組長 :胡林瑋 4A12C072組員 :黃冠智 4A12C075
陳坤篁 4A12C066蘇昱偉 4A12C082陳建志 4A12C105
平面極坐標方程式與其圖形
極座標
一個極座標系統須有一點稱為極心 (pole) 及由此極心射出的一條輻射線稱為極軸 (polar axis) 。 為了方便與直角座標系統作比較，我們把直角座標系統的原點作為極心，把右半條橫軸作為極軸。
2
一、 廣義極座標
令 P 為平面上一點，其直角座標為 (x,y) 。令 r = x 2 y 2 為 OP 之長度， θ 為由極軸至 OP
角度，
則稱 (r,θ)p 為 P 點之極座標。應注意到 (r,θ)p = (r,2nπ+θ)p ， nZ 也可以寫成
(-r,π+θ)p = (-r,(2n+1)π+θ)p ， nZ ，因此 P = (x,y) = (r,2nπ+θ)p = (-r,(2n+1)π+θ)p ， P
點只有一組直角座標，卻有無窮多組極座標。
他們的主要關係是
x = r‧cosθ ， y = r‧sinθ ， r =2 x 2 y 2
3
1. r = a ，圖形為以極心為心半徑為 | a | 之圓，相對應於 x2 + y2 = a2
-1 -0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0 0.2 0.4 0.60.8
1-1
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.6
0.4
0.2
0.8
1
圖一（ r=1 ）
4
(1,θ)
θ
2. θ=α ，圖形為以 α 為斜角之過極心之直線，相對應 y= tanα‧x
-10 -8
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10
4
2
α0
-2
-4
(-r ,α)-6
-8
6
10
8
圖二（ θ=α ）5
(r ,α)
3. r‧cosθ= d ，相對應於 x= d.r‧sinθ= d ，相對應於 y= d.
圖三（ rcos(θ)=d ） 6
4. r = a‧cos nθ ， n 為奇數時，圖形為 n 瓣花； n 為偶數時，圖形為 2n 瓣花 .r = a‧sin nθ
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
圖四 (a)（ r=cos(2θ) ）
7
圖四 (b)（ r=cos(5θ) ）
5. r =θ ，圖形為螺線 .
2
4
6
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
圖五 (r=θ/3,r>0)
8
r a b cos6. r a b sin ，圖形為蚶線， | a | =| b | 時，稱為心臟線 .
1
2
3
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
圖六 (r=1+2cos(θ))
9
10
二、 實用極座標
在微積分中考慮雙重積分時，有時須把直角座標改為極
座標，這時可不用廣義極座標而採用實用的極 座標。x r cos
y r sin
r 0 I
其中 I 為一長度不超過 2π 的區間。常見的例子是把平面上的一塊區域用極座標描述出來。
令 R R2 為一區域，如果它的邊界可用極座標來表示：
1. θ=α ， θ=β ， r =φ1(θ) ，
r =φ2(θ) ，且 α<β ，
φ1 φ2 ，則 R ={(r,θ)p ： α θ β ， φ1(θ) r φ2(θ)}
11
2. r = a ， r = b ， θ= 1(r) ， θ= 2(r) ，且 a b ， 1 2 ，
則 R ={(r,θ)p ： a r b ， 1(r) θ 2(r)}
上述兩種 R 的形態中，第 1 種是最常見而第 2 種則少見。
例題 1. 試用極座標描述下列各區域：
(a) A ={(x,y) ： x2 + y2 22}
(b) B ={(x,y) ： 1 x2 + y2 22 ， y 0}
(c) C ={(x,y) ： x2 + y2 1 ， |x| |y| ， y 0}
解：
(a) 此時邊界為 r = 0 與 r = 2 ， θ= 0 與 θ= 2π ，故 A ={(r,θ)p ： 0 θ 2π ， 0 r 2}
12
(b) 邊界為 r = 1 與 r = 2 ， θ= 0 與 θ=π ，故 B ={(r,θ)p ： 0 θ π ， 1 r 2}
(c) 邊界為 r = 0 與 r = 1 ， θ= 與 θ= 3 ，故 C ={(r,θ)p ： θ 3 ， 0 r 1}
4 4 4 4
13
例題 2. 試用極座標描述下列各區域(a) A ={(x,y) ： (x-1)2 + y2 1} (b) B ={(x,y) ： 0 x y 2}
解：
(a) 考慮邊界 (x -1)2 + y2 = 1 得 x2 -2x + y2 = 0 ，以 x = rcosθ 和 y = rsinθ 代入，
得 r2 - 2rcosθ= 0 ， r( r
-2cosθ) = 0 ， r = 0 代表一點，即極心，
而 r -2cosθ= 0 即為原圓之極座標方程式，此時， (r,θ)p
為圓內一點之條件為 θ ， 0 r 2cosθ ，2 2
因此 A={(r,θ)p ： θ ,0 r 2cosθ}2 2
14
(b) 邊界 y = 2 之極座標方程式為 rsinθ= 2 或 r = 2cscθ.
此時 (r,θ)p 為 B 內一點之條件為 θ ， 0 r 2cscθ
4
2
因此 B ={(r,θ)p ： θ ， 0 r 2cscθ}4 2
15
三、 圓錐面截線
幾乎所有的天體，例如：行星、彗星等，的運行軌道都是橢圓、拋物線或雙曲線。這些曲線在光、
音 的凝聚方面的設計，及導航定位問題等都有很重要的應用。但早年希臘人已知這些曲線可經由
( 雙葉 ) 圓錐與平面交截而得。所以就稱這些曲線為圓錐面截線 (conic section) 。
定義 3.3.1. 令 F 為平面上任一點， l 為平面上不經過 F 的任一直線及 e > 0 為一正數。則稱集合
{PR2
： d(P, l)
16
PF = e}………………………………………(1)
為一圓錐面截線，其中 d(P, l ) 為 P 點至 l 的距離。此時稱 F 為焦點 (focus) ， l 為準線
(directrix) ，而稱 e 為 離心率 (eccentricity) 。當 e < 1 時，截線稱為橢圓， e = 1 時，截線
稱為拋物線，而 e > 1 時，截線稱為雙曲線。
準線 l 為 d =
r cosθ 。
令 F = O 為極心， l 為與極軸之延長線垂直且距離 F 為 d 之直線。設 P = (r,θ)p
滿足 (1) ，則 d(P, l ) = d + r cosθ
因此 e = d rcos
r
或得 r = 1 ecos
ed …………………(2)
如果準線 l 為 d = rcosθ 在極心之右邊，則得r = 1 ecos
ed ………………………(3)
如果準線 l 為 d = rsinθ 與極軸平行，則得 r = 1 esin
17
ed ……………………(4)
註：我們稱 (2) 、 (3) 、 (4) 為圓錐面截線的極座標標準方程式。
18
例題 1. 將 (4) 式化成直角座標方程式
解：由 (4) 式知
r er sinθ= ed
r = ed ersinθ
r2 = (ed er sinθ)2 = (ed ey)2
x2 + y2 = e2(y d)2
例題 2. 求 r = 2 -3cos
4 之準線方程式、離心率並轉換成直角座標方程式
解：將方程式改寫成標準式
r = 1 - 3cos
2
2
則知 e = 3 ， ed = 2 ，故 d = 4 。因此，離心率 e = 3 ，準線方程式為 r cosθ＝ 4 2 3 2 3
再用例題 1 的方法可得出直角座標方程式
x2 + y2 = 9 (x + 4 )2
4 3
19
四、利用積分，算圖形面積
若 為平面上的一曲線， 為一連續非負的函數， ， 。
曲線
、 、 圍成一區域 ，將區間 分割成 個小區間，且 ，
區域 切成 個小區域
、 、……、 ，如下圖所示
20
因此面積
又每一小區域面積近似於扇形面
1. 求極座標
所包圍之面積。
解答：
，
代入面積公
式 展開
二倍角公式
求定積分
即為所求
21
2. 求四瓣玫瑰線
之一瓣的面積。
， ，
展開
二倍角公式並將係數化簡
分項積分
計算定積分
即為所求
22
3. 求極座標
所包圍之面積。
解答：
代入面積公
式 展開
二倍角公式
求定積分
即為所求
23
7. Find the area of the region bounded by the graph of the equation
.
Solution :
The area is
.
24
練習題 . 求極座標 ， 所包圍之面積。
解答：
， ，
代入面積公式
求定積分
（此即圓面積公式）
25
參考資料 :1. 平面極坐標方程式與其圖形2. http://www.amath.nchu.edu.tw/~tdoc/13_2.htm
END
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