронными версиями учебно�методической литературы, пройти тес�тирование в режиме самоконтроля.

Каждый студент должен выработать для себя рациональнуюсистему работы над курсом и постоянно практиковаться в решениизадач. В противном случае усвоение и практическое использованиеучебного материала затруднены. Чрезвычайно важны систематичес�кие занятия. Работа урывками не приносит положительных резуль�татов.

Студент обязан вести конспект (рабочую тетрадь). Рекомендует�ся конспектировать определения, формулировки теорем, схемы ихдоказательств, формулы и решения задач. Формулы следует выпи�сывать в специальные таблицы для каждой части курса: линейной

8

алгебры, аналитической геометрии на плоскости, введения в анализ,дифференциального исчисления, интегрального исчисления, рядов.Постоянное пользование конспектами, в частности таблицами фор�мул, способствует их запоминанию и дает возможность решать при�меры и задачи, не обращаясь к учебным пособиям.

Часто приходится слышать высказывания студентов о том, чтотеорию они знают, а решать задачи не умеют. Это свидетельствуето неглубоком усвоении учебного материала. Нужно решать как мож�но больше задач. Начинать следует с наиболее простых, элементар�ных, а затем переходить к более сложным. По такому принципу ирасположены задачи в рекомендуемых учебных пособиях. Решениеследует доводить до окончательного результата, а промежуточныепреобразования выполнять последовательно и аккуратно. Если за�дача связана с отысканием численного результата, то подстановкучисловых значений вместо букв лучше производить только в оконча�тельно упрощенное выражение.

Если материал учебника, учебного или методического пособия,КОПР не дает ответа на возникший вопрос, то следует обратитьсяза консультацией (письменной (по электронной почте, факсу, нафорум кафедры и пр.) или устной) на кафедру высшей математики.Для получения письменной консультации необходимо указать, ка�ким учебником (пособием, КОПР) вы пользовались (автор, наиме�нование, год издания) и какое конкретное место в учебнике вамне понятно. Если появились затруднения в решении задачи, укажи�те, каким способом вы пытались ее решить. Лишь в этом случае пре�подаватель сможет оказать вам помощь.

При решении различных задач нередко приходится вычислятьприближенно значения функции (в частности, используя ее разло�жение в ряд), определенного интеграла (например, по формуле тра�пеций) и др. Незнание правил приближенных вычислений частоприводит к тому, что их результаты оказываются не только неточ�ными, но и ошибочными, настолько они далеки от истинных (точ�ных) значений. При этом многие стремятся удержать как можнобольше цифр в окончательном ответе, показать, какой «высокой»степени точности они добились. Точность такого ответа, как прави�ло, оказывается ложной, так как определенное число последнихцифр просто ошибочно. Чтобы этого не случилось, необходимознать и применять правила приближенных вычислений. Ими надле�

9

жит пользоваться при выполнении арифметических операцийс приближенными числами и для получения приближенного ре�зультата.

Основные правила приближенных вычисленийОбозначим через х точное (истинное) значение некоторой вели�

чины (точное число), а через а – ее приближенное значение (при�ближенное число).

Число Δ = | х – а | называется истинной абсолютной погрешнос3тью приближенного числа а.

Обычно истинная абсолютная погрешность Δ числа a неизвест�на, так как не дано точное значение х, а известна так называемаяпредельная абсолютная погрешность. Число α называется предель3ной абсолютной погрешностью приближенного числа а, если

| x – a | ≤ α.

Относительной погрешностью δ приближенного числа а называ�ется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величи�не точного числа x:

x

.

Если точное значение числа х неизвестно, а Δ мала по сравне�нию с | а |, то можно считать, что

a

.

Относительную погрешность часто выражают в процентах, то

есть 100a

(%).

Цифра данного разряда приближенного числа а называется вер3ной, если абсолютная погрешность Δ = | х – а | этого числа не превос�ходит пяти единиц следующего справа разряда. В противном случаеэта цифра называется неверной.

У всякого десятичного числа а ≠ 0 существует первая слева циф�ра, отличная от нуля. Эта цифра называется первой значащей циф3рой числа а. Все цифры, начиная с первой значащей и правее, явля�ются значащими цифрами числа а. Говорят, что приближенное число

10

а имеет п верных значащих цифр, если п3я и предшествующие ейзначащие цифры верные, а (n + 1)�я цифра – неверная.

В вычислительной практике также употребляют термин «числоверных десятичных знаков». Под ним понимают число верных цифрв десятичной дроби после нулей, указывающих разряды. Цифрыприближенного числа, не являющиеся верными, отбрасывают,а число округляют.

Правило округления. Если первая из отбрасываемых цифр,считая слева направо, меньше пяти, то последнюю оставшуюся циф�ру не меняют; если больше или равна пяти, то последнюю оставшу�юся цифру надо увеличить на единицу.

Если отбрасывается т о л ь к о цифра «5», а предшествующая ейцифра четная, то последнюю оставшуюся цифру менять не следует.Если предшествующая цифра нечетная, то последнюю оставшуюсяцифру надо увеличить на единицу (правило четных знаков).

Пример. π = 3,1415926... Округляя число до трех значащихцифр, получим π ≈ 3,14 (так как 1 < 5). Округляя его до четырехзначащих цифр, получим π ≈ 3,142 (5 ≥ 5), а округляя его до пятизначащих цифр, получим π ≈ 3,1416 (так как 9 ≥ 5). В то же времячисло x = 0,6525 ≈ 0,652 (по правилу четных знаков, так как отбрасы�вается только цифра «5»).

Окончательные результаты вычислений обычно округляют напоследней верной цифре, а в промежуточных результатах удержи�вают одну запасную цифру, которая может оказаться и неверной.

При этом пользуются следующими правилами определения вер�ных цифр результата.

1. При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме сле�дует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеет слага�емое с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении приближенных чисел в произведении следуетоставить столько значащих цифр, сколько их имеет сомножительс наименьшим числом верных значащих цифр.

3. При возведении в степень и извлечении корня число верных зна�чащих цифр результата равно числу верных значащих цифр основа�ния степени.

11

4. Правило запасной цифры. Для того чтобы после небольшогоколичества алгебраических действий над приближенными числамиполучить результат с п верными цифрами, достаточно исходныеданные взять с (п + 1) верными цифрами и во всех промежуточныхрезультатах сохранить (п + 1) верных цифр, а окончательное значе�ние округлить до п цифр.

Пример. Дано: π ≈ 3,14159; lg e ≈ 0,434 (все цифры верные). Вы�числить приближенно: а) π + lg e; б) π • lg e.

Р е ш е н и е. а) Число π содержит пять верных десятичных зна�ков, lg e – три, следовательно, сумма должна содержать три верныхдесятичных знака. Округляя (с запасной цифрой) число π до четы�рех десятичных знаков, получим:

π + lg e ≈ 3,1416 + 0,434 = 3,5756 ≈ 3,576.

Число π содержит шесть верных значащих цифр, lg e– три (нульне считается), следовательно, произведение должно содержать триверных значащих цифры. Округляя (с запасной цифрой) число π дочетырех значащих цифр, получим:

π • lg e = 3,142 • 0,434 = 1,363628 ≈ 1,36.

Вычислительную работу по возможности следует упрощать. Дляэтого рекомендуется пользоваться электронными калькуляторами,пакетом Excel и т.п. Всякая вычислительная работа должна контро�лироваться. Простейшим методом контроля является выполнениерешения заново (лучше спустя некоторое время) и сравнение полу�ченных результатов.

Основные правила приближенных вычислений будут нужны ив дальнейшем – при выполнении контрольных работ по теории ве�роятностей и математической статистике, экономико�математичес�ким методам и прикладным моделям и многим специальным дис�циплинам.

12

Содержание дисциплины и методическиерекомендации по ее изучению

Ниже по каждой теме приводится учебно�программный матери�ал, который должен изучить студент со ссылками на рекомендован�ные (в качестве основной литературы) учебники и учебные пособия.

Контрольные вопросы по каждой теме представлены в разде0ле «Вопросы для самопроверки».

Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и длясамостоятельной работы приводятся в разделе «Задачи для само0подготовки».

Вопросы, касающиеся организации компьютерного тестирова�ния, основные типы и примеры тестовых заданий по данной дисцип�лине рассматриваются в брошюре «Математический анализ и ли�нейная алгебра. Методические указания по компьютерному тести�рованию» [4].

Вопросы, касающиеся выполнения контрольных работ с частич�ным использованием КОПР, рассматриваются в брошюре «Мате�матика. Методические указания по проведению и выполнению конт�рольных работ с использованием КОПР» [5].

Раздел I. Элементы линейной алгебры

Тема 1. Матрицы и определителиОпределение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц.

Алгебраические операции над матрицами. Определители второго,третьего и п3го порядков. Свойства определителей. Алгебраическоедополнение элемента матрицы п3го порядка. Теорема Лапласа. Присо3единенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратнойматрицы. Ранг матрицы как наивысший порядок ее миноров, отлич3ных от нуля. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарныхпреобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и неза3висимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы –максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов)1 [1,§ 1.1–1.6], [2, § 1.1–1.4] или [3, § 1.1–1.11].

1 Здесь и далее в тексте все указанные в скобках номера параграфов, формул,страниц и задач относятся к учебникам и учебным пособиям [1], [2], [3], при�веденным выше в разделе «Литература».

13

Надо хорошо уяснить, что матрица – прямоугольная таблица,составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах.Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее по�рядок, уметь выполнять транспонирование матриц и алгебраичес�кие операции над ними (умножение матрицы на число, сложение,вычитание и умножение матриц).

Относительные трудности возникают при усвоении операцииумножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное прави�ло умножения и связанное с ним условие существования произведе�ния АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равночислу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умноженияматриц состоит в том, что произведение матриц в общем случае не�коммутативно, то есть АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные,то это свойство очевидно, так как либо одно из произведений, АВили ВА, не существует, либо АВ и ВА – матрицы разных размеров.Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ≠ ВА,в чем нетрудно убедиться на любом частном примере.

Другая особенность произведения матриц состоит в том, чтопроизведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой мат�рицы может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц

3 1 0 2 1 0 0

9 3 0 6 3 0 0

6 1 1 18 9 0 0

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чи�сел произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя быодин из сомножителей равен нулю).

Следует уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то опре�делитель квадратной матрицы – это число, характеризующее этуматрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимоуметь по этим правилам вычислять определители второго и третье�го порядков.

При изучении свойств определителей особое внимание следуетобратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1,§ 1.3] или [3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свой�

14

ствами при вычислении определителей четвертого и более высокихпорядков.

Нужно знать определения присоединенной и обратной матрици уметь их вычислять. Следует знать, что для существования матри�цы А–1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матри�ца А была невырожденной (неособенной). Проверить правильностьвычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА–1

или А–1А. Если оно является единичной матрицей Е, то в соответ�ствии с определением матрица А–1 вычислена правильно.

Тема 2. ВекторыВекторы на плоскости и в пространстве (сложение, вычитание,

умножение на число). Координаты и длина вектора. n3мерный век3тор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимостьвекторов. Понятие о векторном (линейном) пространстве и его бази3се. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Харак3теристический многочлен матрицы [1, § 3.1–3.3, 3.7], [2, § 3.1, 3.2, 3.4]или [3, § 3.1–3.3, 3.7, 3.10, 3.11, 3.13].

В школьном курсе математики рассматривалось понятие векто�ра как направленного отрезка, то есть множества точек, заключен�ных между двумя точками прямой, с указанным направлением. Тамже определялись операции над векторами (сложение, вычитание,умножение вектора на число), вводились координаты и понятиедлины вектора.

Множества всех плоских и пространственных векторов, для ко�торых определены операции сложения и умножения, а также умно�жения вектора на число, являются простейшими примерами вектор�ных пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дает�ся определение векторного пространства.

Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейнойзависимости и независимости векторов вводится точно так же, какэто было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Нужночетко уяснить понятие базиса n�мерного пространства, представля�ющего собой совокупность его линейно независимых векторов. Приэтом любой вектор пространства может быть представлен един�ственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

15

Особую роль в приложениях математики играют векторы, обла�дающие следующим свойством: при умножении квадратных матрицна них образуются новые векторы, коллинеарные исходным. Такиевекторы получили название собственных векторов матрицы, а соот�ветствующие им числа – собственных значений матрицы. Точныеопределения собственных векторов и значений матрицы приведеныв [1, § 3.7] или [3, § 3.7].

Тема 3. Системы линейных уравненийСистема n линейных уравнений с n переменными (общий вид).

Матрица системы. Матричная форма записи системы. Совместные(определенные и неопределенные) и несовместные системы. ТеоремаКрамера о разрешимости системы n линейных уравнений с n перемен3ными (без доказательства). Решение системы: а) по формулам Кра3мера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса. Понятиео методе Жордана–Гаусса [1, § 2.1–2.3, 2.6], [2, § 2.1, 2.3] или [3, § 2.1–2.3, 2.7, 2.8].

При изучении материала темы следует освоить матричнуюформу записи заданной системы n линейных уравнений с n пере�менными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы,и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системыуравнений называются совместными (определенными и неопреде�ленными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о раз�решимости системы n линейных уравнений с n переменными уста�навливается с помощью теоремы Крамера ([1, § 2.2], или [3, § 2.2]).Решаются же такие системы различными способами: по формуламКрамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по срав�нению с другими способами решения ряд достоинств: он менее тру�доемок, позволяет однозначно установить, является ли данная систе�ма определенной, неопределенной или несовместной, а в случае сов�местности системы – определить число ее независимых уравнений иисключить «лишние».

Метод Жордана–Гаусса позволяет быстрее, чем классическийметод Гаусса, решить систему линейных уравнений.

16

Раздел II. Введение в анализ

Тема 4. ФункцииПонятие о множествах. Действительные числа и числовые мно3

жества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы ихзадания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотон3ные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементар3ной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявныефункции. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловымкоэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, прохо3дящей через данную точку в заданном направлении, через две данныеточки. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.Точка пересечения двух прямых [1, 4.1–4.3, 4.6, § 5.1–5.5, 5.7], [2, § 4.1,гл. 5] или [3, § 4.2–4.4, 4.9, 5.1–5.5, 5.7].

Прежде всего, полезно ознакомиться с некоторыми логическимисимволами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем длясокращения записей ([1, § 5.1, 6.1], или [3, § 5.1, 6.1]).

Изучение темы следует начать с основных понятий теории мно�жеств ([1, § 5.1] или [3, § 5.1]). Далее нужно четко усвоить важнейшеепонятие математического анализа – понятие функции, а такжеуметь находить область ее определения и знать способы заданияфункции (аналитический, графический, табличный, словесный).

В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функ�ции. Студент должен уяснить определение элементарной функции([1, § 5.5] или [3, § 5.5]), четко знать свойства и строить графики сле�дующих основных элементарных функций: y = C (постоянная),y = xn (степенная), y = ax (показательная), y = log

a x (логарифмичес�

кая). Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции отфункции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значи�тельно упростить, если учесть, что графики четных функций сим�метричны относительно оси Oy, а нечетных – относительно началакоординат. Одним из характерных свойств функции является моно�тонность, то есть возрастание или убывание на каком�либо проме�жутке.

17

Тема завершается рассмотрением линейной функции и элемен�тов аналитической геометрии на плоскости – простейших уравне�ний прямой. Этот материал будет использоваться на третьем курсепри изучении дисциплины «Экономико�математические методы иприкладные модели».

Основополагающее значение здесь имеет определение уравне�ния линии на плоскости как уравнения с двумя переменными x и y,которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линиии не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней.Из этого определения следуют два важных для практики положения.

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принад�лежит ли ей какая�либо точка плоскости. Для этого достаточно под�ставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных xи y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точкапринадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своимиуравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для на�хождения координат точки пересечения двух линий нужно решитьсистему, составленную из их уравнений.

Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой иуметь пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учеб�ный материал приведен в учебнике ([1, § 4.2] или [3, § 4.2]).

Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых,параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, пример 4.5]или [3, пример 4.5]).

Тема 5. Пределы и непрерывностьПредел числовой последовательности. Предел функции в бесконеч3

ности и в точке. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконеч3но большие величины. Основные теоремы о пределах: теорема един3ственности, предел суммы, произведения, частного. Признаки суще3ствования предела. Второй замечательный предел. Число e. Понятиео натуральных логарифмах. Непрерывность функции в точке и напромежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Вычисле3ние пределов [1, § 6.1–6.8], [2, § 6.1–6.3, 6.5] или [3, § 6.1–6.10].

Наряду с понятием функции, понятия предела и непрерывностиявляются основными в разделе «Введение в анализ».

18

Понятие предела в учебнике [1] или [3] рассматривается для чис�

ловой последовательности lim nn

a

и для функции: в бесконечности

limx

f x

и в точке 0

limx x

f x

. Для выяснения смысла этих поня�

тий необходимо использовать их геометрическую интерпретацию.Весьма важными являются понятия бесконечно малых и бесконечнобольших величин ([1, § 6.3, 6.4] или [3, § 6.3, 6.4]), суть которых сво�дится к тому, что при своем изменении бесконечно малая (по абсо�лютной величине) будет меньше любого как угодно малого числаε > 0, а бесконечно большая – больше любого как угодно большогочисла М > 0.

Нужно знать взаимосвязь бесконечно малых и бесконечно боль�ших величин, а также свойства бесконечно малых величин, с помо�щью которых доказываются теоремы о пределах. Следует обратитьвнимание на признаки существования пределов, особенно на теоре�му 1 ([1, § 6.5] или [3, § 6.5]), часто позволяющую установить нали�чие предела значительно проще, чем при использовании его опреде�ления.

Необходимо (без вывода) знать второй замечательный пределв двух формах записи:

1

lim 1x

xe

x

и 1/

0lim 1 .

y

yy e

Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) яв�ляется более простым, чем предел, так как оно выражается непре�рывностью графика при прохождении данной точки, данного про�межутка (без отрыва карандаша от листа бумаги). Наряду с интуи�тивным представлением, надо знать определение непрерывностифункции в точке и на промежутке, свойства непрерывных функций.Следует помнить, что всякая элементарная функция непрерывнав каждой точке области определения и может иметь разрыв лишь награницах области определения.

19

Раздел III. Дифференциальное исчисление

Тема 6. ПроизводнаяЗадачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее гео3

метрический, механический и экономический смысл. Уравнение каса3тельной к плоской кривой. Дифференцируемость функции. Связь меж3ду дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимыйпризнак дифференцируемости). Основные правила и основные форму3лы дифференцирования. Производная сложной функции. Производныевысших порядков [1, § 7.1–7.7], [2, § 7.1–7.3] или [3, § 7.1–7.7, 7.11,7.12].

Студенты должны знать две классические задачи, которые при�водят к понятию производной: об уравнении касательной к кривой ио скорости неравномерного прямолинейного движения. Их решениевыявляет геометрический и механический смысл производной. Нуж�но знать определение производной, представлять ее экономическийсмысл ([1, § 7.6] или [3, § 7.10]), уметь составлять уравнение каса�тельной к графику любой функции y = f (x) в заданной точке.

Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходи�мым условием дифференцируемости функции. Необходимо четкоуяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точкеследует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема не спра�ведлива, так как существуют непрерывные функции, которые в не�которых точках могут не иметь производной ([1, § 7.2] или [3, § 7.2]).

Нужно, хорошо усвоив основные правила дифференцирования,уметь находить производную суммы и произведения несколькихдифференцируемых функций, производную частного двух функций,пользоваться основными формулами дифференцирования, а такжеуметь их вывести. Таблица основных формул приведена в учебнике([1, § 7.5] или [3, § 7.5]) и на переднем форзаце. Наиболее важнымдля овладения техникой дифференцирования функций, и к тому женаиболее трудным, является правило дифференцирования сложнойфункции ([1, § 7.4] или [3, § 7.4]). Знание этого правила способству�ет успешному освоению техники дифференцирования функций. По�этому необходимо обратить особое внимание на примеры с решени�

20

ями, в которых иллюстрируется его применение. Нужно усвоить по�нятия производных высших порядков и уметь их находить.

Тема 7. Приложения производнойПравило Лопиталя (без вывода). Теоремы Ролля и Лагранжа.

Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции.Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй доста3точный признак – без доказательства). Наибольшее и наименьшеезначения функции на отрезке, их нахождение. Исследование функции(область определения, четность и нечетность, интервалы монотон3ности и точки экстремума, поведение функции при x и в точ3ках разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимпто3ты, точки пересечения графика с осями координат) и построение ееграфика. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c и ее график. Дробно3линейная функция y = (ax + b)/(cx + d) и ее график [1, § 8.1–8.5, 8.7–8.9], [2, § 8.1–8.3, 8.5] или [3, § 8.1–8.5, 8.7, 8.8, 8.10–8.12, 8.14].

Одно из простейших приложений производной – раскрытие

неопределенностей вида [0/0] или / с помощью правила Ло�

питаля ([1, § 8.2] или [3, § 8.2]). Обратите внимание на то, что со�гласно формуле (8.3) предел отношения двух бесконечно малых илидвух бесконечно больших функций равен пределу отношения ихпроизводных, а не пределу производной частного этих функций.

Теоремы дифференциального исчисления являются обосновани�ем такой важной области приложения производных, как исследова�ние функций. Студенты должны знать формулировки этих теорем,четко различая в них условие и заключение.

В учебнике приведена схема исследования функции для нахож�дения ее характерных точек и выявления особенностей, по которымможно построить ее график ([1, § 8.8] или [3, § 8.8]. Выполнение пунк�та 6о этой схемы, связанного с нахождением интервалов выпуклостифункции и точек перегиба, не обязательно.

21

Тема 8. Дифференциал функцииПонятие дифференциала функции. Геометрический смысл диффе3

ренциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы диффе3ренциала первого порядка [1, § 9.1, 9.2], [2, гл. 9] или [3, § 7.7–7.9, 7.13].

Дифференциал функции y = f (x) – главная линейная (относи�тельно приращения Δ x аргумента) часть приращения функции –равен dy =f´(x) dx.

Геометрический смысл дифференциала рассмотрен в [1, § 9.1]или [3, § 7.4].

Так как дифференциал функции равен произведению ее произ�водной на дифференциал аргумента, то операция нахождения диф�ференциала сводится к нахождению производной и также называет�ся дифференцированием функции.

Важное свойство дифференциала первого порядка – инвариант�ность его формы (или формулы). Это означает, что дифференциалфункции y = f (u) равен dy = f´(u) du и не зависит от того, являетсяли u независимой переменной или функцией. Свойство инвариант�ности формы дифференциала используется далее в интегральномисчислении.

Раздел IV. Функции нескольких переменных

Тема 9. Функции нескольких переменныхФункции двух и нескольких переменных. Частные производные и

техника дифференцирования. Экстремум функции двух переменных иего необходимое условие. Понятие об эмпирических формулах и мето3де наименьших квадратов. Построение методом наименьших квадра3тов линейной функции по эмпирическим данным (вывод системы нор3мальных уравнений) [1, § 15.1, 15.3, 15.6, 15.9], [2, § 15.1–15.4] или [3,§ 9.1, 9.3, 9.7, 9.10, 9.12–9.15].

Фактически мы ограничиваемся рассмотрением функции двухпеременных. Для успешного усвоения этого раздела рекомендуетсяиспользовать метод аналогии с функциями одной переменной, хотяс увеличением числа переменных возникают существенные каче�

22

ственные отличия. Область определения функции двух переменныхизображается множеством точек плоскости, а график – некоторойповерхностью в трехмерном пространстве ([1, пример 15.2] или [3,пример 9.2]).

В определении частной производной функции по одной из пере�менных используется понятие частного приращения, а в остальномоно сходно с определением производной функции одной переменной.Обратите внимание на способы обозначения частных производных.Техника дифференцирования функции двух (нескольких) перемен�ных включает те же правила и примеры, которые использовалисьпри нахождении производных функций одной переменной.

Для экстремума функции двух переменных формулируются оп�ределение и необходимое условие его существования ([1, § 15.6] или[3, § 9.7]), которые не являются достаточными.

Построение эмпирических формул методом наименьших квадра�тов имеет большое прикладное значение, в том числе в статистичес�ких и экономических исследованиях. Так как эмпирическая формулавключает неизвестные параметры, то критерий, согласно которомуона получается, является функцией этих параметров (функцией не�скольких переменных). Параметры подбираются таким образом,чтобы критерий принял оптимальное (минимальное) значение. Воз�никает задача нахождения экстремума функции нескольких пере�менных – этим и объясняется рассмотрение в данном разделе методанаименьших квадратов.

Полученная методом наименьших квадратов, эмпирическаяформула является приближением таблично заданной функции.

Следует отметить, что погрешность построенного приближения

f (x) оценивается величиной 2

1

1 n

iin

, где i i if x y , а n –

число табличных значений (xi, yi). Используя полученное приближе�ние, можно найти значения функций в точках, которые отличаютсяот табличных и лежат внутри отрезка (x1, xn) (интерполяция) иливне его (экстраполяция).

23

Раздел V. Интегральное исчислениеи дифференциальные уравнения

Тема 10. Неопределенный интегралПонятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства

неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основныхинтегралов. Интегрирование методом разложения, замены перемен3ной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах [1, § 10.1–10.5, 10.8], [2, § 10.1–10.3, 10.5] или [3, § 10.1–10.6, 10.9–10.11].

Следует обратить внимание на то, что интегрирование вводитсякак операция, обратная дифференцированию, но, в отличие от пос�леднего, приводит к неоднозначному результату: для любой непре�рывной функции f (x) имеется бесконечное множество первообраз�ных. Они отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое.

Доказательства основных свойств неопределенного интегралаполучены исходя из определения первообразной. Правильность ин�тегрирования можно проверить дифференцированием; этот приемследует использовать для проверки решения соответствующих при�меров в контрольной работе.

Под непосредственным интегрированием понимают нахожде�ние неопределенного интеграла путем преобразования его к таблич�ному с помощью основных правил интегрирования и тождествен�ных преобразований подынтегральной функции.

Обратите внимание на свойство, связанное с линейным преобра�зованием аргумента ([1, формула (10.17)] или [3, формула(10.19)]), так как это простейшее из свойств, которое часто приме�няется при непосредственном интегрировании. Используя его, мож�но свести к табличным ряд интегралов.

Метод подстановки, или метод замены переменной, – один из ос�новных приемов интегрирования функций. Следует обратить вни�мание на то, что можно использовать подстановки двух видов:

а) переменная интегрирования x заменяется функцией перемен�ной t:

,x t ;dx t dt

24

;f x dx f t t dt б) новая переменная t вводится как функция переменной интег�

рирования x:

,t x ;dt x dx

.f x x dx f t dt Последнюю подстановку удобно применять, если подынтеграль�

ное выражение содержит дифференциал (производную) функцииϕ(х) с точностью до постоянного множителя.

Если интеграл, полученный после замены переменной, стал«проще» данного (преобразован в табличный или приводящийсяк табличному), то цель подстановки достигнута.

После интегрирования функции по переменной t необходимовернуться к прежней переменной x, выразив t через x по формуле,применявшейся при подстановке.

Примеры различных подстановок даны в ([1, § 10.3, 10.6] или [3,§ 10.3, 10.6]).

Практическое применение формулы интегрирования по частям([1, § 10.4] или [3, § 10.4]), если оно целесообразно, связано с пробле�мой правильного разбиения подынтегрального выражения на со�множители u и dv. Отметим, что формулу интегрирования по час�тям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функ�ция является произведением многочлена на показательную или ло�гарифмическую функцию ([1, примеры 10.10–10.13], [3, примеры10.8, 10.9]).

Тема 11. Определенный интегралЗадача о вычислении площади криволинейной трапеции. Опреде3

ленный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньюто3на–Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление опреде3ленного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятиео несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирова3ния. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычислениеопределенного интеграла по формуле трапеций [1, § 11.1–11.8, 11.10],[2, § 11.1–11.4] или [3, § 11.1–11.8, 11.11–11.14].

25

Рассматривая задачу о нахождении площади криволинейнойтрапеции, нужно четко представлять, что сначала выводится форму�ла площади этой фигуры, а затем проводится ее вычисление.

Студент должен знать определение определенного интегралакак предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Нью�тона–Лейбница ([1, формула (11.15)] или [3, формула (11.15)]) –основной формуле интегрального исчисления – удается свести вы�числение этого интеграла к нахождению приращения любой перво�образной для данной функции на отрезке интегрирования. Следуетобратить внимание на достаточное условие интегрируемости функ�ции на данном отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Используя метод подстановки при вычислении определенногоинтеграла, нужно изменять пределы интегрирования после введе�ния новой переменной и вычислять интеграл, не возвращаясь к ста�рой переменной ([1, примеры 11.3, 11.18] или [3, примеры 11.3,11.23]).

Применяя формулу интегрирования по частям, можно находитьчастное приращение первообразной uv в процессе решения, не от�кладывая это действие до полного отыскания первообразной ([1,пример 11.4] или [3, пример 11.4]).

Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределамипоявляется как обобщение понятия определенного интеграла дляслучая, когда один или оба из пределов интегрирования не ограни�чены, то есть когда подынтегральная функция определена и непре�

рывна на одном из промежутков: ; ,а b; или ; . Если

при этом первообразная известна (является элементарной функци�ей), то сходимость несобственного интеграла устанавливается поопределению. Если первообразная неизвестна (неопределенныйинтеграл не «берется» в элементарных функциях), то сходимостьустанавливается косвенным путем с помощью признаков сходимос�ти. Последнее выходит за рамки программы.

Применяя определенный интеграл для вычисления площадейплоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, чтовсякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывнымикривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следуетпомнить, что «простейшей» фигурой, площадь которой выражаетсяопределенным интегралом, является криволинейная трапеция.

26

Во всех остальных случаях фигуру нужно представить в виде суммили разностей криволинейных трапеций. Решение задачи на вычис�ление площади криволинейной трапеции всегда начинают с пост�роения чертежа, при этом следят за тем, чтобы граница фигуры со�держала все заданные в условии линии и точки. (Уяснить сказанноеможно, разобрав примеры, в которых вычисляются площади раз�личных плоских фигур) (см. раздел «Задачи для самоподготовки».)

Формула трапеций и другие формулы для приближенноговычисления определенных интегралов используются в том случае,когда соответствующая первообразная не является элементарнойфункцией («неберущийся» неопределенный интеграл) или когдаинтеграл представляет собой трансцендентную функцию (для со�ставления таблиц значений таких функций).

Тема 12. Дифференциальные уравненияПонятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное реше3

ния. Задача Коши. Задача о построении математической модели де3мографического процесса. Дифференциальные уравнения первого по3рядка (неполные, с разделяющимися переменными, однородные и ли3нейные) [1, § 12.1, 12.2, 12.4–12.6], [2, § 12.1–12.4] или [3, § 12.1, 12.2,12.4–12.6, 12.11–12.14].

Во многих задачах экономики, физики, экологии встречаютсяуравнения, связывающие искомую функцию одной или несколькихпеременных с производными (или дифференциалами) различныхпорядков и получившие название дифференциальных уравнений.Одна из таких задач о построении простейшей математической мо�дели демографического процесса ([1, пример 12.3] или [3, пример12.3]) рассматривается в данной теме.

Обратите внимание на то, что задача Коши – задача отысканиячастного решения дифференциального уравнения первого порядка

,y f x y , удовлетворяющего начальному условию 0 0y x y ,

всегда имеет решение, и притом единственное. Геометрически это оз�начает существование единственной интегральной кривой диффе�ренциального уравнения, проходящей через каждую точку открыто�

го множества, в которой функция ,f x y определена.

27

Студент должен знать основные понятия и уметь решать диффе�ренциальные уравнения первого порядка различных типов – непол�ные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Раздел VI. Ряды

Тема 13. Числовые рядыПонятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Свойства

сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказать). Рас3ходимость гармонического ряда. Достаточные признаки сходимостизнакоположительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера,интегральный признак. Знакопеременные ряды. Признак Лейбницасходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходи3мость [1, § 13.1–13.5], [2, § 13.1–13.3] или [3, 13.1–13.7].

При изучении данной темы студенты знакомятся с новой фор�мой изучения числовой последовательности. Следует уяснить, что

обозначение 1

nn

u

, или u1 + u2 + …+ u

n + …, – символ, который

не следует смешивать с обычной (конечной) суммой. Сумма и сходи�мость ряда определяются через предельный переход. При рассмот�рении ряда могут решаться такие задачи, как определение его суммыи исследование сходимости. Решение первой задачи «перекрывает»вторую, но это не всегда возможно или вызывает значительные труд�ности. Решение второй задачи не менее важно, так как в случае, еслиряд сходится, то его сумма существует и ее можно найти приближен�но с любой степенью точности, взяв сумму достаточного числа егопервых членов.

Нужно уяснить, что необходимый признак сходимости (для схо�

дящихся рядов 0nu при n ) не является достаточным, но изнеобходимого признака сходимости следует, что если предел общего

члена lim 0,nn

u

то ряд расходится. Поэтому исследование сходимо�

сти числового ряда рекомендуется начинать с вычисления пределаего общего члена (если он находится не очень сложно). Если предел

28

окажется равным нулю, то это означает, что ряд может сходиться.Чтобы установить, сходится ли ряд, далее применяют достаточныепризнаки сходимости.

Применяя признаки сравнения, можно использовать в качестве«эталонных» следующие ряды:

1) геометрический ряд 1

1

n

n

aq

– сходится при |q| < 1, расходит�

ся при |q| ≥ 1;

2) гармонический ряд 1

1

n n

– расходится;

3) обобщенный гармонический ряд 1

1

n n

– сходится при 1;

расходится при 1. К признаку сравнения обращаются тогда, когда признак Далам�

бера показывает, что 1lim 1n

nn

u

u

. Во всех этих случаях применения

достаточных признаков сходимости речь идет об исследовании ря�дов с положительными членами.

Говоря о сходимости знакочередующихся рядов, следует иметьв виду два типа сходимости – абсолютную и условную. Важностьэтих понятий связана с тем, что абсолютно сходящиеся ряды, в отли�чие от условно сходящихся, обладают некоторыми свойствами ко�нечных сумм. Решать вопрос о сходимости знакочередующегосяряда рекомендуем в таком порядке.

1. Составить ряд из абсолютных величин членов данного знако�чередующегося ряда.

2. Исследовать сходимость полученного ряда. Может оказаться,что этот ряд сходится. Тогда исходный ряд также сходится, и притомабсолютно. Задача решена.

Если же составленный ряд расходится, то в этом случае о сходи�мости или расходимости исходного ряда сделать вывод нельзя; необ�ходимо выполнить пункт 3.

3. Исследовать условную сходимость исходного знакочередую�щегося ряда, например, по признаку Лейбница.

29

Тема 14. Степенные рядыПонятие функционального и степенного рядов. Теорема Абеля

(без доказательства). Область, интервал и радиус сходимости сте3пенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Маклорена для функций ex,ln (1 + x). Биномиальный ряд. Применение рядов в приближенных вы3числениях: приближенное вычисление значений функций и определен3ных интегралов [1, § 14.1–14.4], [2, § 14.1–14.3] или [3, § 4.1–14.6].

При изучении этой темы, особенно в случае решения задач, сле�дует помнить, что при выводе формулы радиуса сходимости степен�ного ряда использовался признак Даламбера, применяемый для ис�следования сходимости знакоположительных рядов. Поэтому в фор�

муле 1

lim n

nn

cR

c

, где сn, c

n+1 – коэффициенты соответственно п3го и

(n+1)�го членов степенного ряда, определяется предел абсолютнойвеличины отношения этих коэффициентов. В промежутке (–R; R)степенной ряд сходится абсолютно для любых х, а на границах ин�тервала сходимости соответствующие числовые ряды могут схо�диться, расходиться, сходиться на одном из концов интервала, схо�диться при любом действительном значении или только в однойточке х = 0 ([1, примеры 14.2, 14.3а, 14.3б, 14.7] или [3, примеры 14.2,14.3а, 14.3б, 14.7]).

При решении вопроса о сходимости степенного ряда на концахинтервала сходимости следует использовать признаки сравнениядля знакоположительных рядов или признак Лейбница, если рядзнакочередующийся. Признак Даламбера в указанных случаях при�менять нецелесообразно, так как всегда будет получаться, что соот�ветствующий предел равен единице.

Возможность интегрирования и дифференцирования степенныхрядов внутри интервала сходимости используется, например, для сум�мирования рядов и разложения некоторых функций в степенной ряд.

Необходимо помнить, что ряд Маклорена, формально записан�ный для некоторой функции, может сходиться к этой функции толь�ко в некотором промежутке (требуется определить интервал егосходимости), может вообще расходиться или сходиться к другой

30

функции. При решении задач по этой теме можно специально не до�казывать, что полученный для данной функции ряд Маклоренав интервале сходимости сходится именно к этой функции.

При решении задач, в которых требуется разложить функциюв степенной ряд, студент должен знать разложения в ряд элементар�ных функций ex, ln (1 + x), (1 + x)m ([1, § 14.2] или [3, § 14.2]) и на�учиться использовать их для получения разложений в ряд другихфункций.

Область сходимости рядов Маклорена необходимо учитыватьпри использовании рядов в приближенных вычислениях значенийфункций, интегралов и т.п. ([1, § 14.3] или [3, § 14.6]).

Используя ряды в приближенных вычислениях, рассматриваютзадачи двух видов:

а) при заданной точности результата определить необходимоечисло членов ряда, обеспечивающих эту точность;

б) вычислив сумму некоторого числа первых членов разложенияфункции в ряд, указать погрешность результата.

Предложенные в контрольных работах примеры содержат, какправило, знакочередующиеся ряды, поэтому погрешность вычисле�ния определяется с помощью следствия из признака Лейбница ([1,§ 13.4] или [3, § 13.4]).

Вопросы для самопроверки1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матри�

цы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами:умножение на число, сложение и умножение матриц.

2. Определители 2�го, 3�го и n�го порядков (определения и ихсвойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элемен�там строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неосо�бенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица,обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k3го порядка. Ранг матрицы (определение).Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразова�ний. Пример.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теоремао ранге матрицы.

31

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание,умножение на число). n�мерный вектор. Понятие о векторном про�странстве и его базисе.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Ха�рактеристическое уравнение матрицы.

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид)и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Сов�местные и несовместные, определенные и неопределенные системылинейных уравнений.

9. Решение системы n линейных уравнений с п переменными ме�тодом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса.

10. Решение систем п линейных уравнений с п переменнымис помощью обратной матрицы (вывод формулы Х = А –1В).

11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейныхуравнений с п переменными (без вывода).

12. Понятие функции. Способы задания функций. Область опре�деления. Четные и нечетные, ограниченные и монотонные функции.Примеры.

13. Понятие элементарной функции. Основные элементарныефункции (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая)и их графики.

14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух ли�ний. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из нихвывести).

15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование.Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

16. Предел последовательности при n и предел функциипри x . Признаки существования предела (с доказательствомтеоремы о пределе промежуточной функции).

17. Определение предела функции в точке. Основные теоремыо пределах (одну из них доказать).

18. Бесконечно малые величины (определение). Свойства беско�нечно малых величин (одно из них доказать). Бесконечно большиевеличины, их связь с бесконечно малыми.

19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натураль�ных логарифмах.

32

20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойствафункций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение каса�тельной к плоской кривой в заданной точке.

22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связьмежду дифференцируемостью и непрерывностью функции (дока�зать теорему).

23. Основные правила дифференцирования функций одной пе�ременной (одно из правил доказать).

24. Формулы производных основных элементарных функций(одну из формул вывести). Производная сложной функции.

25. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометри�ческая интерпретация этих теорем.

26. Достаточные признаки монотонности функции (один из при�знаков доказать).

27. Определение экстремума функции одной переменной. Необ�ходимый признак экстремума (доказать).

28. Достаточные признаки существования экстремума (доказатьодну из теорем).

29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, на�клонные и вертикальные асимптоты. Примеры.

30. Общая схема исследования функций и построения их графи�ков. Пример.

31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные про�изводные (определение). Экстремум функции нескольких перемен�ных и его необходимые условия.

32. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьшихквадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системынормальных уравнений).

33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инва�риантность формы дифференциала первого порядка.

34. Понятие первообразной функции. Неопределенный интег�рал и его свойства (одно из свойств доказать).

35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле иособенности его применения при вычислении определенного интег�рала.

33

36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределен�ного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.Свойства определенного интеграла.

38. Теорема о производной определенного интеграла по пере�менному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

39. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег�рирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определен�ного интеграла. Примеры.

41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частноерешения. Задача Коши. Задача о построении математической моде�ли демографического процесса.

42. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка(разрешенные относительно производной, с разделяющимися пере�менными) и их решение. Примеры.

43. Однородные и линейные дифференциальные уравненияпервого порядка и их решение. Примеры.

44. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать).46. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположи�

тельных рядов. Примеры.47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости

знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость ря�дов.

48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклоре�на. Разложение в ряд Маклорена функции у = еx (вывод). Интервалсходимости полученного ряда.

49. Разложение в ряд Маклорена функции y = ln (1 + x) (вывод).Интервал сходимости полученного ряда.

50. Разложение в ряд Маклорена функции у = (1 + х)n (вывод).Интервал сходимости полученного ряда.

34

Задачи для самоподготовкиНиже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и

для самостоятельного выполнения по учебнику [1], практикуму [2]или учебнику [3], рассматриваемых в качестве основной литературы.

Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большин3ство задач с решениями (их номера выделены полужирным шриф�том). Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набра�ны обычным шрифтом) следует решать выборочно в зависимостиот лимита времени (например, каждую вторую или каждую третьюзадачу из списка задач по теме).

Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить поприводимым в практикуме [2] или учебнике [3] тематическим и ито�говым контрольным заданиям и тестам, решая задания в соответ�ствии с учебно�программным материалом по каждой теме.

35Номера

зад

ач

Тема

по

учебнику

[1]

по

практикуму

[2]

по

учебнику

[3]

1

2

3

4

I сем

естр

Раздел

I. Элем

енты

линейной

алгебры

1.1

–1

.13

1.

1–

1.5

, 1.2

4–

1.2

7, 1

.51–

1.5

3

1.1

–1

.6,

1.8

–1.

15,

1.3

7–

1.3

9,

1.6

8–1

.70

1

. Матрицы

и

определители

1.

14

–1.2

0, 1

.22

–1

.29

1.6

–1.

23

, 1.2

9–

1.5

0, 1

.54–

1.6

5

1.1

6–1

.29

, 1.

40–

1.4

8,

1.5

1–1

.57

, 1

.60

–1.6

7, 1

.71

–1

.87

3.2

, 3.

3, 3

.7

3.2

4,

3.2

6а,

3.7

1

3.2

, 3.3

, 3

.37

–3.

39,

3.8

4

2. Векторы

3.

18

–3.2

0, 3

.27

, 3

.28

3.3

7–

3.4

2a

, 3

.43

, 3.

44,

3.7

4–

3.7

9

3.5

0–3

.55

a,

3.5

6,

3.5

7, 3

.87–

3.9

2

2.1

–2

.3,

2.6

, 2

.7

2.1

–2.

4

2.1

–2.3

, 2.9

–2

.13

3

. Системы

линейны

х уравнений

2

.11

, 2.

12

, 2.1

5–

2.1

8,

2.2

1–2

.23

2

.6–

2.3

2

2.1

4–2

.43

Раздел

II. Введение

в анализ

4.1

–4

.3,

4.5

, 4.

10

, 4.1

2

4.1а,

4.4

, 4

.5,

4.7

, 5.

1,

5.4

, 5.

6,

5.7а

4

.2, 4

.3, 4

.5,

4.1

6, 4

.18,

5.1

, 5

.2,

5.

6–5

.8, 5

.12,

5.1

5

4. Функции

4.1

4–4

.19,

4.2

1–

4.2

3 4

.11

–4.

14

, 4.2

3–

4.3

2, 4

.34–

4.4

6,

5

.12

–5.

16,

5.2

2–

5.2

6, 5

.36

, 5

.37

4

.33–

4.4

2,

4.4

7–4

.58

, 5.

16

–5.1

9,

5.2

3–5

.31,

5.4

6,

5.4

7 6

.1–6

.3, 6

.5,

6.6

,

6.8

–6.

11

, 6.1

3,

6.1

4 6

.1–

6.6

, 6

.12

–6.1

7, 6

.45

, 6.

46

, 6

.68

, 6.

69,

6

.97

–6.

99,

6.1

68

, 6

.16

9

6.1

–6.3

, 6.5

, 6

.6,

6.8

–6.

11

, 6.8

1,

6.1

55

5. Пределы

и

непреры

вность

6.1

8,

6.2

0–6

.27,

6.

33

–6.3

6, 6

.38

–6

.41

6.7

–6.9

, 6.1

1, 6

.18

–6.2

3, 6

.25

–6.2

7,

6.3

0–

6.3

4, 6

.36

–6.

39

, 6.4

3, 6

.44

,

6.4

7–6

.67

, 6.

70–

6.9

6,

6.1

00–

6.1

20,

6

.170

–6.

17

5

6.1

2–6

.79

, 6.

110

–6.

132

,

6.1

46–

6.1

53,

6.1

56–

6.1

65

Раздел

III.

Дифференциальное исчисление

7.

1–

7.8

, 7.

10,

7.1

3,

7.1

5–7

.17

7

.1,

7.2

, 7

.13

, 7

.15,

7.1

09

, 7.1

10

7

.1–

7.8

, 7

.10

, 7

.19

–7.

22

, 7.2

5, 7

.10

5,

7.1

06

6. Производ

-ная

7.2

0–

7.2

9, 7

.35

, 7.

42,

7

.43

, 7.

46

–7.4

9

7.3

, 7.

5–

7.8

, 7

.9,

7.1

0, 7

.21

, 7.

25,

7.2

6,

7.2

8–7

.31,

7.3

4–

7.3

7, 7

.41

, 7.

42–

7.4

6,

7.4

8, 7

.53

, 7

.54

, 7

.11

3–

7.1

15,

7

.122

–7.

12

7

7.2

6–7

.51,

7.6

4,

7.6

5,

7.9

0–

7.1

00,

7.1

07–

7.1

15,

7.1

17–

7.1

19

36

8.1–

8.3

, 8.4

–8.7

, 8.9

, 8.

11–8

.15,

8.1

7 8.

1, 8

.9, 8

.10,

8.1

3, 8

.14,

8.3

5, 8

.36

, 8

.38–

8.40

, 8.9

4–8

.97

8.1–

8.8,

8.1

0, 8

.12–

8.17

, 8.2

5,

8.2

6, 8

.28

–8.3

0, 8

.51,

8.5

2,

8.5

4–8.

56,

8.11

0–8

.113

7. П

риложения

прои

звод

ной

8.

19–8

.34,

8.4

1–8

.53

8.4

–8.6

, 8.1

5–8.

22, 8

.25,

8.2

7–8

.30

, 8.4

1,

8.52

, 8.5

5–8.

57, 8

.69–

8.71

, 8.7

5–8.

77,

8.1

00–8

.102

, 8.1

05,

8.10

6, 8

.108

–8.

118,

8.

120

, 8.

121

, 8.1

23,

8.12

4

8.2

0–8.

23, 8

.31–

8.3

8, 8

.41

, 8

.43–

8.46

, 8.5

7–8

.73,

8.7

5,

8.7

7–8.

79, 8

.81,

8.8

2, 8

.84–

8.87

, 8.

89,

8.91

–8.

94, 8

.116

–8.

118,

8.

121

, 8.

122

, 8.1

24–8

.134

, 8.1

36,

8.1

37,

8.13

9, 8

.140

9.

1, 9

.3, 9

.5

9.1

, 9.2

, 9.6

7.

12–

7.1

4, 7

.16

, 7.1

20

8. Диф

фер

ен-

циал

функции

9.

6–9

.12

9.7–

9.12

, 9.1

3–9.

17

7.1

22–7

.125

, 7.1

27,

7.12

8, 7

.130

, 7

.132

, 7.1

34–7

.138

, 7.1

40,

7.14

1 II семестр

Раздел

IV. Ф

ункции

нескол

ьких пе

ремен

ных

15.7

, 15.

9, 1

5.13

15

.1–1

5.3,

15.

27,

15.

88–

5.90

9.

1, 9

.2, 9

.6–9

.9,

9.1

3–9.

15,

9.4

0,

9.41

, 9.6

9–9

.71,

9.1

01–

9.10

3 9

. Функции

нескольких

переменных

15.2

3–1

5.32

, 15.

39,

15.4

0 1

5.6–

15.1

1, 1

5.14

–15

.19,

15.

31,

15

.33–

15.3

6, 1

5.3

8, 1

5.91

–15.

98

9.1

9–9.

24, 9

.44–

9.51

, 9.7

5–9.

78,

9.8

0–9.

88,

9.10

4–9

.109

Раздел

V. И

нтегральное исч

исл

ени

е и

диффер

енциал

ьные ур

авнен

ия

10

.1–1

0.4

, 10

.6–

10.1

1,

10.1

3, 1

0.14

, 10

.18а

, 10

.23,

10.

24а

, 10

.25–

10.2

7

10.1

, 10.

19,

10.2

0, 1

0.73

, 10

.105

, 10.

106,

10

.132

10.

1–10

.4, 1

0.6–

10.8

, 10.

10,

10.1

2–1

0.14

, 10.

19,

10.4

1, 1

0.4

2,

10.9

5, 1

0.1

55

10.

Неопре

де-

ленны

й инте

-грал

10.3

3–10

.39,

10

.41–

10.4

5,

10.4

7–10

.54,

10

.55–

10.

59, 1

0.61

, 10

.63–

10.6

5,

10.6

8–10

.70

10.

2–10

.4, 1

0.6–

10.1

0, 1

0.1

3–10

.15,

10

.18,

10.

21, 1

0.22

, 10

.24,

10.

25,

10.2

8–1

0.34

, 10.

37,

10.3

8, 1

0.4

2–10

.56,

10

.58–

10.

65, 1

0.75

–10.

81, 1

0.8

4, 1

0.8

5,

10.9

2, 1

0.9

3, 1

0.96

, 10

.10

3, 1

0.10

4,

10.1

07,

10.1

16,1

0.11

7, 1

0.13

3, 1

0.1

35,

10.

136,

10.

138,

10

.140

, 10.

141

10.2

0–10

.22,

10

.24–

10.3

2,

10.3

5–1

0.37

, 10.

43,

10.4

4, 1

0.4

6,

10.4

7, 1

0.5

0–10

.56,

10.

59, 1

0.6

0,

10.6

4–10

.78,

10

.80–

10.8

7,

10.9

7–10

.107

, 10

.114

, 10.

115,

10

.118

, 10

.125

, 10

.126

, 10

.156

–10.

161,

10.

163

–10

.167

371

1.1

–1

1.7

, 11

.10

, 11

.11

,

11.1

8–

11.2

2 1

1.1

, 1

1.3

0, 1

1.7

3, 1

1.9

1

11.1

–11

.7,

11

.13

, 11

.14,

11.

16

,

11

.23

, 11

.55

, 11

.11

2, 1

1.1

36

11. Опреде-

ленный

инте

-

грал

11.2

5–1

1.3

0,

11.3

2–1

1.3

5,

11.3

7–1

1.3

9,

11.4

1–1

1.5

2, 1

1.5

7,

11.5

9

11

.2–

11.

12

, 1

1.1

4, 1

1.2

1, 1

1.2

2,

11

.25

,

11.2

6, 1

1.2

7,

11.

29,

11.

36

–11

.41

,

11.4

3–1

1.4

5,

11.

47–

11.

51

, 11

.75

,

11.7

6–1

1.7

8,

11.

81,

11.

82

, 11

.92

,

11.9

3–1

1.9

5

11

.24

–11

.38

, 11

.40

, 11

.47

, 11

.48

,

11

.51

–11

.53

, 11

.55а

, 11

.61

–1

1.6

6,

11.

68

–11

.80

, 1

1.8

2–1

1.8

6,

11.

114

–11

.12

4,

11

.12

6, 1

1.1

27,

11.1

33

, 11

.13

7–

11.

14

0

12.

2–

12.5

, 1

2.8

–1

2.1

3

12

.1–

12.4

, 12

.15

, 12

.16

, 12

.31

, 12

.32

,

12.4

5, 1

2.4

6

12.1

–1

2.4

, 1

2.8

–1

2.1

3,

12.

29

–12

.32

, 1

2.4

3, 1

2.5

9,

12.7

3

12

. Диффе

-

ренциальные

уравнения

12.2

5–1

2.3

6,

12.3

0–

12.4

8

12

.5–

12.

10

, 1

2.1

1, 1

2.1

2, 1

2.1

4,

12.1

7–

12.2

9, 1

2.3

3–1

2.4

1, 1

2.4

3, 1

2.4

4,

12.4

8,

12.4

9, 1

2.5

4, 1

2.5

8, 1

2.5

9

12.

33

–12

.42

, 1

2.4

5–1

2.5

1,

12

.55

–12

.57

, 12

.61

–12

.70

, 12

.76

,

12.

77

, 12

.79

–12

.82

, 12

.86

, 12

.87

Раздел

V. Ряды

13.1

–1

3.1

2,

13.

14

,

13.1

5 1

3.1

–13

.3, 1

3.1

4–1

3.1

6, 1

3.6

8–1

3.7

0

13.1

–13

.9,

13

.11

–13

.14,

13.

16,

13

.31

–13

.33

, 13

.35

, 13

.36,

13.

10

3,

13

.10

5

13

. Числовы

е

ряды

13

.16–

13.

40

,

13.4

2–

13.4

5

13.

4–

13.7

, 1

3.9

–1

3.1

3,

13.1

7–

13.2

3,

13.2

5,

13.2

7, 1

3.2

9–1

3.3

6, 1

3.3

9–

13.

50

,

13.5

3–

13.5

5, 1

3.5

6–1

3.6

3, 1

3.6

6, 1

3.6

7,

13.7

1–

13.

83,

13.

85–

13.

90

13

.17

, 13

.18

–13

.22

, 13

.25

–13

.30

,

13

.37

–13

.50

, 13

.53

–13

.55

, 13

.59

,

13

.64

–13

.79

, 13

.82

–13

.96

, 13

.98

,

13.1

01,

13.1

02

, 1

3.1

06–

13.

130

14.

1–

14.3

, 1

4.5

, 1

4.6

,

14

.8,

14.9

1

4.1

, 1

4.2

2–

14.

26,

14.

58

, 14

.59

1

4.1

–1

4.3

, 1

4.5

, 14

.6, 1

4.3

4–

14

.36

,

14.

38

, 14

.72

, 1

4.7

3

14

. Степенные

ряды

14

.10–

14.

17

,

14.1

9–1

4.2

1, 1

4.2

3,

14.2

4, 1

4.2

6, 1

4.2

7

14

.2–

14.8

, 14

.10

–14

.19

, 14

.21

, 14

.29

,

14.3

2–1

4.3

7,

14.

39,

14.

40

, 14

.42

,

14.4

6–1

4.4

9

14.

8–1

4.2

4,

14.4

1–

14.5

5,

14.

76

–14

.81

, 1

4.8

4, 1

4.8

6–

14.8

8

38

Методические указанияпо выполнению контрольных работ

В соответствии с учебным планом по дисциплине «Математи�ческий анализ и линейная алгебра» каждый студент должен выпол�нить две домашние контрольные работы № 1 и № 2 (по приведен�ным в данной брошюре вариантам) в сроки, установленные учеб�ным графиком.

По каждой контрольной работе студенты вечерних и дневныхгрупп проходят собеседование. На собеседовании выясняется, на�сколько глубоко усвоен пройденный материал и соответствуют лизнания студента и его навыки в решении задач качеству представ�ленной работы. Зачет по каждой контрольной работе студенты по�лучают лишь после успешного прохождения собеседования.

Номер варианта контрольной работы определяется в соответ�ствии с последней цифрой номера личного дела студента, которыйсовпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета.

Сроки представления домашних контрольных работ на провер�ку указаны в индивидуальном графике студента, а также сообщают�ся во время осенней установочной сессии. Однако эти сроки являют�ся крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а принеобходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит предста�вить значительно раньше указанного срока. Студентам дневныхгрупп рекомендуется свои домашние контрольные работы выпол�нять во время сессии (контрольную работу № 1 – во время осеннейустановочной, № 2 – во время зимней экзаменационной). Это даствозможность студенту использовать свое пребывание в институтедля консультаций по всем возникшим при выполнении работы воп�росам. После окончания сессии в течение двух недель работу необхо�димо окончательно завершить, а затем представить на проверку.

Если в процессе написания работы у студента появятся вопросыили затруднения в решении задач контрольного задания, он можетобратиться в институт за устной или письменной консультацией(например, по электронной почте или на форум кафедры).

При изучении учебного материала и подготовке к контрольнымработам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия,интернет�ресурсы, приведенные в разделе «Литература», а такжеданную брошюру.

39

После проверки контрольная работа студента получает оценку«Допущена к собеседованию» или «Не допущена к собеседованию».

Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при вы�полнении которых необходимо соблюдать следующие правила.

1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имею�щей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество(полностью), факультет, специальность, курс, номер личного дела,вариант и номер контрольной работы, место работы, занимаемуюдолжность и точный домашний адрес.

3. Перед решением каждой задачи нужно привести полностью ееусловие.

4. При решении задач следует придерживаться той последова�тельности, в которой они даны в задании, строго сохраняя при этомнумерацию примеров (задач).

5. Не допускается замена задач контрольной работы другимизадачами.

6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояс�нениями. Следует привести в общем виде используемые формулыс объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ –выделить.

7. Чертежи к задачам 5, 6 контрольных работ № 1 и № 2 должныбыть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соот�ветствии с условиями задач и теми результатами, которые получены.

8. В конце работы приводится список использованной литерату�ры (указывают автора, название, место издания, издательство и годиздания), ставятся дата окончания работы и подпись.

9. Если вычисления, выполняемые при решении задач, являютсяприближенными, то следует придерживаться правил приближен�ных вычислений, которые приведены в данном учебно�методичес�ком пособии.

Если работа получила в целом положительную оценку («Допу�щена к собеседованию»), но в ней есть отдельные недочеты (указан�ные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления идополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи«Работа над ошибками») и предъявить доработку на собеседовании.Если работа получила оценку «Не допущена к собеседованию», то ее

40

в соответствии с требованиями преподавателя необходимо частич�но или полностью переделать. Повторную работу следует выпол�нить в той же тетради (если есть место) или в новой тетради, сделавна обложке надпись «Повторная» и указав фамилию преподавателя,которым работа ранее была не зачтена. Вместе с незачтенной рабо�той и рецензией повторную работу необходимо снова сдать на про�верку.

Контрольная работа не засчитывается, если ее вариант не совпа�дает с последней цифрой номера личного дела студента или еслиона выполнена по вариантам прошлых лет.

Студенты, не получившие зачета хотя бы по одной из двух конт�рольных работ, к экзамену не допускаются. Зачтенные работыпредъявляются на экзамене и не подлежат возврату после успешнойсдачи экзамена.

41

Варианты контрольных работ

Вариант 1(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 1)

Контрольная работа № 11. Найти ранг матрицы:

0 4 10 1

4 8 18 7

10 18 40 17

1 7 17 3

.

2. Найти предел:

3 3

2

2 3lim .

1x

x x

x

3. Найти производную функции:

5ln 3 ln 4.xy x x e 4. Найти два положительных числа, сумма которых равна 6,

а сумма их кубов является наименьшей.5. Составить уравнения касательных к графику функции

3 2,

1x

yx

параллельных прямой, проходящей через точки (1; 8)

и (–1; –2). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию 2

2

1

1

x xy

x x

и построить схематично

ее график.

42

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

32 1 .x x dx 2. Вычислить определенный интеграл:

1

5ln 4.

ex

dxx

3. Вычислить определенный интеграл:

1

20

.5 6

dx

x x 4. Решить дифференциальное уравнение:

2 .y y x 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

2,y x 2 ,y x .y x

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице.

В результате их выравнивания получена функция 5

.yx

Ис�

пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан�

ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень�ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделатьчертеж.

7. Вычислить приближенно определенный интеграл

30,5

0

1 ,xe dxвзяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд Мак�лорена. Оценить погрешность.

xi 1 1,5 2 2,5 3 3,5

yi 5 3 2 1 1 0

43

Вариант 2(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 2)

Контрольная работа № 11. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 3,

3 3 6,

2 2 5 0.

x x x

x x x

x x x

2. Найти предел:

2lim 1 .x

x x x

3. Найти производную функции:

24353

2.

ln 7

xey e

x

4. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольныйтреугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18?

5. Составить уравнения касательных к графику функции2 4 5,y x x проведенных в точках ее пересечения с прямой

1.y x Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию 33 xy x e и построить схематич�

но ее график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

4 ln .x x dx2. Вычислить определенный интеграл:

1 2

0

5.

1x

dxx

44

3. Вычислить определенный интеграл:3

32

1 2

1

2 .x x dx 4. Решить дифференциальное уравнение:

2 3 32 2 .x y dx x y dy

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

ln 2 ,y x 2ln ,y x 0.y 6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y

приведены в таблице.

xi 2 3 4 5 6

yi 2 5 15 20 30

В результате их выравнивания получена функция 2 3.y x Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти

данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а иb). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи�меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде�лать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

31

2.

1

n n

n

x

n

Вариант 3(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 3)

Контрольная работа № 11. Методом обратной матрицы решить систему линейных урав�

нений:

45

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 4,

3 2,

2 3 8.

x x x

x x x

x x x

2. Найти предел:

1

0lim 1 2 .

xx

xx

3. Найти производную функции:

3 3ln 3 1 ln 2.

5 2 2x x

xy

4. Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м3 с квад�

ратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Ка�кими должны быть размеры резервуара, чтобы расход олова ока�зался минимальным? (Толщиной стенок пренебречь.)

5. Составить уравнения касательных к графику функции

2,

2x

yx

образующих с осью Ох угол 135o. Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию 4

11x

yx

и построить схематично ее

график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

3 2 5 .x x dx2. Вычислить определенный интеграл:

21

.ln 5ln 6

edx

x x x

46

3. Вычислить определенный интеграл:

1

0

.xe dx4. Решить дифференциальное уравнение:

32 3 .xy y e 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

3 ,y x 2 ,y x 2,x 1.x 6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y

приведены в таблице.

xi 0 1 2 3 4 5

yi 1,3 1,8 2,2 2,3 2,6 3

В результате их выравнивания получена функция 2.y x Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти

данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а иb). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи�меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде�лать чертеж.

7. Используя разложение функции ln 1y x в степенной

ряд, вычислить ln 1,12 с точностью до 0,001.

Вариант 4(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 4)

Контрольная работа № 11. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 3 3,

2 5 0,

2 3 6.

x x x

x x x

x x x

47

2. Найти предел:

3

2

6 2lim .

2x

xx

3. Найти производную функции:

1 3

23

2ln 8.

ln 5 1

xy x ex

4. Под посевы элитных культур выделили земельный участокпрямоугольной формы площадью 324 м2 и вдоль всей границы око�пали рвом. Найти такие длину и ширину участка, при которых сто�имость рва является наименьшей.

5. Составить уравнения касательных к графику функции

2 52 4

xy

x

, перпендикулярных прямой, проходящей через точки

(1; 1) и (–1; 0). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию 3 22 3y x x и схематично постро�

ить ее график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

3 25 7 9.

1x x x

dxx

2. Вычислить определенный интеграл:

3

1

2ln 1.

e x dx

x

3. Вычислить определенный интеграл:

31

5

0

.xe x dx

48

4. Решить дифференциальное уравнение:

2 27 7 .xy dx y x dy

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:2 6,y x 2 5 6.y x x

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице.

xi 4 4,5 5 5,5 6

yi 0,8 0,5 0,2 0,4 0,9

В результате их выравнивания получена функция

25 .y x Используя метод наименьших квадратов, аппроксими�

ровать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти пара�метры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле мето�да наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные дан�ные. Сделать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

0

.3 1

n

nn

x

n

Вариант 5(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 5)

Контрольная работа № 11. Решить матричное уравнение:

,АХВ C

где 2 5

,1 3

A

4 5,

3 4B

2 1

1 2C

.

49

2. Найти предел:

5 106

3 34

32 1lim .

1x

x x x

x x x

3. Найти производную функции:

72 2 3 62 3ln 2 .

2 3xx

y x e ex

4. Из всех прямоугольных участков с диагональю 8 дм найти

размеры участка, имеющего наибольшую площадь.

5. Хорда параболы 2 2 5y x x соединяет точки с абсциссами

1 1x и 2 3x .Составить уравнение касательной к параболе, параллельной

этой хорде. Сделайть чертеж.

6. Исследовать функцию 2

ln xy

x и построить схематично ее

график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

5

ln.

xdx

x2. Вычислить определенный интеграл:

21

.ln 8

edx

x x

3. Вычислить определенный интеграл:

1 4

50

.4 2

x dx

x

50

4. Решить дифференциальное уравнение:

5 10 .xy y e 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

2,y x 8,y

x 8,y 0.x

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице.

xi –2 –1 0 1 2

yi 10 5 2 0,5 0,2

В результате их выравнивания получена функция 3 .xy Ис�пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан�

ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень�ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделатьчертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

0

1 3 2.

2 1

n n

n

x n

n

Вариант 6(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 6)

Контрольная работа № 11. Найти ранг матрицы

С A B ,

где

1 2

3 4 ,

2 1

A

1 2 1.

3 1 4B

51

2. Найти предел:

23

x

2 3lim .

2 1

xxx

3. Найти производную функции:2

2 5ln 1 .

32 1

xxey

x

4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого

1800 дм3, а стороны основания соотносятся как 2 : 3. Какими должныбыть размеры ящика, чтобы расход материала оказался наимень�шим?

5. Составить уравнения касательных к графику функции

2 1 2y x x в точках ее пересечения с осями координат. Сде�

лать чертеж.

6. Исследовать функцию 2

2

2 7

2 3

x xy

x x

и построить схематич�

но ее график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

2.

7 8

dx

x x

2. Вычислить определенный интеграл:

12

21

.xe dx

x

3. Вычислить определенный интеграл:

.ln1

dxxxe

3

52

4. Решить дифференциальное уравнение:

2 24 8 0.y x dy x y dx

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

5 1 ,y x x 4,y 1.x

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице.

xi –4 –3 –2 –1 0 1

yi –1,2 –0,71 –0,01 0,53 0,82 0,92

В результате их выравнивания получена функция 2 1

.3 1

xy

x

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти

данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а иb). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи�меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде�лать чертеж.

7. Исследовать ряд на сходимость:

1

2 51 .

3n

nn

n

В случае сходимости ряда установить ее характер (абсолютнаяили условная).

Вариант 7(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 7)

Контрольная работа № 11. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 4 2,

2 0,

3 4 2.

x x x

x x x

x x x

53

2. Найти предел:2

20

1lim .

x

x

e x

x x

3. Найти производную функции:4 5 2

5

2

3ln 10 .

4

xxx e

y x ex

4. Число 49 представить в виде произведения двух положитель�

ных множителей, сумма квадратов которых является наименьшей.5. Составить уравнение касательной к графику функции

2 6 5,y x x перпендикулярной прямой 2 7 0x y . Сделать

чертеж.

6. Исследовать функцию 23 2

xy

x

и построить схематично

ее график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

3 1 2 .xe x dx 2. Вычислить определенный интеграл:

6

2

2 .х x dx3. Вычислить определенный интеграл:

3

3

13

3 1 .x

x e dx

4. Решить дифференциальное уравнение:

3 55

xyy e x

x

.

54

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

ln ,y x ,x e 2,x e 0.y 6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y

приведены в таблице.

xi –3 –2 –1 0 1 2 3

yi 5 2 1 2 5 10 18

В результате их выравнивания получена функция

21 .y x Используя метод наименьших квадратов, аппроксими�

ровать эти данные линейной зависимостью y ax b (найти пара�метры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле мето�да наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные дан�ные. Сделать чертеж.

7. Исследовать ряд на сходимость:

3

31

5 9 .14

n

n

n

n n

В случае сходимости ряда установить ее характер (абсолютнаяили условная).

Вариант 8(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 8)

Контрольная работа № 11. Методом обратной матрицы решить систему линейных урав�

нений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 5,

3 2 1,

2 2 2.

x x x

x x x

x x x

55

2. Найти предел:

0

9 3 .lim4 2x

x

x

3. Найти производную функции:

ln3 2 5 75 3 ln 3 2 .x x xy e

4. Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене завод�ского здания, нужно обнести забором. Часть забора, параллельнаястене, должны быть каменной, а остальная часть – деревянной.Площадь участка – 90 м2. Стоимость 1 м каменного забора составля�ет 10 тыс. руб., а 1 м деревянного – 8 тыс. руб.

Найти такие размеры участка, чтобы стоимость забора быланаименьшей. Какова эта стоимость?

5. Составить уравнения касательных к графику функции

2 1,

3x

yx

которые параллельны прямой 7 2 0x y . Сделать

чертеж.

6. Исследовать функцию

2

4 1

1

xy

x x

и построить схематично

ее график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

94x

dxx .

2. Вычислить определенный интеграл:

1

.ln

edx

x x3. Вычислить определенный интеграл:

5

32 44xx

dxx .

56

4. Решить дифференциальное уравнение:

2

31 0.

4x y

e x dx dyy

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

2 ,xy 22 ,x

y 2.x

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице:

xi –3 –1 1 3 6

yi –1,3 –2,6 3,3 08 0,8

В результате их выравнивания получена функция 3.y

x Ис�

пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан�

ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень�ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделатьчертеж.

7. Используя разложение функции 1m

y x в степенной ряд,

вычислить 4 86 с точностью до 0,001.

Вариант 9(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 9)

Контрольная работа № 11. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 2,

2 4,

4 3 6.

x x x

x x x

x x x

57

2. Найти предел:

2 2lim 2 1 7 3 .x

x x x x

3. Найти производную функции:

4

57 3

ln 3 1 7.

2x

xy

e x

4. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли,который можно огородить забором, имеющим длину 56 м?

5. Составить уравнения касательных к графику функции

51

xy

x

в точках ее пересечения с прямой, проходящей через точ�

ки с координатами (1; 5) и (–1; –5). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию 2

2

xey

x

и построить схематично ее

график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

5 1 2 3 .xe x dx 2. Вычислить определенный интеграл:

9

1

4.

x

dxx

3. Вычислить определенный интеграл:

5

24

2 1.

2 3

xdx

x x

4. Решите дифференциальное уравнение:

7 7 .xy xy y

58

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями2 2 4,y x 0x .

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице.

xi 1 2 3 4 5

yi 0,91 1,02 1,26 1,30 1,41

В результате их выравнивания получена функция 4 .y x Ис�пользуя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти дан�

ные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а и b).Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наимень�ших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделатьчертеж.

7. Исследовать сходимость числового ряда:

2

1

2 1.

2 3

n

n

nn

Вариант 10(для студентов, номера личных делкоторых оканчиваются цифрой 0)

Контрольная работа № 11. Найти матрицу

2С A A E B ,

где 2 3 1 0

,3 1 2 4

A

3 2.

2 1B

2. Найти предел:

2

3 20

ln 1 3lim .

7x

x

x x

59

3. Найти производную функции:

53 63

5.

5

xx xey

x

4. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкос�тью 1000 см3.

При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наи�меньшее количество материала?

5. Составить уравнения касательных к графику функции

2 52

xy

x

, перпендикулярных прямой, проходящей через точки

(0; 3) и (1; 7). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию 2

3 4

2

xy

x

и схематично построить ее

график.

Контрольная работа № 21. Найти неопределенный интеграл:

2.

5 4

x

x x

e dx

e e 2. Вычислить определенный интеграл:

4

1

.5

dx

x x

3. Вычислить определенный интеграл:

12 2

0

.xe x dx4. Решить дифференциальное уравнение:

2ln 4 5 0.x x y dx y dy

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

2 ,y x 23 .y x x

60

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и yприведены в таблице.

xi 1 1,5 2 2,5 3

yi 2,2 3,9 5,8 8,8 12,3

В результате их выравнивания получена функция 2 .y x x Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти

данные линейной зависимостью y ax b (найти параметры а иb). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наи�меньших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сде�лать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

1

5.

!

n

n

x

n

61

Содержание

Предисловие ..................................................................................................... 3Литература ....................................................................................................... 5Введение ............................................................................................................. 6Основные правила приближенных вычислений .................................. 9Содержание дисциплины и методическиерекомендации по ее изучению ................................................................... 12

Раздел I. Элементы линейной алгебры .................................. 12Тема 1. Матрицы и определители ................................................ 12Тема 2. Векторы ................................................................................. 14Тема 3. Системы линейных уравнений....................................... 15

Раздел II. Введение в анализ ................................................ 16Тема 4. Функции ................................................................................ 16Тема 5. Пределы и непрерывность ............................................... 17

Раздел III. Дифференциальное исчисление .......................... 19Тема 6. Производная ......................................................................... 19Тема 7. Приложения производной ............................................... 20Тема 8. Дифференциал функции .................................................. 21

Раздел IV. Функции нескольких переменных ....................... 21Тема 9. Функции нескольких переменных ................................ 21

62

Раздел V. Интегральное исчислениеи дифференциальные уравнения .......................................... 23

Тема 10. Неопределенный интеграл............................................ 23Тема 11. Определенный интеграл ................................................ 24Тема 12. Дифференциальные уравнения ................................... 26

Раздел VI. Ряды ................................................................. 27Тема 13. Числовые ряды .................................................................. 27Тема 14. Степенные ряды ................................................................ 29

Вопросы для самопроверки ....................................................................... 30Задачи для самоподготовки ....................................................................... 34Методические указанияпо выполнению контрольных работ ....................................................... 38Варианты контрольных работ ................................................................. 41Вариант 1 ......................................................................................................... 41Вариант 2 ......................................................................................................... 43Вариант 3 ......................................................................................................... 44Вариант 4 ......................................................................................................... 46Вариант 5 ......................................................................................................... 48Вариант 6 ......................................................................................................... 50Вариант 7 ......................................................................................................... 52Вариант 8 ......................................................................................................... 54Вариант 9 ......................................................................................................... 56Вариант 10 ....................................................................................................... 58

Математический анализ и линейная алгебра. Учебно�методи�ческое пособие для первого курса студентов всех специальностей,студентов бакалавриата всех направлений и слушателей факульте�та непрерывного обучения / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:ВЗФЭИ, 2010.

Редактор Т.А. БалашоваКомпьютерная верстка О.В. Белынской

ЛР ИД № 00009 от 25.08.99 г.

Подписано в печать 01.07.10. Формат 60×901/16.Бумага офсетная. Гарнитура Times. Усл.�печ. л. 4,0.

Изд. № 1/29�10.Тираж 200 экз. Заказ № 1707.

Редакционно�издательский отделВсероссийского заочного

финансово�экономического института (ВЗФЭИ)Олеко Дундича, 23, Москва, Г�96, ГСП�5, 123995

Для заметок