Download pdf - פרק 4 בעיות ערך קיצון

מעודכן לשנת תשע"ג 0 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות

כתב וערך: יוסי דהן. 0 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק

30803יחידה שלישית :

א'1חלק

פונקציה:חקירת

פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש

'א1חלק

משוואת משיק


2חלק

אינטגרל : פונקציה קדומה ומציאת שטח

פונקציה של פולינום בלבד

'א0חלק

מאונך מקביל ומטריה אנליטית:גיא

'ב0חלק

מעגל גיאומטריה אנליטית:

4חלק

פתרונות -בעיות קיצון :


3חלק

בעיות מילוליות:

תנועה, קנייה ומכירה,

כתב וערך: יוסי דהן



. משוואות ומספרים:1

מועד ב' קיץ תש"ע 03330מבחן בגרות : 1פר שאלה מס

24המקיימים ( גדולים מאפס)ה y –ו xמבין כל שני מספרים yx

מה צריכים להיות שני המספרים , כדי שמכפלת אחד מהם בריבוע של האחר תהיה מקסימלית? )א(

רים בריבוע של האחר( ?מהי המכפלה המקסימלית )של אחד המספ )ב(

פתרון:

y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ

םנתוני

44הסכום של שני מספרים הוא

פונקציית המטרה

מכפלת אחד מהם בריבוע של האחר תהיה מקסימלית

המספר השני : 16xהמספר הראשון:

: תשובה סופית

max048,2p)ב( 16: שנימספר 8: אחד )א( מספר

xyx

yx

24,

24

הפונקציה

2048

)16()16(24

16

24

32

32

p

p

x

xxp

22

2

2

24

)24(

max

xxp

xxp

yxp

נגזרת ראשונה

160

)348(0

3480

0'

348'

21

2

2

xx

xx

xx

p

xxp

נגזרת שנייה

max48)16(648)16("

min48)0(648)0("

648"

xp

xp

xp

8

)16(24

16

24

y

y

x

xy

סיכום התשובה

2048

8

max16

p

y

x



מועד ב' קיץ תשס"ט 03830: מבחן בגרות 2שאלה מספר

10המקיימים ( גדולים מאפס)ה y –ו xמבין כל שני מספרים yx

מצא מה צריכים להיות שני המספרים , כדי שסכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי. )א(

רים.מצא את סכום הריבועים המינימלי של שני המספ )ב(

פתרון:


נתונים 10הסכום של שני מספרים הוא


סכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי

המספר השני : 5xר הראשון: המספ


min50p )ב( 5 שנימספר 5 :אחדמספר . א()

xyx

yx

10,

10

הפונקציה

50

100)5(20)5(2

5

100202

2

2

p

p

x

xxp

100202

20100

)10(

max

2

22

22

22

xxp

xxxp

xxp

yxp


5

204

2040

0'

204'

x

x

x

p

xp


min4" p

5

)5(10

10

10

y

y

x

xy



מועד ב' קיץ תשס"ח 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר

502המקיימים y –ו xמבין כל שני מספרים yx

מצא את שני המספרים שסכום ריבועיהם מינימלי )א(

סכום ריבועיהם מינימלי. ומה ( ב)

פתרון: y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ

נתונים

502מקיימים yx .


. סכום ריבועיהם מינימלי


:סופית תשובה

10y20x)א( (ב ) min500p

xyx

yx

250,

502

הפונקציה

500

2500)20(200)20(5

20

25002005

2

2

p

p

x

xxp

25002005

42002500

)250(

min

2

22

22

22

xxp

xxxp

xxp

yxp


20

20010

200100

0'

20010'

x

x

x

p

xp

10

)20(250

20

250

y

y

x

xy


Max/min min10)('' xP



תשס"ח 2338נובמבר מועד 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר

202המקיימים y -ו xמבין כל המספרים yx ,

מינימלי.הוא שסכום ריבועיהםמצא את שני המספרים )א(

סכום ריבועיהם מינימלי. ומה ( ב)

פתרון: y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ

נתונים

202מקיימים yx .


. סכום ריבועיהם מינימלי

: המספר השני 8xהמספר הראשון:


48)א( yx (ב ) min80p

xyx

yx

220,

202

הפונקציה

80

400)8(80)8(5

8

400805

2

2

p

p

x

xxp

400805

480400

)220(

min

2

22

22

22

xxp

xxxp

xxp

yxp


8

8010

80100

0'

8010'

x

x

x

P

xP

4

)8(220

8

220

y

y

x

xy


Max/min min10'' P



.2311מועד גנוז קיץ 03830מבחן בגרות : 3שאלה מספר

75המקיימים y –ו xמבין כל המספרים החיוביים )א(. yx

yxמצא את שני המספרים שעבורם הסכום 3 .הוא מינימלי

מצא את הערך המינימלי של סכום זה . )ב(.

פתרון:


נתונים

75המספרים המקיימים yx


yxסכום 3 הוא מינימלי



155 )א(. yx .)ב( min30p

xyx

yx

75,

75

הפונקציה

30

5

75)5(3

5

753

p

p

x

xxp

xxp

yxp

753

min3


55

2525

753

7530

7530

0'

753'

753'

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

P

x

xP

xP

15

5

75

5

75

y

y

x

xy


Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(

max30)5(6)5(''

min30)5(6)5(''

6)(''

P

P

xxP



.2310מועד חורף תשע"ג 03830מבחן בגרות .6שאלה מספר

48 המקיימים z -ו x החיוביים )א(. מבין כל זוגות המספרים zx,

zxמצא את זוג המספרים שעבורם הסכום 3 .הוא מינימלי

?)ב(. מהו הסכום המינימלי

פתרון: z - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ

נתונים

48 המקיימים המספרים zx,


zxסכום 3 הוא מינימלי.


תשובה סופית:

412 )א( zx )ב( min24p

xzx

zx

48,

50

הפונקציה

24

12

144)12(1

12

1441

p

p

x

xxp

xxp

xxp

zxp

144

483

min3


1212

144144

14410

14410

0'

1441'

1441'

21

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

p

x

xp

xp

4

12

48

12

48

z

z

x

xz



max24)12(2)12(''

min24)12(2)12(''

2)(''

P

P

xxP



.0231 תשע"גקיץ א' מועד 03830מבחן בגרות .7שאלה מספר

42 המקיימים y –ו x מבין כל המספרים החיוביים yx ,

yxמצא את שני המספרים שעבורם הסכום .הוא מינימלי

פתרון:


נתונים

42המספרים המקיימים yx


yxשעבורם הסכום .הוא מינימלי


תשובה סופית: 12 yx

2

2

4,

4

xyx

yx

ציההפונק

3

)2(

4)2(

2

4

2

2

p

p

x

xxp

2

4

min

xxp

yxp


280

)8(0

80

810

0'

81'

81'

)(

241'

2

3

1

3

4

4

4

4

4

4

22

xxx

xx

xx

x

xx

p

x

xxp

x

xp

x

xp

1

)2(

4

2

4

2

2

y

y

x

xy


Max/min

)כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(

max88)0(4)0(''

min248)2(4)2(''

84)(''

3

3

f

f

xxf



.8שאלה מספר

.74 הסכום של שלושה מספרים חיוביים הוא

מהמספר הראשון. 4פי השני גדול המספר

את המספר הראשון , והבע באמצעותו את המספר השלישי. x –סמן ב )א(

שעבורו מכפלת שלושת המספרים תהיה מקסימלית. x)ב( מצא את הערך של

סימלית?קמה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מ)ג(

פתרון:

y -מספר שלישי 2x - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ

נתונים 74 מספרים חיוביים הסכום של שלושה


סימליתקשלושת המספרים שתהיה משל מכפלתם

161 המספר הראשון: x

321622 : המספר השני x

: יהמספר השליש


24,32,16( ג) 16x)ב( x372)א(

)372(),2(),(

722

xyxx

yxx

הפונקציה

288,12

)16(6)16(144

16

6144

32

32

p

p

x

xxp

32

2

6144

)372(2

max)372()2()(

xxp

xxp

xxxp


160

)18288(0

182880

0'

18288'

21

2

2

xx

xx

xx

P

xxP

24)16(3723 x


Max/min

min288)0(36288)0(''

max288)16(36288)16(''

36288)(''

P

P

xxP



.2312 קיץ תשע"ב מועד 30803בגרות מבחן: 9שאלה מספר

.18הסכום של שלושה מספרים חיוביים הוא

מהמספר הראשון. 4השני גדול פי המספר

את המספר הראשון , והבע באמצעותו את המספר השלישי. x –סמן ב )א(

שעבורו מכפלת שלושת המספרים תהיה מקסימלית. x)ב( מצא את הערך של

סימלית?קכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה ממה צרי)ג(

פתרון:

y -מספר שלישי 2x - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ

נתונים 18 מספרים חיובייםהסכום של שלושה


שלושת המספרים שתהיה מכסימליתשל מכפלתם

41 המספר הראשון: x

8422 : המספר השני x

: יהמספר השליש


6,8,4( ג) 4x)ב( x318)א(

)318(),2(),(

182

xyxx

yxx

הפונקציה

192

)4(6)4(36

4

636

32

32

p

p

x

xxp

32

2

636

)318(2

max)318()2()(

xxp

xxp

xxxp


40

)1872(0

18720

0'

1872'

21

2

2

xx

xx

xx

P

xxP

6)4(3183 x


Max/min

min72)0(3672)0(''

max72)4(3672)4(''

3672)(''

P

P

xxP



:13שאלה מספר

המורכב משני מוטות בונים מתקן מטר 18ממוט ברזל שאורכו

מאוזנים ושלושה מוטות מאונכים.

מה צריך להיות מידות הסורגמצא

כדי ששטחו יהיה מקסימלי ? )אורך ורוחב(

פתרון:

ם:נתוני


)אורך ורוחב( מה צריך להיות מידות הסורגמצא

כדי ששטחו יהיה מקסימלי

מטר 4.5 מטר. 3: סופית תשובה

שטח הסורג

2

3

26

)3

26(

xxp

xxp

baS

הפונקציה

2

3

26 xxp


5.4

63

4

3

460

0'

3

46'

x

x

x

p

xp


Max/min

max4

3)('' xp

צלעות הסורג

x2 : מוטות מאוזנים

y3מוטות מאונכים:

מטר 18אורך המוט:

xy

xy

xy

yx

3

26

3

2

3

18

2183

1832

y y y

x

x


5.4x: מוזןמוט

:מאונךמוט

3

)5.4(3

26

3

26

y

y

xy

x



.11שאלה מספר

המורכב משני מוטות בונים סורג מלבני ס"מ 400ממוט ברזל שאורכו

וזנים. מאונכים וחמישה מוטות מא

מצא מה צריך להיות מידות הסורג

כדי ששטחו יהיה מקסימלי ? )אורך ורוחב(

פתרון:

נתונים:


)אורך ורוחב( מה צריך להיות מידות הסורגמצא


:סופיתתשובה ס"מ. 50ס"מ , 40

שטח הסורג

25.2100

)5.2100(

xxp

xxp

baS

הפונקציה

1000

)20(5.2)20(100

5.2100

2

2

p

p

xxp


20

1005

51000

0'

5100'

x

x

x

p

xp


Max/min max5)('' xp


x5 : מוטות מאוזנים

y2: מאוזניםמוטות

ס"מ 200אורך המוט:

xy

xy

xy

yx

5.2100

2

5

2

200

52002

20025


20x: מאוזןממוט

:ונךמוט מא

50

)20(5.2100

5.2100

y

y

xy

y

x

x



.12ר שאלה מספ

מוטות אנכיים - 6המורכבת מ ס"מ בונים רשת 48מחוט ברזל שאורכו

מוטות מאוזנים ) ראה ציור( 4 - ו

המלבן ותדימה צריכים להיות מ

כדי ששיטחו יהיה מקסימלי ?)אורך ורוחב(

פתרון:

נתונים:


חב( )אורך ורו מה צריך להיות מידות הסורגמצא


:סופיתתשובה ס"מ 6ס"מ , 4

שטח הסורג

25.112

)5.112(

xxp

xxp

baS

הפונקציה

96

)8(5.1)8(12

5.112

2

2

p

p

xxp


4

123

3120

0'

312'

x

x

x

p

xp


Max/min max3)('' xp


y4 : םמוטות מאוזני

x6: מאוזניםמוטות

ס"מ 48אורך המוט:

xy

xy

xy

xy

5.112

4

6

4

48

6484

4864


4x: מאונךמוט

ן:מוט מאוז

6

)4(5.112

5.112

y

y

xy

x

y

x



.10שאלה מספר

שלדה של מיטת נוער עשוי מוטות עץ.

מ"ר. 3, ששטחו ABCDלמסגרת החיצונית של השלד צורת מלבן

BCושלושה מוטות באורך AB מוטות באורך 4 -השלד מורכב מ

ר(.)ראה ציו

, ABCDמה צריכים להיות ממדי המלבן

כדי שסכום אורכי מוטות העץ שמהם עשוי השלד יהיה מינימלי?

פתרון:

נתונים


מינימלי הברזל יהיה מוטות ם של אורכיהסכום ש

5.12

3

2

3

y

x

xy

:סופיתתשובה

מטר 1.5מטר, 4

נתון השטח

xy

yx

yxS

3

3

סכום המוטות

xxP

xxP

DCADp

123

343

43

הפונקציה

12

)2(

12)2(3

5

123

S

P

x

xxP


22

44

123

1230

1230

0'

123'

123'

21

2,1

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

P

x

xP

xP

y

X


Max/min כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה()

max12)2(6)5(''

min12)2(6)5(''

6)(''

p

p

xxp

x



תשע"ב 2312חצב/ברק מועד 03830מבחן בגרות : 14שאלה מספר

מוטות 5 -הסורג מורכב מלאכה מייצר סורגים ממוטות ברזל בית מ

מוטות אופקיים שאורכם זהה ) ראה ציור( 3 -ומ ,המאונכים שאורכם זה

.מ"ר 15, ששטחו ABCDמלבן למסגרת החיצונית של הסורג יש צורת

את : xבאמצעות הבע x =ABסמן ב )א(

.BC( אורך המוט 1)

( סכום האורכים של כל מוטות הברזל הדרושים לייצור הסורג.4)

המוטות שמהם הרשת עשויה יהיה מינימלי

מוטות הברזל יהיה מינימלי כדי שסכום האורכים של xמצא מה צריך להיות הערך של )ב(

פתרון:

נתונים



סופית: תשובה

( 1)אx

BCxAB15

(2)א min75

3 x

xp )ב( min5x


xxP

xxP

BCABPT

753

1553

53

הפונקציה

30

)5(

75)5(3

5

753

P

P

x

xxP


55

2525

753

7530

7530

0'

753'

753'

21

2,1

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

P

x

xP

xP

y

X



max30)5(6)5(''

min30)5(6)5(''

6)(''

p

p

xxp

x

נתון השטח

xy

yx

yxS

15

15



.2312 מיוחד נובמבר מועד 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר

בית מלאכה מייצר סורגים ממוטות ברזל.

למסגרת החיצונית של הסורג יש צורת מלבן

מ"ר. 34ששטחו

מטר xמוטות אופקיים באורך 4 –הסורג בנוי מ

)ראה ציור( מוטות אנכיים 8 –מ ו

את האורך של מוט אנכי. x( מצא באמצעות 1. )(א)

ביטוי לסיכום של אורכי כל מוטות הברזל שבסורג. xשום באמצעות ( ר4)

כדי שסכום אורכי מוטות הברזל שמהם עשוי הסורג יהיה מינימלי ? ( מה צריכים להיות ממדי המלבן )ב

פתרון:

נתונים



48

32

8

32

y

x

xy

: סופית תשובה

( 1)א x

32 (.2)א

xxp

2564 .)4,8)ב

נתון השטח

xy

yx

yxS

32

32

הפונקציה

64

)8(

256)8(4

8

2564

P

P

x

xxP


88

6464

2564

25640

25640

0'

2564'

2564'

21

2,1

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

P

x

xP

xP

y



max64)8(8)8(''

min64)8(8)8(''

8)(''

p

p

xxp


xxP

xxP

BCABPT

2564

3284

84



y .BAAB –מקביל לציר ה אורך קטע. 2 yyd

ש"ע .מועד א' קיץ ת 03830מבחן בגרות :1שאלה מספר

של הפונקציות -ו בציור נתונים הגרפים

4

2)(

xxf 2

4

1)( 2 xxg

, x f)(הוא של הפונקציה -ו . איזה מבין הגרפים)א(

? נמק.x g)(ואיזה גרף הוא של הפונקציה

היא נקודה על גרף Bו היא נקודה על גרף A. )ב(

)ראה ציור(. y –מקביל לציר ה ABכך שהקטע

, B –ו Aנקודות של ה x -מצא את שיעור ה

הוא מינימלי. ABשעבורו אורך הקטע

.AB מצא את האורך המינימלי של הקטע )ג(

:פתרון

? x g)(ואיזה גרף הוא של הפונקציה x f)(של הפונקציה הוא -והגרפיםאיזה מבין ( א)

נמק.

' אגרף x g)(' הפונקציה בגרף הישר x f)(הפונקציה

נתונים:

ByAyמשמעות yאורך הקטע בקו מקביל לציר ה


.הוא מינימלי B –ו Aנקודות בין אורך הקטע


)ג( min5.0ABx (ב) x g)(= גרף x f)(= גרף (א)16

72AB

2

12

4

1

4

1

4

2

42

4

1

4

2

42

4

1

4

22

4

1

min

2

2

2

2

xxp

xxp

xxp

xxp

yyp BA

הפונקציה

167

21

412

41

21

412

41

2

2)5.0()5.0(

5.0

2

p

p

x

xxp


5.0

5.025.0

25.05.00

0'

25.05.0'

x

x

x

p

xp


Max/min min5.0)('' xp



מועד נובמבר תשס"ז 03330מבחן בגרות : 2שאלה מספר

הפרבולות:נתונים הגרפים של שתי

72

1,3

4

1 22 xyxxy

נמצאת על הפרבולה האחרת. Qנמצאת על פרבולה אחת והנקודה Pהנקודה

)ראה ציור( y -מקביל לציר ה PQהקטע

יהיה מינימלי. PQכדי שאורך הקטע Pא. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה

.PQב. מצא את האורך המינימלי של הקטע

פתרון:

נתונים:

QP משמעות yאורך הקטע בקו מקביל לציר ה yy


יהיה מינימלי. PQשאורך הקטע


min4PQ )ב9,2(P )(min )א(

7375.0

325.075.0

325.075.0

min

2

22

22

xxp

xxxp

xxxp

yyp qp

הפונקציה

4

7)2(3)2(75.0

2

7375.0

2

2

p

p

x

xxp


2

35.1

35.10

0'

35.1'

x

x

x

p

xp


Max/min min5.1)('' xp

pנקודה

)9,2(

9

7)2(5.0

2

75.0

2

2

p

y

y

x

xy



מועד א' קיץ תש"ע 03330מבחן בגרות ;0שאלה מספר

של הפונקציות –ו בציור נתונים הגרפים

4

2)(

xx f ,

xxg

4)( 0בתחוםx

x f)(הוא של הפונקציה –ו . איזה מבין הגרפים א

? נמק.x g)(ואיזה גרף הוא של הפונקציה

ה על גרף היא נקוד B –ו היא נקודה על גרף A. ב

)ראה ציור(. y –מקביל לציר ה ABכך שהקטע

B –ו Aשל הנקודות x –מצא את שיעור ה

הוא מינימלי. ABשעבורו אורך הקטע

:פתרון

? x g)(ה גרף הוא של הפונקציה ואיז x f)(הוא של הפונקציה -ואיזה מבין הגרפים ( א)

נמק.

0xגרף x g)(הפונקציה גרף הישר x f)(הפונקציה

. y –מקביל לציר ה ABכך שהקטע היא נקודה על גרף Bו היא נקודה על גרף A (ב)

שעבורו אורך הקטע הוא מינימלי. B –ו Aשל הנקודות x -מצא את שיעור ה

ByAyמשמעות yאורך הקטע בקו מקביל לציר ה

4

2)(

xxf


ימלי.הוא מינ B –ו Aנקודות בין אורך הקטע


min4ABx)ב( x g)(= גרף x f)(= גרף . (א)

x

xp

x

xp

yyp BA

4

4

2

4

4

4

)2(

min

הפונקציה

2

12

)4(

4

4

2

4

)4(

4

4

4

2

4

p

p

x

x

xp


44

1616

160

4

160

0'

4

161'

4

441

14

4

1'

21

2,1

2

2

2

2

2

2

2

21

2

xx

xx

x

x

x

p

x

xp

x

xp

xp



max8)4(2)4(''

min8)4(2)4(''

2)(''

p

p

xxp



תשע"א 2311מועד פברואר 03330ת מבחן בגרו 4שאלה מספר

)(10הפונקציות xxf ו- x

xg9

)( נחתכות בנקודותA ו– B.

.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(

,AB. הנמצאת על הקטע Dדרך נקודה )ב(

. הישר חותך y –העבירו ישר המקביל לציר ה

)ראה ציור( Cבנקודה xg)(את גרף הפונקציה

הוא מקסימלי.CD שעבורן המרחק Dו Cאת שיעורי הנקודות מצא

.Dו Cמצא את המרחק המקסימלי בין הנקודות )ג(

פתרון: .B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(


הוא מקסימלי. CD המרחק


)1,9()9,1( (א) BA (ב) )7,3()3,3( CD

max4DC (ג)

A,Bנקודות

0910

910

/9

10

0()(

2

2

xx

xx

xx

x

xgxf

91

2

810

)1(2

)9)(1(4100)10(

21

2,1

2,1

xx

x

x

A,Bנקודות

10,9(

1109

)9,1(

9101

10)(

B

y

A

y

xxf

xxp

xxp

yyp CD

910

910

min

הפונקציה

4

)3(

910)3(

3

910

p

p

x

xxp


33

99

90

90

0'

91

/19

1'

21

2,1

2

2

2

2

2

21

2

2

xx

xx

x

x

x

p

x

xp

xx

p



max6)3(2)3(''

min6)3(2)3(''

2)(''

p

p

xxp



מועד חצב/ ברק תשע"א. 03830מבחן בגרות : 3שאלה מספר

xxfבציור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה 2)( והישרxy 2

.(ראשית הצירים O) C –ו Oגרף הפונקציה והישר נחתכים בנקודות

חותך את גרף הפונקציה ואת הישר y -ישר המקביל לציר ה

xf)(היא נקודת החיתוך עם A -כך ש (,C -ו O)בין הנקודות

היא נקודת החיתוך עם הישר )ראה ציור(. B –ו

.AB. ובטא באמצעותו את אורך הקטע Bשל הנקודה x –את שיעור ה x –סמן ב )א(.

הוא מקסימלי. ABטע .שעבורה אורך הקBשל הנקודה x–מצא את שיעור ה (1) )ב(

.ABמהו האורך המקסימלי של הקטע ( 2)

פתרון

.AB. ובטא באמצעותו את אורך הקטע Bשל הנקודה x –את שיעור ה x –סמן ב )א(.


.ABאורך המקסימלי של הקטע

י.הוא מקסימל AB.שעבורה אורך הקטע Bשל הנקודה x–מצא את שיעור ה (1ב)

: ה סופיתתשוב

xxpAB)א( 22 (1)ב max25.0 Bx max5.0 (2)ב p

xxp

xxp

yyp

AB

AB

BAAB

22

22

הפונקציה

5.0

)25.0(2)25.0(2

25.0

22

p

p

x

xxp


25.0

14

410

)2()1()0(

)/(210

210

0'

21

/21

'

22

12'

222

2

1

x

x

x

x

x

x

x

p

x

xp

xx

p

xp


Max/min קבוע סימן מספיק לגזור את המונה()כדי ל

max225.02

2)25.0(''

2

12)(''

p

xxp



פונקציות עם שטח והיקף. 0

תשע"א. 2311מועד א קיץ 03830מבחן בגרות : 1שאלה מספר

272נתון גרף הפונקציה xy רביע הראשון.ב

חותך את גרף הפונקציה x –ישר המקביל לציר ה

שנמצאת ברביע הראשון, Aבנקודה

. B בנקודה y –ואת ציר ה

.)ראה ציור( Oעם ראשית הצירים Aמחברים את הנקודה

ABמה צריך להיות אורך הקטע (א)

יהיה מקסימלי? AOBכדי ששטח המשולש

? AOBלי של משולש מהו השטח המקסימ (ב)

פתרון:

נתונים


יהיה מקסימלי AOBששטח המשולש


max3AB )א( max27S)ב(.

)27,( 2 xx

צלעות המשולש

270 2

xB

xAB

שטח המשולש

2

27

22

27

2

)27()(

22

33

2

xxxxp

xxp

yxhaS a

הפונקציה

27

)3(5.13)3(5.0

3

5.135.0

3

3

P

P

x

xxP


33

99

5.135.1

5.135.10

0'

5.135.1'

21

2,1

2

2

2

2

xx

xx

x

x

P

xP


Max/min

min9)3(3)3(''

max9)3(3)3(''

3)(''

P

P

xxP



מועד חצב ברק תשס"ח 03330מבחן בגרות :2שאלה מספר

122נתונה הפרבולה xy .

חותך את הפרבולה x -ישר המקביל לציר ה

)ראה ציור(. B -הנקודה y –ואת ציר ה Aבנקודות

. O -נסמן את ראשית הצירים ב

, ABמה צריך להיות אורך הקטע א.

יהיה מקסימלי? AOBכדי ששטח המשולש

? AOBי של משולש מהו השטח המקסימל ב.

פתרון:

נתונים:




max8S)ב( max2AB)א(

)12,( 2 xx


120 2

xyB

xAB

שטח המשולש

xxp

xxxxp

xxp

yxhaS a

65.0

2

12

22

12

2

)12()(

22

3

33

2

הפונקציה

8

)2(6)2(5.0

2

65.0

3

3

P

P

x

xxP


22

44

65.1

65.10

0'

65.1'

21

2,1

2

2

2

2

xx

xx

x

x

P

xP


Max/min

min6)2(3)2(''

max6)2(3)2(''

3)(''

P

P

xxP



מועד ב' קיץ תשס"ז 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר

xxyהנמצאת על גרף הפונקציה , Aמנקודה 62 ,

ברביע הראשון , מורידים מהנקודה אנכים לצירים,

) ראה ציור ( . ABOCנוצר מלבן ו

Aשל הנקודה x -מה צריך להיות שיעור ה א.

כדי שהיקף המלבן יהיה מכסימלי?

.חשב את היקף המקסימלי של המלבן ב.

פתרון:

נתונים


היקף המקסימלי של המלבן


max5.24P )ב(. max5.3Ax )א(

צלעות המלבן

xxyB

xCB

60 2

היקף המלבן

xxp

xxxp

xxxP

yxbap

142

1222

)6(2)(2

2222

2

2

2

הפונקציה

5.24

)5.3(14)5.3(2

5.3

142

2

2

p

p

x

xxp


5.3

144

1440

0'

144'

x

x

x

p

xp


Max/min max4)('' xp

)6,( 2 xxyx



מועד חורף תש"ע 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר

שברביע הראשון, Aנקודה

xxyהפונקציה על גרף נמצאת 52 ,

מורידים אנכים לצירים, Aמנקודה

. ABOCונוצר מלבן

O – ציור( )ראה ראשית הצירים

Aמה צריך להיות שיעור הנקודה (א)

כדי שהיקף המלבן יהיה מכסימלי?

מצא את היקף המקסימלי של המלבן? (ב)

פתרון:

נתונים:

הפונקציית המטר

היקף המקסימלי של המלבן


A)6,3( )א( max18P)ב(


xxyB

xCB

50 2

היקף המלבן

xxp

xxxp

xxxP

yxbap

122

1022

)5(2)(2

2222

2

2

2

הפונקציה

18

)3(12)3(2

3

122

2

2

p

p

x

xxp


3

124

1240

0'

124'

x

x

x

p

xp


Max/min max4)('' xP

Aנקודה

)6,3(

6

)3(5)3(

3

5

2

2

A

y

y

x

xxy

)5,( 2 xxyx



ע"תש 2313מועד נובמבר 03330מבחן בגרות : 3שאלה מספר

נמצאת על גרף הפונקציה Aנקודה x

y4

ברביע הראשון.

)ראה ציור( ABOCכך שנוצר המלבן אנכים לצירים מורידים Aמהנקודה

Aשל הנקודה x –מצא את שיעורי ה )א(

שעבורו מתקבל מלבן בעל היקף מינימלי.

מצא את ההיקף המינימלי של המלבן. )ב(

:פתרון

נתונים:


ההיקף המינימלי של המלבן.


8p (ב) 2x (א)

הפונקציה

8

)2(

8)2(2

2

82

p

p

x

xxp


22

4

482

820

0'

82'

82'

21

2,1

22

2

2

2

2

xx

x

xx

x

p

x

xp

xp



max8)2(4)2('

min8)2(4)2('

4)('

p

p

xxp


xyAB

xAC

4

היקף המלבן

xxp

xxP

yxbap

82

)4

(2)(2

2222

)4

,(x

x



תשס"ה מועד חצב / ברק 03330מבחן בגרות : 6שאלה מספר

נתונה הפונקציה x

xxf2

1)( ( ברביע הראשוןx0)

שעל גרף הפונקציה בהורידו אנכים לצירים pמנקודה

ראשית הצירים APCO (O .)ונוצר המלבן

)ראה ציור(. pשל הנקודה x –את שיעור ה x –נסמן ב .(א)

. APCOאת היקף המלבן xבטא באמצעות

הנוצרים באופן שתואר APCOמבין כל המלבנים .(ב)

שעבורו היקף המלבן הוא מינימלי. xמצא את

:פתרון

נתונים:


המלבן. מינימלי שלהיקף


)א( x

xp1

4 )ב(min5.0x

הפונקציה

4

)5.0(

1)5.0(4

5.0

14

p

p

x

xxp


5.05.0

25.0

25.014

140

0'

14'

14'

21

2,1

22

2

2

2

2

xx

x

xx

x

p

x

xp

xp



max8)5.0(8)5.0(''

min8)5.0(8)5.0(''

8)(''

p

p

xxp


xxyPC

xAP

2

1

היקף המלבן

xxp

xxxp

xxxP

yxbaP

14

2122

)2

1(2)(2

2222

O C

x

A )

2

1,(

xxxp

y



.2312מועד קיץ תשע"ב 03830מבחן בגרות : 7שאלה מספר

בציור שלפניך נתון גרף הפונקציה .

2)( xxf ברביע הראשון

ל גרף הפוקציה שע Aמנקודה

ABOCמעבירים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן

.Aשל הנקודה x –)א(. הבע את היקף המלבן באמצעות שיעור ה

x( מה צריך להיות הערך של 1)ב(. )

יהיה מינימלי ? ABOCכדי שהמלבן

( מצא את ההיקף המינימלי של המלבן.4)

:פתרון

נתונים:


ההיקף המינימלי של המלבן.

:תשובה סופית

422)א(. xx (1 )ב4

1x (2)ב

2

13

יההפונקצ

5.3

425.02)25.0(2

25.0

422

p

p

x

xxp


25.0

416

4160

)2()4(0

)(240

0'

2

24'

2

122'

2

2

x

x

x

x

x

p

x

xp

xp



min125.02

4)25.0(''

2

14)(''

p

xxp


2

xAB

xAC

היקף המלבן

422

)2(2)(2

2222

xxp

xxP

yxbaP



2312מועד חורף 03830מבחן בגרות : 8שאלה מספר

332הפונקציה בציור שלפניך נתונה xxy

היא נקודה על גרף הפונקציה C .(א)

.Cשל הנקודה x –מצא את שיעורי ה

הוא מינימלי. Cשעבורו סכום השיעורים של

.Cמצא את הסכום המינימלי של שיעורי נקודה .(ב)

x –יר ה שמצאת בסעיף א העבירו אנך לצ Cדרך הנקודה )ג(.

. האנכים יוצרים מרובע עם הצירים. y -ואנך לציר ה

מצא את שטח המרובע.

פתרון:

נתונים:


הוא מינימלי. Cסכום השיעורים של

האנכים יוצרים . y -ואנך לציר ה x –שמצאת בסעיף א העבירו אנך לציר ה Cדרך הנקודה ב.

מצא את שטח המרובע. מרובע עם הצירים.


111( ג) 2p ( ב) 1,1(C(min)א( S

שיעורי הנקודה

)33,( 2 xxyxC

Cסכום השיעורים של

32

)33()(

2

2

xxp

xxxp

yxp

הפונקציה

2

3)1(2)1(

1

32

2

2

p

p

x

xxp


1

22

220

0'

22'

x

x

x

p

xp


Max/min min2)(" xp

שטח המרובע

111 S

y

C

x

y

C

x

שיעורי הנקודה

)1,1(

1

3)1(3)1(

33

2

2

C

y

y

xxy



תשס"ו 2336מועד חורף 03330מבחן בגרות : 9שאלה מספר

272ה הפרבולה נתונ xy .

חותך את הפרבולה x -מעבירים ישר המקביל לציר ה

)ראה ציור(. B –ו Aבנקודות

Bשל הנקודה x –את שיעור ה x –סמן ב א.

) הנמצאת ברביע הראשון (,

ABאת אורך הקטע xובטא באמצעות

היא ראשית הציריםAOB ( .O )ואת שטח המשולש

,Bשל נקודה x –מה צריך להיות שיעור ה ב.

יהיה מקסימלי ? AOBכדי ששטח משולש

פתרון:

נתונים:




xxSxAB )א( 272 3 max3x max54AOBS )ב(.

)27,( 2 xx

X X


270

2

2

xyB

xxxAB

שטח המשולש

xxp

xxxxp

xxp

yxhaS a

27

2

54

2

2

2

542

2

)27()2(

2

2

2

3

33

2

הפונקציה

54

)3(27)3(

3

27

3

3

p

p

x

xxp


33

99

273

2730

0'

273'

21

2,1

2

2

2

2

xx

xx

x

x

p

xp


Max/min

min18)3(6)3(''

max18)3(6)3(''

6)(''

p

p

xxp



31שאלה מספר 227בפרבולה חוסמים xy מלבןABCD ,

)ראה ציור(. x -מונחת על ציר ה ABכך שהצלע

Cשל הנקודה xאת שיעור ה x –סמן ב ( א)

.BCו CDאת אורכי הצלעות xובטא באמצעות

יהיה מקסימלי? ABCDשעבורו שטח המלבן CDמצא את אורך הצלע )ב(.

המקסימלי של המלבן? שטחחשב את ה )ג(

פתרון:

נתונים :


יהיה מקסימלי ABCDשטח המלבן


2272( א) xBCxDC (ב) 6322 xCD max108S ( ג)

לבןצלעות המ

227

2

xyBC

xxxDC

מלבןשטח ה

3

2

254

)27()2(

2

xxp

xxp

yxbaS

הפונקציה

108

)3(2)3(54

3

254

3

3

p

p

x

xxp


33

99

546

6540

0'

654'

21

2,1

2

2

2

2

xx

xx

x

x

p

xp


Max/min

min36)3(12)3(''

max36)3(12)3(''

12)(''

p

p

xxp



11שאלה מספר

29החסום בין גרף הפרבולה ABCDנתון טרפז xy

נמצאת ברביע הראשון )ראה ציור(. Aכך שנקודה x -לבין ציר ה

Aשל הנקודה xאת שיעור ה x –סמן ב ( א)

AD אורך הצלע את xת ובטא באמצעו

.BCוחשב את אורך הצלע Bו Cמצא את הנקודות )ב(

יהיה מקסימלי? ABCDכדי ששטח הטרפז Aמצא את שיעורי הנקודה )ג(

. ABCDחשב את השטח המקסימלי של טרפז )ד(

פתרון:

נתונים:


יהיה מקסימלי ABCDשטח הטרפז


xAD( א) 2 (ב) 6BC max32S ( ד) A)8,1()ג(

צלעות הטרפז

633

9

2

2

CB

xyh

xxxAD

טרפזשטח ה

2793

9327

2

218654

2

)9)(26(

2

)(

23

32

32

2

xxxp

xxxp

xxxp

xxp

hbaS

הפונקציה

32

27)1(9)1(3)1(1

1

2793

23

23

p

p

x

xxxp


13

93

6

126

)3(2

)9)(3(436)6(

9630

0'

963'

21

2,1

2

2,1

2,1

2

2

xx

xx

x

x

xx

p

xxp


Max/min

min126)3(6)3(''

max126)1(6)1(''

66)(''

p

p

xxp

CBנקודות

6

33

9

90

0

9

21

2

2

2

BCd

xx

x

x

y

xy

Aנקודה

)8,1(

8

)1(9

1

9

2

2

A

y

y

x

xy



תשס"ו 2336מועד מרץ 03330מבחן בגרות :12שאלה מספר

32נתונה הפונקציה xy 6,5(ברביע הראשון והנקודה(C

.C, המונחת על גרף הפונקציה משמאל לנקודה Aמנקודה

)ראה ציור(B בנקודה x –מורידים אנך החותך את ציר ה

Aחשב את שיעורי הנקודה .א

יהיה מקסימלי. ABCכך ששטח המשולש

.? ABCמקסימלי של המשולש מהו השטח ה .ב

פתרון:

נתונים:


יהיה מקסימלי. ABCשטח המשולש


max12S ( ב) A)12,3()א(


xh

xAB

a

5

32

שטח המשולש

5.75.15.25.0

2

15

2

3

2

5

22

3155

2

)5()3(

2

23

2332

2

xxxP

xxxxxxP

xxP

haS a

הפונקציה

12

5.7)3(5.1)3(5.2)3(5.0

3

5.75.15.25.0

23

23

P

P

x

xxxP


3

13

3

45

)5.1(2

)5.1)(5.1(4255

5.155.10

0'

5.155.1'

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

P

xxP


Max/min

min45)3

1(3)

3

1(''

max45)3(3)3(''

53)(''

P

P

xxP

Aנקודה

)12,3(

12

3)3(

3

3

2

2

A

y

y

x

xy



ריבוע המרחק )משפט פיתגורס(. 4

מועד חורף תשס"ט 03330מבחן בגרות : 1פר שאלה מס

43נתון הישר xy ונתונה הנקודהA(0,2)

M ציור( )ראההיא נקודה כלשהי על הישר

Mמצא על הישר הנתון את השיעורים של נקודה

A( 0, 4הקרובה ביותר לנקודה )

נמצאת על הישר הנתון ) ראה ציור ( M( y ,xנקודה )

( 2AM) כלומר AMבטא את ריבוע המרחק (א)

.M של הנקודה x –באמצעות שיעור ה

Mשל הנקודה x –מה צריך להיות שיעור ה (ב)

יהיה מינימלי ? AM שריבוע המרחקכדי

:פתרון

.Mשל הנקודה x –באמצעות שיעור ה (2AMכלומר ) AMבטא את ריבוע המרחק א()

:נתונים

המטרהפונקציית

יהיה מינימלי AM שריבוע המרחק


363610)א( 22 xxAM )4.1,8.1()ב(M

363610

36369

)63()0(

)243()0(

2

22

22

222

xxp

xxxp

xxp

xxAM

הפונקציה

6.3

36)8.1(36)8.1(10

8.1

363610

2

2

p

p

x

xxp


8.1

3620

36200

0'

3620'

x

x

x

p

xp


Max/min min20)('' xp

Mנקודה

)4.1,8.1(

4.1

4)8.1(3

8.1

43

M

y

y

x

xy

)43,()2,0(

)()( 2

12

2

12

2

xxMA

yyxxd



מועד חצב / ברק תשס"ז 03330מבחן בגרות : 2שאלה מספר

43נתון הישר xy ונתונה הנקודהA(0,1)

נמצאת על הישר הנתון ) ראה ציור ( M( y ,xנקודה )





:פתרון

.Mשל הנקודה x –ר ה באמצעות שיעו (2AMכלומר ) AMבטא את ריבוע המרחק א()

נתונים:


יהיה מינימלי AM שריבוע המרחק


253010)א( 22 xxAM )5.0,5.1()ב(M

)43,()1,0(

)()( 2

12

2

12

2

xxMA

yyxxd

הפונקציה

7.7

30)5.1(30)5.1(10

5.1

253010

2

2

p

p

x

xxp


5.1

3020

30200

0'

3020'

x

x

x

p

xp


Max/min min20)(' xp

Mדה נקו

)5.0,5.1(

5.0

4)5.1(3

5.1

43

M

y

y

x

xy

253010

25309

)53()0(

)143()0(

2

22

22

222

xxp

xxxp

xxp

xxAM



מועד א' קיץ תשס"ז 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר

xyנתונה הפונקציה

A)0,8(נתונה הנקודה x -על ציר ה

M ראה ציור היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה()





MAחשב את ריבוע המרחק המינימלי של (ג)

:פתרון

נתונים:


יהיה מינימלי AM ריבוע המרחק


64152)א( xxp )73.2,5.7( )ב(M )75.7)גp

),()0,8(

)()( 2

12

2

12

2

xxMA

yyxxd

הפונקציה

75.7

64)5.7(15)5.7(

5.7

6415

2

2

p

p

x

xxp


5.7

152

1520

0'

152'

x

x

x

p

xp


Max/min

min2)('' xp

6415

6416

)0()8(

2

2

222

xxp

xxxP

xxAM



"טתשס 2339מרץ מועד 30303מבחן בגרות : 4שאלה מספר

xxfנתון גרף הפונקציה )(

)0,9(נתונה הנקודה x –על ציר ה 21A

B )היא נקודה כלשהיא על גרף הפונקציה )ראה ציור

. Bשל הנקודה x -מה צריך להיות שיעור ה )א(

יהיה מינימלי. ABכדי שריבוע המרחק

.ABוע המרחק המינימלי של חשב את ריב )ב(

:פתרון

יהיה מינימלי ? MAכדי שהמרחק Mשל הנקודה x –מה צריך להיות שיעור ה א()

נתונים:


.ABריבוע המרחק המינימלי של


min25.92)ב( 9Bx)א( AB

25.9018

25.9019

)0()5.9(

2

2

222

xxp

xxxP

xxAB

הפונקציה

25.9

25.90)9(18)9(

9

25.9018

2

2

p

p

x

xxp


9

182

1820

0'

182'

x

x

x

p

xp


Max/min min2)(' xf

x

y

)0,9(21A

),( xxB

),()0,5.9(

)()( 2

12

2

12

2

xxBA

yyxxd



תש"ע 2313מועד פברואר 03330מבחן בגרות 3שאלה מספר

ס"מ. 10הוא קטע שאורכו ABבציור שלפניך

ABDAABCBנתון

E היא נקודה על הקטעAB כך שמתקיים

DAAECBEB

. AEאת אורך הקטע x –נסמן ב

.CBואת האורך של DAאת האורך של xבטא באמצעות ( 1) (א)

את xבטא באמצעות ( 2) 2CE .2DEואת

כדי שהסכום xמה צריך להיות הערך של . (ב)22 CEDE ? יהיה מינימלי

מצא את הערך המינימלי של הסכום (ג)22 CEDE

פתרון:

נתונים:


סכום22 CEDE יהיה מינימלי


xCBxDA( 1א) 200402,2( 2א) ,10 2222 xxCExDE

10022 )ג( 5x ( ב) CEDE

אורך הקטעים

xCB

xDA

10

2DE

22

222

2xDE

xxDE

הפונקציה

100

200)5(40)5(4

5

200404

2

2

S

S

x

xxp


5

408

4080

0'

408'

x

x

x

P

xP


Max/min min8)('' xp

2CE

200402

2010020100

)10()10(

22

222

222

xxCE

xxxxCE

xxCE

סכום22 CEDE

200404

2004022

2

2222

xxp

xxxCEDE



תשע"א. 2311מועד ב קיץ 03830מבחן בגרות : 6שאלה מספר

( הוא צלע משותפתx –) המסומן ב BCהקטע

)ראה ציור( BEFCושל המלבן ABCDשל הריבוע

ס"מ. 10הוא AEאורך הקטע נתון כי

.BEאת אורך הקטע xהבע באמצעות (1) (א)

)ריבוע האלכסון המלבן( 2CEאת xהבע באמצעות ( 2)

22שעבורו הסכום BCאורך הקטע מצא את (ב) CEAC הוא מינימלי

22מצא את הערך המינימלי של הסכום (ג) CEAC

פתרון:

נתונים:

מטרהפונקציית ה

סכום22 CEDE יהיה מינימלי

ה סופיתתשוב

xBE (1)א 10 100202 (2)א 22 xxCE ()5.2 בBC (ג )7522 CEAC

אורך הקטעים

22

222

22

222

222

2

100202

20100

)10(

10

xAC

xxAC

xxCE

xxxCE

xxCE

xBE

הפונקציה

75

100)5.2(20)5.2(4

5.2

100204

2

2

p

p

x

xxp


5.2

208

2080

0'

208'

x

x

x

p

xp


Max/min min8)('' xp

2+CE

2AC

100204

1002022

2

22

xxp

xxxP

x

x

x10

x

x x10



מועד ב' קיץ תשס"ד 03330מבחן בגרות : 7שאלה מספר

C =090זווית ABCבמשולש ישר זווית

.AC ,a =BC= 6אורכי הניצבים הם :

D היא נקודה כלשהי על הניצבAC ראה ציור()

. Cמקדקוד Dאת מרחק הנקודה x –נסמן ב

את סכום ריבועי המרחקים a –ו x. הבע באמצעות א

.C –, ו A ,Bמשלושת הקדקודים Dשל נקודה

, הסכום שהבעת בסעיף א הוא מינימלי. xזה ערך של . מצא עבור איב

פתרון:

נתונים:


סכום ריבועי המרחקים הוא מינימלי


22 )א( 36123 axxp min2x ( ב)

CDריבוע המרחק 22 xCD

סכום ריבועי המרחקים

22

222

2222

222

36123

12362

)()()6()(

axxP

axxxP

axxxP

DBADCDP

הפונקציה

2

22

22

24

36)2(12)2(3

2

36123

aP

aP

x

axxP


2

126

1260

0'

126'

x

x

x

P

xP


Max/min min6)('' xP

a

A

B C

x

D 6

ADריבוע המרחק 22 )6( xAD

DBריבוע המרחק 222 )()( axDB

a

A

B

D

D

C

x



צורות הנדסיות. 3

מועד ב' קיץ תשס"ה 03330מבחן בגרות : 1ספר שאלה מ

הצורה המוצגת בציור מורכבת משני ריבועים

ס"מ ) ראה ציור ( 10המונחים זה על זה. גובה הצורה הוא

את xוהבע באמצעות צלע הריבוע התחתון את x -סמן ב)א(

שטח הריבוע העליון ואת שטח הריבוע התחתון.

ריך להיות אורך הצלע של הריבוע התחתון כדי ששטחמה צ)ב(

הצורה יהיה מינימלי ?

פתרון:

נתונים:


הצורה יהיה מינימלי שטח


2xS)א( 2)10( xS )ב(min5x

שטח הריבוע העליון2)10( xS

צורהשטח ה

100202

20100

)10(

2

22

22

xxP

xxxP

xxS

הפונקציה

50

100)5(20)5(2

5

100202

2

2

P

P

x

xxP


5

204

5.12040

0'

204'

x

x

xx

P

xP


Max/min min4'' P

שטח הריבוע התחתון2)(xS

10 x

x10

x



תשס"ט 2339מועד אוקטובר 03330מבחן בגרות : 2שאלה מספר

בציור שלפניך שני מלבנים

.KLMNומלבן ABCDמלבן

.KLאת אורך הצלע x -נסמן ב

KLABנתון 2 ,

. 10הוא KLMNהיקף המלבן

.KLMNמהיקף המלבן 4גדול פי ABCDהיקף המלבן

את אורכי הצלעות של שני המלבנים. xת בטא באמצעו .(א)

כדי שסכום השטחים של שני המלבנים יהיה מקסימלי. x. מה צריך להיות הערך של (ב)

השטח המקסימלי חשב את ( ג)

פתרון:

נתונים:


שסכום השטחים של שני המלבנים יהיה מקסימלי


2,)210(( 1)א xx (2א) )5(, xx )ב(max5.2x (ג)max25.31S

A

D C

B K

N M

L x

KLMNמלבן

xb

xb

bx

xa

bap

15

2102

2210

22

סכום השטחים

2

22

525

4205

)210()2()5()(

xxP

xxxxP

xxxxP

baS

הפונקציה

25.31

)5.2(5)5.2(25

5.2

525

2

2

P

P

x

xxP


5.2

2510

10250

0'

1025'

x

x

x

P

xP

ABCDמלבן

xb

xb

bx

xa

bap

210

4202

22220

2

22


Max/min max10)('' xP

x5

N

K

M

L x

A

D C

B x2

x210



מועד א' קיץ תשס"ט 03830מבחן בגרות : 0שאלה מספר

xבציורים שלפניך מוצגים ריבוע שצלעו

yומשולש שווה צלעות שצלעו

14צלע הריבוע בצלע המשולש היא מכפלת

.xבאמצעות yבטא את (.1)(א)

את הסכום של היקף הריבוע והיקף המשולש. xבטא באמצעות (. 2)

הסכום של היקף הריבוע xמצא עבור איזה ערך של (ב)

( הוא מינימלי.4והיקף המשולש ) שהבעת בתת סעיף א )

ינימלימה ההיקף חשב את ( ג)

פתרון:

נתונים


סכום של היקף הריבוע והיקף המשולש הוא מינימלי.


( 1)אx

y12

(2א) xx

P 436

)ב(min3x (ג)min24P

.xבאמצעות yבטא את

xy

yx

12

12

סכום ההיקפים

xxp

xxp

bap

364

)12

(3)(4

34

הפונקציה

24

)3(

36)3(4

3

364

p

p

x

xxp


33

99

364

3640

0'

364'

364'

21

2,1

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

p

x

xp

xp

x

x

y y

y



max24)3(8)3(''

min24)3(8)3(''

)(8)(''

p

p

xxp



.2310מועד פברואר תשע"ג 03830מבחן בגרות . 4שאלה מספר

.ABCבציור שלפניך נתון משולש

AD הוא הגובה לצלעBC.

.BC +ADס"מ = 14נתון כי

.ADאת אורך x( נסמן ב 1)א( )

.BCאת אורך הצלע xהבע באמצעות

כדי ששטח xו של ( מה צריך להיות ערכ4)

יהיה מקסימלי ? ABC המשולש

?ABC )ב( מהו שטחו המקסימלי של משולש

פתרון:

נתונים


ABCשטחו המקסימלי של משולש


xBC( 1א) 14 ( 1)בmax7x ( 2)בmax5.24S


xBC

BCx

xAD

BCAD

14

14

14

סימלימקשטח

2

22

5.07

22

14

2

14

2

)14(

2

xxp

xxxxp

xxp

baS

הפונקציה

5.24

)7(5.0)7(7

7

5.07

2

2

p

p

x

xxp


7

70

0'

7'

x

x

p

xp


Max/min max1)('' xp



מועד א' קיץ תשס"ט 03330ת מבחן בגרו: 3שאלה מספר

למר ישראלי חלקת אדמה בצורת מלבן

מטר . 300ורוחבו מטר 400שאורכו

מר ישראלי רוצה לקצר את האורך של החלקה

מטר x –מטר , ולהאריך את רוחבה ב x –ב

כך שתתקבל חלקה חדשה ) השטח המקווקו בציור (

את השטח החדש xהביע באמצעות )א(

שעבורו שטח החלקה החדשה יהיה מקסימלי. xמצא את הערך של ()ב

מקסימליהשטח החלקה החדשה חשב את ( ג)

פתרון:

נתונים:


מקסימליהשטח החלקה החדשה


1200001002)א( xxST max500,122S(ג) max50x)ב(

אורך החדשx400

מקסימלי השטח החדש

2

2

100000,120

300400000,120

)300()400(

xxP

xxxP

xxP

baS

הפונקציה

500,122

)50()50(100000,120

50

100000,120

2

2

P

P

x

xxP


50

1002

21000

0'

2100'

x

x

x

P

xP

רוחב חדשx300


Max/min max2)(' xP

044

מטר

044

מטר

x

x



תשע"ב 2312 פברואר מועד 03330מבחן בגרות : 6שאלה מספר

.DCס"מ = BC ,40ס"מ = 50שבו ABCDנתון מלבן

ס"מ. 2x –ב BCס"מ , ומקצרים את הצלע x –ב DCמאריכים את הצלע

)כמתואר בציור (. FCEGכך שנוצר מלבן

.FCEGשל המלבן FC –ו EC את אורכי הצלעות xא באמצעות בט א.

.FCEGאת שטח המלבן xבטא באמצעות ב.

הוא מקסימלי . FCEGשעבורו שטח המלבן xהערך של מצא את (1ג. )

ששטחו מקסימלי . FCEGמצא את שטח המלבן (2)

פתרון:

נתונים:


הוא מקסימלי FCEGן שטח המלב


xFCxEC)א( 1000102)ב( 20250 2 xxSFCEG

5.1012S( 4)ג 5.2x( 1)ג

FCרך אוx20

השטח החדש

2

2

210000,1

24050000,1

)20()250(

xxP

xxxP

xxP

baS

הפונקציה

5.102,1

)5.2(2)5.2(10000,1

5.2

210000,1

2

2

P

P

x

xxP


5.2

104

4100

0'

410'

x

x

x

P

xP

ECאורך x250


Max/min max4)('' xP

044

מטר

A

D

B

C

E G

F

20

x2

x

50



מועד א' קיץ תשס"ד 03330מבחן בגרות : 7שאלה מספר

ס"מ נמצא מלבן פנימי 74ו בתוך מלבן חיצוני שהיקפ

רוחב השוליים לצלעות המלבן החיצוני. שצלעותיו מקבילות

ס"מ מכל צד, ורוחב השוליים 4הצרים

ס"מ מכל צד ראה ציור. 3הרחבים הוא

.(את רוחב המלבן החיצוני ) כמסומן בציור xנסמן ב .א

מלבן הפנימי.את אורך המלבן החיצוני ואת שטח ה xהבע באמצעות

שעבורו שטח המלבן הפנימי הוא המקסימלי. xמצא את . ב

פתרון:

נתונים:


שטח המלבן הפנימי הוא המקסימלי


xy)א( 36 120342 xxS )ב(max17x

ן החיצוניאורך המלב

xb

xb

bx

xa

bap

36

2

272

2272

22

שטח המלבן הפנימי

12034

412030

)30()4(

2

2

xxP

xxxP

xxP

הפונקציה

169

120)17(34)17(

17

12034

2

2

p

p

x

xxp


17

342

3420

0'

342'

x

x

x

p

xp


Max/min max2'' p

שטח מלבן הפנימי

)30()4( xxS

baS

2

2

0 0 x

x36



מועד אוקטובר תשס"ז 03330מבחן בגרות : 8שאלה מספר

מטר. 140של מגרש משחקים שצורתו מלבן הוא היקפו

במרכזו בנו ארגז חול בצורת מלבן ומסביב לארגז החול

שתלו דשא בכל שטח המגרש שנותר כמתואר בסרטוט.

.(רבציו החיצוני )כמסומן מגרשאת רוחב ה xנסמן ב (א)

החיצוני מגרש את אורך ה xהבע באמצעות

ארגז החול.ואת שטח

מה צריכים להיות האורך והרוחב של מגרש המשחקים (א)

כדי ששטח ארגז החול יהיה מקסימלי ?

מהו השטח המקסימלי של ארגז החול ? (ב)

פתרון:

נתונים

קציית המטרהפונ

שטח המלבן הפנימי הוא המקסימלי


מ"ר 784)ב( מטר 06מטר , 04)א(

אורך המלבן החיצוני

xb

xb

bx

xa

bap

70

2

2140

22140

22

ארגז החולשטח

51272

851264

)64()8(

2

2

xxp

xxxp

xxp

הפונקציה

784

512)36(72)36(

36

51272

2

2

p

p

x

xxp


36

722

7220

0'

722'

x

x

x

p

xp


Max/min max2'' p

שטח ארגז החול

)64()8( xxS

baS

0

0

0 0 x

x70

0

0

0 0 x ארגז חול



תשס"ח . 2338מועד פברואר 03330מבחן בגרות 9שאלה מספר

סמ"ר 800 ששטחהבמרכז כרזה מלבנית

מדפיסים תמונה ) השטח המקווקו בציור(

ס"מ. 4רוחב השוליים בראש הכרזה ובתחתיתה הוא

ס"מ ) ראה ציור( 4ורוחב השוליים בצדי הכרזה הוא

.x –נסמן את רוחב הכרזה ב

.(בציור את רוחב המלבן החיצוני )כמסומן xנסמן ב (א)

את אורך המלבן החיצוני xהבע באמצעות

ואת שטח המלבן הפנימי.

, כדי ששטח התמונה יהיה מקסימלי. xלהיות מה צריך )ב(

מהו גודל השטח המקסימלי של התמונה ? )ג(

פתרון:

נתונים:


.שטח המקסימלי של התמונה


)א( x

b800

x

xS3200

8832 )ב(max20x )512)גS

אורך המלבן החיצוני

xb

bx

baS

800

800

ונההתמשטח

xxP

xxP

xx

x

xP

xxP

32008832

323200

8800

328004

8800

)8800

()4(

הפונקציה

512

)20(

3200)20(8832

20

32008832

P

P

x

xxP


2020

400400

32008

320080

320080

0'

32008'

32008'

21

2,1

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

P

x

xP

xP

תמונהשטח

)8800

()4(

xxS

baS

0

0

2 2

x

x

800



max320)20(16)20(''

min320)20(16)20(''

)(16)(''

P

P

xxP



מועד חורף תשס"ה 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר

E ,F , Gהנקודות ABCDבריבוע

בהתאמה, AB ,BC ,DCנמצאות על הצלעות

)ראה ציור ( CG =CF -ו BF =BE –כך ש

ס"מ. 6נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא

xוהבע באמצעות BEואת BFאת x –סמן ב ( א)

)השטח המקווקו ( FCG –ו EBFאת הסכום של שטחי המשולשים

שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. xמצא את ( 1) (ב)

חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים.( 2)

פתרון:

נתונים


סכום שטחי המשולשים מינימלי


1862)א( xxST min9S(2)ב min3x( 1)ב

ABFשטח משולש

2

2

2

2xS

xxS

haS

ABF

a

סכום שטחי המשולשים

186

2

36122

2

1236

)2

1236()

2(

2

2

22

22

xxP

xxP

xxxp

xxxp

הפונקציה

9

18)3(6)3(

3

186

2

2

P

P

x

xxP


3

62

620

0'

62'

x

x

x

P

xP

GCFמשולש שטח

2

1236

2

6636

2

)6)(6(

2

2

xxS

xxxS

xxS

GCE


Max/min min2)('' xP

A B

C D

F

E

G

x

x

6

x

x



תשע"א 2311 מועד נובמבר 03330מבחן בגרות 11שאלה מספר

אדם הזמין לביתו מרצפות , כל מרצפת היא בצורת מלבן,

ס"מ . 40ס"מ ורוחבה 60אורכה

המרצפת שהוזמנה מורכבת מחרסינה אפורה )השטח האפור שבציור(

זכוכית לבנה בצורת מלבן במרכז וחרסינה לבנה בפינות בצורת משולשים זהים שווה שוקיים.

(x0כמתואר בציור )ס"מ xשאורך השוק שלהם הוא

.x –בטא את סך כל השטח הלבן שבמרצפת באמצעות ה (1א. )

במרצפת יהיה מקסימלי ? האפורהכדי ששטח החרסינה xמה צריך להיות הגודל של ( 2)

מהו השטח המקסימלי שיכול להיות לחרסינה האפורה במרצפת ? ב.

פתרון:


יהיה מקסימלי האפורהששטח החרסינה


24002006( 1)א 2 xxS ( 2)א3216x )ג( max1666

32S

שטח משולש אחד

2

2

2

2xS

xxS

haS a

סך כל השטח הלבן

24002006

420024002

2

22

xxS

xxxST

הפונקציה

3

21666

)16(200)16(6

16

2006

322

32

32

2

P

P

x

xxP


3

216

20012

200120

0'

20012'

x

x

x

P

xP

השטח האפור

xxp

xxp

xxp

2006

240020062400

)24002006(4060

2

2

2


Max/min max12)('' xP

x

x

x

x

x

x

משולשים 4שטח

22

22

4x

xST

שטח המלבן הלבן

2

2

42002400

4120802400

)260()240(

xxS

xxxS

xxS



מועד חורף תשס"ח 03330מבחן בגרות : 12שאלה מספר

ס"מ xובסיסה ריבוע, שאורך צלעו ס"מ, yיבה. גובה בונים ת

ס"מ 18היקף של הפאה הצדדית שווה ל

yאת גובה התיבה xהבע באמצעות ( א)

? מה צריך להיות האורך של צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי ( ב)

פתרון:


מקסימלינפח התיבה


),()9()א( xx )ב(max6x (ג)min108V


xy

xy

yx

bap

9

2182

2218

22

נפח התיבה

329

)9()()(

xxP

xxxV

hbaV

הפונקציה

108

)6()6(9

6

9

32

32

P

P

x

xxP


60

)318(0

3180

0'

318'

21

2

2

xx

xx

xx

P

xxP


Max/min

max18)6(618)6(''

min18)0(618)0(''

)(618)(''

P

P

xxP



תשס"ה 2333מועד נובמבר 03330מבחן בגרות 10שאלה מספר

)ראה ציור ( שבסיסה ריבוע 'ABCDA'B'C'Dרוצים לבנות תיבה

ס"מ. 15( הוא 'BC +BBשל גובה התיבה ושל צלע הבסיס ) סכום האורכים

'BBאת גובה התיבה xהבע באמצעות ( א)

? מה צריך להיות האורך של צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי ( ב)

חשב את הנפח המקסימלי ( ג)

פתרון:

נתונים


נפח התיבה מקסימלי


),()15()א( xx )ב(max10x (ג) 500V


xBB

xBB

xBC

BCBBS

15'

'15

'

נפח התיבה

3215

)15()()(

xxP

xxxV

hbaV

הפונקציה

500

)10()10(15

10

15

32

32

P

P

x

xxP


100

)330(0

3300

0'

330'

21

2

2

xx

xx

xx

P

xxP


Max/min

max30)10(630)10(''

min30)0(630)0(''

)(630)(''

P

P

xxP

x



תשע"ב 2312מועד קיץ מועד ב' 03330מבחן בגרות : 14שאלה מספר

'ABCDA'B'C'Dלפניך תיבה

BCס"מ = xנתון :

2BC =AB

ראה ציור()

CC' +BC +AB= 18בתיבה מתקיים

.'CCאת גובה התיבה x)א( הבע באמצעות

שעבורו נפח התיבה הוא מקסימלי. xמצא את הערך של )ב(

)ג( מצא את הנפח המקסימלי

פתרון:

נתונים:


נפח התיבה מקסימלי


192)ג( 4x)ב( x318א( )

'CCגובה התיבה בטא את

xCC

CCxx

CCBCAB

318'

18'2

18'

נפח התיבה

32

2

636

)318(2

)318()2()(

xxP

xxP

xxxV

hbaV

הפונקציה

192

)4(6)4(36

4

636

32

32

P

P

x

xxP


40

)1872(0

18720

0'

1872'

21

2

2

xx

xx

xx

P

xxP


Max/min

max72)4(3672)10(''

min72)0(3672)0(''

)(3672)(''

P

P

xxP

x2



תשס"ז 2337מועד חורף 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר

מ"ר 4500ששטחה , ABCDחלקת אדמה מלבנית

.לחומה )ראה ציור ( מודה בצדה האחד צ

.CD -ו ABואת צדיה BCמגדרים את חזית החלקה ,

שקלים למטר , 16( הוא BCחיר ההתקנה של גדר בחזית החלקה ) הקטע מ

שקלים למטר. 10( הוא .CD -ו ABומחיר ההתקנה של גדר בצדדים ) הקטעים

מה צריך להיות האורך של חזית החלקה,

? מינימלי כדי שמחיר התקנת הגדר יהיה

פתרון:


מינימלייהיה נת הגדרהתקשמחיר


75BCאורך החזית )א(

x16

x

450010

x

450010

אורך החזיתxBC

סך כל מחיר התקנת הגדר

xxP

xxP

000,9016

000,45216

הפונקציה

2400

75

000,90)75(16

75

000,9016

P

P

x

xxP


7575

56255625

000,9016

000,90160

000,90160

0'

000,9016'

000,9016'

21

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

P

x

xP

xP

DC, ABאורך הדופן

xAB

ABx

ABBCS

4500

4500

מחר התקנת דופן

x

450010

מחיר התקנת החזיתx16



max2400)75(32)75(''

min2400)75(32)75(''

)(32)(''

p

p

xxP